解直角三角形的应方位角 、坡角
第2课时 与坡度、方位角有关的应用问题
,
）
方位角
概念：指南或指北的方向线于目标方向线构成小 于90°的角叫做方位角
例如： 1、点A在点O的北偏东30°方向 2、点B在点O的男偏西45°方向 （或西南方向）。
例2：如图，一搜船以40km/h的速度向正 东航行，在A处测得灯塔C在北偏东60° 方向上，继续航行1h到达B处，这时测得 灯塔C在北偏东30°方向上，已知在灯塔 C处的四周30km内有暗礁，问这搜船继 续向东航行是否安全？
4.4 解直角三角形的应用 方位角、坡度与坡角有关的应用问题
观察
图中的(1)和(2)，哪个山坡比较陡？
(2)中的山坡比较陡.
（1）
（2）
动脑筋
如何用数量来反映哪个山坡陡呢？
（1）
（2）
如图，从山坡脚下点P上坡走到点N 时， 升高的高度h(即线段MN的长)与水平前进的距 离l(即线段PM的长度)的比叫作坡度，用字母i 表示，即
i hl
坡度通常写成 1 : m 的形式．
如图中的∠MPN叫作坡角(即山坡与地平面的夹角).
显然，坡பைடு நூலகம்等于坡角的正切. 坡度越大，山坡越陡.
例1 如图，一山坡的坡度 i = 1:2，小刚从
山坡脚下点P上坡走了240m到达点N，他上升
了多少米(精确到0.1m)？这座山坡的坡角是多
少度(精确到0.01°)？（
北
C
30°
60°
东
A
BD
利用方位角、坡角解直角三角形课件
解直角三角形
24.4 解直角三角形
第3课时 利用方位角、坡角解直角三角形
知识点❶：坡角在解直角三角形中的应用 1．如图，某水库堤坝横断面迎水坡 AB 的坡比是 1∶ 3，堤坝高 BC＝50 m，则迎水坡面 AB 的长度是( A ) A．100 m C．150 m D．200 m 2．如图，某村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间 的水平距离为 5 米，那么两树的坡面距离 AB＝( B ) A．5cosα 米 C．5sinα 米 5 B. 米 cosα D. 5 米 sinα B．100 3 m
解：(1)由题意，得∠BAC＝90°，∴BC＝ 402＋（8 3）2＝16 7(km)， 4 ∴轮船航行的速度为：16 7÷ ＝12 7(km/h) 3 (2)能，理由如下：作 BD
⊥l 于点 D，CE⊥l 于点 E，设直线 BC 交 l 于点 F，则 AD＝AB·cos∠ BAD＝40×cos60°＝20(km)， BD＝AB· sin∠BAD＝40×sin60°＝20 3 (km)，CE＝AC·sin∠CAE＝8 3×sin30°＝4 3(km)，AE＝AC·cos ∠CAE＝8 3×cos30°＝12(km)．∵BD⊥l，CE⊥l，∴∠BDF＝∠CEF EF＋32 DF BD ＝90°.又∵∠BFD＝∠CFE， ∴△BDF∽△CEF， ∴ ＝ ， ∴ EF CE EF ＝ 20 3 ，∴EF＝8 km.∴AF＝AE＋EF＝12＋8＝20(km)．∵AM＜AF＜ 4 3
知识点❷：方位角在解直角三角形中的应用 3．如图，小雅家(图中点 O 处)门前有一条东西走向的公路，测得 有一水塔(图中点 A 处)在她家北偏东 60°的 500 m 处，那么水塔所在 的位置到公路的距离 AB 是( A ) A．250 m B．250 3 m C. 500 3 m D．250 2 m 3
最新沪科版23.2解直角三角形及其应用(第三课时)--方向角、方位角、坡比等问题
察站A相距10 2
海里，请你测算灯塔C处在观察站A的什么方向？
解：过点C作CD ⊥AB,垂足为D ∵灯塔B在观察站A北偏西45°的方向
∴ ∠B=45°
CD ∵sinB = CB
B
10 45° D
C
5 2
10 2
2 =5 2 sinB=10×sin45°= 10× ∴CD= BC· 2 ∵在Rt△DAC中，
解：过点A作AE⊥BC，垂足为E, 设CE=x ∵在Rt△BAE中，∠BAE=45° ∴AE=BE=10+x ∵在Rt△CAE中，AE2+CE2=AC2 ∴x2+(10+x)2=(10 2 )2 即：x2+10x-50=0
45°
B
10
C
55 3
10 2
E
10
北
x1 5 5 3, x2 5 5
CD CD ∠CAB=30°，∠CBA=45°，AD= ，BD= ， tan 45 tan 30 CD CD =1000， ∵AD+BD= tan 30 tan 45
解得CD= 1000 =500（ 3 1 ）m≈366m．
3 1
答：建筑物C到公路AB的距离约为366m.
ห้องสมุดไป่ตู้
如图，在小岛上有一观察站A.据测，灯塔B在观察站A北偏 西450的方向，灯塔C在B正东方向，且相距10海里，灯塔C与观
AF AD DF
2 2
2x
2
x 2 3x
B
D
F 30°
在Rt△ABF中，
3x AF tan 30 tan ABF BF 12 x
解得x=6
AF 6 x 6 3 10.4
《解直角三角形的应用》课件
(芜湖)如图所示，某校数学兴趣小组的 同学欲测量一座垂直于地面的古塔BD的高度，他们先 在A处测得古塔顶端点D的仰角为45°，再沿着BA的方 向3后退20 m至C处，测得古塔顶端点D的仰角为30°，求该 古塔BD的高度.( ≈1.732，结果保留一位小数)
A．25
B．25 3
C.1003 3
D．25＋25 3
【解析】过点 B 作 BE⊥AD 于 E，设 BE＝x，在 Rt△ABE 中， AE＝tanx30°，在 Rt△CBE 中，CE＝tanx60°，∴AC＝AE－CE＝ tanx30°－tanx60°＝50，解得 x＝25 3，即小岛 B 到公路 l 的距
杆高出建筑物顶)，仰角为30°，看旗杆与地面的接触点，俯角为60°， 则旗杆的高为( )
A.34h
B.23h
C.45h
D.32h
【解析】在 Rt△AED 中，AE＝tanh60°＝ 33h，在 Rt△
ACE 中，CE＝AE·tan30°＝ 33h× 33＝13h，∴CD＝h＋13h＝43
h.
【答案】A
B.sin560° m
5 C.tan60° m
5 D.cos60° m
【解析】∵sin60°＝A5C，∴AC＝sin560° (m)．
【答案】B
3．(中考变式题)如图，小明要测量河内小岛B到河边公路 l的距离，在A点测得∠BAD＝30°，在C点测得∠BCD＝60°， 又测得AC＝50 m，则小岛B到公路l的距离为______m．( )
13．(2010 中考变式题)课外活动小组测量学校旗杆的高 度．如图，当太阳光线与地面成 30°角时，测得旗杆 AB 在地面 上的投影 BC 长为 24 米，则旗杆 AB 的高度约是________米．(结 果保留 3 个有效数字， 3≈1.732)
人教版九年级下册数学：第28章 28.2.2解直角三角形的应用 (2)方位角、坡度坡比
达标测试
1.如图,C岛在A岛的北偏东50°方 向,C岛在B岛的北偏西40°方向,则从C
岛看A,B两岛的视角∠ACB等于 90° 。 50°
40° 50° 40°
2、如下图，在一次数学课外活动中，测得电线杆底部B与 钢缆固定点O的距离为4米，钢缆与地面的夹角∠BOA为60º，则 这条钢缆在电线杆上的固定点A到地面的距离AB是多少米．
tanα= 1 = 3 33
∴α=30°
240
C
1: 3
?
A?
B
在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A=30°,AC=240m
∴ sinα= BC = BC
AC 240
∴ BC=240×sin30°=120(m)
答:这座山坡的坡角为30°,小刚上升了120m.
【例4 】水库大坝的横断面是梯形,坝顶宽6m,坝高23m,
北
PC=PA·cos（90°-65°）=80×cos25°
≈80×0.91 =72.8
65°
在Rt△BPC中,∠B=34°
西
P
∵ sinB = PC
PB
34°
∴
PB
=
PC sinB
=
72.8 sin340
≈
72.8 0.559
≈130.23（海里）
南
?
当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°
方向时，它距离灯塔P大约130.23海里。
45° 南
45° 45°
西南
（南偏西45°）
南
东南
（南偏东45°）
典例精析
【例1】如图,一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距
离灯塔80海里的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位
人教版九年级下册数学第28章 锐角三角函数 利用解直角三角形解含方位角、坡角(坡度)的应用
感悟新知
知1－练
1. 如图，海中有一个小岛A，它周围8nmile内有暗礁. 渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏
东60°方向上，航行12nmile到达D点，这时测得小 岛A在北偏东30° 方向上.如果渔船不改 变航线继续向东航行， 有没有触礁的危险？
感悟新知
解：如图，过点A作AC⊥直线BD，垂足为点C.
C．200D3．300
3
感悟新知
知识点 2 用解直角三角形解坡角问题
探究
B
一、如图是某一大坝的横断面：
坡面AB的垂直高度与 水平宽度AE的长度之 比是α的什么三角函数？
Aα
E
知2－练
C
D
tan
BE 坡面AB与水平面的夹角叫做坡角.
AE
感悟新知
坡度的定义：
知2－练
坡面的垂直高度与水平宽度之比
B
叫做坡度，记作i.
感悟新知
例1 如图, 一艘海轮位于灯塔P的北 偏东65°方向，距离灯塔 80nmile的A处，它沿正南方向 航行一段时间后，到达位于灯
塔P的南偏东34°方向上的B处. 这时，B处距离灯塔P有多远 （结果取整数)？
北 65°
P 34°
知1－练
A
C
B
感悟新知
解：如图，在Rt△APC中， PC=PA•cos(90°-65°) =80×cos25° ≈72. 505. 在Rt△BPC中，∠B=34°，
第二十八章锐角三角函数
28.2解直角三角形及其应用
第6课时利用解直角三 角形解含方位角、坡角 （坡度）的应用
学习目标
1 课时讲解 用解直角三角形解方位角问题
用解直角三角形解坡角（或坡度） 问题
解直角三角形(2)仰角与俯角、方位角、坡角(比)问题(知识讲解)2022-2023学年九年级数学下册
专题1.11解直角三角形（2）——仰角与俯角、方位角、坡角（比）问题（知识讲解）【学习目标】1.理解用三角函数解决实际问题的有关概念；2.理解并解决实际问题中转化为三角函数模型解决实际问题。
【要点梳理】解直角三角形的知识应用很广泛，关键是把实际问题转化为数学模型，善于将某些实际问题中的数量关系化归为直角三角形中的边角关系是解决实际应用问题的关键.解这类问题的一般过程是：(1)弄清题中名词、术语的意义，如仰角、俯角、坡度、坡角、方向角等概念，然后根据题意画出几何图形，建立数学模型.(2)将已知条件转化为几何图形中的边、角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题.(3)根据直角三角形(或通过作垂线构造直角三角形)元素(边、角)之间的关系解有关的直角三角形.(4)得出数学问题的答案并检验答案是否符合实际意义，得出实际问题的解.拓展：在用直角三角形知识解决实际问题时，经常会用到以下概念：(1)坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母表示.坡度(坡比)：坡面的铅直高度h和水平距离的比叫做坡度，用字母表示，则，如图，坡度通常写成=∶的形式.(2)仰角、俯角：视线与水平线所成的角中，视线中水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角，如图.(3)方位角：从某点的指北方向线按顺时针转到目标方向的水平角叫做方位角，如图①中，目标方向PA，PB，PC的方位角分别为是40°，135°，245°.(4)方向角：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角，叫做方向角，如图②中的目标方向线OA，OB，OC，OD 的方向角分别表示北偏东30°，南偏东45°，南偏西80°，北偏西60°.特别如：东南方向指的是南偏东45°，东北方向指的是北偏东45°，西南方向指的是南偏西45°，西北方向指的是北偏西45°.特别说明：1．解直角三角形实际是用三角知识，通过数值计算，去求出图形中的某些边的长或角的大小，最好画出它的示意图.2．非直接解直角三角形的问题，要观察图形特点，恰当引辅助线，使其转化为直角三角形或矩形来解.3．解直角三角形的应用题时，首先弄清题意(关键弄清其中名词术语的意义)，然后正确画出示意图，进而根据条件选择合适的方法求解.【典型例题】类型一、解直角三角形的应用——仰角和俯角问题1．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B 的仰角为60°，沿山坡向上走20m 到达D 处，测得建筑物顶端B 的仰角为30°．已知山坡坡度3:4i =，即3tan 4θ=，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB ．（结果精确到0.1m 1.732≈）在Rt CDE △中，90E ∠=︒∴222DE CE CD +=∴222(3)(4)20x x +=∴4x =（负值舍去）∴12DE =，16CE =举一反三：【变式1】如图，小文在数学综合实践活动中，利用所学的数学知识测量居民楼的高度AB ，在居民楼前方有一斜坡，坡长15m CD =，斜坡的倾斜角为α，4cos 5α=．小文在C 点处测得楼顶端A 的仰角为60︒，在D 点处测得楼顶端A 的仰角为30°（点A ，B ，C ，D 在同一平面内）．(1)求C ，D 两点的高度差；(2)求居民楼的高度AB ．（结果精确到1m 1.7≈）AFDF 4三角函数的定义是解答本题的关键．【变式2】如图，希望中学的教学楼AB和综合楼CD之间生长着一棵高度为12.88米的白杨树EF，且其底端B，D，F在同一直线上，BF＝FD＝40米．在综合实践活动课上，小明打算借助这棵树的高度测算出综合楼的高度，他在教学楼顶A处测得点C的仰角为9°，点E的俯角为16°．问小明能否运用以上数据，得到综合楼的高度？若能，请求出其高度（结果精确到0.01米）；若不能，说明理由．（解答过程中可直接使用表格中的数据哟！）【答案】能，综合楼的高度约是37.00米．【分析】在Rt△AEG中，利用正切函数求得AG的长，在Rt△ACH中，利用正切函数求得CH的长，据此求解即可得到综合楼的高度．解：小明能运用以上数据，得到综合楼的高度，理由如下：作EG⊥AB，垂足为G，作AH⊥CD，垂足为H，如图：·类型二、解直角三角形的应用——方位角问题2．小明学了《解直角三角形》内容后，对一条东西走向的隧道AB进行实地测量．如图所示，他在地面上点C处测得隧道一端点A在他的北偏东15︒方向上，他沿西北方向前进D，此时测得点A在他的东北方向上，端点B在他的北偏西60︒方向上，（点A、B、C、D在同一平面内）(1)求点D与点A的距离；(2)求隧道AB的长度．（结果保留根号）举一反三：【变式1】如图，我国某海域有A，B，C三个港口，B港口在C港口正西方向33.2nmile （nmile是单位“海里”的符号）处，A港口在B港口北偏西50°方向且距离B港口40nmile 处，在A港口北偏东53°方向且位于C港口正北方向的点D处有一艘货船，求货船与A港口之间的距离．（参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33．）由题意得：EF=BC=33.2海里，【变式2】如图，AB 为东西走向的滨海大道，小宇沿滨海大道参加“低碳生活·绿色出行”健步走公益活动．小宇在点A 处时，某艘海上观光船位于小宇北偏东68︒的点C 处，观光船到滨海大道的距离CB 为200米．当小宇沿滨海大道向东步行200米到达点E 时，观光船沿北偏西40︒的方向航行至点D 处，此时，观光船恰好在小宇的正北方向，求观光船从C处航行到D 处的距离．（参考数据：sin 400.64︒≈，cos 400.77︒≈，tan 400.84︒≈，sin 680.93︒≈，cos680.37︒≈，tan 68 2.48︒≈）类型三、解直角三角形的应用——坡度坡比问题来的37°减至30°，已知原电梯坡面AB的长为8米，更换后的电梯坡面为AD，点B延伸至点D，求BD的长．（结果精确到0.1米．参考数据：︒︒︒）≈≈≈≈sin370.60,cos370.80,tan37 1.73【答案】约为1.9米【分析】根据正弦的定义求出AC，根据余弦的定义求出BC，根据正切的定义求出CD，结合图形计算，得到答案．举一反三：【变式1】如图是某水库大坝的横截面，坝高20m CD =，背水坡BC 的坡度为11:1i =．为了对水库大坝进行升级加固，降低背水坡的倾斜程度，设计人员准备把背水坡的坡度改为2i =求背水坡新起点A 与原起点B 之间的距离． 1.41≈ 1.73≈．结果精确到0.1m）【变式2】宜宾东楼始建于唐代，重建于宜宾建城2200周年之际的2018年，新建成的东楼（如图1）成为长江首城会客厅、旅游休闲目的地、文化地标打卡地．某数学小组为测量东楼的高度，在梯步A处（如图2）测得楼顶D的仰角为45°，沿坡比为7：24的斜坡AB前行25米到达平台B处，测得楼顶D的仰角为60°，求东楼的高度DE．（结果精确到1≈）1.7≈ 1.4【点拨】本题考查了解直角三角形的实际应用，掌握三角形中的边角关系是解题的关键．类型四、解直角三角形的应用——其他问题4．2022年6月5日，“神舟十四号”载人航天飞船搭载“明星”机械臂成功发射．如图是处于工作状态的某型号手臂机器人示意图，OA 是垂直于工作台的移动基座，AB 、BC 为机械臂，1OA =m ，5AB =m ，2BC =m ，143ABC ∠=︒．机械臂端点C 到工作台的距离6CD =m ．(1)求A 、C 两点之间的距离；(2)求OD 长．（结果精确到0.1m ，参考数据：sin 370.60︒≈，cos370.80︒≈，tan 370.75︒≈ 2.24≈）【答案】(1)6.7m(2)4.5m【分析】（1）连接AC ，过点A 作AH BC ⊥，交CB 的延长线于H ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．（2）过点A 作AG DC ⊥，垂足为G ，根据锐角三角函数定义和勾股定理即可解决问题．．∴==m．OD AG4.5答：OD的长为4.5m．【点拨】求角的三角画数值或者求线段的长时，我们经常通过观察图形将所求的角成者线段转化到直角三角形中（如果没有直角三角形，设法构造直角三角形），再利用锐角三角画数求解【变式1】某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算AB的长度（结果保留≈）.1.7∠=︒FDB45,∴=，DF FB【变式2】小强在物理课上学过平面镜成像知识后，在老师的带领下到某厂房做验证实验.如图，老师在该厂房顶部安装一平面镜MN ，MN 与墙面AB 所成的角∠MNB =118°，厂房高AB =8m ，房顶AM 与水平地面平行，小强在点M 的正下方C 处从平面镜观察，能看到的水平地面上最远处D 到他的距离CD 是多少?（结果精确到0.1m ，参考数据：sin34°≈0.56，tan34°≈0.68，tan56°≈1.48）【答案】11.8m【分析】过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，证明四边形ABCM 为矩形得到CM=AB =8，∠NMC =180°-∠BNM=62°，利用物理学入射光线与反射光线之间的关系得到∠EMD =∠EMC ，且∠CME =90°-∠CMN =28°，进而求出∠CMD =56°，最后在Rt △CMD 中由tan ∠CMD 即可求解．解：过M 点作ME ⊥MN 交CD 于E 点，如下图所示：∵C点在M点正下方，∴CM⊥CD，即∠MCD=90°，∵房顶AM与水平地面平行，∴四边形AMCB为矩形，【点拨】本题借助平面镜入射光线与反射光线相关的物理学知识考查了解直角三角形，解题的关键是读懂题意，利用数形结合的思想解答．。
解直角三角形的应坡比与坡度
B
乙
甲
A 32°
E
25°
D 40米
Ca
25
例题3 在港口A的南偏东52°方向有一 座小岛B，一艘船以每小时24千米的速 度从港口A出发，沿正东方向行驶，20 他钟后，这艘船在C处且测得小岛B在 船的正南方向，小岛B与港口A相距我 少千米(精确到0.1千米)？
北
24千米/时×1/3=8千米C A
52°
2.沿着坡角为30 °的斜坡前进300米到达D点，在D 点测得山顶A的仰角为60 ° ，求山高AB。
A
D xF
30°
C
Ex B
a
19
解直角三角形的应用仰角和俯角
a
20
铅 垂
） 仰角 ） 俯角
水平线
线
a
21
自主探索
方案一：
在操场上取一点B，用皮尺测出B点到旗杆底C的 距离BC=a；在B点用测角仪测出旗杆顶的仰角 α 。
2
3、已知： △ABC中，D为AB的中点，∠ACB=135°，
AC⊥CD，求sinA的值。
A
B
A B (图1)
CB
D A
C (图a2)
D
C
(图3)
E
17
例二：
已知： △ABC中，∠A=105°，∠C=45°，BC=8，
求AC和AB的长。
A
B
DC
[评析]在解斜三角形、等 腰三角形、梯形等一些图
形的问题时，可以适当地
A
B
C
D
a
15
二、典型例题：
例 1、已知 A： B中 C 在 ， B4 5， C7 5， AC 2，B 求的 C 长；
C
数学人教版九年级下册解直角三角形及其应用——方位角
解直角三角形及其应用——方位角和坡度问题在前面我们学习了直角三角形及其应用关于仰角和俯角的问题，我们在解决这类实际问题的时候，首先是要画出平面图形，然后转化为解直角三角形。
那我们今天继续进行解直角三角形及其应用的学习。
现在请看问题1：问题1：一艘轮船在大海上航行，当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°，那么同时从B处观测到轮船在什么方向？若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛B 的南偏西40°方向，你能确定C的位置吗？试画图说明．1当航行到A处时，观测到小岛B的方向是北偏西35°。
由这句话知谁是坐标原点？怎样建立直角坐标系？生：A是坐标原点。
上北下南左西又东。
2那么同时从B处观测到轮船在什么方向？由这句话你想到什么呢？谁是坐标原点？B还需满足什么条件？在同一图形中怎样建立直角坐标系？生：需另建立直角坐标系。
以B是坐标原点。
在A的北偏西35°3若轮船从A处继续往正西方向航行到C处，此时，C 处位于小岛 B 的南偏西40°方向，师：由这句话知轮船现在的航行路线？你能确定C的方向吗？你能确定C的具体位置吗？你是怎样想到的？生：往正西方向航行。
B是坐标原点。
正西方向与小岛B的南偏西40方向的交点，就是C点的位置。
我们经过这几个步骤，就把图形画出来了，也把这个问题解决了。
我们回过头来看看，从这个问题中我们学到了什么？生：将实际问题抽象为数学问题：画出平面图形，转化为解直角三角形的问题。
师：解决这个问题的关键就是能画出平面图形。
平面图形一经画出，所有问题就迎刃而解了。
如何画出这样的平面图形呢？生：1 找准坐标原点。
2 能准确地确定问题中提出的各个方位。
刚才同学们总结得很好，这就是今天我们要研究的第一个问题：解直角三角形的应用——方位角的问题。
出示课题。
刚才同学们都表现得非常不错，那我们再来继续下一个问题，看能不能解决呢？问题2 一艘海轮位于灯塔P 的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 的南偏东34°方向上的 B 处，这时， B 处距离灯塔P 有多远（结果取整数）？（1）根据题意，你能画出示意图吗？画出图形后，你想到什么呢？（用哪个知识点解决这个问题呢？）生：可以用解直角三角形的知识解决问题（2）结合题目的条件，你能确定图中哪些线段和角？求什么？怎样求？师：在图上标出已知条件，需要求的量.怎样求？抽学生回答解题思路生：AP=80n mile; ∠APC=90-65=25; ∠A=65 ; ∠B=34;AB⊥PC。
方位角坡度
h i tan 的形式。 l
坡度越大
h
坡角大 坡面越陡
l
巩固练习
1、一段坡面的坡角为60°，则坡度 i= 。 B
h i tan l
h
A
60°
l
E
巩固练习
2、小明沿着坡度i = 的山坡向上 走了50m，这时他离地面25m。 B
h i tan l
h
A α
l
E
例题尝试 例2 如图，某一拦水坝的横断面为梯形ABCD，
AD∥BC，斜坡AB的长10 2米，坝顶宽16米， 坝高10米，斜面CD的坡比i=1： 3 求：（1）坡角α和β； （2）拦水坝横断面面积（结果保留根号）
β
α
解直角三角形 ----方位角和坡度
知识回顾
1、仰角和俯角 在进行测量时， 从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
视线 铅 直 线 仰角 水平线 俯角
视线
解直角三角形的应用：
1、从实际问题抽象出数学模型，画示意图
2、审清已知未知 3、解直角三角形 4、解决实际问题
B
D
练习;如图，小岛A在港口P的南偏西45° 方向，距离港口81海里处，甲船从小岛 A出发，沿AP方向以9海里/时的速度驶 向港口；乙船从港口P出发，沿南偏东 60°方向，以18海里/时的速度驶离港 北 口。已知两船同时出发。 P (1)出发后几小时两船与 东 港口P的距离相等？ (2)出发后几小时乙船在 A 甲船的正东方向？
达标检测 反思目标
1、如右下图，海船以5海里/小时的速度向正东方向行 驶，在A处看见灯塔B在海船的北偏东60°方向，2小时 后船行驶到C处，发现此时灯塔B在海船的北偏西45方 向，求此时灯塔B到C处的距离.
中考解直角三角形的实际应用
解直角三角形的实际应用一、知识要点1．仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯角．如图（1）．2．坡角与坡度：坡面的垂直高度h 和水平宽度l 的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为h i l =，坡面与水平面的夹角记作α，叫做坡角，则tan h i l α==．坡度越大，坡面就越陡．如图（2）．3．方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图（3）．二、例题讲解例1.如图，某数学兴趣小组在活动课上测量学校旗杆的高度．已知小亮站着测量，眼睛与地面的距离（AB ）是1.7米，看旗杆顶部E 的仰角为30°；小敏蹲着测量，眼睛与地面的距离（CD ）是0.7米，看旗杆顶部E 的仰角为45°．两人相距5米且位于旗杆同侧（点B 、D、F 在同一直线上）．（1）求小敏到旗杆的距离DF ．（结果保留根号） （2）求旗杆EF 的高度．（结果保留整数，参考数据：≈1.4，≈1.7）图(3)北图(2)图(1)俯角仰角视线视线水平线铅垂线迁移练习1.数学活动课上老师让学生以小组为单位测量学校旗杆AB的高度，如图所示，“希望小组”在教学楼一楼地面D处测得旗杆顶部仰角为60°，在教学楼三楼地面C处测得旗杆顶部仰角为30°，已知旗杆底部于教学楼一楼地面在同一水平线上，每层楼高为3米，求旗杆AB高度．例2.某体育场看台的坡面AB与地面的夹角是37°，看台最高点B到地面的垂直距离BC为3.6米，看台正前方有一垂直于地面的旗杆DE，在B点用测角仪测得旗杆的最高点E的仰角为33°，已知测角仪BF的高度为1.6米，看台最低点A与旗杆底端D之间的距离为16米（C，A，D在同一条直线上）．（1）求看台最低点A到最高点B的坡面距离；（2）一面红旗挂在旗杆上，固定红旗的上下两个挂钩G、H之间的距离为1.2米，下端挂钩H与地面的距离为1米，要求用30秒的时间将红旗升到旗杆的顶端，求红旗升起的平均速度（计算结果保留两位小数）（sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）迁移练习2.如图，某数学兴趣小组为了测量学校旗杆AB的高度，他们在旗杆对面的实验楼的顶部C处测得旗杆顶端A的仰角为46°，测得旗杆底端B的俯角为32°，同时测量了旗杆底端与实验楼的地面距离BD长为9.5米．求旗杆AB的高．（结果精确到0.1米）．【参考数据：sin32°=0.53，cos32°=0.85，tan32°=0.62，sin46°=0.72，cos46°=0.69，tan46°=1.04】例3.金桥学校“科技体艺节”期间，八年级数学活动小组的任务是测量学校旗杆AB的高，他们在旗杆正前方台阶上的点C处，测得旗杆顶端A的仰角为45°，朝着旗杆的方向走到台阶下的点F处，测得旗杆顶端A的仰角为60°，已知升旗台的高度BE为1米，点C距地面的高度CD为3米，台阶CF的坡角为30°，且点E、F、D在同一条直线上，求旗杆AB的高度（计算结果精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73）迁移练习3.某数学兴趣小组同学进行测量大树CD高度的综合实践活动，如图，在点A处测得直立于地面的大树顶端C的仰角为36°，然后沿在同一剖面的斜坡AB行走13米至坡顶B 处，然后再沿水平方向行走6米至大树脚底点D处，斜面AB的坡度（或坡比）i=1：2.4，那么大树CD的高度约为（参考数据：sin36°≈0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73）（）例4.如图，某数学活动小组为测量学校旗杆AB的高度，沿旗杆正前方2米处的点C出发，沿斜面坡度i=1：的斜坡CD前进4米到达点D，在点D处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37°，量得仪器的高DE为1.5米．已知A、B、C、D、E在同一平面内，AB⊥BC，AB∥DE．求旗杆AB的高度．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈．计算结果保留根号）迁移练习4.如图，某河大堤上有一颗大树ED，小明在A处测得树顶E的仰角为45°，然后沿坡度为1：2的斜坡AC攀行20米，在坡顶C处又测得树顶E的仰角为76°，已知ED⊥CD，并且CD与水平地面AB平行，求大树ED的高度．（精确到1米）（参考数据：sin76°≈0.97，cos76°=0.24，tan76°≈4.01，=2.236）例5.中考结束后，小明和好朋友一起前往三亚旅游．他们租住的宾馆AB坐落在坡度为i＝1∶2.4的斜坡上．某天，小明在宾馆顶楼的海景房A处向外看风景，发现宾馆前的一座雕像C的俯角为76°(雕像的高度忽略不计)，远处海面上一艘即将靠岸的轮船E的俯角为27°.已知雕像C距离海岸线D的距离CD为260米，与宾馆AB的水平距离为36米，问此时轮船E距离海岸线D的距离ED的长为(参考数据：tan76°≈4.0，tan27°≈0.5，sin76°≈0.97，sin27°≈0.45)()A. 262B. 212C. 244D. 276迁移练习5.气魄雄伟的大礼堂座落在渝中区学田湾，它是一座仿古民族建筑．“五一”期间，小明和妈妈到重庆大礼堂参观游玩．参观结束后，穿过人民广场到达A处，回望礼堂，更显气势雄伟，金碧辉煌．此时，在A点观察到礼堂顶端的仰角为31，沿着坡度为1:3的斜坡AB 走一段距离到达B点，观察到礼堂顶端的仰角是22，测得点B与地面的高度9BC=米，则大礼堂的高度DE为（）米．（精确到1米．参考数据：2tan225≈，3tan315≈）A．56 B．59 C．62 D．65跟踪训练1.一艘货轮以20海里/时的速度在海面上航行，当它行驶到A处时，发现它的东北方向有一灯塔B．货轮继续向北航行1小时后到达C处，发现灯塔B在它北偏东75°方向，那么此时货轮与灯塔B的距离为（）海里（结果不取近似值）2.轮船从B处以每小时50海里的速度沿南偏东30°方向匀速航行，在B处观测灯塔A位于南偏东75°方向上，轮船航行半小时到达C处，在C处观测灯塔A位于北偏东60°方向上，则C处与灯塔A的距离是（）海里．A．25B．25C．50 D．253.今年北京市大规模加固中小学校舍，房山某中学教学楼的后面靠近一座山坡，坡面上是一块平地，如图所示，BC∥AD，斜坡AB=40米，坡度i=：1，为防止山体滑坡，保障学生安全，学校决定不仅加固教学楼，还对山坡进行改造，经地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡，改造时保持坡脚A不动，从坡顶B沿BC削进到E处，问BE至少是多少米？（结果保留根号）4.如图，已知点C与某建筑物底端B相距306米（点C与点B在同一水平面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度（或坡比）i=1:2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯视角为20°，则建筑物AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364）A. 29.1米B. 31.9米C. 45.9米D. 95.9米5.某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中AB∥CD.大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N.观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船M的俯角α为31°，渔船N 的俯角β为45°.已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为30米．(1)求两渔船M，N之间的距离(结果精确到1米)；(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH 的坡度i＝1∶1.75.施工队施工10天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的2倍，结果比原计划提前20天完成加固任务．施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)6.如图，斜坡AB长130米，坡度i=1：2.4，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE．（1）若修建的斜坡BE的坡角为30°，求平台DE的长．（结果保留根号）．（2）斜坡AB正前方一座建筑物QM上悬挂了一幅巨型广告MN，小明在D点测得广告顶部M 的仰角为26.5°，他沿坡面DA走到坡脚A处，然后向大楼方向维续行走10米来到P处，测得广告底部N的仰角为53°，此时小明距大楼底端Q处30米．已知B、C、A、M、Q在同一平面内，C、A、P、Q在同一条直线上，求广告MN的长度．（参考数据：sin26.5°≈0.45，cos26.5°=0.89，tan26.5°=0.50，sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33°）7.如图，一幢居民楼OC临近山坡AP，山坡AP的坡度为i=1：，小亮在距山坡坡脚A处测得楼顶C的仰角为60°，当从A处沿坡面行走10米到达P处时，测得楼顶C的仰角刚好为45°，点O，A，B在同一直线上，求该居民楼的高度．（结果保留整数，≈1.73）。
解直角三角形方位角坡度角
例5. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD（图中 i=1:3是指坡面的铅直高度DE与水平宽度CE的比 ），根据图中数据求：（1）坡角a和β;
（2）坝顶宽AD和斜坡AB的长（精确到0.1m）
解：（1）在Rt△AFB中，∠AFB=90°
tanAFi1： 1.5
BF
i=1:1. 5
α B
33.7
在Rt△CDE中，∠CED=90°
α
在每小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面 的方法分别算出各段山坡的高度h1,h2,…,hn,然后我们再 “积零为整”，把h1,h2,…,hn相加，于是得到山高h.
以上解决问题中所用的“化整为零，积零为整”“化 曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的 基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中， 你会更多地了解这方面的内容．
tanDEi1:3
CE
18.4
AD 6m FE
i=1:3 β C
1.在解直角三角形及应用时经常接触到 的一些概念(方位角;坡度、坡角等)
2.实际问题向数学模型的转化 (解直角三角形)
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
（1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角 三角形的问题）；
修路、挖河、开渠和筑坝时，设计图纸上都要注 明斜坡的倾斜程度.
坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做 坡面坡度（或坡比）. 记作i , 即 i = h .
l
坡度通常写成1∶m的形式，如 i=1∶6.坡面与水平
面的夹角叫做坡角，记作a，有i＝
h l
= tan a.
显然，坡度越大，坡角a就越大，坡面就越陡.
65° A P
C
34°
最新解直角三角形的应坡比与坡度
用数学去解释生活
如图,正切也经常用来描述山坡的坡度.例 如，有一山坡在水平方向上每前进100m就升 高60m,那么山坡的坡度i(即tanα)就是: 老师提示: 坡面与水平面的夹角(α)称为 坡角,坡面的铅直高度与水平宽 度的比称为坡度i(或坡比),即 坡度等于坡角的正切.
1、如图,某截面为梯形的水坝上底宽AD=6米, 高为4米,斜坡AB的坡比i=1∶1.2，斜坡DC的 坡角为45° (1)求坝底BC的长； (2)若将坝高再提高0.5米，得梯形EBCF。此 时坝宽EF为多少米？
2、某村计划开挖一条长1500米的水渠，渠道 的断面为等腰梯形，渠道深0.8米，下底宽1.2 米，坡角为45°。实际开挖渠道时，每天比原 计划多挖土20立方米，结果比原计划提前4天 完工，求原计划每天挖土多少立方米。
60 3 i tan . 100 5
i
α 100m
60m
┌
例1 下图表示两个自动扶梯,那一个自动扶梯比 较陡?
甲 13m α ┌ 5m 乙 6m ┐ 8m β
5 i1 tan .老师提示: 解:甲梯中, 132 52 12 在生活中,常 6 3 用一个锐角的 乙梯中, i2 tan . 8 4
解直角三角形的应用
坡度(坡比)和坡角
你知道吗？
定义： 1、坡面的铅垂高度（h）和水平宽度（L） 的比叫做坡面的坡度（或坡比）。
h 公式 i= L
α
h L
2、坡面与水平面所夹的锐角叫做坡角。
h i= =tg L α
你会算吗？
1、坡角α=45°坡比i= 1∶1
2、坡比为 1: 3 ,坡角α= 30°
解直角三角形方位角、坡度角讲课精品教案
解直角三角形方位角、坡度角讲课精品教案一、教学内容本节课选自《初中数学》八年级下册，第九章《直角三角形的应用》，具体内容包括：直角三角形方位角与坡度角的计算。
通过本章学习，学生将掌握实际情境中直角三角形的应用，特别是在计算方位角和坡度角方面的知识。
二、教学目标1. 知识与技能：掌握直角三角形方位角和坡度角的计算方法，能运用所学知识解决实际问题。
2. 过程与方法：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高逻辑思维和空间想象能力。
3. 情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养团队协作精神。
三、教学难点与重点教学重点：直角三角形方位角和坡度角的计算方法。
教学难点：如何将实际问题抽象成直角三角形，运用数学知识解决问题。
四、教具与学具准备1. 教具：多媒体教学设备、直角三角形模型、量角器、计算器。
2. 学具：直角三角形图纸、量角器、计算器。
五、教学过程1. 实践情景引入利用多媒体展示实际生活中与直角三角形相关的建筑、地理等图片，引导学生关注直角三角形在实际问题中的应用。
2. 知识讲解（1）方位角的计算结合教材内容，讲解直角三角形中方位角的定义，以及计算方法。
（2）坡度角的计算介绍坡度角的概念，以及如何利用直角三角形计算坡度角。
3. 例题讲解（1）方位角例题给出具体问题，引导学生运用所学知识解决问题。
（2）坡度角例题结合实际问题，讲解如何计算坡度角。
4. 随堂练习发给学生直角三角形图纸，让学生分组进行计算，巩固所学知识。
六、板书设计1. 方位角的定义及计算方法2. 坡度角的定义及计算方法3. 例题解答步骤七、作业设计1. 作业题目：（2）结合实际情境，设计一道与直角三角形方位角或坡度角有关的题目。
2. 答案：（1）见教材课后习题解答。
（2）根据实际情况自拟答案。
八、课后反思及拓展延伸1. 反思：本节课学生对方位角和坡度角的计算掌握情况，以及在实际问题中的应用能力。
2. 拓展延伸：引导学生关注生活中直角三角形的应用，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案
解直角三角形方位角、坡度角讲课教案一、教学内容本节课的内容选自《初中数学》八年级下册第九章“勾股定理及其应用”的第三节“解直角三角形”。
具体包括：直角三角形的定义及性质，解直角三角形的概念，利用三角函数解直角三角形，以及方位角和坡度角的实际应用。
二、教学目标1. 知识目标：学生能够理解并掌握解直角三角形的基本概念，熟练运用三角函数求解直角三角形的未知边和角。
2. 技能目标：培养学生运用数学知识解决实际问题的能力，提高学生的空间想象力和逻辑思维能力。
3. 情感目标：激发学生学习数学的兴趣，培养学生合作交流、积极参与的学习态度。
三、教学难点与重点教学难点：解直角三角形的实际应用，特别是方位角和坡度角的计算。
教学重点：熟练运用三角函数解直角三角形，以及在实际问题中求解方位角和坡度角。
四、教具与学具准备教具：三角板、直尺、量角器、多媒体课件。
学具：直角三角形模型、计算器、练习本。
五、教学过程1. 导入：通过实际情景引入，如建筑工地上的方位角和坡度角问题，让学生了解解直角三角形在实际生活中的应用。
2. 新课导入：讲解直角三角形的定义及性质，引导学生回顾勾股定理，为解直角三角形打下基础。
3. 新知讲解：（1）介绍解直角三角形的定义及方法，如正弦、余弦、正切函数的定义和应用。
（2）通过例题讲解，让学生掌握解直角三角形的方法。
（3）讲解方位角和坡度角的概念，以及在实际问题中的应用。
4. 随堂练习：布置相关练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
5. 小组讨论：针对练习题中的问题，组织学生进行小组讨论，互相交流解题思路。
六、板书设计1. 直角三角形的定义及性质2. 解直角三角形的方法：（1）正弦函数：sin A = 对边/斜边（2）余弦函数：cos A = 邻边/斜边（3）正切函数：tan A = 对边/邻边3. 方位角和坡度角的计算方法七、作业设计1. 作业题目：（1）已知直角三角形的两个角和一条边，求其他未知边和角。
九年级数学上册《用直角三角形解实际中的方位角坡角问题》教案、教学设计
1.学生总结：邀请学生分享本节课的收获，总结方位角和坡角的概念及计算方法。
-让学生用自己的语言表述所学知识，提高他们的表达能力和逻辑思维。
2.教师点评：针对学生的总结，给予肯定和鼓励，并对本节课的重点内容进行梳理和强调。
-指出学生在学习过程中存在的问题，为后续学习提出建议。
五、作业布置
-视频内容要贴近生活，富有教育意义，能引发学生对本节课主题的思考。
（二）讲授新知
1.理论知识讲解：介绍方位角和坡角的概念，以及它们在直角三角形中的表示方法。
-结合教材，详细讲解方位角的定义，以及如何通过直角三角形来计算实际中的方位角和坡角。
2.图形演示：利用几何画板或幻灯片，动态演示方位角和坡角的变化，帮助学生形象地理解概念。
九年级数学上册《用直角三角形解实际中的方位角坡角问题》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解方位角和坡角的概念，掌握它们在实际问题中的应用。
-了解方位角是指从正北方向顺时针旋转到目标方向的角度，坡角是指地面与水平线的夹角。
-学会使用直角三角形来计算方位角和坡角。
2.能够运用三角函数（正弦、余弦、正切）解决实际问题中的方位角和坡角问题。
-例如，要求学生测量学校附近一座小山的坡角，或根据地图上的方位角描述行走路线。
3.探究性作业：鼓励学生自主选择一个实际情境，如规划一次徒步旅行路线，使用直角三角形和三角函数解决相关问题。
-此类作业旨在培养学生的探究精神和独立解决问题的能力，同时加强数学知识与实践的联系。
4.小组合作作业：布置需要小组合作完成的作业，要求学生在小组内部分工协作，共同解决一个综合性的问题。
-预习作业要难度适中，旨在培养学生自主学习的能力和良好的学习习惯。
26.4 解直角三角形的应用 - 第2课时坡度、坡角问题课件(共17张PPT)
26.4 解直角三角形的应用
第2课时 坡度、坡角问题
学习目标
学习重难点
重点
难点
1..加强对坡度、坡角、坡面概念的理解和认识，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系.2.能把一些较复杂的图形转化为解直角三角形的问题.3.能解决堤坝等关于斜坡的实际问题，提高解决实际问题的能力.
第3题图
第4题图
B
A
5．水库拦水坝的横断面是四边形ABCD，AD∥BC，背水坡CD的坡比i＝1∶1，已知背水坡的坡长CD＝24 m，则背水坡的坡角α为____，拦水坝的高度为_______ m.6．如图，在坡比为i＝1∶2的山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是______米．
创设情境
如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？
新知引入
如图，在筑坝、开渠、挖河和修路时，设计图纸上都要注明斜坡的倾斜程度.我们通常把坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），坡面与水平面的夹角α叫做坡角.显然，tanα=.
知识点 坡度、坡角
例题示范
第1题图
第2题图
B
C
3.如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为( )A. 米 B. 米 C.5sinα 米 D. 米4.小明想测量一棵树的高度，他发现树的影子恰好落在地面和一斜坡上．如图，此时测得地面上的影长为8米，坡面上的影长为4米．已知斜坡的坡角为30°，同一时刻，一根长为1米、垂直于地面放置的标杆在地面上的影长为2米，则树的高度为( )A. 米 B.12米 C. 米 D.10米
坡度、坡角、坡面的概念，了解坡度与坡面陡峭程度间的关系.
三角函数学习方位角坡度坡角
三⾓函数学习⽅位⾓坡度坡⾓
3.解直⾓三⾓形★★★
解直⾓三⾓形在直⾓三⾓形中，由已知元素求出所有未知元素的过程，叫做解直⾓三⾓形.
⽔平线与⽔平⾯平⾏的直线.
铅垂线与⽔平⾯垂直的直线.
视线由观测点为端点引出的，通过观测⽬标的射线.
视⾓从观测点发出的两条视线的夹⾓.
⽅位⾓以正北⽅向为始边，按顺时针⽅向旋转到观测⽬标的⽅向线的⾓.它的数值在0o与360o之间，如图，A点的⽅位⾓为30o，B点的⽅位⾓为250o.
⽅向⾓★★以正北或正南⽅向为始边，旋转到观测⽬标的⽅向线的锐⾓称为⽅向⾓（或象限⾓）.如图，⽬标⽅向线OA、OB、OC、OD的⽅向⾓分别为北偏东60o、北偏西30o、南偏
西45o、南偏东15o.
仰⾓★★在视线与⽔平线所成的⾓中，视线在⽔平线上⽅的⾓叫做仰⾓，
俯⾓★★在视线与⽔平线所成的⾓中，视线在⽔平线下⽅的⾓叫做俯⾓.
坡度★★坡⾯的铅垂⾼度h和⽔平宽度l的⽐叫做坡⾯的坡度（或坡⽐），记作i，即i=h/l.坡度通常写成的形式，如.
坡⾓★★坡⾯与⽔平⾯的夹⾓叫做坡⾓.
坡度i与坡⾓α之间的关系：i=h/l=tanα.
要点解析
1.直⾓三⾓形中的边⾓关系
①三边之间的关系：a2+b2=c2
②锐⾓之间的关系：∠A+∠B=90o.
③边⾓之间的关系：。
高中数学论文谈谈解直角三角形中的“五角”
解直角三角形中的“五角”在解直角三角形问题中，经常遇到与仰角、俯角、方位角和坡角相关的问题。
本文结合08年中考数学试题，对这类问题作了如下归纳，供同学们学习时参考。
1、仰角与直角三角形例1、如图1，山顶建有一座铁塔，塔高30m CD =，某人在点A 处测得塔底C 的仰角为20，塔顶D 的仰角为23，求此人距CD 的水平距离AB ．（08年南京市）（参考数据：sin 200.342≈，cos 200.940≈，tan 200.364≈，sin 230.391≈，cos 230.921≈，tan 230.424≈）分析：正确理解仰角的意义是问题获得解答的关键。
所谓的仰角就是视线与水平线在同向上成的夹角，仰角是一个锐角。
所以，点A 处测得塔底C 的仰角为20，就是视线AC 与水平线AB 成的夹角，即∠CAB=20°，塔顶D 的仰角为23，就是视线AD 与水平线AB 成的夹角，即∠DAB=23°；将已知的仰角对号入座到三角形中后，接下来就是选择合理的三角形和设合理的未知数， 通常是求什么设什么；完成这些工作后，就是要再选择合理的三角函数，建立等式，完成问题的解答。
解：设此人距CD 的水平距离AB 为xm ， 在直角三角形ABC 中， 因为，∠CAB=20°， 所以，︒=20tan AB CB ，即︒=20tan xCB， 所以，CB=xtan20°，在直角三角形ABD 中， 因为，∠DAB=23°， 所以，︒=23tan AB DB ，即︒=23tan xDB， 所以，DB=xtan23°，因为，CD=BD-BC ，所以，30= xtan23°- xtan20°，所以，x==︒-︒20tan 23tan 30364.0424.030-=500，因此，此人距CD 的水平距离AB 为500米。
2、俯角与直角三角形例2、汶川地震后，抢险队派一架直升飞机去A 、B 两个村庄抢险，飞机在距地面450米上空的P 点，测得A 村的俯角为30︒，B 村的俯角为60︒，如图3．求A 、B 两个村庄间的距离．（结果精确到米，参考数据1.414 1.732==）(郴州市08年)分析：正确理解俯角的意义是问题获得解答的关键。
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3x
45° 60° x D
300m
C
B
课堂小结:
1．弄清坡度、坡角、水平距离、垂直距离等概念 的意义，明确各术语与示意图中的什么元素对应， 只有明确这些概念，才能恰当地把实际问题转化 为数学问题． 2．认真分析题意、画图并找出要求的直角三角形， 或通过添加辅助线构造直角三角形来解决问题． 3．选择合适的边角关系式，使计算尽可能简单， 且不易出错． 4．按照题中的精确度进行计算，并按照题目 中要求的精确度确定答案以及注明单位．
解直角三角形的应用
方位角问题
方向角
北 58
北偏东 58° A 东
西 28 南偏西 28° B 南
例题：某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东 60°的方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45 ° 的方向上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？
北
西 东
南
A
某船自西向东航行，在A出测得某岛在北偏东60°的 方向上，前进8千米测得某岛在船北偏东45 °的方向 上，问（1）轮船行到何处离小岛距离最近？ （2）轮船要继续前进多少千米？
新概念：坡度、坡比
如图：坡面的垂直高度h和
B h α A L
水平宽度L的比叫坡度
h i ， 用字母表示为 L
（或叫坡比） 则tanα =
坡面与水平面的夹角记作α（叫坡角）
h i L
练习：
3 （1）一段坡面的坡角为60° ，
坡面长为 2 3
练习4.(2008 山东 聊城)如图，在平地上种 植树时，要求株距（相邻两树间的水平距 离）为4m．如果在坡度为0.5的山坡上种 植树，也要求株距为4m，那么相邻两树间 5 2.236 的坡面距离约为（ ） A．4.5m B．4.6m C．6m D．8m
练习5：在山脚C处测得山顶A的仰角为45°. 问题如下：（1）沿着水平地面向前300m到 达D点，在D点测得山顶A的仰角为60 °， 求山高AB.（2）沿着坡角为30 °的斜坡前 进300m到达D点，在D点测得山顶A的仰角 为60 ° ，求山高AB.
北
西 东
南
问题如图:一艘轮船由海平面上A地出发 向南偏西400的方向行驶40海里到达B地, 再由B地向北偏西200的方向行驶40海里 到达C地,则A,C两地的距离为 ____ 40海里 北
C 北 A
D
有一个角是600的三 角形是等边三角形
B
. 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离 灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到 达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮 所在的B处距离灯塔P有多远？ （精确到0.01海里）
65° P
80
A C
34°
B
例、如图，海岛A四周20海里周围内为暗礁区，一艘货轮
二、探究
由东向西航行，，航行24海里到C，在B处见岛A在北偏 西60˚.在c见岛A在北偏西30˚，货轮继续向西航行，有 无触礁的危险？
解：过点A作AD⊥BC于D,
设CD=x,则BD=X+24
在Rt△ADC中， AD ∵ tan∠DCA=-----DC ∴AD= tan600x= 3 x 在Rt△ADB中， AD √ 3 x ∵ tan30˚= ---- = -------BD X+24 X=12 AD≈12×1.732 =20.784 > 20
，
3 30 则坡度i＝_______,坡角α＝______。 3
你会算吗？
1、坡角α=45°坡比i= 2、坡比为 1: 3 ,坡角α=
1∶1 30°
3 10 10
3 3、坡比为 i=1∶ ，坡角α的余弦值为
例1 如图，铁路的路基横断面是等腰梯形，
斜坡AB的坡度为1： 3 ，坡面AB的水平 宽度为 3 米，基面AD宽2米， 求路基高AE、坡角∠B和基底BC的宽.
A
N1
N
D X
C
24海里
B
答：货轮无触礁危险。
3、前年“云娜”台风中心从我市（看成一个点A） 的正东方向300km的B岛以每时25km的速度正面袭击我 市，距台风中心250km的范围内均受台风的影响.我市遭 到了严重的影响，那么影响时间有多长？
去年“卡努” 台风中心从我市的正东方向300km处向 北偏西60度方向移动，其他数据不变，请问此时，我 市会受到台风影响吗？若受影响，则影响的时间又多 长？
2
A D
B
E
F
C
3
例2：如果你是修建三峡大坝的工程师，现在 有这样一个问题请你解决：如图， 水库大坝的横断面是 梯形，坝顶宽6m，坝 高23m，斜坡AB的坡度 i=1∶3，斜坡CD的坡 度I’=1∶2.5，求斜坡 坝底宽AD和斜坡AB的 长．
练习1：
如图，水库大坝横断面是梯形，坝顶BC宽为6m， 坝高23m，斜坡AB的坡度ί=1: ，斜边CD的 3 坡度为ί’=1:1， 求斜坡AB的长，坡角α 和坝底AD宽。
B C
i 1: 3
α A E F
i' 1 : 1
D
练习2:修建一条铁路要经过一座高山， 需在山腰B处开凿一条隧道BC。经测量， 西山坡的坡度i＝5:3，由山顶A观测到点 C的俯角为60°，AC的长为60m，如图所 示，试求隧道BC的长. A
i = 5：3
B
C
练习3:利用土埂修筑一条渠道，在埂中间挖去深为 0.6米的一块(图6-35阴影部分是挖去部分)，已知渠道 内坡度为1∶1.5，渠道底面宽BC为0.5米，求：①横断面 (等腰梯形)ABCD的面积；②修一条长为100米的渠道要挖 去的土方数．
练习：.海中有一个小岛A，它的周围8海里范围内有暗 礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在B点测得小岛A在 北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小 岛A在北偏东30°方向上，如果渔船不改变航线继续向 东航行，有没有触礁的危险？
A
B
12
D
F
1、解直角三角形的关键是找到与已知和未知相关联
的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过 作辅助线构筑直角三角形（作某边上的高是常用的辅 助线）；当问题以一个实际问题的形式给出时，要善 于读懂题意，把实际问题化归为直角三角形中的边角 关系。 2、一些解直角三角形的问题往往与其他知识联系， 所以在复习时要形成知识结构，要把解直角三角形作 为一种工具，能在解决各种数学问题时合理运用。