三角恒等变换---最全的总结_-学生版

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三角函数 —— 三角恒等变换公式:

升幂公式

- 2

1+cos = 2 cos —

1-cos =2 si

n 2

1 ± sin =( sin

—

cos — )

2 2

1=sin + cos

sin =2 sin

cos

降幂公式

1 cos 2

cos 2

1 cos 2

sin 2

+ cos

sin

1 .

sin cos = —sin 2

考点分析：（1）基本识别公式，能结合诱导公式中两个常用的小结论快速进行逻辑判断。 “互补两角正弦相

等，余弦互为相反数。互余两角的正余弦相等。

”（2）二倍角公式的灵活应用，特别是降幕、和升幕公式的

两角和与差的三角函数关系

sin( 1 )=sin cos cos sin

cos(

)=cos cos sin sin

■丄 .

、 tan

tan

tan( )’

1 tan tan

倍角公式

sin2 =2sin cos 2

cos2 =cos

-sin

=2cos 2 -1=1-2sin 2

tan 2

2ta n 1 tan 2

sin — 2 i1 cos

1 cos

\ 2 ，c °s

2 ： 2

tan — 2

1 cos _ 1 cos sin \ 1 cos sin 1 cos

:cos

Gi HJ"I"

UffTI!

! I I ! I ■— —«■

应用。（3）结合同角三角函数，化为二次函数求最值

一求二

（7）辅助角公式逆向应用（4）角的整体代换

（5）弦切互化（6 ）知

半角公式

平方关系

2 2

sin + cos =1 ,

商数关糸

sin -------- =ta n

三角恒等变换知识点总结

三角恒等变换专题

一、知识点总结

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ

--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=

- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

⇒升幂公式2

sin 2cos 1,2cos 2cos 122α

ααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2

αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、

⇒（后两个不用判断符号，更加好用）

4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。()sin cos αααϕA +B =

+，其中tan ϕB =A

最全三角恒等变换公式总结

三角恒等变换公式大全

1. 和角公式与差角公式

βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=- βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+

βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-

βαβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(-+=

βαβ

αβαtan tan 1tan tan )tan(+-=

注意：在公式T (α＋β)与T (α－β)中，tan α，tan β，tan(α＋β)，tan(α－β)必须都有意义；若α，β中有一角是k π＋π

2(k ∈Z )，则需利用诱导公式化简；

变式：

2. 二倍角公式

αααcos sin 22sin = ααα22sin cos 2cos -=

αα2tan 1tan 22tan -=

变式：

（1）2)cos (sin 2sin 1ααα+=+；2

)cos (sin 2sin 1ααα-=- （2）ααα2

2sin 211cos 22cos -=-=

（3）22cos 1cos 2αα+=

，22cos 1sin 2α

α-=

（4）α

αα2

2tan 1tan 12cos +-=，αα

αtan 1tan 22sin +=

3. 辅助角公式

a sin x ＋

b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中a

b =ϕtan ，sin φ＝

b a 2＋b 2，cos φ＝a

a 2＋

b 2

9种常用三角恒等变换技巧总结

三角恒等变换是数学中常用的一种技巧，在解决三角函数相关问题时非常有用。下面总结了九种常见的三角恒等变换技巧。

1.倍角公式：

sin2θ = 2sinθcosθ

cos2θ = cos²θ - sin²θ

tan2θ = 2tanθ / (1 - tan²θ)

这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的倍角，从而简化计算。

2.半角公式：

sin(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / 2)

cos(θ/2) = ±√((1 + cosθ) / 2)

tan(θ/2) = ±√((1 - cosθ) / (1 + cosθ))

这些公式可以用于将一个三角函数中的角度变为它的半角，从而简化计算。

3.和差公式：

sin(A ± B) = sinAcosB ± cosAsinB

cos(A ± B) = cosAcosB ∓ sinAsinB

tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanAtanB)

这些公式可以用于将两个角度的三角函数变成一个角度的三角函数，从而简化计算。

4.和差化积公式：

sinA + sinB = 2sin((A+B)/2)cos((A-B)/2)

sinA - sinB = 2cos((A+B)/2)sin((A-B)/2)

cosA + cosB = 2cos((A+B)/2)cos((A-B)/2)

cosA - cosB = -2sin((A+B)/2)sin((A-B)/2)

这些公式可以用于将和或差的三角函数转化为乘积的三角函数，从而简化计算。

三角恒等变换 -学生版

三角恒等变换

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式

(1)sin(α±β)＝sin_αcos_β±cos_αsin_β； (2)cos(α±β)＝cos_αcos_β∓sin_αsin_β；

(3)tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β

. 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式

(1)sin 2α＝2sin αcos α； (2)cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；

(3)tan 2α＝2tan α1－tan α

. [常用结论]

1．公式T (α±β)的变形：

(1)tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)； (2)tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．

2．公式C 2α的变形：

(1)sin 2α＝12(1－cos 2α)； (2)cos 2α＝12(1＋cos 2α)．

3．公式逆用： (1)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4∓α； (2)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3±α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6∓α； (3)sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6±α＝cos ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π3∓α. 4．辅助角公式 a sin α＋b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)(其中tan φ＝b a )，

特别的sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4； sin α±3cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π3； 3sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭

⎪⎫α±π6.

题型一：三角函数式的化简

三角恒等变换知识总结

三角恒等变换知识点总结

2014/10/24

一、基本内容串讲

1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：

sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=;

tan tan tan()1tan tan αβ

αβαβ

±±=

对其变形：tan α＋tan β=tan(α+β)(1- tan αtan β)，有时应用该公式比较方便。

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：

sin 2sin cos ααα=. 2222cos 2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-.

2tan tan 21tan α

αα

-. 要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形，

2cos 1sin ,2

2cos 1cos 22α

αα

α 这两个形式常用。

3.辅助角公式：sin cos 4x x x π⎛⎫+=+ ⎪⎝

⎭

cos 2sin 6x x x π⎛⎫±=± ⎪⎝

⎭

()sin cos a x b x x ρ+=+.

4.简单的三角恒等变换

（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。

（4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。 5.常用知识点：

（1）基本恒等式：22sin sin cos 1,

微专题：三角恒等变换(学生版)

微专题：三角恒等变换（学生版）

学习要求：

1.进一步强化三角恒等变换问题研究中“角、名、式、幂”变换意识与方法；

2.进一步熟练运用三角恒等变换公式，尤其是余弦二倍角公式. 一、课前预习： 1.函数)432(31sin 232sin 3)(2ππ≤≤-=x x x x f 的最小值是 .

2.已知sin(45)α-=，且090α<<，则cos 2α的值为 .

二、典型例题：例1.(1)已知113cos ,cos()714ααβ=

-=，且02

πβα<<<，则tan 2=α ，=β . (2)已知21)tan(=-βα，71tan -=β，且),0(πβα∈，，则2αβ-的值为 .

例2.(1)已知,2sin cos a R αα∈-=，则tan(2)4πα-= . (2)设），（20πα∈，若,54)6cos(=

+πα则=+)122sin(πα .

三、课后巩固：

1.函数()3sin(20)5sin(80)f x x x =+++的值域为．

2.设)2,0(,πβα∈，且β

βαcos 1tan tan =

-，则=-βα2 . 3.已知α为锐角，若3sin()65πα+=，则cos(2)6

πα-= ． 4.已知函数21()cos ,()1sin 22

f x x

g x x ==+. (1)若点A (,)y α([0,]4

πα∈)为函数()f x 与()g x 的图象的公共点，试求实数α的值； (2)求函数()()(),[0,]4h x f x g x x π=+∈的值域.

三角恒等变换知识点总结

三角恒等变换专题

一、知识点总结

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=

- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

⇒升幂公式2

sin 2cos 1,2cos 2cos 122α

ααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2

αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、

⇒（后两个不用判断符号，更加好用）

4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。()sin cos αααϕA +B =

+，其中tan ϕB =A

三角恒等变换知识点总结

三角恒等变换专题

一、知识点总结

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=

- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

⇒升幂公式2

sin 2cos 1,2cos 2cos 122α

ααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2

αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、

⇒（后两个不用判断符号，更加好用）

4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。()sin cos αααϕA +B =

+，其中tan ϕB =A

三角恒等变换知识点总结

三角恒等变换专题

一、知识点总结

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-；

⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+；

⑸()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ

--=+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+）； ⑹()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++=

- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）． 2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sin cos ααα=．222)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒

⑵2222cos2cos sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

⇒升幂公式2

sin 2cos 1,2cos 2cos 122α

ααα=-=+ ⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=，21cos 2sin 2

αα-=． ⑶22tan tan 21tan ααα=-． 3、

⇒（后两个不用判断符号，更加好用）

4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。()sin cos αααϕA +B =

+，其中tan ϕB =A

三角恒等变换公式总结

以下是一些常见的三角恒等变换公式：

1.积化和差公式：

sin(A ± B) = sinA * cosB ± cosA * sinB

cos(A ± B) = cosA * cosB ∓ sinA * sinB

tan(A ± B) = (tanA ± tanB) / (1 ∓ tanA * tanB)

2.和差化积公式：

sinA + sinB = 2 * sin((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)

sinA - sinB = 2 * cos((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2)

cosA + cosB = 2 * cos((A + B) / 2) * cos((A - B) / 2)

cosA - cosB = -2 * sin((A + B) / 2) * sin((A - B) / 2)

3.二倍角公式：

sin2A = 2 * sinA * cosA

cos2A = cos^2 A - sin^2 A = 2 * cos^2 A - 1 = 1 - 2 * sin^2 A

tan2A = (2 * tan A) / (1 - tan^2 A)

4.半角公式：

sin(A / 2) = ±√[(1 - cosA) / 2]

cos(A / 2) = ±√[(1 + cosA) / 2]

tan(A / 2) = ±√[(1 - cosA) / (1 + cosA)]

5.和差化积公式的倒数形式：

sinA * sinB = (cos(A - B) - cos(A + B)) / 2

三角恒等变换知识点总结

三角恒等变换专题

一、知识点总结

1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：

⑴()cos cos cos sin sin αβαβαβ-=+；⑵()cos cos cos sin sin αβαβαβ+=-； ⑶()sin sin cos cos sin αβαβαβ-=-；⑷()sin sin cos cos sin αβαβαβ+=+； ⑸()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

--=

+ ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ-=-+);

⑹()tan tan tan 1tan tan αβ

αβαβ

++=

- ⇒ （()()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ+=+-）．

2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：

⑴sin22sin cos ααα=．2

)cos (sin cos sin 2cos sin 2sin 1ααααααα±=±+=±⇒ ⑵2

222cos2cos

sin 2cos 112sin ααααα=-=-=-

⇒升幂公式2

sin 2cos 1,2cos 2cos 12

αα

α=-=+

⇒降幂公式2cos 21cos 2αα+=

，2

1cos 2sin 2

αα-=． ⑶2

2tan tan 21tan ααα

-． 3、

⇒（后两个不用判断符号，更加好用）

4、合一变形⇒把两个三角函数的和或差化为“一个三角函数，一个角，一次方”的 B x A y ++=)sin(ϕϖ形式。()sin cos αααϕA +B =

+,其中tan ϕB

高中数学三角恒等变换知识点归纳总结

1. 基本定义

三角恒等变换是指在三角函数运算中，通过等式的变换，得到具有相同意义但表达形式不同的等价关系。

2. 基本恒等式

- 正弦函数的基本恒等式：$\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$

- 余弦函数的基本恒等式：$1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$

- 正切函数的基本恒等式：$1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$

3. 和差恒等式

- 正弦函数的和差恒等式：$\sin(\alpha \pm \beta) =

\sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$

- 余弦函数的和差恒等式：$\cos(\alpha \pm \beta) =

\cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

- 正切函数的和差恒等式：$\tan(\alpha \pm \beta) =

\dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$

4. 二倍角恒等式

- 正弦函数的二倍角恒等式：$\sin2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ - 余弦函数的二倍角恒等式：$\cos2\theta = \cos^2\theta -

\sin^2\theta = 2\cos^2\theta - 1 = 1 - 2\sin^2\theta$

- 正切函数的二倍角恒等式：$\tan2\theta = \dfrac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$

第3讲三角恒等变换(学生版)

第三讲三角恒等变换（1）

【知识梳理】

一、内容提示： 1、和（差）角公式

sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β； cos(α±β)＝ ; tan(α±β)＝ . 2、倍角公式：

sin2α＝2sin cos αα；cos2α＝＝＝；

tan2α＝2

2tan 1tan α

- 3、公式变形：

21cos 22cos αα+=；21cos 22sin αα-=；降次：21cos 2cos 2

α+=，

21cos 2sin 2α

α-=

tan α＋tan β＝tan (α＋β)(1－tan α tan β)； 1－tan α tan β＝

4、常见的角的变换：

2＝(α＋β)＋(α－β)； α＝＋； α＝(α＋β)－β ＝(α

－β)＋β；

＝(α－)－(－β)；＝

【典型例题】

【例1】求sin 20cos110cos160sin70︒︒+︒︒的值

【例2】已知1cos 7α=，11cos()14αβ+=-，(0,)2πα∈ ，(,)2

αβπ+∈，求β的

值．

【例3】已知cos(π4+x)= 35，17π12＜x ＜ 7π4，求sin2x ＋sin2xtanx

1-tanx 的值．

)

tan(tan tan βαβα++α2

βα+2

α-2

βα+2

β2

α)4

(

x x ++-π

【课堂练习】

1、化简

1tan15

+-等于（

）

B 、3 D 、1 2、已知∈(

,)，sin =,则tan()等于（）

A. B.7 C.－ D.－7 3、(cos sin )(cos sin )12121212

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