121排列二

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排列2

排列数的定义：排列数的定义：从个n不同元素中，任取m 从个n不同元素中，任取m（ m ≤ n）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m 的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m个 m 元素的排列数排列数，元素的排列数，用符号 An 表示
注意区别排列和排列数的不同：注意区别排列和排列数的不同：一个排列”是指：个不同元素中，任取m “一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；元素按照一定的顺序排成一列，不是数； “排列数”是指从n个不同元素中，任取mm ≤ n ）排列数”是指从n个不同元素中，任取m（个元素的所有排列的个数，是一个数.所以符号个元素的所有排列的个数，是一个数. m 只表示排列数，而不表示具体的排列. A 只表示排列数，而不表示具体的排列.
例2．（1）有5本不同的书，从中选3本送．（1 本不同的书，从中选3 名同学，每人各1 给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？送法？种不同的书，每种多于3 （2）有5种不同的书，每种多于3本，要本送给3名同学，每人各1 买3本送给3名同学，每人各1本，共有多少种不同的送法？种不同的送法？
练习1 练习1．计算 6 8!+ A6 (1) 2 4 (2) A8 − A10 练习2.求证：（1）练习2 求证：（1 ：（（2）
n n
( m − 1)! n Am−1 (m − n)! −1
A = A ⋅A
m n−m n ． n−m
；
(2n)! = 1 ⋅ 3 ⋅ 5⋯ (2n − 1) n 2 ⋅ n!
例3．某信号兵用红、黄、蓝3面旗从上到下某信号兵用红、挂在竖直的旗杆上表示信号，挂在竖直的旗杆上表示信号，每次可以任意面或3 挂1面、2面或3面，并且不同的顺序表示不同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？同的信号，一共可以表示多少种不同的信号？解：分3类：第一类用1面旗表示的信号；第一类用1面旗表示的信号；第二类用2面旗表示的信号；第二类用2面旗表示的信号；第三类用3面旗表示的信号，第三类用3面旗表示的信号，由分类计数原理，所求的信号种数是：由分类计数原理，所求的信号种数是：

高中数学第一章计数原理12排列与组合121排列第1课时教案新人教A版选修23

1．2.1 排列整体设计教材分析分类加法计数原理是对完成一件事的所有方法的一个划分，依分类加法计数原理解题，首先明确要做的这件事是什么，其次分类时要根据问题的特点确定分类的标准，最后在确定的标准下进行分类．分类要注意不重复、不遗漏，保证每类办法都能完成这件事．分步乘法计数原理是指完成一件事的任何方法要按照一定的标准分成几个步骤，必须且只需连续完成这几个步骤后才算完成这件事，每步中的任何一种方法都不能完成这件事．分类加法计数原理和分步乘法计数原理的地位是有区别的，分类加法计数原理更具有一般性，解决复杂问题时往往需要先分类，每类中再分成几步．在排列、组合教学的起始阶段，不能嫌啰嗦，教师一定要先做出表率并要求学生严格按原理去分析问题．只有这样才能使学生认识深刻、理解到位、思路清晰，才会做到分类有据、分步有方，为排列、组合的学习奠定坚实的基础．分类加法计数原理和分步乘法计数原理既是推导排列数公式、组合数公式的基础，也是解决排列、组合问题的主要依据，并且还常需要直接运用它们去解决问题．这两个原理贯穿排列、组合学习过程的始终．搞好排列、组合问题的教学从这两个原理入手带有根本性．排列与组合都是研究从一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一组，并求有多少种不同方法的问题．排列与组合的区别在于问题是否与顺序有关．与顺序有关的是排列问题，与顺序无关的是组合问题，顺序对排列、组合问题的求解特别重要．排列与组合的区别，从定义上来说是简单的，但在具体求解过程中学生往往感到困惑，分不清到底与顺序有无关系．课时分配3课时第一课时教学目标知识与技能了解排列数的意义，掌握排列数公式及推导方法，并能运用排列数公式进行计算．过程与方法经历排列数公式的推导过程，从中体会“化归”的数学思想．情感、态度与价值观能运用所学的排列知识，正确地解决实际问题，体会“化归”思想的魅力．重点难点教学重点：排列、排列数的概念．教学难点：排列数公式的推导．教学过程引入新课提出问题1：前面我们学习了分类加法计数原理和分步乘法计数原理，请同学们回顾两个原理的内容，并回顾两个原理的区别与联系．活动设计：教师提问，学生补充．活动成果：1．分类加法计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有m1种不同的方法，在第二类办法中有m2种不同的方法，……，在第n类办法中有m n种不同的方法．那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋m n种不同的方法．2．分步乘法计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有m1种不同的方法，做第二步有m2种不同的方法，……，做第n步有m n种不同的方法，那么完成这件事有N＝m1×m2×…×m n种不同的方法．3．分类加法计数原理和分步乘法计数原理，回答的都是有关做一件事的不同方法种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对的是“分类”问题，其中各种方法相互独立，每一种方法只属于某一类，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对的是“分步”问题，各个步骤中的方法相互依存，某一步骤中的每一种方法都只能做完这件事的一个步骤，只有各个步骤都完成才算做完这件事．应用两种原理解题：①分清要完成的事情是什么；②是分类完成还是分步完成，“类”间互相独立，“步”间互相联系；③有无特殊条件的限制．设计意图：复习两个原理，为新知识的学习奠定基础．提出问题2：研究下面三个问题有什么共同特点？能否对下面的计数问题给出一种简便的计数方法呢？问题一：从5人的数学兴趣小组中选2人分别担任正、副组长，有多少种不同的选法？问题二：用1,2,3,4,5这5个数字组成没有重复数字的两位数，共有多少个？问题三：从a，b，c，d，e这5个字母中，任取两个按顺序排成一列，共有多少种不同的排法？活动设计：先独立思考，后小组交流，请同学发言、补充．活动成果：共同特点：问题三中把字母a，b，c，d，e分别代表人，就是问题一；分别代表数，就是问题二．把上面问题中所取的对象叫做元素，于是问题一、二、三都变成问题：从五个不同的元素中任取两个，然后按顺序排成一列，共有多少种不同的排列方法？我们把这一类问题称为排列问题，这就是我们今天要研究的内容．设计意图：通过三个具体的实例引入新课．探究新知提出问题1：你能把上述三个问题总结一下，概括出排列的定义吗？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列．说明：(1)排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列；(2)两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同．从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号A m n表示．注意区别排列和排列数的不同：“一个排列”是指：从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，不是数；“排列数”是指从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素的所有排列的个数，是一个数．所以符号A m n只表示排列数，而不表示具体的排列．设计意图：引导学生通过具体实例总结概括出排列和排列数的概念，培养学生的抽象概括能力．提出问题2：从甲、乙、丙3名同学中选取2名同学参加某一天的一项活动，其中一名同学参加上午的活动，一名同学参加下午的活动，这是不是个排列问题，排列数怎么求？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这个问题就是从甲、乙、丙3名同学中每次选取2名同学，按照参加上午的活动在前，参加下午的活动在后的顺序排列，一共有多少种不同的排法的问题，是排列问题．解决这一问题可分两个步骤：第1步，确定参加上午活动的同学，从3人中任选1人，有3种方法；第2步，确定参加下午活动的同学，当参加上午活动的同学确定后，参加下午活动的同学只能从余下的2人中去选，于是有2种方法．根据分步乘法计数原理，在3名同学中选出2名，按照参加上午活动在前，参加下午活动在后的顺序排列的不同方法共有3×2＝6种，如右图所示．设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题3：从1,2,3,4这4个数字中，每次取出3个排成一个三位数，共可得到多少个不同的三位数，是不是排列问题，怎样求排列数？活动设计：学生独立思考，举手回答．活动成果：这显然是个排列问题，解决这个问题分三个步骤：第一步先确定百位上的数，在4个数中任取1个，有4种方法；第二步确定十位上的数，从余下的3个数中取，有3种方法；第三步确定个位上的数，从余下的2个数中取，有2种方法．由分步乘法计数原理共有：4×3×2＝24种不同的方法，用树形图排出，并写出所有的排列．由此可写出所有的排法．显然，从4个数字中，每次取出3个，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，就得到一个三位数．因此有多少种不同的排列方法就有多少个不同的三位数．可以分三个步骤来解决这个问题：第1步，确定百位上的数字，在1,2,3,4这4个数字中任取1个，有4种方法；第2步，确定十位上的数字，当百位上的数字确定后，十位上的数字只能从余下的3个数字中去取，有3种方法；第3步，确定个位上的数字，当百位、十位上的数字确定后，个位的数字只能从余下的2个数字中去取，有2种方法．根据分步乘法计数原理，从1,2,3,4这4个不同的数字中，每次取出3个数字，按“百”“十”“个”位的顺序排成一列，共有4×3×2＝24种不同的排法，因而共可得到24个不同的三位数，如图所示．由此可写出所有的三位数：123,124,132,134,142,143，213,214,231,234,241,243，312,314,321,324,341,342，412,413,421,423,431,432.设计意图：分析具体例子，巩固排列的定义，探索求排列数的方法．提出问题4：由以上两个问题我们发现：A23＝3×2＝6，A34＝4×3×2＝24，你能否得出A2n的意义和A2n的值？活动设计：学生举手发言、学生补充，教师总结．活动成果：由A 2n 的意义：假定有排好顺序的2个空位，从n 个元素a 1，a 2，…，a n 中任取2个元素去填空，一个空位填一个元素，每一种填法就得到一个排列；反过来，任一个排列总可以由这样的一种填法得到，因此，所有不同的填法的种数就是排列数A 2n .由分步乘法计数原理知完成上述填空共有n(n －1)种填法，∴A 2n ＝n(n －1)．设计意图：由特殊到一般，引导学生逐步推导出排列数公式．提出问题5：有上述推导方法，你能推导出A 3n ，A m n 吗？活动设计：学生自己推导，学生板演．活动成果：求A 3n 可以按依次填3个空位来考虑，∴A 3n ＝n(n －1)(n －2)，求A m n 可以按依次填m 个空位来考虑：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)，由此可以得到排列数公式：A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)(m ，n∈N ，m≤n)．说明：(1)公式特征：第一个因数是n ，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个因数是n －m ＋1，共有m 个因数；(2)全排列：当n ＝m 时即n 个不同元素全部取出的一个排列．全排列数：A n n ＝n(n －1)(n －2)…2·1＝n ！(叫做n 的阶乘)．另外，我们规定0！＝1.所以A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)＝n ！（n －m ）！＝A nn A n －m n －m . 设计意图：引导学生逐步利用分步乘法计数原理推导出排列数公式．理解新知分析下列问题，哪些是求排列数问题？(1)有5本不同的书，从中选3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(2)有5种不同的书，要买3本送给3名同学，每人各一本，共有多少种不同的送法？(3)用0,1,2,3,4这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(4)用1,2,3,4,5这5个数字，可以组成多少个没有重复数字的三位数？(5)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其不同结果有多少种？(6)从1,2,3,4四个数字中，任选两个做除法，其不同结果有多少种？活动设计：学生自己完成，没有把握的问题和同桌讨论．教师巡视，找同学说出答案和理由．活动成果：(1)是 (2)不是 (3)是 (4)是 (5)不是 (6)不是(2)不是从5个不同的元素中选出三个不同的元素，而是从多个可以相同的元素中，选出三个元素排成一列，不符合排列中元素不同的规定．(3)是排列问题，但排列数中有一部分0在百位的不是三位数．(5)中选出的两个元素的和与顺序无关，不符合排列的定义．设计意图：加深对排列和排列数的理解．应用新知例1解方程：3A 3x ＝2A 2x ＋1＋6A 2x .思路分析：利用排列数公式求解即可．解：由排列数公式得：3x(x －1)(x －2)＝2(x ＋1)x ＋6x(x －1)，∵x≥3，∴3(x－1)(x －2)＝2(x ＋1)＋6(x －1)，即3x 2－17x ＋10＝0，解得x ＝5或x ＝23，∵x≥3，且x∈N ，∴原方程的解为x ＝5. 点评：解含排列数的方程和不等式时要注意排列数A mn 中，m ，n∈N 且m≤n 这些限制条件，要注意含排列数的方程和不等式中未知数的取值范围．【巩固练习】1．解不等式：A x 9>6A x －29.2．求证：(1)A n n ＝A m n ·A n －m n －m (2)（2n ）！2n ·n！＝1·3·5…(2n－1)．解答或证明：1.解：原不等式即9！(9－x)！>6·9！(11－x)！，也就是1(9－x)！>6(11－x)·(10－x)·(9－x)！，化简得：x 2－21x ＋104>0，解得x<8或x>13，又∵2<x≤7，且x∈N ，所以，原不等式的解集为{3,4,5,6,7}．2．证明：(1)A m n ·A n －m n －m ＝n ！(n －m)！(n －m)！＝n ！＝A n n ，∴原式成立． (2)！2n ·n！＝2n·(2n －1)·(2n －2)…4·3·2·12n ·n！＝2n n·(n －1)…2·1·(2n －1)(2n －3)…3·12n ·n！＝n ！·1·3…(2n －3)(2n －1)n ！＝1·3·5…(2n－1)＝右边， ∴原式成立．点评：公式A m n ＝n(n －1)(n －2)…(n－m ＋1)常用来求值，特别是m ，n 均为已知时；公式A m n ＝n ！(n －m)！常用来证明或化简．【变练演编】化简：(1)12！＋23！＋34！＋…＋n －1n ！；(2)1×1！＋2×2！＋3×3！＋…＋n×n！. (1)解：原式＝1！－12！＋12！－13！＋13！－14！＋…＋1－！－1n ！＝1－1n ！. (2)提示：由(n ＋1)！＝(n ＋1)n ！＝n×n！＋n ！，得n×n！＝(n ＋1)！－n ！，原式＝(n ＋1)！－1.【达标检测】1．计算：(1)A 310；(2)A 812A 712. 2．若A mn ＝17×16×15×…×5×4，则n ＝______，m ＝______.3．若n∈N *，且55＜n ＜69，则(55－n)(56－n)…(68－n)(69－n)用排列数符号表示为______．答案：1.(1)720 (2)5 2.17 14 3.A 1569－n课堂小结1．知识收获：排列概念、排列数公式．2．方法收获：化归．3．思维收获：分类讨论、化归思想．补充练习【基础练习】1．若x ＝n ！3！，则x ＝( )A ．A 3nB ．A n －3nC ．A n 3D ．A 3n －32．与A 310·A 77不等的是( )A ．A 910B ．81A 88C ．10A 99D ．A 10103．若A 5m ＝2A 3m ，则m 的值为( )A ．5B ．3C ．6D ．74．计算：2A 59＋3A 699！－A 610＝________；(m －1)！A n －1m －1·(m －n)！＝________. 【拓展练习】5．若2<(m ＋1)！A m －1m －1≤42，则m 的解集是________． 6．(1)已知A m 10＝10×9×…×5，那么m ＝__________；(2)已知9！＝362 880，那么A 79＝__________；(3)已知A 2n ＝56，那么n ＝____________；(4)已知A 2n ＝7A 2n －4，那么n ＝____________.答案：1.B 2.B 3.A 4.1 1 5.{2,3,4,5,6}6．(1)6 (2)181 440 (3)8 (4)7设计说明本节课是排列组合的第一课时，本节课的主要内容就是用两个原理推导出排列数公式．本节课的特点是学生自己发现并总结定义，自主探究，自主完成排列数公式的推导．备课资料可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：一类可以重复，另一类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题．在这类问题使用住店处理的策略中，关键是正确判断哪个是底数，哪个是指数．例1 (1)将6个不同的小球放到3个不同的盒子中，有多少种不同的方法？(2)6个人争夺3个项目的冠军，有多少种不同的方法？解析：(1)36；(2)63.例2由1,2,3,4,5,6这6个数字共可以组成多少个不同的7位数？解析：完成此事共分7步，第一步：从6个数字中任取一个数字放在首位，有6种不同的办法，第二步：从6个数字中任取一个数字放在十万位，有6种不同的办法，依次类推，由分步乘法计数原理知共可以组成67个不同的7位数．。

最新-2021版高中数学人教A版浙江选修23课件：121 第2课时排列的综合应用精品

解 (1)分三步： ①先选百位数字，由于0不能作百位数字，因此有5种选法； ②十位数字有5种选法； ③个位数字有4种选法. 由分步乘法计数原理知所求三位数共有5×5×4＝100(个). (2)分三步：①百位数字有5种选法；②十位数字有6种选法；③个位数字有6种选法. 故所求三位数共有5×6×6＝180(个).
(7)即不相邻问题(插空法)：先排女生共 A44种排法，男生在 4 个女生隔成的 5 个空中安排有 A35种排法，故 N＝A44·A35＝1 440(种). (8)对比(7)让女生插空：N＝A33·A44＝144(种). (9)(捆绑法)任取 2 人与甲、乙组成一个整体，与余下 3 个元素全排，故 N＝(A25·A22)·A44＝960(种).
(2)间接法符合条件数等于无限制条件数与不符合条件数的差.故求符合条件的种数时，可先求与其对应的不符合条件的种数，进而求解，即 “间接法”.
2.用1，2，3，4，5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有( )
A.30个 B.36个 C.40个
D.60个
解析分2步完成：个位必为奇数，有 A13种选法；从余下的4个数
(5)分四类：①千位数字为3，4之一时，共有2×5×4×3＝120(个)； ②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝ 48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；④还有5 420也是满足条件的1个.故所求四位数共120＋48＋6＋1＝175(个).
中任选2个排在三位数的百位、十位上，有 A24种选法.由分步乘法计数原理，共有 A13× A24＝36(个)无重复数字的三位奇数.
答案 B
3.6人站成一排，甲、乙、丙3个人不能都站在一起的排法种数为

排列组合p的公式

排列组合p的公式1.排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个宝鸡博瀚教育元素的一个排列;从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2.组合及计算公式从n个相同元素中，余因子m(m≤n)个元素并成一组，叫作从n个相同元素中抽出m 个元素的一个女团;从n个相同元素中抽出m(m≤n)个元素的所有女团的个数，叫作从n个相同元素中抽出m个元素的女团数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!);c(n,m)=c(n,n-m);从n个元素中取出r个元素的循环排列数=p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分为k类，每类的个数分别就是n1,n2,...nk这n个元素的全排序数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排序(pnm(n为负号，m为上标))pnm=n×(n-1)....(n-m+1);pnm=n!/(n-m)!(注：!是阶乘符号);pnn(两个n分别为上标和下标) =n!;0!=1;pn1(n为下标1为上标)=n女团(cnm(n为负号，m为上标))cnm=pnm/pmm ;cnm=n!/m!(n-m)!;cnn(两个n分别为上标和下标) =1 ;cn1(n为下标1为上标)=n;cnm=cnn-m1. 掌控分类计数原理与分步计数原理，并会用它们分析和化解一些直观的应用领域问题。

2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题。

3. 认知女团的意义，掌控女团数计算公式和女团数的性质，并会用它们化解一些直观的应用领域问题。

12排列与组合121排列第一课时排列的概念及排列数公式

2.从1,2,3,4中任取两个数字组成平面直角坐标系中一个点的坐标,则组成不同点的个数为( ) 答案:C
A.2
B.4
C.12
D.24
栏目导引
第一章计数原理
3.全排列 (1)定义:n 个不同元素全部取出的2)×…×3×2×1＝n！. (3)阶乘:正整数 1 到 n 的连乘积. (4)规定:0！＝1.
是全排列数的一半. 【解】 (1)五名同学站成一排,不同的排列对应不同的站法,
故站法种数为 A55＝5×4×3×2×1＝120. (2)五名同学站好后,甲位于乙右侧或左侧必属其一,故这时的站
法种数为A255＝60.
栏目导引
第一章计数原理
【名师点评】有关基本排列问题的解法:
(1)明确选出的元素有无顺序要求;
第一章计数原理
解:1！＋2·2！＋3·3！＋…＋n·n!
＝(2！－1！)＋(3！－2！)＋(4！－3！)＋…＋[(n＋1)！－n！]
＝(n＋1)！－1.
2.证明:Ann＋＋11＝Ann＋1＝(n＋1)Ann.
证明:∵Ann＋＋11＝(n＋1)·n·(n－1)…3·2·1,
Ann＋1＝(n＋1)·n(n－1)…3·2·1,
【名师点评】判定是不是排列问题,要抓住排列的本质特征,
第一取出的元素无重复性,第二选出的元素必须与顺序有关才
是排列问题.元素相同且排列顺序相同才是相同的排列.元素有
序还是无序是判定是否是排列的关键.
栏目导引
变式训练 1.判断下列问题是否为排列问题.
第一章计数原理
(1)从五名同学中选两人分别担任正、副组长;
个排列. (2)两个排列相同,当且仅当两个排列的元素__完__全__相__同__,且元素的 __排__列__顺__序__也相同.

排列组合等计数题型的解题技巧

排列组合等计数题型的解题技巧教学目标1.使学生正确理解排列、组合的意义；正确区分排列、组合问题；2.了解排列、排列数和组合数的意义，能根据具体的问题，写出符合要求的排列或组合；3.掌握排列组合的计算公式以及组合数与排列数之间的关系；4.会、分析与数字有关的计数问题，以及与其他专题的综合运用，培养学生的抽象能力和逻辑思维能力；通过本讲的学习，对排列组合的一些计数问题进行归纳总结，重点掌握排列与组合的联系和区别，并掌握一些排列组合技巧，如捆绑法、挡板法等。

5.根据不同题目灵活运用计数方法进行计数。

知识点拨：一、排列一般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做一个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取一个元素排在第一位，有n 种方法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取一个元素排在第二位，有(1n -)种方法；……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取一个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)方法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ⋅-⋅-⋅⋅-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这里，m n ≤，且等号右边从n 开始，后面每个因数比前一个因数小1，共有m 个因数相乘。

五年级奥数.计数综合.排列组合（ABC级）

五年级奥数.计数综合.排列组合（ABC级）⼀、排列问题在实际⽣活中经常会遇到这样的问题，就是要把⼀些事物排在⼀起，构成⼀列，计算有多少种排法，就是排列问题．在排的过程中，不仅与参与排列的事物有关，⽽且与各事物所在的先后顺序有关．⼀般地，从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素，按照⼀定的顺序排成⼀列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个排列．根据排列的定义，两个排列相同，指的是两个排列的元素完全相同，并且元素的排列顺序也相同．如果两个排列中，元素不完全相同，它们是不同的排列；如果两个排列中，虽然元素完全相同，但元素的排列顺序不同，它们也是不同的排列．排列的基本问题是计算排列的总个数．从n 个不同的元素中取出m (m n ≤)个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同的元素的排列中取出m 个元素的排列数，我们把它记做m n P ．根据排列的定义，做⼀个m 元素的排列由m 个步骤完成：步骤1：从n 个不同的元素中任取⼀个元素排在第⼀位，有n 种⽅法；步骤2：从剩下的(1n -)个元素中任取⼀个元素排在第⼆位，有(1n -)种⽅法； ……步骤m ：从剩下的[(1)]n m --个元素中任取⼀个元素排在第m 个位置，有11n m n m --=-+（）(种)⽅法；由乘法原理，从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数是121n n n n m ?-?-??-+（）（）（），即121m n P n n n n m =---+（）（）（），这⾥，m n ≤，且等号右边从n 开始，后⾯每个因数⽐前⼀个因数⼩1，共有m 个因数相乘．⼆、排列数⼀般地，对于m n =的情况，排列数公式变为12321n n P n n n =?-?-（）（）．表⽰从n 个不同元素中取n 个元素排成⼀列所构成排列的排列数．这种n 个排列全部取出的排列，叫做n 个不同元素的全排列．式⼦右边是从n 开始，后⾯每⼀个因数⽐前⼀个因数⼩1，⼀直乘到1的乘积，知识结构排列组合记为!n ，读做n 的阶乘，则n n P 还可以写为：!n n P n =，其中!12321n n n n =?-?-（）（）　．在排列问题中，有时候会要求某些物体或元素必须相邻；求某些物体必须相邻的⽅法数量，可以将这些物体当作⼀个整体捆绑在⼀起进⾏计算．三、组合问题⽇常⽣活中有很多“分组”问题．如在体育⽐赛中，把参赛队分为⼏个组，从全班同学中选出⼏⼈参加某项活动等等．这种“分组”问题，就是我们将要讨论的组合问题，这⾥，我们将着重研究有多少种分组⽅法的问题．⼀般地，从n 个不同元素中取出m 个(m n ≤)元素组成⼀组不计较组内各元素的次序，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的⼀个组合．从排列和组合的定义可以知道，排列与元素的顺序有关，⽽组合与顺序⽆关．如果两个组合中的元素完全相同，那么不管元素的顺序如何，都是相同的组合，只有当两个组合中的元素不完全相同时，才是不同的组合．从n 个不同元素中取出m 个元素(m n ≤)的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个不同元素的组合数．记作mn C ．⼀般地，求从n 个不同元素中取出的m 个元素的排列数m n P 可分成以下两步：第⼀步：从n 个不同元素中取出m 个元素组成⼀组，共有mn C 种⽅法；第⼆步：将每⼀个组合中的m 个元素进⾏全排列，共有mm P 种排法．根据乘法原理，得到m m mn n m P C P =?．因此，组合数12)112321mmn nm mP n n n n m C m m m P ?-?-??-+==--（）（（）（）（）．这个公式就是组合数公式．四、组合数的重要性质⼀般地，组合数有下⾯的重要性质：m n mn n C C -=(m n ≤)这个公式的直观意义是：m n C 表⽰从n 个元素中取出m 个元素组成⼀组的所有分组⽅法．n mn C -表⽰从n 个元素中取出(n m -)个元素组成⼀组的所有分组⽅法．显然，从n 个元素中选出m 个元素的分组⽅法恰是从n 个元素中选m 个元素剩下的(n m -)个元素的分组⽅法．例如，从5⼈中选3⼈开会的⽅法和从5⼈中选出2⼈不去开会的⽅法是⼀样多的，即3255C C =．规定1n nC =，01n C =．五、插板法⼀般⽤来解决求分解⼀定数量的⽆差别物体的⽅法的总数，使⽤插板法⼀般有三个要求：①所要分解的物体⼀般是相同的：②所要分解的物体必须全部分完：③参与分物体的组⾄少都分到1个物体，不能有没分到物体的组出现．在有些题⽬中，已知条件与上⾯的三个要求并不⼀定完全相符，对此应当对已知条件进⾏适当的变形，使得它与⼀般的要求相符，再适⽤插板法．六、使⽤插板法⼀般有如下三种类型：⑴ m 个⼈分n 个东西，要求每个⼈⾄少有⼀个．这个时候我们只需要把所有的东西排成⼀排，在其中的(1)n -个空隙中放上(1)m -个插板，所以分法的数⽬为11m n C --．⑵ m 个⼈分n 个东西，要求每个⼈⾄少有a 个．这个时候，我们先发给每个⼈(1)a -个，还剩下[(1)]n m a --个东西，这个时候，我们把剩下的东西按照类型⑴来处理就可以了．所以分法的数⽬为1(1)1m n m a C ----．⑶ m 个⼈分n 个东西，允许有⼈没有分到．这个时候，我们不妨先借来m 个东西，每个⼈多发1个，这样就和类型⑴⼀样了，不过这时候物品总数变成了()n m +个，因此分法的数⽬为11m n m C -+-．⼀．可重复的排列求幂法：重复排列问题要区分两类元素：⼀类可以重复，另⼀类不能重复，把不能重复的元素看作“客”，能重复的元素看作“店”，则通过“住店法”可顺利解题，在这类问题使⽤住店处理的策略中，关键是在正确判断哪个底数，哪个是指数【例1】（1）有4名学⽣报名参加数学、物理、化学竞赛，每⼈限报⼀科，有多少种不同的报名⽅法？（2）有4名学⽣参加争夺数学、物理、化学竞赛冠军，有多少种不同的结果？（3）将3封不同的信投⼊4个不同的邮筒，则有多少种不同投法？【解析】：（1）43（2）34 （3）34【例2】把6名实习⽣分配到7个车间实习共有多少种不同⽅法？【解析】：完成此事共分6步，第⼀步；将第⼀名实习⽣分配到车间有7种不同⽅案，第⼆步：将第⼆名实习⽣分配到车间也有7种不同⽅案，依次类推，由分步计数原理知共有67种不同⽅案.【例3】 8名同学争夺3项冠军，获得冠军的可能性有（）A 、38 B 、83 C 、38A D 、38C【解析】：冠军不能重复，但同⼀个学⽣可获得多项冠军，把8名学⽣看作8家“店”，3项冠军看作3个“客”，他们都可能住进任意⼀家“店”，每个“客”有8种可能，因此共有38种不同的结果。

排列组合公式演示文稿

(
1)(
r! 1,
0,
r
1)
,r r r
0 0 0
第十七页，共121页。
几个记号
下阶乘函数
[x]n x(x 1)(x n 1)
上阶乘函数 [x]n x(x 1)(x n 1)
[ ]n ( 1)( n 1)
Cn
n
[ ]n
n!
(
1)(
n!
n 1)
第十八页，共121页。
计算
例题
• 证明对任意正整数k,(k!)!能被(k!)(k-1)!整除。
• 提示：k!个物体，其中k个物体属于第一类，k 个物体属于第二类，… ，k个物体属于第(k-1)! 类。
第三十二页，共121页。
推论
• 多项式(x1+x2+…+xr)n的展开式中有的系x1数n1 x为2n2 xr。nr
(2x1 3x2 5x3 )6
• k=0时
第四十九页，共121页。
例题
• 书架上有1-24共24卷百科全书，从其中选5卷使
得任何两卷都不相继，这样的选法有多少种？
第五十页，共121页。
7、圆排列
• n个元素的r-无重圆排列数
• 圆排列与线排列的区别 • 计算
第五十一页，共121页。
例题
例1 把20个不同的钉子钉在鼓表面一周，订钉子的方式
• 求解方法1 • 求解方法2
第三十页，共121页。
例题
• 五条短划和八个点可以安排成多少种不同的方式？
13! 5!8!
• 如果只用这十三个短划和点中的七个，则有多少种不同的方式？
7! 7! 7! 7! 7! 7! + + + ++

121排列的概念

1. 2.1 排列的概念【教学目标】 1.了解排列、排列数的定义；掌握排列数公式及推导方法； 2. 能用“树形图”写出一个排列问题的所有的排列，并能运用排列数公式进行计算。

通过实例分析过程体验数学知识的形成和发展，总结数学规律，培养学习兴趣。

3.【教学重难点】教学重点：排列的定义、排列数公式及其应用教学难点：排列数公式的推导【教学过程】排列的定义合作探究一：我们看下面的问题）从红球、黄球、白球三个小球中任取两个，分别放入甲、乙盒子里（1 名学生做正副班长；名学生中选2（2）从10 名学生干部；名学生中选2（3）从10上述问题中哪个是排列问题？为什么？概念形成我们把问题中被取的对象叫做元素1、元素：mn n?m）个元素（这里的被取元素各不相同）个不同元素中，任取（2、排列：从mn个不同元素中取出。

按照一定的顺序排成一列，叫做从个元素的一个排列．．．．．．．．．）排列的定义包括两个方面：①取出元素，②按一定的顺序排列（与位置有1说明：（关））两个排列相同的条件：①元素完全相同，②元素的排列顺序也相同（2排列数的定义及公式合作探究二n?m排列数nnm的所有排列的个数叫做从）3、：从（个不同元素中，任取个元素m Am个元素中取出元素的排列数，用符号表示n议一议：“排列”和“排列数”有什么区别和联系？排列数公式推导、4m32AAA n个不同元素中取出是多少？呢？2个元素的排列数呢？探究：从nnnm?)?(n?m1??An(n?1)(n2)?n?N?,mm,n）（n n，后面每一个因数比它前面一个少1，最后一个（1）第一个因数是说明：公式特征：m1?mn?个因数；因数是，共有?nm?,m,n?N）（2:即学即练3524A?AAA））计算1. (1；(2 (3)；35510．m5??9?A?10?m 2.已知，那么10,Nk?)k)(79??k)(52?k40,k?(50?k)(51( ) 3．则且用排列数符号表示为?3030?k2950AAAA CDBA．．．．kk50?7979?79?kk?C、；320；2、6答案：1、5040、20、c,,ba个元素的排列数，并写出所有的排列。

数学中图分类号

O1数学O11古典数学O112中国古典数学O113/117各国古典数学O119中国数学O12初等数学O121算术O121.1四则O121.2比例、百分法、利率O121.3开方O121.4心算法、速算法O121.5珠算、筹算O122初等代数O122.1代数式O122.2方程式O122.3不等式O122.4排列、组合、二项定理O122.5极大与极小O122.6对数、指数O122.7级数O123初等几何O123.1平面几何O123.2立体几何O123.3几何各论O123.4极大与极小O123.5轨迹与几何作图O123.6三角形与圆的几何学、近世几何学O124三角O124.1平面三角O124.2球面三角O13高等数学O14数理逻辑、数学基础O141数理逻辑(符号逻辑)O141.1命题演算、谓词演算、类演算O141.12谓词演算(命题函项演算)O141.13类演算O141.2证明论O141.3递归论(递归函数、能行性理论) O141.4模型理论O141.41非标准分析O142应用数理逻辑O143数学基础O144集合论O144.1基本概念O144.2悖论O144.3公理集合论O144.4类型论O144.5描述集合论(解析集合论)O15代数、数论、组合理论O151代数方程论、线性代数O151.1代数方程论O151.2线性代数O151.21矩阵论O151.22行列式论O151.23多线性代数O151.24向量代数、因子代数、代数不变量论O151.25线性不等式O151.26线性代数的应用O152群论O152.1有限群论O152.2交换群论(阿贝尔群论)O152.3线性群论O152.4拓扑群论O152.5李群O152.6群表示论O152.7群的推广O152.8群论的应用O153抽象代数(近世代数)O153.1偏序集合与格论O153.2布尔代数O153.3环论O153.4域论O153.5泛代数O154范畴论、同调代数O154.1范畴论O154.2同调代数O154.3代数K-理论O155微分代数、差分代数O156数论O156.1初等数论O156.2代数数论O156.2+1代数数域、域扩张O156.2+2局部数域O156.2+3分圆域O156.2+4类域论O156.3几何数论O156.4解析数论O156.5二次型(二次齐式)O156.6超越数论O156.7丢番图分析(丢番图数论) O157组合数学(组合学)O157.1组合分析O157.2组合设计O157.3组合几何O157.4编码理论(代数码理论) O157.5图论O157.6图论的应用O158离散数学O159模糊数学O17数学分析O171分析基础O172微积分O172.1微分学O172.2积分学O173无穷级数论(级数论)O173.1发散级数、可求和性、收敛因子O173.2连分式论O174函数论O174.1实分析、实变函数O174.11描述理论O174.12测度论O174.13凸函数、凸集理论O174.14多项式理论O174.2傅里叶分析(经典调和分析) O174.21正交级数(傅里叶级数)O174.22傅里叶积分(傅里叶变换)O174.23殆周期函数O174.3调和函数与位势论O174.4函数构造论O174.41逼近论O174.42插值论O174.43矩量问题O174.5复分析、复变函数O174.51单复变数函数几何理论O174.52整数函数论、亚纯函数论(半纯函数论)O174.53代数函数论O174.54椭圆函数、阿贝尔函数、自守函数O174.55拟共形映射(拟保角变换)、拟解析函数、广义解析函数O174.56多复变数函数O174.6特殊函数O174.61贝赛尔函数O174.62球面调和函数O174.63圆柱面调和函数O174.64椭圆面调和函数O174.66欧拉积分O175微分方程、积分方程O175.1常微分方程O175.11解析理论O175.12定性理论O175.13稳定性理论O175.14非线性常微分方程O175.15抽象空间常微分方程O175.2偏微分方程O175.21稳定性理论O175.22一阶偏微分方程O175.23二阶偏微分方程O175.24数理方程O175.25椭圆型方程O175.26抛物型方程O175.27双曲型方程O175.28混合型方程O175.29非线性偏微分方程O175.3微分算子理论O175.4高阶偏微分方程(组)O175.5积分方程O175.6积分微分方程O175.7差分微分方程O175.8边值问题O175.9特征值及特征值函数问题O176变分法O176.1极小曲面方程O176.2等周问题O176.3大范围变分法O177泛函分析O177.1希尔伯特空间及其线性算子理论O177.2巴拿赫空间及其线性算子理论O177.3线性空间理论(向量空间)O177.3+1拓扑线性空间O177.3+2半序线性空间O177.3+9其他线性空间O177.4广义函数论O177.5巴拿赫代数(赋范代数)、拓扑代数、抽象调和分析O177.6积分变换及算子演算O177.7谱理论O177.8积分论(基于泛函分析观点的)O177.91非线性泛函分析O177.92泛函分析的应用O177.99其他O178不等式及其他O18几何、拓扑O181几何基础(几何学原理)O182解析几何O182.1平面解析几何O182.2立体解析几何(空间解析几何) O183向量(矢量)和张量分析O183.1向量分析O183.2张量分析O184非欧几何、多维空间几何O185射影(投影)几何、画法几何O185.1射影(投影)几何O185.2画法几何O186微分几何、积分几何O186.1微分几何O186.11古典微分几何O186.12黎曼几何O186.13射影微分几何O186.14广义空间(一般空间) O186.15微分形式(外微分形式) O186.16大范围微分几何O186.17直接微分几何O186.5积分几何O187代数几何O187.1代数曲线、代数曲面O187.2簇(代数簇)O187.3域上多胞形和其他环O189拓扑(形势几何学)O189.1一般拓扑O189.11拓扑空间(空间拓扑)O189.12维论O189.13模糊拓扑学(不分明拓扑学) O189.2代数拓扑O189.21组合拓扑O189.22同调和上同调群O189.23同伦论O189.24纽结理论O189.25拓扑K-理论O189.3解析拓扑学O189.3+1流形的几何O189.3+2微分拓扑O189.3+3微分流形O189.3+4纤维丛(纤维空间)O19动力系统理论O192整体分析、流形上分析、突变理论O193微分动力系统O21概率论与数理统计O211概率论(几率论、或然率论) O211.1概率基础O211.2几何概率与组合概率O211.3分布理论O211.4极限理论O211.5随机变量O211.6随机过程O211.61平稳过程与二阶矩过程O211.62马尔可夫过程O211.63随机微分方程O211.64过程统计理论O211.65分支过程O211.66描述性概率O211.67期望与预测O211.9概率论的应用O212数理统计O212.1一般数理统计O212.2抽样理论、频率分布O212.3序贯分析O212.4多元分析O212.5判决函数(决策函数) O212.6试验分析与试验设计O212.7非参数统计O212.8贝叶斯统计O213应用统计数学O213.1质量控制O213.2可靠性理论O213.9其他统计调整O22运筹学O221规划论(数学规划)O221.1线性规划O221.2非线性规划O221.3动态规划O221.4整数规划O221.5随机规划O221.6多目标规划O221.7组合规划O221.8参数规划O223统筹方法O224最优化的数学理论O225对策论(博弈论)O226排队论(随机服务系统)O227库存论O228更新理论O229搜索理论O23控制论、信息论(数学理论) O231控制论(控制论的数学理论) O231.1线性控制系统O231.2非线性控制系统O231.3随机控制系统O231.4分布参数系统[O231.5]复杂系统O231.9其他O232最优控制O233逻辑网络理论O234学习机理论O235模式识别理论O236信息论(信息论的数学理论)[O236.2]编码理论(代数码理论)O24计算数学O241数值分析O241.1误差理论{O241.2}最小二乘法O241.3插值法O241.4数值积分法、数值微分法O241.5数值逼近O241.6线性代数的计算方法O241.7非线性代数方程和超越方程的数值解法O241.8微分方程、积分方程的数值解法O241.81常微分方程的数值解法O241.82偏微分方程的数值解法O241.83积分方程的数值解法O241.84差分方程的稳定性理论O241.85共形变换(保角变换)中的计算问题O241.86实用调和分析O242数学模拟、近似计算O242.1数学模拟O242.2近似计算[O242.21]有限元法O242.22哈特里(Hartree)近似法O242.23牛顿-拉弗森(Newton-Raphson)法O242.24帕德(Pade)近似法O242.25雷利-里茨(Rayleigh-Ritz)法O242.26松弛法O242.27索末菲尔德(Sommer-feld)近似法O242.28随机近似法O242.29区间分析法O243图解数学、图算数学[O244]程序设计O245数值软件O246数值并行计算O29应用数学。

2019 2020高中数学第一章计数原理12排列与组合121排列第1课时排列与排列数公式讲义新人教A版

第1课时排列与排列数公式知识点排列的定义01nnmmn )≤一定的顺序排成一列，叫做从(一般地，从个元素，按照□个不同元素中取出m 个元素的一个排列．两个排列相同：当且仅当两个排列的元素完全相同，个不同元素中取出02排列顺序相同．且元素的□ 知识点排列数及排列数公式 1．排列数的定义01nmmnn 个不同元素中叫做从个不同元素中取出)(个元素的□所有不同排列的个数，从≤mm 表示．个元素的排列数，用符号取出A n．排列数公式202m *nmmnnnmnn ＝□乘积形式：≤这里A ，N ∈) (1)(－且－2)…((1)－．＋1)(nn ！03m *nmnm ＝□阶乘形式：A ∈N ) ，且(2).(≤，nmn ！－ 060504n 0n ＝□A ＝□，规定1. (3)性质：A ！1,0！＝□nn排列的定义包括两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定的顺序排成一列”．nm 个元素也是不同的．判断一个具体问个元素是互不相同的，取出的注意：所研究的nmm 个元素时，是有序题是不是排列问题，就看从个元素后，再安排这个不同元素中取出的还是无序的，有序的是排列，无序的就不是排列．nm 个元素，注意“排列”与“排列数”不是同一个概念，排列是从个不同元素中任取nm 个元素的所按照一定的顺序排成一列，它不是一个数；排列数是指从个不同元素中取出有排列的个数，它是一个数．1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)1,2,3与3,2,1为同一排列．( )(2)在一个排列中，同一个元素不能重复出现．( ) (3)从1,2,3,4中任选两个元素，就组成一个排列．( )个同学分别参加数学和物理竞赛的所有不同的选法是一个排列问2个同学中任选5从(4)．题．( )答案(1)× (2)√ (3)× (4)√2．做一做(1)89×90×91×…×100可表示为( )．．A．A B．A CA100100100100填“是”或(________排列问题．(2)从5个人中选取甲、乙2 13121110A D个人去完成某项工作，这“不是”) ________个．(3)从1,2,3中任取两个数字可组成不同的两位数有(3)6不是答案(1)C (2)12 (1)A＝100×99×…×(100－12＋1)＝100×99×…×89.解析100 (2)甲和乙与乙和甲去完成这项工作是同一种方法，故不是排列问题． (3)12,13,21,23,31,32个．，共6排列的有关概念探究 1 判断下列问题是否是排列问题．例11,2,3,4四个数字中，任选两个做加法，其结果有多少种不同的可能？(1)从十个自然数中任取两个数组成直角坐标平面内的点的坐标，可得到多少个101(2)从到不同的点的坐标？ 10(3)从名同学中任抽2名同学去学校开座谈会，有多少种不同的抽取方法？某商场有四个大门，若从一个大门进去，购买物品后，再从另一个大门出来，不同的(4) 出入方式有多少种？有红球、黄球、白球各一个，现从这三个小球中任取两个，分别放入甲、乙两个盒子(5) 里，有多少种不同的放法？个元素做加法时，与两个元素的位不是．加法运算满足交换律，所以选出的2 [解](1) 置无关，所以不是排列问题．是．由于取出的两数组成的点的坐标与哪一个数做横坐标，哪一个数做纵坐标的顺序(2) 有关，所以这是一个排列问题．名同学去学校开座谈会的方式不需要考虑(3)2不是．因为任何一种从10名同学中抽取两个人的顺序，所以这不是排列问题．是．因为从一门进，从另一门出是有顺序的，所以这是排列问题．(4)是．任取两球分别放入甲、乙两个盒子里，这是不同的，有顺序之分，所以这是排列(5) 问题．拓展提升．判断一个具体问题是否为排列问题，就看取出元素后排列是有序的还是无序的，而检验它是否有序的依据就是变换元素的“位置”(这里的“位置”应视具体问题的性质和条件来决定)，看其结果是否有变化，有变化就是排列问题，无变化就不是排列问题．[跟踪训练1] 判断下列问题是否为排列问题．(1)会场有50个座位，要求选出3个座位有多少种方法？若选出3个座位安排三位客人，又有多少种方法？Mabx轴上，，可以得到多少个焦点在＝{1,2，…，9}中，任取两个元素作为(2)从集合2222yyxxx轴上的双曲线方程－＝1?＝的椭圆方程＋1？可以得到多少个焦点在2222baab(3)从1,3,5,7,9中任取3个数字，有多少种方法？若这3个数字组成没有重复的三位数，又有多少种方法？解(1)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．“入座”问题同“排队”问题与顺序有关，故选3个座位安排三位客人是排列问题．22yxx轴上的椭圆，1表示焦点在第二问是排列问题．若方程＋＝(2)第一问不是排列问题，yyxxabababab，方程－中，不管>则必有<>还是，＝，的大小关系一定；在双曲线－＝122ba22222222baabx轴上的双曲线，且是不同的双曲线，故是排列问题．均表示焦点在 1(3)第一问不是排列问题，第二问是排列问题．从5个数中取3个数，与顺序无关；若这3个数组成不同的三位数，则与顺序有关．探究简单的排列问题 2例2 写出下列问题的所有排列：(1)北京、广州、南京、天津4个城市相互通航，应该有多少种机票？(2)两名老师和两名学生合影留念，写出老师不在左端且相邻的所有可能的站法，并回答共有多少种？[解] (1)列出每一个起点和终点情况，如图所示．故符合题意的机票种类有：北京广州，北京南京，北京天津，广州南京，广州天津，广州北京，南京天津，南京北京，南京广州，天津北京，天津广州，天津南京，共12种．AB，两名老师(2)由于老师不站左端，故左端位置上只能安排学生．设两名学生分别为、MN，此问题可分两类：、分别为AMNBANMBABMNABNMBMNABNMABAMNBANM，共8，，由此可知所有可能的站法为，，，，，种．拓展提升用树形图解决简单的排列问题是常见的解题方法．它能很好地确定排列中各元素的先后顺序，利用树形图可具体地列出各种情况，避免排列的重复和遗漏．[跟踪训练2] 从0,1,2,3这四个数字中，每次取出三个不同数字排成一个三位数．(1)能组成多少个不同的三位数，并写出这些三位数；(2)若组成这些三位数中，1不能在百位，2不能在十位，3不能在个位，则这样的三位数共有多少个，并写出这些三位数．解(1)组成三位数分三个步骤：第一步：选百位上的数字，0不能排在首位，故有3种不同的排法；第二步：选十位上的数字，有3种不同的排法；第三步：选个位上的数字，有2种不同的排法．由分步乘法计数原理得共有3×3×2＝18个不同的三位数．画出下列树形图：由树形图知，所有的三位数为102,103,120,123,130,132,201,203,210,213,230,231,301,302,310,312,320,321.(2)直接画出树形图：由树形图知，符合条件的三位数有8个：201,210,230,231,301,302,310,312.探究与排列数有关的运算 3452A＋4A88；3 (1)计算：例58A－A98xx－1(2)解方程3A＝4A；98xx－2*xx≥3，；，其中∈N(3)解不等式A>6A99nnnnn )用排列数符号表示．)(69(55－)(56－－(4)若)…(68－∈N，将444＋81244A＋2×4A88＝＝＝. [解](1)原式＝44594×3×2A－9A24－15883×8！4×9！xx1－＝，由(2)3A＝4A，得98xx！－??！??8－102xx＋78＝0－19，化简得xx＝13.6解得，＝21xxx＝6.又∵－1≤9，∴原方程的解是≤8，且9！6×9！*xxxx)>6，(11－，其中>3≤≤9，)·(10－∈N，即(3)由原不等式得xx！29－9－??＋！??2xxxx>13. ，解得整理得或－21<8＋104>0*xxx3,4,5,6,7. N又3≤，所以≤9，＝∈．故原不等式的解集为{3,4,5,6,7}nnn15. ＋1)－(55－＝(4)先确定最大数，即69－，再确定因式的个数为(69－)15. 则由排列数公式得A nnnmm这些限制条(1)在解含有排列数的方程或不等式时，必须注意，A中≤∈N，－69拓展提升m**∈N且n件．在解出方程或不等式后，要进行检验，把不合题意的解舍掉．m A(2)利用排列数公式灵活地解决问题的前提条件是准确把握排列数公式的结构特征——n mn就是从起，依次减“1”的就能活用排列数公式．个正整数之积，熟练掌握这一结构特征，跟踪训练aaaaa) )等于)…(34－ (1)设N∈( ，且 <27，且(27－)(28－a－278． A．ABA aa－3427 *3][．A AC．aa－34－3444AA128________.－87 D＝(2)计算：612A11mmm1－m. AA＝A－求证：(3)nnn1＋答案(3)见解析(2)5 (1)Daaa,aaa8＝1＋)－(27－－34，一共有－34中最大数为－34，…，－28－(1)27解析．8aa.＝)·…·(34－A)个因式，所以(27－a－34！！128×44！8！4A5！A1285.＝(2)解法一：＝＝6！12A12×11！411！544?×?12×11×10×9?AA8×7×6×5?1285.解法二：＝＝6??11×10×…×612A12×11nn！！1??＋mm－A＝ (3)证明：因为A－nn1＋mmnn！－！??＋1－??nn＋1！????1－·＝mn??mn－＋1！－??nmn！！m－1mm A，＝·＝·＝m A.n mnmnmn！－?－??！＋＋1－1?mmm－1＝A－A所以nnn1＋1．下列问题是排列问题的是 ( )A．从8名同学中选取2名去参加知识竞赛，共有多少种不同的选取方法？B．10个人互相通信一次，共写了多少封信？C．平面上有5个点，任意三点不共线，这5个点最多可确定多少条直线？D．从1,2,3,4四个数字中，任选两个相乘，其结果共有多少种？答案 B解析排列问题是与顺序有关的问题，四个选项中只有B中的问题是与顺序有关的，其B.他问题都与顺序无关．故选．n！nnnnm) －1)(B ．－(－2)…(A.nm！m) 相等的是( 2．下列各式中与排列数A n?－?n mn－1－11 C.A ·AD．A nnn1－mn1－＋答案 Dn！m解析∵A＝，n mn！??－nnnnn！！－?！1???－1m11－＝＝，＝∴A·Ann1－mmnmnn！－！1?]！??－?[－－1??－mm－11.A∴＝A·A nnn1－) 132种普通车票，那么这段铁路共有的车站数是( 3．某段铁路所有车站共发行24 ．16 D．A．8 B．12 CB答案2nnnn12.1)＝132，∴解析设车站数为，则A＝132，(＝－n4．若把英语单词“word”的字母顺序写错了，则可能出现的错误共有________种．23答案－＝解析因为“word”有四个不同的字母，所以可能出现错误的种数为A4BACABD不，四423. 1名同学按一定顺序排成一行，要求自左向右，且，．将5不排在第一，，DC不排在第三，排在第二，不排在第四，试用树形图列出所有可能的排法．：(如图)解树形图为BADCBCDABDACCADBCDABCDBADABCDCABDCBA，，，，由树形图知，所有排法为，，，，，共有9种排法．。

二年级上册简单的排列(14张PPT)人教版

1、2 1、3 2、3
排列方法
十位个位
12
12
21
13
13
21
31
23
23
31
32
32
课后作业
作业：完成课本P99页1题、2题。
聪明出于勤奋，天才在于积累。
方法三固定个位法
十位个位 21
31 12 32 13 23
在个位上分别固定 1,2,3，然后用另外的数字去搭配。
怎样做才能做到不重复不遗漏呢？
无论用哪种方法组数，都应该做到有序地思考，避免重复或遗漏。
归纳总结：
质疑：谁没读懂，请举手。（2）列竖式计算教材49页第5题教学过程
用三个不同的数字组成十位数和个
个数字（0除外）放到十位上，再把其
（一）回顾感知，导入新课。
余的两个数字依次和它组合。在了解方程的作用和理解等式的基本性质基础上，能解简易方程，初步体会化归思想。初步学会列方程解决一些简单的实际问题，获得数学建模的初步体验。
教师：同学们，这首有趣的诗里面藏着哪些信息呢？
第二个问题：要买1个笔记本和1支带橡皮的铅笔共需要3.7元，因为剩的3.2元小于需要的3.7元，所以小丽的钱不够。
每个盒子中球的总数一样，你为什么不选择②号和③号盒子呢？
位数不重复的两位数时，可以先把每一 C．香蕉的重量×2＋80 =苹果的重量
2、建立1秒的时间概念。
学生2：还需注意，题目二中应把带未知数的部分看作一个整体进行运算。学生3：当方程内有两个未知数，先运用乘法分配律进行简化，再运算。
（4）学生演示。（1）2a＞2a。
组数时，排列顺序不同，组成的数也不同。
方法一调换位置法
1、2、3

专题03与代数式相关的五种排列规律2024-2025学年七年级数学上册同步学与练「含答案」

专题03 与代数式相关的五种排列规律题型一：数字与数式的排列规律题型二：数表的排列规律题型三：数阵的排列规律题型四：图阵中点的排列规律题型五：图形的排列规律题型一：数字与数式的排列规律1．观察下列等式：第1个等式： 111111323a æö==´-ç÷´èø；第2个等式：2111135235a æö==´-ç÷´èø；第3个等式：3111157257a æö==´-ç÷´èø；第4个等式：4111179279a æö==´-ç÷´èø．请解答下列问题：(1)按以上规律列出第5个等式：5a = ．(2)用含有n 的代数式表示第n 个等式：n a = （n 为正整数）；(3)求11121399100a a a a a +++++L ．一、单选题（共2小题）2．观察等式：232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-，…．若502x =用含x 的式子表示；5051529910022222+++++L ，结果是（）A ．22x x-B ．222x -C ．22x x -D ．22x -3．观察下列等式：①223124-=´ ②225328-=´ ③2275212-=´……那么第n （n 为正整数）个等式为（）A ．()()222222n n n --=´-B ．()()221122n n n +--=´C ．()()()22222242n n n --=´-D ．()()22212124n n n +--=´二、解答题（共3小题）4．观察下列各式的计算结果：22221131311;244221182411;3993311153511;416164411244611...5252555-=-==´-=-==´-=-==´-=-==´(1)用你发现的规律填写下列式子的结果：2116-= × ；211n -= × ．(2)用你发现的规律计算：22222111111111123420192020æöæöæöæöæö-´-´-´´-´-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL 5．观察下列等式． 231216´´=①． 22523126´´=+②． 2227341236´´=++③．……(1)请写出第 5 个等式：(2)猜想第n （n 为正整数）个等式，并计算 222212320++++L 的值．6．观察下列算式：第1个等式：261213´=´第2个等式：()22623125´=+´第3个等式：()2226341237´=++´……(1)请写出第5个等式：__________；(2)写出第n 个（n 为正整数）等式；(3)计算：222213511++++L 的值．题型二：数表的排列规律7．观察下面的点阵图和相应的等式，探究其中的规律：(1)在④后面的横线上写出相应的等式：①211=；②2132+=；③21353++=；④________；⑤2135795++++=；…(2)若n 表示任意一个整数，则2n 可以表示任意一个偶数，请你写出第n 个等式；(3)利用（2）中的等式，计算：41434599++++L 一、单选题（共2小题）8．如图，在2×2的网格内各有4个数字，各网格内数字都有相同的规律，c 为（）A ．990B ．9900C ．985D ．98509．干支纪年是中国传统纪年方法．干支是天干和地支的总称，“甲、乙…”等十个符号叫天干；“子、丑…”等十二个符号叫地支，把干支（天干十地支）顺序相配（甲子、乙丑、丙寅…）正好六十为一周期，周而复始，循环记录．有人总结出纪年算法的辅助表如下．甲乙丙丁戊已庚辛壬癸十天干4567890123子丑寅卯辰巳午未申酉戌亥十二地支45678910110123由上表很快算出1911年是辛亥年，1984年是甲子年，2000年是庚辰年，那么2024年是（）A ．庚子B ．丁酉C ．壬卯D ．甲辰二、解答题（共2小题）10．将连续的奇数1，3，5，7，9，…，39，排成如图1所示的数阵．(1)如图2，求方框中四个数的平均数；(2)如果用方框任意圈住四个数，设方框左上角的数为a ．求方框中四个数的和（用含a 的代数式表示），并说明这个和能被4整除．11．探索规律：观察下面由※组成的图案和算式，解答问题：21342+==213593++==21357164+++==213579255++++==(1)请猜想1357917+++++¼+= ；(2)请猜想()()()135********n n n +++++¼+-++++= ；(3)请用上述规律计算： 10310510720072009+++¼++题型三：数阵的排列规律12．如图所示的数表是由1开始的连续自然数组成的，观察规律并解决下列问题：(1)第10行的最后一个数是______；(2)第20行共有______个数；(3)数字2023排在第_____行，从右往左数是第_____个数．一、单选题（共2小题）13．已知一列数：1、―2、3、4-、5、6-、……，将这列数排成下列形式：按照上述规律排列下去，第10行数的第1个数是（）A ．46-B ．36-C ．37D ．4514．杨辉三角是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示()n a b +（此处0n =，1，2，3，4，5，…）的计算结果中的各项系数：则()6a b +各项系数的和为（）A ．32B ．48C ．64D ．128二、解答题（共4小题）15．观察下列正整数的排列顺序：解答以下问题：(1)35排在第几行第几列？(2)第10行第10列的数是多少？第n 行n 列的数呢？（用含n 的代数式表示）(3)2023排在第几行第几列？16．下面的数表是由从1开始的连续自然数组成的，观察规律并完成各题的解答．(1)表中第8行的最后一个数是______，它是自然数_____的平方，第8行共有_____个数；(2)用含n 的代数式表示：第n 行第一个数是________，最后一个数是______，第n 行共有_______个数；(3)求第20行各数之和．17．观察下面三行数：2，4-，8，16-，32，64-， ××××××①4，2-，10，14-，34，62-××××××②1，2-，4，8-，16，32-××××××③(1)第①行的第8个数为______，第②行的第8个数为______，第③行的第8个数为______．(2)取每行的第10个数，计算这三个数的和．18．材料一：杨辉三角（如图1），出现在中国宋朝时期数学家杨辉的著作《详解九章算法》中，是我国数学史上一颗璀璨的明珠，是居于世界前列的数学成就．杨辉三角两腰上的数都是1，其余每个数为它的上方（左右）两数之和，揭示了()na b +（n 为非负整数）展开式的项数及各项系数的相关规律，蕴含很多有趣的数学性质，运用规律可以解决很多数学问题．材料二：斐波那契数列，是意大利数学家莱昂纳多·斐波那契从兔子繁殖问题中引入的一列神奇数字，用n a 表示这一列数中的第n 个，则数列为11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，…，数列从第三项开始，每一项都等于其前两项之和，即21n n n a a a ++=+（n 为正整数）结合材料，回答以下问题：(1)多项式()5a b +展开式共有________项，各项系数和为________，利用展开式规律计算：5432111115101051________22222æöæöæöæöæö-´+´-´+´-=ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèø．(2)我们借助杨辉三角中第三斜行的数：1，3，6，10，…记11b =，23b =，36b =，410b =，…则8________b =；________n b =（用n 表示）；1231001111________b b b b ++++=…．(3)如图2，把杨辉三角左对齐排列，将同一条斜线上的数字求和，计算可得11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，…若123n n T a a a a =+++¼+，且2024T k =，结合材料二，求2026a 的值（用k 表示）．题型四：图阵中点的排列规律19．如图为一个三角形点阵，从上向下数有无数行，其中第一行有一个点，第二行有两个点……第n 行有n 个点，我们将前n 行的点数和记为n S ，如11S =，410S =，则n S 不可能是（）A．20B．15C．28D．36一、解答题（共4小题）20．有一个形如六边形的点阵，它的中心是一个点算第一层，第二层每边有两个点，第三层每边有三个点，依次类推．(1)填写下表中的空格：层数123456该层对应的点数161218所有层的总点数17(2)根据上表中的数据，试推断：n³）的点数为________（用n的代数式表示）；①第n层（2②n层六边形点阵的总点数为_______（用n的代数式表示）．21．如图是由同样大小的黑点按一定的规律组成的图形，其中图1中共有4个黑点，图2中共有9个黑点，图3中共有14个黑点，图4中共有19个黑点，L，依此规律，请解答下列问题．(1)图n中共有______个黑点；（用含n的式子表示）(2)若图n中共有2024个黑点，求n的值．22．用围棋棋子摆出下列一组图形，按照这种规律摆下去．(1)第5个图形用的棋子的个数为______，第n个图形用的棋子个数为______；(2)若第m个图形用的棋子个数超过57个，求m的最小值．23．化学中把仅有碳和氢两种元素组成的有机化合物称为碳氢化合物，又叫烃，如图，这是部分碳氢化合物的结构式，第1个结构式中有1个C和4个H，分子式是4CH；第2个结构式中有2个C和6个H，分子式是26C H；第3个结构式中有3个C和8个H，分子式是38C H…按照此规律，回答下列问题．(1)第6个结构式的分子式是________；(2)第n个结构式的分子式是________；(3)试通过计算说明分子式20244048C H的化合物是否属于上述的碳氢化合物．题型五：图形的排列规律24．【问题提出】2024欧洲杯正如火如荼进行中，本次比赛24支参赛球队分成6个小组，小组赛每小组4支球队进行单循环比赛，（任何一队都要与其他各队比赛一场且只比赛一场，不同小组之间不进行小组赛），则本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛？【构建模型】为解决上述问题，我们构建如下数学模型：如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成54´条线段，实际只有54102´=条线段．（1）若某次比赛有6支队伍进行单循环比赛，借助图②，我们可知一共要安排______场比赛；（2）根据以上规律，若有n 支足球队进行单循环比赛，则一共要安排______场比赛．【实际应用】（3）2024年欧洲杯足球赛，总计需要安排______场小组赛．（4）甬舟铁路预计2028年通车，届时杭州到舟山的车程将缩短至一个半小时左右，从起点杭州站出发，途经绍兴、余姚、宁波、马岙，至终点白泉站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为______种．一、解答题（共4小题）25．用同样大小的两种不同颜色的正方形纸片，按如图方式拼成长方形：第①个图形中有2张正方形纸片；第②个图形中有()212623+==´张正方形纸片；第③个图形中有()21231234++==´张正方形纸片；第④个图形中有()212342045+++==´张正方形纸片；LL ；请你观察上述图形与算式，完成下列问题：(1)观察可得：123n ++++=L ______（用含n 的代数式表示）；(2)根据你的发现计算：121122123300++++L ．26．由镶嵌知识可知，边长相等的正六边形、正方形、正三角形三种地砖可进行无缝密铺，观察图1、图2、图3，完成如下解答．(1)填写下表：图序正六边形个数正方形个数正三角形个数图1166图22图33(2)①图n 中，正方形地砖数量为_______块、正三角形地砖的数量为_______块；②求图10中正方形地砖和正三角形地砖的总数量．27．【阅读】邻边不相等的长方形纸片，剪去一个正方形，余下一个四边形，称为第1次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个正方形，又余下一个四边形，称为第2次操作¼依此类推，若第n 次操作余下的四边形仍是正方形，则称原长方形为n 阶方形．如图1，邻边长分别为1和2的长方形只需第1次操作（虚线为剪裁线），余下的四边形就是正方形，则这个长方形为1阶方形；显然，图2是一个2阶方形；如图3，邻边长分别为2和3的长方形是2阶方形．【探索】（1）已知长方形的邻边长分别为1和(1)a a >，且这个长方形是3阶方形，请画出长方形及剪裁线的示意图，并在图形下方直接写出a 的值．【拓展】（2）若长方形的邻边长分别为a 和()b a b <，且满足4a r =，5b a r =+，则这个长方形是阶方形．28．在滨湖国际会展中心广场中央摆放着一个正六边形的鲜花图案，如图所示，已知第一层摆红色花，第二层摆黄色花，第三层是紫色花，第四层摆红色花¼由里向外依次按红、黄、紫的颜色摆放．(1)这个鲜花图案有n 层，则这n 层共摆放了盆花（用含n 的代数式表示）；(2)如果最外层共有96盆花，则最外层花的颜色是，请计算此时鲜花图案共有多少盆花摆成的．1．(1)11119112911æö=´-ç÷´èø(2)1111(21)(21)22121n n n n æö=-ç÷-+-+èø(3)10469【分析】本题主要考查了数字的变化规律，根据题目所给等式，总结出变化规律是解题的关键．（1）根据题目所给的前几个等式，即可写出第五个等式；（2）根据题目所给的等式，总结出变化规律，即可解答；（3）根据题目所给的等式变化规则，分别计算1234100a a a a a ++++¼+和123410a a a a a ++++¼+，两者相减即可得到11121399100a a a a a +++++L ．【详解】（1）解：由题意得：第5个等式为：511119112911a æö==´-ç÷´èø，故答案为：11119112911æö=´-ç÷´èø；（2）解：∵第1个等式：111111323a æö==´-ç÷´èø；第2个等式：2111135235a æö==´-ç÷´èø；第3个等式：3111157257a æö==´-ç÷´èø；第4个等式：4111179279a æö==´-ç÷´èø；…，∴第n 个等式：1111(21)(21)22121n a n n n n æö==-ç÷-+-+èø故答案为：1111(21)(21)22121n n n n æö=-ç÷-+-+èø；（3）解：∵1234100a a a a a ++++¼+1111113355779199201=+++++´´´´´L 1111111111123355779199201æö=´-+-+-+-++-ç÷èøL 1112201æö=´-ç÷èø12002201=´100201=又∵123410a a a a a ++++¼+11111133557791921=++++´´´´´11111111111233557791921æö=´-+-+-+-++-ç÷èøL 111221æö=´-ç÷èø120221=´1021=∴11121399100a a a a a ++++¼+1001020121=-10469=2．C【分析】本题考查了数字的变化类．根据题中的等式，找到规律，再根据幂的运算法则求解．【详解】解：∵232222+=-，23422222++=-，2345222222+++=-．…．∴23412222222n n ++++++=-LL ，∴5051529910022222+++++L ()2100249222222=++-+++LL LL ()101502222=---1015022=-()25050222=´-22x x =-，故选：C ．3．D【分析】此题考查了数字的变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．分别观察等式左边第一个数，第二个数，右边的后一个因数之间的关系，可归纳出规律；【详解】解：①223124-=´，②225328-=´，③2275212-=´…………第n （n 为正整数）个等式为()()22212124n n n +--=´，故选：D ．4．(1)5711,,,66n n n n -+(2)20214040【分析】（1）根据题目中的规律解答即可；（2）根据题目中的规律解答即可；此题考查数字的变化规律，找出数字之间的运算规律与变换方法，得出规律解决问题．【详解】（1）解：依题意，21571666-=´，21111n n n n n-+-=´；故答案为：5711,,,66n n n n -+；（2）解：22222111111111123420192020æöæöæöæöæö-´-´-´´-´-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøL 13243520182020201920212233442019201920202020=´´´´´´´´´´L 1202122020=´20214040=．5．(1)222221156123456´´=++++(2)2870【分析】本题考查的是数字的变化规律和有理数的混合运算：（1）根据上述等式写出第5个等式即可；（2）根据上述等式写出第n 个等式，并据此计算222212320++++L 的值．【详解】（1）解：第5个等式：222221156123456´´=++++，故答案为：222221156123456´´=++++；（2）解：第n 个等式：()()2222221121123456n n n n ++=++++++L ，∴222212320++++L ()1202122016=´´´´+2870=．6．(1)()222226561234511´=++++´(2)()()222611221n n n n +=+++´+L （n 为正整数）(3)286【分析】本题考查数字变化的规律及有理数的混合运算，能用n 表示出第n 个等式是解题的关键．（1）根据题中所给等式，发现规律即可解决问题．（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．（3）根据（1）中发现的规律即可解决问题．【详解】（1）解：（1）由题知，因为第1个等式：261213´=´；第2个等式：()22623125´=+´；第3个等式：()2226341237´=++´；…，所以第n 个等式为：()()222611221n n n n +=+++´+L ；当5n =时，()222226561234511´=++++´；故答案为：()222226561234511´=++++´．（2）由（1）知，第n 个等式为：()()222611221n n n n +=+++´+L （n 为正整数）．（3）原式()222222221231124610=++++-++++L L ()222221111112412356´+=´´-´++++L 2111251111245666´+´+=´´-´´´506220=-286=．7．(1)213574+++=(2)()21321n n+++-=L (3)2100【分析】本题考查了图形类和数字类规律探究，解决本题的关键是通过从一些特殊的数字变化中发现不变的因素或按规律变化的因素，然后推广到一般情况．（1）观察图形的变化情况即可填空；（2）结合（1）即可得第n 个等式；（3）结合（2）的规律进行计算即可．【详解】（1）解：根据题意得：④213574+++=，故答案为：213574+++=；（2）解：∵211=；2132+=；21353++=；213574+++=；2135795++++=；…∴()21321n n +++-=L 故答案为：()21321n n +++-=L ；（3）解：41434599++++L()L L1357999135739=++++++-+++++225020=-=．21008．D【分析】本题主要考查数字规律，根据方格先求的a，进一步求得b，则可求得c．【详解】解：观察网格图中的数字可以发现：a=¸=，100250b=-=，100199=-=´-=，c b a10010099509850故选：D．9．D【分析】本题考查了规律问题的探索与运用，读懂题目介绍的中国传统纪年方法是解题的关键．天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期，2000年是庚辰年，从2000年算起，用24分别除以10和12，根据余数结合天干地支表即可得到答案．【详解】根据题意可知，2000年是庚辰年，那么2000年的天干对应的数字是0，地支对应的数字是8，从2000年开始算起，2024年为第24年，Q天干表10个数为一个周期，地支表12个数为一个周期，¸=……，24122241024¸=，那么2024年的天干从0开始数，第4个是甲，2024年的地支与2000年的地支一样，都是数字是8\2024年对应的天干为甲，地支为辰，故2024年为甲辰年，故选：D．10．(1)8(2)见详解【分析】本题考查了规律型：数字的变化类，列代数式，解决本题的关键是根据题意列出代数式．（1）根据平均数的定义进行计算即可；（2）用含a 的代数式表示方框中四个数，然后求和即可解决问题．【详解】（1）解：35111384+++=，\方框中的四个数的平均数为8；（2）解：方框中的四个数分别为a ，2a +，8a +，10a +，\这四个数的和为：2810420a a a a a ++++++=+4204(5),a a a +=+Q 为整数\这个和能被4整除．11．(1)81(2)()22n +(3)1007424【分析】此题主要考查了数字变化规律，培养学生通过特例分析从而归纳总结出一般结论的能力．通过分析找到各部分的变化规律后用一个统一的式子表示出变化规律是此类题目的难点．（1）根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方；（2）根据已知得出连续奇数的和等于数字个数的平方，得出答案即可；（3）利用以上已知条件得出()()103105107200720091352007200913599101+++¼++=+++¼++-+++¼++，求出即可．【详解】（1）解：由已知得出：21342+==，213593++==，21357164+++==，213579255++++==，依此类推：第n 个所代表的算式为：()213521n n +++¼+-=；故当2117n -=，即9n =时，213517981+++¼+==，故答案为：81；（2）解：由（1）可得()()()()2135792121232n n n n +++++¼+-++++=+，故答案为：()22n +；（3）解：10310510720072009+++¼++()()1352007200913599101=+++¼++-+++¼++2212009110122++æöæö=-ç÷ç÷èøèø10100252061=-1007424=．12．(1)100(2)39(3)45；3【分析】本题主要考查了数字类的规律探索：（1）观察可知第n 行最后一个数为2n ，据此规律求解即可；（2）先求出第19行和第20行最后一个数，用第20行最后一个数减去第19行最后一个数即可得到答案；（3）根据224419362023452025=<<=即可得到答案．【详解】（1）解：第1行最后一个数为21，第2行最后一个数为22第3行最后一个数为23第4行最后一个数为24，……，以此类推，可知第n 行最后一个数为2n ，∴第10行最后一个数为210100=，故答案为：100；（2）解：由（1）得第20行最后一个数为220400=，第19行最后一个数为219361=，∴第20行共有40036139-=个数，故答案为：39；（3）解：∵224419362023452025=<<=，∴数字2023排在第45行，从右往左数是第3个数，故答案为：45；3．13．A【分析】本题考查了规律型：数字的变化类：认真观察、仔细思考，利用数字与序号数的关系解决这类问题．观察排列规律得到第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，…，第9行有9个数，则可计算出前9行的数的个数45，而数字的序号为偶数时，数字为负数，于是可判断第10行数的第1个数为46-．故选A ．【详解】解：第1行有1个数，第2行有2个数，第3行有3个数，…，第9行有9个数，所以前9行的数的个数为123945+++¼+=，而数字的序号为奇数时，数字为正数，数字的序号为偶数时，数字为负数，所以第10行数的第1个数为46-．故选：A ．14．C【分析】此题主要考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出此题的数字规律是正确解题的关键．根据杨辉三角数表规律解答即可．【详解】解：当0n =时，各项系数的和为012=，当1n =时，各项系数的和为11122+==，当2n =时，各项系数的和为212142++==，当3n =时，各项系数的和为3133182+++==，……发现规律∶()na b +各项系数的和为2n ，当6n =时， ()6a b +各项系数的和为6264=，故选：C ．15．(1)第6行第2列(2)91，2n n 1-+(3)数2023在第3行第45列．【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据数字的变化得出第n 列第n 行为2n n 1-+，第1行第21n -列的数为()221n -是解题的关键．（1）根据表格中数字的排列得出结论即可；（2）根据第1列第1行到第5列第5行的数字规律得出第n 行第n 列的代数式即可；（3）根据数字变化规律得出第1行第21n -列的数为()221n -，即第1行第45列的数为2025，推出2023的位置即可．【详解】（1）解：由题意知，35排在第6行第2列；（2）解：∵第1列第1行为21111=-+，第2列第2行为23221=-+，第3列第3行为27331=-+，第4列第4行为213441=-+，第5列第5行为221551=-+，¼¼，第10列第10行为21010191-+=，∴第n 列第n 行为2n n 1-+；（3）解：由规律可知，第1行第21n -列的数为()221n -，∴第1行第45列的数为2025，∴数2023在第3行第45列．16．(1)64，8，15(2)()211n -+，2n ，(21)n -(3)14859【分析】本题考查了数字的变化规律，发现每行的变化规律是解答此题的关键．（1）根据图中的数据，总结规律求解即可；（2）根据图中的数据，总结规律求解即可；（3）根据前面发现的数字的变化特点，计算出第20行第1个数和最后一个数，然后求和即可．【详解】（1）第1行的最后一个数是211=，它是自然数1的平方，第1行共有1211=´-个数；第2行的最后一个数是242=，它是自然数2的平方，第2行共有3221=´-个数；第3行的最后一个数是293=，它是自然数3的平方，第3行共有5231=´-个数；第4行的最后一个数是2164=，它是自然数4的平方，第4行共有7241=´-个数；…；∴第8行的最后一个数是2864=，它是自然数8的平方，第8行共有28115´-=个数；故答案为：64，8，15；（2）第1行的第一个数是2101=+，最后一个数是211=，第1行共有1211=´-个数；第2行的第一个数是2211=+，最后一个数是242=，第2行共有3221=´-个数；第3行的第一个数是2521=+，最后一个数是293=，第3行共有5231=´-个数；第4行的第一个数是21031=+，最后一个数是2164=，第4行共有7241=´-个数；…；∴第n 行的第一个数是()211n -+，最后一个数是2n ，第n 行共有(21)n -个数；故答案为：()211n -+，2n ，(21)n -；（3）∵第20行第1个数为()22011362-+=，最后一个数为220400=，共有220139´-=个数∴第20行所有数字之和362363...400=+++()36239919400=+´+14859=．17．(1)256-，254-，128-(2)2558-【分析】此题考查数字的变化规律，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．（1）根据第①行已知数据都是2的乘方得到，再利用第偶数个数的系数为负数，即可得出答案；再根据第②行都比第①行对应数字大2进行解答，第③行是第①行的对应数字的12进行解答即可（2）先分别表示每一行的第10个数，再求和即可【详解】（1）解：∵2，4-，8，16-，32，64-， ×××××× ①∴122=，242-=-，382=，4162-=-，…∴第①行第8个数为：82256-=-；∵4，2-，10，14-，34，62-××××××②，都比第①行对应数字大2，∴第②行第8个数为：2562254-+=-；∵1，2-，4，8-，16，32-××××××③，∴第③行是第①行的12，∴第③行第8个数为：12561282-´=-，（2）∵第①行第10个数为：102-；∴第②行第10个数为：1022-+；第③行第10个数为：()10122´-，∴()101010122222--++´-101092222=---+()922212=-´+++9522=-´+2558=-.18．(1)：6，32，132-；(2)36，()12n n +，200101；(3)1k +．【分析】本题主要考查了探索规律，正确理解题意，找出规律是解题的关键．（1）总结规律得多项式()5a b +展开式共有156+=项，各项系数和为515101051322+++++==，令()5a b +中，1,12a b ==-，由展开式得5543211111115101051222222æöæöæöæöæöæö-=-´+´-´+´-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøèø，从而即可得解；（2）总结规律得()8188362b +´==，()12n n n b +=，从而代入1231001111b b b b ++++…求解即可；（3）总结规律得21n n n a a a --=+，再由123n n T a a a a =+++¼+，2024T k =，得123202422a a a k a a a +++=++¼+，从而即可得解．【详解】（1）解：∵多项式()a b +展开式共有112+=项，各项系数和为11122+==；多项式()2a b +展开式共有123+=项，各项系数和为212142++==；多项式()3a b +展开式共有134+=项，各项系数和为3133182+++==；多项式()4a b +展开式共有145+=项，各项系数和为414641162++++==；多项式()5a b +展开式共有156+=项，各项系数和为515101051322+++++==；令()5a b +中，1,12a b ==-，由展开式得5543211111115101051222222æöæöæöæöæöæö-=-´+´-´+´-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøèø543251111111510105122222232æöæöæöæöæöæö-´+´-´+´-=-=-ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷ç÷èøèøèøèøèøèø，故答案为：6，32，132-；（2）解：11b =，()21221232b +´=+==，()313312362b +´=++==，()41441234102b +´=+++==，…∴()8188362b +´==；()12n n nb +=，1231001111b b b b ++++…()()()()111111112213311001002222=+++¼++´+´+´+´2213243101102022´´´=++´++…11112213243101100æö=+++¼+ç÷´´´´èø11111112122334100101æö=-+-+-+¼+-ç÷èø1002101=´200101=故答案为：36，()12n n +，200101；（3）解：∵11a =，21a =，32a =，43a =，55a =，68a =，∴3212a a a ==+，4233a a a ==+，5345a a a ==+，6458a a a ==+，L∴21n n n a a a --=+，∵123n n T a a a a =+++¼+，2024T k =，∴12324422020k a a a T a ++++==¼，∴123202422a a a k a a a +++=++¼+，23320242a k a a a a +++¼=++，32424204a k a a a a +++¼=++，202420251a k a +=+∴20261a k =+．19．A【分析】题目主要考查规律探索问题，根据题意得出n S 的两倍等于相邻两个正整数的积，结合题意即可判断．【详解】解：由题意，可知()()1234114321n S n n n n =++++×××+-+=+-+×××++++，∴()21n S n n =+，即n S 的两倍等于相邻两个正整数的积．∵15256´=´，21267´=´，28278´=´，36289´=´，∴不存在两个相邻正整数的积等于20的两倍，故选A ．20．(1)见解析(2)①66n -；②2331n n -+【分析】此题主要考查了找规律——图形的变化，学生通过特例分析从而归纳总结出一般规律的能力，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．（1）观察点阵可以写出答案；（2）①观察可知，从第二层开始，每增加一层就增加六个点；②将每一层的点数相加后即可得到答案．【详解】（1）解：如表：层数1234¼该层对应的点数161218¼所有层的总点数171937¼（2）解：①第一层上的点数为1；第二层上的点数为616=´；第三层上的点数为6626+=´；第四层上的点数为66636++=´；¼；第n 层上的点数为(1)666n n -´=-．②第二层开始，每增加一层就增加六个点，即n 层六边形点阵的总点数为，1162636(1)6n +´+´+´+¼+-´，[]161234(1)n =+++++¼+-，(1)162n n -=+´，13(1)n n =+-．第n 层六边形的点阵的总点数为：213(1)331n n n n +-=-+．故答案为：66n -；2331n n -+21．(1)()51n -(2)405n =【分析】（1）根据所给的图形进行类比得到公式即可；（2）利用公式得到方程解题即可；本题考查了图形的变化规律和解一元一次方程，解题的关键是仔细观察图形的变化规律，然后利用规律求解．【详解】（1）解：图1中共有4511=´-个黑点，图2中共有9521=´-个黑点，图3中共有14531=´-个黑点，图4中共有19541=´-个黑点，L ，图n 中共有()51n -个黑点，故答案为：()51n -；（2）当512024n -=时，405n =．22．(1)14，24n +；(2)27【分析】本题考查图形变化的规律，能根据所给图形发现棋子的个数依次增加2是解题的关键．（1）依次求出图形中棋子的个数，发现规律即可解决问题．（2）根据（1）中发现的规律即可解决问题．【详解】（1）解：由所给图形可知，第1个图形所用棋子的个数为：6124=´+；第2个图形所用棋子的个数为：8224=´+；第3个图形所用棋子的个数为：10324=´+；第4个图形所用棋子的个数为：12424=´+；¼，所以第n 个图形所用棋子的个数为(24)n +个，当5n =时，2425414n +=´+=（个)，即第5个图形所用棋子的个数为14个．故答案为：14，24n +．（2）解：由（1）知，2457m +>，解得26.5m >，又m 是正整数，所以m 的最小值为27．23．(1)614C H (2)22C H n n +(3)不属于，理由见解析【分析】本题考查了图形规律问题，旨在考查学生的抽象概括能力，根据图示确定一般规律即可求解．（1）由图可知：第n 个结构式中有n 个C 和()22+n 个H ，分子式是22C H n n +，据此即可求解；（2）由（1）中的结论即可求解；（3）令2024n =，计算22n +即可判断；【详解】（1）解：由图可知：第n 个结构式中有n 个C 和()22+n 个H ，分子式是22C H n n +；∴第6个结构式的分子式是614C H ，故答案为：614C H （2）解：由（1）可知：第n 个结构式的分子式是22C H n n +，故答案为：22C H n n +（3）解：令2024n =，则224050n +=，∴分子式20244048C H 的化合物不属于上述的碳氢化合物24．（1）15．（2）()12n n ´-（3）90（4）30【分析】本题考查了归纳总结和配对问题，涉及列代数式及其求值、有理数的运算，求出关于n 的关系式，再根据实际情况讨论是解题的关键．（1）根据图②线段数量进行作答．（2）当有n 支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出n 个点（任意3个点都不在同一条直线上），每个点与另外1n -个点都可连成一条线段，这样一共连成()1n n ´-条线段，实际只有()12n n ´-条线段，即可得求出比赛的场数．（3）根据题意可得，一个小组会有65152´=场比赛，故六个小组则共有有61590´=场比赛．（4）因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即一个车站与另外5个车站都可各形成一张车票，即5张车票，得出六个车站一共形成了5630´=种车票．【详解】（1）由图②可知，图中实际共有56152´=条线段，∴根据题意，可得6支队伍进行单循环比赛一共要安排15场比赛．故答案为：15．（2）当有n 支足球队进行单循环比赛时，即在平面内画出n 个点（任意3个点都不在同一条直线上），每个点与另外1n -个点都可连成一条线段，这样一共连成()1n n ´-条线段，实际只有()12n n ´-条线段，即根据以上规律，若有n 支足球队进行单循环比赛，则一共要安排()12n n ´-场比赛，故答案为：()12n n ´-．（3）根据题意可得，欧洲杯24支参赛球队分成6个小组，由上可得一个小组会有65152´=场比赛，故六个小组则共有有61590´=场比赛，即本次欧洲杯总计有几场小组赛比赛，故答案为90．（4）由题意可得一共有六个车站，因为行车往返存在上车与下车，所以不需要除去每两个点之间的线段都重复计算了一次的情况，即每两个车站就会有两种车票，∴一个车站与另外5个车站都可各形成一张车票，即5张车票，∴这样六个车站一共形成了5630´=种车票．故答案为30．25．(1)()12n n +(2)37890【分析】此题考查了数字类计算规律的应用，能根据题中所给已知条件找到计算的规律并应用解决问题是解题的关键．（1）根据已知条件直接列式计算即可；（2）将原式变形为()()300112312320++-+×××++×××+++，根据得到的公式计算即可．【详解】（1）解：∵第①个图形中有2张正方形纸片；第②个图形中有()212623+==´张正方形纸片；第③个图形中有()21231234++==´张正方形纸片；第④个图形中有()212342045+++==´张正方形纸片；∴第n 个图形中有()()21231n n n ++++=+L 张正方形纸片；∴123n +++×××+=()12n n +，故答案为：()12n n +；（2）121122123300+++×××+()()300121231230=++-+×××++×××+++()()3003001120120122´+´+=-451507260=-37890=．26．(1)见解析(2)①51+n ，42n +；②93块【分析】本题考查了平面镶嵌(密铺)问题和用代数式表示规律，解题的关键是要注意分别找到三角形和正方形的个数的规律．（1）直接根据图像中各方块数量填表即可解题；（2）①根据图1、2、3正方形个数与正三角形个数寻找规律，即可解题；②根据①中规律直接解题即可．【详解】（1）解：由图可得：图序正六边形个数正方形个数正三角形个数。

新人教版(新插图)二年级上册数学第1课时排列教案(教学设计)

第1课时排列（教案）教学内容教材P97例1。

教学目标1. 在观察与操作中探究简单事物的排列方法。

2. 培养学生有序地、全面地思考问题的意识。

3. 理解不重复、不遗漏的排列方法。

教学重点在观察与操作中探究简单事物的排列方法。

教学难点理解不重复、不遗漏的排列方法。

教学准备数字卡片（1、2、3）、多媒体课件。

教学过程一、游戏导入师：（游戏：猜年龄）提示一：老师的年龄是两位数。

提示二：由数字1和3组成。

猜猜老师的年龄是多少？预设：老师的年龄是31岁。

师：确定十位数字和个位数字，就可以得到一个两位数，今天这节课我们就来学习这方面的知识。

（板书课题）设计意图通过猜年龄的游戏，调动学生学习的积极性，让学生感受到排数时要考虑数字的排列顺序，有利于学生建构新知。

二、探究新知探究点简单的排列问题1. 用两张数字卡片摆出两位数。

师：用1、2两张数字卡片能摆出几个不同的两位数？（学生动手摆卡片，小组交流汇报）预设1：当个位上的数字是1，十位上的数字是2时，摆出的两位数是21。

预设2：当个位上的数字是2，十位上的数字是1时，摆出的两位数是12。

预设3：能摆出2个不同的两位数。

小结：不同的两张数字卡片，排列的顺序不同，摆出的两位数就不同。

设计意图让学生通过摆数字卡片，得出：用两张不同的数字卡片，可以摆出2个不同的两位数。

2. 用三张数字卡片摆出两位数。

师：用1、2和3三张数字卡片能摆出多少个不同的两位数？请大家猜一猜，再动手摆一摆，并记录。

（学生动手摆卡片，小组交流汇报）预设：从1、2、3三张数字卡片中每次不重复地取出两张，再调换两张卡片的位置，能摆出：12、21、13、31、23、32，共6个不同的两位数。

师：上面的方法是调换位置法，我们还可以用固定法。

我们可以先固定个位上的数字，再确定十位上的数字，能摆出6个不同的两位数。

6个不同的两位数。

师：在摆数时怎样才能做到不重不漏呢？预设：有序思考。

（板书）核心点总结解决摆数的问题，关键要做到不重复、不遗漏，可以用调换位置法、固定法，有序思考，一一列举出所有可能的数。

解答排列组合问题的几种措施

排列组合是每年高考数学必考的内容之一.排列组合问题侧重于考查分类计数原理和分步计数原理.解答此类问题，需仔细审题，辨别问题的类型，然后选用合适的计数原理进行求解.本文主要介绍几种求解排列组合问题的常用措施.一、优先法大部分的排列组合问题都会涉及有特殊要求的元素或位置，此时需采用优先法求解.采用优先法解题，可以从两个角度入手：（1）特殊元素.先排列特殊元素的顺序，再排列其他元素的顺序；（2）特殊位置.先将满足要求的元素安排在特殊位置上，再将其他元素安排在剩下的位置上.例1.1名歌手和4名观众排成一排照相，若歌手不排在两端，则一共有多少种排法.分析：本题中的歌手为特殊元素，两端的位置为特殊位置，需采用优先法求解.可从特殊元素、特殊位置两个角度进行考虑.解法一：优先安排歌手的位置.因为歌手不排在两端，所以歌手只能安排在中间的3个位置，有A13种排法，然后随意安排4名观众，有A44种排法.由分步计数原理可知，一共有A13∙A44=72种排法.解法二：优先考虑两端的位置.先从4名观众中选2人排在两端，有A24种排法，再排剩下的3个位置，有A33种排法.由分步计数原理知，一共有A24∙A33=72种排法.当有多个特殊元素或位置时，往往要分步逐一安排每个特殊的元素或位置，最后根据分步计数原理求解.二、捆绑法指定某些元素必须排在一起的问题称为相邻问题.当遇到相邻问题时，常需采用捆绑法求解.把相邻的若干元素捆绑在一起作为一个整体或者一个大元素进行排列，便可保证相邻的元素不会分开.采用捆绑法解答排列组合问题，需分步进行，首先排列捆绑起来的大元素以及没有被捆绑的元素的排列顺序，然后排列捆绑起来的几个元素的顺序，最后运用分步计数原理求解.例2.（1）7个人排成一排，其中甲、乙必须相邻的排法有多少种？（2）7个人排成一排，其中甲、乙中间相隔2人的排法有多少种？解：（1）先将甲、乙两人捆绑在一起作为1个元素，与其他5个人一起排列，有A66种排法；又甲、乙两人有A22种排法，则一共有A66∙A22=1440种排法.（2）先从7人中任选2人放在甲、乙中间作为一个大元素，有A25种排法，且甲、乙两人有A22种排法，再将这个大元素与剩下的3人一起排列有A44种排法，则一共有A25∙A22∙A44=960种排法.运用捆绑法解题时，要注意排列大元素内部的几个元素的顺序，这是很多同学容易忽略或忘记的一个步骤.三、间接法对于含“至多”或“至少”字眼的排列组合问题，采用直接法求解，往往需要进行很复杂的讨论，且会出现遗漏或重复计数的情况.此时从问题的反面入手，采用间接法求解比较便捷.先求出所有的排列数，再排除不符合条件的排列数即可解题.这样往往会收到意想不到的效果.例3.某校开设3门A类选修课，4门B类选修课.某同学一共选了3门选修课，若要求从两类课程中各至少选择一门，则一共有多少种选法？解：先不考虑限制条件，从7门选修课中任选3门，一共有C37种选法.所选的3门选修课均为A类，有C33种选法，均为B类，有C34种选法，由分步计数原理可知，一共有C37-C33-C34=30种选法.此题中含有“至少”的字眼，用直接法求解，要考虑的情况太多，需运用间接法，先不考虑任何限制条件，从7门选修课中任选3门，求出所有的情况数，再考虑不符合条件的情况：所选的3门选修课均为A类或B类，排除不满足要求的情况数，即可快速解题.上述三种方法都是解答排列组合问题的常用方法，但是其适用条件均不同.优先法适用于解答含有特殊元素和位置的题目，捆绑法适用于求解元素相邻的题目，间接法适用于解答从正面求解困难的题目.对于排列组合问题，同学们要多总结归纳，提炼方法，这样才能在解题时做到游刃有余.（作者单位：江苏省如东县马塘中学）方法集锦44Copyright©博看网. All Rights Reserved.。

排列组合和排列组合计算公式

排列组合公式/排列组合计算公式排列 P------和顺序有关组合 C -------不牵涉到顺序的问题排列分顺序,组合不分例如把5本不同的书分给3个人,有几种分法. "排列"把5本书分给3个人,有几种分法"组合" 1．排列及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 p(n,m)表示.p(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)!(规定0!=1).2．组合及计算公式从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号c(n,m) 表示.c(n,m)=p(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；c(n,m)=c(n,n-m);3．其他排列与组合公式从n个元素中取出r个元素的循环排列数＝p(n,r)/r=n!/r(n-r)!.n个元素被分成k类，每类的个数分别是n1,n2,...nk这n个元素的全排列数为n!/(n1!*n2!*...*nk!).k类元素,每类的个数无限,从中取出m个元素的组合数为c(m+k-1,m).排列（Pnm(n为下标，m为上标)）Pnm=n×（n-1）....（n-m+1）；Pnm=n！/（n-m）！（注：！是阶乘符号）；Pnn（两个n分别为上标和下标） =n！；0！=1；Pn1（n为下标1为上标）=n组合（Cnm(n为下标，m为上标)）Cnm=Pnm/Pmm ；Cnm=n！/m！（n-m）！；Cnn（两个n分别为上标和下标） =1 ；Cn1（n为下标1为上标）=n；Cnm=Cnn-m2008-07-08 13:30公式P是指排列，从N个元素取R个进行排列。

排列组合公式全

排列组合公式全 Last updated on the afternoon of January 3, 2021排列组合排列定义从n个不同的元素中，取r个不重复的元素，按次序排列，称为从n个中取r个的无重排列。

排列的全体组成的集合用P(n,r)表示。

排列的个数用P(n,r)表示。

当r=n时称为全排列。

一般不说可重即无重。

可重排列的相应记号为P(n,r),P(n,r)。

组合定义从n个不同元素中取r个不重复的元素组成一个子集，而不考虑其元素的顺序，称为从n个中取r个的无重组合。

组合的全体组成的集合用C(n,r)表示，组合的个数用C(n,r)表示，对应于可重组合有记号C(n,r),C(n,r)。

一、排列组合部分是中学数学中的难点之一，原因在于(1)从千差万别的实际问题中抽象出几种特定的数学模型，需要较强的抽象思维能力；(2)限制条件有时比较隐晦，需要我们对问题中的关键性词(特别是逻辑关联词和量词)准确理解；(3)计算手段简单，与旧知识联系少，但选择正确合理的计算方案时需要的思维量较大；(4)计算方案是否正确，往往不可用直观方法来检验，要求我们搞清概念、原理，并具有较强的分析能力。

二、两个基本计数原理及应用(1)加法原理和分类计数法1．加法原理2．加法原理的集合形式3．分类的要求每一类中的每一种方法都可以独立地完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)(2)乘法原理和分步计数法1．乘法原理2．合理分步的要求任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同例1：用1、2、3、4、5、6、7、8、9组成数字不重复的六位数集合A为数字不重复的九位数的集合，S（A）=9！集合B为数字不重复的六位数的集合。

把集合A分为子集的集合，规则为前6位数相同的元素构成一个子集。

重复数字的排列组合

重复数字的排列组合
重复数字的排列组合，是指在排列或组合中，存在重复的数字。

排列
重复数字的排列，可以分为两种情况：
1.顺序无关的排列：例如，数字1、1、2可以排列为112、121、211，这三种
排列是等价的。

在这种情况下，重复数字的排列数量等于不重复数字的排列数量。

2.顺序相关的排列：例如，数字1、1、2可以排列为112、121、211，这三种
排列是不等价的。

在这种情况下，重复数字的排列数量等于不重复数字的排列数量的n次方，其中n是重复数字的个数。

组合
重复数字的组合，可以分为两种情况：
1.重复数字可以任意取或不取的组合：例如，数字1、1、2可以组合为1、2、
11、21、12。

在这种情况下，重复数字的组合数量等于不重复数字的组合数
量的2^n，其中n是重复数字的个数。

2.重复数字只能取一次的组合：例如，数字1、1、2可以组合为12。

在这种情
况下，重复数字的组合数量等于不重复数字的组合数量的nCn，其中n是重复数字的个数。

例题
●数字1、1、2的排列数量为3^3=27。

●数字1、1、2的组合数量为2^3=8。

●数字1、1、1的排列数量为3!=6。

●数字1、1、1的组合数量为3C3=1。

公式
重复数字的排列数量：nPr=n!/(n-r)!
其中，n是数字的总数，r是重复数字的个数。

重复数字的组合数量：nCr=n!/[(r!)^n*(n-r)!]
其中，n是数字的总数，r是重复数字的个数。

解决排列组合问题常见策略

解决排列组合问题常见策略解决排列组合问题常见策略一、合理选择主元素（确定谁选谁、选过的能否再选，用分步乘法计数原理）1、公共汽车上有3个座位，现在上来5名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？2、公共汽车上有5个座位，现在上来3名乘客，每人坐1个座位，有几种不同的坐法？3、把4封不同的信全部任意投入到3个信箱中，不同的投法有多少种？4、某公车上有10名乘客，要求在沿途的5个车站全部下完，乘客下车的可能方式有多少种？5、三个比赛项目，六人报名参加，下列条件下各有多少种不同方法？(1)每人参加一项; (2)每项一人且每人至多参加一项；（3）每项一人且每人参加项目数不限6、在5天内安排3次不同的考试，若每天至多安排1次考试，则有多少种不同的安排方案？二、特殊元素优先法（合理分类，准确分步）1、6人站成一横排，其中甲不站左端也不站右端，有多少种不同站法？2、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有多少种？3、0，1，2，3，4，5可组成多少个无重复数字且能被五整除的五位数？4、上午要上语文、数学、体育和外语四门课，而体育教师因故不能上第一节和第四节，则不同的排课方案有多少种？5、5人站成一排，A不能站两端，B不能站中间，有多少种不同的站法？6、五列火车停在五条轨道上，若甲车不停在第一轨道上，丙车不停在第三轨道上，则不同的停车方法有多少种？8、7、从6名短跑运动员种选4人参加4×100米接力赛，若甲不能跑第一棒，乙不能跑第四棒，问共有多少种参赛方法？三、相邻问题——捆绑法1、7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人相邻，分别有多少种站法？2、三个男生，四个女生排成一排，男生、女生各站一起，有几种不同方法？3、10个人站成一排，规定甲乙两人之间必须有4个人，不同的排法有_______种.4、一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有五个连续空位的坐法种数为______种.四、不相邻问题——插空法1、7人站成一排照相，要求甲，乙，丙三人不相邻，分别有多少种站法？2、三个男生，四个女生排成一排，男生之间、女生之间不相邻，有几种不同排法？3、6个停车位置，有3辆车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放的方法有_________种。