新人教版八年级数学下册《十六章 二次根式 16.1 二次根式 章前引言及二次根式》教案_4
新人教版八年级数学下册《十六章 二次根式 16.1 二次根式 章前引言及二次根式》课件_7
第1课时 二次根式的概念
复习导入
（1）3的平方根是____3__ （2）3的算术平方根是___3____
（3）5 有意义吗？为什么？ 0 呢？
（4）一个非负数a的算术平方根应表示为__a___a___0__
正数有两个互为相反数的平方根；
平方根的性质：0有一个平方根是0；
选自教材习题
知识点 2 二次根式有意义的条件
思考 当x 是怎样的实数时， x2 在实数范围内
有意义？ x3 呢？
因为x²≥0，所以x可以为任意实数。 要使x³≥0，必须x≥0 。
选自教材思考
二次根式有意义的条件：a有来自义a≥0例 当x是怎样的实数时，x 2 在实数范围内有意义？
解：由x-2≥0，得 x≥2
负数没有平方根。
算术平方根的性质：正数和0都有算术平方根；
负数没有算术平方根。
探索新知
思考 （1）面积为3 的正方形的边长为____3___，面积为 S 的正方形的边长为____S___．
选自教材思考
被开方数都大于0
（2）一个长方形围栏，长是宽的2 倍，面积为130
m2，则它的宽为___6_5__m．
分析： 是否含二
次根号
是
被开方数是 否为非负数
是
二次根式
否
否
不是二次根式
练习
巩固新知
要画一个面积为18cm2的长方形，使它的 长与宽之比为3:2.它的长、宽各应取多少？
解：设矩形的长宽分别是3xcm、2xcm,
由题意得2x×3x=18,
解得x1= 3 ， x2=- 3 (舍). 答：它的长取 3 3 cm，宽取 2 3 cm。
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16.1.1二次根式教学内容二次根式的概念及其运用教学目标知识与技能目标：a ≥0）的意义解答具体题目． 过程与方法目标：提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题．情感与价值目标：通过本节的学习培养学生：发展学生观察、分析、发现问题的能力． 教学重难点1．重点：理解二次根式的概念；2．难点：确定二次根式中字母的取值范围教法：讲练结合法: 在例题教学中，引导学生阅读，与平方根进行类比，获得解决问题的方法后配以精讲，并进行分层练习，培养学生的阅读习惯和规范的解题格式。
学法：1、类比的方法 通过观察、类比，使学生感悟二次根式的模型，形成有效的学习策略。
2、练习法 采用不同的练习法，巩固所学的知识；利用教材进行自检，小组内进行他检，提高学生的素质。
媒体设计：PPT 课件，展台。
学习过程一、展示学习目标：1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性二．设置问题情境，引入新课：1求下列各数的平方根和算术平方根（1）9（2）0.64（3）0总结：a （a ≥0）的平方根是a （a ≥02．解决问题（1） 面积为 S 的正方形边长为________。
（2）．面积为 b －5 的正方形边长为________。
（3）． 圆桌的面积为 S ，则半径为________（4）．若圆桌的面积为 S ＋3，则半径为________（5）关系式 h = 5t 2 （t > 0）中，用含有 h 的式子表示 t ，则 t = ________。
总结以上式子有何特征二次根式的概念：a像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式。
因此，一般地，我们把形如（a≥0三．探究新课1．指出二次根式有意义的条件被开方数大于等于零。
提问：二次根式在什么情况下无意义学生讨论后得出：被开方数小于零2．指出下列哪些是二次根式？学生自主完成小练习：辨别下列式子，哪些是二次根式？三．练习四．小结1. 二次根式的概念2.二次根式有意义的条件3二次根式的双重非负性五．作业课本第5页第一题。
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（ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ） -12
（5） 3 -π
（2）3 5
（6） x2 +1
（3） 4
（7） x2 -1
（4） - m（m 0) ８） ������ + ������(������ ≥ ������，������ ≥ ������)
属性：
被开方数a是非负数，即a≥0; ������ 是非负数，即 ������ ≥0 .
(双重非负性）
概念应用
解：x-2≧0,得x≧2
关键:被开方数
为非负数
概念应用
变式训练
1、当x是怎样的实数时,下列式子在实数范围内有意义？
解：
(1) ������ + ������
x+1≥ ������ ， 得x≥ −������
(2) ������ − ������������
4-3x≥0 ，
得x≤
������ ������
(3) ������������
x为任意实数
(4) ������������
x≥0
概念应用
例2 当x取何值时，
1 x-
5
在实数范围内有意义？
解：由题意得
Q
x 52 0
x 52 0
x 52 0
x 25
∴当x＞5时，
1 x-
5
在实数范围内有意义。
概念应用
变式训练
当x是怎样的实数时，下列各式在实数范围内 有意义？
（1） 2 x x -1
（2） x x -1
概念应用
2 6 x 最小值为 2 ，此时x的值为 6 。
概念应用
变式训练
已知 y x3 3x，则x= 3 ,y= 0 .
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形如 a (a 0)的式子叫做二次根式.
1.表示a的算术平方根 2. a可以是数,也可以是式. 3. 形式上含有二次根号
4. a≥0, a≥0 ( 双重非负性)
5.既可表示开方运算,也可表示运算的结果.
如： a 1 这类代数式只能称为含有二次根
式的代数式，不能称之为二次根式；
而 2x2 2x 3
5
t= h 5
探究新知 你认为以上所得的式子有哪些共同特点？
它们都表示一些正数的算术平方根.
二次根式
形如 a (a 0) 的式子叫做二次
根式.
不要忽略
根指数
a
被开方数
二次根号
它必须具备如下特点： 1、根指数为2； 2、被开方数必须是非负数.
请你凭着自己已有的知识,说 说对二次根式 a 的认识！
S a=？
S
r=？ 2. 圆桌的面积为s，则半径为________.
提示 根据圆的面积公式s=πr2 求解. 举一反三 若圆桌的面积为是s＋3，则半径为________.
3. 关系式h=5t2 （t＞0）中，用含有h的式子 h
表示 t ，则t = ____5____.
提示
h
t2 =
（t > 0）
5.已(4知) a ，你能求出a的取值范围吗？ a 1
随堂练习
12 n为一个整数, 求自然数n的值.
这节课你有何收获， 能与大家分享、交流你的感受吗？
今天我们学会了…
二次根式的概念．
学会求二次根式中字母的取值范围；
布置作业:
见数学作业本
人教版2011课标版 八年级下册
第16章 二次根式
课前展示
1、16的平方根是什么?16的算术平方根是什么？ 2、0的平方根是什么？0的算术平方根是什么？ 3、－7有没有平方根？有没有算术平方根？
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二、探索新知：
（一）二次根式的概念
1、如果说具有上述思考题特征的式子叫做二次根式，请你结合课本给二次根式下个定义，并写出三个不同的二次根式。
2、典例分析：
当x是怎样的实数时，
（二）二次根式的基本性质
1、根据算术平方根的意义填空：
归纳总结：
2、填空：
归纳总结：
规律总结：
3、典例分析：
计算：
（设计意图：通过问题引导学生对本节课新知识进行自方学习）
三、用导图梳理本节知识：
四、自我检测：（共10分）得分：
评价
标准
低于
6分总结规律）
天生
我才
不及格
良好
优秀
天才
自评
结
1、下列各式不是二次根式的是（）（1分）
2、当a是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（共3分，各1.5分）
3、计算：（共6分，各1分）
（设计意图：当堂训练，巩固知识）
五、拓展提升：
1、已知下列各式：
,其中二次根式有（）
A 1个B 2个C 3个D 4个
教师巡视随机点学生板书。
各组针对点板书内容再进行合作交流。
小组点评，讲解。
教师适时追问，挖掘知识本质，引导学生归纳总结知识占和数学方法。
新知学习完成，学生梳理本节知识，形成本节知识网络。
一生展示。
当堂检测，并计分进行等级评定激发学生的学习兴趣。
学科班长总结知识，并对本课小组和学生进行评价
2、若 在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）
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四、辨析概念应用巩固
1.问题： 是不是二次根式？
例1、当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？
例2思考：当x是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢?
强化对二次根式的概念的理解，培养学生解决问题的能力．
引导学生从概念出发思考问题，通过例1、例2，加深概念理解。
课件展示简短微视频，学生欣赏思考，引入本节课课题。
吸引学生注意力，激发学生学习兴趣，让学生初步了解本章将要学习的主要内容。
2、
创设情境提出问题
（1）面积为 3的正方形的边长为_________，面积为S的正方形的边长为；
（2）一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130 m2，则它的宽为m；
（3）一雨滴从天而降，落到地面所用的时间t（单位：s）与下落的高度h(单位：m)满足关系式 h= gt2 .如果含有h，g 的式子表示t，则t=.
4、情感态度：经历数学活动过程，感受数学活动充满了探索性和创造性。
教学
重点
从算术平方根的意义出发理解二次根式的概念。
教学
难点
利用二次根式有意义的条件求字母的取值范围。
教学方法
启发引导、自主探究、合作交流
授课
类型
新授课
课时
1课时
教具
多媒体、PPT课件
教学活动
教学
步骤
师生活动
设计意图
一、
欣赏视频
引入课题
2、选做题：求当二次根式 的值等于4时x的值.
加深二次根式概念理解，考查二次根式概念及其与开平方的关系。
七、
课堂
总结
反思
回头看，我真棒
问题或想法需要和大家交流？
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16.1 二次根式（第1课时）
一、教学目标
1.理解二次根式的概念；
2.掌握二次根式有意义的条件；
3.会利用二次根式的非负性解决相关问题.
过程与方法:使学生理解二次根式被开方数的取值范围的重要性
情感态度与价值观:培养学生根据条件处理问题的能力及分类讨论问题
二、重点难点
重点：理解二次根式的概念及有意义的条件.
难点：利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题.
三、学情分析
学生已经学习了平方根，这为本节学习奠定了一定的基础，因此二次根式涉及的内容不是很难，保证被开方数是非负数，把握住性质，在学习过程中只要不麻痹大意，各种问题就会迎刃而解的。
如图②的海报为长方形，若长是宽的
面积为6m2，则它的宽为_____m．
一个物体从高处自由落下，落到地面所用的
t（单位：s）与开始落下的高度
）满足关系h=5t2，如果用含有。
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二次根式的教学设计一、教学目标知识与技能：1.了解二次根式的概念：2.知道被开方数必须是非负数的理由；3.能运用二次根式的性质解决实际问题。
过程与方法：1.先回忆平方根和算术平方根的概念和性质。
2.平方根与算术平方根和二次根式的联系。
情感态度与价值观：让学生从以前学过的知识中掌握一项新的技能是一件应该兴奋的事情，再者利用二次根式的学习过程中学会应用在实际的生活当中就是实现了其现有的价值。
二、学情分析：本班46名学生，成绩参差不齐，程度差距很大，鉴于此，对于学生要分层教学。
三、重点难点：1.重点：形如（a≥0）的式子叫做二次根式的概念；2.难点：运用二次根式的性质解决实际问题。
四、教学过程 6.1 第一学时五、教学活动活动1【讲授】二次根式教学过程设计创设情境，提出问题引言我们在前面已经学习了单项式、多项式和分式等概念和运算，可以发现，式的运算本质上就是对符号运用运算律所进行的形式运算。
本节课主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。
谁能根据学过的知识回答下列问题呀？问题1 平方根的概念，算术平方根的概念，平方根的性质（也可以让他们用式子表示出来，更直观的解释出自己心中的平方根和算术平方根）。
师生活动：给学生充分思考和讨论时间，让他们回忆有关平方根和算术平方根的有关知识，才能在此基础上再进一步研究二次根式概念。
设计意图：从以往学过的知识当中寻求新的知识点，在这个过程中学生的心里状态是兴奋的快感的，而且还具有提起学习兴趣的作用。
问题2 请思考下列问题面积为b-3的正方形的边长为多少？面积为S的正方形边长为？一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130㎡，则它的宽多少m。
师生活动：学生思考并完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价。
是为下一步学生更好的了解和认识二次根式做铺垫。
设计意图：为概括二次根式的概念提供具体例子，抽象概括并形成概念。
问题3 上面得到的式子有什么共同特征？师生活动：教师引导学生概括得出共同特征，并给出二次根式的定义。
趁热打铁1：其中a的取值有要求吗？为什么？师生活动：教师引导学生讨论，分析共同特点，归纳得到二次根式的概念，并强调“被开方数非负”。
趁热打铁2：二次根式有什么样的特点？师生活动：给学生充分的思考和讨论时间（可以组队讨论，也可一对一讨论），让学生总结二次根式的特点，教师归纳总结。
设计意图：采用从具体到抽象的方式，通过归纳的出二次根式的概念。
辨析概念，应用巩固例1 下列各式是二次根式吗？师生活动：教师引导学生从二次根式的特征出发思考问题。
例2 求下列二次根式中字母的取值范围：师生活动：教师可以通过问题“观察各式被开方数是什么？你能根据二次根式的概念的带答案吗？”引导学生从概念出发思考问题。
追问：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：师生活动：给学生充分的思考和讨论时间，让学生总结回答，教师归纳总结。
问题4 x取何值时,下列二次根式有意义?师生活动：学生分组队或是男女生进行比赛，调动学生的积极性。
设计意图：让学生独立思考，再追问。
问题5 计算师生活动：通过简单计算让学生总结规律。
例3 计算师生活动：学生直接回答。
设计意图：通过加分制调动学生的积极性，提高学生的注意力，通过练习巩固知识点。
问题7 计算师生活动：通过简单计算让学生总结规律。
追问：师生活动：学生讨论回答，教师归纳总结。
设计意图：通过简单计算学生自己归纳总结二次根式的性质，加深学生的印象。
综合应用，深化提高练习1学生完成教科书第3页的练习。
练习2 若１＜x＜４，则化简设计意图：辨别二次根式的概念，确定二次根式有意的条件。
利用二次根式的性质解题。
小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答下列问题：什么叫二次根式？二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？二次根式与算术平方根有什么联系与区别？我们以前学过整式、分式都能像数一样进行运算，你认为对于二次根式应该进一步研究哪些问题？设计意图：共同回顾本节课学习的概念，再次练习算术平方根理解二次根式的概念，提出二次根式应该研究的问题。
布置作业教科书习题16.1第1、2题。
教学反思：1.在实际授课中，通过以下步骤让学生认识、理解、并掌握本节知识：（1）让学生回顾了算术平方根与平方根的概念，并且通过一个思考栏目的两道题，得出二次根式的定义后又复习了算术平方根具有双重非负性；（2）通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的条件，并经过例1掌握二次根式在实数范围内有意义的条件；（3）通过练习让学生得出二次根式的两个性质，体会从特殊到一般的思维过程，进而掌握公式的一般推导方法；……，本节课大部分时间都是引导学生边学边做，让学生经历了整个学习过程。
2.在学习过程中，突出了引导学生自己得出结论，特别是二次根式的两个性质，在做完思考题之后，学生自己就初步得出了结论，而且通过其他学生的补充越来越完善。
3. 让学生自己找出性质1和性质2的区别与联系，虽然不够系统和完整，但通过这样的训练，培养了学生总结规律的能力。
4.在实际教学中，仍然存在着对课堂时间把握不精确的问题，出现了前松后紧的现象，以致有深度的练习没时间完成，结束的也比较仓促。
在今后教学中，应注意时间的掌控。
5.在引导学生探索求知和互动学习方面还有欠缺。
新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的课堂教学中，对学生探索求知进行了引导，并且鼓励大家自己得出结论，但在互动方面做的还不够，大部分学生都是独立思考，很少与同学合作交流，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的生活和学习。
16.1 二次根式课时设计课堂实录16.1 二次根式1第一学时教学活动活动1【讲授】二次根式教学过程设计创设情境，提出问题引言我们知道，用字母表示数，可以将字母和数一起运算。
前面已经学习了单项式、多项式和分式等概念和运算，可以发现，式的运算本质上就是对符号运用运算律所进行的形式运算。
本节课主要讨论如何对数和字母开平方而得到的特殊式子——二次根式的加、减、乘、除运算。
前面我们学习的平方根和算术平方根的概念和性质是学习二次根式的基础，我们先来回忆一下平方根和算术平方根的有关知识。
问题1 平方根的概念，算术平方根的概念，平方根的性质。
师生活动：给学生充分思考和讨论时间，让他们回忆有关平方根和算术平方根的有关知识，才能在此基础上再进一步研究二次根式概念。
设计意图：回顾已学的数和式的运算，丛数和式运算的完整性角度提出要研究的问题，让学生了解本章将要学习的主要内容，起到先行组织者的作用。
问题2 请思考下列问题面积为3的正方形的边长为，面积为S的正方形边长为。
一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130㎡，则它的宽为m。
一个物体从高处自由落下，落在地面所用的时间t（单位：s）与开始落下的高度h（单位：m）满足关系h=5t2。
如果用含有h的式子表示t，则t为。
师生活动：学生思考并完成上述问题，用算术平方根表示结果，教师进行适当引导和评价。
关键是帮助学生实现从数的算术平方根到用含有字母的式子表示算术平方根的抽象。
设计意图：为概括二次根式的概念提供具体例子，同时发展符号意识。
抽象概括，形成概念问题3 上面得到的式子有什么共同特征？师生活动：教师引导学生概括得出共同特征，并给出二次根式的定义。
追问1 中a的取值有要求吗？为什么？师生活动：教师引导学生讨论，分析共同特点，归纳得到二次根式的概念，并强调“被开方数非负”。
追问2 二次根式有什么样的特点？师生活动：给学生充分的思考和讨论时间，让学生总结二次根式的特点，教师归纳总结。
设计意图：采用从具体到抽象的方式，通过归纳的出二次根式的概念。
辨析概念，应用巩固例1 下列各式是二次根式吗？师生活动：教师引导学生从二次根式的特征出发思考问题。
例2 求下列二次根式中字母的取值范围：师生活动：教师可以通过问题“观察各式被开方数是什么？你能根据二次根式的概念的带答案吗？”引导学生从概念出发思考问题。
追问：求二次根式中字母的取值范围的基本依据：师生活动：给学生充分的思考和讨论时间，让学生总结回答，教师归纳总结。
问题4 x取何值时,下列二次根式有意义?师生活动：学生抢答加分，调动学大亨的积极性。
设计意图：让学生独立思考，再追问。
问题5 计算师生活动：通过简单计算让学生总结规律。
例3 计算师生活动：学生直接回答。
设计意图：通过加分制调动学生的积极性，提高学生的注意力，通过练习巩固知识点。
问题7 计算师生活动：通过简单计算让学生总结规律。
追问：师生活动：学生讨论回答，教师归纳总结。
设计意图：通过简单计算学生自己归纳总结二次根式的性质，加深学生的印象。
综合应用，再接再厉练习1学生完成教科书第3页的练习。
练习2 若１＜x＜４，则化简设计意图：辨别二次根式的概念，确定二次根式有意的条件。
利用二次根式的性质解题。
小结教师与学生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答下列问题：什么叫二次根式？二次根式有意义的条件是什么？二次根式的值的范围是什么？二次根式与算术平方根有什么联系与区别？我们以前学过整式、分式都能像数一样进行运算，你认为二次根式的运算会有哪些相同和不同点？设计意图：共同回顾本节课学习的概念，再次练习算术平方根理解二次根式的概念，提出二次根式应该研究的问题。
布置作业教科书习题16.1第1、2题。
教学反思：1.在实际授课中，通过以下步骤让学生认识、理解、并掌握本节知识：（1）让学生回顾了算术平方根与平方根的概念，并且通过一个思考栏目的两道题，得出二次根式的定义后又复习了算术平方根具有双重非负性；（2）通过练习掌握如何判断一个式子是否是二次根式的条件，并经过例1掌握二次根式在实数范围内有意义的条件；（3）通过练习让学生得出二次根式的两个性质，体会从特殊到一般的思维过程，进而掌握公式的一般推导方法；……，本节课大部分时间都是引导学生边学边做，让学生经历了整个学习过程。
2.在学习过程中，突出了引导学生自己得出结论，特别是二次根式的两个性质，在做完思考题之后，学生自己就初步得出了结论，而且通过其他学生的补充越来越完善。
3. 让学生自己找出性质1和性质2的区别与联系，虽然不够系统和完整，但通过这样的训练，培养了学生总结规律的能力。
4.新的教学理念要求教师在课堂教学中注意引导学生探究学习，在我的课堂教学中，对学生探索求知进行了引导，并且鼓励大家自己得出结论，但在互动方面做的还不够，大部分学生都是独立思考，很少与同学合作交流，今后的教学中应多培养学生合作交流的意识，这样有助于他们今后的生活和学习。
5.在实际教学中，仍然存在着对课堂时间把握不精确的问题，出现了前松后紧的现象，以致有深度的练习没时间完成，结束的也比较仓促。