高中数学课下能力提升九垂直关系的判定北师大版必修

北师大版高中数学必修《垂直关系》实用PPT1

垂足
平面的垂线
图形表示：
直线 l 的垂面
符号表示： l
我们来探究
问题一：如果一条直线 l 垂直于一个平面
内的一条直线，能确定 l 吗？
l
我们来探究
问题二：如果一条直线 l 垂直于一个平面
内的两条直线，能确定 l 吗？
l
我们来探究
问题三：如果一条直线 l 垂直于一个平面
内的无数条直线，能确定 l 吗？
•
6.这一前提假设在经济系统相对于生态系统较小时，即世界是一个“空的世界 ”时尚能满足，但在经济系统快速增长，世界逐渐从“ 空的世界”变成“满的世界 ”后，这一假设就很难满足了。
•
7.当人们不能改变客观的社会环境时，要避免应激性疾病的发生就应该不断降低心理压力。降低心理压力的方法是多种多样的，正确认识事物，获得积极的情感体验是一个重要的方法。
（2）利用判定定理，证明这条直线和平面内的两条相交直线垂直；
共同点：线线垂直
线面垂直
我们共努力
Homework
作业
1.（必做）本P42第4,5题；
2.（选做）探究直线与平面垂直的性质；
3.（校本）查阅资料，了解直线与平面垂直的判定定理的证明方法.
•
1.交代故事发生的时间、环境；描绘出一幅令人恐惧的画面，渲染紧张气氛。侧面表现人物恐惧痛苦的内心世界，与他所向往的温馨的家庭生活环境形成鲜明对比。
•
2.但是，情况终于改变了。一些急欲挽救中国的社会改革家发现，旧时代的主流意识形态必须改变，而那些数千年来深入民间社会的精神活力则应该调动起来。因此，大家又重新惊喜地发现了墨子。

高中数学北师大版必修2课件：垂直关系的判定

目标导航
预习引导
2.二面角及其平面角 (1)半平面的定义:一个平面内的一条直线,把这个平面分成两部分, 其中的每一部分都叫作半平面. (2)二面角的定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角,这条直线叫作二面角的棱,这两个半平面叫作二面角的面. (3)二面角的记法: 以直线 AB 为棱,半平面 α,β 为面的二面角,记作二面角 α-AB-β. (4)二面角的平面角: 以二面角的棱上任一点为端点,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角. (5)直二面角:平面角是直角的二面角叫作直二面角.
问题Байду номын сангаас学
当堂检测
2.面面垂直的判定活动与探究例2
如图所示,在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点.求证:平面 ABM⊥平面 A1B1M. 思路分析:要证明平面 ABM⊥平面 A1B1M,只需证明 BM⊥平面 A1B1M 即可,从而只需证明 BM⊥A1B1,BM⊥B1M.
问题导学
当堂检测
迁移与应用 1.已知四棱锥 P-ABCD 的底面是菱形,且∠ABC=60° ,PA=PC=2, PB=PD.若 O 是 AC 与 BD 的交点,求证:PO⊥平面 ABCD.
证明:∵ PA=PC,PD=PB,且 O 是 AC 和 BD 的中点, ∴ PO⊥AC,PO⊥BD.又 AC∩BD=O,∴ PO⊥平面 ABCD.
问题导学
当堂检测
证明:∵ A1B1⊥平面 BCC1B1,BM⫋平面 BCC1B1, ∴ A1B1⊥BM.
2 又 B1M= ��1 ��1 + ��1 ��2 = 2,

1.6.1 垂直关系的判定课件(北师大必修2)

的平面，M是圆周上任意一点，AN⊥PM，垂足为N.求证： AN⊥平面PBM.
[自主解答]
设圆O所在的平面为α， α，
已知PA⊥α，且BM ∴PA⊥BM.
又∵AB为⊙O的直径，点M为圆周上一点，
∴AM⊥BM.∵直线PA∩AM＝A，
∴BM⊥平面PAM. 又AN 平面PAM，
∴BM⊥AN.这样，AN与PM，BM两条相交直线垂直．故AN⊥平面PBM.
当a＝2时，以AD为直径的圆与边BC相切，故只有一
个点Q，使PQ⊥QD. 当a>2时，以AD为直径的圆与边BC相交，故只有两个点Q，使PQ⊥QD. 当0<a<2时，以AD为直径的圆与边BC无公共点，故
BC边上不存在点Q，使PQ⊥QD.
Байду номын сангаас
连接AD，SD. ∵∠ASB＝∠ASC，且SA＝SB＝SC， ∴AS＝AB＝AC. ∴AD⊥BC. 又△ABS是正三角形，△BSC为等腰直角
三角形，
∴BD＝SD. ∴AD2＋SD2＝AD2＋BD2＝AB2＝AS2. 由勾股定理的逆定理，知AD⊥SD. 又∵SD∩BC＝D，∴AD⊥平面BSC.
又AD
平面ABC，
∴平面ABC⊥平面BSC.
法二：同法一证得 AD⊥BC，SD⊥BC，则∠ADS 即为二面角 A－BC－S 的平面角． ∵∠BSC＝90° ，令 SA＝1， 2 2 则 SD＝，AD＝，∴SD2＋AD2＝SA2. 2 2 ∴∠ADS＝90° .∴平面 ABC⊥平面 BSC.
[悟一法] 常用的两个平面互相垂直的判定方法： (1)定义法，即证明这两个平面所成的二面角是直二面角；
但l不垂直于α.
3．如图所示的是一块三角形纸片，过顶点A 翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD，DC与桌面接触)，折痕AD与桌面垂直吗？提示：不一定垂直，只有当AD⊥BC时， AD才与桌面所在的平面垂直．

北师大版数学必修二课件：垂直关系的判定

求证:(1)AF∥平面PCE;
(2)平面PCE⊥平面PCD.
探究一
探究二
易错辨析
分析:(1)要证AF∥平面PCE,只需证明AF平行于平面PCE内的一
条直线即可,取PC的中点G,则该直线为GE.
(2)要证明平面PCE⊥平面PCD,只需证明GE⊥平面PCD,而由(1)
知GE∥AF,故只需证明AF⊥平面PCD即可.
腰三角形底边上的中线、梯形的高、菱形和正方形的对角线、三
角形中的勾股定理等都是找线线垂直的方法.
探究一
探究二
易错辨析
变式训练1 如图所示,AB是圆O的直径,PA垂直于圆O所在的平
面,C是圆O上的点.求证:BC⊥平面PAC.
分析:由AB是圆O的直径可知AC⊥BC,再结合PA⊥平面ABC,即可
证明BC⊥平面PAC.
直”.
(2)两个平面垂直的判定定理,不仅仅是判定两个平面垂直的依据,
而且是找出垂直于一个平面的另一个平面的依据.
(3)要证α⊥β,可证α经过β的某一条垂线,也可证明β经过α的某一
条垂线.
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打
“×”.
(1)若直线l垂直于平面α内无数条直线,则有l⊥α. (
(1)直线与平面垂直的定义
如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直,那么称这条直
线和这个平面垂直.
(2)画法:当直线与平面垂直时,通常把表示直线的线段画成和表示
平面的平行四边形的横边垂直.如图所示.
(3)直线与平面垂直的判定定理
①文字叙述:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,
那么该直线与此平面垂直.
②符号表示:若直线a⫋α,直线b⫋α,直线l⊥a,l⊥b,a∩b=A,则l⊥α.

北师大版高中数学课件：《垂直关系的判定》共40页

Thank心灵的最软弱无力。——斯宾诺莎 7、自知之明是最难得的知识。——西班牙 8、勇气通往天堂，怯懦通往地狱。——塞内加 9、有时候读书是一种巧妙地避开思考的方法。——赫尔普斯 10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。——笛卡儿
北师大版高中数学课件：《垂直关系的判定》
•
6、黄金时代是在我们的前面，而不在我们的后面。
•
7、心急吃不了热汤圆。
•
8、你可以很有个性，但某些时候请收敛。
•
9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚的工人总是说工具不好)。
•
10、只要下定决心克服恐惧，便几乎能克服任何恐惧。因为，请记住，除了在脑海中，恐惧无处藏身。-- 戴尔．卡耐基。

北师大版高中数学必修《垂直关系》标准课件1

线的交点，点P在外，且PA=PC,PB=PD.
P
求证：(1)PO
(2)若ABCD为菱形，证明： AC PD
D
A
O
C B
北师大版高中数学必修《垂直关系》标准课件1（公开课课件）
变式运用
2.已知:空间四边形ABCD中，AB=AC,DB=DC.
求证：BC AD
A
D B
C
课堂小结．
1．直线与平面垂直的定义
a // b, a b
北师大版高中数学必修《垂直关系》标准课件1（公开课课件）
北师大版高中数学必修《垂直关系》标准课件1（公开课课件）
如图，已知 a // b, a ，求证 b .
证明：在平面内作
两条相交直线m，n．
a
b
因为直线 a ，
根据直线与平面垂直的定义知 m n
一．问题引入复习:空间直线与平面的位置关系有哪几种?
α
α
α
1.2.3 空间中的垂直关系（一）
直线与平面垂直
知识识铺铺垫垫
一、直线与直线垂直：
如果两条直线相交于一点或后相交于平一移点，并
且交角为
，则称这两条直线直互角相垂直。
北师大版高中数学必修《垂直关系》标准课件1（公开课课件）
a m, a n.
又因为 b // a
所以 b m,b n.
又 m ,n ,m,n 是两条相交直线，
所以 b .
北师大版高中数学必修《垂直关系》标准课件1（公开课课件）
北师大版高中数学必修《垂直关系》标准课件1（公开课课件）
知识运用
1.如图：已知在平面内有平行四边形ABCD，点O是它的对角

北师大版高一数学必修2《垂直关系的判定》

6.1 垂直关系的判定要点一、直线和平面垂直的定义与判定1.直线和平面垂直的定义如果直线l 和平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l 与平面α互相垂直，记作l α⊥.直线l 叫平面α的垂线；平面α叫直线l 的垂面；垂线和平面的交点叫垂足.要点诠释：(1)定义中“平面α内的任意一条直线”就是指“平面α内的所有直线”，这与“无数条直线”不同，注意区别.(2)直线和平面垂直是直线和平面相交的一种特殊形式.(3)若,a b αα⊥⊂，则a b ⊥.2.直线和平面垂直的判定定理文字语言：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．图形语言：符号语言：,,,m n m n B l l m l n ααα⊂⊂=⎫⇒⊥⎬⊥⊥⎭特征：线线垂直⇒线面垂直要点诠释：(1)判定定理的条件中：“平面内的两条相交直线”是关键性词语，不可忽视.(2)要判定一条已知直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交直线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，则无关紧要.相关的重要结论：①过一点与已知直线垂直的平面有且只有一个；过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条． ②如果两条平行线中的一条与一个平面垂直，那么另一条也与这个平面垂直．③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．要点二、直线与平面所成的角1．直线与平面所成角的定义一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.要点诠释：(1)直线与平面平行，直线在平面上的射影是一条直线.(2)直线与平面垂直时射影是点.(3)斜线上任一点在平面内的射影一定在斜线的射影上.2．直线与平面所成的角θ的范围：直线和平面平行或直线在平面内，θ=0°．．直线和平面所成角的范围是0°≤θ≤90°．3．求斜线与平面所成角的一般步骤：(1)确定斜线与平面的交点即斜足；(2)经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；(3)解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．要点三、二面角1.二面角定义平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为AB 、面分别为αβ、的二面角记作二面角AB αβ--.有时为了方便，也可在αβ、内(棱以外的半平面部分)分别取点P Q 、，将这个二面角记作二面角P AB Q --.如果棱记作l ，那么这个二面角记作二面角l αβ--或P l Q --.2.二面角的平面角(1) 二面角的平面角的定义：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条射线构成的角叫做二面角的平面角.(2)二面角的平面角θ的范围：0°≤θ≤180°．当两个半平面重合时，θ=0°；当两个半平面相交时，0°＜θ＜180°；当两个半平面合成一个平面时，θ=180°．直线和平面相交不垂直时，0°＜＜90° 垂直时，=90°二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.(3) 二面角与平面角的对比角二面角图形定义从半面内一点出发的两条射线（半直线）所组成的图形从空间内二直线出发的两个半平面所组成的图形表示法由射线、点（顶点）、射线构成，表示为∠AOB由半平面、线（棱）、半平面构成，表示为二面角aαβ--(4) 二面角的平面角的确定方法方法1：（定义法）在二面角的棱上找一特殊点，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线．如右图，在二面角aαβ--的棱a上任取一点O，在平面α内过点O作OA⊥a，在平面β内过点O作BO⊥a，则∠AOB为二面角aαβ--的平面角．方法2：（垂面法）过棱上一点作棱的垂直平面，该平面与二面角的两个半平面产生交线，这两条交线所成的角，即为二面角的平面角．如下图（左），已知二面角lαβ--，过棱上一点O作一平面γ，使lγ⊥，且OAγα=，OBγβ=．∴OAγ⊂，OBγ⊂，且l⊥OA，l⊥OB，∴∠AOB为二面角lαβ--的平面角．方法3：（垂线法）过二面角的一个面内一点作另一个平面的垂线，过垂足作棱的垂线，利用线面垂直可找到二面角的平面角或其补角，此种方法通常用于求二面角的所有题目，具体步骤：一找，二证，三求．如上图（右），已知二面角A-BC-D ，求作其平面角．过点A 作AE ⊥平面BCD 于E ，过E 在平面BCD 中作EF ⊥BC 于F ，连接AF ．∵AE ⊥平面BCD ，BC ⊂平面BCD ，∴AE ⊥BC ．又EF ⊥BC ，AE ∩EF=E ，∴BC ⊥平面AEF ，∴BC ⊥AF由垂面法可知，∠AFE 为二面角A-BC-D 的平面角．要点四、平面与平面垂直的定义与判定1.平面与平面垂直定义定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面垂直.表示方法：平面α与β垂直，记作αβ⊥.画法：两个互相垂直的平面通常把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.如图：2.平面与平面垂直的判定定理文字语言：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.符号语言：,l l αβαβ⊥⊂⇒⊥图形语言：特征：线面垂直⇒面面垂直要点诠释：平面与平面垂直的判定定理告诉我们，可以通过直线与平面垂直来证明平面与平面垂直.通常我们将其记为“线面垂直，则面面垂直”.因此，处理面面垂直问题转化为处理线面垂直问题，进一步转化为处理线线垂直问题.以后证明平面与平面垂直，只要在一个平面内找到两条相交直线和另一个平面内的一条直线垂直即可.题型讲解：类型一：直线与平面垂直的判定例：如图，已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=BC=2，AA1=4，D是棱AA1上的任一点，M，N分别为AB，BC1的中点．（1）求证：MN∥平面DCC1；（2）试确定点D的位置，使得DC1⊥平面DBC．【总结升华】（1）判定线面垂直的方法：①利用线面垂直定义：一直线垂直于平面内的任意直线，则这条直线垂直于该平面．②用线面垂直判定定理：一直线与平面内的两相交直线都垂直，则这条直线与平面垂直．③用线面垂直性质：两平行线之一垂直于平面，则另一条也必垂直于这个平面．（2）证明线线（或线面）垂直有时需多次运用线面垂直的定义和线面垂直的判定定理，实现线线垂直与线面垂直的相互转化．类型二：直线和平面所成的角例．如图，三棱锥A-SBC中，∠BSC=90°，∠ASB=∠ASC=60°，SA=SB=SC．求：直线AS与平面SBC所成的角．【总结升华】求直线与平面所成的角的步骤：作角，即作出或找到斜线与它的射影所成的角；证角，即证明所作的角即为所求；求角，求角或角的三角函数值．其中作角是关键，而确定斜线在平面内的射影是作角的突破口．类型三：二面角例：如图，在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，求二面角B-A 1C 1-B 1的正切值．【总结升华】求空间角如二面角、直线和平面所成的角等，都是找出或作出平面角，再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函数值．举一反三：【变式1】已知Rt △ABC ，斜边BC α⊂，点A α∉，AO ⊥α，O 为垂足，∠ABO=30°，∠ACO=45°，求二面角A -BC -O 的大小．【总结升华】本题是用垂线法作二面角的平面角，求二面角的平面角关键是找出（或作出）平面角，再把平面角放到三角形中求解．类型四：平面与平面垂直的判定例、如图，在四棱锥P—ABCD中，PA=PB=PD=AB=BC=CD= DA=DB=2，E为PC的中点．（1）求证：PA∥平面BDE；（2）求证：平面PBC⊥平面PDC．举一反三：【变式1】如图所示，在四棱锥S-ABCD中，底面四边形ABCD是平行四边形，SC⊥平面ABCD，E 为SA的中点．求证：平面EBD⊥平面ABCD．。

北师大版高中必修26.1垂直关系的判定教学设计

北师大版高中必修26.1垂直关系的判定教学设计前言本文旨在介绍一种教学设计，以帮助学生更好地理解垂直关系的判定，以及应用垂直关系进行问题求解。

本设计适用于北师大版高中必修《数学》课程中的26.1垂直关系的学习内容。

本设计的核心理念在于，将实际生活中的例子与学习内容相结合，帮助学生更好地理解概念和定理，并通过讨论和练习，培养学生的问题解决能力。

教学目标在完成本教学设计后，学生应该能够：•确定给定线段是否垂直•应用垂直关系进行问题求解•发现并解答实际应用中的问题教学环节1. 理解垂直关系首先，介绍垂直关系的定义和定理。

通过示例图形，展示线段的垂直关系，以及垂直的定义。

接着，让学生分组练习判断线段的垂直关系。

老师可以给出若干个图形，让学生在小组中讨论，并给出判断结果。

每一组讨论完毕后，展示正确答案和解决方法，让学生理解判断垂直关系的过程以及可能的错误。

鼓励学生不断尝试和发现规律。

2. 应用垂直关系进行问题求解接下来，让学生通过实际生活中的问题，应用垂直关系进行求解。

例如，在设计房屋时，如何确定垂直关系，以确保墙体垂直，避免建筑偏差？老师可以用幻灯片或板书展示一些实际问题，并让学生在小组中讨论应用垂直关系的解决方法。

每个小组解决完问题后，让他们分享自己的解决方法和思路，并给出反馈和建议。

3. 培养问题解决能力在这个环节，老师可以给出一些简单或复杂的问题，让学生自己组织思路，寻找解决方法。

例如，在一幢大楼内，如何确定电视天线和地面之间的垂直关系？让学生在小组中自由探讨并寻找解决方法，最后，让不同小组的代表分享自己的解决方法和思路。

这个过程中，鼓励学生提出问题，不断探索，在思辨中寻找解决问题的方法。

总结本文介绍了一种教学设计，以帮助学生更好地理解垂直关系的判定，以及应用垂直关系进行问题求解。

在此过程中，通过实际生活中的例子，帮助学生更加深入地理解概念和定理，并通过分组讨论和自由探索，培养学生的问题解决能力。

《垂直关系的判定》公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)

①确定斜线与平面的交点即斜足；
②经过斜线上除斜足外任一点作平面的垂线，确定垂足，进而确定斜线在平面内的射影；
③解由垂线、斜线及其射影构成的直角三角形，求出线面角．
3.二面角
⑴ 定义：平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角 .有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角 .如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或 .
本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借助实物模型，通过直观感知、操作确认、合情推理归纳出线面、面面垂直的判定定理，将合情推理与演绎推理有机结合，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示线面、面面垂直的判定，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力.
③如果两个平行平面中的一个与一条直线垂直，那么另一个也与这条直线垂直．
2．直线与平面所成角
⑴ 定义：一条直线和一个平面相交，但不和这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线.过斜线上斜足外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面内的射影.平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
问题4：两个平面什么状态叫面面垂直呢？想直角是九十度一样，那两平面的这种角度是在哪体现呢？
问题5：那除了找二面角平面角确定垂直还有其他方法吗？由线面垂直如何得到面面垂直呢？
问题6：演示开门、关门的过程：门与地面始终垂直吗？为什么？将课本打开，直立放在桌面上，每页纸张与桌面是否垂直？为什么？（用判定定理解释）

高中数学《垂直关系的判定》导学案北师大版必修2

第10课时垂直关系的判定1.理解直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理,能用图形语言和符号语言表述这些定理,并能加以证明.2.能运用直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理证明一些空间位置关系的简单问题.3.了解二面角及其平面角的概念.天安门广场上,伫立的旗杆、纪念碑给我们一种直线与平面垂直的形象.你能否用数学语言表述一下什么是直线与平面垂直?如果一条直线与平面内的无数条直线都垂直,那么这条直线与这个平面一定垂直吗?问题1:如果直线l与平面α内的一条直线都垂直,我们就说直线l与平面α互相垂直,记作,直线l叫作平面α的,平面α叫作直线l的,唯一的公共点叫作.问题2:直线与平面垂直、平面与平面垂直的判定定理是怎样的?试用符号语言表示出来.一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则这条直线与平面垂直.符号语言表示:若l⊥a,l⊥b,a⊂α,b⊂α,,则l⊥α.平面与平面垂直的判定定理:如果一个平面经过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直.符号语言表示:若l⊥α,,则α⊥β.问题3:直线与平面所成的角、平面与平面所成的角是如何定义的?范围分别是多少?平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,称为该直线与平面所成的角,范围是.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角.以二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的两条射线,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角,范围是.问题4:如何应用线面垂直、面面垂直的判定定理?面面垂直判定定理可简述为“,则面面垂直”.使用定理时两个条件缺一不可.该定理告诉我们证明两平面垂直的问题可以转化为证明直线与平面垂直的问题,进而转化为的问题,体现了“直线与平面垂直”与“平面与平面垂直”相互转化的数学思想.直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”相互转化的数学思想,即要证线面垂直,只需证这条直线与平面内的两条垂直即可,至于这两条直线与已知直线是否有公共点是无关紧要的.定理使用时五个条件缺一不可.即l⊥a,l⊥b,a∩b=O,a⊂α,b⊂α⇒.1.若一个二面角的两个半平面分别平行于另一个二面角的两个半平面,则这两个二面角的大小关系是().A.相等B.互补C.相等或互补D.不确定2.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,以下结论不正确的是().A.AB⊥平面BCC1B1B.AC⊥平面CDD1C1C.AC⊥平面BDD1B1D.A1C⊥平面AB1D13.过一个平面的垂线和这个平面垂直的平面有个.4.已知在空间四边形ABCD中,AB=AC,DB=DC,点E为BC的中点,求证:BC⊥平面AED.直线与平面垂直的判定与证明如图所示,Rt△ABC所在的平面外有一点S,且SA=SB=SC,点D为斜边AC的中点.(1)求证:SD⊥平面ABC;(2)若AB=BC,求证:BD⊥平面SAC.面面垂直的判定与证明在如图所示的几何体中,四边形ABCD是正方形,MA⊥平面ABCD,PD∥MA,E、G、F分别为MB、PB、PC的中点,且AD=PD=2MA.求证:平面EFG⊥平面PDC.平面图形折叠后的垂直问题如图①,已知直角三角形ABC中,∠B=90°,E,F分别为AB,AC上的点,且EF∥BC,AE=2BE.现将△AEF沿EF边折叠到点A,并且点A在平面EBCF内的射影恰好是点B,如图②所示.(1)求证:平面AEF⊥平面ABE;(2)的值为何值时,EC⊥平面ABF.在四面体ABCD中,AC=BD,E,F分别为AD,BC的中点,且EF=AC,∠BDC=90°,求证:BD⊥平面ACD.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是AB,BC的中点.求证:平面B1MN⊥平面BB1D1D.如图,矩形ABCD满足AB=3,AD=2,E,F分别是AB,DC上的点,且EF∥AD,AE=1,将四边形AEFD沿EF折起,形成了三棱柱ABE-DCF,若折起后的CD=.求证:(1)CF⊥平面AEFD;(2)平面AEC⊥平面DFB.1.二面角是指().A.两个相交平面构成的图形B.从一个平面的一条直线出发的一个平面与这个平面构成的图形C.从一条直线出发的两个半平面构成的图形D.过棱上一点,在两个面内分别作棱的垂线,这两条射线所成的角2.如图,正方形ABCD交正方形ABEF于AB,M、N在对角线AC、FB上,且MN∥平面BCE,则下列结论一定成立的是().A.MN∥CEB.AM=FNC.AM=CMD.BN=FN3.已知PA⊥矩形ABCD所在平面(如图),则图中互相垂直的平面有对.4.如图,在△ABC中,AD⊥BC,将△ABD折起构成了三棱锥B-ADC.求证:AD⊥平面BDC.(2013年·辽宁卷)如图,AB是圆O的直径,PA垂直圆O所在的平面,C是圆O上的点.(1)求证:BC⊥平面PAC;(2)设Q为PA的中点,G为△AOC的重心,求证:QG∥平面PBC.考题变式(我来改编):第10课时垂直关系的判定知识体系梳理问题1:任意l⊥α垂线垂面垂足问题2:a∩b=A l⊂β问题3:[0°,90°][0°,180°]问题4:线面垂直线线垂直相交直线l⊥α基础学习交流1.C可以根据空间角的关系定理来想象这两个二面角的大小关系.2.B A正确,因为AB⊥BC且AB⊥BB1.所以AB⊥平面BCC1B1.C正确,因为BB1⊥平面ABCD,所以BB1⊥AC,又AC⊥BD,所以AC⊥平面BDD1B1.D正确,因为B1D1⊥平面A1ACC1,所以B1D1⊥A1C.同理,AB1⊥A1C.所以A1C⊥平面AB1D1.3.无数可以想象直立在课桌上的书本,书本的每一页纸都与桌面垂直.4.解:∵AB=AC,DB=DC,∴AE⊥BC,DE⊥BC,AE∩DE=E,∴BC⊥平面AED.重点难点探究探究一:【解析】(1)∵SA=SC,D为AC的中点,∴SD⊥AC.在Rt△ABC中,AD=DC=BD,∴△ADS≌△BDS,∴SD⊥BD.又∵AC∩BD=D,∴SD⊥平面ABC.(2)∵AB=BC,D为AC的中点,∴BD⊥AC,由(1)可知,SD⊥平面ABC ,∴SD⊥BD.∵SD∩AC=D,∴BD⊥平面SAC.【小结】证明线线垂直时,往往要利用平面几何中的有关方法,这是值得我们注意的地方.同时,线面垂直的定义给出了线面垂直的必备条件,但作为判定并不实用.不过直线和平面垂直时,可以得到直线和平面内的任意一条直线都垂直,给判定两直线垂直带来了方便.探究二:【解析】∵MA⊥平面ABCD,PD∥MA.∴PD⊥平面ABCD.又∵BC⊂平面ABCD,∴PD⊥BC.∵四边形ABCD为正方形,∴BC⊥DC,又PD∩DC=D,∴BC⊥平面PDC.在△PBC中,G、F分别为PB、PC的中点,∴GF∥BC,∴GF⊥平面PDC.又GF⊂平面EFG,∴平面EFG⊥平面PDC.【小结】要证平面EFG⊥平面PDC,关键是利用线面垂直的判定定理得BC⊥平面PDC,再利用平行线的传递性可得所证的结论.探究三:【解析】 (1)由图①知:∠B=90°,EF∥BC ,所以EF⊥AB,EF⊥AE,又因为EF⊥BE,且AE∩BE=E,所以EF⊥平面ABE,又因为EF⊂平面AEF,所以平面AEF⊥平面ABE.(2)因为AB⊥平面BEFC,EC⊂平面BEFC,所以AB⊥EC,若EC⊥平面ABF,则只需EC⊥BF即可,当∠ECB=∠EBF时,EC⊥BF,因为从图①可知==,所以∠ECB=∠EBF时,tan∠ECB=tan∠EBF,即==,得=,所以=时,EC⊥平面ABF.【小结】观察折叠后的几何体与折叠前的平面图形间的联系,注意到不变的元素有哪些,注意已知条件在两种图形间的转化关系.思维拓展应用应用一:取CD的中点G,连接EG,FG,∵E,F分别为AD,BC的中点,∴EG AC,FG BD.又AC=BD,∴FG=AC,∴在△EFG中,EG2+FG2=AC2=EF2,∴EG⊥FG,∴BD⊥AC.又∠BDC=90°,即BD⊥CD,AC∩CD=C,∴BD⊥平面ACD.应用二:连接AC且AC∩BD=O,则AC⊥BD,又M,N分别是AB,BC的中点,∴MN∥AC,∴MN⊥BD.∵ABCD-A1B1C1D1是正方体,∴BB1⊥平面ABCD.∵MN⊂平面ABCD,∴BB1⊥MN.∵BD∩BB1=B,∴MN⊥平面BB1D1D.∵MN⊂平面B1MN,∴平面B1MN⊥平面BB1D1D.应用三:(1)矩形ABCD中,因为EF∥AD,所以EF⊥CD,又因为DF=AE=1,FC=BE=2,所以在三棱柱ABE-DCF中,EF⊥FC,DC2=DF2+CF2,所以DF⊥FC,且EF∩DF=F,所以CF⊥平面AEFD.(2)由(1)知四边形BCFE是正方形,所以EC⊥FB,又因为DF⊥FC,DF⊥EF,EF∩FC=F,所以DF⊥平面BCFE,EC⊂平面BCFE,所以DF⊥EC,且DF∩FB=F,所以EC⊥平面DFB,且EC⊂平面AEC,所以平面AEC⊥平面DFB.基础智能检测1.C注意二面角与二面角的平面角是不同的两个概念,前者指的是图形,后者指的是角度.2.B过M作MG∥BC交AB于G,连接NG,又MN∥平面BCE,所以平面MNG∥平面BCE,所以NG∥BE∥AF,所以==,正方形ABCD和正方形ABEF边长相等,所以AC=FB,所以AM=FN.3.5面PAD⊥面ABCD,面PAB⊥面ABCD,面PAB⊥面PBC,面PDC⊥面PAD,面PAD⊥面PAB.4.解:因为AD⊥BC,所以在三棱锥B-ADC中,AD⊥BD,AD⊥DC, BD∩DC=D,所以AD⊥平面BDC.全新视角拓展(1)由AB是圆O的直径,得AC⊥BC.由PA⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,得PA⊥BC.又PA∩AC=A,PA⊂平面PAC,AC⊂平面PAC,所以BC⊥平面PAC.(2)连OG并延长交AC于M,连接QM,QO,由G为△AOC的重心,得M为AC中点.由Q为PA中点,得QM∥PC,又O为AB中点,得OM∥BC.因为QM∩MO=M,QM⊂平面QMO,MO⊂平面QMO,BC∩PC=C,BC⊂平面PBC,PC⊂平面PBC,所以平面QMO∥平面PBC.因为QG⊂平面QMO,所以QG∥平面PBC.思维导图构建锐角α⊥β90°。

高中数学课下能力提升九垂直关系的判定北师大版必修212153133

课下能力提升（九）垂直关系的判定一、选择题．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )．平行．垂直．相交不垂直．不确定．在三棱锥中，若⊥，⊥，那么必有( )．平面⊥平面．平面⊥平面．平面⊥平面．平面⊥平面．在正方体中，与垂直的平面是( )．平面．平面．平面．平面．设、为不同的直线，α为平面，且⊥α，下列为假命题的是( )．若⊥α，则∥．若⊥，则∥α．若∥α，则⊥．若∥，则⊥α．如图，在正方形中，、分别为边，的中点，是的中点，现沿、，把这个正方形折成一个几何体，使、、三点重合于点，则下列结论中成立的是( )．⊥平面．⊥平面．⊥平面．⊥平面二、填空题．如图，在正方体中，平面与平面的位置关系是．．如图所示，底面是矩形．⊥平面，则图中互相垂直的平面共有对．．已知点为三棱锥的顶点在平面内的射影，若＝＝，则为△的心；若⊥，⊥，则为△的心；若到三边，，的距离都相等且点在△的内部，则为△的心．三、解答题.如图，四边形是边长为的菱形，⊥平面，是的中点，求证：平面⊥平面.．(北京高考)如图，在△中，∠＝°，，分别为，的中点，点为线段上的一点．将△沿折起到△的位置，使⊥，如图.()求证：∥平面；()求证：⊥；()线段上是否存在点，使⊥平面？说明理由．答案. 解析：选由线面垂直的判定定理知直线垂直于三角形所在的平面．. 解析：选由⊥，⊥，∩＝⇒⊥平面，平面，∴平面⊥平面.. 解析：选如图，连接、，由为正方体可知，⊥，⊥.故⊥平面.。

北师大版高中数学课件：《垂直关系的判定》共40页文档

北师大版高中数学课件：《垂直关系的判定》
26、机遇对于有准备的头脑有特别的亲和力。 27、自信是人格的核心。
28、目标的坚定是性格中最必要的力量泉源之一，也是成功的利器之一。没有它，天才也会在矛盾无定的迷径中，徒劳无功。- -查士德斐尔爵士。 29、困难就是机遇。--温斯顿．丘吉尔。 30、我奋斗，所以我快乐。--格林斯潘。
1、最灵繁的人也看不见自己的背脊。——非洲 2、最困难的事情就是认识自己。——希腊 3、有勇气承担命运这才是英雄好汉。——黑塞 4、与肝胆人共事，无字句处读书。——周恩来 5、阅读使人充实，会谈使人敏捷，写作使人精确。——培根

2017-2018学年高中数学课下能力提升(九)垂直关系的判定北师大版必修2

课下能力提升（九）垂直关系的判定一、选择题1．一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是( )A．平行B．垂直C．相交不垂直D．不确定2．在三棱锥ABCD中，若AD⊥BC，BD⊥AD，那么必有( )A．平面ABD⊥平面ADCB．平面ABD⊥平面ABCC．平面ADC⊥平面BCDD．平面ABC⊥平面BCD3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，与AD1垂直的平面是( )A．平面DD1C1CB．平面A1DCB1C．平面A1B1C1D1D．平面A1DB4．设l、m为不同的直线，α为平面，且l⊥α，下列为假命题的是( )A．若m⊥α，则m∥lB．若m⊥l，则m∥αC．若m∥α，则m⊥lD．若m∥l，则m⊥α5．如图，在正方形ABCD中，E、F分别为边BC，CD的中点，H是EF的中点，现沿AE、AF，EF把这个正方形折成一个几何体，使B、C、D三点重合于点G，则下列结论中成立的是( )A．AG⊥平面EFG B．AH⊥平面EFGC．GF⊥平面AEF D．GH⊥平面AEF二、填空题6．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACD1与平面BB1D1D的位置关系是________．7．如图所示，底面ABCD是矩形．PA⊥平面ABCD，则图中互相垂直的平面共有________对．8．已知点O为三棱锥PABC的顶点P在平面ABC内的射影，若PA＝PB＝PC，则O为△ABC的________心；若PA⊥BC，PB⊥AC，则O为△ABC的________心；若P到三边AB，BC，CA的距离都相等且点O在△ABC的内部，则O为△ABC的__________心．三、解答题9.如图，四边形ABCD是边长为a的菱形，PC⊥平面ABCD，E是PA的中点，求证：平面BDE⊥平面ABCD.10．(北京高考)如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F 为线段CD上的一点．将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.(1)求证：DE∥平面A1CB；(2)求证：A1F⊥BE；(3)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？说明理由．答案1. 解析：选B 由线面垂直的判定定理知直线垂直于三角形所在的平面．2. 解析：选C 由AD⊥BC，BD⊥AD，BC∩BD＝B⇒AD⊥平面BCD，AD 平面ADC，∴平面ADC⊥平面BCD.3. 解析：选B 如图，连接A1D、B1C，由ABCDA1B1C1D1为正方体可知，AD1⊥A1B1，AD1⊥A1D.故AD1⊥平面A1DCB1.4. 解析：选B A中，若l⊥α，m⊥α，则m∥l，所以A正确；B中，若l⊥α，m⊥l，则m∥α或mα，所以B错误；C中，若l⊥α，m∥α，则m⊥l，所以C正确；若l⊥α，m∥l，则m⊥α，所以D正确．5. 解析：选A ∵AG⊥GF，AG⊥GE，GF∩GE＝G，∴AG⊥平面EFG.6. 解析：∵ABCD是正方形，∴AC⊥BD.又∵D1D⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴D1D⊥AC.∵D1D∩DB＝D，∴AC⊥平面BB1D1D.∵AC 平面ACD1，∴平面ACD1⊥平面BB1D1D.答案：垂直7. 解析：图中互相垂直的面共有6对，即平面PAB⊥平面ABCD，平面PAC⊥平面ABCD，平面PAD⊥平面ABCD，平面PAB⊥平面PAD，平面PAB⊥平面PBC，平面PCD⊥平面PAD.答案：68. 解析：如图，由PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，O是△ABC的外心；若PA⊥BC，又PO⊥面ABC，∴BC⊥PO.∴BC⊥面PAO.∴BC⊥AO.同理AC⊥OB.∴O是△ABC的垂心；若P到AB，BC边的距离相等，则易知O到AB，BC边的距离也相等，从而可判定O是△ABC的内心．答案：外垂内9. 证明：设AC∩BD＝O，连接OE.如图．因为O为AC中点，E为PA的中点，所以EO是△PAC的中位线，EO∥PC.因为PC⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD.又因为EO 平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD.10. 解：(1)证明：因为D，E分别为AC，AB的中点，所以DE∥BC.又因为DE⊄平面A1CB，所以DE∥平面A1CB.(2)证明：由已知得AC⊥BC且DE∥，所以DE⊥AC.所以DE⊥A1D，DE⊥CD.所以DE⊥平面A1DC.而A1F⊂平面A1DC，所以DE⊥A1F.又因为A1F⊥CD，所以A1F⊥平面BCDE.所以A1F⊥BE.(3)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.理由如下：如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，则PQ∥BC.又因为DE∥BC，所以DE∥PQ.所以平面DEQ即为平面DEP.由(2)知，DE⊥平面A1DC，所以DE⊥A1C.又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，所以A1C⊥DP.所以A1C⊥平面DEP.从而A1C⊥平面DEQ.故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.。

高中数学课下能力提升(十)垂直关系的性质北师大版

课下能力提升（十）垂直关系的性质一、选择题1．如果直线l,m与平面α，β，γ满足：l＝β∩γ,l∥α，mα和m⊥γ，那么必有( )A．α⊥γ且l⊥m B．α⊥γ且m∥βC．m∥β且l⊥m D．α∥β且α⊥γ2．(浙江高考)设m，n是两条不同的直线，α,β是两个不同的平面（)A．若m∥α，n∥α，则m∥nB．若m∥α,m∥β，则α∥βC．若m∥n，m⊥α，则n⊥αD．若m∥α，α⊥β，则m⊥β3．在矩形ABCD中，AB＝3,BC＝4，PA⊥平面ABCD，且PA＝1，PE⊥DE,则PE的长为( ）A。

292B。

错误!C.175D.错误!4．设平面α⊥平面β,且α∩β＝l，直线aα,直线bβ，且a不与l垂直，b 不与l垂直，那么a与b( )A．可能垂直,不可能平行B．可能平行，不可能垂直C．可能垂直，也可能平行D．不可能垂直,也不可能平行5．如图所示，四边形ABCD中，AD∥BC,AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，将△ABD 沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，构成四面体ABCD，则在四面体ABCD中,下列命题正确的是( )A．平面ABD⊥平面ABC B．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDC D．平面ADC⊥平面ABC二、填空题6．α,β是两个不同的平面，m，n是平面α及β之外的两条不同直线,给出四个论断：①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α。

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为正确的一个命题：________。

7．已知平面α⊥平面β，在α,β的交线上取线段AB＝4 cm，AC，BD分别在平面α和β内，它们都垂直于AB,并且AC＝3 cm,BD＝12 cm，则CD的长为________ cm.8．已知m，n是直线，α，β，γ是平面，给出下列命题:①若α⊥β,α∩β＝m,n⊥m，则n⊥α或n⊥β；②若α∥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则m∥n;③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；④若α∩β＝m,m∥n，且nα，nβ，则n∥α且n∥β.其中正确的命题的序号是________（注：把你认为正确的命题的序号都填上）．三、解答题9．如图,A，B，C，D是空间四点，在△ABC中，AB＝2，AC＝BC＝错误!，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动．（1)当平面ADB⊥平面ABC时，求CD的长；(2）当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD?请证明你的结论．10．如图，已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABC，M，N分别是AB，PC的中点．（1）求证：MN⊥AB；（2）若PA＝AD，求证:MN⊥平面PCD.答案1. 解析：选A ∵m⊥γ，mα，lγ，∴α⊥γ,m⊥l；B错，有可能mβ;C错，有可能mβ；D错，有可能α与β相交．2。

高中数学第1章立体几何初步§661垂直关系的判定课件北师大版必修2

(1)AB，BC，AC (2)BC [(1)因为 PC⊥平面 ABC，AB，AC， BC 平面 ABC，所以与 PC 垂直的直线有 AB，AC，BC.
(2)∠BCA＝90°，即 BC⊥AC，又 BC⊥PC，AC∩PC＝C，所以 BC⊥平面 PAC，又 AP 平面 PAC，所以 BC⊥AP.]
4．如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，截面 C1D1AB 与底面 ABCD 所成二面角 C1-AB-C 的大小为________．
2．将本例改为：已知四棱锥 P-ABCD 的底面是菱形，且 PA＝PC， PB＝PD.若 O 是 AC 与 BD 的交点，求证：PO⊥平面 ABCD.
[证明] 在△PBD 中，PB＝PD，O 为 BD 的中点， ∴PO⊥BD. 在△PAC 中，PA＝PC，O 为 AC 的中点， ∴PO⊥AC，又∵AC∩BD＝O， ∴PO⊥平面 ABCD.
义．(重点)
证明空间中的垂直关
2．掌握直线与平面垂直、平面与平面垂直的系，提升逻辑推理素
判定定理，并能灵活应用判定定理证明直线与养．
平面垂直、平面与平面垂直．(重点、难点) 2．通过求解二面角的
3．了解二面角、二面角的平面角的概念，会大小培养直观想象数
求简单的二面角的大小．(重点、易错点) 学运算素养.
(2)由(1)知，BC⊥平面 PAC，∵PC 平面 PAC， ∴PC⊥BC，又∵AC⊥BC， ∴∠PCA 为二面角 P-BC-A 的平面角．在 Rt△PAC 中，PA＝1，AC＝ 3，∠PAC＝90°， ∴tan∠PCA＝ 33，∴∠PCA＝30°，所以二面角 P-BC-A 的大小是 30°.
[证明] 法一：因为∠BSA＝∠CSA＝60°，SA＝SB＝SC，所以 △ASB 和△ASC 是等边三角形，