具有高阶转向点的二次奇摄动边值问题_沈建和

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具有高阶转向点的奇摄动边值问题的尖层解

。。
ｕ，＝（） ∑ （ｔ￡）
ｊ＝ｏ
代入（）（Ｅ＝或ｕｂ））１和乱０）（（，＝Ｂ并令Ｅ的系数相等得到，。
ｆｔ＇（ｏ＝０（ｕ＋ｇｔ），）ｏ，
ｕ（＝或ｕ（＝Ｂｏ）（ｏｂａ））由假设［１Ｈ］知其解为ｕ＝ｕ（（０Ｒ￡．０Ｌｔ或＝（）￣ｕ（＝ｕ（）（）０）故可取））ＬＯ）Ｒ０，０＝ｕ（＋，一
文章编号：００４２（０２０．０００７ｉ０—４４２１）１０５—０
§ 引言１
在奇摄动内层问题的研究中，Ｍａｌ［用相平面分析的方法讨论了半线性自治问题Ｏ’ ｌｙｅ１
Ｃ＝９Ｘ（）（，）Ａ，ｘ１￡＝Ｂ一１￡＝（，）
具有尖层性质的解（简称尖层解）的存在性，ａｈ１Ｋｔ［把文［的结论推广到非自治系统，１］并解释了解具有尖层性质的定性特征．［则讨论了如下形式的半线ｒｈｅＩ题文３］￣Ｄｉｌ；ｃｔ］
合成展开法构造出尖层解的形式近似，应用微分不等式理论证明了解的存在性及其并
渐近性质．
关键词：摄动；奇边值问题；尖层解；成展开法；分不等式合微
中图分类号：７．Ｏ１５１４
文献＜ｔｂＲｔ）．其中ｕ（，Ｒ￡Ｌｔｕ（满足［１ ≠ｕ（＝（．））Ｈ］且ｓＬＯＲ０））下面来分析问题（）（）１，２的解（果存在的话）＝０如在ｔ处具有尖层性质的条件．采用合成展开
法［５先将外展开式ｌ一，

一类二阶奇异摄动边值问题的再生核方法

丑
边界条件为
“Ｏ（）＝０ “ １ｆ（）＝，其中是充分小的正参数是有限常数．
［，］Ｙ∈ ［，］＜０１，０１Ｗ１０１［，］＝｛）Ｉ
）Ｙ＞＝Ｘ．Ｒ（）））是区间（，）上的０１
其中）ｇ）∈ ［，］，（０１．容易证明，［１是一个完备的再生核空０，］问，每一个固定的 ∈ ［１，即对０，］存在Ｒ（）∈ Ｙ
（）２
（）１
Ｍ（ ” ）＋ｕ（）＋ｇｘ戈，＜１ｘ（）＝）０＜，
由定理２１ ∑ ＜Ｉｘ，（）依．知，ｔ）（（）＞，
ｌＩ＝１
如下：＜ｕＹ，。Ｙ＞＝０则有＜ｕｙ，若（）（）（）
卢ｌＹ１（）＞＝ｌｔｙ，ｌＹ１＜Ｉ）（）＞＝卢ｌｔｙ，（１＜Ｉ）（ＬＹ＞＝ｌ＜（ｕ（）Ｒ（）＞＝Ｒ（）１Ｌ）Ｙ，Ｙ
第２６卷
第４期
哈尔滨师范大学自然科学学报
ＮＡＲＡＬＳＩＮＣＯＴＵＣＥＥＳＪＵＲＮＡＬＯＦＨＡＲＮＮＯＢＩＲＭＡＬＵＮＶＥＩＩＲＳＴＹ
Ｖ１６Ｎ．００ｏ．。ｏ４２１２
一
类二阶奇异摄动边值问题的再生核方法术
＜
）ｇ＞３＝ｆ（（）（）＋，（）Ｗ厂ｇ
ＪＵ
０引言
笔者研究以下奇异摄动两点边值问题：

一类具有两个转向点的奇摄动边值问题

２１０１年ｌ１月第ｌ７卷第４期
安庆师范学院学报（自然科学版）
ｄｕｏｍ￣ｏＡｑｇＴａｈｍＣｌｇ（ａｕｌｃｎｅＥｉｎｆｎｉｅｃｅｏｅｅＮｔｒｉｃｄｉ）ｎｌａＳｅｔｏ
一＝＋・１ｆ
，别退分是化
收稿日期：２１０００１— ６— ３基金项目：安徽高校省级自然科学基金（Ｊ００１３，．００３０资助。Ｋ２１Ａ５Ｋ２１Ｂ６）１
作者简介：魏小欧，，男安徽芜湖人，安徽师范大学数学计算机科学学院硕士研究生，从事应用微分方程研究。
ＮＯ２ｌＶ．０１Ｖｏ１１．７Ｎ０．４
一
类具有两个转向点的奇摄动边值问题
魏小欧，刘树德
（安徽师范大学数学计算机科学学院，安徽芜湖２１０）４００
摘
要：考虑一类具有两个转向点的奇摄动二阶线性边值问题，在一阶导数的系数具有两个零点，即转向点的情形
比较０ ÷）（的系数得＋（一）１２）＝，１口（ — ａ。０又由边界条件Ｙ１（）＝２得Ｙ（）＝２由此解得，ｏ０。
ｒ＝２一ｌ＋ｃｅ（一））ｏｌ一。（一
其中ｃ为任意常数。从而
ｙ＝２一ｃ（１＋ｃｅ‘。孙＋… ｌ一一（）６
在＝ａ和＝１处构造角层和边界层展开式，并利用改进的匹配渐近展开法将其与外展开式进行匹配，从而得到在区间［，］０１上一致有效的复合展开式。当然，也可以用类似的方法讨论具有， ≥２个转向ｔ（）点的奇摄动边值问题。１外展开式设外展开式具有形式Ｙ＝Ｙ（ｏ）＋８。）＋… ，它代人（）式有ｙ（将１

一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题

（１）

这里 ∈Ｒ为状态变量，０＜Ｅ《１，Ｐ０为常数，与Ｂ亦都为常数；同时，基于问题（１），我们还
收稿日期：２０１２．１１．２６修回日期：２０１３ — ０５．１８
基金项目：国家自然科学基金项目（１１２０１０７２；１１１０２０４１）；福建省教育厅Ａ类项目（ＪＡ１００６５）通讯作者：ｊｈｓｈｅｎ（￣ｆｊｎｕ．ｅｄｕ．ｃｎ
其中，如上所述，
，
ｄ元（）＝｛ ‘ ５，Ｒ５ ‘ 。＜ｔ一＜Ｅｌ。一＋。
为正的连续函数．
（５）
定义１称退化解ｕ＝Ｒ（￡）在［０，１］上强（弱）稳定，如果在Ｄ１或Ｄ２中满足
韩建邦等：一类具有无穷边界值的二次奇摄动边值问题
１８１
将进一步得到如下ＮｅｕｍａｎｎＩ；－］题的有关结果，
ｆｅｙ：，（ｔ，）＋ｇ（ｔ，），０＜ｔ＜１，｛－－ｙ，（０，Ｅ）＝／Ｅ，
渐进行为，重点关注边界值的奇异程度对解的边界层行为的影响；同时将所得的结果与ＣｈａｎｇＹ￣Ｈｏｗｅｓ的结果ｆ带正常边界值）进行比较．研究表明：（１）当边界值大小
为Ｏ（１／ｅ）时，得到的边界层大小为Ｏ（ＥＩｎＥ），这比ｃｈａｎｇ及Ｈ０ｗｅｓ带正常边界值的情形提高了Ｏ（１ｎＥ）量级；（２）增大边界值的奇性＿￣Ｏ（１／ｅ），这里ｒ＞１，边界层大小的量级不变，依然为０（ＥｉｎＥ）；（３）若要使得边界层大小为０（１），则边界值的大小需为ｏ（ｅ＿｜ｌ／ｅ）．

求解一类高阶奇摄动线性边值问题

分析，出了相应的结果．得
［键词］高阶奇异摄动；统降阶；界层；近展开式关系边渐（章编号］１７ — ０７２１）３０３ — ５［图分类号）Ｏ１５１（献标识码］Ａ文６２２２（０１０ — ０６０中７．４文
２１年９月０１
求解一类高阶奇摄动线性边值问题
卫丽娟
（中北大学理学院，山西太原００５）３０１
（要］文章研究了一类高阶奇异摄动线性系统的近似解，过降阶将高阶奇异摄动系统转摘通化成一般的低阶变系数奇异摄动系统，根据不同的边界层引入伸长变量构造渐近解，对其进行再并
时
和
心．（）一 “ ．（，ｏ１０ｚ）２
０．２
阶的求解问题，而方便了我们的研究，从而低阶的问题又有不同的情形，现在进行具体的分析．我们首先对系统进行降阶运算．由于（）立，以对系统（）行变换，Ｈ成可１进具体过程如下：
（６）
第３期
卫丽娟：解一类高阶奇摄动线性边值问题求
其
中
．式容易求得。的表达式，再将 “ 。的表达式代人（）容易求得 “ ４式的表达式，次可以求得 “ ，依。
一１ … ，一是）志均为常数．，一１，首先假设如下条件成立：

奇摄动拟线性边值问题的高阶近似解

奇摄动拟线性边值问题的高阶近似解孔伟应;陈怀军;娄正来【摘要】研究了一类具有边界层性质的奇摄动拟线性边值问题.在相对较弱的条件下,利用合成展开法构造问题的形式近似解,然后利用不动点定理证明解的存在性,并给出满足边界层性质的高阶近似解,使得它与精确解之间的渐近估计可达到任意O(εn)阶近似.【期刊名称】《安徽师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(042)001【总页数】6页(P22-27)【关键词】奇摄动;边值问题;合成展开法;高阶近似;不动点定理【作者】孔伟应;陈怀军;娄正来【作者单位】安徽师范大学数学与统计学院,安徽芜湖241000;安徽师范大学数学与统计学院,安徽芜湖241000;安徽师范大学数学与统计学院,安徽芜湖241000【正文语种】中文【中图分类】O175.14研究奇摄动边值问题，需要在构造形式近似的基础上证明解的存在性[1-7]。

1996年，De Jager和江福汝[8]把Harten不动点定理应用到奇摄动拟线性常微分方程初值问题的研究中，随后刘树德等[9]用改进的方法研究了与文[8]相应的边值问题，得到解的零次近似并证明了解的存在性。

本文进一步研究奇摄动拟线性边值问题的高阶近似,并应用如下改进的不动点定理。

引理[8](Harten不动点定理) 设(N,‖·‖1)是赋范线性空间,(B,‖·‖)是Banach空间,F 是N到B的非线性映射，F[0]=0，且F可分解为F[p]=L[p]+Ψ[p], p∈N，其中L是F在p=0的线性化算子，L和Ψ满足条件：(i)L是双射，L-1连续，即存在常数l>0使‖L-1[q]‖1 ∀q∈B；(ii)存在使得0ρ时，‖Ψ[p2]-Ψ[p1]‖m(ρ)‖p2-p1‖1, ∀p1,p2∈ΩN(ρ),其中ΩN(ρ)={p|p∈N,‖p‖1ρ},m(ρ)当ρ→0时单调减少，且记ρ0=sup {0ρ则对满足‖χ‖的任意χ∈B，存在p∈N，使得F[p]=χ,且‖p‖1ρ0。

一类非线性奇摄动问题的多层解

Ｙ＝日（＋Ｆ／）一１（３）＋… （）５
［］函数Ｙ占， ∈ ；Ｈ１，）ＥＣＹ［Ｈ］函数Ｆｙ是１ｆｙ０（）／（，）的某一个原函数，而且是严格单调函数。＝Ｆ（）的反函数为Ｙ＝Ｙ
文献标志码：Ａ
关键词：非线性；奇摄动；匹配；多层；界层边
中图分类号：１５１０７．４
奇摄动问题在许多学科领域中均有着重要而广泛的应用 …．因此，奇摄动问题的研究一直受到对
ｌ的情形是一类转向点问题。
Ｙ。＝日（＋ｃ）＋… ０（）４
现象的边界层问题，并且边界层位置随着参数的取值不同而变化。其中当边界层位置位于内部时，它又是一类特殊的转向点问题。具体地，虑如下二考阶非线性奇摄动边值问题：
（）７
将（）代人（）可得７１
基金项目：自然科学基金资助项目（１７２５；国家１１０）国家特色专业（学与应用数学）浙江省新世纪教改基金资助项目０数，（Ｂ７０Ｚ００３；Ｙ０１９，Ｃ９６）湖州师范学院重点教改基金资助项目（Ｊ００４；Ｇａ９０）常微分方程精品课程资助。作者简介：曾艳婷（９７）女，士生。通信作者：阳成（９４一，，。Ｅｍｉｏｃｕ．．ｎ１８一，硕欧１６）女教授 —ａ：＠ｈｔｚｃ。ｌｙｃｊ
造原问题的外部解；其次，利用伸长变量，求得了两个特异极限，进而得到了对应问题的两个内部解；最后，研究了边界层位于三种不同位置的多层解，利用匹配原则，出了各种情形解的一致有效的零次渐近展开式。并解决了求

一类二阶两点边值问题正解的唯一性

Ｖｏ．２ＮＯ１１．１
Ｍａ．２２ｒ０１
２１０２年３月
文章编号：６１７３（０２０ —０１０１７ —３３２１）１０６ —６
一
类二阶两点边值问题正解的唯一性・
安玉莲
２１１；．０４８２上海师范大学数理学院，上海２０３）０２４
ｆｕ＋ ‘ （Ａ）＝０ｉＢ” ，ｎ，
【（）＝０，０ｏＢ”，ｎａ
…
ｌ
径向对称的。此时，问题（）化为１可
＋钆＋ ∈
其中Ｂｎ≥ １是Ｒ”空间中的单位球，（）＞０是
一
个参数。众所周知，＿区间［，０上满足当厂在０Ｏ）
作者简介：安玉莲（９１）女，１７一，副教授，博士，主要研究方向为常微分方程及动力系统．
【）＝０钆（０，（）＝０１。
收稿日期：０１０５２１－９１基金项目：中国博士后科学基金项目（０ｌ０６５；２１Ｍ５０１）上海市教育委员会科研创新项目（１Ｚ２）上海直用技术学院引进人才科１Ｙ２５；研启动项目（Ｊ０９１）Ｙ２０・６
运用分歧技巧和Ｓｕｍ比较定理，ｔｒ获得了上述问题正解集合的全局结构，而对于任意给定进
的参数＞０得到了该问题正解不存在或恰有一个的确切结论。，
关键词：正解；一性；分歧；特征值唯

Euler-Bernoulli梁的高阶二次摄动解及收敛性讨论

在飞机制造、造船工业、建筑结构、仪器设计等多个领域中，研究者们提出了大量关于梁板壳结构的大变形与稳定性问题，因而非线性弹性力学问题已经得到了各国力学家的关注．其中Ｎｏｖｏｚｈｉｌｏｖ（诺沃日洛夫）［２３］从几何的角度，将弹性力学问题分为四大类：第一类，大应变问题；第二类，小应变大转动问题，结果使物体大变形；第三类，小应变小转动，但应变的大小与转动的平就是属于这一类；第四类，小应变小转动，而应变的大小与转动的大小同量级，这样就转化为线弹性力学的问题．在目前关于梁板壳的工作中，第三与第四类问题的研究工作很多，第一与第二类问题的研究工作相对较少，其数量少的主要原因之一是这两类问题求解难度高．
应用数学和力学，第４０２０１９年６月１日出版
卷
第
６
期
ＡｐｐｌｉｅｄＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓａｎｄＭｅｃｈａｎｉｃｓＶｏｌ．４０，Ｎｏ．６，Ｊｕｎ．１，２０１９
文章编号：１０００⁃ ０８８７（２０１９）０６⁃ ０６２０⁃ １０
ⓒ 应用数学和力学编委会，ＩＳＳＮ１０００⁃ ０８８７
摄动方法在非线性系统分析中有着广泛的应用［１⁃９］，然而与高阶摄动解相关的工作并不多见．宋涛和李家春［１０］给出了表面张力作用下深水波的高阶摄动解答，其中三角函数的降幂与积化和差公式由符号软件递归求得．在对圆薄板的非线性弯曲分析中，陈山林［１１］用推演分析的方法，求出了均布载荷与集中载荷作用的高阶钱伟长（钱氏）摄动解，并用权余法讨论了此种方法的渐近特性．然而，这种手工推算高阶摄动解，不仅阶数有限，而且其工作量很大，难以推广．叶开沅和周又和［１２］解决了这一问题，即在求得函数结构后，其系数的递推工作由计算机完成，文中给出了在中心集中载荷作用下的钱氏解的２１阶摄动解，并得出如下结论：钱氏摄动解在圆板的中心挠度与厚度之比ｗｍ／ｈ＜１．６３时收敛，而在ｗｍ／ｈ＞２．１８时（出现中心下凹）其解发散．

脉冲推力最优轨迹的Hamilton边值问题

脉冲推力最优轨迹的Hamilton边值问题
沈红新
【期刊名称】《宇航学报》
【年(卷),期】2017(038)007
【摘要】针对大推力航天器的Hamilton边值问题(HBVP),提出一组基于变分法的通用方程,其中内点和其它端点(包括始、末端点)可以满足统一的方程形式,由此反映了更本质的边值条件解析结构.具体问题的最优性必要条件均可以从本文给出的通用方程中较方便地推出,避免了以往构造边值问题复杂繁琐的困难.仿真结果表明,本文方法可以保证有效、快速地获得大推力航天器的最优飞行路径.
【总页数】8页(P686-693)
【作者】沈红新
【作者单位】西安卫星测控中心宇航动力学国家重点实验室,西安 710043
【正文语种】中文
【中图分类】V412.4
【相关文献】
1.J2摄动下脉冲推力星下点轨迹调整解析算法 [J], 盛靖;张刚;耿云海
2.利用高斯伪谱法求解小推力伴星最优释放轨迹 [J], 段传辉;董云峰
3.卫星脉冲推力最优逃逸返回轨迹的非线性规划 [J], 王敏;周军
4.航天器最优受控绕飞轨迹推力幅值延拓设计方法 [J], 朱小龙;刘迎春;高扬
5.Hamilton-Jacobi-Bellman方程下的最优再保险和最优投资 [J], 曹玉松
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带p-Laplacian算子两点边值问题对称正解的存在性

带p-Laplacian算子两点边值问题对称正解的存在性朱忠才【摘要】This paper deals with the existence of symmetric positive solutions for the p-Laplacian nonlinear two-point boundary value problem, by using the fixed-point index theorem. Sufficient conditions of the existence of at least one or two symmetric positive solutions of this problem are established, respectively.%通过不动点指数理论,得到了一类带p-Laplacian算子两点边值问题对称正解的存在性,以及这类边值问题至少存在一个或两个对称正解的充分条件.【期刊名称】《佛山科学技术学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(036)002【总页数】7页(P20-26)【关键词】p-Laplacian算子;两点边值问题;不动点指数;对称正解【作者】朱忠才【作者单位】广东工业大学应用数学学院,广东广州510520【正文语种】中文【中图分类】O177含p-Laplacian算子的微分方程边值问题，在诸多领域如非牛顿力学、宇宙物理、血浆问题和弹性理论等方面的应用都很广。

不少学者都深入地研究了此类边值问题，也获得了丰硕的成果［1-5］。

另外，由于生活中的大多数问题都是非线性的，这就使得非线性边值问题在近些年越来越受到学者们的关注。

如文献［6-7］研究了二阶二点边值问题的对称正解存在性，文献［8］研究的是下列p-Laplacian边值问题正解的存在性其中，φ（s）都是非减的奇函数，且存在m＞0使得Bi（v）≤mv，对所有的v≥0，i=0或i=1成立。

高阶无穷多点半正边值问题正解的存在性

高阶无穷多点半正边值问题正解的存在性沈文国;孙建仁【摘要】研究二阶无穷多点半正边值问题:x(n)(t)+λf(t,x(t))=0,0<t<1,x(0)=∑∞i=1αix(ξi),x′(0)=…=x(n-2)(0)=0,x(1)=∑∞i=1βix(ηi)正解的存在性问题.其中ξi,ηi∈(0,1)(i=1,2,…),1>ξ1>ξ2>…>ξn>…>0,0<η1<η2<…<ηn<…<1,αi,βi∈(0,∞),0<∑∞i=1αi(1-ξn-1i)<1,0<∑∞i=1βiηn-1i<1且D∞=∑∞i=1αiξn-1i 1-∑∞i=1β(i)+1-∑∞i=1βiηn-1(i)1-∑∞i=1α(i)>0.我们给正参数λ和函数f(t,x(t))赋予一定的条件,使得上述问题至少存在一个正解.本文应用锥上不动点定理来证明主要定理.【期刊名称】《南京师大学报（自然科学版）》【年(卷),期】2019(042)001【总页数】8页(P6-13)【关键词】n阶无穷多点半正边值问题;格林函数;正解;推广的锥上不动点定理【作者】沈文国;孙建仁【作者单位】兰州工业学院基础学科部,甘肃兰州730050;兰州工业学院机电工程学院,甘肃兰州730050【正文语种】中文【中图分类】O175关于高阶多点边值问题正解的存在性问题,已有很多学者做了研究,参考文献[1-8]. 对于多点半正边值问题正解的存在性问题,亦有很多学者做了研究,参考文献[9-14],其中,张[10]利用一个推广的锥上不动点定理研究了一类二阶三点半正边值问题正解的存在性问题,文[13]利用锥上不动点定理研究了下列二阶无穷多点半正边值问题正解的存在性问题:(1)然而,目前为止,还没有学者研究关于高阶无穷多点半正边值问题正解的存在性问题. 受文献[10,13]的启发,本文研究下列关于高阶无穷多点半正边值问题正解的存在性问题(2)正解的存在性问题.本文假设:(H1)ξi,ηi∈(0,1)(i=1,2,...),1>ξ1>ξ2>...>ξn> 0且注1 由(H1)可得(3)事实上,易得为了证明本文的主要结论,我们给出如下推广的锥上不动点定理.定义1[16] 设E是实Banach空间且P是E上一个锥,如果ρ:P→R1连续,并且对所有x,y∈ρ 和0≤t≤1,下式成立ρ(tx+(1-t)y)≤tρ(x)+(1-t)ρ(y),则称ρ是P上的连续凸泛函.定理1[16] 设E是一个实Banach空间,P⊂E是一个锥,θ表示E上的零元素,Ω1、Ω2是E中的有界开集且⊂Ω2.设是一个全连续算子,ρ:P→[0,∞)是一个一致连续凸泛函,并且ρ(θ)=0,ρ(x)>0,x≠θ.假设下列条件之一成立(i)ρ(Ax)≤ρ(x),∀x∈P∩∂Ω1和∀x∈P∩∂Ω2,∀x∈P∩∂Ω1,ρ(Ax)≤ρ(x),∀x∈P∩∂Ω2,则A在上存在一个不动点.1 预备知识给实Banach空间C[0,1]和Cn[0,1]分别赋予范数和‖u‖n=max{‖u‖,‖u′‖,…,‖u(n)‖}.对任何m∈N,考虑如下边值问题(4)引理1 设(H1)成立,对于y∈C[0,1],则边值问题(4)有唯一解x(t)=G(t,s)y(s)ds(5)式中(6)(7)(8)证明应用与文献[2,引理3.1]或者[3,引理4.1,引理4.2]或者[5,定理2.1]相似的方法可证明本引理,故证明略.引理2[8] 由式(7)定义的g(t,s)满足下列性质c(t)g(τ(s),s)≤g(t,s)≤g(τ(s),s),∀t,s∈[0,1],式中,ττ引理3 设(H1)成立.由式(6)定义的G(t,s)满足下列性质(1)G(t,s)在[0,1]×[0,1]上连续且G(t,s)≥0;(2)对于任意t,s∈[0,1] 都有G(t,s)≤G(s)成立.对于任意t,s∈[0,1],存在一个常数γ 使得下式成立G(t,s)≥γG(s),式中,证明应用与文献[13,引理3]相似的方法可证明本引理,故证明略.由引理3易得如下引理:引理4 设(H1)成立.则对于y∈C[0,1] 和y≥0,(4)的唯一解满足(i)x(t)≥0,∀t∈[0,1];其中γ 由引理3(2)给出.引理5 设(H1)成立.则边值问题(9)存在唯一解∀t∈[0,1].(10)进而,存在一个正常数 c 使得∀t∈[0,1],其中注2 由注1可得(H1),应用与文献[13,引理2]相似的方法可得:0<G(s)ds<+∞.2 主要定理及证明为了证明本节主要定理,假设如下条件成立(H2)f(·,·)∈C([0,1]×[0,∞),R)存在M>0,对于(t,x)∈[0,1]×[0,∞)使得f(t,x)≥-M. (H3)存在两个常数a,b∈(0,∞)使得0<f(t,x)≤b,∀(t,x)∈[0,1]×[0,a].(H4)设L=m in{γ/2,a},M′=max{f(t,x)+M,0≤t≤1,0≤x≤2}.参数λ 满足0<λ≤τ:式中,γ是引理3(2)所给,M″=max{f(t,x)|0≤t≤1,0≤x≤L}.(H5)存在 R>2使得:对于t∈[0,1] 和使得f(t,x)+M≥Nx,其中,对固定的λ∈(0,τ],使成立.注3 由(H3)和f的连续性可得对t∈[0,1]一致成立.定理2 假设条件(H1)-(H5)成立.则问题(2)至少有两个正解x1,x2,满足证明首先考虑(11)显然,当m→+∞时,问题(11)可转化为(2).设式中,γ由引理3(2)给出.显然P是C[0,1]中的一个正锥.令其中由(10)给出.则(11)有一个正解x 当且仅当是方程(12)的一个解.且∀t∈[0,1].其中h:[0,1]×R→R+ 满足对于x∈P,Ax是(12)的唯一解,则Ax(t)=λG(t,s)h(s,x(s)-ω(s))ds.由引理4可知AP⊂P.由Ascoli-Arzela定理,易知A:P→P 是全连续算子.设ρ(x)=maxt∈[0,1]x(t),易得ρ:P→[0,+∞)是一直连续凸泛函且ρ(θ)=0和ρ(x)>0,∀x≠0成立.设Ω1={x∈C[0,1]|ρ(x)<2γ},Ω2={x∈C[0,1]|ρ(x)<Rγ},显然Ω1,Ω2是C[0,1]中的开集,并且θ∈Ω1和⊂Ω2.假设x∈P∩∂Ω1,则有即P∩Ω1 有界,同理可知P∩Ω2有界.假设x∈P∩∂Ω1,则ρ(x)=2γ,|x|≤2.因此,由引理5和(H4)可得ρ(Ax)=maxt∈[0,1]Ax(t)=maxt∈[0,1]λG(t,s)[h(s,x(s))-ω(s)]ds≤λG(s)ds·M′≤λCM′·γ≤2γ,即ρ(Ax)≤ρ(x),∀x∈P∩∂Ω1.假设x∈P∩∂Ω2,则ρ(x)=Rγ,因此Rγ≤‖x‖≤R.因此,对于x∈P∩∂Ω2,可得因此(13)结合(H5)可得因此,从(H5)可得即ρ(Ax)≥ρ(x),∀x∈P∩∂Ω2.进而,由定理1(i)可知A 有一个不动点使得(14)从(14)和引理5,可得(15)因此是(12)的一个正解.进而,从(14)和(15),可得(16)为了找到(11)的第二个解,设(17)因此,对于(t,x)∈[0,1]×[0,∞),都有0<f*(t,x)≤b.考虑方程(18)(18)等价于x(t)=Tx(t).式中Tx(t)=λG(t,s)f*(s,x(s))ds.(19)显然T:P→P 是一个全连续算子且 TP⊂P.由注3可知对t∈[0,1]一致成立.即存在一个常数r:r≤L使得:对于(t,x)∈[0,1]×[0,r]使得f*(t,x)≥β(x),式中λβγ2G(s)ds≥1.(20)设Ω3={x∈C[0,1]|ρ(x)<Lγ},Ω4={x∈C[0,1]|ρ(x)<rγ},则P∩Ω3 和P∩Ω4是C[0,1]中两个开集且infx∈P∩∂Ω4ρ(x)>0,对于x∈P∩∂Ω3,则ρ(x)=Lγ,因此‖x‖≤L.由引理5和(H4)可得ρ(Tx)=maxt∈[0,1]Tx(t)=maxt∈[0,1]λG(t,s)f*(s,x(s))ds≤λCM″·γ≤Lγ=ρ(x),即ρ(Tx)≤ρ(x),∀x∈P∩∂Ω3.进而,假设x∈P∩∂Ω4,则rγ≤‖x‖≤r结合(20),可得ρ(Tx)=maxt∈[0,1]Tx(t)≥Tx(1/2)=λG(1/2,s)f*(s,x(s))ds≥λ·βγ2G(s)ds·‖x‖≥rγ=ρ(x),即ρ(Tx)≥ρ(x),∀x∈P∩∂Ω4.由定理1(ii)可知A 有一个不动点,即(18)有一个正解x2满足rγ≤ρ(x2)≤Lγ.因此,r2=rγ≤‖x2‖≤L≤γ/2=R2.(21)由(H4)和(18)可得,x2亦是(11)的一个正解.由(16)和(21)可知,(11)有两个不同的正解 x1 和 x2.因此,对于 l=1,2,当m→∞时,可得一列解序列⊂Cn[0,1]使得(22)成立.从上面证明可知:对于任何m∈N都有rl≤‖xlm‖≤Rl,∀t∈[0,1],l=1,2.(23)对于l=1,2,由(H3)和(22)可知,存在Ml>0,成立∀t∈[0,1],l=1,2.(24)式中,Ml=max{λf(t,(xlm(t))):(t,xlm(t))∈[0,1]×[0,Rl]}.从(23)可得‖xlm(0)‖≤Rl,‖xlm(1)‖≤Rl,l=1,2.因此,由拉格朗日中值定理可知,存在一个常数dl1∈(0,1),(l=1,2)使得下式成立(25)相似地,由和(25)可知:存在一个常数dl2∈(0,dl1),(l=1,2),使得继续这样一个过程,对于l=1,2和i=3,…,n-1,由条件‴可知存在一个数列1>dl1>dl2>…>dl(n-1)>0,使得下式成立(26)进而,对于 l=1,2,由(26),可得(27)继续这样一个过程,对于l=1,2,由(24)和(27)可得,∀t∈[0,1].(28)相似的,对于∀t∈[0,1].(29)因此,是Cn[0,1]上一致有界序列.对于l=1,2,由于Cn[0,1]→→C[0,1],则⊆(30)并且继续这样一个过程,对于l=1,2 和i=1,2,…,n-2,由Cn[0,1]→→Ci[0,1],可得⊆⊆…⊆⊆(31)因此∀t∈C[0,1].(32)进而,对于l=1,2,由(31),和(32),可知:存在⊆⊆…⊆⊆(33)和(34)使得∀t∈C[0,1].(35)成立.接下来证明,对于l=1,2,xl(n-1)∈Cn[0,1]且xl(n-1) 满足(2).因为(36)令C:=max{g(τ(s),s):s∈[0,1]},当kn-1→∞时,则‖g(t,s)f(s,xlmkn-1(s))-g(t,s)f(s,xl(n-1)(s))‖≤C‖f(s,xlmkn-1(s))-f(s,xl(n-1)(s))‖→0(37)进而,当kn-1→∞时,对于(36)取极限可得,(38)因此,对于 l=1,2,由于xl(n-1)(t)∈Cn[0,1],在(38)两端,对于t 求n次导数可得(39)由(34)和(35),可得(40)因此,由(39)和(40),可知xl(n-1)(t)(l=1,2)是(2)的正解.因此,定理2 得证.注4 由(H2)和(H5)可得:h(t,x)>0.注5 本文结果推广了文[10,13]的主要结果.本文的方法可应用到其它高阶无穷远点边值问题中.由定理2,可得如下推论.推论1 设(H1),(H2),(H5)成立.假设则问题(2)存在解 x1 满足‖x1‖≥γ.注6 对于问题(2),引理1中格林函数(6)是首次给出的.[参考文献]【相关文献】[1] PAUL W E,BASHIR A.Positive solutions of a nonlinear n-th order boundary value problem with nonlocal conditions[J].Applied mathematics letters,2005,18(5):521-527. [2] GUO Y P,JI Y D,ZHANG J H.Three positive solutions for a nonlinear n-th order m-point boundary value problem[J].Nonlinear analysis:TMA,2008,68(11):3485-3492.[3] JI Y D,GUO Y P.The existence of countably many positive solutions for some nonlinear n-th order m-point boundary value problems[J].Journal of computational and applied mathematics,2009,232(2):187-200.[4] YANG J B,WEI Z L.Positive solutions of n-th order m-point boundary valueproblem[J].Applied mathematics and computation,2008,202(2):715-720.[5] PANG C C,DONG W,WEI Z L.Green’s function and positive solutions of n-th order m-point boundary value problem[J].Applied mathematics andcomputation,2006,182(2):1231-1239.[6] GRAEF J R,YANG B.Positive solutions to a multi-point or nonlinear higher order boundary value problem[J].Journal of mathematical analysis andapplications,2006,316(2):409-421.[7] GRAEF J R,MOUSSAOUI T.A Class of n-th order BVPs with nonlocalconditions[J].Computers and mathematica applications,2009,58(8):1662-1671.[8] WEBB J R L.Nonlocal conjugate type boundary value problem of higherorder[J].Nonlinear analysis:TMA,2009,71(5/6):1933-1940.[9] MA Q Z,DU R J.Existence of positive solutions for semipositine multi-point boundary-value problems[J].Journal of Lanzhou university(natural sciences),2007,43(5):98-100.[10] ZHAI C B.Existence of positive solutions for semipositine three-point boundary value problems[J].Journal of computational and applied mathematics,2009,228(1):279-286. [11] MA R.Multiple positive solutions for a semipositine four-order boundary value problem[J].Hiroshima Math J,2003,33(2):217-227.[12] ANURADHA V,HAI D D,SHIVAJI R.Existence results for superlinear semipositine BVP’S[J].Proceedings of the American mathematical societ y[J].1996,124(3):757-763. [13] 沈文国.二阶无穷多点半正边值问题正解的存在性问题[J].华中师范大学学报(自然科学版),2013,47(2):145-149.[14] SUN J,WEI J.Existence of positive solutions for semipositine second order three-point boundary value problem[J].Electronic journal of differential equations,2008,79(41):1-7. [15] GUO D,LAKSHMIKANTHAM V.Nonlinear problems in abstract cones,vol.5 of notes and reports in mathematics in science and engineering[M].Boston,Mass,USA:Academic Press,1988.[16] ZHANG G W,SUN J X.A generalization of the cone expansion and compression fixed point theorem and applications[J].Nonlinear Anal:TMA,2007,67(2):579-586.。

具有无穷边界值的二次非线性奇摄动边值问题的双边界层

具有无穷边界值的二次非线性奇摄动边值问题的双边界层韩建邦; 沈启霞【期刊名称】《《高校应用数学学报A辑》》【年(卷),期】2016(031)003【总页数】11页(P316-326)【关键词】无穷大边界值; 双边界层; 边界层校正; 微分不等式【作者】韩建邦; 沈启霞【作者单位】郑州科技学院基础部河南郑州450064【正文语种】中文【中图分类】O175.14关于带Dirichlet、Robin等边界条件的二阶奇摄动边值问题的边界层,内层与角层现象等,利用微分不等式理论,Chang与Howes[1]已作了详细总结,Kevorkian及Cole[2]以几类具体的拟线性奇摄动边值问题为例,指出了二阶拟线性奇摄动边值问题解的渐近行为的复杂性.然而他们工作不涉及具有无穷边界值条件的奇摄动边值问题.近年来,具有无穷大边界值的奇摄动问题引起了学者的兴趣.倪明康[3]研究了拟线性方程组的无穷大初值问题,并对该问题的一致有效渐近解进行构造,对渐近解的余项进行估计.莫嘉琪等[4-7]基于双曲正、余切函数,研究了几类二阶拟线性奇摄动边值问题的激波解,对激波出现的条件与位置进行了讨论．王爱峰与倪明康[8]研究了如下问题:通过变换,将上述问题转化为吉洪诺夫系统,利用边界层函数法构造了问题形式渐近解,并利用逐次逼近法证明了解的存在唯一性,同时给出了渐近解的一致有效的估计.胡永生等[9]研究了如下具有无穷大边界值的半线性奇摄动Robin问题:其中ϵ为正的小参数,h(t,y)为[a,b]×R上足够光滑的函数，pi＞0(i=1,2),A,B均为常数，并分析上述问题的双边界层行为.周哲彦等[10]研究了如下带有无穷大边界值的二阶拟线性奇摄动Robin问题：构造了边值问题在左、右两个端点领域的边界层校正函数,给出了问题的解关于退化解的渐近估计,而对于带无穷边界值的二次奇摄动问题的双边界层行为研究较少,如韩建邦等[11]考虑如下带无穷边界值的二次奇摄动Robin问题：重点关注边界值的奇异程度对解的边界层行为的影响。

一类高阶方程的奇摄动边值问题

一类高阶方程的奇摄动边值问题
许友伟;姚静荪;刘燕
【期刊名称】《应用数学》
【年(卷),期】2014(27)2
【摘要】在适当条件下,对一类具非线性边界条件的高阶方程的奇摄动问题,通过引入非常规的渐近序列,运用合成展开法,构造问题的形式渐近解,再运用微分不等式理论证明原问题解的存在性及所得形式渐近解的一致有效性.
【总页数】8页(P330-337)
【关键词】奇摄动;非线性边值问题;高阶微分方程;微分不等式理论
【作者】许友伟;姚静荪;刘燕
【作者单位】安徽师范大学数学计算机科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O175.14
【相关文献】
1.一类奇摄动高阶方程非线性多点边值问题 [J], 刘燕;杜冬青
2.一类奇摄动高阶方程非线性多点边值问题 [J], 刘燕;杜冬青
3.一类高阶拟线性椭圆型方程奇摄动广义边值问题 [J], 莫嘉琪;欧阳成
4.一类高阶拟线性椭圆型方程奇摄动边值问题(英文) [J], 莫嘉琪;朱江
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非线性奇异摄动边值问题的近似解

非线性奇异摄动边值问题的近似解
彭丽
【期刊名称】《长春理工大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2002(025)001
【摘要】本文利用Green函数积分算子及Galerkin有限元方法研究了二阶非线性奇异摄动边值问题的近似解,并给出了数值结果及精度估计.
【总页数】6页(P5-10)
【作者】彭丽
【作者单位】长春光学精密机械学院应用数学系,吉林,长春,130022
【正文语种】中文
【中图分类】O241.81
【相关文献】
1.奇异摄动抛物方程初边值问题角层解的高阶渐近近似 [J], 曾建;陈松林
2.非线性边值问题的有限元近似解 [J], 彭丽
3.一类非线性边值问题的近似解 [J], 邹洁
4.一类非线性时滞奇异摄动边值问题的激波解 [J], 朱红宝;陈松林;杜亚洁
5.一类非线性奇性方程的奇异摄动边值问题的渐近解 [J], 莫嘉琪;王辉
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高等有限元课后题答案 (1)

2 弹性力学问题的有限单元法思考题2.1 有限元法离散结构时为什么要在应力变化复杂的地方采用较密网格，而在其他地方采用较稀疏网格？答：在应力变化复杂的地方每一结点与相邻结点的应力都变化较大，若网格划分较稀疏，则在应力突变处没有设置结点，而使得所求解的误差很大，若网格划分较密时，则应力变化复杂的地方可以设置更多的结点，从而使得所求解的精度更高一些。

2.2 因为应力边界条件就是边界上的平衡方程，所以引用虚功原理必然满足应力边界条件，对吗？答：对。

2.3 为什么有限元只能求解位移边值问题和混合边值问题？弹性力学中受内压和外压作用的圆环能用有限元方法求解吗？为什么？答：有限元法是一种位移解法，故只能求解位移边值问题和混合边值问题。

而应力边值问题没有确定的位移约束，不能用位移法求解，所以也不能用有限元法求解。

2.4 矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调吗？答：能。

矩形单元的插值函数满足单元内部和单元边界上的连续性要求，是一个协调元。

矩形的插值函数只与坐标差有关，旋转一个角度后各个结点的坐标差保持不变，所以插值函数保持不变。

因此矩形单元旋转一个角度后还能够保持在单元边界上的位移协调。

2.5 总体刚度矩阵呈带状分布，与哪些因素有关？如何计算半带宽？答：因素：总体刚度矩阵呈带状分布与单元内最大结点号与最小结点号的差有关。

计算：设半带宽为B ，每个结点的自由度为n ，各单元中结点整体码的最大差值为D ，则B=n(D+1)，在平面问题中n=2。

2.6 为什么单元尺寸不要相差太大，如果这样，会导致什么结果？答：由于实际工程是一个二维或三维的连续体，将其分为具有简单而规则的几何单元，这样便于网格计算，还可以通过增加结点数提高单元精度。

在几何形状上等于或近似与原来形状，减小由于形状差异过大带来的误差。

若形状相差过大，使结构应力分析困难加大，误差同时也加大。

2.7 剖分网格时，在边界出现突变和有集中力作用的地方要设置结点或单元边界，试说明理由。

简单多边形方向识别的健壮算法

简单多边形方向识别的健壮算法
丁健;江南;芮挺
【期刊名称】《计算机辅助设计与图形学学报》
【年(卷),期】2005(017)003
【摘要】极值顶点前后相邻边矢量叉积法是识别任意简单多边形方向的最优算法.该算法存在的问题是:当极值顶点前后相邻边夹角接近0°或180°时,叉积结果接近0,因此存在二义性,会导致错误的方向识别.针对现有算法对奇异情形方向判别解决不彻底的问题.定义了多边形极值顶点奇异情形,对相邻边夹角接近0°和180°两种奇异情形给出了判定方法;提出了极点前后点坐标比较法和极点序号大小比较法,有效地解决了所有奇异情形下的方向识别问题,它们都可以发展成为独立的方向判断算法.实验结果表明,该算法简单高效,健壮性强,时间复杂度为O(n).
【总页数】6页(P442-447)
【作者】丁健;江南;芮挺
【作者单位】中国科学院南京地理与湖泊研究所,南京,210008;中国科学院研究生院,北京,100039;解放军理工大学工程兵工程学院,南京,210007;中国科学院南京地理与湖泊研究所,南京,210008;解放军理工大学工程兵工程学院,南京,210007
【正文语种】中文
【中图分类】TP301;TP391
【相关文献】
1.简单多边形凸凹性自识别算法 [J], 陈炳发;钱志峰;廖文和
2.基于凸包求解的简单多边形方向判断新算法 [J], 吕福起;赵丹
3.基于凸包求解的简单多边形方向判断新算法 [J], 吕福起;赵丹
4.基于八区域的简单多边形顶点凸凹性识别算法 [J], 薛理;杨树文;王中辉;张珊;马吉晶
5.基于象限划分的简单多边形方向与顶点凸凹性快速判别算法 [J], 庞明勇;卢章平因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

计算机图形学基础(第2版)课后习题答案__陆枫

第一章绪论概念：计算机图形学、图形、图像、点阵法、参数法、图形的几何要素、非几何要素、数字图像处理；计算机图形学和计算机视觉的概念及三者之间的关系；计算机图形系统的功能、计算机图形系统的总体结构。

第二章图形设备图形输入设备：有哪些。

图形显示设备：CRT的结构、原理和工作方式。

彩色CRT：结构、原理。

随机扫描和光栅扫描的图形显示器的结构和工作原理。

图形显示子系统：分辨率、像素与帧缓存、颜色查找表等基本概念，分辨率的计算第三章交互式技术什么是输入模式的问题，有哪几种输入模式。

第四章图形的表示与数据结构自学，建议至少阅读一遍第五章基本图形生成算法概念：点阵字符和矢量字符；直线和圆的扫描转换算法；多边形的扫描转换：有效边表算法；区域填充：4／8连通的边界／泛填充算法；内外测试：奇偶规则，非零环绕数规则；反走样：反走样和走样的概念，过取样和区域取样。

5.1.2 中点Bresenham 算法（P109）5.1.2 改进Bresenham 算法（P112）习题解答习题5（P144）5.3 试用中点Bresenham算法画直线段的原理推导斜率为负且大于1的直线段绘制过程（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。

（P111）解：k<=-1 |△y|/|△x|>=1 y为最大位移方向故有构造判别式：推导d各种情况的方法(设理想直线与y=yi+1的交点为Q)：所以有：y Q-kx Q-b=0 且y M=y Qd=f(x M-kx M-b-(y Q-kx Q-b)=k(x Q-x M)所以，当k<0，d>0时，M点在Q点右侧（Q在M左），取左点 P l(x i-1,y i+1)。

d<0时，M点在Q点左侧（Q在M右），取右点 Pr(x i,y i+1)。

d=0时，M点与Q点重合（Q在M点），约定取右点Pr(x i,y i+1) 。

所以有递推公式的推导：d2=f(x i-1.5,y i+2)当d>0时,d2=y i+2-k(x i-1.5)-b 增量为1+k=d1+1+k当d<0时,d2=y i+2-k(x i-0.5)-b 增量为1=d1+1当d=0时,5.7 利用中点Bresenham 画圆算法的原理，推导第一象限y＝0到y＝x圆弧段的扫描转换算法（要求写清原理、误差函数、递推公式及最终画图过程）。

适用于自由曲面高速高精加工的旋转轴位置优化算法

(6)
在依据式(3)对图 1 所示轨迹进行实际加工时，由于刀轴矢量与旋转轴间所存在的非线性关系，使得实际加工中刀轴矢量所形成的曲面偏离首末矢量确定的平面，如图 3 所示。图 3 中，曲面∏i,R 为采用线性插补方法对任意程序段 MiMi+1 进定的平面。曲面∏i,R 偏离平面∏i,T 的最大角定义为该段刀具姿态误差δi，其计算过程如下所述。
机床两个旋转轴的引入，使得加工更为灵活，成为 [2] 实现自由曲面高速高精加工的有效途径。然而， [3-4] 两个旋转轴的引入也使得机床轴运动更为复杂。现有五轴数控加工系统多采用线性插补方式实现对加工中各轴位置的控制。这种方式实现简单，但由于刀轴矢量与旋转轴间存在非线性关系，不能保证加工中刀具始终在预期平面上运动，易导致非线性 [5-6] 误差的产生。为解决该问题，TAKEUCHI 等提出了线性加密法，通过对超过加工最大非线性误差
0 u, v 1
(4) 两刀轴矢量 Vi 与 Vi+1 所确定的平面∏i,T 定义如下 i ,T u, v v sin i u N i cos i u Vi 0 u, v 1
(5)
0 u 1 (3) 式中，Ni 可通过式(6)确定 Vi Vi+1 Wi V V i i+1 W V i N i i W V i i i (u)满足下述条件 V V i (u ) arccos i i+1 u V V i+1 i 则刀具姿态误差 δi 可根据式(8)计算
Abstract：Currently existing tool path planning algorithms may result in large variations of tool rotation axes in five-axis machining of free-form surfaces, leading to problems of non-linear errors and acceleration and deceleration of rotation axes. Aiming at solving these problems, an algorithm of optimization of rotation axes is proposed after analyzing the relationship between values of rotation angles and non-linear errors. Values of rotation angles can therefore be taken as the criteria for determination of areas that should be optimized and the corresponding regions are defined by regional recursive extended principle. While the positions of tool tips are still maintained, rotation axes are changed according to the principle of equal rotating amount. Results show that the algorithm has advantages of less machining errors, shorter machining time, and higher machining efficiency. Key words：Rotation axis Optimization of rotation axes Tool orientation error Free-form surface Five-axis CNC machining