【步步高】高考数学一轮复习 3.2.2 对数函数(一)备考练习苏教版

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【步步高】2014届高考数学一轮复习 3.2.1 常见函数的导数备考练习苏教版

§3.2 导数的运算3．2.1 常见函数的导数一、基础过关1．下列结论中正确的个数为________．①f (x )＝ln 2，则f ′(x )＝12； ②f (x )＝1x 2，则f ′(3)＝－227； ③f (x )＝2x ，则f ′(x )＝2xln 2；④f (x )＝log 2x ，则f ′(x )＝1x ln 2. 2．过曲线y ＝1x上一点P 的切线的斜率为－4，则点P 的坐标为________． 3．已知f (x )＝x a ，若f ′(－1)＝－4，则a 的值等于________．4．函数f (x )＝x 3的斜率等于1的切线有________条．5．若f (x )＝10x ，则f ′(1)＝________.6．曲线y ＝14x 3在x ＝1处的切线的倾斜角的正切值为______． 7．求下列函数的导数：(1)y ＝x x ；(2)y ＝1x 4；(3)y ＝5x 3； (4)y ＝log 2x 2－log 2x ；(5)y ＝－2sin x 2⎝⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4. 二、能力提升8．若曲线y ＝x －12在点(a ，a －12)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a ＝________.9．已知直线y ＝kx 是曲线y ＝e x 的切线，则实数k 的值为________．10．直线y ＝12x ＋b 是曲线y ＝ln x (x >0)的一条切线，则实数b ＝________. 11．求与曲线y ＝3x 2在点P (8,4)处的切线垂直于点P 的直线方程．12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．三、探究与拓展13．设f0(x)＝sin x，f1(x)＝f′0(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，f n＋1(x)＝f′n(x)，n∈N，试求f2 012(x)．答案1．32.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－23．44．25．10ln 106．－347．解 (1)y ′＝(x x )′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 32′＝32x 32－1＝32x .(2)y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 4′＝(x －4)′＝－4x －4－1＝－4x －5＝－4x 5. (3)y ′＝(5x 3)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 35′＝35x 35－1＝35x －25＝355x 2.(4)∵y ＝log 2x 2－log 2x ＝log 2x ，∴y ′＝(log 2x )′＝1x ·ln 2.(5)∵y ＝－2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1－2cos 2x 4＝2sin x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 4－1＝2sin x 2cos x2＝sin x ，∴y ′＝(sin x )′＝cos x .8．649．e10．ln 2－111．解 ∵y ＝3x 2，∴y ′＝(3x 2)′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 23′＝23x －13， ∴在P (8,4)处曲线的切线斜率k ＝23×8－13＝13. ∴适合题意的切线的斜率为－3.从而适合题意的直线方程为y －4＝－3(x －8)，即3x ＋y －28＝0.12．解根据题意可知与直线x －y －2＝0平行的抛物线y ＝x 2的切线，对应的切点到直线x －y －2＝0的距离最短，设切点坐标为(x 0，x 20)，则切线斜率k ＝2x 0＝1，所以x 0＝12，所以切点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫12，14，切点到直线x －y －2＝0的距离 d ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪12－14－22＝728，所以抛物线上的点到直线x －y －2＝0的最短距离为728. 13．解 f 1(x )＝(sin x )′＝cos x ，f 2(x )＝(cos x )′＝－sin x ，f 3(x )＝(－sin x )′＝－cos x ，f 4(x )＝(－cos x )′＝sin x ，f 5(x )＝(sin x )′＝f 1(x )，f 6(x )＝f 2(x )，…，f n ＋4(x )＝f n (x )，可知周期为4，∴f 2 012(x )＝f 0(x )＝sin x .。

江苏省高三数学高考一轮复习导学案对数式与对数函数苏教版

对数式与对数函数[学习目标]1. 掌握对数的预算法则2. 理解对数函数的定义、图象和性质，能利用对数函数单调性比较同底对数大小，3.了解对数函数的特性以及函数的通性在解决有关问题中的灵活应用．[学习重难点]①理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用；②理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性，掌握函数图像通过的特殊点； ③知道对数函数是一类重要的函数模型；④了解指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数(),1a o a ≠[自主学习]1．对数：(1) 定义：如果N a b =)1,0(≠>a a 且，那么称为，记作，其中a 称为对数的底，N 称为真数.① 以10为底的对数称为常用对数，N 10log 记作___________．② 以无理数)71828.2( =e e 为底的对数称为自然对数，N e log 记作_________．(2) 基本性质：① 真数N 为 (负数和零无对数)；② 01log =a ；③ 1log =a a ； ④ 对数恒等式：N a N a =log ．(3) 运算性质：① log a (MN)＝___________________________；② log a NM ＝____________________________；③ log a M n ＝ (n ∈R).④ 换底公式：log a N ＝ (a >0，a ≠1，m >0，m ≠1，N>0)⑤ log m n a a n b b m = .2．对数函数：① 定义：函数称为对数函数，1) 函数的定义域为 __________________；2) 函数的值域为 _____________________；3) 当______时，函数为减函数，当______时为增函数；4) 函数x y a log =与函数 )1,0(≠>=a a a y x且互为反函数.② 1) 图象经过点( )，图象在；2) 对数函数以为渐近线(当10<<a 时，图象向上无限接近y 轴；当1>a 时，图象向下无限接近y 轴)；3) 函数y ＝log a x 与的图象关于x 轴对称．③ 函数值的变化特征及函数图像与性质：注：（1）同底的指数函数x y a =与对数函数log a y x =互为反函数（2）底大图低[典型例析]例1 计算：（1）)32(log 32-+（2）2(lg 2)2+lg 2·lg5+12lg )2(lg 2+-; （3）21lg 4932-34lg 8+lg 245.变式训练1：化简求值.（1）log 2487+log 212-21log 242-1;（2）(lg2)2+lg2·lg50+lg25;（3）(log 32+log 92)·(log 43+log 83).例2已知函数f （x ）=log 2(x 2-ax-a)在区间（-∞, 1-3］上是单调递减函数.求实数a 的取值范围.例3.对于)32(log )(221+-=ax x x f ，（1）函数的“定义域为R ”和“值域为R ”是否是一回事；（2）结合“实数a 的取何值时)(x f 在),1[+∞-上有意义”与“实数a 的取何值时函数的定义域为),3()1,(+∞⋃-∞”说明求“有意义”问题与求“定义域”问题的区别；（3）结合（1）（2）两问，说明实数a 的取何值时)(x f 的值域为]1,(--∞（4）实数a 的取何值时)(x f 在]1,(-∞内是增函数。

【步步高】高考数学大一轮复习 2.6对数与对数函数课件理苏教版

(3)过定点 (1,0) ，即x＝ 1 时，y＝ 0
性质
(4)当x>1时， y>0 当0<x<1时， y<0
(5)当x>1时， y<0 当0<x<1时， y>0
(6)在(0，＋∞)上是增函数 (7)在(0，＋∞)上是减函数
4.反函数
指数函数y＝ax与对数函数 y＝logax 互为反函数，
它们的图象关于直线 y＝x 对称．
思维升华
由x＝log43，得4x＝3，
题型一对数式的运算
例1 (1)若x＝log43，则(2x 4 －2－x)2＝ 3 .
即2x＝ 3 ，
3 2 ＝ 3 ，所以(2x－2－x)2
－x
2 32 4 ＝( 3 ) ＝3.
解析
答案
思维升华
在对数运算中，要熟练掌
题型一对数式的运算
例1 (1)若x＝log43，则(2x 4 －2－x)2＝ 3 .
握对数的定义，灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行恒等变形，多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算．
解析
答案
思维升华
例 1
(2) 已知函数 f(x) ＝
log2x，x>0，－x 3 ＋1，x≤0，
1 则 f(f(1)) ＋ f(log3 2 ) 的值是．
(5)当x>1时，若logax>logbx，则a<b.( × )
x－2 (6)函数f(x)＝lg 与g(x)＝lg(x－2)－lg(x＋2)是同 x＋2
一个函数．( × )
题号
1
答案
a>b>c ② 1 (－，＋∞) 2 1 0 ， ∪(2，＋∞) 2

【步步高】高中数学 3.2.1对数(一)配套名师课件苏教版必修1

(2)( 1 )－2＝3. 3
3.2.1（一）
研一研•问题探究、课堂更高效
3.2.1（一）
例 2 求下列各式的值： (1)log264；(2)log927.
解 (1)由 26＝64，得 log264＝6. (2)设 x＝log927，则根据对数的定义知：9x＝27，即 32x＝33 得 2x＝3，x＝32，所以根据对数的定义知：log927＝32. 小结要求对数的值，设对数为某一未知数，将对数式化为
解析由 log2(log3x)＝0，∴log3x＝1. ∴x＝3.同理 y＝4，z＝2.∴x＋y＋z＝9.
练一练•当堂检测、目标达成落实处
3.2.1（一）
1．有下列说法： ①零和负数没有对数； ②任何一个指数式都可以化成对数式； ③以 10 为底的对数叫做常用对数； ④以 e 为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为____3____．解析 ①、③、④正确，②不正确，只有 a>0，且 a≠1 时， ax＝N 才能化为对数式．
3.2.1（一）
探究点二对数式与指数式的互化问题 1 在指数式和对数式中都含有 a，x，N 这三个量，那
么这三个量在两个式中各有什么异同点？答幂底数←a→对数底数；指数←x→对数；幂←N→真数．问题 2 指数式与对数式具有怎样的关系？答当 a>0，且 a≠1 时，ax＝N⇔x＝logaN. 问题 3 指数式 ab＝N 和对数式 b＝logaN 有何区别与联系？答二者反映的本质是一样的，都是 a、b、N 之间的关系式；但二者突出的重点不一样，指数式 ab＝N 中突出的是指数幂 N，而对数式 b＝logaN 中突出的是对数 b.
(3)log 21
1 ＝x. 3＋2 2
解 (1)∵log2(log5x)＝0，∴log5x＝1，∴x＝51＝5.

高三数学一轮复习学案：对数与对数函数

高三数学一轮复习学案：对数与对数函数一、考试要求： 1）理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数。

（2）理解对数函数的概念，了解对数函数的单调性。

（3）知道指数函数x a y =与对数函数)1,0(log ≠>=a a x y a 互为反函数二、知识梳理：1.对数的概念：如果)1,0(≠>=a a N a b ，那么幂指数b 叫做以a 为底数的对数，记作 _____________，其中a 叫做底数，N 叫做____________.2.积、商、幂、方根的对数（N M ,都是正数，,0>a 且)0,1≠≠n a（1）=⨯)(log N M a __________（2）=MN alog ___________（3）=n a M log ________ 3.对数的换底公式及对数的恒等式（供选用）（1）=N a a log _____（对数恒等式）（2）=n a a log ______ 3）a N N b b a log log log =（换底公式）（4）a b b a log 1log =（5）n a a N N n log log =1、设c b a ,,均为正数，且a a 21log 2=，b b 21log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛，c c2log 21=⎪⎭⎫ ⎝⎛.则（） A.c b a << B. a b c << C. b a c << D. c a b <<2、设1a >，函数()log a f x x =在区间[,2]a a 上的最大值与最小值之差为12，则a = A ．2 C ．．43、已知函数2sin1()log (65)f x x x =-+在(,)a +∞上是减函数,则实数a 的取值范围( )A. （5，+∞）B. （3，+∞）C. （-∞，3）D. [5,)+∞4、已知函数)1(),2lg()(≥-=x b x f x 的值域是[),0+∞则（）A.1≤bB.1<bC.1≥bD.1=b5、55ln ,33ln ,22ln ===c b a 则（） A. c b a << B.a b c << C.b a c << D.c a b <<6、（08重庆）已知1249a =(a>0) ，则23log a = . 7、已知函数)3(x f y =的定义域是][2,1，则函数)(log 2x f y =的定义域是8、函数)43(log )(231--=x x x f 的单调增区间是_________9、已知函数]1)1()1lg[()(22+++-=x a x a x f （1）若)(x f 得定义域为),(+∞-∞，求实数a 的取值范围；（2）若)(x f 的值域为),(+∞-∞，求实数a 的取值范围。

高考数学一轮复习 3.2.2 对数函数(一)备考练习苏教版

3.2.2 对数函数(一)一、基础过关1．函数f (x )＝1－2log 6x 的定义域为________．2．函数y ＝3x (－1≤x <0)的反函数为________．3．已知函数y ＝e x 的图象与函数y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称，则f (2x )＝________________.4．设集合M ＝{y |y ＝(12)x ，x ∈[0，＋∞)}，N ＝{y |y ＝log 2x ，x ∈(0,1]}，则集合M ∪N ＝________. 5．如果函数f (x )＝(3－a )x，g (x )＝log a x 的增减性相同，则a 的取值范围是________．6．已知函数y ＝log a (x －3)－1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是________．7．求下列函数的定义域与值域：(1)y ＝log 2(x －2)；(2)y ＝log 4(x 2＋8)．8．设函数f (x )＝ln(x 2＋ax ＋1)的定义域为A .(1)若1∈A ，－3D ∈/A ，求实数a 的范围；(2)若函数y ＝f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围．二、能力提升9．已知x ＝ln π，y ＝log 52，z ＝e －12，则x ，y ，z 的大小关系为________． 10．若log a 23<1，则a 的取值范围是____________． 11．函数f (x )＝log 3(2x 2－8x ＋m )的定义域为R ，则m 的取值范围是________．12．已知函数f (x )＝log a (1＋x )，g (x )＝log a (1－x )，a >0，且a ≠1.(1)设a ＝2，函数f (x )的定义域为[3,63]，求函数f (x )的最值；(2)求使f (x )－g (x )>0的x 的取值范围．三、探究与拓展13．若不等式x 2－log m x <0在(0，12)内恒成立，求实数m 的取值范围．答案1．(0，6]2．y ＝log 3x (13≤x <1)3．ln 2＋ln x (x >0)4．(－∞，1]5．(1,2)6．(4，－1)7．解 (1)由x －2>0，得x >2，所以函数y ＝log 2(x －2)的定义域是(2，＋∞)，值域是R .(2)因为对任意实数x ，log 4(x 2＋8)都有意义，所以函数y ＝log 4(x 2＋8)的定义域是R .又因为x 2＋8≥8，所以log 4(x 2＋8)≥log 48＝32，即函数y ＝log 4(x 2＋8)的值域是[32，＋∞)．8．解 (1)由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ 1＋a ＋1>09－3a ＋1≤0，所以a ≥103.故实数a 的范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫103，＋∞.(2)由题意，得x 2＋ax ＋1>0在R 上恒成立，则Δ＝a 2－4<0，解得－2<a <2. 故实数a 的范围为(－2,2)．9．y <z <x解析 ∵x ＝ln π>ln e，∴x >1.∵y ＝log 52<log 55，∴0<y <12.∴z ＝e －12＝1e >14＝12，∴12<z <1.综上可得，y <z <x .10．(0，23)∪(1，＋∞)解析由log a 23<1得：log a 23<log a a .当a >1时，有a >23，即a >1；当0<a <1时，则有a <23，即0<a <23. 综上可知，a 的取值范围是(0，23)∪(1，＋∞)． 11．(8，＋∞)12．解 (1)当a ＝2时，函数f (x )＝log 2(x ＋1)为[3,63]上的增函数，故f (x )max ＝f (63)＝log 2(63＋1)＝6，f (x )min ＝f (3)＝log 2(3＋1)＝2.(2)f (x )－g (x )>0，即log a (1＋x )>log a (1－x )，①当a >1时，1＋x >1－x >0，得0<x <1.②当0<a <1时，0<1＋x <1－x ，得－1<x <0.13．解由x 2－log m x <0，得x 2<log m x ，要使x 2<log m x 在(0，12)内恒成立，只要y ＝log m x 在(0，12)内的图象在y ＝x 2的上方，于是0<m <1.在同一坐标系中作y ＝x 2和y ＝log m x 的草图，如图所示．∵x ＝12时，y ＝x 2＝14， ∴只要x ＝12时，y ＝log m 12≥14＝log m m 14. ∴12≤m 14，即116≤m .又0<m <1， ∴116≤m <1，即实数m 的取值范围是[116，1)．。

【步步高】高考数学一轮复习习题课备考练习苏教版

习题课一、基础过关1．一个单位有职工160人，其中有业务人员104人，管理人员32人，后勤服务人员24人，要从中抽取一个容量为20的样本，用分层抽样方法抽出样本，则在20人的样本中应抽取管理人员的人数为________．2．下列抽样中，最适宜用系统抽样法的是________．①某市的4个区共有2 000名学生，且4个区的学生人数之比为3∶2∶8∶2，从中抽取200人做样本②从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取5个做样本③从某厂生产的2 000个电子元件中随机抽取200个做样本④从某厂生产的20个电子元件中随机抽取5个做样本3．一段高速公路有300个太阳能标志灯，其中进口的有30个，联合研制的有75个，国产的有195个，为了掌握每个标志灯的使用情况，要从中抽取一个容量为20的样本，若采用分层抽样的方法，抽取的进口的标志灯的数量为________．4．一个单位有职工800人，其中具有高级职称的160人，具有中级职称的320人，具有初级职称的200人，其余人员120人．为了了解职工收入情况，决定采用分层抽样的方法，从中抽取容量为40的样本．则从上述各层中依次抽取的人数分别是________．5．某单位200名职工的年龄分布情况如图，现要从中抽取40名职工作样本．用系统抽样法，将全体职工随机按1～200编号，并按编号顺序平均分为40组(1～5号，6～10号，…，196～200号)．若第5组抽出的号码为22，则第8组抽出的号码应是______．若用分层抽样方法，则40岁以下年龄段应抽取________人．6．某校有老师200人，男学生1 200人，女学生1 000人．现用分层抽样的方法从所有师生中抽取一个容量为n的样本；已知从女学生中抽取的人数为80人，则n＝________. 7．某学校为了了解2012年高考语文科的考试成绩，计划在高考后对1 200名学生进行抽样调查，其中文科300名考生，理科600名考生，艺术类考生200人，体育类考生70人，外语类考生30人，如果要抽120人作为调查分析对象，则按科目分别应抽多少考生？8．某校500名学生中，O型血有200人，A型血有125人，B型血有125人，AB型血有50人，为了研究血型与色弱的关系，需从中抽取一个容量为20的样本．怎样抽取样本？二、能力提升9．某学校有高一学生720人，现从高一、高二、高三这三个年级学生中采用分层抽样的方法，抽取180人进行英语水平测试．已知抽取的高一学生数是抽取的高二学生数、高三学生总数的一半，且高二年级抽取40人，则该校高三学生人数是________．10．某高中在校学生2 000人，高一年级与高二年级人数相同并都比高三年级多1人．为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动．每人都参加而且只参与了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：其中a∶b∶c＝2∶3∶5，全校参与登山的人数占总人数的5.为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取________人．11．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，该企业统计员制作了如下的统计表格：A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件．12．某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中的一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%.登山组的职工占参加活动总人数的14，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同年龄层次的职工对本次活动的满意程度，现用分层抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取一个容量为200的样本．(1)在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别所占的比例；(2)在游泳组中，试确定青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．三、探究与拓展13．选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程．(1)有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个．(2)有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个．(3)有甲厂生产的300个篮球，抽取10个．答案1． 4 2.③ 3.2 4.8,16,10,6 5.37 20 6．1927．解从1 200名考生中抽取120人作调查由于各科目考试人数不同，为了更准确地了解情况，可采用分层抽样，抽样时每层所抽人数按1∶10分配．∴300×110＝30(人)，600×110＝60(人)， 200×110＝20(人)，70×110＝7(人)，30×110＝3(人)．所以抽取的文科，理科，艺术类，体育类，外语类考生分别是30人，60人，20人，7人，3人．8．解用分层抽样抽取样本．∵20500＝250，即抽样比为250. ∴200×250＝8,125×250＝5， 50×250＝2. 故O 型血抽8人，A 型血抽5人，B 型血抽5人，AB 型血抽2人．抽样步骤：①确定抽样比250； ②按比例分配各层所要抽取的个体数，O 型血抽8人，A 型血抽5人，B 型血抽5人，AB 型血抽2人．③用简单随机抽样法分别在各种血型中抽取样本，直至取出容量为20的样本．9． 960 10．36 11．80012．解 (1)设登山组人数为x ，在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a 、b 、c ，则有x ×40%＋3xb 4x ＝47.5%，x ×10%＋3xc 4x＝10%；解得b ＝50%，c ＝10%. 故a ＝100%－50%－10%＝40%，即在游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%、50%、10%.(2)在游泳组中，抽取的青年人人数为200×34×40%＝60(人)；抽取的中年人人数为200×34×50%＝75(人)；抽取的老年人人数为200×34×10%＝15(人)． 13．解 (1)总体容量较小，用抽签法．①将30个篮球编号，号码为00,01， (29)②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签；③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本．(2)总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样法．①确定抽取个数．因为3010＝3，所以甲厂生产的应抽取213＝7(个)，乙厂生产的应抽取93＝3(个)；②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个．这些篮球便组成了我们要抽取的样本．(3)总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法．①将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001， (299)②在随机数表中随机的确定一个数作为开始，如第8行第4列的数“1”开始．任选一个方向作为读数方向，比如向右读；③从数“1”开始向右读，每次读三位，凡不在000～299中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，便可依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码．。

苏教版高考一轮数学理对数与对数函数一轮复习限时提分训练基础到提升含精细解析Word版含答案

对数与对数函数分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·河北质检)已知函数f (x )＝log 12(3x －a )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________. 解析由3x －a >0，得x >a 3.由题意，得a 3＝23，所以a ＝2.答案 22．(2013·南京鼓楼区调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________.解析因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ f (－2)＝3－2＝19.答案 193．(2011·北京海淀区期末)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，b ＝0.3－2，c ＝log 122，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3<⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，即0<a <1，同理b >1，而c ＝－1，因此b >a >c .答案 b >a >c4．(2013·烟台调研)函数y ＝ln(1－x )的图象大致为________．解析由1－x >0，知x <1，排除①、②；设t ＝1－x (x <1)，因为t ＝1－x 为减函数，而y ＝ln t 为增函数，所以y ＝ln(1－x )为减函数，故选③. 答案 ③5．(2012·烟台调研)若实数x 满足log 3 x ＝1＋sin θ，则|x －1|＋|x －9|的值为________．解析 log 3 x ＝1＋sin θ∈[0,2]，x ＝31＋sin θ∈[1,9]，|x －1|＋|x －9|＝x －1＋9－x ＝8. 答案 86．(2012·南京师大附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ＜0.若f (3－2a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围为________．解析画图象可得f (x )是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数，于是由f (3－2a 2)＞f (a )，得3－2a 2＜a ，即2a 2＋a －3＞0，解得a ＜－32或a ＞1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞) 二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a ＞0，且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由题设知3－ax >0对一切x ∈[0,2]恒成立，又a >0且a ≠1，故g (x )＝3－ax 在[0,2]上为减函数，从而g (2)＝3－2a >0，所以a <32，所以a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，由题设知f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，得a ＝32，此时f (x )＝log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x ，当x ＝2时，f (x )没有意义，故这样的实数a 不存在．8．(2012·泰州学情调查)已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (x ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )－m ＝0有解，求m 的取值范围．解 (1)由函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (x ∈R )是偶函数，可知f (x )＝f (－x )．所以log 4(4x＋1)＋kx ＝log 4(4－x＋1)－kx ，即log 44x＋14－x ＋1＝－2kx .所以log 44x＝－2kx .所以x ＝－2kx 对x ∈R 恒成立．所以k ＝－12.(2)由m ＝f (x )＝log 4(4x＋1)－12x ，所以m ＝log 44x＋12x ＝log 4⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x .因为2x＋12x ≥2，所以m ≥12.故要使方程f (x )－m ＝0有解的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.分层训练B 级创新能力提升1．(2013·绍兴模拟)函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间是________．解析设t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 12t .由t ＞0解得x ＜－1或x ＞3，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．∴t ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4在(－∞，－1)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数．而函数y ＝log 12t 为关于t 的减函数，所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)．答案 (－∞，－1)2．(2013·莱芜检测)已知表中的对数值有且只有一个是错误的.x3 5 6 8 9 lg x2a －ba ＋c －11＋a －b －c3(1－a －c )2(2a －b )试将错误的对数值加以改正为________．解析由2a －b ＝lg 3，得lg 9＝2lg 3＝2(2a －b )，从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5＝a ＋c －1错误，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －b －c ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，31－a －c ＝lg 8＝3lg 2，得⎩⎪⎨⎪⎧lg 2＝1－a －c ，lg 3＝2a －b ，所以lg 5＝1－lg 2＝a ＋c .因此lg 5＝a ＋c －1错误，正确结论是lg 5＝a ＋c . 答案 lg 5＝a ＋c3．设min{p ，q }表示p ，q 两者中的较小者，若函数f (x )＝min{3－x ，log 2x }，则满足f (x )＜12的集合为________．解析画出y ＝f (x )的图象，且由log 2x ＝12，得x ＝2；由3－x ＝12，得x ＝52.从而由f (x )＜12，得0＜x ＜2或x ＞52.答案 (0，2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ 4．(2011·安徽卷改编)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是________(填序号)．①⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，b ；②(10a,1－b )；③⎝ ⎛⎭⎪⎫10a，b ＋1；④(a 2,2b )．解析由点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，知b ＝lg a .对于①，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ，b ，当x ＝1a 时，y ＝lg 1a＝－lg a ＝－b ≠b ，∴不在图象上．对于②，点(10a,1－b )，当x ＝10a 时，y ＝lg(10a )＝lg 10＋lg a ＝1＋b ≠1－b ，∴不在图象上．对于③，点⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1，当x ＝10a 时，y ＝lg 10a＝1－lg a ＝1－b ≠b ＋1，∴不在图象上．对于④，点(a 2,2b )，当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，∴该点在此图象上．答案 ④5．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并给出证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围．解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，所以－1＜x ＜1，所以f (x )的定义域为(－1,1)．(2)f (x )为奇函数．因为f (x )定义域为(－1,1)，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(3)因为a ＞1，∴f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的取值范围为(0,1)． 6．已知函数f (x )＝－x ＋log 21－x1＋x .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x1－x＝log 21＝0.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0.(2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)，当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减， ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a.。

版高考数学一轮复习第2章对数与对数函数配套文档理苏教版

第6讲对数与对数函数对应学生用书P24考点梳理1．对数 (1)对数的概念如果a (a >0，a ≠1)的b 次幂等于N ，就是a b＝N ，那么数b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N ＝b ，其中a 叫做对数的底数，N 叫做对数的真数． (2)常用对数与自然对数通常将log 10N 叫做常用对数，记作lg_N .自然对数：通常将以无理数e ＝2.718 28 …为底的对数叫做自然对数，记作ln_N . (3)对数的性质①零和负数没有对数；②log a 1＝0(a >0，且a ≠1)；③log a a ＝1(a >0，且a ≠1)；④a log a N ＝N (a >0，且a ≠1，N >0)．⑤log a a m＝m (a ＞0，a ≠1)． 2．对数的运算法则如果a >0，a ≠1，M >0，N >0，那么(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；(2)log a M N＝log a M －log a N ； (3)log a M n＝n log a M (n ∈R )；(4)log a M ＝log c M log c a (c >0，且c ≠1)．3．对数函数的图象与性质一个考情快递本讲知识在高考中，主要考查对数式的运算，指数式与对数式的互化，对数函数的图象和性质或由对数函数复合成的函数，大多涉及比较大小、奇偶性、过定点、单调区间以及运用单调性求最值等．以填空题为主，为容易题，在解答题中更有可能以命题背景的形式出现．对数值的大小比较方法(1)化同底后利用函数的单调性．(2)作差或作商法．(3)利用中间量(0或1)．(4)化同真数后利用图象比较．考点自测1．(2012·唐山统考)已知2a ＝5b＝10，则1a ＋1b＝________.解析由2a ＝5b＝10，得a ＝12lg 2，b ＝12lg 5，所以1a ＋1b ＝2(lg 2＋lg 5)＝2lg 10＝2. 答案 22．函数y ＝log 0.5 4x 2－3x 的定义域是________．解析由题意知，log 0.5(4x 2－3x )≥0＝log 0.51，由于0＜0.5＜1，所以⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－3x ＞0，4x 2－3x ≤1.从而可得函数的定义域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1. 答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫－14，0∪⎝ ⎛⎦⎥⎤34，1 3．(2013·盐城检测)已知f (x )＝lg(－x 2＋8x －7)在(m ，m ＋1)上是增函数，则m 的取值范围是________．解析由－x 2＋8x －7＞0，得x 2－8x ＋7＜0，解得1＜x ＜7.又由－x 2＋8x －7＝－(x 2－8x )－7＝－(x －4)2＋9，得f (x )的增区间为(1,4]，于是有(m ，m ＋1)⊆(1,4]，所以1≤m ≤3. 答案 [1,3]4．(2013·盐城检测)已知f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，则函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值是________．解析 ∵f (x )＝log 3x ＋2(x ∈[1,9])，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)中x 满足1≤x ≤9且1≤x 2≤9.∴1≤x ≤3， ∴0≤log 3x ≤1.所以y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(log 3x ＋2)2＋log 3x 2＋2 ＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3. 所以当x ＝3时，y max ＝13.答案 135．(2012·南师大附中模拟)已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (k ∈R )是偶函数，则k 的值为________．解析由f (－x )＝f (x )，得log 4(4－x＋1)－kx ＝log 4(4x＋1)＋kx ，即2kx ＝log 4⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋4x4x －log 4(4x＋1)＝log 414x ＝－x ，所以k ＝－12.答案－12对应学生用书P24考向一对数式的化简与求值【例1】 (1)计算lg 2＋lg 5－lg 8lg50－lg40；(2)设3a ＝4b＝36，求2a ＋1b的值．解 (1)lg 2＋lg 5－lg 8lg 50－lg 40＝lg 2×58lg 5040＝lg54lg 54＝1.(2)由3a＝36,4b＝36得a ＝log 336，b ＝log 436. 由换底公式得：1a ＝log 363，1b＝log 364，∴2a ＋1b＝2log 363＋log 364＝log 3636＝1.[方法总结] (1)利用换底公式及log am N n＝nmlog a N (a ＞0，a ≠1，N ＞0)，尽量转化为同底的和、差、积、商的运算；(2)利用对数的运算法则，将对数的和、差、倍数运算，转化为对数真数的积、商、幂再运算．【训练1】计算：(1)lg 25＋lg 2·lg 50＋(lg 2)2； (2)(log 32＋log 92)·(log 43＋log 83)．解 (1)原式＝(lg 2)2＋(1＋lg 5)lg 2＋lg 52＝(lg 2＋lg 5＋1)lg 2＋2lg 5＝(1＋1)lg 2＋2lg 5＝2(lg 2＋lg 5)＝2.(2)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 2lg 9·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 3lg 4＋lg 3lg 8＝⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 2lg 3＋lg 22lg 3·⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 32lg 2＋lg 33lg 2＝3lg 22lg 3·5lg 36lg 2＝54.考向二对数函数图象及其应用【例2】 (1)已知函数f (x )＝|log 2x |，正实数m ，n 满足m ＜n 且f (m )＝f (n )，若f (x )在区间[m 2，n ]上的最大值为2，则m ，n 的值分别为________．(2)(2011·湖南卷改编)设直线x ＝t 与函数f (x )＝x 2，g (x )＝ln x 的图象分别交于点M ，N ，则当|MN |达到最小时t 的值为________．解析(1)f (x )＝|log 2x |的图象如图所示，于是由0＜m ＜n 时，f (m )＝f (n )，得0＜m ＜1＜n ，又由f (m )＝f (n )，得|log 2m |＝|log 2n |，即－log 2m ＝log 2n ，log 2(mn )＝0，所以mn ＝1.因为0＜m 2＜m ＜1，且f (x )在(0,1)上单调递减，所以f (x )在[m 2，n ]上的最大值为f (m 2)＝|log 2m 2|＝－2log 2m ＝2，解得m ＝12，从而n ＝2，故m ＝12，n ＝2.(2)如图，|MN |＝t 2－ln t ，令h (t )＝t 2－ln t (t >0)， ∵h ′(t )＝2t －1t ＝2t 2－1t，∴易知0<t <22时，h ′(t )<0； t >22时，h ′(t )>0.于是可判断当t ＝22时，|MN |取得最小值．答案 (1)12；2 (2)22[方法总结] (1)数形结合是解函数问题的基本方法之一，若函数部分带有绝对值，通过分类讨论或图象法求解往往较为方便．(2)作一些复杂函数的图象，首先应分析它可以从哪一个基本函数的图象变换过来．一般是先作出基本函数的图象，通过平移、对称、翻折等方法，得出所求函数的图象．【训练2】 (2013·泰州学情调研)已知函数f (x )＝|lg x |，若0＜a ＜b ，且f (a )＝f (b )，则a ＋2b 的取值范围是________．解析由题意，知0＜a ＜1＜b ，于是由|lg a |＝|lg b |，得－lg a ＝lg b ，所以lg ab ＝0，ab ＝1，所以a ＋2b ＝a ＋2a，可判断此函数在(0,1)上为减函数，所以a ＋2b ＞3.答案 (3，＋∞)考向三对数函数的性质及其应用【例3】 (1)(2012·南通四校联考)若函数f (x )＝log a (x 3－ax )(a >0，a ≠1)在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递增，则a 的取值范围是________． (2)(2012·无锡一中期中调研)已知函数f (x )＝log a (2x －a )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23上恒有f (x )>0，则实数a 的取值范围是________．解析 (1)设u (x )＝x 3－ax ，由复合函数的单调性，可分0<a <1和a >1两种情况讨论：①当0<a <1时，u (x )＝x 3－ax 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递减，即u ′(x )＝3x 2－a ≤0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上恒成立．∴a ≥34，∴34≤a ＜1；②当a >1时，u (x )＝x 3－ax 在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上单调递增，即u ′(x )＝3x 2－a ≥0在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上恒成立，∴a ≤0，∴a 无解，综上，可知34≤a ＜1.(2)∵log a (2x －a )>0对∀x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，23恒成立，∴①⎩⎪⎨⎪⎧ a >1，2x －a >1⇒⎩⎪⎨⎪⎧a >1，a <2x －1，(2x －1)min ＝0，∴a <0，无解，舍去；②⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<2x －a <1⇒⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，2x －1<a <2x ，∵(2x －1)max ＝13，(2x )min ＝1，则13<a <1，综上可知，13<a <1.答案 (1)⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，1 (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 [方法总结] 对数函数与其他基本初等函数复合，其性质较为复杂，可用复合函数的方法进行探求较为方便．【训练3】已知函数f (x )＝log a x (a ＞0，a ≠1)对任意的x ∈[2，＋∞)，恒有|f (x )|≥1成立，则a 的取值范围为________．解析若a ＞1，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log a x ＞0，所以|f (x )|＝f (x )＝log a x 在[2，＋∞)上是增函数，因此由|f (x )|≥1对任意x ∈[2，＋∞)恒成立，得log a 2≥1，解得1＜a ≤2.若0＜a ＜1，当x ∈[2，＋∞)时，f (x )＝log a x ＜0，所以|f (x )|＝－f (x )＝－log a x 在[2，＋∞)上是增函数，因此由|f (x )|≥1对任意x ∈[2，＋∞)恒成立，得－log a 2≥1，解得12≤a ＜1.综上，得1＜a ≤2或12≤a ＜1.答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，1∪(1,2]对应学生用书P26热点突破8 与指数、对数函数求值问题有关的解题方法关于指数与对数函数问题，高考中除与导数有关的综合问题外，一般还出一道填空题，考查其图象与性质，其中与求值或取值范围有关的问题是热点，难度虽然不大，但要注意分类讨论．一、与对数函数有关的求值问题【示例】 (2012·北京卷)已知函数f (x )＝lg x ，若f (ab )＝1，则f (a 2)＋f (b 2)＝________. [审题与转化] 第一步：f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2 lg ab ＝2f (ab )．[规范解答] 第二步：因为f (ab )＝1，所以f (a 2)＋f (b 2)＝lg a 2＋lg b 2＝2lg a ＋2lg b ＝2lg ab ＝2f (ab )＝2.故f (a 2)＋f (b 2)＝2.[反思与回顾] 第三步：本题是逆用对数函数的运算求函数的值，其中等价转化是关键．二、解与对数函数有关的不等式问题【示例】 (2011·辽宁卷改编)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x ＞1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围为________． [审题与转化] 第一步：分段函数分段求解． [规范解答] 第二步：当x ≤1时，21－x≤2，解得x ≥0，所以0≤x ≤1.当x ＞1时，1－log 2x ≤2，解得x ≥12，所以x ＞1.综上所述，f (x )≤2的x 的取值范围是[0，＋∞)．[反思与回顾] 第三步：解这类问题，分类讨论是关键，另外还可用函数单调性直接求解．高考经典题组训练1．(2012·安徽卷改编)(log 29)·(log 34)＝________.解析 (log 29)(log 34)＝log 232·log 322＝2log 23·2log 32＝4lg 3lg 2·lg 2lg 3＝4.答案 42．(2011·陕西卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，x >0，10x，x ≤0，则f (f (－2))＝________.解析因为f (－2)＝10－2，所以f (f (－2))＝f (10－2)＝ lg 10－2＝－2. 答案－23．(2012·新课标全国卷改编)当0<x ≤12时，4x<log a x ，则a 的取值范围为________．解析当a >1时，y ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上恒为负数，而4x>0，所以不等式不成立．当0<a <1时，令f (x )＝4x－log a x ，则f (x )在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上为增函数，所以由f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝412－log a12＝2－log a 12<0，得log a 12>2，解得22<a <1.综上，得22<a <1. 答案 ⎝⎛⎭⎪⎫22，1 4．(2012·上海卷改编)已知函数f (x )＝lg(x ＋1)． (1)当0<f (1－2x )－f (x )<1，求x 的取值范围；(2)若g (x )是以2为周期的偶函数，且当0≤x ≤1时，有g (x )＝f (x )，求函数y ＝g (x )(x ∈[1,2])的值域．解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧2－2x >0，x ＋1>0得－1<x <1.由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2xx ＋1<1，得1<2－2x x ＋1<10.因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得－23<x <13.于是由⎩⎪⎨⎪⎧－1<x <1，－23<x <13，得－23<x <13.(2)当x ∈[1,2]时，2－x ∈[0,1]，因此y ＝g (x )＝g (x －2)＝g (2－x )＝f (2－x )＝lg(3－x )．由g (x )的单调性可得y ∈[0，lg 2]．对应学生用书P259分层训练A 级基础达标演练 (时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2012·河北质检)已知函数f (x )＝log 12(3x －a )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫23，＋∞，则a ＝________. 解析由3x －a >0，得x >a 3.由题意，得a 3＝23，所以a ＝2.答案 22．(2013·南京鼓楼区调研)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝________.解析因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 214＝－2，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝ f (－2)＝3－2＝19.答案 193．(2011·北京海淀区期末)若a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3，b ＝0.3－2，c ＝log 122，则a ，b ，c 的大小关系为________．解析 0<⎝ ⎛⎭⎪⎫120.3<⎝ ⎛⎭⎪⎫120＝1，即0<a <1，同理b >1，而c ＝－1，因此b >a >c .答案 b >a >c4．(2013·烟台调研)函数y ＝ln(1－x )的图象大致为________．解析由1－x >0，知x <1，排除①、②；设t ＝1－x (x <1)，因为t ＝1－x 为减函数，而y ＝ln t 为增函数，所以y ＝ln(1－x )为减函数，故选③. 答案 ③5．(2012·烟台调研)若实数x 满足log 3 x ＝1＋sin θ，则|x －1|＋|x －9|的值为________．解析 log 3 x ＝1＋sin θ∈[0,2]，x ＝31＋sin θ∈[1,9]，|x －1|＋|x －9|＝x －1＋9－x ＝8. 答案 86．(2012·南京师大附中模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1，x ≥0，⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1，x ＜0.若f (3－2a 2)＞f (a )，则实数a 的取值范围为________．解析画图象可得f (x )是(－∞，＋∞)上连续的单调减函数，于是由f (3－2a 2)＞f (a )，得3－2a 2＜a ，即2a 2＋a －3＞0，解得a ＜－32或a ＞1.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－32∪(1，＋∞) 二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知函数f (x )＝log a (3－ax )(a ＞0，且a ≠1)．(1)当x ∈[0,2]时，函数f (x )恒有意义，求实数a 的取值范围；(2)是否存在这样的实数a ，使得函数f (x )在区间[1,2]上为减函数，并且最大值为1，如果存在，试求出a 的值；如果不存在，请说明理由．解 (1)由题设知3－ax >0对一切x ∈[0,2]恒成立，又a >0且a ≠1，故g (x )＝3－ax 在[0,2]上为减函数，从而g (2)＝3－2a >0，所以a <32，所以a 的取值范围为(0,1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)假设存在这样的实数a ，由题设知f (1)＝1，即log a (3－a )＝1，得a ＝32，此时f (x )＝log 32⎝ ⎛⎭⎪⎫3－32x ，当x ＝2时，f (x )没有意义，故这样的实数a 不存在．8．(2012·泰州学情调查)已知函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (x ∈R )是偶函数． (1)求k 的值；(2)若方程f (x )－m ＝0有解，求m 的取值范围．解 (1)由函数f (x )＝log 4(4x＋1)＋kx (x ∈R )是偶函数，可知f (x )＝f (－x )．所以log 4(4x＋1)＋kx ＝log 4(4－x＋1)－kx ，即log 44x＋14－x ＋1＝－2kx .所以log 44x＝－2kx .所以x ＝－2kx 对x ∈R 恒成立．所以k ＝－12.(2)由m ＝f (x )＝log 4(4x＋1)－12x ，所以m ＝log 44x＋12x ＝log 4⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋12x .因为2x＋12x ≥2，所以m ≥12.故要使方程f (x )－m ＝0有解的m 的取值范围为⎣⎢⎡⎭⎪⎫12，＋∞.分层训练B 级创新能力提升1．(2013·绍兴模拟)函数f (x )＝log 12(x 2－2x －3)的单调递增区间是________．解析设t ＝x 2－2x －3，则y ＝log 12t .由t ＞0解得x ＜－1或x ＞3，故函数的定义域为(－∞，－1)∪(3，＋∞)．∴t ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4在(－∞，－1)上为减函数，在(3，＋∞)上为增函数．而函数y ＝log 12t 为关于t 的减函数，所以函数f (x )的单调增区间为(－∞，－1)．答案 (－∞，－1)2．(2013·莱芜检测)已知表中的对数值有且只有一个是错误的.解析由2a －b ＝lg 3，得lg 9＝2lg 3＝2(2a －b )，从而lg 3和lg 9正确，假设lg 5＝a ＋c －1错误，由⎩⎪⎨⎪⎧1＋a －b －c ＝lg 6＝lg 2＋lg 3，3 1－a －c ＝lg 8＝3lg 2，得⎩⎪⎨⎪⎧lg 2＝1－a －c ，lg 3＝2a －b ，所以lg 5＝1－lg 2＝a ＋c .因此lg 5＝a ＋c －1错误，正确结论是lg 5＝a ＋c . 答案 lg 5＝a ＋c3．设min{p ，q }表示p ，q 两者中的较小者，若函数f (x )＝min{3－x ，log 2x }，则满足f (x )＜12的集合为________．解析画出y ＝f (x )的图象，且由log 2x ＝12，得x ＝2；由3－x ＝12，得x ＝52.从而由f (x )＜12，得0＜x ＜2或x ＞52.答案 (0，2)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫52，＋∞ 4．(2011·安徽卷改编)若点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，a ≠1，则下列点也在此图象上的是________(填序号)．①⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，b ；②(10a,1－b )；③⎝ ⎛⎭⎪⎫10a，b ＋1；④(a 2,2b )．解析由点(a ，b )在y ＝lg x 图象上，知b ＝lg a .对于①，点⎝ ⎛⎭⎪⎫1a，b ，当x ＝1a 时，y ＝lg 1a＝－lg a ＝－b ≠b ，∴不在图象上．对于②，点(10a,1－b )，当x ＝10a 时，y ＝lg(10a )＝lg 10＋lg a ＝1＋b ≠1－b ，∴不在图象上．对于③，点⎝ ⎛⎭⎪⎫10a ，b ＋1，当x ＝10a 时，y ＝lg 10a＝1－lg a ＝1－b ≠b ＋1，∴不在图象上．对于④，点(a 2,2b )，当x ＝a 2时，y ＝lg a 2＝2lg a ＝2b ，∴该点在此图象上．答案 ④5．已知函数f (x )＝log a (x ＋1)－log a (1－x )(a ＞0，a ≠1)． (1)求f (x )的定义域；(2)判断f (x )的奇偶性，并给出证明；(3)当a ＞1时，求使f (x )＞0的x 的取值范围．解 (1)因为⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1＞0，1－x ＞0，所以－1＜x ＜1，所以f (x )的定义域为(－1,1)．(2)f (x )为奇函数．因为f (x )定义域为(－1,1)，且f (－x )＝log a (－x ＋1)－log a (1＋x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．(3)因为a ＞1，∴f (x )在(－1,1)上单调递增，所以f (x )＞0⇔x ＋11－x＞1，解得0＜x ＜1.所以使f (x )＞0的x 的取值范围为(0,1)． 6．已知函数f (x )＝－x ＋log21－x1＋x .(1)求f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014的值；(2)当x ∈(－a ，a ]，其中a ∈(0,1)，a 是常数时，函数f (x )是否存在最小值？若存在，求出f (x )的最小值；若不存在，请说明理由．解 (1)由f (x )＋f (－x )＝log 21－x 1＋x ＋log 21＋x1－x ＝log 21＝0.∴f ⎝⎛⎭⎪⎫12 014＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12 014＝0.(2)f (x )的定义域为(－1,1)， ∵f (x )＝－x ＋log 2(－1＋2x ＋1)，当x 1<x 2且x 1，x 2∈(－1,1)时，f (x )为减函数， ∴当a ∈(0,1)，x ∈(－a ，a ]时f (x )单调递减， ∴当x ＝a 时，f (x )min ＝－a ＋log 21－a1＋a.第7讲函数的图象及其应用对应学生用书P26考点梳理1．常见函数的图象常见函数的图象：一次函数、二次函数、正比例函数，反比例函数、指数函数、对数函数．2．图象的变换 (1)平移变换①水平平移：y ＝f (x ±a )(a ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向左(＋)或向右(－)平移a 个单位而得到．②竖直平移：y ＝f (x )±b (b ＞0)的图象，可由y ＝f (x )的图象向上(＋)或向下(－)平移b 个单位而得到． (2)对称变换①y ＝f (－x )与y ＝f (x )的图象关于y 轴对称． ②y ＝－f (x )与y ＝f (x )的图象关于x 轴对称． ③y ＝－f (－x )与y ＝f (x )的图象关于原点对称． ④y ＝f －1(x )与y ＝f (x )的图象关于直线y ＝x 对称． (3)翻折变换①作出y ＝f (x )的图象，将图象位于x 轴下方的部分以x 轴为对称轴翻折到上方，其余部分不变，即得到y ＝|f (x )|的图象；②作出y ＝f (x )在y 轴上及y 轴右边的图象部分，并把y 轴左边的图象关于y 轴对称翻折到y 轴右边，即得y ＝f (|x |)的图象． (4)伸缩变换①y ＝af (x )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )图象上每点的纵坐标伸(a ＞1时)缩(a ＜1时)到原来的a 倍．②y ＝f (ax )(a ＞0)的图象，可将y ＝f (x )的图象上每点的横坐标伸(a ＜1时)缩(a ＞1时)到原来的1a倍．3．识图与用图(1)对于给定函数的图象，要能从图象的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性，注意图象与函数解析式中参数的关系．(2)函数图象形象地显示了函数的性质，为研究数量关系提供了“形”的直观性，它是探求解题路径，获得问题结果的重要工具，要重视数形结合思想的应用．【助学·微博】一个复习指导函数图象是研究函数性质、方程、不等式的重要工具，是数形结合的基础，是高考考查的热点，应重点复习，主要在审题、识图上多下功夫，学会分析“数”与“形”的结合点，把常见的基本题型的解法技巧理解透，掌握好．考点自测1．已知函数y ＝log 2x 与y ＝kx 的图象有公共点A ，且点A 的横坐标为12，则k ＝________.答案－22．为了得到函数y ＝lgx ＋310的图象，只需把函数y ＝lg x 的图象上所有的点向________平移3个单位长度，再向________平移________个长度单位．答案左下 13．函数y ＝3x －1x ＋2的图象关于________对称．解析 y ＝3x －1x ＋2＝3－7x ＋2，∵y ＝－1x 关于点(0,0)对称，∴y ＝3－7x ＋2关于点(－2,3)对称．答案点(－2,3)4．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，那么不等式f (x )≥1的解集为________．解析由题意得，当x >0时，由f (x )≥1得log 3x ≥1，即x ≥3；当x ≤0时，由f (x )≥1得⎝ ⎛⎭⎪⎫13x≥1，即x ≤0.综上可得，不等式f (x )≥1的解集是(－∞，0]∪[3，＋∞)．答案 (－∞，0]∪[3，＋∞)5．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|(a ＞0，a ≠1)的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是________．解析当a ＞1时，y ＝2a ＞2，函数y ＝|a x－1|的图象如图(1)，此时直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|的图象只有一个交点．当0＜a ＜1时，y ＝2a ＜2；函数y ＝|a x－1|的图象如图(2)，当直线y ＝2a 与函数y ＝|a x－1|的图象有两个公共点，则0＜2a ＜1，∴0＜a ＜12.答案 0＜a ＜12对应学生用书P27考向一函数图象及其变换【例1】分别画出下列函数的图象． (1)y ＝|x 2－4x ＋3|；(2)y ＝2x ＋1x ＋1；(3)y ＝10|lg x |. 解 (1)先画函数y ＝x 2－4x ＋3的图象，再将其x 轴下方的图象翻折到x 轴上方，如图(1)．(2)y ＝2x ＋1x ＋1＝2 x ＋1 －1x ＋1＝2－1x ＋1，可由函数y ＝－1x向左平移1个单位，再向上平移2个单位，如图(2)．(3)y ＝10|lg x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x ≥1，1x，0＜x ＜1，如图(3)．[方法总结] (1)熟知一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图象，再掌握图象变换的规律作图．(2)掌握平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换、周期变换等常用的方法技巧，来帮助我们简化作图过程．【训练1】定义：若函数 f (x )的图象经过变换T 后所得的图象对应的函数与f (x )的值域相同，则称变换T 是f (x )的同值变换，下面给出了四个函数与对应的变换： ①f (x )＝(x －1)2，T ：将函数f (x )的图象关于y 轴对称； ②f (x )＝2x －1－1，T ：将函数f (x )的图象关于x 轴对称； ③f (x )＝xx ＋1，T ：将函数f (x )的图象关于点(－1,1)对称．其中T 是f (x )的同值变换的有________(写出所有符合题意的序号)．解析对于①：f (x )值域为[0，＋∞)，经变换T 后f (x )＝(x ＋1)2，值域也是[0，＋∞)．对于②：f (x )的值域为(－1，＋∞)，经变换T 后f (x )＝1－2x －1，值域为(－∞，1)．对于③：f (x )＝1－1x ＋1，其图象关于点(－1,1)对称，因此经变换T 后值域不变．答案 ①③考向二应用函数图象研究与方程有关的问题【例2】已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋t －1，g (x )＝x ＋e2x(x >0，其中e 表示自然对数的底数)．(1)若g (x )＝m 有零点，求m 的取值范围；(2)确定t 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．解 (1)法一 ∵g (x )＝x ＋e2x≥2e 2＝2e ，等号成立的条件是x ＝e. 故g (x )的值域是[2e ，＋∞)，因而只需m ≥2e，则g (x )＝m 就有零点．法二作出g (x )＝x ＋e2x的图象如图：可知若使g (x )＝m 有零点，则只需m ≥2e.法三解方程由g (x )＝m ，得x 2－mx ＋e 2＝0.此方程有大于零的根，故⎩⎪⎨⎪⎧m 2>0，Δ＝m 2－4e 2≥0等价于⎩⎪⎨⎪⎧m >0，m ≥2e或m ≤－2e ，故m ≥2e.(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )＝f (x )中函数g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，作出g (x )＝x ＋e2x(x >0)的图象．∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋t －1＝－(x －e)2＋t －1＋e 2. 其对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为t －1＋e 2.故当t －1＋e 2>2e ，即t >－e 2＋2e ＋1时，g (x )与f (x )有两个交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．∴t 的取值范围是(－e 2＋2e ＋1，＋∞)．[方法总结] (1)曲线交点、函数零点、方程解的个数问题常常转化为两个熟悉的函数的交点个数．利用此法也可由解的个数求参数值或范围．(2)从图象的最高点、最低点，分析函数的最值、极值；从图象的对称性分析函数的奇偶性；从图象的走向趋势分析函数的单调性、周期性等都是函数图象的基本应用．【训练2】 (2012·苏北四市调研)直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，则a 的取值范围是________．解析如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，观察图象可知，a 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，4a －14＜1，解得1＜a ＜54.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，54考向三应用函数图象研究与函数有关的综合性问题【例3】 (1)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是________．(2)(2012·苏州高三暑期自主学习调查)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧lg x ，0<x ≤10，⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12x ＋6，x >10，若a ，b ，c 互不相等，且f (a )＝f (b )＝f (c )，则a ＋b ＋c 的取值范围是________(填序号)．①(1,10) ②(5,6) ③(10,12) ④(25,34)解析 (1)由题意知，f (x )是周期为2的偶函数．在同一坐标系内作出函数y ＝f (x )及y ＝log 3|x |的图象，如下：观察图象可以发现它们有4个交点，即函数y ＝f (x )－log 3|x |有4个零点． (2)y ＝f (x )的图象如图所示，令f (a )＝f (b )＝f (c )＝t ，则由图象可得，当a <b <c 时，必有1<a <10，b ＋c ＝2×12＝24，所以25<a ＋b ＋c <34. 答案 (1)4 (2)④[方法总结] 通过作出函数y ＝|f (x )|与y ＝f (|x |)等图象，研究与函数有关的综合性问题是高考的热点之一．解这类问题，通过图象转化是关键．【训练3】 (1)(2011·山东卷改编)函数y ＝x2－2sin x 的图象大致是________．(2)函数y ＝e x＋e－xe x －e－x 的图象大致为________．解析 (1)y ′＝12－2cos x ，由y ′＝0，得cos x ＝14，则这个方程有无穷多解，即函数y＝x2－2sin x 有无穷多个极值点，又函数是奇函数，图象关于坐标原点对称．故选③.(2)y ＝e 2x＋1e 2x －1＝1＋2e 2x －1，当x >0时，e 2x－1>0且随着x 的增大而增大，故y ＝1＋2e 2x －1>1且随着x 的增大而减小，即函数y 在(0，＋∞)上恒大于1且单调递减，又函数y 是奇函数，故选①. 答案 (1)③ (2)①对应学生用书P261分层训练A 级基础达标演练(时间：30分钟满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．把函数f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得图象对应的函数解析式是________．解析把函数f(x)＝(x－2)2＋2的图象向左平移1个单位长度，得y＝[(x＋1)－2]2＋2＝(x－1)2＋2，再向上平移1个单位长度，得y＝(x－1)2＋2＋1＝(x－1)2＋3.答案y＝(x－1)2＋3.2．已知函数f(x)＝a x(a>0且a≠1)的图象上有两点P(2，y1)与Q(1，y2)，若y1－y2＝2，则a＝________.解析y1＝a2，y2＝a，于是a2－a＝2，得a＝2(a＝－1舍)．答案 23．观察相关的函数图象，对下列命题的真假情况进行判断：①10x＝x有实数解；②10x＝x2有实数解；③10x>x2在x∈(0，＋∞)上恒成立；④10x＝－x有两个相异实数解．其中真命题的序号为________．解析将上述①，④两个问题转化为指数函数y＝10x的图象与直线y＝x(或y＝－x)的交点问题来处理；将②，③两个问题转化为指数函数y＝10x的图象与二次函数y＝x2的图象的交点问题来处理．答案②③4.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]．若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图，则不等式f(x)＜0的解集是________．解析利用函数f(x)的图象关于原点对称．∴f(x)＜0的解集为(－2,0)∪(2,5)．答案(－2,0)∪(2,5)5．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则函数y ＝f(x)与y＝log5x的图象交点的个数为________．解析根据f(x＋1)＝f(x－1)，得f(x)＝f(x＋2)，则函数f(x)是以2为周期的函数，分别作出函数y＝f(x)与y＝log5x的图象(如图)，可知函数y＝f(x)与y＝log5x图象的交点个数为4.答案 46．设函数f (x )＝x |x |＋bx ＋c ，给出下列命题： ①b ＝0，c ＞0时，方程f (x )＝0只有一个实数根； ②c ＝0时，y ＝f (x )是奇函数； ③方程f (x )＝0至多有两个实根．上述三个命题中所有正确命题的序号为________．解析 ①f (x )＝x |x |＋c ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋c x ≥0 ，－x 2＋c x ＜0 ，如图甲，曲线与x 轴只有一个交点，所以方程f (x )＝0只有一个实数根，正确． ②c ＝0时，f (x )＝x |x |＋bx ，显然是奇函数． ③当c ＝0，b ＜0时，f (x )＝x |x |＋bx ＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋bx x ≥0 ，－x 2＋bx x ＜0 .如图乙，方程f (x )＝0可以有三个实数根．综上所述，正确命题的序号为①②. 答案 ①②二、解答题(每小题15分，共30分) 7．已知函数f (x )＝|x |(x －a )，a >0. (1)作出函数f (x )的图象； (2)写出函数f (x )的单调区间；(3)当x ∈[0,1]时，由图象写出f (x )的最小值．解 (1)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x x －a ，x ≥0，－x x －a ，x ＜0，其图象如图．(2)由图知，f (x )的单调递增区间是(－∞，0)和⎝ ⎛⎭⎪⎫a2，＋∞；单调递减区间是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，a 2.(3)结合图象知，当a2>1，即a >2时，所求最小值f (x )min ＝f (1)＝1－a ；当0<a2≤1，即0＜a ≤2时，所求最小值f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2＝－a 24. 8．已知函数f (x )＝|x 2－4x ＋3|.(1)求函数f (x )的单调区间，并指出其增减性；(2)求集合M ＝{m |使方程f (x )＝m 有四个不相等的实根}．思维启迪利用函数的图象可直观得到函数的单调性，方程解的问题可转化为函数图象交点的问题．解 f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x －2 2－1，x ∈ －∞，1]∪[3，＋∞－ x －2 2＋1，x ∈ 1，3作出函数图象如图．(1)函数的增区间为[1,2]，[3，＋∞)；函数的减区间为(－∞，1]，[2,3]．(2)在同一坐标系中作出y ＝f (x )和y ＝m 的图象，使两函数图象有四个不同的交点(如图)．由图知0<m <1，∴M ＝{m |0<m <1}．探究提高 (1)利用图象，可观察函数的对称性、单调性、定义域、值域、最值等性质． (2)利用函数图象可以解决一些形如f (x )＝g (x )的方程解的个数问题．分层训练B 级创新能力提升1.设f (x )表示－x ＋6和－2x 2＋4x ＋6中较小者，则函数f (x )的最大值是________．解析在同一坐标系中，作出y ＝－x ＋6和y ＝－2x 2＋4x ＋6的图象如图所示，可观察出当x ＝0时函数f (x )取得最大值6. 答案 62．若直线x ＝1是函数y ＝f (2x )的图象的一条对称轴，则f (3－2x )的图象关于直线________对称．答案 x ＝123.已知定义在区间[0,1]上的函数y ＝f (x )的图象如图所示．对满足0＜x 1＜x 2＜1的任意x 1，x 2，给出下列结论： ①f (x 1)－f (x 2)＞x 1－x 2； ②x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)； ③f x 1 ＋f x 22＜f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22.其中正确结论的序号是________．解析由f (x 2)－f (x 1)＞x 2－x 1，可得f x 2 －f x 1x 2－x 1＞1，即两点(x 1，f (x 1))与(x 2，f (x 2))的连线斜率大于1，显然①不正确；由x 2f (x 1)＞x 1f (x 2)得f x 1 x 1＞f x 2x 2，即表示两点(x 1，f (x 1))、(x 2，f (x 2))与原点连线的斜率的大小，可以看出结论②正确；结合函数图象，容易判断③的结论是正确的．答案 ②③4．(2012·淮安市模拟)若m －12<x ≤m ＋12(m 为整数)，则m 叫做离实数x 最近的整数，记作{x }，即{x }＝m .给出下列关于函数f (x )＝x －{x }的三个命题：①y ＝f (x )定义域为R ，值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－12，12；②y ＝f (x )是周期函数，最小正周期为1；③y ＝f (x )在定义域上是增函数．其中正确命题的序号是________．解析取m ＝－1,0,1,2，…，得f (x )＝x ＋1，－32<x ≤－12；f (x )＝x ，－12<x ≤12；f (x )＝x －1，12<x ≤32；f (x )＝x －2，32<x ≤52，…作出f (x )＝x －{x }的图象可知命题①②正确．答案 ①②5．已知不等式x 2－log a x <0，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时恒成立，求实数a 的取值范围．解由x 2－log a x <0，得x 2<log a x .设f (x )＝x 2，g (x )＝log a x .由题意知，当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方，如图，可知⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，⎝ ⎛⎭⎪⎫122≤log a 12，解得116≤a ＜1.∴实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫116，1.6．已知函数f (x )＝－aa x ＋a(a ＞0，a ≠1)．(1)证明函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称；(2)求f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)的值．(1)证明函数f (x )的定义域为R ，任意一点(x ，y )关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称的点的坐标为(1－x ，－1－y )．由已知，f (x )＝－aa x ＋a ，则－1－y ＝－1＋aa x ＋a ＝－a xa x ＋a .f (1－x )＝－aa 1－x ＋a ＝－aa a x＋a＝－a ·a xa ＋a ·a x ＝－a x a x ＋a，∴－1－y ＝f (1－x )．即函数y ＝f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－12对称．(2)解由(1)知有－1－f (x )＝f (1－x )．即f (x )＋f (1－x )＝－1.∴f (－2)＋f (3)＝f (－1)＋f (2)＝f (0)＋f (1)＝－1， ∴f (－2)＋f (－1)＋f (0)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝－3.第8讲函数与方程对应学生用书P29考点梳理1．函数的零点 (1)函数零点的定义一般地，我们把使函数y ＝f (x )的值为0的实数x 称为函数y ＝f (x )的零点． (2)几个等价关系方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．(3)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是f(x)＝0的根．2．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)零点的分布3.对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)·f(b)＜0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．【助学·微博】一个复习指导本讲复习时，应充分利用二次函数的图象，理顺三个“二次”的关系，进而把握函数与方程之间的关系，重点解决：(1)求函数的零点；(2)求方程解的个数；(3)根据函数零点情况求解参数的取值范围．另外，函数的零点问题常结合导数来考查，难度较大．零点存在性定理是函数y ＝f (x )存在零点的充分不必要条件若函数y ＝f (x )在闭区间[a ，b ]上的图象是连续不间断的，并且在区间端点的函数值符号相反，即f (a )·f (b )＜0，则函数y ＝f (x )在区间(a ，b )内有零点，即存在c ∈(a ，b )使f (c )＝0，这个c 就是方程f (x )＝0的根．这就是零点存在性定理．满足这些条件一定有零点，不满足这些条件也不能说就没有零点．如图，f (a )·f (b )＞0，f (x )在区间(a ，b )上存在零点，并且有两个．考点自测1．(2013·南京29中调研)函数f (x )＝x ＋log 2 x 的零点个数为________．解析数形结合求解．答案 12．(2013·扬州调研)若函数f (x )＝x 2＋2a |x |＋4a 2－3的零点有且只有一个，则实数a ＝________.解析因为f (x )是偶函数，若它只有一个零点，则f (0)＝0，所以4a 2－3＝0，a ＝±32.a ＝－32不合题意，故应舍去．答案323．(2013·泰州学情调查)已知函数f (x )＝3ax －2a ＋1在区间(－1,1)内存在x 0，使f (x 0)＝0，则实数a 的取值范围是________．解析由题意f (－1)f (1)＝(3a －2a ＋1)(－3a －2a ＋1)＝(a ＋1)(1－5a )＜0，所以a ＞15或a ＜－1.答案 (－∞，－1)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫15，＋∞ 4．(2012·淮安模拟)若函数f (x )＝log 3x ＋2x－a 在区间(1,2)内有零点，则实数a 的取值范围是________．解析由log 3x ＋2x －a ＝0，得a ＝log 3x ＋2x ，所以只要求函数y ＝log 3x ＋2x(x ∈(1,2))的值域．因为x ∈(1,2)，所以x ＋2x ∈(2,3)，log 3x ＋2x∈(log 32,1)，所以a ∈(log 32,1)．答案 (log 32,1)5．(2012·常州模拟)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2和3，则不等式af (－2x )＞0的解集是________．解析 ∵f (x )＝x 2＋ax ＋b 的两个零点是－2,3. ∴－2,3是方程x 2＋ax ＋b ＝0的两根，由根与系数的关系知⎩⎪⎨⎪⎧－2＋3＝－a ，－2×3＝b ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－6，∴f (x )＝x 2－x －6.∵不等式af (－2x )＞0，即－(4x 2＋2x －6)＞0⇔2x 2＋x －3＜0，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －32＜x ＜1.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－32＜x ＜1对应学生用书P30考向一判断函数在给定区间上零点的存在性【例1】 (1)(2011·山东卷)已知函数f (x )＝log a x ＋x －b (a ＞0，且a ≠1)．当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f (x )的零点x 0∈(n ，n ＋1)，n ∈N *，则n ＝________.(2)函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点位于区间(n ，n ＋1)(n ∈N )内，则n ＝________. 解析 (1)令y 1＝log a x ，y 2＝b －x ，函数f (x )的零点就是这两个函数图象交点的横坐标，由于直线y ＝b －x 在x 轴上的截距b 满足3<b <4，函数f (x )只有一个零点，且n 只能是1或者2.f (1)＝1－b <0，f (2)＝log a 2＋2－b <1＋2－3<0，f (3)＝log a 3＋3－b >1＋3－4＝0.根据函数零点定理可得函数f (x )的零点在区间(2,3)内，故n ＝2.(2)求函数f (x )＝3x －7＋ln x 的零点，可以大致估算两个相邻自然数的函数值，如f (2)＝－1＋ln 2，由于ln 2＜ln e ＝1，所以f (2)＜0，f (3)＝2＋ln 3，由于ln 3＞1，所以f (3)＞0，所以函数f (x )的零点位于区间(2,3)内，故n ＝2. 答案 (1)2 (2)2[方法总结] 判断函数在某个区间上是否存在零点，要根据具体题目灵活处理．当能直接求出零点时，就直接求出进行判断；当不能直接求出时，可根据零点存在性定理；当用零点存在性定理也无法判断时可画出图象判断．【训练1】 (1)(2010·天津卷改编)函数f (x )＝2x＋3x 的零点所在的一个区间是________(填序号)．①(－2，－1)；②(－1,0)；③(0,1)；④(1,2)．(2)设函数f (x )＝13x －ln x (x >0)，则y ＝f (x )满足________(填序号)．①在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点； ②在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点； ③在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点； ④在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．解析 (1)∵f ′(x )＝2x ln 2＋3>0，∴f (x )＝2x＋3x 在R 上是增函数．而f (－2)＝2－2－6<0，f (－1)＝2－1－3<0，f (0)＝20＝1>0，f (1)＝2＋3＝5>0，f (2)＝22＋6＝10>0，∴f (－1)·f (0)<0.故函数f (x )在区间(－1,0)上有零点． (2)f ′(x )＝13－1x ＝x －33x ，当x >3时，f ′(x )>0，当0<x <3时，f ′(x )<0，∴f (x )在(0,3)上递减，在(3，＋∞)上递增．又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ＝13e＋1>0，f (1)＝13>0，f (e)＝e 3－1<0，∴在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点．答案 (1)② (2)④考向二函数零点个数的判断【例2】 (1)(2012·大纲全国卷改编)已知函数y ＝x 3－3x ＋c 的图象与x 轴恰有两个公共点，则c ＝________.(2)已知2＜a ＜2，则函数f (x )＝a 2－x 2＋|x |－2的零点个数为________．解析 (1)f ′(x )＝3x 2－3＝3(x ＋1)(x －1)，则当x ＝－1或1时，f (x )取得极值．∴f (1)＝0或f (－1)＝0，即c －2＝0或c ＋2＝0，∴c ＝2或－2.(2)在同一坐标系中分别作出y ＝a 2－x 2及y ＝2－|x |的图象，得两个函数图象共有4个交点，所以函数f (x )的零点个数是4. 答案 (1)2或－2 (2)4[方法总结] 函数零点个数的判断方法：(1)直接求零点：令f (x )＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点；(2)零点存在性定理：利用定理不仅要求函数在区间[a ，b ]上是连续不断的曲线，且f (a )·f (b )<0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点；(3)利用图象交点的个数：画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．【训练2】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x ＞0，则函数y ＝f [f (x )]＋1的零点个数是________．(2)(2012·福建卷)对于实数a和b ，定义运算“*”：a *b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a 2－ab ，a ≤b ，b 2－ab ，a >b .设f (x )＝(2x －1)*(x －1)，且关于x 的方程f (x )＝m (m ∈R )恰有三个互不相等的实数根x 1，x 2，x 3，则x 1x 2x 3的取值范围是________．解析 (1)若x ≤0，则f (x )＝x ＋1，y ＝f [f (x )]＋1＝f (x ＋1)＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤－1，log 2 x ＋1 ＋1，－1＜x ≤0.令x ＋2＝0与log 2(x ＋1)＝－1，得两个零点x ＝－2和x ＝－12.若x ＞0，则f (x )＝log 2x ，y ＝f [f (x )]＝f (log 2x )＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋2，0＜x ≤1，log 2 log 2x ＋1，x ＞1.。

高考数学一轮复习 3.2.2 对数函数(二)备考练习苏教版

3.2.2 对数函数(二)一、基础过关1.已知图中曲线C 1，C 2，C 3，C 4分别是函数y ＝log a x ，y ＝log b x ，y ＝log c x ，y ＝log d x 的图象，则a ，b ，c ，d 的大小关系是________．2．在同一坐标系中，函数y ＝2－x与函数y ＝log 2x 的图象可能是________．(填图象编号)3．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则a ，b ，c 的大小关系是________．4．已知函数y ＝log 2(x 2－2kx ＋k )的值域为R ，则k 的取值范围是________．5．函数f (x )＝lg(2x －b )，若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________．6．不等式21log (4x ＋2x ＋1)>0的解集为__________．7．已知函数f (x )＝lg(x ＋1)．若0<f (1－2x )－f (x )<1，求x 的取值范围．8．解下列不等式：(1)⎝ ⎛⎭⎪⎫123x ＋1≤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －2； (2)log 73x <log 7(x 2－4)．二、能力提升9．函数f (x )＝a x＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为________．10．函数y ＝2x －x 2的图象大致是________．(填图象编号)11．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是________________．12．已知函数f (x )＝21log 1－ax x －1的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋21log (x －1)<m 恒成立．求实数m 的取值范围．三、探究与拓展13．已知f (x )＝2＋log 3x ，x ∈[1,9]，求y ＝[f (x )]2＋f (x 2)的最大值以及y 取最大值时x 的值．答案1．c <d <a <b2．③3．b <a <c4．k ≤0或k ≥15．b ≤16．(－∞，log 2(2－1))7．解由⎩⎪⎨⎪⎧ 2－2x >0，x ＋1>0得－1<x<1. 由0<lg(2－2x )－lg(x ＋1)＝lg 2－2xx ＋1<1得1<2－2xx ＋1<10.因为x ＋1>0，所以x ＋1<2－2x <10x ＋10，解得－23<x <13.由⎩⎪⎨⎪⎧ －1<x <1，－23<x <13得－23<x <13.8．解 (1)∵函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x为减函数，∴3x ＋1≥x －2，x ≥－32.(2)∵函数y ＝log 7x 为增函数，∴⎩⎪⎨⎪⎧3x >0x 2－4>03x <x 2－4，即⎩⎪⎨⎪⎧ x >0x >2或x <－2x >4或x <－1即x >4.9.1210．①11．[12，1)∪(1,2]12．解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称，∴函数f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即21log 1＋ax －x －1＝－21log 1－axx －1 ＝21log x －11－ax ，解得a ＝－1或a ＝1(舍)．(2)f (x )＋21log (x －1) ＝21log 1＋xx －1＋21log (x －1) ＝21log (1＋x )，当x >1时，21log (1＋x )<－1，∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋21log (x －1)<m 恒成立，∴m ≥－1.13．解 ∵f (x )＝2＋log 3x ，∴y ＝[f (x )]2＋f (x 2)＝(2＋log 3x )2＋2＋log 3x 2＝(2＋log 3x )2＋2＋2log 3x＝(log 3x )2＋6log 3x ＋6＝(log 3x ＋3)2－3.∵函数f (x )的定义域为[1,9]，∴要使函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)有意义，必须满足⎩⎪⎨⎪⎧ 1≤x 2≤9，1≤x ≤9，∴1≤x ≤3，∴0≤log 3x ≤1.∴6≤y ＝(log 3x ＋3)2－3≤13.当log 3x ＝1，即x ＝3时，y ＝13.∴当x ＝3时，函数y ＝[f (x )]2＋f (x 2)取得最大值13.。

高三数学一轮复习对数函数(1) 苏教版必修1

（二）对数的运算性质：如果，那么
（1）；（2）；
（3）
（三）主要方法：
1．重视指数式与对数式的互化；
2．不同底的对数运算问题，应化为同底对数式进行运算；
3．运用对数的运算公式解题时，要注意公式成立的前提
二、基础训练：
1、（A级）把表示成指数式应为
2、（A级）在中实数a的取值范围是．
3、（B级）已知则＝。
总课题
高三一轮复习-------函数
总课时
课题
对数函数（1）
课型
复习课
教
学
目
标
1.理解对数的概念，理解对数式与指数式之间的关系。
2.掌握对数的运算性质并能应用其性质解决相关问题．
教学
重点
运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明．
教学
难点
运用指数、对数的运算性质进行求值、化简、证明．
学法
指导
结合必修1教材，回顾以前所学，在充分自学和小组讨论的基础上完成导学案。
(1)lg（xyz）；（2）lg ；
（3）；（4）；
变式练习：
1、（B级）已知且，求的值。
2、（C级）已知，且
（1）求证：
（2）比较的大小。
模块三达标提升
1．（A级） =
2．（B级）
3．（B级）已知，则
4.（B级） =
5．（C级） =
6．（C级）若则的元素个数为
7．（C级）设 ,则
2．指数式与对数式的互化：．
3．常用对数：通常将的对数叫做常用对数，为了简便，N的常用对数记作。
4．自然对数：通常将使用以无理数为底的对数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数记作 .

【步步高】高中数学 3.2.2对数函数(二)配套课件苏教版必修1

答案
③
研一研•问题探究、课堂更高效
3.2.2（二）
例 3 画出函数 y＝log2|x|的图象，指出图象的特征，并根据图象写出函数的单调区间．
解当 x≠0 时，由于函数 y＝f(x)＝log2|x|满足 f(－x)＝log2 |－x|＝ log2 |x|＝f(x)，所以函数 y＝log2 |x|是偶函数．它的图象关于 y 轴对称．当 x>0 时，log2 |x|＝log2x.
个单位而得到，所以函数图象经过(1,1)点，且为单调增函数，①中单调递增的函数经过点(1,0)，而不是 (1,1)，故不满足；函数 g(x)
1 1－x ＝ 2 ＝ 2× 2
x
，其图象经过(0,2)点，且为单调减函数，②中单调
递减的函数与 y 轴的交点坐标为(0,1)，故不满足；④ 中两个函数都是单调递增的，故也不满足，所以答案为③ .
研一研•问题探究、课堂更高效
小结
3.2.2（二）
(1)当 a>0 时，将函数 y＝f(x)的图象向左平移 a 个单位就
得到函数 y＝f(x＋ a)的图象；当 a<0 时，将函数 y＝ f(x)的图象向右平移 |a|个单位就得到函数 y＝ f(x＋ a)的图象．
(2)当 a>0 时，将函数 y＝f(x)的图象向上平移 a 个单位就得到函数 y＝f(x)＋a 的图象；当 a<0 时，将函数 y＝f(x)的图象向下平移|a |个单位就得到函数 y＝f(x)＋a 的图象．
研一研•问题探究、课堂更高效
例1
3.2.2（二）
(1)比较下列各组数的大小： 2 6 ①log3 与 log5 ；②log1.10.7 与 log1.20.7. 3 5 (2)已知 log 1 b< log 1 a< log 1 c，比较 2b,2a,2c 的大小关系．

【步步高】高中数学 3.2.1对数(二)配套训练苏教版必修1

3.2.1 对数(二)一、基础过关1．计算：log 916·log 881的值为________．2．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝________. 3．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1b＝2，则A ＝________. 4．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3＝________(用a 、b 表示)．5．若log a 2＝m ，log a 5＝n ，则a3m ＋n ＝________. 6．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.7．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34； (2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b的值． 8．计算下列各式的值：(1)12lg 3249－43lg 8＋lg 245； (2)lg 52＋23lg 8＋lg 5·lg 20＋(lg 2)2. 二、能力提升9．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg a b )2的值为________．10．log 327＋lg 25＋lg 4＋7log 72＋(－9.8)0＝________.11．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝________.12．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．三、探究与拓展13．20世纪30年代，里克特制订了一种表明地震能量大小的尺度，就是使用测震仪衡量地震能量的等级，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．这就是我们常说的里氏震级M ，其计算公式为M ＝lg A －lg A 0.其中A 是被测地震的最大振幅，A 0是“标准地震”的振幅(使用标准振幅是为了修正测震仪距实际震中的距离造成的偏差)．(1)假设在一次地震中，一个距离震中100千米的测震仪记录的地震最大振幅是20，此时标准地震的振幅是0.001，计算这次地震的震级(精确到0.1)；(2)5级地震给人的震感已比较明显，计算7.6级地震的最大振幅是5级地震的最大振幅的多少倍(精确到1)．答案1.832.1253.154.3ab ＋5．406．17．解 (1)方法一 lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34 ＝lg(12×85×12.5)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝1－43＝－13. 方法二 lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34 ＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg 9lg 8·lg 4lg 3＝－lg 2－lg 5＋3lg 2＋2lg 5－lg 2－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝(lg 2＋lg 5)－43＝1－43＝－13. (2)方法一由3a ＝4b＝36得： a ＝log 336，b ＝log 436，所以2a ＋1b＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1. 方法二因为3a ＝4b ＝36，所以361a ＝3,361b＝4，所以(361a )2·361b＝32×4，即362a ＋1b ＝36，故2a ＋1b＝1. 8．解 (1)方法一原式＝12(lg 25－lg 72)－43lg 232＋lg(72×5)12＝52lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋12lg 5＝12lg 2＋12lg 5＝12(lg 2＋lg 5)＝12. 方法二原式＝lg 427－lg 4＋lg 7 5 ＝lg 42×757×4＝lg(2×5)＝12. (2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3. 9．210.13211.65－312．解原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0.设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0，∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12. 又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ，即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12. ∴lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg a lg b) ＝(lg a ＋lg b )·lg b 2＋lg a 2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·lg a ＋lg b 2－2lg a ·lg b lg a ·lg b ＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12.13．解 (1)M ＝lg 20－lg 0.001＝lg 200.001＝lg 20 000＝lg 2＋lg 104≈4.3. 因此，这是一次约为里氏4.3级的地震．(2)由M ＝lg A －lg A 0可得M ＝lg A A 0⇔AA 0＝10M ⇔A ＝A 0·10M . 当M ＝7.6时，地震的最大振幅为A 1＝A 0·107.6，当M ＝5时，地震的最大振幅为A 2＝A 0·105.所以，两次地震的最大振幅之比是A 1A 2＝A 0·107.6A 0·105＝107.6－5＝102.6≈398. 答 7.6级地震的最大振幅大约是5级地震的最大振幅的398倍．。

2023届新高考一轮复习苏教版第2章第4节对数与对数函数学案

对数与对数函数[考试要求]1.理解对数的概念及运算性质，会用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.2.通过实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画具体对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点.3.了解指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数．1．对数的概念一般地，如果a x＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，其中a叫做对数的底数，N叫做真数．以10为底的对数叫做常用对数，记作lg N.以e为底的对数叫做自然对数，记作ln N.2．对数的性质与运算性质(1)对数的性质：log a1＝0，log a a＝1，a log a N＝N(a>0，且a≠1，N>0)．(2)对数的运算性质如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么：①log a(MN)＝log a M＋log a N；②log a MN＝log a M－log a N；③log a M n＝n log a M (n∈R)．(3)换底公式：log a b＝log c blog c a(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)．3．对数函数(1)一般地，函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质a>10<a<1图象定义域(0，＋∞)值域R性质过定点(1,0)，即x＝1时，y＝0当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数4.反函数指数函数y＝a x(a>0且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．[常用结论]1．换底公式的三个重要结论(1)log a b＝1log b a；(2)log a m b n＝nm log a b；(3)log a b·log b c·log c d＝log a d.2．对数函数的图象与底数大小的关系如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数，故0＜c＜d＜1＜a＜b.由此我们可得到规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)log 2x 2＝2log 2x .( ) (2)函数y ＝log 2(x ＋1)是对数函数．( ) (3)函数y ＝ln 1＋x 1－x 与y ＝ln(1＋x )－ln(1－x )的定义域相同．( ) (4)当x >1时，若log a x >log b x ，则a <b . ( )[答案] (1)× (2)× (3)√ (4)× 二、教材习题衍生1．log 29×log 34＋2log 510＋log 50.25＝( ) A ．0 B ．2 C ．4D ．6D [原式＝2log 23×(2log 32)＋log 5(102×0.25) ＝4＋log 525＝4＋2＝6.] 2．函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是________． ⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1 [由log 23(2x －1)≥0，得0＜2x －1≤1. ∴12＜x ≤1. ∴函数y ＝log 23(2x －1)的定义域是⎝ ⎛⎦⎥⎤12，1.]3．比较下列各组中两个值的大小，用“>、<、≤、≥”连接． (1)ln 0.3________ln 2； (2) log 30.2________log 40.2； (3)log 3π________log π3.(1)< (2)< (3)> [(1)因为函数y ＝ln x 在(0，＋∞)上是增函数，且0.3<2，所以ln 0.3<ln 2.(2)因为0>log 0.23>log 0.24，所以1log 0.23<1log 0.24，即log 30.2<log 40.2.(3)因为函数y ＝log 3x 是增函数，且π>3，所以log 3π>log 33＝1.同理，1＝log ππ>log π3，所以log 3π>log π3.] 4．若log a 23<1，则实数a 的取值范围是________． ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞) [当a >1时，满足条件；当0<a <1时，由⎩⎨⎧0 < a < 1，log a 23 <log a a ，得0<a <23，综上，a ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，23∪(1，＋∞)．]考点一对数的运算1．若2a ＝5b ＝10，则1a ＋1b ＝ ( ) A ．－1 B ．lg 7 C ．1D ． log 710C [∵2a ＝5b ＝10， ∴log 210＝a ，log 510＝b ，∴1a ＋1b ＝1log 210＋1log 510＝lg 2＋lg 5＝lg 10＝1.]2．在标准温度和大气压下，人体血液中氢离子的物质的量的浓度(单位：mol/L ，记作[H ＋])和氢氧根离子的物质的量的浓度(单位：mol/L ，记作[OH －])的乘积等于常数10－14.已知pH 的定义为pH ＝－lg[H ＋]，健康人体血液的pH 保持在7.35～7.45之间，那么健康人体血液中的[H ＋][OH －]可以为(参考数据：lg 2≈0.30，lg 3≈0.48)( )A ．12B ．13C ．16D ．110C [由题设有[H ＋][OH －]＝[H ＋]210－14＝1014[H ＋]2.又10－7.45≤[H ＋]≤10－7.35 ，所以10－0.9≤1014[H ＋]2≤10－0.7.所以－0.9≤lg 1014[H ＋]2≤－0.7.又lg 12≈－0.3，lg 13＝－0.48，lg 16＝－0.78，lg 110＝－1，只有lg 16在范围之中．故选C ．]3．计算：lg 25＋lg 50＋lg 2·lg 500＋(lg 2)2＝________. 4 [原式＝2lg 5＋lg(5×10)＋lg 2·lg(5×102)＋(lg 2)2 ＝2lg 5＋lg 5＋1＋lg 2·(lg 5＋2)＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋1＋lg 2·lg 5＋2lg 2＋(lg 2)2 ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2(lg 5＋lg 2) ＝3lg 5＋2lg 2＋1＋lg 2 ＝3(lg 5＋lg 2)＋1 ＝4.]4．已知a >b >1，若log a b ＋log b a ＝52，a b ＝b a ，则a ＝________，b ＝________. 4 2 [设log b a ＝t ，则t >1，因为t ＋1t ＝52，解得t ＝2或12(舍)，即log b a ＝2，则a ＝b 2.又a b ＝b a ，所以b 2b ＝b b 2，即2b ＝b 2，又a >b >1，解得b ＝2，a ＝4.]解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简． (2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．(4)利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1.提醒：a b ＝N ⇔b ＝log a N (a >0，且a ≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化．考点二对数函数的图象及应用[典例1] (1)(多选)若函数f (x )＝a x －2，g (x )＝log a |x |，其中a ＞0，且a ≠1，则函数f (x )，g (x )在同一坐标系中的大致图象可能是( )A BC D(2)当0＜x ≤12时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围是( ) A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，22B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1C ．(1，2)D ．(2，2)(1)AD (2)B [(1)易知g (x )＝log a |x |为偶函数．当0＜a ＜1时，f (x )＝a x －2单调递减，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递减，此时A 选项符合题意．当a ＞1时，f (x )＝a x －2单调递增，g (x )＝log a |x |在(0，＋∞)上单调递增，此时D 选项符合题意．故选AD ．(2)构造函数f (x )＝4x 和g (x )＝log a x ，当a ＞1时，不满足条件，当0＜a ＜1时，画出两个函数在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上的图象，可知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＜g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，即2＜log a 12，则a ＞22，所以a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，1.] [母题变迁]将本例(2)中“4x ＜log a x ”变为“4x ＝log a x 有解”，a 的取值范围是________． ⎝⎛⎦⎥⎤0，22 [若方程4x ＝log a x 在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有解，则函数y ＝4x 的图象和函数y＝log a x 的图象在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12上有交点．由图象可知⎩⎨⎧0＜a ＜1，log a 12≤2，解得0＜a ≤22.]利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．[跟进训练]1．(1)(多选)函数y ＝log a (x ＋c )(a ，c 为常数，其中a ＞0，a ≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( )A ．a ＞1B ．0＜c ＜1C ．0＜a ＜1D ．c ＞1(2)设x 1，x 2，x 3均为实数，且e －x 1＝ln x 1，e －x 2＝ln(x 2＋1)，e －x3＝lg x 3，则( )A ．x 1<x 2<x 3B ．x 1<x 3<x 2C ．x 2<x 3<x 1D ．x 2<x 1<x 3(1)BC (2)D [(1)由图象可知函数为减函数，所以0＜a ＜1，令y ＝0得log a (x ＋c )＝0，x ＋c ＝1，x ＝1－c .由图象知0＜1－c ＜1，∴0＜c ＜1.(2)画出函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1e x，y ＝ln x ，y ＝ln(x ＋1)，y ＝lg x 的图象，如图所示，由图象直观性，知x 2<x 1<x 3.] 考点三对数函数的性质及应用比较大小[典例2－1] (1)(2021·新高考Ⅱ卷)已知a ＝log 52，b ＝log 83，c ＝12，则下列判断正确的是( )A ．c <b <aB ．b <a <cC ．a <c <bD ．a <b <c(2)若实数a ，b ，c 满足log a 2<log b 2<log c 2<0，则下列关系中正确的是( ) A ．a <b <c B ．b <a <c C ．c <b <aD ．a <c <b(1)C (2)C [(1)∵a ＝log 52＜log 42＝12＝c ，b ＝log 83＞log 93＝12＝c ，故a ＜c ＜b ，故选C ．(2)根据不等式的性质和对数的换底公式可得1log 2a <1log 2b <1log 2c <0，即log 2c <log 2b <log 2a <0，可得c <b <a <1.故选C ．]解与对数有关的不等式[典例2－2] (1)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)内单调递增．若正实数a 满足f (log 2a )＋f (log 12a )≤2f (1)，则a 的取值范围是( )A ．[1,2]B ．⎝ ⎛⎦⎥⎤0，12C ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，2D ．(0,2](2)设函数f (x )＝⎩⎨⎧log 2x ，x ＞0，log 12(－x )，x ＜0.若f (a )>f (－a )，则实数a 的取值范围是( )A ．(－1,0)∪(0,1)B ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C ．(－1,0)∪(1，＋∞)D ．(－∞，－1)∪(0,1)(1)C (2)C [(1)因为log 12a ＝－log 2a ，所以f (log 2a )＋f (log 12a )＝f (log 2a )＋f (－log 2a )＝2f (log 2a )，原不等式变为2f (log 2a )≤2f (1)，即f (log 2a )≤f (1)．又因为f (x )是定义在R 上的偶函数，且在[0，＋∞)内单调递增，所以|log 2a |≤1，即－1≤log 2a ≤1，解得12≤a ≤2，故选C ． (2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＞0，log 2a ＞－log 2a 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，log 12(－a )＞log 2(－a )，解得a >1或－1<a <0.故选C ．]对数函数性质的综合应用[典例2－3] (1)(2020·新高考Ⅱ卷)已知函数f (x )＝lg(x 2－4x －5)在(a ，＋∞)单调递增，则a的取值范围是()A．(－∞，－1] B．(－∞，2]C．[2，＋∞) D．[5，＋∞)(2)(多选)已知函数f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)，则()A．f(x)在(2,6)上单调递增B．f(x)在(2,6)上的最大值为2ln 2C．f(x)在(2,6)上单调递减D．y＝f(x)的图象关于直线x＝4对称(1)D(2)BD[(1)由x2－4x－5＞0，解得x＞5或x＜－1，所以函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(5，＋∞)．又函数y＝x2－4x－5在(5，＋∞)上单调递增，在(－∞，－1)上单调递减，所以函数f(x)＝lg(x2－4x－5)在(5，＋∞)上单调递增，所以a≥5，故选D．(2)[解]f(x)＝ln(x－2)＋ln(6－x)＝ln[(x－2)(6－x)]，定义域为(2,6)．令t＝(x －2)(6－x)，则y＝ln t．因为二次函数t＝(x－2)(6－x)的图象的对称轴为直线x ＝4，又f(x)的定义域为(2,6)，所以f(x)的图象关于直线x＝4对称，且在(2,4)上单调递增，在(4,6)上单调递减，当x＝4时，t有最大值，所以f(x)max＝ln(4－2)＋ln(6－4)＝2ln 2，故选BD．]解与对数函数有关的函数的单调性问题的步骤[跟进训练]2．(1)若log2x＝log3y＝log5z<－1，则()A．2x<3y<5z B．5z<3y<2xC．3y<2x<5z D．5z<2x<3y(2)已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为( )A ．(2，＋∞)B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)C ．⎝⎛⎭⎪⎫0，22∪(2，＋∞) D ．(2，＋∞) (3)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋2，则f (lg 3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝________. (1)B (2)B (3)4 [(1)设log 2x ＝log 3y ＝log 5z ＝t ，则t <－1，x ＝2t ，y ＝3t ，z ＝5t ，因此2x ＝2t ＋1,3y ＝3t ＋1,5z ＝5t ＋1.又t <－1，∴t ＋1<0，由幂函数y ＝x t ＋1的单调性可知5z <3y <2x .(2)因为f (x )是偶函数，且在(－∞，0]上单调递减，所以f (x )在[0，＋∞)上单调递增．f (log 2x )>2＝f (1)，所以f (|log 2x |)>f (1)，得|log 2x |>1，即log 2x >1或log 2x <－1，解得x >2或0<x <12.故选B ．(3)设g (x )＝ln(1＋x 2－x )，则f (x )＝g (x )＋2，显然有g (－x )＝－g (x )，即g (x )为奇函数，则g (－x )＋g (x )＝0，所以f (lg 3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫lg 13＝f (lg 3)＋f (－lg 3)＝g (lg 3)＋2＋g (－lg 3)＋2＝4.]1.构造函数破解不等式(方程)问题初等函数的性质，寻找变量之间的关系，达到解题目的．考查的核心素养是逻辑推理与数学抽象．[典例3] (2020·全国Ⅰ卷)若2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ，则( )A ．a >2bB ．a <2bC ．a >b 2D ．a <b 2B [令f (x )＝2x ＋log 2x ，因为y ＝2x 在(0，＋∞)上单调递增，y ＝log 2x 在(0，＋∞)上单调递增，所以f (x )＝2x ＋log 2x 在(0，＋∞)上单调递增．又2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ＝22b ＋log 2b <22b ＋log 22b ，所以f (a )<f (2b )，所以a <2b .故选B ．] 本题主要考查利用函数的单调性，比较大小等知识，考查逻辑推理的数学素养，破解此类题的关键：一是细审题，盯题眼，如本题的题眼为“2a ＋log 2a ＝4b ＋2log 4b ”；二是巧构造，即会构造函数，注意活用基本初等函数的单调性进行判断；三是会放缩，即会利用放缩法比较大小．[跟进训练]3．(2020·全国Ⅱ卷)若2x －2y ＜3－x －3－y ，则( )A ．ln(y －x ＋1)＞0B ．ln(y －x ＋1)＜0C ．ln|x －y |＞0D ．ln|x －y |＜0 A [由2x －2y <3－x －3－y ，得2x －3－x <2y －3－y ，即2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x <2y －⎝ ⎛⎭⎪⎫13y .设f (x )＝2x －⎝ ⎛⎭⎪⎫13x ，则f (x )<f (y )．因为函数y ＝2x 在R 上为增函数，y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为增函数，所以f (x )＝2x－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 在R 上为增函数，则由f (x )<f (y )，得x <y ，所以y －x >0，所以y －x ＋1>1，所以ln(y －x ＋1)>0，故选A ．]。

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