选修1-1第三章《变化率与导数》
高中数学(北师大版)选修1-1教案：第3章 知识归纳：变化率与导数
3.2 导数的概念及其几何意义变化率问题1.平均变化率：已知函数y =f (x )，令Δx=21x x -，21()()y f x f x =-，则当0x ≠时，比值2121()()f x f x x x --=y x，称作函数f (x )从1x 到2x 得平均变化率. 2.瞬时速度：物体在某一时刻的速度.3.求自变量的增量Δx=0x x -，函数的增量000()()()()y y y f x f x f x x f x =-=-=+-4.求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00，要注意Δx 、y 的值可正、可负，但0x ≠，y 可为零，若函数f (x )为常值函数，则y =0导数的概念1.导数：一般地，函数y =f (x )在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim000= xy x ∆∆→∆0lim .我们称它为函数y =f (x )在0x x =处的导数，记作f ′(x 0)或f ′(x 0)，即f ′(x 0)=x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000. 2.对导数的定义要注意两点：第一：Δx 是自变量x 在0x 处的该变量，所以Δx 可正可负，但0x ≠；第二：函数在某点的导数，就是在该点的函数值改变量与自变量之比的极限值，因此它是一个常数而不是变数.3.求函数y =f (x )在点x 0处的导数的方法是：(1)求函数y =f (x )的增量Δy =f (x 0+Δx )-f (x 0);(2)求平均变化率xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00; (3)取极限，得函数f ′(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim . 导数的几何意义1.导数的几何意义k=tanα=f′(x0)函数y=f(x)在点x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率.曲线y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线的斜率是f′(x0).切线方程可表示为y-f(x0)=f′(x0)·(x-x0).2.可以利用导数求曲线的切线方程,方法：①求出函数y=f(x)在点x0处的导数f′(x0).②得切线方程y-f(x0)=f′(x0)(x-x0).特例：如果曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的导数不存在，就是切线平行于y 轴，这时根据切线定义，可得切线方程为x=x0.3.导数与切线的关系.①f′(x0)>0,切线与x轴正向的夹角为锐角.②f′(x0)<0,切线与x轴正向的夹角为钝角.③f′(x0)=0，切线与x轴平行.④f′(x0)不存在，切线与y轴平行.。
北师大版选修1-1高中数学第三章《变化率与导数》ppt章末复习课件
������
������ =
=
2������������+(������)2
������[ (������+������)2+������+ ������2+������]
(������ + ������)2 + ������- ������2 + ������ ������
=
2������+������
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
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专题一
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应用 1 设点 P 是曲线 y=f(x)=ex 上的任意一点,求点 P 到直线 y=x 的最小距离.
提示:利用导数求得与直线 y=x 平行且与曲线 y=ex 相切的直线的切点, 再利用点到直线的距离公式求解.
解:
设平行于直线 y=x 的直线与曲线 y=ex 相切于点(x0,y0),由平面几何知识
·������l→im������0[f(x)+f(x0)]
=f'(x0)·[f(x0)+f(x0)]=2f'(x0)f(x0).
答案:D
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人教版高中数学选修1-1-3.1 变化率与导数 3.1.3ppt课件
知识点2 导函数的概念 观察图形,回答下列问题:
问题:导函数f′(x)与f′(x0)有何区别与联系?
【总结提升】
导函数的相关概念
(1)函数在一点处的导数f′(x0),就是在该点处函数值的改变量与自 变量的改变量之比的极限值,它是一个常数,不是变数.
(2)函数的导数是对某一区间内任意点x而言的,就是函数f(x)的导函
(4)根据斜率相等求得x0,然后求得斜率k. (5)根据点斜式写出切线方程. (6)将切线方程化为一般式.
【变式训练】求曲线f(x)= 2 在点(-2,-1)处的切线的方程.
x 【解析】由于点(-2,-1)恰好在曲线f(x)= 上2 ,所以曲线在点(-2,-1)
处的切线的斜率就等于函数f(x)= Nhomakorabea 在点(-2x ,-1)处的导数.
【补偿训练】如果曲线y=x3+x-10的一条切线与直线y=4x+3平行,那么 曲线与切线相切的切点坐标为 ( ) A.(1,-8) B.(-1,-12) C.(1,-8)或(-1,-12) D.(1,-12)或(-1,-8)
【解析】选C.设切点坐标为P(x0,y0), 则y0=x03+x0-10的切线斜率为k=
1 2
【解析】(1)选A.因为y′|x=1= lima(1x)2a12
x0
x
＝ lim2axa((2xa)2+＝ alΔim x)=2a,
所以x 20a=2,所x以a=1.x 0
(2)由导数的几何意义可知k1,k2分别为曲线在A,B处切线的斜率,而
k3=f(2)-f(1)= f 2 f为（1直）线AB的斜率,
所以切线的方程为y=x-1.
即x-y-1=0.
【方法技巧】过曲线上一点求切线方程的三个步骤
高中数学选修1-1第三章 变化率与导数2_导数的概念及其几何意义2_1导数的概念-教育文档
2.1导数的概念一、教学目标：1.知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2.过程与方法：(1)通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力;(2)通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.二、教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。
教学难点：理解导数概念的本质内涵三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）复习：设函数)(x f y =，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从)(0x f 变到)(1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值（这个值称为：当x 1趋于x 0时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的瞬时变化率。
（二）探究新课在数学上，称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的导数，通常用符号)(0x f '表示，记作例1一条水管中流过的水量y （单位：3m ）是时间x （单位：s ）的函数x x f y 3)(==。
求函数)(x f y =在x =2处的导数)2(f '，并解释它的实际意义。
解：当x 从2变到2＋Δx 时，函数值从3×2变到3（2＋Δx ），函数值y 关于x 的平均变化率为3323)2(3)2()2(=∆∆=∆⨯-∆+=∆-∆+xx x x x f x f （3m /s ）. 当x 趋于2，即Δx 趋于0时，，平均变化率趋于3，所以3)2(='f （3m /s ）.导数)2(f '表示当x =2s 时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。
也就是如果水管的中的水以x =2s 时的瞬时速度流动的话，每经过1s ，水管中流过的水量为33m 。
北师大版选修1-1高中数学第三章《变化率与导数》ppt课件
北师大版 · 选修1-1
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第三章 变化率与导数
●情景导学 在阳光明媚的春天，外出旅游 是一件非常惬意的事情，爬爬山、 看看大海，既锻炼了身体，开阔了 眼界，又愉悦了心情．在登山时， 你是否有这样的感觉：当山坡比较 平缓时，会步履轻松，而当山坡比较陡峭时，就会气喘吁吁．当 然你可以从物理角度来解释这种现象，可是你有没有思考过其 中蕴含的数学知识呢？
●学法探究 1．要注意理解导数的物理意义及几何意义，尤其是几何意 义在解决曲线的切线问题上具有广泛的应用． 2．公式要记牢，尤其是指数函数与对数函数的求导公式比 较容易记混，要在应用中理解并记忆，积函数与商函数的导数 公式要弄清区别．
编后语
老师上课都有一定的思路，抓住老师的思路就能取得良好的学习效果。在上一小节中已经提及听课中要跟随老师的思路，这里再进一步论述听课时如何 抓住老师的思路。
① 根据课堂提问抓住老师的思路。老师在讲课过程中往往会提出一些问题，有的要求回答，有的则是自问自答。一般来说，老师在课堂上提出的 问题都是学习中的关键，若能抓住老师提出的问题深入思考，就可以抓住老师的思路。
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知 识逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。6
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面 的内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
⑥ 利用笔记抓住老师的思路。记笔记不仅有利于理解和记忆，而且有利于抓住老师的思路。
2019/8/13
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高中数学选修1-1(人教A版)第三章导数及其应用3.1知识点总结含同步练习及答案
当点 Pn 趋近于点 P (x 0 , f (x 0 )) 时，割线 P Pn 趋近于确定的位置，这个确定位置的直线 P T 称为点 P 处的切线（tangent line）． 割线 P Pn 的斜率是
kn =
f (x n ) − f (x 0 ) . xn − x0
当点 Pn 无限趋近于点 P 时， kn 无限趋近于切线 P T 的斜率． 函数 f (x) 在 x0 处的导数 f ′ (x0 ) 的几何意义，就是曲线 y = f (x) 在点 (x0 , f (x 0 ) 处的导数就是切线 P T 的斜率 k ，即
y ′ ，即 f ′ (x) = y ′ = lim
Δx→0
f (x + Δx) − f (x) ． Δx
例题： 求函数 y = 2 2 + 5 在区间 [2, 2 + Δx] 上的平均变化率，并计算当 Δx = 1 时，平均变化率的值． x 解：因为
2
Δy = 2 × (2 + Δx)2 + 5 − (2 × 2 2 + 5) = 8Δx + 2(Δx)2 ,
高中数学选修1-1(人教A版)知识点总结含同步练习题及答案
第三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数
一、学习任务 1. 2.
了解平均变化率的概念和瞬时变化率的意义． 了解导数概念的实际背景，体会导数的思想及其内涵．
二、知识清单
数列极限与函数极限 变化率与导数
三、知识讲解
1.数列极限与函数极限 描述： 数列极限 设 {xn } 为实数数列，a 为常数．若对任意给定的正数 ε ，总存在正整数 N ，使得当 n > N 时，有 |x n − a| < ε ，则称 数列 {x n }收敛于 a ，常数 a 称为数列 {x n } 的极限．并记作
高中数学人教版选修1-1 第三章 导数及其应用 变化率问题 导数的概念
24(m/s)．
(2)因为 Δs＝29＋3[(1＋Δt)－3]2－29－3×(1－3)2＝3(Δt)2－
12Δt，所以ΔΔst＝3Δt2Δ－t 12Δt＝3Δt－12，则物体在 t＝1 s 时的瞬
时速度为 s′(1)＝lim Δt→0
ΔΔst＝Δlit→m0
(3Δt－12)＝－12(m/s)．
求瞬时速度的步骤
[解] 自变量 x 从 1 变到 2 时，函数 f(x)的平均变化率为 f22－ －f11＝2＋12－11＋1＝12； 自变量 x 从 3 变到 5 时，函数 f(x)的平均变化率为f55－ －f33＝ 5＋15－23＋13＝1145. 因为12<1145，所以函数 f(x)＝x＋1x在自变量 x 从 3 变到 5 时函 数值变化得较快．
(2)物体在 t＝1 s 时的瞬时速度．
[思路导引] (1)由平均变化率公式求平均速度，(2)瞬时速度
公式 V＝lim Δt→0
st0＋ΔΔtt－st0.
[解] (1)因为 Δs＝3×52＋2－(3×32＋2)＝48，Δt＝2，所以
物体在
t＝3
s
到
t＝5
s
这
段时间内
的平均速度为
Δs Δt
＝428＝
[思路导引] 利用导数公式
[解] ∵Δy＝(1＋Δx)－1＋1Δx－1－11＝Δx＋1＋ΔxΔx，
∴ΔΔyx＝Δx＋Δ1x＋ΔxΔx＝1＋1＋1Δx，
∴ lim Δx→0
ΔΔyx＝Δlixm→0
1＋1＋1Δx＝2.
从而 y′|x＝1＝2.
求函数 y＝f(x)在点 x0 处的导数的三个步骤
[跟踪训练] 求函数 f(x)＝x2＋5x 在 x＝3 处的导数．
高中数学 选修1-1 23.变化率与导数
23.变化率与导数教学目标 班级____姓名________1.通过具体的自然现象，认识函数的平均变化率.2.掌握变化率的基本概念.3.理解变化率的物理意义及几何意义.教学过程一、变化率的概念.1.反映变化快慢的量，就是我们要研究的变化率.2.定义：我们把1212)()(x x x f x f --称为函数)(x f y =从1x 到2x 的平均变化率. 习惯上，用x ∆表示12x x -，即12x x x -=∆.（x ∆是相对于1x 的变化量，可能大于0，可能小于0，但不能等于0.）类似12y y y -=∆. 平均变化率可表示为x y ∆∆或x x f x x f ∆-∆+)()(11. 3.变化率的两个应用：（1）物理意义：平均速度.（2）几何意义：割线斜率.二、导数.1.瞬时变化率：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率是x x f x x f x ∆-∆+→∆)()(lim 000，我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)('0x f 或0|'x x y =，即xx f x x f x y x f x x ∆-∆+=∆∆=→∆→∆)()(l i m l i m )('00000. 2.瞬时速度：tt s t t s v t ∆-∆+=→∆)()(lim 1101. 3.切线斜率：xx f x x f k x ∆-∆+=→∆)()(lim 110. 三、例题分析.1.求平均变化率.例1：求函数652+=x y 在[2,4]内的平均变化率.练1-1：已知函数532)(2-+=x x x f ，当41=x ，1=∆x 时，求函数增量y ∆和平均变化率xy ∆∆.练1-2：某盏路灯距离地面高8m ，一个身高2m 的人从路灯下出发，以1m/s 的速度匀速沿直线离开路灯，求人影长度的平均变化率.2.求函数在某处的导数.例2：利用导数的定义，求函数x x x f 3)(2+-=在2=x 处的导数.练2：求函数x x y 232-=在1=x 处的导数.作业：求32)(2+-=x x x f 在4=x 处的导数.。
高中数学选修(1-1)3.1.1变化率与导数
中，平均速度是( )
A．4
B．4.1
C．0.41
D．－1.1
解析： v ＝ΔΔst＝8＋2.21.21－－28＋22＝2.102－.1 22＝4.1， 答案：B
9
3．函数 f(x)在 x＝x0 处的导数可表示为( ) A．f′(x0)＝Δlixm→0fx0＋ΔΔxx－fx0 B．f′(x0)＝ lim [f(x0＋Δx)－f(x0)]
20
[解] f(x)＝2x2＋3x－5， ∴Δy＝f(x1＋Δx)－f(x1) ＝2(x1＋Δx)2＋3(x1＋Δx)－5－(2·x21＋3·x1－5) ＝2[(Δx)2＋2x1Δx]＋3Δx ＝2(Δx)2＋(4x1＋3)Δx.
21
(1)当 x1＝4，Δx＝1 时，Δy＝2＋(4×4＋3)×1＝21， ∴ΔΔxy＝211＝21； (2)当 x1＝4，Δx＝0.1 时， Δy＝2×0.12＋(4×4＋3)×0.1＝0.02＋1.9＝1.92， ∴ΔΔxy＝10.9.12＝19.2；
答案：A
11
4．已知函数 y＝f(x)＝－x2＋x 的图象上一点(－1，－2) 及邻近一点(－1＋Δx，－2＋Δy)，则ΔΔxy＝______.
解析：Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1)＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋ Δx)－(－2)＝－(Δx)2＋3Δx，所以ΔΔxy＝－ΔxΔ2x＋3Δx＝3－Δx， 故应填 3－Δx.
答案：3－Δx
12
5．求函数 y＝x2 在点 x＝1 处的导数． 解：Δy＝(1＋Δx)2－1＝2Δx＋(Δx)2， ∴ΔΔxy＝2＋Δx.y′|x＝1＝Δlixm→0(2＋Δx)＝2.
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14
1.函数的平均变化率的理解 定义中的 x1，x2 是指其定义域内不同的两个数，记 Δx ＝x2－x1，Δy＝f(x2)－f(x1)，则当 Δx≠0 时，fxx22－－xf1x1＝ΔΔxy 称作函数 y＝f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率，理解平均变化率 应注意以下几点：
高中数学 第三章 变化率与导数 3.1 变化的快慢与变化率课件 北师大版选修1-1.ppt
对一般的函数 y＝f(x)，当自变量 x 从 x1 变为 x2 时，函数值从 f(x1)变为 f(x2)，
它的平均变化率为______________．通常自变量的变化 x2－x1 称作自变量的改变
量 ， 记 作 ________ ， 函 数 值 的变 化 f(x2)－ f(x1) 称作函 数 值 的改 变 量 ，记 作
∴ΔΔst＝v0－gt0－12gΔt. 当 Δt 趋于 0 时，ΔΔst趋于 v0－gt0，故物体在时刻 t0 处的瞬时速度为 v0－gt0.
求.运动物体瞬时速度的三个步骤： 1求时间改变量 Δt 和位移改变量 Δs＝st0＋Δt－st0； 2求平均速度 v ＝ΔΔst； 3求瞬时速度，当 Δt 无限趋近于 0 时，ΔΔst无限趋近于常数 v，即为瞬时速 度
________．这样，函数的平均变化率就可以表示为函数值的改变量与自变量的
改变量之比，即______________．我们用它来刻画函数值在区间[x1，x2]上变化
的快慢．
【答案】
fx2－fx1 x2－x1
Δx
Δy
ΔΔyx＝fxx22－－xf1x1
函数 f(x)＝2x2－1 在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率ΔΔxy等于(
【答案】
fx0＋Δx－fx0 Δx
函数在一点处变化的快慢
函数 f(x)＝x2 在 x＝1 处的瞬时变化率为__________． 【解析】 ΔΔyx＝1＋ΔΔxx2－12＝2Δx＋ΔxΔx2＝Δx＋2，当 Δx 趋于 0 时，ΔΔxy趋 于 2.
【答案】 2
[质疑·手记] 预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问 1： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 2： _____________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________ 疑问 3： ______________________________________________________ 解惑： _______________________________________________________
高中数学选修1-1 第三章 导数 第1节 平均变化率、瞬时变化率与导数
第1节平均变化率、瞬时变化率与导数假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)．问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？提示：自变量x的改变量为x1－x0，记作Δx，函数值的改变量为y1－y0，记作Δy＝y1－y0.问题2：Δy的大小能否判断山坡陡峭程度？提示：不能．问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？提示：对山坡AB来说，ΔyΔx＝y1－y0x1－x0可近似地刻画．问题4：能用ΔyΔx刻画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因ΔyΔx表示A，B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比ΔyΔx越大，山坡越陡，反之，山坡越缓．问题5：从A到B，从A到C，两者ΔyΔx相同吗？提示：不相同．函数的平均变化率一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝f(x0＋Δx)－f(x0)，则当Δx≠0时，商f(x0＋Δx)－f(x0)Δx＝ΔyΔx称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．对平均变化率的理解(1)x0，x1是定义域内不同的两点的横坐标，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝f(x1)－f(x0)是相应Δx＝x1－x0的改变量，Δy的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．(2)函数f(x)在点x0处的平均变化率与自变量的增量Δx有关，与x0也有关．同一个函数，不同的x0与不同的Δx其平均变化率往往都是不同的．(3)平均变化率f(x1)－f(x0)x1－x0表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势．考点一：求函数的平均变化率例1：函数h（t）=﹣4.9t2+6.5t+10从0到2的平均变化率为（）A．﹣2.2 B．﹣3.3 C．2.2 D．3.2解：△y=h（2）﹣h（0）=﹣4.9×4+6.5×2+10﹣10=﹣6.6，△t=2﹣0=2，则=﹣3.3．故选：B．练习：（1）如图，函数y=f（x）在M，N两点间的平均变化率是（）A．﹣3 B．3 C．﹣D．解：有图可知f（1）=1，f（2）=2，∴f（4）﹣f（1）=2﹣1=1，∴函数y=f（x）在M，N两点间的平均变化率是=，故选：D．（2）若函数y=ax+b在区间[1，2]上的平均变化率为3，则a=（）A．﹣3 B．2 C．3 D．﹣2解：函数f（x）=ax+b在区间[1，2]上的增量△y=f（2）﹣f（1）=a，∴f （x ）在区间[1，2]上的平均变化率为=a ，∵函数y=ax +b 在区间[1，2]上的平均变化率为3， ∴a=3． 故选：C ．例2：已知函数f (x )＝3－x 2，计算当x 0＝1,2,3，Δx ＝13时，平均变化率的值，并比较函数f (x )＝3－x 2在哪一点附近的平均变化率最大？[精解详析] 函数f (x )＝3－x 2在x 0到x 0＋Δx 之间的平均变化率为 f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx ＝[3－(x 0＋Δx )2]－(3－x 20)Δx (2分)＝－2x 0·Δx －(Δx )2Δx＝－2x 0－Δx .(4分)当x 0＝1，Δx ＝13时，平均变化率的值为－73，(6分) 当x 0＝2，Δx ＝13时，平均变化率的值为－133，(8分) 当x 0＝3，Δx ＝13时，平均变化率的值为－193，(10分)， ∵－73>－133>－193，∴函数f (x )＝3－x 2在x 0＝1附近的平均变化率最大．(12分)练习：求函数y ＝x 2在x ＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx 的值为13，哪一点附近平均变化率最大？解：在x ＝1附近的平均变化率为k 1＝f (1＋Δx )－f (1)Δx ＝(1＋Δx )2－1Δx ＝2＋Δx ；在x ＝2附近的平均变化率为k 2＝f (2＋Δx )－f (2)Δx ＝(2＋Δx )2－22Δx ＝4＋Δx ；在x ＝3附近的平均变化率为k 3＝f (3＋Δx )－f (3)Δx ＝(3＋Δx )2－33Δx＝6＋Δx .若Δx＝13，则k1＝2＋13＝73，k2＝4＋13＝133，k3＝6＋13＝193.由于k1<k2<k3，∴在x＝3附近的平均变化率最大．例3：已知函数y=f（x）的图象如图所示，设函数y=f（x）从﹣1到1的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，则v1与v2的大小关系为（）A．v1＞v2B．v1=v2C．v1＜v2D．不确定解：∵函数y=f（x）从﹣1到1的平均变化率为v1，从1到2的平均变化率为v2，∴v1＜v2，故选：C．练习：函数f（x）=x，g（x）=x2在[0，1]的平均变化率分别记为m1，m2，则下面结论正确的是（）A．m1=m2B．m1＞m2C．m2＞m1D．m1，m2的大小无法确定解：m1==f（1）﹣f（0）=1﹣0=1，m2==f（1）﹣f（0）=12﹣0=1，故m1=m2，故选：A．例4：某物体运动的位移s（t）米与时间t秒关系为s（t）=3t2+t+4，则在4秒时，物体的瞬时速度为（）A．25m/s B．20m/s C．56m/s D．48m/s解：∵一个物体的位移s（米）和与时间t（秒）的关系为s=3t2+t+4，∴s′（t）=6t+1∴该物体在4秒末的瞬时速度是s′|t=4=6×4+1=25故选：A．练习：已知曲线y=2ax2+1在横坐标为1的点M处的瞬时变化率为﹣4，则a的值为（）A ．B ．﹣1C ．D ．不确定解：由y=2ax 2+1，得到y′=4ax ，因为曲线y=2ax 2+1在横坐标为1的点M 处的瞬时变化率为﹣4， 所以y′=4a=﹣4，解得a=﹣1，故选：B ． 例5：求函数y ＝f (x )＝x －1x 在x ＝1处的导数．解：∵Δy ＝(1＋Δx )－11＋Δx －⎝⎛⎭⎪⎫1－11＝Δx ＋1－11＋Δx ＝Δx ＋Δx1＋Δx ， ∴Δy Δx＝Δx ＋Δx 1＋Δx Δx ＝1＋11＋Δx， ∴lim Δx →0Δy Δx ＝lim Δx →0⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋11＋Δx ＝2. 从而f ′(1)＝2.求函数在某点处的导数的步骤： (1)求函数的增量Δy ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)； (2)求平均变化率Δy Δx ＝f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx； (3)取极限，得导数f ′(x 0)＝lim Δx →0ΔyΔx . 练习：函数y ＝x 2在x ＝1处的导数为( ) A ．2x B ．2＋Δx C ．2D ．1解析：y ＝x 2在x ＝1处的导数为f ′(1)＝lim Δx →0 (1＋Δx )2－1Δx＝lim Δx →0 (2＋Δx )＝2. 答案：C例6：设2()f x x =，求()f x '，(1)f '-，(2)f '的值．练习：若f(x)＝1x，则f′(1)等于()A．1B．－1 C.12D．－12解析：∵ΔyΔx＝11＋Δx－1Δx＝－11＋Δx，∴f′(1)＝limΔx→0ΔyΔx＝limΔx →0－11＋Δx＝－1.答案：B例7：若f′（x 0）=4，则=（）A．2B．4C．D．8解：=2=2f′（x0）=8，故选：D．练习：若y=f（x）在（﹣∞，+∞）可导，且，则f′（a）=（）A．B．2C．3D．解：∵，∴•=1，即f′（a）=1，则f′（a）=，故选：D．。
人教版高中数学选修1-1第三章 变化率与导数 同步教案
学生姓名 性别 年级 学科 数学 授课教师上课时间 年 月 日第（ ）次课 共（ ）次课课时：2课时教学课题 人教版 选修1-1 第三章 变化率与导数 同步教案教学目标知识目标：掌握并理解平均变化率；理解导数的概念及其几何意义能力目标：通过导数的概念形成过程，让学生掌握从特殊到一般的方法，提高联系与转化的思维能力情感态度价值观：通过合作与交流，让学生体会数学的理性与严谨，感受探索的乐趣教学重点与难点 导数的概念及其几何意义教学过程（一）变化率问题知识梳理1．函数的变化率的定义Δy Δx ＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝f （x 1＋Δx ）－f （x 1）Δx称为函数在区间[x 1，x 2]上的平均变化率． 2．平均变化率的计算公式Δy Δx ＝y 2－y 1x 2－x 1＝f （x 2）－f （x 1）x 2－x 1＝f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx例题精讲【题型一、求平均变化率】【例1】 求函数y ＝f (x )＝3x 2＋2在区间[x 0，x 0＋Δx ]上的平均变化率，并求当x 0＝2，Δx ＝0.1时平均变化率的值．【方法技巧】求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx 与函数值的增量Δy ，求平均变化率的主要步骤是：(1)先计算函数值的改变量Δy ＝f (x 1)－f (x 0)； (2)再计算自变量的改变量Δx ＝x 1－x 0； (3)得平均变化率Δy Δx ＝f （x 1）－f （x 0）x 1－x 0.【题型二、求物体运动的平均速度】【例2】 以初速度v 0竖直向上抛一物体的位移s 与时间t 的关系为：s (t )＝v 0t －12gt 2.(1)求物体从时刻t 0到时刻t 0＋Δt 这段时间的平均速度v ； (2)求物体在t ＝10 s 到10.4 s 这段时间的平均速度．【方法技巧】已知物体的运动方程，即知道物体运动过程中位移与时间的函数关系，求其在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均速度，根据平均速度的意义可知就是求这个函数在[t 0，t 0＋Δt ]内的平均变化率．【题型三、平均变化率的实际应用】【例3】蜥蜴的体温与阳光的照射有关，其关系为T (t )＝120t ＋5＋15，其中T (t )为体温(单位：℃)，t 为太阳落山后的时间(单位：min)．求：(1)从t ＝0到t ＝10 min ，蜥蜴的体温的平均变化率． (2)体温T (t )对时间t 的变化率．【方法技巧】 平均变化率是一个比值，它是揭示一个量随另一个量变化快慢的重要指标，学习时应通过实例体会和经历求平均变化率的过程，注意平均变化率对于不同的实际问题可能有不同的名称．如物体运动时的平均变化率就是平均速度，它是位移增量与时间增量的比，气球膨胀的平均变化率就是气球膨胀率，它是半径增量与体积增量的比．函数的平均变化率就是从这些实际问题中抽象出来的一个重要数学概念．巩固训练1.在例1中，分别求函数在x 0＝1，2，3附近Δx 取12时的平均变化率k 1，k 2，k 3，并比较其大小．2. 动点P 沿x 轴运动，运动方程为x ＝10t ＋5t 2，式中t 表示时间(单位：s)，x 表示距离(单位：m)，求在20≤t ≤20＋Δt 时间段内动点的平均速度，其中(1)Δt ＝1，(2)Δt ＝0.1，(3)Δt ＝0.01.3.一正方形铁板在0 ℃时，边长为10 cm ，加热后会膨胀，当温度为t ℃时，边长变为10(1＋at )cm ，a 为常数．试求铁板面积对温度的膨胀率．（二）导数的概念知识梳理 1．瞬时变化率函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是函数f (x )从x 0到x 0＋Δx 的平均变化率在Δx →0时的极限，即2．函数f (x )在x ＝x 0处的导数函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是0lim→∆x Δy Δx ＝0lim →∆x f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx，我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x0)或y ′|x ＝x0 ，即0lim→∆x f ′(x 0)＝0lim→∆x ΔyΔx＝ 错误!未指定书签。
高中数学选修1-1-第三章 变化率与导数 复习课件-北师大版
x x0
x0
x
在，则此极限称为f(x)在点x=x0处的导数，记
为f ' = ( x0 ) ，或y| xx0 。
2、导函数：如果函数y=f(x)在区间(a，b)内每一点都
可导，就说y=f(x)在区间(a，b)内可导。即对于开区间
(a，b)内每一个确定的x0值，都相对应着一个确定的 导数 f ' ( x0 ) ，这样在开区间(a，b)内构成一个新函数，
8、若f(x)=ln x，则 f '(x) 1
x
导数的运算法则:
法则1：两个函数的和(差)的导数，等于这两个 函数的导数的和(差)，即：
法则2：两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘第二个函数，加上第一个函数乘第二个函 数的导数，即：
法则3：两个函数的积的导数，等于第一个函数 的导数乘第二个函数，减去第一个函数乘第二个函 数的导数，再除以第二个函数的平方。即：
把这一新函数叫做f(x)在(a，b)内的导函数。简称导数，
记作
f'( x )
或 yy' = lim x0
f (x x) f (x) x
3、导数的几何意义：函数y=f(x)在点x0处的导数的几
何意义，就是曲线y=f(x)在P(x0，f(x0))处的切线的斜率， 即曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线斜率为 k = f ' ( x0 )。 所以曲线y＝f(x)在点 P(x0，f(x0))处的切线方程
第三章 变化率与导数 复习课件
导数
导数概念 导数运算
函数的瞬时变化率 运动的瞬时速度 曲线的切线斜率 基本初等函数求导 导数的四则运算法则 简单复合函数的导数
曲线的切线
以曲线的切线为例，在一条曲线C：y=f(x)上
高中数学北师大版选修1-1课件：第三章变化率与导数3计算导数
其中正确的有
A.0个
B.1个
解析
5 ∵② x3
＝
5
x
2
3，
3
√C.2个
D.3个
∴②错误，故选C.
12345
2.函数 f(x)＝ x，则 f′(3)等于
√A.
3 6
B.0
1 C.2 x
3 D. 2
解析 ∵f′(x)＝( x)′＝21 x，
∴f′(3)＝2 1 3＝
3 6.
12345
1 3.设函数f(x)＝logax，f′(1)＝－1，则a＝__e__. 解析 ∵f′(x)＝xln1 a， 又 f′(1)＝ln1a＝－1，∴a＝1e.
＝x＋1Δx＋5－1x＋5
－Δx
＝
，
x＋Δx·x
∴ΔΔyx＝x＋－Δ1x·x，
∴f′(x)＝ lim Δx→0
ΔΔxy＝Δlixm→0
x＋－Δ1x·x＝－x12.
∴f′(2)＝－14.
题型二 导数公式表的应用
例2 求下列函数的导数. (1)y＝sin π3； 解 y′＝0.
(2)y＝x x；
3
解 因为 y＝x x＝x 2，
1 2
x0
1 2
＝xa0，
即
a＝
1 2
Байду номын сангаас
1
x0 2，
①
∵点(x0，y0)为两曲线的交点，
∴ x0＝aln x0，
②
由①②可得x0＝e2， 将 x0＝e2 代入①得 a＝2e.
3 达标检测
PART THREE
1.下列结论：
①(sin
x)′＝cos
x；②
5 x3
数学-高二选修1-1-第三章_导数及其应用-3.1变化率及导数_3.1.3导数的
3 ．曲线y＝ x3在点 P 处的切线斜率为 3 ，则点 P 的坐标
为
A．(－2，－8)
( B )
B．(1,1)，(－1，－1)
1 1 D. （- ，- ） 2 8
C. ( 2 , 8)
4．已知函数 y＝f(x)的图象在点 M(1，f(1))处的切线方 1 程是 y＝ x＋2，则 f(1)＋f′(1)＝_______. 3 2
第三章 导数及其应用
3.1 变化率与导数 3.1.3导数的几何意义
学习目标
1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系 ；
2.理解曲线的切线的概念 ；
3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义； 4.会用导数的几何意义解题 .
复习引入
1.平均变化率 函数y=f(x)从x1到x2平均变化率为:
Y=f(x) y f(x2) f(x2)-f(x1)=△y f(x1) O B
或 y | x x0 , 即
f (x Δx ) f ( x ) f ( x) f ( x ) 0 0 lim 0 f ( x ) lim 0 x 0 x x x x x 0 0
4、求函数y=f(x)在x=x0处的导数的一般步骤是:
(1)求函数的增量y f ( x0 x ) f ( x0 );
f ( x 0 x ) f ( x0 ) y ( 2)求平均变化率 ; x x
y (3)取极限，得导数f ( x0 ) lim . x 0 x
知识点一：切线
探究1 平面几何中我们是怎样判断直线是否
是圆的割线或切线的呢？
如图直线l1是曲线C的切线吗? l2呢?
y
P
x
M
因此,切线方程为y-2=2(x-1),
高中数学选修1-1第三章 变化率与导数2_导数的概念及其几何意义2_1导数的概念
2.1导数的概念一、教学目标：1.知识与技能：通过大量的实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数。
2.过程与方法：(1)通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力;(2)通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。
3.情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣.二、教学重点：了解导数的概念及求导数的方法。
教学难点：理解导数概念的本质内涵三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）复习：设函数)(x f y =，当自变量x 从x 0变到x 1时，函数值从)(0x f 变到)(1x f ，函数值y 关于x 的平均变化率为当x 1趋于x 0，即Δx 趋于0时，如果平均变化率趋于一个固定的值（这个值称为：当x 1趋于x 0时，平均变化率的极限），那么这个值就是函数)(x f y =在点x 0的瞬时变化率。
（二）探究新课在数学上，称瞬时变化率为函数)(x f y =在点x 0的导数，通常用符号)(0x f '表示，记作例1一条水管中流过的水量y （单位：3m ）是时间x （单位：s ）的函数x x f y 3)(==。
求函数)(x f y =在x =2处的导数)2(f '，并解释它的实际意义。
解：当x 从2变到2＋Δx 时，函数值从3×2变到3（2＋Δx ），函数值y 关于x 的平均变化率为3323)2(3)2()2(=∆∆=∆⨯-∆+=∆-∆+xx x x x f x f （3m /s ）. 当x 趋于2，即Δx 趋于0时，，平均变化率趋于3，所以3)2(='f （3m /s ）.导数)2(f '表示当x =2s 时水流的瞬时变化率，即水流的瞬时速度。
也就是如果水管的中的水以x =2s 时的瞬时速度流动的话，每经过1s ，水管中流过的水量为33m 。
人教A版高中数学选修1-1《三章 导数及其应用 3.1 变化率与导数 3.1.1 变化率问题》优质课教案_32
第三章导数及其应用§3.1.1变化率问题一．教材分析：新课标对本节的要求是：“通过大量实例的分析，经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景。
”新课标对导数及其应用内容是按照“平均变化率——瞬时变化率——导数的概念——导数的几何意义”的顺序来安排，用“逼近”的方法定义导数。
变化率问题在内容上起到承上启下的作用。
一方面变化率问题是对前面所学过的函数性质的进一步深入研究，另一方面本节通过实例分析，总结归纳出一般函数的平均变化率，同时探讨平均变化率的几何意义，为下节研究瞬时速度和切线斜率作知识铺垫，对导数概念的形成起着奠基作用，同时在这个过程中渗透着从特殊到一般、从具体到抽象以及数形结合等数学思想方法，对于培养学生的观察、分析、归纳总结能力具有十分重要的意义。
二．学情分析：在学习本节课之前，学生已学过直线斜率、物体运动的平均速度等知识，具有一定的归纳、概括、类比等能力基础，但是从特殊到一般，从具体到抽象的概念构建过程会有认知障碍。
三．教学目标：1．知识与技能：理解平均变化率的概念及意义，掌握求函数平均变化率的基本步骤，会求函数在某点处附近的平均变化率。
2．过程与方法：体验从特殊到一般，从具体到抽象和数形结合的思想方法和以直代曲的思想。
3．情感态度与价值观：培养学生严谨的学习态度，勇于探究的精神和合作交流的习惯。
四．教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率； 五．教学难点：平均变化率的概念．六．教学方法：引导启发式、师生合作式、多媒体教学模式。
七．学习方法：教师引导和自主探究相结合 八．教学过程： 1.创设情景为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：（1）已知物体运动的路程作为时间的函数,求物体在任意时刻的速度与加速度等; （2）求曲线的切线;（3）求已知函数的最大值与最小值; （4）求长度、面积、体积和重心等。
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学科教师辅导讲义讲义编号:学员编号：年级：课时数:3学员姓名：辅导科目：学科教师:课题变化率与导数授课日期及时段教学目的1、让学生理解导数的概念；2、会求简单函数y＝f（x）在x＝x0处的导数教学内容一、【课前检测】1、若f′（x0）=2，则等于：A、﹣1B、﹣2C、1D、考点：极限及其运算。
分析：首先应该紧扣函数在一点导数的概念，由概念的应用直接列出等式，与式子对比求解．解析：因为f′（x0）=2，由导数的定义即=2⇒=﹣1选择A．点评：此题主要考查函数在一点导数的概念的应用，属于记忆理解性的问题，这类题目属于最基础性的．2、（2007•海南）曲线y=e x在点（2，e2）处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（）A、e2B、2e2C、e2D、考点：利用导数研究曲线上某点切线方程。
分析：欲求切线与坐标轴所围三角形的面积的大小，只须求出其斜率得到切线的方程即可，故先利用导数求出在x=4处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率．从而问题解决．解：∵点（2，e2）在曲线上，∴切线的斜率k=y′|x•2=ex|x•2=e2，∴切线的方程为y﹣e2=e2（x﹣2）．即e2x﹣y﹣e2=0．与两坐标轴的交点坐标为（0，﹣e2），（1，0），∴S△=×1×e2=．选D．点评：本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题． 3、若点P 在曲线y=x 3﹣3x 2+（3﹣）x+上移动，经过点P 的切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（ ）A 、[0，）B 、[0，）∪[，π） C 、[，π）D 、[0，）∪（，]考点：导数的几何意义；直线的倾斜角。
分析：先求出函数的导数y′的解析式，通过导数的解析式确定导数的取值范围，再根据函数的导数就是函数在此点的切线的斜率，来求出倾斜角的取值范围． 解：∵函数的导数y′=3x 2﹣6x+3﹣=3（x ﹣1）2﹣≥﹣，∴tanα≥﹣，又 0≤α＜π，∴0≤α＜或≤α＜π，选 B ．点评：本题考查函数的导数的几何意义，直线的倾斜角和斜率的关系．4、在曲线y =x 2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x ,2+△y )，则xy∆∆为（ ） A .△x +x ∆1 +2 B .△x －x∆1－2 C .△x +2 D .2+△x －x ∆1考点：导数的定义。
分析：根据函数解析式，利用导数的概念即可求出答案。
选C 5、在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h （单位：m ）与起跳后的时间t （单位：s ）存在函数关系h （t ）=-4.9t 2＋6.5t ＋10，求运动员在t=2时的瞬时速度？分析：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。
如何求运动员的瞬时速度？在t=2之前或之后，任意取一个时刻2+Δt ，Δt 可以是正值，可以是负值，当Δt 趋于0时，平均速度有怎样的变化趋势？二、【知识梳理】1、平均变化率已知物体运动的位移（m ）与时间t （s ）满足关系：S （t ）＝2t ＋5t 2，求：（1）物体从第1秒到第3秒这段时间内的平均速度；（2）物体从t 1秒到t 2秒这段时间内的平均速度。
由上述结果，教师指出：“1212)()(t t t s t s --”称为位移S （m ）从t 1秒到t 2秒的平均变化率。
一般地对于一个函数y ＝f （x ），我们将式子1212)()(x x x f x f --称为f （x ）从x 1到x 2的平均变化率。
令△x ＝x 2－x 1，△f ＝f （x 2）－f （x 1），则平均变化率可表示为xf ∆∆，并指出：对于不同的实际问题，平均变化率富于不同的实际意义。
然后进一步提出问题：问题二：观察函数f （x ）的图象平均变化率xf ∆∆＝1212)()(x x x f x f --的几何意义是什么？y y ＝f （x ）f （x ２）f （x ２）－f （x １） f （x １）x ２－x １0 x １ x ２ x函数的平均变化率的几何意义是过函数f （x ）的图象上对应两点（x 1,f （x 1））, （x 2,f （x 2））割线的斜率，它的物理意义就是运动物体在某一时间段内的平均速度。
2、利用函数的平均变化率求曲线上一点处的切线斜率不妨设P(x 1，f(x 1))，Q(x 0，f(x 0))，则割线PQ 的斜率为0101)()(x x x f x f k PQ --=，设x 1－x 0=△x ，则x 1 =△x ＋x 0， ∴xx f x x f kPQ∆-∆+=)()(00当点P 沿着曲线向点Q 无限靠近时，割线PQ 的斜率就会无限逼近点Q 处切线斜率，即当△x 无限趋近于0时，xx f x x f kPQ∆-∆+=)()(00无限趋近点Q 处切线斜率。
3、曲线上任一点(x0，f(x0))切线斜率的求法：xx f x x f k ∆-∆+=)()(00，当△x 无限趋近于0时，k 值即为(x 0，f(x 0))处切线的斜率。
4、瞬时速度与瞬时加速度(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度(2) 位移的平均变化率：t t s t t s ∆-∆+)()(00(3)瞬时速度：当无限趋近于0 时，tt s t t s ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时速度5、求瞬时速度的步骤：（1）.先求时间改变量t ∆和位置改变量)()(00t s t t s s -∆+=∆ （2）.再求平均速度ts v ∆∆=(3).后求瞬时速度：当t ∆无限趋近于0，ts∆∆无限趋近于常数v 为瞬时速度 (4)速度的平均变化率：tt v t t v ∆-∆+)()(00(5)瞬时加速度：当t ∆无限趋近于0 时，tt v t t v ∆-∆+)()(00无限趋近于一个常数，这个常数称为t=t 0时的瞬时加速度注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率 6、导数的概念上述两个函数)(x f 和)(t V 中，当x ∆(t ∆)无限趋近于0时，t V ∆∆(xV∆∆)都无限趋近于一个常数。
归纳：一般的，定义在区间（a ，b ）上的函数)(x f ，)(b a x o ，∈，当x ∆无限趋近于0时，xx f x x f x y o o ∆-∆+=∆∆)()(无限趋近于一个固定的常数A ，则称)(x f 在o x x =处可导，并称A 为)(x f 在o x x =处的导数，记作)('o x f 或o x x x f =|)('，三、【经典例题】例1、将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热。
如果在第x h 时，原油温度（单位：C ︒）为()()801572≤≤+-=x x x x f ．计算第2h 和第6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义。
分析：瞬时变化率与瞬时速度本质一样，所以做法一样。
解：在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率就是'(2)f 和'(6)f根据导数定义0(2)()f x f x fx x +∆-∆=∆∆22(2)7(2)15(27215)3x x x x +∆-+∆+--⨯+==∆-∆所以00(2)limlim (3)3x x ff x x ∆→∆→∆'==∆-=-∆ 同理可得:(6)5f '=在第2h 时和第6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3-和5, 说明在第2h 附近,原油温度大约以3/C h 的速率下降在第6h 附近,原油温度大约以5/C h 的速率上升.点评：一般地,'()f x 反映了原油温度在时刻0x 附近的变化情况.例2、(1)求函数23x y =在1=x 处的导数.(2)求函数x x x f +-=2)(在1x =-附近的平均变化率,并求出该点处的导数.分析：先求)()(00x f x x f y f -∆+=∆=∆,再求x y∆∆,最后求xy x ∆∆→∆0lim.解：(1)法一 定义法(略)法二 222211113313(1)|lim lim lim3(1)611x x x x x x y x x x =→→→-⋅-'===+=--(2)xx x x x y ∆-=∆-∆+-+∆+--=∆∆32)1()1(2 200(1)(1)2(1)lim lim(3)3x x y x x f x x x ∆→∆→∆--+∆+-+∆-'-===-∆=∆∆点评：由此题可体现求导数的步骤及进一步认识xy ∆∆与xy x ∆∆→∆0lim的关系和区别，通过这种近似与精确深刻理解导数的本质 【小试牛刀】：为了进一步体现其抽象性及几何意义，同学们完成下列两题： 1、求下列函数在相应位置的导数（1）1)(2+=x x f ，2=x（2）12)(-=x x f ，2=x （3）3)(=x f ，2=x2、函数)(x f 满足2)1('=f ，则当x 无限趋近于0时，（1）=-+xf x f 2)1()1(（2）=-+xf x f )1()21(变式:设f(x)在x=x 0处可导，（3）xx f x x f ∆-∆+)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=___________（4）xx f x x f ∆-∆-)()4(00无限趋近于1，则)(0x f '=________________（5）当△x 无限趋近于0，xx x f x x f ∆∆--∆+)2()2(00所对应的常数与)(0x f '的关系。
总结：导数等于纵坐标的增量与横坐标的增量之比的极限值。
3、若2)1()(-=x x f ，求)2('f 和((2))'f例3、已知a ＞0，n 为正整数设y=（x ﹣a ）n，证明y′=n （x ﹣a ）n ﹣1考点：导数的运算。
分析：利用导数的定义求解．解：本题可以对y=（x ﹣a ）n 展开后“逐项”求导证明；这里用导数的定义证明：y′==n （x ﹣a ）1-n点评：定义是在解决相关导数问题的基本方法．近年来的高考也是以回归课本为宗旨．例4、已知f(x)=2x 2+1(1)求: 其从x 1到x 2的平均变化率；(2)求: 其从x 0到x 0+Δx 的平均变化率，并求x 0=1, Δx=21时， 的平均变化率。
分析:根据平均变化率的定义就可求出结果。
解：（1）)(2)12(1221212221x x x x x x x y +=-+-+=∆∆（2）x x xx x x x y ∆+=∆-+∆+-+=∆∆24)1)(2[120202， 当x 0=1, Δx=21时，平均变化率为5例5、求曲线f （x ）=x 3﹣3x 2+2x 过原点的切线方程． 考点：导数的几何意义。