第5课时 判定两个直角三角形相似
24.4(5)相似三角形的判定
课堂小结 1.关于三角形的判定方法 2.判定定理的适用范围 3.相似三角形与全等三角形判定方 法的联系 4、相似三角形的判定定理的作用 5、三角形相似的基本图形
1、
M A1
A B1 B P C
N
T C1
练习4、如图，在△ABC中，AD、 BE分别是BC、AC上的高，AD、 BE相交于H，则图中相似的三角形 共有( )对
A.3
B.4
C.5
D.6
练习5如图，D是△ABC一边BC上的 一点，△ABC∽△DBA的条件是( )
练习6 、已知过平行四边形ABCD 的顶点C作一直线CF交BD于点E， 交DA的延长线于点F，交AB于点M. 求证： 2 = EF • EM EC
5、判定两三角形相似的基本图形： 判定两三角形相似的基本图形： 判定两三角形相似的基本图形 平行型：如图1 ①平行型：如图1，“A”型即公共角对的边平 行，“×”型即对顶角对的边平行，都可推出两个 型即对顶角对的边平行， 三角形相似； 三角形相似； 相交线型：如图2 公共角对的边不平行， ②相交线型：如图2，公共角对的边不平行， 即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交. 即相交或延长线相交或对顶角所对边延长相交.图 中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（ 中几种情况只要配上一对角相等，或夹公共角（或 对顶角）的两边成比例， 对顶角）的两边成比例，就可以判定两个三角形相 似.
第5课时 利用斜边和直角边判定直角三角形全等
斜边、直角边公理 (HL)
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
B
∵∠C=∠C′=90°
在Rt△ABC和Rt△ ABC中 A
C
AB=AB BC=BC
B′
∴Rt△ABC≌Rt△A′B′ C′ (HL) A ′
C′
想一想
你能够用几种方法说明两个直角 三角形全等？
直角三角形是特殊的三角形，所以不 仅有一般三角形判定全等的方法:SAS、 ASA、AAS、SSS，还有直角三角形特殊 的判定方法——“HL”.
(2)在射线C′M上取B′C′=BC；
(3)以B′为圆心，AB为半径画弧， B
交射线C′ N于点A′；
(4)连接A′B′．
A
知1－导
N A′
C
现象：两个直角三角形能重合．
说明：这两个直角三角形全等．
M B′
C′
斜边、直角边公理
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.
简写成“斜边、直角边”或“HL”
第十二章 全等三角形
12.2 全等三角形的判定
第5课时 利用斜边和直角边判 定直角三角形全等
1、判定两个三角形全等法， S，SS ，SAS ，ASA 。AAS 2、如图1，RtABC中，直角边BC 、 AC，边 。AB
A
B
C
图1
舞台背景的形状是两个直角三角形，为了美观，工作 人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每个三角形都 有一条直角边被花盆遮住无法测量. 你能帮工作人员想个 办法吗？
上海沪科版初中数学九年级上册22.2 第5课时 判定两个直角三角形相似ppt课件
.
且∠C=∠C′=90°,
∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
2.如图，已知Rt△ABC和Rt△A′B′C′中∠A=∠A′=90°， AD，A′D′分别是两个三角形斜边上的高，且 CD∶C′D′=AC∶A′C′
请说明：△ABC∽△A′B′C′．
解： ∠ADC ∠A' D' C', CD AC , C' D' A' C'
∴ ∠B=65°， ∴ ∠B=∠B′=65°, ∠C=∠C′=90°, ∴ Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
（2）AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8；
（2）∵AC=3，BC=4，A′C′=6，B′C′=8，
AC A'C'
3 6
1 2
BC , B'C'
4 8
1, 2
AC A'C'
BC B'C'
=
3 =
6
1 .
2
AC 5 1
A' B'
= 10
=
, 2
∴
BC A'C
'
=
AC A' B'
.
又∵∠ABC＝∠A′C′B′＝90°， ∴Rt△ABC∽Rt△B′C′A′.
例2 如图，下列四个三角形中，与△ABC相似的是( B )
天元区第一中学九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第5课时判定两个直角三角形相似教案
22.2 相似三角形的判定
第5课时判定两个直角三角形相似
教学目标
【知识与技能】
使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用.
【过程与方法】
1.类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.
2.通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力.
【情感、态度与价值观】
通过学习培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点.
重点难点
【重点】
直角三角形相似定理的应用.
【难点】
了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路.
教学过程
一、复习引入
师:我们学习了几种判定三角形相似的方法?
学生回答:5种.
师:哪5种?
教师找一名学生回答,另一名或两名学生补充完善.
师:其中判定定理1、2、3的证明思路是什么?
生:作相似证全等或作全等证相似.
师:同学们还记得什么是“勾股定理”吗?
生:记得.
师:请你叙述一下.
学生回答.
二、共同探究,获取新知
1.推理证明.
师:判定两个直角三角形是否全等时,除了用那些一般的方法外还可以用“HL”的方法,那么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢?
教师多媒体课件出示:
如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,=,判断Rt△ABC与Rt△A'B'C'是否相似,为什么?
师:已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例,你能判断这两个直角三角形是否相似吗?
学生思考、讨论后回答.
师:我们知道了哪些条件?
生甲:两个直角对应相等.
生乙:两边对应成比例.
师:你再添加什么条件就能证出这两个三角形相似呢?
初三暑期第五课相似三角形的判定(二)
F
E D
M
C
B
A
D
B
C
B
初三暑期第五课：相似三角形的判定（二）
知识要点：1、相似三角形判定定理二：如果一个三角形的两边与另一个三角形的两边对应成比例，并且夹角相等。那么这两个三角形相似。
如图，在△ABC 和△DEF 中
∵
DF
DE AC
AB =,∠A =∠D ，
∴△ABC ∽△DEF
2、相似三角形判定定理三：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例。那么这两个三角形相似。 如图，在△ABC 和△DEF 中
∵
EF
BC DF
AC DE
AB ==
∴△ABC ∽△DEF
例题讲解：
例题1、如图，在矩形ABCD 中，AB=3，AD=
6，M 是BC 的中点。
求证：△BC D ∽△ABM
例题2、如图，A B ⊥AC ，CD ⊥AC ，AB=3，CD=7，AC=10，点M 是AC 上的一个动点。问AM 为多少时△ABM 和△CDM 相似。
例题3、如图,D 为△ABC 内一点,E 为△ABC 外一点,且满足
AE
AC DE
BC AD
AB ==,求证:①△ABD ∽△ACE ；②∠ABD=∠ACE.
C (2题图）
C
B
(3题图）C B
(4题图）
E
C
B
(6题图）
E
C
B
巩固练习：
一、选择题：
1、下列命题正确的是（ ）
A 、所有直角三角形都相似；
B 、斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形相似；
C 、等腰三角形都相似；
D 、两边对应成比例的两个三角形相似。 2、如图，CF 与D
E 相交于点A ，
AE
AC AF
AD =，∠D=52°
∠CAD=50°，则∠E 度数为（ ） A 、52° B 、50° C 、78° D 、88° 3、下列命题正确的有（ ）
第5课时-直角三角形相似的判定方法
第5课时-直角三角形相似的判定方法
4．如图22－2－30，已知△ABC与△ADE 中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC与△DAE相似的是()
A．∠B＝∠D
B. AB
AC＝
AD
DE
C．AD∥BC
D. BC
AC＝
AD
DE
图22－2－30
5．现有下列说法：①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰直角三角形都相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④有两边成比例的两个直角三角形相似．其中正确的有()
A．1个B．2个C．3个D．4个
6．如图22－2－31，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，C是线段BD的中点，且ED ＝1，AC＝2 5，BD＝4.求证：△ABC∽△CDE.
图22－2－31
知识点3相似直角三角形在测量中的应用
7．如图22－2－32，为估算某河的宽度，在河的对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB 等于()
A．60 m B．40 m
C．30 m D．20 m
图22－2－32
8．为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图22－2－33所示的测量方案．把镜子放在离树(AB)8.7 m 的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7 m，观测者目高CD＝1.6 m，则树高AB约是________m(精确到0.1 m)．
22.2第5课时直角三角形相似的判定课件
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
(2)在 Rt△ACD 中，CD＝ AC2－AD2＝
62－22＝
2.若 Rt△
ABC∽Rt△CAD，则CAAB＝ACCD，∴AB6 ＝ 26，解得 AB＝3 2. 综上，当 AB＝3 或 AB＝3 2时，Rt△ABC 与 Rt△ACD 相似．
谢 谢 观 看！
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22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
知识点二 三角形相似的判定方法的综合应用
有平行截线——选用平行线的性质找等角
三角形 相似的
有一对等角，找另该一夹对角等的角两边，对应成比例
判定 思路
夹角相等， 有两边对应成比例，找第三边也对应成比例，
有一对直角
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
三角形 直角三角形，找一斜对边锐、角直相角等边，对应成比例 相似的
(2)AB＝ 6 cm，AC＝ 3 cm，A′B′＝ 30 cm， A′C′＝ 15 cm.
22.2 第5课时 直角三角形相似的判定
[解析] (1)先求出两边成比例，再由夹角相等，即可得出 △ABC∽△A′B′C′； (2)求出斜边和一条直角边对应成比例，即可得出 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
证明：(1)∵DC 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高，E 为 BC 的中点， ∴CE＝EB＝DE，∴∠B＝∠BDE＝∠FDA. ∵∠B＋∠CAB＝90°，∠ACD＋∠CAB＝90°， ∴∠B＝∠ACD，∴∠FDA＝∠ACD. 又∵∠F＝∠F，∴△FDA∽△FCD， ∴DCFF＝ADDC.
河南省新乡市第四中学九年级数学下册《27.2.1相似三角形的判定(第5课时)》课件 新人教版
∴AD‖BC，∠B=900
∴∠DAE=∠AEB
∵DF⊥AE ∴∠DFA=∠B=900
∴△AFD∽△EBA
DF AD AB AE
又AB=4，AD=5，AE=6
DF 5 46
DF 10 3
4、如图，CE交△ABC的高线AD于点O，交AB于E， 且OC·BD=AB·OD，求证：CE⊥AB.
角形的边长，计算 AB BC CA ,你有什么发现？
A'B' , B'C ' , C ' A'
A' A
∠C = ∠C'
B
C
B'
△ABC∽△A'B'C'
C'
猜想 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两
个角对应相等，那么这两个三角形相似．
已知：⊿ABC和⊿A′B′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，
D E
B
CA
BB
C
【例1】如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P，
求证：PA·PB=PC·PD.
证明:连接AC、BD
∵∠A、∠D都是CB所对的圆周角，
∴∠A=∠D. 同理: ∠C=∠B. ∴△PAC∽△PDB.
PA PC PD PB
即PA·PB=PC·PD.
A D
沪科版(安徽)数学八年级上册第5课时 用HL判定直角三角形全等
第5课时用HL判定直角三角形全等
【知识与技能】
学会判定直角三角形全等的特殊方法，提升合情推理能力，并熟练运用判定两个直角三角形全等的方法.
【过程与方法】
通过探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题；熟练掌握两个三角形全等的判定方法.
【情感与态度】
感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值. 【教学重点】
重点是掌握判定直角三角形全等的特殊方法.
【教学难点】
难点是应用“HL”解决直角三角形全等的问题；三角形全等判定方法的运用.
一、回顾交流
1.课堂演练
已知如下图所示，BC=EF,AB⊥BE垂足为B,DE⊥BE垂足为E,AB=DE.
求证：AC=DF
【分析】要证AC=DF,必须寻找与AC,DF有关的三角形，然后证明它们全等，这里由已知条件分析可得∠ABC=∠FED=90°,AB=DE,BC=EF,利用SAS可证明出这两个直角三角形全等
【证明】（学生板演）
2.问题迁移
如果将上题AB=DE改成AC=DF,其他条件不变，你能证明出AB=DE吗？
引导：画一个任意Rt△ABC使得∠C=90°，然后画出△A1B1C1满足条件B1C1=BC，A1B1=AB,再把画好的Rt△A1B1C1剪下来看看是否能与Rt△ABC完全重合.
3.作图
已知Rt△ABC,其中∠C为直角，求作：Rt△A1B1C1,使∠C1为直角,A1C1=AC,A1B1=AB.
作法：
①作∠MC1N=∠C=90°；
②在C1M上截取C1A1=CA；
③以A1为圆心，AB长为半径画弧，交C1N于点B1,
④连接A1B1，
第五、六、七、八课时相似三角形判定定理
A`
C`
E
B
C
A`
B`
C`
证明:在△ABC的边AB上截取AD=A`B`,
过点D作DE∥BC交AC于点E. ∴ △ADE∽△ABC ，AD:AB=AE:AC=DE:BC, ∵AD=A`B`∴AD:AB=A`B`:AB 又A`B`:AB=B`C`:BC=C`A`:CA
D A
∴DE:BC=B`C`:BC,EA:CA=C`A`:CA.
如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为 B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是 否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有， 有几个？并求出此时BP的长，若没有， 请说明理由。
8
6 14
3.已知：如图，P为△ABC中线AD上 的一点，且BD² =PD·AD 求证：△ADC∽△CDP．
A
4
B
50°
3.2
3.2 D G
2
50°
C
1.6 F
E
如果有一点E在边AC上，那么点E应该在什么 位置才能使△ADE△ABC相似呢？ 此时， AE 1 C AD 1 =？ =？ AB 3 AC 3
B D A
E
例1:根据下列条件，判断△ABC与△A’B’C’ 是否相似，并说明理由． (1)∠A=1200,AB=7cm,AC=14cm.
△ADG∽△AEH∽△AFI∽△ABC
27.2.5 用角的关系判定三角形相似
(2)AC2＝2AD·AO. 证明：如图，连接 BC. ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°. ∴∠ACB＝∠ADC＝90°. 又∵∠DAC＝∠BAC，∴△ADC∽△ACB. ∴AACB＝AADC，即 AC2＝AD·AB. 又∵AB＝2AO，∴AC2＝2AD·AO.
15．(2018·枣庄)如图，在 Rt△ACB 中，∠C＝90°，AC＝3 cm， BC＝4 cm，以 BC 为直径作⊙O 交 AB 于点 D.
6．如果两个直角三角形满足___一__个__锐__角__相__等_____，或 _两__组__直__角__边__成__比__例___，那么这两个直角三角形相似．
7．斜边和一条直角边对应_成__比__例___的两个直角三角形相似．
8．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，则图中 的相似三角形共有( C ) A．1 对 B．2 对 C．3 对 D．0 对
(2)点 E 是线段 AC 上的一点，试问：当点 E 在什么位置时，直 线 ED 与⊙O 相切？请说明理由．
【思路点拨】可以把结论当作已知，去探究点 E 满足的条件，以 上是思维过程，说明理由时再由点 E 满足的条件推出结论．
解：当点 E 是线段 AC 的中点时，直线 ED 与⊙O 相切． 理由如下：如图，连接 OD. ∵点 E 是线段 AC 的中点，∴DE 是 Rt△ADC 的中线， ∴ED＝EC. ∴∠EDC＝∠ECD. ∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠OCD. ∴∠EDO＝∠EDC＋∠ODC＝∠ECD＋∠OCD＝∠ACB＝90°， 即 ED⊥OD. ∴直线 ED 与⊙O 相切．
相似三角形判定直角三角形相似判定定理讲课文档
作业 布置
课堂作业：
必做题：课本76页11 基础训练42页 4 选做题： 课外作业： 基础训练
现在十七页，总共十七页。
(2)
∠ACD+∠CAB=90°
∠B+∠CAB=90°
∠ACD=∠B
A
现在十四页，总共十七页。
E
F B
D
2.如图 ：高线CE交△ABC的高线AD于点 O，交AB 于E，写出图中的相似三角形。
A
E
O
C
B
D
现在十五页，总共十七页。
学习小结
1、如何判定两个直角三角形相似呢？ 答：一个锐角对应相等或两边对应成比例的两个 直角三角形相似。 2、直角三角形相似的判定定理的简单应用。 3、初步了解转移比例的证法。
现在四页，总共十七页。
已知：∠C=∠C‘=90°，A'B':AB＝A'C'：AC，求 证： Rt△A'B'C' ∽Rt △ABC
证法（1）: 分别在A C ，A B上截取AD =A'C'， A
A E =A'B'，连结DE。
AB
AC
=
A'B'Baidu Nhomakorabea
A'C'
A'C'=A D，A'B'=A E
22.2第5课时 直角三角形相似的判定-2020秋沪科版九年级数学上册教案
第5课时直角三角形相似的判定
◇教学目标◇
【知识与技能】
了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用.
【过程与方法】
类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.【情感、态度与价值观】
培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点.
◇教学重难点◇
【教学重点】
直角三角形相似定理的应用.
【教学难点】
了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路.
◇教学过程◇
一、情境导入
判定两个直角三角形全等时,除根据一般三角形全等判定定理外,还有“HL”方法.类似地,判定两个直角三角形相似,除了前面一般三角形的三个判定定理外,是否也有特殊方法呢? 二、合作探究
探究点1两个直角三角形相似的“斜边、直角边”或“HL”定理
典例1如图,正方形ABCD的边长为4,E,F分别是BC,CD上的两个动点(点E不与点B重合),∠AEF=90°,连接AE,AF,EF.
(1)试找出图中一定相似的三角形,简要证明过程;
(2)试找出图中不一定相似的三角形,并确定当其相似时点E所在的位置,简写推理过程;
(3)试找出图中一定不相似的三角形,简要说明理由.
[解析](1)△ABE∽△ECF.
理由:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,∴∠BAE+∠AEB=90°,
∵∠AEF=90°,∴∠AEB+∠CEF=90°,∴∠BAE=∠CEF,∴△ABE∽△ECF.
(2)当BE=CE=2时,△ABE∽△AEF或△AEF∽△ECF.
理由:∵△ABE∽△ECF,∴AB∶EC=AE∶EF,
∵BE=CE,∴AB∶AE=BE∶EF,
14-2 三角形全等的判定第5课时 22—23沪科版数学八年级上册
C D
∴∠DFC=∠AEB=90°.
FE
又∵CE=BF， (已知)
∴CE – EF=BE – EF，即CF=BE. 又∵CD=AB，
A B
∴Rt△DFC ≌ Rt△AEB.(HL)
∴DF=AE. (全等三角形的对应边相等)
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
两
三角形全等的判定-HL：
形
全
否唯一这一过程，培养学生分析问题、解决问题的能力.
等
的
判
准备好了吗？一起去探索吧！
定
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
情境引入 如图，舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个 直角三角形是否全等，但两个三角形都有一条直角边被花盆遮住无 法测量.
你能帮他想个办法吗？ 能
典型例题
已知：如图，∠BAC=∠CDB=90°，AC=DB.求证：AB=DC.
A
分析：AB和DC分别在△ABC和△DCB
中，所以要证AB=DC，只需证明
△ABC≌△DCB即可.
B
已知： AC=DB；
由∠BAC=∠CDB=90°，可得△ABC与
△DCB都是直角三角形；
BC是两个三角形的公共边.
D C
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
第5课时斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似
园丁学校中学部教学案
课题：第5课时
斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似
学生姓名：
编拟教师
授课教师
授课班级
时间
学生探究栏
题组一、课前预习：
1、如图，在直角三角形△ＡＢＣ和△中，
'''A B C ∠Ｃ＝，∠，
，090'090C =''''
AB AC
A B AC
=求证：Ｒｔ△ＡＢＣ∽Ｒｔ△'''
A B C 归纳：斜边的比等于_______________的比的两个直角三角形相似。
2、判定两个直角三角形相似，除应用两个直角是等角外，根据相似三角形的判定定理，只要证明 ；根据相似三角形的判定定理，只要证明 ，此外，如果一个的一条 边和 边与另一个的一条 边∆Rt ∆Rt 和 边的比相等，那么这两个相似。
∆Rt 3.下列两个图形：①两个等腰三角形；②两个直角三角形；③两
个正方形； ④两个矩形；⑤两个菱形 ；⑥两个正五边形. 其中一定相似的有（ ）.
A. 2组
B. 3组
C. 4组
D. 5组
4．一个直角三角形的一条直角边长和斜边分别是8cm ,15cm ,另
一个直角三角形的一条直角边长和斜边分别是6cm , cm ,那么
45
4
这两个直角三角形相似吗？说出理由。
教师批注栏
旨 部要学求和好干理念，带头攻 照”主题党日活动员重温入党志愿、重部书记作学习动员，领 ）开展“三个1专题开展交流研讨。按开一次全体党员会议，、“坚守纪律底线，树1 展“四个讲党课”。党区县X X 局带头讲党课，者给党员干部讲党课 学习教育实施方案 党中育（以下简称“两学列讲话，做合格党员市党员中开展“学党章01628），结合我局实际，现教育，基础贯彻落实党的十八大和三严三实”专题教育成、创先争优，进一进一步坚持问以上率下，“决胜