2015年春季新版苏科版九年级数学下学期6.5、相似三角形的性质学案10
新苏科版九年级数学下册《6章图形的相似6.5相似三角形的性质》教案_33
一、教学目标
1．运用类比的思想方法，通过实践探索得出相似三角形的对应线段（高、中线、角平分线） 的比等于相似比；
2．理解并掌握相似多边形的周长比等于相似比、相似多边形的面积比等于相似比的平方。 3．会利用相似三角形的性质解决简单的问题
二、教学重点与难点
重点： 掌握相似三角形对应线段的比等于相似比、 平方等性质。
之间的关系？
A'
A
B
C B'
C'
【归纳】：相似三角形的周长比等于 __________，面积比等于 ________________ ；
类似地，两个相似多边形的周长比等于 __________，面积比等于 ______________。
【勤学的尝试】
例 1．在比例尺为 1：500 的地图上， 测得一个三角形地块 ABC 的周长为 12cm，面积为 6cm2， 则这个地块的实际周长为 __________ ，面积为 ___________。
6 ，则两个相似多边形的周长分别
D
C
F
A
EB
4．如图所示，正方形 ABCD 中， AB=2 ， E 是 BC 的中点， DF⊥ AE 于 F。
⑴试说明△ ABE ∽△ DFA ；
A
D
⑵求△ DFA 的面积 S1 和四边形 CDFE 的面积 S2。
F
BEC
例 2．如图，在三角形 ABC 中，点 D、 E 分别在 AB 、 AC 上， DE//BC ， AD ∶DB=1 ∶ 1，则△ ABC 和△ ADE 的面积比为 ________； 四边形 DBCE 和△ ADE 的面积比为 ________。
例 3．如图，在△ ABC 中， AD 是高， EF ∥BC ，AG ∶ GD=2 ∶3，
春苏科版数学九下6.5《相似三角形的性质》word导学案1
6.5相似三角形的性质（1）年级： 班级： 姓名： 日期： 编者： 审核人：一、学习目标：1．探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；2．发展合情推理和有条理的表达能力． 学习重点：相似三角形的性质。
二、学习内容: 1．导学预习：（1）已知△ABC ∽△A ′B ′C ′,AB =2A ′B ′,则C △ABC ：C △A ′B ′C ′=_____,S △ABC ：S △A ′B ′C ′=______.（2）要把一根长1米的铜丝截成两段，用它们围成两个相似三角形，且相似比为3／5，那么截成的两段铜丝长度的差应是_____________米。
（3）等腰三角形ABC 的腰长为12，底的长为10，等腰三角形A ′B ′C ′的两边长分别为5和6，且△ABC ∽△A ′B ′C ′,则△A ′B ′C ′的周长为（ ）。
A.17 B.16 C.17或16 D.34 2.小组讨论：（1）（2011浙江）如图，边长为4的等边△ABC 中，DE 为中位线，则 四边形BCED 的面积为（ ） A.32B.33C.34D.36（2）如图所示，□ ABCD 中，AE ：EB =1：2,求△AEF 和△CDF 的周长比，如果S △AEF =6cm 2,求：S △CDF .3.展示提升：（1）一个三角形改变成和它相似的三角形，若边长扩大为原来的4倍，则面积扩大为原来的_________倍.（2）一个三角形的三边之比为2∶3∶4，和它相似的另一个三角形的最大边为16，则它的最小边的边长是 ，周长是 。
（3）若△ABC ∽△A ‘B ‘C ’，且∠A ＝45０，∠B ＝30０，则∠C ′＝ 。
（4）两个相似五边形的面积比为16：25，其中较大的五边形的周长为30cm ，则较小 的五边形的周长为______ cm .FD CBAE（第4题）A BCD E（5）（2011苏州）如图，已知△ABC 的面积是3的等边三角形，△ABC ∽△ADE ，AB =2AD ，∠BAD =45°，AC 与DE 相交于点F ，则△AEF 的面积等于__________（结果保留根号）. 4.质疑拓展：四边形 ABCD 是平行四边形，点E 是BC 的延长线上的一点，而且CE ：BC =1：3，若△DGF 的面积为9，试求：（1）△ABG 的面积.（2）△ADG 与△BGE 的周长比和面积比.5.学习小结：6.达标检测：（1）两个相似三角形的一对对应边长分别为20cm , 35cm , 如果它们的周长差为63cm , 求这两个三角形的周长.（2）如图，□ABCD 中，M 是BC 边上的一点，且AM 交与BD 与N ，AM ∶NM =4∶1 ①试说明△AND ∽△MNB ；②若CM =2cm ，试求BC 和BM 的长.（3）如图，已知，D 为△ABC 中AC 边的中点，AE ∥BC ，ED 交AB 于点G ，交BC 的延长线于点F ，若BG ：GA =3：1，BC =8，求AE 的长.G FEDC BA（4）如图，把△ABC沿AB边平移到△A′B′C′的位置，它们的重叠部分（即图中的阴影部分）的面积是△ABC的面积一半，若AB=2，则求此三角形平移的距离AA′。
2015年春季新版苏科版九年级数学下学期6.5、相似三角形的性质导学案4
基本环节
基本内容
组织教学
知
识
梳
理
教学目标
1、探索相似三角形 性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题； 2、发展学生合情推理，和有条理的表达能力
教学重点：相似三角形的性质
教学难点：有条理的表达与推理
预习、尝试知识点：
1、三角形相 似的条件有那些？
2、若△ABC∽△A′B′C′，那么△ABC与△A′ B′C′的周长比等于相似比吗？
例3、如图，把△ABC沿AB边平移到△DEF的位置，它们重叠部分（即图中阴影部分）的面积是 △ABC的面积的一半，若AB=2，求此三角形移动的距 离BE的长 。
例1让学生板书并讲解
拓
展
延
伸
1、如果两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的周长比为。
2、把一个三角 形改成与它相似的三角形，若边长扩大4倍，则面积扩大倍。
新知：相似三角形Biblioteka 长的比：相似多边形周长的比：
相似三角形面积的比：
相似多边形面积的比：
提问学生
检查预习情况
智
慧
碰
撞
例1、（P106例1）在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC的周长为12cm，面积为6cm2，求这个地块的实际周长和实际面积。
例2、若△ABC∽△DEF,△A BC的面积为81cm2,△DEF的面积为36c m2,且AB=12cm,则DE=cm
3．如图，在△ABC中，D是BC边的中点，且AD=AC，DE⊥BC 交AB于E，EC交A D于F
（1）说明：△ABC∽△FCD
（2）若S△FCD= 5，BC=10，求DE的长。
及时，引导学生交流、展示。并适时点拨。
2015年春季新版苏科版九年级数学下学期6.5、相似三角形的性质教案11
相似三角形的性质教案2教学目标：1、运用类比的思想方法，通过实践探索得出相似三角形，对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；2、会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题；3、经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力。
教学重点：探索得出相似三角形，对应线段的比等于相似比教学难点：利用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决问题教学过程：一、创设情境情境1：如图（1）△ABC 是一块锐角三角形余料，边BC=120mm ，高AD=80mm ，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是什么？图（1） 图（2）情境2：全等三角形的对应线段（高、中线、角平分线）有何关系？那么相似三角形的对应线段又有怎样的关系呢？二、探索活动：问题1. 全等三角形的对应线段（如高、中线、角平分线）有怎样的关系？怎样说理，选举其中一例加以说明。
问题2. 相似三角形的对应边成比例，对应线段有怎样的关系？问题3、如图（2），△ABC ∽△A ′B ′C ′，相比为k ，AD 与A ′D ′分别是△ABC 和△A ′B ′C ′的高，试证明AD/A ′D ′=k 的理由由此引出：相似三角形对应高的比等于相似比问题4、相似三角形对应中线、角平分线有怎样的关系？问题5、小结相似三角形对应线段的关系。
D C B A A ’B ’C ’D ’A B C D三、例题教学例1. 课本P80例5例2. （情境一中的问题）四、拓展练习1.课本P81页第1题、6题.说明：拓展练习可以在做完课本练习后根据情况选择使用.。
6.5相似三角形的性质-苏科版九年级数学下册教案
6.5 相似三角形的性质-苏科版九年级数学下册教案1. 背景介绍在九年级的数学学习中，学生已经学习了初中数学的基本知识和技能，接下来需要学习更为深入和具体的知识和技能。
本次教学内容是介绍相似三角形的性质。
相似三角形不仅在初中阶段学习中经常出现，而且还有广泛的应用。
2. 教学目标1.能够掌握相似三角形的概念和判定方法。
2.能够应用相似三角形的性质解决实际问题。
3.能够理解相似三角形的应用，如比例尺的制作等。
3. 教学内容和步骤3.1 相似三角形的概念相似三角形是指角度相等，对应边比值相等的两个三角形。
如图所示，对于两个三角形ABC和DEF，如果有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F，则称为相似三角形。
A D/ \\ / \\/ \\ / \\B-----C E-----F3.2 相似三角形的判定方法判定相似三角形有以下几种方法：•AA判定法：两个三角形的两个角分别相等，则这两个三角形相似。
•SAS判定法：两个三角形的一个角和两边分别成比例，则这两个三角形相似。
•SSS判定法：两个三角形的三边分别成比例，则这两个三角形相似。
3.3 相似三角形的性质相似三角形有以下几个性质：•对应角相等。
•对应边成比例。
•对应的高线成比例。
•对应的中线成比例。
•对应的垂线成比例。
•对应的角平分线成比例。
3.4 相似三角形应用比例尺是指图形与实际物体的比值，可以用来计算实际物体的大小。
比例尺的制作需要用到相似三角形的知识，如图所示。
AB : PQ = 1 : 20000AC : PR = 1 : 30000假设一张地图上的两点A和B之间的实际距离为2公里，现在要制作一张比例尺为1:20,000的地图，请问在地图上A和B两点之间的距离应该画多长？解：首先，根据比例尺的定义可知：1厘米 = 20,000厘米；1公里 = 100,000厘米；所以比例尺是 1:20000，相当于 1厘米: 2公里。
由此可知，A和B两点在地图上的距离应该是 AB / 20000，因为 AB 的长度是实际长度的 1/20000，对应在地图上的就是 1厘米。
新苏科版九年级数学下册《6章 图形的相似 6.5 相似三角形的性质》教案_31
集体备课教案科目：初三数学总课时编号：课题相似三角形的性质（2）备课时间主备教师复备教师主备栏复备栏教学目标1．运用类比的思想方法，通过实践探索得出：相似三角形对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比；2．会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决问题；3．经历“操作——观察——探索——说理”的数学活动过程，发展合情推理和有条理的表达能力．教学重点：探索得出相似三角形，对应线段的比等于相似比．教学难点：利用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决问题．教学过程一、回顾旧知，导入新课全等三角形与相似三角形性质比较全等三角形相似三角形对应边相等对应边的比等于相似比对应角相等对应边相等周长相等周长的比等于相似比面积相等面积的比等于相似比的平方对应高相等对应高的比对应中线相等对应中线的比对应角平分线对应角平分线的比二、新课讲授（一）探索△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的高，设相似比为k，则那么''ADA Dk=问：你能有条理地表达理由吗？（二）证一证如图，△ABC∽△ A'B'C', △ABC与△ A'B'C'的相似比是k，AD、A 'D'是对应高．（三）发现新知相似三角形对应高的比等于相似比．追问：三角形中的特殊线段还有哪些？它们是否也具有类似的性质呢？你有何猜想？（四）提出问题问题一：△ABC∽△A'B'C' ，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，设相似比为k，那么＝?ADA'D'问：你能有条理地表达理由吗？问题二：△ABC∽△A'B'C' ，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线，设相似比为k，那么＝?ADA'D'问：你能有条理地表达理由吗？（五）解决问题1、△ABC∽△A'B'C'， AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的中线，设相似为k，ADA'D'＝?2、△ABC∽△A'B'C'，AD和A'D'分别是△ABC和△A'B'C'的角平分线，设相似比为k，（六）归纳结论1.相似三角形对应高的比等于相似比．2.相似三角形对应中线的比等于相似比．3.相似三角形对应角平分线的比等于相似比．一般地，如果△ABC∽△A'B'C'，相似比为k，点D、D'分别在BC、B'C'上，且BDkB'D'＝，那么ADkA'D'＝．相似三角形对应线段的比等于相似比三、例题精讲如图，D，E分别在AC，AB上，∠ADE＝∠B，AF⊥BC，AG⊥DE，垂足分别为F、G．若AD＝3，AB＝5，求：（1）的值；（2）△ADE与△ABC的周长的比，面积的比．ADA'D'＝?AGAF四、尝试应用1．两个相似三角形的相似比为2:3，它们的对应角平分线之比为_______，周长之比为_______，面积之比为_________．2．若两个相似三角形面积之比为16:9，则它们的对应高之比为_____，对应中线之比为_____．3．如图，△ABC∽△DBA，D为BC上一点，E、F分别是AC、AD的中点，且AB＝28cm，BC＝36cm， BE:BF＝________．4．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝36 cm，BC＝60cm，延长两腰BA，CD交于点O，OF⊥BC，交AD于E，EF＝32cm，求OF的长．第3题图第4题图五、拓展提高1、如图：△ABC是一块锐角三角形的余料，边长BC＝120 mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点在AB、AC上，这个正方形的零件的边长为多少？2、如图,△ABC中,BC=24㎝,高AD=12㎝,矩形EFGH的两个顶点E、F 在BC上,另两个顶点G、H在AC、AB上,且EF:EH=4:3,求EF、EH的长3、有一块三角形铁片ABC，BC=12cm，高AH=8cm，按下图（1）、（2）两种设计方案把它加工成一块矩形铁片DEFG，且要求矩形的长是宽的２倍，为了减少浪费，加工成的矩形铁片的面积应尽量大些。
苏科版数学九年级下册《6.5 相似三角形的性质》教学设计
苏科版数学九年级下册《6.5 相似三角形的性质》教学设计一. 教材分析《苏科版数学九年级下册》第六章第五节“相似三角形的性质”是学生在学习了相似三角形的判定和性质之后的内容。
本节课主要让学生掌握相似三角形的性质，并能运用性质解决一些几何问题。
教材通过丰富的例题和习题，帮助学生理解和掌握相似三角形的性质，为后续学习几何问题打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的判定和一些基本的性质。
但是，对于相似三角形的性质的理解和运用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和运用相似三角形的性质，提高他们的几何解决问题的能力。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，并能熟练运用。
2.能够运用相似三角形的性质解决一些几何问题。
3.提高学生分析问题、解决问题的能力。
四. 教学重难点1.相似三角形的性质的理解和运用。
2.解决几何问题时，如何运用相似三角形的性质。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例教学法和小组合作学习法。
通过设置问题，引导学生探究相似三角形的性质；通过案例分析，让学生理解和掌握相似三角形的性质；通过小组合作学习，培养学生的合作精神和团队意识。
六. 教学准备1.准备相关的教学PPT和教学案例。
2.准备一些几何问题，用于巩固和拓展学生的知识。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题，引导学生思考相似三角形的性质，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（15分钟）呈现相关的性质，并通过PPT和案例进行讲解，让学生理解和掌握相似三角形的性质。
3.操练（15分钟）让学生通过一些练习题，运用相似三角形的性质解决问题，巩固所学知识。
4.巩固（10分钟）通过一些几何问题，让学生运用相似三角形的性质解决问题，巩固所学知识。
5.拓展（10分钟）让学生通过小组合作学习，解决一些综合性问题，提高他们的分析问题和解决问题的能力。
6.小结（5分钟）对本节课的内容进行总结，让学生掌握相似三角形的性质，并能够运用到实际问题中。
苏科版数学九年级下册6.5《相似三角形的性质》教学设计
苏科版数学九年级下册6.5《相似三角形的性质》教学设计一. 教材分析苏科版数学九年级下册6.5《相似三角形的性质》是学生在学习了相似三角形的概念和性质之后的一个进一步学习的课题。
这部分内容主要让学生掌握相似三角形的性质，包括相似三角形的对应边成比例，对应角相等，以及相似三角形的面积比等于相似比的平方。
通过这部分的学习，学生可以更好地理解相似三角形的性质，并为后续的解三角形和不规则图形的面积计算打下基础。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了相似三角形的概念和性质，具备了一定的逻辑思维能力和空间想象能力。
但部分学生对相似三角形的性质理解不够深入，容易与全等三角形的性质混淆。
因此，在教学过程中，需要针对这部分学生进行重点讲解和引导。
三. 教学目标1.理解相似三角形的性质，包括对应边成比例，对应角相等。
2.能够运用相似三角形的性质解决实际问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和空间想象能力。
四. 教学重难点1.相似三角形的性质的理解和运用。
2.相似三角形的面积比的计算。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法和小组合作法进行教学。
通过设置问题，引导学生思考和探索相似三角形的性质；通过案例分析，让学生理解和运用相似三角形的性质；通过小组合作，培养学生的团队协作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和问题。
2.准备教学PPT和板书设计。
3.准备相关的练习题和作业。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入本节课的主题：相似三角形的性质。
例如，已知两个相似三角形的边长比例为2:3，求这两个三角形的面积比。
2.呈现（10分钟）讲解相似三角形的性质，包括对应边成比例，对应角相等。
通过PPT和板书，展示相似三角形的性质及其证明过程。
3.操练（10分钟）让学生通过PPT上的练习题进行自主训练，巩固相似三角形的性质。
教师巡回指导，解答学生的疑问。
4.巩固（10分钟）通过一组案例分析，让学生运用相似三角形的性质解决问题。
新苏科版九年级数学下册《6章图形的相似6.5相似三角形的性质》教案_17
15、已知如图， D是 AC边上的一点， BE ??AC， BE＝ AD， AE分别交 BD、 BC于点 F、G， ∠ 1 ＝ ∠ 2 。
２
（ 1）图中哪个三角形与△ FAD全等？证明你的结论。（ 2）求证： DF ＝FG· EF。
12、有一块三角形铁片 ABC， BC=12cm，高 AH=8cm，按下面（ 1）、（ 2）两种设计方案把它加工成 一块矩形铁片 DEFG，且要求矩形的长是宽的 2 倍， 为了减少浪费， 加工成的矩形铁片的面积应尽
B’
D’ C’
由此引出： 相似三角形对应高的比
问题 2、类似上述过程
直接写出：相似三角形对应中线、角平分线有怎样的关系？
尝试完成
1、两个相似三角形的面积之比为 9︰16，则它们的对应高之比为 _ ____ 。 2、如图所示，已知△ ABC∽△ A/ B/ C/ , 且 AB︰ A/ B/＝ 3︰ 2，若 AD与 A/ D/ 分别是 △ ABC与△ A/ B/ C/ 的对应中线。 （ 1）你发现还有哪些三角形相似？（ 2）若 AD＝ 9cm，则 A/ D/ 的长是多少？ （ 3）若 BD与 B/ D/ 分别是这两个三角形 的对应高、对应角平分线，则△ ABD∽△ A/ B/ D/ 成立吗？
量大些。请你通过计算判断（ 1）、（ 2）两种设计方案哪个更好？
A
A
M
D
G
M
D
G
B
B
E
(1) H
C F
E
(2)
H
F
C
一种方案，用这批不锈钢片裁出面积达最大的正方形不锈钢片，并求出这种正方形不锈钢片的边
长．
A
C
B
例 3、如图，在四边形 ABCD 中， BC 3 ，AC 平分∠ BAD ，∠ ACB= ∠ ADC=9 0°,CF 和 DE 是 CD 2
苏科版数学九年级下册6.5《相似三角形的性》教学设计1
苏科版数学九年级下册6.5《相似三角形的性》教学设计1一. 教材分析苏科版数学九年级下册6.5《相似三角形的性质》是本册教材中的一个重要内容，是在学生已经掌握了相似三角形的概念和判定方法的基础上进行学习的。
本节课主要让学生了解相似三角形的性质，包括相似三角形的对应边成比例，对应角相等，以及相似三角形的面积公式。
这些性质在解决一些实际问题和证明一些几何问题时有着重要的作用。
二. 学情分析九年级的学生已经具备了一定的数学基础，对相似三角形的概念和判定方法已经有了一定的了解。
但是，学生可能对相似三角形的性质的理解和运用还存在一定的困难。
因此，在教学过程中，教师需要通过具体的例子和实际问题，引导学生理解和掌握相似三角形的性质。
三. 教学目标1.了解相似三角形的性质，包括对应边成比例，对应角相等。
2.能够运用相似三角形的性质解决一些实际问题和证明一些几何问题。
3.培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四. 教学重难点1.相似三角形的性质的理解和运用。
2.相似三角形面积公式的理解和运用。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过具体的例子和实际问题，引导学生探索和发现相似三角形的性质。
2.采用合作学习的方式，让学生在小组内讨论和分享自己的理解和思路，培养学生的合作意识和团队精神。
3.采用多媒体辅助教学，通过动画和图形，形象直观地展示相似三角形的性质。
六. 教学准备1.多媒体教学设备。
2.教学课件和教学素材。
3.练习题和测试题。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过一个实际问题引出相似三角形的性质，激发学生的学习兴趣。
问题：在同一个三角形ABC中，若AB=2BC，AC=3BC，求∠A，∠B，∠C的度数。
2.呈现（15分钟）教师通过多媒体展示相似三角形的性质，包括对应边成比例，对应角相等。
同时，教师引导学生进行观察和思考，发现这些性质。
3.操练（15分钟）教师给出一些练习题，让学生运用相似三角形的性质进行解答。
新苏科版九年级数学下册《6章图形的相似6.5相似三角形的性质》教案_34
D ． 1： 2
5．用一放大镜看一个直角三角形， 该三角形的边长放大到原来的 是()
10 倍后， 下列结论错误 10 倍
C．周长是原来的 10 倍
D．最小内角是原来的 10 倍
6．如果一个直角三角形的两条直角边长分别为
5 cm、 12 cm，另一个与其相似的直角三角
归纳：相似三角形对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比
2 、如图，如果△ ABC∽△ A′B′ C′，相似比为 k，点 G、G′分别在 BC、B′ C′上，且 BG k, BG
那么 AG
，请证明你的结论，
AG
归纳： 三．典型例题
1 、相似三角形对应角平分线的比为 3:5 ，那么相似比为
，对应中线之比为
，
对应边的高之比为
，周长的比为
，面积的比为
.
2 、如图， AF 是△ ABC 的高，点 D 、 E 分别在 AB 、 AC 上，且 DE‖BC， DE交 AF 于点 G。
设 DE=6，BC=10， GF=5，求点 A 到 DE、BC的距离。
3 、如图，在△ ABC中， AB=AC，正方形 DEFG的顶点 D、 G分别在 AB、AC上， EF在 BC上。设 AB=5， BC=6，求正方形 DEFG的边长。
______；对应角平分线的比为 ______；周长的比为 ______；面积的比为 ______．
(2)若两个相似三角形的面积比是 的中线的比为 _______ ．
4： 9，则这两个三角形的周长比为 _______，对应边上
(3)如果两个相似三角形的周长分别为 平分线的比为 _______ ．
15 cm 和 25 cm ，那么这两个相似三角形对应的角
九年级数学下册相似三角形的性质学案苏科版
课题： 6.5相似三角形的性质（1）学习目标：1．探索相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题；2．发展学生合情推理和有条理的表达能力．学习重点：理解相似三角形的性质，能运用相似三角形的性质解决有关的问题． 学习难点：能根据已知条件，构建数学模型，有条理的说理．学习过程：一.【情境创设】如图，△ABC ∽△A′B′C′，你能得到什么？二.【问题探究】 问题1 如图，点D 、E 、F 分别是△ABC 各边的中点，（1）△DEF 与△ABC 相似吗？为什么？ （2）这两个三角形的相似比是多少？（3）这两个三角形的周长、面积有什么关系？问题2. 继续取△DEF 的各边中点M 、N 、P ，得到下图．（1）△MNP 与△ABC 相似吗？为什么？ （2）这两个三角形的相似比是多少？（3）这两个三角形的周长、面积有什么关系？问题3. 推理猜测与验证根据刚才的探究，你有什么猜想？1．相似三角形周长的比等于 2．相似三角形面积的比等于验证如图，△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比是k ，AD 、A ′D ′ A′B′ C′ B CA C AB E DF M N PC AB F D E是对应高． 求证 相似三角形的面积比等于相似比的平方归纳：1．相似三角形周长的比等于 ；相似三角形面积的比等于 2．相似多边形周长的比等于 ；相似多边形面积的比等于 巩固练习：1．两个相似三角形的相似比为2:3，它们的对应边之比为 ，周长之比为 ，面积之比为 ．2．若两个三角形面积之比为16:9，则它们的周长之比为__ ___．3．两个相似多边形的面积之比为1:4，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别为__ ___．三.【拓展提升】问题4 如图，在▱ABCD 中，E 是CD 的延长线上一点，且，BE 与AD 交于点F ．（1）求证：AF=2FD ；（2）若△DEF 的面积为2，求▱ABCD 的面积．四.【课堂小结】通过本节课的学习，你有什么体会？说出来告诉大家五.【反馈练习】在比例尺为1:500的地图上，测得一个三角形地块ABC 的周长为12 cm ，、面积为6cm 2，求这个地块的实际周长和面积．D C B A D 'C 'B 'A '中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．下列图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据中心对称图形和轴对称图形对各选项分析判断即可得解．【详解】A 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项错误；B 、不是中心对称图形，是轴对称图形，故本选项错误；C 、既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项正确；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项错误．故选C ．【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2．如图，△ABC 中，AD 是中线，BC=8，∠B=∠DAC ，则线段 AC 的长为（ ）A ．3B ．2C ．6D ．4【答案】B 【解析】由已知条件可得ABC DAC ~,可得出AC BC DC AC=,可求出AC 的长． 【详解】解：由题意得：∠B=∠DAC ，∠ACB=∠ACD,所以ABC DAC ~，根据“相似三角形对应边成比例”，得AC BC DC AC=，又AD 是中线，BC=8，得DC=4,代入可得AC=42故选B.【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质．灵活运用相似的性质可得出解答．3．若一元二次方程x 2﹣2x+m=0有两个不相同的实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．m≥1B ．m≤1C ．m ＞1D ．m ＜1【答案】D【解析】分析：根据方程的系数结合根的判别式△＞0，即可得出关于m 的一元一次不等式，解之即可得出实数m 的取值范围．详解：∵方程2x 2x m 0-+=有两个不相同的实数根，∴()2240m =-->，解得：m ＜1．故选D ．点睛：本题考查了根的判别式，牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．4．已知关于x 的方程()2kx 1k x 10+--=，下列说法正确的是 A ．当k 0=时，方程无解B ．当k 1=时，方程有一个实数解C ．当k 1=-时，方程有两个相等的实数解D ．当k 0≠时，方程总有两个不相等的实数解【答案】C【解析】当k 0=时，方程为一元一次方程x 10-=有唯一解．当k 0≠时，方程为一元二次方程，的情况由根的判别式确定：∵()()()221k 4k 1k 1∆=--⋅⋅-=+，∴当k 1=-时，方程有两个相等的实数解，当k 0≠且k 1≠-时，方程有两个不相等的实数解．综上所述，说法C 正确．故选C ．5．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．6．如图，在正方形ABCD中，E为AB的中点，G，F分别为AD、BC边上的点，若AG=1，BF=2，∠GEF=90°，则GF的长为( )A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=90°，∴∠AGE+∠AEG=90°，∠BFE+∠FEB=90°，∵∠GEF=90°，∴∠GEA+∠FEB=90°，∴∠AGE=∠FEB ，∠AEG=∠EFB ，∴△AEG ∽△BFE ， ∴AE AG BF BE=， 又∵AE=BE ，∴AE 2=AG•BF=2，∴，∴GF 2=GE 2+EF 2=AG 2+AE 2+BE 2+BF 2=1+2+2+4=9，∴GF 的长为3，故选B.【点睛】本题考查了相似三角形的性质的应用，利用勾股定理即可得解，解题的关键是证明△AEG ∽△BFE ．7．在△ABC 中，若21cos (1tan )2A B -+-=0，则∠C 的度数是（ ） A ．45°B ．60°C ．75°D ．105° 【答案】C【解析】根据非负数的性质可得出cosA 及tanB 的值，继而可得出A 和B 的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C 的度数．【详解】由题意，得 cosA=12，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°，∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-60°-45°=75°．故选C ．8．函数2y ax b y ax bx c =+=++和在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据a 、b 的符号，针对二次函数、一次函数的图象位置，开口方向，分类讨论，逐一排除．【详解】当a ＞0时，二次函数的图象开口向上，一次函数的图象经过一、三或一、二、三或一、三、四象限，故A 、D 不正确；由B 、C 中二次函数的图象可知，对称轴x=-2ba ＞0，且a ＞0，则b ＜0，但B 中，一次函数a ＞0，b ＞0，排除B ．故选C ．9．不等式组325521x x +>⎧⎨-≥⎩的解在数轴上表示为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】先解每一个不等式，再根据结果判断数轴表示的正确方法．【详解】解：由不等式①，得3x ＞5-2，解得x ＞1，由不等式②，得-2x≥1-5，解得x≤2，∴数轴表示的正确方法为C ．故选C ．【点睛】考核知识点：解不等式组.10．如图，一个斜边长为10cm的红色三角形纸片，一个斜边长为6cm的蓝色三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是（）A．60cm2B．50cm2C．40cm2D．30cm2【答案】D【解析】标注字母，根据两直线平行，同位角相等可得∠B=∠AED，然后求出△ADE和△EFB相似，根据相似三角形对应边成比例求出53DEBF=，即53EFBF=，设BF=3a，表示出EF=5a，再表示出BC、AC，利用勾股定理列出方程求出a的值，再根据红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积计算即可得解．【详解】解:如图，∵正方形的边DE∥CF，∴∠B=∠AED，∵∠ADE=∠EFB=90°，∴△ADE∽△EFB，∴10563 DE AEBF BE===，∴53 EFBF=，设BF=3a，则EF=5a，∴BC=3a+5a=8a，AC=8a×53=403a，在Rt△ABC中，AC1+BC1=AB1，即（403a）1+（8a）1=（10+6）1，解得a1=18 17，红、蓝两张纸片的面积之和=12×403a×8a-（5a）1，=1603a1-15a1，=853a1，=853×1817，=30cm1．故选D．【点睛】本题考查根据相似三角形的性质求出直角三角形的两直角边，利用红、蓝两张纸片的面积之和等于大三角形的面积减去正方形的面积求解是关键.二、填空题（本题包括8个小题）11．有五张分别印有等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案的卡片（这些卡片除图案不同外，其余均相同）．现将有图案的一面朝下任意摆放，从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为_____．【答案】3 5【解析】判断出即是中心对称，又是轴对称图形的个数，然后结合概率计算公式，计算，即可．【详解】解：等边三角形、正方形、正五边形、矩形、正六边形图案中既是中心对称图形，又是轴对称图形是：正方形、矩形、正六边形共3种，故从中任意抽取一张，抽到卡片的图案既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为：．故答案为．【点睛】考查中心对称图形和轴对称图形的判定，考查概率计算公式，难度中等．12．在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，点P在AB上．若将△DAP沿DP折叠，使点A 落在矩形对角线上的处，则AP的长为__________．【答案】32或94【解析】①点A落在矩形对角线BD上，如图1，∵AB=4，BC=3，∴BD=5，根据折叠的性质，AD=A′D=3，AP=A′P，∠A=∠PA′D=90°，∴BA′=2，设AP=x，则BP=4﹣x，∵BP2=BA′2+PA′2，∴（4﹣x）2=x2+22，解得：x=32，∴AP=32；②点A落在矩形对角线AC上，如图2，根据折叠的性质可知DP⊥AC，∴△DAP∽△ABC，∴AD AB AP BC=，∴AP=AD BCAB=334⨯=94．故答案为32或94．13．如图，在平面直角坐标系中，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M，N为圆心．大于12MN的长为半径画弧，两弧在第二象限内交于点p(a，b)，则a与b的数量关系是________．【答案】a+b=1．【解析】试题分析：根据作图可知，OP 为第二象限角平分线，所以P 点的横纵坐标互为相反数，故a+b=1.考点：1角平分线；2平面直角坐标系.14．计算：()()5353+-=_________ . 【答案】2【解析】利用平方差公式求解，即可求得答案．【详解】()()5353+-=（5）2-（3）2=5-3=2. 故答案为2.【点睛】此题考查了二次根式的乘除运算．此题难度不大，注意掌握平方差公式的应用． 15．如图，在矩形ABCD 中，AB=3，BC=5，在CD 上任取一点E ，连接BE ，将△BCE 沿BE 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处，则CE 的长为_____．【答案】53【解析】设CE=x ，由矩形的性质得出AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．由折叠的性质得出BF=BC=5，EF=CE=x ，DE=CD-CE=3-x ．在Rt △ABF 中利用勾股定理求出AF 的长度，进而求出DF 的长度；然后在Rt △DEF 根据勾股定理列出关于x 的方程即可解决问题．【详解】设CE=x ．∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC=5，CD=AB=3，∠A=∠D=90°．∵将△BCE 沿BE 折叠，使点C 恰好落在AD 边上的点F 处，∴BF=BC=5，EF=CE=x ，DE=CD-CE=3-x ．在Rt △ABF 中，由勾股定理得：AF 2=52-32=16，∴AF=4，DF=5-4=1．在Rt △DEF 中，由勾股定理得：EF 2=DE 2+DF 2，即x 2=（3-x ）2+12，解得：x=53， 故答案为53． 16．2(2) =__________【答案】2；【解析】试题解析：先求-2的平方4，再求它的算术平方根，即：2-2=4=2（）.17．如图，抛物线y ＝ax 2+bx+c 与x 轴相交于A 、B 两点，点A 在点B 左侧，顶点在折线M ﹣P ﹣N 上移动，它们的坐标分别为M （﹣1，4）、P （3，4）、N （3，1）．若在抛物线移动过程中，点A 横坐标的最小值为﹣3，则a ﹣b+c 的最小值是_____．【答案】﹣1．【解析】由题意得：当顶点在M 处，点A 横坐标为-3，可以求出抛物线的a 值；当顶点在N处时，y=a-b+c取得最小值，即可求解．【详解】解：由题意得：当顶点在M处，点A横坐标为-3，则抛物线的表达式为：y=a（x+1）2+4，将点A坐标（-3，0）代入上式得：0=a（-3+1）2+4，解得：a=-1，当x=-1时，y=a-b+c，顶点在N处时，y=a-b+c取得最小值，顶点在N处，抛物线的表达式为：y=-（x-3）2+1，当x=-1时，y=a-b+c=-（-1-3）2+1=-1，故答案为-1．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，本题的核心是确定顶点在M、N处函数表达式，其中函数的a值始终不变．18．肥皂泡的泡壁厚度大约是0.0007mm，0.0007mm用科学记数法表示为_______mm．【答案】7×10-1．【解析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10-n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．【详解】0.0007=7×10-1．故答案为：7×10-1．【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．三、解答题（本题包括8个小题）19．探究：在一次聚会上，规定每两个人见面必须握手，且只握手1次若参加聚会的人数为3，则共握手次：；若参加聚会的人数为5，则共握手次；若参加聚会的人数为n （n为正整数），则共握手次；若参加聚会的人共握手28次，请求出参加聚会的人数．拓展：嘉嘉给琪琪出题：“若线段AB上共有m个点（含端点A，B），线段总数为30，求m的值．”琪琪的思考：“在这个问题上，线段总数不可能为30”琪琪的思考对吗？为什么？【答案】探究：（1）3，1；（2）(1)2n n-；（3）参加聚会的人数为8人；拓展：琪琪的思考对，见解析.【解析】探究：（1）根据握手次数=参会人数×（参会人数-1）÷2，即可求出结论；（2）由（1）的结论结合参会人数为n，即可得出结论；（3）由（2）的结论结合共握手28次，即可得出关于n的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；拓展：将线段数当成握手数，顶点数看成参会人数，由（2）的结论结合线段总数为2，即可得出关于m的一元二次方程，解之由该方程的解均不为整数可得出琪琪的思考对．【详解】探究：（1）3×（3-1）÷2=3，5×（5-1）÷2=1．故答案为3；1．（2）∵参加聚会的人数为n（n为正整数），∴每人需跟（n-1）人握手，∴握手总数为()12n n-．故答案为()12n n-．（3）依题意，得：()12n n-=28，整理，得：n2-n-56=0，解得：n1=8，n2=-7（舍去）．答：参加聚会的人数为8人．拓展：琪琪的思考对，理由如下：如果线段数为2，则由题意，得：()12m m-=2，整理，得：m2-m-60=0，解得m1=1241+，m2=1-241（舍去）．∵m为正整数，∴没有符合题意的解，∴线段总数不可能为2．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题的关键是：（1）根据各数量之间的关系，列式计算；（2）根据各数量之间的关系，用含n的代数式表示出握手总数；（3）（拓展）找准等量关系，正确列出一元二次方程．20．如图，在ABCD中，点E是AB边的中点，DE与CB的延长线交于点F．求证：△ADE≌△BFE；若DF平分∠ADC，连接CE．试判断CE和DF的位置关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（1）见解析．【解析】（1）由全等三角形的判定定理AAS证得结论．（1）由（1）中全等三角形的对应边相等推知点E是边DF的中点，∠1=∠1；根据角平分线的性质、等量代换以及等角对等边证得DC=FC，则由等腰三角形的“三合一”的性质推知CE⊥DF．【详解】解：（1）证明：如图，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC．又∵点F在CB的延长线上，∴AD∥CF．∴∠1=∠1．∵点E是AB边的中点，∴AE=BE，∵在△ADE与△BFE中，12DEA FEB AE BE∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△ADE≌△BFE（AAS）．（1）CE⊥DF．理由如下：如图，连接CE，由（1）知，△ADE≌△BFE，∴DE=FE，即点E是DF的中点，∠1=∠1．∵DF平分∠ADC，∴∠1=∠2．∴∠2=∠1．∴CD=CF．∴CE⊥DF．21．如图，已知，等腰Rt△OAB中，∠AOB=90°，等腰Rt△EOF中，∠EOF=90°，连结AE、BF．求证：（1）AE=BF；（2）AE⊥BF．【答案】见解析【解析】（1）可以把要证明相等的线段AE，CF放到△AEO，△BFO中考虑全等的条件，由两个等腰直角三角形得AO=BO，OE=OF，再找夹角相等，这两个夹角都是直角减去∠BOE的结果，所以相等，由此可以证明△AEO≌△BFO；（2）由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，由此可以证明AE⊥BF【详解】解：（1）证明：在△AEO与△BFO中，∵Rt△OAB与Rt△EOF等腰直角三角形，∴AO=OB，OE=OF，∠AOE=90°-∠BOE=∠BOF，∴△AEO≌△BFO，∴AE=BF；（2）延长AE交BF于D，交OB于C，则∠BCD=∠ACO由（1）知：∠OAC=∠OBF，∴∠BDA=∠AOB=90°，∴AE⊥BF．22．如图，足球场上守门员在O处开出一高球，球从离地面1米的A处飞出（A在y轴上），运动员乙在距O点6米的B处发现球在自己头的正上方达到最高点M，距地面约4米高，球落地后又一次弹起．据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半．求足球开始飞出到第一次落地时，该抛物线的表达式．足球第一次落地点C 距守门员多少米？（取437=）运动员乙要抢到第二个落点D ，他应再向前跑多少米？【答案】（1）21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）足球第一次落地距守门员约13米．（3）他应再向前跑17米．【解析】（1）依题意代入x 的值可得抛物线的表达式．（2）令y=0可求出x 的两个值，再按实际情况筛选．（3）本题有多种解法．如图可得第二次足球弹出后的距离为CD ，相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位可得解得x 的值即可知道CD 、BD ．【详解】解：（1）如图，设第一次落地时，抛物线的表达式为2(6)4y a x =-+．由已知：当0x =时1y =．即1136412a a =+∴=-，． ∴表达式为21(6)412y x =--+．（或21112y x x =-++）（2）令210(6)4012y x =--+=，． 212(6)48436134360x x x ∴-==+≈=-+<．，（舍去）． ∴足球第一次落地距守门员约13米．（3）解法一：如图，第二次足球弹出后的距离为CD根据题意：CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位）212(6)412x ∴=--+解得12626626x x =-=+，． 124610CD x x ∴=-=≈．1361017BD ∴=-+=（米）．答：他应再向前跑17米．23．如图，已知A ，B 两点在数轴上，点A 表示的数为-10，OB=3OA ，点M 以每秒3个单位长度的速度从点A 向右运动．点N 以每秒2个单位长度的速度从点O 向右运动（点M 、点N 同时出发）数轴上点B 对应的数是______．经过几秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等？【答案】（1）1；（2）经过2秒或2秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等【解析】试题分析：（1）根据OB=3OA ，结合点B 的位置即可得出点B 对应的数； （2）设经过x 秒，点M 、点N 分别到原点O 的距离相等，找出点M 、N 对应的数，再分点M 、点N 在点O 两侧和点M 、点N 重合两种情况考虑，根据M 、N 的关系列出关于x 的一元一次方程，解之即可得出结论．试题解析：（1）∵OB=3OA=1，∴B对应的数是1．（2）设经过x秒，点M、点N分别到原点O的距离相等，此时点M对应的数为3x-2，点N对应的数为2x．①点M、点N在点O两侧，则2-3x=2x，解得x=2；②点M、点N重合，则，3x-2=2x，解得x=2．所以经过2秒或2秒，点M、点N分别到原点O的距离相等．24．山地自行车越来越受中学生的喜爱．一网店经营的一个型号山地自行车，今年一月份销售额为30000元，二月份每辆车售价比一月份每辆车售价降价100元，若销售的数量与上一月销售的数量相同，则销售额是27000元．求二月份每辆车售价是多少元？为了促销，三月份每辆车售价比二月份每辆车售价降低了10%销售，网店仍可获利35%，求每辆山地自行车的进价是多少元？【答案】（1）二月份每辆车售价是900元；（2）每辆山地自行车的进价是600元．【解析】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据数量=总价÷单价，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据利润=售价﹣进价，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论．【详解】（1）设二月份每辆车售价为x元，则一月份每辆车售价为（x+100）元，根据题意得：3000027000100x x=+，解得：x=900，经检验，x=900是原分式方程的解，答：二月份每辆车售价是900元；（2）设每辆山地自行车的进价为y元，根据题意得：900×（1﹣10%）﹣y=35%y，解得：y=600，答：每辆山地自行车的进价是600元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键.25．一个不透明的袋子中，装有标号分别为1、-1、2的三个小球，他们除标号不同外，其余都完全相同；搅匀后，从中任意取一个球，标号为正数的概率是；搅匀后，从中任取一个球，标号记为k，然后放回搅匀再取一个球，标号记为b，求直线y=kx+b 经过一、二、三象限的概率.【答案】（1）23；（2）49【解析】（1）直接运用概率的定义求解；（2）根据题意确定k>0,b>0，再通过列表计算概率.【详解】解：(1)因为1、-1、2三个数中由两个正数，所以从中任意取一个球，标号为正数的概率是2 3 .(2)因为直线y=kx+b经过一、二、三象限，所以k>0,b>0，又因为取情况：共9种情况，符合条件的有4种，所以直线y=kx+b经过一、二、三象限的概率是4 9 .【点睛】本题考核知识点：求规概率. 解题关键：把所有的情况列出，求出要得到的情况的种数，再用公式求出.26．如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方23米处的点C 出发,沿斜面坡度1:3i 的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米.已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC,AB//DE.求旗杆AB的高度.（参考数据：sin37°≈35，cos37°≈45，tan37°≈34.计算结果保留根号）【答案】33+3.5【解析】延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，Rt△CDF中求得CF=CDcos∠DCF=23、DF=CD=2，作EG⊥AB，可得GE=BF=4、GB=EF=3.5，再求出AG=GEtan∠3可得答案．【详解】如图，延长ED交BC延长线于点F，则∠CFD=90°，∵tan∠1333，∴∠DCF=30°，∵CD=4，∴DF=12CD=2，CF=CDcos∠DCF=4×323∴333过点E作EG⊥AB于点G，则3GB=EF=ED+DF=1.5+2=3.5，又∵∠AED=37°，∴AG=GEtan∠3，则33，故旗杆AB的高度为（3）米．考点：1、解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；2、解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题中考数学模拟试卷一、选择题（本题包括10个小题，每小题只有一个选项符合题意）1．如图，已知BD 是ABC △的角平分线，ED 是BC 的垂直平分线，90BAC ∠=︒，3AD =，则CE 的长为（ ）A ．6B ．5C ．4D ．33【答案】D【解析】根据ED 是BC 的垂直平分线、BD 是角平分线以及∠A=90°可求得∠C=∠DBC=∠ABD=30°，从而可得CD=BD=2AD=6，然后利用三角函数的知识进行解答即可得.【详解】∵ED 是BC 的垂直平分线，∴DB=DC ， ∴∠C=∠DBC ，∵BD 是△ABC 的角平分线， ∴∠ABD=∠DBC ，∵∠A=90°，∴∠C+∠ABD+∠DBC=90°， ∴∠C=∠DBC=∠ABD=30°， ∴BD=2AD=6， ∴CD=6， ∴3 故选D ． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，含30度角的直角三角形的性质，余弦等，结合图形熟练应用相关的性质及定理是解题的关键.2．把不等式组2010xx-⎧⎨+<⎩的解集表示在数轴上，正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】首先解出各个不等式的解集，然后求出这些解集的公共部分即可．【详解】解：由x﹣2≥0，得x≥2，由x+1＜0，得x＜﹣1，所以不等式组无解，故选B．【点睛】解不等式组时要注意解集的确定原则：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解了．3．某公园里鲜花的摆放如图所示，第①个图形中有3盆鲜花，第②个图形中有6盆鲜花，第③个图形中有11盆鲜花，……，按此规律，则第⑦个图形中的鲜花盆数为（）A．37 B．38 C．50 D．51【答案】D【解析】试题解析：第①个图形中有3盆鲜花，第②个图形中有336+=盆鲜花，第③个图形中有33511++=盆鲜花， …第n 个图形中的鲜花盆数为23357(21)2n n ++++⋯++=+， 则第⑥个图形中的鲜花盆数为26238.+= 故选C.4．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率绘出的统计图如图，则符合这一结果的实验可能是（ ）A ．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率B ．抛一枚硬币，出现正面的概率C ．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率D ．任意写一个整数，它能被2整除的概率 【答案】C【解析】解：A ．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率为16，故此选项错误； B ．掷一枚硬币，出现正面朝上的概率为12，故此选项错误； C ．从一装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是：11123=+≈0.33；故此选项正确；D ．任意写出一个整数，能被2整除的概率为12，故此选项错误． 故选C ．5．如图，正六边形ABCDEF 内接于O ，M 为EF 的中点，连接DM ，若O 的半径为2，则MD 的长度为( )A ．7B ．5C ．2D ．1【答案】A【解析】连接OM 、OD 、OF ，由正六边形的性质和已知条件得出OM ⊥OD ，OM ⊥EF ，∠MFO=60°，由三角函数求出OM ，再由勾股定理求出MD 即可． 【详解】连接OM 、OD 、OF ，∵正六边形ABCDEF 内接于⊙O ，M 为EF 的中点， ∴OM ⊥OD ，OM ⊥EF ，∠MFO=60°， ∴∠MOD=∠OMF=90°， ∴OM=OF•sin ∠MFO=2×3=3， ∴MD=()2222327OM OD +=+=，故选A ．【点睛】本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、三角函数、勾股定理；熟练掌握正六边形的性质，由三角函数求出OM 是解决问题的关键． 6．下列等式从左到右的变形,属于因式分解的是A．8a2b=2a·4ab B．-ab3-2ab2-ab=-ab(b2+2b)C．4x2+8x-4=4x12-xx⎛⎫+⎪⎝⎭D．4my-2=2(2my-1)【答案】D【解析】根据因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式，可得答案．【详解】解：A、是整式的乘法，故A不符合题意；B、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故B不符合题意；C、没把一个多项式转化成几个整式积的形式，故C不符合题意；D、把一个多项式转化成几个整式积的形式，故D符合题意；故选D．【点睛】本题考查了因式分解的意义，因式分解是把一个多项式转化成几个整式积的形式．7．下列大学的校徽图案是轴对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误；B、是轴对称图形，故本选项正确；C、不是轴对称图形，故本选项错误；D、不是轴对称图形，故本选项错误．故选：B．【点睛】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．8．某工程队开挖一条480米的隧道，开工后，每天比原计划多挖20米，结果提前4天完成任务，若设原计划每天挖x米，那么求x时所列方程正确的是（）A．480480420x x-=-B．480480204x x-=+C．480480420x x-=+D．480480204x x-=-【答案】C【解析】本题的关键描述语是：“提前1天完成任务”；等量关系为：原计划用时−实际用时＝1．【详解】解：原计划用时为：480x，实际用时为：48020x+．所列方程为：480480420x x-=+，故选C．【点睛】本题考查列分式方程，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．9．如图，在⊙O中，弦BC＝1，点A是圆上一点，且∠BAC＝30°，则BC的长是( )A．πB．13πC．12πD．16π【答案】B【解析】连接OB，OC．首先证明△OBC是等边三角形，再利用弧长公式计算即可．【详解】解：连接OB，OC．∵∠BOC＝2∠BAC＝60°，∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝OC＝BC＝1，∴BC的长＝6011803ππ⋅⋅=，故选B．【点睛】考查弧长公式，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．10．已知，C是线段AB的黄金分割点，AC＜BC，若AB=2，则BC=（）A．3﹣5B．125）C5 1 D．1251）【答案】C【解析】根据黄金分割点的定义，知BC为较长线段；则BC=512AB，代入数据即可得出BC的值．【详解】解：由于C为线段AB=2的黄金分割点，且AC＜BC，BC为较长线段；则BC=2×51-5．5．【点睛】本题考查了黄金分割，应该识记黄金分割的公式：较短的线段=原线段的352倍，较长的线段=原线段的51-倍．二、填空题（本题包括8个小题）11．如果关于x的方程2x2x m0-+=（m为常数）有两个相等实数根，那么m＝______．【答案】1【解析】析：本题需先根据已知条件列出关于m的等式，即可求出m的值．解答：解：∵x的方程x2-2x+m=0（m为常数）有两个相等实数根∴△=b2-4ac=（-2）2-4×1?m=04-4m=0m=1故答案为112．如图所示,直线y=x+1(记为l1)与直线y=mx+n(记为l2)相交于点P(a,2),则关于x的不等式x+1≥mx+n的解集为__________.【答案】x≥1【解析】把y=2代入y=x+1，得x=1，∴点P的坐标为（1，2），根据图象可以知道当x≥1时，y=x+1的函数值不小于y=mx+n相应的函数值，因而不等式x+1≥mx+n的解集是：x≥1，故答案为x≥1．【点睛】本题考查了一次函数与不等式（组）的关系及数形结合思想的应用．解决此类问题关键是仔细观察图形，注意几个关键点（交点、原点等），做到数形结合．。
新苏科版九年级数学下册《6章图形的相似6.5相似三角形的性质》教案_30
数学教学设计
教 材： 义务教育教科书·数学（九年级下册）
6.5 相似三角形的性相似三角形的性质解决有关的问题． 标
2．经历操作、探索、合作、交流等活动，营造和谐、平等的学习氛围．
点
理解相似三角形的性质，能运用相似三角形的性质解决有关的问题．
巩固新知识 的学生发挥不同
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3．在一张比例尺为 5:1 的图纸上，量得一个零部件的周长是 积是 6cm2，求这个零部件的实际周长和面积．
3.6 cm，面
节课的学习你有什么体会？说出 ．
学生自由表述，其他学生补充． 课后学生独立完成．
通过学生小 了自己的知识系 学生的口头表达 生勇于发表自己
图，在△ ABC 中，点 D 、E 分别在 AB 、 练一练：
C.
1．相似三角形对应边的比值为
=3∶ 2，求△ ADE 与四边形 DBCE 面 为 ，面积的比为＿＿．
2．已知 △ ABC 的三边长分别为 长为 15．
求 △ A′B′的C′面积．
0.4 ，那么相似比为
, 周长的比
3、4、5，与它相似的 △ A′ B′的C最′大边
A
思考验证 2: 相似三角形面积的比等于相似比的平方。
如图，△ ABC∽△ A′B′C′，△ ABC 与△ A′B′C′的相似比是 k，AD、A′D ′是 对应高．
A
A′
M
E
F
N
P
B
D
C
B
C B′
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C′
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苏科初中数学九年级下册《6.5 相似三角形的性质》教案 (3).doc
1相似三角形性质课型：新授 主备： 审核：学习目标：1．通过“操作—观察—探索—说理”等数学活动过程，经历相似三角形、相似多边形性质的探究过程。
2．在探究中体会从特殊到一般；把多边形转化为三角形（转化）等数学思想。
3．会运用相似三角形、相似多边形性质解决简单的几何问题。
学习重点：相似三角形（多边形）的性质探究和应用。
学习难点：相似三角形（多边形）的性质的探究过程。
一、情境导入：在比例尺为1：500的地图上，测得一个三角形地块ABC 的周长为12cm,面积为6 cm 2,求这个地块的实际周长和面积。
问题1: 在这个问题中,地图上的三角形地块与实际地块是什么关系? 1:500表示什么含义? 问题2: 要解决这个问题,需要什么知识?二、探索新知：1、问题：图中(1)、(2)、(3)分别是边长为1、2、3的等边三角形，相似吗？(2)与(1)的相似比＝____，(2)与(1)的面积比＝___ _; 周长比＝ (3)与(1)的相似比＝_ __，(3)与(1)的面积比＝ _;周长比＝2、观察与思考：如果：△ABC ∽△A ’B ’C ’，那么△ABC 与△A ’B ’C ’的周长比等于相似比吗？归纳： 性质1：相似三角形的周长比等于 类似的：相似多边形的周长的比等于3、继续探究：如果：△ABC ∽△A ’B ’C ’，那么△ABC 与△A ’B ’C ’的面积比和相似比又有什么关系呢？2归纳：性质2相似三角形的面积比等于 类似的：相似多边形的面积的比等于三、性质简单的运用：1．给形状相同且对应边的比为1：2的两块表牌的表面积涂油漆，如果小标牌用油漆半听，那么大标牌用油漆 。
2．两个相似多边形面积的比9：16，（1）其中较小的多边形的周长为36cm ,则另一个多边形的周长 。
（2）两个多边形的周长之和是42cm,则两个多边形的周长分别是四、例题讲解:例1、如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，DE ∥BC ，AD ：DB ＝3：2，求四边形DBCE 与△ADE 的面积比。
【苏科版九年级数学下册教案】6.5相似三角形的性质(第1课时)
6.5 相似三角形的性质第 1课时学习目标：1．研究相似三角形的性质，会运用相似三角形的性质解决有关的问题．2．发展学生合情推理和有条理的表达能力．学习要点：理解相似三角形的性质，能运用相似三角形的性质解决有关的问题．学习难点：能依据已知条件，成立数学模型，有条理的说理．学习过程：复习回顾：如图，△ ABC∽△ A′B′C′，你能获取什么？A A′BC B′C′合作研究：想一想：1．如图，点D、 E、F 分别是△ ABC 各边的中点，（1）△ DEF与△ ABC相似吗？为何？（2）这两个三角形的相似比是多少？（3）这两个三角形的周长、面积有什么关系？AF EB CD2．连续取△ DEF 的各边中点 M 、 N 、 P ，获取右图．（ 1）△ MNP 与△ ABC 相似吗？为何？ （ 2）这两个三角形的相似比是多少？（ 3）这两个三角形的周长、面积有什么关系？AME FNPBCD依据刚刚的研究，你有什么猜想？ 1．相似三角形周长的比等于 _______________ ． 2．相似三角形面积的比等于 _______________ ．如何考据我们的猜想？思虑考据 :A A ′BCB ′C ′假如△ ABC ∽ △A ′B ′C ′，相似比为 k ， 那么，AB___ A' B'CA ____ C ' A'AB BC CA ，于是，，，ABBCCA_____因此，如图，△ ABC ∽△ A ′B ′C ′，△ ABC 与△ A ′B ′C ′的相似比是 k ， AD 、A ′D ′是对应高．BAA ′D CB ′’DC ′∵ △ABC ∽△ A'B'C' ，∴∠ B ＝∠ ____，∵ AD ⊥ BC ， A ′D ′⊥ B ′C ′，ADAB∴∠ ADB ＝∠ ______＝ 90°，∴△ ABD ∽△ _______，∴A DA B ＝ ____，S SABCA B C1BC ADBC AD2．1B C __ __A DA DB C2结论：1．相似三角形周长的比等于________________ ．2．相似三角形面积的比等于________________ ．近似的，我们还可以获取：1．相似多边形周长的比等于________________ ．2．相似多边形面积的比等于________________ ．试一试：1．两个相似三角形的相似比为2:3 ，它们的对应边之比为，周长之比为，面积之比为．2．若两个三角形面积之比为16:9 ，则它们的周长之比为_____．3．两个相似多边形的面积之比为1:4 ，周长之差为6，则这两个相似多边形的周长分别为_____．议一议：例题解析：例 1、在比率尺为 1:500 的地图上，测得一个三角形地块 ABC的周长为 12 cm，面积为 6cm2，求这个地块的实质周长和面积．例 2、若△ ABC∽△ DEF,△ABC 的面积为 81cm2,△DEF 的面积为 36cm2,且 AB=12cm,[ 本源则 DE=cm。
苏科版九年级数学下册 相似三角形的性质教案
《相似三角形的性质》教案教学目标知识与技能：知道相似三角形的性质，能应用性质解决简单问题；过程与方法：经历相似三角形各条性质的简单推理过程，进一步深化对相似三角形的认识； 情感态度价值观：经历讨论与交流、猜想与验证，发展说理习惯与能力，在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展合理推理能力，提高学习数学的兴趣和自信心．教学重难点重点：相似三角形的性质．难点：探究相似三角形的性质．教学过程一、复习引入1、师：什么叫相似三角形？相似比指的是什么？(找两个基础差一点的学生)2、师：全等三角形是相似三角形吗？全等三角形的相似比是多少啊？(此问题可以设为让学生抢答)3、师：相似三角形的判定方法有哪些？(此问题让多个同学补充回答)4、学生小组讨论：全等三角形除对应角、对应边相等外．其它元素如对应高、对应中线、对应角平分线、对应周长、对应面积也相等．学生和老师一起总结：类比全等三角形的定义已知相似三角形具有性质①对应角相等②对应边成比例．师：相似三角形还有其它的性质吗？本节我们就来探索相似三角形的其它性质．二、做一做根据图中标的数据，解答下列问题．师：(1)这两个三角形相似性相似吗？如果相似，相似比是多少？(让学生把证明相似的B C E 2 4方法说出来，找中等的同学)师：(1)求这两个三角形周长的比．(小组合作，找代表回答)师：(2)求这两个三角形面积的比．(小组合作，找代表回答)师：(3)求这两个三角形对应线段的比．(小组合作，找代表回答)三、一起探究看大屏幕，引出一般的相似三角形(1)相似三角形的周长比与相似比有什么关系？∵△ABC ∽△A ′B ′C ′， '''''''''''''''''''''''''''''''''A B C ABC AB BC CA k A B B C C A AB kA B BC kB C AC kA C AB BC CA A B B C C A kA B kB C kA C k A B B C A C C k C ∴===∴===++∴++++==++= 生集体回答：结论：相似三角形的周长比等于相似比．类似的，我们还可以得到：相似多边形的周长比等于相似比．(2)相似三角形的面积比与相似比有什么关系？解：作AD ⊥BC 于点D ，A ′D ′⊥B ′C ′于点D∵△ABC ∽△A ′B ′C ′''''AD BC k A D B C ∴==(相似三角形对应高的比等于相似比) 2'''1''''212A B C ABC B C A D S k k k S BC AD ∆∆⋅∴==⨯=⋅ 生：结论：相似三角形面积的比等于相似比的平方．类似的，我们还可以得到：相似多边形面积的比等于相似比的平方．师：我们还可以想到那些对应元素与相似比之间还有关系呢？(学生思考，有能力的同学主动站起来回答，老师给予一定的肯定和帮助．(3)如：△ABC ∽△A′B′C′，相似比AB ：A′B′=k ，AD 、A′D′分别为BC 、B′C′边上的高．(1)对应高AD ，A′D′与相似比k 之间有什么关系？`D `(小组讨论，找基础好一点的同学详细的说明解答过程．不足之处再让其他的同学补充． 老师给出答案：你是这样想的吗？△ABD 和△A′B′D′都是直角三角形，而∠B ＝∠B′因为有两个角对应相等，所以这两个三角形相似．那么：师：由此可以得出结论：生：相似三角形对应高的比等于相似比．师：和全等三角形类似我们可以把对应高改成哪些对应元素？(小组讨论)生：变化一：如果把对应的高改为对应边上的中线？变化二：如果把对应的高改为对应角的角平分线？此处两个变花的证明过程都由学生来完成图中，△ABC 和△A′B′C′相似，AD 、A′D′分别为对应边上的中线，BE 、B′E′分别为对应角的角平分线，那么它们之间与相似比有什么关系呢？可以得到的结论是：相似三角形对应角平分线的比等于相似比，对应中线的比也等于相似比．即相似三角形对应线段的比等于相似比．四、练习课本73页练习．五、课堂小结师：这节课你有哪些收获？六、布置作业课本74页2、3、4题．。
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所以∠BAM________∠EDN．
所以△ABM∽△____( )． 所以 _ _______．
归纳：相似三角形中对应角平分线的比 等于________．
热身练习
1．两个相似三角形的面积之比为9︰16，则它们的对应高之比为_____。
提示：要在Rt△ABC的内部截取一个面积最大的正方形，有两种可能
的截法，如图②、③，正方形Байду номын сангаас顶点都在△ABC的边上，可分别求出正方形
的面积，再比较大小．
2、如图所示，已知△ABC∽△A/B/C/,且AB︰A/B/＝3︰2，若AD与A/D/分别是
△ABC与△A/B/C/的对应中线。
（1）你发现还有哪些三角形相似？
2、已知△ABC∽△A´B´C´，且BC:B´C´=3:4,若△ABC的周长为9cm,则△A´B´C´的周长为____；若△A´B´C´的面积是16cm2,则△ABC的面积是_______.
3、将一个三角形的每条边都扩大到原来的5倍,那么新三角形的面积将扩大到原来的倍。
4、如图所示，△ABC∽△DBA，则m=，n=。
相似三角形的性质
班级姓名
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相似三角形的性质
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学习目标
1、运用类比的思想方法，通过实践探索得出相似三角形，对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相 似比；
2、会运用相似三角形对应高的比与相似比的性质解决有关问题。
重点
难点
利用相似三角形对应高的比与相似比的性质 解决问题。
学法指导
（2）若AD＝9cm，则A/D/的长是多少？
（3）若AD与A/D/分别是这两个三角形
的对应高、对应角平分线，则△ABD∽△A/B/D/成立吗？
3、如图，已知DE∥FG∥MN∥BC，且AD＝DF＝FM＝MB，
求S1:S２:S３:S4
课后反馈：
1、两个相似三角形的相似比为2：3，它们的对应角平分线之比为，周长之比为，面积之比为。
知识归纳，应用解题，合作讨论比较、课堂展示
一、 课前用表
备注
知识梳理，阅读课本106—107
1．相似三角形中对应高的比
如图1，因为△ABC∽△DEF，相似比为k，
所以∠B＝∠________， ________．
因为AM⊥BC，DN⊥EF，
所以∠AMB＝∠________＝∠________．
所以△ABM∽△____( )．
3．（2010．重庆）已知△ABC 与△DEF相似，且对应中线的比为2：3，则△ABC与△DEF的周长比为________．
二、课上用表
备注
例1如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90º，AB＝5 cm，BC＝3 cm，AC＝
4 cm．根据需要，在三角 形内部截取一个面积最大的正方形，请你设计一个
方案，并求出这个正方形的边长．
所以 ________．
归纳：相似三角形中对应高的比等于________．
2．相似三角形中对应中线的比
如图2，因为△ABC∽△DEF，相似比为k，
所以∠B＝∠________， ________．
因为AM为△A BC的中线，DN为△DEF的中线，
所以BM＝ ________，EN＝ ________．
所以 ________________．
所以△ABM∽△____( )．
所以 _______．
归纳：相似三角形中对应中线的比等于________．
3．相似三角形中对 应角平分线的比
如图3，因为△ABC∽△DEF，相似比为k，
所以∠B＝∠____，∠BAC＝________， ________．
因为AM为△ABC的角平分线，DN为△DEF的角平分线，
已知△ABC∽△DEF中,有 ,若△DEF的周长为36cm,求△ABC的周长.
5．如图是圆桌正上方的灯泡（看做一点）发出的光线照射桌面后，在地面上形成阴影（圆形）的示意图，已知桌面的直径为1.2米，桌面距离地面1米，灯泡距离地面3米，求地面上阴影部分的面积．
课后一得