高一数学竞赛练习一

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高一年级竞赛数学：4.排序不等式与切比雪夫不等式

A4.排序不等式与切比雪夫不等式一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ianna==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c ++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,n i i x ==∑求证：1ni =≥A4.排序不等式与切比雪夫不等式参考解答一、基础知识排序不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤12,,,n j j j 是1,2,,n 的任意一个排列.则1111k nnnk n k k j k k k k k a ba b a b -+===≤≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.可简记为反序和≤乱序和≤同序和.证明：11111111()()(())()kk k i nnnnn kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111()()()()()0.k i i n nn k k n k kn k j i j k k i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a --++=========-+--=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()(())()kk k i n nn n n kk kkj k k j n k j i j k k k k k k k i a b a ba b b a b b b b a a -+======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑.于是11.knnk j k k k k a ba b ==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.111111111111()()(())()k k k i nn n n n kk n k k j k n k j n n k j n i j k k k k k k k i a ba b a b b a b b b b a a --+-+-+-++======-=-=-+--∑∑∑∑∑∑111111111111111()()()()()0.k i i n n n k k n k kn n k j n i j k k n i j k k k k k i i k i i a b b b b a a b b a a ---+-++-++=========-+--=--≤∑∑∑∑∑∑∑∑于是111.k nnk n k k j k k a ba b -+==≤∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.切比雪夫不等式：设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≤≤≤则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑设12n a a a ≤≤≤,12.n b b b ≥≥≥则111()().n n ni i i i i i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.证明：法1由排序不等式知道1122112212231112212111122n n n n n n n n n n n na b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b -+++=++++++≤++++++≤+++于是121111.nnnniin i i i i i i i a b a b a b n a b ====+++≤∑∑∑∑即111()().nnni i i i i i i a b n a b ===≤∑∑∑当且仅当12n a a a ===或12n b b b ===时取等.法2 11111111111()()()().nnnnnnnnnnni iiii ii ji ii jiiji i i i j i j i j i j na b a b a b a b a b a b a b b ===========-=-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑11111111()()()()().n n n n n n n ni i i i j j j j j j i i i i j j j i j n a b a b n a b a b a b b ========-=-=-∑∑∑∑∑∑∑∑于是1111111112(()())()()()()0.n n n n n n nn ni iiiiijjji i j i j i i i i j i j i j na b a b a b b a bb a a b b =========-=-+-=--≥∑∑∑∑∑∑∑∑∑于是111()().nnniii ii i i a b n a b ===≥∑∑∑当且仅当12n aa a ===或12nb b b ===时取等.二、典型例题与基本方法1.用排序不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,1,nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：由排序不等式知道12121112111111.nnn n nx x x x x x n x x x x x x -+++≥+++= 即1211.nn n x x x n x x x -+++≥ 令G =12112122,,,.nn na a a a a a x x x G GG===于是1211221211211.nn n n nn a a a a a a GG G n a a a a a a a G G G--+++≥即12.na a a n G GG+++≥ 于是1.nii anG =≤∑1.nii an=∑当且仅当12n a a a ===取等.2.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则11,1nii ni ian na ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120,n a a a ≥≥≥>则12111.na a a ≤≤≤由切比雪夫不等式知211111()().nn ni i i i i i in n a a a a ====⋅≤∑∑∑所以11.1ni i ni ia n n a ==≥∑∑当且仅当12n a a a ===取等.3.已知,,0a b c >,证明：888333111.a b c a b c a b c++++≤ 证明：不妨设0,a b c ≥≥>则555333333111,,a b c bc ca ab b c c a a b≥≥≤≤≥≥由排序不等式知 888555555222333333333333333333.a b c a b c a b c a b c a b c b c c a a b c a a b b c c a b++=++≥++=++又222333111,,a b c a b c ≥≥≤≤于是再使用排序不等式得222222333333111.a b c a b c c a b a b c a b c++≥++=++所以888333111.a b c a b c a b c++++≤4.设,,a b c 是ABC ∆的三边长,证明：222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥证明：等价于证明333222222.a b b c c a a b b c c a ++≥++再等价于222.a b c ab bc cac a b c a b++≥++(*) 不妨设,a b c ≥≥则111.a b c≤≤ 又,,a b c 是ABC ∆的三边长,所以,a b c +>从而()()().a b a b c a b +-≥-即22.a bc b ac +≥+因为,b c a +>从而()()().b c b c a b c +-≥-即22.b ac c ab +≥+所以222.a bc b ac c ab +≥+≥+由排序不等式知222222.a bc b ac c ab a bc b ac c aba b c c a b++++++++≤++ 即222.bc ac ab a b c a b c c a b++≤++于是(*)得证.从而222()()()0.a b a b b c b c c a c a -+-+-≥5.设,,,0,a b c d >且22224,a b c d +++=证明：22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++ 证明：不妨设.a b c d ≥≥≥则22221111,.a b c d b c d c d a d a b a b c≥≥≥≥≥≥++++++++先切比雪夫不等式,再使用柯西不等式,最后使用平均值不等式得2222222211114(+)()(+)a b c d a b c d b c d c d a d a b a b c b c d c d a d a b a b c++≥+++++++++++++++++++++211114(1111)644(+)3()3()b c d c d a d a b a b c a b c d a b c d +++=++≥=++++++++++++++16.3≥=于是22224+.3a b c d b c d c d a d a b a b c ++≥++++++++6.设0(1,2,,),i a i n >=且11.ni i a ==∑求122313121111nnnn a a a S a a a a a a a a a -=+++++++++++++++的最小值.解：1212222nna a aS a a a =+++---. 不妨设1210,n a a a >≥≥≥>则121110.222na a a ≥≥≥>--- 使用切比雪夫不等式有12121211111111()()().222222n n nS a a a na a a n a a a ≥++++++=+++------ 在使用柯西不等式得2121211111(111)()().22222221n n n S n a a a n a a a n +++≥+++≥=----+-++-- 当且仅当121n a a a n ====等号成立.所以S 的最小值为.21nn -7.设,,1,a b c >且满足222111 1.111a b c ++=---证明：111 1.111a b c ++≤+++ 证明：因为2222222221113,111111a b c a b c a b c ++=++-------所以222222 4.111a b c a b c ++=---又22222222211144(),111111a b c a b c a b c ++==++------所以2222224440.111a b c a b c ---++=--- 不妨设,a b c ≥≥于是222222,.111111a b c a b c a b c a b c ---+++≥≥≤≤+++--- 这是因为23()111x f x x x -==-++在(1,)+∞单调递增,23()111x g x x x +==+--在(1,)+∞单调递减. 于是使用切比雪夫不等式得22222244412222220()().1113111111a b c a b c a b c a b c a b c a b c ------+++=++≤++++---+++--- 因为,,1,a b c >所以2220.111a b c a b c +++++>--- 于是2220.111a b c a b c ---++≥+++ 因为22213131311133()0.111111111a b c a b c a b c a b c a b c ---+-+-+-++=++=-++≥+++++++++ 所以1111.111a b c ++≤+++8.设,,0,a b c >证明：2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++ 证明：即证2()()().a b b c c aab bc ca a b c b c c a a b+++++++≤+++++ 因为()()().a b a b bcab bc ca a a b b c b c ++++=++++ 同理()()().b c b c caab bc ca b b c c a c a++++=++++ ()()().c a c a ab bc ca ab c c a a b a b++++=++++ 于是()()()()()()()()a b b c c a a b bc b c ca c a abab bc ca a a b b b c c c a b c c a a b b c c a a b++++++++++≤++++++++++++++ 222()()().a b bc b c ca c a aba b c ab bc ca b c c a a b+++=+++++++++++于是只须证明()()().a b bc b c ca c a abab bc ca b c c a a b+++++≤+++++(*)不妨设,a b c ≥≥于是111.a b c ≤≤从而111111.a b b c c a +≤+≤+即.a b c a b c ab ca bc+++≤≤ 所以.ab ca bca b c a b c≥≥+++又.a b a c b c +≥+≥+ 使用排序不等式得()()()()()().a b bc b c ca c a ab ab ca bca b c a b c ab bc ca b c c a a b a b c a b c+++++≤+++++=++++++++于是(*)得证.从而2().a b b c c a a b c b c c a a b ab bc ca+++++++≤+++++B4.练习姓名：1.用切比雪夫不等式证明：设12,,,n a a a 是正数,则1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.证明：不妨设120.n a a a ≥≥≥>由切比雪夫不等式知2211111()()().nnnnnii i i i i i i i i i nan a a a a a ======⋅≤=∑∑∑∑∑所以1nii an=≤∑当且仅当12n a a a ===取等.2.设,,0,x y z >求证：2222220.z x x y y z x y y z z x---++≥+++证明：所证不等式等价于222222.z x y x y z x y y z x z x y y z z x++≥++++++++(*)不妨设,x y z ≤≤则222111,.x y z x y x z y z≤≤≥≥+++ 使用排序不等式得(*).所以原不等式成立.3.设12,,,(2)n x x x n ≥都是正数,且11,ni i x ==∑求证：1ni =≥证明：不妨设12,n x x x ≥≥≥1x ≥≥≥-使用切比雪夫不等式得1111()(nnn ni i i i x n ===≥=∑使用柯西不等式得1ni n=≤==于是1nni =≥≥。

高中数学竞赛讲义第一讲《复数》练习

高中数学竞赛第一讲复数一、基础知识1．复数的运算法则：三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+i sin θ1), z 2=r 2(cos θ2+i sin θ2)，则z 1••z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+i sin(θ1+θ2)]；11222(0),z r z z r ≠=[cos(θ1-θ2)+i sin(θ1-θ2)]，或记为z 1z 2=r 1r 212()i e θθ+；.)(212121θθ-=i e r r z z 2．棣莫弗定理：[r (cos θ+i sin θ)]n =r n (cos nθ+i sin nθ). 3．开方：若=nw r (cos θ+i sin θ)，则)2sin2(cosnk i nk r w n πθπθ+++=，k =0,1,2,…,n -1。

4．方程10(2n x n n n -=≥为自然数，且）的个根记为：22cossin (0,1,2,,1)k k k i k n n nππε=+=-称为1的n 次单位根。

由棣莫弗定理，全部n 次单位根可表示为112111-n εεε ，，，。

关于单位根，有如下常用性质：)20111211≥=++++-n n （εεε ；任意两个单位根j i εε,的乘积仍为一个n 次单位根，且（1）的余数）除以是其中时，当n j i k n j i k j i j i j i +=≥+=⋅++,(εεεεε；（2）设m 为整数，1≠n ，则⎩⎨⎧=++++-的倍数）不是的倍数），是n m n m n mn m m (0(1121εεε（3）1+z 1+z 2+…+z n -1=0；（4）x n -1+x n -2+…+x +1=(x -z 1)(x -z 2)…(x -z n -1)=(x -z 1)(x -21z )…(x -11n z -). 特别地：1的立方根有：1，ω＝－12＋32i ，-ω＝－12－32i（1）ω3＝-ω3＝1 （2）1＋ω＋ω2＝0或1＋-ω＋-ω2＝0 （3）ω-ω＝1 （4）ω2＝-ω，-ω2＝ω （5）(1±i )2＝±2i ，(3±4i )2＝－7±24i5．代数基本定理：在复数范围内，一元n 次方程至少有一个根。

上海高一高中数学竞赛题目

上海高一高中数学竞赛题目为了准确满足标题描述的内容需求，我将按照数学竞赛试题的格式给你写一篇关于上海高一高中数学竞赛的文章。

以下是正文：上海高一高中数学竞赛题目第一题：几何问题已知正方形ABCD的边长为2，点E、F分别是线段BC、CD上的点，且满足BE = 3CF。

若四边形AEFD的面积为S，求S的值。

解析：首先，我们可以根据题意得知三角形BEA与三角形CFD是全等三角形，因为它们的两条边相等，所以它们的面积也相等。

又根据正方形的特性可知，三角形BEA和三角形CFD是等腰直角三角形，所以它们的面积可以通过直角边的平方除以2来求得。

设BE = x，则CF = (2 - x) / 3。

根据等腰直角三角形的面积公式，BEA的面积为 x^2 / 2，CFD的面积为 [(2 - x) / 3]^2 / 2。

由于AEFD是正方形ABCD减去三角形BEA和三角形CFD所得到的四边形，所以S = 2 - (x^2 / 2) - {[(2 - x) / 3]^2 / 2}。

将式子进行整理和计算，可得S = (5x^2 - 16x + 8) / 18。

第二题：函数问题已知函数f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c的图像经过点P(2, 2)，Q(3, 4)，R(4, 8)。

求函数f(x)的解析式。

解析：首先，我们将点P(2, 2)代入函数f(x)，可得 2 = 8 + 4a + 2b + c。

同理，将点Q(3, 4)代入函数f(x)，可得 4 = 27 + 9a + 3b + c。

再将点R(4, 8)代入函数f(x)，可得 8 = 64 + 16a + 4b + c。

通过解这个线性方程组，可以求得函数f(x)的解析式。

解方程组得到 a = -4, b = 2, c = -4，所以函数f(x)的解析式为 f(x) =x^3 - 4x^2 + 2x - 4。

第三题：概率问题若从一副完整的扑克牌中随机抽取两张牌，求这两张牌中至少有一张是红心的概率。

专题01 集合真题专项训练(全国竞赛+强基计划专用)学生版

专题01集合真题专项训练(全国竞赛+强基计划专用)一、单选题1(2020·北京·高三校考强基计划)设A，B，C是集合{1,2,⋯,2020}的子集，且满足A⊆C,B⊆C，这样的有序组(A,B,C)的总数是()A.32020B.42020C.52020D.620202(2021·全国·高一专题练习)已知非空集合A1,A2是集合A的子集，若同时满足两个条件：(1)若a∈A1，则a∉A2；(2)若a∈A2，则a∉A1；则称(A1,A2)是集合A的“互斥子集”，并规定(A1,A2)与(A2,A1)为不同的“互斥子集组”，则集合A={1,2,3,4}的不同“互斥子集组”的个数是()A.11B.28C.32D.503(2021·北京·高三强基计划)现有7把钥匙和7把锁．用这些钥匙随机开锁，则D1,D2,D3这三把钥匙不能打开对应的锁的概率是()A.1321B.67105 C.23 D.以上答案都不对4(2021·全国·高一专题练习)设集合S，T，S，T中至少有2个元素，且S，T满足：①对于任意的x,y ∈S，若x≠y，则x+y∈T；②对于任意的x,y∈T，若x<y，则y-x∈S.若S有3个元素，则T可能有()A.2个元素B.3个元素C.4个元素D.5个元素5(2021·北京·高三强基计划)设正整数m，n均不大于2021，且mn+1<2<m+1n，则这样的数组(m,n)的个数为()A.2021B.1428C.3449D.以上答案都不对二、填空题6(2022·新疆·高二竞赛)设集合3a+b 1≤a ≤b ≤4 中的最大元素与最小元素分别为M ，N ，则M -N =．7(2022·浙江·高二竞赛)已知集合A =x x -n x -n 2+n ≤0,n ∈N + ，若集合A 中恰有9个正整数，则n =.8(2020·江苏·高三竞赛)设n ∈N *，欧拉函数φn 表示在正整数1，2，3，⋯，n 中与n 互质的数的个数，例如1，3都与4互质，2，4与4不互质，所以φ4 =2，则φ2020 =．9(2022·广西·高二统考竞赛)设A 、B 是集合1,2,⋅⋅⋅,20 的两个子集，A ∩B =∅，且n ∈A 时2n +2∈B ．记M A 为A 的元素之和，则M A 的最大值是．10(2022·福建·高二统考竞赛)已知A 1，A 2，⋯，A n 是集合A =1,2,3,⋯,10 的n 个非空子集，如果对于任意的i ，j ∈1,2,3,⋯,n ，均有A i ∪A j ≠A ，则n 的最大值为.11(2022·浙江金华·高三浙江金华第一中学校考竞赛)定义：如果甲队赢了乙队，乙队赢了丙队，而丙队又赢了甲队，则称甲乙丙为一个“友好组”.如果20支球队参加单循环比赛，则友好组个数的最大值为.12(2021·全国·高三竞赛)已知非空集合X ⊆M ={1,2,⋯,2019,2020}，用f X 表示集合X 中最大数和最小数的和，则所有这样的f X 的和为.13(2020·浙江·高三专题练习)记S 为集合S 的元素个数，σS 为集合S 的子集个数，若集合A ，B ，C 满足：①A =B =2020；②σA +σB +σC =σA ∪B ∪C ，则A ∩B ∩C 的最大值是.14(2022·全国·高三专题练习)已知n ∈N *，集合M n =12,34,58,⋯,2n -12n，集合M n 的所有非空子集的最小元素之和为T n ，则使得T n >80的最小正整数n 的值为．15(2022·浙江·高二竞赛)给定正整数n ，k n ≥k ，记X =1,2,⋅⋅⋅,n 从X →X 的一一映射f 称为是可k -划分的：若X 可划分为k 个非空子集A 1，A 2，⋯，A k ，且f A i =A i (i =1，2，⋯，k )(即X =A 1∪A 2∪⋅⋅⋅∪A k ，且A 1，A 2，⋯，A k 两两的交集为空集，f A i =f x x ∈A i ).已知f 是一个X 的k -划分的一一映射，a 1，a 2，⋯，a n 是1，2，⋯，n 的一个排列，则ni =1a i +1-f a i 的最小值为.16(2022·北京·高一统考竞赛)对实数x 1,x 2,⋯,x 19，不超过f x 1,x 2,⋯,x 19 =1k 1=01k 2=0⋯ 1k 19=0k 1x 1+k 2x 2+⋯+k 19x 19-1 的最小值的最大整数为．17(2022·北京·高一统考竞赛)有个不超过2020的正整数k ，满足对任意的正整数n ，均有3(k -1)n +1∤(kn )!n !2．三、解答题18(2021·浙江·高二竞赛)设数集P=a1,a2,⋯,a m，它的平均数C p=a1+a2+⋯+a mm.现将S={1,2,⋯,n}分成两个非空且不相交子集A，B，求C A-C B的最大值，并讨论取到最大值时不同的有序数对A,B的数目.19(2022·福建·高二统考竞赛)某校数学兴趣小组有14位同学，他们组成了n个不同的课题组.每个课题组有6位同学，每位同学至少参加2个课题组，且任意两个课题组至多有2位共同的同学，求n的最大值.20(2022春·浙江·高一校联考竞赛)已知1≤i<j≤2022i,j∈N*，求最大的实数C，使得对任意大于2022的正整数n及实数r1,r2,⋅⋅⋅,r n，存在集合1,2,⋅⋅⋅,n的一个子集S满足i≤S∩t,t+1,⋅⋅⋅,t+2022≤j对所有t=1,2,⋅⋅⋅,n-2022恒成立且∑m∈S r m≥C⋅∑nm=1r m .21(2021·全国·高三竞赛)设集合S是由平面上任意三点不共线的4039个点构成的集合，且其中2019个点为红色，2020个点为蓝色；在平面上画出一组直线，可以将平面分成若干区域，若一组直线对于点集S 满足下述两个条件，称这是一个“好直线组”：(1)这些直线不经过该点集S中的任何一个点；(2)每个区域中均不会同时出现两种颜色的点.求k的最小值，使得对于任意的点集S，均存在由k条直线构成的“好直线组”.22(2021·全国·高三竞赛)已知X是一个有限集.X=A1∪⋯∪A10,X=B1∪⋯∪B10是满足如下性质的两个分划：若A i∩B j=∅,1≤i≤j≤10，则A i∪B j≥10.求X 的最小值.23(2021·全国·高三竞赛)设M=1,2,3,⋯,2m⋅nm,n∈N+是连续2m⋅n个正整数组成的集合，求最小的正整数k，使得M的任何k元子集中都存在m+1个数a1,a2,⋯,a m+1满足a i a i+1(i=1,2,⋯,m)．24(2021·全国·高三竞赛)设n是正整数，我们说集合{1,2,⋯,2n}的一个排列x1,x2,⋯,x2n具有性质P，是指在{1,2,⋯,2n-1}当中至少有一个i，使得x i-x i+1=n.求证：对于任何n，具有性质P的排列比不具有性质P的排列的个数多.25(2023·全国·高三专题练习)设数列A:a1,a2,⋯,a n(n≥3)的各项均为正整数，且a1≤a2≤⋯≤a n.若对任意k∈{3,4,⋯,n}，存在正整数i,j(1≤i≤j<k)使得a k=a i+a j，则称数列A具有性质T.(1)判断数列A1:1,2,4,7与数列A2:1,2,3,6是否具有性质T；(只需写出结论)(2)若数列A具有性质T，且a1=1，a2=2，a n=200，求n的最小值；(3)若集合S={1,2,3,⋯,2019,2020}=S1∪S2∪S3∪S4∪S5∪S6，且S i∩S j=∅(任意i,j∈{1,2,⋯,6}，i≠j).求证：存在S i，使得从S i中可以选取若干元素(可重复选取)组成一个具有性质T的数列.26(2019·浙江·高三校联考竞赛)设X是有限集，t为正整数，F是包含t个子集的子集族：F=A1,A2,⋯,A t.如果F中的部分子集构成的集族S满足：对S中任意两个不相等的集合A、B，A⊂B,B⊂A均不成立，则称S为反链.设S1为包含集合最多的反链，S2是任意反链.证明：存在S2到S1的单射f，满足∀A∈S2,f(A)⊂A或A⊂f(A)成立.27(2022·全国·高三专题练习)对给定的正整数n，令Ωn={a=(a1，a2，⋯，a n)|a i∈{0，1}，i=1，2，3，⋯，n}．对任意的x=(x1，x2，⋯，x n)，y=(y1，y2，⋯，y n)∈Ωn，定义x与y的距离d(x,y)=x1-y1+ x2-y2+⋯+．设A是Ωn的含有至少两个元素的子集，集合D={d(x,y)|x≠y，x，y∈A} x n-y n中的最小值称为A的特征，记作χ(A)．(Ⅰ)当n=3时，直接写出下述集合的特征：A={(0，0，0)，(1，1，1)}，B={(0，0，0)，(0，1，1)，(1，0，1)，(1，1，0)}，C={(0，0，0)，(0，0，1)，(0，1，1)，(1，1，1)}．(Ⅱ)当n=2020时，设A⊆Ω2020且χ(A)=2，求A中元素个数的最大值；(Ⅲ)当n=2020时，设A⊆Ω2020且χ(A)=3，求证：A中的元素个数小于220202021．28(2022·全国·高三专题练习)班级里共有n n≥3名学生，其中有A，B，C．已知A，B，C中任意两人均为朋友，且三人中每人均与班级里中超过一半的学生为朋友．若对于某三个人，他们当中任意两人均为朋友，则称他们组成一个“朋友圈”．(1)求班级里朋友圈个数的最大值F n ．(2)求班级里朋友圈个数的最小值G n ．29(2022·浙江杭州·高三学军中学校考竞赛)我们称X为“花式集合”，如果它满足如下三个条件：(a)X =2022；(b)X的每个元素都是包含于0,1中的闭区间(元素可重复)；(c)对于任意实数r∈0,1,X中包含r的元素个数不超过1011.对于“花式集合”A､B和区间I∈A､J∈B，用n A,B的的数量.求n A,B表示使得I∩J≠∅的对I,J最大值.30(2020·江苏南通·统考模拟预测)整数n≥2，集合P=x1≤x≤n,x∈N，A，B，C是集合P的3个非空子集，记a n，为所有满足AÜB，A∪B∪C=P的有序集合对(A,B,C)的个数．(1)求a2；(2)求a n．。

高中数学竞赛不等式

高中数学竞赛不等式有答案1．不等式的概念与性质【一】知识要点1．理解不等式的概念，掌握不等式的性质，能运用性质正确、迅速地对不等式进行转换。

2．在利用不等式的性质时，应特别注意条件的限制。

【二】解题指导例1：若610≤≤a ，122a b a ≤≤，c a b =-，求c 的取值范围。

例2：设c d R ,∈+，且c d a +≤，c d b +≤，证明：ca db ab +≤例3：已知函数f x ax c ()=-2满足-≤≤-411f ()，-≤≤125f () 求证：-≤≤1320f ()【三】巩固练习一、选择题1、下列四个命题：（1）若ax b >，则x b a>；（2）若a x a y 22>，则x y >；（3）若()()a x a y 2211+>+，则x y >；（4）若xa y a 22>，则x y >。

其中正确的命题的个数是（A ）1个（B ）2个（C ）3个（D ）4个2、若a b ,是任意实数，且a b >，则（A ）a b 22> （B ）b a>1 （C ）lg()a b ->0 （D ）b a )21()21(< 3、若a b >+1，下列各式中正确的是（A ）a b 22> （B ）ab>1 （C ）lg()a b ->0 （D ）lg lg a b > 4、已知a b <-<<010,，则下列不等式成立的是（A ）a ab ab >>2 （B ）ab ab a 2>> （C ）ab a ab >>2 （D ）ab ab a >>2 5、若x y z ,,均为大于-1的负数，则一定有（A ）x y z 2220--< （B ）xyz >-1（C ）x y z ++<-3 （D ）()xyz 21> 6、当a b c >>时，下列不等式成立的是（A ）ab ac > （B ）a c b c ||||> （C ）||||ab bc > （D ）()||a b c b -->0 二、填空题1、已知a b c R ,,∈，且a c b <<，则c ab 2+ ()a b c +（用不等号连结）。

阿里巴巴数学竞赛决赛试题

阿里巴巴数学竞赛决赛试题一、选择题1、在以下哪个选项中，等式√x = 2x的解是正数？A. x = 4B. x = 9C. x = 16D. x = 202、如果一个矩形的长和宽分别为 a和 b，那么它的面积最大值是：A.当 a = b时B.当 a > b时C.当 a < b时D.与 a和 b的值无关3、若 x + 4y = 0，且 x和 y均为非负数，则 (x - 4y)²的值可能是：A. 16B. 15C. 9D. 0二、填空题4、一个六边形的内角和为____。

41、在一个等差数列中，前四项的和为 40，第五项到第九项的和为135，则整个等差数列的和为____。

411、在一个三角形中，如果最大的角小于 90度，那么这个三角形是____。

4111、如果一个正方形的面积是 100平方厘米，那么它的周长是____厘米。

本文在一个长方体中，如果它的长、宽和高分别为 a、b和 c，那么它的表面积是____。

本文如果 x² + xy = 20，且 y是 x的 4倍，则 x =____。

本文在一个正方形中，如果一条对角线的长度为 8厘米，那么这个正方形的面积是____平方厘米。

三、解答题11.求方程 x³ + y³ = 25的所有实数解。

12.一个圆柱体的高度是 10厘米，底面半径是 r厘米。

如果圆柱体的侧面积等于其表面积，求底面半径 r的值。

13.求下列数列的前 n项和：Sn=1+1/2+1/3+…+1/n。

全国化学奥林匹克竞赛是一项旨在培养学生化学兴趣、提高化学素养的竞赛活动。

经过初赛、省级选拔赛和全国决赛等多个环节，最终选拔出优秀的学生代表中国参加国际化学奥林匹克竞赛。

而全国化学奥林匹克竞赛决赛理论试题作为竞赛的重要组成部分，对于参赛学生的成绩有着重要影响。

本文将对近10年全国化学奥林匹克竞赛决赛理论试题进行分析，并探讨对我们的启示和建议。

对于近10年全国化学奥林匹克竞赛决赛理论试题的分析，我们可以从以下几个方面展开：难度：从近10年的试题来看，全国化学奥林匹克竞赛决赛理论试题的难度逐渐增加，特别是在有机化学、分析化学和物理化学等知识点上，需要对基础知识有更深入的理解和运用。

数学竞赛指数与对数的综合算式练习题

数学竞赛指数与对数的综合算式练习题在数学竞赛中，指数和对数是常见的数学概念和运算方法。

本文将通过综合算式练习题的形式，帮助读者加深对数学竞赛中指数和对数的理解和应用。

1. 练习题一：指数的运算计算以下表达式的结果：a) $2^3 \times 2^5$b) $4^2 \div 4^3$c) $(3^4)^2$解答：a) $2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} = 2^8$b) $4^2 \div 4^3 = 4^{2-3} = 4^{-1}$c) $(3^4)^2 = 3^{4 \times 2} = 3^8$2. 练习题二：对数的性质根据对数的性质，计算以下表达式的结果：a) $\log_{2} 8$b) $\log_{3} 1$c) $\log_{5} 125$解答：a) $\log_{2} 8 = 3$，因为$2^3 = 8$b) $\log_{3} 1 = 0$，因为$3^0 = 1$c) $\log_{5} 125 = 3$，因为$5^3 = 125$3. 练习题三：指数和对数的综合运算根据指数和对数的运算规则，计算以下表达式的结果：a) $2^{\log_{2} 5}$b) $\log_{4} (2^4)$c) $\log_{3} (3^{2x})$解答：a) $2^{\log_{2} 5} = 5$，因为$\log_{2} 5$表示以2为底，结果为5的对数，2的指数为5，因此结果为5。

b) $\log_{4} (2^4) = 4\log_{4} 2$，因为$4^{\log_{4} 2}$表示以4为底，结果为2的对数，4的指数为2，因此结果为2。

c) $\log_{3} (3^{2x}) = 2x$，因为$\log_{3} (3^{2x})$表示以3为底，结果为$3^{2x}$的对数，3的指数为$2x$，因此结果为$2x$。

4. 练习题四：指数与对数的实际应用某城市人口增长率每年为3%，现有人口为100万人。

东北育才高中(科高)数学竞赛练习卷(牟欣)

2017年高中数学竞赛练习卷编制单位：东北育才学校科学高中部牟欣学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、选择题(本大题共32小题，共160.0分)1.已知矩形ABCD的周长为18，把它沿图中的虚线折成正六棱柱，当这个正六棱柱的体积最大时，它的外接球的表面积为（）A.13πB.12πC.11πD.10π2.设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（-2，1]上的图象，则f（2011）+f（2013）=（）A.3B.2C.1D.03.已知全集U=R，集合A={y|y=，x＞0}，B={y|y=2x，x＜1}则A∩（∁R B）=（）A.（0，2）B.[2，+∞）C.（-∞，0]D.（2，+∞）4.在射击训练中，某战士连续射击了两次，设命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，则命题“两次射击至少有一次没有击中目标”可表示为（）A.（￢p）∨（￢q）B.p∨（￢q）C.（￢p）∧（￢q）D.p∨q5.不等式3tanx+＞0的解集是（）A.，B.，C.，D.，6.已知函f（x）是定义在的奇函数，其最小正周期为当x∈-0）时，（）=log（1-x）则（04）+f（2016）=（）A.-1B.-2C.1D.27.双曲线-=-1的渐近线方）A. B.y=±2x C. D.8.在△AC中，若2，b=2，B=60，则角A的小为（）A.30°B.60°C.30°或150°D.60°或120°9.已知方程x2-（3m+2）x+2（m+6）=0的两个实根都大于3，则m的取值范围是（）A.（，-2]B.（-∞，-2]C.[2，）D.[2，+∞）10.（1-i）2016+（1+i）2016的值是（）A.21008B.21009C.0D.2201611.如果一个圆锥的侧面展开图恰是一个半圆，那么这个圆锥轴截面三角形的顶角为（）A. B. C. D.12.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax-b=0，至少有一个实根”时，要做的假设是（）A.方程x3+ax-b=0没有实根B.方程x3+ax-b=0至多有一个实根C.方程x3+ax-b=0至多有两个实根D.方程x3+ax-b=0恰好有两个实根13.如图都是正方体的表面展开图，还原成正方体后，其中两个完全一样的是（）A.（1）（2）B.（2）（3）C.（3）（4）D.（1）（4）14.数列{a n}中，a1=1，a n，a n+1是方程x2-（2n+1）x+的两个根，则数列{b n}的前n项和S n=（）A. B. C. D.15.水平放置的正方体的六个面分别用“前面，后面，上面，下面，左面，右面”表示，如图是正方体的表面展开图，若图中“成”表示正方体的前面，“功”表示正方体的右面，“你”表示正方体的下面，则“孝”“高”“助”分别表示正方体的（）A.左面，后面，上面B.后面，上面，左面C.上面，左面，后面D.后面，左面，上面16.若关于x的方程x2-2mx+m+6=0的两实根为x1，x2，y=（x1-1）2+（x2-1）2的取值范围是（）A.y≥B.y≥8C.y≥18D.y＞-17.一元二次方程2x2-6x-3=0的两根为x1，x2，则（1+x1）（1+x2）的值为（）A.3B.6C.-3D.18.一正方体的各顶点都在同一球面上，用过球心的平面去截这个组合体，截面图不能是（）A. B. C. D.19.已知向量=（2，3），=（-4，7），则向量在向量的方向上的投影为（）A. B. C. D.20.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，当x∈（-，0）时，f（x）=log2（1-x），则f（2014）+f（2016）=（）A.-1B.-2C.1D.221.已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ=（）A. B. C. D.22.若x为复数，则方程x4=1的解是（）A.l或lB.i或-iC.1+i或1-iD.1或-1或i或-i23.已知一个正四面体和一个正八面体的棱长相等，把它们拼接起来，使一个表面重合，所得多面体的面数有（）A.7B.8C.9D.1024.求满足2x（2sinx-）≥0，x∈（0，2π）的角α的集合（）A.（0，）B.[，]C.[，]D.[，]25.若将如图的展开图还原成成正方体，则∠ABC的度数为（）A.120°B.90°C.60°D.45°26.设f（x）=x（ax2+bx+c）（a≠0）在x=1和x=-1处有极值，则下列点中一定在x轴上的是（）A.（a，b）B.（a，c）C.（b，c）D.（a+b，c）27.如图，已知球O是棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O的截面面积为（）A.πB.C.D.π28.下列各式的因式分解中正确的是（）A.-a2+ab-ac=-a（a+b-c）B.9xy-6x2y2=3xy（3-2xy）C.3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b）D.+xy（x-y）29.若sinθ=，θ∈R，则方程的解集为（）A.{θ|θ=+2k，k∈Z}B.{θ|θ=+2k，k∈Z}C.{θ|θ=+2k或+2kπ，k∈Z}D.{θ|θ=+2k或+2kπ，k∈Z}30.把x3-9x分解因式，结果正确的是（）A.x（x2-9）B.x（x-3）2C.x（x+3）2D.x（x+3）（x-3）31.-1+2i是下列哪个实系数方程的一个根（）A.x2-4x+5=0B.x2+4x+5=0C.x2-2x+5=0D.x2+2x+5=032.展开式中的常数项为（）A.15B.20C.-1D.-20二、填空题(本大题共24小题，共120.0分) 33.= ______ ．34.已知函数f （x ）=，＞，，则f （2）= ______ ． 35.设f （x ）=x 8+3，求f （x ）除以x +1所得的余数为 ______ ． 36.用（x +2）（x -1）除多项式x 6+x 5+2x 3-x 2+3所得余式是 ______ ．37.一个圆锥的轴截面为正三角形，则该圆锥的侧面展开图是扇角为 ______ （填扇角的度数）的扇形． 38.方程sin 2x =cosx ，x ∈[0，2π]的解集是 ______ ． 39.已知函数，，＞则的值为 ______ ． 40.因式分解：x 3-2x 2+x -2= ______ ．41.集合{x |cos （πcosx ）=0，x ∈[0，π]}= ______ （用列举法表示） 42.若0≤x ＜π，则满足方程tan （4x -）=1的角的集合是 ______ ． 43.分解因式：5x 2+6xy -8y 2= ______ ．44.设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[-1，1）上，f （x ）=，其中a ∈R ，若f （- ）=f （），则f （5a ）的值是 ______ ．45.当0≤x ≤2π时，则不等式：sinx -cosx ≥0的解集是 ______ ．46.已知tan α，tan β是方程x 2+6x +7=0的两个根，且α，β∈（，），则α+β= ______ ． 47.已知tan α、tan β是方程x 2+6x +7=0的两根，则tan （α+β）= ______ ．48.已知函数f （x ）是定义在R 上的奇函数，当x ∈[0，1）时，f （x ）=x ，则= ______ ． 49.观察分析下表中的数据：______ ．50.已知θ∈（0，2π）且sin θ，cos θ是方程x 2-kx +k +1=0的两根，则k 的值为 ______ ． 51.已知z = ，i 是虚数单位，则1+z 50+z 100= ______ ．52.定义在R 上的函数f （x ）既是奇函数又是以2为周期的周期函数，则f （1）等于 ______ ． 53.设f （x ）是定义在R 上的函数，且f （x +3）=-f （x ），f （-1）=2，则f （2012）= ______ ．54.若f（x+1）=x2，则f（3）= ______ ．55.已知函数y=cosx与y=sin（2x+φ）（0≤φ＜π），它们的图象有一个横坐标为的交点，则φ的值是______ ．56.若sinx=，，，则x= ______ ．（结果用反三角函数表示）三、解答题(本大题共14小题，共168.0分)57.已知函数＞，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．（1）求函数f（x）的单调区间，对称中心；（2）若关于x的方程2cos2x+mcosx+2=0在，上有实数解，求实数m的取值范围．58.已知等差数列{a n}中，a3+a7＜2a6且a3，a7是方程x2-18x+65=0的两根，数列{b n}的前项和S n=1-b n．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n=a n b n，求数列{c n}的前n项的和T n，并证明＜．59.解方程：cos2x=cosx+sinx．60.分解下列因式（1）5x2+6xy-8y2（2）x2+2x-15-ax-5a．61.为了解心肺疾病是否与年龄相关，现随机抽取了40名市民，得到数据如表：已知在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为（3）能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关？下面的临界值表供参考：（参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d）62.f（x）=ax2+bx+c，且f（1）=-，3a＞2c＞2b，求证：（I）a＞0且-3＜＜-；（Ⅱ）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；（III）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，则≤|x1-x2|＜．63.已知函数（a＞0）．（1）若函数f（x）有三个零点分别为x1，x2，x3，且x1+x2+x3=-3，x1x2=-9，求函数f（x）的单调区间；（2）若，3a＞2c＞2b，证明：函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点；（3）在（2）的条件下，若函数f（x）的两个极值点之间的距离不小于，求的取值范围．64.已知关于x的方程cos2（x+π）-sinx+a=0．（1）若x=是此方程的解，求a的值；（2）若此方程有解，求a的取值范围．65.已知x1=1-i（i为虚数单位）是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，求a，b的值．66.已知复数z=1-sinθ+icosθ（＜θ＜π），求z的共轭复数的辐角主值．67.已知曲线C x 2-y2=1及直线l：y=kx-1．（1）若l与C左支交于两个不同的交点，求实数k的取值范围；（2）若l与C交于A、B两点，O是坐标原点，且△AOB的面积为，求实数k的值．68.已知在区间[-1，1]上是增函数（I）求实数a的取值范围；（II）记实数a的取值范围为集合A，且设关于x的方程的两个非零实根为x1，x2．①求|x1-x2|的最大值；②试问：是否存在实数m，使得不等式m2+tm+1＞|x1-x2|对∀a∈A及t∈[-1，1]恒成立？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由．69.已知函数f（x）=x2+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x2+4x-30的零点相同，数列{a n}，{b n}定义为：a1=，2a n+1=f（a n）+15，b n=（n∈N*）．（1）求实数a，b的值；（2）若将数列{b n}的前n项和与数列{b n}的前n项积分别记为S n，T n证明：对任意正整数n，2n+1T n+S n为定值；（3）证明：对任意正整数n，都有2[1-（）n]≤S n＜2．70.已知函数，a为常数（1）若f（x）＞2的解集为（2，3），求a的值（2）若f（x）＜x-3对任意的x∈（2，+∞）恒成立，求a的取值范围．2017年高中高三年级数学竞赛试题评分标准1.A2.C3.B4.A5.D6.A7.A8.A9.C 10.B 11.C 12.A 13.B 14.D 15.B 16.B 17.D 1 8.A 19.B 20.A 21.A 22.D 23.A 24.B 25.C 26.A 27.C 28.B 29.D 30.D 31.D 32.D33.034.035.436.-x+537.180°38.{，，，}39.-40.（x-2）（x2+1）41.{，}42.{，，，}43.（x+2y）（5x-4y）44.-45.，46.47.148.49.F+V=E+250.-151.i52.053.-254.455.56.57.解：（1）∵函数＞，图象上任意两条相邻对称轴间的距离为．∴=，，．令2kπ-π≤2x+≤2kπ，求得kπ-≤x≤kπ-，可得函数的单调递增区间，；同理，令2kπ≤2x+≤2kπ+π，求得kπ-≤x≤kπ+，可得函数的调递减区间，．令2x+=kπ+，求得x=+，可得函数的对称中心为，．（2）令t=cosx，t∈（0，1）则2t2+mt+2=0在（0，1）上有解，m=-2（t+），令，任取0＜t1＜t2＜1，有＞，因此在（0，1）上单调递减，因此m＜-2k（1）=-4，所以m范围{m|m＜-4}．58.（1）解：由a3+a7=2a5＜2a6得a5＜a6，所以数列{a n}是递增数列．…（1分）所以a3＜a7．由x2-18x+65=0解得a3=5，a7=13…（2分）公差，所以a n=a3+（n-3）d=2n-1（n∈N*）…（3分）由S n=1-b n得，当n=1时，；…（4分）当n≥2时，b n=S n-S n-1，得…（5分）所以{b n}是首项为，公比为的等比数列，所以…（6分）（2）证明：由（1）得，…（7分）所以由错位相减法得＜…（9分）因为＞所以{T n}是递增数列，所以故＜…（13分）59.解：∵cos2x=cosx+sinx，∴cos2x-sin2x=cosx+sinx，∴（cosx+sinx）（cosx-sinx）-（cosx+sinx）=0，∴（cosx+sinx）（cosx-sinx-1）=0．如果cosx+sinx=0，则得1+tanx=0，tanx=-1，解x=kπ-（k为整数）．如果cosx-sinx-1=0则得cosx-sinx=1，∴cos（x+）=，∴x+=2kπ±，∴x=2kπ或2kπ-（k为整数）．综上，x=kπ-或2kπ或2kπ-（k为整数）．60.解：（1）5x2+6xy-8y2=（5x-4y）（x+2y）（2）x2+2x-15-ax-5a=（x+5）（x-3）-a（x+5）=（x+5）（x-3-a）61.解：（1）在全部的40人中随机抽取1人，抽到不患心肺疾病的概率为，可得不患心肺疾病的人共有16人．大于40的有4人．患心肺疾病有24人，小于等于40岁有8人．将2×2列联表补充完整如图；患心肺疾病不患心肺疾病合计大于40岁16 4 20小于等于40岁8 12 20合计24 16 40（2）K2===＞6.635．所以能在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为患心肺疾病与年龄有关．62.证明：（1）∵∴3a+2b+2c=0又3a＞2c＞2b∴3a＞0，2b＜0∴a＞0，b＜0…（2分）又2c=-3a-2b由3a＞2c＞2b∴3a＞-3a-2b＞2b∵a＞0∴＜＜…（4分）（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a-c…（6分）①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且＜∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点…（8分）②当c≤0时，∵a＞0∴＜且＞∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点．综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点…（10分）（3）∵x1，x2是函数f（x）的两个零点则x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根∴，…（12分）∴∵＜＜∴＜…（15分）63.（1）因为函数=x（）（a＞0），又x1+x2+x3=-3，x1x2=-9，则x3=0，x1+x2=-3，x1x2=-9（1分）因为x1，x2是方程=0的两根，则，，得，，（3分）所以=a（x2+2x-3）=a（x-1）（x+3）．令f （x）=0 解得：x=1，x=-3故f（x）的单调递减区间是（-3，1），单调递增区间是（-∞，-3），（1，+∞）．（5分）（2）因为f （x）=ax2+bx+c，，，所以a+b+c=，即3a+2b+2c=0．又a＞0，3a＞2c＞2b，，所以3a＞0，2b＜0，即a＞0．b＜0．（7分）于是＜0，f （0）=c，f （2）=4a+2b+c=4a-（3a+2c）+c=a-c．（8分）①当c＞0时，因为f （0）=c＞0，＜0，而f （x）在区间（0，1）内连续，则f （x）在区间（0，1）内至少有一个零点，设为x=m，则在x∈（0，m），f （x）＞0，f（x）单调递增，在x∈（m，1），f （x）＜0，f（x）单调递减，故函数f（x）在区间（0，1）内有极大值点x=m；（9分）②当c≤0时，因为＜0，f （2）=a-c＞0，则f （x）在区间（1，2）内至少有一零点．同理，函数f（x）在区间（1，2）内有极小值点．综上得函数f（x）在区间（0，2）内一定有极值点．（10分）（3）设m，n是函数的两个极值点，则m，n也是导函数f （x）=ax2+bx+c=0的两个零点，由（2）得3a+2b+2c=0，则m+n=-，mn==．所以|m-n|===由已知，，则两边平方≥3，得出≥1，或≤-1，即≥-1，或≤-3又2c=-3a-2b，3a＞2c＞2b，所以3a＞-3a-2b＞2b，即-3a＜b＜-a．因为a＞0，所以-3＜＜-．综上分析，的取值范围是[-1，-）．64.解：（1）若x=是此方程的解，则cos2（+π）-sin+a=0，∴-+a=0，∴a=-；（2）∵cos2（x+π）-sinx+a=0，∴a=-cos2x+sinx=sin2x+sinx-1=（sinx+）2-，∵-1≤sinx≤1，∴-≤a≤1．65.解：∵x1=1-i是关于x的实系数一元二次方程x2+ax+b=0的一个根，∴x2=1+i也是此方程的一个虚根，∴a=-（x1+x2）=-（1+i+1-i）=-2．b=x1x2=（1+i）（1-i）=2．故答案为：a=-2，b=266.解：z=1+cos（+θ）+isin（+θ）=2cos2+2isin cos=2cos（cos+isin）．当＜θ＜π时，＜＜．∴=-2cos（-cos+isin）=-2cos（+）（cos（-）+isin（-））．∴辐角主值为-．67.解：（1）由消去y，得（1-k2）x2+2kx-2=0．∵l与C左支交于两个不同的交点∴＞且x1+x2=-＜0，x1x2=-＞0∴k的取值范围为（-，-1）（2）设A（x1，y1）、B（x2，y2），由（1）得x1+x2=-，x1x2=-．又l过点D（0，-1），∴S△OAB=|x1-x2|=．∴（x1-x2）2=（2）2，即（-）2+=8．∴k=0或k=±．68.解：（I）…1分）∵f（x）在[-1，1]上是增函数∴f'（x）≥0即x2-ax-2≤0，在x∈[-1，1]恒成立（1）（3分）设φ（x）=x2-ax-2，则由（1）得解得-1≤a≤1 所以，a的取值范围为[-1，1]．…（6分）（II）①由（I）可知A={a|-1≤a≤1}由即得x2-ax-2=0∵△=a2+8＞0∴x1，x2是方程x2-ax-2=0的两个非零实根∴x1+x2=a，x1x2=-2，又由（1）-1≤a≤1∴（9分）∴|x1-x2|的最大值为3．②要使m2+tm+1＞|x1-x2|对∀a∈A及t∈[-1，1]恒成立即m2+tm+1＞3即m2+tm-2＞0对∀t∈[-1，1]恒成立（2）（11分）设g（t）=m2+tm-2=mt+（m2-2），则由（2）得＞＞解得m＞2或m＜-2故存在实数m∈（-∞，-2）∪（2，+∞）满足题设条件（14分）69.（1）解：设方程2x2+4x-30=0的两个实根为α，β，则α+β=-2，αβ=-15，∵函数f（x）=x2+ax+b（a，b为实常数）的零点与函数g（x）=2x2+4x-30的零点相同，∴x2+ax+b=0的两个实根为α，β，由韦达定理得a=-（α+β）=2，b=αβ=-15．（2）证明：由（1）知f（x）=x2+2x-15，从而2a n+1=a n（a n+2），即，，∵2a n+1=a n（a n+2），∴===，，∴T n=b1•b2•b3…b n==．S n=b1+b2+…+b n=（）+（）+…+（）=，n∈N*．∴对任意正整数n，2n+1T n+S n=+=2为定值．（3）证明：∵a1＞0，，∴a n+1＞a n＞0，n∈N*即{a n}为单调递增的正数数列，∵，，∴{b n}为递减的正数数列，且，∴，，∵，，∴对任意正整数n，都有2[1-（）n]≤S n＜2．70.解：（1）由解集为（2，3），知x-2＞0，即x＞2①，所以f（x）＞2即＞可化为a（x-1）＞2（x-2），即（a-2）x＞a-4，由解集形式知：a-2＜0，所以x＜②，由①②得2＜x＜，所以=3，解得a=1，；（2）f（x）＜x-3即＜x-3对任意的x∈（2，+∞）恒成立，等价于a＜对任意的x∈（2，+∞）恒成立，又=（x-1）+-3≥2-3=2-3，当且仅当x=+1时取等号，所以a＜2-3；【解析】1. 解：设正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，正六棱柱的体积V==•3x•3x•（9-6x）≤=，当且仅当x=1时，等号成立，此时y=3，可知正六棱柱的外接球的球心是其上下底面中心连线的中点，则半径为=，∴外接球的表面积为4=13π．故选A．正六棱柱的底面边长为x，高为y，则6x+y=9，0＜x＜1.5，表示正六棱柱的体积，利用基本不等式求最值，求出正六棱柱的外接球的半径，即可求出外接球的表面积．本题考查外接球的表面积，考查基本不等式的运用，确定正六棱柱的外接球的半径是关键．2. 解：设f（x）是定义在R上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间（-2，1]上的图象，∴f（2011）+f（2013）=f（1）+f（0）=1+0=1．故选：C．利用函数的周期性结合函数在在区间（-2，1]上的图象，能求出f（2011）+f（2013）的值．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．3. 解：∵集合A={y|y=，x＞0}=（0，+∞），B={y|y=2x，x＜1}=（0，2），∴∁R B=（-∞，0]∪[2，+∞），∴A∩（∁R B）=[2，+∞），故选：B根据求出集合A，B，结合集合的交集及补集运算定义，可得答案．本题考查的知识点是集合的交集，并集，补集运算，难度不大，属于基础题．4. 解：∵命题p是“第一次射击击中目标”，命题q是“第二次射击击中目标”，∴命题“两次射击至少有一次没有击中目标”（￢p）∨（￢q），故选：A由已知，结合容斥定理，可得答案．本题考查的知识点是事件的表示，容斥定理，难度不大，属于基础题．5. 解：由3tanx+＞0，可得tanx＞-，再结合函数y=tanx的图象可得-+kπ＜x＜kπ+，k∈z，故选D．由条件可得tanx＞-，再结合函数y=tanx的图象求得x的范围．本题主要考查正切函数的图形特征，属于基础题．6. 解：∵20÷3=67…1，0163=672，∵当∈（-，0），f（=log2（1-），f（2014）==-f（-1），f（206）0）=0，∵函数f（x）定在R的奇函数，其最周期为3，故选：函的周期性把f204）f（2016）变形，再利用奇偶及当∈（-，0）时，fx）og2（1-x），定出求式的值即可．此题考了周期数，函数的偶性和周期性及简单的对数运熟练掌握函数的解本题的关键．7. 解：令，得，即双曲渐近线为，故选：根双曲线渐近方程的求法行解即可．题主考查双曲渐近线方的求解，令-1变0是解决的关键．8. 解：a=2，b=2，B60°，∴由正弦理，得=°，又a＜b，∴A0°．故选：接利用正弦理求sn A，结合三角的大边对大角得答案．本题查弦定的应用，考查了三形解法，是中档题．9. 解：令x2-（3m+2）x+2（m+6）=f（x），由题意可得＞，＞解得2≤m＜，故选C．由题意可得＞，解不等式组求得m的取值范围．＞本题主要考查二次函数的性质应用，体现了转化的数学思想，属于中档题．10. 解：（1-i）2016+（1+i）2016=（-2i）1008+（2i）1008=[（-i）1008+i1008]•21008=21009，故选：B．利用复数的周期性即可得出．本题考查了复数的运算法则、复数的周期性，考查了计算能力，属于基础题．11. 解：设圆锥的母线长为R，则圆锥的底面周长为πR，则圆锥的底面直径为R，所以圆锥的顶角为．故选：C．圆锥的侧面展开图是半圆，半圆的弧长就是圆锥的底面圆的周长，设出母线，求出圆锥的底面直径，可求圆锥的顶角．本题考查圆锥的结构特征，旋转体的侧面展开图，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．12. 解：用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x3+ax-b=0，至少有一个实根”时，应先假设是命题的否定成立，即假设方程x3+ax-b=0没有实根，故选：A．用反证法证明数学命题时，应先假设命题的否定成立，由此可得结论．本题主要考查用反证法证明数学命题的思路，命题的否定，属于基础题．13. 解：（1）图还原后，①⑤对面，②④对面，③⑥对面；（2）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（3）图还原后，①④对面，②⑤对面，③⑥对面；（4）图还原后，①⑥对面，②⑤对面，③④对面；综上，可得还原成正方体后，其中两个完全一样的是（2）（3），故选：B分别判断出还原成正方体后，相对面的标号，可得答案．本题考查的知识点是正方体的几何特征，正方体的表面展开图，难度中档．14. 解：依题意，a n+a n+1=2n+1，∴a n+1+a n+2=2（n+1）+1，两式相减得：a n+2-a n=2，又a1=1，∴a3=1+2=3，a5=5，…∵a n+a n+1=2n+1，a1=1，∴a2=3-1=2，a4=2+2=4，…∴a n=n；又=a n a n+1=n（n+1），∴b n==-，∴S n=b1+b2+…+b n=（1-）+（-）+…+（-）=1-=．故选D．利用韦达定理可求得a n+a n+1=2n+1，而a1=1，从而可求得a n=n；再由=a n a n+1，可求得b n，从而可得答案．本题考查数列的求和，突出考查等差关系的确定，考查韦达定理的应用，属于中档题．15. 解：由题意可知正方体的直观图如图：则“孝”“高”“助”分别表示正方体的：后面，上面，左面．故选：B．画出正方体的直观图，使得图中“成”表示正方体的前面，“功”表示正方体的右面，“你”表示正方体的下面，推出结果．本题考查几何体的表面展开图的应用，考查空间想象能力．16. 解：∵方程x2-2mx+m+6=0的两实根为x1，x2，∴△=4m2-4（m+6）≥0，即m≤-2，或m≥3，且x1+x2=2m，x1•x2=m+6，则y=（x1-1）2+（x2-1）2=（x1+x2）2-2x1•x2-2（x1+x2）+2=4m2-2（m+6）-4m+2=4m2-6m-10，故当m=3时，y取最小值8，无最大值，即y=（x1-1）2+（x2-1）2的取值范围是y≥8，故选：B由方程x2-2mx+m+6=0的两实根为x1，x2，可得：△≥0，即m≤-2，或m≥3，且x1+x2=2m，x1•x2=m+6，进而可将y=（x1-1）2+（x2-1）2化为：y=4m2-6m-10（m≤-2，或m≥3）的形式，结合二次函数的图象和性质可得答案．本题考查的知识点是一元二次方程根与系数的关系，二次函数的图象和性质，难度中档．17. 解：∵方程2x2-6x-3=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=3，x1•x2=，∴（1+x1）（1+x2）=x1•x2+x1+x2+1=+3+1=，故选：D根据一元二次方程的根与系数的关系x1+x2=3，x1•x2=，然后将其代入所求的代数式（1+x1）（1+x2）求值即可．本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．解题时，务必弄清楚根与系数的关系x1+x2=-，x1•x2=中的a、b、c所表示的意义．18. 解：B是经过正方体对角面的截面；C是经过球心且平行于正方体侧面的截面；D是经过一对平行的侧面的中心，但不是对角面的截面．故选：A．对选项进行分析，即可得出结论．本题考查用过球心的平面去截这个组合体的截面图，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．19. 解：根据投影的定义可得：向量在向量的方向上的投影||cos＜，＞===．故选：B．根据投影的定义，应用公式向量在向量的方向上的投影||cos＜，＞=求解．本题主要考查向量投影的定义及求解的方法，公式与定义两者要灵活运用．解答关键在于要求熟练应用公式．20. 解：∵2014÷3=671…1，2016÷3=672，∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，其最小正周期为3，∴f（2014）=f（1）=-f（-1），f（2016）=f（0）=0，∵当x∈（-，0）时，f（x）=log2（1-x），∴原式=-f（-1）+0=-f（-1）=-1．故选：A．利用函数的周期性把f（2014）与f（2016）变形，再利用奇偶性及当x∈（-，0）时，f（x）=log2（1-x），确定出所求式子的值即可．此题考查了周期函数，函数的奇偶性和周期性，及简单的对数运算，熟练掌握函数的性质是解本题的关键．21. 解：∵函数y=cosx与y=sin（2x+φ），它们的图象有一个横坐标为的交点，∴sin（π+ϕ）=cos=．∵0≤φ＜π，∴≤π+ϕ≤，∴π+ϕ=，解得φ=．故选：A．由题意可得sin（π+ϕ）=cos=．根据φ的范围和正弦函数的单调性即可得出．本题考查了三角函数的图象与性质、三角函数求值，属于基础题22. 解：因为：x4-1=（x2+1）（x2-1）=（x+i）（x-i）（x-1）（x+1）．所以x4-1=0即（x+i）（x-i）（x-1）（x+1）=0．解得x=1，-1，i，-i．即在复数集中，方程x4=1的解为1，-1，i，-i故选：D．方程x4=1可化为方程x4-1=0．对方程的左边直接运用平方差公式分解即可求得此方程的解，注意要分解彻底本题考查运用平方差公式分解因式的能力．平方差公式：a2-b2=（a+b）（a-b）．本题需注意，第一次运用平方差公式分解以后，余下的多项式仍然可以运用平方差公式再次分解．23.解：如图：几何体的图形，P-ABE是正四面体，ABCDEF是正八面体，组合后，平面PAB与平面ABC是同一个平面，平面PBE与平面BDE是同一个平面，所以结合体共有7个平面．故选：A．画出几何体的图形判断多面体的面数即可．本题考查几何体的平面个数的判断，基本知识的考查．24. 解：∵满足2x（2sinx-）≥0，2x＞0．∴，∵x∈（0，2π），∴，故选：B．满足2x（2sinx-）≥0，化为，由于x∈（0，2π），利用正弦函数的单调性即可得出．本题考查了指数函数的单调性、正弦函数的单调性，属于基础题．25. 解：还原正方形，连接ABC三个点，可得图形如图所示．可知AB=AC=BC，所以角的大小为60°故选：C．将展开图还原成正方体，进行求解即可．本题看出棱柱的结构特征，是基础题．本题考查学生的空间想象能力．26. 解：∵f（x）=x（ax2+bx+c）=ax3+bx2+cx，∴f （x）=3ax2+2bx+c，∵f（x）在x=1和x=-1处有极值，∴1，-1是方程3ax2+2bx+c=0的两根，∴1+（-1）=-，=-1，故b=0，c=-3a≠0；可排除B、C、D．故选A．根据题意先对f（x）=x（ax2+bx+c）求导，导函数为二次函数，再利用韦达定理求得b=0，从而可解决问题．本题考查根与系数的关系及函数在某点取得极值的条件，着重考查根与系数的关系中韦达定理的使用，属于中档题．27. 解：根据题意知，平面ACD1是边长为的正三角形，且球与以点D为公共点的三个面的切点恰为三角形ACD1三边的中点，故所求截面的面积是该正三角形的内切圆的面积，则由图得，△ACD1内切圆的半径是×tan30°=，则所求的截面圆的面积是π××=．故选：C根据正方体和球的结构特征，判断出平面ACD1是正三角形，求出它的边长，再通过图求出它的内切圆的半径，最后求出内切圆的面积本题考查了正方体和它的内接球的几何结构特征，关键是想象出截面图的形状，考查了空间想象能力，数形结合的思想28. 解：A．-a2+ab-ac=-a（a-b+c），因此不正确；B.9xy-6x2y2=3xy（3-2xy），正确；C.3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b+1），因此不正确；D.=xy（x+y），因此不正确．故选：B．A．-a2+ab-ac=-a（a-b+c），即可判断出；B.9xy-6x2y2=3xy（3-2xy），即可判断出；C.3a2x-6bx+3x=3x（a2-2b+1），即可判断出；D.=xy（x+y），即可判断出．本题考查了因式分解的方法，属于基础题．29. 解：当θ∈[0，2π）时，由sinθ=，可得或．∴sinθ=，θ∈R，此方程的解集为{θ|或2k，k∈Z}．故选：D．当θ∈[0，2π）时，方程sinθ=的解为或．再利用三角函数的周期性即可得出．本题考查了三角方程的解法、三角函数的周期性，属于基础题．30. 解：x3-9x=x（x2-9）=x（x+3）（x-3）．故选：D．提取公因式，然后利用平方差公式分解即可．本题考查因式分解，平方差公式的应用，考查计算能力．31. 解：若-1+2i是x2+bx+c=0的根，则-1-2i也是x2+bx+c=0的根，由韦达定理可得：（-1+2i）+（-1-2i）=-2=-b，（-1+2i）（-1-2i）=5=c，故所求方程为x2+2x+5=0，故选：D根据实系数二次方程虚根成对定理，可得若-1+2i是x2+bx+c=0的根，则-1-2i也是x2+bx+c=0的根，进而由韦达定理可求出系数b，c．本题考查的知识点是实系数二次方程虚根成对定理，韦达定理，难度不大，属于基础题．32. 解：（x-）6的二项展开式的通项公式为：T r+1=（-1）r•x6-r•x-r=（-1）r•x6-2r．令6-2r=0，求得r=3，故展开式的常数项为：-=-20，故选：D．在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，二项式系数的性质，属于中档题．33. 解：=+0=0，故答案为0．直接计算相应的反三角函数的值，即可得出结论．本题考查反三角函数，考查学生的计算能力，比较基础．34. 解：f（2）=22-4=0．故答案为0．把x=2代入函数解析式计算．本题考查了函数值的求解，是基础题．35. 解：由余数定理得：f（-1）=（-1）8+3=4，故答案为：4．根据余数定理计算f（-1）的值即可．本题考查了余数定理的应用，求出f（-1）的值是解题的关键，本题是一道基础题．36. 解：由题意，x6+x5+2x3-x2+3=（x+2）（x-1）（x4+2x2+1）+（-x+5），∴用（x+2）（x-1）除多项式x6+x5+2x3-x2+3所得余式是-x+5．故答案为-x+5．利用多项式的除法，可得x6+x5+2x3-x2+3=（x+2）（x-1）（x4+2x2+1）+（-x+5），即可得出结论．本题考查多项式的除法，考查学生的计算能力，比较基础．37. 设圆锥母线长为R，底面圆半径为r，扇角为α，扇形弧长为c截面为正三角形，所以R=2r又2πr=c，c=αR联立解得α=π故扇角为180°圆锥的母线长对应扇形的半径，圆锥底面圆周长对应扇形的弧长．列出方程组求解．考查圆锥的侧面展开图，扇形弧长公式，各量之间的对应关系．属于基础题．38. 解：方程sin2x=cosx，即2sinxcosx=cosx，即cosx=0或sinx=．由cosx=0，x∈[0，2π]，可得x=或；由sinx=，x∈[0，2π]，可得x=或x=，综上可得，方程sin2x=cosx，x∈[0，2π]的解集是{，，，}，故答案为：{，，，}．方程即cosx=0或sinx=，结合正弦函数、余弦函数的图象以及x∈[0，2π]，分别求得x的值，可得结论．本题主要考查三角方程的解法，正弦函数、余弦函数的图象，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．39. 解：∵函数，，＞，则=f（-）=3×（-）=-，故答案为-．由题意可得=f（-）=3×（-），运算求得结果．本题主要考查求函数的值，体现了转化的数学思想，属于基础题．40. 解：原式=x2（x-2）+（x-2）=（x-2）（x2+1）．故答案为：（x-2）（x2+1）．分组提取公因式即可得出．本题考查了分组提取公因式法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．41. 解：∵集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}，∴，或，∴cosx=或cosx=-，∴x=或x=，∴集合{x|cos（πcosx）=0，x∈[0，π]}={，}．故答案为：{，}．由已知得，或，由此能求出结果．本题考查集合的表示，是基础题，解题时要认真审题，注意三角函数性质的合理运用．42. 解：由题意，4x-=kπ+，k∈Z∴x=kπ+，∵0≤x＜π，∴x=，，，，故答案为{，，，}．由题意，4x-=kπ+，求出x，根据0≤x＜π，即可得出结论．本题考查正切函数的图象与性质，考查学生的计算能力，比较基础．43. 解：5x2+6xy-8y2=（x+2y）（5x-4y）．故答案为：（x+2y）（5x-4y）．将多项式第三项分为2y与-4y的乘积，第一项分为x与5x，利用十字相乘法，得到分解结果．本题考查了因式分解-十字相乘法，弄清题中的阅读材料是解本题的关键．44. 解：f（x）是定义在R上且周期为2的函数，在区间[-1，1）上，f（x）=，∴f（-）=f（-）=-+a，f（）=f（）=|-|=，∴a=，∴f（5a）=f（3）=f（-1）=-1+=-，故答案为：-根据已知中函数的周期性，结合f（-）=f（），可得a值，进而得到f（5a）的值．本题考查的知识点是分段函数的应用，函数的周期性，根据已知求出a值，是解答的关键．45. 解：如图所示，∵0≤x≤2π时，当sinx=cosx时，x或．∴不等式：sinx≥cosx的解集是，．故答案为：，．如图所示，即可得出不等式的解集．本题考查了三角函数的单调性、数形结合思想方法，属于基础题．46. 解：∵tanα，tanβ是方程x2+6x-7=0的两个根，∴tanα+tanβ=-6，tanαtanβ=7，有tanα、tanβ均小于零，则α，β∈（，0）；则tan（α+β）===1．又由α，β∈（，0），则α+β∈（-π，0）则故答案为：由tanα，tanβ为已知方程的两根，利用韦达定理表示出tanα+tanβ及tanαtanβ的值，然后把所求的角的正切利用两角和的正切函数公式化简后，将tanα+tanβ及tanαtanβ的值代入即可求出值．此题考查了韦达定理，以及两角和与差的正切函数公式，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．47. 解：∵tanα、tanβ是方程x2+6x+7=0的两根，∴由一元二次方程根与系数的关系，得tanα+tanβ=-6，tanα•tanβ=7．由此可得tan（α+β）===1．故答案为：1由一元二次方程根与系数的关系，可得tanα+tanβ=-6且tanα•tanβ=7．由此利用两角和的正切公式加以计算，可得tan（α+β）的值．本题给出一元二次方程的两根恰好是α、β的正切之值，求tan（α+β）．着重考查了两角和的正切公式、一元二次方程根与系数的关系等知识，属于基础题．48. 解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈[0，1）时，f（x）=x，∴=-f（）=，故答案为：根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据函数奇偶性的性质进行转化是解决本题的关键．比较基础．49. 解：由表格可知：三棱柱：5+6=9+2；五棱锥，6+6=10+2，立方体，6+6=10+2，猜想一般凸多面体中，面数、顶点数、棱数：F、V、E所满足的等式是：F+V=E+2．故答案为：F+V=E+2．直接利用表格的数据，找出面数、顶点数、棱数的关系即可．本题考查欧拉定理的基本知识的应用，是基础题．50. 解：∵sinθ，cosθ是方程x2-kx+k+1=0的两根，∴①②，①平方得，1+2sinθcosθ=k2，将②代入得，k2-2k-3=0，解得k=3或-1，当k=3时，sinθcosθ=4，这与sinθcosθ＜1矛盾，故舍去，当k=-1时，经验证符合条件．则k的值为-1，故答案为：-1．根据题意和韦达定理列出方程组，由平方关系化简联立列方程，求出k的值，最后要验证三角函数值的范围．本题考查了韦达定理（根与系数的关系），以及平方关系的灵活应用，主要验证三角函数值的范围．51. 解：∵z=，∴z2=i，z4=-1，∴1+z50+z100=1+i-1=i．故答案为：i．由z=，可得z2=i，z4=-1，即可求出1+z50+z100．本题考查复数及其指数形式，考查学生的计算能力，比较基础．52. 解：由于定义在R上的函数f（x）是奇函数，又是以2为周期的周期函数，所以-f（1）=f（-1）=f（-1+2）=f（1），所以f（1）=0．故答案为：0．根据奇函数和周期函数的性质可以知道，由于定义在R上的函数f（x）是奇函数，又是以2为周期的周期函数，可得-f（1）=f（-1）=f（-1+2）=f（1），f（1）=0．本题主要考查奇函数和周期函数的定义，考查学生的推理能力．53. 解：∵f（x+3）=-f（x），f（-1）=2，。

高一数学竞赛辅导

高一数学竞赛10.141.已知集合**410x x M x N N ⎧⎫=∈∈⎨⎬⎩⎭且，集合40x N x Z ⎧⎫=∈⎨⎬⎩⎭，则（）A. M N =B. N M ⊆C. 20x M N x Z ⎧⎫⋃=∈⎨⎬⎩⎭D. *40x M N x N ⎧⎫⋂=∈⎨⎬⎩⎭2.（2021年全国高中数学联赛）设{}{}{}1,2,3=2,,,2,,A B x y x y A x y C x y x y A x y =+∈=+∈，＜＞，则B C ⋂的所有元素之和为_______________。

3.设集合{}{}222,,12A x xB y y x x =-≤==--≤≤，则A B⋂=_________________.4.设条件():0:14p x m m q x ≤-≤≤＞，，若p 是q 的充分条件，则m 的最大值为_______,若p 是q 的必要条件，则m 的最小值为________。

5.若非空集合A,B,C 满足A B C ⋃=，且B 不是A 的子集，则""x C ∈是""x A ∈的___________________条件。

高一数学竞赛10.14-------基本不等式“1”的巧用1.若正数,a b 满足121a b +=，则2b a+的最小值为_________________。

2.若00x y ＞，＞，且211x y+=，227x y m m ++＞恒成立，则实数m 的取值范围是_________________________。

基本不等式的构造3.已知0a b ＞＞，则412a a b a b+++-的最小值为_______________。

4.设a b ＞＞c ，n N ∈，且218n a b b c a c +≥---恒成立，则n 的最大值是______________。

5.设010,x a b ＜＜，＞＞0，,a b 为常数，则221a b x x +-的最小值是___________________.基本不等式的综合运用6.已知4a b ab =＞0,＞0,，则11a b b a+++的最小值为________________。

数学竞赛之立体几何专题精讲(例题+练习)

数学竞赛中的立体几何问题立体几何作为高中数学的重要组成部分之一，当然也是每年的全国联赛的必然考查内容．解法灵活而备受人们的青睐，竞赛数学当中的立几题往往会以中等难度试题的形式出现在一试中，考查的内容常会涉及角、距离、体积等计算．解决这些问题常会用到转化、分割与补形等重要的数学思想方法．一、求角度这类题常以多面体或旋转体为依托,考查立体几何中的异面直线所成角、直线与平面所成角或二面角的大小解决这类题的关键是 ,根据已知条件准确地找出或作出要求的角．立体几何中的角包括异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角三种．其中两条异面直线所成的角通过作两条异面直线的平行线找到表示异面直线所成角的相交直线所成的角，再构造一个包含该角的三角形，解三角形即可以完成；直线和平面所成的角则要首先找到直线在平面内的射影，一般来讲也可以通过解直角三角形的办法得到，其角度范围是[]0,90︒︒；二面角在求解的过程当中一般要先找到二面角的平面角，三种方法：①作棱的垂面和两个半平面相交；②过棱上任意一点分别于两个半平面内引棱的垂线；③根据三垂线定理或逆定理．另外还可以根据面积射影定理cos S S θ'=⋅得到．式中S '表示射影多边形的面积，S 表示原多边形的面积，θ即为所求二面角．例１直线OA 和平面α斜交于一点O ，OB 是OA 在α内的射影，OC 是平面α内过O 点的任一直线，设,,.AOC AOB BOC αβγ∠=∠=∠=，求证：cos cos cos αβγ=⋅．分析：如图，设射线OA 任意一点A ，过A 作AB α⊥于点B ，又作BC OC ⊥于点C ，连接AC ．有：cos ,cos ,cos ;OC OB OCOA OA OBαβγ=== 所以，cos cos cos αβγ=⋅．评注：①上述结论经常会结合以下课本例题一起使用．过平面内一个角的顶点作平面的一条斜线，如果斜线和角的两边所成的角相等，那么这条斜线在平面内的射影一定会落在这个角的角平分线上．利用全等三角形即可证明结论成立．②从上述等式的三项可以看出cos α值最小，于是可得结论：平面的一条斜线和平面内经过斜足的所有直线所成的角中，斜线与它的射影所成的角最小．例、（1997年全国联赛一试）如图，正四面体ABCD 中，E 在棱AB 上， F 在棱CD 上，使得：()0AE CFEB FDλλ==<<∞，记()f λλλαβ=+， αOC BAF EDCBAG其中λα表示EF 与AC 所成的角，其中λβ表示EF 与BD 所成的角，则：（A ）()f λ在()0,+∞单调增加；（B ）()f λ在()0,+∞单调减少；（C ）()fλ在()0,1单调增加；在()1,+∞单调减少；（D ）()f λ在()0,+∞为常数．` 分析：根据题意可首先找到与,λλαβ对应的角．作EG ∥AC ，交BC 于G ，连FG ．显然 FG ∥BD ，∠GEF=λα，∠GFE=λβ．∵AC ⊥BD ，∴EG ⊥FG ∴90λλαβ+=︒例五、（1994年全国联赛一试）已知一个平面与一个正方体的12条棱的夹角都等于α，则sin α= ．分析：正方体的12条棱可分为三组，一个平面与12条棱的夹角都等于α只需该平面与正方体的过同一个顶点的三条棱所成的角都等于α即可．如图所示的平面A BD '就是合乎要求的平面，于是：sin 3α=二、求体积这类题常是求几何体的体积或要求解决与体积有关的问题解决这类题的关键是 ,根据已知条件选择合适的面作为底面并求出这个底面上的高例十五、（2003年全国联赛一试）在四面体ABCD 中，设1,AB CD ==直线AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于 ()()()(11 ; ; 23A B C D 分析：根据锥体的体积公式我们知道：1V=3S h ⋅⋅．从题目所给条件看，已知长度的两条线段分别位于两条异面直线上，而已知距离是两条异面直线之间的距离而非点线距．显然需要进行转化．作BE ∥CD,且BE=CD ，连接DE 、AE ，显然，三棱锥A —BCD 与三棱锥A —BDE 底面积和高都相等，故它们有相等的体积．于是有：111sin 362A BCD A BDE D ABE BDE V V V S h AB BE ABE h ---∆====⋅⋅∠⋅=例十六、（2002年全国联赛一试）由曲线224,4,4,4x y x y x x ==-==-围成的图形绕y 轴旋转一周所ODCBAD 'C 'B ' A 'EDCBA得旋转体的体积为V 1，满足()()22222216,24,24x y x y x y +≤+-≥++≥的点(),x y 组成的图形绕y 轴旋转一周所得旋转体的体积为V 2，则：（A ）V 1=12V 2；（B ）V 1=23V 2；（C ）V 1=V 2；（D ）V 1=2V 2；分析：我国古代数学家祖暅在对于两个几何体体积的比较方面作出了卓越的贡献，祖暅原理告诉我们：对于两个底面积相同，高相等的几何体，任做一个平行于底面的截面，若每一个截面的面积相等，则这两个几何体的体积相等．运用祖原理的思想我们可以将不规则的几何体的体积计算转化为规则几何体的体积计算．如计算球的体积时我们可以将半球转化为圆柱与圆锥的组合体．显然，本题中的两个几何体符合祖暅原理的条件，比较其截面面积如下：取()44y a a =-≤≤，则：()21162164S aa ππππ=-⋅⋅=-当0a <时：()()()22221642164S aa a ππππ=⋅--⋅-+=+ 当0a >时：()()()22221642164S a a a ππππ=⋅--⋅--=-显然，12S S =，于是有：12V V =．例十七、（2000年全国联赛一试）一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a ，则这个球的体积是．分析：由正四面体的图象的对称性可知，内切球的球心必为正四面体的中心，球与各棱相切，其切点必为各棱中点，考查三组对棱中点的连线交于一点，即为内切球的球心，所以每组对棱间的距离即为内切球的直径，于是有：22r a =∴3343424V a a π⎛⎫=⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭练习：同样可用体积法求出棱长为a 的正四面体的外接球和内切球的半径．分析可知，正四面体的内切球与外接球球心相同，将球心与正四面体的个顶点相连，可将正四面体划分为四个全等的正三棱锥，于是可知内切球的半径即为正四面体高度的四分之一，外接球半径即为高度的四分之三．故只要求出正四面体的高度即可．又：3h a ===，所以，,412R a r ==．ROEDC APr例十九、（1998年全国联赛一试）ABC ∆中，90,30,2C B AC ∠=︒∠=︒=，M 是AB 的中点．将ACM ∆沿CM 折起，使A 、B 两点间的距离为22A —BCM 的体积等于．分析：关于折叠问题，弄清折叠前后线段之间的变与不变的关系往往是我们解决问题的关键，问题中经常会涉及折叠图形形成二面角，在折叠前作一条直线与折叠线垂直相交，于交点的两侧各取一点形成一个角，于是在折叠过程中，此角始终能代表图形折叠所形成的二面角的大小．此外，通过分析可知解决本例的另一个关键是需要得到棱锥的高，其实只要能找到二面角，高也就能迎刃而解了．如图，作BD ⊥CM 的延长线相交于D ，AF ⊥CM 于F ，并延长到E ，使EF=BD ，连BE ．显然，AF=EF=BD=3EB=DF=2,所以： A E 2=AB 2-EB 2=8-4=4三棱锥A —BCM 的高即点A 到平面BCM 的距离也就是等腰∆AEF 中点A 到边EF 的距离．根据面积相等FF M ME E D D BB C C A A可求得：h ==∴11132V =⋅⋅=例二十、（1995年全国联赛一试）设O 是正三棱锥P —ABC 底面△ABC 的中心，过O 的动平面与P —ABC 的三条侧棱或其延长线的交点分别记为Q 、R 、S ，则和式111PQ PR PS++ （A ）有最大值而无最小值；（B ）有最小值而无最大值；（C ）既有最大值又有最小值，且最大值与最小值不等；（D ）是一个与平面QRS 位置无关的常量．分析：借助于分割思想，将三棱锥P —QRS 划分成三个以O 为顶点，以三个侧面为底面的三棱锥O —PQR ，O —PRS ，O —PSQ ．显然三个三棱锥的高相等，设为h ，又设QPR ∠=RPS SPQ α∠=∠=，于是有：()13P QRS O PQR O PRS O PSQ PQR PRS PSQ V V V V S S S h ----∆∆∆=++=++⋅ ()1sin 6PQ PR PR PS PS PQ h α=⋅+⋅+⋅⋅⋅ 又：1sin sin 6P QRS Q PRS V V PQ PR PS αθ--==⋅⋅⋅⋅，其中θ为PQ 与平面PRS 所成的角．()sin sin sin PQ PR PR PS PS PQ h PQ PR PS ααθ∴⋅+⋅+⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅于是得：111PQ PR PS ++sin hθ= 例二十一、（1993年全国联赛一试）三棱锥S —ABC 中，侧棱SA 、SB 、SC 两两互相垂直，M 为三角形ABC 的重心，D 为AB 中点，作与SC 平行的直线DP ．证明：（1）DP 与SM 相交；OSRQCBAP（2）设DP 与SM 的交点为D '，则D 为三棱锥S —ABC 的外接球的球心．分析：根据题中三棱锥的特点，可将三棱锥补形成为一个如图所示的长方体，因为 C 、M 、D 三点共线，显然，点C 、S 、D 、M 在同一平面内．于是有DP 与SM 相交．又因为：12DD DM SC MC '==，而点D 为长方体的底面SAEB 的中心，故必有点D '为对角线SF 的中点，即为长方体的也是三棱锥的外接球的球心．例二十二、（1992年全国联赛一试）从正方体的棱和各个面的面对角线中选出k 条，使得其中任意两条线段所在的直线都是异面直线，则k 的最大值是．分析：本题可以采用构造法求解．考查图中的四条线段：A 1D 、AC 、BC 1、B 1D 1，显然其中任意两条都是异面直线．另一方面，如果满足题目要求的线段多于4条，若有5条线段满足要求，因为5条线段中任意两条均为异面直线，所以其中任意两条没有公共点，于是产生这些线段的端点几何体的顶点的个数必定大于或等于10个，这与题中的正方体相矛盾．故：4k =．例二十三、（1991年全国联赛一试）设正三棱锥P —ABC 的高为PO ，M 为PO 的中点，过AM 作与棱BC 平行的平面，将三棱锥截为上、下两个部分，试求此两部分的体积比．分析：取BC 的中点D ，连接PD 交AM 于G ，设所作的平行于BC 的平面交平面PBC 于EF ，由直线与平面平行的性质定理得：EF ∥BC ，连接AE ，AF ，则平面AEF 为合乎要求的截面．GFMED 'DCBA SH A 1DCBA D 1C 1B 1F E OM D CBAPHG作OH ∥PG ，交AG 于点H ，则：OH=PG ．51112BCPD PG GDGD GD AD EF PG PG PG OH AO +===+=+=+=；故：2425A PEF PEF A PBC PBC V S EF V S BC -∆-∆⎛⎫=== ⎪⎝⎭；于是：421A PEF A EFBC V V --=．三、求面积这类题常设计为求几何体中某一特殊位置的截面面积解决这类题的关键是 ,封断出截面的形状及截面和已知中相关图形的关系四、求距离这类题常是以几何体为依托 ,求其中的某些点、线、面之间的距离解决这类题的关键在于 ,根据已知条件判断出或作出符合题意的线段 ,其长度就是符合题意的距离4、（1996年全国联赛一试）已知将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱的长为2，则最远的两顶点间的距离是________．解：该六面体的棱只有两种，设原正三棱锥的底面边长为2a ，侧棱为b ．取CD 中点G ，则AG ⊥CD ，EG ⊥CD ，故∠AGE 是二面角A —CD —E 的平面角．由BD ⊥AC ，作平面BDF ⊥棱AC 交AC 于F ，则∠BFD 为二面角B —AC —D 的平面角．AG=EG=b 2－a 2，BF=DF=2a b 2－a 2b，AE=2b 2－(233a )2=2b 2－43a 2．由cos ∠AGE=cos ∠BFD ，得2AG 2－AE 22AG 2=2BF 2－BD 22BF 2．∴ 4(b 2－432a 2)b 2－a 2=4a 2b 24a 2(b 2－a 2)⇒9b2=16a 2，⇒b=43a ，从而b=2，2a=3．AE=2．即最远的两个顶点距离为3．分析：设正三棱锥的底面边长为a ，侧棱长为b ，则：2222223244a a b a aa b b -=⋅--即：2223b a b =-化简得： 32ba =所以，3,2a b ==．于是可求得线段PP '的长：2432pp '=-=．于是有最远距离为底边长3．2ababbGEFBCDAACBD EFOP 'P五、求元素个数这类题常以长方体或三棱锥等几何体为背景,通过计算符合题意的元素个数,来考查学生对计数问题的理解程度解决这类题的关键是计数时要有规律的数,作到不重复、不遗漏8、如果空间三条直线a ，b ，c 两两成异面直线，那么与a ，b ，c 都相交的直线有(A ) 0条 (B ) 1条 (C )多于1 的有限条 (D ) 无穷多条解：在a 、b 、c 上取三条线段AB 、CC '、A 'D '，作一个平行六面体ABCD —A 'B 'C 'D '，在c 上取线段A 'D '上一点P ，过a 、P 作一个平面，与DD '交于Q 、与CC '交于R ，则QR ∥a ，于是PR 不与a 平行，但PR 与a 共面．故PR 与a 相交．由于可以取无穷多个点P ．故选D ．9、给定平面上的5个点A 、B 、C 、D 、E ，任意三点不共线. 由这些点连成4条线，每点至少是一条线段的端点，不同的连结方式有种.解：图中，4种连结方式都满足题目要求.（图中仅表示点、线间连结形式，不考虑点的位置) .情况（1），根据中心点的选择，有5种其连结方式；情况（2），可视为5个点A 、B 、C 、D 、E 的排列，但一种排列与其逆序排列是同一的，且两者是一一对应的，则有连结方式5!602=种；情况（3），首先是分歧点的选择有5种，其次是分叉的两点的选择有246C =种，最后是余下并连两点的顺序有别，有2!种，共计56260⨯⨯=种；情况（4），选择3点构造三角形，有3510C =种. 共有5606010135+++=种连结方式.B‘C’D’A‘CDASQ PR acb（1）（2）（3）（4）3. 设四棱锥P ABCD -的底面不是平行四边形, 用平面α去截此四棱锥, 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α( )(A) 不存在 (B)只有1个 (C) 恰有4个 (D)有无数多个例一、（1991年全国联赛一试）由一个正方体的三个顶点所能构成的正三角形的个数为（A ）4；（B ）8；（C ）12；（D ）24．分析：一个正方体一共有8个顶点，根据正方体的结构特征可知，构成正三角形的边必须是正方体的面对角线．考虑正方体的12条面对角线，从中任取一条可与其他面对角线构成两个等边三角形，即每一条边要在构成的等边三角形中出现两次，故所有边共出现112224C =次，而每一个三角形由三边构成，故一共可构成的等边三角形个数为2483=个．例二、（1995年全国联赛一试）将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两个端点异色，如果只有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的总数是．分析：就四棱锥P —ABCD 而言，显然顶点P 的颜色必定不同于A 、B 、C 、D 四点，于是分三种情况考虑：① 若使用三种颜色，底面对角线上的两点可同色，其染色种数为：3560A =（种） ② 若使用四种颜色，底面有一对对角线同色，其染色种数为：1425240C A ⋅=（种）③ 若使用五种颜色，则各顶点的颜色各不相同，其染色种数为：55120A =（种）故不同染色方法种数是：420种．六、特殊四面体1．四面体由于四面体是三角形在空间中的推广，因此三角形的许多性质也可以推广到四面体：（1）连接四面体的棱中点的线段交于一点，且在这里平分这些线段；（2）连接四面体任一顶点与它对面重心的线段交于一点，且这点将线段分成的比为3：1，G 称为四面体的重心．（3）每个四面体都有外接球，球心是各条棱的中垂面的交点．（4）每个四面体都有内切球，球心是四面体的各个二面角的平分面的交点．例10（1983年全国）在六条棱长分别为2、3、3、4、5、5的所有四面体中，最大的体积是多少？证明你的结论．2．特殊四面体（i ）等腰四面体：三组对棱分别相等的四面体．性质（1）等腰四面体各面积相等，且为全等的锐角三角形；（2）体积是伴随长方体的13．（ii ）直角四面体从一个顶点出发的三条棱相互垂直的四面体．性质（1）直角四面体中，不含直角的面是锐角三角形（称该面为底面）；（2）任一侧面面积是它在底面投影的面积和地面面积的比例中项，且侧面面积的平方和是底面面积的平方；（3）三个侧面与底面所成三个二面角的余弦的平方和是1．3．正四面体每个面都是全等的等边三角形的四面体．性质（1）若正四面体的棱长为a ，则四面体的全面积S ＝3a 2，体积V ＝212a 3；（2）正四面体对棱中点的连线长d ＝22a ；（3）正四面体外接球的半径64a ，内切球的半径为612a ．七、“ 多球” 问题在解决立体几何问题时，常会遇到若干个球按照一定的法则“ 叠加” 的问题，我们将这类问题简称为“ 多球” 问题．对于“ 多球” 问题，我们往往可以从多球中提炼出球心所组成的立体图形，将问题简化，然后通过解决这简化的问题，获得原问题的待求结论，这是解决“ 多球” 问题的一个常用方法．5、将八个半径都为1的球分放两层放置在一个圆柱内，并使得每个球都和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于．解：如图，ABCD 是下层四个球的球心，EFGH 是上层的四个球心．每个球心与其相切的球的球心距离=2．EFGH 在平面ABCD 上的射影是一个正方形．是把正方形ABCD 绕其中心旋转45 而得．设E 的射影为N ，则MN=2－1．EM=3，故EN 2=3－(2－1)2=22．∴ EN=48．所求圆柱的高=2+48．6、底面半径为1cm 的圆柱形容器里放有四个半径为12cm 的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm 3．填(13＋22)π．解：设四个实心铁球的球心为O 1，O 2，O 3，O 4，其中O 1，O 2为下层两球的球心，A ，B ，C ，D 分别为四个球心在底面的射影．则ABCD 是一个边长为22的正方形．所以注水高为1＋22．故应注水π(1＋22)－4×43π(12)3＝(13＋22)π．例 1在桌面上放着四个两两相切、半径均为r 的球，试确定其顶端离桌面的高度；并求夹在这四个球所组成图形空隙中与四个球均相切的小球的半径．例 2 制作一个底圆直径为4 c m的圆柱形容器，要内装直径为2 c m的钢珠2 6 只，那么这容器至少要多高?( 上海市1 9 8 6 年竞赛试题)例 3 在正四面体内装入半径相同的球，使相邻的球彼此相切，且外层的球又和正四面体的面都相切，如此装法，当球的个数无穷大时，求所装球的体积与正四面体体积之比的极限．( 第八届希望杯高二数学培训题)八、体积法及其应用体积法是处理立体几何问题的重要方法．在高中数学竞赛中，利用体积法解题形式简洁、构思容易，内涵深刻，应用广泛，备受青睐．几何体的体积包括基本几何体的体积计算、等积变换等方法，同时有以下常用方法和技巧：( 1 ) 转移法：利用祖咂原理或等积变换，把所求几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积．( 2 ) 分割求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积．( 3 ) 补形求差法：通过补形化归为基本几何体的体积．( 4 ) 四面体体积变换法．( 5 ) 算两次法：对同一几何体的体积，从两种方法计算，建立出未知元素的等量关系，从而使问题求解．利用这种方法求点到平面的距离，可以回避作出表示距离的垂线段．另外，体积法中对四面体的体积变换涉及较多应用广泛．关于四面体的体积有如下常用性质：( 1 ) 底面积相同的两个三棱锥体积之比等于对应高之比；( 2 ) 高相同的两个三棱锥的体积比等于其底面积之比；( 3 ) 用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方；九、立体几何中的截面问题截面问题涉及到截面形状的判定、截面面积和周长的计算、截面图形的计数、截面图形的性质及截面图形的最值．本文介绍此类问题的求解方法．1 判断截面图形的形状2 截面面积和周长的计算3 计算截面图形的个数4 确定截面图形的性质5 求截面图形的最值九、综合问题7、顶点为P 的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A 是底面圆周上的点，B 是底面圆内的点，O 为底面圆圆心，AB ⊥OB ，垂足为B ，OH ⊥PB ，垂足为H ，且P A=4，C 为P A 的中点，则当三棱锥O －HPC 的体积最大时，OB 的长为A ．53 B ．253 C ．63 D ．263解：AB ⊥OB ，⇒PB ⊥AB ，⇒AB ⊥面POB ，⇒面P AB ⊥面POB ．OH ⊥PB ，⇒OH ⊥面P AB ，⇒OH ⊥HC ，OH ⊥PC ，又，PC ⊥OC ，⇒PC ⊥面OCH ．⇒PC 是三棱锥P －OCH 的高．PC=OC=2．而∆OCH 的面积在OH=HC=2时取得最大值(斜边=2的直角三角形)．当OH=2时，由PO=22，知∠OPB=30︒，OB=PO tan30︒=263．解2：连线如图，由C 为P A 中点，故V O －PBC =12V B －AOP ，而V O －PHC ∶V O －PBC =PHPB =PO 2PB2(PO 2=PH ·PB )．记PO=OA=22=R ，∠AOB=α，则V P —AOB =16R 3sin αcos α=112R 3sin2α，A BP OH CV B －PCO =124R 3sin2α．PO 2PB 2=R 2R 2+R 2cos 2α=11+cos 2α=23+cos2α．⇒V O －PHC=sin2α3+cos2α⨯112R 3．∴ 令y=sin2α3+cos2α，y '=2cos2α(3+cos2α)－(－2sin2α)sin2α(3+cos2α)2=0，得cos2α=－13，⇒cos α=33，∴ OB=263，选D ．例19把一个长方体切割成k 个四面体，则k 的最小值是 .例20已知l αβ--是大小为45的二面角，C 为二面角内一定点，且到半平面α和β和6，A ，B 分别是半平面α，β内的动点，则ABC ∆周长的最小值为_____．例21如图所示，等腰ABC △的底边AB =，高3CD =，点E 是线段BD 上异于点B D ，的动点，点F 在BC 边上，且EF AB ⊥，现沿EF 将BEF △折起到PEF △的位置，使PE AE ⊥，记BE x =，()V x 表示四棱锥P ACFE -的体积．（1）求()V x 的表达式；（2）当x 为何值时，()V x 取得最大值？（3）当()V x 取得最大值时，求异面直线AC 与PF 所成角的余弦值．例六、设锐角,,αβγ满足：222cos cos cos 1αβγ++=．求证：tan tan tan αβγ⋅⋅≥分析：构造长方体模型．构造如图所示的长方体 ABCD —A 1B 1C 1D 1，连接AC 1、A 1C 1、BC 1、DC 1．过同一个顶点的三条棱AD 、AB 、AA 1与对角线AC 1所成的角为锐角,,αβγ，满足：222cos cos cos 1αβγ++=不妨设长方体过同一个顶点的三条棱AD 、AB 、AA 1的长分别为,,a bc ．则：tan tan tan aa b b c cαβγ=≥=≥=≥ 以上三式相乘即可．证明二：因为,,αβγ为锐角，故：2222sin 1cos cos cos 2cos cos ααβγβγ=-=+≥⋅，sin α∴≥同理：sin βγP ED F BCAD 1C 1B 1 A 1DC BA例22已知三棱锥ABC P -的三条侧棱PA 、PB 、PC 两两垂直，侧面PAB 、PBC 、PCA 与底面ABC 所成的二面角的平面角的大小分别为1θ、2θ、3θ，底面ABC 的面积为34. (1)证明:22tan tan tan 321≥⋅⋅θθθ；(2)若23tan tan tan 321=++θθθ，求该三棱锥的体积ABC P V -. 练习题例七、（1994年全国联赛一试）在正n 棱锥中，相邻两侧面所成的二面角的取值范围是（A ） 2,n n ππ-⎛⎫⎪⎝⎭；（B ） 1,n n ππ-⎛⎫ ⎪⎝⎭；（C ） 0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭；（D ） 21,n n n n ππ--⎛⎫⎪⎝⎭．分析：根据正n 棱锥的结构特征，相邻两侧面所成的二面角应大于底面正n 边形的内角，同时小于π，于是得到（A ）．例八、（1992年全国联赛一试）设四面体四个面的面积分别为S 1、S 2、S 3、S 4，它们的最大值为S ，记1234S S S S Sλ+++=，则λ一定满足（A ） 24λ<≤；（B ） 34λ<<；（C ） 2.5 4.5λ<≤；（D ） 3.5 5.5λ<<．分析：因为 i S S ≤ ()1,2,3,4i =所以12344S S S SS+++≤．特别的，当四面体为正四面体时取等号．另一方面，构造一个侧面与底面所成角均为45︒的三棱锥，设底面面积为S 4，则：()()1231231234123cos 451 2.5cos 45S S S S S S S S S S S S S S λ+++++⋅︒+++===+++⋅︒，若从极端情形加以考虑，当三棱锥的顶点落在底面上时，一方面不能构成三棱锥，另外此时有1234S S S S ++=，也就是2λ=，于是必须2λ>．故选（A ）．。

数学竞赛中的数论问题(习题部分)

数学竞赛中的数论问题第二部分数论题的范例讲解主要讲几个重要类型：奇数与偶数，约数与倍数（素数与合数），平方数，整除，同余，不定方程，数论函数等．重点是通过典型范例来分析解题思路、提炼解题方法和巩固基本内容．一、奇数与偶数整数按照能否被2整除可以分为两类，一类余数为0，称为偶数，一类余数为1，称为奇数．偶数可以表示为2n ，奇数可以表示为21n -或21n +．一般地，整数被正整数m 去除，按照余数可以分为m 类，称为模m 的剩余类(){}mod i C x x i m =≡，从每类中各取出一个元素i i a C ∈，可得模m 的完全剩余系（剩余类派出的一个代表团），0,1,2,,1m -称为模m 的非负最小完全剩余系.通过数字奇偶性质的分析而获得解题重大进展的技巧，常称作奇偶分析，这种技巧与分类、染色、数字化都有联系，在数学竞赛中有广泛的应用．关于奇数和偶数，有下面的简单性质：（1）奇数≠偶数．（2）偶数的个位上是0、2、4、6、8；奇数的个位上是1、3、5、7、9．（3）奇数与偶数是相间排列的；两个连续整数中必是一个奇数一个偶数；．（4）奇数个奇数的和是奇数；偶数个奇数的和是偶数；偶数跟奇数的和是奇数；任意多个偶数的和是偶数．（5）除2外所有的正偶数均为合数；（6）相邻偶数的最大公约数为2，最小公倍数为它们乘积的一半．（7）偶数乘以任何整数的积为偶数．（8）两数和与两数差有相同的奇偶性，()mod2a b a b +≡-．（9）乘积为奇数的充分必要条件是各个因数为奇数．（10）n 个偶数的积是2n的倍数．（11）()11k-=的充分必要条件是k 为偶数，()11k-=-的充分必要条件是k 为奇数．（12）()()()()()()22220mod 4,211mod 4,211mod8n n n ≡-≡-≡．（13）任何整数都可以表示为()221mn k =-．……例1 （1906，匈牙利）假设12,,,n a a a 是1,2,,n 的某种排列，证明：如果n 是奇数，则乘积()()()1212n a a a n ---是偶数．类似题：例1-1（1986，英国）设127,,,a a a 是整数，127,,,b b b 是它们的一个排列，证明()()()112277a b a b a b ---是偶数．（127,,,a a a 中奇数与偶数个数不等）例1-2 π的前24位数字为 3.14159265358979323846264π=，记1224,,,a a a 为该24个数字的任一排列，求证()()()12342324a a a a a a ---必为偶数．（暗藏3,1,4,1,5,9,2,6,5,3,5,8,9,7,9,3,2,3,8,4,6,2,6,4中奇数与偶数个数不等）例2 能否从1,2,,15中选出10个数填入图的圆圈中，使得每两个有线相连的圈中的数相减（大数减小数），所得的14个差恰好为1,2,,14？例3 有一大筐苹果和梨分成若干堆，如果你一定可以找到这样的两堆，其苹果数之和与梨数之和都是偶数，问最少要把这些苹果和梨分成几堆？例4 有n 个数121,,,,n n x x x x -，它们中的每一个要么是1，要么是1-．若1223110n n n x x x x x x x x -+++++=，求证4|n ．例5 n 个整数121,,,,n n a a a a -，其积为n ，其和为0，试证4|n ．例6 在数轴上给定两点1内任取n 个点，在此2n +个点中，每相邻两点连一线段，可得1n +条互不重叠的线段，证明在此1n +条线段中，以一个有理点和一个无理点为端点的线段恰有奇数条．二、约数与倍数最大公约数与最小公倍数的求法．（1）短除法．（2）分解质因数法．设1212,0,1,2,,k k i a p p p i k αααα=≥=， 1212,0,1,2,,k k i b p p p i k ββββ=≥=．记 {}{}min ,,max ,i i i i i i γαβδαβ==，则 ()1212,k k a b p p p γγγ=， []1212,k k a b p p p δδδ=．（3）辗转相除法()()()()()121,,,,,0n n n n a b b r r r r r r r -======．例7 （1）求()8381,1015，[]8381,1015；（2）()144,180,108，[]144,180,108．例8 正整数n 分别除以2,3,4,5,6,7,8,9,10得到的余数依次为1,2,3,4,5,6,7,8,9，则n 的最小值为．．例9 有两个容器，一个容量为27升，一个容量为15升，如何利用它们从一桶油中倒出6升油来？例10 对每一个2n ≥，求证存在n 个互不相同的正整数12,,,n a a a ，使i j i j a a a a -+，对任意的{},1,2,,,i j n i j ∈≠成立．例11 ()111959,IMO -证明对任意正整数n ，分数214143n n ++不可约．例12 不存在这样的多项式 ()1110mm m m f n a n a na n a --=++++，使得对任意的正整数n ，()f n 都是素数．．三、平方数若a 是整数，则2a 就叫做a 的完全平方数，简称平方数． 1．平方数的简单性质（1）平方数的个位数只有6个：0,1,4,5.6.9．（2）平方数的末两位数只有22个：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．（3）()()()()2220mod 4,211mod 4n n ≡-≡．（４）()()2211mod8n -≡．（6）凡是不能被3整除的数，平方后被3除余1．（7）在两个相邻整数的平方数之间，不能再有平方数．（8）非零平方数的约数有奇数个．（9）直角三角形的三边均为整数时，我们把满足222a b c +=的整数(),,a b c 叫做勾股数．勾股数的公式为2222,2,,a m n b mn c m n ⎧=-⎪=⎨⎪=+⎩其中,m n 为正整数，(),1m n =且,m n 一奇一偶．这个公式可给出全部素勾股数．2．平方数的证明方法（1）反证法．（2）恒等变形法．（3）分解法．设a 为平方数，且a bc =，(),1b c =，则,b c 均为平方数．（4）约数法．证明该数有奇数个约数． 3．非平方数的判别方法（1）若()221n x n <<+，则x 不是平方数．（2）约数有偶数个的数不是平方数．（3）个位数为2，3，7，8的数不是平方数．（4）同余法：满足下式的数n 都不是平方数．()2mod3n ≡， ()23mod4n ≡或， ()23mod5n ≡或，()23567mod8n ≡或或或或，()2378mod10n ≡或或或．（5）末两位数不是：00，01，21，41，61，81，04，24，44，64，84，25，16，36，56，76，96，09，29，49，69，89．如个位数与十位数都是都是奇数的数，个位数是6、而十位数是偶数的数．例13 有100盏电灯，排成一横行，从左到右，我们给电灯编上号码1，2，…，99，100．每盏灯由一个拉线开关控制着．最初，电灯全是关着的．另外有100个学生，第一个学生走过来，把凡是号码为1的倍数的电灯的开关拉了一下；接着第2个学生走过来，把凡是号码为2的倍数的电灯的开关拉了一下；第3个学生走过来，把凡是号码为3的倍数的电灯的开关拉了一下，如此等等，最后那个学生走过来，把编号能被100整除的电灯的开关拉了一下，这样过去之后，问哪些灯是亮的？例14 已知直角三角形的两条直角边分别为正整数,a b ，斜边为正整数c ，若a 为素数，求证()21a b ++为平方数．例15 求证，任意3个连续正整数的积不是平方数．例16 ()2311986,IMO -设d 是异于2，5，13的任一整数．求证在集合{}2,5,13,d 中可以找到两个不同元素,a b ，使得1ab -不是完全平方数．例17 (296IMO -)设,a b 为正整数，1ab +整除22a b +．证明221a b ab ++是完全平方数．四．整除整除的判别方法主要有7大类．1．定义法．证b a a bq ⇔=，有三种方式．（1）假设a qb r =+，然后证明0r =．（定理4）（2）具体找出q ，满足a bq =．（3）论证q 的存在．例18 任意一个正整数m 与它的十进制表示中的所有数码之差能被9整除．2．数的整除判别法． ()1011010mod3n n a a a a a a -++⨯+≡++++， ()1011010mod9n n a a a a a a -++⨯+≡++++如果一个整数的末三位数与末三位数以前的数字所组成的数的差能被7或11或或13整除． 1210a a a()13132101001n n a a a a a a a -⨯--，()13210132101001n n n a a a a a a a a a a a --⇔⨯-，1113⨯，而7,11,13均为素数知，m 能被7或11或13）如果一个整数的奇位数字之和与偶位数字之和的差能被11整除，则这个数能被)mod11，有()()()()11101110101010111mod11.n n n n nn n n a a a a a a a a ----⨯+⨯++⨯+≡-+-++-+3．分解法．主要用乘法公式．如()()123221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=-+++++．()()212122232422322n n n n n n n a b a b a a b a b ab b -------+=+-+--+．()()2221222322221n n n n n n n a b a b a a b a b ab b ------=+-+-+-．例19 试证()()555129129++++++．例20 ()2111979,IMO -设p 与q 为正整数，满足111112313181319p q =-+--+，求证p 可被1979整除（1979p ）例20-1 2009年9月9日的年、月、日组成“长长久久、永不分离”的吉祥数字20090909，而它也恰好是一个不能再分解的素数．若规定含素因子20090909的数为吉祥数，请证明最简分数111220090908m n =+++的分子m 是吉祥数．4．余数分类法．例21 试证()()3121n n n ++．例22 k个连续整数中必有一个能被k整除．例23 k个连续整数之积必能被!k整除．n≥），若顺序相邻的3人中恰有一例24 有男孩、女孩共n个围坐在一个圆周上（3-．个男孩的有a组，顺序相邻的3人中恰有一个女孩的有b组，求证3a b例25 （1956，中国北京）证明3231122n n n ++-对任何正整数n 都是整数，并且用3除时余2．五、同余根据定义，同余问题可以转化为整除问题来解决；同时，同余本身有很多性质，可以直接用来解题．例26 正方体的顶点标上1+或1-，面上标上一个数，它等于这个面四个顶点处的数的乘积，求证，这样得出的14个数之和不能为0．．例27 设多项式()n n n na x a xa x a x f ++++=--1110 的系数都是整数，并且有一个奇数α及一个偶数β使得()αf 及()βf 都是奇数，求证方程()0=x f 没有整数根．六、不定方程未知数的个数多于方程个数的整系数代数方程，称为不定方程．求不定方程的整数解，叫做解不定方程．解不定方程通常要解决3个问题，方程是否有解？有解时，有几个解，解数是有限还是无穷？求出全部解．例28 解方程719213x y +=．例29 求方程3222009x x y +=的整数解．例30 甲乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，…直到有一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程，那么所有可能出现的比赛过程的种数为．（1988，高中联赛）例31（1989，高中）如果从数1，2，…，14中按由小到大的顺序取出123,,a a a ，使同时满足21323, 3a a a a -≥-≥，那么，所有符合上述要求的不同取法有多少种？七．数论函数主要是[]x 高斯函数，()n ϕ欧拉函数．例32 某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大于．．6．时再增选一名代表．那么，各班可推选代表人数y 与该班人数x 之间的函数关系用取整函数[]y x =（[]x 表示不大于x 的最大整数）可以表示为(A)10x y ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (B)310x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (C) 410x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ (D)510x y +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ （2010年全国高考数学陕西卷理科第10题）例33 用[]x 表示不大于x 的最大整数，求122004366366366366⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦．例34 50!的标准分解式中2的指数．八、综合练习例35 整数勾股形中，证明（1）必有一条直角边长是3的倍数；（2）必有一条直角边长是4的倍数；（3）必有一条边长是5的倍数；（4）三角形的面积是6的倍数．例36 已知ABC 内有n 个点，连同,,A B C 共有3n +个点，以这些点为顶点，把ABC 分割为若干个互不重叠的小三角形，现把,,A B C 分别染上红色、蓝色、黄色，而其余n 个点，每点任意染上红、蓝、黄三色之一，证明三顶点都不同色的小三角形的总数必是奇数．（斯潘纳定理）例37 对整点25边形的顶点作三染色，求证，存在一个三顶点同色的三角形，它的重心也是整点．高中数学竞赛训练讲义一、选择题1、,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（）．A 、a b c >>；B 、 b c a >>；C 、b a c >>；D 、a c b >>；2、设 ()11x f x x+=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===则()2007f x =（）． A 、11x x +-； B 、 11x x -+； C 、x ； D 、1x-； 3、设α为锐角，xy 2sin cos sin cos z αααα=+，则,,x y z 的大小顺序为（）． A 、x y z ≥≥； B 、 x z y ≥≥； C 、z x y ≥≥； D 、z y x ≥≥；4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（）.A 、24；B 、36；C 、72；D 、84.52，则其侧面与底面的夹角为( ).A 、3π； B 、4π； C 、6π； D 、12π.6、正整数集合k A 的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列，则并集1759A A 中的元素个数为（）． A 、119 B 、120； C 、151； D 、154.二、填空题 7、若实数,x y 满足：1031031031031,125263536x y x y+=+=++++，则x y += . 8、抛物线顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则MO MF的最大值为． 9、计算01sin10= . 10、过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为 .11、把一个长方体切割成k 个四面体，则k 的最小值是 .12、将各位数码不大于3的全体正整数m 按自小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则2007a = ．三、解答题13、数列{}n a 满足：()()111,211nn n na a a n na +==++；令12,k k x a a a =+++12111,1,2,k ky k a a a =+++=；求1nk kk x y=∑．A B CD15、若四位数n abcd =的各位数码,,,a b c d 中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n 为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．答案一、选择题（本题满分36分，每小题6分）1、,,a b c 为互不相等的正数，222a c bc +=，则下列关系中可能成立的是（）A 、a b c >>；B 、 b c a >>；C 、b a c >>；D 、a c b >>；答案：C ；解：若a b >，则22222a c b c bc +>+≥，不合条件，排除,A D ，又由()222a c c b c -=-，故a c -与b c -同号，排除B ；且当b a c >>时，222a c bc +=有可能成立，例如取()(),,3,5,1a b c =，故选C ． 2、设 ()11xf x x+=-，又记()()()()()11,,1,2,,k k f x f x f x f f x k +===则()2007f x =（）A 、11x x +-； B 、 11x x -+； C 、x ； D 、1x-；答案：B ；解：()()1121111,11f x f x f x x f x++===---， ()()323423111,111f f x f x f x x f x f ++-====-+-，据此，()()414211,1n n x f x f x x x +++==--，()()4341,1n n x f x f x x x +-==+，因2007为43n +型，故选B . 3、设α为锐角，x =y =2sin cos sin cos z αααα=+，则,,x y z 的大小顺序为（）A 、x y z ≥≥；B 、 x z y ≥≥；C 、z x y ≥≥；D 、z y x ≥≥；答案：A；解：sin cos 1sin cos x y αααα+=≥=+，2sin cos sin cos z y αααα=≤==+，故x y z ≥≥.4、用红、黄、蓝、绿四种颜色给图中的A 、B 、C 、D 四个小方格涂色（允许只用其中几种），使邻区（有公共边的小格）不同色，则不同的涂色方式种数为（）.A 、24；B 、36；C 、72；D 、84.答案：D ；解：选两色有24C 种，一色选择对角有2种选法，共计24212C =种；选三色有34C 种，其中一色重复有13C 种选法，该色选择对角有2种选法，另两色选位有2种，共计432248⨯⨯⨯=种；四色全用有4!24=种（因,,,A B C D 为固定位置），合计84种.52，则A B CD其侧面与底面的夹角为( ).A 、3π； B 、4π； C 、6π； D 、12π .答案：A ；解：设底面正方形边长为1，棱锥的高为h ，侧面三角形的高为l ，则AC，2l =，则sin 2h PMH l ∠==，3PMH π∠=. 6、正整数集合k A 的最小元素为1，最大元素为2007，并且各元素可以从小到大排成一个公差为k 的等差数列，则并集1759A A 中的元素个数为（）． A 、119 B 、120； C 、151； D 、154.答案：C ；解：用k A 表示集k A 的元素个数，设1k A n =+，由20071nk =+，得2006n k=，于是172006111917A =+=，59200613559A =+=，175910032006131759A A A ==+=⨯；从而175917591003119353151A A A A A =+-=+-=．二、填空题（本题满分54分，每小题9分）7、若实数,x y 满足：1031031031031,125263536x y x y+=+=++++，则x y += .答案：1010332356+++；解：据条件，10102,3是关于t 的方程33156x y t t +=++的两个根，即()233560t x y t -+--+=的两个根，所以1010332356x y +=+--；1010332356x y +=+++．8、抛物线顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则MOMF的最大值为． 22y px =，则顶点及焦点坐标为()0,0,,02p O F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若设点M 坐标为(),M x y ，则22222222242MO x y x px p MF p x px x y ++⎛⎫== ⎪⎝⎭⎛⎫++-+ ⎪⎝⎭()222222224313234444x px x px px x px x p xpx ++=≤=+++++，故MO MF ≤（当()(),,M x y p p =或()(),,M x y p p =时取等号）9、计算001sin10cos10-= . 答案：4.解：01sin10=()000000012cos102sin 3010241sin10cos10sin 202⎛⎫ ⎪-⎝⎭==． 10、过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为 . 答案：2214536x y+=；解：设直线l 上的点为(),9P t t +，取()13,0F -关于直线l 的对称点()9,6Q -，据椭圆定义，12222a PF PF PQ PF QF =+=+≥= ，当且仅当2,,Q P F 共线，即22PF QF K K =，也即96312t t +=--时，上述不等式取等号，此时5t =-，点P 坐标为()5,4P -，据3,c a ==得，2245,36a b ==，椭圆的方程为2214536x y +=. 11、把一个长方体切割成k 个四面体，则k 的最小值是 .答案：5；解：据等价性，只须考虑单位正方体的切割情况，先说明4个不够，若为4个，因四面体的面皆为三角形，且互不平行，则正方体的上底至少要切割成两个三角形，下底也至少要切割成两个三角形，每个三角形的面积12≤，且这四个三角形要属于四个不同的四面体，以这种三角形为底的四面体，其高1≤，故四个不同的四面体的体积之和112411323⎛⎫≤⨯⨯⨯=< ⎪⎝⎭，不合；所以5k ≥，另一方面，可将单位正方体切割成5个四面体；例如从正方体1111ABCD A BC D -中间挖出一个四面体11A BC D ，剩下四个角上的四面体，合计5个四面体.12、将各位数码不大于3的全体正整数m 按自小到大的顺序排成一个数列{}n a ，则2007a = ．答案：133113；解：简称这种数为“好数”，则一位好数有3个；两位好数有3412⨯=个；三1A位好数有23448⨯=个；…，k 位好数有134k -⨯个；1,2,k =，记1134n k n k S -==∑，因562007S S <<，52007984S -=，即第2007个好数为第984个六位好数；而六位好数中，首位为1的共有541024=个，前两位为10,11,12,13的各有44256=个，因此第2007个好数的前两位数为13，且是前两位数为13的第9843256216-⨯=个数；而前三位为130,131,132,133的各64个，则2007a 的前三位为133，且是前三位数为133的第21636424-⨯=个数；而前四位为1330,1331,1332,1333的各16个，则2007a 的前四位为1331，且是前四位数为1331的第24168-=个数；则2007a 的前五位为13311，且是前五位数为13311的第844-=个数，则2007133113a =．三、解答题（本题满分60分，每小题20分）13、数列{}n a 满足：()()111,211n n n na a a n na +==++；令12,k k x a a a =+++ 12111,1,2,k k y k a a a =+++=；求 1n k k k x y =∑解：改写条件式为()11111n nn a na +-=+，则 ()()()112211111111111122n n n n n na na n a n a n a a a a ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭⎝⎭()121n n =-+=+，所以()11n a n n =+，111111111k k k i i i k x a ii k k ==⎛⎫==-=-= ⎪+++⎝⎭∑∑； ()2111111kk k k k i i i i i y i i i i a ======+=+=∑∑∑∑()()()()()121112623k k k k k k k k ++++++=； ()()()()22111121112233236n n k k k k n n n n n x y k k ==+++⎛⎫=+=+⋅ ⎪⎝⎭∑∑()()21311436n n n n +++=．15、若四位数n abcd =的各位数码,,,a b c d 中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称n 为四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．解：称(),,,a b c d 为n 的数码组，则{},,,1,2,,9a b c d M ∈=；一、当数码组只含一个值，为(),,,,1,2,,9a a a a a =，共得9个n 值；二、当数码组恰含二个值,a b ，()a b >． ()1、数码组为(),,,a a a b 型，则任取三个数码皆可构成三角形，对于每个{}2,,9a ∈，b 可取1a -个值，则数码组个数为()92136a a =-=∑，对于每组(),,,a a a b ，b 有4种占位方式，于是这种n 有364144⨯=个．()2、数码组为(),,,a b b b 型，()a b >，据构成三角形条件，有2b a b <<， M 中a 的个数共得16个数码组，对于每组(),,,a b b b ，a 有4种占位方式，于是这种n 有16464⨯=个．()3、数码组为(),,,a a b b 型，()a b >，据构成三角形条件，有2b a b <<，同上得16个数码组，对于每组(),,,a a b b ，两个a 有246C =种占位方式，于是这种n 有16696⨯=个．以上共计1446496304++=个．三、当数码组恰含三个值,,a b c ，()a b c >>．()1、数码组为(),,,a b c c 型，据构成三角形条件，则有2c b a c <<<，这种(),,,a b c c 有14组，每组中,a b 有2412A =种占位方式，于是这种n 有1412168⨯=个．()2、数码组为(),,,a b b c 型，c b a b c <<<+，此条件等价于{}1,2,,9M =中取三个不同的数构成三角形的方法数，有34组，每组中,a b 有2412A =种占位方式，于是这种n 有3412408⨯=个．()3、数码组为(),,,a a b c 型，c b a b c <<<+，同情况()2，有2434408A =个n 值．以上共计168408408984++=个n 值．四、,,,a b c d 互不相同，则有d c b a c d <<<<+，这种,,,a b c d 有16组，每组有4!个排⨯=个n值．法，共得164!384+++=个．综上，全部四位三角形数n的个数为93049843841681。

高中数学竞赛四点共圆专题试题

四点共圆四点共圆的定义四点共圆的定义：如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。

证明四点共圆有下述一些基本方法：【方法1】从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．或利用圆的定义，证各点均与某一定点等距。

【方法 2 】如果各点都在某两点所在直线同侧，且各点对这两点的张角相等，则这些点共圆．（若能证明其两张角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。

）【方法 3 】把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．【方法4】把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．即利用相交弦、切割线、割线定理的逆定理证四点共圆。

【方法5】证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．【方法6】根据托勒密定理的逆定理，在四边形ABCD中，若AC*BD=AB*CD+AD*BC，那么A，B，C，D四点共圆。

或根据西姆松定理的逆定理证四点共圆。

【方法7】证明五点或五点以上的点共圆，可以分别证各四点共圆，且四点中有三点相同。

【方法8】证连结各点所得凸多边形与某一圆内接凸多边形相似。

上述六种基本方法中的每一种的根据，就是产生四点共圆的一种原因，因此当要求证四点共圆的问题时，首先就要根据命题的条件，并结合图形的特点，在这8种基本方法中选择一种证法，给予证明．一．某些知识的补充1．已知：ABCD共圆，AB中点为E、CD中点为F，EF中点为G，过E点分别作AD、 BC的垂线，垂足为H、I求证：GH=GI首先可这样转化图形：作E点关于AD、BC边的轴对称点S、T，显然I、H分别是ES、ET中点。

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高一数学竞赛练习卷二可编辑

高一数学竞赛练习卷二1. 将正整数从1开始不间断的写成一行，第2006个数码是（） A 、0 B 、5 C 、7 D 、以上都不正确2. 设2log (21)log 2 1x x x x +->-，则x 的取值范围为（） A ．112x << B ．1, 12x x >≠且 C ． 1x > D ． 01x << 3. 已知集合{}05≤-=a x x A ，{}06>-=b x x B ,N b a ∈,，且{}2,3,4A B N ⋂⋂=，则整数对()b a ,的个数为（） A. 20 B. 25 C. 30 D. 424. 已知数列{n a }满足31+n a +n a =4，且1a =9，其前n 项和为S n ，则满足不等式|S n -n-6|1251<的最小整数n 是（） A. 5 B. 6 C. 7 D. 85．平面整点（纵、横坐标都是整数的点）到直线5435+=x y 的距离中的最小值是 A. 17034 B. 8534 C. 301 D. 201 （） 6．在△ABC 中，sinA （sinB+cosB ）-sinC=0，sinB+cos2C=0，比较A 、B 、C 的大小关系为A. C ＞B ＞AB. A ＞B ＞CC. B ＞C ＞AD. C ＞A ＞B （）7．已知点A （1，0）、B （2，1）及直线L ：y=x ，设点P 是直线L 上一点，则当AP BP ⋅取最小值时，AP 与BP 所成的夹角为____.8．函数2sin )(234++++=dx cx x b ax x f 满足f （1）=7，f （-1）=9，且f （2）+f （-2）=124，则f （2）+f （2-）=____.9．已知实数x 、y 满足()()()()55111511541545x x y y ⎧-+-=⎪⎨-+-=-⎪⎩，则x y +=_____. 10．若x 、y 为实数，且223x xy y ++=，则22x xy y -+的最大值和最小值分别为_____．11．若关于x2kx +恰有一个实根，则k 的取值范围是_____．12．已知集合M=⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈++++=R x x x kx x y y ,1122，任取M c b a ∈,,，以c b a ,,为长度的线段都能构成三角形，则实数k 的取值范围是_____．13．在△ABC 中，内角A ，B ，C 对边的边长分别是a ，b ，c ，已知c=2，角C=60°。

11高一数学竞赛练习题九

最新高中数学奥数竞赛高一数学竞赛练习题九1、称有限集S 的所有元素的乘积为S 的“积数”。

给定数集M=⎭⎬⎫⎩⎨⎧1001,,31,21Λ，则数集M 的所有含偶数个元素的子集的“积数”之和为（）（A ）2004851（B ）2004851-（C ）10099-（D ）)10011()311)(211(+++Λ 2、已知定义在R 上且周期为T 的函数f （x ）满足f （1+x ）=f （1-x ）和f （8+x ）=f （8-x ），则T 的值为（）（A ）16 （B ）14 （C ）8 （D ）23、若方程2x 2+px+q=0的两根为sin θ和（）4、二次函数f （x ）=ax 2+bx+c ，a ∈N*，c ≥1，a+b+c ≥1，方程ax 2+bx+c=0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）55、在下列四个函数中以π为周期，在⎪⎭⎫⎝⎛2,0π上单调递增的偶函数是（）（A ）y=sin|x|（B ）y=cos|x|（C ）y=|cotx|（D ）y=lg|sinx|6、设f （x ）=x x 24cos 4sin +x x 24sin 4cos +-，则函数f （x ）的一个等价形式为（A ）cos2x -sin 2x （B ）cosx-sinx （）（C ）cos2x（D ）sin2x7、已知⎪⎭⎫ ⎝⎛=32sin ,32cosππa ，b a -=，b a +=，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积等于（）（A ）1（B ）21（C ）2（D ）23 8、⊙O 1与⊙O 2相切，它们的半径分别为3和7，若恰存在3个半径为r 的圆与⊙O 1、⊙O 2都相切，则r 的所有可能取值为（）（A ）10 （B ）3、4、7 （C ）4 （D ）3、49、设集合M={-1，0，1}，N={2，3，4，5，6}，映射f ：M →N ，则对任意的x ∈M ，x+f （x ）+xf （x ）恒为奇数的映射f 的个数为________________。

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1. 《高中数学竞赛全书》：这本书是一本综合性的数学竞赛辅导书，包含了高中数学的各个知识点和题型，适合高一学生进行系统性的复习和训练。

2. 《高中数学习题集》：这本书是一本针对高中数学各个知识点的习题集，题目难度适中，涵盖了高考常见的题型，适合高一学生进行针对性的练习。

3. 《高中数学解题技巧与方法》：这本书主要介绍了高中数学解题的一些常用技巧和方法，通过讲解例题和习题，帮助学生提高解题能力和思维能力。

4. 《高中数学考点精讲与习题解析》：这本书对高中数学的各个考点进行了详细的讲解和解析，同时提供了大量的习题供学生练习，适合高一学生进行有针对性的复习和巩固。

5. 《高中数学历年真题精选》：这本书收录了历年高考数学真题，并提供了详细的解析和答案，适合高一学生进行模拟考试和检验自己的学习成果。