《高等数学》张民选第一章复习要点

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高等数学知识点第一章函数

第一章函数一、实数集合关于邻域：设a为某个正数，称开区间（x0-a，x0+a）为点x0的邻域。

记作U（x0，a）。

称x0为该邻域的中心，a为该邻域的半径。

A、点x0的空心邻域即（x0-a，x0+a）\｛x0｝或U（x0，a）B、点x0的左邻域（x0-a，x0] 空心左邻域（x0-a，x0）C、点x0的右邻域[x0，x0+a）空心右邻域（x0，x0+a）二、函数关系A、一个函数的两个基本要素圈①定义域记作D（f）或D.②对应规则记作fB、绝对值函数y=|x| 去绝对值符号的方法，分类讨论C、符号函数y=sgnx ①x＞0时y=1 ②x=0时y=0 ③x＜0时y=-1D、取整函数y=[x]=n n≤x＜n+1 n=0，±1，±2…..[x]表示不超过x的最大整数，称为x的整数部分[2.6]=2 [π]=3 [-2.8]=-3取整函数的图像E、函数的自然定义域：即定义域一般需要注意：分式的分母不为零，对负数不能开偶次方根，对数的真数必须为正。

三、函数的基本特性A、单调性证明函数的单调性：任取x1、x2∈D且x1＜x2.，求解f（x1）与f（x2）的大小关系。

由此函数单调性得证。

B、有界性：若存在常数M＞0，使得对任意的x∈D，恒有|f（x）|≤M，则称函数f（x）在D上有界，否则则称无界。

（判断函数是否有界一般为求解函数的值域）①有上界：f（x）≤M ②有下界：f（x）≥MC、奇偶性奇函数：任意x∈D，恒有f（-x）=-f（x）偶函数：任意x∈D，恒有f（-x）=f（x）非奇非偶：不是奇函数也不是偶函数判断函数奇偶性一般先判断定义域是否关于原点对称，如果不对称则一定为非奇非偶函数；若对称则求f（-x）的表达式，观察是否可以化成f（x）或f（-x）的形式，由此判断D、周期性f（x）在D上有定义，存在常数T＞0，使对任意的x∈D，恒有x+T∈D，且f（x+T）=f（x）成立，则称f（x）为周期函数。

《高等数学》各章知识点总结——第1章

《高等数学》各章知识点总结——第1章1.集合的概念：集合是由确定的、互不相同的对象组成的一个整体。

集合中的对象称为元素，用大写字母A、B等表示集合，用小写字母a、b等表示元素。

集合中的元素无序，不重复。

2.集合的运算：(1)并集：表示由属于任一集合的元素组成的新集合，记作A∪B。

(2)交集：表示同时属于所有集合的元素组成的新集合，记作A∩B。

(3)差集：表示属于一个集合但不属于另一个集合的元素组成的新集合，记作A-B。

(4)互斥：两个集合的交集为空集，即A∩B=∅。

(5)补集：表示全集中不属于一些集合的所有元素的集合，记作A'。

3.集合之间的关系：(1)包含关系：若集合A的所有元素都属于集合B，则称集合A包含于集合B，记作A⊆B。

(2)相等关系：若集合A和集合B的元素完全相同，则称集合A等于集合B，记作A=B。

(3)真包含关系：若集合A包含于集合B，并且集合A不等于集合B，则称集合A真包含于集合B，记作A⊂B。

4.映射的概念：(1)映射：设有两个非空集合A和B，如果存在一种对应关系，使得A 中的每个元素对应B中的唯一元素，则称这种对应关系为映射。

(2)函数：映射的另一种称呼，表示自变量和因变量之间的关系。

通常用f(x)表示函数，其中x为自变量，f(x)为相应的因变量。

5.映射的性质：(1)定义域和值域：映射的定义域是指所有自变量的集合，值域是指所有因变量的集合。

(2)单射：每个自变量只对应唯一的因变量。

(3)满射：每个因变量都有对应的自变量。

(4)一一对应：既是单射又是满射的映射。

(5)复合映射：将两个映射结合起来形成一个新的映射，称为复合映射。

总结：本章主要阐述了集合的基本概念、集合的运算、集合之间的关系和映射的概念及其性质。

理解这些基本概念对于后续学习高等数学的内容具有重要的指导意义，也为我们建立起了抽象数学思维的基础。

在学习中，我们需要牢记集合的运算规则和映射的性质，灵活运用，为数学的进一步学习打下坚实的基础。

大一高数第一二章知识点

大一高数第一二章知识点高等数学是大多数理工科专业的基础课程之一，它为我们提供了解决实际问题的数学方法和工具。

在大一的学习过程中，我们通常会学习高数的第一二章知识点，从简单的函数概念和性质开始，逐渐深入到导数的定义和应用。

下面我们来一起回顾这些重要的知识点。

第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质函数是一种数学关系，它将一个自变量的集合映射到一个因变量的集合。

函数可以用公式、图像或者图表来表示。

我们通常会考虑函数的定义域、值域、奇偶性和周期性等性质。

1.2 极限的概念与性质极限是描述函数变化趋势的概念。

当自变量无限接近某个值时，函数的取值也会无限接近一个确定的值。

我们通常用极限符号“lim”来表示。

重要的极限性质包括极限存在性、极限唯一性和四则运算法则等。

1.3 极限的计算方法在计算极限时，我们可以运用一些基本的极限公式和运算法则。

这包括常用的极限：无穷大与无穷小、有界函数的极限、基本初等函数的极限等。

第二章：导数与微分2.1 导数的定义与性质导数是描述函数变化速率的概念。

它表示函数在某一点的瞬时变化率，可以理解为函数曲线在该点的切线斜率。

导数的定义是极限的一种特殊形式，通常用“f'(x)”或者“dy/dx”表示。

2.2 导数的计算方法导数的计算方法主要包括用基本导数公式、四则运算法则、链式法则和隐函数求导法则等。

这里需要掌握一些常用函数的导数，如多项式函数、指数函数、对数函数和三角函数等。

2.3 导数的应用导数的应用非常广泛，它可以用来解决实际问题。

应用方面包括函数的最值问题、曲线的凸凹性与拐点、函数图像的草图和导数的物理意义等。

通过对大一高数第一二章的学习，我们能够加深对函数与极限、导数与微分的理解。

掌握这些重要的知识点，不仅能够解决一些实际问题，还能为后续更深入的数学学习奠定坚实的基础。

因此，在学习高数的过程中，我们要多加练习，理解每个概念和定理的思想和逻辑，同时注意思维的拓展和应用的实践。

高数第一章知识点总结

式中有多个参数，需进一步从所给极限中挖掘信息，获得额外关系式。特别地，
① 分段函数在分段点的极限： lim f (x) = A ⇔ lim f (x) = A = lim f (x) ；
x → x0
x → x0−
x → x0+
② 设 lim f (x) = A ≠ 0 ，则 lim g(x) = ∞ ⇔ lim f (x) = ∞ ，且两者是同阶无穷大； g(x)
②
f
(
x)
在点
x0
有定义，但
lim
x→ x0
f
(x) 不存在；
③
f
(
x)
在点
x0
有定义，
lim
x→ x0
f (x) 存在，但 lim x → x0
f (x) ≠
f (x0 ) ；
4. 间断点的类型：
① 第一类间断点，左右极限都存在(包括：可去和跳跃间断点)；
② 第二类间断点，左右极限至少一个不存在(包括：无穷、震荡和其他间断点)；
aϕ(x) −1 ~ ϕ(x) ln a ， (1+ ϕ(x))α −1 ~ αϕ(x)
此外
ϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ， tanϕ(x) − sinϕ(x) ~ ϕ3(x) ，
6
3
2
arcsinϕ(x) −ϕ(x) ~ ϕ3(x) ，ϕ(x) − arctanϕ(x) ~ ϕ3(x)
往年考题: (12-13) 已知 lim a cos x + bx = 5 ，试确定待定常数 a 和 b 的值。
x→π sin x
6. 函数的连续性（间断点）

高数第一章知识点总结

高数第一章知识点总结希望同学们在准备考研数学高数的复习过程中能够适当结合真题与模拟题，下面是精心收集的高数第一章知识点总结，希望能对你有所帮助。

篇一：高数第一章知识点总结高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。

具体说来，大家需要重点掌握的知识点有几以下几点：1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型;无穷小阶的比较;讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。

2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义;各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值;方程的的个数;证明函数不等式;与中值定理相关的证明;最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用;用导数研究函数性态和描绘函数图形;求曲线渐近线。

3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等;积分中值定理和积分性质的证明;定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。

4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断;多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数;多元函数极值或条件极值在与经济上的应用;二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。

此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。

数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。

6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解;二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解;微分方程的建立与求解。

差分方程的基本概念与一介常系数线形方程求解方法由于微积分的知识是一个完整的体系，考试的题目往往带有很强的综合性，跨章节的题目很多，需要考生对整个学科有一个完整而系统的把握。

最后凯程考研名师预祝大家都能取得好成绩。

《高等数学》各章知识点总结——第1章

《高等数学》各章知识点总结——第1章第1章函数与极限总结1、极限的概念（1）数列极限的定义给定数列{x n }，若存在常数a ，对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正整数N , 使得对于n >N 时的一切n , 恒有|x n -a |<ε 则称a 是数列{x n }的极限, 或者称数列{x n }收敛于a , 记为a x n n =∞→lim 或xn →a (n →∞).（2）函数极限的定义设函数f (x )在点x 0的某一去心邻域内（或当0x M >>）有定义，如果存在常数A , 对于任意给定的正数ε (不论它多么小), 总存在正数δ,（或存在X ）使得当x 满足不等式0<|x -x 0|<δ 时,（或当x X >时）恒有 |f (x )-A |<ε ,那么常数A 就叫做函数f (x )当0x x →（或x →∞）时的极限, 记为A x f x x =→)(lim 0或f (x )→A (当x →x 0).（或lim ()x f x A →∞=）类似的有：如果存在常数A ,对0,0,εδ?>?>当00:x x x x δ-<<（00x x x δ<<-）时，恒有()f x A ε-<，则称A 为()f x 当0x x →时的左极限（或右极限）记作00lim ()(lim ())x x x x f x A f x A -+→→==或显然有0lim ()lim ()lim ())x x x x x x f x A f x f x A -+→→→=?==如果存在常数A ,对0,0,X ε?>?>当()x X x X <->或时，恒有()f xA ε-<，则称A 为()f x 当x →-∞（或当x →+∞）时的极限记作lim ()(lim ())x x f x A f x A →-∞→+∞==或显然有lim ()lim ()lim ())x x x f x A f x f x A →∞→-∞→+∞=?==2、极限的性质（1）唯一性若a x n n =∞→lim ，lim n n x b →∞=，则a b =若0()lim ()x x x f x A →∞→=0()lim ()x x x f x B →∞→=，则A B =（2）有界性（i ）若a x n n =∞→lim ，则0M ?>使得对,n N+∈恒有n x M ≤（ii ）若0lim ()x x f x A →=，则0M ?>当0:0x x x δ<-<时，有()f x M ≤（iii ）若lim ()x f x A →∞=，则0,0M X ?>>当x X >时，有()f x M ≤（3）局部保号性（i ）若a x n n =∞→lim 且0(0)a a ><或则N N +?∈，当n N >时，恒有0(0)n n x x ><或（ii ）若0lim ()x x f xA →=，且0(0)A A ><或，则0δ?>当0:0x x x δ<-<时，有()0(()0)f x f x ><或3、极限存在的准则（i ）夹逼准则给定数列{},{},{}n n n x y z若①0,n N +∈当0n n >时有n n n y x z ≤≤ ②lim lim n n n n y z a →∞→∞==，则lim n n x a →∞=给定函数(),(),()f x g x h x ，若①当00(,)x U x r ∈（或x X >）时，有()()()g x f x h x ≤≤ ②00()()lim ()lim ()x x x x x x g x h x A →∞→∞→→==，则0()lim ()x x x f x A →∞→=（ii ）单调有界准则给定数列{}n x ，若①对n N +?∈有11()n n n n x x x x ++≤≥或②()M m ?使对n N +?∈有()n n x M x m ≤≥或则lim n n x →∞存在若()f x 在点0x 的左侧邻域（或右侧邻域）单调有界，则0lim ()x x f x -→（或0lim ()x x f x +→）存在4、极限的运算法则（1）若0()lim ()x x x f x A →∞→=，0()lim ()x x x g x B →∞→=则(i)0()lim [()()]x x x f x g x A B →∞→±=±(ii)0()lim [()()]x x x f x g x A B →∞→?=? (iii)0()()lim()x x x f x Ag x B→∞→=?（0B ≠）（2）设（i ）00()lim ()x x u g x g x u →==且（ii ）当0 0(,)x U x δ∈时0()g x u ≠（iii ）0lim ()u u f u A →=则0lim [()]lim ()x x u u f g x f u A →→== 5、两个重要极限（1）0sin lim1x xx →=()0sin ()lim1()u x u x u x →=sin lim0x x x ∞→=，1lim sin 1x x x →∞=，01 lim sin 0x x x→=（2）1lim 1xx e x →∞?+= )()(1lim 1;()x u u x e u x →∞??+= ??1lim(1)xx x e→+=()()01()lim 1();v x x v v x e →+=6、无穷小量与无穷大量的概念（1）若0()lim ()0x x x x α→∞→=，即对0,0,εδ?>?>当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()x αε<，则称当0()()x x x x α→→∞或，无穷小量（2）若0()lim ()x x x f x →∞→=∞即对0,0(0),M X δ?>?>>或当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()f x M >则称当0()()x x x f x →→∞或，无穷大量7、无穷小量与有极限的量及无穷大量的关系，无穷小量的运算法则（1）00()()lim ()()(),lim()0x x x x x x f x A f x A x x αα→∞→∞→→=?=+=其中（2）00()()1lim ()0()0lim ()x x x x x x f x f x f x →∞→∞→→=≠?=∞（）（3）00()()1lim ()lim0()x x x x x x g x g x →∞→∞→→=∞?= （4）0()lim ()0,x x x f x M →∞→=∞?>且当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，则0()lim [()()]x x x f x g x →∞→+=∞（5）0()lim ()00,x x x f x M →∞→=?>且当0:0x x x δ<-<（或x X >）时有()g x M ≤，则0()lim [()()]0x x x f x g x →∞→?=（6）0()lim ()0(1,2,,)k x x x f x k n →∞→== 则01()lim()0,nkx k x x fx →∞=→=∑01()lim()0,nkx k x x fx →∞=→=∏8、无穷小量的比较000()()()lim ()0,lim ()0,lim ()0→∞→∞→∞→→→===x x x x x x x x x f x g x x α若（1）0()()lim 0,()x x x f x C g x →∞→=≠，则称当0()x x x →→∞或时，()f x 与()g x 是同阶无穷小。

高数第一章知识点总结笔记

高数第一章知识点总结笔记高数第一章主要包括函数与极限的基本概念，函数的性质，函数的图像与性质，函数的运算，以及极限的性质和运算法则等内容。

1.函数的定义和表示方法：- 函数的定义：函数是一个具有自变量和因变量的关系，对于每一个自变量，都唯一对应一个因变量。

- 函数的表示方法：通常用函数关系式、函数图、表格和文字描述等方式来表示函数。

2. 函数的性质：- 定义域和值域：函数的自变量的取值范围称为函数的定义域，因变量的取值范围称为函数的值域。

- 奇偶性：若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = f(x)，则函数为偶函数；若对于定义域内的每一个x，都有f(-x) = -f(x)，则函数为奇函数；若不满足以上两个条件，则称函数为既不是奇函数也不是偶函数。

- 增减性：在定义域中，若有x1 < x2，有f(x1) < f(x2)，则函数在这个区间内是增函数；若有x1 < x2，有f(x1) > f(x2)，则函数在这个区间内是减函数。

3. 函数的图像与性质：- 概念：函数的图像是函数在平面直角坐标系中的表示，函数的图像反映了函数的性质和规律。

- 图像的平移、翻折、伸缩、可导性和连续性等。

4. 函数的运算：- 四则运算：包括加法、减法、乘法和除法。

- 复合函数：将一个函数的自变量用另一个函数表示出来，形成复合函数。

- 反函数：若两个函数f(x)和g(x)满足f(g(x)) = x和g(f(x)) = x，则称g(x)为f(x)的反函数。

5. 极限的定义和性质：- 极限的定义：设函数f(x)在x0的某一邻域内有定义，如果对于任意给定的正数ε，总存在一个正数δ，使得当0 < |x - x0| < δ时，都有|f(x) - A| < ε成立，则称A为函数f(x)当x趋于x0时的极限，记作lim f(x) = A(x→x0)。

- 极限的性质：唯一性、局部有界性、保号性、夹逼准则、迫敛和夹蔽准则等。

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3.极限的性质
定理设 lim f ( x) A,lim g( x) B,则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g(x) B
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x).
1 o 1
x
(5) 函数的周期性:
设函数 f(x) 的定义域为D，如果存在一个不为零的
数l,使得对于任一 x D,有 x l D .且 f(x+l)=f(x)
恒成立,则称f(x)为周期函数,l 称为 f(x) 的周期.（通
常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
T 1
y
y x [x]
1
o
1
x
3.反函数
由y f ( x)确定的y f 1( x)称为反函数.
y sinh x
4.隐函数
y f 1( x) ar sinh x
由方程F ( x, y) 0所确定的函数 y f ( x)称为隐函数.
5.反函数与直接函数之间的关系
设函数f ( x)是一一对应
函数, 则
y y f 1( x)
3.连续的充要条件
定理函数f ( x)在 x0 处连续是函数f ( x)在 x0 处既左连续又右连续.
4.间断点的定义
函数f ( x)在点x0处连续必须满足的三个条件: (1) f ( x)在点x0处有定义;
(2) lim f ( x)存在; x x0
(3) lim x x0
f (x)
f ( x0 ).
2.函数的性质

高等数学第一章总结

高等数学第一章总结高等数学第一章总结高等数学是大学数学的重要组成部分，是培养学生数学思维和解决实际问题能力的重要课程之一。

第一章主要介绍了函数概念、极限与连续等内容。

下面将对第一章的内容进行总结。

函数是高等数学的基础概念之一。

函数是一种量与量之间的对应关系，常表示为y = f(x)。

其中，x是自变量，y是因变量，f表示函数的规则。

函数的定义域是自变量可能取值的集合，值域是因变量取值的集合。

在实际问题中，函数可以用来描述各种关系，如物体的运动、电路中的电流等。

函数可以分为代数函数、初等函数、三角函数等不同类型。

极限是数列和函数在某一点（或正无穷大、负无穷大）趋于的值。

数列的极限是其无穷项的极限，即数列的趋势或估计值。

而函数的极限是其自变量无限接近某一点时的极限值。

极限的概念与数学证明相关，对于计算极限需要掌握一些极限定理和运算法则。

常见的极限运算法则有四则运算法则、复合函数极限的运算法则、三角函数的极限运算法则、常数的极限运算法则等。

连续是函数在一定区间上无间断的性质。

对于某一点x=a来说，如果在x=a处函数f(x)的极限存在且等于f(a)，则称函数在x=a处连续。

连续函数具有许多有用的性质，如介值定理、零点定理、最值定理等。

这些性质在实际问题中有广泛的应用，能够帮助我们解决实际问题。

在高等数学的学习过程中，我们还需要掌握一些重要的基本技巧和方法。

求导是一种重要的计算技巧，用于求函数的导数。

导数是函数在某一点上的变化率，也可以理解为函数曲线在该点处的切线斜率。

求导的方法主要有基本求导法则和常见函数的导数运算法则。

导数在物理、工程和经济学等领域中有广泛的应用，如求速度、加速度、成本函数、效益函数等。

本章的内容比较基础，但为后续的学习打下了坚实的基础。

通过学习第一章的内容，我们了解了函数的概念和性质，掌握了求函数极限和连续的方法和技巧，熟悉了常见函数的导数运算法则。

这些知识和技能是我们进一步学习高等数学的基础，也是我们解决实际问题的必备工具。

高数第一章内容复习4

3、间断点的分类：间断点的分类：若 x0 是 f ( x ) 的间断点，的间断点，则
间断点. 间断点.此时，此时，
− + 若 f ( x0 ≠ f x 则称点 x0 是函数 f ( x) 的跳跃 ) ( 0 )，
9
间断点；间断点； − + 若 f ( x0 = f x 存在，则 ) ( 0 ) ，也即极限 lim f ( x) 存在，
lim x = 1
1 x
六、七种未定式：七种未定式： 0 ∞ ，， 0 ⋅ ∞ ， ∞ − ∞ ， 1∞ ， ∞ 0 ， 00 0 ∞
6
七、无穷小比较 1、定义设α ( x ) 和 β ( x) 都是在自变量 x 的同一变化过程中的无穷小，同一变化过程中的无穷小， 1）若 lim
β = 0 ，则称 β 是比α 高阶的无穷小，高阶的无穷小， α 记作 β = o(α ) ．
3、保号性：保号性：设 lim xn = a > 0 ( < 0 ) ，则存在正
n→∞
⇒ ∃ δ > 0 ，使得 f ( x ) 在 ∪ ( x0 , δ ) 内有界. 内有界.
0
整数 N ，当 n > N 时，恒有 xn > 0 ( < 0 ) 局部保号性：局部保号性： lim f ( x ) = A，且 A > 0 ( < 0 )
无穷小 2、有关等价无穷小的有用结论：有关等价无穷小的有用结论： 1）当 x → 0 时， sin x ∼ x ， tan x ∼ x ，
1 2 x ， 2 此外还有：此外还有： ln (1 + x ) ∼ x ， e x − 1 ∼ x ， arcsin x ∼ x ， arctan x ∼ x ，1 − cos x ∼

高数第一章知识点总结

高数第一章知识点总结篇一：高数第一章知识点总结高等数学是考研数学的重中之重，所占的比重较大，在数学一、三中占56%，数学二中占78%，重点难点较多。

具体说来，大家需要重点掌握的知识点有几以下几点：1.函数、极限与连续：主要考查极限的计算或已知极限确定原式中的常数;讨论函数连续性和判断间断点类型; 无穷小阶的比较; 讨论连续函数在给定区间上零点的个数或确定方程在给定区间上有无实根。

2.一元函数微分学：主要考查导数与微分的定义; 各种函数导数与微分的计算;利用洛比达法则求不定式极限;函数极值; 方程的的个数; 证明函数不等式; 与中值定理相关的证明; 最大值、最小值在物理、经济等方面实际应用; 用导数研究函数性态和描绘函数图形; 求曲线渐近线。

3.一元函数积分学：主要考查不定积分、定积分及广义积分的计算;变上限积分的求导、极限等; 积分中值定理和积分性质的证明; 定积分的应用，如计算旋转面面积、旋转体体积、变力作功等。

4.多元函数微分学：主要考查偏导数存在、可微、连续的判断; 多元函数和隐函数的一阶、二阶偏导数; 多元函数极值或条件极值在与经济上的应用; 二元连续函数在有界平面区域上的最大值和最小值。

此外，数学一还要求会计算方向导数、梯度、曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线。

5.多元函数的积分学：包括二重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序。

数一还要求掌握三重积分，曲线积分和曲面积分以及相关的重要公式。

6.微分方程及差分方程：主要考查一阶微分方程的通解或特解; 二阶线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解; 微分方程的建立与求解。

最后凯程考研名师预祝大家都能取得好成绩。

凯程教育张老师整理了几个节约时间的准则：一是要早做决定，趁早备考;二是要有计划，按计划前进; 三是要跟时间赛跑，争分夺秒。

高等数学复习第一章

高等数学复习第一章一，函数的概念与性质○1函数定义有两个要素；○2构成复合函数的条件；○3初等函数：由基本初等函数与常数经过有限次的四则运算和有限次的复合步骤构成，且能用一个解析式子来表示的函数；○4函数的奇偶性，周期性，有界性，单调性。

二，极限1，数列和函数极限的定义2，极限的性质：唯一性，有界性，保号性；3，极限四则运算法则；4，复合函数极限运算；5，极限存在准则：（1）单调有界准则：单调有界的数列必有极限（2）夹逼准则：g(x)<=f(x)<=h(x),g(x)和h(x)在某点的极限相等都为A，则f(x)在那点的极限也为A。

（证明题中最常用）三，无穷小与无穷大1，把极限为零的量称为无穷小（0当然也就是最小的无穷小了），绝对值无限大的变量称为无穷大（正无穷和负无穷）；2，无穷小的比较：看两者之商的极限。

3，无穷小的重要性质：有界函数与无穷小的乘积为无穷小（xsinx-1为x趋于0的无穷小），有限个无穷小的积，差，和仍然为无穷小（无穷的不一定，x个x-1就是常数1呢）；4，常见的等价无穷小：x~sinx~tanx~ln(x+1)~e x-1a x-1~xlna (1+x)n~1+nx.四，函数的连续性1，函数在某点左极限等于右极限，且等于该点函数值，则函数在此点连续；2，间断点的分类：第一类间断点：函数在某点的左右极限都存在可去间断点：左右极限相等为A，但是该点的函数值不为A跳跃间断点：左右极限不相等第二类间断点：某点左右极限至少有一个不存在无穷间断点：某点左或者右极限为无穷大的时候，此点为无穷间断点振荡间断点：函数在某点左右极限都不存在，但又不是无穷大的时候，此点为振荡间断点。

（比如sinx-1在x=0处）3，介值定理和零点定理。

（用于证明根的存在性问题，相当有用）总结人：自1103程顺均2011年12月12日星期一1。

高数上第一章知识点总结

⾼数上第⼀章知识点总结第⼀章函数与极限1.1 函数及其性质1.1.1 集合集合：具有某种特定性质事物的全体称为集合。

元素：组成这个集合的事物称为该集合的元素。

集合与元素的关系：属于∈，不属于∉。

集合的表⽰⽅法：枚举法，描述法。

1.1.2 集合的运算基本运算：并、交、差。

全集\基本集：研究的问题所限定的⼤集合。

余集\补集：I - A或者A C 。

运算规律：交换律、结合律、分配律、对偶律、幂等律、吸收律。

1.1.3 区间与领域有限区间：开区间(a,b) 闭区间[a,b] 半开区间[a,b) (a,b]。

b-a：区间长度⽆限区间：开区间(a,+∞) (-∞,a) -∞,+∞) 半开区间[a,+∞) (-∞,a]邻域：以点x0为中⼼的任何开区间称为点x0的邻域，记作U(x0)。

若δ是某⼀正数，则开区间(x0-δ,x0+δ)是点x0的⼀个邻域，记作U(x0,δ)。

去⼼邻域：将点x0去掉后的x0的邻域，记作U(x0,δ)。

左邻域：(x0-δ,x0)右邻域：(x0,x0+δ)1.1.4 映射X，Y是两个⾮空集合，存在⼀个法则f，使得对X中的每个元素x，按法则f在Y中有唯⼀确定的元素y与之对应，则称f为X到Y的⼀个映射。

定义域D(f)，值域R(f)或f(X)。

满射：R(f) = Y 单射：f(x1) ≠ f(x2) ⼀⼀映射：满射+单射泛函、变换、函数逆映射：g:R(f) -> X (f是单射，y = f(x)，则 x = g(y))复合映射：g:X->Y1,f:Y2->Z,Y1包含于Y2, f g:X->Z。

1.1.5 函数D是实数集，称f:D->R为定义在D上的函数。

y = f(x),x∈D。

y是因变量，x是⾃变量，D称为定义域。

1.1.6 函数的特性（1）函数的有界性X包含于D，若存在M使得f(x) <= M，则称f(x)在X上有上界，类似可得下界的定义。

数M使得|f(x)| <= M（x∈X），则称f(x)在X上有界。

大一高数第一章知识点笔记

大一高数第一章知识点笔记一、集合和映射1. 集合的定义和表示方法集合是由一些确定的、互不相同的元素构成的整体。

可以通过列举元素的方式表示集合，也可以使用描述性的方式表示集合。

2. 集合的运算(1) 并集：将两个或多个集合中的元素统一起来，去除重复元素后形成的集合。

(2) 交集：两个或多个集合中共有的元素组成的集合。

(3) 差集：如果A、B是集合，差集A-B是指由属于A而不属于B的元素组成的新集合。

(4) 补集：设U是全集，A是U的一个子集，那么相对于全集U中的A的补集是U中那些不属于A的元素组成的集合。

二、数列和极限1. 数列的定义和表示方法数列是按照一定规律排列的一列数，可以按照顺序排列或者按照递推公式得到。

2. 数列的极限如果对于数列{an}，当n趋于无穷大时，数列中的数a_n（n 为正整数）趋于某个常数A，那么称数列{an}的极限为A。

3. 数列的极限存在性(1) 单调有界准则：如果数列{an}单调递增且有上界（或数列单调递减且有下界），那么{an}必定收敛。

(2) 夹逼准则：如果对于数列{an}，有两个数列{bn}和{cn}，其中{bn}≤{an}≤{cn}，且lim{bn}=lim{cn}=A，则数列{an}的极限也是A。

(3) 子数列收敛准则：如果数列{an}的任意子列都收敛于同一极限A，则数列{an}也收敛于A。

三、函数与极限1. 函数的定义和表示方法函数是一种映射关系，将一个自变量的值对应到一个因变量的值上。

2. 函数的极限如果当自变量趋近某个特定值时，函数的值趋近于某个常数L，那么称函数在这个特定值处的极限为L。

3. 函数的连续性(1) 函数在某个点a处连续，当且仅当该点的极限值等于函数在该点的值，即lim{h→0} f(a+h) = f(a)。

(2) 若函数f(x)在[a,b]上连续，则在该区间上f(x)有界。

(3) 若函数g(x)在[a,b]上连续，且g(x)≠0，则在该区间上1/g(x)也连续。

高等数学第一章的总结

2
由无穷小与无穷大的关系,得
4x 1 lim 2 . x 1 x 2 x 3
例
x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
2
0 解 x 1时, 分子, 分母的极限都是零. ( 型 ) 0 先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
x2 1 ( x 1)( x 1) lim 2 lim x 1 x 2 x 3 x 1 ( x 3)( x 1)
极限是否存在？
x0 x 0 在x 0 处
x0 的左、右极限是否存在？当 x 0 时， f ( x ) 的
思考题解答
定理 : lim f ( x ) A f ( x 0 0) f ( x 0 0) A.
x x0
x 0
lim f ( x ) lim (5 x 2 ) 5,
x x0
若Q( x 0 ) 0, 则商的法则不能应用.
例
4x 1 求 lim 2 . x 1 x 2 x 3
x 1
解 lim( x 2 2 x 3) 0,
商的法则不能用
又 lim(4 x 1) 3 0,
x 1
x 2x 3 0 lim 0. x 1 4x 1 3
故 D f : [ 3,1]
思考题
1 2 设 x 0 ，函数值 f ( ) x 1 x ， x 求函数 y f ( x ) ( x 0) 的解析表达式.
思考题解答
1 设 u x
1 1 1 1 u2 则 f u 1 2 , u u u
1 1 x 故 f ( x) . ( x 0) x
1 n( n 1) 1 1 1 2 lim lim (1 ) . 2 n n 2 n n 2

高等数学-上册-第一章总结

第一章函数极限与连续（一）本章重点（important points ）：1. 了解极限的定义（重点是理解极限定义中的“任意”和“存在”，以及N 与ε的相关性；动态变化性）及求法，定义要从代数及几何两方面进行理解。

2. 理解以及运用两个重要的极限公式（及其拓展形式）。

3. 无穷小理论及其运用（主要是等价无穷小代换，在求极限以及一些证明题中会经常用到，so it is also important!）。

4. 函数的连续（这是以后很多公式定理运用的条件，所以必须掌握地very good ！）。

5. 分段函数的连续性，可导性，及其极限值的求法。

（二）知识点分析（analysis ）：常用不等式1）绝对值不等式： ||x |−|y ||≤|x ±y |≤|x |+|y | 2）三角不等式： |x −z |=|x −y +y −z |≤|xy |+|yz | 3） Bernoulli Inequality(贝努力不等式)：若 x>-1, n ∈z, 且n>=2 则(1+x )n ≥1+nx 4) Cauchy Inequality （柯西不等式）：(∑x i y i ）n i=12≤(∑x i 2n i=1)∙(∑y i 2n i=1)5) e x ≥1+x 6) ln(1+n)≤x 7) (1+1n )n<(1+1n+1)n+1&& (1+1n)n+1>(1+1n)n+2即：数列{(1+1n )n } 单调递增，数列{(1+1n )n+1} 单调递减。

8）设 x ∈z +, 则 1x+1<ln (1+1n )<1x9) 设 x ∈z +, 则2√n<1∗3∗5∗...∗(2n−1)2∗4∗6∗.. (2)<√2n+1二．不等式的运用案例eg1. 证明柯西不等式 (∑x i y i ）n i=12≤(∑x i 2n i=1)∙(∑y i 2n i=1)证法一：（构造一个关于t 的二次方程，并利用其判别式）因为 x i, y i ∈R, i =1,2,3…..,n. 所以 ∀t ∈R ，有(x i +ty i )2≥0.→f (t )=∑(x i +ty i )2n i=1=∑x i 2+(2∑x i y i n i=1)t +(∑y i 2n i=1)n i=1t 2≥0若∑y i 2=0,则。

高等数学上册第一到第三章复习资料

高等数学上册第一到第三章复习资料写在前面：小伙伴们，高数是比较重的一门课，以下内容我可以保证是在问过罗老师后总结的第一章函数与极限总说：1.第一节至第三节是概念问题，小伙伴们只需要了解。

但是在这里有个函数极限的定义，下面我会列出2.第四、五、六、七节可以说是第一章重点了，牵扯到极限的运算。

3.第八、九、十节也是概念居多，而且与第二章函数导数牵扯较大。

在第十节，零点定理与介值定理也是重点二、极限运算的各种定理与推论（极限运算的基础）x 0是x 0+ x 0- 1.定理1：有限个无穷小的和也是无穷小2.定理2：有界函数与无穷小的乘积是无穷小3.定理3：如果limf ﹙x ﹚=A ，limg ﹙x ﹚=B ，那么：﹙1﹚lim[f ﹙x ﹚±g ﹙x ﹚]=lim f ﹙x ﹚±limg ﹙x ﹚=A ＋B ﹙2﹚lim[f ﹙x ﹚·g ﹙x ﹚]= lim f ﹙x ﹚·limg ﹙x ﹚=A ·B﹙3﹚若有B ≠0，则 lim [f ﹙x ﹚/ g ﹙x ﹚]= limf ﹙x ﹚/ limg ﹙x ﹚=A/B 4.定理4：设有数列﹛x n ﹜和﹛y n ﹜，如果lim n →∞x n =A ， lim n →∞y n =B 那么：（1）lim n →∞（x n ±y n ﹚=A ±B（2） lim n →∞x n ·y n =A ·B（3）当n x 0(1,2,3...)B 0lim n n nAy n y B →∞≠=≠=且时， 5.定理5：[][][]00000,00()()lim (),lim (),(),g(x)u ,lim ()lim ()x xu u x x u u y f g x g x g x u f u A x f g x f u Aδ→→→→===∈≠== 设函数是由函数u=g(x)与函数y=f(u)复合而成，f 在点x 的某去心邻域内有定义，若且存在x 有则：4.推论1：常数与无穷小的乘积是无穷小5.推论2：有限个无穷小的乘积也是无穷小6.推论3：如果limf(x)存在,而c 为常数，则：[]lim ()lim ()cf x c f x =7.推论4：如果limf(x)存在，而n 是正整数，则：[][]lim ()lim ()nnf x f x = 二、无穷小的比较处公式：（可根据题干变换x ）11nx 等价于 arcsinx x 等价于 sinx x 等价于211-cos x 2x 等价于 1sec cos x x等价于 tan tx x等价于三、重要极限：0sin lim1x x x →= 1lim 1xx e x →∞⎛⎫+= ⎪⎝⎭四、零点定理与介值定理：1.零点定理：设函数f(x)在闭区间[a ，b ]上连续，且f(a)与f(b)异号，那么在开区间﹙a ，b ﹚内至少有一点ξ ，使：f(ξ)=02.介值定理：设函数f(x)在闭区间[a ，b ]上连续，且在这区间的端点取不同的值f （a ）=A f(b)=B,那么，对于A 与B 之间的任意一个数C ，在开区间（a,b ）内至少有一点ξ ，使：f(ξ)=C （a<ξ<b ）第二章导数与微分总说：这一章可以说是前半本书的重点，它不仅与极限联系，而且与后面的积分息息相关，这章必须融会贯通。

高等数学第一章笔记

高等数学第一章整理老师 PPT 形成笔记第一章 1、设 x, y 为两个变量， D为数集，若对 ∀ x ∈ D ，按某一对应关系 f ，总有唯一确定的一个数 y 与 x 相对应，则称对应关系 f 是定义在 D 上的函数，习惯上也称 y 是 x 的函数，记作 y = f ( x ) x ∈ D ) ,其中 x 称为自变量， y 称（为因变量，也称对应于自变量 x 的函数值． 2、函数的三要素:定义域，值域，对应法则 3、对于函数 y=f(x)，当该函数有实际意义时，它的定义域按实际意义确定．当函数没有实际意义时，它的定义域是指使函数有意义的全体实数，这样的定义域称为自然定义域，一般所说的定义域大多指自然定义域． 4、函数的表示法：（1）图形法（2）表格法（3）解析法 5、函数的几种特性：函数的单调性、函数的有界性、函数的奇偶型性、函数的周期性 6、设函数 f ( x ) 的定义域为 D ，区间 I ⊂ D．如果对于 I 上任意两点 x1及x2， x1 < x2 时，当恒有 f ( x1 ) < f ( x 2 ) 成立，则称函数 f ( x ) 在区间 I 上单调增加；如果对于区间 I 上任意两点 x1 及 x 2 ，当 x1 < x 2 时，恒有f (x1) > f (x2) 成立，则称函数 f ( x) 在区间 I 上单调减少．单调增加和单调减少的函数统称为单调函数．从图象上看, 增函数的图象自左向右逐渐上升; 减函数的图象自左向右逐渐下降． 7、对于给定的数列{ },如果当 n 无限递增大时，数列趋近于某一确定的常数 a ，则称 a 为数列的极限，或称数列收敛于 a，记为 lim xn = a 或 xn → a (n → ∞) n →∞9、如果数列没有极限，就说数列是发散的。

《高等数学》张民选 第一章复习要点

高等数学知识点第一章函数

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