等差等比数列练习题

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等差等比数列综合习题

等差、等比数列综合习题一、选择题1、数列1614,813,412,211…前n 项的和为（） A 、2212n n n ++ B 、12122+-+n n n C 、n n n 2122-+ D 、1212)1(+--n n n 2、三个不同实数c b a ,,成等差数列，b c a ,,又成等比数列，则=ba （） A 、47 B 、4 C 、-4 D 、2 3、在等差数列}{n a 中，已知30201561=+++a a a a ，则数列的前20项和S 20=（）A 、100B 、120C 、140D 、1504、已知数列}{n a 的601-=a ，31-=-n n a a ，那么++||||21a a …||30a +=（）A 、-495B 、765C 、1080D 、31055、某企业的生产总值月平均增长率为p%，则年平均增长率为（）A 、12p%B 、12%)1(p +C 、1%)1(11-+p D 、1%)1(12-+p6、设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，已知331S 与441S 的等比中项为3531,51S S 与441S 的等差中项为1，求通项n a 。

7、设有数列,,21a a …n a …又若23121,,a a a a a --…1--n n a a 是首项为1，公比为31的等比数列。

（1）求n a （2）求++21a a …n a +8、在等比数列}{n a 中，已知2721154321=++++a a a a a ，482111111154321=++++a a a a a ，求3a 。

9、已知两个数列}{n a ，}{n b 满足关系式)(3212121*∈+⋯++++⋯++=N n n na a a b n n ，若}{n b 是等差数列，求证}{n a 也是等差数列。

10、已知数列}{n c 其中n n n c 32+=且数列}{1n n pc c -+为等比数列。

等差等比数列基础练习题

等差等比数列基础练习题1.等差数列8，5，2，…的第20项为-43.2.在等差数列中已知a1=12，a6=27，则d=3.3.在等差数列中已知d=-3，a7=8，则a1=-16.4.(a+b)与(a-b)的等差中项是a。

5.等差数列-10，-6，-2，2，…前11项的和是54.6.正整数前n个数的和是n(n+1)/2.7.数列{an}的前n项和Sn=3n^2-n，则an=6n-1.8.已知数列{an}的通项公式an=3n-50，则当n=17时，Sn 的值最小，S17的最小值是-200.1.求等差数列8，5，2，…的第20项。

2.已知等差数列中a1=12，a6=27，求公差d。

3.已知等差数列中d=-3，a7=8，求首项a1.4.若(a+b)与(a-b)的等差中项为a，求a和b的关系。

5.求等差数列-10，-6，-2，2，…前11项的和。

6.求正整数前n个数的和。

7.已知数列{an}的前n项和Sn=3n^2-n，求通项公式an。

8.已知数列{an}的通项公式an=3n-50，求当n=17时，Sn 的最小值。

月来夜亮精品三、计算题1.求等差数列 $\{a_n\}$ 的未知数：1) 已知 $a_1=1$，$d=-3$，$S_n=-5$，求 $n$ 和 $a_n$。

解：由等差数列前 $n$ 项和公式$S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)$，得到 $a_n=a_1+(n-1)d$，代入已知条件得到：begin{cases}a_1=1\\d=-3\\S_n=-5\end{cases}$$begin{cases}S_n=\dfrac{n}{2}(a_1+a_n)=-5\\a_n=a_1+(n-1)d=-3n+4\end{cases}$$将 $a_n$ 代入 $S_n$ 的公式，解得 $n=3$，再代入$a_n$ 的公式得到 $a_3=-5$。

2) 已知 $a_1=2$，$d=2$，$a_{15}=-10$，求 $a_1$ 和$S_{66}$。

一轮复习等差等比数列证明练习题

4 4n1n +1 nna a +2 n2S - 1 n S ⎭ ⎧⎬1．已知数列{a }是首项为a = 1 ，公比 q = 1的等比数列，b n 1 n + 2 = 3log1 4an(n ∈ N *) ，数列 {c }满足 c = a ⋅ b ．n nnn（1）求证：{b n}是等差数列；{a }a = 2, a= a 2 + 6a + 6(n ∈ N * )2．数列满足，设 c n = log 5 (a n + 3)．（Ⅰ）求证： {c n }是等比数列；3．设数列 { n}的前 n 项和为 Sn，已知 a + 2a + 3a +1 2 3+ na = (n - 1)S + 2n (n ∈ N * ) ．n n（2）求证：数列{S + 2}是等比数列；n4．数列{a } 满足 a = 1, a n 1 n +1= 2 n +1 ann (n ∈ N ) +2 n（1）证明:数列{ } 是等差数列；an5．数列 {a }首项 a n 1 2S 2= 1 ，前 n 项和 S 与 a 之间满足 a = ( n ≥ 2)n n n n（1）求证：数列 ⎨ 1 ⎫ 是等差数列⎩ n6．数列{ a }满足 a = 3 ， a n 1n +1 = 2a + 1n，（1）求证：{ a n - 1} 成等比数列；a + 2n7．已知数列{a } 满足 ann +1= 3a + 4 ， (n ∈ N * ) 且 a = 1 ，n 1（Ⅰ）求证：数列{a + 2}是等比数列；nn +1= ，n=1，2，…⎧ S ⎬是等差数列，并求 S ； n ⎭⎧a 3 （Ⅰ）证明：数列 ⎨ n ⎬ 为等差数列；=aa（1）求证: ⎨⎧ 1 + ⎬ 是等比数列,并求 {a }的通项公式 a ; ⎩ a n 2 ⎭， a = ，且当 n ≥ 2 时，2 48．数列{a } 满足: a = 1, n ⋅ an1n +1= (n + 1) ⋅ a + n ⋅ (n + 1), n ∈ N *na（1）证明：数列{ n } 是等差数列；n9．已知数列{a n }的首项 a 1= 2 3， a2ana + 1 n（1）证明：数列 ⎨ 1⎫- 1⎬ 是等比数列；⎩ a n⎭10．已知数列{a } 的前 n 项和为 S ， a = nn 11 2, S = n 2a - n (n - 1),n = 1,2,L ． n n（1）证明：数列 ⎨ n + 1⎩ n⎫n11．（16 分）已知数列{a } 的前 n 项和是 S ，且 S = 2a - nnnnn（1）证明： { + 1}为等比数列；n12．数列{a } 满足： a = 2, a = 3, an12n +2= 3an +1- 2a (n∈ N *) n（1）记 d = a n n +1 - a n ，求证：数列{d n } 是等比数列；13．已知数列{a } 的相邻两项 a ， ann n +1 是关于 x 方程 x 2 - 2n x + b = 0 的两根，且 a = 1 ．n 11（1）求证：数列{a - ⋅ 2n } 是等比数列；n14．（本题满分 12 分）已知数列{a } 中， a = 5 且 a = 2an1n⎧ a - 1 ⎫⎩ 2n ⎭n -1+ 2n - 1 （ n ≥ 2 且 n ∈ N* ）．15．已知数列 {n }中, a 1 = 1, a n a + 3 n(n ∈ N * )1 ⎫n n16．设数列{a }的前 n 项和为 S nn， n ∈N *．已知 a = 1 ， a =1 23 534Sn +2+ 5S= 8S nn +1+ S n -1 ．（1）求 a 的值；4（2）证明： ⎨a- a ⎬ 为等比数列； S - 3n （1）求证：数列 ⎨ n ⎬ 是等比数列； n 1．（1）见解析；（2） S =2- ⨯ ( )n ；（3） m ≥ 1或 m ≤ -5 3 3 44 52n - 94．（1）详见解析；（2） a =；（3） (2n - 3)2n +1 + 6n + 15．（1）详见解析；（2）∴ a = ⎨ 2；（3） 3 ． ⎪ (2n - 1)(2n - 3)⎧ ⎩ n +1 1 ⎫2 n⎭17．设数列 {a }的前 n 项和为 S nn ，且首项 a ≠ 3, a 1n +1= S + 3n (n ∈ N * ) .n(Ⅰ)求证：{ }是等比数列； n18．（本小题满分 10 分）已知数列 {an}满足 a1 = -1 ， a n +1 =(3n + 3)a + 4n + 6n n, n ∈ N * ．⎧ a + 2 ⎫ ⎩ ⎭参考答案(3n + 2) 1 n2．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）a = 52n -1 n- 3.；（Ⅲ） 1 1T =- - n.3．（1）a = 4, a = 82 3；（2）见解析；（3）52nn⎧1(n = 1) ⎪ 2 n - ( n ≥ 2) 3⎩6．（1）证明{ a n - 1} 成等比数列的过程详见试题解析；a + 2n2 = 1 ，对 n ≥ 2 成立．又S = 1，nn - 11⎩ n n ⎭ nn + 1 n 3 + 3n 2(n + 1)(n + 3) 2 n + 1 n + 3，2 2 43 5 n n + 2 n + 1 n + 3 2 6 n + 2 n + 3 1211．（1）见解析；（2）解析；（3）存在， ⎨ 或 ⎨ 或 ⎨ ． m = 18 m = 5 m = 2 -n 为偶数⎪⎪ 3 3- 1 n 为奇数 ⎪ 2 n +1 (2n - 1)⨯ ⎛ 1 ⎫⎪ ．78⎝ 2 ⎭⎩1 - 33 - 1 ≤ t ≤．（2）实数 t 的取值范围为 227．详见解析(2n - 1)⋅ 3n +1 + 38．（1）见解析；（2） S =4nn n (n + 1)9．（1）详见解析（2） S = 2 -1- +2n2nn -110 ．（ 1 ）由 S = n 2 a - n (n - 1) 知，当 n ≥ 2 时， S = n 2 (S - Snnnnn -1) - n (n - 1) ，即(n 2 - 1)S - n 2 Snn -1= n (n - 1)，所以n + 1 n 1 + 1 S - Sn n -1 1⎧ n + 1 ⎫n + 1 所以 ⎨ S ⎬ 是首项为 1 ，公差为 1 的等差数列．所以 S = 1 + (n - 1)⋅ 1，即 nn 2S =．n（2 ）因为 b =S n n1 1 1 1= = ( - )所以1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 1 1 5b + b + L + b = ( - + - + L + - + - ) = ( - - ) < 1 2 n．⎧k = 18 ⎧k = 6 ⎧k = 4⎩⎩⎩12．（1） d = 1⨯ 2n -1 （2） a = 2n -1 + 1n n⎧2n +1 213．（1）见解析；（2） S = ⎨，（3） (-∞,1)n⎪ 3314．（Ⅰ）详见解析（Ⅱ） S = n ⋅ 2n +1n 15．（1）证明详见解析；（2） -2 < λ < 3．n -116．（1）；（2）证明见解析；（3） a =n17．(Ⅰ)详见解析； (Ⅱ) (-9,3) ⋃ (3, +∞)。

等差数列与等比数列的类比练习题(带答案)(可编辑修改word版)

(b 1b n)nn + 1 ，则有2n3等差数列与等比数列的类比一、选择题（本大题共 1 小题，共 5.0 分）{a } S S =n (a 1 + a n ) 1. 记等差数列 n 的前 n 项和为 n ，利用倒序求和的方法得 n 2 ；类似地，记等比数列{b n }的前 n 项积为T n ，且b n> 0(n ∈ N *)，类比等差数列求和的方法，可将T n 表示成关于首项b 1，末项b n 与项数 n 的关系式为 ( )1. Anb 1b nA. B. 2 C. nb 1b nnb 1b nD. 2 二、填空题（本大题共 9 小题，共 45.0 分）2. 在公差为 d 的等差数列{a n }中有：a n = a m + (n - m )d (m 、n ∈ N + )，类比到公比为 q 的等比数列{b n }中有：．2.b n = b m ⋅ q n - m (m ，n ∈ N * ){a} b = a 1 + 2a 2 + 3a 3 + … + n a n{b }3. 数列 n 是正项等差数列，若 n 1 + 2 + 3 + … + n ，则数列 n 也为等差数列，类比上述结论，写出正项等比数列{c n }，若d n = 则数列{d n }也为等比数列．1(c c 2c 3…c n )1 + 2 + 3 + … + n 3. 1 2 3 n4. 等差数列{a n }中，有a 1 + a 2 + … + a 2n + 1 = (2n + 1)a n + 1，类比以上性质，在等比数列{b n }中，有等式成立．4.b 1b 2…b 2n + 1 = b 2n + 1T5. 若等比数列{a n }的前 n 项之积为T n T 3n = ( T n ) ；类比可得到以下正确结论：若等差数列的前 n 项之和为S n ，则有．5. S 3n = 3(S 2n - S n ){a}a 11 + a 12 + … + a 20 = a 1 + a 2 + …a 306. 已知在等差数列 n 中， 10 30 ，则在等比数列{b n }中，类似的结论为10b 11 ⋅ b 12 ⋅ … ⋅ b 20 = 30b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅ … ⋅ b 30q S nn7. 在等比数列{a n}中，若a9 = 1，则有a1⋅a2…a n = a1⋅a2…a17- n(n < 17，且n∈N* )成立，类比上述性质，在等差数列{b n}中，若b7 = 0，则有．b1 + b2 + … + b n= b1 + b2 + … + b13- n(n < 13，且n∈ N* )8.设S n是公差为d 的等差数列{a n}的前n 项和，则数列S6 - S3，S9 - S6，S12 - S9是等差数列，且其公差为9d.通过类比推理，可以得到结论：设T n是公比为2 的等比数列{b n}的前n 项积，则数列T6T9T12T3，T6，T9 是等比数列，且其公比的值是．5129.若等差数列{a n}的公差为d，前nS n{ }项的和为，则数列为等差数列，d. {b}公差为2 类似地，若各项均为正数的等比数列n的公比为q，前n 项的积为T n，则数列{nT n}为等比数列，公比为．10. 设等差数列{a n}的前n 项和为S n m，n(m < n)，使得S m= S n，则S m + n= 0.类比上述结论，设正项等比数列{b n}的前n 项积为T n，若存在正整数m，n(m < n)，使得T m= T n，则T m + n=．10. 1答案和解析【解析】{a} S= n(a1 + a n)1. 解：在等差数列n的前n 项和为n 2 ，因为等差数列中的求和类比等比数列中的乘积，所以各项均为正的等比数列{bn}的前n 项积T n= (b1b n)n，故选：A由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果，在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键．n + 1n + 12. 解：在等差数列{a n }中，我们有a n = a m + (n ‒ m )d ，类比等差数列，等比数列中也是如此，b n = b m ⋅ q n ‒ m(m ，n ∈ N ∗ )．故答案为b n = b m ⋅ q n ‒ m(m ，n ∈ N ∗ )．因为等差数列{a n }中，a n = a m + (n ‒ m )d (m ，n ∈ N + )，即等差数列中任意给出第 m项a m ，它的通项可以由该项与公差来表示，推测等比数列中也是如此，给出第 m 项 b m 和公比，求出首项，再把首项代入等比数列的通项公式中，即可得到结论．本题考查了类比推理，类比推理就是根据两个不同的对象在某些方面的相似之处，从而推出这两个对象在其他方面的也具有的相似之处，是基础题．3. 解： ∵ 根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列的和下标一致的数字倍的和，除以下标的和，∴ 根据新的等比数列构造新的等比数列， c c 2c 3…c n乘积变化为乘方 1 2 3 n ，1(c c 2c 3…c n ) 1 + 2 + 3 + … + n原来的除法变为开方 1 2 3 n1(c c 2c 3…c n ) 1 + 2 + 3 + … + n故答案为： 1 2 3 n根据等差数列构造的新的等差数列是由原来的等差数列的和下标一致的数字倍的和，除以下标的和，等比数列要类比出一个结论，只有乘积变化为乘方，除法变为开方，写出结论．本题考查类比推理，两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象的也具有这类特征，是一个有特殊到特殊的推理．4. 解：把等差数列的通项相加改成等比数列的通项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，∴ 在等比数列{b n }中有结论b 1b 2…b 2n + 1 = b 2n + 1(n ∈ N + ).故答案为：b 1b 2…b 2n + 1 = b 2n + 1(n ∈ N + ). 利用“类比推理”，把等差数列的通项相加改成等比数列的通项相乘，把结论的相乘的系数改成等比数列的指数，即可得出．本题考查了等比数列的通项公式、类比推理等基础知识与基本技能方法，属于中档题．5. 解：在等差数列中S 3n= S n + (S 2n ‒ S n ) + (S 3n ‒ S 2n ) = (a 1 + a 2 + … + a n ) ++ (S 2n ‒ S n ) + (a 2n + 1 + a 2n + … + a 3n )因为a 1 + a 3n = a 2 + a 3n ‒ 1 = … = a n + a 2n + 1 = a n + 1 + a 2n 所以S n + (S 3n ‒ S 2n ) = 2(S 2n ‒ S n )，所以S 3n = 3(S 2n ‒ S n ). 故答案为：S 3n = 3(S 2n ‒ S n ).本小题主要考查类比推理，由等差和等比数列的通项和求和公式及类比推理思想可得结果．本题考查类比推理、等差和等比数列的类比，搞清等差和等比数列的联系和区别是解决本题的关键．6. 解：等差数列与等比数列的对应关系有：等差数列中的加法对应等比数列中的乘法，等差数列中除法对应等比数列中的开方，故此我们可以类比得到结论：10b 11 ⋅ b 12 ⋅ … ⋅ b 20 = 30b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅ … ⋅ b 30．故答案为：10b 11 ⋅ b 12 ⋅ … ⋅ b 20 = 30b 1 ⋅ b 2 ⋅ b 3 ⋅ … ⋅ b 30．在等差数列中，等差数列的性质m + n = p + q ，则a m + a n = a p + a q ，那么对应的在等比数列中对应的性质是若m + n = p + q ，则b m b n = b p b q ．本题考查类比推理，掌握类比推理的规则及类比对象的特征是解本题的关键，本题中由等差结论类比等比结论，其运算关系由加类比乘，解题的难点是找出两个对象特征的对应，作出合乎情理的类比．7. 解：在等比数列中，若a 9 = 1，则a 18 ‒ n ⋅⋅⋅ a 9 ⋅⋅⋅ a n = 1即a 1 ⋅ a 2…a n = a 1 ⋅ a 2…a 17 ‒ n (n < 17，且n ∈ N ∗)成立，利用的是等比性质，若 m + n = 18，则a 18 ‒ n ⋅ a n = a 9 ⋅ a 9 = 1，∴ 在等差数列{b n }中，若b 7 = 0，利用等差数列的性质可知，若m + n = 14，b 14 ‒ n + b n = b 7 + b 7 = 0，∴ b 1 + b 2 + … + b n = b 1 + b 2 + … + b 13 ‒ n (n < 13，且n ∈ N ∗ )故答案为：b 1 + b 2 + … + b n = b 1 + b 2 + … + b 13 ‒ n (n < 13，且n ∈ N ∗).据等差数列与等比数列通项的性质，结合类比的规则，和类比积，加类比乘，由类比规律得出结论即可．本题的考点是类比推理，考查类比推理，解题的关键是掌握好类比推理的定义及等差等比数列之间的共性，由此得出类比的结论即可．T 6 T 9 T 12 T 3，T ， T 929 = 5128. 解：由题意，类比可得数列6是等比数列，且其公比的值是，故答案为 512．由等差数列的性质可类比等比数列的性质，因此可根据等比数列的定义求出公比即可．本题主要考查等比数列的性质、类比推理，属于基础题目．{a } SS n= a + (n ‒ 1) ⋅ d 9. 解：因为在等差数列 n 中前 n 项的和为 n 的通项，且写成了n1 2．所以在等比数列{b n }中应研究前 n 项的积为T n 的开 n 方的形式．类比可得nT n = b 1( q )n ‒ 1.其公比为故答案为 q ．S nS nd{ n } n= a 1 + (n ‒ 1) ⋅ 2仔细分析数列为等差数列，且通项为的特点，类比可写出对应数列{nT n }为等比数列的公比．本小题主要考查等差数列、等比数列以及类比推理的思想等基础知识.在运用类比推理时，通常等差数列中的求和类比等比数列中的乘积．10. 解：在由等差数列的运算性质类比推理到等比数列的运算性质时：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘，故由“已知数列{a n }为等差数列，它的前 n 项和为S n ，若存在正整数m ，n (m ≠ n )，使得S m = S n ，则S m + n = 0”．类比推理可得：“已知正项数列{b n }为等比数列，它的前n .项积为T n ，若存在正整数 m ，n .(m ≠ n )，使得T m = T n ，则T m + n = 1．故答案为 1．在类比推理中，等差数列到等比数列的类比推理方法一般为：加减运算类比推理为乘除运算，累加类比为累乘，由“已知数列{a n }为等差数列，它的前 n 项和为S n ，若存q在正整数m ，n (m ≠ n )，使得S m = S n ，则S m + n = 0”.类比推理可得：“已知正项数列 {b n }为等比数列，它的前n .项积为T n ，若存在正整数m ，n .(m ≠ n )，使得T m = T n ，则 T m + n = 1．类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性；(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．。

等差等比数列性质练习题

等差等比数列性质练习题等差数列性质1已知数列a n中，a n 0^ 1 2(n N ,n 2)，若a1 3,则此数列的第10项是 ___________________2、等差数列a n的前n项和为s n，若a4 18 a5，则s8等于______________3、在等差数列中，a i与an是方程2x2 3 x 7 0的两根，贝U a为___________4、等差数列a n共有2n 1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120,则n等于 ________________5、在x和y之间插入n个实数，使它们与x, y组成等差数列，则此数列的公差为 ______6、首相为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围 _____________7、已知等差数列a n中，前15项之和为05 90，则a8等于_______________1&已知数列｛a n｝中，a3=2，a7=1，又数列｛——｝为等差数列，则a n= _________a n 19、数列 a n 满足：a13, a26, a n+2a n+1 a n , a2004 =10、在等差数列a n中，a m n , a n m (m,n € N+),则 a mn11、等差数列a n中，已知a11,a2a5 4,a n33,则n为312、已知在数列｛a n｝中，a1 = —10，a n+1=a n+2，则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|等于_13、已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15,偶数项之和为30,则其公差是 _______________14、设数列｛a n｝和｛b n｝都是等差数列，其中a1=24，一=75,且a2+b2=100,则数列｛a n+b n｝的第100项2 若S^ 1, S 4，求 a17 a18 a19 a20的值；3若已知首项a113，且S3 Sn，问此数列前多少项的和最大?为15、设a n是公差为正数的等差数列，若6 a2 a3 15 , a22a3 80，则an盹盹_________________16、在等方程(x2 2x m)(x2 2x n) 0的四个根组成一个首项为1的等差数列，贝U |m—n|= __________417、若a n为等差数列，a2, a10是方程x2 3x 5 0的两根，贝U a? ______________________ 。

(完整版)等差等比数列练习题(含答案)以及基础知识点

、等差等比数列基础知识点（一）知识归纳：1概念与公式：①等差数列：1 ° •定义：若数列｛a n｝满足a n, a n d（常数）,则｛a n｝称等差数列;2° •通项公式：a n a i（n 1）d a k （n k）d;2 •简单性质:②中项及性质:④顺次n项和性质:偶数时这个结论不成立）⑤若｛a n｝是等比数列,则顺次n项的乘积：a1a2 a n,a n 1a n 2a2n , a2n 1a2n 2n2a3n组成公比这q的等比数列.②等比数列:a n ae n1 a k q n •前n项和公式：公式：Sk;3°.定义若数列｛a n｝满足•前n项和公式：S na n)2a n 1a n印a.q1 qna12（常数），则｛a n｝称等比数列；2 °a1(1 q n) (q 1),当qh 时Sn na1. q•通项公式：①首尾项性质：设数列{a n} : a i,a2,a3,，a n ,1°若｛a n｝是等差数列，则印a n a2 a n 1 a3 a n 2 2°若｛a n｝是等比数列，则a1a n a2 a n 1 a3 a n1 ° .设a, A , b成等差数列，则A称a、b的等差中项,2° •设a,G,b成等比数列，则G称a、b的等比中项，且③设p、q、r、s为正整数，且p s,1° •若｛a n｝是等差数列，则a p a q a r a s；2° .若｛a n｝是等比数列，则a p a q a r a s；1°若｛a n｝是公差为d的等差数列,2na k , a k,k n 1 k3n2na k组成公差为1n2d的等差数列;3n2° .若｛a n｝是公差为q的等比数列,2na k , a k,k n 1 k 2na k组成公差为1q n的等比数列.（注意: 当q= —1, n为4 ⑥ 若｛a n ｝是公差为d 的等差数列，1° •若n 为奇数，则S n na 中且S 奇S 偶a 中(注：a 中指中项，即a 中a n 1,而S 奇、S 偶指所有奇数项、所有偶数项的和)；2°若n 为偶数，则S 偶 S 奇 —.2(二)学习要点：1 •学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差 d 工0的等差数列的通项公式是项 n 的一次函数a n =an+b;②公差d 丰0的等差数列的前 n 项和公式项数 n 的没有常数项的二次函数 S n =an 2+bn;③公比q 丰1的等比数列的前n 项公式可以写成“ S n =a(1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的2•解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题•3 .巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m (或aa-m,a,a+m )”②三数成等比数列，可设三数为“ a,aq,aq 2(或，a,aq) ”③四数成等差数列，可设四数为q“ a, a m,a 2m,a 3m(或a 3m,a m, a m,a 3m); ” ④四数成等比数列，可设四数为a,aq, aq 3), ”等等；类似的经验还很多,q［例1］解答下述问题:(I)已知1 1 1 a' b ' c成等差数列，求证/八 b cc a a b 亠(1) -JJ成等差数ab c (2) a -b c—成等比数列.2 22［解析］该问题应该选择“中项”的知识解决,山,c a ,a b成等差数列; a b c⑵(a b )(c b ) ac b(a c)2 2 2a2,2,c2成等比数列.［评析］判断(或证明)一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断,(H)等比数列的项数 n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1 12 a c22ac a cbacb⑴ba c ab bc 2 2 c a acac2(a c)2 2(a c)b(a c)bb(a ①c),② 2 2 ab b(a c) a 2 c 2aca, aq, aq 2,aq 3(或弓, q 应在学习中总结经验1024,所有偶数项的乘积为128-.2，求项数n.4a 1 a 3 a 5 a n［解析］设公比为q,亠」」a 2a 4a n 11024 128、24.2n 1a 1 q 24-2 (1)而a 1a 2a 3nq 2(a 1 5n 2(川 a n1 ■)n352y51024 128,2352T , 将(1)代入得(22)n a i 1 2 3I q352T ,35(n 1) 2a k 1 , a k 2 ,35得,得n2等差数列｛a n ｝中， 7.此数列中依次取出部分项组成的数列,a k n 恰为等比数列，其中k 1 1,k 2 5,k 3 17,求数列｛k n ｝的前n 项和. ［解析］a i ，a 5，a i 7成等比数列, 2 a 5 a 1 印7 , 2(a 1 4d) a 1 (a 1d 0, a 1 2d, 16d) d(a i 2d) 0 数列｛a k｝的公比qa k n a1 而 a k na 13n 1 2da 5 a 13n 1 a 1a 14d3,(k n 由①，②得k n 1)d 2 3n 2d1)d｛k n ｝的前n 项和S n21 1,3n 13 13n n 1.［评析］例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、［例3］解答下述问题：(I)三数成等比数列，若将第三项减去32,则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去求原来的三数• ［解析］设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为公式及性质是解决问题的基本功 4, 又成等比数列,原三数为 a -d, a, a+d ，则有 32) a 2 d 2d)(a d) 8a 64 0, d 8或d 亠2 26 3389公差为8得a 10或互,3 9(a d )(a d 2 (a 4) (a 32d 32a 0 16 d 22 3d 32d 9 9 (n)有四个正整数成等差数列, 10,这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数［解析］设此四数为a 15,a 5,a5,a 15(a 15),5、已知数列a n 的前n 项和为S n , S 2n 14n 2 2n ,则此数列的通项公式为(A)a n 2n 2(B) a n8nn 1(C) a n 2(D ) a nn 26、已知(zx)24(x y)(y z)，则(A ) x, y, z 成等差数列(B ) x, y,z 成等比数列(C )丄,丄丄成等差数列x ' y ' z(D )-成等比数列x y z7、数列a n 的前n 项和S n a n 1，则关于数列 a n的下列说法中，正确的个数有①一定是等比数列，但不可能是等差数列 ④可能既不是等差数列，又不是等比数列②一定是等差数列，但不可能是等比数列 ③可能是等比数列，也可能是等差数列(A) 4(B ) 3⑤可能既是等差数列，又是等比数列(C) 2 (D ) 1(a 152) (a 5)2 (a 5) (a 15) (2m)2 (m N )4a ' -500 4m (m a)(m a) 125,125 1 125 5 25,m a 与m a 均为正整数,且m a m a,m a 1 m a 2m a 125m a 25解得a 62或a12(不合),所求四数为47， 57， 67， 77［评析］巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法•、等差等比数列练习题一、选择题1、如果一个数列既是等差数列, (A )为常数数列又是等比数列，则此数列(B )为非零的常数数列(C )存在且唯一(D )不存在2.、在等差数列 a n 中,a i 4,且a i ,a 5,a i3成等比数列，贝Ua n 的通项公式为 (A) a n 3n 1(B ) a n n(C ) a n3n 1 或a n4 (D)a n n3或 a n 43、已知a,b,c 成等比数列，且 x, y 分别为a ca 与b 、b 与c 的等差中项，则的值为x y4、 (B)2 (C )2(D ) 不确定互不相等的三个正数 a,b,c 成等差数列,x 是a,b 的等比中项，y 是b,c 的等比中项，那么，b 2，2y 三个数((A) (C) 成等差数列不成等比数列既成等差数列又成等比数列 (B )成等比数列不成等差数列(D )既不成等差数列，又不成等比数列11118、数列1—,3 ,5 ,7 ,，前n 项和为()2 4 8 16 /A 、 2 1 彳 2 1 121, 21 1(A) n 1 ( B ) n —7( C ) n n - 1 (D ) n n 百—2n 2n 1 22n 2n 12A4n 2 aa9、若两个等差数列a n 、b n 的前n 项和分别为A n 、B n ,且满足一上，则」13的值为 ()B n5n 5b s b 137 819 7(A ) -(B )(C )(D )-9720810、已知数列 a n 的前n 项和为S nn 2 5n2，则数列 a n的前10项和为()(A ) 56( B ) 58(C ) 62(D ) 6011、已知数列 a n 的通项公式a nn 5为，从 a n 中依次取出第 3, 9，27，…3n ,…项，按原来的顺序排成一个新的数列，则此数列的前 n 项和为()n(3n 13)3n10n 33n 110n 3(A )(B )3 5(C )(D ) -----------------22212、下列命题中是真命题的是( )A •数列a n 是等差数列的充要条件是 a n pn q （p 0）n 1C •数列a n 是等比数列的充要条件 a n ab115、已知数列 a n 满足S n 1 a n ,则a n = __________416、在2和30之间插入两个正数，使前三个数成等比数列，后三个数成等差数列，则插入的这两个数的等比中项为解答题17、已知数列 a n 是公差d 不为零的等差数列，数列 a b n 是公比为q 的等比数列，018、已知等差数列 a n 的公差与等比数列 b n 的公比相等，且都等于d （d 0,d 1） ,a 1 d B .已知一个数列 a n 的前n 项和为S nan 2bn a ，如果此数列是等差数列，那么此数列也是等比数列D •如果一个数列 a n 的前n 项和S n ab n c(a 0, b 0,b1），则此数列是等比数列的充要条件是、填空题13、各项都是正数的等比数列a n ，公比q 1 a 5, a 7,a 8，成等差数列，则公比 q= _______14、已知等差数列 a n ，公差d0, a 1 ,a 5, a 仃成等比数列，则a 1a 5a 17=a ? a 6 a 181,b 2 10, b 3 46，求公比 q 及 b na 3 3b 3,a 5 5b 5,求a n , b n19、有四个数，其中前三个数成等比数列，其积为216，后三个数成等差数列，其和为36，求这四个数。

(完整版)等差等比数列综合练习题

等差数列等比数列综合练习题一．选择题1. 已知031=--+n n a a ，则数列{}n a 是（）A. 递增数列B. 递减数列C. 常数列D. 摆动数列 2.等比数列}{n a 中，首项81=a ，公比21=q ，那么它的前5项的和5S 的值是（） A ．231 B ．233 C ．235 D ．2373. 设n S 是等差数列}{n a 的前n 项和，若S 7=35，则a 4=( ) A. 8 B.7C.6D.54. 等差数列}{n a 中，=-=++10915812,1203a a a a a 则（） A ．24B ．22C ．20D ．-85. 数列{}n a 的通项公式为n n a n 2832-=，则数列{}n a 各项中最小项是（） A. 第4项 B.第5项 C. 第6项 D. 第7项6.已知a ，b ，c ，d 是公比为2的等比数列，则dc ba ++22等于（） A ．1 B ．21 C ．41D ．817.在等比数列{}n a 中,7114146,5,a a a a •=+=则2010a a =( ) A.23B.32C.23或32 D.23-或 32- 8.已知等比数列{}n a 中,n a >0,243546225a a a a a a ++=,那么35a a +=( ) A.5 B .10 C.15 D .209.各项不为零的等差数列{}n a 中,有23711220a a a -+=,数列{}n b 是等比数列,且7768,b a b b ==则( )A.2B. 4C.8 D .16 10.已知等差数列{}n a 中, 211210,10,38,n m m m m a m a a a S -+-≠>+-==若且则m 等于 A. 38 B. 20 C.10D. 911.已知n s 是等差数列{}n a *()n N ∈的前n 项和,且675s s s >>,下列结论中不正确的是( )A. d<0B. 110s >C.120s <D. 130s < 12.等差数列}{n a 中，1a ，2a ，4a 恰好成等比数列，则14a a 的值是（） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4二．填空题13．已知{a n }为等差数列，a 15＝8，a 60＝20，则a 75＝________ 14. 在等比数列}{n a 中，1682=•a a ，则5a =__________15．在等差数列{a n }中，若a 7＝m ，a 14＝n ，则a 21＝__________ 16. 若数列{}n x 满足1lg 1lg n n x x +=+()n N *∈,且12100100x x x +++=,则()101102200lg x x x +++=________17.等差数列{a n }的前n 项和为S n ,若a 3+a 17=10,则S 19的值_________ 18.已知等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＝40，a 4＋a 5＋a 6＝20，则前9项之和等于_________三.解答题19. 设三个数a ，b ，c 成等差数列，其和为6，又a ，b ，1+c 成等比数列，求此三个数.20. 已知数列{}n a 中，111,23n n a a a -==+，求此数列的通项公式.21. 设等差数列{}na的前n项和公式是253ns n n=+,求它的前3项，并求它的通项公式.22. 已知等比数列{}n a的前n项和记为S n,，S10=10，S30=70，求S40。

等差等比数列练习题(含答案)

等差等比数列基础知识点（一）知识归纳： 1．概念与公式：①等差数列：1°.定义：若数列}{),(}{1n n n n a d a a a 则常数满足=-+称等差数列；2°.通项公式：;)()1(1d k n a d n a a k n -+=-+= 3°.前n 项和公式：公式：.2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=②等比数列：1°.定义若数列q a a a nn n =+1}{满足（常数），则}{n a 称等比数列；2°.通项公式：;11kn k n n qa qa a --==3°.前n 项和公式：),1(1)1(111≠--=--=q qq a q q a a S n n n 当q=1时.1na S n =2．简单性质：①首尾项性质：设数列,,,,,:}{321n n a a a a a Λ1°.若}{n a 是等差数列，则;23121Λ=+=+=+--n n n a a a a a a 2°.若}{n a 是等比数列，则.23121Λ=⋅=⋅=⋅--n n n a a a a a a②中项及性质：1°.设a ，A ，b 成等差数列，则A 称a 、b 的等差中项，且;2ba A +=2°.设a ,G,b 成等比数列，则G 称a 、b 的等比中项，且.ab G ±= ③设p 、q 、r 、s 为正整数，且,s r q p +=+ 1°. 若}{n a 是等差数列，则;s r q p a a a a +=+ 2°. 若}{n a 是等比数列，则;s r q p a a a a ⋅=⋅（二）学习要点：1．学习等差、等比数列，首先要正确理解与运用基本公式，注意①公差d ≠0的等差数列的通项公式是项n 的一次函数a n =an +b ;②公差d ≠0的等差数列的前n 项和公式项数n 的没有常数项的二次函数S n =an 2+bn ;③公比q ≠1的等比数列的前n 项公式可以写成“S n =a (1-q n )的形式；诸如上述这些理解对学习是很有帮助的.2．解决等差、等比数列问题要灵活运用一些简单性质，但所用的性质必须简单、明确，绝对不能用课外的需要证明的性质解题.3．巧设“公差、公比”是解决问题的一种重要方法，例如：①三数成等差数列，可设三数为“a,a+m,a+2m （或a-m,a,a+m ）”②三数成等比数列，可设三数为“a,aq,aq 2(或qa，a,aq )”③四数成等差数列，可设四数为“),,,,(,,,3332aq aq q a qa aq aq aq a ±±或”等等；类似的经验还很多，应在学习中总结经验. [例1]解答下述问题：（Ⅰ）已知cb a 1,1,1成等差数列，求证：（1）c b a b a c a c b +++,,成等差数列；（2）2,2,2bc b b a ---成等比数列.[解析]该问题应该选择“中项”的知识解决，.2,2,2,)2(4)(2)2)(2)(2(;,,.)(2)()(2)()1(),(222112222222成等比数列成等差数列bc b b a bb c a b ac b c b a c b a b a c a c b bc a c a b c a ac c a c a b ac ab a c bc c b a a c b c a b ac b ac c a b c a ---∴-=++-=--+++∴+=++=+++=+++=++++=⇒=+⇒=+ΘΘ[评析]判断（或证明）一个数列成等差、等比数列主要方法有：根据“中项”性质、根据“定义”判断，.（Ⅱ）等比数列的项数n 为奇数，且所有奇数项的乘积为1024，所有偶数项的乘积为 2128，求项数n. [解析]设公比为2421281024,142531==-n n a a a a a a a q ΛΛΘ)1(24211=⋅⇒-n qa.7,23525,2)2()1(,2)(2)1(221281024235252352112353211235321==∴==⋅⇒=-+⋅⇒=⨯=-++n n q a n q a a a a a nn n n 得代入得将而ΛΛ（Ⅲ）等差数列{a n }中，公差d ≠0，在此数列中依次取出部分项组成的数列：,17,5,1,,,,32121===k k k a a a n k k k 其中恰为等比数列Λ求数列.}{项和的前n k n[解析],,,,171251751a a a a a a ⋅=∴成等比数列Θ① ②①②.1313132}{,132)1(2)1(323,34}{,2,00)2()16()4(111111115111121--=---⨯=-⋅=-+=-+=⋅=⋅=∴=+==∴=∴≠=-⇒+⋅=+⇒---n n S n k k d k d d k a a d a a a d a a a q a d a d d a d d a a d a n n n n n n n n k n n k k n n n 项和的前得由而的公比数列Θ[评析]例2是一组等差、等比数列的基本问题，熟练运用概念、公式及性质是解决问题的基本功. [例3]解答下述问题：（Ⅰ）三数成等比数列，若将第三项减去32，则成等差数列；再将此等差数列的第二项减去4，又成等比数列，求原来的三数.[解析]设等差数列的三项，要比设等比数列的三项更简单，设等差数列的三项分别为a －d , a , a +d ，则有.9338,926,9250,10,2,92610,388,06432316803232))(()4()32)((22222或原三数为或得或∴===∴=+-⇒⎪⎩⎪⎨⎧+==-+⇒⎪⎩⎪⎨⎧+-=-=++-a d d d d da a d d d a d a a a d a d a（Ⅱ）有四个正整数成等差数列，公差为10，这四个数的平方和等于一个偶数的平方，求此四数. [解析]设此四数为)15(15,5,5,15>++--a a a a a ,⎩⎨⎧=+=-⇒⎩⎨⎧=+=-∴+<-+-⨯=⨯==+-⇒=+⇒∈=++++-+-∴*2521251,,,2551251125,125))((45004)()2()15()5()5()15(2222222a m a m a m a m a m a m a m a m a m a m m a N m m a a a a 且均为正整数与ΘΘ解得∴==),(1262不合或a a 所求四数为47，57，67，77[评析]巧设公差、公比是解决等差、等比数列问题的重要方法，特别是求若干个数成等差、等比数列的问题中是主要方法.①②①，②等差数列等比数列a n-a n-1=d (定义)2a n=a n-1+a n+1（等差中项）a n=a m+(n-m)d （通项公式）m+n=p+q a m+a n=a p+a q（性质）S1=a1a n=S n-S n-1a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2…(在等差数列中，首末两项距离相等的两项和等于首末两项的和)[e.g.❶ a7+a8=a1+a14❷2a10=a5+a15]S n=S n , S2n-S n , S3n-S2n ,…, S kn-S(k-1)n成等差数列。

等差等比数列及其前n项和作业及答案

等差等比数列及其前n 项和作业及答案一、选择题：1.设命题甲为“a ，b ，c 成等差数列”，命题乙为“a b ＋c b＝2”，那么 ( ) A ．甲是乙的充分不必要条件 B ．甲是乙的必要不充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的既不充分也不必要条件解析：由a b ＋c b＝2，可得a ＋c ＝2b ，但a 、b 、c 均为零时，a 、b 、c 成等差数列，但a b ＋c b≠2. 答案：B 2.(2009·福建高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于 ( )A ．1 B.53C ．2D ．3 解析：∵S 3＝(a 1＋a 3)×32＝6，而a 3＝4，∴a 1＝0， ∴d ＝a 3－a 12＝2. 答案：C 3．(2010·广州模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k等于 ( )A ．9B ．8C ．7D ．6解析：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2)＝⎩⎪⎨⎪⎧－8 (n ＝1)－10＋2n (n ≥2)＝2n －10， ∵5＜a k ＜8，∴5＜2k －10＜8， ∴152<k <9，又∵k ∈N *，∴k ＝8. 答案：B 4.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于 ( )A ．63B ．45C ．36D ．27解析：由{a n }是等差数列，则S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列．由2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，即a 7＋a 8＋a 9＝45. 答案：B5.设数列{a n }是等差数列，且a 4＝－4，a 9＝4，S n 是数列{a n }的前n 项和，则 ( )A ．S 5＜S 6B ．S 5＝S 6C ．S 7＝S 5D ．S 7＝S 6解析：因为a 4＝－4，a 9＝4，所以a 4＋a 9＝0，即a 6＋a 7＝0，所以S 7＝S 5＋a 6＋a 7＝S 5. 答案：C6.各项都是正数的等比数列{}a n 中，a 2，123，a 1成等差数列，则a 3＋a 4a 4＋a 5的值为 ( ) A.5－12 B.5＋12 C.1－52 D.5＋12或5－12解析：设{a n }的公比为q ，∵a 1＋a 2＝a 3， ∴a 1＋a 1q ＝a 1q 2，即q 2－q －1＝0， ∴q ＝1±52，又∵a n ＞0，∴q ＞0，∴q ＝1＋52，a 3＋a 4a 4＋a 5＝1q ＝5－12. 答案：A 7.(2009·广东高考)已知等比数列{a n }的公比为正数，且a 3·a 9＝2a 25，a 2＝1，则a 1＝( )A.12B.22C.2 D ．2 解析：∵a 3·a 9＝2a 25＝a 26，∴a 6a 5＝ 2. 又a 2＝1＝a 1·2，∴a 1＝22. 答案：B 8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 6∶S 3＝1∶2，则S 9∶S 3等于 ( )A ．1∶2B ．2∶3C ．3∶4D ．1∶3解析：∵{a n }为等比数列， ∴S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等比数列，即(S 6－S 3)2＝S 3·(S 9－S 6)，又∵S 6∶S 3＝1∶2，∴14S 23＝S 3(S 9－12S 3)，即34S 3＝S 9， ∴S 9∶S 3＝3∶4. 答案：C 9.若数列{a n }满足a 2n ＋1a 2np (p 为正常数，n ∈N *)，则称{a n }为“等方比数列”．甲：数列{a n }是等方比数列；乙：数列{a n }是等比数列，则 ( )A ．甲是乙的充分条件但不是必要条件B ．甲是乙的必要条件但不是充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件解析：数列{a n }是等比数列则a n ＋1a n ＝q ，可得a 2n ＋1a 2n＝q 2，则{a n }为“等方比数列”．当{a n }为“等方比数列”时，则a 2n ＋1a 2n＝p (p 为正常数，n ∈N *)，当n ≥1时a n ＋1a n ＝±p ，所以此数列{a n }并不一定是等比数列．答案：B10.已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1＝ ( ) A ．16(1－4－n ) B ．16(1－2－n ) C.323(1－4－n ) D.323(1－2－n ) 解析：∵q 3＝a 5a 2＝18∴q ＝12，a 1＝4，数列{a n ·a n ＋1}是以8为首项，14为公比的等比数列，不难得出答案为C. 答案：C11. 在等差数列{a n }中，若a 1<0，S 9＝S 12，则当S n 取得最小值时，n 等于A ．10B ．11C ．9或10D ．10或11解析：设数列{a n }的公差为d ，则由题意得9a 1＋12×9×(9－1)d ＝12a 1＋12×12×(12－1)d ，即3a 1＝－30d ，∴a 1＝－10d . ∵a 1<0，∴d >0. ∴S n ＝na 1＋12n (n －1)d ＝12dn 2－212dn ＝d 2⎝⎛⎭⎫n －2122－441d 8∴S n 有最小值，又n ∈N *， ∴n ＝10，或n ＝11时，S n 取最小值．答案：D12.在等比数列{a n }中，a n ＞0(n ∈N ＋)，公比q ∈(0,1)，且a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25，又a 3与a 5的等比中项为2，b n ＝log 2a n ，数列{b n }的前n 项和为S n ，则当S 11＋S 22＋…＋S n n 最大时，n 的值等于 ( )A ．8B ．9C ．8或9D ．17解析：∵a 1a 5＋2a 3a 5＋a 2a 8＝25， ∴a 23＋2a 3a 5＋a 25＝25，又a n ＞0，∴a 3＋a 5＝5，又q ∈(0,1)，∴a 3＞a 5，而a 3a 5＝4，∴a 3＝4，a 5＝1， ∴q ＝12，a 1＝16，a n ＝16×(12)n －1＝25－n ， b n ＝log 2a n ＝5－n ，b n ＋1－b n ＝－1，∴{b n }是以b 1＝4为首项，－1为公差的等差数列， ∴S n ＝n (9－n )2∴S n n ＝9－n 2， ∴当n ≤8时，S n n ＞0；当n ＝9时，S n n ＝0；当n ＞9时，S n n＜0， ∴当n ＝8或9时，S 11＋S 22＋…＋S n n 最大．答案：C 二、填空题：13．在等差数列{a n }中，已知log 2(a 5＋a 9)＝3，则等差数列{a n }的前13项的和S 13＝________.解析：∵log 2(a 5＋a 9)＝3，∴a 5＋a 9＝23＝8.∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×(a 5＋a 9)2＝13×82＝52. 答案：52 14．(2009·辽宁高考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________. 解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5，得6(a 1＋3d )＝2，所以a 4＝13. 答案：1315．(2009·浙江高考)设等比数列{a n }的公比q ＝12，前n 项和为S n ，则S 4a 4＝________. 解析：a 4＝a 1(12)3＝181，S 4＝a 1(1－124)1－12＝158a 1， ∴S 4a 4＝15. 答案：15 16．(2009·宁夏、海南高考)等比数列{a n }的公比q ＞0.已知a 2＝1，a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，则{a n }的前4项和S 4＝________.解析：∵a n ＋2＋a n ＋1＝6a n ，∴a n ·q 2＋a n ·q ＝6a n (a n ≠0)， ∴q 2＋q －6＝0，∴q ＝－3或q ＝2. ∵q ＞0，∴q ＝2，∴a 1＝12，a 3＝2，a 4＝4， ∴S 4＝12＋1＋2＋4＝152. 答案：152三、解答题：17．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n ＋2n .(1)设b n ＝a n 2－，证明：数列{b n }是等差数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n . 解：(1)证明：由已知a n ＋1＝2a n ＋2n 得 b n ＋1＝a n ＋12n ＝2a n ＋2n 2n ＝a n 2n －1＋1＝b n ＋1. 又b 1＝a 1＝1，因此{b n }是首项为1，公差为1的等差数列．(2)由(1)知a n 2－＝n ，即a n ＝n ·2n －1. S n ＝1＋2×21＋3×22＋…＋n ×2n －1，两边乘以2得，2S n ＝2＋2×22＋…＋n ×2n . 两式相减得S n ＝－1－21－22－…－2n －1＋n ·2n ＝－(2n －1)＋n ·2n ＝(n －1)2n＋1. 18．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)．(1)求a 2，a 3的值； (2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．解：(1)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2；当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4；当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8.(2)∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N *)，①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．②①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2，∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)． ∵S 1＋2＝4≠0， ∴S n －1＋2≠0， ∴S n ＋2S n －1＋22，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 19．已知数列{a n }满足2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2(n ∈N *)，它的前n 项和为S n ，且a 3＝5，S 6＝36.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝6n ＋(－1)n －1λ·2a n (λ为正整数，n ∈N *)，试确定λ的值，使得对任意n ∈N *，都有b n ＋1＞b n 成立．解：(1)∵2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2，∴{a n }是等差数列，设{a n }的首项为a 1，公差为d ，由a 3＝5，S 6＝36得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝56a 1＋15d ＝36，解得a 1＝1，d ＝2. ∴a n ＝2n －1.(2)由(1)知b n ＝6n ＋(－1)n －1·λ·22n －1，要使得对任意n ∈N *都有b n ＋1＞b n 恒成立， ∴b n ＋1－b n ＝6n ＋1＋(－1)n ·λ·22n ＋1－6n －(－1)n －1·λ·22n －1＝5·6n －5λ·(－1)n －1·22n －1＞0恒成立，即12λ·(－1)n －1＜(32)n . 当n 为奇数时，即λ＜2·(32)n ，而(32)n 的最小值为32， ∴λ＜3. 当n 为偶数时，λ＞－2(32)n ，而－2(32)n 的最大值为－92，∴λ＞－92.由上式可得－92＜λ＜3，而λ为正整数， ∴λ＝1或λ＝2. 20．(2010·株州模拟)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (x ∈R)，满足f (0)＝f (12)＝0，且f (x )的最小值是－18.设数列{a n }的前n 项和为S n ，对一切n ∈N *，点(n ，S n )在函数f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)通过b n ＝S n n ＋c 构造一个新的数列{b n }，是否存在非零常数c ，使得{b n }为等差数列； (3)令c n ＝S n ＋n n，设数列{c n ·2c n }的前n 项和为T n ，求T n . 解：(1)因为f (0)＝f (12)＝0，所以f (x )的对称轴为x ＝0＋122＝14，又因为f (x )的最小值是－18，由二次函数图象的对称性可设f (x )＝a (x －14)2－18. 又f (0)＝0，所以a ＝2，所以f (x )＝2(x －14)2－18＝2x 2－x . 因为点(n ，S n )在函数f (x )的图象上，所以S n ＝2n 2－n .当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4n －3(n ＝1时也成立)，所以a n ＝4n －3(n ∈N *)．(2)因为b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ＝2n (n －12)n ＋c c ＝－12(c ≠0)，即得b n ＝2n ，此时数列{b n }为等差数列，所以存在非零常数c ＝－12{b n }为等差数列． (3)c n ＝S n ＋n n ＝2n 2－n ＋n n＝2n ，则c n ·2c n ＝2n ×22n ＝n ×22n ＋1. 所以T n ＝1×23＋2×25＋…＋(n －1)22n －1＋n ×22n ＋1，4T n ＝1×25＋2×27＋…＋(n －1)22n ＋1＋n ×22n ＋3，两式相减得：－3T n ＝23＋25＋…＋22n ＋1－n ×22n ＋3＝23(1－4n )1－4n ·22n ＋3， T n ＝23(1－4n )9＋n ·22n ＋33＝(3n －1)22n ＋3＋89. 21．已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)问是否存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)？请说明理由．解：(1)已知a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n (n ∈N *)①当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n ∈N *)②①－②得2n －1a n ＝8，求得a n ＝24－n ，在①中令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1， ∴a n ＝24－n (n ∈N *)．由题意知b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2， ∴b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2， ∴数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2， ∴b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，法一：迭代法得：b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)．法二：可用累加法，即b n －b n －1＝2n －8， b n －1－b n －2＝2n －10， … b 3－b 2＝－2， b 2－b 1＝－4， b 1＝8，相加得b n ＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝8＋(n －1)(－4＋2n －8)2＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)． (2)∵b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，设f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k .当k ≥4时，f (k )＝(k －72)2＋74－24－k 单调递增．且f (4)＝1， ∴当k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1. 又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0， ∴不存在k ∈N *，使得(b k －a k )∈(0,1)．22.等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 4＝24，a 2＝5，对每一个k ∈N *，在a k 与a k ＋1之间插入2k －1个1，得到新数列{b n }，其前n 项和为T n .(1)求数列{a n }的通项公式； (2)试问a 11是数列{b n }的第几项；(3)是否存在正整数m ，使T m ＝2010？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．解：(1)设{a n }的公差为d ，∵S 4＝4a 1＋4×32d ＝24，a 2＝a 1＋d ＝5， ∴a 1＝3，d ＝2，a n ＝3＋(n －1)×2＝2n ＋1.(2)依题意，在a 11之前插入的1的总个数为1＋2＋22＋…＋29＝1－2101－2＝1023， 1023＋11＝1034，故a 11是数列{b n }的第1034项．(3)依题意，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2＋2n ， a n 之前插入的1的总个数为1＋2＋22＋…＋2n －2＝1－2n －11－2＝2n －1－1，故数列{b n }中，a n 及前面的所有项的和为n 2＋2n ＋2n －1－1，∴数列{b n }中，a 11及前面的所有项的和为112＋22＋210－1＝1166＜2010，而2010－1166＝844，a 11与a 12之间的1的个数为210＝1024个，即在a 11后加844个1，其和为2010，故存在m ＝1034＋844＝1878，使T 1878＝2010.。

等差与等比数列习题和答案

等差与等比数列1．数列1，3，7，15，…的通项公式a n 等于（）．（A ）2n （B ）2n ＋1 （C ）2n －1 （D ）2n －1【提示】排除法．由已知，各项均为奇数．所以（A ）、（D ）不正确．对于（B ），由于n ＝1时，21＋1＝3．所以（B ）也不正确．也可以直接归纳出2n －1．【答案】（C ）．2．已知等差数列的公差为d ，它的前n 项和S n ＝－n 2，那么（）．（A ）a n ＝2 n －1，d ＝－2 （B ）a n ＝2 n －1，d ＝2 （C ）a n ＝－2 n ＋1，d ＝－2 （D ）a n ＝－2 n ＋1，d ＝2 【提示】由S n ＝－n 2 知，a 1＝S 1＝－1，a 2＝S 2－a 1＝－3，从而d ＝－2，且a n ＝a 1＋（n －1）d ＝－1＋（n －1）〃（－2）＝－2 n ＋1．【答案】（C ）．3．在a 和b （a ≠b ）两数之间插入n 个数，使它们与a 、b 组成等差数列，则该数列的公差为（）．（A ）na b - （B ）1+-n a b （C ）1+-n b a （D ）2+-n a b【提示】b ＝a ＋[（n ＋2）－1]d ．【答案】（B ）．4．数列｛a n ｝中，a n ＝－2 n ＋100，当前n 项和S n 达到最大值时，n 等于（）．（A ）49 （B ）50 （C ）51 （D ）49或50【提示】令a n ＝－2 n ＋100≥0，得n ≤50．即a 49 以前各项均为正数，a 50＝0，故S 49 或S 50 最大．【答案】（D ）．5．等比数列｛a n ｝的首项a 1＝－1，前n 项和为S n ，若510S S ＝3231，则510a a 等于（）．（A ）－321 （B ）－21 （C ）321 （D ）21【提示】由已知可求得q ＝－21．【答案】（A ）．6．等差数列｛a n ｝中，a 1＞0，S 5＝S 11，则第一个使a n ＜0的项是（）．（A ）a 7 （B ）a 8 （C ）a 9 （D ）a 10【提示】由S 5＝S 11 得2 a 1＋15 d ＝0，又a 1＞0，所以d ＜0．而2 a n ＝2 a 1＋2（n －1）d ＝（2 n －17）d ＜0，所以2 n －17＞0即n ＞8.5．【答案】（C ）．7．已知数列｛a n ｝中，a 3，a 10 是方程x 2－3 x －5＝0的两根，若｛a n ｝是等差数列，则a 5＋a 8＝___________________；若｛a n ｝是等比数列，则a 6〃a 7＝______________．【提示】a 3＋a 10＝3，a 3a 10＝－5．再利用已知与所求中的关系可求．【答案】a 5＋a 8＝a 3＋a 10＝3；a 6〃a 7＝a 3〃a 10＝－5．8．在等比数列｛a n ｝中，若其中三项a 1、a 2、a 4 又成等差数列，则公比是_____________．【提示】由已知，得2（a 1q ）＝a 1＋a 1q 3 即q 3－2 q ＋1＝0．【答案】1或251±-．9．等差数列｛a n ｝的公差d ＞0．已知S 6＝51，a 2〃a 5＝52．则S 7＝_______________．【提示】列出a 1 和d 的方程组，求a 1 和d ．进而求S 7 ．或由S 6＝2)(661a a +＝3（a 2＋a 5）＝51，得方程组⎩⎨⎧=⋅=+52175252a a a a ，求出a 2，a 5，进而求S 7 ．【答案】70．10．已知等差数列｛a n ｝的公差d ≠0，且a 1、a 3、a 9 成等比数列，则1042931a a a a a a ++++＝___________．【提示】由已知推出a 1＝d （d ≠0），并代入所求式中，消去d 即可．【答案】1613．11．已知数列{}n a 的通项公式a n =3n －50，则当n=______时，S n 的值最小，S n 的最小值是__________。

等差数列和等比数列习题及答案

等差数列和等比数列习题1．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8＝( )A ．18B ．12C ．9D ．62．设等比数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝3，S 4＝15，则S 6＝( )A ．31B ．32C ．63D ．643．若a ，b 是函数f (x )＝x 2－px ＋q (p ＞0，q ＞0)的两个不同的零点，且a ，b ，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p ＋q 的值等于( )A ．6B ．7C ．8D ．94．已知等比数列{a n }中，各项都是正数，且a 1，12a 3,2a 2成等差数列，则a 9＋a 10a 7＋a 8＝( ) A ．1＋ 2B ．1－2C ．3＋2 2D ．3－225．正项等比数列{a n }满足：a 3＝a 2＋2a 1，若存在a m ，a n ，使得a m ·a n ＝16a 21，m ，n ∈N *，则1m ＋9n的最小值为( ) A ．2B ．16C ．114D ．326．已知{a n }是等差数列，公差d 不为零，若a 2，a 3，a 7成等比数列，且2a 1＋a 2＝1，则a 1＝23，d ＝________. 7．已知数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，设S n 为数列{a n }的前n 项和，对于任意的n >1，n ∈N ，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，则S 10＝___________8．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，则a 8的值为_______.9．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝4a n －p (n ∈N *)，其中p 是不为零的常数．(1)证明：数列{a n }是等比数列；(2)当p ＝3时，若数列{b n }满足b n ＋1＝a n ＋b n (n ∈N *)，b 1＝2，求数列{b n }的通项公式．10．(文)(2017·蚌埠质检)已知数列{a n }是等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，且a 3＝3，S 3＝9.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝log 23a 2n ＋3，且{b n }为递增数列，若c n ＝4b n ·b n ＋1，求证：c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n <1.【参考答案】1． D[解析] 本题主要考查等差数列的通项公式及前n 项和公式．由题意得S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11(2a 1＋10d )2＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D ．2． C[解析] 解法一：由条件知：a n >0，且⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 2＝3，a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝15，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1(1＋q )＝3，a 1(1＋q ＋q 2＋q 3)＝15， ∴q ＝2.∴a 1＝1，∴S 6＝1－261－2＝63. 解法二：由题意知，S 2，S 4－S 2，S 6－S 4成等比数列，即(S 4－S 2)2＝S 2(S 6－S 4)，即122＝3(S 6－15)，∴S 6＝63.3． D[解析] 由题可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b ＝p >0，ab ＝q >0，所以a >0，b >0，不妨设a >b ，所以等比数列为a ，－2，b 或b ，－2，a 从而得到ab ＝4＝q ，等差数列为a ，b ，－2或－2，b ，a 从而得到2b ＝a －2，两式联立解出a ＝4，b ＝1，所以p ＝a ＋b ＝5，所以p ＋q ＝4＋5＝9.4． C[解析] 本题主要考查等差数列、等比数列．∵a 1，12a 3,2a 2成等差数列，∴12a 3×2＝a 1＋2a 2，即a 1q 2＝a 1＋2a 1q ，∴q 2＝1＋2q ，解得q ＝1＋2或q ＝1－2(舍)，∴a 9＋a 10a 7＋a 8＝a 1q 8(1＋q )a 1q 6(1＋q )＝q 2＝(1＋2)2＝3＋2 2. 5． C[解析] 设数列{a n }的公比为q ，a 3＝a 2＋2a 1⇒q 2＝q ＋2⇒q ＝－1(舍)或q ＝2，∴a n ＝a 1·2n －1，a m ·a n ＝16a 21⇒a 21·2m ＋n －2＝16a 21⇒m ＋n ＝6，∵m ，n ∈N *，∴(m ，n )可取的数值组合为(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，计算可得，当m ＝2，n ＝4时，1m ＋9n 取最小值114. 6．－1[解析] 由题可得(a 1＋2d )2＝(a 1＋d )(a 1＋6d )，故有3a 1＋2d ＝0，又因为2a 1＋a 2＝1，即3a 1＋d ＝1，联立可得d ＝－1，a 1＝23.7．91.[解析] 因为任意的n >1，n ∈N ，S n ＋1＋S n －1＝2(S n ＋1)都成立，所以S n ＋1－S n ＝S n －S n －1＋2，所以a n ＋1＝a n ＋2，因为a 3＝a 2＋2＝4，所以a n ＝a 2＋(n －2)×2＝2＋(n －2)×2＝2n －2，n ≥2，所以S 10＝a 1＋a 2＋a 3…＋a 10＝1＋2＋4＋…＋18＝1＋2×9＋9×82×2＝91. 8．2.[解析] ∵等比数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3，S 9，S 6成等差数列，且a 2＋a 5＝4，∴⎩⎪⎨⎪⎧2×a 1(1－q 9)1－q ＝a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q a 1q ＋a 1q 4＝4，解得a 1q ＝8，q 3＝－12， ∴a 8＝a 1q 7＝(a 1q )(q 3)2＝8×14＝2. 9．[解析] (1)证明：因为S n ＝4a n －p (n ∈N *)，则S n －1＝4a n －1－p (n ∈N *，n ≥2)，所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝4a n －4a n －1，整理得a n ＝43a n －1. 由S n ＝4a n －p ，令n ＝1，得a 1＝4a 1－p ，解得a 1＝p 3. 所以{a n }是首项为p 3，公比为43的等比数列． (2)因为a 1＝1，则a n ＝(43)n －1，由b n ＋1＝a n ＋b n (n ＝1,2，…)，得b n ＋1－b n ＝(43)n －1，当n ≥2时，由累加法得b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝2＋1－(43)n －11－43＝3·(43)n －1－1，当n ＝1时，上式也成立．∴b n ＝3·(43)n －1－1. 10．[解析] (1)设该等比数列的公比为q ，则根据题意有3·(1＋1q ＋1q 2)＝9，从而2q 2－q －1＝0，解得q ＝1或q ＝－12. 当q ＝1时，a n ＝3；当q ＝－12时，a n ＝3·(－12)n －3. (2)证明：若a n ＝3，则b n ＝0，与题意不符，故a n ＝3(－12)n －3，此时a 2n ＋3＝3·(－12)2n ， ∴b n ＝2n ，符合题意．∴c n ＝42n ·(2n ＋2)＝1n ·(n ＋1)＝1n －1n ＋1，从而c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝1－1n ＋1<1.。

分析判断等差数列和等比数列练习题

分析判断等差数列和等比数列练习题等差数列（Arithmetic Progression）和等比数列（Geometric Progression）是数学中常见的序列类型。

在解决练习题时，我们需要分析和判断给定数列是等差数列还是等比数列。

本文将通过一些练习题，详细讨论如何进行分析和判断。

1. 问题一：已知数列 {a_n} 的公差为 d，首项为 a_1，若 a_1 = 2，d = 3，请求数列的前五项。

解析：根据等差数列的定义，第 n 项可以表示为 a_n = a_1 + (n-1)d。

代入已知值可以得到 a_n = 2 + (n-1)3。

计算前五项的值：a_1 = 2 + (1-1)3 = 2a_2 = 2 + (2-1)3 = 5a_3 = 2 + (3-1)3 = 8a_4 = 2 + (4-1)3 = 11a_5 = 2 + (5-1)3 = 14所以，数列的前五项为 2，5，8，11，14。

2. 问题二：已知数列 {b_n} 的公比为 r，首项为 b_1，若 b_1 = 5，r = 2，请求数列的前五项。

解析：等比数列的通项公式为 b_n = b_1 * r^(n-1)。

代入已知值可以得到b_n = 5 * 2^(n-1)。

计算前五项的值：b_1 = 5 * 2^(1-1) = 5b_2 = 5 * 2^(2-1) = 10b_3 = 5 * 2^(3-1) = 20b_4 = 5 * 2^(4-1) = 40b_5 = 5 * 2^(5-1) = 80所以，数列的前五项为 5，10，20，40，80。

通过以上两个问题的分析，可以看出在判断一个数列是否为等差数列或等比数列时，需要观察数列项之间的关系，并找到数列的公差或公比。

根据已知条件，利用数列的通项公式进行计算，可以得到数列的具体项的值。

除了直接求解数列的具体项，我们还可以通过观察数列项之间的关系，利用数列的性质来判断数列是等差数列还是等比数列。

等差数列等比数列高考历年真题

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【考点16】等差数列、等比数列2009年考题1.（2009安徽高考）已知{}n a 为等差数列，1a +3a +5a =105，246a a a ++=99，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是（）（A ）21 （B ）20 （C ）19 （D ） 18【解析】选B.由1a +3a +5a =105得33105,a =即335a =，由246a a a ++=99得4399a =即433a = ，∴2d =-，4(4)(2)412n a a n n =+-⨯-=-，由10n n a a +≥⎧⎨<⎩得20n =.2．（2009安徽高考）已知为等差数列，，则等于（）A. -1B. 1C. 3 D .7【解析】选B.∵135105a a a ++=即33105a =∴335a =同理可得433a =∴公差432d a a =-=-. ∴204(204)1a a d =+-⨯=.3．（2009福建高考）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且3S =6，1a =4，则公差d 等于（）A ．1B 53C.- 2 D 3 【解析】选C.∵31336()2S a a ==+且3112 =4 d=-2a a d a =+∴.4．（2009海南宁夏高考）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2110m m ma a a -++-=，2138m S -=,则m =（）（A ）38 （B ）20 （C ）10 （D ）9【解析】选C.因为{}n a 是等差数列，所以，112m m m a a a -++=，由2110m m ma a a -++-=，得：2m a －2m a ＝0，所以，m a ＝2，又2138m S -=，即2))(12(121-+-m a a m ＝38，即（2m －1）×2＝38，解得m ＝10.5.（2009广东高考）已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -⋅=≥，则当1n ≥时，2123221log log log n a a a -+++= （）w.w.w.k.s.5.u.c.o.mA. (21)n n -B. 2(1)n +C. 2nD. 2(1)n -【解析】选C.由25252(3)n n a a n -⋅=≥得n n a 222=，0>n a ，则n n a 2=， +⋅⋅⋅++3212log log a a2122)12(31log n n a n =-+⋅⋅⋅++=-.6.（2009广东高考）已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =225a ，2a =1，则1a = （）A. 21B.22C. 2D.2 【解析】选B.设公比为q ,由已知得()22824111a q a q q a q ⋅=,即22q =,因为等比数列}{n a 的公比为正数，所以2q =故21222a a q ===. 7.（2009辽宁高考）设等比数列{ n a }的前n 项和为n S ，若 63S S =3 ，则 69SS =（）（A ） 2 （B ） 73 （C ） 83（D ）3【解析】选B.设公比为q ,则36333(1)S q S S S +=＝1＋q 3＝3 Þ q 3＝2于是63693112471123S q q S q ++++===++. 8．（2009辽宁高考）已知{}n a 为等差数列，且7a －24a ＝－1, 3a ＝0,则公差d ＝（）（A ）－2 （B ）－12 （C ）12（D ）2【解析】选B. a 7－2a 4＝a 3＋4d －2(a 3＋d)＝2d ＝－1 Þ d ＝－12.9．（2009湖南高考）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，已知23a =，611a =，则7S 等于（）.A ．13B ．35C ．49D ． 63 【解析】选C.172677()7()7(311)49.222a a a a S +++====故选C. 或由21161315112a a d a a a d d =+==⎧⎧⇒⎨⎨=+==⎩⎩, 716213.a =+⨯= 所以1777()7(113)49.22a a S ++=== 10．（2009四川高考）等差数列｛n a ｝的公差不为零，首项1a ＝1，2a 是1a 和5a 的等比中项，则数列的前10项之和是（）A. 90B. 100C. 145D. 190【解析】选B.设公差为d ，则)41(1)1(2d d +⋅=+.∵d ≠0，解得d ＝2，∴10S ＝100.11．（2009辽宁高考）等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且53655,S S -=则4a = 【解析】∵S n ＝na 1＋12n(n －1)d ∴S 5＝5a 1＋10d,S 3＝3a 1＋3d∴6S 5－5S 3＝30a 1＋60d －(15a 1＋15d)＝15a 1＋45d ＝15(a 1＋3d)＝15a 4 答案:3112．（2009山东高考）在等差数列}{n a 中,6,7253+==a a a ,则____________6=a .【解析】设等差数列}{n a 的公差为d ,则由已知得⎩⎨⎧++=+=+6472111d a d a d a 解得132a d =⎧⎨=⎩,所以61513a a d =+=.答案:13.13.（2009海南宁夏高考）等比数列{n a }的公比0q >, 已知2a =1，216n n n a a a +++=，则{n a }的前4项和4S =【解析】由216n n n a a a +++=得：116-+=+n n n q q q ，即062=-+q q ，0q >，解得q ＝2，又2a =1，所以，112a =，21)21(2144--=S ＝152。

专题练第15练等差数列、等比数列

第15练等差数列、等比数列1．(2019·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．已知S 4＝0，a 5＝5，则( )A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n答案 A解析设等差数列{a n }的公差为d ，∵⎩⎪⎨⎪⎧ S 4＝0，a 5＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋4×32d ＝0，a 1＋4d ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－3，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3＋2(n －1)＝2n －5，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n 2－4n .2．(2022·全国乙卷)已知等比数列{a n }的前3项和为168，a 2－a 5＝42，则a 6等于() A ．14 B ．12 C ．6 D ．3答案 D解析方法一设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＝168，a 2－a 5＝42，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1＋q ＋q 2)＝168，a 1q (1－q 3)＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝96，q ＝12，所以a 6＝a 1q 5＝3，故选D.方法二设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q ，由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＝168，a 2－a 5＝42，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 1(1－q 3)1－q ＝168，a 1q (1－q 3)＝42，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝96，q ＝12，所以a 6＝a 1q 5＝3，故选D. 3．(2020·全国Ⅱ)数列{a n }中，a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，若a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，则k 等于( )A ．2B ．3C ．4D ．5答案 C解析 a 1＝2，a m ＋n ＝a m a n ，令m ＝1，则a n ＋1＝a 1a n ＝2a n ，∴{a n }是以2为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＝2×2n －1＝2n .又∵a k ＋1＋a k ＋2＋…＋a k ＋10＝215－25，∴2k ＋1(1－210)1－2＝215－25，即2k ＋1(210－1)＝25(210－1)，∴2k ＋1＝25，∴k ＋1＝5，∴k ＝4.4．(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)( )A ．3 699块B ．3 474块C ．3 402块D ．3 339块答案 C解析设每一层有n 环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为d ＝9，首项为a 1＝9的等差数列．由等差数列的性质知S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列，且(S 3n －S 2n )－(S 2n －S n )＝n 2d ，则9n 2＝729，解得n ＝9，则三层共有扇面形石板S 3n ＝S 27＝27×9＋27×262×9＝3 402(块)． 5．(2019·全国Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________. 答案 4解析设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝3a 1，即a 1＋d ＝3a 1，得d ＝2a 1，所以S 10S 5＝10a 1＋10×92d 5a 1＋5×42d ＝10a 1＋10×92×2a 15a 1＋5×42×2a 1＝10025＝4. 6．(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n －1}与{3n －2}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的前n 项和为________．答案 3n 2－2n解析方法一 (观察归纳法)数列{2n －1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；数列{3n －2}的各项为1,4,7,10,13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则a n ＝1＋6(n －1)＝6n －5.故前n 项和为S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1＋6n －5)2＝3n 2－2n .方法二 (引入参变量法)设b n ＝2n －1，c m ＝3m －2，令b n ＝c m ，m ，n ∈N *，则2n －1＝3m －2，即3m ＝2n ＋1，m 必为奇数．令m ＝2t －1，则n ＝3t －2(t ＝1,2,3，…)．a t ＝b 3t －2＝c 2t －1＝6t －5，即a n ＝6n －5.以下同方法一．7．(2022·全国甲卷)记S n 为数列{a n }的前n 项和．已知2S n n＋n ＝2a n ＋1. (1)证明：{a n }是等差数列；(2)若a 4，a 7，a 9成等比数列，求S n 的最小值．(1)证明由2S n n＋n ＝2a n ＋1，得2S n ＋n 2＝2a n n ＋n ，①所以2S n ＋1＋(n ＋1)2＝2a n ＋1(n ＋1)＋(n ＋1)，②②－①，得2a n ＋1＋2n ＋1＝2a n ＋1(n ＋1)－2a n n ＋1，化简得a n ＋1－a n ＝1，所以数列{a n }是公差为1的等差数列．(2)解由(1)知数列{a n }的公差为1.由a 4，a 7，a 9成等比数列，得a 27＝a 4a 9，即(a 1＋6)2＝(a 1＋3)(a 1＋8)，解得a 1＝－12.所以S n ＝－12n ＋n (n －1)2＝n 2－25n 2＝12⎝⎛⎭⎫n －2522－6258，所以当n ＝12或13时，S n 取得最小值，最小值为－78.8．(2022·新高考全国Ⅱ)已知{a n }是等差数列，{b n }是公比为2的等比数列，且a 2－b 2＝a 3－b 3＝b 4－a 4.(1)证明：a 1＝b 1；(2)求集合{k |b k ＝a m ＋a 1，1≤m ≤500}中元素的个数．(1)证明设等差数列{a n }的公差为d ，由a2－b2＝a3－b3得a1＋d－2b1＝a1＋2d－4b1，即d＝2b1，由a2－b2＝b4－a4得a1＋d－2b1＝8b1－(a1＋3d)，即a1＝5b1－2d，将d＝2b1代入，得a1＝5b1－2×2b1＝b1，即a1＝b1.(2)解由(1)知a n＝a1＋(n－1)d＝a1＋(n－1)×2b1＝(2n－1)a1，b n＝b1·2n－1，由b k＝a m＋a1，得b1·2k－1＝(2m－1)a1＋a1，由a1＝b1≠0得2k－1＝2m，由题知1≤m≤500，所以2≤2m≤1 000，所以k＝2,3,4，…，10，共9个数，即集合{k|b k＝a m＋a1，1≤m≤500}＝{2,3,4，…，10}中元素的个数为9.9．(2022·乐山调研)在等比数列{a n}中，如果a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，那么a7＋a8等于() A．40 B．36 C．54 D．81答案 C解析由等比数列性质知，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，其首项为16，公比为2416＝3 2，所以a7＋a8＝16×⎝⎛⎭⎫323＝54.10．已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，且S8－2S4＝5，则a9＋a10＋a11＋a12的最小值为()A．10 B．15 C．20 D．25答案 C解析由题意可得a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8，由S8－2S4＝5，可得S8－S4＝S4＋5.又由等比数列的性质知S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2.a9＋a10＋a11＋a12＝S12－S8＝(S8－S4)2S4＝(S4＋5)2S4＝S4＋25S4＋10≥2S4×25S4＋10＝20，当且仅当S 4＝5时等号成立，所以a 9＋a 10＋a 11＋a 12的最小值为20.11．(多选)(2022·重庆质检)已知等比数列{a n }满足a 1＝1，公比q ＝12，则( ) A ．数列{a 2n }是等比数列B ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是递减数列 C ．数列{log 2a n }是等差数列D ．数列{a 2n }是等比数列答案 ACD解析在等比数列{a n }中，a 1＝1，公比q ＝12，则有a n ＝a 1q n －1＝12n －1， a 2n ＝122n －1＝24n ，a 2(n ＋1)a 2n ＝14，则数列{a 2n }是等比数列，故A 正确；1a n ＝2n －1，显然1a n ＋1＝2n >2n －1＝1a n ，即数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是递增数列，故B 不正确； log 2a n ＝log 212n －1＝－n ＋1，则数列{log 2a n }是等差数列，故C 正确；a 2n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －12＝14n －1，则数列{a 2n }是等比数列，故D 正确． 12．(多选)(2022·武汉质检)若数列{a n }前n 项的和为S n ，则下列说法正确的是( )A ．若a n ＝－2n ＋11，则数列{a n }前5项的和最大B ．若S n 是等比数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2·3n －1＋a ，则a ＝－2C ．a 1＝2 024，S n ＝n 2a n ，则a 2 023＝22 023D ．若{a n }为等差数列，且a 1 011<0，a 1 011＋a 1 012>0，则当S n <0时，n 的最大值为2 022 答案 AC解析由a n ＝－2n ＋11≥0可得n ≤112，故数列{a n }前5项的和最大，故A 正确；由等比数列前n 项和的特点知，S n ＝2·3n －1＋a ＝23·3n ＋a ，得a ＝－23，故B 错误；当n ≥2时，由S n ＝n 2a n 可得S n －1＝(n －1)2a n －1，上述两个等式作差可得a n ＝n 2a n －(n －1)2a n －1，即(n 2－1)a n ＝(n －1)2a n －1，所以a n a n －1＝n －1n ＋1，故a 2 023＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a 2 023a 2 022＝2 024×13×24×…×2 0222 024＝22 023，故C 正确；因为{a n }为等差数列，且a 1 011<0，a 1 011＋a 1 012>0，则a 1 012>0，则S 2 021＝2 021(a 1＋a 2 021)2＝2 021a 1 011<0， S 2 022＝2 022(a 1＋a 2 022)2＝1 011(a 1 011＋a 1 012)>0，因此，当S n <0时，n 的最大值为2 021，故D 错误．13．(2022·合肥质检)在等差数列{a n }中，a 1＝1，其前n 项和为S n ，若S 6－3S 2＝24，则S 8＝________.答案 64解析 ∵数列{a n }为等差数列，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 为等差数列，设其公差为d ，由题意可得S 66－S 22＝4d ＝4，解得d ＝1，又∵S 11＝a 1＝1， ∴S n n＝n ，即S n ＝n 2， ∴S 8＝64.14．(2022·淄博模拟)已知在等差数列{a n }中，a 5＝3π8，设函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫4cos 2x 2－2sin x ＋cos 2x ＋2，记y n ＝f (a n )，则数列{y n }的前9项和为________．答案 18解析因为f (x )＝⎝⎛⎭⎫4cos 2x 2－2sin x ＋cos 2x ＋2＝2cos x sin x ＋cos 2x ＋2 ＝sin 2x ＋cos 2x ＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋2，由2x ＋π4＝k π(k ∈Z )，可得x ＝k π2－π8(k ∈Z )，当k ＝1时，x ＝3π8，故函数f (x )的图象关于点⎝⎛⎭⎫3π8，2对称，由等差中项的性质可得a 1＋a 9＝a 2＋a 8＝a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝2a 5，所以数列{y n }的前9项和为f (a 1)＋f (a 2)＋…＋f (a 9)＝4×4＋f (a 5)＝18.15．(2022·咸阳模拟)在下列条件：①数列{a n }的任意相邻两项均不相等，a 1＝2，且数列{a 2n －a n }为常数列；②S n ＝12(a n ＋n ＋1)；③a 1＝1，S n ＝2S n －1＋1(n ≥2)中，任选一个条件，补充在横线上，并回答下面的问题．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，________，求数列{a n }的通项公式与前n 项和S n . 解选①：因为a 1＝2，数列{a 2n －a n }为常数列，所以a 2n －a n ＝a 21－a 1＝22－2＝2，解得a n ＝2或a n ＝－1，因为数列{a n }的任意相邻两项均不相等，且a 1＝2，所以数列{a n }为2，－1,2，－1,2，－1，…，所以a n ＋a n －1＝1(n ≥2)，即a n ＝－a n －1＋1(n ≥2)，所以a n －12＝－⎝⎛⎭⎫a n －1－12(n ≥2)，又a 1－12＝32≠0，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n －12是以32为首项，－1为公比的等比数列，所以a n －12＝32(－1)n －1，即a n ＝12＋32(－1)n －1，所以S n ＝12n ＋32×1×[1－(－1)n ]1－(－1)＝2n ＋34＋34(－1)n －1. 选②：因为S n ＝12(a n ＋n ＋1)，易知a 1＝2，S n －1＝12(a n －1＋n －1＋1)(n ≥2)，所以两式相减可得a n ＝12a n －12a n －1＋12，即a n ＝－a n －1＋1(n ≥2)，以下过程与①相同．选③：由S n ＝2S n －1＋1(n ≥2)，可得S n ＋1＝2(S n －1＋1)(n ≥2)，又S 1＝a 1＝1，故{S n ＋1}是以S 1＋1＝2为首项，2为公比的等比数列，故S n ＋1＝2·2n －1＝2n ，即S n ＝2n －1，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －1，又a 1＝1也满足上式．综上所述，a n ＝2n －1，S n ＝2n －1.16．(2022·湖南师大附中模拟)已知数列{a n }的前三项与数列{b n }的前三项对应相同，且a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n ＝8n 对任意的n ∈N *都成立，数列{b n ＋1－b n }是等差数列．(1)求数列{a n }与{b n }的通项公式；(2)证明：不存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1)．(1)解因为a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －1a n＝8n (n ∈N *)，①则当n ≥2时，a 1＋2a 2＋22a 3＋…＋2n －2a n －1＝8(n －1)(n ∈N *)，②①－②，得2n －1a n ＝8，则a n ＝24－n ，在①中，令n ＝1，可得a 1＝8＝24－1，所以a n ＝24－n (n ∈N *)．由题设，b 1＝8，b 2＝4，b 3＝2，则b 2－b 1＝－4，b 3－b 2＝－2，数列{b n ＋1－b n }的公差为－2－(－4)＝2，b n ＋1－b n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，所以b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1)＝8＋(－4)＋(－2)＋…＋(2n －8)＝n 2－7n ＋14(n ∈N *)．(2)证明 b k －a k ＝k 2－7k ＋14－24－k ，当k ≥4时，f (k )＝⎝⎛⎭⎫k －722＋74－24－k 单调递增，且f (4)＝1，所以当k ≥4时，f (k )＝k 2－7k ＋14－24－k ≥1，又f (1)＝f (2)＝f (3)＝0，所以不存在k ∈N *，使得b k －a k ∈(0,1).[考情分析] 高考必考内容，主要考查等差数列与等比数列的通项公式与前n 项和公式以及性质的应用，等差数列、等比数列的判断与证明，常以选择题、填空题或综合的解答题形式考查，属于中档题目．一、等差数列、等比数列的基本运算核心提炼1．等差数列(1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ；(2)求和公式：S n ＝n (a 1＋a n )2＝na 1＋n (n －1)2d .2．等比数列(1)通项公式：a n ＝a 1q n －1(q ≠0)； (2)求和公式：q ＝1，S n ＝na 1； q ≠1，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q .练后反馈题目 1 2 5 6 8 16 正误错题整理：二、等差数列、等比数列的性质核心提炼1．等差数列常用性质：(1)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ； (2)a n ＝a m ＋(n －m )d ；(3)S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…成等差数列． 2．等比数列常用性质：(1)若m ，n ，p ，q ∈N *，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q ； (2)a n ＝a m ·q n －m.练后反馈题目 4 9 10 11 12 13 14 正误错题整理：三、等差数列、等比数列的判断与证明核心提炼证明数列{a n }是等差(比)数列的方法： (1)证明数列{a n }是等差数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1－a n (n ∈N *)为一常数；②利用等差中项，即证明2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2，n ∈N *)．(2)证明数列{a n }是等比数列的两种基本方法： ①利用定义，证明a n ＋1a n (a n≠0，n ∈N *)为一常数；②利用等比中项，证明a 2n ＝a n －1a n ＋1(a n ≠0，n ≥2，n ∈N *)．练后反馈题目 3 7 15 正误错题整理：1．[T14补偿](2022·宜宾模拟)如图，作一个边长为1的正方形，再将各边的中点相连作第二个正方形，依此类推，共作了n 个正方形，设这n 个正方形的面积之和为S n ，则S 5等于( )A.1716B.3116C.6332D.3332 答案 B解析依题意，从第2个正方形开始，以后每个正方形边长都是相邻前一个的22，而所有正方形都相似，则从第2个正方形开始，每个正方形面积都是相邻前一个的12，因此，将各正方形面积依次排成一列可得等比数列{a n }，其首项a 1＝1，公比q ＝12，所以S 5＝1－⎝⎛⎭⎫1251－12＝3116.2．[T14补偿](2022·黄山质检)在等比数列{a n }中，a 1，a 13是方程x 2－13x ＋9＝0的两根，则a 2a 12a 7的值为( ) A.13 B ．3 C ．±13 D ．±3答案 B解析因为a 1，a 13是方程x 2－13x ＋9＝0的两根，所以a 1a 13＝9，a 1＋a 13＝13，所以a 1>0，a 13>0，又{a n }为等比数列，则a 7＝a 1q 6>0，所以a 1a 13＝a 2a 12＝a 27＝9，所以a 7＝3或a 7＝－3(舍去)，所以a 2a 12a 7＝a 7＝3.3．[T6补偿](2022·黄山模拟)将数列{3n －1}与{2n ＋1}的公共项从小到大排列得到数列{a n }，则{a n }的第10项为( ) A ．210－1 B ．210＋1 C ．220－1 D ．220＋1答案 D解析设b m ＝3m －1，c n ＝2n ＋1，令b m ＝c n ，m ，n ∈N *，则3m －1＝2n＋1，解得m ＝2n ＋23.又因为m ，n ∈N *，所以n ＝2,4,6，…，即a 1＝c 2，a 2＝c 4，a 3＝c 6，…，所以a 10＝c 20＝220＋1.4．[T12补偿](2022·运城模拟)公比为q 的等比数列{a n }，其前n 项和为S n ，前n 项积为T n ，满足a 1>1，a 2 021·a 2 022>1，a 2 021－1a 2 022－1<0.则下列结论正确的是( )A ．T n 的最大值为T 2 021B ．a 2 021·a 2 023>1C ．S n 的最大值为S 2 023D ．q >1 答案 A解析根据题意，等比数列{a n }满足条件a 1>1，a2 021·a2 022>1，(a2 021－1)·(a2 022－1)<0，若q>1，则a2 021＝a1·q2 020>1，a2 022＝a1·q2 021>1，则a2 021－1>0，a2 022－1>0，则(a2 021－1)(a2 022－1)>0，这与已知条件矛盾，所以q>1不符合题意，故D错误；因为a1>1，a2 021·a2 022>1，(a2 021－1)·(a2 022－1)<0，所以q>0，a2 021>1，a2 022<1，则0<q<1，a n>0，数列{a n}的前2 021项都大于1，从第2 022项开始都小于1，因此T2 021是数列{T n}中的最大值，故A正确；由等比数列的性质知，a2 021·a2 023＝a22 022<1，故B错误；而S n＝a1＋a2＋…＋a n，由以上分析可知其无最大值，故C错误．5．[T15补偿](2022·潍坊模拟)在①点(a n，S n)在直线2x－y－1＝0上；②a1＝2，S n＋1＝2S n＋2；③a n>0，a1＝1,2a2n＋1＋3a n a n＋1－2a2n＝0.这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．问题：已知数列{a n}的前n项和为S n，________.(1)求{a n}的通项公式；(2)求S n，并判断－S1，S n，S n＋1是否成等差数列，并说明理由．解选条件①：(1)由题设可得2a n－S n－1＝0，即S n＝2a n－1，当n≥2时，有S n－1＝2a n－1－1，两式相减得a n＝2a n－2a n－1，即a n＝2a n－1(n≥2)，又当n＝1时，S1＝2a1－1，解得a1＝1，∴数列{a n}是首项为1，公比为2的等比数列，∴a n＝2n－1.(2)－S 1，S n ，S n ＋1成等差数列．理由如下：由(1)可得，S n ＝1－2n1－2＝2n －1，∴S n ＋1－S 1＝2n ＋1－1－1＝2(2n －1)＝2S n ， ∴－S 1，S n ，S n ＋1成等差数列．选条件②：(1)∵a 1＝2，S n ＋1＝2S n ＋2， ∴S n ＝2S n －1＋2(n ≥2)，两式相减得，a n ＋1＝2a n (n ≥2)，又当n ＝1时，有S 2＝2S 1＋2＝a 1＋a 2，解得a 2＝4，∴a 2＝2a 1，∴数列{a n }是首项、公比均为2的等比数列， ∴a n ＝2n .(2)－S 1，S n ，S n ＋1成等差数列．理由如下：由(1)可得S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2，∴S n ＋1－S 1＝2n ＋2－2－2＝2(2n ＋1－2)＝2S n ， ∴－S 1，S n ，S n ＋1成等差数列．选条件③：(1)∵2a 2n ＋1＋3a n a n ＋1－2a 2n ＝0，∴(2a n ＋1－a n )(a n ＋1＋2a n )＝0， ∵a n >0，∴2a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝12a n ，又a 1＝1，∴数列{a n }是首项为1，公比为12的等比数列，∴a n ＝12n －1.(2)－S 1，S n ，S n ＋1不成等差数列．理由如下：由(1)可得S n ＝1－12n1－12＝2－12n －1，∵S n ＋1－S 1＝2－12n －1＝1－12n ≠2S n ，∴－S 1，S n ，S n ＋1不成等差数列．。