线性代数自考知识点汇总

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自考线性代数经管类笔记

线性代数是一门应用广泛的数学学科，对于经管类专业的学生来说尤为重要。本篇笔记将详细介绍线性代数的基本概念和常用方法，以及其中涉及到的经管类应用。

一、向量和矩阵

1.1 向量的定义和运算

向量是由有序的一组数按照一定顺序排列而成的对象，常用于表示多维度的数据。向量的加法和数乘是基本的运算操作，能够实现向量之间的合成和缩放。

1.2 矩阵的定义和运算

矩阵是由多个向量按行或按列排列而成的矩形数组。矩阵的加法、数乘和乘法是常见的运算操作，通过这些运算可以实现线性方程组的求解和数据的变换。

二、线性方程组

2.1 线性方程组的概念

线性方程组是由一组线性方程组成的方程集合，可以用矩阵和向量的形式表示。线性方程组通常用来描述多个变量之间的关系。

2.2 线性方程组的解法

高斯消元法是求解线性方程组的常用方法，通过矩阵的初等行变换将线性方程组化为简化的行阶梯形式，从而得到方程组的解。

三、矩阵的应用

3.1 线性变换

线性变换是指从一个向量空间到另一个向量空间的一种特殊变换，可以用矩阵表示。在经管类问题中，线性变换常用于描述经济模型、市场规模和供求关系等。

3.2 特征值与特征向量

矩阵的特征值和特征向量是描述矩阵性质的重要指标，可以用来判断矩阵的稳定性和变换的特征。

四、行列式

4.1 行列式的概念

行列式是一个与矩阵相关的标量，可以用来判断矩阵的可逆性、求解线性方程组和计算面积、体积等几何量。

4.2 行列式的性质

行列式具有一系列重要的性质，包括行列式的展开性质、可逆矩阵的行列式性质和矩阵乘法的行列式性质等。

自考本线性代数知识点总结

一、向量和矩阵

1. 向量的定义

向量是有向线段的数学表示，通常用加粗的小写字母来表示，如a、b等。向量有大小和方向，可以表示为一组有序的数值，例如a=(a1, a2, ..., an)。

2. 向量的运算

向量可以进行加法、数乘和内积运算。加法是指对应位置上的数值相加，数乘是指一个标量与向量的每个分量相乘，内积是指两个向量对应位置上的数值相乘后再相加得到一个标量。

3. 矩阵的定义

矩阵是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合。矩阵通常用大写字母来表示，如A、B 等，可以表示为一个矩形数表格。

4. 矩阵的运算

矩阵可以进行加法、数乘和乘法等运算。矩阵的加法是指对应位置上的元素相加，数乘是指一个标量与矩阵的每个元素相乘，矩阵的乘法则是一种复杂的运算，需要满足一定的规则。

5. 矩阵的转置和逆

矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换得到的新矩阵，用A^T表示。矩阵的逆是指对于一个n阶方阵A，存在一个n阶方阵B，使得A与B的乘积为单位矩阵。

二、行列式和特征值

1. 行列式

行列式是矩阵的一个重要性质，它可以用来描述矩阵线性变换前后的面积或体积的缩放比例。行列式的计算是一个重要的线性代数知识点，非常重要。

2. 特征值和特征向量

特征值是矩阵的一个重要性质，它是矩阵A的一个标量λ，使得矩阵A减去λ乘以单位矩阵的行列式为0。特征向量是对应于特征值的非零向量，它可以用来描述矩阵线性变换的方向。

三、线性方程组和矩阵的应用

1. 线性方程组

线性方程组是由线性方程组成的方程组，它可以用矩阵的形式表示为AX=B，其中A为系数矩阵，X为未知数向量，B为常数向量。

自考《线性代数》重难点解析与全真练习

　第⼀章　⾏列式

⼀、重点

1、理解：⾏列式的定义，余⼦式，代数余⼦式。

2、掌握：⾏列式的基本性质及推论。

3、运⽤：运⽤⾏列式的性质及计算⽅法计算⾏列式，⽤克莱姆法则求解⽅程组。

⼆、难点

⾏列式在解线性⽅程组、矩阵求逆、向量组的线性相关性、求矩阵的特征值等⽅⾯的应⽤。

三、重要公式

1、若A为n阶⽅阵，则│kA│= kn│A│

2、若A、B均为n阶⽅阵，则│AB│=│A│。│B│

3、若A为n阶⽅阵，则│A*│=│A│n-1

若A为n阶可逆阵，则│A-1│=│A│-1

4、若A为n阶⽅阵，λi（i=1，2，…，n）是A的特征值，│A│＝∏λi

四、题型及解题思路

1、有关⾏列式概念与性质的命题

2、⾏列式的计算（⽅法）

1）利⽤定义

2）按某⾏（列）展开使⾏列式降阶

3）利⽤⾏列式的性质

①各⾏（列）加到同⼀⾏（列）上去，适⽤于各列（⾏）诸元素之和相等的情况。

②各⾏（列）加或减同⼀⾏（列）的倍数，化简⾏列式或化为上（下）三⾓⾏列式。

③逐次⾏（列）相加减，化简⾏列式。

④把⾏列式拆成⼏个⾏列式的和差。

4）递推法，适⽤于规律性强且零元素较多的⾏列式

5）数学归纳法，多⽤于证明

3、运⽤克莱姆法则求解线性⽅程组

若D =│A│≠0，则Ax=b有解，即

x1=D1/D，x2= D2/D，…，xn= Dn/D

其中Dj是把D中xj的系数换成常数项。

注意：克莱姆法则仅适⽤于⽅程个数与未知数个数相等的⽅程组。

4、运⽤系数⾏列式│A│判别⽅程组解的问题

1）当│A│＝0时，齐次⽅程组Ax＝0有⾮零解；⾮齐次⽅程组Ax＝b不是解（可能⽆解，也可能有⽆穷多解）

自考线性代数考试大纲

第一章行列式

（一）考核知识点

1.行列式定义。

2.行列式的性质与计算。

3.克拉默（Cramer）法则。

（二）自学要求

学习本章，要确切了解行列式的定义；理解行列式的性质；是低阶的数字行列式和具有特殊形状的文字或数字行列式）默法则在线性方程组求解理论中的重要性。

本章的重点；行列式的性质与计算。

难点；n 阶行列式的计算

（三）考核要求

1.行列式的定义。要求达到“识记”层次。

1.1 熟练计算二阶与三阶行列式。

1.2 清楚行列式中元素的余子式和代数余子式的定义。

1.3了解行列式的按其第一列展开的递归定义。

1.4熟记三角行列式的计算公式。

2.行列式的性质与计算。要求达到“简单应用”层次。

2.1 掌握并会熟练运用行列式的性质。

2.2掌握行列式的基本方法。

2.3回计算具有特殊形状的数字和文字行列式以及简单的

2.4低阶范德蒙德行列式的计算。

3.克拉默法则。要求达到“简单应用”层次。

3.1知道克拉默法则。

3.2会用克拉默法则求解简单的线性方程组。熟练掌握行列式的计（特别

，会计算简单的行式；理解克拉n 阶行列式。

第二章矩阵

（一）考核知识点

1.矩阵的各种运算的定义及其运算律。重点是矩阵的乘法。

2.分快矩阵的定义及其运算。

3.逆矩阵的定义与性质，伴随矩阵，方阵可逆的判别条件。

4.矩阵的初等变换和初等矩阵。

5.可逆矩阵的逆矩阵的求法。

6.矩阵的秩的定义与求法。

（二）自学要求学习本章，要求掌握矩阵的各种运算及其运算法则；知道方阵可逆的充分必要条件；会

求可逆矩阵的逆矩阵；熟练掌握矩阵的初等变换；理解矩阵的秩定义，会求矩阵的秩。

自考线性代数(经管类)-考点

线性代数

第一章行列式

（一）行列式的定义

行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.

1．二阶行列式

由4个数

得到下列式子：

称为一个二阶行列式，其运算规则为

2．三阶行列式

由9个数

得到下列式子：

称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.

3．余子式及代数余子式

设有三阶行列式

对任何一个元素

，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素

的余子式，记成

例如

，

再记

，称

为元素

的代数余子式.

例如

，

那么，三阶行列式

定义为

我们把它称为

按第一列的展开式，经常简写成

4．n阶行列式

一阶行列式

n阶行列式

其中

为元素

的代数余子式.

5．特殊行列式

上三角行列式

下三角行列式

对角行列式

（二）行列式的性质

性质1 行列式和它的转置行列式相等，即

性质2 用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，也就是说，行列式可以按行和列提出公因数.

性质3 互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号.

推论1 如果行列式中有某两行（列）相同，则此行列式的值等于零.

推论2 如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于零.

性质4 行列式可以按行（列）拆开.

性质5 把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以同一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D.

定理1（行列式展开定理）

自考线性代数(经管类考点)知识点

线性代数（经管类）考点逐个击破

第一章行列式

（一）行列式的定义

行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定的数.

1．二阶行列式

由4个数)2,1,(=j i a ij 得到下列式子：

11122122

a a a a 称为一个二阶行列式，其运算规

则为

2112221122

211211a a a a a a a a -=

2．三阶行列式

由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到下列式子：33

323123222113

1211a a a a a a a a a

3．余子式及代数余子式

设有三阶行列式 33

323123222113

12113a a a a a a a a a D =

对任何一个元素ij a ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ij a 的余子式，记成ij M

例如 33

32232211a a a a M =

，33

32131221a a a a M =

，23

22131231a a a a M =

再记 ij j

i ij M A +-=)1( ，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.

例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 那么，三阶行列式3D 定义为

我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常简写成

线性代数自考知识点汇总

行列式

1. 行列式的性质

性质1 行列式与它的转置行列式相等T

D D =.

性质2 互换行列式的两行（列），行列式变号.

推论1 如果行列式有两行（列）的对应元素完全相同，则此行列式的值为零.

如a b c

a b c 0a b c

'''= 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数k ，等于用数k 乘此行列式.

如11

121311121321

222321222331

3331

a a a a a a ka ka ka k a a a a a a a a a = 推论2 如果行列式中有两行（列）元素成比例，则此行列式的值为零．

如a b c

a b c 0ka kb kc

'''= 性质4 若行列式的某一行（列）的元素都是两数之和，则这个行列式等于两个行列式之和.

如11

121311121311

1213

2121

2222

232321222321222331

3331

3233

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ''''''+++=+ 性质5 把行列式的某一行（列）的各元素乘以同一数然后加到另一行(列)对应的元素上去，行列式的值不变.

如11

121311121321

222321

2331

333111

3212

3313

a a a a a a a a a a a a a a a a ka a ka a ka =+++ 2. 余子式与代数余子式

在n 阶行列式中，把元素ij a 所在的第i 行和第j 列划去后，留下来的n-1阶行列式叫做元素ij a 的余子式，记作ij M ，i j

自考04184线性代数(经管类)-自考核心考点笔记-自考重点资料

《线性代数（经管类）》刘吉佑、徐诚浩主编，

武汉大学出版社新版

第一章行列式

1.1 行列式的定义

1.2 行列式行(列)展开

1.3 行列式的性质与计算

1.3 克拉默法则

第二章矩阵

2.1 线性方程组与矩阵的定义

2.2 矩阵运算

2.3 分阵的逆矩阵

2.4 分块矩阵

2.5 矩阵的初等变换与初等方阵

2.6 矩阵的秩

2.7 矩阵与线性方程组

第三章向量空间

3.1 n维向量概念及其线性运算

3.2 线性相关与线性无关

3.3 向量组的秩

3.4 向量空间

第四章线性方程组

4.1 齐次线性方程组

4.2 非齐次线性方程组

第五章特征值与特征向量

5.1 特征值与特征向量

5.2 方阵的相似变换

5.3 向量内积和正交矩阵

5.4 实对称矩阵的相似标准形

第六章实二次型

6.1 实二次型及其标准形

6.2 正这二次型和正定矩阵

… … (中间部分略)

完整版15页请——

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第一部分行列式

本章概述

行列式在线性代数的考试中占很大的比例。从考试大纲来

看。虽然只占13%左右。但在其他章。的试题中都有必须

用到行列式计算的内容。故这部分试题在试卷中所占比例

远大于13%。

1.1 行列式的定义

1.1.1 二阶行列式与三阶行列式的定义

一、二元一次方程组和二阶行列式

例1.求二元一次方程组

的解。

解：应用消元法得

当时。得

同理得

定义称为二阶行列式。称为二阶行

列式的值。

记为。

于是

由此可知。若。则二元一次方程组的解可表

示为：

例2

二阶行列式的结果是一个数。我们称它为该二阶行列式的

值。

二、三元一次方程组和三阶行列式

考虑三元一次方程组

希望适当选择。使得当

自考线性代数(经管类)公式汇总(精髓版)

第一章行列式

一．行列式的定义和性质

余子式 M ij 和代数余子式 A ij 的定义

2．行列式按一行或一列展开的公式

1） A

ij n

a ij A ij , j

1,2, n ;( A

ij n

a ij A ij , i

1,2, n )

j 1

k j n

A k i

a ij

2）

;

i 1

j 1

测试点行列式的任意一行 ( 列) 与另一行 ( 列 ) 元素的代数余子式的乘积之和为零.

3．行列式的性质

1） A T

2）用数 k 乘行列式的某一行（列）所得新行列式＝原行列式的

k 倍 . 推论

3）互换行列式的任意两行（列）所得新行列式等于原行列式的相反数

. 推论

4）如果行列式中两行（列）对应元素成比例，则行列式值为

5）行列式可以按任一行（列）拆开

6）行列式的某一行（列）的 k 倍加到另一行（列）上，所得新行列式与原行列式的值相等

例设行列式

a 1

=1，

a 1 c 1 =2，则 a 1

b 1

=（

3 ）

a 2

b 2 a 2

c 2

a 2

b 2

c 2

二．行列式的计算

1．二阶行列式和三角形行列式的计算

2. 对一般数字行列式，利用行列式的性质将其降阶以化成二阶行列式或三角形行列式的计算 .

3．对行列式中有一行或一列中只有一个或两个非零元的情况，用这一行或一列展开

4．行列式中各行元素之和为一个常数的类型

5. 范德蒙行列式的计算公式

123

23 3 100 23 3 100 20 3

例( 性质 4)249

49 9

200 49 9

200

40 9 0.

自考本科线性代数(经管类)知识汇总

自考高数线性代数笔记

第一章行列式

1.1 行列式的定义

（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义

（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。

注意：在线性代数中，符号不是绝对值。

例如，且；

（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：

所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减

次对角线的乘积）

例如

（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为

例如=0

三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆

方法是：在已给行列式右边添加已给行列式的第一列、第二列。我们把行列式左上角到右下角的对角线叫主对角线，把右上角到左下角的对角线叫次对角线，这时，三阶行列式的值等于主对角线的三个数的积与和主对角线平行的线上的三个数的积之和减去次对角线三

个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。

例如：

（1）

=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0

（2）

（3）

（2）和（3）叫三角形行列式，其中（2）叫上三角形行列式，（3）叫下三角形行列式，由（2）（3）可见，在三阶行列式中，三角形行列式的值为主对角线的三个数之积，其余五项都是0，例如

例1 a 为何值时，

[答疑编号10010101：针对该题提问]

解因为

所以8-3a=0，时

例2 当x 取何值时，

[答疑编号10010102：针对该题提问]

解：.

解得0

所以当0

（二）n 阶行列式

符号：

它由n 行、n 列元素（共个元素）组成，称之为n 阶行列式。其中，每一个数称为行列式的一个元素，它的前一个下标i 称为行标，它表示这个数在第i 行上；后一个下标j 称为列标，它表示这个数在第j 列上。所以在行列式的第i 行和第j 列的交叉位置上。

自考线性代数重点总结

壱

第一章行列式

一．行列式的定义和性质

1. 余子式ij M 和代数余子式ij A 的定义

例1行列式

111101111011

------第二行第一列元素的代数余子式21A =（）

A ．2-

B ．1-

C ．1

D ．2

测试点余子式和代数余子式的概念

解析

111101111011

------,21

21211

11111(1)

0101

211

A M +--=-=--=--=--- 答案 B

2．行列式按一行或一列展开的公式 1）1

,1,2,

;(,1,2,

ij ij ij

ij ij n

i j A a a A j n A a a A i n ========∑∑

2）11 ; 00

n ij ik ij kj i j k j k i A A

a A a A k j k i ====⎧⎧==⎨⎨≠≠⎩⎩∑∑ 例2 设某3阶行列式的第二行元素分别为1,2,3,-对应的余子式分别为3,2,1--则此行列式的值为 .

测试点行列式按行(列)展开的定理

解 212223

212223212223(1)23(1)(1)2(1)3(1)D A A A M M M +++=-⋅++=--+-+-

34310=---=-

例3 已知行列式的第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x 问x = . 测试点行列式的任意一行(列)与另一行(列)元素的代数余子式的乘积之和为零.

解因第一列的元素为1,4,3,2-，第二列元素的代数余子式为2,3,4,x ,故1243(3)420x ⨯+⨯+-⨯+= 所以1x =-

自考线性代数(经管类)重点考点

自考线性代数（经管类）重点考点

线性代数（经管类）考点逐个击破

第一章行列式

（一）行列式的定义

行列式是指一个由若干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个

式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进行运算，其结果为一个确定

的数.

1．二阶行列式

由4个数aij(i,j1,2)得到下列式子：

a11a12a21a22称为一个二阶行列式，其运算规则为

a11a12a21a22a11a22a12a21

2．三阶行列式

a11a12a13由9个数aij(i,j1,2,3)得到下列式子：a21a22a23 a31a32a33称为一个三阶行列式，它如何进行运算呢？教材上有类似

于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中

元素的余子式及代数余子式的概念.

3．余子式及代数余子式

a11a12a13设有三阶行列式D3a21a22a23

a31a32a33对任何一个元素aij，我们划去它所在的第i行及第j列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素aij的余子式，

记成Mij

例如M11a22a23a32a33ij，M21a12a13a32a33，M31a12a13a22a23再记Aij(1)Mij，称Aij为元素aij的代数余子式.

例如A11M11，A21M21，A31M31那么，三阶行列式D3定义为

a11a12a13D3a21a22a23a11A11a21A21a31A31a31a32a33简写成D3我们把它称为D3按第一列的展开式，经常

ai13i1Ai1(1)i1ai1Mi1

i134．n阶行列式

自考本科线性代数(经管类)知识汇总

自考高数线性代数笔记

第一章行列式

1.1 行列式的定义

（一）一阶、二阶、三阶行列式的定义

（1）定义：符号叫一阶行列式，它是一个数，其大小规定为：。

注意：在线性代数中，符号不是绝对值。

例如，且；

（2）定义：符号叫二阶行列式，它也是一个数，其大小规定为：

所以二阶行列式的值等于两个对角线上的数的积之差。（主对角线减

次对角线的乘积）

例如

（3）符号叫三阶行列式，它也是一个数，其大小规定为

例如=0

三阶行列式的计算比较复杂，为了帮助大家掌握三阶行列式的计算公式，我们可以采用下面的对角线法记忆

个数的积与次对角线的平行线上数的积之和。

例如：

（1）

=1×5×9+2×6×7+3×4×8-3×5×7-1×6×8-2×4×9=0

（2）

（3）

例1 a 为何值时，

[答疑编号10010101：针对该题提问]

解因为

所以8-3a=0，时

例2 当x 取何值时，

[答疑编号10010102：针对该题提问]

解：.

解得0

所以当0

（二）n 阶行列式

符号：

自考线性代数(经管类)整理

只有一阶方阵是一个数，而且行列式记号“ * ”与矩阵记号“ * ”也不同，不能用错. 矩阵仅是一个数表，而 n 阶行列式的最后结果为一个数，因而矩阵与行列式是两个完全不同的概念，
（二）矩阵的运算
1．矩阵的同型与相等设有矩阵 A (aij ) mn ， B (bij ) k ，若 m k ， n ，则说 A 与 B 是同型矩阵.若 A 与 B 同型,且
b a b 0 0 0 b 0 a b 0 0 b 0 0 a b 0 b 0 0 0 a b 4b 4 1 (a b) (a 3b)(a b) a b
1
Hale Waihona Puke Baidu
4b a b 0 0 0 0
1
例3 三阶范德蒙德行列式 V3 x1
1 x2
5．方阵的乘幂与多项式方阵设 A 为 n 阶方阵，则规定 Am ，特别 A 0 E AA A
m个
又若 f ( x ) am x m am 1 x m 1 a1 x a0 ，则规定 f ( A) am Am am 1 Am 1 a1 A a0 E 称 f ( A) 为 A 的方阵多项式，它也是一个 n 阶方阵
解：方程组的系数行列式
1 2 D 1
4
1 3 4 1 0 2 1 1 1 1 1 1 (1 )

自考线性代数经管类要点考点

线性代数〔经管类〕考点逐个击破

第一章行列式

〔一〕行列式的定义

行列式是指一个由假设干个数排列成同样的行数与列数后所得到的一个式子，它实质上表示把这些数按一定的规则进展运算，其结果为一个确定的数.

1．二阶行列式

由4个数)2,1,(=j i a ij 得到以下式子：

11122122

a a a a 称为一个二阶行列式，其运算规则为

2．三阶行列式

由9个数)3,2,1,(=j i a ij 得到以下式子：33

323123222113

1211a a a a a a a a a

称为一个三阶行列式，它如何进展运算呢.教材上有类似于二阶行列式的所谓对角线法，我们采用递归法，为此先要定义行列式中元素的余子式及代数余子式的概念.

3．余子式及代数余子式

设有三阶行列式 33

323123222113

12113a a a a a a a a a D =

对任何一个元素ij a ，我们划去它所在的第i 行及第j 列，剩下的元素按原先次序组成一个二阶行列式，称它为元素ij a 的余子式，记成ij M

例如 33

32232211a a a a M =

，33

32131221a a a a M =

，23

22131231a a a a M =

再记 ij j

i ij M A +-=)1( ，称ij A 为元素ij a 的代数余子式.

例如 1111M A =，2121M A -=，3131M A = 则，三阶行列式3D 定义为

我们把它称为3D 按第一列的展开式，经常简写成∑∑=+=-==

1113

3)1(i i i i i i i M a A a

自考线性代数02198 复习要点、公式

1、｜A｜=｜A T｜、｜A*｜=｜A｜n-1、A=(A-1)-1、A=(A*)*、｜kA-1｜=k n｜A-1｜、｜A-1｜=1/｜A｜

2、n（n≥2）阶行列式的第i行元素与第k行元素的代数余子式乘积之和为0

3、n元线性方程组的系数行列式｜A｜≠0，则方程组有惟一解，且x

i =｜B

｜/｜A｜,当所有常数项都

为0时，则方程组有惟一零解；反之，若n元齐次线性方程组有非零解，则系数行列式｜A｜＝0

4、一般情况下AB≠BA、（AB）k≠A k B k

5、A T A=0 => A=0

6、A T A=E <=> A是一个正交矩阵、A可逆，｜A｜=±1，且A T=A-1

7、（AB）T＝B T A T、（AB）-1＝B-1A-1、（AB）*＝B*A*、A*A=AA*=｜A｜E

8、若AB =E，则A、B互为可逆矩阵(AB=BA=E)、AA-1= A-1A=E、｜A｜≠0、｜B｜≠0

9、若｜B｜≠0，则r(AB)= r(A)

10、若P、Q为m、n阶可逆矩阵，则对任意m×n阶矩阵A有r(PA)=r(AQ)= r(PAQ)= r(A)

若n阶方阵A，当r(A)=n时，r(A*)=n；当r(A)=n-1时，r(A*)=1；当r(A)﹤n-1时，r(A*)=0

11、A可逆 <=> r(A)=n

12、A不可逆（或｜A｜＝0） <=> r(A)＜n

13、R n中的向量组α

1,α

,…,α

线性相关 <=> 存在不全为0的常数k

,…,k

,使得

1α