专题：与角平分线有关的计算
七年级数学上册 6.7 角的和差 与角的平分线有关的典型例题素材 (新版)浙教版
与角的平分线有关的典型例题
对于角平分线的认识，同学们要注意以下两点：
（1）它是角的内部的一条射线，并且是一条特殊的射线，它把角分成了相等的两部分．
（2）要掌握角平分线的数学表达式．
下面重点介绍与角的平分线有关的计算问题
例1．如图1，O 是直线AB 上的一点，OD 是∠AOC 的平分线，OE 是∠COB 的平分线．求∠DOE 的度数．
解：因为OD 、OE 分别是∠AOC、∠COB 的平分线， 所以∠COD=
21∠AOC，∠COE=2
1∠COB， 所以∠DOE=∠DOC+∠COE=21∠AOC+2
1∠COB =21(∠AOC+∠COB)=21∠AOB=21×180°=90°． 例2．如图2，∠AOC 为直角,OC 是∠BOD 的平分线,且∠AOB=35°,求∠AOD 的度数． 分析：和图形有关的角度计算问题，需要从图形中找到角与角
之间的关系．本题要求∠AOD 的读数，则只要求出∠COD 的度数即
可．
解：因为∠BOC=∠AOC -∠AOB=90°-35°=55°,
又OC 平分∠BOD, 所以∠COD=∠BOC=55°,
所以∠AOD=∠AOC+∠COD=90°+55°=145° 【评注】解决与图形有关的角的计算问题关键将所求的角转化为已知角求解．
例3．如图3，∠AOB=90°，∠AOC 为∠AOB 外的一个锐角，且∠AOC=30°，射线OM 平分∠BOC，ON 平分∠AOC．
（1）求∠MON 的度数；
（2）如果（1）中∠AO B=α，其它条件不变，求∠MON 的度数；
（3）如果（1）中∠AOC=β（β为锐角），其它条件不变，求∠MON 的度数；
八(下)小专题(一)与三角形的角平分线有关的角度计算
小专题（一）与三角形的角平分线有关的角度计算【探究活动一】两个内角平分线的夹角
例1.如图，点O是△ABC的∠ABC与∠ACB两个角的平分线的交点，若∠BOC
＝118°，则∠A的角度是_____________.
实践练习1.如图所示，在△ABC中，BO、CO是角平分线．
(1)∠ABC＝50°，∠ACB＝60°，求∠BOC的度数，并说明理由；
(2)题(1)中，如将“∠ABC＝50°，∠ACB＝60°”改为“∠A＝70°”，求∠BOC
的度数；
(3)若∠A＝n°，求∠BOC的度数．
方法归纳：如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的角平分线相交于点O，
则∠BOC＝90°＋1
2∠A.
【探究活动二】一个内角平分线与一个外角平分线的夹角
例2.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACB的外角平分线交于点D，∠A＝50°，则∠D＝________．
实践练习2.（1）如图，在平面直角坐标系中，A，B分别是x，y轴上的两个动点，∠BAO的平分线与∠ABO的外角平分线相交于点C，在A，B 的运动过程中，∠C的度数是一个定值，这个定值为________．
（2）如图，在△ABC中，∠A＝m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点
A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…∠A2014BC
和∠A2014CD的平分线交于点A2015，求∠A2015的度数．
方法归纳：
如图，在△ABC中，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACE，则∠BDC＝1
2∠A.
【探究活动三】两个外角平分线的夹角
例3.如图，在△ABC中，P点是∠BCE和∠CBF的角平分线的交点，若∠A ＝60°，则∠P＝________．
角的角平分线有关计算
角的角平分线有关计算
1、如图，∠AOB=38°，∠
BOC=96°，OD是∠AOC的
平分线，求∠BOD的度数？
2、如图，已知OB平分∠AOC，且∠2：∠3：∠4=1：3：4，求∠1、∠
3、∠4的度数．
3、如图，直线AB与直线CD
相交于点O，E是∠AOD内一
点，已知OE⊥AB，∠BOD=45°，
则∠COE的度数是_____．
求∠EOB．
7、如图所示，∠AOB是平角，OC
是射线，OD、OE分别是∠AOC、
∠BOC的角平分线，若∠
AOD=65°，求∠DOE和∠BOE的度数．
8、如图，∠AOB=90°，OC平分
∠AOB，OE平分∠AOD．若∠
EOC=60°，求∠AOD的度数．
9、如图，点O为直线AB上的一点，OE，OF，
OC是射线，∠EOF是直角，若∠AOF=30°，且∠EOC：∠BOC=2：3，求∠EOC的度数．
10、如图所示，已知OB，OC是∠
AOD内部的两条射线，OM平分∠
AOB，ON平分∠COD，若∠
AOD=α，∠MON=β，求∠BOC的大小(用含α，β的式子表示)．
11、如图，已知∠AOB= 0.5∠BOC，
∠COD=∠AOD=3∠AOB，求∠AOB和
∠COD的度数．
12、如图：已知OD、OE、OF分别
为∠AOB、∠AOC、∠BOC的平分
线，则∠DOE和∠BOF有怎样的关
系？说明理由．
13、如图，已知OE、OD分别平分∠AOB和∠BOC，
若∠AOB=90°，∠EOD=70°，求∠BOC的度数.
14、如图，已知∠AOB＋∠AOC＝180°，OP、OQ分别平分∠AOB、∠AOC，且∠POQ＝50°，求∠AOB、∠AOC的度数．
与角平分线有关的证明、计算(含答案)
学生做题前请先回答以下问题
问题1：总结角平分线的相关定理：
①______________________________________________；
②_____________________________________________；
③在下图中成立的比例_________________．
问题2：总结角平分线常见的组合搭配：
①等腰三角形“三线合一”，___________重合，考虑角平分线；
②平行线+角平分线出现_______________________；
③___________（填“三大变换”）会出现角平分线，四边形背景下会出现角平分线+_____________，进而出现等腰结构．
以下是问题及答案，请对比参考:
问题1：总结角平分线的相关定理：
①
；
②
；
③在下图中成立的比例．
答：
问题2：总结角平分线常见的组合搭配：
①等腰三角形“三线合一”，重合，考虑角平分线；
②平行线+角平分线出现；
③（填“三大变换”）会出现角平分线，四边形背景下会出现角平分线
+ ，进而出现等腰结构．
答：
与角平分线有关的证明、计算
一、单选题(共8道，每道11分)
1.如图，点A，C在直线上，点B在射线AD上，，分别是∠BAE，∠CBD的平分线．若，则∠BAE的度数为( )
A.150°
B.168°
C.135°
D.160°
答案：B
解题思路：
试题难度：三颗星知识点：角平分线的性质
2.如图，梯形ABCD中，∠ABC和∠DCB的平分线相交于梯形中位线EF上的一点P，若EF=3，则梯形ABCD的周长为( )
A.9
与角平分线有关的角度计算问题
——教案（表一）
课题探究与角平分线相关的角度计算和证明问题课时数 1 课型习题课授课教师
目标分析
课程标准
与
教学目标知识目标:
1、巩固三角形内角和定理和三角形外角的相关性质
2、识别复杂几何问题中的基本图形
能力目标:
体会探究数学问题的基本方法，会用方程思想、整体思想解决相关问题
情感态度价值观
在探究活动中培养学生严谨的科学态度和勇于探索的科学精神，在师生、生生的交流活动中，学会与人合作，学会倾听、欣赏和感悟，体验数学的价值，建立自信心.
教学重点体会探究数学问题的一般方法
教学难点从复杂的图形中识别基本图形
教材与学情分析
（建议从学生基础认知、思维特点、个体差异等角度入手，适时分析学情）
1、探究与角平分线有关的角度计算与证明问题，是第二节课，上一课讲授的是三角形
中与角平分线有关的角度计算证明问题，本节课在此基础上进行知识的拓展，旨在培养学生的探究意识和学习几何的兴趣。
2、学生已掌握的三角形的内角和，三角形角平分线的定义，
平行线的性质和判定等知识。
北京15中——教 案（表二）
课题
探究与角平分线相关的角度计算和证明问题
课时数
教 与 学 的 过 程 教学环节
教师活动（内容呈现与问题设计）
学生活动（各类活动设计和呼应反馈）
设计随笔
一、 创设情景 复习回顾 已知△ABC
1、如图1，∠ABC ，∠ACB 的平分线相交于点o ， （1）若∠ABC=40°,∠ACB=60°,则∠BOC= . （2）若∠ABC+∠ACB=106°,则∠BOC= . （3）若∠A=70°，则∠BOC= .
猜想：∠A 与∠BOC 之间具有怎样的数量关系呢？
人教版七年级数学上册必刷题《专题6_与角平分线有关的计算问题_》刷难关
初中必刷题第四章几何图形初步刷难关
《专题6 与角平分线有关的计算问题》
类型1 单角平分线问题
1.[2020广东珠海香洲区期末改编，中]如图，已知点O为直线AB上一点，将一个直角三角板COD的直角顶点放在点O处，并使OC边始终在直线AB的上方，OE平分∠BOC.
（1）若∠DOE=70°，则∠AOC=______；
（2）若∠DOE=α，求∠AOC的度数.（用含α的式子表示）
2.[20江苏南京栖霞区期末，难]【发现猜想】
如图（1），若∠AOB=70°，∠AOD=100°，OC为∠BOD的平分线，则∠AOC的度数为______；【探索归纳】
如图（1），∠AOB=m，∠AOD=n，OC为∠BOD的平分线.猜想∠AOC的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由.
【问题解决】
如图（2），已知∠AOB=20°，∠AOC=90°，∠AOD=120°.若射线OB绕点O以每秒20°的速度逆时针转动，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针转动，射线OD绕点O以每秒30°的速度顺时针转动，三条射线同时转动，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？
类型2 双角平分线问题
3.[2019湖北鄂州梁子湖区期中，较难]已知∠AOB=90°，OC为一条射线，OE，OF分别平分∠AOC，∠BOC，求∠EOF的度数.
4.[2020江苏高邮期末，难]如图，已知∠AOB=150°，将一个直角三角形纸片（∠D=90°）的一个顶点放在点O处，现将三角形纸片绕点O任意转动，OM平分斜边OC与OA的夹角，ON平分∠BOD.
中考数学复习考点题型专题讲解30 和角平分线有关的计算
中考数学复专题1．已知90AOB ∠=°，
（1）如图1，OE 、OD 分别平（2）如图2，OE 、OD 分别平推理过程）．
（3）若OE 、OD 分别平分是（在稿纸上画图分析，直接【解答】解：（1）AOB ∠=∵1
452
EOB AOB ∴∠=
∠=°，64EOD ∠=°∵，
BOD EOD EOB ∴∠=∠−∠又OD ∵平分BOC ∠， 238BOC BOD ∴∠=∠=°．（2）90AOB ∠=°∵，BOC
∠数学复习考点题型专题讲解30和角平分线有关的计算
分别平分AOB ∠和BOC ∠，若64EOD ∠=°，则分别平分AOC ∠和BOC ∠，若40BOC ∠=°，求EO 平分AOC ∠和BOC ∠，(0180)BOC αα∠=°<<°，则直接填空）．
90OB °，OB 平分AOB ∠， 19B =°，
40=°，
题讲解
计算
BOC ∠是38°； EOD ∠的度数（写则EOD ∠的度数
AOC AOB BOC ∴∠=∠+∠又OE ∵、OD 分别平分∠1652EOC AOC ∴∠=
∠=°EOD EOC DOC ∴∠=∠−∠（3）分两种情况：当0°2．我们学过角的平分线的概念的两个角的射线，叫做这个角2BOC AOC ∠=∠，则OC （1）如图1，若BOC AO ∠∠（2）如图2，若AOB ∠=①求COD ∠的度数；
②现以O 为中心，将COD ∠三分线时，则求n 的值．
（3）如图3，若AOB ∠BOC ∠的平分线，将MON ∠程中，若射线ON 恰好是∠接写出答案即可，不必说明理【解答】解：（1）OC ∵是∴1
小专题(十一) 与三角形角平分线有关的计算
∵∠PCD＝∠P＋∠PBC，
∴∠P＝12∠A.
MING XIAO KE TANG
类型3 两个外角平分线的夹角 3．如图所示，BO，CO分别是△ABC的外角平分线． (1)若∠ABC＝40°，∠ACB＝60°，则∠BOC＝ 50° ； (2)若∠A＝60°，则∠BOC＝ 60° ； (3)试探索∠BOC与∠A之间的数量关系．
MING XIAO KE TANG
(4)根据上述规律，若∠A＝100°，则∠P＝ 50° ； (5)请你用数学表达式归纳出∠P与∠A的关系：∠P＝12∠A ；
(6)请说明你的结论的正确性． 解：∵∠ACD＝∠ACP＋∠PCD＝∠A＋∠ABC，
∠ACP＝∠PCD，∠ABP＝∠PBC，
∴2∠PCD＝∠A＋2∠PBC.
MING XIAO KE TANG
(3)∠BOC＝90°＋12∠A. 理由：∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，BE，CF分别是∠ ABC，∠ACB的平分线， ∴∠OBC＝12∠ABC，∠OCB＝12∠ACB. ∴∠OBC＋∠OCB＝12(∠ABC＋∠ACB) ＝12(180°－∠A)
MING XIAO KE TANG
MING XIAO KE TANG
解：(1)∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠A＝40°. ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝140°. ∵∠EBC＝12∠ABC，∠FCB＝12∠ACB， ∴∠EBC＋∠FCB＝12(∠ABC＋∠ACB)＝70°. ∴∠BOC＝180°－70°＝110°. (2)∠BOC＝180°－180°－2 ∠A＝180°－180°－ 2 50°＝115°.
人教版七年级数学上册必刷题《专题6_与角平分线有关的计算问题_》刷难关
初中必刷题第四章几何图形初步刷难关
《专题6 与角平分线有关的计算问题》
类型1 单角平分线问题
1.[2020广东珠海香洲区期末改编，中]如图，已知点O为直线AB上一点，将一个直角三角板COD的直角顶点放在点O处，并使OC边始终在直线AB的上方，OE平分∠BOC.
（1）若∠DOE=70°，则∠AOC=______；
（2）若∠DOE=α，求∠AOC的度数.（用含α的式子表示）
2.[20江苏南京栖霞区期末，难]【发现猜想】
如图（1），若∠AOB=70°，∠AOD=100°，OC为∠BOD的平分线，则∠AOC的度数为______；【探索归纳】
如图（1），∠AOB=m，∠AOD=n，OC为∠BOD的平分线.猜想∠AOC的度数（用含m，n的代数式表示），并说明理由.
【问题解决】
如图（2），已知∠AOB=20°，∠AOC=90°，∠AOD=120°.若射线OB绕点O以每秒20°的速度逆时针转动，射线OC绕点O以每秒10°的速度顺时针转动，射线OD绕点O以每秒30°的速度顺时针转动，三条射线同时转动，当一条射线与直线OA重合时，三条射线同时停止运动运动几秒时，其中一条射线是另外两条射线夹角的平分线？
类型2 双角平分线问题
3.[2019湖北鄂州梁子湖区期中，较难]已知∠AOB=90°，OC为一条射线，OE，OF分别平分∠AOC，∠BOC，求∠EOF的度数.
4.[2020江苏高邮期末，难]如图，已知∠AOB=150°，将一个直角三角形纸片（∠D=90°）的一个顶点放在点O处，现将三角形纸片绕点O任意转动，OM平分斜边OC与OA的夹角，ON平分∠BOD.
初中数学题型汇总：与三角形有关的角平分线模型
初中数学题型汇总：与三角形有关的角平分线模型
【方法技巧】
角平分线性质+三角形内角和定理+三角形外角性质十整体思想，化归思想+设参数计算.
类型一：角平分线+高线夹角模型（设参计算+整体思想）
【典型例题1】
(1)已知△ABC中，∠B＞∠C，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC，如图1，设∠B=x，∠C=y，试用
x，y表示∠DAE，并说明理由；
(2)在图2中，其他条件不变，若把“AD⊥BC于D”改为“F是AE上一点，FD⊥BC于D”，试用x，y表示∠DFE=________________；
(3)在图3中，若把(2)中的“点F在AE上”改为“点F是AE延长线上一点”，其余条件不变，试用x，y表示∠DFE=________________；
(4)在图3中，分别作出∠BAE和∠EDF的角平分线，交于点P，如图4．试用x，y表示∠P=_______________．
图1 图2 图3 图4
【思路分析】
(1)首先利用三角形内角和定理可求出∠BAC的度数,进而可求出∠BAD的度数，由垂直可得∠BAD=90°-x，进而可求∠EAD的度数；
(2)(3)同(1)可得；
(4)由题意可知：∠PAF=1/4(180°-x-y)，再利用已知条件、对顶角的性质和角平分线的性质即可求出∠P的度数
【答案解析】
类型二：燕尾形双角平分（设参计算+整体思想）【典型例题2】
如图，BP,CP分别平分∠ABD,∠ACD，它们交于点P．求证：∠P=1/2(∠A+∠D)．
【思路分析】根据角平分线的性质及内角与外角的关系解答即可.【答案解析】
初二七年级数学上册专题33 与角平分线有关的计算ppt课件
所以∠B O M ＝1∠A O B ＝1×100°＝50°，∠B O N ＝1∠B O C ＝1×60°＝30°，所以∠M O N
2
2
2
2
＝∠B O M －∠B O N ＝50°－30°＝20°.
②如图②，当 O C 落在∠A O B 的外部时，因为 O M 平分∠A O B ，O N 平分∠B O C ，所
＝1∠C 2
B
D
，
所以∠EB F ＝∠FBD ＋∠EB D ＝12(∠A B D ＋∠C B D )＝12∠A B C ＝45°.
2．已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
【解析】①如图①，当 O C 落在∠A O B 的内部时，因为 O M 平分∠A O B ，O N 平分∠B O C ，
【解析】(1)∠D O E ＝1∠A O C .理由： 2
因为 O E 平分∠BO C ，所以∠C O E ＝∠B O E ，又因为∠A O C ＋∠C O E ＋∠B O E ＝180°，
所以 2∠B O E ＋∠A O C ＝180°.
因为∠B O D ＋∠BO C ＝∠C O D ＝90°，∠A O C ＋∠B O C ＝180°，所以∠A O C －∠B O D
由①可知
2∠B O
E ＝180°－∠A
O
专项训练2 巧用角平分线的有关计算
专项训练2巧用角平分线的有关计算
方法指导：角平分线的定义是进行角度计算常见的重要依据，因此解这类题要从角平分线找角的数量关系，利用图形中相等的角的位置关系，结合角的和、差关系求解．
角平分线间的夹角问题(分类讨论思想)
1．已知∠AOB＝100°，∠BOC＝60°，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，求∠MON的度数．
巧用角平分线解决折叠问题(折叠法)
2．如图，将一张长方形纸斜折过去，使顶点A落在A′处，BC为折痕，然后把BE折过去，使之落在A′B所在直线上，折痕为BD，那么两折痕BC与BD间的夹角是多少度？
(第2题)
巧用角平分线解决角的和、差、倍、分问题(方程思想)
3．如图，已知∠COB＝2∠AOC，OD平分∠AOB，且∠COD＝19°，求∠AOB的度数．
(第3题)
巧用角平分线解决角的推理问题(转化思想)
4．如图，已知OD，OE，OF分别为∠AOB，∠AOC，∠BOC的平分线，∠DOE和∠COF有怎样的关系？说明理由．
(第4题)
角平分线与线段中点的结合
5．如图，(1)已知∠AOB＝90°，∠BOC＝30°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON 的度数．
(2)如果(1)中∠AOB＝α，其他条件不变，求∠MON的度数．
(3)如果(1)中∠BOC＝β(β＜90°)，其他条件不变，求∠MON的度数．
(4)从(1)(2)(3)的结果中能得到什么样的规律？
(5)线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿(1)～(4)，设计一道以线段为背景的计算题，给出解答，并写出其中的规律．
小专题 13 三角形中内、外角平分线的相关计算
三角形的两个内角平分线交于一 点，所形成的夹角的度数等于 90°加 上第三角度数的一半． 如图，在△ABC 中，∠ABC 与 ∠ACB 的平分线相交于点 O， 则∠BOC＝90°＋12∠A.
1．(大庆中考)如图，在△ABC 中，∠A＝40°，D 点是∠ ABC 和∠ACB 平分线的交点，则∠BDC＝110° 。
【解答】 ∵BE 平分∠ABC，CE 平分∠ACM， ∴∠ECM＝12∠ACM，∠CBE＝12∠ABC. ∵∠ACM＝∠A＋∠ABC，∠ECM＝∠E＋∠CBE， ∴∠E＋∠CBE＝12(∠A＋∠ABC)＝12∠A＋12∠ABC. ∴∠E＝12∠A.
三角形的一个内角平分线与一个外角平分线交于一 点，所形成的夹角的度数等于第三角度数的一半．
【解答】 ∵BF 平分∠CBP，CF 平分∠BCQ， ∴∠FBC＝12∠PBC，∠FCB＝12∠QCB. ∵∠PBC＝180°－∠ABC，∠QCB＝180°－∠ACB， ∴∠F＝180°－∠FBC－∠FCB ＝180°－12(∠PBC＋∠QCB) ＝12(∠ABC＋∠ACB)． ∵∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A， ∴∠F＝12(180°－∠A)＝90°－12∠A.
4．如图，∠ACD 是△ABC 的外角，∠ABC 的平分线与 ∠ACD 的平分线交于点 A1，∠A1CD 的平分线与∠A1BD 的平分线交于点 A2，…….若∠A＝60°，则∠An 的度数为 620n°．
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与角平分线有关的计算
1、如图1所示，在△ABC 中，∠C>∠B ，AD ⊥BC ，AE 平分∠BAC ，
求证：)(2
1B C EAD ∠-∠=∠
图1
【总结】从三角形一个顶点做高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另两个角的差的一半。
变式1：如图2所示，在△ABC 中，∠C>∠B ，AE 平分∠BAC ，点M 在AE 上，且MD ⊥BC ，求证：)(
2
1B C EMD ∠-∠=
∠
变式2：如图3所示，在△ABC 中，∠C>∠B ，AE 平分∠BAC ，点N 在AE 的延长线上，且ND ⊥BC ，求证：)(2
1B C END ∠-∠=∠
2、如图4所示，在△ABC 中，点P 是∠ABC 和∠ACB 的角平分线交点，
求证A P ∠+︒=∠2
190；
图4
【结论】三角形两个内角平分线相交所成的钝角等于90°与另一个内角一半的和。
变式1：如图5所示，在△ABC 中，点P 是∠ABC 和外角∠ACE 的角平分线交点，求证：A P ∠=∠2
1；
图5
【结论】三角形一个内角的平分线和它不相邻的一个外角的平分线相交所成的锐角等于另一个内角的一半。
变式2：如图6所示，在△ABC 中，点P 是外角∠CBF 和外角∠BCE 的角平分线交点，求证：A P ∠-︒=∠2
190。
图6
【结论】不相邻的两个外角平分线相交所成的锐角等于90°与另外一个内角一半的差。