江苏省常州市武进区2018届高三数学上学期期中试卷文含解析

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2021届江苏省常州市2018级高三上学期11月期中考试数学试卷及答案

2021届江苏省常州市2018级高三上学期11月期中考试数学试卷★祝考试顺利★（含答案）注意事项:1. 本试卷共150分,考试时间120分钟.2. 答题前,考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内.一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一个是符合题目要求的.1. 已知集合A ={-2,-1,0,1,2},B ={y |y =x 2},则A ∩(∁R B )等于 ( )A. {-2,-1}B. {-2,-1,0}C. {0,1,2}D. {1,2}2. 已知i 是虚数单位,则复数1+√3i -i 等于 ( ) A. -√3-iB. -√3+iC. √3-iD. √3+i3. tan15°等于( ) A. -√3-1B. 2-√3C. √3+1D. 2+√34. 函数y =sin2x 的图象可由函数y =cos (2x +π6)的图象( ) A. 向左平移π12个单位长度得到B. 向右平移π6个单位长度得到C. 向左平移π4个单位长度得到D. 向右平移π3个单位长度得到5. 已知函数f (x )=x 2+a ln x ,a >0.若曲线y =f (x )在点(1,1)处的切线是曲线y =f (x )的所有切线中斜率最小的,则a 等于( )A. 12B. 1C. √2D. 26.某校全体学生参加物理实验、化学实验两项操作比赛,所有学生都成功完成了至少一项实验,其中成功完成物理实验的学生占62%,成功完成化学实验的学生占56%,则既成功完成物理实验又成功完成化学实验的学生占该校学生的比例是()A. 44%B. 38%C. 18%D. 6%7.声强是表示声波强度的物理量,记作I.由于声强I的变化范围非常大,为方便起见,引入声强级的概念,规定声强级L=lg II0,其中I0=10-20W/m2,声强级的单位是贝尔,110贝尔又称为1分贝.生活在30分贝左右的安静环境有利于人的睡眠,而长期生活在90分贝以上的噪音环境中会严重影响人的健康.根据所给信息,可得90分贝声强级的声强是30分贝声强级的声强的()A. 3倍B. 103倍C. 106倍D. 109倍8.已知奇函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且f(1)=-1,则“x>-1”是“|xf(x)|<1”的()A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件二、多项选择题:本大题共4小题,每小题5分, 共20分.在每小题给出的四个选项中,有多项是符合题目要求的.全部选对的得5分,有选错的得0分,部分选对的得3分.9.已知a>b>0,c∈R,则下列不等式中正确的有()A. a2>b2B. ac2≥bc2C. 1a >1bD. 1a-b>1a+b10. i是虚数单位,下列说法中正确的有()A. 若复数z满足z·z=0,则z=0B. 若复数z1,z2满足|z1+z2|=|z1-z2|,则z1z2=0。

江苏省常州市武进区高三数学上学期期中考试试题理苏教版

武进区2014届第一学期期中考试高三理科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1. 已知集合{}24A x x =<，{}0,1,2B =，则A B =I ▲ ．2．若点(,9)a 在函数3xy =的图像上，则6tanπa 的值为 ▲ ． 3．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若34a =，则5S 的值为 ▲ ．4．已知向量(1,3)=a ，(2,1)=-b ，(3,2)=c .若向量c 与向量k +a b 共线，则实数k = ▲ ． 5、将函数)63cos(2)(π+=x x f 的图象向左平移4π个单位，再向下平移1个单位，得到函数)(x g 的图象，则)(x g 的解析式为 ▲ ．6．已知ABC ∆中，AB =1BC =，30A =︒，则AC = ▲ ． 7．若实数x 、y 满足()222x y x y +=+，则x y +的最大值是 ▲ ．8．已知b a ,是非零向量且满足a b a ⊥-)(2，b a b ⊥-)(2，则与的夹角是 ▲ ．9. 定义在R 上的函数()f x ，其导函数()'fx 满足()'1f x >，且()23f =，则关于x 的不等式()1f x x <+的解集为 ▲ ．10．若关于x ，y 的不等式组10,10,10x y x ax y +-≥⎧⎪-≤⎨⎪-+≥⎩（a 为常数）所表示的平面区域的面积等于3，则a 的值为 ▲ ．11．定义在R 上的函数()f x 满足:()()21f x f x +⋅=，当[)2,0x ∈-时，2013.11()()2log 3f x x =-+，则()2013f = ▲ ．12．已知正项等比数列{}n a 满足：6542a a a =+，若存在两项m a ，n a12a =，则14m n+的最小值为 ▲ ．13．在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，()2,0A ，()0,1B ，则点集{},1,,P OP OA OB R λμλμλμ=++≤∈u u u r u u u r u u u r所表示的平面区域的面积是 ▲ ．14．任给实数a ，b 定义,0,0ab ab a b a ab b≥⎧⎪⊕=⎨<⎪⎩，设函数()ln f x x x =⊕，若{}n a 是公比大于0的等比数列，且41a =， ()()()12612f a f a f a a +++=L ，则1a = ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）函数()2sin()f x x ωϕ=+(0,0)2ωϕπ><<的部分图象如下图所示，该图象与y 轴交于点F ，与x 轴交于点,B C ，M 为最高点，且MBC ∆的面积为π．⑴ 求函数()f x 的解析式；⑵若()(0,)42f ααππ-=∈，求cos(2)4απ+的值．已知A B 、分别在射线CM CN 、（不含端点C ）上运动，23MCN ∠=π，在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ．⑴ 若a 、b 、c 依次成等差数列，且公差为2．求c 的值；⑵若c =ABC ∠=θ，试用θ表示ABC ∆的周长，并求周长的最大值．17.（本小题满分14分）已知函数32()4f x x ax =-+-（a ∈R ）.上的最小值；⑵ 若存在),0(0+∞∈x ，使0)(0>x f ，求a 的取值范围．AB M N某厂家举行大型的促销活动，经测算某产品当促销费用为x 万元时，销售量P 万件满足123+-=x P (其中0x a ≤≤，a 为正常数). 现假定生产量与销售量相等，已知生产该产品P 万件还需投入成本()102P +万元（不含促销费用），产品的销售价格定为204P ⎛⎫+⎪⎝⎭万元/万件. ⑴ 将该产品的利润y 万元表示为促销费用x 万元的函数； ⑵ 促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大.19．（本题满分16分）各项均为正数的等比数列{}n a ，11a =，2416a a =，单调增数列{}n b 的前n 项和为n S ，12b =，且()2*632n n n S b b n N =++∈． ⑴ 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； ⑵ 令()*nn nb c n N a =∈，求使得1n c >的所有n 的值，并说明理由； ⑶ 证明{}n a 中任意三项不可能构成等差数列．20．(本小题满分16分)已知函数()3xf x e a =+（ 2.71828e =…是自然对数的底数）的最小值为3． ⑴ 求实数a 的值；⑵ 已知b R ∈且0x <，试解关于x 的不等式()22ln ln3(21)3f x x b x b -<+--；⑶ 已知m Z ∈且1m >.若存在实数[1,)t ∈-+∞，使得对任意的[1,]x m ∈，都有()3f x t ex +≤，试求m 的最大值．2014届第一学期期中考试高三理科数学试题答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分） 1、{}0,12、33、204、1-5、1)43cos(2)(-+=πx x g6、1或27、48、3π9、(),2-∞ 10、 5 11、12 12、9413、4 14、2e二、解答题：（本大题共6道题，计90分．） 15．（本题满分14分）解：（1）∵122MBC S BC BC ∆=⨯⨯==π， ∴周期2,1T ωω2π=π==．……………………………………3分由(0)2sin f ϕ==，得sin ϕ=， ∵02ϕπ<<，∴4ϕπ=，……………………………………6分 ∴()2sin()4f x x π=+．……………………………………7分（2）由()2sin 4f ααπ-==sin α=9分∵(0,)2απ∈，∴cos α==，.∴234cos 22cos 1,sin 22sin cos 55ααααα=-===…………………………12分∴cos(2)cos 2cos sin 244αααππ+=-3455=-=．………14分 16．（本题满分14分）解：（1）Q a 、b 、c 成等差，且公差为2，∴4a c =-、2b c =-.……………………………………2分2013.11又Q 23MCN ∠=π，1cos 2C =-，∴222122a b c ab +-=-，………………4分∴()()()()2224212422c c c c c -+--=---，恒等变形得 29140c c -+=，解得7c =或2c = (6)分又Q 4c >，∴7c =. ………………………………………7分（2）在ABC ∆中，sin sin sin AC BC ABABC BAC ACB==∠∠∠，∴2sin sin sin 33ACBC ===πθ⎛⎫-θ ⎪⎝⎭，2sin AC =θ，2sin 3BC π⎛⎫=-θ ⎪⎝⎭. (9)分∴ABC ∆的周长()f θAC BC AB =++2sin 2sin 3π⎛⎫=θ+-θ+ ⎪⎝⎭12sin 2⎛⎫=θ+θ ⎪ ⎪⎝⎭2sin 3π⎛⎫=θ++ ⎪⎝⎭11分又Q 0,3π⎛⎫θ∈ ⎪⎝⎭，∴2333πππθ<+<， …………………………………12分∴当32ππθ+=即6πθ=时，()f θ取得最大值2．……………………14分17.（本小题满分14分）解：（1）.23)(2ax x x f +-=' …………………………. ……………1分根据题意，(1)tan1,321, 2.4f a a π'==∴-+==即 …………………3分此时，32()24f x x x =-+-，则2()34f x x x '=-+.令124'()00,.3f x x x ===，得…………………………………………………………………………………………. 6分∴当[]1,1x ∈-时，()f x 最小值为()04f =-. ………………………7分（2）).32(3)(a x x x f --='Θ ①若0,0,()0,()(0,)a x f x f x '><∴+∞≤当时在上单调递减. 又(0)4,0,() 4.f x f x =-><-则当时000,0,()0.a x f x ∴>>当≤时不存在使…………………………………………..10分②若220,0,()0;,()0.33a aa x f x x f x ''><<>><则当时当时从而)(x f 在（0，23a）上单调递增，在（23a ，+)∞上单调递减. .4274494278)32()(,),0(333max-=-+-==+∞∈∴a a a a f x f x 时当根据题意，33440,27. 3.27a a a ->>∴>即 …………….............................. 13分综上，a 的取值范围是(3,)+∞.……………………………………14分 18．（本题满分16分）解：（1）由题意知，该产品售价为)210(2PP+⨯万元，……………2分x P P PPy ---⨯+⨯=210)210(2，……………………………………4分代入化简得 416()1y x x =-++，（0x a ≤≤）……………………………………6分（2）13)1(14217)114(17=+⨯+-≤+++-=x x x x y 当且仅当1,114=+=+x x x 即时，上式取等号. …………………………………9分当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大； (11)分当1a <时，()()()'21301x x y x --⋅+=>+，故)114(17+++-=x x y 在[]0,a 上单调递增，所以在x =a 时，函数有最大值.促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 .……………………15分综上述，当1a ≥时，促销费用投入1万元时，厂家的利润最大；当1a <时，促销费用投入a 万元时，厂家的利润最大 . ……………………………………16分19．（本题满分16分）解：（1）∵2a 4a =244116a q q ==，2q =4，∵0n a >，∴q =2， ∴12-=n n a ……………………………………2分 ∴b 3=4a ＝8. ∵263n n n S b b =++2 ① 当n ≥2时，211163n n n S b b ---=++2 ②①-②得2211633n n n n n b b b b b --=-+-即111()()3()n n n n n n b b b b b b ---+-=+12b =Q ，单调增数列{}n b ，0n b ∴>，∴1n n b b --=3，∴}{n b 是公差为3的等差数列．…………………………4分由12b =得，()1131n b b n d n =+-=-． …………………………6分（2）∵31n b n =-，∴n n n b c a =＝1312n n --， ∴1c =2>1，2c =52＞1，3c =2>1，4118c =>1，578c =<1，…………………………8分下面证明当n ≥5时，1n c <．事实上，当n ≥5时，11323122n n nn n n c c +-+--=-＝432n n-＜0 即1n n c c +<，∵578c =<1 ∴当n ≥5时，1<n C ，…………………………10分故满足条件1n c >的所有n 的值为1，2，3，4．…………………………11分(3)假设}{n a 中存在三项p ，q ，r (p <q <r ，p ，q ，R ∈N *)使a p ， a q ， a r 构成等差数列， ∴ 2a q =a p +a r ，即2g 2q —1=2p —1+2r —1．∴2q —p +1=1+2r —p．…………………………13分因左边为偶数，右边为奇数，矛盾．∴假设不成立，故不存在任意三项能构成等差数列．…………………………16分 20．(本小题满分16分)解：（1）因为R x ∈，所以0x ≥，故0()3e 3e 3xf x a a a =+≥+=+，因为函数()f x 的最小值为3，所以0a =． ………………3分（2）由（1）得，()3e xf x =.当0x <时，ln ()ln(3e )ln3ln e ln3ln3x xf x x x ==+=+=-+，……… 5分故不等式22ln ()ln 3(21)3f x x b x b -<+--可化为：22(21)3x x b x b -<+--，即22230x bx b +->， ……………… 7分得(3)()0x b x b +->，所以，当0b ≥时，不等式的解为3x b <-；当0b <时，不等式的解为x b <．……… 9分（3）∵当[1,)t ∈-+∞且[1,]x m ∈时，0x t +≥，∴()3e 1ln x tf x t x eex t x x ++≤⇔≤⇔≤+-.∴原命题等价转化为:存在实数[1,)t ∈-+∞，使得不等式1ln t x x ≤+-对任意[1,]x m ∈恒成立. …………… 11分令()1ln (0)h x x x x =+->.∵011)('≤-=xx h ，∴函数()h x 在(0,)+∞为减函数. 又∵[1,]x m ∈，∴m m m h x h -+==ln 1)()(min . …………… 13分 ∴要使得对[1,]x m ∈，t 值恒存在，只须1ln 1m m +-≥-．………… 14分 ∵131(3)ln 32ln()ln 1h e e e=-=⋅>=-，2141(4)ln 43ln()ln 1h e e e=-=⋅<=-且函数()h x 在(0,)+∞为减函数，∴满足条件的最大整数m 的值为3．…… 16分。

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武进区2014届第一学期期中考试高三文科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知集合{}},12,3,1{,,32--==m B m A 若B A ⊆，则实数m 的值为 ▲ ． 2．函数()2cos f x x =的最小正周期是 ▲ ．3．已知两条直线12:330,:4610.l ax y l x y +-=+-=若12//l l ，则a = ▲ ． 4．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若43a =，则7S 的值为 ▲ ． 5．已知向量()1,3a =，()2,1b =-，()3,2c =.若向量c 与向量a kb +共线，则实数k = ▲ ．6．已知直线l ⊥平面α，直线m ⊂平面β，给出下列命题： ① 若//αβ，则l m ⊥； ② 若αβ⊥，则//l m ； ③ 若//l m ，则αβ⊥； ④ 若l m ⊥，则//αβ.其中正确命题的序号是 ▲ ．（把所有正确的命题序号都填上） 7．定义在R 上的函数()f x 满足:()()23f x f x +⋅=，且()12f -=，则()2013f ＝ ▲ ．8．若实数x ，y 满足22(2)1x y -+=，则z x y =+的最大值是 ▲ ．9．在直角三角形ABC 中，90ACB ∠=︒，2AC BC ==，点P 是斜边AB 上的一个三等分点，则CP CB CP CA ⋅+⋅= ▲ ． 10．已知函数()sin 2f x x =，其中π[,]6x a ∈-．若()f x的值域是⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则a 的取值范围是 ▲ ．11．如图，在正三棱锥A －BCD 中，底面正三角形BCD 的边长为2，点E 是AB 的中点，AC ⊥DE ，则正三棱锥A －BCD2013.11的体积是 ▲ ．12．已知点P 的坐标4(,)1x y x y y x x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩满足，过点P 的直线l 与圆22:16C x y +=相交于A 、B 两点，则AB 的最小值为．13. 定义域为R 的函数()2log 2,21,2x x f x x ⎧-≠=⎨=⎩，若关于x 的方程()()20f x bf x c ++=恰有5个不同的实数解1x ，2x ，3x ，4x ，5x ，则(1)f b c +-等于 ▲ ．14．曲线C ：)0,0(||>>-=b a ax by 与y 轴的交点关于原点的对称点称为“望点”，以“望点”为圆心，凡是与曲线C 有公共点的圆，皆称之为“望圆”，则当1,1==b a 时，所有的“望圆”中，面积最小的“望圆”的面积为 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，且()f A =2cossin()22A A π-22sin cos 22A A+-. ⑴ 求函数()f A 的最大值； ⑵若()0,,12f A B a 5π===c 的值．如图，四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为矩形，⊥PA 平面PDC ， ⑴ 求证：平面PAD ⊥平面ABCD ；⑵ 在棱PD 上是否存在一点E ，使得PB // 平面EAC ？如果存在，请找出点E 并加以证明；如果不存在，请说明理由．17．（本题满分14分）已知函数()52f x x x=+的定义域为()0,+∞.设点P 是函数图像上的任意一点，过点P 分别作直线2y x =和y 轴的垂线，垂足分别为M 、N .⑴ PM PN ⋅是否为定值？若是，求出该定值；若不是，说明理由； ⑵ 设点O 为坐标原点，求四边形OMPN 面积的最小值.DPBC甲乙两地相距300千米，一汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过a 千米/小时，已知该汽车每小时的运输成本P (元)关于速度v (千米/小时)的函数关系是43111519200160P v v v =-+.⑴ 试将全程运输成本Q (元)表示为速度v 的函数；⑵ 为使全程运输成本最少，汽车应以多少速度行驶？并求此时运输成本的最小值.19．（本题满分16分）已知数列{}n a 中，112a =，()111222n n n a a n -=+≥，数列{}n b 满足n n n a b 2=. ⑴ 求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；⑵ 求数列{}n a 的前n 项和n S ；⑶ 设数列{}n c 满足n c a n n n n λ1)1()3(--=-（λ为非零常数，*N n ∈），问是否存在整数λ，使得对任意*N n ∈，都有n n c c >+1.20．（本题满分16分）已知函数()1ln ,f x a x x x R x ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭． ⑴ 若2a =，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； ⑵ 若0a >，求函数()f x 的单调区间； ⑶ 设函数()ag x x=-．若至少存在一个[)01,x ∈+∞，使得()()00f x g x >成立，求实数a 的取值范围．2014届第一学期期中考试高三文科数学试题答案一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1、 12、 π3、 24、 215、1-6、①③7、32 8、2+、4 10、2,43ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦11、312、13、 2 14、π3 二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）15．（本题满分14分）解：（1）22()2cos sin sin cos 2222A A A A f A =+-sin cos )4A A A π=-=-.……3分因为0A <<π，所以444A ππ3π-<-<.………………4分则所以当42A ππ-=，即34A π=时，()f A………7分（2）由题意知())04f A A π=-=，所以sin()04A π-=．又知444A ππ3π-<-<，所以04A π-=，则4A π=.………………10分因为12B 5π=，所以712A C π+=，则3C π=.………………12分由sin sin a c A C =得，sinsin 36sin sin 4a C c A π===π．………………14分 16．（本题满分14分）2013.11C（1）证明：⊥PA 平面PDC ，CD ⊂平面PDC ，∴ CD PA ⊥．………………2分四边形ABCD 为矩形，∴CD AD ⊥， ………………4分PA AD A =，∴⊥CD 平面PAD ． ………………6分CD ⊂平面ABCD ∴平面PAD ⊥平面ABCD ． ………………7分（2）答：当点E 为棱PD 中点时，PB // 平面EAC . ………………9分证明：取棱PD 中点E ，连接BD 与AC 相交于点O ，连结EO ．四边形ABCD 为矩形，∴O 为BD 中点．E 为棱PD 中点．∴ EO PB //． ………………12分⊄PB 平面EAC ，⊂EO 平面EAC ，∴直线PB //平面EAC ． ………………14分17．（本题满分14分）解：⑴设点P 的坐标为()00,x y ，则有00052y x x =+，………………2分由点到直线的距离公式得0PM x ===，..................4分 0PN x =， (6)分PM PN ∴⋅=PM PN ⋅7分（2）由题意可设(),2M t t ，知()00,N y . 由PM 与直线2y x =垂直，知12PM K =-，即00212y t x t -=--，又00052y x x =+，解得002t x x =+，故002OM x x ⎫=+⎪⎭.………………10分所以020001252122OPMS x x x ∆⎫⎛⎫=+=+⎪ ⎪⎭⎝⎭，20000155222OPN S x x x x ∆⎛⎫=⋅⋅+=+ ⎪⎝⎭.………………12分所以22002200525515522OMPN OPM OPN S S S x x x x ∆∆⎛⎫=+=+++=++≥ ⎪⎝⎭. 当且仅当1405x =时等号成立，故四边形面积有最小值5.………………14分 18．（本题满分16分）解：（1）43300113001519200160Q P v v v v v⎛⎫=⋅=-+⋅⎪⎝⎭………………3分32111530019200160v v ⎛⎫=-+⋅ ⎪⎝⎭，0100v <≤.………………5分（2）()'2380323001920016064v v Q v v -⎛⎫=-⋅=⎪⎝⎭，………………7分令0,0=='v Q 则（舍去）或80=v ，当;0,800<'<<Q v 时当80v >时，0>'Q ，………………9分当80a ≥时， 80v =时，全程运输成本取得极小值，即最小值()80500Q =；……………………………………12分当80a <时，Q 在[]0,a 上单调递减，所以在v a =时，全程运输成本取得最小值()32154500648a a Q a =-+.……………………16分19．（本题满分16分）解：（1）由()111222n n n a a n -=+≥，则12211+=--n n n n a a . ∵n n n a b 2=，∴11+=-n n b b ，即当2≥n 时，11=--n n b b .………………3分又1211==a b ，∴数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 于是n n n a n n b 21)1(1==⋅-+=，∴n n na 2=.………………5分（2）由（1）得nn na 2=，所以211112222nnS n =⨯+⨯++⋅①， 2311111122222n n S n +∴=⨯+⨯++⋅ ②，………………7分由①－②得211111122222n n n S n +=+++-⋅111122n n n +=--⋅， 222n n nS +∴=-.………………9分（3）∵()()1113312n n n n n nnn c a λλ---⋅=+=+-⋅，∴]2)1(3[]2)1(3[1111n n n n n n n n c c ⋅-+-⋅-+=--+++λλ02)1(3321>⋅--⋅=-n n n λ∴1123)1(--⎪⎭⎫⎝⎛<⋅-n n λ ①………………11分当n =2k －1，k =1，2，3，……时，①式即为2223-⎪⎭⎫⎝⎛<k λ ②依题意，②式对k =1，2，3……都成立，∴1<λ………………13分当n =2k ，k =1，2，3，……时，①式即为1223-⎪⎭⎫⎝⎛->k λ ③依题意，③式对k =1，2，3……都成立， ∴23->λ ∴123<<-λ，又0≠λ………………15分 ∴存在整数1-=λ，使得对任意*N n ∈有n n c c >+1.………………16分20．（本题满分16分）解：函数的定义域为()0,+∞，()2'22111ax x a f x a x xx -+⎛⎫=+-= ⎪⎝⎭ 222122()(1)ax x af x a x x x -+'=+-=． …………………………………………………1分（1）当2a =时，函数()12ln f x x x x ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭，由()10f =，()'13f =．所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为()31y x =-，即330x y --=．………………………………………………………………………4分（2）函数()f x 的定义域为()0,+∞．由0a >，214a ∆=-，（ⅰ）若102a <<，由()'0f x >，即()0h x >，得12x a <或12x a+>；由()'0f x <，即()0h x <，得1122x a a<<．……………………6分所以函数()f x的单调递增区间为⎛ ⎝⎭和⎫+∞⎪⎪⎝⎭，单调递减区间为⎝⎭． ……………………………………8分（ⅱ）若12a ≥，()0h x ≥在()0,+∞上恒成立，则()'0f x ≥在()0,+∞上恒成立，此时()f x 在()0,+∞上单调递增． ………………………………………………………………10分（3））因为存在一个[)01,x ∈+∞使得()()00f x g x >，则00ln ax x >，等价于0ln x a x >. 令()[)ln ,1,xF x x x=∈+∞，等价于“当[)1,x ∈+∞ 时，()min a F x >”. ………12分对()F x 求导，得()'21ln xFx x -=. 因为当[]1,x e ∈时，()'0F x ≥，所以()F x 在[]1,e 上单调递增. 故此时()10,F x e⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当(),x e ∈+∞时，()'0F x <，所以()F x 在[]1,e 上单调递减.，又()0F x >，故此时()10,F x e ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，…………………………………………………14分综上，()10,F x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即()()min 10F x F ==，所以0a >.………………………16分另解：当()1,x ∈+∞时，()0F x >；当1x =时，()0F x =. 即()()min 10F x F ==，所以0a >. 另解：设()()()ln F x f x g x ax x =-=-，[)1,x ∈+∞，()'11ax F x a x x-=-=. 依题意，至少存在一个[)1,x ∈+∞，使得00()()f x g x >成立，等价于当[)1,x ∈+∞ 时，()max 0F x >. ………………………………………12分（1）当0a ≤时，()0F x '<在[)1,+∞恒成立，所以()F x 在[)1,+∞单调递减，只要()()max 10F x F a ==>，则不满足题意. ………………………………13分（2）当0a >时，()'11a x ax a F x x x ⎛⎫- ⎪-⎝⎭==，令()0F x '=得1x a=. （ⅰ）当101a<≤，即1a ≥时，在[)1,+∞上()'0F x ≥，所以()F x 在[)1,+∞上单调递增，由()10F a =>，所以()0F x >恒成立……………………………………………………………14分（ⅱ）当11a>，即01a <<时，在11,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上()0F x '<，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上()0F x '>，所以()F x 在11,a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭单调递减，在1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭单调递增，11 由()10F a =>，所以()0F x >恒成立…………………………………………15分综上所述，实数a 的取值范围为(0,)+∞. ………………………………………16分。

2018届江苏省常州市武进区高三上学期期中考试理科数学试题及答案精品

2018届第一学期期中考试高三理科数学试题一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上） 1．已知集合{}213M x x =-<，集合{}13N x x =-<<，则M N =▲ ．2．已知z 是复数，i 是虚数单位，若i zi +=1，则z = ▲ ． 3．已知命题2:(0,),2,p x x x ∀∈+∞≥-则命题p 的否定是 ▲ ． 4．函数)(x f 的定义域是]1,1[-，则函数)(log 21x f 的定义域为 ▲ ．5．执行如右图所示的程序框图．若输出的结果为3，则可输入的实数x 的个数为 ▲ ． 6．已知tan 2α=，则1sin cos αα=⋅ ▲ ．7．若实数x ，y 满足约束条件1311x y x y ≤+≤⎧⎨-≤-≤⎩，则3x y +的取值范围是▲ ．8．已知向量)1,0(),2,1(==，设k +=，-=2，若//，2018．11第5题图则实数k 的值为 ▲ ．9．已知函数()72sin ,0,63f x x x ππ⎛⎫⎡⎤=+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的图象与直线y m =的三个交点的横坐标分别为1x 、2x 、3x ，其中123xx x <<，那么1232x x x ++的值为▲ ．10．已知x 、y 为正实数，且21x y +=，则1y xy+的最小值为 ▲ ．11．设函数()=2f x mx +，()22g x x x =-，[]01,2x ∀∈-，[]11,2x ∃∈-，使得()()01f x g x >，则实数m 的取值范围是 ▲ ． 12．已知非零向量，满足||332||||a b a b a =-=+，则+与的夹角为 ▲ ．13．已知定义在R 上的奇函数()f x ，设其导函数为()'f x ，当(],0x ∈-∞时，恒有()()'xf x f x <-，则满足()()()1212133x f x f --<的实数x 的取值范围是 ▲ ．14．定义域为R 的偶函数)(x f 满足对x R ∀∈，有)1()()2(f x f x f -=+，且当]3,2[∈x 时，18122)(2-+-=x x x f ，若函数)1|(|log )(+-=x x f y a 在R 上至少有四个零点，则a 的取值范围是 ▲ ．二、解答题：（本大题共6道题，计90分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（本题满分14分）在ABC ∆中，A B C 、、的对边分别为a b c 、、，且cos 4cos cos b C a B c B =-. ⑴ 求cos B 的值;⑵ 若32BA BC ⋅= ，3b =，求a 和c .16．（本题满分14分）如图，在矩形ABCD 中，2,2==BC AB ，点E 是BC 边的中点，点F在边CD 上．⑴ 若O 是对角线AC 的中点， )(R AD AE AO ∈+=μλμλ、，求μλ+的值；⑵ 若2=⋅BF AE ，求线段DF 的长．17．（本题满分14分）如图所示，AB 是半径长为1的半圆的一条直径，现要从中截取一个内接等腰梯形ABCD ，设梯形ABCD 的面积为y .⑴ 设2CD x =，将y 表示成x 的函数关系式并写出其定义域； ⑵ 求梯形ABCD 面积y 的最大值.18．（本题满分16分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点11()A x y ，在单位圆O 上，xOA α∠=，且 62ππα⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，． ⑴ 若11cos()313πα+=-，求1x 的值；⑵ 若22()B x y ，也是单位圆O 上的点，且3AOB π∠=．过点A B 、分别做x 轴的垂线，垂足为C D 、，记AOC ∆的面积为1S ，BOD ∆的面积为2S ．设()12f S S α=+，求函数()f α的最大值．19．（本题满分16分）已知点(p ，q )是平面直角坐标系错误！未找到引用源。

武进区第三中学2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

【解析】解：∵f（x）是定义在 R 上且周期为 2 的函数，f（x）=
，
∴f（）=f（﹣ ）=1﹣ a，f（）= ∴1﹣ a= ①
；又
=
，
又 f（﹣1）=f（1）， ∴2a+b=0，② 由①②解得 a=2，b=﹣4； ∴a+3b=﹣10．故答案为：﹣10． 15．【答案】54 【解析】根据程序框图可知循环体共运行了 9 次，输出的 x 是 1，3，5，7，9，11，13，15， 17 中不是 3 的倍数的数，所以所有输出值的和 1 5 7 11 13 17 54 . 16．【答案】 ∃x0∈R，都有 x03＜1 ．【解析】解：因为全称命题的否定是特称命题．所以，命题：“∀x∈R，都有 x3≥1”的否定形式为：命题：“∃x0∈R ，都有 x03＜1”．故答案为：∃x0∈R，都有 x03＜1．【点评】本题考查全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查． 17．【答案】②④ 【解析】试题分析：对于①中，由正弦定理可知 a sin A b sin B ，推出 A B 或 A B
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（2）求 f（x）的单调区间和极值．
21．已知函数 f（x）= （Ⅰ）求 A，B；
的定义域为 A，集合 B 是不等式 x2﹣（2a+1）x+a2+a＞0 的解集．
（Ⅱ）若 A∪B=B，求实数 a 的取值范围．
22．已知 m∈R，函数 f（x）=（x2+mx+m）ex．（1）若函数 f（x）没有零点，求实数 m 的取值范围；（2）若函数 f（x）存在极大值，并记为 g（m），求 g（m）的表达式；（3）当 m=0 时，求证：f（x）≥x2+x3．

江苏省常州市武进区高三数学上学期期中试题理(含解析)苏教版

常州市武进区2015届高三（上）期中数学试卷（理科）一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相应的位置上）1．已知全集U=R，A={x|x≤0}，B={x|x≥2}，则集合∁U（A∪B）= {x|0＜x＜2} ．考点：交、并、补集的混合运算．专题：函数的性质及应用．分析：本题可以先求根据集合A、B求出集合A∪B，再求出集合（A∪B），得到本题结论．解答：解：∵A={x|x≤0}，B={x|x≥2}，∴A∪B={x|x≤0或x≥2}，∴∁U（A∪B）={x|0＜x＜2}．故答案为：{x|0＜x＜2}．点评：本题考查了集合的并集运算和集合的交集，本题难度不大，属于基础题．2．函数y=sin xcos x的最小正周期是 2 ．考点：三角函数的周期性及其求法．专题：三角函数的图像与性质．分析：利用二倍角的正弦公式可得函数f（x）=sinπx，再根据函数y=Asin（ωx+φ）的周期性可得结论．解答：解：∵函数y=sin xcos x=sinπx，故函数的最小正周期是=2，故答案为：2．点评：本题主要考查二倍角的正弦公式、函数y=Asin（ωx+φ）的周期性，属于基础题．3．已知向量与共线，则实数x的值为 1 ．考点：平面向量共线（平行）的坐标表示．专题：平面向量及应用．分析：根据向量平行的坐标表示，求出x的值即可．解答：解：∵向量与共线，∴2（3x﹣1）﹣4×1=0，解得x=1；∴实数x的值为1．故答案为：1．点评：本题考查了平面向量的坐标表示的应用问题，解题时应熟记公式，以便进行计算，是基础题．4．△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，则“A＞B”是“a＞b”的充要条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：解三角形；简易逻辑．分析：运用三角形中的正弦定理推导，判断答案．解答：解：∵△ABC中，角A，B的对边分别为a，b，a＞b，∴根据正弦定理可得：2RsinA＞2RsinB，sinA＞sinB，∴A＞B又∵A＞B，∴sinA＞sinB，2RsinA＞2RsinB，即a＞b，∴根据充分必要条件的定义可以判断：“A＞B”是“a＞b”的充要条件，故答案为：充要点评：本题考查了解三角形，充分必要条件的定义，属于中档题．5．已知f（sinα+cosα）=sin2α，则的值为﹣．考点：同角三角函数基本关系的运用．专题：三角函数的求值．分析：令sinα+cosα=t，可得sin2α=t2﹣1，﹣≤t≤．可得f（t）=t2﹣1，从而求得 f（）的值．解答：解：令sinα+cosα=t，平方后化简可得sin2α=t2﹣1，再由﹣1≤sin2α≤1，可得﹣≤t≤．再由 f（sinα+cosα）=sin2α，可得 f（t）=t2﹣1，∴f（）=﹣1=﹣，故答案为：﹣．点评：本题主要考查用换元法求函数的解析式，注意换元中变量取值范围的变化，属于基础题．6．设曲线y=ax﹣ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x，则a= 3 ．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：计算题；导数的概念及应用．分析：根据导数的几何意义，即f′（x0）表示曲线f（x）在x=x0处的切线斜率，再代入计算．解答：解：y=ax﹣ln（x+1）的导数，由在点（0，0）处的切线方程为y=2x，得，则a=3．故答案为：3．点评：本题是基础题，考查的是导数的几何意义，这个知识点在高考中是经常考查的内容，一般只要求导正确，就能够求解该题．在高考中，导数作为一个非常好的研究工具，经常会被考查到，特别是用导数研究最值，证明不等式，研究零点问题等等经常以大题的形式出现，学生在复习时要引起重视．7．若sin（﹣θ）=，则cos（+2θ）的值为﹣．考点：两角和与差的正弦函数；两角和与差的余弦函数．专题：计算题；三角函数的求值．分析：首先运用的诱导公式，再由二倍角的余弦公式：cos2α=2cos2α﹣1，即可得到．解答：解：由于sin（﹣θ）=，则cos（+θ）=sin（﹣θ）=，则有cos（+2θ）=cos2（+θ）=2cos2（+θ）﹣1=2×（）2﹣1=﹣．故答案为：﹣．点评：本题考查诱导公式和二倍角的余弦公式及运用，考查运算能力，属于中档题．8．△ABC中，AB=AC，BC的边长为2，则的值为 4 ．考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：根据数量积的定义和三角函数判断求解．解答：解：在△ABC中，BC=2，AB=AC，设AB=AC=x，则2x＞2，x＞1，∴cosB==，所以=4xcosB=4x=4．故答案为4．点评：本题利用向量为载体，考察函数的单调性，余弦定理，三角形中的边角关系．9．若将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是．考点：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．专题：三角函数的图像与性质．分析：根据函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得所得图象对应的函数解析式为y=sin （2x+﹣2φ），再根据所得图象关于y轴对称可得﹣2φ=kπ+，k∈z，由此求得φ的最小正值．解答：解：将函数f（x）=sin（2x+）的图象向右平移φ个单位，所得图象对应的函数解析式为y=sin[2（x﹣φ）+]=sin（2x+﹣2φ）关于y轴对称，则﹣2φ=kπ+，k∈z，即φ=﹣﹣，故φ的最小正值为，故答案为：．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，余弦函数的图象的对称性，属于中档题．10．已知函数f（x）=，则f（）+f（）+f（）+…+f（）= 15 ．考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：由f（x）+f（1﹣x）=+=3，能求出f（）+f（）+f（）+…+f（）的值．解答：解：∵f（x）=，∴f（x）+f（1﹣x）=+=3，∴f（）+f（）+f（）+…+f（）=5×3=15．故答案为：15．点评：本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．11．函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（3）=0，且x＜0时，xf′（x）＜f（x），则不等式f（x）≥0的解集是{x|﹣3＜x＜0或x＞3} ．考点：函数奇偶性的性质．专题：函数的性质及应用；导数的概念及应用．分析：本题可构造函数（x≠0），利用f′（x）相关不等式得到函数g（x）的单调性，由函数f（x）是的奇偶性得到函数g（x）的奇偶性和图象的对称性，由f（3）=0得到函数g（x）的图象过定点，再将不等式f（x）≥0转化为关于g（x）的不等式，根据g （x）的图象解不等式，得到本题结论．解答：解：记（x≠0），则．∵当x＜0时，xf′（x）＜f（x），∴当x＜0时，g′（x）＜0，∴函数g（x）在（﹣∞，0）上单调递减．∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴，∴函数g（x）是定义在R上的偶函数，∴函数g（x）的图象关于y轴对称，∴函数g（x）在（0，+∞）上单调递增．∵f（3）=0，∴g（3）=，∴函数g（x）的图象过点（3，0）和（﹣3，0）．∵不等式f（x）≥0，∴xg（x）≥0，∴或，∴﹣3＜x＜0或x＞3．∴不等式f（x）≥0的解集是{x|﹣3＜x＜0或x＞3}．故答案为：{x|﹣3＜x＜0或x＞3}．点评：本题考查了函数的奇偶性、对称性、导数和单调性，本题难度不大，属于基础题．12．如图，△ABC中，延长CB到D，使BD=BC，当E点在线段AD上移动时，若，则t=λ﹣μ的最大值是 3 ．考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：共线，所以存在实数k使，根据向量的加法和减法以及B 是CD中点，可用表示为：，所以又可以用表示为：=，所以根据平面向量基本定理得：，λ﹣μ=3k≤3，所以最大值是3．解答：解：设==，0≤k≤1；又；∴；∴t=λ﹣μ=3k，0≤k≤1；∴k=1时t取最大值3．即t=λ﹣μ的最大值为3．故答案为：3．点评：考查共线向量基本定理，向量的加法、减法运算，以及平面向量基本定理．13．已知函数f（x）=|x2+x﹣2|，x∈R．若方程f（x）﹣a|x﹣2|=0恰有4个互异的实数根，则实数a的取值范围为（0，1）．考点：根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；数形结合；函数的性质及应用．分析：由y=f（x）﹣a|x﹣2|=0得f（x）=a|x﹣2|，显然x=2不是方程的根，则a=||，令x﹣2=t，则a=|t++5|有4个不相等的实根，画出y=|t++5|的图象，利用数形结合即可得到结论．解答：解：方程f（x）﹣a|x﹣2|=0，即为f（x）=a|x﹣2|，即有|x2+x﹣2|=a|x﹣2|，显然x=2不是方程的根，则a=||，令x﹣2=t，则a=|t++5|有4个不相等的实根，画出y=|t++5|的图象，如右图：在﹣4＜t＜﹣1时，t++5≤﹣2+5=1．则要使直线y=a和y=|t++5|的图象有四个交点，则a的范围是（0，1），故答案为：（0，1）．点评：本题主要考查函数零点个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键，属于中档题．14．若函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，则实数a的取值范围是（﹣∞，2ln2）．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：函数的性质及应用；导数的综合应用．分析：根据题意可得a＜2x﹣e x有解，转化为g（x）=2x﹣e x，a＜g（x）max，利用导数求出最值即可．解答：解：∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a，∵函数f（x）=x2﹣e x﹣ax在R上存在单调递增区间，∴f′（x）=2x﹣e x﹣a＞0，即a＜2x﹣e x有解，令g′（x）=2﹣e x，g′（x）=2﹣e x=0，x=ln2，g′（x）=2﹣e x＞0，x＜ln2，g′（x）=2﹣e x＜0，x＞ln2∴当x=ln2时，g（x）max=2ln2﹣2，∴a＜2ln2﹣2即可．故答案为：（﹣∞，2ln2）点评：本题考察了导数在解决函数最值，单调性，不等式成立问题中的应用，属于难题．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且asinB﹣bcosA=0．（1）求角A的大小；（2）若a=1，b=，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：解三角形．分析：（1）已知等式利用正弦定理化简，由sinB不为0求出tanA的值，即可确定出A的度数；（2）由余弦定理列出关系式，把a，b，cosA的值代入求出c的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．解答：解：（1）已知等式asinB﹣bcosA=0，利用正弦定理化简得：sinAsinB﹣sinBcosA=0，∵sinB≠0，∴tanA=，则A=30°；（2）由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA，即1=3+c2﹣3c，解得：c=1或c=2，当c=1时，S△ABC=bcsinA=××1×=；当c=2时，S△ABC=bcsinA=××2×=．点评：此题考查了正弦、余弦定理，三角形面积公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．16．（14分）已知函数f（x）=ax3﹣3x．（1）求函数f（x）单调区间；（2）若在区间[1，2]上，f（x）≥4恒成立，求实数a的取值范围．考点：利用导数研究函数的单调性；函数恒成立问题．专题：导数的综合应用．分析：（1）a=0时，函数是减函数；a≠0时，由f（x）=ax3﹣3x（a≠0）⇒f′（x）=3ax2﹣3=3（ax2﹣1），分a＞0与a＜0讨论，通过f′（x）的符号即可求得函数f（x）的单调区间；（2）利用导数判断函数的单调性，从而得出函数在闭区间上的最小值，即得到参数的一个方程，从而求出参数．解答：解：（1）a=0时，f（x）=﹣3x，∴f（x）的单调减区间是R；当a≠0时，∵f（x）=ax3﹣3x，a≠0，∴f′（x）=3ax2﹣3=3（ax2﹣1），∴当a＞0时，由f′（x）＞0得：x＞或x＜﹣，由f′（x）＜0得：﹣当a＜0时，由f′（x）＞0得：，由f′（x）＜0得：x＜或x＞﹣；∴当a＞0时，函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，﹣），（，+∞）；函数f（x）的单调递减区间为（﹣，），）；当a＜0时，函数f（x）的单调递增区间为（，﹣），函数f（x）的单调递减区间为（﹣∞，），（﹣，+∞）；（2）当a≤0时，由（1）可知，f（x）在区间[1，2]是减函数，由f（2）=4得，（不符合舍去），当a＞0时，f′（x）=3ax2﹣3=0的两根x=，①当，即a≥1时，f′（x）≥0在区间[1，2]恒成立，f（x）在区间[1，2]是增函数，由f（1）≥4得a≥7；②当，即时f′（x）≤0在区间[1，2]恒成立f（x）在区间[1，2]是减函数，f（2）≥4，a（不符合舍去）；③当1，即时，f（x）在区间[1，]是减函数，f（x）在区间[，2]是增函数；所以f（）≥4无解．综上，a≥7．点评：本题考查的是导数知识，重点是利用导数判断函数的单调性，难点是分类讨论．对学生的能力要求较高，属于难题．17．（14分）某实验室某一天的温度（单位：°C）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：f（t）=9﹣t，t∈[0，24）．（1）求实验室这一天里，温度降低的时间段；（2）若要求实验室温度不高于10°C，则在哪段时间实验室需要降温？考点：两角和与差的正弦函数．专题：计算题；应用题；三角函数的求值．分析：（1）利用两角和差的正弦公式化简函数解析式为f（t）=9﹣2sin（），t∈[0，24），利用正弦函数的单调减区间，即可得到；（2）由题意可得，令f（t）≤10时，不需要降温，运用正弦函数的性质，解出t，再求补集即可得到．解答：解：（1）f（t）=9﹣t，t∈[0，24），则f（t）=9﹣2（）=9﹣2sin（），令2k2k，解得24k+2≤t≤24k+14，k为整数，由于t∈[0，24），则k=0，即得2≤t≤14．则有实验室这一天里，温度降低的时间段为[2，14]；（2）令f（t）≤10，则9﹣2sin（）≤10，即有sin（），则﹣，解得24k﹣6≤t≤24k+10，k为整数，由于t∈[0，24），则得到0≤t≤10或18≤t＜24，故在10＜t＜18，实验室需要降温．点评：本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象特征，两角和差的正弦公式，正弦函数的定义域和值域，三角不等式的解法，属于中档题．18．（16分）在平面直角坐标系xOy中，已知四边形OABC是等腰梯形，，点，M满足，点P在线段BC上运动（包括端点），如图．（1）求∠OCM的余弦值；（2）是否存在实数λ，使，若存在，求出满足条件的实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由．考点：数量积判断两个平面向量的垂直关系；数量积表示两个向量的夹角．专题：平面向量及应用．分析：（1）由题意求得、的坐标，再根据cos∠OCM=cos＜，＞=，运算求得结果．（2）设，其中1≤t≤5，由，得，可得（2t﹣3）λ=12．再根据t∈[1，）∪（，5]，求得实数λ的取值范围．解答：解：（1）由题意可得，，故cos∠OCM=cos＜，＞==．（2）设，其中1≤t≤5，，．若，则，即12﹣2λt+3λ=0，可得（2t﹣3）λ=12．若，则λ不存在，若，则，∵t∈[1，）∪（，5]，故．点评：本题主要考查用数量积表示两个两个向量的夹角，两个向量垂直的性质，属于中档题．19．（16分）已知函数f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|．（1）若a=﹣1，解方程f（x）=1；（2）若函数f（x）在R上单调递增，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，求实数a的值．考点：利用导数研究函数的单调性；根的存在性及根的个数判断．专题：计算题；导数的综合应用．分析：（1）化方程f（x）=1可化为x2+（x﹣1）•|x+1|=0，即2x2﹣1=0（x≥﹣1）或1=0（x＜﹣1），从而求解；（2）f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|=，则，从而求a；（3）讨论a的不同取值，从而确定实数a的值．解答：解：（1）若a=﹣1，则方程f（x）=1可化为x2+（x﹣1）•|x+1|=0，即2x2﹣1=0（x≥﹣1）或1=0（x＜﹣1），故x=或x=﹣；（2）f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|=，则若使函数f（x）在R上单调递增，则，则a≥1；（3）若a≥3，则f（x）=（a+1）x﹣a，x∈[2，3]，则函数f（x）在[2，3]上的最小值为6，可化为2（a+1）﹣a=6，则a=4；若1≤a＜3，则f（x）在[2，3]上单调递增，则2（a+1）﹣a=6，则a=4无解，若a＜1，＜1，则f（x）=x2+（x﹣1）•|x﹣a|在[2，3]上单调递增，则2•22﹣（1+a）2+a=6，解得，a=0．综上所述，a=0或a=4．点评：本题考查了函数导数的综合应用，同时考查了分类讨论的数学思想，属于中档题．20．（16分）已知函数f（x）=lnx﹣x+a有且只有一个零点，其中a＞0．（1）求a的值；（2）若对任意的x∈（1，+∞），有（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0恒成立，求实数k的最小值；（3）设h（x）=f（x）+x﹣1，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），证明：不等式恒成立．考点：利用导数研究函数的单调性；函数零点的判定定理．专题：计算题；证明题；选作题；导数的综合应用．分析：（1）f′（x）=﹣1，则函数f（x）=lnx﹣x+a在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，由题意，f（x）的最大值等于0，从而解出a；（2）化简（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0为k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1，从而将恒成立问题转化为求函数g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1在[1，+∞）上的最值问题；利用导数可得g′（x）=2﹣lnx﹣1﹣=，再令m（x）=x﹣xlnx﹣1并求导m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，从而判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，最终求出函数g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1在[1，+∞）上的最值问题，则k≥g（1）=2﹣0﹣0﹣1=1，从而求实数k的最小值；（3）化简h（x）=f（x）+x﹣1=lnx，则对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），恒成立可化为对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0恒成立；不妨没x1＜x2，则上式可化为（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，从而令n（x）=（x1+x）（lnx1﹣lnx）﹣2（x1﹣x），进行二阶求导，判断n（x）在（x1，+∞）上的单调性，从而证明对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），不等式恒成立．解答：解：（1）f′（x）=﹣1，则函数f（x）=lnx﹣x+a在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，则若使函数f（x）=lnx﹣x+a有且只有一个零点，则0﹣1+a=0，解得，a=1；（2）（x+1）f（x）+x2﹣2x+k＞0可化为（x+1）（lnx﹣x+1）+x2﹣2x+k＞0，即k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1对任意的x∈（1，+∞）恒成立，令g（x）=2x﹣xlnx﹣lnx﹣1，则g′（x）=2﹣lnx﹣1﹣=，令m（x）=x﹣xlnx﹣1，则m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx，∵x∈（1，+∞），∴m′（x）=1﹣lnx﹣1=﹣lnx＜0，则m（x）=x﹣xlnx﹣1＜1﹣1ln1﹣1=0，则g′（x）＜0，则g（x）在（1，+∞）上是减函数，则k＞2x﹣xlnx﹣lnx﹣1对任意的x∈（1，+∞）恒成立可化为k≥g（1）=2﹣0﹣0﹣1=1，则k的最小值为1；（3）证明：由题意，h（x）=f（x）+x﹣1=lnx，则对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），恒成立可化为，对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），＞0恒成立；不妨没x1＜x2，则lnx1﹣lnx2＜0，则上式可化为（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，令n（x）=（x1+x）（lnx1﹣lnx）﹣2（x1﹣x），则n′（x）=（lnx1﹣lnx）﹣（x1+x）+2=lnx1﹣lnx﹣+1，n″（x）=﹣+=，∵则当x∈（x1，+∞）时，n″（x）＜0，则n′（x）在（x1，+∞）上是减函数，则n′（x）＜n′（x1）=0，则n（x）在（x1，+∞）上是减函数，则n（x）＜n（x1）=0，则（x1+x2）（lnx1﹣lnx2）﹣2（x1﹣x2）＜0，故对任意x1，x2∈（0，+∞）（x1≠x2），不等式恒成立．点评：本题考查了函数的零点的个数的判断，同时考查了恒成立问题的处理方法，判断单调性一般用导数，本题用到了二阶求导及分化求导以降低化简难度，属于难题．。

2018届常州市高三上学期期末统考数学试题及答案

常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考公式：样本数据1x ，2x ，… ，n x 的方差2211()n i i s x x n ==-∑，其中x =11n ii x n =∑．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．设集合{}21A x x x =<∈R ，，{}20B x x =≤≤，则A B = ▲ ． 2．若1i 1i im n +=+（m n ∈R ，，i 为虚数单位），则mn 的值为 ▲ ．3．已知双曲线2221(0)4x y a a -=>的一条渐近线方程为20x y -=，则a的值为 ▲ ． 4．某学校选修羽毛球课程的学生中，高一，高二年级分别有80名，50名．现用分层抽样的方法在这130名学生中抽取一个样本，已知在高一年级学生中抽取了24 名，则在高二年级学生中应抽取的人数为 ▲ ． 5．某市连续5天测得空气中PM2.5（直径小于或等于2.5微米的颗粒物）的数据（单位：3/g m m ）分别为115，125，132，128，125，则该组数据的方差为 ▲ ． 6．函数222sin 3cos 4y x x =+-的最小正周期为 ▲ ． 7．已知5瓶饮料中有且仅有2瓶是果汁类饮料．从这5瓶饮料中随机取2瓶，则所取2瓶中至少有一瓶是果汁类饮料的概率为 ▲ ．8．已知实数x ，y 满足约束条件333x y y x +⎧⎪⎨⎪⎩≥≤≤，，，则225z x y =--的最大值为▲ ． 9．若曲线1C ：43236y x ax x =--与曲线2C ：e x y =在1x =处的切线互相垂直，则实数a 的值为 ▲ ． 10．给出下列命题：（1）若两个平面平行，那么其中一个平面内的直线一定平行于另一个平面；（2）若两个平面平行，那么垂直于其中一个平面的直线一定垂直于另一个平面；（3）若两个平面垂直，那么垂直于其中一个平面的直线一定平行于另一个平面；（4）若两个平面垂直，那么其中一个平面内的直线一定垂直于另一个平面．则其中所有真命题的序号为 ▲ ．11．已知,66⎛⎫∈-⎪⎝⎭p p q ，等比数列{}n a 中，11a =，343a =q ，若数列{}n a 的前2018项的和为0，则q 的值为 ▲ ． 12．已知函数f (x )＝201,02(1),xx x x ⎧⎛⎫<⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪-⎩≥，，若((2))()f f f k ->，则实数k 的取值范围为 ▲ ．13．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若tan 7tan A B =，223a b c-=，则c = ▲ ． 14．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆O ：2216x y +=，点(1,2)P ，M ，N 为圆O上不同的两点，且满足0PM PN ⋅= ．若PQ PM PN =+，则PQ的最小值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．设向量(,)m a c =，(cos ,cos )n C A =．（1）若m n∥，c =，求角A ；（2）若3sin m n b B ⋅=，4cos 5A =，求cos C 的值．16．（本小题满分14分）如图，在直三棱柱111A B C ABC -中，AB⊥BC ，E ，F 分别是1A B ，1AC 的中点．（1）求证：EF ∥平面ABC ；（2）求证：平面AEF⊥平面11AA B B ；（3）若1222A A AB BC a ===，求三棱锥F ABC -的体积．17．（本小题满分14分）设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，已知35S a =，525S =．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若p ，q 为互不相等的正整数，且等差数列{}n b 满足pab p =，q a b q =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．FBCE A1A 1B 1C （第16题）18．（本小题满分16分）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E :22221(0)x y a b a b+=>>的右准线为直线l ，动直线y kx m =+(00)k m <>，交椭圆于A ，B 两点，线段AB 的中点为M ，射线OM 分别交椭圆及直线l 于P ，Q 两点，如图．若A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点，上顶点时，点Q 的纵坐标为1e（其中e 为椭圆的离心率），且OQ ．（1）求椭圆E 的标准方程；（2）如果OP 是OM ，OQ 的等比中项，那么m k是否为常数？若是，求出该常数；若不是，请说明理由．19．（本小题满分16分）几名大学毕业生合作开设3D 打印店，生产并销售某种3D 产品．已知该店每月生产的产品当月都能销售完，每件产品的生产成本为34元，该店的月总成本由两部分组成：第一部分是月销售产品的生产成本，第二部分是其它固定支出20000元．假设该产品的月销售量()t x （件）与销售价格x （元/件）（x *∈N ）之间满足如下关系：①当3460x ≤≤时，2()(5)10050t x a x =-++；②当6070x ≤≤时，()1007600t x x =-+．设该店月利润为M （元），月利润=月销售总额－月总成本．（第18题）（1）求M 关于销售价格x 的函数关系式；（2）求该打印店月利润M 的最大值及此时产品的销售价格．20．（本小题满分16分）已知函数()ln a f x x x x=--，a ∈R ．（1）当0a =时，求函数()f x 的极大值；（2）求函数()f x 的单调区间；（3）当1a >时，设函数()(1)11ag x f x x x =-+-+-，若实数b 满足：b a >且()1b g g a b ⎛⎫= ⎪-⎝⎭，()22a b g b g +⎛⎫= ⎪⎝⎭，求证：45b <<．常州市教育学会学生学业水平监测数学Ⅱ（附加题） 1月21．【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—1：几何证明选讲如图，等腰梯形ABCD内接于⊙O ，AB ∥CD ．过点A 作⊙O 的切线交CD的延长线于点E ．求证：∠DAE =∠BAC .B ．选修4—2：矩阵与变换已知直线:0l ax y -=在矩阵A 0112⎡⎤=⎢⎥⎣⎦对应的变换作用下得到直线l '，若直线l '过点（1,1），求实数a 的值．C ．选修4—4：坐标系与参数方程在极坐标系中，已知点)6P p，直线:cos()4l +=pr q P 到直线l 的距离．D ．选修4—5：不等式选讲已知1x ≥，1y ≥，求证：22221x x y xy y x y ++++≤．【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分．请在答题卡．．．指定区域．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 22． (本小题满分10分)如图，三棱锥P －ABC 中，已知平面PAB ⊥平面ABC ，AC ⊥BC ，AC =BC =2a ，点O ，D 分别是AB ，PB 的中点，PO ⊥AB ，连结CD ．（1）若2PA a =，求异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小；（2）若二面角A －PB －C 的余弦值的大小，求PA ．23．（本小题满分10分）设集合A ，B 是非空集合M 的两个不同子集，满足：A 不是B 的子集，且B 也不是A 的子集．（1）若M=1234{,,,}a a a a ，直接写出所有不同的有序集合对(A ,B )的个ABCDOP（第22题）（2）若M=123{,,,,}n a a a a ⋅⋅⋅，求所有不同的有序集合对(A ,B )的个数．常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅰ试题参考答案及评分标准一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分1．[)0,1 2．1- 3． 1 4． 15 5．31.6（写成1585也对） 6．p7．7108．12 9．13e10．（1）（2） 11．9-p 12．12(log 9,4) 13．414．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．解：（1）∵m n ∥，∴cos cos a A c C=．由正弦定理，得sin cos sin cos A A C C =．化简，得sin 2sin 2A C=． (2)∵,(0,)A C p ∈，∴22A C =或22A C p +=，从而A C=（舍）或2A C p +=．∴2B p=． ………………………………4分在Rt △ABC 中，tan a A c ==，6A p=． …………………………………6分（2）∵3cos m n b B ⋅=，∴cos cos 3sin a C c A b B +=．由正弦定理，得2sin cos sin cos 3sin A C C A B +=，从而2sin()3sin A C B +=． ∵A B C p ++=，∴sin()sin A C B +=．从而1sin 3B =． ……………8分∵4cos 05A =>，(0,)A p ∈，∴(0,)2A p ∈，3sin 5A =．……………………10分∵sin sin A B >，∴a b >，从而A B >，B 为锐角，cos B =． ………12分∴cos cos()cos cos sin sin C A B A B A B =-+=-+=431553-+⨯=． …………………………………14分16．证明：（1）连结1A C ．∵直三棱柱111A B C ABC -中，11AA C C 是矩形， ∴点F 在1A C 上，且为1A C 的中点．在△1A BC中，∵E ，F 分别是1A B，1A C的中点， ∴EF ∥BC ． ……………2分又∵BC⊂平面ABC ， EF⊄平面ABC ，所以EF ∥平面ABC ． ………………4分（2）∵直三棱柱111A B C ABC -中，1B B ⊥平面ABC ，∴1B B ⊥BC ． ∵EF ∥BC ，AB ⊥BC ，∴AB ⊥EF ，1B B ⊥EF ． ………………………………6分∵1B B AB B= ，∴EF ⊥平面11ABB A ． (8)分∵EF⊂平面AEF ，∴平面AEF ⊥平面11ABB A ． (10)分（3）11111223F ABC A ABC ABC V V S AA --∆==⨯⨯⨯ (12)分=3211122326a a a ⨯⨯⨯=． (14)分17．解：（1）由已知，得11133451025a d a d a d +=+⎧⎨+=⎩，，解得11,2.a d =⎧⎨=⎩…………………4分∴21n a n =-． ……………………………………………………………6分（2）p ，q 为正整数，由（1）得21p a p =-，21q a q =-． …………………8分进一步由已知，得21p b p-=，21q b q -=． (10)分∵{}n b 是等差数列，p q≠，∴{}n b 的公差1222q p d q p -'==-． ………………12分由211(22)b b b p d p -'=+-=，得11b =． ∴21(1)324n n n n nT nb d -+'=+=． …………………………………………14分18．解：当A ，B 两点分别是椭圆E 的右顶点和上顶点时，则(,0)A a ，(0,)B b ，(,)22a bM ．∵21(,)aQ c e，∴由O ，M ，Q三点共线，得21b e aa c=，化简，得1b =．………2分∵OQ =，∴22a c a2a =．由22212a b c b a ⎧=+⎪=⎨⎪=⎩，，，解得225,4.a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩…………………………………………4分（1）椭圆E 的标准方程为2215x y +=． …………………………………………6分（2）把(0,0)y kx m k m =+<>，代入2215x y +=，得222(51)10550k x mkx m +++-=． ……………………………………………8分当△0>，22510k m -+>时，2551M mk x k =-+，251Mmy k =+，从而点225(,)5151mk mM k k -++． ……………………………………………10分所以直线OM 的方程15y x k=-．由221515y x k x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，，得2222551Pk x k =+． ……………………………………………12分∵OP 是OM ，OQ 的等比中项，∴2OP OM OQ =⋅，从而22252(51)P M Q mk x x x k ==-+． ……………………………………………14分由2222525512(51)k mk k k =-++，得2m k=-，从而2m k=-，满足△0>． ……………15分 ∴mk为常数2-． ………………………………………………………………16分19．解：（1）当60x =时，(60)1600t =，代入2()(5)10050t x a x =-++，解得2a =． ………………………………………………………………2分∴2(22010000)(34)20000,3460,,()(1007600)(34)20000,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧--+--<∈⎪=⎨-+--∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤ 即32224810680360000,3460,,()1001100278400,6070,.x x x x x M x x x x x **⎧-++-<∈⎪=⎨-+-∈⎪⎩ΝΝ≤≤≤ ……………4分（注：写到上一步，不扣分．）（2）设2()(22010000)(34)20000g u u u u =--+--，3460u <≤，u ∈R ，则2()6(161780)g u u u '=---．令()0g u '=，解得18u =-（舍去），28(50,51)u =+． (7)分当3450u <<时，()0g u '>，()g u 单调递增；当5160u <<时，()0g u '<，()g u 单调递减． … ………………………………10分∵x *∈Ν，(50)44000M =，(51)44226M =，∴()M x 的最大值为44226．………12分当6070x ≤≤时，2()100(1102584)20000M x x x =-+--单调递减，故此时()M x 的最大值为(60)216000M =． ... (14)分综上所述，当51x =时，月利润()M x 有最大值44226元． ……………………15分答：该打印店店月利润最大为44226元，此时产品的销售价格为51元/件． ……16分20．解：函数()f x 的定义域为(0,)+∞．（1）当0a =时，()ln f x x x =-，1()1f x x'=-，令()0f x '=得1x =． ………1分列表：x(0,1)1(1,)+∞()f x ' + 0 - ()f x↗极大值↘所以()f x 的极大值为(1)1f =-． (3)分(2)2221()1a x x af x x x x -++'=-+=．令()0f x '=，得20x x a -++=，记14a ∆=+．（ⅰ）当14a -≤时，()0f x '≤，所以()f x 单调减区间为(0,)+∞； …………5分（ⅱ）当14a >-时，由()0f x '=得12x x =①若104a -<<，则120x x >>，由()0f x '<，得20x x <<，1x x >；由()0f x '>，得21x x x <<．所以，()f x的单调减区间为，)+∞，单调增区间为； …………………………………………………………7分②若0a =，由（1）知()f x 单调增区间为(0,1)，单调减区间为(1,)+∞；③若0a >，则120x x >>，由()0f x '<，得1x x >；由()0f x '>，得10x x <<．()f x 的单调减区间为)+∞，单调增区间为． ……9分综上所述：当14a -≤时，()f x 的单调减区间为(0,)+∞；当104a -<<时，()f x 的单调减区间为，)+∞，单调增区间为；当0a ≥时，()f x 单调减区间为)+∞，单调增区间为． ………………………………………………………10分（3）()ln(1)g x x =-（1x >）．由()()1bg g a b =-得1lnln(1)1a b =--．∵1a b <<， ∴11b a -=-(舍)，或(1)(1)1a b --=． ∵21(1)(1)(1)a b b =--<-，∴2b >． (12)分由()2()2a b g b g +=得，1ln(1)2ln(1)2ln [(1)(1)](*)22a b b a b +-=-=-+-⋅⋅⋅，因为112a b -+-，所以（*）式可化为1ln(1)2ln [(1)(1)]2b a b -=-+-，即2111[1]21b b b -=+--（）． ………………………………………………14分令1(1)b t t -=>，则211[()]2t t t=+，整理，得4324210t t t -++=，从而32(1)(31)0t t t t ----=，即32310t t t ---=．记32()31,1h t t t t t =--->．2()361h t t t '=--，令()0h t '=得1t =-，1t =+，列表：t(1,1+(1)++∞ ()h t ' -+ ()h t↘↗所以，()h t 在(1,1+单调减，在(1)++∞单调增，又因为(3)0,(4)0h h <>，所以34t <<，从而45b <<． (16)分常州市教育学会学生学业水平监测高三数学Ⅱ（附加题）参考答案21、【选做题】在A 、B 、C 、D 四小题中只能选做两题．．．．．．，每小题10分，共计20分．A ．选修4—1：几何证明选讲证明：∵ABCD 是等腰梯形，AB ∥CD ， ∴AD =BC ．从而 AD BC=． ∴∠ACD =∠BAC . ……………………………………………………4分∵AE 为圆的切线，∴∠EAD =∠ACD . …………………………………8分∴∠DAE =∠BAC . ……………………………………………………10分B ．选修4—2：矩阵与变换解：设(,)P x y 为直线l 上任意一点，在矩阵A 对应的变换下变为直线l '上点(,)P x y '''，则0112x x y y '⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥'⎣⎦⎣⎦⎣⎦，化简，得2,.x x y y x ''=-+⎧⎨'=⎩……………………………………………4分代入ax y -=，整理，得(21)0a x ay ''-++=． (8)分将点（1,1）代入上述方程，解得a =-1． ……………………………10分C ．选修4—4：坐标系与参数方程解：点P 的直角坐标为， (4)分直线l 的普通方程为40x y --=， (8)分从而点P 到直线l 的距离为=． …………………………10分D ．选修4—5：不等式选讲证明：左边-右边=2222()(1)1(1)[(1)1]y y x y x y y yx y x -+--+=--++………4分=(1)(1)(1)y xy x ---， ………………………………………………………6分∵1x ≥，1y ≥， ∴0,0,0111y xy x ---≤≥≥． ………………………………………………8分从而左边-右边≤0， ∴22221x x y xy y x y ++++≤． ………………………………………………10分【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分． 22．解：连结OC ．∵平面PAB ⊥平面ABC ，PO ⊥AB ，∴PO ⊥平面ABC ．从而PO ⊥AB ，PO ⊥O C ．∵AC =BC ，点O 是AB 的中点，∴OC ⊥AB ．且OA OB OC ===． (2)分如图，建立空间直角坐标系O xyz -．（1）2PA a =，PO =．(0,,0)A，,0)B，,0,0)C ，)P，D ． …………4分从而(0,)PA =，()CD = ．∵2cos ,PA CD PA CD PA CD ⋅<>===， ∴异面直线PA 与CD 所成角的余弦值的大小为． ……………………………6分（2）设PO h =，则(0,0,)P h ．∵ PO ⊥O C ，OC ⊥AB ，∴OC ⊥平面P AB ．从而,0,0)OC =是平面PAB 的一个法向量．不妨设平面PBC的一个法向量为(,,)n x y z =，∵,)PB h =-，,0)BC = ，0,0.n PB n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴,.hz x y ==⎪⎩ 不妨令x =1，则y =1，z =，则n = ． (8)分OC n OC n⋅== 2223h a =．∴PA =． …………………………………10分 23．解：（1）110； ………………………………………………………………3分（2）集合M 有2n 个子集，不同的有序集合对(A ,B )有2(21)n n -个．若A ⊂≠B ，并设B 中含有*(1,)k k n k ∈N ≤≤个元素，则满足A ⊂≠B 的有序集合对(A ,B )有1(21)232nn nkkkkkn nnnn k k k CC C ===-=-=-∑∑∑个． …………………6分同理，满足B ⊂≠A 的有序集合对(A ,B )有32n n-个． …………………8分故满足条件的有序集合对(A ,B )的个数为2(21)2(32)4223n n n n n n n ---=+-⨯ ………………………………………………10分。

高三数学-2018学年高三数学上期中答案(理科) 精品

浙江省湖州中学2018学年第一学期高三数学期中考试数学答案(理科)11．1212. 123n +-13.1516 14. 3三、解答题（本大题共6小题，每小题14分，满分84分）15、【解】（1）其定义域为{}11x x -<<（2）01x <<（3）121()21x x f x --=+16、【解】（1）若a 、b 同向：a ·b ＝|a ||b |＝2；若a 、b 异向：a ·b ＝－|a ||b |＝－2（2）∵a ·b ＝|a ||b |cos135°=－1∴1)1(2212))((222=-++=⋅++=++=+b a b a b a b a b a17、【解】（1）.21)62sin(22cos 12sin 23)(m x m x x x f +++=+++=π π=∴T（2）其单调递减区间为2[,],63k k k Z ππππ++∈（3）min max ,()(). 2.63657()sin(2),2,,().626262x f x f m m f x x x x f x πππππππ-≤≤=-==∴=++∴+===当时由已知当即时18、【解】（1）结合正弦定理sin()sin sin sin()sin A B B C A B C-+=+，sin()sin sin()A B B A B -=++即sin 2sin cos 0B B A +=，故1cos 2A =-，所以23A π= （2）利用余弦定理 2222c o s a b c b c A =+-，即12bc ≤ 而1sin 122ABC S bc A ∆==≤=19、【解】（1）2n a n =；（2）2n n b n x =⋅，对x 分情况讨论，1）当0x =时，0n b =，n T =02）当1x =时，2n b n =，2n T n n =+3）当0,1x x ≠≠且时，2nn b n x =⋅，利用错位相减法得到 122(1)2(1)1n n n x x nx T x x+-=--- 综上，212(1)2(1)2(1)(1)1n n n n n x T x x nx x x x +⎧+=⎪=⎨--≠⎪--⎩（3）22n nn nc +=，下面考察数列n c 的单调性2212223222222n n c n n n n n c n n n n n++++++==+++，故当n=1时，21c c >；当n=2时，32c c =；当n>2时, 1n n c c +<,所以此数列第2项最大，值为32，故t 的最小值为32。

江苏省常州市武进区高三上学期期中考试数学文试题(有答案)

常州市武进区2015届高三上学期期中考试数学试题(文)一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分，请将答案填写在答题卡相对应的位置上）1．设集合{}{}{}4,2,2,1,4,3,2,1===B A U ，则()U C A B 等于 ▲ .2．命题“[]0,,sin cos 2x x x π∃∈->”的否认是 ▲ .3．若,∈a b R ，则“a b >成立”是“22a b >成立”的 ▲ 条件（填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，“既不充分也不必要”）. 4．ABC ∆中，3π=A ，3=AB ，8=AC ，则=BC ▲ .5．设数列{}n a 的前n 项和为n S，若=n a ，则99S 的值是 ▲ .6．已知()2,1a =，()1,3b =-，若2c a b =+，2d a xb =-，且c d ，则x = ▲ . 7．三棱锥S ABC -的所有顶点都在球O 的表面上，SA ⊥平面ABC ，AB BC ⊥，又1SA AB BC ===，则球O 的表面积为 ▲ . 8．函数210ax ax ++>在[]1,2x ∈恒成立，则a 的取值范围是 ▲ .9. 已知各项均为正数的等比数列{}n a 中，4a 与14a的等比中项为7112a a +的最小值为 ▲ .10．如下图，在正方体ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱C 1D 1，C 1C 的中点．给出以下四个结论：①直线AM 与直线C 1C 相交；②直线AM 与直线DD 1异面； ③直线AM 与直线BN 平行；④直线BN 与直线MB 1异面．其中准确结论的序号为 ▲ (填入所有准确结论的序号)．2014.11ABCD1A 1B 1C 1D MN11．函数()f x 是定义在R 上的偶函数，(2)0f -=，且0x >时，()()0f x xf x '+>，则不等式()0>xf x 的解集是 ▲ .12．如图，四边形OABC 是边长为1的正方形，点D 在OA 的延长线上，且2OD =，点P 为BCD ∆内（含边界）的动点，设(,)OP OC OD R αβαβ=+∈，则αβ+的最大值等于 ▲ . 13．设102m <<，若1812k m m +≥-恒成立，则实数k 的最大值是 ▲ ．14．已知：数列{}n a 中，1=9a ，121222=+++,23521n n a a a a n n -≥-，则100a 的值为 ▲ ．二、解答题：本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分14分）已知函数()()cos sin 244πππ⎛⎫⎛⎫+⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x x ．⑴ 求()f x 的最小正周期； ⑵ 若将()f x 的图像向右平移4π个单位，得到函数()g x 的图像，求函数()gx 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．如图，四棱锥P -ABCD 中，底面ABCD 为矩形，平面P AD ⊥平面ABCD . ⑴ 求证：AB ⊥PD ；⑵ 若M 为PC 的中点，求证：P A ∥平面BDM .17．（本小题满分14分）为了保护环境，某工厂在国家的号召下，把废弃物回收转化为某种产品，经测算，处理成本y （万元）与处理量x （吨）之间的函数关系可近似的表示为：240900y x x =-+， ⑴ 当处理量为多少吨时，每吨的平均处理成本最少？⑵ 若每处理一吨废弃物可得价值为20万元的某种产品，同时获得国家补贴10万元．当[]20,25x ∈时，判断该项举措能否获利？假如能获利，求出最大利润；假如不能获利，请求出国家最少补贴多少万元，该工厂才不会亏损？PABCDM已知函数1)(2=+=x bx axx f 在处取得极值2. ⑴ 求函数)(x f 的表达式；⑵ 若函数)(x f 在区间)12,(+m m 上单调递增，求实数m 的取值范围； ⑶ 若直线l 与()f x 的图像相切，求直线l 的斜率k 的取值范围.19．（本小题满分16分）设各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足2+1=4+43n n a S n -，且2514,,a a a 恰好是等比数列{}n b 的前三项．⑴ 求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；⑵ 记数列{}n b 的前n 项和为n T ，若对任意的*n N ∈，3()362n T k n +≥-恒成立，求实数k 的取值范围．20．（本小题满分16分）已知函数()ln f x x x a =-+有且只有一个零点. ⑴ 求a 的值；⑵ 若对任意的()1,x ∈+∞，有()22kf x x x<-+恒成立，求实数k 的最小值； ⑶ 设()()1h x f x x =+-，对任意()()1212,0,x x x x ∈+∞≠，证明：不等式()()1212x x h x h x --.高三文科数学参考答案及评分意见 2014.11一、填空题（本大题共14小题，每题5分，共70分）1．{}4,3,1 2．,,sin cos 22x x x ππ⎡⎤∀∈-≤⎢⎥⎣⎦3．充要 4．7 5．9 6．4- 7．3π8．1,6⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭9．8 10．②④11．()()2,02,-+∞ 12．32 13．18 14．12065二、解答题：（本大题共6道题，计90分） 15．（本小题满分14分）解 (1) ()()cos sin 244πππ⎛⎫⎛⎫+⋅+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭f x x x x 2sin 22π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭x xsin 2=x x 2sin 23π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭x ………………5分22ππ∴==T . ………………7分(2)由已知得()2sin 22sin 24436ππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-=-+=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦g x f x x x ，………………9分0,2π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦x ，52,666πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦x ， ………………11分故当266ππ-=-x 即0=x 时，()()min 01==-g x g ；故当262ππ-=x 即3π=x 时，()max 23π⎛⎫== ⎪⎝⎭g x g ， ………………13分故函数g (x )在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值为2，最小值为－1. ………………14分16．（此题满分14分）证明： (1)因为ABCD 为矩形，所以AB ⊥AD . ………………2分又平面P AD ⊥平面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以AB ⊥平面P AD ， ………………5分因为PD ⊂平面P AD ，故AB ⊥PD . ………………7分 (2)连接AC 交BD 于点O ，连接OM .因为ABCD 为矩形，所以O 为AC 的中点． ………………9分又M 为PC 的中点，所以MO ∥P A . ………………11分因为MO ⊂平面BDM ，P A ⊄平面BDM ，所以P A ∥平面BDM . ………………14分17．（此题满分14分）解：（1）设平均处理成本为90040y Q x x x==+- ………………2分4020≥=， ………………4分当且仅当900x x=时等号成立，由0x > 得30x =．所以，当处理量为30吨时，每吨的处理成本最少为20万元． ………………6分．（2）根据题意得，利润P 和处理量x 之间的关系：(2010)P x y =+-23040900x x x =-+-270900x x =-+- ………………8分 ()235325x =--+，[]20,25x ∈.∵35[20,25]x =∉，()235325P x =--+在[20,25]上为增函数，………………10分可求得[100,225]P ∈. ………………12分∴能获利，当处理量为25吨时，最大利润为225万元． ………………14分 18．（此题满分16分）解析：(1)因为222)()2()()(b x x ax b x a x f +-+=' ………………2分而函数bx axx f +=2)(在1=x 处取得极值2，所以⎩⎨⎧=='2)1(0)1(f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧=+=-+2102)1(ba ab a 解得⎩⎨⎧==14b a所以214)(xxx f +=即为所求。

江苏省武进高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案

江苏省武进高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．在△ABC 中，a 2=b 2+c 2+bc ，则A 等于（） A ．120° B ．60° C ．45° D ．30°2．圆012222=+--+y x y x 上的点到直线2=-y x 的距离最大值是（）A ．B ．12+C ．122+ D ．122+ 3．棱长为2的正方体的8个顶点都在球O 的表面上，则球O 的表面积为（） A ．π4 B ．π6 C ．π8 D ．π104．如图所示，网格纸表示边长为1的正方形，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（）A ．15B ．C ．15D ．15【命题意图】本题考查三视图和几何体体积等基础知识，意在考查空间想象能力和基本运算能力． 5．下列命题正确的是（）A ．很小的实数可以构成集合.B ．集合{}2|1y y x =-与集合(){}2,|1x y y x =-是同一个集合.C ．自然数集 N 中最小的数是.D ．空集是任何集合的子集.6． 2016年3月“两会”期间，有代表提出适当下调“五险一金”的缴存比例，现拟从某工厂职工中抽取20名代表调查对这一提案的态度，已知该厂青年，中年，老年职工人数分别为350，500，150，按分层抽样的方法，应从青年职工中抽取的人数为（） A. 5 B.6 C.7D.10【命题意图】本题主要考查分层抽样的方法的运用，属容易题.7．设集合{}1234U =，，，，{}2540A x x x =∈-+<N ，则U C A 等于（）A ．{}12，B ．{}14，C ．{}24，D ．{}134，， 8．已知f （x ）=m •2x +x 2+nx ，若{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}≠∅，则m+n 的取值范围为（） A ．（0，4） B ．[0，4） C ．（0，5] D ．[0，5]9．如图，AB 是半圆O 的直径，AB ＝2，点P 从A 点沿半圆弧运动至B 点，设∠AOP ＝x ，将动点P 到A ，B 两点的距离之和表示为x 的函数f （x ），则y ＝f （x ）的图象大致为（）10．在等比数列}{n a 中，821=+n a a ，8123=⋅-n a a ，且数列}{n a 的前n 项和121=n S ，则此数列的项数n 等于（） A ．4 B ．5 C ．6 D ．7【命题意图】本题考查等比数列的性质及其通项公式，对逻辑推理能力、运算能力及分类讨论思想的理解有一定要求，难度中等.11．若函数()y f x =的定义域是[]1,2016，则函数()()1g x f x =+的定义域是（）A ．(]0,2016 B ．[]0,2015 C ．(]1,2016 D ．[]1,201712．若集合,则= ( )ABC D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．阅读下图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的n 的值等于_________.14．分别在区间[0,1]、[1,]eln b ≥”的概率为_________. 15．函数()x f x xe =在点()()1,1f 16．幂函数22)33)(+-=m xm m x f （= ．三、解答题（本大共6小题，共17．（本小题满分10分）选修4-5已知函数|1||2|)(+--=x x x f ，g (（1）解不等式)()(x g x f >；（2）对任意的实数，不等式2)(x f -m 的最小值.111]18．（本小题满分12分）在△ABC 中，∠A ，∠B ，∠C 所对的边分别是a 、b 、c ，不等式x 2cos C ＋4x sin C ＋6≥0对一切实数x 恒成立.（1）求cos C 的取值范围；（2）当∠C 取最大值，且△ABC 的周长为6时，求△ABC 面积的最大值，并指出面积取最大值时△ABC 的形状.【命题意图】考查三角不等式的求解以及运用基本不等式、余弦定理求三角形面积的最大值等.19．我省城乡居民社会养老保险个人年缴费分100，200，300，400，500，600，700，800，900，1000（单位：元）十个档次，某社区随机抽取了50名村民，按缴费在100：500元，600：1000元，以及年龄在20：39岁，4059（2）在缴费100：500元之间抽取的5人中，随机选取2人进行到户走访，求这2人的年龄都在40：59岁之间的概率．20．（本小题满分12分）已知在ABC ∆中，角C B A ，，所对的边分别为，，，c b a 且 )3(s i n ))(sin (sin c b C a b B A -=-+. （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若2a =，ABC ∆c b ,.21．（本小题满分12分）如图长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AB ＝16， BC ＝10，AA 1＝8，点E ，F 分别在A 1B 1，D 1C 1上，A 1E ＝4，D 1F ＝8，过点E ，F ，C 的平面α与长方体的面相交，交线围成一个四边形．（1）在图中画出这个四边形（不必说明画法和理由）；（2）求平面α将长方体分成的两部分体积之比．22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数()|21|f x x =-．（1）若不等式1()21(0)2f x m m +≤+>的解集为(][),22,-∞-+∞，求实数m 的值；（2）若不等式()2|23|2yyaf x x ≤+++，对任意的实数,x y R ∈恒成立，求实数a 的最小值．江苏省武进高级中学2018-2019学年高三上学期第三次月考试卷数学含答案（参考答案）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．【答案】A【解析】解：根据余弦定理可知cosA=∵a 2=b 2+bc+c 2， ∴bc=﹣（b 2+c 2﹣a 2）∴cosA=﹣ ∴A=120° 故选A2．【答案】B 【解析】试题分析：化简为标准形式()()11122=-+-y x ，圆上的点到直线的距离的最大值为圆心到直线的距离加半径，22211=--=d ，半径为1，所以距离的最大值是12+，故选B.考点：直线与圆的位置关系 1 3．【答案】B 【解析】考点：球与几何体 4．【答案】C【解析】还原几何体，由三视图可知该几何体是四棱锥，且底面为长6，宽2的矩形，高为3，且VE ^平面ABCD ，如图所示，所以此四棱锥表面积为1S =262创?1123+22622创创?15=，故选C ．4646101011326E VD CBA5．【答案】D 【解析】试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D 是正确，故选D.考点：集合的概念；子集的概念. 6．【答案】C7．【答案】B 【解析】试题分析：由254014x x x -+<⇒<<，由于N x ∈，所以{}23A =，，于是{}14U C A =，．考点：集合基本运算．【易错点晴】集合的三要素是：确定性、互异性和无序性.研究一个集合，我们首先要看清楚它的研究对象，是实数还是点的坐标还是其它的一些元素，这是很关键的一步.第二步常常是解一元二次不等式，我们首先用十字相乘法分解因式，求得不等式的解集.在解分式不等式的过程中，要注意分母不能为零.元素与集合之间是属于和不属于的关系，集合与集合间有包含关系. 8．【答案】B【解析】解：设x 1∈{x|f （x ）=0}={x|f （f （x ））=0}， ∴f （x 1）=f （f （x 1））=0， ∴f （0）=0，即f （0）=m=0，故m=0；故f （x ）=x 2+nx ，f （f （x ））=（x 2+nx ）（x 2+nx+n ）=0，当n=0时，成立；当n≠0时，0，﹣n不是x2+nx+n=0的根，故△=n2﹣4n＜0，故0＜n＜4；综上所述，0≤n+m＜4；故选B．【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用，同时考查了方程的根的判断，属于中档题．9．【答案】【解析】选B.取AP的中点M，则P A＝2AM＝2OA sin∠AOM＝2sin x2，PB＝2OM＝2OA·cos∠AOM＝2cos x2，∴y＝f（x）＝P A＋PB＝2sin x2＋2cos x2＝22sin（x2＋π4），x∈[0，π]，根据解析式可知，只有B选项符合要求，故选B.10．【答案】B11．【答案】B【解析】12．【答案】B【解析】二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．【答案】6【解析】解析：本题考查程序框图中的循环结构．第1次运行后，9,2,2,S T n S T ===>；第2次运行后，13,4,3,S T n S T ===>；第3次运行后，17,8,4,S T n S T ===>；第4次运行后，21,16,5,S T n S T ===>；第5次运行后，25,32,6,S T n S T ===<，此时跳出循环，输出结果6n =程序结束． 14．【答案】1e e- 【解析】解析：由ln a b ≥得ab e ≤，如图所有实数对(,)a b 表示的区域的面积为e ，满足条件“ab e ≤”的实数对(,)a b 表示的区域为图中阴影部分，其面积为111|a a e da e e ==-⎰，∴随机事件“ln a b ≥”的概率为1e e-． 15．【答案】2e 【解析】试题分析：()(),'x x x f x xe f x e xe =∴=+，则()'12f e =，故答案为2e .考点：利用导数求曲线上某点切线斜率. 16．【答案】【解析】【方法点睛】本题主要考查幂函数的定义与性质,属于中档题.幂函数定义与性质应用的三个关注点：（1）若幂函数()y xR αα=∈是偶函数，则α必为偶数．当α是分数时，一般将其先化为根式，再判断；（2）若幂函数()y x R αα=∈在()0,+∞上单调递增，则α0>，若在()0,+∞上单调递减，则0α<；（3）在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较. 1三、解答题（本大共6小题，共70分。

武进区第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

武进区第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案一、选择题1．在某校冬季长跑活动中，学校要给获得一、二等奖的学生购买奖品，要求花费总额不得超过200元．已知一等奖和二等奖奖品的单价分别为20元、10元，一等奖人数与二等奖人数的比值不得高于，且获得一等奖的人数不能少于2人，那么下列说法中错误的是（）A ．最多可以购买4份一等奖奖品B ．最多可以购买16份二等奖奖品C ．购买奖品至少要花费100元D ．共有20种不同的购买奖品方案2．在复平面内，复数（﹣4+5i ）i （i 为虚数单位）的共轭复数对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3．设有直线m 、n 和平面α、β，下列四个命题中，正确的是（） A ．若m ∥α，n ∥α，则m ∥n B ．若m ⊂α，n ⊂α，m ∥β，n ∥β，则α∥β C ．若α⊥β，m ⊂α，则m ⊥β D ．若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α，则m ∥α4．方程x= 所表示的曲线是（）A ．双曲线B ．椭圆C ．双曲线的一部分D ．椭圆的一部分5．阅读下面的程序框图，则输出的S=（）A ．14B ．20C ．30D ．556． “m=1”是“直线（m ﹣2）x ﹣3my ﹣1=0与直线（m+2）x+（m ﹣2）y+3=0相互垂直”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分而不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．已知a ∈R ，复数z=（a ﹣2i ）（1+i ）（i 为虚数单位）在复平面内对应的点为M ，则“a=0”是“点M 在第四象限”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数__________________________________________________________________________________________________________________8．在等比数列{a n }中，已知a 1=3，公比q=2，则a 2和a 8的等比中项为（） A ．48B ．±48C ．96D ．±969．定义在[1，+∞）上的函数f （x ）满足：①当2≤x ≤4时，f （x ）=1﹣|x ﹣3|；②f （2x ）=cf （x ）（c 为正常数），若函数的所有极大值点都落在同一直线上，则常数c 的值是（） A ．1 B ．±2 C．或3 D ．1或210．已知两点M （1，），N （﹣4，﹣），给出下列曲线方程： ①4x+2y ﹣1=0；②x 2+y 2=3；③+y 2=1；④﹣y 2=1．在曲线上存在点P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是（）A ．①③B ．②④C ．①②③D ．②③④11．为调查某地区老人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法．．．．．．．．从该地区调查了500位老年人，结果如由2()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++算得22500(4027030160)9.96720030070430K ⨯⨯-⨯==⨯⨯⨯ 附表：参照附表，则下列结论正确的是（）①有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别无．关”； ②有99%以上的把握认为“该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有．关”； ③采用系统抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； ④采用分层抽样方法比采用简单随机抽样方法更好； A ．①③ B ．①④ C ．②③ D ．②④3.841 6.635 10.828k 2() 0.050 0.010 0.001P K k ≥12．若1sin()34πα-=，则cos(2)3πα+=A 、78-B 、14- C 、14 D 、78二、填空题13．双曲线x 2﹣my 2=1（m ＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m 的值为．14．【泰州中学2018届高三10月月考】设二次函数()2f x ax bx c =++（,,a b c 为常数）的导函数为()f x '，对任意x R ∈，不等式()()f x f x ≥'恒成立，则222b a c+的最大值为__________． 15．已知f （x ）＝x （e x ＋a e －x ）为偶函数，则a ＝________．16．函数()y f x =的定义域是[]0,2，则函数()1y f x =+的定义域是__________.111]17．若函数f （x ），g （x ）满足：∀x ∈（0，+∞），均有f （x ）＞x ，g （x ）＜x 成立，则称“f （x ）与g （x ）关于y=x 分离”．已知函数f （x ）=a x 与g （x ）=log a x （a ＞0，且a ≠1）关于y=x 分离，则a 的取值范围是．18．已知函数22tan ()1tan x f x x =-，则()3f π的值是_______，()f x 的最小正周期是______. 【命题意图】本题考查三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考查运算求解能力．三、解答题19．如图，矩形ABCD 和梯形BEFC 所在平面互相垂直，BE ∥CF ，BC ⊥CF ，，EF=2，BE=3，CF=4．（Ⅰ）求证：EF ⊥平面DCE ；（Ⅱ）当AB 的长为何值时，二面角A ﹣EF ﹣C 的大小为60°．20．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程已知曲线1C 的极坐标方程是2=ρ，曲线2C 的参数方程是θππθθ],2,6[,0(21sin 2,1∈>⎪⎩⎪⎨⎧+==t t y x 是参数）．（Ⅰ）写出曲线1C 的直角坐标方程和曲线2C 的普通方程；（Ⅱ）求t 的取值范围，使得1C ，2C 没有公共点．21．（本小题满分12分）已知椭圆CA 、B 分别为左、右顶点， 2F 为其右焦点，P 是椭圆C 上异于A 、B 的动点，且PA PB 的最小值为-2. （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若过左焦点1F 的直线交椭圆C 于M N 、两点，求22F M F N 的取值范围.22．如图，M 、N 是焦点为F 的抛物线y 2=2px （p ＞0）上两个不同的点，且线段MN 中点A的横坐标为，（1）求|MF|+|NF|的值；（2）若p=2，直线MN 与x 轴交于点B 点，求点B 横坐标的取值范围．23．已知函数f（x）=ax2+blnx在x=1处有极值．（1）求a，b的值；（2）判断函数y=f（x）的单调性并求出单调区间．24．已知矩阵M=的一个属于特质值3的特征向量=，正方形区域OABC在矩阵N应对的变换作用下得到矩形区域OA′B′C′，如图所示．（1）求矩阵M；（2）求矩阵N及矩阵（MN）﹣1．武进区第三中学校2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）一、选择题1．【答案】D【解析】【知识点】线性规划【试题解析】设购买一、二等奖奖品份数分别为x，y，则根据题意有：，作可行域为：A(2，6)，B(4，12)，C(2，16)．在可行域内的整数点有：（2，6），（2，7），……．（2，16），（3，9），（3，10），……．．(3，14)，(4，12)，共11+6+1=18个。