专题：与角平分线有关的计算

与角平分线有关的计算

1、如图1所示，在△ABC 中，∠C>∠B ，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，

求证：)(2

1B C EAD ∠-∠=∠

图1

【总结】从三角形一个顶点做高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另两个角的差的一半。

变式1：如图2所示，在△ABC 中，∠C>∠B ，AE 平分∠BAC ，点M 在AE 上，且MD ⊥BC ，求证：)(

2

1B C EMD ∠-∠=

∠

变式2：如图3所示，在△ABC 中，∠C>∠B ，AE 平分∠BAC ，点N 在AE 的延长线上，且ND ⊥BC ，求证：)(2

1B C END ∠-∠=∠

2、如图4所示，在△ABC 中，点P 是∠ABC 和∠ACB 的角平分线交点，

求证A P ∠+︒=∠2

190；

图4

【结论】三角形两个内角平分线相交所成的钝角等于90°与另一个内角一半的和。

变式1：如图5所示，在△ABC 中，点P 是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线交点，求证：A P ∠=∠2

1；

图5

【结论】三角形一个内角的平分线和它不相邻的一个外角的平分线相交所成的锐角等于另一个内角的一半。

变式2：如图6所示，在△ABC 中，点P 是外角∠CBF 和外角∠BCE 的角平分线交点，求证：A P ∠-︒=∠2

190。

图6

【结论】不相邻的两个外角平分线相交所成的锐角等于90°与另外一个内角一半的差。