一元一次方程的等积变形问题
一元一次方程的应用等积变化问题
一元一次方程的应用等积变化问题等积变化问题是一元一次方程应用题中的一种常见题型，其基本特点是涉及到体积、面积、长度等量的变化，而这种变化是等积的，即变化前后的量是相等的。
解决等积变化问题的关键在于理解“等积”的含义，即体积、面积、长度等量在变化过程中保持不变。
因此，我们需要根据题目描述，建立等量关系，然后列出方程求解。
下面是一个具体的例子：题目：有一个长方体，它的长增加了2cm，宽和高不变，体积增加了40立方厘米；宽增加了2cm，长和高不变，体积增加了60立方厘米；高增加了2cm，长和宽不变，体积增加了48立方厘米。
求原来长方体的体积是多少？解：设原长方体的长为l cm，宽为w cm，高为h cm。
根据题目描述，我们可以建立以下方程：1. 长增加2cm后，体积增加了40立方厘米：(l + 2) × w × h - l × w × h = 402. 宽增加2cm后，体积增加了60立方厘米：l × (w + 2) × h - l ×w × h = 603. 高增加2cm后，体积增加了48立方厘米：l × w × (h + 2) - l × w × h = 48将以上三个方程整理为一元一次方程组：1) (l + 2) × w × h - l × w × h = 402) l × (w + 2) × h - l × w × h = 603) l × w × (h + 2) - l × w × h = 48通过解这个方程组，我们可以得到原长方体的长、宽、高分别为：l = 5 cm, w = 4 cm, h = 3 cm。
因此，原来长方体的体积是：l × w × h = 5 × 4 × 3 = 60 立方厘米。
一元一次方程的等积变形问题课件
长为：x+10=20+10=30米
答：该长方形的长为 30米，宽为20米.
.
示图分析
100 米
篱笆材料的长度=围成的三面墙的长度和
.
解：设仓库的宽X米. 根据题意得：
2x+x+100 3x=90 X=30
所以仓库的长为:x+10=30+10=40 米 答：该仓库的长为40米，宽为30米。
5dm 1. 5m
3dm 0. 5m
.
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系： 水位上升部分的体积 =小圆柱形铁块的体积 圆柱形体积公式是 _____?_r_2h, 水升高后的体积 小铁块的体积 （_____0_._5_2_?_x） （______0._3_2_×)0.5 ?
解：设水面将升高 x米, 根据题意得 方程为： _____0_._5_2_?_x_=__0_.3_2_×__0_.5 ? 解这个方程： _____x__=_0_.1_8 答：____容__器__内__水__面__将__升__高_. _0_.1_8m 。
.
等面积的变形
把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长 方形运动场地，要求面积不变，则应将原梯 形的上下底边作怎样的调整？
解：将下底缩短 Xm,则长方形的长
30m
是（60 －X),
由题意得：
30m
（30+60） ×30 ÷2=1350
60m
30（60 —x)=1350
解得： x=15
经检验：x=15是方程的解，且符合题意。
解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和 质量都保持不变 2、用一根 15cm 长的铁丝围成一个三角形，然后把它围 成长方形；
一元一次方程实际应用题之等积变形问题
一元一次方程实际应用题之等积变形问题“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提. 常见几何图形的周长、面积、体积公式:1.等长变形问题例题1：用一根长10米的铁丝围成一个长方形．使得长方形的长比宽多1.2米，此时长方形的长是多少米？宽是多少米？分析：抓住总长度不变，也就是长方形的周长等于10米。
可设宽为未知数，进而表示出长，等量关系为：2（长+宽）=10，把相关数值代入可求得宽，进而求得长即可。
解：设长方形的宽为x米，则长为（x+1.2）米．依题意得：2（x+1.2+x）=10，解得x=1.9，∴x=1.2+1.9=3.1，答：长方形的长为3.2米，宽为1.9米。
2.等体积变形问题例题2：要锻造直径为60mm，高为30mm的圆柱形毛坯，需截取直径为40mm的圆钢长是多少毫米？分析：抓住锻造前后的体积不变，此题的等量关系为：锻造前的体积=锻造后的体积．据此列方程求解。
要注意的是，题目中已知直径，需要转化为半径。
解：设需截取直径为40mm的圆钢长xmm，60÷2=30（mm）、40÷2=20（mm）；依题意得：π×30^2×30=π×20^2×x解得：x=67.5例题3：有一段钢材可作一个底面直径 8 厘米，高 9 厘米的圆柱形零件。
如果把它改制成高是 12 厘米的圆锥形零件，零件的底面积是多少平方厘米？分析：根据“底面直径8厘米，高9厘米的圆柱形零件”，利用圆柱体积公式，可以求出圆柱的体积，又因为把圆柱形的零件改制成圆锥形零件时，此段钢的体积不变，根据体积不变列出方程求解。
解：零件的底面积是x平方厘米。
8÷2=4（厘米）依题意得：3×π×4^2×9=x×12解得：x=36π答：零件的底面积是36π平方厘米。
3.等面积变形问题例题4：如图，某小学将一块梯形空地改成宽为30m的长方形运动场地，要求面积不变．若在改造后的运动场地，小王、小李两人同时从点A出发，小李沿着长方形边顺时针跑，小王则是逆时针跑，并且小王每秒比小李多跑2m，经过10秒钟他们相遇．（1）求长方形的长；（2）求小王、小李两人的速度分析：（1）求得原梯形的面积，利用面积不变和长方形的面积求得长方形的长即可；（2）设小李的速度是xm/s，则小王的速度是（x+2）m/s，利用10秒钟他们相遇所走的路程为长方形的周长列出方程解决问题。
一元一次方程的等积变形问题
方程两边同乘或同除一个含有未知数的式子，可以消去分母，使方程化为一元一次方程。
通过这种方式，可以将方程中的某些项消去，简化方程。
方程两边同乘或同除一个含有未知数的式子
等积变形的步骤与技巧
#O3
识别等积变形的机会
观察方程 在解一元一次方程时，要时刻观察方程的形式，判断是否可以通过等积变形简化问题。 寻找等式两边的共同因子 如果等式两边有共同因子，可以通过提取共同因子简化方程。 寻找等式两边的同类项 如果等式两边有同类项，可以通过合并同类项简化方程。
03
重量不变问题
在称重过程中，当两个物体质量相等时，可以通过等积变形来求解相关问题。
01
体积不变问题
在容器中装有一定体积的水，将水倒入另一个容器，保持水的体积不变，可以通过等积变形来求解相关问题。
02
面积不变问题
在平面几何中，当两个相似图形面积相等时，可以通过等积变形来求解相关问题。
数学题目中的等积变形ຫໍສະໝຸດ 在解代数方程时，可以通过等积变形将方程转化为更易于解决的形式。
在几何图形中，可以通过等积变形将图形转化为更易于计算面积或体积的形式。
几何图形的等积变形
代数方程的等积变形
等积变形在解题中的应用
简化计算过程
通过等积变形可以将复杂的问题转化为简单的问题，从而简化计算过程。
寻找未知数
在某些问题中，可以通过等积变形来寻找未知数，从而解决问题。
解决实际问题
在解决实际问题时，等积变形可以帮助我们更好地理解问题，并找到合适的解决方案。
等积变形的注意事项与挑战
#O5
等积变形的适用范围
等积变形适用于解一元一次方程时，当方程的解为分数或根号形式时，需要进行等积变形。
一元一次方程经典讲义之等积变形
第四讲等积变形数字问题【基本数量关系】原料体积=成品体积数的表示方法：一个三位数的百位数字为a，十位数字是b，个位数字为c（其中a、b、c 均为整数，且1≤a≤9， 0≤b≤9， 0≤c≤9）则这个三位数表示为：100a+10b+c。
【典型例题】1.用直径为4厘米的圆钢，铸造三个直径为2厘米，高为16厘米的圆柱形零件，问需要截取多长的圆钢？2.某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形瓶内装满水，再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆柱形玻璃杯中，能否完全装下？若装不下，那么瓶内水面还有多高？若未能装满，求杯内水面离杯口的距离。
3.一个长、宽、高分别是9厘米、7厘米、3厘米的长方体铁块和一个棱长为5厘米的正方体铁块，熔化成一个圆柱体，其底面直径为20厘米，请求圆柱体的高（π不需化成3.14）4.一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大1，十位与个位上的数字和是这个两位数的1/6，这两个数是多少？5.有一个三位数，其各数位的数字之和是16，十位数字是个位数字与百位数字的和，若把百位数字与个位数字对调，那么新数比原数大594，求原数。
【课堂精练】1.要锻造一个半径为5厘米，高为8厘米的圆柱形毛胚，应截取半径为4厘米的圆钢多长？2.某机器加工厂要锻造一个毛胚，上面是一个直径为20毫米，高为40毫米的圆柱，下面也是一个圆柱，直径为60毫米，高为20毫米，问需要直径为40毫米的圆钢多长？3.将一罐满水的直径为40厘米，高为60厘米的圆柱形水桶里的水全部灌于另一半径为30厘米的圆柱形水桶里，问这时水的高度是多少？4.一个直径为1.2米高为1.5米的圆柱形水桶，已装满水，向一个底面边长为1米的正方形铁盒倒水，当铁盒装满水时，水桶中的水高度下降了多少米？5.有一块棱长为4厘米的正方体铜块，要将它熔化后铸成长2厘米、宽4厘米的长方体铜块，铸成后的铜块的高是多少厘米（不计损耗）？6.有一个圆柱形铁块，底面直径为20厘米，高为26厘米，把它锻造成长方体毛胚，若使长方体的长为10π厘米，宽为13厘米，求长方体的高。
3.4_实际问题与一元一次方程-等积变形问题
_ _x厘米 30厘米 15厘米 可列方程：π×32x-π22（18-15）=π×22×15
3厘米
等量关系2：水的体积+水中金属柱的体积=水加柱的体积
可列方程：π×32×15+π×22×18=π×32（15+x）
解：设容器内放入金属圆柱后水面升高x厘米
（1）容器内的水面升高后没有淹没金属圆柱，那么由题
一元一次方程的应用
等积变形问题
要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？
升高的水的 体积恰好等 于人的体积。
R h
你还能举出相类似的事例吗？ （古代：曹冲称象）
例题7
2厘米
设水面升高了x厘米
18厘米
2厘米
3厘米
3厘米 x 厘 米
厘 米 30厘米 15厘米
x
18厘米 15厘米
金属柱没有被淹没的情况：
（或：π×32×15+π×22×18=π×32（15+x）） 解得：x=8 经检验x=8符合题意 所以，容器内水面升高8厘米
练习
一个盛有水的圆柱形容器里的内半径为 10cm，容器内水的高度为12cm， 把一根半径为2cm,高2厘米的玻璃柱放 入水中，问容器内水将升高多少厘米 。
意得
π×32x+π22（18-15）=π×22×15
（或π×32×15+π×22×（15+x)=π×32（15+x））
解得：x=12
因为12+15=27＞18，所以此时容器内的水面已经淹没了金属柱， 不符合假定，应舍去 （2）如果容器内的水面升高后淹没放入的金属圆柱，那么由题意得
π×32x+π22（18-15）=π×22×15
华师版七年级下册数学精品教学课件 第6章 一元一次方程 第1课时 等积变形问题
解这个方程，得 x ＝ 25.
答：这一支牙膏能用 25 次．
思考：你认为列一元一次方程解应用题的主要步骤 有哪些？关键是什么？
1. 审——通过审题找出等量关系. 2. 设——设出合理的未知数(直接或间接)，注意单位名称. 3. 列——依据找到的等量关系，列出方程. 4. 解——求出方程的解(对间接设的未知数切忌继续求解). 5. 检——检验求出的值是否为方程的解，并检验是否符
1. 一个长方形的周长是 40 cm，若将长减少 8 cm，
宽增加 2 cm，长方形就变成了正方形，则正方
形的边长为 ( B )
A. 6 cm
B. 7 cm
C. 8 cm
D. 9 cm
2. 一个梯形的面积是 60 cm2，高为 5 cm，它的上底比 下底短 2 cm，求这个梯形上底和下底的长度.设下底长 为 x cm，则下面所列方程正确的是 ( C )
合实际问题. 6. 答——注意单位名称.
做一做 1. 要锻造一个直径为 8 厘米、高为 4 厘 米的圆柱形毛坯，则至少应截取直径为 4 厘米 的圆钢___1_6__厘米.
2. 钢锭的截面是正方形，其边长是 20 厘米，要 锻造成长、宽、高分别为 40 厘米、30 厘米、10 厘米的长方体，则应截取这种钢锭多长？ 答：应截取这种钢锭 30 厘米.
2.9×2.1 = 6.09 (m2)，(1) 中长方形的面积为 3.2×1.8 =
5.76 (m2). 此时长方形的面积比 (1) 中长方形的面积增大 6.09－
5.76 = 0.33 (m2).
(3) 若该长方形的长与宽相等，即围成一 个正方形，则正方形的边长是多少？它围成的 正方形的面积与 (2) 中相比，又有什么变化？
4-3一元一次方程的应用(二) 等积变形问题2022-2023学年鲁教版(五四制)六年级上册
变式训练
1.两个圆柱体容器如图所示，它们的直径分别为4cm 和8cm，高分别为39cm和10cm。我们先在第二个容 器中倒满水，然后将其倒入第一个容器中。问：倒 完以后，第一个容器中的水面离瓶口有多少厘米？
容器1
容器2
变式训练
2. 如图所示，小明将一张正方形纸片剪去一个宽为
4cm的长条后，再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽
方形的面积比(1)中长方形的面积增大了0.33㎡。
(3)设正方形的边长为xm。根据题意，得，
4x=10
解这个方程，得 x=2.5 2.5×2.5=6.25(㎡) 6.25－6.09=0.16(㎡)
这个正方形的边长为 2.5 m，它的面积比 (2)中长方形的面积增大了0.16㎡。
点拨
5.76
6.09
谢谢
9cm 20cm
X cm 10cm
合作交流
• 题设已经给出了等量关系：锻压过程中圆 柱体积不变，几变形后的体积等于变形前 的体积。
• 未知量是？ 已知量是？
例1：
用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。
（1）使得这个长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的 长、宽各为多少米？ （2）使得这个长方形的长比宽多0.8m，此时长方形的 长、宽各为多少米？这个长方形（1）中的长方形相比， 面积有什么变化？ （3）使得这个长方形的长与宽相等，即围成一个正方 形，此时正方形的边长是多少米？它的面积与（2）中 的长方形的面积相比又有什么变化？
分析：由题意知，长方形的周长始终是不变的，即
长方形的周长=10m
在解决这个问题的过程中，要抓住这个等量关系。
解:(1)设此时长方形的宽为xm，则它的长为(x+1.4)m。
根据题意，得
3.4一元一次方程的应用等积变形问题
要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？
形状改变，
体积不变。 R
h
你还能举出相类似的事例吗？ （古代：曹冲称象）
想一想：
请指出下列过程中，哪些量发生了变化，哪 些量保持不变？ 1、把一小杯水倒入另一只大杯中；
解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和质量都保持不变
2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后 把它围成长方形；
随堂练习
1、一块长、宽、高分别为4厘米 、3 厘米 、2 厘 米 的长方体橡皮泥，要用它来捏一个底面半径为1.5 厘米的圆柱，它的高是多少？（精确到0.1厘米，∏取 3.14）
等量关系： 长方形的体积=圆柱体的体积 提示： 长方形的体积=长× 宽×高 圆柱体体积=底面积×高
4
2 3
？
r=1.5
x
等积变形问题的等量关系
变形前的体积（周长)=变形后的体积（周长)
随堂练习
2.在一个底面直径5厘米、高18厘米的圆柱形瓶内装满水 ,再将瓶内的水倒入一个底面直径6厘米、高10厘米的圆 柱形玻璃杯中,能否完全装下?若装不下,那么瓶内水面还 有多高?若未能装满,求杯内水面离杯口距离. 解:圆柱形瓶内装水: 2.52 18 112.5 (厘米3 ) 18 圆柱形玻璃杯可装水: · 2 10 90 (厘米3 ) 3 5 所以玻璃杯不能完全装下.
开拓思维
把一块长、宽、高分别为5cm、3cm、3cm的长方体木块，浸 入半径为4cm的圆柱形玻璃杯中（盛有水），水面将增高多少？ （不外溢） 相等关系：水面增高体积=长方体体积
开拓思维
在一个底面直径为3cm，高为22cm的量筒内装满水，再将筒内 的水到入底面直径为7cm，高为9cm的烧杯内，能否完全装下？若 装不下，筒内水还剩多高？若能装下，求杯内水面的高度。 若将烧杯中装满水到入量筒中，能否装下？若装不下，杯内还 剩水多高？
一元一次方程--等积变形
一元一次方程的应用
--等积化形问题
姓名：班级：
练习1：墙上钉着用一根彩绳围成的梯形形状的饰物，如下图实线所示，小颖将梯形下底的钉子去掉，并将这条彩绳钉成一个长方形，如下图虚线所示，小颖所钉长方形的长、宽各为多少厘米？
拓展提升：小明的爸爸想用10米铁线在墙边围成一个长方形菜地，使长比宽大2米，问小明要帮他爸爸围成的菜地的长和宽各是多少呢？
练习2：有一个底面积20×20长方体玻璃杯（已满水）向一个底面积16×5，高是10的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯的水的高度下降多少？
拓展：已知一圆柱形容器底面半径为0.5m,高线长为1.5m,里面盛有1m深的水，将底面半径为0.3m，高线长为0.5m的圆柱形铁块沉入水中，问容器内水面将升高多少?
问题解决：一只乌鸦口渴需要喝水，来到一个底面积为5平方厘米圆柱体玻璃瓶且水面只有20厘米，要喝水需要30厘米高的水面，玻璃杯旁有堆石头，每块10克，每1立方厘米重5克，问需要多少石头乌鸦才能喝到水？
当堂检测：
1、用一根长60m的绳子围成一个矩形，使它的长是宽的1.5倍，长和宽各是多少？
2、长方体甲的长、宽、高分别是260毫米，150毫米，325毫米，长方体乙的底面积是130×130平方毫米(长、宽都是130毫米)．已知甲的体积是乙的体积的2.5倍，求乙的高．
3、某工厂锻造直径为60毫米，高20毫米的圆柱形零件毛坯，需要截取直径40毫米的圆钢多长？。
4.3一元一次方程应用2(等积变形)
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一 个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒， 铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
20cm
30cm
如图一个铁片长30cm,宽20cm，打算从四个角各截去一 个小正方形，然后把四边折起来做一个无盖的铁盒， 铁盒的底面周长为60cm,问铁盒的高是多少？
（2）使得这个长方形的长比宽多0.8m，此时长方形 的长、宽各为多少米？这个长方形与（1）中的长方 形相比，面积有什么变化？
（2）设此时长方形的宽为 x m，则它的长为( x +0.8)m， 根据题意，得 2（x+x+0.8）=10 解这个方程，得 x=2.1 0.8+2.1=2.9 此时长方形的长是2.9m，宽是2.1 m.它的面积2.9×2.1=6.09m2， （1）中长方形的面积为3.2×1.8=5.76m2，这时长方形的面积比 （1）中长方形的面积大6.09－5.76=0.33 m2.
探索一下：将（2）题中宽比长少4厘米分别改为少3厘米、少2厘米、 少1厘米、少0厘米，再算算长方形的面积有什么变化？
将内直径为20cm的圆柱形水桶中的水全部 倒入一个长、宽、高分别为30cm，20cm， 80cm的长方体铁盒中，正好倒满， 求圆柱形水桶的高（π取3.14）
在这个问题中有什么等量关系？ 请列出方程： 。
１.用一根60厘米长的铁丝围成一个长方形 2 （1）如果宽是长的 3 ，求这个长方形的长和宽 .
2 2
解这个方程，得
因此，圆柱的高变成了36 Cm。
x 36
【 例1 】用一根长为10m的铁丝围成一个长方形。 （1）使得这个长方形的长比宽多1.4m，此时长方形的 长、宽各为多少米？ 【分析】由题意知，长方形的周长始终是不变的，即 长方形的周长=10m 在解决这个问题的过程中，要抓住这个等量关系。 解：（1）设此时长方形的宽为xm，则它的长为 （x+1.4）m，根据题意，得 2（x+x+1.4）=10 解这个方程，得 x=1.8 1.8+1.4=3.2 此时，长方形的长是3.2m，宽是1.8 m.
3.2.1一元一次方程的应用-等积变形
2.内径为120mm的圆柱形玻璃杯，和内径为 300mm,内高为32mm的圆柱形玻璃盆可以盛同 样多的水，则玻璃杯的内高为（ ） A. 150mm B. 200mm C. 250mm D. 300mm
3．三角形的周长是84cm，三边长的比为17： 13：12，则这个三角形最短的一边长是多少？
4.一个底面直径6cm，高为50cm的“瘦长”形 圆柱钢材锻压成底面直径10cm“矮胖”形圆柱 零件毛坯，高变成多少？
5．一种饮水机上的圆柱形水桶的内径为25厘 米，内壁高为35厘米。有一种内径为6厘米， 内壁高为10厘米的圆柱形玻璃杯，如果把一桶 饮用水全部用这种玻璃杯去盛，需要多少个玻 璃杯？
附加练习1 要锻造直径为60毫米高为20毫米的
圆柱形零件毛坯，需要截取直径为40毫米的圆钢 多长？
附加练习2 某面粉仓库存放的面粉运出 15%后，还剩余42500千克。仓库原来有 多少面粉？
3.2.1一元一次方程的应用 ——等积变形
表示出下列各式：
圆柱体积= 正方体体积= 长方形面积= 圆的面积= 梯形面积= 正方形周长=
长方体体积= 圆锥体积= 正方形面积= 三角形的面积= 长方形周长= 圆的周长=
1.有一正方体铁块棱长为10cm，现在想把它熔解 铸成一个长方体铁块，长20cm，宽10cm，求长方 体的高？
2.一圆柱形容器的内半径为3厘米，内壁高30厘米， 容器内盛有15厘米高的水。现将一个底面半径为 2厘米的，高18厘米的金属圆柱竖直放入容器中， 问容器内的水将升高多少厘米？
例1,如图，用直径为200 mm的圆柱 体钢，锻造一 个长、宽、高分别为300 mm,300mm和90 mm的长方体毛坯，应截取多 少毫米长的圆柱体钢〈计算时π取3.14，结果 精 确到1mm）？
等积变形问题
等积变形问题--一元一次方程的应用题
一知识点
“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提。
常用等量关系为:形状面积变了，周长没变；原料体积=成品体积。
二试试身手
1、一块正方形铁皮，四角截去4个一样的小正方形，折成底面边长是50cm的无盖长方体盒子，容积是45000.，求原来正方形铁皮的边长.
2、用直径为4cm的圆钢，锻造一个重0。
62kg的零件毛坯,如果这种钢每立方厘米重7。
8g，应截圆钢多长？
3、把直径6cm，长16cm的圆钢锻造成半径为4cm的圆钢。
求锻造后的圆钢的长。
4、直径为30厘米,高为50厘米的圆柱形瓶里存满了饮料,现把饮料倒入底面直径为10厘米的圆柱形小杯中，刚好倒满20杯，求小杯子的高。
5 现有直径为0。
8米的圆柱形钢坯长30米,可足够锻造直径为0。
4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？
6 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水），向一个由底面积为125＊125mm，内高为81mm的长方体铁盒倒满水时,玻璃杯中的水的高度下降多少mm？（结果保留整数，π=3。
14)
7 把内径为200mm,高为500mm的圆柱形铁桶，装满水后慢慢地向内径为160mm,高为400mm 的空木桶装满水后，铁桶内水位下降了多少？
8 要锻造一个直径为8cm高为4cm的圆柱形毛坯,至少应截取直径为4cm的圆钢多少cm.。
7年级-上册-数学-第5章《一元一次方程》5.4一元一次方程的应用(2)等积变形问题-分节好题挑选
浙教版-7年级-上册-数学-第5章《一元一次方程》5.4一元一次方程的应用（2）等积变形问题-每日好题挑选【例1】用一个棱长为20厘米的立方体容器(已装满水)向一个长、宽、高分别是50厘米，10厘米和8厘米的长方体铁盒内倒水，当铁盒内装满水时，立方体容器中水的高度下降了。
【例2】根据图中给出的信息，可得正确的方程是。
【例3】如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，它们内部的底面积分别为80cm2，100cm2，且甲容器装满水，乙容器是空的．若将甲容器中的水全部倒入乙容器中，则乙容器中的水位比原先甲容器中的水位降低了8cm，则甲容器的容积为cm3。
【例4】一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500km后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500km后报废．已知自行车在行驶一定的路程后可以交换前后轮轮胎，如果通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共支撑自行车行驶了km。
【例5】如图，6位朋友均匀地围坐在圆桌旁共度佳节，圆桌半径为60cm，每人离圆桌的距离均为10cm。
现又来了两名客人，每人向后挪动了相同的距离，再左右调整位置，使8人都坐下，并且8人之间的距离与原来6人之间的距离(即在圆周上两人之间的圆弧的长)相等．设每人向后挪动的距离为x(cm)，根据题意，可列方程。
【例6】拟有一玻璃密封器皿如图①，测得其底面直径为20cm，高为20cm，现装有蓝色溶液若干。
正放时的截面如图②，测得液面高10cm；倒放时的截面如图③，测得液面高16cm，则该玻璃密封器皿的总容量为cm3。
(结果保留π)【例7】一种圆筒状包装的保鲜膜如图所示，其规格为“20cm×60m”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm, 4.0cm，则这种保鲜膜的厚度约为cm。
(结果精确到0.0001cm)【例8】爷爷病了，需要挂一瓶100mL的药液(如图所示)，小明守在旁边，观察到输液流量是3mL/min，输液10min后，吊瓶的空出部分容积是50mL，利用这些数据，计算整个吊瓶的容积是mL。
一元一次方程的应用(一)等积变形
一、学习目标：1、通过分析图形中的数量关系，建立方程解决问题，进一步体会运用方程解决问题的关键是抓住等量关系；2、认识方程模型的重要性．二、重难点：重点：运用方程解决实际问题难点：寻找图形问题的数量关系三、学习过程（一）复习回顾1．列方程解应用题应注意哪些事项?（1）_________________．（2）_________________．（3）_________________．2．列出方程解应用题的5个步骤是什么?（1）________________．（2）________________．（3）________________．（4）________________．（5）________________.3．填空：长方形的周长=_________．面积=__________ ．长方体的体积=_________．正方体的体积=__________．圆的周长=___________．面积=_______________．圆柱的体积=_______________．（二）问题解决：类型一：等积变形问题1．将一个底面直径是20厘米、高为9厘米的“矮胖”形圆柱锻压成底面直径为l0厘米的“瘦长”形圆柱，高变成了多少?假设在锻压过程中圆柱的体积保持不变，那么在这个问题中有=锻压后的体积．我们可完成下表：锻压前锻压后底面半径高体积解：设锻压后圆柱的高为x 米，则可列方程为：_______________________________________．解得=x _______________．答：高变成了__________厘米．类型二：等长变形问题2．用一根长为l0米的铁丝围成一个长方形．（1）使得该长方形的长比宽多1.4米，此时长方形的长为________米，宽为_________米．（2）使得该长方形的长比宽多0.8米，此时长方形的长为_______米，宽为_____米，它所围成的长方形与（1）中所围长方形相比，面积有什么变化?（3）使得该长方形的长与宽相等，即围成一个正方形，此时正方形的边长是______米，它所围成的面积与（2）中相比又有什么变化?（4）由上面（1）（2）（3），你可得出什么结论？类型三：工程问题3．某工人在一定时间内加工一批零件，如果每天加工44个，就比规定任务少加工20个；如果每天加工50个，就可超额完成10个，求规定加工零件的个数．（试用不同的方法解下列问题）（三）学以致用 1．请根据图5—3—2中给出的信息，可得正确的方程是 ( )A. 2286()()(5)22x x ππ=+ B ．2286()()(5)22x x ππ=- C ．2286(5)x x ππ=+ D ．22865x ππ= 2．长方形的长是宽的3倍，如果宽增加了4 m ，而长减少了5 m ，那么面积增加15 ㎡，设长方形原来的宽为x m ，则所列方程是( )A．2+--=(4)(35)153x x x x x x(4)(35)153+-+=B．2C．2x x x(4)(35)153-++=x x x-+-=D．2(4)(35)1533．如图5—3—3，把一个长方形分成大小不等的6个小正方形，已知中间的最小的正方形的边长为1厘米，求这个长方形的面积．解：设正方形A的边长为x厘米，则正方形B的边长为________厘米；正方形C的边长为________厘米；正方形D的边长为________厘米；正方形E的边长为________厘米．由题意可得方程：______________________．解得x= ________，答：长方形的面积为___________平方厘米．4．某工人原计划用26天生产一批零件，工作两天后，因改变了操作方法，每天比原来多生产5个零件，结果提前4天完成任务，问原来每天生产多少个零件？这批零件共有多少个？5．某公路上一路段的道路维修工程准备对外招标,现有甲,乙两个工程队竞标,竞标资料上显示：若单独完成此项工程,甲10天可完成,乙15天可完成,担甲队每天的工程费用比乙队多300元,若两队合作,共需工程费用10200元,工程指挥站决定从两队中选一队单独完成,若从节省资金的角度考虑,应该选哪个工程队?为什么?6. 某地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为1000元；经粗加工后销售，每吨利润可达4500元；经精加工后销售，每吨利润涨至7500元。
一元一次方程应用之等积变形篇
等积变形篇物体的形状虽然改变了，但是其面积或体积仍然保持不变．这类问题我们可以称为等积变形问题．在等积变形问题中，变化前后的体积或面积相等，往往是列方程所需的重要的相等关系．1.面积不变问题例1将图（1）三角形纸片沿虚线叠成图（2），原三角形图（1）的面积是图（2）（粗实线图形）面积的1.5倍，已知图（2）中阴影部分的面积之和为1，求重叠部分的面积.解析：首先要看清题意，其中图（2）中粗实线图形面积就是图（3）中三个角上的小三角形面积和重叠部分面积的总和，这个题目中的等量关系我们可以从图中不难看出，就是整个三角形的面积是三个角上小三角形(从图（3）中看)面积和重叠（从图（2）中看）部分面积的总和的1.5倍.如果设重叠部分面积为x，将折叠还原后，则原三角形的面积是（2x+1），图（2）中粗实线部分面积是（x+1）,等量关系为：原三角形的面积=1.5粗实线部分面积解：设重叠部分面积为x.根据题意，得1.5(x+1)=2x+1.解得x=1.所以重叠部分的面积为1.例2如图2，“回”字形的道路宽为1米，整个“回”字形的长为8米，宽为7米，一个人从入口点A沿着道路走到终点B，他共走了多少米？分析：如果我们直接解这个问题，这里有重复部分，是个十分麻烦问题，现在需要对这个问题转化，可以看作用一米宽的拖把把这块区域托一遍，我们以走直线方式拖地，那么拖把走过区域是长方形，长方形的宽是一定的，是一米.而长方形的长就是拖把走过路程.长方形的面积就等于回字形面积，直接就可以算出拖把走过的路程是56米.而这正是人要走的路程.这时候我们可以看到这和拖把是否走直线没有关系了，只要拖把的宽度一定，它走过的路程就定下来，就是56米.我们也可以这样来看：所有小路连在一起可以组成一个宽1米的长长的长方形，因为长方形场地“充满”了小路，所以小路的面积等于长方形场地的面积．解：设小路的总长度为x米.根据题意，得x×1=8×7．解得x=56．所以从入口A处走到终点B，至少要走56米．2.体积不变问题例3 用直径为90mm的圆柱形玻璃杯（已装满水，且水足够多）向一个内底面积为131× 131mm2，内高为81mm的长方体铁盒倒水，当铁盒装满水时，玻璃杯中水的高度下降了多少？（结果保留π）分析：因为铁盒里水是满的，所以水的体积就等于铁盒的容积.根据长方体的体积公式可以计算出水的体积是131×131×81 mm3 ，圆柱形玻璃杯中减少的的体积为圆柱的底面积乘以水下降的高度.显然玻璃杯里倒掉的水的体积和长方体铁盒里所装的水的体积相等，所以等量关系为：玻璃杯里倒掉的水的体积=长方体铁盒的容积.解：设玻璃杯中水的高度下降了xmm.根据题意，得π·(90÷2)2x=131×131×81.解得π44.686=x. 经检验，它符合题意．所以玻璃杯中水的高度下降了π44.686mm.例4将一个长、宽、高分别为15厘米、12厘米和8厘米的长方体钢块锻造成一个底面（正方形）边长为12厘米的长方体零件钢坯，试问是锻造前的长方体钢块表面积大还是锻造后的长方体零件钢坯表面积大？请你进行比较．分析：锻造前长方体钢块的体积为15×12×8cm3，锻造后长方体零件钢坯体积为12×12×它的高cm3.虽然钢块的形状发生了变化，但是钢块的体积没有变化．因此可得长方钢块体的体积=长方体零件钢坯体积,如果设长方体零件钢坯高为x厘米,得15×12×8=12×12×x.显然可以算出它的高=10厘米,但问题到此并没有结束,最终要比较它们的表面积的. 锻造前长方体钢块的表面积为为2×(12×15+15×8+12×8)平方厘米,锻造后长方体零件钢坯的表面积是2×(12×12+12×10+12×10)平方厘米.解：设锻造后的长方体零件钢坯的高为x厘米.根据题意，得5×12×8=12×12×x．解得10x=．所以锻造后的长方体零件钢坯表面积为：2(121212101210) 768⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．而锻造前的长方体钢块表面积为：2(1512158128)792⨯⨯+⨯+⨯=（平方厘米）．所以锻造前的长方体钢块表面积比锻造后的长方体零件钢坯表面积大．例5 一种圆筒状包装的，如图3所示，其规格为“20cm ×60m ”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别是3.2cm 、4.0cm ，则这种保鲜膜的厚度约为多少厘米？（π取3.14，结果保留两位有效数字）分析：当我们把圆筒状包装的保鲜膜展开时原来的形状可以看成长方体，根据长方体的体积公式可以计算出此时的体积为20ⅹ6000ⅹ保鲜膜的厚度，需要说明的是20 cm 指展开后鲜膜的宽，也是展开前圆筒状包装的高，60 m 是保鲜膜展开后的长度(单位要统一).圆筒状时可以看成圆柱体，我们要注意这个圆柱是空心的，计算时不能忘了减去空心部分．展开前后形状虽然改变了，但体积不变.即圆筒状包装体积=长方体的体积.解：设这种保鲜膜的厚度为x cm.根据题意，得223.2202060002x ⎡⎤4⎛⎫⎛⎫π-=⨯⎢⎥ ⎪ ⎪2⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦．解得0.00075x ≈．所以这种保鲜膜的厚度约为0.00075cm ．例6 一张桌子有一个桌面和四条桌腿，做一张桌面需要木材0.03m 3，做一条桌腿需要木材0.002m 3，现做一批这样的桌子，恰好用去木材3.8m 3，共做了多少张桌子？分析：解决这个问题关键是找出一个能表示实际问题全部意义的相等关系，我们要注意的是：一张桌子有一个桌面和四条腿，那么整张桌子所需的木材的体积是四条腿的和一个桌面的，如果设共做桌子X 张，我们就容易用X 表示出做桌腿所需木材的体积是4ⅹ0.002X m 3，做桌面所需的木材的体积是0.03X m 3.因此这个问题中就有这样的相等关系：做桌面所需木材的体积+做桌腿所需木材的体积=3.8m 3解：设共做了x 张桌子.根据题意,得0.003x+4×0.002x=3.8.解得x=100. 所以共做100张桌子.同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，当倒满铁盒时玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2同步练习1.现有直径为0.8米的圆柱形钢坯30米，可足够锻造直径为0.4米，长为3米的圆柱形机轴多少根？1、分析：变形前钢坯的体积等于变形后所有圆柱形机轴的总体积2．德鑫轧钢厂要把一种底面直径6厘米，长1米的圆柱形钢锭，轧制成长4.5米，外径3厘米的无缝钢管，如果不计加工过程中的损耗，则这种无缝钢管的内径是（）A． 0.25厘米 B． 2厘米C．1 厘米 D． 0.5厘米3．用直径为90 mm的圆柱形玻璃杯（已装满水）向一个由底面积为125×125 mm2内高为81mm的长方体铁盒倒水时，玻璃杯中的水的高度下降多少？（结果保留整数π≈3.14）4．圆柱（1）的底面直径为10厘米，高为18厘米；圆柱（2）的底面直径为8厘米.已知圆柱（2）的体积是圆柱（1）的体积的1.5倍，求圆柱（2）的高.5．将内径为200毫米的圆柱形水桶中的满桶水倒入一个内部长、宽、高分别为300毫米、300毫米、80毫米的长方体铁盒，正好倒满，求圆柱形水桶的水高（精确到1毫米，≈3.14）.6.一张圆桌由一个桌面和四条腿组成，如果1m三次方，木料可制作圆桌的桌面50个，或制桌腿300条，现有5m三次方，木料，请你设计一下，用多少木料.7.如图是两个圆柱体的容器，它们的半径分别是4cm和8cm，高分别为16cm和10cm，先在第一个容器中倒满水，然后将其全部倒入第二个容器中.（1）倒完后，第二个容器水面的高度是多少？(2)如右图把容器1口朝上插入容器2水位又升高多少？容器2。
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2 ×0.5 0.3 （_________)
r2h
解：设水面将升高x米, 根据题意得
2 x = 0.32 ×0.5 0.5 方程为：___________________
x =0.18 解这个方程：__________
容器内水面将升高0.18m。 答：______________________
例1：用直径为200毫米的圆柱体钢，锻造一个长、 宽、高分别为300毫米、300毫米和90毫米的长方 体毛坯，应截取多少毫米长的圆柱体钢？（计算 时取3.14.要求结果误差不超过1毫米）
200
x
90
300
300
圆柱体钢
长方体毛坯
分析题意，找出等量关系 ： 圆柱体钢体积 = 长方体毛坯体积 解：设应截取圆柱体钢长为x毫米，根据题意 可得：
练
习
2.已知一圆柱形容器底面半径为0.5m,高为1.5m,里
面盛有1m深的水，将底面半径为0.3m，高为0.5m的
圆柱形铁块沉入水中，问容器内水面将升高多少?
5dm 1. 5m
3dm
0. 5m
分析： 根据以上演示我们知道了它们的等量关系： 水位上升部分的体积=小圆柱形铁块的体积 圆柱形体积公式是_______, 水升高后的体积 小铁块的体积 （__________）
22cm 10cm
A
B
200 3.14 x 300 300 90 2 x 258 解得：
答：应截取圆柱体钢的长约为258毫米。
2
练
习
1.将一个底面直径为10厘米，高为36厘米的“瘦
长”形圆柱锻压成底面直径是20厘米的“矮胖”
形圆柱，高变成了多少？ 锻压 等量关系：变形前的体积=变形后的体积
一元一次方程的应用
——等积变形问题
常见图形周长及面积公式
名称
正方形 三角形 梯形 圆 平行四边形
图形
用字母表示公式
周长（C） a 面积（S）
C 4a
c
S a
2
b
h a b a r
C abc
d
1 S ah 2
S 1 ( a b) h 2
c
h
C abcd
C 2r
示图分析
100米
(X+10)米
x米
有什么等量关系呢？
长方形的周长=原铁丝的长度.
等长变形：
2、有100米长的篱笆材料，想围成一长
方形仓库，在场地的北面有一堵足够长的
旧墙，其它三面用篱笆围成，若与墙平行
的一面为长，且长比宽长10米，求这个仓
库的长和宽？
示图分析
100 米
篱笆材料的长度=围成的三面墙的长度和
30m
30m
（30+60） ×30 ÷2=1350
30（60 —x)=1350
解得：x=15
60m
答：将下底由60m缩小到45m.将上底30m放大到45m.
要想求出某个同学的体积是多少？你怎么测量呢？
R h
你还能举出相类似的事例吗？ （古代：曹冲称象）
想一想：请指出下列过程中，哪些量发生了变化，
小结：列方程解应用题的一般步骤：
列一元一次方程解应用题的一般步骤：
1、审题：分析题意，找出题中数量及其关系； 2、设元：选择一个适当的未知数用字母表示； 3、列方程：根据等量关系列出方程. 4、解方程：求出未知数的值. 5、检验：检验求得的值是否正确和符合实际情形， 并写出答案.
合作讨论
如图，有A,B两个圆柱形容器，A容器的底面 积是B容器底面积的2倍，B容器的壁高为 22cm。已知A容器内装水的高度为10cm，若 把这些水倒入B容器，水会溢出吗？
解：设仓库的宽X米. 根据题意得：
2x+x+10=100 3x=90 X=30
所以仓库的长为:x+10=30+10=40米
答：该仓库的长为40米，宽为30米。
等面积的变形
把一块梯形空地（如图）改成宽为30m的长 方形运动场地，要求面积不变，则应将原梯 形的上下底边作怎样的调整？
解：将下底缩短Xm,则长方形的长 是（60 －X), 由题意得：
哪些量保持不变？
1、把一小杯水倒入另一只大杯中； 解：水的底面积、高度发生了变化，水的体积和 质量都保持不变 2、用一根15cm长的铁丝围成一个三角形，然后把它围 成长方形；
解：围成的图形的面积发生了变化，但铁丝的长度不变 3、用一块橡皮泥先做成一个立方体，再把它改变成球。
解：形状改变，体积不变
例题学习
C 2a b
S r
2
h a
b
S ah
常见图形的体积公式
名称 图形 用字母表示公式 体积（V）
正方体
a
V a
c b
3
长方体
2
圆柱体
h
r
圆锥体
h r
1 2 V r h 3
等长变形
1、用一根长为100米的铁丝围成一个
长比宽长10米的长方形，问这个长方形的 长和宽各是多少米？