选修4-5 第二节

即证：cos(x1-x2)＜1.
由x1,x2∈(0, )，x1≠x2知上式是显然成立的.
因此, 1［f(x1)+f(x2)］＞ f ( x1 x 2 ) .
2 2 2
考向 3
反 证 法
【典例3】(2012·江苏高考)已知各项均为正数的两个数列{an} 和{bn}满足： an+1=
a n bn a n 2 bn 2
,n∈N*.
(1)设bn+1=1+ b n ,n∈N*，求证：数列{( b n )2}是等差数列.
an an (2)设bn+1= 2 bn ,n∈N*，且{an}是等比数列，求a1和b1的值. an
【思路点拨】 (1)根据等差数列的定义证之即可.
(2)从基本不等式猜想两数列的首项为 2 ，再证其为常数列, 利用反证法证公比q只能为1，即证q不可能大于1，也不可能小 于1.
大的目的;对于值为正数的分式,通过对分母的放大或缩小达到
缩小或放大的目的.
【提醒】分析法证明不等式，必须有文字说明，否则是an x,x∈(0, 若x1,x2∈(0, )，且x1≠x2,
2
)， 2
求证： 1［f(x1)+f(x2)］＞ f ( x1 x 2 ) .
n t 令a－1=t＞0，则a=t+1.也就是证t+1＜(1+ )n. n n t n t n ＞1+t， ∵ (1 t ) n 1 C1 … C n n( ) n n n
∴ n a－1＜a 1 成立.
n
【拓展提升】
1.分析法的应用条件及证明思路
当欲证的不等式中含有分式或根式时,通常利用分析法,通过去
分母或乘方运算,进行恒等变形,化归为整式不等式,再利用综
合法证之.
2.综合法和分析法的应用
在证明不等式的过程中，分析法和综合法常常结合使用 .如果
使用综合法难以入手时，常用分析法探索证题途径，之后用综
合法写出证明过程.
3.放缩法的应用
从本题证明过程可知,中间步骤利用了放缩法,对于展开式,可
通过舍去其中的若干项达到缩小的目的,或增加若干项达到放
2 2
【证明】要证 1 ［f(x1)+f(x2)］＞f ( x1 x 2 ) ,
即证明 1 (tan x1+tan x2)＞tan x1 x 2 ,
2 x1 x 2 sin sin x sin x 1 1 2 2 只需证明 ( , )＞ 2 cos x1 cos x 2 cos x1 x 2 2 只需证明 sin(x1 x 2 ) ＞ sin(x1 x 2 ) . 2cos x1cos x 2 1 cos(x1 x 2 ) 2 2 2
充分 条件，直至能够_________________________ 肯定这些充分条件已经具备 为 论成立的_____
止，进而断言原不等式成立，这种方法称为分析法.
(3)反证法的证明步骤: 不成立 ，也就是说___________ 不等式的反 第一步:假设所要证的不等式_______ 面成立 第二步:结合已知条件，进而推理论证，最后推出和 _______; 已知条件 或___________ 已知不等式 相矛盾的结果，从而断定假设错误. _________ 因而确定要证明的不等式成立. (4)放缩法: 所谓放缩法是证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值 放大 或_____ 缩小 ，简化不等式，从而达到证明目的的方法. _____
,n∈N*得
a 1= a 1 b n
2 1
a bn
2
知bn也是一个确定的常数，即数列{bn}是常数
列，从而a1= 2 ，代入得b1= 2 .
【拓展提升】
1．反证法的证明思路
反证法的基本思想是：否定结论就会导致矛盾．它可以用下面
的程序来表示：
“否定——推理——矛盾——肯定．”
“否定”——假设所要证明的结论不成立，而结论的反面成
xy xy
从而x+y+ 1 1 1 +xy成立.
xy x y
(2)当1＜a≤b≤c时,
记x=logab= lg b ≥1,y=logbc= lgc≥1,
lg a lgb
则logca= lg a 1 ,logba= 1 ,logcb= 1 ,logac=xy,于是由(1)
lg c xy
x
b
这里要注意a,b两数的符号.
【变式训练】设a,b是非负实数，求证：a3+b3≥ ab (a2+b2).
【证明】方法一：a3+b3- ab (a2+b2)=
a 2 a ( a b) b2 b( b a )
= ( a b) ［( a )5 ( b)5］
2 = ( a b)［ ( a )4 ( a )3 b ( a )2 ( b) 2 a ( b)3 ( b) 4］.
所以数列{(
bn 2 ) }是等差数列. an
(2)因an+1=
2
a n bn a n 2 bn 2
,n∈N*，故由基本不等式
2 ，因{an}是等比
a n b n ≤a 2+b 2＜(a +b )2得1＜a ≤ n n n n n+1
2
数列，设其公比为q＞0，下面证q=1. 若q＞1，则a1= a 2 ＜a2≤ 2 ，从而当n＞ log q 2 时， q
= ( a b) . ［( a )5 ( b)5］
当a≥b时， a b ，从而 ( a )5 ( b)5 ，
得 ( a b) ≥ 0； ［( a )5 ( b)5］
当a＜b时， a＜ b ，从而 ( a )5＜( b)5 ，
得 ( a b) ＞ 0； ［( a )5 ( b)5］
由于x1,x2∈(0, ),
2
故x1+x2∈(0,π).
∴cos x1cos x2＞0,sin(x1+x2)＞0,
1+cos(x1+x2)＞0,
故只需证明1+cos(x1+x2)＞2cos x1cos x2,
即证1+cos x1cos x2-sin x1sin x2＞2cos x1cos x2,
判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)用作商比较法，由
a ＞1一定能推出a＞b.( b
) ) )
(2)分析法证明是从结论出发，寻找使它成立的充要条件.( (3)用反证法证明时，推出的矛盾可以与已知条件相矛盾.( (4)用放缩法证明时，可以任意放大或缩小.( (5)在数学归纳法中，n0=1.( ) )
【解析】(1)错误.若 a ＞1，不一定能推出a＞b.这和a,b两数
b
的符号有关,如a=-2,b=-1. (2)错误.寻找使结论成立的充分条件. (3)正确.可以和已知条件相矛盾. (4)错误.放缩时，必须适当，过大或过小都不利于证明，都有 可能导致不能证明结论. (5)错误.第一个值n0不一定是1. 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)× (5)×
(1)易导出与已知矛盾的命题.
(2)一些基本定理.
(3)“否定性”命题.
(4)“唯一性”命题.
(5)“必然性”命题.
(6)“至少”“至多”命题等．
3．反证法的注意事项 应用反证法证明命题时，反设必须恰当,如“都是”的否定是 “不都是”,“至少一个”的否定是“不存在”等．
【变式训练】证明：f(x)=cos 3 x 不是周期函数. 【证明】假设f(x)=cos 3 x 是周期函数， 则有常数T(T≠0), 使得对任意x有 cos 3 x T cos 3 x 上式中，令x=0，则有 cos 3 T =cos 0=1. ∴ 3 T =2mπ(m为整数，m≠0) ② ①
立．
“推理”——从已知条件和假设出发，应用一系列的论据进行
推理．
“矛盾”——通过正确推导，推出与实际“需要”不符、与
“公理”矛盾、与“已知定理”矛盾、与“定义”矛盾、与
“题设”矛盾、自相矛盾等．
“肯定”——由于推理过程正确．故矛盾是由假设所引起的，
因此，假设是错误的，从而肯定结论是正确的．
2．宜用反证法证明的题型
考向 1
应用比较法证明不等式
1 1 1 ≤ +xy. xy x y
【典例1】(1)设x≥1,y≥1,证明:x+y+
(2)1＜a≤b≤c，证明:logab+logbc+logca≤logba+logcb+logac. 【思路点拨】欲证第(1)题不等式成立,只需判断左右两式之差 的正负性.观察第(2)题的特征,通过换底公式化归为(1)的形式, 根据第(1)题的结论证之.
因为实数a,b≥0，则 ( a b)2 ≥0,
( a )4 ( a )3 b ( a )2 ( b)2 a ( b)3 ( b) 4 ≥0,
所以上式≥0,即有a3+b3≥ ab(a2+b2).
方法二：由a,b是非负实数，作差得
a3+b3- ab(a2+b2)
= a 2 a ( a b) b2 b( b a )
(2)综合法与分析法:
①综合法 因 果 题设条件 出发，利 所谓综合法就是由“___”导“___”，从 _________ 已知定义、公理、定理 等逐步推进，证得所要求证的结论 用_____________________
的方法.
②分析法
欲证的不等式 出发，执“___”索“___”，层层推求使结 果 因 从_____________
第二节 证明不等式的基本方法
考纲
要求
了解证明不等式的基本方法:比较法、综合