中考数学复习指导：例谈概率与非概率知识的交汇

例谈概率与非概率知识的交汇例谈概率与非概率知识的交汇

新课标实施以来，概率问题成为新增的一道亮丽的风景，成为中考必考知识点之一，同时新考纲也强调：“在考试中创设比较新颖的问题情境，构造有一定深度和广度的数学问题，要注重问题的多样化，体现思维的发散性”，以及“从学科的整体高度和思维价值的高度考虑问题，在知识网络交汇点设计试题，使对数学基础知识的考查达到必要的深度”等等。从而在近年的中考试题中，为了考查概率的意义，出现了一类以非概率知识为载体的概率题型，其形式活泼、格调清新，不由得使人眼前为之一亮.现采撷数例，供读者学习鉴赏.

一、概率与实数的交汇 例1.在5张卡片上分别写有实数722，2，2

π

，3.14，27，从中随机抽取一张卡片，抽到无理数的概率是

解析:本题考查了无理数的概念和计算概率的能力,它主要考查运用列举法计算事件发生的概率,从五张不透明的卡片中抽取一张,有5种可能情况,其中抽到无理数卡片的情况有3种,所以概率是.5

3

正确判断

27,2,2

π

是无理数为解题关键.

例2.从1～4这4个数中任取一个数作分子，从2～4这3个数中任取一个数作分母，组成一个分数，则出现分子、分母互质的分数的概率为______.

解析：依条件列表分析如下：

在3×4=12个分数中，分子、分母互质的分数有2、2、3、3、3、4、4

共7个，因此分子、分母互质的分数的概率为

712

. 评注：用列表法分析出可组成12个分数与正确理解“分子、分母互质的分数”的意义都是解题的关键.

二、概率与方程的交汇

例3.在一个不透明的口袋中装有红、白、黑三种颜色的小球若干个，它们只有颜色不同，其中有白球2个、黑球1个．已知从中任意摸出1个球得白球的概率为

1

2

． ⑴求口袋口有多少个红球；⑵求从袋中一次摸出2个球，得一红一白的概率．要求画出树状图．

分析: ⑴根据列举法求概率列方程；⑵通过画树状图求概率. 解：⑴设袋中有x 个红球，据题意得21

212

x =++，解得1x =．∴袋中有红球1个．

⑵画树状图如图：

P ∴（摸得一红一白）41

123

=

=． 三、概率与函数的交汇

例4.已知函数5−=x y ，令21=

x 、1、23、2、25、3、27、4、2

9

、5，可得函数图象上的十个点．在这十个点中随机取两个点),(11y x P 、),(22y x Q ，则P 、Q 两点在同一反比例函数图象上的概率是（ ）

（A ）

9

1

（B ）

45

4 （C ）

45

7 （D ）

5

2 解析：由已知条件可得这十个点的坐标为：（21，29−）、（1，－4）、（23

，2

7−）、

（2，－3）、（25，25−）、（3，－2）、（27，23−）、（4，－1）、（29

、2

1−）、

（5，0）

其中，在同一反比例函数图象上的点为：（21，29−）与（29

、2

1−）；（1，－4）

与（4，－1）；（

23，27−）与（27

，2

3−）；（2，－3）与（3，－2）这4组.则从10个点中随机取出两个点共有：45种取法。于是，可知， P （P 、Q 两点在同一反比例函数图象上）=

45

4

，故选B 评注：本题以一次函数图象上的点是否满足二次函数解析为背景，创设的一道概率题，考查了函数值的意义，以及点在反比例函数图象上所满足的条件与概率之间的关系，既生动

白1

白2

红

黑

白2 黑 1 红 黑 白2 白1

白2 白1 黑 红 第一个球

第二个球

又有趣。

例5.抛掷红、蓝两枚六面编号分别为1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，将红色和蓝色骰子正面朝上的编号分别作为二次函数y=x 2+mx+n 的一次项系数m 和常数项n 的值。

（1）问这样可以得到多少个不同形式的二次函数？（只需写出结果）

（2）请求出抛掷红、蓝骰子各一次，得到的二次函数图象顶点恰好在x 轴上的概率是多少？并说明理由。

解析：（1）可以得到6×6=36个不同形式的二次函数。

（2）y=x 2

+mx+n=4

)2(2

2m n m x −++

∵二次函数图象顶点在x 轴上，∴042

=−m n

∴m=n 4=2n （其中n ，m 为1～6

的整数）

根据上式可知，当n 取1～6中的完全平方数时，上式才有可能成立。 ∴n 的值只能取完全平方数1和4。

通过计算可知，当n=1，m=2和n=4，m=4满足04

2

=−m n

由此抛掷红、蓝骰子各一次，得到的二次函数图象顶点在轴上的概率是：

362=18

1 评注：本题把抛掷骰子与二次函数相结合，设置概率问题情境，同时考查了二次函数的意义、性质、概率的计算方法，具有一定的综合性。

四、概率与几何的交汇

例6.在“等边三角形、正方形、等腰梯形、正五边形、矩形、正六边形”中，任取其中一个图形，恰好既是中心对称图形，又是轴对称图形的概率为______.

解析：在所给的6个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有：正方形、矩形、正六边形，共3个.故所求概率为

3162

=. 评注：这也是一道直接根据概率的意义就可以求解的概率问题，但若是对“中心对称图形”与“轴对称图形”两个概念的意义含混不清，则也难以解答.

例7.在一次数学活动中，黑板上画着如图所示的图形，活动前老师在准备的四张纸片上分别写有如下四个等式中的一个等式：①AB DC =②ABE DCE ∠=∠

③AE DE =④A D ∠=∠