专题：与角平分线有关的计算
与角平分线有关的证明、计算(含答案)
学生做题前请先回答以下问题问题1：总结角平分线的相关定理：①______________________________________________；②_____________________________________________；③在下图中成立的比例_________________．问题2：总结角平分线常见的组合搭配：①等腰三角形“三线合一”，___________重合，考虑角平分线；②平行线+角平分线出现_______________________；③___________（填“三大变换”）会出现角平分线，四边形背景下会出现角平分线+_____________，进而出现等腰结构．以下是问题及答案，请对比参考:问题1：总结角平分线的相关定理：①；②；③在下图中成立的比例．答：问题2：总结角平分线常见的组合搭配：①等腰三角形“三线合一”，重合，考虑角平分线；②平行线+角平分线出现；③（填“三大变换”）会出现角平分线，四边形背景下会出现角平分线+ ，进而出现等腰结构．答：与角平分线有关的证明、计算一、单选题(共8道，每道11分)1.如图，点A，C在直线上，点B在射线AD上，，分别是∠BAE，∠CBD的平分线．若，则∠BAE的度数为( )A.150°B.168°C.135°D.160°答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质2.如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为( )A.9B.10.5C.12D.15答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，过B作BE⊥AD于点E，过E作EF∥AC交AB于F，连接CF，则下列判断正确的是( )A.BE=BFB.BE=EFC.BF=EFD.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线4.如图，已知等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D为等腰Rt△ABC内一点，∠CAD=∠CBD=15°，E为AD延长线上的一点，且CE=CA，连接BE，若CD=2，则BE的长为( )A. B.C.6D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：等边三角形5.（用两种方法进行求解）如图，在△ABC中，若∠C=90°，，AD平分∠CAB，则sin∠CAD=______．( )（提示：从角平分线的相关思考角度出发）A. B.C. D.答案：D解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线6.（用三种方法进行求解）如图，在Rt△ABC中，AB=10，AC=6，AF平分∠BAC交BC于点F，BD⊥AF，交AF的延长线于点D，则AD的长为____________．( )（提示：从角平分线的相关思考角度出发）A.8B.6C. D.答案：C解题思路：试题难度：三颗星知识点：角平分线性质定理7.如图，把矩形ABCD沿EF翻折，点B恰好落在AD边上的点B′处．若AE=2，DE=6，∠EFB=60°，则矩形ABCD的面积是__________．( )A. B.C. D.答案：A解题思路：试题难度：三颗星知识点：折叠问题8.如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且，CE交OB于点E，过点B作BF⊥CE于点F，交AC于点G，则的值为( )A.1B.C. D.答案：B解题思路：试题难度：三颗星知识点：全等三角形的性质与判定二、填空题(共1道，每道12分)9.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD的平分线CE交AB于点E，且CE⊥AB，BE=2AE．若四边形AECD的面积为7，则梯形ABCD的面积为____．答案：15解题思路：试题难度：知识点：三线合一。
初中复习方略数学微专题六 与角平分线有关的问题
微专题六与角平分线有关的问题模型一：过角平分线上一点向角两边作垂线模型特点过角平分线上的一点向角的两个边作垂线段，得到垂线段相等模型示例解题思路及结论如图，P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM 于点A，PB⊥ON于点B，∴PB＝PA，∴Rt △AOP≌Rt △BOP.1．(2019·湖州中考)如图，已知在四边形ABCD中，∠BCD＝90°，BD平分∠ABC，AB＝6，BC＝9，CD＝4，则四边形ABCD的面积是(B)A．24 B．30 C．36 D．422．(2021·铜仁中考)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，按下列步骤作图：步骤1：以点A 为圆心，小于AC 的长为半径作弧分别交AC ，AB 于点D ，E.步骤2：分别以点D ，E 为圆心，大于12 DE 的长为半径作弧，两弧交于点M.步骤3：作射线AM 交BC 于点F.则AF 的长为(B)A ．6B ．3 5C ．4 3D ．6 2模型二：利用角平分线，构造对称图形模型特点在角的平分线的两边上截长补短，构造全等三角形模型示例解题思路及结论如图，P 是∠MON 的平分线上一点，点A 是射线OM 上任意一点，在ON 上截取OB ＝OA ，连接PB ，则△OPB ≌△OPA.1．(2021·临沂模拟)如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠C ＝2∠B ， 求证：AB ＝AC ＋CD.【证明】在AB 上取点E ，使得AE ＝AC ，连接DE ，在△AED 和△ACD 中⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AC ∠1＝∠2AD ＝AD，∴△AED ≌△ACD(SAS)，∴∠AED ＝∠C ，ED ＝CD ，∵∠C ＝2∠B ，且∠AED ＝∠B ＋∠BDE ，∴∠B ＝∠BDE ，∴BE ＝DE ，∴AB ＝AE ＋BE ＝AC ＋DE ＝AC ＋CD.2．(2021·齐齐哈尔质检)阅读下面文字并填空：数学习题课上李老师出了这样一道题：“如图1，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，∠B ＝2∠C.求证：AB ＋BD ＝AC.”李老师给出了如下简要分析：要证AB ＋BD ＝AC ，就是要证线段的和差问题，所以有两个方法：方法一：“截长法”．如图2，在AC 上截取AE ＝AB ，连接DE ，只要证BD ＝__EC__即可，这就将证明线段和差问题__转化__为证明线段相等问题，只要证出△__ABD__≌△__AED__，得出∠B ＝∠AED 及BD ＝__DE__，再证出∠__EDC__＝__∠C__，进而得出ED ＝EC ，则结论成立．此种证法的基础是“已知AD 平分∠BAC ，将△ABD 沿直线AD 对折，使点B 落在AC 边上的点E 处”成为可能．方法二：“补短法”．如图3，延长AB 至点F ，使BF ＝BD.只要证AF ＝AC 即可，此时先证∠__F__＝∠C ，再证出△__AFD__≌△__ACD__，则结论成立．“截长补短法”是我们今后证明线段或角的“和差倍分”问题常用的方法．模型三：作角平分线的垂线构造等腰三角形模型特点从角一边上的一点作角平分线的垂线，构造等腰三角形，利用“三线合一”解题模型示例解题思路及结论如图，P是∠MON的平分线上一点，A是射线OM上一点，AP⊥OP于点P，延长AP交ON于点B，Rt△AOP≌Rt△BOP，△AOB是等腰三角形1. (2021·深圳质检)如图，已知D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝9，BC＝5，则CD的长为(C)A．214 B．4C．21 D．52．(2021·武汉质检)如图，等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，∠CAB 的平分线AD交BC于点D，过B作BE⊥AD，垂足为E，求证：AD＝2BE.【证明】延长BE 和AC 相交于点M ，如图所示：∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AC ＝BC ，又∵AD 是∠CAB 的平分线，∴∠MAE ＝∠BAE ，又∵BE ⊥AD ，∴∠AEB ＝∠AEM ＝90°，在△AME 和△BAE 中⎩⎪⎨⎪⎧∠MAE ＝∠BAE AE ＝AE∠AEM ＝∠AEB ，∴△AME ≌△ABE(ASA)，∴BE ＝ME ，∴BM ＝2BE ，又∵∠ACB ＝90°，∴∠ADC ＋∠DAC ＝90°，又∵∠BDE ＋∠DBE ＝90°，∠ADC ＝∠BDE ，∴∠DAC ＝∠MBC ，在△ACD 和△BCM 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠ACD ＝∠BCM ＝90°AC ＝BC∠DAC ＝∠MBC，∴△ACD ≌△BCM(ASA)∴AD ＝BM ∴AD ＝2BE.模型四：过角平分线上一点作角一边的平行线构造等腰三角形模型特点过角平分线上的一点作角一边的平行线，从而构造等腰三角形模型示例解题思路及结论如图，点P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ∥ON，则△QOP为等腰三角形1．(2021·高邮质检)如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过点F作DE∥BC，交AB于点D，交AC于点E，若BD＝3.5，DE＝6，则线段EC的长为(D)A．3 B．4 C．2 D．2.52．(2021·广安模拟)如图，∠AOE＝∠BOE＝15°，EF∥OB，EC⊥OB于C，若EC＝1，则OF＝__2__．3．如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连接AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F.(1)若∠C＝36°，求∠BAD的度数；(2)求证：FB＝FE.【解析】(1)∵AB ＝AC ，∴∠C ＝∠ABC ，∵∠C ＝36°，∴∠ABC ＝36°，∵BD ＝CD ，AB ＝AC ，∴AD ⊥BC ，∴∠ADB ＝90°，∴∠BAD ＝90°－36°＝54°.(2)∵BE 平分∠ABC ，∴∠ABE ＝∠CBE ＝12∠ABC ， ∵EF ∥BC ，∴∠FEB ＝∠CBE ，∴∠FBE ＝∠FEB ，∴FB ＝FE.模型五：两内角平分线交角模型特点 三角形的两内角平分线相交模型示例解题思 路及结论 如图，若点P 是∠ABC 和∠ACB 平分线的交点，则∠P＝90°＋12∠A(2021·巴中模拟)如图，在△ABC 中，BO ，CO 分别平分∠ABC ，∠ACB.若∠BOC ＝110°，则∠A ＝__40°__．模型六：两外角平分线交角模型特点三角形的两外角平分线相交模型示例解题思路及结论如图，若点P是外角∠CBF和∠BCE平分线的交点，则∠P＝90°－12∠A(2021·江阴质检)如图，AD，CD是△ABC两个外角的角平分线，若∠BAC ＝60°，∠BCA＝80°，则∠B＝__40__°，∠D＝__70__°.模型七：一内角一外角平分线交角模型特点三角形的内角平分线与外角平分线相交模型示例解题思路及结论如图，若点P是∠ABC和外角∠ACE的平分线的交点，则∠P＝12∠A1．(2019·大庆中考)如图，在△ABC中，BE是∠ABC的平分线，CE是外角∠ACM的平分线，BE与CE相交于点E，若∠A＝60°，则∠BEC是(B)A.15°B．30°C．45°D．60°2．(2021·绍兴模拟)如图，点A，B分别在射线OM，ON上运动(不与点O 重合).(1)如图1，若∠MON＝90°，∠OBA，∠OAB的平分线交于点C，则∠ACB ＝__________°；(2)如图2，若∠MON＝n°，∠OBA，∠OAB的平分线交于点C，求∠ACB的度数；(3)如图2，若∠MON＝n°，△AOB的外角∠ABN与∠BAM的平分线交于点D，求∠ACB与∠ADB之间的数量关系，并求出∠ADB的度数；(4)如图3，若∠MON＝80°，BC是∠ABN的平分线，BC的反向延长线与∠OAB的平分线交于点E.试问：随着点A，B的运动，∠E的大小会变吗？如果不会，求∠E的度数；如果会，请说明理由．【解析】(1)∵∠MON＝90°，∴∠OBA＋∠OAB＝90°，∵∠OBA，∠OAB的平分线交于点C，∴∠ABC ＋∠BAC ＝12 ×90°＝45°，∴∠ACB ＝180°－45°＝135°；答案：135(2)在△AOB 中，∠OBA ＋∠OAB ＝180°－∠AOB＝180°－n°，∵∠OBA ，∠OAB 的平分线交于点C ， ∴∠ABC ＋∠BAC ＝12 (∠OBA ＋∠OAB)＝12 (180°－n°)，即∠ABC ＋∠BAC ＝90°－12 n°，∴∠ACB ＝180°－(∠ABC ＋∠BAC)＝180°－⎝ ⎛⎭⎪⎫90°－12n° ＝90°＋12 n°；(3)∵BC ，BD 分别是∠OBA 和∠NBA 的角平分线， ∴∠ABC ＝12 ∠OBA ，∠ABD ＝12 ∠NBA ，∴∠ABC ＋∠ABD ＝12 ∠OBA ＋12 ∠NBA ＝12 (∠OBA ＋∠NBA)＝90°，即∠CBD ＝90°，同理：∠CAD ＝90°，∵四边形内角和等于360°，∴∠ACB ＋∠ADB ＝360°－90°－90°＝180°， 由(2)知：∠ACB ＝90°＋12 n°，∴∠ADB ＝180°－⎝ ⎛⎭⎪⎫90°＋12n° ＝90°－12 n°，∴∠ACB ＋∠ADB ＝180°，∠ADB ＝90°－12 n°.(4)∠E 的度数不变，∠E ＝40°；理由如下：∵∠NBA ＝∠AOB ＋∠OAB ，∴∠OAB ＝∠NBA －∠AOB ，∵AE ，BC 分别是∠OAB 和∠NBA 的角平分线， ∴∠BAE ＝12 ∠OAB ，∠CBA ＝12 ∠NBA ，∵∠CBA ＝∠E ＋∠BAE ，即12 ∠NBA ＝∠E ＋12 ∠OAB ，∴12 ∠NBA ＝∠E ＋12 (∠NBA －80°)＝∠E ＋12 ∠NBA －40°，∴∠E ＝40°.。
三角形角平分线有关的定理
三角形角平分线有关的定理1.引言1.1 概述概述部分内容：在我们的日常生活和几何学中，三角形是一种常见的几何图形。
它由三条边和三个顶点组成。
而在三角形中，角平分线是一种非常重要的概念。
角平分线是指从一个顶点出发，将一个角平分为两个相等的角的直线或线段。
在本篇文章中，我们将探讨与三角形角平分线相关的一些重要定理。
这些定理涉及到角平分线的定义、性质以及在几何学中的重要应用。
首先，我们将详细介绍角平分线的定义和性质。
通过理解角平分线的定义，我们可以更好地掌握它的特点和作用。
同时，探究角平分线的性质也能够帮助我们在解决相关几何问题时提供有力的依据。
其次，我们将重点讨论角平分线在几何学中的重要应用。
通过具体的实例和问题，我们将展示角平分线在解决三角形相关问题时的作用和意义。
这些应用包括角平分线的角度关系、角平分线与三角形边长的关系等。
通过学习这些应用，我们可以更好地理解角平分线在解决实际问题中的应用及其重要性。
最后，我们将对本文进行总结，并展望未来对于三角形角平分线相关定理的深入研究。
通过对这些定理的理解和应用的进一步探索，我们有望为几何学的发展做出更多的贡献。
同时，针对目前存在的问题和难点，我们也可以提出一些新的研究方向和解决思路。
通过本文的阅读和学习，我们将更深入地了解三角形角平分线相关的定理，并能够灵活运用于实际问题的解决中。
同时，我们也将对几何学的研究有更深入的认识，为今后的学习和研究打下坚实的基础。
希望读者能够通过本文的阅读，对三角形角平分线有一个全面而深入的了解。
1.2文章结构文章结构部分是用来概述和介绍整篇文章的组织结构和内容安排。
在本文中，文章结构包括引言、正文和结论三个部分。
引言部分主要是对整篇文章进行概述，介绍了本文讨论的主题是三角形角平分线有关的定理。
文章将从定义和性质、重要应用两个方面进行论述。
此外，介绍了本文的目的是为了深入研究和了解三角形角平分线的基本原理和应用。
正文部分分为两个部分，分别是定理一和定理二。
中考数学复习考点题型专题讲解30 和角平分线有关的计算
中考数学复专题1．已知90AOB ∠=°，（1）如图1，OE 、OD 分别平（2）如图2，OE 、OD 分别平推理过程）．（3）若OE 、OD 分别平分是（在稿纸上画图分析，直接【解答】解：（1）AOB ∠=∵1452EOB AOB ∴∠=∠=°，64EOD ∠=°∵，BOD EOD EOB ∴∠=∠−∠又OD ∵平分BOC ∠， 238BOC BOD ∴∠=∠=°．（2）90AOB ∠=°∵，BOC∠数学复习考点题型专题讲解30和角平分线有关的计算分别平分AOB ∠和BOC ∠，若64EOD ∠=°，则分别平分AOC ∠和BOC ∠，若40BOC ∠=°，求EO 平分AOC ∠和BOC ∠，(0180)BOC αα∠=°<<°，则直接填空）．90OB °，OB 平分AOB ∠， 19B =°，40=°，题讲解计算BOC ∠是38°； EOD ∠的度数（写则EOD ∠的度数AOC AOB BOC ∴∠=∠+∠又OE ∵、OD 分别平分∠1652EOC AOC ∴∠=∠=°EOD EOC DOC ∴∠=∠−∠（3）分两种情况：当0°2．我们学过角的平分线的概念的两个角的射线，叫做这个角2BOC AOC ∠=∠，则OC （1）如图1，若BOC AO ∠∠（2）如图2，若AOB ∠=①求COD ∠的度数；②现以O 为中心，将COD ∠三分线时，则求n 的值．（3）如图3，若AOB ∠BOC ∠的平分线，将MON ∠程中，若射线ON 恰好是∠接写出答案即可，不必说明理【解答】解：（1）OC ∵是∴13AOC AOB ∠=∠，63AOB ∠=°∵，130=°，AOC 和BOC ∠， ，1202DOC BOC ∠=∠=°， 45C =°，90α<<时，45EOD ∠=°，当90180α°<<°时，的概念．类比给出新概念：从一个角的顶点出发，把这这个角的三分线．显然，一个角的三分线有两条，例如是AOB ∠的一条三分线．AOC >，若63AOB ∠=°，求AOC ∠的度数； 90°，若OC ，OD 是AOB ∠的两条三分线． OD 顺时针旋转n 度(360)n <得到C OD ′′∠，当OA 恰好180=°，OC 是AOB ∠的一条三分线，OM ，ON 分别ON 绕点O 以每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周AOC 的三分线，则此时MON ∠绕点O 旋转的时间是说明理由）AOB ∠的一条三分线，且BOC AOC ∠>∠135EOD ∠=°． 把这个角分成1:2例如：如图1，若恰好是C OD ′′∠的N 分别是AOC ∠与转一周，在旋转的过时间是多少秒？（直∴163213AOC ∠=×°=°；（2）①解：90AOB ∠=°∵∴1133COD AOB ∠=∠=×②现以O 为中心，将COD ∠三分线时，分两种情况：当OA 是C OD ∠′′的三分线，10AOC ∠′=°，301020DOC ∴∠=°−°=°COC AOC AOC ∴∠′=∠−∠当OA 是C OD ∠′′的三分线，20AOC ∠′=°，COC AOC AOC ∴∠′=∠−∠40n ∴=或50．（3）OC ∵是AOB ∠的一条三OM ，ON 分别是AOC ∠可得90MON ∠=°， 60AOC ∴∠=°或120°，当60AOC ∠=°时，0，OC ，OD 是AOB ∠的两条三分线，如图2①9030°=°，OD 顺时针旋转n 度(360)n <得到C OD ∠′′，当OA 恰好，且AOD AOC ′∠′>∠时，如图2②， ，601050C ′=°−°=°，，且AOD AOC ′∠′<∠时，如图2③， 602040C ′=°−°=°， 一条三分线，180AOB ∠=° 与BOC ∠的平分线，恰好是C OD ∠′′的MON ∠绕点O 旋转260°或2601026∴÷=或28010÷当120AOC ∠=°时，MON ∠2501025∴÷=或29010÷综上，MON ∠绕点O 旋转的时3．如图，已知AOB ∠内部有三（1）若90AOB ∠=°，∠（2）若AOB α∠=，求∠（3）若将条件中“OE 23COF COA ∠=∠”，且【解答】解：（1）AOB ∠=∵60COB ∴∠=°；OE ∵平分BOC ∠，OF 15FOC ∴∠=°，EOC ∠=EOF EOC FOC ∴∠=∠+∠（2）AOB α∠=∵，OE EOF EOC FOC ∴∠=∠+∠=（3）AOB α∠=∵，EOB ∠=EOF EOC FOC ∴∠=∠+∠=280°时，ON 是AOC ∠的一条三分线， 028=（秒)ON 绕点O 旋转250°或290°时，ON 是AOC ∠的一条029=（秒)转的时间是25，26，28或29秒．部有三条射线，OE 平分BOC ∠，OF 平分AOC ∠30AOC =°，求EOF ∠的度数； EOF 的度数（写出求解过程）；平分BOC ∠，OF 平分AOC ∠．平分”改为“AOB α∠=，求EOF ∠的度数（写出求解过程）90OB °，30AOC ∠=°， 平分AOC ∠， 30°， 45C =°．平分BOC ∠，OF 平分AOC ∠， 111()222C BOC AOC AOB α∠+∠=∠=． 13OB COB ∠，23COF COA ∠=∠，222()333C BOC AOC AOB α∠+∠=∠=． 的一条三分线， OC ．13EOB COB ∠=∠，）．4．如图，已知AOC ∠=（1）求AOD ∠的度数；（2）若射线OB 绕点O 以每秒速度逆时针旋转，设旋转的时（3）若AOB ∠绕点O 以每秒旋的速度逆时针旋转，设旋转的在旋转的过程中，MON ∠的度【解答】解：如图所示：（1）设5AOD x ∠=°， 35BOC AOD ∠=∠∵3535BOC x x ∴∠=°=°i又AOC AOB BOC ∠=∠+∠∵AOD AOB BOC D ∠=∠+∠AOC BOD AOD ∴∠+∠=∠又120AOC BOD ∠=∠=∵53240x x ∴+=解得：30x =° 150AOD ∴∠=°；120BOD ∠=°，35BOC AOD ∠=∠．以每秒旋转20°的速度顺时针旋转，同时射线OC 以每转的时间为t 秒(06)t <<，试求当20BOC ∠=°时的值每秒旋转5°的速度逆时针旋转，同时COD ∠绕点旋转的时间为t 秒(018)t <<，OM 平分AOC ∠，的度数是否发生改变？若不变，求出其值：若改变OC ，BOD DOC BOC ∠=∠+∠， DOC +∠， D BOC +∠，0°， 以每秒旋转15°的t 的值； O 以每秒旋转10°ON 平分BOD ∠，若改变，说明理由．（2）150AOD ∠=°∵，35BOC AOD ∠=∠，90BOC ∴∠=°，①若线段OB 、OC 重合前相差20°，则有： 20152090t t ++=，解得：2t =，②若线段OB 、OC 重合后相差20°，则有： 20159020t t +−=解得：227t =， 又06t <<∵， 2t ∴=或227t =； （3）MON ∠的度数不会发生改变，30MON ∠=°，理由如下：∵旋转t 秒后，1505AOD t ∠=°−°，1205AOC t ∠=°−°，1205BOD t ∠=°−° OM ∵、ON 分别平分AOC ∠、BOD ∠11(1205)22AOM AOC t ∴∠=∠=°−°， 11(1205)22DON BOD t ∠=∠=°−° MON AOD AOM DON ∴∠=∠−∠−∠111505(1205)(1205)22t t t =°−°−°−°−°−°30=°．5．根据阅读材料，回答问题．材料：如图所示，有公共端点()O 的两条射线组成的图形叫做角()AOB ∠．如果一条射线()OC 把一个角()AOB ∠分成两个相等的角(AOC ∠和)BOC ∠，这条射线()OC 叫做这个角的平分线．这时，12AOC BOC AOB ∠=∠=∠（或22)AOC BOC AOB ∠=∠=∠．问题：平面内一定点A OA ′．当点O 在直线MN 上运动点O 顺时针旋转60°得到射线（1）如图1，当点O 运动到使度数；（2）当点O 运动到使点在射（3）当点O 运动到某一时刻时【解答】解：（1）设AOP ∠由题意可知：A OP x ∠′=，因为OB 平分A OP ∠′，所以所以2(60)x x °−= 解得，40x =．答：AOP ∠的度数为40°． （2）①如图2，当射线OB 在A OP ∠′内部时由题意可知：A OP y ∠′=，90MOP ∠=°∵，90AOM y ∴∠=°−，在直线MN 的上方，点O 为直线MN 上一动点，作射线上运动时，始终保持90MOP ∠=°，AOP A ∠=∠射线OB ．动到使点A 在射线OP 的左侧时，若OB 平分∠A 在射线OP 的左侧，3AOM A OB ∠=∠′时，求AO ∠时刻时，150A OB ∠′=°，直接写出此时BOP ∠的度数OP 的度数为x ， 60POB x ∠=°− 所以2POB A OP ∠=∠′， 部时，设AOP ∠的度数为y ， 60POB y ∠=°−，作射线OA ，OP ，OP ′，将射线OA 绕A OP ′，求AOP ∠的AOP 的值； 的度数．3AOM A OB ∠=∠′∵，1(90)3A OB y ∴∠′=°−，A OB POB A OP ∠′+∠=∠′∵∴1(90)(60)3y y y °−+°−=解得，2707y °=； ②如图3，当射线OB 在A OP ∠′外部时由题意可知：A OP y ∠′=，90MOP ∠=°∵，90AOM y ∴∠=°−， 3AOM A OB ∠=∠′∵，1(90)3A OB y ∴∠′=°−，AOP A OP A OB ∠+∠′+∠′=∵1(90)603y y y ∴++°−=°，解得，18y =°． ③如图，P ，，部时，设AOP ∠的度数为y ， 60POB y ∠=°−， 60B °，由题意可知：60AOB ∠=设A OB x ∠′=°，则AOC ∠6044180x x x ∴+++=，解得403x =， 16043AOC x ∴∠=°=， AOP AOC COP x ∴∠=∠+∠由题意可知：60AOB ∠=设A OB x ∠′=°，则AOC ∠6044180x x x ∴−++=，解得1207x =， 48047AOC x ∴∠=°=， AOP AOC COP x ∴∠=∠+∠=答；AOP ∠的值为2707°或（3）如图4，当A OB ∠′A OA A OB AOB ∠′=∠′−∠又AOP A OP ∠=∠′∵， 45AOP ∴∠=°，°，4C A OD x =∠′=°， 430490()3P =°+°=°； °，4C A OD x =∠′=°， 1110490()7P °+°=°；18°或430()3°或1110()7°； 150=°时，由图可得： 1506090=°−°=°，6045105BOP ∴∠=°+°=°如图5，当150A OB ∠′=°时，36015060A OA ∠′=°−°−°又AOP A OP ∠=∠′∵， 75AOP ∴∠=°，6075135BOP ∴∠=°+°=°当射线OP 在MN 下面时，综上所述：BOP ∠的度数为6．我们已学习了角平分线的概（1）如图1所示，将长方形笔折痕．若54ABC ∠=°，求（2）在（1）条件下，如果又将它如图2所示，求CBE ∠的度数【解答】解：（1）ABC ∠∵54A BC ABC ∴∠′=∠=°，180A BD ABC B ∴∠′=°−∠∠；，由图可得： 150=°，；75BOP ∠=°或45°． 数为105°或135°或75°或45°．线的概念，那么你会用它们解决有关问题吗？方形笔记本活页纸片的一角折过去，使角的顶点A A BD ∠′的度数．又将它的另一个角也斜折过去，并使BD 边与BA ′重合的度数．54C =°， A BC −′落在A ′处，BC 为重合，折痕为BE ，1805454=°−°−° 72=°；（2）由（1）的结论可得1127222DBD ∴∠=∠′=×°°11110822ABD ∴∠=∠′=×1290CBE ∴∠=∠+∠=°．7．如图，已知90AOB ∠=°BOC ∠的平分线分别为（1）如图1，若射线OC （2）如图2，若射线OC （3）由（1）、（2）题结果中的条件不变，MON ∠的度数会发由．【解答】解：（1）OM ∵12MOC AOC ∴∠=∠，∠MON MOC NOC ∴∠=∠+∠1122AOC BOC =∠+∠72DBD ∠′=°， 36=，108ABD ∠′=°， 54°=°，0，以O 为顶点，OB 为一边画BOC ∠，若BOC ∠OM ，ON ．在AOB ∠的内部，求MON ∠的度数． 在AOB ∠的外部，求MON ∠的度数．果中的规律，若把“30BOC ∠=°改为BOC a a ∠=数会发生变化吗？若变化，请求MON ∠的度数；若不平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠， 12NOC BOC =∠， OC30C =°，AOC ∠与(为锐角）”，其余若不变，请说明理12AOB =∠， 90AOB ∠=°∵， 45MON ∴∠=°．（2）OM ∵平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠， 12MOC AOC ∴∠=∠，12NOC BOC ∠=∠， MON MOC NOC ∴∠=∠−∠1122AOC BOC =∠−∠ 12AOB =∠， 90AOB ∠=°∵， 45MON ∴∠=°．（3）MON ∠的度数不会变化，理由如下： 若射线OC 在AOB ∠的内部，OM ∵平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠，12MOC AOC ∴∠=∠，12NOC BOC ∠=∠， MON MOC NOC ∴∠=∠+∠1122AOC BOC =∠+∠ 12AOB =∠， 90AOB ∠=°∵， 45MON ∴∠=°．若射线OC 在AOB ∠的外部，OM ∵平分AOC ∠，ON 平分BOC ∠，12MOC AOC ∴∠=∠，12NOC BOC ∠=∠，MON MOC NOC ∴∠=∠−∠1122AOC BOC =∠−∠ 12AOB =∠， 90AOB ∠=°∵， 45MON ∴∠=°．8．如图1，120AOB ∠=°（1）若20COF ∠=°，则（2）将COE ∠绕点O 旋转至如（3）在（2）的条件下，在∠若存在，求DOFCOF∠∠的值，【解答】解：（1）COE ∠∵602040EOF ∴∠=°−°=°OF ∵平分AOE ∠， 40AOF EOF ∴∠=∠=°，80AOE ∴∠=°，BOE AOB AOE ∴∠=∠−∠=故答案为40；（2）2AOE EOF ∠=∠∵， 1202(60BOE ∴°−∠=°−∠OC，60COE ∠=°，OF 平分AOE ∠BOE ∠=40°转至如图2位置，求BOE ∠和COF ∠的数量关系BOE 内部是否存在射线OD ，使3DOF DOE ∠=∠，若不存在，请说明理由．60OE =°，20COF ∠=°， ， 1208040°−°=°，)COFOE ，且70BOD ∠=°？2BOE COF ∴∠=∠；（3）存在．理由如下： 3DOF DOE ∠=∠∵，设DOE α∠=，DOF α∠=2EOF AOF α∴∠=∠=，AO 120AOD BOD ∠+∠=°∵，570120α∴+°=°， 10α∴=°，30DOF ∴∠=°，40AOE ∠°40COF ∴∠=°， ∴34DOF COF ∠=∠．9．如图1，已知AOB ∠AOE ∠．（1）若30EOB ∠=°，则CO （2）若20COF ∠=°，则（3）若COF n ∠=°，则EO （4）当射线OE 绕点O 逆时针EOB ∠有怎样的数量关系3，5AOD α∠=， =，604020AOC ∠=°−°=°，140=°，30AOC ∠=°，OE 是AOB ∠内部的一条射线COF ∠=25°； EOB ∠=；EOB ∠=（用含n 的式子表示）． 逆时针旋转到如图2的位置时，请把图补充完整；此时关系？请说明理由．条射线，且OF 平分此时，COF ∠与【解答】解：（1）AOB ∠∵AOE AOB EOB ∴∠=∠−∠=OF ∵平分AOE ∠，1122AOF AOE ∴∠=∠=×°=COF AOF AOC ∴∠=∠−∠5530=°−°， 25=°；故答案为：25°；（2）30AOC ∠=°∵，COF ∠AOF AOC COF ∴∠=∠+∠OF ∵平分AOE ∠，22501AOE AOF ∴∠=∠=×EOB AOB AOE ∴∠=∠−∠=故答案为：40°；（3）30AOC ∠=°∵，∠AOF AOC COF ∴∠=∠+∠OF ∵平分AOE ∠，22(30AOE AOF n ∴∠=∠=EOB AOB AOE ∴∠=∠−∠故答案为：802n °−°；140OB =°，30EOB ∠=°， 14030110°−°=°，11055°，C ， 20=°， 302050F =°+°=°，0100°=°，14010040°−°=°；COF n =°， 30F n =°+°，)602n °+°=°+°，140(602)802E n n =°−°+°=°−°；（4）如图所示：EOB ∠=证明：设COF n ∠=°，则又OF ∵平分AOE ∠，260AOE AOF ∴∠=∠=°EOB AOB AOE ∴∠=∠−∠即802EOB COF ∠=°+∠．10．已知140AOB ∠=°，（1）如图1，当40EOB ∠=时°；（2）请分别求出当COF ∠要的过程）；（3）若(030)COF n n ∠=°<<【解答】解：（1）AOE A ∠∠OF ∵平分AOE ∠，1122AOF AOE ∴∠=∠=×°=COF AOF AOC ∴∠=∠−∠802COF °+∠．30AOF AOC COF n ∠=∠−∠=°−°， 2n −°．140(602)(802)E n n =°−°−°=+°30AOC ∠=°，若射线OE 绕点O 在AOB ∠内部旋转，0°时，请直接写出AOF ∠和COF ∠的度数：AOF ∠35F =°和10°时，EOB ∠的度数（利用备用图，画出，请用含n 的式子表示EOB ∠的度数（直接写出14040100AOB EOB =−∠=°−°=°． 10050°．503020C =°−°=°．，OF 平分AOE ∠．OF =50°；COF ∠=画出图形并写出简接写出结果）．故答案为：50；20°．（2）当35COF ∠=°时，如图AOF AOC COF ∠=∠+∠∵303565AOF ∴∠=°+°=°OF ∵平分AOE ∠，22651AOE AOF ∴∠=∠=×°=EOB AOB AOE ∴∠=∠−∠=如图②所示：当COF ∠=°30AOC ∠=°∵，COF ∠=°20AOF ∴∠=°．OF ∵平分角AOE ∠， 240AOE AOF ∴∠=∠=°．BOE AOB AOE ∴∠=∠−∠=如图③所示：当COF ∠=如图①所示：F ， ．5130°． 14013010−°=°．10时．10，14040100°−°=°．10°时．∠=°，30COF∵，10AOC∠=°∴∠=°．40AOF∠，∵平分角AOEOFAOE AOF∴∠=∠=°．280∴∠=∠−∠=°−°=°．BOE AOB AOE1408060∴∠的度数为100°或60°．BOE（3）如图②所示：∠=°，∵，COF n30∠=°AOC∴∠=−°．(30)AOF n∵平分角AOE∠，OF∴∠=∠=−°．AOE AOF n2(602)∴∠=∠−∠=°−−°=+°．140(602)(802)BOE AOB AOE n n如图③所示：∠=°，∵，COF n30∠=°AOC∴∠=+°．(30)AOF n∠，OF∵平分角AOEAOE AOF n∴∠=∠=+°．2(602)∴∠=∠−∠=°−+°=−°．140(602)(802)BOE AOB AOE n n综上所述，(802)+°．∠=−°或(802)nEOB n11．在数学的学习过程中，我们要不断地归纳，思考和迁移，这样才能提高我们解决问题的能力：规律发现：在学完《数轴》这节课后，小明的作业有两道小题，请你帮他把余下的两空完成：（1）点A 表示的数是2，点（2）点A 表示的数是5−，发现：点A 表示的数是a ，直接运用：将数轴按如图（1）所示从某一点B 表示的数为21x +，则数字2014对应点将与类比迁移：如图（2）：OB OX ⊥，O 旋转，射线OB 绕O 转，三线同时旋转，当一条几秒时，其中一条射线是另【解答】解：（1）∵将数轴按示的数为3x −，点B 表示的1(21)21(3x x x ∴−−+=+−26x ∴−=，解得：3x =−．故A 表示的数为：33x −=点B 表示的数为：21x +=即等边三角形ABC 边长为数字2014对应的点与4−的距离点B 表示的数是6，则线段AB 的中点C 表示的数为，点B 表示的数是7，则线段AB 的中点C 表示的数，点B 表示的数是b ，则线段AB 的中点C 表示的数从某一点开始折出一个等边三角形ABC ，设点A 表示的C 表示的数为1x −，则x 值为，若将ABC ∆从图中位ABC ∆的顶点重合． OA OC ⊥，30COX ∠=°，若射线OA 绕O 点每秒点每秒20°的速度顺时针旋转，射线OC 以每秒10当一条射线与直线OX 重合时，三条射线同时停止运线是另外两条射线夹角的平分线？数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形AB 表示的数为21x +，点C 表示的数为1x −， 3)x −； 36−−=−， 2(3)15×−+=−， 1，的距离为：201442018+=，的数为4； 示的数为； 示的数为． 表示的数为3x −，图中位置向右滚动，30°的速度顺时针0°的速度逆时针旋停止运动，问：运动ABC ，设点A表201836722÷=…∵，C 从出发到2014点滚动672周后再滚动两次， ∴数字2014对应的点将与ABC ∆的顶点B 重合．故答案为：3−，B ；（2）OB OX ⊥∵，OA OC ⊥，30COX ∠=°， 30AOB ∴∠=°，经分析知2秒时OB 与OC 重合，所以在2秒以前设运动x 秒时，OB 是OA 与OC 的角平分线，30106030x x −=−解得 1.5x =．经分析知2秒时OB 与OC 重合，2.25秒时OA 与OC 重合，所以在2秒到2.25秒间，OC 是OA 与OB 的角平分线，设运动2t 秒时，2230609040t t −=− 215/7t =3秒时OA 与OB 重合，所以在3秒以前设运动y 秒时，OA 是OB 与OC 的角平分线， 301090203030y y y y +−=+−解得 2.4y =．4秒时与OA 直线OX 重合，设3秒后4秒前运动z 秒时OB 是OA 与OC 的角平分线， 206010303020x x x x −+=−−解得 1.5x =（舍去）．故运动1.5秒，15/7秒或2.4秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线． 12．已知90AOB ∠=°，30COD ∠=°．（1）如图1，当点O 、A 、C 在同一条直线上时，BOD ∠的度数是60°； 如图2，若OB 恰好平分COD ∠，则AOC ∠的度数是；（2）当COD ∠从图1的位置开射线ON 平分BOD ∠，在旋①MON ∠的度数是；②请选择下列图3、图4、图【解答】解：（1）∵点O BOD AOB COD ∴∠=∠−∠OB ∵平分COD ∠ ∴1122COB COD ∠=∠=×AOC AOB COB ∴∠=∠−∠=（2）①60MON ∠=°②图4证明：OM ∵平分AO ∴12MOC AOC ∠=∠，∠AOD AOB COD ∠=∠+∠−∠∵AOC BOC BOD =∠+∠+∠2AOC BOD BOC ∴∠+∠+∠=∠9030120=°+°=°MON MOC COB ∴∠=∠+∠位置开始，绕点O 逆时针方向旋转180°，作射线在旋转过程中，发现MON ∠的度数保持不变． 图5、图6四种情况中的两种予以证明． 、A 、C 在同一条直线上 903060D =°−°=° 3015°=° 901575°−°=°AOC ∠，ON 平分BOD ∠ 12BON BOD =∠ D BOCOC AOB COD +∠ OB BON +∠OM 平分AOC ∠，111120222AOC BOC BOD =∠+∠+∠=×° 60=°图5证明：OM ∵平分AOC ∠，ON 平分BOD ∠ ∴12MOC AOC ∠=∠，12BON BOD ∠=∠ AOD AOB COD BOC ∠=∠+∠+∠∵ AOC BOD BOC =∠+∠−∠2AOC BOD BOC AOB COD ∴∠+∠−∠=∠+∠ 9030120=°+°=°MON MOC CON ∴∠=∠+∠ MOC BON BOC =∠+∠−∠1122AOC BOD BOC =∠+∠−∠ 11202=×° 60=°．13．已知90AOB ∠=°，BOC ∠是锐角，ON 平分BOC ∠，OM 平分AOB ∠．（1）如图1若30BOC ∠=°，求MON ∠的度数？（2）若射线OC 绕着点O 运动到AOB ∠的内部（如图2)，在（1）的条件下求MON ∠的度数；（3）若(90180)AOB αα∠=°<°…，(090)BOC ββ∠=°<<°，请用含有α，β的式子直接表示上述两种情况MON ∠的度数．【解答】解：（1）OM ∵12BOM AOB ∴∠=∠，∠90AOB ∠=°∵，BOC ∠=°190452BOM ∴∠=×°=°，MON BOM BON ∴∠=∠+∠=（2）由（1）可知，BOM ∠MON BOM BON ∴∠=∠−∠=（3）OM ∵平分AOB ∠，12BOM AOB ∴∠=∠，∠AOB α∠=∵，BOC β∠=12BOM α∴∠=，2BON ∠=如果射线OC 在AOB ∠的外部如果射线OC 在AOB ∠的内部14．已知40AOD ∠=°，射线间为t 秒(7)t …．射线OE平分AOB ∠，ON 平分BOC ∠， 12BON BOC =∠， 30，130152BON ∠=×°=°， 451560ON °+°=°；45OM =°，15BON ∠=°， 451530ON °−°=°；ON 平分BOC ∠， 12BON BOC =∠， ，1β．外部，那么11222MON BOM BON α∠=∠+∠=+=内部，那么11222MON BOM BON α∠=∠−∠=−=射线OC 从OD 出发，绕点O 以20/°秒的速度逆时针、OF 分别平分AOC ∠、AOD ∠．1()βαβ+；1()βαβ−．逆时针旋转，旋转时（1）如图①，如果4t =秒，（2）如图①，若射线OC 旋转（3）射线OC 从OD 出发时转，射线OC 、OB 在旋转过程分析后，直接写出BOFCOB∠∠的值【解答】解：（1）如图①，42080DOC ∠=×°=°AOC AOD DOC ∴∠=∠+∠∵射线OE 平分AOC ∠， ∴1602AOE AOC ∠=∠=°答：EOA ∠的度数为60°． （2）根据题意，得(20)COD t AOC ∠=°∴∠∵射线OE 、OF 分别平分∴1(4020)(2012AOE t ∠=+=20AOF ∠=°，EOF AOE AOF ∴∠=∠−∠答：EOF ∠的度数为(10t （3）∵射线OE 、OF分别平分，求EOA ∠的度数；旋转时间为t 秒，求EOF ∠的度数（用含t 的代数式发时，射线OB 也同时从OA 出发，绕点O 以10/°秒的转过程中(7)t …，若12BOD EOB ∠=∠，请你借助图的值．，根据题意，得 4080120C =°+°=°，， (4020)t =+° AOC ∠、AOD ∠， 2010)t +°， (10)F t =°，)°．AOC ∠、AOD ∠，代数式表示）；秒的速度逆时针旋助图②和备用图进行根据题意，得EOB AOE AOB ∠=∠−∠102AOC A B =∠−∠ 201010t t =+− 20=°1102BOD EOB ∴∠=∠=°，①如图②：当OB 落在OF 401010t −=，解得3t =． ②如图3:当OB 落在OD 和OE 之间时104010t −=解得5t =． ∵BOF AOB AOF COB AOC AOB ∠∠−∠=∠∠−∠1020402010t t t −=+−24t t−=+ 当3t =时，BOF COB ∠∠的值为7当5t =时，BOF COB ∠∠的值为13答：BOF COB ∠∠的值为17或13和OD 之间时，4010BOD t ∠=−， 间时，1040BOD t ∠=−， FOB 1，．．15．已知如图1，OE 平分（1）如果70AOB ∠=°，BO （2）如果AOB α∠=，（3）通过（1）、（2）的计算（4）拓展：如图2，已知点E 是AC 的中点并说明理由．【解答】解（1）OE ∵12EOC AOC ∴∠=∠， OF ∵平分BOC ∠，12COF BOC ∴∠=∠， EOF EOC COF ∠=∠−∠∵1122EOF AOC BOC ∴∠=∠−∠（2）OE ∵平分AOC ∠， 12EOC AOC ∴∠=∠， OF ∵平分BOC ∠，12COF BOC ∴∠=∠，AOC ∠，OF 平分BOC ∠．30BOC ∠=°，那么EOF ∠是多少度？ BOC β∠=，那么EOF ∠是多少度？ 计算，你发现了什么？ 的中点，点D 是BC 的中点，试判断线段DE 与线段平分AOC ∠， F ，111()7035222AOC BOC AOB =∠−∠=∠=×°=°AB 的数量关系，；EOF EOC COF ∠=∠−∠∵1122EOF AOC BOC ∴∠=∠−∠（3）通过第（1）、（2）的计算（4）拓展：12DE AB =，理由∵点E 是AC 的中点， 12EC AC ∴=， ∵点D 是BC 的中点， 12DC BC ∴=， 12DE EC DC AC BC ∴=−=16．【问题提出】已知∠求BOC ∠的度数．【问题思考】聪明的小明用分（1）当射线OC 在AOB ∠的内度数，解答过COD BOD ∴∠=∠−∠2AOD COD α∴∠=∠=F ，1111()2222AOC BOC AOB αα=∠−∠=∠=×=的计算，发现12EOF AOB ∠=∠； 理由如下： 1122AB −=．70AOB =°，12AOD AOC ∠=∠，3BOD BOC ∠=∠明用分类讨论的方法解决．的内部时，①若射线OD 在AOC ∠内部，如图1，程如下：设BOC α∠=，BOD ∴∠2BOC α=，12AOD AOC ∴∠=∠， ，23570AOB AOD BOD ααα∴∠=∠+∠=+==； (45)OC BOC ∠<°，，可求BOC ∠的33BOC α=∠=，0°，14α∴=°，14BOC ∴∠=°问：当射线OC 在AOB ∠的内部的度数；【问题延伸】（2）当射线【问题解决】综上所述：【解答】解：（1）②如下图设BOC α∠=，则BOD ∠=12AOD AOC ∠=∠∵， 1233AOD COD α∴∠=∠=AOB BOD AOD ∴∠=∠−∠30α∴=°． 30BOC ∴∠=°；（2）当射线OC 在AOB ∠外部45BOC ∠<°∵，1AOD A∠∴射线OD 的位置也只有两种可①若射线OD 在AOB ∠内部，的内部时，②若射线OD 在AOB ∠外部，如图2，OC 在AOB ∠的外部时，请你画出图形，并求∠BOC ∠的度数分别是14°，30°，10°或42°．下图2所示，3α，2COD BOD BOC α∠=∠−∠=， ，2737033ααα=−==°， 外部时，根据题意，此时射线OC 靠近射线OB 2AOC =∠， 两种可能； ，如图3所示，，请你求出BOC ∠BOC 的度数． ，COD BOC BOD ∠=∠+∠∵AOB BOD AOD ∴∠=∠+∠=10α∴=°， 10BOC ∴∠=°；②若射线OD 在AOB ∠外部，COD BOC BOD ∠=∠+∠∵1433AOD COD α∴∠=∠=AOB BOD AOD ∴∠=∠−∠=42α∴=°， 42BOC ∴∠=°；由上可得，BOC ∠的度数分别故答案为：14°，30°，1017．如图1，将一副三角的两4D α=，34770ααα+==°， ，如图4所示，4D α=，12AOD AOC ∠=∠， ，4537033ααα−==°，数分别是14°，30°，10°，42°． 0°或42°．板的两个锐角顶点放到一块，45AOB ∠=°，∠30COD =°，OM ，ON 分别是AOC ∠，BOD ∠（1）当COD ∠绕着点O 逆时针37.5°；（2）如图3，在（1）的条件下，的大小，写出解答过程；（3）在COD ∠绕点O 逆时针旋【解答】解：（1）AOB ∠=∵平分线， 1152BON COD ∴∠=∠=°37.5MON ∴∠=°．故答案为：37.5°；（2）当绕着点O 逆时针旋转1202BON BOD ∴∠=∠=°37.5MON ∴∠=°；（3）AOC AOB BO ∠=∠+∵OM ∵，ON 分别是AOC ∠11(22MOC AOC ∴∠=∠=∠1(2MON AOB BOC ∴∠=∠+∠+，111()222αβαβ+=+；OD 的角平分线．逆时针旋转至射线OB 与OC 重合时（如图2)，则，继续绕着点O 逆时针旋转COD ∠，当BOC ∠时针旋转过程中，MON ∠=°．45OB °，30COD ∠=°，OM ，ON 分别是∠，122.52MOB AOB ∠=∠=°， 旋转COD ∠，10BOC ∠=°时，55AOC ∠=°，，127.52MOB AOC ∠=∠=°， BOC ∠，BOD COD BOC ∠=∠+∠，C ，BOD ∠的角平分线，45AOB ∠=°，COD ∠)AOB BOC +∠，12CON BOD BOC ∠=∠−∠，1111)()222BOD BOC AOB BOD BOC AO ∠−∠=∠+∠−∠= MON ∠的大小为10=°时，求MON ∠AOC ，BOD ∠的角40BOD ∠=°， 30=°，137.522AOB COD ∠+∠=°当COD ∠在OA 、OB 的同理，142.5MON ∠=°，综上所述：37.5MON ∠=故答案是：37.5或142.5．18．一副三角尺（分别含45边PD 与量角器0°刻度线重合将三角尺ABP 绕量角器停止运动，设三角尺ABP 的运（1）当3t =时，边PB 过的（2）如图2，若在三角尺AB 时针旋转，当三角尺ABP 停止①用含t 的代数式表示：②从三角尺ABP 与三角尺PC 叠结束止，经过的时间t 为秒【解答】解：（1）当t =秒时边BP 旋转的角度为：153反向延长线形成的角的内部时， 5°或142.5°， °，45°，90°和30°，60°，90)°按如图1所示线重合，边AP 与量角器180°刻度线重合(APB ∠=中心点P 以每秒15°的速度顺时针旋转，当边PB 与的运动时间为t ． 经过的量角器刻度线对应的度数是90度；ABP 开始旋转的同时，三角尺PCD 也绕点P 停止旋转时，三角尺PCD 也停止旋转，MPN ∠NPD ∠=；MPB ∠=；当t 为何值时，BPC ∠=PCD 第一对直角边和斜边重叠开始起到另一对直为秒．3秒时，由旋转可知： 45°×=°，示摆放在量角器上，45,30)DPC °∠=°，0°刻度线重合时以每秒5°的速度逆180=°． 5°？对直角边和斜边重∴边PB 经过的量角器刻度线对应的度数为：180(45315)90°−°+×°=°，故答案为：90°；（2）①∵三角尺PCD 也绕点P 以每秒5°的速度逆时针旋转， (5)NPD t ∴∠=°， 45APB ∠=°∵，(15)45(1545)MPB MPA APB t t ∴∠=∠+∠=°+°=+°，故答案为：(5)t °，(1545)t +°，在三角尺ABP 和三角尺PCD 旋转前，1804530105BPC ∠=°−°−°=°， 现在5BPC ∠=°，分两种情况： PB 与PC 相遇前，则： 1551055t t +=−，解得：5t =，PB 与PC 相遇后，则： 1551055t t +=+，解得： 5.5t =，∴当t 为秒5或5.5秒时，5BPC ∠=°；②45APB ∠=°∵，30CPD ∠=°，∴当PB 与PC 重合时，453075APD ∠=°+°=°，当PA 与PD 重合时，即PA 与PD 共旋转了75°， 15575t t ∴+=，154t ∴=， 故答案为：154． 19．如图1，对于线段AB 和A OB ∠′′，点C 是线段AB 上的任意一点，射线OC ′在A OB ∠′′内部，如果AC A OC AB A OB ∠′′=∠′′，则称线段AC 是A OC ∠′′的伴随线段，A OC ∠′′是线段AC 的伴随角．例如：10AB =，∠（1）当8AB =，A OB ∠′′（2）如图2，对于线段点，E ，F 分别是线段AC AF 的伴随角，则在点C 会发生变化？如果会，请说明（3）如图3，已知AOC ∠是任接MN ，AOC ∠的平分线AOD ∠的伴随线段，点P 量加以说明；如果不能，请说100A OB ′′=°，若3AC =，则线段AC 的伴随角OC ′130=°时，若65A OC ∠′′=，试求A OC ∠′′的伴随线段AB 和A OB ∠′′，6AB =，120A OB ∠′′=°．若点C 是线，BC 的中点，A OE ∠′′，A OC ∠′′，A OF ∠′′分别是线段从A 运动到B 的过程中（不与A ，B 重合），O 请说明理由；如果不会，请求出E OF ∠′′的大小． C 是任意锐角，点M ，N 分别是射线OA ，OC 上的OD 与线段MN 相交于点Q ．对于线段MN 和∠和点Q 能否重合？如果能，请举例并用数学工具作请说明理由．30A ∠′=°． 随线段AC 的长． 是线段AB 上任一是线段AE ，AC ，E OF ∠′′的大小是否上的任意一点，连AOC ，线段MP 是工具作图，再通过测【解答】解：（1）由伴随角和∴65181302AC °==°， 4AC ∴=．（2）不会，60E OF ∠′′=．∵点E ，F 分别是线段12EC AC ∴=，12CF BC =132EF AB ∴==． A OE ∠′′∵，A OC ∠′′，A ∠∴AE A OE AB A OB ∠′′=∠′′，ACO AB O =∠EF AF AE =−∵， ∴EF AF AE A AB AB AB A ∠′=−=∠′120A OB ∠′′=°∵， 60E OF ∴∠′′=°．（3）能，理由如下： OD ∵是AOC ∠的平分线，12AOD AOC ∴∠=∠， ∵线段MP 是AOD ∠的伴随线段随角和伴随线段的定义可知，AC A OC AB A OB ∠′′=∠′′， °．理由如下： AC ，BC 的中点， C ， OF ′′分别是线段AE ，AC ，AF 的伴随角， A OC A OB ∠′′′′，AF A OF AB A OB ∠′′=∠′′， 12OF A OE E OF OB A OB A OB ′∠′′∠′′−==′∠′′∠′′，随线段，∴12MP AOD MN AOC ∠==∠．即点P 若点P 和点Q 重合，则点根据题意画出图形如下所示测量得出当点P 和点Q 重合时20．已知AOB ∠和COD ∠是直（1）如图1，当射线OB 理由．（2）如图2，当射线14BOE BOC ∠=∠，DOF ∠=（3）在（2）的条件下，在平求出GOF ∠的度数；若不存在【解答】（1）AOD ∠+∠证明：AOB ∠∵和COD ∠是直90AOB COD ∴∠=∠=°，是MN 的中点． Q 为MN 的中点． 所示：重合时， 1.25NP MQ cm ==． 是直角．在COD ∠的内部时，请探究AOD ∠和BOC ∠之间的OA ，OB 都在COD ∠的外部时，过点O 作射线34OF AOD ∠，求EOF ∠的度数． 在平面内是否存在射线OG ，使得:GOF GOE ∠∠不存在，请说明理由．180BOC =°． 是直角，之间的关系，并说明OE ，OF ，满足3:7OE =若存在，BOD BOC COD ∠+∠=∠∵， 90BOD BOC ∴∠=°−∠，同理：90AOC BOC ∠=°−∠，9090180AOD AOB BOD BOC BOC ∴∠=∠+∠=°+°−∠=°−∠， 180AOD BOC ∴∠+∠=°；（2）解：设BOE a ∠=，则4BOC a ∠=， BOE EOC BOC ∠+∠=∠∵， 3EOC BOC BOE a ∴∠=∠−∠=，360AOD COD BOC AOB ∠+∠+∠+∠=°∵， 360AOD COD BOC AOB ∴∠=°−∠−∠−∠ 36090490a =°−°−−° 1804a =°−，34DOF AOD ∠=∠∵，3(1804)13534DOF a a ∴∠=°−=°−， 11(1804)4544AOF AOD a a ∴∠=∠=°−=°−， 9045135EOF BOE AOB AOF a a ∴∠=∠+∠+∠=+°+°−=°， EOF ∠的度数为135°；（3）①当射线OG 在EOF ∠内部时， :3:7GOF GOE ∴∠∠=，333()13540.5371010GOF GOF GOE EOF ∴∠=∠+∠=∠=×°=°+； ②当射线OG 在EOF ∠外部时， :3:7GOF GOE ∠∠=∵，3()37GOF GOE GOF ∴∠=∠+∠+310EOF =∠ 3()10DOF COD EOC =∠+∠+∠ 310=(1353903)a a °−+°+ 67.5=°．③当OG 在EOF ∠外部且在直线OE 上方的时候求得的GOE ∠超过180度，不合题意舍去． 综上所述，GOF ∠的度数是40.5°或67.5°．。
专题05 解三角形之三角形的角平分线和中线问题(典型例题+跟踪训练)
【解答题抢分专题】备战2023年高考数学解答题典型例题+跟踪训练（新高考通用）专题05解三角形之三角形中线和角平分线问题目录一览一、梳理必备知识二、基础知识过关三、典型例题讲解四、解题技巧实战五、跟踪训练达标1.正弦定理R CcB b A a 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径）2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===（边化角）sin ,sin ,sin ;222a b cA B C R R R⇔===（角化边）2.余弦定理：222222222cos 2cos 2cos .2b c a A bc a c b B ac a b cC ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩⇒2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩3.三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆=12++为三角形ABC 的内切圆半径4.三角形内角和定理：在△ABC 中，有()A B C C A B ππ++=⇔=-+222C A Bπ+⇔=-222()C A B π⇔=-+.一、梳理必备知识5.三角形中线问题如图在ABC ∆中，D 为CB 的中点，2AD AC AB =+，然后再两边平方，转化成数量关系求解！（常用）6.角平分线如图，在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，角A ,B ,C 所对的边分别为a ，b ，c①等面积法ABC ABD ADC S S S ∆∆∆=+⇒111sin sin sin 22222A AAB AC A AB AD AC AD ⨯⨯=⨯⨯+⨯⨯（常用）②内角平分线定理：AB AC BD DC =或AB BDAC DC=③边与面积的比值：ABDADCS AB AC S = 【常用结论】①在ABC ∆中，sin sin ;a b A B A B >⇔>⇔>②sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或③在三角函数．．．．中，sin sin A B A B >⇔>不成立。
与角平分线有关的基本模型
在△DFC 和△DEB 中，∠FCD＝∠EBD， DF＝DE，
∴△DFC≌△DEB(AAS)．∴DD 中，∠B＝45°，∠C＝135°，DB＝DC ＝a，则 AB－AC＝ 2a (用含 a 的代数式表示)．
图3
如图，在△ABC 中，∠ABC，∠ACB 的平分线 BE，CF 相交于点 G，
则∠BGC 与∠A 之间的关系为： ∠BGC＝90°＋12∠A
．
解题通法：三角形两内角的平分线的夹角等于90°与第三个内角的一 半的和．
模型 2 一个内角和一个外角平分线的夹角 如图，在△ABC 中，BP 平分∠ABC，CP 平分∠ACB 的外角，BP 与 CP 相交于点 P，则∠P 与∠A 之间的关系为： ∠P＝12∠A．
一三角形中角平分线的夹角问题模型1两内角平分线的夹角如图在abc中abcacb的平分线becf相交于点g则bgc模型2一个内角和一个外角平分线的夹角如图在abc中bp平分abccp平分acb的外角bpcp相交于点p则p解题通法
与角平分线有关的基本模型
一、三角形中角平分线的夹角问题
模型 1 两内角平分线的夹角
11．如图，在△ABC 中，∠ACB＝2∠B，∠1＝∠2，求证：AB＝AC ＋CD.
证明：延长 AC 至点 E，使 AE＝AB，连接 DE. ∵AB＝AE，∠1＝∠2，AD＝AD， ∴△ABD≌△AED(SAS)．∴∠B＝∠E. ∵∠ACD＝∠E＋∠CDE，∠ACD＝2∠B， ∴∠ACD＝2∠E.∴∠E＝∠CDE. ∴CD＝CE.∴AB＝AE＝AC＋CE＝AC＋CD.
解题通法：遇到角平分线及平行线，除了可以得到角度的关系，还可 以得到一个等腰三角形．
5．(2019·陕西)如图，OC 是∠AOB 的平分线，l∥OB.若∠1＝52°，则
八上专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型
类比归纳专题：与三角形的高、角平分线有关的计算模型模型1：求同一顶点的角平分线与高线的夹角的度数1．如图，AD，AE分别是△ABC的高和角平分线．(1)已知∠B＝40°，∠C＝60°，求∠DAE 的度数；(2)设∠B＝α，∠C＝β(α＜β)，请用含α，β的代数式表示∠DAE，并证明．模型2：求两内角平分线的夹角的度数2．如图，△ABC中，∠ABC和∠ACB 的平分线交于点O.若∠BOC＝120°，则∠A ＝_____.3．如图，△ABC中，点P是∠ABC，∠ACB的平分线的交点．(1)若∠A＝80°，求∠BPC的度数．(2)有位同学在解答(1)后得出∠BPC＝90°＋12∠A的规律，你认为正确吗？请给出理由．模型3：求一内角平分线与一外角平分线的夹角的度数4．如图，在△ABC中，BA1平分∠ABC，CA1平分∠ACD，BA1，CA1相交于点A1.(1)求证：∠A1＝12∠A；(2)如图，继续作∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；作∠A2BC和∠A2CD 的平分线交于点A3，得∠A3……依此得到∠A2017，若∠A＝α，则∠A2017＝_____________.模型4：求两外角平分线的夹角的度数【方法5】5．(1)如图，BO平分△ABC的外角∠CBD，CO平分△ABC的外角∠BCE，则∠BOC与∠A的关系为____________；(2)请就(1)中的结论进行证明．参考答案与解析1．解：(1)∵∠B ＝40°，∠C ＝60°，∴∠BAC ＝180°－∠B －∠C ＝180°－40°－60°＝80°.∵AE 是角平分线，∴∠BAE ＝12∠BAC ＝12×80°＝40°.∵AD 是高，∴∠BAD＝90°－∠B ＝90°－40°＝50°，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝50°－40°＝10°.(2)∠DAE ＝12(β－α)，证明如下：∵∠B＝α，∠C ＝β(α＜β)，∴∠BAC ＝180°－(α＋β)．∵AE 是角平分线，∴∠BAE ＝12∠BAC＝90°－12(α＋β)．∵AD 是高，∴∠BAD ＝90°－∠B ＝90°－α，∴∠DAE ＝∠BAD －∠BAE ＝90°－α－⎣⎡⎦⎤90°－12（α＋β）＝12(β－α)． 2．60°3．解：(1)∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12(180°－∠A )＝12×(180°－80°)＝50°，∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－50°＝130°.(2)正确，理由如下：∵BP ，CP 为角平分线，∴∠PBC ＋∠PCB ＝12(∠ABC ＋∠ACB )＝12(180°－∠A )＝90°－12∠A ，∴∠BPC ＝180°－(∠PBC ＋∠PCB )＝180°－⎝⎛⎭⎫90°－12∠A ＝90°＋12∠A . 4．(1)证明：∵CA 1平分∠ACD ，∴∠A 1CD ＝12∠ACD ＝12(∠A ＋∠ABC )．又∵∠A 1CD ＝∠A 1＋∠A 1BC ，∴∠A 1＋∠A 1BC ＝12(∠A ＋∠ABC )．∵BA 1平分∠ABC ，∴∠A 1BC ＝12∠ABC ，∴12∠ABC ＋∠A 1＝12(∠A ＋∠ABC )，∴∠A 1＝12∠A .(2)α22017 5．(1)∠BOC ＝90°－12∠A(2)证明：如图，∵BO ，CO 分别是△ABC的外角∠DBC ，∠ECB 的平分线，∴∠DBC ＝2∠1＝∠ACB ＋∠A ，∠ECB ＝2∠2＝∠ABC ＋∠A ，∴2∠1＋2∠2＝2∠A ＋∠ABC ＋∠ACB ＝∠A ＋180°，∴∠1＋∠2＝12∠A ＋90°.又∵∠1＋∠2＋∠BOC ＝180°，∴∠BOC ＝180°－(∠1＋∠2)＝90°－12∠A .。
专题04 三角形的角平分线及其规律
专题04三角形的角平分线及其规律【专题解读】无论是中考，或者是竞赛中，常常有与三角形的角平分线（包括内、外角的平分线）相关的问题.这类题目形式多样，变化方向非常广泛。
如果我们能够善于对这类有关三角形的角平分线的基本图形进行归类，并对角平分线的性质和结论做好总结，那么必将对我们的学习产生很大的帮助，也将更有利于我们有效地找寻到解决有关的较难几何证明题的思路与方法.思维索引例1.（1）如图（1），在△ABC中，AD、AE分别是△ABC的高和角平分线，已知：∠B=30°，∠C=50°，求∠DAE的度数；（2）如图（2），∠BAC的角平分线AF交BC于点E，过点F作FD⊥BC于点D，若∠C-∠B=30°，求∠F的度数.EDAEDA BBF图（1）图（2）例2.已知：∠MON=40°，OE平分∠MON，点A、B、C分别是射线OM、OE、ON上的动点（A、B、C不与点O重合），连接AC交射线OE于点D.设OAC x∠=︒图1 图2（1）如图1，若AB/∥ON，则①∠ABO的度数是____________②当∠BAD=∠ABD时，x=__________；当∠BAD=∠BDA时，x=____________（2）如图2，若AB⊥OM，则是否存在这样的x的值，使得△ADB中有两个相等的角？若存在，求出x的值；若不存在，说明理由.例3.已知：△ABC 中，记,BAC ACB αβ∠=∠=.（1）如图1，若AF 平分∠BAC ，BF 、CF 分别平分△ABC 的外角∠CBD 和∠BCE ，BG ⊥AF 于点G . ①用α的代数式表示∠BFC 的度数；②用β的代数式表示∠FBG 的度数；（2）如图2，若点F 为△ABC 的三条内角平分线的交点，且BG ⊥AF 于点G . ①请补全图形；②猜想（1）中的两个结论是否发生变化？如果不变，请说明理由；如果变化，请直接写出正确的结论.EB图1 图2素养提升1.△ABC 中，∠ABC 和∠ACB 的角平分线相交于点D ，连接AD ，若∠BDC =130°，则∠BAD 为（ ） A.65° B.60° C.40° D.35°2.如图，在△ABC 中，∠B=42°，△ABC 的外角∠EAC 和∠FCA 的平分线交于点D ，则∠ADC 为（ ） A.75° B.69° C.63° D.45°3.如图，∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点F 、D ，若∠BEC=132°，∠BGC=118°，则∠A 为（ ） A.65° B.66° C.70°D.78°BBEB第1题图 第2题图 第3题图4.如图，在△ABC 中，∠A=52°，∠ABC 与∠ACB 的角平分线交于1D ，∠AB 1D 与∠AC 1D 的角平分线于点2D ，依次类推，∠AB 5D 与∠AC 5D 的角平分线交于点6D ，则∠B 6D C 的度数是（ ） A.56° B.60° C.68° D.54°5．如图，∠ABC =∠ACB ，AD 、BD 、CD 分别平分△ABC 的外角∠EAC 、内角∠ABC 、外角∠ACF .以下结论：①AD //BC ；②∠ACB=2∠ADB ；③90ADC ABD ∠=︒-∠；④BD 平分∠ADC ；⑤∠BDC =12∠BAC .其中正确的结论有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个BBB第4题图 第5题图 第6题图6．△ABC 的外角平分线CD 与∠ABC 平分线BD 交于点D ，若∠BDC =40°，则∠CAD =________． 7．如图，在△ABC 中，∠A =m °，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点1A ，∠1A BC 的平分线与1ACD ∠的平分线交于点21,,n A A BC -∠的平分线与1n A CD -∠的平分线交于点n A ，则n A ∠=__________°.（用含m 的代数式表示） 8.如图，在四边形ABCD 中，∠ABC 的角平分线与∠DCB 的外角平分线相交于点F ，且∠A +∠D=210°，则∠F =_____________°.9.如图，若AB //CD ，BF 平分∠ABE ，CF 平分∠DCE ，∠BEC=86°，则∠BFC =__________°.2BB第7题图 第8题图 第9题图10.如图，在△ABC 中，∠A=60°，HI 、FI 分别平分∠ABC 、∠ACB ，BD 、CD 分别平分∠HBC 、∠BCF ，BE 、CE 分别平分∠DBC 、∠DCG ，则∠E =_________°.11.（1）如图甲，在凹四边形ABCD 中，∠ABD 与∠ACD 的角平分线交于点E ，∠A=60°，∠BDC=140°，则∠E =__________°（2）如图乙，∠ABD ，∠BAC 的角平分线交于点E ，∠C=40°，∠BDC=140°，求∠AEB 的度数； （3）如图丙，∠ABD ，∠ACD 的10等分线相交于点1F 、2F 、…、9F ，若∠BDC =120°，∠B 3F C =64°，则∠A 的度数为___________.B图甲 图乙 图丙12.如图，已知点A 、B 分别在∠ECF 的两边上（不与点C 重合），AD 、BD 平分∠EAB 和∠ABF 相交于点D .（1）如图1，若∠ECF =90，试猜想∠ADB =________________°； （2）在（1）的基础上，若∠ECF 每秒钟变小10°，经过了1秒（09t <<）， ①试用含t 的代数式表示∠ADB 的度数；②并求出当t 取何值时，∠ECF 与∠ADB 的度数相等；（3）如图3，在（2）的条件下，若BG 平分∠ABC ，其它条件不改变，是否存在t ，使得23BGD ADB ∠=∠，若存在直接写出t 的值，若不存在，请说明理由.CA图（1） 图（2）13．（1）如图1，BD 、BC 分别平分∠ABC 、∠ACB ，∠A ＝70°，则∠BDC ＝ ．（2）如图2，将△ABC 沿BC 向右平移后可得△FCE ，BD 、DE 分别平分∠ABC 、∠FE C ．∠A ＝n °，求∠BDE 的度数；（3）如图3，将△ABC 绕点C 旋转180°得△EFC ，DA 平分∠BAC ，DB 平分∠ABC ，GF 平分∠CFE 、GE 平分∠CEF 的外角，试探究∠ADB 与∠FGE 有何确定的数量关系，并说明理由．BCD A BCDEFAAH GFEDCB图1 图2 图314．直线EF 与直线MN 垂直相交于O ，点A 在直线EF 上运动，点B 在直线MN 上运动．（1）如图1，已知AG 、BG 分别是∠BAO 和∠ABO 角的平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠AGB 的大小是否会发生变化?若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求出∠AGB 的大小；（2）如图2，已知AB 不平行CD ，AD 、BC 分别是∠EAB 和∠ABM 的角平分线，又DG 、CG 分别是∠ADC 和∠BCD 的角平分线，点A 、B 在运动的过程中，∠CGD 的大小是否会发生变化?若发生变化，请说明理由；若不发生变化，试求出其值；（3）如图3，延长AB ，已知∠BAO 和它的外角平分线分别与∠AON 的角平分线及其延长线相交于G 、C ，在△BCG 中，如果有一个角是另一个角的4倍，试求∠BAO 的度数．AOMGF E BNAONM GFED CB A ONMG FECB图1 图2 图3专题04三角形的角平分线及其规律【思维索引】例1．(1)∠DAE ＝10° (2)∠F ＝15°例2．(1)①∠ABO ＝20° ②120；60 (2)20；35；50；125例3．(1)①∠BFC ＝90°－12α； ②．∠FBG ＝90°－12β (2)①∠BFC ＝90°＋12α； ②∠FBG ＝12β．【素养提升】1．C ； 2．B ； 3．C ； 4．D ； 5．C ； 6．50°； 7．2nm； 8．15°； 9．43°； 10．30°； 11．(1)100°； (2)130°； (3)40°；12．(1)45°； (2)①45°＋5t ； ②t ＝3秒； (3)t ＝1.8． 13．(1)125°； (2) 90°＋12n ； (3)∠ADB ＝90°＋∠FGE ．14．(1)45°； (2)67.5°； (3)45°或36°．。
人教版九年级 中考数学阶段复习巩固与提升集训《角平分线的相关计算》专题练
人教版2021年中考数数学阶段复习巩固与提升集训《角平分线的相关计算》专题练方法点拨：利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。
过关练习：1. 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,以顶点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交MN的长为半径画弧,两弧交于点AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于12P,作射线AP交边BC于点D,若CD=4,AB=15,则△ABD的面积是( )A.15B.30C.45D.602. 如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB于点E,若△DEB的周长为10cm,则斜边AB的长为( )A.8cmB.10cmC.12cmD.20cm3. 如图,OP为∠AOB的角平分线,PC⊥OA,PD⊥OB,垂足分别是C,D,则下列结论错误的是( )A.PC=PDB.∠CPD=∠DOPC ∠CPO=∠DPO D.OC=OD4.5. 如图,AE,OB,OC分别平分∠BAC,∠ABC,∠ACB,OD⊥BC,则∠1和∠2的关系是（）.A.∠1＞∠2B. ∠1=∠2C. ∠1＜∠2D.无法确定6. 如图,∠AOB=30°,OP平分∠AOB,PC⊥OB于点C,若OC=2,则PC的长是________.7. 已知:如图,AD是△ABC的角平分线,且AB∶AC=√3∶√2,则△ABD与△ACD的面积之比为 .8. 如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，BC=6，BD=4，那么点D到直线AB的距离是；9. 如图,AD∥BC,∠D=90°.如果P是DC的中点,BP平分∠ABC,∠CPB=35°,则∠PAD的度数为 .10. 如图，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC的平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP= 。
角平分线专题训练
1八年级角平分线专题1、如图，BD 是四边形ABCD 中∠ABC 的平分线，∠A ＋∠C ＝180°，求证：DA ＝CD2、如图，在四边形ABCD 中，BD 是∠ABC 的角平分线，若CD ＝AD ，过D 点作DE ⊥AB ，求证：AB ＋BC ＝2BE3、如图在△ABC 中，AB ＞AC ，点O 是∠A 的平分线上一点，过O 点作OE ⊥AB 于E ，作OF ⊥AC 交AC 的延长线于F ，且BE ＝CF ，若AB ＝12，AC ＝5，求BE 长。
4、如图，在△ABC 中，P 、Q 分别是BC 、AC 上的点，PR ⊥AB 于R ，PS ⊥AC 于S ，若AQ ＝PQ ，RP ＝PS ，你能得到哪些结论？并证明。
5、如图，已知BF 是∠DBC 的平分线，CF 是∠ECB 的平分线，求证：点F 在∠BAC 的平分线上。
6、如图，已知OD 平分∠AOB ，在OA 、OB 边上取OA ＝OB ，点P 在OD 上，且PM ⊥BD ，PN ⊥AD ，求证：PM ＝PNA BC DA BC D E A C B E F AC B PRS Q A B C F E D AO BDP MN27、如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC ，DE ⊥AB 于E ，F 在AC 上，且BD ＝DF ，求证：CF ＝EB8、如图在四边形ABCD 中，AC 平分∠BAD ，∠ADC ＋∠ABC ＝180度，CE ⊥AD 于E ，猜想AD 、AE 、AB 之间的数量关系，并证明你的猜想，9、如图，已知△ABC 中，CE 平分∠ACB ，且AE ⊥CE ，∠AED ＋∠CAE ＝180度，求证：DE ∥BC10、如图，已知△ABC 中，∠BAC ＝90度，AD ⊥BC ，EF ⊥BC ，FM ⊥AC ，∠ABE ＝∠CBE ，求证：FM＝FD11、如图，AD ⊥DC ，BC ⊥DC ，E 是DC 上一点，AE 平分∠DAB ，BE 平分∠ABC ，求证：点E 是DC 中点。
专题06 全等模型-角平分线模型(解析版)
专题06全等模型-角平分线模型角平分线在中考数学中都占据着重要的地位，角平分线常作为压轴题中的常考知识点，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法，且辅助线是大部分学生学习几何内容中的弱点，本专题就角平分线的几类全等模型作相应的总结，需学生反复掌握。
模型1.角平分线垂两边（角平分线+外垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线、CA OA ⊥于点A 时，过点C 作CA OB ⊥.结论：CA CB =、OAC ∆≌OBC ∆.图1图2常见模型1（直角三角形型）条件：如图2，在ABC ∆中，90C ∠=︒，AD 为CAB ∠的角平分线，过点D 作DE AB ⊥.结论：DC DE =、DAC ∆≌DAE ∆.（当ABC ∆是等腰直角三角形时，还有AB AC CD =+.）图3常见模型2（邻等对补型）条件：如图3，OC 是∠COB 的角平分线，AC =BC ，过点C 作CD ⊥O A 、CE ⊥OB 。
结论：①180BOA ACB ∠+∠=︒；②AD BE =；③2OA OB AD =+.例1．（2022·北京·中考真题）如图，在ABC ∆中，AD 平分,.BAC DE AB ∠⊥若2,1,AC DE ==则ACD S ∆=____．【答案】1【分析】作DF AC ⊥于点F ，由角平分线的性质推出1DF DE ==，再利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：如图，作DF AC ⊥于点F ，∵AD 平分BAC ∠，DE AB ⊥，DF AC ⊥，∴1DF DE ==，∴1121122ACD S AC DF ∆=⋅=⨯⨯=．故答案为：1．【点睛】本题考查角平分线的性质，通过作辅助线求出三角形ACD 中AC 边的高是解题的关键．例2．（2022·山东泰安·中考真题）如图，△ABC 的外角∠ACD 的平分线CP 与内角∠ABC 的平分线BP 交于点P ，若∠BPC ＝40°，则∠CAP ＝（）A ．40°B ．45°C ．50°D ．60°【答案】C 【分析】根据外角与内角性质得出∠BAC 的度数，再利用角平分线的性质以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP ＝∠FAP ，即可得出答案.【详解】解：延长BA ，作PN ⊥BD ，PF ⊥BA ，PM ⊥AC ，设∠PCD ＝x °，∵CP 平分∠ACD ，∴∠ACP ＝∠PCD ＝x °，PM ＝PN ，∵BP 平分∠ABC ，∴∠ABP ＝∠PBC ，PF ＝PN ，∴PF ＝PM ，∵∠BPC ＝40°，∴∠ABP ＝∠PBC ＝∠PCD ﹣∠BPC ＝（x ﹣40）°，∴∠BAC＝∠ACD﹣∠ABC＝2x°﹣（x°﹣40°）﹣（x°﹣40°）＝80°，∴∠CAF＝100°，在Rt△PFA和Rt△PMA中，{PA PA PM PF==，∴Rt△PFA≌Rt△PMA（HL），∴∠FAP＝∠PAC＝50°．故选C．【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形外角的性质和直角三角全等的判定等知识，根据角平分线的性质得出PM＝PN＝PF是解题的关键．例3．（2023·山东·七年级专题练习）如图，∠D＝∠C＝90°，点E是DC的中点，AE平分∠DAB，∠DEA ＝28°，求∠ABE的大小．【答案】28°【分析】过点E作EF⊥AB于F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DE=EF，根据线段中点的定义可得DE=CE，然后求出CE=EF，再根据到角的两边距离相等的点在角的平分线上证明即可得出BE平分∠ABC，即可求得∠ABE的度数．【详解】如图，过点E作EF⊥AB于F，∵∠D=∠C=90°，AE平分∠DAB，∴DE=EF，∵E是DC的中点，∴DE=CE，∴CE=EF，又∵∠C=90°，∴点E在∠ABC的平分线上，∴BE平分∠ABC，又∵AD∥BC，∴∠ABC+∠BAD=180°，∴∠AEB=90°，(1)填空：角平分线的性质定理：角平分线上的点到．符号语言：∵如图1，OP 为COD ∠上的平分线，且，∴．(2)解答：已知：如图2，60AOB ∠=︒，OP 为AOB ∠的平分线，以点P 为顶点的CPD ∠与角的两边相交于点C 、D ，且120CPD ∠=︒．求证：PC PD =．(3)作图：根据以上种情况，再次寻找其它情况，点P P 为AOB ∠的平分线上的点，请你用尺规作图作PE OA ⊥于E ，作PF OB ⊥于F ，90PEC PFD PEO PFO ∴∠=∠=∠=∠=︒，OP 平分AOB ∠，PE PF ∴=，在四边形EOFP 中，60AOB ∠=︒，90PEO PFO ∠=∠=︒，36060290120EPF ∴∠=︒-︒-⨯︒=︒，120CPD ∠=︒ ，CPD EPF ∴∠=∠，CPD EPD EPF EPD ∴∠-∠=∠-∠，CPE DPF ∴∠=∠，PEC PFD ∴≅ （ASA ）PC PD ∴=；（3）证明：如图2，作射线PC ，交OA 于C ，作PCN AOB ∠=∠，反向延长NP ，交OB 于D ，则PC PD =；,（4）解：如图3，当ODP ∠和OCP ∠互补时，PC PD =，理由如下：作PE OA ⊥于E ，作PF OB ⊥于F ，90PEC PFD PEO PFO ∴∠=∠=∠=∠=︒，OP 平分AOB ∠，PE PF ∴=，在四边形EOFP 中，90PEO PFO ∠=∠=︒，360290180EPF AOB ∴∠+∠=︒-⨯︒=︒，180CPD AOB ∠+∠=︒ ，CPD EPF ∴∠=∠，CPD EPD EPF EPD ∴∠-∠=∠-∠，CPE DPF ∴∠=∠，PEC PFD ∴≅ (ASA)PC PD ∴=．【点睛】本题考查全等三角形的判定，角平分线的性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．模型2.角平分线垂中间（角平分线+内垂直）【模型解读与图示】条件：如图1，OC 为AOB ∠的角平分线，AB OC ⊥，结论：△AOC ≌△BOC ，OAB ∆是等腰三角形、OC 是三线合一等。
中考数学复习指导：与角平分线有关的基本题型
与角平分线有关的基本题型在认识平面几何(二)中，角平分线在三角形的三条重要线段中尤其重要.它就像几何中的“变形金刚”，会时不时呈现一种它的新的形态.但俗话说的好，万变不离其宗，笔者带你了解一下它的基本形态，相信你就能了解它的各种变化了.我们来认识一下它的四种基本题型，记住结论，你可以迅速解决一类填空选择题;掌握方法，你可以对付它的任何变形.一、两条内角平分线的夹角与顶角的关系例 1 如图1，在ABC ∆中,BE 平分,ABC CE ∠平分ACB ∠.若80A ∠=°，则BEC ∠= ;若A n ∠=°，求BEC ∠用含n 的代数式表示)分析 已知顶角，则根据三角形内角和为180°可以求出两底角的和，再由角平分线的性质得到EBC ∠与EBC ∠的和为两底角和的一半，结合三角形内角和等于180°，求出BEC ∠.在ABC ∆中，A n ∠=°Q ,180180ABC BCA A n ∴∠+∠=°−∠=°−°.BE Q 平分ABC ∠ , CE 平分ACB ∠, 11()9022EBC ECB ABC BCA n ∴∠+∠=∠+∠=°−°, ∴在EBC ∆中，1180()902BEC EBC ECB n ∠=°−∠+∠=°−°. 结论 两条内角平分线的夹角等于90度加上顶角的一半(即1902BEC A ∠=°+∠). 变形 如图2 , 84MON ∠=°，点,A B 分别在射线,OM ON 上移动，AOB ∆的角平分线AC 与BD 交于点P .试问:随着点,A B 位置的变化，APB ∠的大小是否会变化?若保持不变，请求出APB ∠的度数.若发生变化，请说明理由.解 APB ∠的大小不变，始终为132°.Q 在OAB ∆中，84MON ∠=°,18096OAB OBA MON ∴∠+∠=°−∠=°,AOB ∴∆的角平分线AC 与BD 交于点P ,1()482PAB PBA OAB OBA ∴∠+∠=∠+∠=°， ∴在PAB ∆中，180()132APB PAB PBA ∴∠=°−∠+∠=°.二、两条外角平分线的夹角与顶角的关系例2 如图3，在ABC ∆中，BO 平分外角,CBD CO ∠平分外角BCE ∠.若A n ∠=°，求BOC ∠.分析 因为涉及到三角形的两个外角，所以用三角形的外角和为360°来表示DBC ECB ∠+∠简单一些.解 ,A n ∠=°∴Q 与A ∠相邻的外角为180n °−°.根据三角形的外角和为360°,360(180)180DBC ECB n n ∴∠+∠=°−°−°=°+°.又BO Q 平分外角,CBD CO ∠平分外角BCE ∠,11()9022OBC OCB DBC ECB n ∴∠+∠=∠+∠=°+°， ∴在BOC ∆中，1180()902BOC OBC OCB n ∠=°−∠+∠=°−°. 结论 两条外角平分线的夹角等于90度减去顶角的一半(即1902BOC A ∠=°−∠). 为了便于同学们区分这两个结论，笔者用“内优外患”来记，内优:内角平分线是90度加上顶角的一半;外患:外角平分线是90度减去顶角的一半.“优”就是“加”，“患”就是“减”. 变形 如图4，垂直相交的两直线OA 与OB 相交于点O ，连接并延长BA 至E ，在ABO ∠的内部作射线BF 交AO 于点C .若,,EAC FCA ABC ∠∠∠的平分线交于点G ，过点G 作BE 的垂线，垂足为H ，试问,AGH BGC ∠∠的大小关系如何?请写出你的结论并证明.分析 AG 和CG 是ABC ∆的两条外角平分线，则1902AGC ABC ∠=°−∠. 由GH BE ⊥，得190902HGB HBG ABC AGC ∠=°−∠=°−∠=∠. 所以HGB BGA AGC BGA ∠−∠=∠−∠,即AGH BGC ∠=∠.三、一条内角平分线一条外角平分线的夹角与顶角的关系例3 如图5，在ABC ∆中，BE 平分ABC ∠, CE 平分外角ACM ∠.若A n ∠=°，求BEC ∠.分析 由三角形的外角性质，可知ACM ABC BAC ∠=∠+∠ , ECM EBC BEC ∠=∠+∠;再由角平分线的性质得到BEC ∠和A ∠的关系.解 ACM ABC BAC ∠=∠+∠Q ,ECM EBC BEC ∠=∠+∠,又BE Q 平分ABC ∠, CE 平分外角ACM ∠,12EBC ABC ∴∠=∠，12ECM ACM ∠=∠, 1122BEC A n ∴∠=∠=°. 结论 三角形的一条内角平分线和一条外角平分线的夹角等于顶角的一半(即12BEC A ∠=∠). 变形 如图6 , ABC ∆中，ABC ∠的角平分线与ACB ∠的外角ACD ∠的平分线交于1A .(1)①探索A ∠与1A ∠之间数量关系并证明你的结论;②若1A BC ∠的角平分线与1A CD ∠的角平分线交于2A , 2A BC ∠与2A CD 的平分线交于3A ，如此继续下去可得4,,n A A ⋅⋅⋅请你直接写出n A ∠与A ∠的数量关系 .(2)如图7，若E 为BA 延长线上一动点，连,EC AEC ∠与ACE ∠的角平分线交于Q ，随着点E 的运动，1Q A ∠+∠的值是否变化?若变化，请说明理由;若不变，请求出其值. 解 (1)①112A A ∠=∠. ACD ABD BAC ∠−∠=∠Q , 11,BA CA 是ABC ∠的角平分线与ACB ∠的外角ACD ∠的平分线，11112A ACD A BD BAC ∴∠=∠−∠=∠. ②1()2n n A A ∠=∠.(2) ACD ABD BAC ∠−∠=∠Q , 11,BA CA 是ABC ∠的角平分线与ACB ∠的外角ACD ∠的平分线，11112A ACD A BD BAC ∴∠=∠−∠=∠. ,,AEC ACE BAC EQ CQ ∠+∠=∠Q 是,AEC ACE ∠∠的角平分线，11()22QEC QCE AEC ACE BAC ∴∠+∠=∠+∠=∠, 1180()1802Q QEC QCE BAC ∴∠=°−∠+∠=°−∠, 1180Q A ∴∠+∠=°.四、顶角平分线与一条高线的夹角与两底角的关系例4 如图8 , ABC ∆中，AD 平分BAC ∠ ,BE AC ⊥于点E ，交AD 于点F ，试说明12()2ABC C ∠=∠+∠.解 180ABC C BAC ∠+∠=°−∠Q ,又AD Q 平分BAC ∠,21BAC ∴∠=∠.,1902,2(902)BE AC BAC ⊥∴∠=°−∠∴∠=°−∠Q ,22ABC C ∴∠+∠=∠’ 即12()2ABC C ∠=∠+∠. 例5 在ABC ∆中，C B ∠>∠.如图9, AD BC ⊥于点,D AE 平分BAC ∠，试说明 1()2EAD C B ∠=∠−∠.解 180()BAC B C ∠=°−∠+∠Q ,又AE Q 平分BAC ∠,12EAC BAC ∴∠=∠. ,90AD BC DAC C ⊥∴∠=°−∠Q ,又EAD EAC DAC ∠=∠−∠Q ,1()2EAD C B ∴∠=∠−∠. 结论 顶角平分线和同顶点高线的夹角等于两底角差的一半;顶角平分线和不同顶点高线的夹角等于两底角和的一半.变形 在ABC ∆中，C B ∠>∠,AD BC ⊥于点,D AE 平分BAC ∠.(1)如图10(1), AE 平分BAC ∠, F 为AE 上的一点，且FD BC ⊥于点D ，这时EFD ∠与,B C ∠∠有何数量关系?请说明理由;(2)如图10(2) , AE 平分BAC ∠, F 为AE 延长线上的一点,FD BC ⊥于点D ，请你写出这时AFD ∠与,B C ∠∠之间的数量关系(只写结论，不必说明理由).(提示:过点A 作BC 的垂线段AM ，再利用垂直于同一直线的两直线平行得到EFD EAM ∠=∠，其理由如顶角平分线和同顶点高线的题例)纵观各地试题，有的给基础习题添加新问题，有的给基本模型创设“新情境”，有的给核心概念赋予新视角.希望同学们能抓住问题的本质，灵活运用与角平分线有关的基本题型，提升自己的解题水平.。
角平分线定理专题
角平分线定理专题（基础题）1. 如图，AD 是△ABC 的角平分线，DF ⊥AB ，垂足为F ，DE =DG ，△ADG 和△AED 的面积分别为60和35，则△EDF 的面积为( )A. 25B. 5.5C. 7.5D. 12.52.如图,P 是∠AOB 平分线OC 上一点,PD ⊥OB ,垂足为D ,若PD=2,则点P 到边OA 的距离是A.1B.2C.D.43.如图,△ABC 的三边AB,BC,CA 长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形,则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO 等于________.4．(2016·怀化)如图，OP 为∠AOB 的角平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C ，D ，则下列结论错误的是( )A ．PC ＝PDB ．∠CPD ＝∠DOPC ．∠CPO ＝∠DPOD ．OC ＝OD5．(2016·淮安)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积是( )A ．15B ．30C ．45D ．606．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D.已知BD ∶CD ＝3∶2，点D 到AB 的距离是6，则BC 的长是______7．如图所示，已知△ABC 的周长是20，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB ，OD ⊥BC 于点D ，且OD ＝3，则△ABC 的面积是. ______8．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定角平分线性质运用（证明题）1.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：（1）2AE=AD+BE（2:）2BE=AB-AD,2、如图，四边形中，平分，于，且．求证：.3.如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD，(1)求证：△BCE≌△DCF；(2)若AB=21，AD=9，BC=CD=10，求AC的长．角平分线的判定运用（证明题）。
与角平分线有关的常用结论、辅助线总结与练习(有答案)
与角平分线有关的常用结论、辅助线总结角平分线是我们常见的几何条件，合理的把角平分线和其它条件相结合可以形成新的结论。
一、总结下面我们来看一下常见的和角平分线有关结论或辅助线。
1、如图1，OP 平分∠AOB ，点D 在OA 上，DE ∥OB 交OE 于点E∵OP 平分∠AOB ∴∠DOE =∠EOB∵DE ∥OB ∴∠BOE =∠DEO ∴∠DOE =∠DEO∴OD =DE由此可知，当角平分线和与角的一边平行的直线相交后可以形成等腰三角形。
例题：（2016·四川南充）如图2，对折矩形纸片ABCD ，使AB 与DC 重合得到折痕EF ，将纸片展平；再一次折叠，使点D 落到EF 上点G 处，并使折痕经过点A ，展平纸片后∠DAG 的大小为（ ） A ．30° B ．45° C ．60° D ．75°分析：由题意可得：∠1=∠2，AN =MN ，∠MG A =90°，则NG =12AM ，故AN =NG ，则∠2=∠4，∵EF ∥AB ，∴∠4=∠3，∴∠1=∠2=∠3=13×90°=30°，∴∠DAG =60°．故选：C ．2、角平分线遇到垂线：如图3，OP 平分∠AOB ，点D 在OA 上，DP ⊥OP 于点P 。
遇到这种情况，我们可以作辅助线： 延长DP 交OB 于点E ，∵OP 平分∠AOB∴∠DOP =∠EOP ∵DP ⊥OP ∴∠ODP =∠OEP∴OD =OE ∴DP =PE通过上述证明我们可以发现，当角平分线遇到垂线后，可以将垂线延长与角的两边相交，构成等腰三角形，同时，垂足即为等腰三角形底边中点。
例题：如图4，在直角梯形ABCD 中， AD ∥BC ，∠B =90°，E 为AB 上一点，且ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ．求证：AE =BE 分析：由已知，AD ∥BC ，ED 平分∠ADC ，EC 平分∠BCD ，可得DE ⊥EC ，延长DE 交CB 延长线于F ，有上述结论可知，E 为DF 中点，可证△ADE ≌△BFE3、从角平分线做角一边的垂线ED BAO 图1 图2E D P B AO图3 F图4 DPA如图3，OP 平分∠AOB ，PD ⊥OA 于点D 。
三角形的面积公式与角平分线的关系
三角形的面积公式与角平分线的关系三角形是几何学中一种基本的图形，它由三条线段组成。
在研究三角形的性质和特点时，面积公式和角平分线的关系是一个重要的内容。
本文将就这一主题展开论述。
一、三角形的面积公式三角形的面积是指三角形所覆盖的平面内的面积大小。
根据三角形的形状和边长，可以使用不同的方法来计算三角形的面积。
1. 高 ×底除以2公式当我们知道三角形的底边长度和高时，可以使用高乘以底再除以2的公式来求解三角形的面积。
设三角形的底边长度为a，高为h，根据公式可得：面积 = 0.5 × a × h2. 海伦公式海伦公式适用于已知三角形的三边长度的情况下。
设三角形的三边长度分别为a、b、c，则可以利用海伦公式计算三角形的面积。
公式如下：面积= √(s × (s - a) × (s - b) × (s - c))其中，s为三角形的半周长，可以用下式表示：s = (a + b + c) ÷ 2以上是两种常见的求解三角形面积的公式，它们在实际问题中都有广泛的应用。
二、角平分线的定义角平分线是指从一个角的顶点出发，将该角分成两个相等的角的线段。
角平分线可以通过三角形内角平分线定理得出，该定理表明，三角形内的角平分线可以将与顶点相连的边分成两部分，使其比例相等。
三、角平分线与三角形面积的关系角平分线不仅可以将一个角分成两个相等的角，还与三角形的面积有密切的关系。
具体来说，角平分线将三角形分成两个小三角形，这些小三角形具有一些特殊的性质。
1. 三角形的面积定理角平分线将三角形分成的两个小三角形，其面积之和等于原三角形的面积。
设三角形的面积为S，角A的角平分线将底边BC分成的两个线段分别为BD和DC，则可得：面积(三角形ABD) + 面积(三角形ACD) = S2. 利用角平分线比例计算面积角平分线将三角形的底边分成的两部分，其长度比等于其他两边与底边长度之比。
角平分线定理专题
角平分线定理专题（基础题）1. 如图，AD 是的角平分线，，垂足为F ，，和的面积分别为60和35，则的面积为A. 25B.C.D.2.如图,P 是∠AOB 平分线OC 上一点,PD ⊥OB ,垂足为D ,若PD=2,则点P 到边OA 的距离是B.2C.3.如图,△ABC 的三边AB,BC,CA 长分别是20,30,40,其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形,则S △ABO ∶S △BCO ∶S △CAO 等于________.4．(2016·怀化)如图，OP 为∠AOB 的角平分线，PC ⊥OA ，PD ⊥OB ，垂足分别是C ，D ，则下列结论错误的是( )A ．PC ＝PDB ．∠CPD ＝∠DOPC ．∠CPO ＝∠DPOD ．OC ＝OD5．(2016·淮安)如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC ，AB 于点M ，N ，再分别以点M ，N 为圆心，大于12MN 的长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线AP 交边BC 于点D ，若CD ＝4，AB ＝15，则△ABD 的面积是( )A ．15B ．30C ．45D ．606．如图，△ABC 中，∠C ＝90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D.已知BD∶CD＝3∶2，点D 到AB 的距离是6，则BC 的长是______7．如图所示，已知△ABC 的周长是20，OB ，OC 分别平分∠ABC 和∠ACB，OD ⊥BC 于点D ，且OD ＝3，则△ABC 的面积是. ______8．如图，在△ABC中，AD是∠A的外角平分线，P是AD上异于A的任意一点，设PB=m，PC=n，AB=c，AC=b，则（m+n）与（b+c）的大小关系是（）A．m+n＞b+c B．m+n＜b+c C．m+n=b+c D．无法确定角平分线性质运用（证明题）1.已知：AC平分∠BAD，CE⊥AB，∠B+∠D=180°，求证：（1）2AE=AD+BE（2:）2BE=AB-AD,2、如图，四边形中，平分，于，且．求证：.3.如图，已知AC平分，于E，于F，且，求证：≌；若，，，求AC的长．角平分线的判定运用（证明题）1如图，在三角形ABC中，BP，CP分别是∠ABC，∠ACB的平分线，求证：点P在∠A的平分线上。
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与角平分线有关的计算
1、如图1所示，在△ABC 中，∠C>∠B ，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，
求证：)(2
1B C EAD ∠-∠=∠
图1
【总结】从三角形一个顶点做高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另两个角的差的一半。
变式1：如图2所示，在△ABC 中，∠C>∠B ，AE 平分∠BAC ，点M 在AE 上，且MD ⊥BC ，求证：)(
2
1B C EMD ∠-∠=
∠
变式2：如图3所示，在△ABC 中，∠C>∠B ，AE 平分∠BAC ，点N 在AE 的延长线上，且ND ⊥BC ，求证：)(2
1B C END ∠-∠=∠
2、如图4所示，在△ABC 中，点P 是∠ABC 和∠ACB 的角平分线交点，
求证A P ∠+︒=∠2
190；
图4
【结论】三角形两个内角平分线相交所成的钝角等于90°与另一个内角一半的和。
变式1：如图5所示，在△ABC 中，点P 是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线交点，求证：A P ∠=∠2
1；
图5
【结论】三角形一个内角的平分线和它不相邻的一个外角的平分线相交所成的锐角等于另一个内角的一半。
变式2：如图6所示，在△ABC 中，点P 是外角∠CBF 和外角∠BCE 的角平分线交点，求证：A P ∠-︒=∠2
190。
图6
【结论】不相邻的两个外角平分线相交所成的锐角等于90°与另外一个内角一半的差。