广东省2020届高三六校第一次联考数学(理)试题Word版含解析
2020年广东省高考数学一模试卷(理科)(附答案详解)
2020年广东省高考数学一模试卷（理科）一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知集合A ，B 均为全集U ={1,2,3,4,5,6,7}的子集，集合A ={1,2,3,4}，则满足A ∩∁U B ={1,2}的集合B 可以是( )A. {1,2,3,4}B. {1,2,7}C. {3,4,5,6}D. {1,2,3}2. 复数z =4+3i3−4i (i 为虚数单位)的虚部为( )A. −1B. 2C. 5D. 13. 若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z =2x +y 的最大值为( )A. −7B. 3C. 5D. 74. 如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x =t(0<t ≤2)左侧的图形的面积为f(t)，则y =f(t)的大致图象为( )A.B.C.D.5. 将函数f(x)=cos(2x −1)的图象向左平移1个单位长度，所得函数在[0,12]的零点个数是( )A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个或以上6.某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm，则石凳子的体积为()A. 1920003cm3 B. 1600003cm3 C. 160003cm3 D. 640003cm37.在某市2014年6月的高二质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约9450人．某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第()名？(参考数值：P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826；P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974)A. 1500B. 1700C. 4500D. 80008.已知(1+xm)n=a0+a1x+a2x2+⋯+a n x n，若a1=3，a2=4，则m=()A. 1B. 3C. 2D. 49.已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1，F2，A为双曲线的左顶点，以F1F2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P，Q两点，且∠PAQ=5π6，则该双曲线的离心率为()A. √2B. √3C. √213D. √1310.设正项数列{a n}的前n项和为S n，且满足2√S n=a n+1，则数列{a n−7}的前n项和T n的最小值为()A. −494B. −72C. 72D. −1211.已知三棱锥P−ABC满足PA=PB=PC=AB=2，AC⊥BC，则该三棱锥外接球的体积为()A. 3227√3π B. 323π C. 329√3π D. 163π12.已知f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，f(1)=0，且当x∈(0,π2)时，f(x)+f′(x)tanx>0，则不等式f(x)<0的解集为()A. (−1,0)∪(1,π2) B. (−1,0)∪(0,1)C. (−π2,−1)∪(1,π2) D. (−π2,−1)∪(0,1)二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.设函数f(x)=mx2lnx，若曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线ex+y+2020=0平行，则m=______．14. 已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=2a n ，若数列{b n }满足b n ⋅S n =1，则b 1+1b 1+b 2+1b 2+⋯+b 10+1b 10=______．15. 已知A(3,0)，B(0,1)，C(−1,2)，若点P 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |最大值为______．16. 已知抛物线C ：x 2=4y 的焦点为F ，直线l 过点F 且倾斜角为5π6.若直线l 与抛物线C 在第二象限的交点为A ，过点A 作AM 垂直于抛物线C 的准线，垂足为M ，则△AMF 外接圆上的点到直线√2x −y −3=0的距离的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在△ABC 中，内角A ，B ，C 满足√3sin(B +C)=2sin 2A2．(1)求内角A 的大小；(2)若AB =5，BC =7，求BC 边上的高．18. 如图，已知正三棱柱ABC −A 1B 1C 1，D 是AB 的中点，E 是C 1C的中点，且AB =1，AA 1=2． (1)证明：CD//平面A 1EB ； (2)求二面角B −A 1E −D 的余弦值．19. 已知椭圆C ：x 24+y 22=1，A ，B 分别为椭圆长轴的左右端点，M 为直线x =2上异于点B 的任意一点，连接AM 交椭圆于P 点． (1)求证：OP⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值； (2)是否存在x 轴上的定点Q 使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点．20. 已知函数f(x)=e x +(m −e)x −mx 2．(1)当m =0时，求函数f(x)的极值；(2)若函数f(x)在区间(0,1)内存在零点，求实数m 的取值范围．21. 一支担负勘探任务的队伍有若干个勘探小组和两类勘探人员，甲类人员应用某种新型勘探技术的精准率为0.6，乙类人员应用这种勘探技术的精准率为a(0<a <0.4).每个勘探小组配备1名甲类人员与2名乙类人员，假设在执行任务中每位人员均有一次应用这种技术的机会且互不影响，记在执行任务中每个勘探小组能精准应用这种新型技术的人员数量为ξ．(1)证明：在ξ各个取值对应的概率中，概率P(ξ=1)的值最大．(2)在特殊的勘探任务中，每次只能派一个勘探小组出发，工作时间不超过半小时，如果半小时内无法完成任务，则重新派另一组出发．现在有三个勘探小组A i (i =1,2,3)可派出，若小组A i能完成特殊任务的概率t；t i=P(ξ=i)(i=1,2,3)，且各个小组能否完成任务相互独立．试分析以怎样的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．22.在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1.若P为曲线C1上的动点，Q是射线OP上的一动点，且满足|OP|⋅|OQ|=2，记动点Q的轨迹为C2．(1)求C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1与曲线C2交于M，N两点，求△OMN的面积．|x+3|−2(k∈R)．23.已知函数f(x)=|x−k|+12(1)当k=1时，解不等式f(x)≤1；(2)若f(x)≥x对于任意的实数x恒成立，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：∵集合A ，B 均为全集U ={1,2,3,4,5,6,7}的子集，集合A ={1,2,3,4}， 要满足A ∩∁U B ={1,2}； 则1，2∉B ，故符合条件的选项为C ． 故选：C ．根据题意得出1，2∉B ，即可判断结论．本题考查集合了的交、并、补集的混合运算问题，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵z =4+3i3−4i =(4+3i)(3+4i)(3−4i)(3+4i)=25i 25=i ，∴复数z =4+3i3−4i 的虚部是1， 故选：D ．利用复数的运算法则即可得出．本题考查了复数的运算法则，属于基础题．3.【答案】D【解析】解：画出x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，可行域如图阴影部分： 由{x =2x −y =−1，得A(2,3)， 目标函数z =2x +y 可看做斜率为−2的动直线，其纵截距越大，z 越大，由图数形结合可得当动直线过点A 时，z 最大=2×2+3=7． 故选：D ．先画出线性约束条件表示的可行域，再将目标函数赋予几何意义，最后利用数形结合即可得目标函数的最值．本题主要考查了线性规划，以及二元一次不等式组表示平面区域的知识，数形结合的思想方法，属于基础题4.【答案】B【解析】解：当0<x<1时，函数的面积递增，且递增速度越来越快，此时，CD，不合适，当1≤x≤2时，函数的面积任然递增，且递增速度逐渐变慢，排除A，故选：B．根据面积的变换趋势与t的关系进行判断即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数递增速度与t的关系是解决本题的关键．难度不大．5.【答案】B【解析】解；设函数f(x)=cos(2x−1)的图象向左平移1个单位长度，所得函数为g(x)，∴g(x)=f(x+1)=cos(2x+1)令t=2x+1，x∈[0,12]，∴t∈[1,2]由g(x)=0，所以2x+1=π2，方程只有一个解．故选：B．先根据平移法则求出平移后的图象解析式，再根据零点定义即可求出．本题主要考查函数的平移法则的应用和函数零点的求法，属于基础题．6.【答案】B【解析】解：如图，正方体AC1的棱长为40cm，则截去的一个正三棱锥的体积为13×12×20×20×20=40003cm3．又正方体的体积为V=40×40×40=64000cm3，∴石凳子的体积为64000−8×40003=1600003cm 3，故选：B ．由正方体的体积减去八个正三棱锥的体积求解． 本题考查多面体体积的求法，考查计算能力，是基础题．7.【答案】A【解析】解：∵考试的成绩ξ服从正态分布N(98,100).∵μ=98，σ=10， ∴P(ξ≥108)=1−P(ξ<108)=1−Φ(108−9810)=1−Φ(1)≈0.158 7，即数学成绩优秀高于108分的学生占总人数的15.87%．∴9450×15.87%≈1500故选：A ．将正态总体向标准正态总体的转化，求出概率，即可得到结论．本题考查正态总体与标准正态总体的转化，解题的关键是求出ξ≥108的概率．8.【答案】B【解析】解：二项式展开式的通项为：T k+1=1m k C nk x k． 当k =1，2时，可得{a 1=1m C n 1=3a 2=1m 2C n 2=4，解得n =9，m =3． 故选：B ．根据通项求出第二、三项的系数，列方程组求出m 的值．本题考查二项展开式的通项、系数的性质，同时考查学生利用方程思想解决问题的能力和计算能力．属于基础题．9.【答案】D【解析】解：如图，设双曲线的一条渐近线方程为y =ba x ，联立{y =ba x x 2+y 2=c2，解得x P =−a ，x Q =a ，∴Q(a,b)，且AP ⊥x 轴， ∵∠PAQ =5π6，∴∠F 2AQ =π3，则tan π3=b2a =√3， 则b 2=c 2−a 2=12a 2，得e 2=13，即e =√13． 故选：D ．由题意画出图形，联立双曲线渐近线方程与圆的方程，可得P ，Q 的坐标，得到∠F 2AQ =π3，则tan π3=b2a =√3，结合隐含条件即可求得双曲线的离心率． 本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是中档题．10.【答案】D【解析】解：2√S n =a n +1， ∴S n =(a n +12)2，S n−1=(a n−1+12)2， a n =S n −S n−1=a n 2+2a n −a n−12−2a n−14，化简得：2(a n +a n−1)=a n 2−a n−12， 正项数列{a n }中，a n −a n−1=2． n =1时，2√S 1=a 1+1， ∴a 1=1．∴数列{a n }是以1为首项，2为公差的等差数列． a n =1+2×(n −1)=2n −1． a n −7=2n −8，T n =2×1−8+2×2−8+2×3−8+⋯+2n −8=2×n(n+1)2−8n =n 2−7n =(n −72)2−494，∵n ∈N ∗，n =3或n =4时，T n 的最小值为−12． 故选：D ．根据a n =S n −S n−1求得数列{a n }的通项公式，则可以推出a n −7=2n −8，通过分组求和法求得数列{a n −7}的前n 项和T n ，通过二次函数的最值求得T n 的最小值． 本题主要考查数列通项公式和前n 项和的求解，利用a n =S n −S n−1求得数列{a n }的通项公式和分组求和法是解决本题的关键．11.【答案】A【解析】解：因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，可得外接圆的半径为r=12AB=1，再由PA=PB=PC=AB=2可得PD⊥面ABC，可得PD=√PA2−AD2=√4−1=√3，可得球心O在直线PD所在的直线上，设外接球的半径为R，取OP=OA=R，在△OAD中，R2=r2+(PD−R)2，即R2=1+(√3−R)2，解得：R=2√3=2√33，所以外接球的体积V=4π3R3=32√327π，故选：A．因为AC⊥BC，所以△ABC的外接圆的圆心为斜边AB的中点D，再由PA=PB=PC可得球心O在直线PD所在的直线上，设为O，然后在直角三角形中有勾股定理可得外接球的半径，进而求出外接球的体积．本题考查三棱锥的棱长与外接球的半径之间的关系，及球的体积公式，属于中档题．12.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用导数研究的单调性、构造法、方程与不等式的解法，等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．令g(x)=f(x)sinx，g′(x)=[f(x)+f′(x)tanx]⋅cosx，当x∈(0,π2)时，根据f(x)+f′(x)tanx>0，可得函数g(x)单调递增．又g(1)=0，判断g(x)在(0,π2)上的正负情况，根据f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，可得g(x)是定义在(−π2,π2)上的偶函数．进而得出不等式f(x)<0的解集．【解答】解：令g(x)=f(x)sinx，g′(x)=f(x)cosx+f′(x)sinx=[f(x)+f′(x)tanx]⋅cosx，当x∈(0,π2)时，f(x)+f′(x)tanx>0，∴g′(x)>0，即函数g(x)单调递增．又g(1)=0，∴x∈(0,1)时，g(x)=f(x)sinx<0，又sinx>0，所以f(x)<0．x∈(1,π2)时，g(x)=f(x)sinx>0，又sinx>0，所以f(x)>0．x=0时，f(0)=0，舍去．∵f(x)是定义在(−π2,π2)上的奇函数，∴g(x)是定义在(−π2,π2)上的偶函数．则g(x)在(−π2,0)上单调递减，且g(−1)=0，故x∈(−π2,−1)时，g(x)=f(x)sinx>0，又sinx<0，所以f(x)<0．x∈(−1,0)时，g(x)=f(x)sinx<0，又sinx<0，所以f(x)>0．∴不等式f(x)<0的解集为(−π2,−1)∪(0,1)．故选：D．13.【答案】−13【解析】解：f′(x)=m(2xlnx+x)，又曲线y=f(x)在点(e,f(e))处的切线与直线ex+y+2020=0平行，∴f′(e)=3em=−e，解得m=−13．故答案为：−13．求出f(x)的导数，然后根据切线与直线ex+y+2020=0平行，得f′(e)=−e，列出关于m的方程，解出m的值．本题考查导数的几何意义和切线方程的求法，同时考查学生运用方程思想解题的能力和运算能力．14.【答案】2046【解析】解：数列{a n}的前n项和为S n，a1=1，a n+1=2a n，∴S n=2n−12−1=2n−1．若数列{b n}满足b n⋅S n=1，∴b n=1Sn =12n−1．∴b n +1b n =2n ． 则b 1+1b 1+b 2+1b 2+⋯+b 10+1b 10=2+22+⋯ (210)2(210−1)2−1=211−2=2046．故答案为：2046．数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=1，a n+1=2a n ，利用求和公式：S n .由数列{b n }满足b n ⋅S n =1，可得b n =1S n.进而得出b n +1b n，再利用等比数列的求和公式即可得出．本题考查了等比数列的求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15.【答案】√13+1【解析】解：由题，点P 满足|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，说明P 点在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上， 设P(3+cosθ,sinθ)，则OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2+cosθ,3+sinθ)，∴∣OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣=√(2+cosθ)2+(3+sinθ)2=√14+2√13sin(θ+φ)(tanφ=23)，根据三角函数的值域，可知|OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ |最大值为√13+1． 故答案为：√13+1．根据|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，易知P 点在以A(3,0)为圆心，1为半径的圆上，设P(3+cosθ,sinθ)，通过坐标表示出OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ +OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ，再根据模长公式求解．本题主要考查平面向量的模长公式，以及辅助角公式的最值问题，考查学生转化的思想，属于中档题．16.【答案】4√23【解析】解：由抛物线的方程可得焦点F(0,1)，准线方程y =−1， 因为直线l 过点F 且倾斜角为5π6，则直线l 的方程为：y =−√33x +1，直线与抛物线联立{y =−√33x +1x 2=4y，整理可得x 2+4√33x −4=0，解得x 1=√3，x 2=√3，可得y 1=13，y 2=3， 即√33)，由题意可得√3−1)，可得△AMF 的外接圆的圆心N 在线段AM 的中垂线y =1上，也在线段AF 的中垂线上，而AF 的中点(−√3,2)，∴线段AF 的中垂线方程为y −2=√3(x +√3)，即y =√3x +5， 联立{y =1y =√3x +5解得：√31)，所以圆心坐标为√31)，半径r =4√33，圆心到直线√2x −y −3=0的距离d =|−√2√3√3=4√23+4√33， 所以外接圆上的点到直线√2x −y −3=0的距离的最小距离为d −r =4√23， 故答案为：4√23． 由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，由题意求出直线l 的方程，代入抛物线的方程求出A ，B 的坐标，由题意求出M 的坐标，求出线段AF 的中垂线，及AM 的中垂线，两条直线的交点为三角形AMF 的外接圆的圆心，及半径，求出圆心到直线√2x −y −3=0的距离d ，则可得圆上的点到直线√2x −y −3=0的最小距离为d −r ．本题考查抛物线的性质及直线与抛物线的综合，及求三角形外接圆的圆心和半径，属于中档题．17.【答案】解：(1)在△ABC 中，sin(B +C)=sinA ，内角A ，B ，C 满足√3sin(B +C)=2sin 2A2．所以√3sinA =1−cosA ，则：sin(A +π6)=12，由于A ∈(0,π)， 所以A +π6∈(π6,7π6)，则：A =2π3．(2)由于A =2π3，AB =5，BC =7，由余弦定理得：72=AC 2+52−10AC ⋅cos 2π3，解得AC =3(−8舍去)．则：S △ABC =12×AB ×AC ×sin2π3=15√34． 设BC 边上的高为ℎ，所以12×BC ×ℎ=15√34，解得ℎ=15√314．【解析】(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换和三角函数的值的应用求出结果． (2)利用余弦定理和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦定理、余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．18.【答案】解：(1)证明：取A 1B 的中点F ，连结EF 、DF ，∵D 、F 分别是AB ，A 1B 的中点，∴DF−//12A 1A ，∵A 1A−//C 1C ，E 是C 1C 的中点，∴DF−//EC ，∴四边形CDEF 是平行四边形，∴CD−//EF ，∵CD ⊄平面A 1EB ，EF ⊂平面A 1EB ， ∴CD//平面A 1EB ．(2)解：∵△ABC 是正三角形，D 是AB 的中点，∴CD ⊥AB ， ∵在正三棱柱ABC −A 1B 1C 1中，A 1A ⊥平面ABC ， ∴A 1A ⊥CD ，由(1)知DF//A 1A ，∴CD 、BD 、DF 两两垂直，∴以D 为原点，DB 、DC 、DF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则D(0,0,0)，B(12,0,0)，E(0,√32,1)，A 1(−12,0,2)，∴BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−12,√32,1)，DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√32,1)，A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,−1)， 设平面A 1DE 的法向量n⃗ =(x,y,z)， 则{n ⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12x +√32y −z =0n ⃗ ⋅DE ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =√32y +z =0，取z =√3，得n ⃗ =(4√3,−2,√3)， 设平面A 1BE 的法向量m⃗⃗⃗ =(a,b,c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12a +√32b −c =0m⃗⃗⃗ ⋅BE ⃗⃗⃗⃗⃗ =−12a +√32b +c =0，取c =1，得m⃗⃗⃗ =(2,0,1)， 设二面角B −A 1E −D 的平面角为θ， 则cosθ=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=9√3355．∴二面角B −A 1E −D 的余弦值为9√3355．【解析】(1)取A 1B 的中点F ，连结EF 、DF ，推导出四边形CDEF 是平行四边形，从而CD−//EF ，由此能证明CD//平面A 1EB ．(2)推导出CD 、BD 、DF 两两垂直，以D 为原点，DB 、DC 、DF 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B −A 1E −D 的余弦值．本题考查线面平行的证明，考查二面角和余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力以及化归与转化思想，是中档题．19.【答案】解：(1)证明：由椭圆的方程可得：A(−2,0)，B(2,0)，设M(2,m)，P(x 0,y 0)，(m ≠0,x 0≠±2)， 则x 024+y 022=1，得y 02=−x 02−42，又k AP =y 0x+2=k AM =m−02−(−2)=m4，k BP =y0x 0−2， 所以k AP ⋅k BP =y 02x 02−4=−12， 又m4⋅y 0x−2=−12，整理可得2x 0+my 0=4， 所以OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 0+my 0=4为定值． (2)假设存在定点Q(n,0)满足要求，设M(2,m)，P(x 0,y 0)，(m ≠0,x 0≠±2)， 则以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点可得MQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0， 所以(n −2,−m)⋅(x 0−2,y 0)=nx 0−2n −2x 0+4−my 0=0，① 由(1)得2x 0+my 0=4，②，由①②可得n(x 0−2)=0，因为x 0≠2，解得n =0，所以存在x 轴上的定点Q(0,0)，使得以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点．【解析】(1)由椭圆的方程可得A ，B 的坐标，设M ，P 的坐标，可得AP ，AM 的斜率相等，求出数量积OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，由k AP ⋅k BP =y 02x 02−4=−12，可得M ，P 的坐标的关系，进而可得OP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅OM⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 为定值． (2)假设存在Q 满足条件，因为以MP 为直径的圆恒通过MQ 与BP 的交点可得MQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，由(1)可得整理得n(x 0−2)=0，再由x 0≠2可得n =0，本题考查椭圆的性质，及以线段的端点为直径的圆的性质，属于中档题．20.【答案】解：(1)当m =0时，f(x)=e x −ex ，f′(x)=e x −e ，又f′(x)是增函数，且f′(1)=0，∴当x >1时，f′(x)>0，当x <1时，f′(x)<0，∴f(x)在(−∞,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，∴当x=1时，f(x)取得极小值f(1)=0，无极大值；(2)f′(x)=e x−2mx+m−e，令g(x)=f′(x)=e x−2mx+m−e，则g′(x)=e x−2m，①当m=0时，f(1)=0，由(1)知f(x)在区间(0,1)上没有零点；②当m<0时，则g′(x)>0，故g(x)=f′(x)在(0,1)上单调递增，又g(0)=f′(0)=1+m−e<0，g(1)=f′(1)=−m>0，∴存在x0∈(0,1)，使得g(x0)=f′(x0)=0，且当x∈(0,x0)时，f′(x)<0，f(x)是减函数，当x∈(x0,1)时，f′(x)>0，f(x)是增函数，又∵f(0)=1，f(1)=0，∴f(x)在(0,1)上存在零点；③当m>0，x∈(0,1)时，令ℎ(x)=e x−ex，则ℎ′(x)=e x−e，∵在x∈(0,1)上，ℎ′(x)<0，ℎ(x)是减函数，∴ℎ(x)>ℎ(1)=0，即e x>ex，∴f(x)=e x+(m−e)x−mx2>ex+(m−e)x−mx2=m(x−x2)>0，∴f(x)在(0,1)上没有零点；综上，要使f(x)在(0,1)上内存在零点，则m的取值范围为(−∞,0)．【解析】(1)将m=0带入，求导得f′(x)=e x−e，再求出函数f(x)的单调性，进而求得极值；(2)求导得f′(x)=e x−2mx+m−e，令g(x)=f′(x)，对函数g(x)求导后，分m=0，m<0及m>0讨论，m=0时容易得出结论，m<0时运用零点存在性定理可得出结论，m>0时运用放缩思想，先证明e x>ex，进而可得f(x)>0在(0,1)上恒成立，由此得出结论，以上情况综合，即可求得实数m的取值范围．本题主要考查利用导数研究函数的极值及函数的零点，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．21.【答案】解：(1)由已知，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，P(ξ=0)=(1−0.6)⋅(1−a)2=0.4(1−a)2，P(ξ=1)=0.6(1−a)2+(1−0.6)⋅C21a(1−a)=0.2(1−a)(3+a)，P(ξ=2)=0.6⋅C21a(1−a)+(1−0.6)a2=0.4a(3−2a)，P(ξ=3)=0.6a2．∵0<a<0.4，∴P(ξ=1)−P(ξ=0)=0.2(1−a)(1+3a)>0，P(ξ=1)−P(ξ=2)=0.2(3a2−8a+3)>0，P(ξ=1)−P(ξ=3)=−0.2(4a2+2a−3)>0，∴概率P(ξ=1)的值最大．(2)由(1)可知，当0<a<0.4时，有t1=P(ξ=1)的值最大，且t2−t3=P(ξ=2)−P(ξ=3)=0.2a(6−7a)>0，∴t1>t2>t3，∴应当以A1，A2，A3的顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小，即优先派出完成任务概率大的小组可减少所需派出的小组个数的均值．证明如下：假定p1，p2，p3为t1，t2，t3(t1>t2>t3)的任意一个排列，即若三个小组A i(i=1,2,3)按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为p1，p2，p3，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为η，则η=1，2，3，且η的分布列为∴数学期望E(η)=p1+2(1−p1)p2+3(1−p1)(1−p2)=3−2p1−p2+p1p2下面证明E(η)=3−2p1−p2+p1p2≥3−2t1−t2+t1t2成立，∵(3−2p1−p2+p1p2)−(3−2t1−t2+t1t2)=2(t1−p1)+(t2−p2)+p1p2−p1t2+p1t2−t1t2=2(t1−p1)+(t2−p2)+p1(p2−t2)+t2(p1−t1)=(2−t2)(t1−p1)+(1−p1)(t2−p2)≥(1−p1)(t1−p1)+(1−p1)(t2−p2)=(1−p1)[(t1+t2)−(p1+p2)]≥0，∴按照完成任务概率从大到小的A1，A2，A3的先后顺序派出勘探小组，可使在特殊勘探时所需派出的小组个数的均值达到最小．【解析】(1)每个勘探小组共有3名人员，故ξ的所有可能取值为0，1，2，3，再依据相互独立事件的概率求出每个ξ的取值所对应的概率，并用作差法逐一比较P(ξ=1)与P(ξ=0)、P(ξ=2)、P(ξ=3)的大小关系即可得证；(2)先根据(1)中的结论比较P(ξ=2)和P(ξ=3)的大小，可得到t1>t2>t3，故而可猜想出结论，再进行证明．证明时，设三个小组A i (i =1,2,3)按照某顺序派出，该顺序下三个小组能完成特殊任务的概率依次为p 1，p 2，p 3，记在特殊勘探时所需派出的小组个数为η，则η=1，2，3，然后求出η的分布列和数学期望，只需证明数学期望E(η)=3−2p 1−p 2+p 1p 2≥3−2t 1−t 2+t 1t 2成立即可，这一过程采用的是作差法，其中用到了因式分解的相关技巧．本题考查相互独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和数学期望，以及期望的实际应用等，考查学生对数据的分析能力和运算能力，属于难题．22.【答案】解：(1)曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1．若P 为曲线C 1上的动点，Q 是射线OP 上的一动点，且满足|OP|⋅|OQ|=2，记动点Q 的轨迹为C 2．设P(ρ1,θ)，Q(ρ,θ)，则：ρ1cosθ−2ρ1sinθ=1，即ρ1=1cosθ−2sinθ， 由于|OP|⋅|OQ|=2，所以ρ=2cosθ−4sinθ，整理得ρ2=2ρcosθ−4ρsinθ，转换为直角坐标方程为：(x −1)2+(y +2)2=5(原点除外)．(2)曲线C 1的极坐标方程为ρcosθ−2ρsinθ=1转换为直角坐标方程为：x −2y −1=0． 曲线C 2的圆心为(1,−2)，半径为√5， 所以圆心到直线C 1的距离d =√1+(−2)2=√5．所以|MN|=2√(√5)2−(√5)2=√5．由于点O 到C 1的距离d 2=√12+(−2)2=√5 所以S △OMN =12×|MN|×d 2=12√5√5=35．【解析】(1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用点到直线的距离公式的应用和三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程、极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的，三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)当k =1时，不等式f(x)≤1即为|x −1|+12|x +3|≤3，等价为{x ≥1x −1+12x +32≤3或{−3<x <11−x +12x +32≤3或{x ≤−31−x −12x −32≤3，解得1≤x ≤53或−1≤x <1或x ∈⌀， 则原不等式的解集为[−1,53]；(2)f(x)≥x 对于任意的实数x 恒成立，即为|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立． 当x ≤−2时，|x −k|+12|x +3|≥0≥x +2恒成立； 当x >−2时，|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立等价为|x −k|+x+32≥x +2，即|x −k|≥x+12恒成立，当−2<x ≤−1时，|x −k|≥x+12恒成立；当x >−1时，|x −k|≥x+12恒成立等价为x −k ≥x+12或x −k ≤−x+12恒成立．即x ≥2k +1或x ≤23(k −12)恒成立， 则2k +1≤−1解得k ≤−1， 所以k 的取值范围是(−∞,−1]．【解析】(1)由题意可得|x −1|+12|x +3|≤3，由零点分区间法和绝对值的定义，去绝对值，解不等式，求并集，可得所求解集；(2)由题意可得|x −k|+12|x +3|≥x +2恒成立．讨论x ≤−2恒成立，x >−2时，可得|x −k|≥x+12恒成立，讨论−2<x ≤−1，x >−1时，结合绝对值不等式的解法和恒成立思想，可得所求范围．本题考查绝对值不等式的解法，注意运用分类讨论思想，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想和分类讨论思想，考查化简运算能力和推理能力，属于中档题．。
广东省六校2024届高三上学期第一次联考数学试题及参考答案
2024届高三第一次六校联考试题数学本试卷共22题，满分150分，考试用时120分钟注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等信息填涂在答题卡的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将解答过程写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，只需将答题卡上交.一､单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合{}(){}220,ln 2A xx x B x y x =+->==-∣∣，则A B ⋂=（）A.{21}x x -<<∣B.{12}xx <<∣C.{2}xx <∣ D.{2xx <-∣或12}x <<2.在复平面上，复数34i z =-的共轭复数z 对应的向量OM 是（）A. B.C. D.3.已知双曲线C 的两条渐近线互相垂直，则C 的离心率等于（）B.3D.24.某种包装的大米质量ξ（单位：kg ）服从正态分布()210,N ξσ~，根据检测结果可知()9.9810.020.98P ξ=，某公司购买该种包装的大米1000袋，则大米质量10.02kg 以上的袋数大约是（）A.5B.10C.20D.405.已知等差数列{}n a 的公差不为10,1a =且248,,a a a 成等比数列，其前n 项和为n S ，则（）A.20234045a = B.5434a a a a <C.119462a a a a +=+ D.1112n S n n ++=+6.在数字通信中，信号是由数字0和1组成.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05，若发送信号0和1是等可能的，则接受信号为1的概率为（）A.0.475B.0.525C.0.425D.0.5757.已知奇函数()f x 在R 上是增函数，若()()0.8221log ,log 4.1,25a f b f c f ⎛⎫=-== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A.c b a<< B.b a c <<C.a b c<< D.c a b<<8.已知函数()322f x x x x =-+-，若过点()1,P t 可作曲线()y f x =的三条切线，则t 的取值范围是（）A.10,30⎛⎫ ⎪⎝⎭B.10,29⎛⎫ ⎪⎝⎭C.10,28⎛⎫ ⎪⎝⎭D.10,27⎛⎫ ⎪⎝⎭二､多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.某学校组建了辩论､英文剧场､民族舞､无人机和数学建模五个社团，高一学生全员参加，且每位学生只能参加一个社团.学校根据学生参加情况绘制如下统计图，已知无人机社团和数学建模社团的人数相等.下列说法正确的是（）A.高一年级学生人数为120人B.无人机社团的学生人数为17人C.若按比例分层抽样从各社团选派20人，则无人机社团选派人数为3人D.若甲､乙､丙三人报名参加社团，则共有60种不同的报名方法10.已知函数()sin 22f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则下列判断正确的是（）A.()f x 的图象关于直线6x π=对称B.()f x 的图象关于点,06π⎛⎫-⎪⎝⎭对称C.()f x 在区间2,03π⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增D.当2,33x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()()1,1f x ∈-11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，若点M 在线段1BC 上运动，则下列结论正确的是（）A.直线1A M 可能与平面1ACD 相交B.三棱锥A MCD -与三棱锥1D MCD -的体积之和为43C.AMC 的周长的最小值为8+D.当点M 是1BC 的中点时，CM 与平面11AD C 所成角最大12.已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且0x >时，()()2e xf x x =-，则下列结论正确的是（）A.()0f x >的解集为()()2,02,∞-⋃+B.当0x <时，()()2e xf x x -=+C.()f x 有且只有两个零点D.[]()()1212,1,2,ex x f x f x ∀∈-三､填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13.幸福指数是衡量人们对自身生存和发展状况的感受和体验，即人们的幸福感的一种指数.某机构从某社区随机调查了12人，得到他们的幸福指数（满分：10分）分别是7.6，8.5，7.8，9.2，8.1，9，7.9，9.5，8.3，8.8，6.9，9.4，则这组数据的下四分位数（也称第一四分位数）是__________.14.已知212nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，仅有第4项的二项式系数最大，则展开式中第5项是__________.15.设函数()y f x =''是()y f x ='的导函数.某同学经过探究发现，任意一个三次函数()()320f x ax bx cx d a =+++≠的图像都有对称中心()()00,x f x ，其中0x 满足()00f x ''=.已知三次函数()321f x x x =+-，若120x x +=，则()()12f x f x +=__________.16.法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆被称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆22:12x C y +=，则C的蒙日圆O 的方程为__________；在圆222(3)(4)(0)x y r r -+-=>上总存在点P ，使得过点P 能作椭圆C 的两条相互垂直的切线，则r 的取值范围是__________.（第一空2分，第二空3分）四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.17.（本小题10分）已知等差数列{}n a 满足()218n n a n n k +=-+，数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列.（1）求n a 和n b ；（2）令nn na cb =，求数列{}n c 的最大项.18.（本小题12分）在ABC 中，4,AB D =为AB中点，CD =.（1）若3BC =，求ABC 的面积；（2）若2BAC ACD ∠∠=，求AC 的长.19.（本小题12分）.如图所示，在四棱锥P ABCD -中，侧面PAD 是正三角形，且与底面ABCD 垂直，BC ∥平面1,1,2PAD BC AD E ==是棱PD 上的动点.（1）当E 是棱PD 的中点时，求证：CE ∥平面PAB ：（2）若1,AB AB AD =⊥，求点B 到平面ACE 距离的范围.20.（本小题12分）某企业拥有甲､乙两条零件生产线，为了解零件质量情况，采用随机抽样方法从两条生产线共抽取180个零件，测量其尺寸（单位：mm ）得到如下统计表，其中尺寸位于[55,58)的零件为一等品，位于[54,55)）和[58,59)的零件为二等品，否则零件为三等品.生产线[)53,54[)54,55[)55,56[)56,57[)57,58[)58,59[]59,60甲49232824102乙214151716151（1）完成22⨯列联表，依据0.05α=的独立性检验能否认为零件为一等品与生产线有关联？一等品非一等品合计甲乙合计（2）将样本频率视为概率，从甲､乙两条生产线中分别随机抽取1个零件，每次抽取零件互不影响，以ξ表示这2个零件中一等品的数量，求ξ的分布列和数学期望()E ξ，（3）已知该企业生产的零件随机装箱出售，每箱60个.产品出厂前，该企业可自愿选择是否对每箱零件进行检验.若执行检验，则每个零件的检验费用为5元，并将检验出的三等品更换为一等品或二等品；若不执行检验，则对卖出的每个三等品零件支付120元赔偿费用，现对一箱零件随机检验了20个，检出了1个三等品.将从两条生产线抽取的所有样本数据的频率视为概率，以整箱检验费用与赔偿费用之和的期望作为决策依据，是否需要对该箱余下的所有零件进行检验？请说明理由.附：()()()()22()n ad bc a b c d a c b d χ-=++++，其中0.05; 3.841n a b c d x =+++=21.（本小题12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，左､右焦点分别为12,F F ，短轴的顶点分别为12,B B ，四边形1122B F B F的面积为,A B （点A 在x 轴的上方）为椭圆上的两点，点M 在x 轴上.（1）求椭圆C 的方程；（2）若2AM MB =，且直线AB 与圆224:7O x y +=相切于点N ，求MN .22.（本小题12分）已知函数()()()21,ln f x x ax g x x a a R =-+=+∈.（1）若()()1,a f x g x =>在区间()0,t 上恒成立，求实数t 的取值范围；（2）若函数()f x 和()g x 有公切线，求实数a 的取值范围.一､单选题，二多选题2024届高三第一次六校联考数学参考答案：三､填空题（第16题第一问2分，第二问3分）13.7.8514.6240x 15.-216.223,55x y r +=≤≤+四､解答题17.解：（1）解法一：因为数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列，所以13n n b -=，因为()218n n a n n k +=-+，所以12371215,,234k k k a a a ---===.因为数列{}n a 是等差数列，所以2132a a a =+，即127152324k k k ---⨯=+，解得9k =-所以()()()218919n n a n n n n +=--=+-，所以9n a n =-.解法二：因为数列{}n b 是以1为首项，公比为3的等比数列，所以13n n b -=，因为数列{}n a 是等差数列，设公差为d ，则()111n a a n d dn a d =+-=+-.所以()()()22111118n n a n dn a d dn a n a d n n k +=++-=++-=-+，所以118,9d a k =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩所以9n a n =-（2）因为193n n n n a n c b --==，当8n ≤时，0n c <；当9n =时，0n c =；当10n 时，0n c >.当10n 时，11891920333n n n n n n n nc c +-----=-=<，即，1n n c c +<.所以数列{}n c 的最大项是第10项10913c =18.解：（1）在BCD中，2,3,BD BC CD ===，由余弦定理可知2224971cos 22322BC BD CD B BC BD +-+-===⨯⨯⨯⨯，因为0B π<<，所以3sin 2B =，所以1sin 2ABC S AB BC B =⨯⨯= ；（2）在ACD 中，设,2ACD BAC ∠θ∠θ==，则由正弦定理sin2sin CD ADθθ=，即22sin cos sin θθθ=，得()cos ,0,4θθπ=∈ ，所以3sin 4θ=，2371sin22sin cos 2cos 188θθθθθ===-=-，所以2ADC ∠πθθ=--，所以()377139sin sin 2848416ADC ∠θθ=+=-⨯=，.由正弦定理得：sin sin AC ADADC ACD∠∠=，即92316324AC ⨯==.19.解：（1）证明：因为BC ∥平面,PAD BC ⊂平面ABCD ，且平面PAD ⋂平面ABCD AD =，所以BC AD ∥.取PA 的中点F ，连接BF EF ､，因为E 是棱PD 的中点，所以，EF AD ∥且12EF AD =，因为BC AD ∥且12BC AD =，所以，EF BC ∥且EF BC =，所以，四边形BCEF 为平行四边形，则CE BF ∥，因为CE ⊄平面,PAB BF ⊂平面PAB ，所以CE ∥平面PAB ..（2）取AD 的中点O ，连接PO .因为PAD 是正三角形，所以PO AD ⊥.又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面,ABCD AD PO =⊂平面PAD ，所以，PO ⊥平面,.ABCD .因为1,,2BC AD BC AD O =∥为AD 的中点，所以，BC AO ∥且BC AO =，所以，四边形ABCO 为平行四边形，则CO AB ∥，因为AB AD ⊥，则CO AD ⊥，以点O 为坐标原点，OC OD OP ､､所在直线分别为x y z ､､轴建立如下图所示的空间直角坐标系，则()()(()0,1,01,0,00,1,0A C P D -､､､，所以()1,1,0AC =，设(()0,0,DE DP λλλ==-=-，其中01λ，则()()()0,2,00,0,2AE AD DE λλ=+=+-=-，设平面ACE 的法向量()111,,n x y z =，所以()1111020n AC x y n AE y z λ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令12z λ=-，得),,2n λ=-，设点B 到平面ACE距离为,AB nd d n⋅==.当0λ=时，0d =；当01λ<≤时，11λ≥，则2107d <==，当且仅当1λ=时等号成立.综上，点B 到平面ACE 距离的取值范围是210,7⎡⎢⎣⎦.20.解：（1）由题意得列联表如下：一等品非一等品合计甲7525100乙483280合计12357180()()()()222()180(75324825) 4.6211235710080n ad bc a b c d a c b d χ-⨯⨯-⨯==≈++++⨯⨯⨯0.054.621 3.841x >= 依据小概率值0.05α=的独立性检验，可以认为零件是否为一等品与生产线有关联.（2）由已知任取一个甲生产线零件为一等品的概率为23282431004++=，任取一个乙生产线零件为一等品的概率为1517163805++=，ξ的所有可能取值为0,1,2，则()()()1221132393390,1,24520104554204520P P P ξξξ==⨯====⨯+⨯===⨯=ξ∴的分布列为：ξ012P110920920()19927012.10202020E ξ=⨯+⨯+⨯=（3）由已知零件为三等品的频率为4221118020+++=，设余下的40个零件中三等品个数为X ，则140,20X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，()1402,20E X ∴=⨯=设检验费用与赔偿费用之和为Y ，若不对余下的所有零件进行检验，则205120Y X =⨯+，所以()()100120100240340E Y E X =+⨯=+=，若对余下的所有零件进行检测，则检验费用为605300⨯=元，340300,>∴ 应对剩下零件进行检验..21.解：（1）由题意知2ce a ==，四边形1122B F B F 为菱形，面积为，即2bc =，又222a c b =+，解得2224,1,3a b c ===，所以椭圆C 的方程为2214x y +=.（2）设(),0M m ，直线AB 的方程为()()1122,,,,x ty m A x y B x y =+，由2AM MB = 得122y y =-，联立221,4,x y x ty m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得()2224240t y tmy m +++-=，()()()22222Δ(2)444164tm t m m t =-+-=---则212122224,44tm m y y y y t t -+=-=++，由2122122222,2y y y y y y y y =-+=-+=-，得()()2212121222y y y y y y ⎡⎤=--+=-+⎣⎦，所以222242244m tm t t -⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭，化简得()()2222448m t t m -+=-，易知原点O 到直线AB的距离d =又直线AB 与圆224:7O x y +=相切，所以=2271,4t m =-由()()222222448714m t t m t m ⎧-+=-⎪⎨=-⎪⎩，得422116160m m --=，即()()2234740m m -+=，解得243m =，则243t =，满足Δ0>，所以,03M ⎛⎫± ⎪ ⎪⎝⎭，在Rt OMN中，42121MN ==.22.解：（1）由题意，当1a =时，设()()()h x f x g x =-，则()221ln 1ln (0)h x x x x x x x x =-+--=-->，()()()221112121x x x x h x x x x x'+---=--==，令()0h x '=，得1x =（舍负），.所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,∞+上单调递增，()min ()10h x h ∴==.根据题意t 的取值范围为(]0,1（2）设函数()f x 在点()()11,x f x 处与函数()g x 在点()()22,x g x 处有相同的切线，则()()()()121212,f x g x f x g x x x -='-'=211212121ln 12x ax x a x a x x x -+--∴-==-，12122a x x ∴=+，代入21211221ln .x x x ax x a x -=-+--.得222221ln 20424a a x a x x ++++-=∴问题转化为：关于x 的方程221ln 20424a a x a x x ++++-=有解，设()221ln 2(0)424a a F x x a x x x =++++->，则函数()F x 有零点，()211ln 24F x a x a x ⎛⎫=+++- ⎪⎝⎭，当2a x e -=时，()2ln 20,e 0a x a F -+-=∴>.∴问题转化为：()F x 的最小值小于或等于0.()23231121222a x ax F x x x x x --=--+='，设()20002100x ax x --=>，则当00x x <<时，()0F x '<，当0x x >时，()0F x '>.()F x ∴在()00,x 上单调递减，在()0,x ∞+上单调递增，()F x ∴的最小值为()2002001ln 2424a a F x x a x x =++++-.由200210x ax --=知0012a x x =-，故()20000012ln 2F x x x x x =+-+-.设()212ln 2(0)x x x x x xϕ=+-+->，则()211220x x x x ϕ=+++>'，故()x ϕ在()0,∞+上单调递增，()10,ϕ=∴ 当(]0,1x ∈时，()0x ϕ≤，()F x ∴的最小值()00F x ≤等价于001x ≤≤.又 函数12y x x=-在(]0,1上单调递增，(]0012,1.a x x ∞∴=-∈-。
人教A版2020学年广东省六校联盟高三上学期第一次联考数学试卷(理科) 解析版
2019-2020学年高三第一学期第一次联考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．设f（x）＝x2﹣4x（x∈R），则f（x）＞0的一个必要而不充分的条件是（）A．x＜0 B．x＜0或x＞4 C．|x﹣1|＞1 D．|x﹣2|＞3 2．设复数z满足＝i，则|z|＝（）A．1 B．C．D．23．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A．r2＜r4＜0＜r3＜r1B．r4＜r2＜0＜r1＜r3C．r4＜r2＜0＜r3＜r1D．r2＜r4＜0＜r1＜r34．已知函数f（x）＝x2+2cos x，f'（x）是f（x）的导函数，则函数y＝f'（x）的图象大致为（）A．B．C．D．5．已知函数f（x）＝﹣x3+ax2﹣4在x＝2处取得极值，若m∈[﹣1，1]，则f（m）的最小值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．26．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．7．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．8．若函数f（x）＝cos2x+a sin x在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（）A．（2，4）B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）9．某校高三年级有男生220人，学籍编号1，2，…，220；女生380人，学籍编号221，222，…，600．为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10），然后再从这10位学生中随机抽取3人座谈，则3人中既有男生又有女生的概率是（）A．B．C．D．10．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x、y都小于1的正实数对（x，y）；再统计x、y两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m估计π的值，假如统计结果是m＝35，那么可以估计π的值约为（）A．B．C．D．11．已知数列{a n}满足a1＝1，，则S2019等于（）A．22019﹣1 B．3×21010﹣3 C．21011﹣3 D．3×21010﹣2 12．已知函数在[﹣1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（）A．1 B．2 C．3 D．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．e|x|dx＝．14．已知{a n}，{b n}都是等差数列，若a1+b10＝9．a3+b8＝15，则a5+b6＝．15．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线y2﹣x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝．16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解》（1261年）一书中，用如图（1）的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作（1655年）介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinesetriangle）如图（1），17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图（2）．在杨辉三角中相邻两行满足关系式：∁n r+∁n r+1＝C n+1r+1，其中n是行数，r∈N．请类比上式，在莱布尼兹三角中相邻两行满足的关系式是三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量＝（cos B，cos C），＝（2a+c，b），且⊥．（1）求角B的大小；（2）若b＝，求a+c的范围．18．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元．（Ⅰ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列；（Ⅱ）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝6，AD＝8，BC＝10，∠PAD＝45°，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面BPC；（2）线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出二面角F﹣PC﹣D的余弦值；若不存在，请说明理由．20．已知动圆P经过点N（1，0），并且与圆M：（x+1）2+y2＝16相切．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设G（m，0）为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A、B 两点，当k为何值时？ω＝|GA|2+|GB|2是与m无关的定值，并求出该值定值．21．设函数f（x）＝ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），曲线y＝f（x）过点（e，e2﹣e+1），且在点（1，0）处的切线方程为y＝0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（Ⅲ）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：ρ＝2cos θ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，A、B都异于原点O，求|AB|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝2|x+1|+|x﹣2|．（1）求f（x）的最小值m；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝m，求证：++≥3．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设f（x）＝x2﹣4x（x∈R），则f（x）＞0的一个必要而不充分的条件是（）A．x＜0 B．x＜0或x＞4 C．|x﹣1|＞1 D．|x﹣2|＞3 【分析】利用不等式的解法、充要条件的判定方法即可得出．解：由f（x）＝x2﹣4x＞0，解得x＞4，或x＜0．由|x﹣1|＞1，解得x＜0或x＞2．由|x﹣2|＞3，解得x＜﹣1或x＞5．∴f（x）＞0的一个必要而不充分的条件是|x﹣1|＞1，故选：C．2．设复数z满足＝i，则|z|＝（）A．1 B．C．D．2【分析】先化简复数，再求模即可．解：∵复数z满足＝i，∴1+z＝i﹣zi，∴z（1+i）＝i﹣1，∴z＝＝i，∴|z|＝1，故选：A．3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（）A．r2＜r4＜0＜r3＜r1B．r4＜r2＜0＜r1＜r3C．r4＜r2＜0＜r3＜r1D．r2＜r4＜0＜r1＜r3【分析】根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．解：由给出的四组数据的散点图可以看出，图1和图3是正相关，相关系数大于0，图2和图4是负相关，相关系数小于0，图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于﹣1，由此可得r2＜r4＜r3＜r1．故选：A．4．已知函数f（x）＝x2+2cos x，f'（x）是f（x）的导函数，则函数y＝f'（x）的图象大致为（）A．B．C．D．【分析】根据导数公式求出函数的导数，结合函数的奇偶性和单调性的性质判断对称性和单调性，结合排除法进行判断即可．解：函数的导数f′（x）＝2x﹣2sin x，则f′（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，B，设g（x）＝f′（x）＝2x﹣2sin x，则g′（x）＝2﹣2cos x≥0，即g（x）为增函数，排除D故选：C．5．已知函数f（x）＝﹣x3+ax2﹣4在x＝2处取得极值，若m∈[﹣1，1]，则f（m）的最小值为（）A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．2【分析】先对函数求导，结合题意可知f′（2）＝0，然后研究单调性，结合单调性可判断取得最小值的位置，即可求解．解：∵f（x）＝﹣x3+ax2﹣4，∴f′（x）＝﹣3x2+2ax，∵f（x）在x＝2处取得极值，∴f′（2）＝﹣12+4a＝0，故a＝3，f′（x）＝﹣3x2+6x，当x＜0或x＞2时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，当0＜x＜2时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增，∵m∈[﹣1，1]，当m＝0时，f（m）的最小值为﹣4故选：A．6．正方体ABCD﹣A1B1C1D1中E为棱BB1的中点（如图），用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为（）A．B．C．D．【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图．解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C．故选：C．7．已知椭圆E：的右焦点为F（3，0），过点F的直线交椭圆E于A、B两点．若AB的中点坐标为（1，﹣1），则E的方程为（）A．B．C．D．【分析】设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，利用“点差法”可得．利用中点坐标公式可得x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，利用斜率计算公式可得＝＝．于是得到，化为a2＝2b2，再利用c＝3＝，即可解得a2，b2．进而得到椭圆的方程．解：设A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程得，相减得，∴．∵x1+x2＝2，y1+y2＝﹣2，＝＝．∴，化为a2＝2b2，又c＝3＝，解得a2＝18，b2＝9．∴椭圆E的方程为．故选：D．8．若函数f（x）＝cos2x+a sin x在区间（，）是减函数，则a的取值范围是（）A．（2，4）B．（﹣∞，2] C．（﹣∞，4] D．[4，+∞）【分析】利用二倍角的余弦公式化为正弦，然后令t＝sin x换元，根据给出的x的范围求出t的范围，结合二次函数的图象的开口方向及对称轴的位置列式求解a的范围．解：由f（x）＝cos2x+a sin x＝﹣2sin2x+a sin x+1，令t＝sin x，则原函数化为y＝﹣2t2+at+1．∵x∈（，）时f（x）为减函数，则y＝﹣2t2+at+1在t∈（，1）上为减函数，∵y＝﹣2t2+at+1的图象开口向下，且对称轴方程为t＝．∴≤，解得：a≤2．∴a的取值范围是（﹣∞，2]．故选：B．9．某校高三年级有男生220人，学籍编号1，2，…，220；女生380人，学籍编号221，222，…，600．为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查（第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10），然后再从这10位学生中随机抽取3人座谈，则3人中既有男生又有女生的概率是（）A．B．C．D．【分析】由题意，得到抽到的10人中，有男生4人，女生6人，再从这10位学生中随机抽取3人座谈，基本事件总数n＝，3人中既有男生又有女生包含的基本事件个数m＝，由此能求出3人中既有男生又有女生的概率．解：由题意，得到抽到的10人中，有男生4人，女生6人，再从这10位学生中随机抽取3人座谈，基本事件总数n＝＝120，3人中既有男生又有女生包含的基本事件个数m＝＝120﹣4﹣20＝96，3人中既有男生又有女生的概率p＝＝．故选：D．10．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验．受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x、y都小于1的正实数对（x，y）；再统计x、y两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）的个数m；最后再根据统计数m估计π的值，假如统计结果是m＝35，那么可以估计π的值约为（）A．B．C．D．【分析】根据题意，由分析实数对（x，y）对应的平面区域，进而分析两数能与1构成钝角三角形三边的数对（x，y）对应的区域面积，由几何概型公式分析可得＝﹣，变形即可得答案．解：根据题意，200对都小于l的正实数对（x，y），即，对应区域为边长为1的正方形，其面积为1，若两个正实数x、y能与1构成钝角三角形三边，则有，其面积S＝；则有＝，变形可得π＝，故选：D．11．已知数列{a n}满足a1＝1，，则S2019等于（）A．22019﹣1 B．3×21010﹣3 C．21011﹣3 D．3×21010﹣2【分析】求得a2，将等式中的n换为n﹣1，相除可得数列{a n}的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，由等比数列的求和公式可得所求和．解：a1＝1，，可得a2＝2，n≥2时，a n a n﹣1＝2n﹣1，又a n a n+1＝2n，相除可得＝2，可得数列{a n}的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，则S2019＝（1+2+4+…+21009）+（2+4+…+21009）＝+＝21011﹣3．故选：C．12．已知函数在[﹣1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M+m＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】利用函数的奇偶性在对称最值之和为定值即可求解．解：由f（x）＝[（x﹣1）2﹣1]sin（x﹣1）+1+令x﹣1＝t，x∈[﹣1，3]上，可得t∈[﹣2，2]；那么f（x）转化为g（t）＝t2sin t+﹣sin t+1由于h（t）＝t2sin t+﹣sin t是奇函数可得h（t），t∈[﹣2，2]的最大值与最小值之和为0，那么g（t）的最大值与最小值之和为2．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．e|x|dx＝2e﹣2 ．【分析】e|x|dx转化为e x dx+e﹣x dx，根据定积分计算法则计算即可．解：e|x|dx＝e x dx+e﹣x dx＝e x﹣e﹣x＝e﹣1﹣（1﹣e）＝2e﹣2，故答案为：2e﹣2．14．已知{a n}，{b n}都是等差数列，若a1+b10＝9．a3+b8＝15，则a5+b6＝21 ．【分析】由等差数列的性质可知a1+a5+b6+b10＝2（a3+b8）＝，代入即可求解解：∵{a n}，{b n}都是等差数列，若a1+b10＝9．a3+b8＝15，又∵a1+a5+b6+b10＝2（a3+b8）＝30a5+b6＝21故答案为：2115．抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，其准线与双曲线y2﹣x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝．【分析】求出抛物线的焦点坐标，准线方程，然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标，利用三角形是等边三角形求出p即可．解：抛物线的焦点坐标为（，0），准线方程为：x＝﹣，准线方程与双曲线y2﹣x2＝1联立可得：y2﹣（﹣）2＝1，解得y＝±，因为△ABF为等边三角形，所以＝2|y|，即p2＝3y2，即p2＝3（1+），解得p＝．故答案为：．16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解》（1261年）一书中，用如图（1）的三角形，解释二项和的乘方规律．在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作（1655年）介绍了这个三角形．近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”（Chinesetriangle）如图（1），17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图（2）．在杨辉三角中相邻两行满足关系式：∁n r+∁n r+1＝C n+1r+1，其中n是行数，r∈N．请类比上式，在莱布尼兹三角中相邻两行满足的关系式是【分析】这是一个考查类比推理的题目，解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形，并从三解数阵中，找出行与行之间数的关系，探究规律并其表示出来．解：类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子，有．故答案为：．三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，向量＝（cos B，cos C），＝（2a+c，b），且⊥．（1）求角B的大小；（2）若b＝，求a+c的范围．【分析】（1）根据题意，由数量积的计算公式可得（2a+c）cos B+b cos C＝0，结合正弦定理可得2cos B sin A＝﹣sin（B+C）＝﹣sin A，变形可得cos B的值，即可得答案；（2）由余弦定理可得b2＝（a+c）2，分析可得（a+c）2≤4，解可得a+c≤2，由三角形的角边关系分析可得a+c的最小值，综合即可得答案．【解答】解（1）根据题意，＝（cos B，cos C），＝（2a+c，b），且⊥，则有（2a+c）cos B+b cos C＝0，即cos B（2sin A+sin C）+sin B cos C＝0，2cos B sin A+cos B sin C+sin B cos C＝0．即2cos B sin A＝﹣sin（B+C）＝﹣sin A．∵A∈（0，π），∴sin A≠0，∴cos B＝﹣．∵0＜B＜π，∴B＝．（2）由余弦定理得b2＝a2+c2﹣2ac cosπ＝a2+c2+ac＝（a+c）2﹣ac≥（a+c）2﹣（）2＝（a+c）2，当且仅当a＝c时取等号．∴（a+c）2≤4，故a+c≤2．又a+c＞b＝，∴a+c∈（，2]．即a+c的取值范围是（，2]．18．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲，乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为，第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束，若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得1000元；若未中奖，则所获得奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为，每次中奖均可获得奖金400元．（Ⅰ）求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列；（Ⅱ）试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？【分析】（I）利用相互独立事件的概率计算公式即可得出．（II）利用数学期望计算公式、二项分布列的性质即可得出．解：（Ⅰ），，，所以某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X（元）的分布列为（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X的均值，若选择方案乙进行抽奖中奖次数ξ～B，则，抽奖所获奖金X的均值E（X）＝E（400ξ）＝400E（ξ）＝480，故选择方案甲较划算．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，AB∥DC，AB⊥AD，DC＝6，AD＝8，BC＝10，∠PAD＝45°，E为PA的中点．（1）求证：DE∥平面BPC；（2）线段AB上是否存在一点F，满足CF⊥DB？若存在，试求出二面角F﹣PC﹣D的余弦值；若不存在，请说明理由．【分析】（1）取PB的中点M，连接EM和CM，过点C作CN⊥AB，垂足为点N．推导出四边形CDAN为平行四边形，从而CN＝AD＝8，DC＝AN＝6，AB＝12，推导出四边形CDEM为平行四边形，从而DE∥CM．由此能证明DE∥平面BPC．（2）由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z 轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，利用向量法能求出二面角F﹣PC﹣D的余弦值．解：（1）证明：取PB的中点M，连接EM和CM，过点C作CN⊥AB，垂足为点N．∵CN⊥AB，DA⊥AB，∴CN∥DA，又AB∥CD，∴四边形CDAN为平行四边形，∴CN＝AD＝8，DC＝AN＝6，在Rt△BNC中，BN＝＝＝6，∴AB＝12，而E，M分别为PA，PB的中点，∴EM∥AB且EM＝6，又DC∥AB，∴EM∥CD且EM＝CD，四边形CDEM为平行四边形，∴DE∥CM．∵CM⊂平面PBC，DE⊄平面PBC，∴DE∥平面BPC．（2）解：由题意可得DA，DC，DP两两互相垂直，如图，以D为原点，DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（8，0，0），B（8，12，0），C（0，6，0），P（0，0，8）．假设AB上存在一点F使CF⊥BD，设点F坐标为（8，t，0），则＝（8，t﹣6，0），＝（8，12，0），由•＝0得t＝．又平面DPC的一个法向量为＝（1，0，0），设平面FPC的法向量＝（x，y，z），则＝（0，6，﹣8），＝（﹣8，，0），由，取y＝12，得＝（8，12，9），设二面角F﹣PC﹣D的平面角为θ，则cosθ＝＝＝．∴二面角F﹣PC﹣D的余弦值为．20．已知动圆P经过点N（1，0），并且与圆M：（x+1）2+y2＝16相切．（1）求点P的轨迹C的方程；（2）设G（m，0）为轨迹C内的一个动点，过点G且斜率为k的直线l交轨迹C于A、B 两点，当k为何值时？ω＝|GA|2+|GB|2是与m无关的定值，并求出该值定值．【分析】（1）由题意可得点P的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，求出半长轴及半焦距的长度，再由隐含条件求得b，则椭圆方程可求；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（﹣2＜m＜2），直线l：y＝k（x﹣m），联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A，B的横坐标与纵坐标的和与积，再由ω＝|GA|2+|GB|2是与m无关的定值求得k，进一步得到该定值．解：（1）由题设得：|PM|+|PN|＝4，∴点P的轨迹C是以M、N为焦点的椭圆，∵2a＝4，2c＝2，∴，∴椭圆方程为；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），G（m，0）（﹣2＜m＜2），直线l：y＝k（x﹣m），由，得（3+4k2）x2﹣8k2mx+4k2m2﹣12＝0，，∴．．∴＝．∵ω＝|GA|2+|GB|2的值与m无关，∴4k2﹣3＝0，解得．此时ω＝|GA|2+|GB|2＝7．21．设函数f（x）＝ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），曲线y＝f（x）过点（e，e2﹣e+1），且在点（1，0）处的切线方程为y＝0．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）证明：当x≥1时，f（x）≥（x﹣1）2；（Ⅲ）若当x≥1时，f（x）≥m（x﹣1）2恒成立，求实数m的取值范围．【分析】（Ⅰ）求出函数的f′（x），通过f′（1）＝a+b＝0，f（e）＝e2﹣e+1，求出a，b．（Ⅱ）求出f（x）的解析式，设g（x）＝x2lnx+x﹣x2，（x≥1），求出导数，二次求导，判断g′（x）的单调性，然后证明f（x）≥（x﹣1）2．（Ⅲ）设h（x）＝x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，求出h′（x），利用（Ⅱ）中知x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1＝x（x﹣1），推出h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1），①当时，②当时，求解m的范围．解：（Ⅰ）函数f（x）＝ax2lnx+b（x﹣1）（x＞0），可得f′（x）＝2alnx+ax+b，∵f′（1）＝a+b＝0，f（e）＝ae2+b（e﹣1）＝a（e2﹣e+1）＝e2﹣e+1∴a＝1，b＝﹣1．…（Ⅱ）f（x）＝x2lnx﹣x+1，设g（x）＝x2lnx+x﹣x2，（x≥1），g′（x）＝2xlnx﹣x+1，（g′（x））′＝2lnx+1＞0，∴g′（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g′（x）≥g′（1）＝0，∴g（x）在[0，+∞）上单调递增，∴g（x）≥g（1）＝0．∴f（x）≥（x﹣1）2．…（Ⅲ）设h（x）＝x2lnx﹣x﹣m（x﹣1）2+1，h′（x）＝2xlnx+x﹣2m（x﹣1）﹣1，（Ⅱ）中知x2lnx≥（x﹣1）2+x﹣1＝x（x﹣1），∴xlnx≥x﹣1，∴h′（x）≥3（x﹣1）﹣2m（x﹣1），①当3﹣2m≥0即时，h′（x）≥0，∴h（x）在[1，+∞）单调递增，∴h（x）≥h（1）＝0，成立．②当3﹣m＜0即时，h′（x）＝2xlnx﹣（1﹣2m）（x﹣1），（h′（x））′＝2lnx+3﹣2m，令（h′（x））＝0，得，当x∈[1，x0）时，h′（x）＜h′（1）＝0，∴h（x）在[1，x0）上单调递减∴h（x）＜h（1）＝0，不成立．综上，．…（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）22．在直角坐标系xOy中，曲线C1：，其中0≤α＜π，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sinθ，曲线C3：ρ＝2cosθ．（1）求C2与C3交点的直角坐标；（2）若C2与C1相交于点A，C3与C1相交于点B，A、B都异于原点O，求|AB|的最大值．【分析】（I）由曲线C2：ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，把代入可得直角坐标方程．同理由C3：ρ＝2cosθ．可得直角坐标方程，联立解出可得C2与C3交点的直角坐标．（2）由曲线C1的参数方程，消去参数t，化为普通方程：y＝x tanα，其中0≤α≤π，α≠；α＝时，为x＝0（y≠0）．其极坐标方程为：θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），利用|AB|＝即可得出．解：（I）由曲线C2：ρ＝2sinθ，化为ρ2＝2ρsinθ，∴x2+y2＝2y．同理由C3：ρ＝2cosθ．可得直角坐标方程：，联立，解得或，∴C2与C3交点的直角坐标为（0，0），（，）．（2）曲线C1：，化为普通方程：y＝x tanα，其中0≤α≤π，α≠；当α＝时，为x＝0（y≠0），其极坐标方程为：θ＝α（ρ∈R，ρ≠0），∵A，B都在C1上，∴A（2sinα，α），B（，）．∴|AB|＝＝4||，当时，|AB|取得最大值4．[选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分）23．已知函数f（x）＝2|x+1|+|x﹣2|．（1）求f（x）的最小值m；（2）若a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝m，求证：++≥3．【分析】（1）讨论x的取值，脱去函数f（x）的绝对值，求出f（x）的最小值m；（2）根据a+b+c＝m＝3，利用基本不等式求出+++（a+b+c）的最小值，即可证明结论成立．解：（1）∵函数f（x）＝2|x+1|+|x﹣2|，当x＜﹣1时，f（x）＝﹣2（x+1）﹣（x﹣2）＝﹣3x∈（3，+∞）；当﹣1≤x＜2时，f（x）＝2（x+1）﹣（x﹣2）＝x+4∈[3，6）；当x≥2时，f（x）＝2（x+1）+（x﹣2）＝3x∈[6，+∞）；综上，f（x）的最小值为m＝3；（2）a，b，c均为正实数，且满足a+b+c＝m＝3，又因为+++（a+b+c）＝（+a）+（+b）+（+c）≥2（++）＝2（a+b+c），当且仅当a＝b＝c＝1时，取“＝”，所以，++≥a+b+c，即++≥3．。
广东地区六校联盟2020年度高三上学期第一次联考数学(理)试题
2020届六校联高三第一次联考试题理科数学命题学校：深圳实验学校一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设2()4()f x x x x R =-∈，则()0f x >的一个必要不充分条件是（ ） A.0x <B.0x <或4x >C.|1|1x ->D.|2|3x ->2．设复数z 满足11zi z+=-，则||z 等于（ ） A.1D.23．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）A.24310r r r r <<<<B.42130r r r r <<<<C.42310r r r r <<<<D.24130r r r r <<<<4．已知函数2()2cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是（ ）ABCD5．已知函数在处取得极值，若，则的最小值为（ ）A.4-B.2-C.0D.26．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、1C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（ ）32()4f x x ax =-+-2x =[1,1]m ∈-()f mABCD7．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AB的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为（ ）A.2214536x y += B.2213627x y += C.2212718x y += D.221189x y += 8．若函数()cos2sin f x x a x =+在区间,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上是减函数，则a 的取值范围是（ ） A.()2,4B.(],2-∞C.(],4-∞D.[)4,+∞9．某校高三年级有男生220人，学籍编号为1，2，…，220；女生380人，学籍编号为221，222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈，则这3人中既有男生又有女生的概率是（ ） A.15B.310C.710D.4510．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x 、y 都小于1的正实数对(),x y ；再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是35m =，那么可以估计π的值约为（ ） A.227B.4715C.5116D.19611．已知数列{}n a 满足1=1a ，*1=2()n n n a a n N +⋅∈，则2019S 等于（ ）A.201921-B.1010323⨯- C.101123-D.1010322⨯-12．已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,3]-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=（ ）A.1B.2C.3D.4二、填空题： 13．1||-1x e dx ⎰值为______．14．已知{}n a 、{}n b 都是等差数列，若110+=9a b ，38+=15a b ，则56+=a b ______．15．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221y x -=相交于A ，B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p =______．16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士·帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：111r r r n n n C C C ++++=，其中n 是行数，r N ∈.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是______．图1图2三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：17．已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，向量(cos ,cos )m B C =，(2,)n a c b =+，且m n ⊥.(1)求角B 的大小；(2)若b =a c +的取值范围．18．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择． 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元． 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元． (1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？19．如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ABCD ⊥平面，AB DC ∥，AB AD ⊥，6DC =，8AD =，10BC =，45PAD ∠=︒，E 为PA 的中点．(1)求证：DE BPC ∥平面；(2)线段AB 上是否存在一点F ，满足CF DB ⊥？若存在，请求出二面角F PC D --的余弦值；若不存在，请说明理由．20．已知动圆P 经过点(1,0)N ，并且与圆22:(1)16M x y ++=相切．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设(,0)G m 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，当k 为何值时，22||||GA GB ω=+是与m 无关的定值，并求出该定值．21．设函数2()ln (1)f x ax x b x =+-，曲线()y f x =过点2(,1)e e e -+，且在点()1,0处的切线方程为0y =.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当1x ≥时，2()(1)f x x ≥-；(3)若当1x ≥时，2()(1)f x m x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. 22．[选修4―4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系xOy 中，曲线1cos :sin x t C y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，0t ≠)，其中0απ≤<.在以O 为极点x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2:2sin C ρθ=，3:C ρθ=. (1)求2C 与3C 交点的直角坐标；(2)若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值． 23．[选修4―5：不等式选讲]已知函数()2|1||2|f x x x =++-的最小值为m . (1)求m 的值；(2)若a 、b 、c 均为正实数，且满足a b c m ++=，求证：2223b c a a b c++≥.2020届六校联盟第一次联考 理科数学试题参考答案一、选择题 1.C 2.A 3.A 4.A5.A6.C7.D8.B9.D10.D11.C12.B二、填空题 13.22e -14.2115.16.111121211111r r rn n n n n nC C C C C C +++++++= 三、解答题17.解：（1）(cos ,cos )m B C =Q ，(2,)n a c b =+，且m n ⊥，(2)cos cos 0a c B b C ∴++=， 由正弦定理，得cos (2sin sin )sin cos 0B A C B C ++=，2cos sin cos sin sin cos 0B A B C B C ∴++=，即2cos sin sin()sin B A B C A =-+=-.(0,)A π∈Q ，sin 0A ∴≠，1cos 2B ∴=-.0B π<<Q ，23B π∴=. （2）由余弦定理，得：222222222232cos ()()()324a cb ac ac a c ac a c ac a c a c π+⎛⎫=+-=++=+-+-=+ ⎪⎝⎭…， 又23b =，2()4a c ∴+„，当且仅当a c =时取等号．2a c ∴+„.故a c +的取值范围是2]．18.解：（1）由题意，X 的所有可能取值为0,500,1000. 则14117(0)552525P X ==+⨯⨯=， 412(500)525P X ==⨯=，4148(1000)52525P X ==⨯⨯=，∴某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列为(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X 的期望28()5001000520525E X =⨯+⨯=， 若选择方案乙进行抽奖，中奖次数2~3,5B ξ⎛⎫⎪⎝⎭，则26()355E ζ=⨯=， 抽奖所获奖金X 的期望()(400)400()480E X E E ζζ===， 故选择方案甲较划算．19.(1)证明：取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，过点C 作CN AB ⊥，垂足为点N . 在平面ABCD 内，CN AB ⊥Q ，DA AB ⊥，CN DA ∴∥， 又AB CD ∥，∴四边形CDAN 为平行四边形，8CN AD ∴==，6DC AN ==，在Rt BNC △中，6BN ===，12AB ∴=，而E ，M 分别为PA ，PB 的中点， EM AB ∴∥且6EM =，又DC AB ∥，EM CD ∴∥且EM CD =，四边形CDEM 为平行四边形，DE CM ∴∥. CM PBC ⊂Q 平面，DE PBC ⊄平面， DE BPC ∴∥平面.(2)解：由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ， 则(8,0,0),(8,12,0),(0,6,0),(0,0,8)A B C P ．假设AB 上存在一点F 使CF BD ⊥，设点F 的坐标为(8,,0)(012)t t <<，则(8,6,0)CF t =-u u u r ，(8,12,0)DB =u u u r ， 由0CF DB ⋅=u u u r u u u r ，得23t =.又平面DPC 的一个法向量为(1,0,0)m =， 设平面FPC 的法向量为(,,)n x y z =．又(0,6,8)PC =-u u u r ，168,,03FC ⎛⎫=- ⎪⎝⎭u u u r .由0,0,n PC n FC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r 得680,1680,3y z x y -=⎧⎪⎨-+=⎪⎩即3,42,3z y x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩不妨令12y =，则(8,12,9)n =．则8cos ,||||17n m n m n m ⋅〈〉===.又由图可知，该二面角为锐二面角， 故二面角F PC D --的余弦值为817.20．解：(1)由题设得||||4||2PM PN MN +=>=， ∴点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆，24,22a c ==Q，b ∴==∴点P 的轨迹C 的方程为22143x y +=. (2)设()()1122,,,,(,0)(22)A x y B x y G m m -<<， 直线:()l y k x m =-，由22(),1,43y k x m x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222223484120k x k mx k m +-+-=，2122843mk x x k +=+，2212241243k m x x k -⋅=+，()()()12121226243mky y k x m k x m k x x km k ∴+=-+-=+-=-+. ()()()()22222221212121223443k m y y k x m x m k x x k m x x k m k -⋅=--=-++=+.()()2222221122||||GA GB x m y x m y ∴+=-++-+()()()22212121212122222x x x x m x x m y y y y =+--++++-()()()()2222226432434143m k k k k--++=++.22||||GA GB ω=+Q 的值与m 无关，2430k ∴-=，解得2k =±. 此时22||||7GA GB ω=+=.21．(1)解：由题意可知，2()ln (1)f x ax x b x =+-的定义域为(0,)+∞，()2ln (0)f x ax x ax b x '=++>，(1)0f a b '=+=Q ，()222(e)e (e 1)e e 1e e 1f a b a =+-=-+=-+，1,1a b ∴==-.(2)证明：2()ln 1f x x x x =-+，222()(1)ln f x x x x x x --=+-，设22()ln (1)g x x x x x x =+-…，则()2ln 1g x x x x '=-+. 由()()2ln 10g x x ''=+>，得()g x '在[1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ''∴=…，()g x ∴在[1,)+∞上单调递增，()(1)0g x g ∴=….2()(1)f x x ∴-…. (3)解：设22()ln (1)1(1)h x x x x m x x =---+…，则()2ln 2(1)1h x x x x m x '=+---， 由(2)知22ln (1)1(1)x x x x x x -+-=-…，ln 1x x x ∴-…， ()3(1)2(1)(32)(1)h x x m x m x '∴---=--…．①当320m -…，即32m „时，()0h x '…，()h x ∴在[1,)+∞上单调递增， ()(1)0h x h ∴=…成立．②当320m -<<，即32m >>时，()2ln (12)(1)h x x x m x '=+--， ()()2ln 32h x x m ''=+-，令()()0h x ''=，得232e1m x -=>，当2321,e m x -⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，()h x '单调递减，则()(1)0h x h ''=„，()h x ∴在2321,e m -⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，()(1)0h x h ∴=„，即()0h x …不成立． 综上，32m „. 22．解：(1)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为22230x y x +-=.联立222220,230,x y y x y x ⎧+-=⎪⎨+-=⎪⎩解得0,0x y =⎧⎨=⎩或3,23.2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩所以2C 与3C 交点的直角坐标为()0,0和33,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭. (2)曲线1C 的极坐标方程为(R,0)θαρρ=∈≠，其中0απ<„.因此A 的极坐标为(2sin ,)αα，B 的极坐标为(23cos ,)αα． 所以|||2sin 23cos |4sin 3AB πααα⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭. 当56πα=时，||AB 取得最大值，最大值为4. 23.解：(1)当1x <-时，()2(1)(2)3(3,)f x x x x =-+--=-∈+∞； 当12x -<„时，()2(1)(2)4[3,6)f x x x x =+--=+∈； 当2x …时，()2(1)(2)3[6,)f x x x x =++-=∈+∞． 综上，()f x 的最小值3m =.(2)证明：因为a 、b 、c 均为正实数，且满足3a b c ++=，,. 所以222222()b c a b c a a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2()a b c =++…， 当且仅当1a b c ===时，取“＝”， 所以222b c a a b c a b c++++…， 即2223b c a a b c ++….。
2020届广东省六校联盟高三上学期第一次联考数学(理)试题(解析版)
2020届六校联高三第一次联考试题理科数学一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设()()24f x x x x R =-∈，则()0f x >的一个必要而不充分的条件是( )A. 0x <B. 04x x <<或C. 11x ->D. 23x ->【答案】C 【解析】由()0f x >可得0x <或4x > ，所以，0x <是()0f x >的充分不必要条件；0x <或4x >是()0f x >的充要条件；由11x -> 得0x <或2x >，所以11x ->是()0f x >的一个必要而不充分的条件，由23x ->得，1x <-或5x >， 所以23x ->是()0f x >充分不必要条件，故选C.【方法点睛】本题通过不等式的解集主要考查充分条件与必要条件，属于中档题.判断充要条件应注意：首先弄清条件p 和结论q 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试,p q q p ⇒⇒.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题. 2.设复数z 满足1+z1z-=i ，则|z|=( )A. 1B.C.D. 2【答案】A 【解析】试题分析：由题意得，1(1)(1)1(1)(1)i i i z i i i i ---===++-，所以1z =，故选A. 考点：复数的运算与复数的模. 【此处有视频，请去附件查看】3.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，其中正确的是( )A. 42130r r r r <<<<B. 24130r r r r <<<<C. 24310r r r r <<<<D. 42310r r r r <<<< 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，进而可得出结果.【详解】根据散点图的特征，数据大致呈增长趋势的是正相关，数据呈递减趋势的是负相关；数据越集中在一条线附近，说明相关性越强，由题中数据可知：(1)(3)为正相关，(2)(4)为负相关；故1300r r >>，；2400r r <<，； 又(1)与(2)中散点图更接近于一条直线，故13r r >，24r r <， 因此，24310r r r r <<<<. 故选C【点睛】本题主要考查相关系数，根据散点图的特征进行判断即可，属于基础题型. 4.已知函数2()2cos f x x x =+，若'()f x 是()f x 的导函数，则函数'()f x 的图象大致是( )A. B.C. D.【答案】A 【解析】试题分析：函数2()2cos f x x x =+，则其导函数为.因为，即导函数为奇函数，，即在实数范围内恒有，所以在实数范围内恒为增函数，观察图像，只有选项A 满足条件，故正确选项为A. 考点：导函数以及函数的图象.【方法点睛】本题主要考察函数的性质与图像的关系，首先要求得函数的解析式，再求函数的基本性质，包括奇偶性，单调性，函数值的(正负)，以及一些特殊的点，通过这些条件结合选项，进行排除，对于较复杂的函数，经常利用导函数的性质来判断函数的单调性，本题中整式利用导函数求得函数在原点附近的单调性.5.已知函数32()4f x x ax =-+-在2x =处取得极值，若[1,1]m ∈-，则()f m 的最小值为( ) A. 4- B. 2- C. 0 D. 2【答案】A 【解析】 【分析】令导函数当2x =时为0，列出方程求出a 值，利用导数求出()f m 的极值，判断极小值且为最小值． 【详解】解：2()32f x x ax '=-+Q，函数32()4f x x ax =-+-在2x =处取得极值，1240a ∴-+=，解得3a =，2()36f x x x '∴=-+，∴当[1,1]m ∈-时，32()34f m m m =-+-，2()36f m m m '=-+，令()0f m '=得0,2m m ==(舍去)， 由于10,()0,()m f m f m '-≤<<递减，01,()0,()m f m f m '<≤>递增．所以0m =时，()f m 取极小值，也为最小值，且为−4． 故答案为：−4． 故选：A.【点睛】本题考查了利用导数求单调区间和极值，以及求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间[,]a b 上的最大值与最小值是通过比较函数在(,)a b 内所有极值与端点函数(),()f a f b 比较而得到的，是中档题． 6.正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中E 为棱BB 1的中点(如图)，用过点A ，E ，C 1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的左视图为( )A. B. C. D.【答案】C 【解析】试题分析：如图补全过的平面，将上半部分切去，所以左视图如C 选项，故选C.考点：三视图7.已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于A 、B 两点.若AB 的中点坐标为()1,1-，则E 的方程为( )A. 2214536x y +=B. 2213627x y +=C. 2212718x y +=D. 221189x y +=【答案】D 【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的斜率 101132k --==- ，2211222222221{1x y a bx y a b+=+= ，两式相减得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+= ，即()()()()121222221212111120022y y y y a b x x x x a b +-+=⇔+⨯⨯=+-- ，即222a b = ，22229,c a b c ==+ ，解得：2218,9a b == ，方程是221189x y +=，故选D.【此处有视频，请去附件查看】8.函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ上是减函数，则a 的取值范围是( ) A. (2,4) B. (],2-∞ C. (],4-∞D. [)4,+∞ 【答案】B 【解析】试题分析：∵2()cos 2sin 12sin sin f x x a x x a x =+=-+，令sin t x =，由(,)62x ππ∈得1(,1)2t ∈，依题意有2()21g t t at =-++在1(,1)2t ∈是减函数，∴142a ≤，即2a ≤，故选B ． 考点：同角三角函数的基本关系式及二次函数的单调性.9.某校高三年级有男生220人，学籍编号为1，2，…，220；女生380人，学籍编号为221，222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈，则这3人中既有男生又有女生的概率是( ) A.15B.310C.710D.45【答案】D 【解析】 【分析】解：由题意，得到抽到的10人中，有男生4人，女生6人，再从这10位学生中随机抽取3人座谈，可求出基本事件总数，然后求出3人中既有男生又有女生包含的基本事件个数，进而可求出3人中既有男生又有女生的概率．【详解】解：由题意，得到抽到的10人中，有男生4人，女生6人， 再从这10位学生中随机抽取3人座谈， 基本事件总数310120n C ==，3人中既有男生又有女生包含的基本事件个数333104612042096C C C --=--=，3人中既有男生又有女生的概率9641205m p n ===． 故选：D ．【点睛】本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等可能事件概率计算公式的合理运用． 10.关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x 、y 都小于1的正实数对(),x y ；再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形三边的数对(),x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是35m =，那么可以估计π的值约为( ) A.227B.4715C.5116D.196【答案】D 【解析】【分析】依题意，x 、y 与1能构成钝角三角形，即221x y +<，即点(),x y 落在图中在第一象限正方形内的阴影区域，代入计算即可． 【详解】解：依题意，x 、y 与1能构成钝角三角形，即2211x y x y ⎧+<⎨+>⎩，即点(),x y 落在图中在第一象限正方形内的阴影区域，所以112042m π=-， 当35m =时，有11203542π=-， 得196π=．故选：D ．【点睛】本题考查了随机模拟法求圆周率的问题，也考查了几何概率的应用问题，是基础题．11.已知数列{}n a 满足1=1a ，*1=2()n n n a a n N +⋅∈，则2019S 等于( )A. 201921-B. 1010323⨯-C. 101123-D. 1010322⨯-【答案】C 【解析】 【分析】由1=2n n n a a +⋅得：11=2n n n a a --⋅，两式相除，可得数列{}n a 奇数项和偶数项均为等比数列，分奇数项和偶数项讨论，分别求出通项公式，进而可求2019S . 【详解】解：*1=2()nn n a a n N +⋅∈Q ，故1*1=2(2,)n n n a a n n N --⋅≥∈,两式相除得：111222nn n n a a +--==， 故数列{}n a 的奇数项和偶数项均为公比为2的等比数列，()(2019132019242018)S a a a a a a ∴=++⋯+++++L()()10101009121111a q a q qq--=+--()10091010212121212--=+-- 101010102122=-+-101123=-故选：C.【点睛】本题考查利用数列的递推式求解数列的性质，重点考查了等比数列前n 公式的运用，考查了分组求和，是中档题.12.已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,3]-上的最大值为M ，最小值为m ，则M m +=( ) A. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】 【分析】把已知函数变形，可得21()(1)1]sin(1)11f x x x x ⎡=---++⎣- ，令21()(1)sin(1)sin(1)1g x x x x x =----+-，结合(2)()0g x g x -+=，可得()g x 关于(1,0)中心对称，则()f x 在[1,3]-上关于(1,1)中心对称，从而求得M m +的值． 【详解】解：∵221()(2)sin(1)(1)1]sin(1)111x f x x x x x x x x ⎡=--+=---++⎣-- 令21()(1)sin(1)sin(1)1g x x x x x =----+-， 而21(2)(1)sin(1)sin(1)1g x x x x x-=----+-，∴(2)()0g x g x -+=，则()g x 关于(1,0)中心对称，则()f x 在[1,3]-上关于(1,1)中心对称．∴2M m +=． 故选：B ．【点睛】本题考查函数在闭区间上的最值，考查函数奇偶性性质的应用，考查数学转化思想方法，属中档题．二、填空题：13.1||-1x e dx ⎰值为______．【答案】22e -. 【解析】 【分析】由||x y e =是偶函数可得11||-12x x e dx e dx =⎰⎰，再用微积分基本定理求定积分即可.【详解】解：因为||x y e =是偶函数，11||1100-122|2()2(1)x x x e dx e dx e e e e ∴===-=-⎰⎰， 故答案为：22e -【点睛】本题考查定积分的计算，关键是利用被积函数是偶函数来解决问题，是基础题. 14.已知{}n a 、{}n b 都是等差数列，若110+=9a b ，38+=15a b ，则56+=a b ______． 【答案】21. 【解析】 【分析】由等差数列的性质可知()15610382a a b b a b +++=+，代入即可求解 【详解】解：∵{}n a 、{}n b 都是等差数列， 若110+=9a b ，38+=15a b ，又∵()1561038230a a b b a b +=+=++，()561103030921a b a b ∴+=-+=-=，故答案为：21.【点睛】本题主要考查了等差数列的性质的简单应用，属于基础试题15.抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221y x -=相交于,A B 两点，若△ABF 为等边三角形，则p ＝ .【答案】【解析】试题分析:抛物线的准线方程为2px =-,设,A B 两点的纵坐标为,A B y y ,由双曲线方程可知22214ABp y y ==+,焦点到准线的距离为p .AB p =,p =,可得p =故答案应填考点：1.抛物线的标准方程与几何性质；2.双曲线的标准方程与几何性质.【思路点晴】本题主要考查抛物线的标准方程与几何性质,双曲性的标准方程与几何性质.本题的关键是找出关于p 的方程.将抛物线的准线与双曲线结合,又转化为直线与双曲线的位置关系的问题. (对于直线与双曲线(圆锥曲线)的位置关系.常用到设而不求的数学思想方法,即假设直线与双曲线(圆锥曲线)的交点坐标,利用韦达定理,弦长公式来构造等式).再运用数形结合,利用等边三角形的牲征得出关于p 的方程.16.在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图A 所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士•帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形，近年来，国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”() Chinese triangle ，如图A .17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”，如图B .在杨辉三角中，相邻两行满足关系式：111r r r n n n C C C ++++=，其 中n 是行数，r N ∈.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是__________．【答案】111112121111rr r n n n n n n C C C C C C ++++++=+ 【解析】分析：这是一个考查类比推理的题目，解题的关键是仔细观察图中给出的莱布尼茨三角形，并从三解数阵中，找出行与行之间数的关系，探究规律并其表示出来．详解：类比观察得，将莱布尼茨三角形的每一行都能提出倍数111n C +，而相邻两项之和是上一行的两者相拱之数，所以类比式子111r r r n n n C C C ++++=，有111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+． 故答案为111112121111r r r n n n n n n C C C C C C ++++++=+． 点睛：这是一道新运算类的题目，其特点一般是“新”而不“难”，处理的方法一般为：根据新运算的定义，将已知中的数据代入进行运算，易得最终结果．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. (一)必考题：17.已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，向量m u r ＝(cos B ，cos C )，n r＝(2a ＋c ，b )，且m u r ⊥n r． (1)求角B 的大小；(2)若b a ＋c 的范围．【答案】(1)23π(2)2]． 【解析】 【分析】(1)利用平面向量的数量积运算法则列出关系式，利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，求出cos B 的值，即可确定出B 的度数；(2)由b 及cos B 的值，利用余弦定理列出关系式，再利用基本不等式求出a +c 的最大值，最后利用三角形两边之和大于第三边求出a +c 的范围即可．【详解】(1)∵m u r ＝(cos B ，cos C )，n r ＝(2a ＋c ，b )，且m u r ⊥n r．∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，∴cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0，∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0．即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A ． ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12．∵0＜B ＜π，∴B ＝23π．(2)由余弦定理得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 23π＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2-22a c +⎛⎫ ⎪⎝⎭＝34 (a ＋c )2，当且仅当a ＝c 时取等号．∴(a ＋c )2≤4，故a ＋c ≤2．又a ＋c >b a ＋c ∈2]．即a ＋c 的取值范围是2]．【点睛】此题考查了正弦、余弦定理，基本不等式的运用，熟练掌握定理是解本题的关键． 18.某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择； 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束.若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖，规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，获得奖金1000元；若未中奖，则所获奖金为0元. 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获奖金400元.(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，试比较哪个方案更划算？ 【答案】(1)详见解析；(2)选甲方案.【解析】 试题分析：(1)由题意可知X 的取值可以是0,500,1000 ，结合题意求解相应的概率即可求得分布列； (2)利用(1)中的结论结合题意求解相应的数学期望，选择期望值更大的数值即可确定选择的方案. 试题解析：(1)()141170552525P X ==+⨯⨯=， ()412500525P X ==⨯=， ()4148100052525P X ==⨯⨯=.所以某员工选择方案甲进行抽奖所获金X (元)的分布列为：(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获得奖金X 的均值()285001000520525E X =⨯+⨯=， 若选择方案乙进行抽奖中奖次数23,5B ξ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，则()26355E ξ=⨯=， 抽奖所获奖金X 的均值()()()400400480E X E E E ξξ===，故选择方案甲较划算.点睛：离散型随机变量的分布列指出了随机变量X 的取值范围以及取各值的概率；要理解两种特殊的概率分布——两点分布与超几何分布；并善于灵活运用两性质：一是p i ≥0(i ＝1,2，…)；二是p 1＋p 2＋…＋p n ＝1检验分布列的正误．19.如下图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥面ABCD ，//AB DC ，AB AD ⊥，6DC =，8AD =，10BC =，45PAD ∠=o ，E 为PA 的中点．(1)求证：//DE 面PBC ；(2)线段AB 上是否存在一点F ，满足CF DB ⊥？若存在，试求出二面角F PC D --的余弦值；若不存在，说明理由．【答案】(1)见解析；(2)存在点F ，满足CF DB ⊥,二面角F PC D --的余弦值为817． 【解析】【详解】试题分析：(1)要证//DE 平面PBC ，只要在平面PBC 内找到一条直线与DE 平行即可，取PB的中点M ,构造平行四边形CDAN 即可证明；(2)以,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，写出点,,,A B C D 的坐标，假设AB 上存在一点F 使CF BD ⊥，利用空间向量知识可得到在AB上存在点F 满足条件，平面DPC 的一个法向量为(1,0,0)DA =u u u r，再求出平面FPC 的法向量，即可求二面角F PC D --的余弦值．试题解析：(1)取PB 的中点M ，连EM 和CM ，过C 点作CN AB ⊥，垂足为N ∵CN AB ⊥，DA AB ⊥，∴//CN DA ，又//AB CD ∴四边形CDAN 为平行四边形，∴8,6CN AD DC AN ====，在直角三角形BNC 中，22221086BN BC CN =-=-=∴12AB =，而,E M 分别为,PA PB 的中点， ∴//EM AB 且6EM =，又//DC AB∴//EM CD 且EM CD =，四边形CDEM 为平行四边形， ∴//DE CMCM ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ，∴//DE 平面PBC ．(2)由题意可得，,,DA DC DP 两两互相垂直，如图，以,,DA DC DP 分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，则，假设AB 上存在一点F 使CF BD ⊥，设F 坐标为，则，由(1,0,0)DA =u u u r，得，又平面DPC 的一个法向量为(1,0,0)DA =u u u r设平面FPC 的法向量为(8,12,9)n =r又，，由，得，即不妨设，有则又由法向量方向知，该二面角为锐二面角， 故二面角F PC D --的余弦值为．考点：1.直线与平面平行的判定与性质；2.空间向量的应用． 20.已知动圆P 经过点()1,0N ，并且与圆()22:116.M x y ++=相切.(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设(),0G m 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A,B 两点，当k 为何值时？22||||GA GB ω=+ 是与m 无关的定值，并求出该值定值.【答案】(1)22143x y +=(2)7.【解析】 【分析】(1)由题意可得点P 的轨迹C 是以M 、N 为焦点的椭圆，求出半长轴及半焦距的长度，再由隐含条件求得b ，则椭圆方程可求；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，G (m ，0)(﹣2＜m ＜2)，直线l ：y ＝k (x ﹣m )，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系求得A ，B 的横坐标与纵坐标的和与积，再由ω＝|GA |2+|GB |2是与m 无关的定值求得k ，进一步得到该定值．【详解】解：(1)由题设得：|PM |+|PN |＝4， ∴点P 的轨迹C 是以M 、N 为焦点的椭圆， ∵2a ＝4，2c ＝2，∴b =，∴椭圆方程为22143x y +=；(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，G (m ，0)(﹣2＜m ＜2)，直线l ：y ＝k (x ﹣m )，由()22143y k x m x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，得(3+4k 2)x 2﹣8k 2mx +4k 2m 2﹣12＝0，22212122284124343mk k m x x x x k k -+=⋅=++，， ∴()()()12121226243mky y k x m k x m k x x km k +=-+-=+-=+．()()()()22222221212121223443k m y y k x m x m k x x k m x x k m k -⋅=--=-++=+．∴()22222222211221212121212||()()()222()2GA GB x m y x m y x x x x m x x m y y y y +=-++-+=+--++++-()()()()222222643243143m k k k k--++=++．∵ω＝|GA |2+|GB |2的值与m 无关，∴4k 2﹣3＝0，解得k =．此时ω＝|GA |2+|GB |2＝7． 【点睛】本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，体现了“设而不求”的解题思想方法与待定系数法，是中档题．21.设函数2()ln (1)f x ax x b x =+-，曲线()y f x =过点2(,1)e e e -+，且在点(1,0)处的切线方程为0y =.(1)求,a b的值；(2)证明：当1x ≥时，2()(1)f x x ≥-；(3)若当1x ≥时，2()(1)f x m x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】(1)1,1a b ==-；(2)详见解析；(3)32m ≤. 【解析】 【分析】(1)根据导数几何意义得()10f '=，再结合()21f e e e =-+ 联立方程组，解得,a b 的值；(2)即证明差函数()22ln g x x x x x =+-的最小值非负，先求差函数的导数，为研究导函数符号，需对导函数再次求导，得导函数最小值为零，因此差函数单调递增，也即差函数最小值为()10g =，(3)令函数()()22ln 11h x x x x m x =---+，因为()10h =，所以()min 0h x =.先求差函数导数，再求导函数的导数得()2ln 32h x x m '+'=- ，所以分33,22m m ≤>进行讨论：当32m ≤时，()()()()()01010h x h x h h x h ≥⇒≥⇒'=≥''='满足题意；当32m >时，能找到一个减区间，使得()()10h x h <=不满足题意.【详解】(1)由题意可知，()()2ln 1f x ax x b x =+-定义域为()0,,,x x o >∈∞即()2ln ,(0)f x ax x ax b x =++>'，()10f a b ='+=Q ，()()()222111f e ae b e a e e e e =+-=-+=-+1,1a b ∴==-．(2)()2ln 1f x x x x =-+，设()22ln g x x x x x =+-，()1x ≥，()2ln 1g x x x x =-+'由()()'2ln 10g x x +'=>，()g x '在[)1,+∞上单调递增，∴()()10g x g ''≥=，()g x 在[)1,+∞上单调递增，()()10g x g ≥=．∴()()21f x x ≥-．(3)设()()22ln 11h x x x x m x =---+,()1x ≥，()()2ln 211h x x x x m x =+---'，由(2)中知()()22ln 111x x x x x x ≥-+-=-，ln 1x x x ≥-，∴()()()()()3121321h x x m x m x ≥---=--'， 当320m -≥即32m ≤时，()0h x '≥， 所以()h x 在[)1,+∞单调递增，()()10h x h ∴≥=，成立． ②当320m -<即32m >时，()()()2ln 121h x x x m x +-'=- ()'()2ln 32h x x m +'=-，令()()'0h x '=，得2321m x e-=>，当[]01,x x ∈时，()h x '单调递减，则()()1h x h '<'，所以()h x 在[)01,x 上单调递减，所以()()10h x h <=，不成立． 综上，32m ≤． 【点睛】本题主要考查了导数的综合应用问题，利用导数研究函数的单调性从而得到函数的最值即可证明不等式，对于恒成立问题，一般采用变量分离的方式将参数与函数的最值比较，属于难题.(二)选考题：请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分. [选修4―4：坐标系与参数方程]22. 选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中,曲线1cos ,:{sin ,x t C y t αα==(t 为参数,且0t ≠),其中0απ≤<,在以O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线23:2sin ,:23cos .C C ρθρθ== (Ⅰ)求2C 与3C 交点的直角坐标；(Ⅱ)若1C 与2C 相交于点A,1C 与3C 相交于点B,求AB 最大值.【答案】(Ⅰ)()330,0,,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭；(Ⅱ)4.【解析】(Ⅰ)曲线2C 的直角坐标方程为2220x y y +-=，曲线3C 的直角坐标方程为22230x y x +-=．联立222220,{230,x y y x y x +-=+-=解得0,{0,x y ==或3,2{3,2x y ==所以2C 与1C 交点的直角坐标为(0,0)和33(,)22． (Ⅱ)曲线1C 的极坐标方程为(,0)R θαρρ=∈≠，其中0απ≤<．因此A 得到极坐标为(2sin ,)αα，B的极坐标为．所以2sin 23AB αα=-4()3sin πα=-，当56πα=时，AB 取得最大值，最大值为4．考点：1、极坐标方程和直角坐标方程的转化；2、三角函数的最大值． 【此处有视频，请去附件查看】[选修4―5：不等式选讲]23.已知函数()2|1||2|f x x x =++-的最小值为m . (1)求m 的值； (2)若a 、b 、c 均正实数，且满足a b c m ++=，求证：2223b c a a b c++≥.【答案】(1)3； (2)证明见解析. 【解析】【分析】(1)讨论x 的取值，去掉函数()f x 的绝对值，求出()f x 的最小值m ；(2)根据3a b c m ++==，利用基本不等式求出222()b c a a b c a b c+++++的最小值，即可证明结论成立．【详解】(1)当1x <-时，()2(1)(2)3(3,)f x x x x =-+--=-∈+∞； 当12x -<„时，()2(1)(2)4[3,6)f x x x x =+--=+∈；当2x …时，()2(1)(2)3[6,)f x x x x =++-=∈+∞． 综上，()f x 的最小值3m =.(2)证明：因为a 、b 、c 均为正实数，且满足3a b c ++=， 所以222222()b c a b c a a b c a b c a b c a b c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++=+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭2()a b c =++…，当且仅当1a b c ===时，取“＝”，所以222b c a a b c a b c ++++…，即2223b c a a b c++….【点睛】本题考查了求含绝对值函数的最小值问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目，难度较大．。
2020届广东省高三第一次教学质量检测数学(理)试题(解析版)
2020届广东省高三第一次教学质量检测数学（理）试题一、单选题1．设全集为R ，集合{}236M x x =>，{}38N y y =-≤≤，则()R M N =ð（ ）A ．(]3,6-B ．[]3,6-C ．∅D ．(]6,8 【答案】B【解析】解出集合M 、N ，然后利用补集和交集的定义可得出集合()R M N ð【详解】{}{2366M x x x x =>=<-或}6x >，故{} 66R M x x =-≤≤ð，因此，()[] 3,6R M N =-ð.故选：B. 【点睛】本题考查补集和交集的混合运算，同时也考查了一元二次不等式的解法，考查计算能力，属于基础题.2．sin 300cos600=（ ）A ．14B C ．14-D ．【答案】B【解析】根据诱导公式并结合特殊角的三角函数值可得出结果. 【详解】 原式()()()()sin300cos600sin 36060cos 720120sin 60cos 120==--=--=1224⎛⎛⎫-⋅-= ⎪ ⎝⎭⎝⎭， 故选：B. 【点睛】本题考查利用诱导公式求值，在利用诱导公式求值时，要理解“奇变偶不变，符号看象限”这个规律，考查计算能力，属于基础题.3．已知2()()f x x n =-，[21,21)()x n n n Z ∈-+∈，则(2019)f =（ ）A ．21008B ．21009C ．21010D ．21011【答案】B【解析】先由[21,21)()x n n n Z ∈-+∈与(2019)f 中2019x =可分析得n ,再计算(2019)f 即可.【详解】由2019210101=⨯-,可得22(2019)(20191010)1009f =-=,故选:B 【点睛】本题主要考查对奇数表达式的理解,注意21,21n n -+均为奇数.4．已知7log 10a =，2log b =c = ） A ．b c a >> B ．a c b >>C ．a b c >>D ．b a c >>【答案】C【解析】比较a 、b 、c 与1的大小关系，然后将a 利用换底公式化为8log 10a =，可比较出a 与b 的大小关系，从而可得出a 、b 、c 的大小关系. 【详解】77log 10log 71a =>=，由换底公式可得32882log log 10log 10log 81b ===>=，7lg10log 10lg 7a ∴==，8lg10log 10lg8b ==，lg8lg 70∴>>，lg100>，lg10lg10lg 7lg8∴>，则1a b >>，而1c =<，因此，a b c >>. 故选：C. 【点睛】本题考查对数与指数的大小比较，解题时应充分利用指数函数与对数函数的单调性并结合中间值法得出各数的大小关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5．若某圆锥的主视图是顶角为120的等腰三角形，若该圆锥的侧面积等于，则其母线长为（ ）A ．1B ．2CD ．【答案】D【解析】设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，由正弦定理可得出2r l =，然后利用圆锥的侧面积公式可求出圆锥的母线长. 【详解】设圆锥母线长为l ，则底面圆的半径为r ，由于圆锥的主视图是顶角为120的等腰三角形，由正弦定理得2sin 30sin120l r =，可得出r =，则圆锥的侧面积为2rl l l ππ=⨯==，解得l =.因此，圆锥的母线长为故选：D. 【点睛】本题考查利用圆锥的侧面积计算圆锥的母线长，解题时要由主视图得出母线长和半径的等量关系，考查运算求解能力，属于中等题.6．已知函数()f x =）A ．函数()f x 的对称轴为32x =，且在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 B ．函数()f x 的对称轴为32x =，且在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增 C ．函数()f x 的对称中心为3,02⎛⎫⎪⎝⎭，且在30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增D ．函数()f x 的对称中心为3,2⎛ ⎝，且在3,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增【答案】A【解析】由()f x =6226x x -+=为常数,故可以考虑到利用函数对称性,再计算对称轴与区间端点处的函数值考查单调性进行排除.【详解】 依题意,620x x -≥⎧⎨≥⎩,解得03x ≤≤,因为3322f x f x ⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故函数()f x 的对称轴为32x =,排除C 、D ；因为32f ⎛⎫= ⎪⎝⎭,(3)f =故3(3)2f f ⎛⎫> ⎪⎝⎭,排除B, 故选:A ． 【点睛】若函数()f x 满足()()f a x f a x +=-则函数()f x 关于x a =对称. 7．函数|sin |()e x f x x =⋅的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先判断奇偶性,再分别代入3,,22πππ进行排除即可. 【详解】依题意,x ∈R ,|sin()||sin |()ee ()x xf x x x f x --=-⋅=-⋅=-,故函数()f x 为奇函数, 图象关于原点对称,排除C ；而|sin |()e5f ππππ=⋅=<,排除B ； 而3sin 2333e e 222f ππππ⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭,|sin |(2)2e 2f ππππ=⋅=,故3(2)2f f ππ⎛⎫> ⎪⎝⎭,排除D,故选:A ． 【点睛】判断图像的问题,可以考虑判断单调性、代入图像中有的横坐标的点进行分析排除即可. 8．如图网格纸中小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）A ．78π++B ．74π++C ．58π++D ．54π++【答案】C【解析】根据三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体，并且三棱柱的上底面被遮掉，并计算出各面的面积，相加即可得出该几何体的表面积. 【详解】由三视图可知，该几何体为一个八分之一球与一个三棱柱拼接而成的几何体，故所求的表面积为(22114223425884πππ⨯⨯+⨯⨯⨯++⨯=++， 故选：C. 【点睛】本题考查由三视图计算几何体的表面积，解题时要还原几何体的实物图，结合简单几何体的表面积公式进行计算，考查空间想象能力与计算能力，属于中等题. 9．边长为2的正方形ABCD 中，12DE EC =，35AF AD =，则AE BF ⋅=（ ） A ．1315B ．65C ．1615 D ．1415【答案】C【解析】由题中正方形ABCD 可考虑用建立平面直角坐标系的方法进行求解. 【详解】以A 为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,则(0,0)A ,2,23E ⎛⎫⎪⎝⎭,(2,0)B ,60,5F ⎛⎫⎪⎝⎭, 故2,23AE ⎛⎫=⎪⎝⎭,62,5BF ⎛⎫=- ⎪⎝⎭,则412163515AE BF ⋅=-+=,故选:C ．【点睛】本题主要考虑建立平面直角坐标系的方法进行向量求解的问题. 10．将函数()sin f x x x ωω=()0ω>的图象向右平移3π个单位，平移后的图象关于y 轴对称，则()f x 周期的最大值为（ ）A ．45π B ．65π C ．54π D ．56π 【答案】A【解析】利用辅助角公式将函数()y f x =的解析式化简为()2sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，求出平移后的解析式，根据题意得出ω的表达式，求出正数ω的最小值，即可得出函数()y f x =周期的最大值.【详解】依题意，()2sin 3f x x πω⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向右平移3π个单位长度得到函数为2sin 333f x x ππωπω⎛⎫⎛⎫-=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 则332k πωπππ-=+()k Z ∈，故132k ω=--()k Z ∈，当1k =-时，正数ω取最小值52. 因此，函数()y f x =周期的最大值为55224T ππ==. 故选：A. 【点睛】本题考查正弦型函数周期的计算，同时也考查了三角函数图象平移变换以及正弦型函数的对称轴，解题的关键就是求出ω的表达式，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.11．已知函数32(2),0()11,024a x x ax a x f x x -⎧-+≤⎪=⎨⎛⎫+>⎪ ⎪⎝⎭⎩若函数()f x 在R 上单调递增，则实数a 的取值范围为（ ） A ．30,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．10,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[0，2）D ．50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】D【解析】由题得()f x 在R 上单调递增,故考虑(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增,32x ax a -+在(],0-∞上单调递增.且当0x =时,(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭的值大于等于32x ax a -+的值.【详解】因为函数()f x 在R 上单调递增,首先(2)1124a xy -⎛⎫=+⎪⎝⎭在(0,)+∞上单调递增,故20a -<,则2a <①；其次32y x ax a =-+在(],0-∞上单调递增,而()23232y x ax x x a '=-=-,令0y '=,故0x =或23a x =,故203a≥,即0a ≥②；最后,当0x =时,54a ≤③；综合①②③,实数a 的取值范围为50,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 故选：D ． 【点睛】本题主要考查分段函数的单调性,主要注意每段函数上满足单调性,且区间分段处左右两段的函数值也要满足单调性. 12．函数()cos cos 23f x x x x π⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在[]0,π上的值域为（ ）A ．1,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．[]1,1-C ．[]1,3-D ．[]2,1-【答案】C【解析】利用辅助角公式可将函数()y f x =的解析式化简为()22sin 12sin 66f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，换元sin 6t x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，由[]0,x π∈，可得出[]0,1t ∈，于是将问题转化为二次函数2221y t t =+-在区间[]0,1上的值域求解，利用二次函数的基本性质可得出结果. 【详解】由()2cos cos 22sin 12sin 366f x x x x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+=+-++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设sin 6t x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，[]0,x π∈，则7666x πππ≤+≤，可得1sin 126x π⎛⎫-≤+≤ ⎪⎝⎭，[]0,1t ∴∈，二次函数2221y t t =+-图象的开口方向向上，对称轴为直线12t =-，所以，二次函数2221y t t =+-在区间[]0,1上单调递增，当0t =时，min 1y =-，当1t =时，max 3y =， 因此，函数()y f x =在[]0,π上的值域为[]1,3-. 故选：C. 【点睛】本题考查三角函数的值域问题，同时也考查了二倍角余弦公式的应用，解题的关键就是将问题转化为二次函数在定区间上的值域问题求解，考查化归与转化思想的应用，属于中等题.二、填空题13．已知平面向量()2,3m =-，()6,n λ=.若m n ⊥，则n =r______.【答案】【解析】由m n ⊥得出0m n ⋅=，利用平面向量数量积的坐标运算可求出实数λ的值，然后利用平面向量模的坐标运算可求出n r的值.【详解】依题意，0m n ⋅=，则1230λ-=，解得4λ=，则()6,4n =，故361613n =+故答案为：【点睛】本题考查利用坐标处理向量垂直的问题，同时也考查了平面向量模的坐标运算，考查运算求解能力，属于基础题.14．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足当0x >时，()3ln f x x x=-，则曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为______.【答案】4【解析】利用奇函数的定义求出函数()y f x =在(),0-∞上的解析式，然后利用导数可求出()1f '-的值，即为所求结果. 【详解】当0x >时，()3ln f x x x=-，由于函数()y f x =为奇函数， 当0x <时，0x ->，则()()()()()33ln ln f x f x x x x x ⎡⎤=--=---=---⎢⎥-⎢⎥⎣⎦， 此时，()()()2231311f x x x x x '=-⋅-=--，()11341f '∴-=-=-. 因此，曲线()y f x =在点()()1,1f --处的切线斜率为4. 故答案为：4. 【点睛】本题考查利用导数求切线的斜率，同时也考查了利用奇偶性求函数的解析式，考查计算能力，属于中等题.15．函数()sin 22cos f x x x =+，,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭的最大值是______.【答案】2【解析】利用导数求出函数()y f x =的极值点，并利用导数分析函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，可得出函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的最大值. 【详解】()sin 22cos 2sin cos 2cos f x x x x x x =+=+，()()()2222cos 2sin 2sin 4sin 2sin 22sin 12sin 1f x x x x x x x x '=--=--+=-+-，当22x ππ-<<时，1sin 1x -<<，则0sin 12x <+<.令()0f x '=，得1sin 2x =，当22x ππ-<<时，6x π=. 所以当,26x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，()0f x '>；当,62x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<.故函数()y f x =在,26ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增，在,62ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减. 因此，当6x π=时，函数()y f x =取得最大值，即()max 622f x f π⎛⎫=== ⎪⎝⎭.故答案为：2. 【点睛】本题考查利用导数求正弦型函数的最值，解题时要熟悉导数与最值的基本关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.16．三棱锥P ABC -中，点P 到A 、B 、C 三点的距离均为8，PA PB ⊥，PA PC ⊥，过点P 作PO ⊥平面ABC ，垂足为O ，连接AO ，此时cos PAO ∠=，则三棱锥P ABC -外接球的体积为______.【答案】【解析】先证明出PA ⊥平面PBC ，根据cos PAO ∠=计算出AD 、BD ，并证明出点D 为BC 的中点，可得出BC ，利用勾股定理可证明出PB PC ⊥，然后构造正方体模型可求出三棱锥P ABC -外接球的半径长，最后利用球体体积公式可计算出结果. 【详解】因为PA PB ⊥，PA PC ⊥，PB PC P ⋂=,故PA ⊥平面PBC ，因为8PA PB PC ===，故AB AC ==cos3PA PAO AD ∠==，AD ∴===BD ==PA ⊥平面PBC ，BC ⊂平面PBC ，BC PA ∴⊥.PO ⊥平面ABC ，BC ⊂平面ABC ，BC PO ∴⊥.PA PO P =，BC ∴⊥平面PAO ，PD ⊂Q 平面PAO ，PD BC ∴⊥，8PB PC ==，D ∴为BC 的中点，2BC BD ∴==222PB PC BC ∴+=.故PC PB ⊥，构造正方体模型可知，四面体P ABC -的外接球半径2R ==，因此，三棱锥P ABC -外接球的体积为(343V π=⨯=.故答案为：.【点睛】本题考查三棱锥的外接球体积的计算，解题的关键在于推导出线面垂直关系，并结合几何体的结构找出合适的模型计算出外接球的半径，考查推理能力与计算能力，属于中等题.三、解答题17．在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+.（1）求tan A 的值；（2）若3sin c Ba A=，且ABC ∆的面积ABC S ∆=，求c 的值.【答案】（1）tan A =；（2）c =【解析】（1）由正弦定理边角互化思想得2223b c a +-=，然后在等式两边同时除以2bc ，利用余弦定理可求出cos A 的值，利用同角三角函数的基本关系求出sin A 的值，从而可求出tan A 的值；（2）由正弦定理边角互化思想得出2b c =，然后利用三角形的面积公式可求出c 的值. 【详解】（1）因为()2223sin sin sin 3sin B C B C A +=+，故2223b c a bc +-=，222cos 23b c a A bc +-∴==，故1sin 3A ===，因此，sin 1tancos 34A A A ===；（2）因为3sin c B a A =，故3c a a=，即2b c =，ABC ∆的面积为1sin2ABCS bc A ∆==21123=，故28c =，解得c =【点睛】本题考查正弦定理边角互化思想的应用，同时也考查了三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.18．如图，菱形ABCD 所在平面与ABE ∆所在平面垂直，且5AB BE ==，3cos cos 5ABC ABE ∠=∠=.（1）求证：AB CE ^； （2）求点A 到平面CDE 的距离.【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）作EO AB ⊥，垂足为O ，连接CO ，证明出EBO CBO ∆≅∆，可得出2EOB π∠=，从而得出CO AB ⊥，再结合EO AB ⊥，利用直线与平面垂直的判定定理可证明出AB ⊥平面COE ，由此可证明出AB CE ^；（2）由（1）得知OE 为三棱锥E ACD -的体积，由锥体的体积公式可求出三棱锥E ACD -的体积，由//CD AB 以及AB CE ^，可得出CD CE ⊥，可计算出CDE ∆的面积，并设点A 到平面CDE 的距离为h ，由等体积法可计算出点A 到平面CDE 的距离. 【详解】（1）作EO AB ⊥，垂足为O ，连接CO ，由3cos cos 5ABC ABE ∠=∠=，BE BC =，BO BO =，可得EBO CBO ∆≅∆， 所以2COB EOB π∠=∠=，CO AB ∴⊥，因为COEO O =，所以AB ⊥平面COE ，因为CE ⊂平面COE ，所以AB CE ^；（2）由（1）知，OE ⊥平面ABCD ，所以OE 是三棱锥E ACD -的高，且4OE =， 由5AD CD ==，3cos cos 5ADC ABC ∠=∠=，得4in 5s ADC ∠=， 所以ADC ∆的面积11sin 102S AD DC ADC =⋅∠=， 三棱锥E ACD -的体积1114033V OE S =⋅=，由（1）知，AB CE ^，又//AB CD ，所以CD CE ⊥，由4OC OE ==，OC OE ⊥，可得CE =，因为5CD =，所以CDE ∆的面积212S CD CE =⋅=设点A 到平面CDE 的距离为h ，则三棱锥A CDE -的体积22133V h S =⋅=，由21V V =403=，h =A 到平面CDE 的距离为【点睛】本题考查异面直线垂直的证明，同时也考查了点到平面距离的计算，一般利用等体积法计算出三棱锥的高，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19．如图所示，三棱柱111ABC A B C -中，CAB CBA ∠=∠，E 、F 分别是AB 、1CC的中点.（1）求证：//CE 平面1B AF ；（2）若1AA ⊥平面ABC ，11A E B C ⊥，AB =，求平面1B AF 与平面1B EC 所成锐二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2【解析】（1）取1AB 的中点M ，连接EM 、MF ，证明四边形CEMF 为平行四边形，可得出//CE MF ，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出//CE 平面1B AF ； （2）证明出CE ⊥平面11ABB A ，并设4AC BC ==，以点E 为坐标原点，EB 、EC 、EM 为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，计算出平面1B AF 和平面1B EC 的法向量，然后利用空间向量法求出平面1B AF 与平面1B EC 所成锐二面角的余弦值. 【详解】（1）取1AB 的中点M ，连接EM 、MF ， 在1ABB ∆中，E 、M 分别是AB 、1AB 的中点， 则1//EM BB ，且112EM BB =， 又F 为1CC 的中点，11//CC BB ，所以1//FC BB ，112FC BB =， 从而有//EM FC 且EM FC =，所以四边形EMFC 为平行四边形，所以//CE FM . 又因为CE ⊄平面1B AF ，FM ⊂平面1B AF ，因此，//CE 平面1B AF ；（2）因为CAB CBA ∠=∠，E 为AB 的中点，所以CE AB ⊥， 又1AA ⊥平面ABC ，得1AA CE ⊥， 又因为1ABAA A =，所以CE ⊥平面11ABB A ，从而1A E CE ⊥，又因为11A E B C ⊥，1B CCE C =，所以1A E ⊥平面1B EC ，从而有11A E B E ⊥，不妨设4AC BC ==，AB =AE EB =，所以1AA AE ==由（1）知1//EM BB ，所以EM ⊥平面ABC .以E 为坐标原点，EB 、EC 、EM 为x 、y 、z 轴正方向，建立空间直角坐标系E xyz -，则()A -，(1A -，(1B ，()0,2,0C，(F .所以(1A E =-，()0,2,0C，(F .所以(1A E =-，(1AB =，(AF =.设平面1B AF 的法向量为(),,n x y z =，则100AB n AF n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，即020y ⎧+=⎪⎨++=⎪⎩，取1x =，则()1,0,2n =-.平面1B EC的法向量为(1A E =-，所以1310cos ,10A E n =， 所以平面1B AF与平面1B EC.【点睛】本题考查直线与平面平行的证明，同时也考查了二面角余弦值的求解，一般要建立空间直角坐标系，利用空间向量法来求解，考查推理能力与计算能力，属于中等题. 20．已知函数()(1)x f x x e =-．（1）若关于x 的方程()f x x λ=仅有1个实数根，求实数λ的取值范围； （2）若0x =是函数2()2()g x f x ax =-的极大值点，求实数a 的取值范围．【答案】（1）(],0-∞；（2）(1,)+∞【解析】(1)由()f x x λ=仅有1个实数根可考虑利用参变分离得(1)e xx x λ-=,再分析函数(1)()x x e m x x -=的单调性与极值最值,画出图像分析何时(1)e xx xλ-=仅有一根即可.(2)表达出2()2()g x f x ax =-的函数式,求导后再根据极值点的大小关系分a 的不同类进行讨论即可. 【详解】（1）依题意,(1)e xx x λ-=,显然0x =不是方程的根,故(1)e xx xλ-=,令(1)()xx e m x x -=,则()221e ()x x x m x x-+'=, 故函数()m x 在(,0)-∞和(0,)+∞上单调递增,且当x →-∞时,()0m x →,当x 从负方向趋于0时以及x →+∞时,()m x →+∞,当x 从正方向趋于0时,()m x →-∞, 作出函数()m x 的图象如图所示,观察可知,0λ≤,即实数λ的取值范围为(],0-∞．（2）22()2()2(1)e x g x f x ax x ax =-=--,则()()2e 22e xxg x x ax x a '=-=-．①若1a >,则当(,0)x ∈-∞时,0x <,e 1x <,e 0x a -<,所以()0g x '>；当(0,ln )x a ∈时,0x >,ln e e 0x a a a -<-=,所以()0g x '<．所以()g x 在0x =处取得极大值．②若1a ≤,则当(0,1)x ∈时,0x >,e e 10x x a -≥->,所以()0g x '>．所以0x =不是()g x 的极大值点．综上所述,实数a 的取值范围是(1,)+∞． 【点睛】(1)本题主要考查已知根的个数,利用参变分离求解的问题,需考查单调性与最值画图进行分析.(2)本题主要考查分类讨论的思想,重点是利用极值点的大小关系进行分类. 21．已知函数()()2ln 1xf x x ea x =---.（其中e 为自然对数的底数）（1）若0a =，且()f x 在(),1n n +()n N ∈上是增函数，求n 的最小值； （2）设()()f xg x x=，若对任意1x 、()20,x ∈+∞恒有()()120g x g x >，求a 的取值范围.【答案】（1）最小值是1；（2）(),2-∞.【解析】（1）将0a =代入函数()y f x =的解析式可得()2ln 1xf x xe x =--，求出导数()()2121xf x x ex'=+-，可得知函数()y f x '=在()0,∞+上为增函数，然后利用零点存在定理可知函数()y f x =在区间()0,1在存在极小值点1t ，从而得出函数()y f x =在()1,t +∞上单调递增，由此可求出自然数n 的最小值；（2）求出函数()y g x =的导数()222ln x xe x g x x+'=，构造函数()22ln xh x xe x =+，可得出函数()y h x =在()0,∞+上为增函数，由零点存在定理可知，存在21,14t ⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()20h t =，可得出22222ln 2t t t et =-，分析函数()y h x =的函数值符号可得出2t 为函数()y g x =的最小值点，并构造函数()xm x xe =，可得出222ln t t =-，由此可得出函数()y g x =的最小值为2a -，根据题意得出20a ->，从而求出实数a 的取值范围. 【详解】（1）当0a =时，()2ln 1xf x xex =--，()()()21210x f x x e x x'=+->， ()f x '在()0,∞+上是增函数，且1404f ⎛⎫'=< ⎪⎝⎭，()21310f e '=->，所以存在()10,1t ∈，使得()f x 在()10,t 上是减函数，在()1,t +∞上是增函数， 因此，n 的最小值是1；（2）()2ln 1xx g x e a x +=--，()2222ln x x e xg x x+'=， 设()222ln xh x x ex =+，则()y h x =在()0,∞+上是增函数，且()2120h e =>，1ln 4048h ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，所以存在21,14t ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()20h t =，所以()20,x t ∈时，()0h x <，()0g x '<，()y g x =是减函数；()2,x t ∈+∞时，()0h x >，()0g x '>，()y g x =是增函数，所以()()2g x g t ≥.由()20h t =得22222ln 2t t t et =-，设()xm x xe =，则()()222ln m t m t =-， 由()xm x xe =在()0,∞+上是增函数，可得222ln t t =-，2221t et =， 所以()22222222ln 12112t t t g t ea a a t t t +-+=--=--=-， 所以()g x 的值域为()2,a -+∞，若对任意()12,0,x x ∈+∞恒有()()120g x g x >， 则20a ->，即2a <，所以a 的取值范围是(),2-∞. 【点睛】本题考查利用函数的单调性求参数的值，同时与考查了利用导数研究函数不等式恒成立问题，难点在于构造新函数并结合零点存在定理验证函数极值点的存在，以及极值点所满足的条件的灵活应用，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.22．极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为2ρ=．以极点为原点，极轴为x 轴建立平面直角坐标系xOy ，直线l的参数方程为12x a y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）．（1）求曲线C 的直角坐标方程以及直线l 的普通方程；（2）若曲线C 上恰有四个不同的点到直线l 的距离等于1，求实数a 的取值范围． 【答案】（1）曲线C ：224x y +=，直线l：0x a --=；（2）22a -<<【解析】(1)根据极坐标222x y ρ=+化简曲线C .再消去直线l 的参数方程中的参数t 即可.(2)圆上恰有四个不同的点到直线l 的距离等于1的问题可转换为圆心到直线的距离1d <的问题.【详解】（1）依题意,24ρ=,代入公式222x y ρ=+,得曲线C 的直角坐标方程为224x y +=,由直线的参数方程消去参数t ,得直线l 的普通方程为0x a --=；（2）依题意可得,圆心O 到直线l ：0x a -=的距离1d <,1<,解得22a -<<． 【点睛】(1)本题主要考查极坐标的基本化简222x y ρ=+,与消去参数方程中参数的方法. (2)圆与直线的问题重点考虑圆心到直线的距离或半径的关系. 23．已知函数()124f x x x =-++． （1）求不等式()5f x ≥的解集；（2）若1m >，1n >，求证：()24f mn mn n m -+>-．【答案】（1）8,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦；（2）见解析 【解析】(1)分三段2x <-,21x -≤≤,1x >进行讨论求不等式即可. (2)代入()f mn 化简得出求证|1|||mn n m ->-,故考虑两边平方化简证明. 【详解】（1）1245x x -++≥等价于21245x x x <-⎧⎨---≥⎩或211245x x x -≤≤⎧⎨-++≥⎩或11245x x x >⎧⎨-++≥⎩, 解得83x ≤-或01x ≤≤或1x >, 所以原不等式的解集为8,[0,)3⎛⎤-∞-+∞ ⎥⎝⎦．（2）要证：()|24|||f mn mn n m -+>-, 只要证|1|||mn n m ->-,只需证22(1)()mn n m ->-,而()()22222222(1)()1110mn n m m n m n m n ---=--+=-->, 从而原不等式成立． 【点睛】本题主要考查绝对值不等式的方法,包括分情况分段讨论与平方的方法等.。
广东省六校联盟 2020届高三上学期第一次联考 (理科数学)解析版
A. x2 + y2 = 1
B. x2 + y2 = 1
C. x2 + y2 = 1
D.
45 36
36 27
27 18
x2 + y2 = 1 18 9
【答案】D
【解析】
设 A( x1, y1 ), B ( x2, y2 ) ，直线 AB 的斜= 率 k
5.已知函数 f (x) =−x3 + ax2 − 4 在 x = 2 处取得极值，若 m ∈[−1,1] ，则 f (m) 的最小值为
（）
A. −4
B. −2
C. 0
D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
Байду номын сангаас
令导函数当 x = 2 时为 0 ，列出方程求出 a 值，利用导数求出 f (m) 的极值，判断极小值且为最
.因为
，即导函数为奇函数，
，即在实数范围内恒有
，所以
在实数范围内
恒为增函数，观察图像，只有选项 A 满足条件，故正确选项为 A. 考点：导函数以及函数的图象. 【方法点睛】本题主要考察函数的性质与图像的关系，首先要求得函数的解析式，再求函数 的基本性质，包括奇偶性，单调性，函数值的（正负），以及一些特殊的点，通过这些条件结 合选项，进行排除，对于较复杂的函数，经常利用导函数的性质来判断函数的单调性，本题 中整式利用导函数求得函数在原点附近的单调性.
考点：复数的运算与复数的模.
3.某统计部门对四组数据进行统计分析后，获得如图所示的散点图，关于相关系数的比较，
-1-
其中正确的是（ ）
A. r4 < r2 < 0 < r1 < r3 B. r2 < r4 < 0 < r1 < r3 C. r2 < r4 < 0 < r3 < r1 D. r4 < r2 < 0 < r3 < r1
2020年广东省高考数学一模试卷(理科) (含答案解析)
2020年广东省高考数学一模试卷(理科)一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设全集U={0,1,2,3,4}，集合A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A∩(C U B)=()A. {0}B. {0,1,2,3,4}C. {0,1}D. {1}2.复数1+2i2−i的虚部是()A. iB. −iC. −1D. 13.若变量x，y满足约束条件{x+2y≥0x−y≤0x−2y+2≥0，则z=2x−y的最小值等于()A. −52B. −2 C. −32D. 24.若a>1，b<0，则函数y=a x+b的图象有可能是()A.B.C.D.5.函数f(x)=18x−cosx的零点个数为()A. 3B. 4C. 5D. 66.如果一个正四面体的体积为163√2dm3，则其表面积S的值为()A. 16dm2B. 18 dm2C. 18√3dm2D. 16√3dm27.某次数学考试中，某校学生的数学成绩服从正态分布N(100,25).估计数学成绩大于115分的学生所占的百分比为()(参考数据：P(μ−σ<X≤μ+σ)=0.6826，P(μ−2σ<X≤μ+2σ)=0.9544，P(μ−3σ<X≤μ+3σ)=0.9974)A. 0.13％B. 1.3％C. 3％D. 3.3％8.设(2−x)6=a0+a1x+a2x2+⋯+a6x6则|a1|+|a2|+⋯+|a6|的值是()A. 665B. 729C. 728D. 639.已知双曲线x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左右两个焦点分别为F1，F2，A，B为其左、右两个顶点，以线段F1F2为直径的圆与双曲线的渐近线在第一象限的交点为M，且∠AMB=30°，则该双曲线的离心率为()A. √212B. √13 C. 2√3 D. √19210. 已知数列{a n }的前n 项和S n =12n(n +1)，n ∈N ∗，b n =3a n +(−1)n−1a n ，则数列{b n }的前2n +1项和为( ) A. 32n+2−12+n B. 12⋅32n+2+n +12 C. 32n+2−12−n D. 12⋅32n+2−n +32 11. 已知三棱锥P −ABC 中，PA =√23，AB =3，AC =4，AB ⊥AC ，PA ⊥面ABC ，则此三棱锥的外接球的内接正方体的体积为( )A. 16B. 28C. 64D. 9612. 已知函数f(x)=x −sinx ，则不等式f(x +1)+f(2−2x)>0的解集是( )．A. (−∞,13)B. (−13,+∞)C. (−∞,3)D. (3,+∞)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 设函数f(x)=(x +a)lnx ，若曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x −y =0平行，则实数a 的值为______．14. 已知在数列{a n }中，a 1=2，2n (a n +a n+1)=1，设T n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a n ，b n =3T n −n−1a n ，数列{b n }的前n 项和S n =______．15. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，A(0,sinα)，B(cosα,0)，动点C 满足|OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值是________． 16. 过抛物线C ：x 2=4y 的准线上任意一点P 作抛物线的切线PA ，PB ，切点分别为A ，B ，则A点到准线的距离与B 点到准线的距离之和的最小值是____________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 如图，在△ABC 中，已知4sin 2A−B 2+4sinAsinB =3．(I)求角C 的大小；(Ⅱ)若AC =8，点D 在BC 边上，且BD =2，cos∠ADB =17，求边AB的长．18.如图所示，四棱锥P—ABCD中，AB⊥AD，AB//DC，PA=AB=AD=2DC=2，PB=2√2，∠PAD=120°，E为PB的中点．(1)证明：EC//平面PAD；(2)求二面角C−AE−B的余弦值．19.如图，已知椭圆x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的长轴为AB，过点B的直线l与x轴垂直，椭圆的离心率e=√32，F为椭圆的左焦点，且AF⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅FB⃗⃗⃗⃗⃗ =1．(Ⅰ)求此椭圆的方程；(Ⅱ)设P是此椭圆上异于A，B的任意一点，PH⊥x轴，H为垂足，延长HP到点Q使得HP=FQ.连接AQ并延长交直线l于点M，N为MB的中点，判定直线QN与以AB为直径的圆O的位置关系．20.求函数f(x)=x2e−x的极值．21.在合作学习小组的一次活动中，甲、乙、丙、丁、戊五位同学被随机地分配承担A，B，C，D四项不同的任务，每个同学只能承担一项任务．(1)若每项任务至少安排一位同学承担，求甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率；(2)设这五位同学中承担任务A的人数为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ．22.在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=−1+2cosφy=2sinφ(其中φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l1的极坐标方程为ρ=√2sin(θ+π4)，设l1与C相交于A，B两点，AB的中点为M，过点M作l1的垂线l2交C于P，Q两点．(1)写出曲线C的普通方程与直线l1的直角坐标方程；(2)求|PQ||MP|⋅|MQ|的值．23.已知函数f(x)=|x−2|．(1)求不等式f(x)−|x|<1的解集；(2)设g(x)=|x+1|，若∀x∈R，f(x)+g(x)≥a2−2a恒成立，求a的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查了交、并、补集的混合运算，考查学生的计算能力，属于基础题．根据题意可得C U B ，从而即可得A ∩(C U B)．解：∵全集U ={0,1,2,3,4}，集合A ={1,2,3}，B ={2,3,4}，∴C U B ={0,1}，∴A ∩(C U B)={1}，故选D ．2.答案：D解析：本题考查了复数运算，属于基础题．根据复数运算法则即可求解．解：令z =1+2i 2−i =(1+2i )(2+i)(2−i)(2+i)=5i5=i ，故复数z 的虚部为1，故选D ．3.答案：A解析：解：由变量x ，y 满足约束条件{x +2y ≥0x −y ≤0x −2y +2≥0作出可行域如图，由图可知，最优解为A ，联立{x +2y =0x −2y +2=0，解得A(−1,12). ∴z =2x −y 的最小值为2×(−1)−12=−52．故选：A ．由约束条件作出可行域，由图得到最优解，求出最优解的坐标，数形结合得答案．本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．4.答案：A解析：本题主要考查函数图象的识别和判断，利用函数单调性以及与y轴的交点的范围是解决本题的关键．根据指数函数的单调性以及函数与y轴交点纵坐标的取值范围进行判断即可．解：当a>1时，函数为增函数，排除B，D，当x=0时，y=a0+b=1+b<1，排除C，故选：A．5.答案：C解析：解：函数f(x)=18x−cosx的零点，即函数y=18x与y=cosx图象交点的横坐标，在同一坐标系中画出函数y=18x与y=cosx的图象，如下图所示：由图可知：函数y=18x与y=cosx的图象有5个交点，故函数f(x)=18x−cosx有5个零点，故选：C将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，结合图象，问题容易解得．本题考察了函数的零点问题，渗透了数形结合思想，是一道基础题．6.答案：D解析：解：如果一个正四面体的棱长为a．则体积V=√212a3=163√2dm3，故a=4dm，则其表面积S=√3a2=16√3dm2，故选：Da3，求出棱长，再由棱长为a的正四面体的表面积S=√3a2，根据棱长为a的正四面体的体积V=√212可得答案．a3，表面积本题考查的知识点是正四面体的几何特征，熟练掌握棱长为a的正四面体的体积V=√212S=√3a2，是解答的关键．7.答案：A解析：本题主要考查正态分布的性质，属于基础题．解：某校学生的数学成绩服从正态分布N(100,25)．P(85<μ<115)=0.9974.估计数学成绩大于×(1−0.9974)×100％=0.0013×100％=0.13％.115分的学生所占的百分比为12故选A．8.答案：A解析：本题考查了二项式定理和赋值法的应用问题，由二项式定理知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a6|=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6，利用赋值法把x=−1，x=0分别代入已知式子计算即可，属基础题目．解：∵(2−x)6=a0+a1x+a2x+⋯+a6x，由二项式定理可知a0，a2，a4，a6均为正数，a1，a3，a5均为负数，令x=−1可得：∴|a0|+|a1|+|a2|+⋯+|a6|=a0−a1+a2−a3+a4−a5+a6=(2+1)6=729，x=0时，a0=26=64；∴|a1|+|a2|+⋯+|a6|=729−64=665．故选A．9.答案：B解析：本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆的位置关系，考查离心率的求法，属于基础题．求出双曲线的渐近线方程和圆的方程，求出交点M，再由两点的斜率公式，得到a，b的关系，再由离心率公式即可得到所求值．解：双曲线x2a −y2b=1(a>0,b>0)的渐近线方程为y=±bax，以F1F2为直径的圆的方程为x2+y2=c2，将直线y=bax代入圆的方程，可得，x=√a2+b2=a(负的舍去)，y=b，即有M(a,b)，又A(−a,0)，B(a,0)，由于∠AMB=30°，BM⊥x轴，则tan30°=2ab =√33，即有b=2√3a，则离心率e=ca =√1+b2a2=√13．故选：B．10.答案：A解析：解：当n=1时，a1=S1=12×1×2=1；当n≥2时，a n=S n−S n−1=12n(n+1)−12(n−1)n=n．故a n=n．∴b n=3a n+(−1)n−1a n=3n+(−1)n−1n，则数列{b n}的前2n+1项和S2n+1=(31+32+⋯+32n+1)+[1−2+3−4+⋯+(2n−1)−2n+ (2n+1)]=3(1−32n+1)1−3+(n+1)=32n+2−12+n．故选：A．由数列的前n项和求出数列{a n}的通项公式，代入b n=3a n+(−1)n−1a n，整理后分组，然后利用等比数列的前n项和得答案．本题考查了数列递推式，考查了数列的分组求和，考查了等比数列的前n项和，是中档题．11.答案：C解析：解：∵三棱锥P−ABC中，PA=√23，AB=3，AC=4，AB⊥AC，PA⊥面ABC，∴以AB，AC，AP为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P−ABC的外接球，∴三棱锥P−ABC的外接球的半径R=√23+9+16=2√3，2设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a，=2√3，解得a=4，则R=√3a2∴此三棱锥的外接球的内接正方体的体积V=a3=43=64．故选：C．以AB，AC，AP为棱构造长方体，则长方体的外接球就是三棱锥P−ABC的外接球，三棱锥P−ABC=2√3，解得的外接球的半径R=2√3，设此三棱锥的外接球的内接正方体的半径为a，则R=√3a2a=4，由此能求出此三棱锥的外接球的内接正方体的体积．本题考查三棱锥的外接球的内接正方体的体积的求法，考查三棱锥及外接球、球的内接正方体等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．12.答案：C解析：本题考查函数的奇偶性及利用导数研究函数的单调性，属于基础题．由f(x)=x−sinx，则f′(x)=1−cosx≥0，所以f(x)是增函数，再由f(x)是奇函数，f(x+1)+f(2−2x)>0，即f(x+1)>f(2x−2)，得x+1>2x−2，解得．解：由f(x)=x−sinx，则f′(x)=1−cosx≥0，所以f(x)是增函数，再由f(x)=x−sinx，f(−x)=−f(x)，∴f(x)是奇函数，∴f(x+1)+f(2−2x)>0，即f(x+1)>f(2x−2)，得x+1>2x−2，解得x<3．故选C．13.答案：1解析：解：函数f(x)=(x+a)lnx的导数为f′(x)=lnx+x+a，x可得曲线y =f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为k =1+a ， 由切线与直线2x −y =0平行， 可得1+a =2， 解得a =1， 故答案为：1．求得函数f(x)的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a 的值． 本题考查导数的运用：求切线的斜率，考查两直线平行的条件：斜率相等，正确求导是解题的关键，属于基础题．14.答案：2n+1−2解析：解：由题意可知因为T n =a 1+2a 2+⋯+2n−1a n ，所以2T n =2a 1+22a 2+⋯+2n a n ， 两式相加3T n =a 1+2(a 1+a 2)+22(a 1+a 2)+⋯+2n−1(a n−1+a n )+2n a n=2+2×12+22×122+⋯+2n−1×12n−1+2n a n=2+(n −1)×1+2n a n =n +1+2n a n所以b n =2n ， 从而S n =2(1−2n )1−2=2n+1−2．故答案为：22n+1−2．先根据条件求出数列{b n }的通项公式，再根据通项公式的特点确定求和的方法．本题考查由递推式式求数列的通项公式以及等比数列的前n 项和公式，解题的关键对条件的分组转化，难度较大．15.答案：2解析：本题主要考查向量的计算和模长的计算，属于基础题． 解：依题意，设C(cosβ,sinβ)，则|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=(cosα+cosβ)2+(sinα+sinβ)2=2+2cos(α−β)， 所以当cos(α−β)=1时，|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2取得最大值4， 故|OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +OC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2的最大值是2．故答案为2．16.答案：4解析：本题主要考查的是抛物线的性质的有关知识，根据到准线的距离转化为到焦点的距离，三点共线时距离最小，进而求出最小值．解：设A(x1,x124)，B(x2,x224)，由x2=4y可得y=x24，∴y′=x2，所以直线PA，PB的方程分别为：y−x124=x12(x−x1)①，y−x224=x22(x−x2)②，①②方程联立可得P(x1+x22,x1x24)，∵点P在准线上，∴x1x24=−1，∴x1x2=−4，设直线AB的方程为：y=kx+m，代入抛物线的方程可得：x2−4kx−4m=0，可得x1x2=−4m，所以可得m=1，即直线恒过(0,1)点，即直线恒过焦点(0,1)，即直AB的方程为：y=kx+1，代入抛物线的方程：x2−4kx−4=0，x1+x2=4k，所以y1+y2=k(x1+x2)+2=4k2+2，A点到准线的距离与B点到准线的距离之和=AF+BF=y1+y2+2=4k2+4≥4，当k=0时，距离之和最小且为4，这时直线AB平行于x轴．故答案为：4．17.答案：解：(I)由4sin2A−B2+4sinAsinB=3，变形得：2[1−cos(A−B)]+4sinAsinB=3，即2−2(cosAcosB+sinAsinB)+4sinAsinB=3，整理得：2−2cos(A+B)=3，即2+2cosC=3，∴cosC=12，则C =π3；(Ⅱ)∵cos∠ADB =17，∠ADB +∠ADC =π， ∴cos∠ADC =−17，sin∠ADC =4√37，在△ADC 中，由正弦定理AD sinC =AC sin∠ADC 得：AD =ACsinCsin∠ADC =8×√324√37=7，由余弦定理得：AB 2=DA 2+DB 2−2DA ·DB ·cos∠ADB =49+4−4=49， 则AB =7．解析：(I)已知等式利用二倍角的余弦函数公式化简，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos C 的值，即可确定出角C 的大小；(Ⅱ)由cos∠ADB 的值求出cos∠ADC 的值，进而求出sin∠ADC 的值，再由sin C 与AC 的长，利用正弦定理求出AD 的长，再利用余弦定理求出AB 的长即可．此题考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握定理是解本题的关键．18.答案：解：(1)取PA 中点F ，连接EF ，DF ，因为E 为PB 中点， 所以EF//AB ，EF =12AB ． 又因为AB//DC ，AB =2DC ， 所以EF//DC ，EF =DC ． 所以四边形DCEF 为平行四边形， 所以EC//DF ． 又DF ⊂平面PAD ，平面PAD ，所以EC//平面PAD ．(2)因为由题可知AP =AB =2，PB =2√2， 所以AP 2+AB 2=PB 2， 所以AB ⊥AP ，又因为AB ⊥AD ，AP ∩AD =A ，AP ，AD ⊂平面PAD ． 所以AB ⊥平面PAD ．所以以A 为坐标原点，AP ，AB 所在直线为x ，y 轴，在面PAD 内过点A 与AP 垂直的直线为z 轴， 建立空间直角坐标系，A(0,0，0)，E(1,1，0)，C(−1,1，√3)， 设平面AEC 的法向量为n ⃗ =(x,y ，x)， 所以{n ⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,n⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0即{x =−y2y =−√3z, 令y =√3，得x =−√3，z =−2． 所以n ⃗ =(−√3√3,−2)，易知平面AEB 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(0,0，1)， 所以|cos(n ⃗ ,m ⃗⃗⃗ )|=|n ⃗⃗ ⋅m ⃗⃗⃗|n ⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗⃗⃗ || =|√3,√3,−2)⋅(0,0,1)√10|=√105， 因为二面角C −AE −B 为锐角， 所以二面角C −AE −B 的余弦值为√105．解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，是中档题．(1)取PA 中点F ，在接EF ，DF ，推导出四边形DCEF 为平行四边形，证得EC//DF ，由此能证明EC //平面PAD ；(2)A 为坐标原点，AP ，AB 所在直线为x ，y 轴，在面PAD 内过点A 与AP 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系，求出平面AEC 与平面AEB 的法向量，进而求得结果．19.答案：解：(Ⅰ)由题得{e =ca =√32(a −c)(a +c)=1，解得{a 2=4c 2=3 则b 2=a 2−c 2=1 则椭圆方程为x 24+y 2=1．(Ⅱ)QN 与以AB 为直径的圆O 相切，证明如下：设P(x P ,y P )(|x P |<2,0<|y P |≤1)，则Q(x P ,2y P )又因为点A 坐标为(−2,0) 所以直线AQ 的斜率k AQ =2y Px P +2则直线AQ 的方程为y =2y Px P+2(x +2)，当x =2时，y =8y PxP +2则M 点坐标为(2,8y PxP+2)，又因为B(2,0)，则N(2,4y PxP +2)则直线QN 的斜率为k QN =−2x P y P(2+xP )(2−x P )则直线QN 的方程为：2x P yP 4−x P2x +y −8yP4−x P2=0则点O(0,0)到直线QN 的距离为d =8y P4−x P2×√(4−x P2)24x P 2y P 2+(4−x P2)又因为y P 2=1−x P24则d =8y P4−x P2×√(4−x P2)24x P 2y P2+(4−x P2)=84−x P2×√4−x P22×√(4−x P2)24x P 2(1−x P 24)+(4−x P 2)2=2则QN 与以AB 为直径的圆O 相切．解析：(Ⅰ)由题得{e =c a=√32(a −c)(a +c)=1，及其b 2=a 2−c 2=1，即可得出．(Ⅱ)QN 与以AB 为直径的圆O 相切，分析如下：设P(x P ,y P )(|x P |<2,0<|y P |≤1)，则Q(x P ,2y P ).又因为点A 坐标为(−2,0)，可得直线AQ 的方程为y =2y Px P+2(x +2)，可得M 点坐标为(2,8y PxP +2)，又因为B(2,0)，则N(2,4y PxP +2).直线QN 的方程为：2x P yP 4−x P 2x +y −8yP 4−x P 2=0.又y P 2=1−x P 24，可得点O(0,0)到直线QN 的距离为d =2，即可证明QN 与以AB 为直径的圆O 相切．本题考查了椭圆与圆的标准方程及其性质、直线与圆相切的性质、直线方程，考查了推理能力与计算能力，属于难题．20.答案：解：f′(x)=2xe x −x 2e x(e x )2=−x(x−2)e x，令f′(x)=0，得x =0或2， 得出f(x)与f′(x)的表格，所以当x =0时，函数有极小值，且f(0)=0． 当x =2时，函数有极大值，且f(2)=4e 2．解析：本题考查了利用导数研究函数的极值，先求导，列表即可得出极值．21.答案：解：(1)设甲、乙两人同时承担同一项任务为事件M ，则P(M)=A 44C 52A 44=110，所以甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是P(M)=1−P(M)=910， 答：甲、乙两人不同时承担同一项任务的概率是910； (2)ξ的可能取值为ξ=0,1,2,3,4,5， P(ξ=0)=3545=(34)5，P(ξ=1)=C 51⋅3445=5⋅3445， P(ξ=2)=C 52⋅3345=10⋅3345， P(ξ=3)=C 53⋅3245=10⋅3245，P(ξ=4)=C 54⋅3145=1545， P(ξ=5)=C 55⋅3045=145，ξ的分布列为：所以E (ξ)=∑i ⋅P i 5i=0=54．解析：本题考查离散型随机变量的期望的求解及古典概型．(1)利用古典概型求出甲、乙两人同时承担同一项任务的概型，然后利用对立事件的概率公式求解即可；(2)分析ξ的取值，求出各自的概率，得出分布列，再求期望．22.答案：解：(1)由曲线C 的参数方程{x =−1+2cosφy =2sinφ，消去参数φ，得曲线C 的普通方程为(x +1)2+y 2=4．由曲线l 1的极坐标方程ρsin (θ−π4)=√22，得ρsin θ+ρcos θ=1，将x =ρcos θ，y =ρsin θ代入，得l 1的直角坐标方程为x +y −1=0； (2)由l 1⊥l 2，得直线l 2的斜率k l 2=−1k l 1=1，所以l 2的倾斜角为π4，又l 2过圆心(−1,0)，所以l 2的方程为y =x +1，与x +y −1=0联立，得AB 的中点M(0,1)，故l 2的参数方程为{x =tcos π4y =1+tsin π4,(t 为参数)，即{x =√22t y =1+√22t ,(t 为参数)，代入(x +1)2+y 2=4中，化简、整理得t 2+2√2t −2=0， 设P ，Q 对应的参数分别为t 1，t 2，则由韦达定理得t 1·t 2=−2， 又线段PQ 为圆的直径，所以|PQ|=4， 所以|PQ||MP|⋅|MQ|=4|−2|=2．解析：本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型． (1)直接利用转换关系，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换． (2)利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．23.答案：解：(1)不等式f(x)−|x|<1，即为|x −2|−|x|<1，当x >2时，x −2−x <1，即x >2； 当x <0时，2−x +x <1，即x ∈⌀；当0≤x ≤2时，2−x −x <1，解得x >12，即有12<x ≤2， 综上可得不等式的解集为(12,+∞)； (2)∀x ∈R ，f(x)+g(x)≥a 2−2a 恒成立，即为|x−2|+|x+1|≥a2−2a恒成立，由|x−2|+|x+1|≥|x−2−x−1|=3，当且仅当−1≤x≤2时，取得最小值3，可得a2−2a≤3，解得−1≤a≤3．解析：(1)由题意可得|x−2|−|x|<1，讨论x的范围，去绝对值，解不等式，求并集即可得到所求解集；(2)由题意可得|x−2|+|x+1|≥a2−2a恒成立，运用绝对值不等式的性质可得不等式左边的最小值，解a的不等式，即可得到所求范围．本题考查绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质：求最值，考查不等式恒成立问题解法，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．。
广东省深圳市2020届高三第一次六校联考数学(理)试卷
理科数学本试卷共5页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设2()4()f x x x x R =-∈，则()0f x >的一个必要不充分条件是( )A ．0x <B ．0x <或4x >C ．|1|1x ->D ．|2|3x ->2．设复数z 满足11zi z+=-，则||z 等于( )A ．1B ．2C ．3D ．23．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A.24310r r r r <<<<B.42130r r r r <<<<C.42310r r r r <<<< D.24130r r r r <<<<4．已知函数2()2cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是( )5．已知函数32()4f x x ax =-+-在2x =处取得极值，若[1,1]m ∈-，则()f m 的最小值为( )A ．4-B ．2-C ．0D ．26．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、1C 的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )7．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为( )A ．2214536x y += B ．2213627x y +=C ．2212718x y += D ．221189x y += 8．若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．()24，B ．(],2-∞C ．(],4-∞D ．[)4+∞，9．某校高三年级有男生220人，学籍编号为1,2，…，220；女生380人，学籍编号为221,222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈，则这3人中既有男生又有女生的概率是( )A ．15B ．310C ．710D ．4510．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验.受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x 、y都小于1的正实数对(,)x y ；再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ；最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是35m =，那么可以估计π的值约为（）A ．227B ．4715 C ．5116 D ．19611．已知数列}{n a 满足1=1a ，*1=2()n n n a a n N +⋅∈，则2019S 等于( )A ．201921-B ．1010323⨯-C ．101123-D ．1010322⨯-12．已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =--+-在[1,3]-上的最大值为M ，最小值为m ， 则M m +＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．1||-1x e dx ⎰值为 ．14．已知}{n a 、{}n b 都是等差数列，若110+=9a b ，38+=15a b ，则56+=a b ． 15．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221y x -=相交于A ，B 两点，若ABF ∆为等边三角形，则p ＝ ．16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士⋅帕斯卡的著作(1655年)介绍了这个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形” (Chinesetriangle)如图1.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：111r r r n n n C C C ++++=，其中n 是行数，r N ∈.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是 ．图1图2三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，向量m ＝(cos ,cos )B C ， n ＝(2,)a c b +，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若3b =，求a c +的取值范围．18．（本小题满分12分）某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元． (1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ， AB ⊥AD ，6DC =，8AD =，10BC =，∠PAD ＝45°，E 为PA 的中点．(1)求证：DE ∥平面BPC ；(2)线段AB 上是否存在一点F ，满足CF ⊥DB ？若存在，请求出 二面角F PC D --的余弦值；若不存在，请说明理由． 20．（本小题满分12分）已知动圆P 经过点(1,0)N ，并且与圆22:(1)16M x y ++=相切． (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设(,0)G m 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，当k为何值时，22||||GA GB ω=+是与m 无关的定值，并求出该定值． 21．（本小题满分12分）设函数2()ln (1)f x ax x b x =+-，曲线()y f x =过点2(,1)e e e -+， 且在点(1,0)处的切线方程为0y =.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当1x ≥时，2()(1)f x x ≥-；(3)若当1x ≥时，2()(1)f x m x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4―4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，0t ≠)，其中0απ≤<.在以O为极点x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C ：ρθ=.(1)求2C 与3C 交点的直角坐标；(2)若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值． 23．[选修4―5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()2|1||2|f x x x =++-的最小值为m .(1)求m 的值；(2)若a 、b 、c 均为正实数，且满足a b c m ++=，求证：2223b c a a b c++≥. 理科数学试题参考答案一、选择题 1．C 2．A 3．A 4．A 5．A6．C 7．D8．B9．D10．D11．C12．B二、填空题13．22e - 14．2115．16．1C 1n ＋2Cr n ＋1＋1C 1n ＋2C r ＋1n ＋1＝1C 1n ＋1C r n三、解答题17．已知△ABC 的三内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，向量m ＝(cos B ，cos C )， n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ＝3，求a ＋c 的取值范围．解：(1)∵m ＝(cos B ，cos C )，n ＝(2a ＋c ，b )，且m ⊥n ， ∴(2a ＋c )cos B ＋b cos C ＝0，由正弦定理，得cos B (2sin A ＋sin C )＋sin B cos C ＝0， ∴2cos B sin A ＋cos B sin C ＋sin B cos C ＝0， 即2cos B sin A ＝－sin(B ＋C )＝－sin A . ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴cos B ＝－12.∵0<B <π，∴B ＝2π3.……………………………6分 (2)由余弦定理，得：b 2＝a 2＋c 2－2ac cos 2π3＝a 2＋c 2＋ac ＝(a ＋c )2－ac ≥(a ＋c )2－⎝⎛⎭⎫a ＋c 22＝34(a ＋c )2，又b 2＝3，∴(a ＋c )2≤4，当且仅当a ＝c 时取等号． ∴a ＋c ≤2.故a ＋c 的取值范围是(3，2]．……………………………12分18．某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元． (1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？ 解：(1)由题意，X 的所有可能取值为0,500,1000. 则P (X ＝0)＝15＋45×12×15＝725， P (X ＝500)＝45×12＝25， P (X ＝1000)＝45×12×45＝825，∴某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列为……………………………6分(2)由(1)可知，选择方案甲进行抽奖所获奖金X 的期望E (X )＝500×25＋1000×825＝520， 若选择方案乙进行抽奖，中奖次数ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，25，则E (ξ)＝3×25＝65，抽奖所获奖金X 的期望E (X )＝E (400ξ)＝400E (ξ)＝480， 故选择方案甲较划算．……………………………12分19．如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ， DC ＝6，AD ＝8，BC ＝10，∠PAD ＝45°，E 为PA 的中点．(1)求证：DE ∥平面BPC ；(2)线段AB 上是否存在一点F ，满足CF ⊥DB ？若存在，请求出二面 角F —PC —D 的余弦值；若不存在，请说明理由．(1)证明:取PB 的中点M ，连接EM 和CM ，过点C 作CN ⊥AB ，垂足为点N . 在平面ABCD 内，∵CN ⊥AB ，DA ⊥AB ，∴CN ∥DA ，又AB ∥CD ，∴四边形CDAN 为平行四边形， ∴CN ＝AD ＝8，DC ＝AN ＝6， 在Rt △BNC 中，BN ＝BC 2－CN 2＝102－82＝6，∴AB ＝12，而E ，M 分别为PA ，PB 的中点， ∴EM ∥AB 且EM ＝6，又DC ∥AB ，∴EM ∥CD 且EM ＝CD ，四边形CDEM 为平行四边形， ∴DE ∥CM .∵CM ⊂平面PBC ，DE ⊄平面PBC ，∴DE ∥平面BPC .……………………………4分(2)解:由题意可得DA ，DC ，DP 两两互相垂直，如图，以D 为原点，DA ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系Dxyz ， 则A (8,0,0)，B (8,12,0)，C (0,6,0)，P (0,0,8)．假设AB 上存在一点F 使CF ⊥BD ，设点F 的坐标为(8，t,0)(0<t <12)， 则CF →＝(8,t －6,0)，DB →＝(8,12,0)， 由CF →·DB →＝0，得t ＝23.又平面DPC 的一个法向量为m ＝(1,0,0)， 设平面FPC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )． 又PC →＝(0,6,－8)，FC →＝⎝⎛⎭⎫－8，163，0.由⎩⎪⎨⎪⎧ n ·PC →＝0，n ·FC →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧6y －8z ＝0，－8x ＋163y ＝0， 即⎩⎨⎧z ＝34y ，x ＝23y ，不妨令y ＝12，则n ＝(8,12,9)．则cos 〈n ，m 〉＝n·m |n||m |＝81×82＋122＋92＝817.又由图可知，该二面角为锐二面角，故二面角F —PC —D 的余弦值为817.……………………………12分 20．已知动圆P 经过点N (1,0)，并且与圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝16相切． (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设G (m,0)为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，当k 为何值时，ω＝|GA |2＋|GB |2是与m 无关的定值，并求出该定值． 解：(1)由题设得|PM |＋|PN |＝4>|MN |＝2， ∴点P 的轨迹C 是以M ，N 为焦点的椭圆， ∵2a ＝4,2c ＝2，∴b ＝a 2－c 2＝3，∴点P 的轨迹C 的方程为x 24＋y 23＝1.……………………………4分 (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，G (m,0)(－2<m <2)， 直线l ：y ＝k (x －m )， 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝k (x －m )，x 24＋y 23＝1，得(3＋4k 2)x 2－8k 2mx ＋4k 2m 2－12＝0， x 1＋x 2＝8mk 24k 2＋3，x 1·x 2＝4k 2m 2－124k 2＋3，∴y 1＋y 2＝k (x 1－m )＋k (x 2－m )＝k (x 1＋x 2)－2km ＝－6mk 4k 2＋3.y 1·y 2＝k 2(x 1－m )(x 2－m ) ＝k 2x 1x 2－k 2m (x 1＋x 2)＋k 2m 2 ＝3k 2(m 2－4)4k 2＋3.∴|GA |2＋|GB |2＝(x 1－m )2＋y 21＋(x 2－m )2＋y 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2－2m (x 1＋x 2)＋2m 2＋(y 1＋y 2)2－2y 1y 2 ＝(k 2＋1)－6m 2(4k 2－3)＋24(3＋4k 2)(4k 2＋3)2.∵ω＝|GA |2＋|GB |2的值与m 无关，∴4k 2－3＝0， 解得k ＝±32.此时ω＝|GA |2＋|GB |2＝7.……………………………12分 21．设函数f (x )＝ax 2ln x ＋b (x －1)，曲线y ＝f (x )过点(e ，e 2－e ＋1)， 且在点(1,0)处的切线方程为y ＝0.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当x ≥1时，f (x )≥(x －1)2；(3)若当x ≥1时，f (x )≥m (x －1)2恒成立，求实数m 的取值范围．(1)解: 由题意可知，f (x )＝ax 2ln x ＋b (x －1)的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝2ax ln x ＋ax ＋b (x >0)， ∵f ′(1)＝a ＋b ＝0，f (e)＝a e 2＋b (e －1)＝a (e 2－e ＋1) ＝e 2－e ＋1，∴a ＝1，b ＝－1.……………………………2分 (2)证明：f (x )＝x 2ln x －x ＋1， f (x )－(x －1)2＝x 2ln x ＋x －x 2， 设g (x )＝x 2ln x ＋x －x 2(x ≥1)， 则g ′(x )＝2x ln x －x ＋1. 由(g ′(x ))′＝2ln x ＋1>0， 得g ′(x )在[1，＋∞)上单调递增， ∴g ′(x )≥g ′(1)＝0， ∴g (x )在[1，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (1)＝0.∴f (x )≥(x －1)2.……………………………7分 (3)解：设h (x )＝x 2ln x －x －m (x －1)2＋1(x ≥1)， 则h ′(x )＝2x ln x ＋x －2m (x －1)－1， 由(2)知x 2ln x ≥(x －1)2＋x －1＝x (x －1)， ∴x ln x ≥x －1，∴h ′(x )≥3(x －1)－2m (x －1)＝(3－2m )(x －1)． ①当3－2m ≥0，即m ≤32时，h ′(x )≥0， ∴h (x )在[1，＋∞)上单调递增， ∴h (x )≥h (1)＝0成立． ②当3－2m <0，即m >32时， h ′(x )＝2x ln x ＋(1－2m )(x －1)， (h ′(x ))′＝2ln x ＋3－2m ，令(h ′(x ))′＝0，得x ＝232e m ->1，当x ∈[1，232em -)时，h ′(x )单调递减，则h ′(x )≤h ′(1)＝0， ∴h (x )在[1，232em -)上单调递减，∴h (x )≤h (1)＝0， 即h (x )≥0不成立．综上，m ≤32.……………………………12分22．在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α＜π.在以O为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sin θ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值． 解：(1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0， 曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32.……………………………5分 (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α＜π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪sin⎝⎛⎭⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.……………………………10分 23．已知函数f (x )＝2|x ＋1|＋|x －2|的最小值为m .(1)求m 的值；(2)若a 、b 、c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝m ，求证：b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥3. 解：(1)当x ＜－1时，f (x )＝－2(x ＋1)－(x －2)＝－3x ∈(3，＋∞)；当－1≤x ＜2时，f (x )＝2(x ＋1)－(x －2)＝x ＋4∈[3,6)； 当x ≥2时，f (x )＝2(x ＋1)＋(x －2)＝3x ∈[6，＋∞)． 综上，f (x )的最小值m ＝3.……………………………5分(2)证明：因为a 、b 、c 均为正实数，且满足a ＋b ＋c ＝3，所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c ＋(a ＋b ＋c )＝⎝⎛⎭⎫b 2a ＋a ＋⎝⎛⎭⎫c 2b ＋b ＋⎝⎛⎭⎫a 2c ＋c ≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2a ·a ＋c 2b ·b ＋a 2c ·c ＝2(a ＋b ＋c )，当且仅当a ＝b ＝c ＝1时，取“＝”，所以b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥a ＋b ＋c ，即b 2a ＋c 2b ＋a 2c ≥3.……………………………10分。
广东省2020年高考一模 数学(理)试卷 (解析版)
2020年高考数学一模试卷（理科）一、选择题（共12小题）1．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4，5，6，7}的子集，集合A ＝{1，2，3，4}，则满足A ∩∁U B ＝{1，2}的集合B 可以是（ ）A ．{1，2，3，4}B ．{1，2，7}C ．{3，4，5，6}D ．{1，2，3} 2．复数z =4+3i 3−4i（i 为虚数单位）的虚部为（ ） A ．﹣1 B ．2 C ．5 D ．13．若x ，y 满足约束条件{|x −y|≤1|x|≤2，则z ＝2x +y 的最大值为（ ） A ．﹣7 B ．3 C ．5 D ．74．如图，△OAB 是边长为2的正三角形，记△OAB 位于直线x ＝t （0＜t ≤2）左侧的图形的面积为f （t ），则y ＝f （t ）的大致图象为（ ）A ．B ．C ．D ．5．将函数f （x ）＝cos （2x ﹣1）的图象向左平移1个单位长度，所得函数在[0，12]的零点个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个或以上 6．某广场设置了一些石凳子供大家休息，这些石凳子是由正方体沿各棱的中点截去八个一样的正三棱锥后得到的．如果被截正方体的棱长为40cm ，则石凳子的体积为（ ） A ．1920003cm 3 B ．1600003cm 3 C ．160003cm 3 D ．640003cm 37．在某市2020年1月份的高三质量检测考试中，理科学生的数学成绩服从正态分布N （98，100），已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人，如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分，那么他的数学成绩大约排在全市第（ ）附：若X ～N （μ，σ2），则P （μ﹣σ＜X ＜μ+σ）＝0.6826，P （μ﹣2σ＜X ＜μ+2σ）＝0.9544A ．1500名B ．1700名C ．4500名D ．8000名 8．已知(1+x m )n =a 0+a 1x +a 2x 2+⋯+a n x n ，若a 1＝3，a 2＝4，则m ＝（ ）A ．1B ．3C ．2D ．49．已知双曲线C ：x 2a 2−y 2b 2=1(a ＞0，b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，A 为双曲线的左顶点，以F 1F 2为直径的圆交双曲线的一条渐近线于P ，Q 两点，且∠PAQ =5π6，则该双曲线的离心率为（ ）A ．√2B ．√3C ．√213D ．√1310．设正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足2√S n =a n +1，则数列{a n ﹣7}的前n 项和T n 的最小值为（ ）A ．−494B ．−72C ．72D ．﹣12。
广东省2020届高三第一次六校联考理科数学试卷(含答题卡和答案)
绝密★启用前2020届六校联高三第一次联考试题理科数学命题学校：深圳实验学校本试卷共5页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设2()4()f x x x x R =−∈，则()0f x >的一个必要不充分条件是( )A ．0x <B ．0x <或4x >C ．|1|1x −>D ．|2|3x −>2．设复数z 满足11zi z+=−，则||z 等于( ) A ．1B ．2C ．3D ．23．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A.24310r r r r <<<<B.42130r r r r <<<<C.42310r r r r <<<<D.24130r r r r <<<<4．已知函数2()2cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是( )5．已知函数32()4f x x ax =−+−在2x =处取得极值，若[1,1]m ∈−，则()f m 的最小值为( )A ．4−B ．2−C ．0D ．26．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D −中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、1C 的平面截去 该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )7．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1,1)−，则E 的方程为( )A ．2214536x y += B ．2213627x y += C ．2212718x y += D ．221189x y +=8．若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．()24，B ．(],2−∞C ．(],4−∞D ．[)4+∞，9．某校高三年级有男生220人，学籍编号为1,2，…，220；女生380人，学籍编号为221,222，…， 600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行 问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈， 则这3人中既有男生又有女生的概率是( ) A ．15B ．310C ．710D ．4510．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验. 受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x 、y 都小于1的正实数对(,)x y ；再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ； 最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是35m =，那么可以估计π的值约为（ ） A ．227B ．4715C ．5116D ．19611．已知数列}{n a 满足1=1a ，*1=2()nn n a a n N +⋅∈，则2019S 等于( ) A ．201921−B ．1010323⨯−C ．101123−D ．1010322⨯−12．已知函数2()(2)sin(1)1xf x x x x x =−−+−在[1,3]−上的最大值为M ，最小值为m ， 则M m +＝( ) A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．1||-1x e dx ⎰值为 ．14．已知}{n a 、{}n b 都是等差数列，若110+=9a b ，38+=15a b ，则56+=a b ．15．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221y x −=相交于A ，B 两点， 若ABF ∆为等边三角形，则p ＝ ．16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解 释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士⋅帕斯卡的著作(1655年)介绍了这 个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形” (Chinese triangle)如图1.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：111r r r n n n C C C ++++=，其中n 是行数，r N ∈.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是 ．图1 图2三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，向量m ＝(cos ,cos )B C ， n ＝(2,)a c b +，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若3b =，求a c +的取值范围．18．（本小题满分12分）某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择．方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元．方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元． (1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD −中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ， AB ⊥AD ，6DC =，8AD =，10BC =，∠PAD ＝45°，E 为PA 的中点．(1)求证：DE ∥平面BPC ；(2)线段AB 上是否存在一点F ，满足CF ⊥DB ？若存在，请求出 二面角F PC D −−的余弦值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）已知动圆P 经过点(1,0)N ，并且与圆22:(1)16M x y ++=相切． (1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设(,0)G m 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，当k为何值时，22||||GA GB ω=+是与m 无关的定值，并求出该定值．21．（本小题满分12分）设函数2()ln (1)f x ax x b x =+−，曲线()y f x =过点2(,1)e e e −+， 且在点(1,0)处的切线方程为0y =.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当1x ≥时，2()(1)f x x ≥−；(3)若当1x ≥时，2()(1)f x m x ≥−恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4 ― 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩(t 为参数，0t ≠)，其中0απ≤<.在以O 为极点x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C ：23cos ρθ=.(1)求2C 与3C 交点的直角坐标；(2)若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．23．[选修4 ― 5：不等式选讲]（本小题满分10分） 已知函数()2|1||2|f x x x =++−的最小值为m .(1)求m 的值；(2)若a 、b 、c 均为正实数，且满足a b c m ++=，求证：2223b c a a b c++≥.2020届六校联盟高三第一次联考理数答题卡姓名：姓名： 班级：班级： 考场/座位号：考场/座位号：正确填涂缺考标记注意事项1．答题前请将姓名、班级、考场、准考证号填写清楚。
广东省珠海一中等六校2020届高三数学第一次联考试题 理(含解析)
2020届高三六校第一次联考理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】解A=(0,1) B=(0,),2. 欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发明的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据欧拉公式可知，表示的复数在复平面中位于（）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限【答案】B【解析】解：e2i=cos2+isin2，其对应点为（cos2，sin2），由＜2＜π，因此cos2＜0，sin2＞0，∴点（cos2，sin2）在第二象限，故e2i表示的复数在复平面中位于第二象限．3. 已知，，且，则为（）A. B. C. 2 D.【答案】B【解析】试题分析：考点：向量的运算4. 执行如图所示的程序框图，输出的值为（）A. 2B. 4C. 8D. 16【答案】C【解析】试题分析：程序执行中的数据变化如下：不成立，输出考点：程序框图5. 函数的图象大致是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析：从题设中提供的解析式中可以看出,且当时,,由于,故函数在区间单调递减;在区间单调递增.由函数图象的对称性可知应选D.考点：函数图象的性质及运用.6. 下列选项中，说法正确的是（）A. 若，则B. 向量，（）垂直的充要条件是C. 命题“，”的否定是“，”D. 已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题【答案】D【解析】解:A，y=lnx 是增函数，a>b，所以lna>lnb。
B，两个向量垂直的充要条件为，所以,m=0．C，否定是“，．D，否命题为若在区间内至少有一个零点，则函数在区间上的图象是连续不断的．是假命题，例如正弦函数在（0，上，有一个零点但是．7. 已知，为异面直线，，为平面，，.直线满足，，，，则（）A. ，且B. ，且C. 与相交，且交线垂直于D. 与相交，且交线平行于【答案】D【解析】若,则,与是异面直线矛盾;过点O,分别作，且，则确定一平面，则，设与相交于，则，且,因此,从而，选D.8. 若，满足则的最大值为（）A. B. C. 1 D. 2【答案】D【解析】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，4），化目标函数z=3x﹣y为y=3x﹣z，由图可知，当直线过A时可知取得最值，代入得2．点睛：画出可行域，将目标函数化成截距式，截距越小，目标函数值越大．9. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入.若该公司2020年全年投入研发奖金130万元，在此基础上，每年投入的研发奖金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是（）（参考数据：，，）A. 2020年 B. 2020年 C. 2020年 D. 2021年【答案】B【解析】试题分析：设从2020年后第年该公司全年投入的研发资金开始超过200万元，由已知得，两边取常用对数得，故选B.考点：1.增长率问题；2.常用对数的应用.10. 已知函数，下列结论中错误的是（）A. 的图象关于点中心对称B. 的图象关于对称C. 的最大值为D. 既是奇函数，又是周期函数【答案】C【解析】试题分析：由题意得，A中，因为，故的图象关于中心对称，所以正确；B 中，因为，所以函数的图象关于直线对称是正确的；C中，，令，则，因为，当时，，当时，，所以函数的最大值为，所以是错误的；D中，因为，所以函数为奇函数，又，所以是函数的一个周期，所以函数为周期函数，所以是正确的，故选C.考点：利用导数研究闭区间上函数的最值；同角三角形的基本公式是；二倍角公式；正弦函数的图象.【方法点晴】本题主要考查了利用导数研究闭区间上函数的最值；同角三角形的基本公式是、二倍角公式、正弦函数的图象等知识的综合应用，涉及到函数的对称中心、对称轴、函数的奇偶性与周期性的判定，函数的最值等知识点，涉及知识面广，知识点丰富、综合性强，知识领域转换换，易导致错误，平时注意总结和积累，试题有一定的难度，属于难题.11. 数列满足，且（），则等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】由题意可得：，则：，以上各式相加可得：，则：，.本题选择D选项.点睛：数列的递推关系是给出数列的一种方法，根据给出的初始值和递推关系可以依次写出这个数列的各项，由递推关系求数列的通项公式，常用的方法有：①求出数列的前几项，再归纳猜想出数列的一个通项公式；②将已知递推关系式整理、变形，变成等差、等比数列，或用累加法、累乘法、迭代法求通项．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．12. 已知函数，则函数的零点个数是（）A. 4B. 5C. 6D. 7【答案】A【解析】解：令t=f（x），F（x）=0，则f（t）﹣2t﹣=0，分别作出y=f（x）和直线y=2x+，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2，则t1=0，1＜t2＜2，即有f（x）=0有一根；1＜f（x）＜2时，t2=f（x）有3个不等实根，综上可得F （x）=0的实根个数为4，即函数F（x）=f[f（x）]﹣2f（x）﹣的零点个数是4．..................点睛：本题关键是找出内外层函数的对应关系，找准一个t对应几个x．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若，则的二项展开式中的系数为__________．【答案】180【解析】解：∵，∴n=10．则（2x﹣1）10的二项展开式中，x2的系数为C10222（﹣1）8=180，14. 已知直线与圆：交于两点，，且为等边三角形，则圆的面积为__________．【答案】．【解析】圆，化为，圆心，半径，因为直线和圆相交，为等边三角形，所以圆心到直线的距离为，即，解得，所以圆的面积为，故答案为 .15. 若曲线上点处的切线平行于直线，则点的坐标是__________．【答案】【解析】试题分析：设切点，则由得：，所以点的坐标是.考点：利用导数求切点.16. 一台仪器每启动一次都随机地出现一个5位的二进制数，其中的各位数字中，，（）出现0的概率为，出现1的概率为.若启动一次出现的数字为则称这次试验成功，若成功一次得2分，失败一次得分，则100次重复试验的总得分的方差为__________．【答案】．【解析】启动一次出现数字为A=|0|0|的概率由题意知变量符合二项分布，根据成功概率和实验的次数的值，有∴η的数学方差为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17. 在，，（1）若，求的长（2）若点在边上，，，为垂足，，求角的值.【答案】（1）；（2）.【解析】试题分析:先求CD，在△BCD中，由正弦定理可得：结合∠BDC=2∠A，即可得结论．解：（1）设，则由余弦定理有：即解得：所以（2）因为，所以.在中，由正弦定理可得：，因为，所以.所以，所以.18. 如图，已知四棱锥的底面为菱形，且，，（1）求证：平面平面.（2）求二面角的余弦值.【答案】（1）见解析；（2）二面角的余弦值为.【解析】本试题主要考查了面面垂直和二面角的求解的综合运用。
广东省六校联盟(深圳实验,广州二中,珠海一中, 中山纪中)2020届高三上学期第一次联考理科数学试题
绝密★启用前2020届六校联高三第一次联考试题理科数学命题学校：深圳实验学校本试卷共5页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．设2()4()f x x x x R =-∈，则()0f x >的一个必要不充分条件是( )A ．0x <B ．0x <或4x >C ．|1|1x ->D ．|2|3x ->2．设复数z 满足11z i z +=-，则||z 等于( )A ．1BCD ．23．对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是( )A.24310r r r r <<<<B.42130r r r r <<<<C.42310r r r r <<<<D.24130r r r r <<<<4．已知函数2()2cos f x x x =+，若()f x '是()f x 的导函数，则函数()f x '的图象大致是( )5．已知函数32()4f x x ax =-+-在2x =处取得极值，若[1,1]m ∈-，则()f m 的最小值为( )A ．4-B ．2-C ．0D ．26．如图所示，在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱1BB 的中点，用过点A 、E 、1C 的平面截去 该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为( )7．已知椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的右焦点为(3,0)F ，过点F 的直线交椭圆E 于A ，B 两 点．若AB 的中点坐标为(1,1)-，则E 的方程为( )A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y += 8．若函数()cos 2sin f x x a x =+在区间(,)62ππ上是减函数，则a 的取值范围是( ) A ．()24，B ．(],2-∞C ．(],4-∞D ．[)4+∞，9．某校高三年级有男生220人，学籍编号为1,2，…，220；女生380人，学籍编号为221,222，…，600.为了解学生学习的心理状态，按学籍编号采用系统抽样的方法从这600名学生中抽取10人进行 问卷调查(第一组采用简单随机抽样，抽到的号码为10)，再从这10名学生中随机抽取3人进行座谈， 则这3人中既有男生又有女生的概率是( )A ．15B ．310C ．710D ．4510．关于圆周率π，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的浦丰实验和查理斯实验. 受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个x 、y 都小于1的正实数对(,)x y ；再统计x 、y 两数能与1构成钝角三角形三边的数对(,)x y 的个数m ； 最后再根据统计数m 估计π的值，假如统计结果是35m =，那么可以估计π的值约为（ ）A ．227B ．4715C ．5116D ．19611．已知数列}{n a 满足1=1a ，*1=2()n n n a a n N +⋅∈，则2019S 等于( )A ．201921-B ．1010323⨯-C ．101123-D ．1010322⨯-12．已知函数2()(2)sin(1)1x f x x x x x =--+-在[1,3]-上的最大值为M ，最小值为m ， 则M m +＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13．1||-1x e dx ⎰值为 ．14．已知}{n a 、{}n b 都是等差数列，若110+=9a b ，38+=15a b ，则56+=a b ．15．抛物线22(0)y px p =>的焦点为F ，其准线与双曲线221y x -=相交于A ，B 两点， 若ABF ∆为等边三角形，则p ＝ ．16．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中，用如图1所示的三角形，解 释二项和的乘方规律.在欧洲直到1623年以后，法国数学家布莱士⋅帕斯卡的著作(1655年)介绍了这 个三角形.近年来国外也逐渐承认这项成果属于中国，所以有些书上称这是“中国三角形”(Chinese triangle)如图1.17世纪德国数学家莱布尼茨发现了“莱布尼茨三角形”如图2.在杨辉三角中相邻两行满足关系式：111r r r n n n C C C ++++=，其中n 是行数，r N ∈.请类比上式，在莱布尼茨三角形中相邻两行满足的关系式是 ．图1 图2三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（本小题满分12分）已知ABC ∆的三内角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，向量m ＝(cos ,cos )B C ， n ＝(2,)a c b +，且m ⊥n .(1)求角B 的大小；(2)若b ，求a c +的取值范围．18．（本小题满分12分）某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动，有甲、乙两个抽奖方案供员工选择． 方案甲：员工最多有两次抽奖机会，每次抽奖的中奖率均为45.第一次抽奖，若未中奖，则抽奖结束．若中奖，则通过抛一枚质地均匀的硬币，决定是否继续进行第二次抽奖．规定：若抛出硬币，反面朝上，员工则获得500元奖金，不进行第二次抽奖；若正面朝上，员工则须进行第二次抽奖，且在第二次抽奖中，若中奖，则获得奖金1000元；若未中奖，则所获得的奖金为0元． 方案乙：员工连续三次抽奖，每次中奖率均为25，每次中奖均可获得奖金400元． (1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金X (元)的分布列；(2)试比较某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖，哪个方案更划算？19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，PD ⊥平面ABCD ，AB ∥DC ，AB ⊥AD ，6DC =，8AD =，10BC =，∠PAD ＝45°，E 为PA 的中点．(1)求证：DE ∥平面BPC ；(2)线段AB 上是否存在一点F ，满足CF ⊥DB ？若存在，请求出二面角F PC D --的余弦值；若不存在，请说明理由．20．（本小题满分12分）已知动圆P 经过点(1,0)N ，并且与圆22:(1)16M x y ++=相切．(1)求点P 的轨迹C 的方程；(2)设(,0)G m 为轨迹C 内的一个动点，过点G 且斜率为k 的直线l 交轨迹C 于A ，B 两点，当k为何值时，22||||GA GB ω=+是与m 无关的定值，并求出该定值．21．（本小题满分12分）设函数2()ln (1)f x ax x b x =+-，曲线()y f x =过点2(,1)e e e -+，且在点(1,0)处的切线方程为0y =.(1)求a ，b 的值；(2)证明：当1x ≥时，2()(1)f x x ≥-；(3)若当1x ≥时，2()(1)f x m x ≥-恒成立，求实数m 的取值范围．（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4 ― 4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）在直角坐标系xOy 中，曲线1C ：cos sin x t y t αα=⎧⎨=⎩ (t 为参数，0t ≠)，其中0απ≤<.在以O 为极点x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C ：2sin ρθ=，3C ：ρθ=.(1)求2C 与3C 交点的直角坐标；(2)若1C 与2C 相交于点A ，1C 与3C 相交于点B ，求||AB 的最大值．23．[选修4 ― 5：不等式选讲]（本小题满分10分）已知函数()2|1||2|f x x x =++-的最小值为m .(1)求m 的值；(2)若a 、b 、c 均为正实数，且满足a b c m ++=，求证：2223b c a a b c++≥.。
2020年1月广东省大联考高三数学(理科)试题及答案解析 (1)
题号
一
二
三
总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息；
2．请将答案正确填写在答题卡上。
第I卷（选择题)
评卷人
得分
一、单选题
1． 在复平面内对应的点位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
2．已知集合 ， ，则 （）
A． B． C． D．
（1）求 的方程；
（2）直线 经过 的焦点 且 不与 轴垂直， 与 交于 ， 两点，若线段 的垂直平分线与 轴交于点 ，试问在 轴上是否存在点 ，使 为定值？若存在，求该定值及 的坐标；若不存在，请说明理由。
20．某城市有东、西、南、北四个进入城区主干道的入口，在早高峰时间段，时常发生交通拥堵，交警部门记录了11月份30天内的拥堵情况（如下表所示，其中●表示拥堵，○表示通畅）.假设每个人口是否发生拥堵相互独立，将各入口在这30天内拥堵的频率代替各入口每天拥堵的概率。
○
●
○
南
○
○
○
●
○
○
○
○
●
○
○
○
○
○
●
北
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○
●
○
○
○
○
○
○
○
○
○
○
●
○
（1）分别求该城市一天中早高峰时间段这四个主干道的入口发生拥堵的概率；
（2）各人口一旦出现拥堵就需要交通协管员来疏通，聘请交通协管员有以下两种方案可供选择.方案一：四个主干道入口在早高峰时间段每天各聘请一位交通协管员，聘请每位交通协管员的日费用为 （ ，且 ）元.方案二：在早高峰时间段若某主干道入口发生拥堵，交警部门则需临时调派两位交通协管员协助疏通交通，调派后当日需给每位交通协管员的费用为200元.以四个主干道入口聘请交通协管员的日总费用的数学期望为依据，你认为在这两个方案中应该如何选择？请说明理由。
2020届广东省三校(珠海实中东莞六中河源高中)高考联盟高三下学期第一次联考数学(理)试题(解析版)
绝密★启用前广东省三校高考联盟(珠海市实验中学、东莞市第六髙级中学、河源高级中学) 2020届高三毕业班下学期第一次高考模拟联合考试数学(理)试题(解析版)第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（共有12小题，每小题5分，共60分，四个选项中只有一个是正确的.）1.已知全集{1,2,3,4,5,6}U =,集合{1,2,4},{1,3,5}A B ==,则()U A B =（ ） A. {1}B. {3,5}C. {1,6}D. {1,3,5,6} 【答案】B【解析】分析：由全集U 及A ，求出补集U C A ，找出集合A 的补集与集合B 的交集即可. 详解：{} 1,2,3,4,5,6U =，集合{}1,2,4A =，{}3,5U A ∴=，又{}(){}1,3,5,3,5U B A B =∴⋂=，故选B.点睛：研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性. 研究两集合的关系时,关键是将两集合的关系转化为元素间的关系,本题实质是求满足属于集合B 或不属于集合A 的元素的集合.2.已知(2)(2)43,m i i i +-=+,m R i ∈为虚数单位,则m 的值为（ ）A. 1B. 1-C. 2D. 2-【答案】A【解析】【分析】先化简已知的等式,再利用两个复数相等的条件,解方程组求得x 的值．【详解】∵()()2243,m i i i +-=+∴()2m 2443m i i ++-=+,∴22443m m +=⎧⎨-=⎩,即m 1= 故选A【点睛】本题考查两个复数的乘法法则的应用,以及两个复数相等的条件,基本知识的考查．3.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示.若向量a b λ+与c 共线,则实数λ=（ ）A. 2-B. 1-C. 1D. 2【答案】D【解析】【分析】 由图像,根据向量的线性运算法则,可直接用,a b 表示出c ,进而可得出λ.【详解】由题中所给图像可得：2a b c +=,又c = a b λ+,所以2λ=. 故选D【点睛】本题主要考查向量的线性运算,熟记向量的线性运算法则,即可得出结果,属于基础题型.4.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样（如图阴影部分所示）的面积,作一个边长为5的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷200个点,己知恰有80个点落在阴影部分,据此可估计阴。
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广东省2020届高三六校第一次联考数学（理）试题一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.5.已知直线的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.6.在△中，为的中点，点满足，则（）A. B.C. D.7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.若满足约束条件则的最大值为______________．14.若，则的展开式中常数项为______________．15.已知点及圆，一光线从点出发，经轴上一点反射后与圆相切于点，则的值为______________．16.已知函数满足，则的单调递减区间是______________．三、解答题：共70分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17.在△中，角，，的对边分别为，，，且．（1）求角；（2）若，，求△的面积．18.如图甲，设正方形的边长为3，点、分别在、上，且满足，．如图乙，将直角梯形沿折到的位置，使得点在平面上的射影恰好在上．（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的余弦值．19.某市大力推广纯电动汽车，对购买用户依照车辆出厂续驶里程的行业标准，予以地方财政补贴．其补贴标准如下表：2017年底随机调査该市1000辆纯电动汽车，统计其出厂续驶里程，得到频率分布直方图如上图所示．用样本估计总体，频率估计概率，解决如下问题：（1）求该市每辆纯电动汽车2017年地方财政补贴的均值；（2）某企业统计2017年其充电站100天中各天充电车辆数，得如下的频数分布表：（同一组数据用该区间的中点值作代表）2018年2月，国家出台政策，将纯电动汽车财政补贴逐步转移到充电基础设施建设上来．该企业拟将转移补贴资金用于添置新型充电设备．现有直流、交流两种充电桩可供购置．直流充电桩5万元/台，每台每天最多可以充电30辆车，每天维护费用500元/台；交流充电桩1万元/台，每台每天最多可以充电4辆车，每天维护费用80元/台．该企业现有两种购置方案：方案一：购买100台直流充电桩和900台交流充电桩；方案二：购买200台直流充电桩和400台交流充电桩．假设车辆充电时优先使用新设备，且充电一辆车产生25元的收入，用2017年的统计数据，分别估计该企业在两种方案下新设备产生的日利润.（日利润日收入日维护费用）．20.已知圆与定点，动圆过点且与圆相切．（1）求动圆圆心的轨迹的方程；（2）若过定点的直线交轨迹于不同的两点、，求弦长的最大值．21.已知函数．（1）求函数在上的值域；（2）若，恒成立，求实数的取值范围．22.在平面直角坐标系中，将曲线向左平移2个单位，再将得到的曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为．（1）求曲线的参数方程；（2）已知点在第一象限，四边形是曲线的内接矩形，求内接矩形周长的最大值，并求周长最大时点的坐标．23.已知，．（1）当时，求不等式的解集；（2）若，且当时，恒成立，求的取值范围．广东省2020届高三六校第一次联考数学（理）试题参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根据形如的分式不等式的解法求集合A，根据指数函数的性质求集合B，再根据补集和交集的运算法则计算【详解】因为，由得，其与不等式为同解不等式，所以；则故选A.【点睛】本题主要考查了集合元素的属性，考查形如不等式的计算方法，即要遵循移项——通分——等效转化的原则进行.2.若复数满足，则的共轭复数的虚部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由已知条件得，利用复数的除法运算化简，求出，则共轭复数的虚部可求.【详解】，，共轭复数的共轭复数的虚部1故选C.【点睛】本题考查复数代数形式的除法运算，考查复数的基本概念. 复数除法的关键是分子分母同时乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式.3.记为等差数列的前项和，若，，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】方法一：基本法，将等差数列前项和公式和通项公式代入到已知条件中，联立方程组解得和，即可求得答案.方法二：性质法，根据已知条件得，再根据，即可求得答案. 【详解】方法一：基本法，数列等差数列，，，，整理得，解得方法二：性质法，，，，；；故选D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式和前项和公式，考查等差数列的性质与前项和计算的应用，解题时要认真审题，注意灵活运用数列的基本概念与性质.4.在区间上随机取两个实数，记向量，，则的概率为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】建立平面直角坐标系，确定实数所在平面区域，再根据数量积的运算，将转化为，根据面积比即可求出概率.【详解】分别以为横、纵轴建立直角坐标系，由题可知点满足，组成了边长为正方形区域，向量，，则，即，表示正方形内以坐标原点为圆心，为半径的圆以外的部分，如图所示.所以，概率.故选B.【点睛】本题考查了几何概型的概率求法，考查运算求解能力，考查数形结合思想，正确作出几何图形是解题关键.5.已知直线的倾斜角为，直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴（其中、分别为双曲线的左、右焦点），则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据题意设点，，则，又由直线的倾斜角为，得，结合点在双曲线上，即可求出离心率.【详解】直线与双曲线的左、右两支分别交于、两点，且、都垂直于轴，根据双曲线的对称性，设点，，则，即，且，又直线的倾斜角为，直线过坐标原点，，，整理得，即，解方程得，（舍）故选D.【点睛】本题考查双曲线的几何性质、直线与双曲线的位置关系及双曲线离心率的求法，考查化简整理的运算能力和转化思想，属于中档题.圆锥曲线离心率的计算，常采用两种方法：1、通过已知条件构建关于的齐次方程，解出.根据题设条件（主要用到：方程思想，余弦定理，平面几何相似，直角三角形性质等）借助之间的关系，得到关于的一元方程，从而解得离心率.2、通过已知条件确定圆锥曲线上某点坐标，代入方程中，解出.根据题设条件，借助表示曲线某点坐标，代入曲线方程转化成关于的一元方程，从而解得离心率.6.在△中，为的中点，点满足，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用向量共线的性质得，，再利用向量的三角形法则、即可得出结果.【详解】为的中点，点满足，，故选A.【点睛】本题考查了向量三角形法则、向量共线性质，属于基础题. 向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：（１）平行四边形法则（平行四边形的对角线分别是两向量的和与差）；（２）三角形法则（两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和）；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答（求最值与范围问题，往往利用坐标运算比较简单）．7.某几何体的三视图如图所示，数量单位为，它的体积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由三视图，可知几何体为底面为直角梯形的四棱锥，根据棱锥的体积公式即可求出结果.【详解】如图所示，三视图还原成直观图为底面为直角梯形的四棱锥，故选C.【点睛】本题考查由三视图求几何体体积，解答此类问题的关键是判断几何体的形状及几何尺寸.8.已知是函数的最大值，若存在实数使得对任意实数总有成立，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用诱导公式化简函数，确定，再由题意可知，即可求得答案.【详解】，对任意实数总有成立.故选B.【点睛】本题考查三角函数的最值，考查三角函数的诱导公式、正弦型函数的图象和性质，考查逻辑推理能力和转化思想，着重考查正弦函数的图象和性质.9.定义在上的函数满足及，且在上有，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由已知可得函数为定义域内的奇函数，并可以求出函数的周期，利用函数的周期性和奇偶性将转换到范围内，即可求出答案.【详解】及，，函数为周期为4的奇函数.又在上有.故选D.【点睛】本题考查函数值的计算，考查抽象函数的周期性、对称性和奇偶性的关系，考查抽象函数有关的函数性质的应用，根据条件判断函数的周期性和奇偶性是解决本题的关键.10.抛物线上有一动弦，中点为，且弦的长度为，则点的纵坐标的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意设，，直线的方程为，代入抛物线方程，写出韦达定理关系式及弦长与点的纵坐标关系式，通过基本不等式确定最小值.【详解】由题意设，，，直线的方程为，联立方程，整理得，，，点M的纵坐标，弦的长度为，即，整理得，即根据基本不等式，，当且仅当，时取等，即，，点的纵坐标的最小值为.故选A.【点睛】本题考查直线与抛物线位置关系，考查基本不等式在圆锥曲线综合问题中的应用，解题时要认真审题，注意等价转化思想的合理运用.解决直线与圆锥曲线综合问题基本步骤为：（1）设，即设交点坐标和直线方程，注意考虑直线斜率是否存在;（2）联，即联立直线方程与圆锥曲线，消元;（3）判，即直线与圆锥曲线的位置关系可以通过判别式加以判断;（4）韦，即韦达定理，确定两根与系数的关系.（5）代，即根据已知条件，将所求问题转换到与两点坐标和直线方程相关的问题，进而求解问题.11.已知三棱锥中，，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由题意可知，三棱锥外接球的球心在过外接圆圆心的法线上，设，由题设条件可知，外接球半径，由此解得，从而求出外接球的半径及表面积.【详解】如图，设中点为，过点作，，过点作垂足为，交于，则为外接圆的圆心，三棱锥外接球球心在直线上，设，，，且二面角的大小为，，，，，，，,在中，；在中，；外接球半径，，解得，外接球表面积故选D.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面的求法，涉及到棱锥的结构特征、二面角的平面角、直角三角形的性质、勾股定理和球的简单性质等知识点，解题时要认真审题，注意合理地转化空间几何问题.12.已知数列满足．设，为数列的前项和．若（常数），，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】当时，类比写出，两式相减整理得，当时，求得，从而求得数列和的通项公式.；再运用错位相减法求出，结合的性质，确定的最小值.【详解】①当时，类比写出②由①-②得，即.当时，，，③④③-④得，（常数），，的最小值是故选C.【点睛】本题考查数列通项公式的求法和数列前n项和的计算方法，解题时要认真审题，仔细解答，注意公式的合理选用.1、已知数列的前项和与的关系式，求数列的通项公式的方法如下：（1）当时，用替换中的得到一个新的关系，利用便可求出当时的表达式；（2）当时，求出；（3）对时的结果进行检验，看是否符合时的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分与两段来写．2、错位相减法：若，其中是等差数列，是公比为的等比数列，那么这个数列的前项和即可用此法来求。