第5课时 判定两个直角三角形相似
第22章 22.2.5 直角三角形相似的判定定理
自我诊断 2. 已知：在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C直角三角形相似的条件为( D )
A．∠A＝∠A′
B.A′ACC′＝B′BCC′
C.AACB＝AA′ ′CB′ ′
D.AACB＝AB′′CC′′
易错点 2: 忽略“在直角三角形中”这一条件，导致错误．
自我诊断 3. 如图，△ABC 中，CD⊥AB，垂足为 D.下列条件中，①∠A＋ ∠B＝90°； ②AB2＝AC2＋BC2；③ABCC ＝CBDD；④CD2＝AD·BD，能证明△ ABC 是直角三角形的有( C )
11．如图，P 是 Rt△ABC 的斜边 BC 上异于 B、C 的一点，过 P 点作直线 截△ABC，使截得的三角形与△ABC 相似，满足这样条件的直线共有
3 条．
12．如图，已知 AD 为△ABC 中 BC 边上的高，且CADD＝12，AC＝ 5，AB＝ 2 5，求证：△ACD∽△BAD.
证明：∵AD 是 BC 边上的高，∴∠ADC＝∠BDA＝90°.∵AC＝ 5，AB＝ 2 5，∴AACB＝12.又∵CADD＝12，∴AACB＝CADD.Rt△ACD∽Rt△BAD.
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/32021/9/3Friday, September 03, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/32021/9/32021/9/39/3/2021 8:13:46 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/32021/9/32021/9/3Sep-213-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/32021/9/32021/9/3Friday, September 03, 2021
天元区第一中学九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第5课时判定两个直角三角形相似教案
22.2 相似三角形的判定第5课时判定两个直角三角形相似教学目标【知识与技能】使学生了解直角三角形相似定理的证明方法并会应用.【过程与方法】1.类比证明两个直角三角形全等的方法,继续渗透和培养学生对类比思想的认识和理解.2.通过了解定理的证明方法培养和提高学生利用已学知识证明新命题的能力.【情感、态度与价值观】通过学习培养学生类比的意识,了解由特殊到一般的唯物辩证法的观点.重点难点【重点】直角三角形相似定理的应用.【难点】了解直角三角形相似判定定理的证题方法与思路.教学过程一、复习引入师:我们学习了几种判定三角形相似的方法?学生回答:5种.师:哪5种?教师找一名学生回答,另一名或两名学生补充完善.师:其中判定定理1、2、3的证明思路是什么?生:作相似证全等或作全等证相似.师:同学们还记得什么是“勾股定理”吗?生:记得.师:请你叙述一下.学生回答.二、共同探究,获取新知1.推理证明.师:判定两个直角三角形是否全等时,除了用那些一般的方法外还可以用“HL”的方法,那么判定两个直角三角形相似是否也有类似的方法呢?教师多媒体课件出示:如图,在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,=,判断Rt△ABC与Rt△A'B'C'是否相似,为什么?师:已知一个直角三角形的斜边、一条直角边与另一个直角三角形的斜边、一条直角边对应成比例,你能判断这两个直角三角形是否相似吗?学生思考、讨论后回答.师:我们知道了哪些条件?生甲:两个直角对应相等.生乙:两边对应成比例.师:你再添加什么条件就能证出这两个三角形相似呢?生:还有剩下的一边也是对应成比例的.师:为什么要这样添加呢?生:因为添加了这个条件,就可以根据三边对应成比例的两个三角形相似判定这两个三角形相似了.师:那么你怎么证明它们也是对应成比例的呢?学生思考.生:设==k,则AB=kA'B'.AC=kA'C'.根据勾股定理BC可以用含AB、AC的式子表示,进而可以用含A'B'的式子表示,再用勾股定理就得到BC=kB'C',所以就得到了三边对应成比例,这两个三角形相似.师:你回答得太好了!现在请同学们写出具体的步骤,然后与课本上的对照,将不完善的地方改正.学生证明并修改.证明:设==k,则AB=kA'B',AC=kA'C'.∵BC===k=kB'C',∴===k,∴△ABC∽△A'B'C'.师:所以我们得到了判定两个直角三角形相似的一个定理:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似.2.例题.教师多媒体课件出示:【例】如图,∠ABC=∠CDB=90°,CB=a,AC=b.问当BD与a、b之间满足怎样的函数表达式时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似?解:∵∠ABC=∠CDB=90°,当=时,△ABC∽△CDB.即=,BD=.又当=时,△ABC∽△BDC,即=,CD=.BD2=a2-()2,BD=.答:当BD=或BD=时,以点A、B、C为顶点的三角形与以点C、D、B为顶点的三角形相似.三、练习新知师:请同学们看课本84页练习1后回答.生甲:△ABF和△ACE.生乙:△EDB和△FDC.师:下面请同学们完成第2题.证明:(1)∵△ADC和△ACB是直角三角形.∴∠A+∠ACD=90°,∠BCD+∠ACD=90°,∴∠A=∠BCD(同角的余角相等),又∠ADC=∠CDB=90°,∴△ADC∽△CDB(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∵CD2=AD·BD(比例的基本性质).(2)∴∠B=∠B(公共角),∠ACB=∠CDB,∴△ABC∽△CBD(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∵BC2=AB·BD(比例的基本性质).∴∠A=∠A(公共角).∠ACB=∠ADC,∴△ABC∽△ACD(两角对应相等的两个三角形相似).∴=(相似三角形的对应边成比例).∴AC2=AB·AD(比例的基本性质).师:很好!现在请同学们看第3题.学生计算后回答,然后集体订正得到:解:(1)相似.证明如下:∵BC===6,∴==,==,∴=,∴这两个直角三角形相似.(2)相似.证明如下:∵A'B'===15,∴==,==,∴=,∴这两个直角三角形相似.四、巩固提高师:经过刚才的了解,同学们掌握得怎么样呢?让我出几道题目来考考大家.1.小明在一次军事夏令营活动中进行打靶训练,在用枪瞄准点B时要使眼睛O、准星A、目标B在同一条直线上,如图所示,在射击时,小明有轻微的抖动,致使准星A偏离到A'.若OA=0.2m,OB=40 m,AA'=0.0015m,则小明射击到的点B'偏离目标点B的长度BB'约为( )A.3m【答案】B2.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠B=60°,D是AC上一点,DE⊥AB于E点,且CD=2,DE=1,则BC 的长为( )A.2B.C.2D.4【答案】B3.在Rt△ABC和Rt△A'B'C'中,∠C=∠C'=90°,下列条件不能判断它们相似的是( )A.∠A=∠B'B.AC=BC,A'C'=B'C'C.AB=3BC,A'B'=3B'C'D.△ABC中有两边长为3、4,△A'B'C'中有两边长为6、8【答案】D4.如图,在△ABC中,∠C=90°,E是AC的中点,且AB=5,AC=4,过点E作EF⊥AB于点F,则AF= .【答案】第4题图第5题图5.如图,正方形ABCD的边长为4,AE=MN=2,那么当CM= 时,Rt△ADE与Rt△MNC相似.(M为BC边上的动点,N为CD边上的动点)【答案】或6.如图,长梯AB靠在墙壁上,梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm,量得BD的长为55cm,请你求出梯子的长.【答案】设梯子的长AB为xcm,由Rt△ADE∽Rt△ABC,得=,∴=,解得x=440.∴梯子的长是440cm.五、课堂小结师:直角三角形相似的判定除了本节定理外,前面判定任意三角形相似的方法对直角三角形同样适用,所以在证明两个直角三角形相似时不要忘了用证任意三角形相似的方法,在做题时要灵活选用合适的方法.在证明四条线段之间的关系时我们可以考虑证它们所在的两个三角形相似.教学反思教师在讲解例题时,应指出要使△ABC∽△CDB,应有点A与C,B与D,C与B成对应点,对应边分别是斜边和一条直角边,还可提问:(1)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC∽△BDC?(答案:当=时△ABC∽△BDC,即=,BD=.因此,当BD=时,△ABC∽△BDC)(2)当BD与a、b满足怎样的关系时,△ABC与△BDC相似(不指明对应关系)?(答案:当BD=时,△ABC∽△CDB;当BD=时,△ABC∽△BDC)探索性题目是已知命题的结论,寻找使结论成立的题设,是探索充分条件,所以有一定难度,教材中为了降低难度,在例4中给了探索方向,即“当BD与a、b满足怎样的关系式时”,这种题目体现分析问题的思维方法,对培养学生研究问题的习惯有好处,教师要给予足够重视,但由于有一定的难度,只要求学生了解这类问题的思考方法,不应提高要求或增加难度.第2课时何时获得最大利润1．经历探索商品销售中最大利润等问题的过程，体会二次函数是一类最优化问题的数学模型，感受数学的应用价值．2．能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值．重点会根据实际问题列出二次函数关系式，并能运用二次函数的知识求出其最大(小)值．难点分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，正确地列出二次函数关系式．一、情境导入前面我们认识了二次函数，研究了二次函数的图象和性质，由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y＝ax2＋c，最后是y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k，y ＝ax2＋bx＋c，掌握了二次函数的三种表示方式．怎么突然转到了获取最大利润呢？看来这两者之间肯定有关系．那么究竟有什么样的关系呢？我们本节课将研究有关问题．二、探究新知1．课件出示：服装厂生产某品牌的T恤衫，每件的成本是10元．根据市场调查，以单价13元批发给经销商，经销商愿意经销 5 000件，并且表示单价每降价0.1元，愿意多经销500件．厂家批发单价是多少时，可以获利最多？设批发单价为x(0<x≤13)元，那么(1)销售量可以表示为____________；(2)销售额可以表示为____________；(3)所获利润可以表示为____________；(4)当批发单价是____元时，可以获得最大利润，最大利润是____．分析：获利就是指利润，总利润应为每件T恤衫的利润(批发价一成本)乘T恤衫的数量，设批发单价为x元，则降低了(13－x)元，每降低0.1元，可多售出500件，则可多售出5 000(13－x)件，因此共售出5 000＋5 000(13－x)件，若所获利润用y(元)表示，则y ＝(x－10)[5 000＋5 000(13－x)]．解：(1)销售量可以表示为5 000＋5 000(13 －x)＝70 000－5 000x.(2)销售额可以表示为x(70 000－5 000x)＝70 000x－5 000x2.(3)所获利润可以表示为(70 000x－5 000x2)－10(70 000－5 000x)＝－5 000x2＋120 000x－700 000.(4)设总利润为y元，则y＝－5 000x2＋120 000x－700 000＝－5 000(x－12)2＋20 000∵－5 000＜0 ，∴抛物线有最高点，函数有最大值．当x＝12元时，y最大＝20 000元．即当销售单价是12元时，可以获得最大利润，最大利润是20 000元．2．课件出示：某旅社有客房120间，每间房的日租金为160元，每天都客满．经市场调查发现，如果每间客房的日租金增加10元时，那么客房每天出租数会减少6间．不考虑其他因素，旅社将每间客房的日租金提高到多少元时，客房日租金的总收入最高？处理方式：让学生根据上面的利润问题的解法来解决这道题．三、举例分析例 1 还记得本章一开始的“种多少棵橙子树”的问题吗？我们得到表示增种橙子树的数量x(棵)与橙子总产量y(个)的二次函数表达式y＝(600－5x)(100＋x)＝－5x2＋100x ＋60 000.我们还曾经利用列表的方法得到一个猜测，现在验证一下你的猜测是否正确？你是怎么做的？与同伴进行交流．因为表达式是二次函数，所以求橙子的总产量y的最大值即是求函数的最大值．所以y＝－5x2＋100x＋60 000＝－5(x2－20x＋100－100)＋60 000＝－5(x－10)2＋60 500当x＝10时，y最大＝60 500.(1)利用函数图象描述橙子的总产量与增种橙子树的棵数之间的关系．(2)增种多少棵橙子树，可以使橙子的总产量在60 400个以上？①当x<10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而增加；当x>10时，橙子的总产量随增种橙子树的增加而减小．②由图可知，增种6棵、7棵、8棵、9棵、10棵、11棵、12棵、13棵或14棵，都可以使橙子总产量在60 400个以上．例2 已知一个矩形的周长是24 cm.(1)写出这个矩形的面积S与一边长a的函数表达式；(2)画出这个函数的图象；(3)当a长多少时，S最大？解：(1)S＝a(12－a)＝－a2＋12a＝－(a2－12a＋36－36)＝－(a－6)2＋36.(2)图象如下：(3)当a＝6时，S最大＝36.四、练习巩固1．关于二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象有下列命题：①当c ＝0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0且函数图象开口向下时，方程ax 2＋bx ＋c ＝0必有两个不等实根； ③当a ＜0，函数的图象最高点的纵坐标是4ac －b24a；④当b ＝0时，函数的图象关于y 轴对称． 其中正确命题的个数有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个2．二次函数y ＝x 2－8x ＋c 的最小值为0，那么c 的值等于( ) A ．4 B ．8 C ．－4 D ．163．某类产品按质量共分为10个档次，生产最低档次产品每件利润为8 元，如果每提高一个档次每件利润增加2元．用同样的工时，最低档次产品每天可生产60件，每提高一个档次将少生产3件，求生产何种档次的产品利润最大？五、课堂小结1．通过本节课的学习，你有什么收获？ 2．用二次函数解决实际问题有哪些步骤？ 六、课外作业1．教材第49页“随堂练习”．2．教材第50页习题2.9第1～3题．本节课是应用函数模型分析与解决最大利润问题．例题中的实际问题司空见惯，但学生没有亲身经历，在上课前可以让学生利用课余时间对学校的商店做一个简单的调查，锻炼学生的实践能力．数学教学不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学习数学的心理规律．强调从学生已有的生活经验出发，让学生亲身经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，进而使学生获得对数学理解的同时，在思维能力、情感态度与价值观等多方面得到进步和发展.二次函数与一元二次方程的关系教学目标【知识与技能】1.掌握二次函数图象与x轴的交点横坐标与一元二次方程两根的关系.2.理解二次函数图象与x轴的交点的个数与一元二次方程根的个数的关系.3.会用二次函数图象求一元二次方程的近似根.【过程与方法】经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会二次函数与方程之间的联系，进一步体会数形结合的思想.【情感态度】通过自主学习，小组合作，探索出二次函数与一元二次方程的关系，感受数学的严谨性，激发热爱数学的情感.教学重点①理解二次函数与一元二次方程的联系.②求一元二次方程的近似根.教学难点理解二次函数与一元二次方程的联系.教学过程一、情境导入，初步认识1.一元二次方程ax2+bx+c=0的实数根，就是二次函数y=ax2+bx+c，当 y=0 时，自变量x 的值，它是二次函数的图象与x轴交点的横坐标 .2.抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点个数与一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式的关系：当b2-4ac＜0时，抛物线与x轴无交点；当b2-4ac=0时，抛物线与x轴有一个交点；当b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有两个交点.学生回答，教师点评二、思考探究，获取新知探究1 求抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点例1 求抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标.【分析】抛物线y=x2-2x-3与x轴相交时，交点的纵坐标y=0，转化为求方程x2-2x-3=0的根.解:因为方程x2-2x-3=0的两个根是x1=3，x2=-1，所以抛物线y=x2-2x-3与x轴交点的横坐标分别是3或-1.【教学说明】求抛物线与x轴的交点坐标，首先令y=0，把二次函数转化为一元二次方程，求交点的横坐标就是求此方程的根.探究2 抛物线与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系思考：（1）你能说出函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交点个数的情况吗？猜想交点个数和方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数有何关系？(2)一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的个数由什么来判断？【教学说明】抛物线y=ax2+bx+c(a ≠0)与x轴的位置关系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情况b2-4ac的值有两个公共点有两个不相等的实数根b2-4ac＞0只有一个公共点有两个相等的实数根b2-4ac=0无公共点无实数根b2-4ac＜0探究3 利用函数图象求一元二次方程的近似根提出问题：同学们可以估算下一元二次方程x2-2x-6=0的较小的根是什么？学生回答：【教学点评】x1≈-1.7.三、运用新知，深化理解1.（广东中山中考）已知抛物线y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的方程ax2+bx+c=0的根的情况是（）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.有两个同号的实数根D.没有实数根2.若一元二次方程x2-mx+n=0无实根，则抛物线y=-x2+mx-n图象位于（）A.x轴上方B.第一、二、三象限C.x轴下方D.第二、三、四象限3.（x-1)(x-2)=m(m＞0)的两根为α，β，则α，β的范围为（）A.α＜1，β>2B.α＜1＜β＜2C.1＜α＜2＜βD.α＜1，β＞24.二次函数y=ax2+bx+c与x轴的交点坐标为(1，0)，(3，0)，则方程ax2+bx+c=0的解为 .5.(湖北武汉中考)已知二次函数y=x2-(m+1)x+m的图象交x轴于A(x1，0)，B(x2，0)两点，交y轴的正半轴于点C，且x21+x22=10.(1)求此二次函数的解析式；（2）是否存在过点D（0，-）的直线与抛物线交于点M、N，与x轴交于点E，使得点M、N关于点E对称？若存在，求出直线MN的解析式；若不存在，请说明理由.学生解答:【答案】1.D 2.C 3.D 4.x1=1，x2=35.解：（1）y=x2-4x+3 (2)存在 y=x-【教学说明】一元二次方程的根的情况和二次函数与x轴的交点个数之间的关系是相互的，根据根的情况可以判断交点个数，反之也成立.四、师生互动，课堂小结1.这节课你学到了什么？还有哪些疑惑？2.在学生回答基础上，教师点评:①求二次函数自变量的值与一元二次方程根的关系；②抛物线与x轴交点个数与一元二次方程根的个数的关系.③用函数图象求“一元二次方程的近似根”；教学反思通过本节课的学习，让学生用函数的观点解方程和用方程的知识求函数，取某一特值时，把对应的自变量的值都联系起来了，这样对二次函数的综合应用就方便得多了，从中让学生体会到各知识之间是相互联系的这一最简单的数学道理.11。
第5课时 斜边的比等于一组直角边的比的两个直角三角形相似
（2）求证：AM2=AD·DM．
12、如图，在 中， ，DE ，分别交AC，AB于D，E。
求证：(1) ∽
(2)AE AB=AD AC
13、如图， ，BC=3，AB=5，CD= ，
求证：AB//CD
14、已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，P是AB上一点，且点P不与点A重合，过点P作PE⊥AB交AC于E，点E不与点C重合，若AB＝10，AC＝8，设AP＝x，四边形PECB的周长为y，求y与x的函数关系式．
A． ，且∠B=∠B1B．
C． ，Ｄ．
6．下列说法：①所有的等腰三角形都相似；②所有பைடு நூலகம்等边三角形都相似；③所有等腰直角三角形都相似；④所有的直角三角形都相似.其中正确的是(把你认为正确的说法的序号都填上).
7．如图，∠ACB＝∠D＝90º，AD=2，AC= ．试求当AB为多长时，图中的两个直角三角形相似．
8、如图，AB⊥BC，DC⊥BC，垂足分别为B、C，且AB=8，DC=6，BC=14，BC上是否存在点P使△ABP与△DCP相似？若有，有几个？并求出此时BP的长，若没有，请说明理由。
9．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，
(1)求证：AC2＝AD·AB；
BC2＝BD·BA；
教师批注栏
学生探究栏
教师批注栏
.
题组三、随堂检测：
10．如图，点D是Rt△ABC的斜边AB上一点，DE⊥BC于E，DF⊥AC于F，若AF= 15，BE=10，则四边形DECF的面积是__________．
11．以长为2的线段为边作正方形ABCD，取AB的中点P，连结PD，在BA的延长线上取点F，使PF=PD，以AF为边作正方形AMEF，点M在AD上，如图所示．
三河市三中九年级数学上册第22章相似形22.2相似三角形的判定第5课时直角三角形相似的判定方法教案新
第5课时直角三角形相似的判定方法【知识与技能】经历直角三角形相似的判定定理的探索及证明过程.【过程与方法】让学生经历观察、实验、猜想、证明的过程，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力.【情感态度】通过学生积极参与，激发学生学习数学的兴趣，体验数学探索与创造的快乐.【教学重点】三角形相似的判定定理及应用.【教学难点】三角形相似的判定定理及应用.一、情景导入，初步认知回想一下，我们已经学习过哪些判定两个三角形相似的方法？由此我们能否由全等的另一种方法（HL）想到判定相似的新方法？【教学说明】学生猜测，并写出已知、求证.二、思考探究，获取新知探究：如图，在Rt△ABC 和Rt△A′B′C′中，∠C =90°，∠C′=90°，AB∶A′B′=AC∶A′C′.求证： Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.【分析】已知两边成比例，只要得到三边成比例，即可完成证明.222222222,,.:,.(,),.AB ACk AB kA B AC kA CA B A CBC AB AC B C A B A CBC AB AC k A B k A C kB CkBC B C B C B CAB AC BCA B A C B CRt ABC Rt A B C===''=''''''=-''=''-''-''-''''∴====''''''''∴==''''''∴'''证明：设则由勾股定理，得△∽△三边成比例的两个三角形相似【归纳结论】如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个三角形相似.【教学说明】用已学过的知识解题，并通过解题巩固对判定定理的理解.三、运用新知，深化理解1.教材P83例4.2.如图，已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，∠ACB=∠EDB=90°，点E在边AC 上，CB、ED交于点F.试说明：△ABE∽△CBD.证明：∵△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，∠ACB=∠EDB=90°，∴∠ABE=∠CBD，EB∶BD=AB∶AC=2∶2，AC=BC.∴△ABE∽△CBD.3.在平行四边形ABCD中，M，N为对角线BD的两个点，连接AM应延长交BC于E，连接EN并延长交AD于F．试说明△AMD∽△EMB.证明：（1）∵ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∠ADM=∠EBM，∠MAD=∠MEB，∴△AMD∽△EMB．4.如图，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，求证：△ADE∽△EFC．【分析】根据平行线的性质可知∠AED=∠C，∠A=∠FEC，根据相似三角形的判定定理可知：△ADE∽△EFC．证明：∵DE∥BC，∴DE∥FC，∴∠AED=∠C．又∵EF∥AB，∴EF∥AD，∴∠A=∠FEC．∴△ADE∽△EFC．5.如图，已知E是矩形ABCD的边CD上一点，BF⊥AE于F，试说明：△ABF∽△EAD.【分析】根据两角对应相等的两个三角形相似可证．证明：∵在矩形ABCD中，AB⊥CD，∠D=90°，∴∠BAF=∠AED．∵BF⊥AE，∴∠AFB=90°．∴∠AFB=∠D,∴△ABF∽△EAD．【教学说明】通过练习，使学生能够综合运用相似三角形的判定定理解决问题.四、师生互动，课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题22.2”中第3、5、10 题.这几节课我把“思路、教路、学路”三者有机结合，我个人认为，不仅仅是有机结合，在某种程度上，教路、思路必须要建立在学路的基础上，要以学路为基本出发点.所以在教学过程中，我的教学设计思路比较清晰，这几节课主要任务就是一个定理一个定理地进行巩固练习，变式训练，能力提高.照顾到全体学生，特别是中等和中等偏下的学生，在问题解决的过程中，我注重问题的本质属性，善于将其归类、变式，总结出一般的方法和规律.23.2 解直角三角形及其应用第3课时方位角与方向角、坡度与坡角2.坡度与斜率问题【知识与技能】1.了解测量中坡度、坡角的概念；2.掌握坡度与坡角的关系，能利用解直角三角形的知识，解决与坡度有关的实际问题.【过程与方法】通过对例题的学习，使学生能够利用所学知识解决实际问题.【情感态度】进一步培养学生把实际问题转化为数学问题的能力.【教学重点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度、与弧长有关的实际问题.【教学难点】能利用解直角三角形的知识，解决与坡度的有关的实际问题.一、情景导入，初步认知在本章第一节的内容中，我们对坡度的有关知识有了一定的了解.本节课我们继续学习与坡度有关的计算.【教学说明】引入新课，告诉学生本节课所学习的内容.二、思考探究，获取新知如图：铁路路基的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，路基顶宽BC=9.8m,路基高BE=5.8m，斜坡AB的坡度i=1∶1.6，斜坡CD的坡度i=1∶2.5,求铁路路基下底宽AD的值（精确到0.1m)与斜坡的坡角α和β（精确到1°）的值.解：过点C作CF⊥AD于点F,得CF=BE,EF=BC,∠A=α,∠D=β∴AE=1.6×5.8=9.28m,DF=2.5×5.8=14.5m，∴AD=AE+EF+DF=9.28+9.8+14.5≈33.6m.由tanα=1/1.6, tanβ=1/2.5,得α≈32°，β=22°答：铁路路基下底宽33.6m，斜坡的坡角分别为32°和22°.【教学说明】教师引导学生分析题目中的已知条件分别代表的是什么，将图形中的信息转化为图形中的已知条件，再分析图形求出问题.三、运用新知，深化理解1.教材P130例7.2.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离(精确到0.1m).【分析】引导学生将实际问题转化为数学问题画出图形.已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5.5米，∠A=24°，求AB.答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0米.3.同学们，如果你是修建三峡大坝的工程师，现在有这样一个问题请你解决：如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽6m，坝高23m，斜坡AB的坡度i=1∶3，斜坡CD的坡度i=1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽AD和斜坡AB的长(精确到0.1m).解：作BE⊥AD，CF⊥AD，在Rt△ABE和Rt△CDF中，∴AE=3BE=3×23=69(m).FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m).∴AD=AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m).因为斜坡AB的坡度i＝tanα＝1/3≈0.3333，α≈18°26′答：斜坡AB的坡角α约为18°26′，坝底宽AD为132.5米，斜坡AB的长约为72.7米.4.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发.如图，已知小山北坡的坡度，山坡长为240米，南坡的坡角是45°.问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？（将山路AB、AC看成线段，结果保留根号）解：过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，∠B=45°答：李强以122米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A.5.某公园有一滑梯，横截面如图所示，AB表示楼梯，BC表示平台，CD表示滑道.若点E，F均在线段AD上，四边形BCEF是矩形，且sin∠BAF=2/3，BF=3米，BC=1米，CD=6米.求：(1)∠D的度数；(2)线段AD的长.解：（1）∵四边形BCEF是矩形，∴∠BFE=∠CEF=90°，CE=BF，BC=FE，∴∠BFA=∠CED=90°，∵CE=BF，BF=3米，∴CE=3米，∵CD=6米，∠CED=90°，∴∠D=30°.（2）∵sin∠BAF=2/3，∴BFAB=2/3，【教学说明】通过练习，巩固本节课所学内容.四、师生互动、课堂小结先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结.教师作以补充.布置作业:教材“习题23.2”中第5、8题.知道坡度、坡角的概念，能利用解直角三角形的知识解决与坡度、坡角有关的实际问题，特别是与梯形有关的实际问题，懂得通过添加辅助线把梯形问题转化为直角三角形来解决.确定事件和随机事件自学目标：1.通过对生活中各种事件的判断，归纳出必然事件，不可能事件和随机事件的特点，并根据这些特点对有关事件作出准确判断.2.历经实验操作、观察、思考和总结，归纳出三种事件的各自的本质属性，并抽象成数学概念.重、难点：随机事件的特点并能对生活中的随机事件作出准确判断.自学过程：一、课前准备：1.在一定条件下必然发生的事件，叫做；在一定条件下不可能发生的事件，叫做；在一定条件下可能发生也可能不发生的事件，叫做 .2.下列问题哪些是必然发生的？哪些是不可能发生的？(1)太阳从西边下山； (2)某人的体温是100℃；(3)a2+b2=－1(其中a，b都是实数)； (4)水往低处流；(5)酸和碱反应生成盐和水； (6)三个人性别各不相同；(7)一元二次方程x2+2x+3=0无实数解.3.什么是必然事件？什么又是不可能事件呢？它们的特点各是什么？二、自主探究：活动1：5名同学参加演讲比赛，以抽签方式决定每个人的出场顺序.签筒中有5根形状大小相同的纸签，上面分别标有出场的序号1，2，3，4，5.小军首先抽签，他在看不到的纸签上的数字的情况从签筒中随机（任意）地取一根纸签.请考虑以下问题：（1）抽到的序号是0，可能吗？这是什么事件？（2）抽到的序号小于6，可能吗？这是什么事件？（3）抽到的序号是1，可能吗？这是什么事件？（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？活动2：小伟掷一个质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1至6的点数.请考虑以下问题，掷一次骰子，观察骰子向上的一面：（1）出现的点数是7，可能吗？这是什么事件？（2）出现的点数大于0，可能吗？这是什么事件？（3）出现的点数是4，可能吗？这是什么事件？（4）你能列举与事件（3）相似的事件吗？（1）上述两个活动中的两个事件（2）怎样的事件称为随机事件呢？（3）与必然事件和不可能事件的区别在哪里？三、巩固新知：1．下列事件是必然发生事件的是（）A.打开电视机，正在转播足球比赛B.小麦的亩产量一定为1000公斤C.在只装有5个红球的袋中摸出1球是红球D.农历十五的晚上一定能看到圆月2．下列事件中是必然事件的是 ( )A.早晨的太阳一定从东方升起B.安阳的中秋节晚上一定能看到月亮C.打开电视机正在播少儿节目D.小红今年14岁了她一定是初中生3．一个鸡蛋在没有任何防护的情况下，从六层楼的阳台上掉下来砸在水泥地面上没摔破( )A.可能性很小B.绝对不可能C.有可能D.不太可能4．下列各语句中是必然事件的是 ( )A.两个分数相加和一定是整数B.两个分数相乘积一定是整数C.两个互为相反数的和为0D.两个互为相反数的积为05．下列说法正确的是 ( )A.可能性很小的事件在一次实验中一定不会发生B.可能性很小的事件在一次实验中一定发生C.可能性很小的事件在一次实验中有可能发生D.不可能事件在一次实验中也可能发生6．下列事件：A.袋中有5个红球，能摸到红球B.袋中有4个红球，1个白球，能摸到红球C.袋中有2个红球，3个白球，能摸到红球D.袋中有5个白球，能摸到红球问上述事件哪些事件是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件？7．指出下列事件中，哪些是必然事件，哪些是不可能事件，哪些是随机事件.（1）两直线平行，内错角相等；（2）刘翔再次打破110米栏的世界纪录；（3）打靶命中靶心；（4）掷一次骰子，向上一面是3点；（5）13个人中，至少有两个人出生的月份相同；（6）经过有信号灯的十字路口，遇见红灯；（7）在装有3个球的布袋里摸出4个球（8）物体在重力的作用下自由下落.（9）抛掷一千枚硬币，全部正面朝上.11。
数学相似三角形的知识点归纳
数学相似三角形的知识点归纳数学相似三角形的知识点归纳数学是人们认识自然、认识社会的重要工具。
它是一门古老而崭新的科学，是整个科学技术的基础。
随着社会的发展、时代的变化，以及信息技术的发展，数学在社会各个方面的应用越来越广泛，作用越来越重要。
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数学相似三角形的知识点归纳篇1本章有以下几个主要内容：一、比例线段1、线段比，2、成比例线段，3、比例中项————黄金分割，4、比例的性质：基本性质；合比性质；等比性质（1）线段比：用同一长度单位度量两条线段a，b，把他们长度的比叫做这两条线段的比。
（2）比例线段：在四条线段a，b，c，d中，如果线段a，b的比等于线段c，d的比，那么，这四条线段叫做成比例线段。
简称比例线段。
（3）比例中项：如果a：b=b：c，那么b叫做a，c的比例中项（4）黄金分割：把一条线段分成两条线段，如果较长线段是全线段和较短线段的比例中项，那么这种分割叫做黄金分割。
这个点叫做黄金分割点。
顶角是36度的等腰三角形叫做黄金三角形宽和长的比等于黄金数的矩形叫做黄金矩形。
（5）比例的性质基本性质：内项积等于外项积。
（比例=====等积）。
主要作用：计算。
合比性质，主要作用：比例的互相转化。
等比性质，在使用时注意成立的条件。
二、相似三角形的判定平行线等分线段——————平行线分线段成比例————————平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边延长线），所截线段对应成比例——————（预备定理）平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边延长线）相交，所截三角形与原三角形相似——————相似三角形的判定：类比于全等三角形的判定。
三、相似三角形的性质1、定义：相似三角形对应角相等对应边成比例。
2、相似三角形对应线段（对应角平分线、对应中线、对应高等）的比等于相似比3、相似三角形周长的比等于相似比4、相似三角形面积的比等于相似比的平方四、图形的位似变换1、几何变换：平移，旋转，轴对称，相似变换2、相似变换：把一个图形变成另一个图形，并保持形状不变的几何变换叫做相似变换。
第5课时-直角三角形相似的判定方法
第5课时-直角三角形相似的判定方法4．如图22－2－30，已知△ABC与△ADE 中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC与△DAE相似的是()A．∠B＝∠DB. ABAC＝ADDEC．AD∥BCD. BCAC＝ADDE图22－2－305．现有下列说法：①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰直角三角形都相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④有两边成比例的两个直角三角形相似．其中正确的有()A．1个B．2个C．3个D．4个6．如图22－2－31，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，C是线段BD的中点，且ED ＝1，AC＝2 5，BD＝4.求证：△ABC∽△CDE.图22－2－31知识点3相似直角三角形在测量中的应用7．如图22－2－32，为估算某河的宽度，在河的对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB 等于()A．60 m B．40 mC．30 m D．20 m图22－2－328．为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图22－2－33所示的测量方案．把镜子放在离树(AB)8.7 m 的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7 m，观测者目高CD＝1.6 m，则树高AB约是________m(精确到0.1 m)．图22－2－339．如图22－2－34是一个常见铁夹的侧面示意图，铁夹的侧面是轴对称图形，OA，OB表示铁夹的两个边，点C在轴线上，CD⊥OA于点D，已知AD＝15 mm，OD＝24 mm，CD＝10 mm，请求出A，B两点间的距离．图22－2－3410．如图22－2－35，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找到一点N(不与点A，B重合)，使得△CDM与△MAN相似？若能，找到点N的位置；若不能，请说明理由．图22－2－3511．在△ABC与△DEF中，∠C＝∠E＝90°，AC＝5，AB＝13，DF＝26，要使△ABC 与△DEF相似，DE的长可以是多少？12．如图22－2－36①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把点E 叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．解决问题：(1)如图①，∠A ＝∠B ＝∠DEC ＝45°，试判断点E 是不是四边形ABCD 的边AB 上的“相似点”，并说明理由；(2)如图②，在矩形ABCD 中，已知AB ＝2 3，BC ＝3，M 是AD 边上的一点，将矩形ABCD 沿CM 折叠，点D 恰好落在AB 边上的点E 处．求证：点E 是四边形ABCM 的边AB 上的一个“强相似点”．图22－2－361．10 [解析] 由A′B′15＝812，解得A′B′＝10. 2．A [解析] 假设△ABC ∽△CAD ，则CD AC＝AC AB ，即CD b ＝b c ，解得CD ＝b 2c.∴如果△ABC ∽△CAD ，那么CD ＝b 2c.故选A . 3．证明：∵AC·CD ＝BC·AD ，∴AC BC ＝AD CD. ∵CD 为△ABC 的高，∴∠ADC ＝∠CDB ＝90°，∴Rt△ACD∽Rt△CBD，∴∠ACD＝∠B.又∵∠DCB＋∠B＝90°，∴∠DCB＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.4．D[解析] D项中，一个是直角三角形的两条直角边，一个是直角三角形的斜边和直角边．它们不符合直角三角形相似的判定定理．5．B6．[解析] 要证明△ABC与△CDE相似，通过已知并结合图形，观察可知这两个三角形已经具备一对对应角相等，即∠B＝∠D＝90°，那么再由已知条件求出两条直角边对应成比例即可．证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，∴∠B＝∠D＝90°.又∵C是线段BD的中点，BD＝4，∴BC＝CD＝2.∵AC＝2 5，BC＝2，∴AB＝AC2－BC2＝4，∴AB∶CD＝BC∶DE＝2∶1，∴△ABC∽△CDE.7．B8．5.2 [解析] 由CD⊥BD，AB⊥BE，得∠CDE＝∠ABE＝90°.由光的反射原理可知∠CED＝∠AEB，所以△CED∽△AEB，再利用对应边成比例就可以求出树高AB.9．解：如图，连接AB，同时连接OC并延长交AB于点E.∵铁夹的侧面是轴对称图形，∴直线OE是其对称轴，∴OE⊥AB，AE＝BE.∵∠COD＝∠AOE，∠CDO＝∠AEO＝90°，∴Rt△OCD∽Rt△OAE，∴OCOA＝CDAE.又∵OC＝OD2＋CD2＝242＋102＝26，∴2624＋15＝10AE，解得AE＝15(mm)，∴AB＝2AE＝30 mm.答：A，B两点间的距离为30 mm. 10．解：能找到．分两种情况讨论：①若△CDM∽△MAN，则DMAN＝CDAM.∵正方形ABCD的边长为a，M是AD的中点，∴CD＝a，DM＝AM＝a 2，∴AN＝1 4a.②若△CDM∽△NAM，则CDAN＝DMAM.∵CD＝a，DM＝AM＝a 2，∴AN＝a，即点N与点B重合，不合题意，舍去．综上可得，能在边AB上找到一点N(不与点A，B重合)，使得△CDM与△MAN相似．当AN＝14a时，点N的位置满足条件．11．解：若△ABC∽△DFE，则ABDF＝ACDE，即1326＝5DE，解得DE＝10；若△BAC∽△DFE，则ABDF＝BCDE，即1326＝132－52DE，解得DE＝24.综上可得，DE的长可以是10或24.12．解：(1)点E是四边形ABCD的边AB 上的“相似点”．理由如下：∵∠DEC＝45°，∴∠AED＋∠BEC＝135°.∵∠A＝45°，∴∠ADE＋∠AED＝135°，∴∠ADE＝∠BEC，∴△ADE∽△BEC，∴点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”．(2)证明：由题意可知DM＝EM，EC＝CD ＝AB＝2 3，∠A＝∠B＝∠MEC＝90°.由勾股定理，得BE＝CE2－BC2＝（2 3）2－32＝ 3.则AE＝ 3.∵∠A＝∠B＝∠MEC＝90°，∴∠AEM＋∠AME＝90°，∠AEM＋∠BEC＝90°，∴∠AME＝∠BEC.又∵∠A＝∠B，∴△AEM∽△BCE，∴AMBE＝AEBC，即AM3＝33，解得AM＝1.由勾股定理，得EM＝2.∵AEAM＝3，ECEM＝3，∴AEAM＝ECEM，即AEEC＝AMEM.又∵∠A＝∠CEM，∴△AEM∽△ECM.又∵△AEM∽△BCE，∴△AEM∽△BCE∽△ECM，∴点E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”．。
高中数学： 相似三角形的判定及有关性质
相似三角形的判定及有关性质【学习目标】1. 了解平行线截割定理，会证明并应用直角三角形射影定理．2. 理解并掌握相似三角形的判定及性质。
【要点梳理】要点一、平行截割定理 1。
平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他与这组平行线相交的直线上截得的线段也相等。
推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边． 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰． 2．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 如右图：l 1∥l 2∥l 3，则，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EFDF=== 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例．要点诠释：由上述定理可知：在证明有关比例线段时，辅助线往往作平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.要点二、相似三角形 1.定义对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形，相似三角形对应边的比值叫做相似比（或相似系数）．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”。
要点诠释：关于相似三角形要注意以下几点：① 对应性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．② 顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③ 两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④ 全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．2．相似三角形的判定定理①两角对应相等的两个三角形相似。
②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。
③三边对应成比例的两个三角形相似。
④平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． 3．相似直角三角形的判定定理①如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似． ②如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似．③如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似。
相似三角形的判定数学教学教案【优秀10篇】
相似三角形的判定数学教学教案【优秀10篇】（经典版）编制人：__________________审核人：__________________审批人：__________________编制单位：__________________编制时间：____年____月____日序言下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。
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3.3 (第五课时)相似三角形的判定3(SAS)
A
P
B
C
中考 试题
例2 已知ABC的三边长分别为6cm，7.5cm，9cm，
△DEF的一边长为4cm，当△DEF的另两边长是下列哪一
组时，这两个三角形相似（ C A. 2cm，3cm； C. 5cm，6cm；
）. B. 4cm，5cm； D. 6cm，7cm .
又 ∵∠A=∠A，
∴ △ADE∽△ACB．
例3.已知：如图，△ABC中，P是AB边上的一点，连结 CP．试增添一个条件使△ ACP∽△ABC． 【解析】 ⑴∵∠A=∠A， ∴当∠1= ∠ACB (或∠2= ∠B)时, P B 1 2 C
A
△ACP∽△ABC .
⑵ ∵∠A=∠A， ∴当AC:AP＝AB:AC时， △ ACP∽△ABC. 答：增添的条件可以是
数形结合
∴△ABC∽△ A B C .
2. 已知在Rt△ABC与Rt△ A B C 中，∠C =∠C′= 90°， AB=6cm，AC=4.8cm，A B =5cm，B C =3cm. 求证：△ A B C ∽△ABC.
证明： AB = 6 , AC = 4.8 = BC与Rt△ A B C 中，∠C =∠C′= 90°， AC=3cm，BC=2cm， C = 4.2cm，B C = 2.8cm. A 求证：△ A B C ∽△ABC.
∵ 证明： AC = 5 , BC = 5 . A C 7 B C 7 C = C = 90 ,
AC 3.5 D F E F . AC BC BC 2.5
∠F=∠C， ∠F是边FD与FE的夹角， ∠C是边CA与CB的夹角，
人教版八年级数学上册第12章第5课时 三角形全等的判定——HL
小结：在一线三直角模型中，推出对应角相等，进而判定全 等，得到相关线段相等，最后判断数量关系.
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★12.(1)如图(1)，AB⊥AD，ED⊥AD，AB＝CD，AC＝DE， 试说明 BC⊥CE 的理由； (2)如图(2)，若△ABC 向右平移，使得点 C 移到点 D，AB⊥ AD，ED⊥AD，AB＝CD，AD＝DE，探索 BD⊥CE 的结论是 否成立，并说明理由．
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10.如图，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°，下列结论不成立的是 ( C) A．∠DAE＝∠CBE B．CE＝DE C．△DAE 与△CBE 不一定全等 D．∠1＝∠2
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7.【例 3】如图，BD，CE 分别是△ABC 的高，且 BE＝CD， 求证：Rt△BEC≌Rt△CDB. 证明：∵BD，CE 分别是△ABC 的高，
第十二章 全等三角形
第5课时 三角形全等的判定(4)——HL
数学
目录
01 学习目标 02 知识要点 03 对点训练 04 精典范例 05 变式练习
数学
学习目标
1.掌握用 HL 证明两个三角形全等． 2．能灵活运用全等三角形的性质解决线段或角 相等的问题． 3．通过画、量、观察、比较和猜想等过程，探 索、归纳、证明两个三角形全等的条件，提高运 用知识的能力.
∴∠BEC＝∠CDB＝90°，
在 Rt△BEC 和 Rt△CDB 中，BBCE＝＝CCBD ，
∴Rt△BEC≌Rt△CDB(HL).
小结：根据高的定义求出∠BEC＝ ∠CDB＝90°，再根据 HL 证明.
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11.如图，在△ABC 中，AB＝CB，∠ABC＝90°，F 为 AB 延 长线上一点，点 E 在 BC 上，且 AE＝CF.求证：Rt△ABE≌ Rt△CBF.
2021年沪科版数学八年级上册第5课时 用HL判定直角三角形全等教案与反思
第5课时用HL判定直角三角形全等工欲善其事，必先利其器。
《论语·卫灵公》翰皓学校陈阵语【知识与技能】学会判定直角三角形全等的特殊方法，提升合情推理能力，并熟练运用判定两个直角三角形全等的方法.【过程与方法】通过探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题；熟练掌握两个三角形全等的判定方法.【情感与态度】感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值.【教学重点】重点是掌握判定直角三角形全等的特殊方法.【教学难点】难点是应用“HL”解决直角三角形全等的问题；三角形全等判定方法的运用.一、回顾交流1.课堂演练已知如下图所示，BC=EF,AB⊥BE垂足为B,DE⊥BE垂足为E,AB=DE.求证：AC=DF【分析】要证AC=DF,必须寻找与AC,DF有关的三角形，然后证明它们全等，这里由已知条件分析可得∠ABC=∠FED=90°,AB=DE,BC=EF,利用SAS可证明出这两个直角三角形全等【证明】（学生板演）2.问题迁移如果将上题AB=DE改成AC=DF,其他条件不变，你能证明出AB=DE吗？引导：画一个任意Rt△ABC使得∠C=90°，然后画出△A1B1C1满足条件B1C1=BC，A1B1=AB,再把画好的Rt△A1B1C1剪下来看看是否能与Rt△ABC完全重合.3.作图已知Rt△ABC,其中∠C为直角，求作：Rt△A1B1C1,使∠C1为直角,A1C1=AC,A1B1=AB.作法：①作∠MC1N=∠C=90°；②在C1M上截取C1A1=CA；③以A1为圆心，AB长为半径画弧，交C1N于点B1,④连接A1B1，则Rt△A1B1C1就是所求作的直角三角形直角三角形全等判定定理：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.（记为“斜边，直角边”或“HL”）二、例题分析例1 (课本第108页例7)已知:如图∠BAC=∠CDB=90°,AC=DB，求证：AB=DC.【证明】∵∠BAC=∠CDB=90°（已知）∴△BAC,△CDB都是直角三角形又∵AC=DB（已知）BC=CB（公共边）∴Rt△ABC≌Rt△DCB（HL）∴AB=DC（全等三角形的对应边相等）例2（课本第107页例8已知:如图AB=CD，BC=DA，E，F是AC上的两点，且AE=CF求证：BF=DE【分析】本题需要两次证明三角形全等，首先证明△ABC≌△CDA(SSS)，得出∠1=∠2，再由“边角边”定理证明△DAE≌△BCF，最后证出BF=DE【证明】在△ABC和△CDA中∵AB=CD(已知)BC=DA（已知）CA=AC（公共边）∴△ABC≌△CDA（SSS）∴∠1=∠2(全等三角形的对应角相等)在△BCF和△DAE中∵BC=DA(已知)∠1=∠2（已证）CF=AE（已知）△BCF≌△DAE(SAS)∴BF=DE(全等三角形的对应边相等)例3 （课本第110页例9）证明：全等三角形的对应边上的高相等.【分析】本题关键是写出已知，然后进行证明.已知:如图△ABC≌△A′B′C′,AD,A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，求证：AD=A′D′【证明】∵△ABC≌△A′B′C′（已知）∴AB=A′B′，∠B=∠B′（全等三角形的对应边、应角相等）∵AD、A′D′分别是△ABC和△A′B′C′的高，∴∠ADB=∠A′D′B′=90°（垂直的定义）在△ABD和△A′B′D′中∠B=∠B′(已证)∠ADB=∠A′D′B′（已证）AB=A′B′（已证）∴△ABD≌△A′B′D′(AAS)∴AD=A′D′（全等三角形的对应边相等）【教学说明】引导学生思考，证明直角三角形全等与证明普通三角形全等的区别三、运用新知，深化解1.课本第109页练习1、2.2.课本第110~111页练习1、3.四、师生互动，课堂小结1.直角三角形是特殊的三角形，一般三角形所具有的性质，直角三角形都具备，因此判定两个直角三角形全等时，完全可以用前面学过的判定方法：“SAS,ASA,AAS,SSS”，此外，还有“斜边、直角边”即“HL”；有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等..选择合适的判定定理证明相应的问题；以及将文字题转化为符号语言，并与图形结合，写出已知、求证.1.课本第109页练习第3题.2.课本第110~111页练习第2、4题.3.完成练习册中的相应作业.本节设计“回顾交流——例题分析——运用新知，深化理解——师生互动，课堂小结”四个环节，使学生学会判定直角三角形全等的特殊方法，发展合情推理能力，并熟练运用判定两个三角形全等的方法，经历探索直角三角形全等条件的过程，学会运用“HL”解决实际问题；熟练掌握两个三角形全等的判定方法，感受数学思想，激发学生的求知欲，使学生体会到逻辑推理的应用价值.【素材积累】海明威和他的“硬汉形象”美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。
三角形全等的判定第5课时斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形课件度八年级上册沪科版数学
M
A'
A
(3) 以 A' 为圆心，AB 为半径画弧，
交C'N 于点 B'； (4) 连接 A'B'.
N B'
C'
B
C
则△A′B′C′就是所求作的三角形.
将画好的Rt△A‘B’C‘与Rt△ABC叠一叠，看看它们能否完全重合？由此你
能得到什么结论？
现象：两个三角形能完全重合. 说明：这两个三角形全等.
∴△ABC 和△APQ 全等有2种情况：① Rt△ABC≌Rt△QPA；②Rt△ABC≌Rt△PQA
①当 P 运动到 AP＝BC 时， ∵∠C＝∠QAP＝90°. 在 Rt△ABC 与 Rt△QPA 中，
PQ＝AB， AP＝BC， ∴ Rt△ABC≌Rt△QPA (HL). ∴ AP＝BC＝5 cm；
判定两个直角三角形全等,除了根据上面一般三角形的判定方法外,有没 有特定的方法?
新知学习 两个直角三角形全等的判定
已知：Rt△ABC，其中∠C为直角. 求作：Rt△A'B'C'，使∠C'为直角，A'C'=AC，A'B'=AB.
A
B
C
作法： (1) 作∠MC'N=∠C = 90°； (2) 在C'M 上截取 C'A' = CA；
斜边和直角边 分别相等的两个
直角三角形
前提条件 在直角三角形中
使用方法
只须找除直角外的两个条件即可 （两个条件中至少有一个条件是一组对 应边相等）
归纳
判定两个直角三角形全等的另一种方法是: 定理 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等. 简记为“斜 边、直角边”或“HL”.
两个直角三角形全等的判定
14.2 三角形全等的判定
第5课时 两个直角三角形全等的判定
导入新课
讲授新课
当堂练习
课堂小结
学习目标
情境引入
1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．
（难点）
2．会用直角三角形全等的判定方法“HL”判定两个
直角三角形全等．（重点）
导入新课
旧知回顾:我们学过的判定三角形全等的方法
知识要点
“斜边、直角边”判定方法
文字语言：
“SSA”可以判定两个 直角三角形全等，但是 “边边”指的是斜边和 一直角边，而“角”指 的是直角.
斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等
（简写成“斜边、直角边”或“HL”）.
B 几何语言：
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
AB=A′B′,
A
当堂练习
1.判断两个直角三角形全等的方法不正确的有（ D ）
A.两条直角边对应相等
B.斜边和一锐角对应相等
C.斜边和一条直角边对应相等
D.两个锐角对应相等
2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，CE⊥AB于点
E ，AD、CE交于点H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，
则 CH的长为（ A ）
A．1 B．2 C．3
C
B′
BC=B′C′,
∴Rt
A′
C′
判一判
判断满足下列条件的两个直角三角形是否全等，不全等的
画“×”，全等的注明理由：
（1）一个锐角和这个角的对边对应相等；（ AAS ）
（2）一个锐角和这个角的邻边对应相等；（ × ）
（3）一个锐角和斜边对应相等； （4）两直角边对应相等；
这是应用“HL”判
三角形相似的判定课件浙教版数学九年级上册(完整版)
E
D
F
作业布置
选做题：
3.如图，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF与AC交于点G，则相似三角形共
有( C )。 A．3对 B．5对 C．6对 D．8对
作业布置
选做题： 4.如图所示，△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，BD与CE相 交于点F，连结DE. 求证：△BEF∽△CDF；
证明：∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠BEF＝∠CDF＝90°， 又∵∠EFB＝∠DFC， ∴△BEF∽△CDF.
F
∴△ADE∽△ABC.
新知讲解
判定三角形相似的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三 角形相似.
根据上述预备定理，我们可以得到以下三角形相似的判定定理：
有两个角对应相等的两个三角形相似.
新知讲解
已知：如图，在△ABC与△A'B'C'中，∠A=∠A'，∠B=∠B'. 求证：△ABC∽△A'B'C'.
作业布置
【综合实践类作业】 5.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，BE平分 ∠ABC，BE分别与AC，CD相交于点E，F. 求证：△AEB∽△CFB.
证明：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD＋∠BCD＝90°. ∵CD为AB边上的高， ∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°， ∴∠A＝∠BCD.∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE，∴△AEB∽△CFB.
F
AD AE，BF AE，DE AE， AB AC BC AC BC AC
AD BF DE
AB BC BC
新知讲解
【合作学习】
如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，DE∥BC.
数学人教版八年级上册12.2.5 利用斜边和直角边判定直角三角形全等
知2－练
3 如图, ∠ACB＝90°, AC＝BC, BE⊥CE于点 E, AD⊥CE于点D, 下面四个结论: ①∠ABE＝ ∠BAD; ②△CEB≌△ADC; ③AB＝CE; ④AD －BE＝DE.其中正确的是 ①__②__④_ ．(将你认为正 确结论的序号都写上)
知2－练
4 如图, MN∥PQ, AB⊥PQ, 点A, D在直线MN上, 点B, C在直线PQ上, 点E在AB上, AD＋BC＝7, AD＝EB, DE＝EC, 则AB＝______7__.
（来自教材）
知1－讲
例1 〈重庆江津, 节选〉如图, 在△ABC中, AB＝ CB, ∠ABC＝90°, F为AB延长线上一点, 点 E在BC上, 且AE＝CF. 求证: Rt△ABE≌Rt△CBF.
导引: 根, 可利用“HL”证明Rt△ABE≌Rt△CBF.
例2 已知: 如图, AC⊥BC, BD⊥AD, 垂足 分别为C , D, AC=BD,求证; BC=AD.
证明: ∵AC⊥BC, BD⊥AD,
知2－讲
∴ ∠C与∠D都是直角. 在Rt△ABC≌Rt△BAD中,
AB=BA, AC=BD,
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL). ∴ BC=AD.
（来自《点拨》）
证明: ∵AB⊥CF, DE⊥CF, ∴∠ABC＝∠DEF＝90°. 在Rt△ABC和Rt△DEF中,
知1－练
AC DF
AB
DE
∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL)．
∴BC＝EF.∴BC－BE＝EF－BE,
即CE＝BF.
（来自《点拨》）
知1－练
2 如图, ∠C＝∠D＝90°, 添加一个条件, 可使用“HL” 判定Rt △ABC与Rt △ABD全等．以下给出的条件 适合的是( ) A A．AC＝AD B．AB＝AB C．∠ABC＝∠ABD D．∠BAC＝∠BAD
利用斜边直角边判定两直角三角形相似PPT课件
b
b
为顶点的三角形与以点C,D,B为顶点的三角形相似.
感悟新知
知1－练
例2 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下 列条件中不能判定这两个三角形相似的是( C ) A．∠A＝55°，∠D＝35° B．AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 C．AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D．AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9
A．AB∥CD
B．BC平分∠ABD
C．∠ABD＝90° D．AB：BC＝BD：CD
课堂小结
“三点定形法”是证明线段等积式或比例式以及利用等积式、 比例式求线段长中找相似三角形的最常用的方法，即设法找 出比例式或等积式(或变化后的式子)中所包含的几个字母， 看是否存在可由“三点”确定的两个相似三角形．它通常通 过“横看”“竖看”两种方法找相似三角形，横看：即看两 比例前项、两比例后项是否分别在两个相似三角形中；竖看： 即看比例式等号两边各自的前、后项是否分别在两个相似三 角形中．
98
35
摆一摆略。
归纳总结：
计算两位数加、减整十数，先把两位数拆分成整十数和 一位数，再把整十数相加、减，最后和一位数相加。
（讲解源于《典中点》）
一共吃了多少只虫子？
易错辨析（选题源于《典中点》）
4．填表。
加数 加数
和
23 36 40 50
63 86
59 30 20 27
79 57
辨析：求和用加法，求加数用和减另一个加数。
6．每人1瓶水，还差多少瓶水？ 42－30=12（瓶）
56 ＋ 30 86 50＋30＝80 80＋6＝86
答：一共吃了___8_6_只虫子。
56 － 30 26