2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试4-5 北师大版

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2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试4-1 北师大版

2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试4-1 北师大版一、选择题 1．若－π2<α<0，则点Q (cos α，sin α)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] 由于－π2<α<0，则cos α>0，sin α<0，即该点位于第四象限．2．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即⎩⎨⎧sin θ>0cos θ<0，θ为第二象限角．3．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于( )A ．0B ．2C ．－2D ．2tan α[答案] A[解析] ∵角α的终边在直线y ＝－x 上，∴α＝k π＋3π4 (k ∈Z )，∴sin α与cos α符号相反，∴sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 4．已知扇形的周长为6cm ，面积是2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4[答案] C[解析] 设扇形圆心角为αrad ，半径为r ，弧长为l .则⎩⎨⎧l ＋2r ＝6，12l ·r ＝2，∴⎩⎨⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎨⎧r ＝2，l ＝2.∴α＝l r＝4或α＝1.∴选C.5．已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( ) A ．2B ．－2C ．2－π2D.π2－2 [答案] C[解析] 点P 位于第一象限，且tan α＝－cot2＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，∵2－π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝2－π2.6．若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且A <B <C ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ≠π2，则下列结论中正确的是( )A ．sin A <sin CB ．cos A <cosC C ．tan A <tan CD ．cot A <cot C[答案] A[解析] 解法1：若C 为锐角，由已知A <B <C 及单调性可排除B 、D ；若C 为钝角，则tan A <tan C 不成立，选A.解法2：由三角形中大边对大角及正弦定理可知：A <C ⇔a <c ⇔sin A <sin C ，选A.7．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( ) A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±3[答案] D[解析] 由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或± 3.8．若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这圆心角所对的弧长等于( ) A ．sin 12B.π6C.1sin12D ．2sin 12[答案] C[解析] 设圆的半径为r .由题意知r ·sin 12＝1，∴r ＝1sin 12，∴弧长l ＝α·r ＝1sin12.二、填空题9．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α为第__________象限角． [答案] 一或三[解析] 当k ＝2n 时，α＝n ·360°＋45°，当k ＝(2n ＋1)时，α＝n ·360°＋225°， ∴α为第一或第三象限角．10．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________． [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，π＋2k π(k ∈Z )[解析] 由题意知⎩⎨⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ≥0，cos x ≤0，∴x 范围为π2＋2k π≤x ≤π＋2k π(k ∈Z )11．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．[答案] 2[解析] 依题意：⎩⎨⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10.解得：m ＝1，n ＝3或m ＝－1，n ＝－3，又sin α<0，∴α的终边落在第三象限，∴n <0， ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 三、解答题12．已知扇形的面积为S ，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值．[解析] 设l 为扇形的弧长，由S ＝12l ·r 得l ＝2Sr ，故扇形的周长C ＝2r ＋2Sr.即2r 2－C ·r ＋2S ＝0.由于r 存在，故方程有解，因此有Δ＝C 2－16S ≥0，即C ≥4S .∴周长C 的最小值为4S .此时，r ＝C ±Δ2×2＝S ，中心角α＝2Sr 2＝2rad所以当扇形的中心角为2rad 时，扇形的周长最小，最小值为4S .13．已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα＋1tanα的值．[解析] ∵P(x，－2)(x≠0)，∴点P到原点的距离r＝x2＋2.又cosα＝36x，∴cosα＝xx2＋2＝36x.∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝2 3.当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sinα＝－66，1tanα＝－5，∴sinα＋1tanα＝－66－5＝－65＋66；当x＝－10时，同样可求得sinα＋1tanα＝65－66.14．设f(x)＝cos xcos30°－x，求f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)的值．[解析] f(x)＋f(60°－x)＝cos xcos30°－x＋cos60°－xcos x－30°＝cos x＋cos60°－xcos30°－x＝3cos x－30°cos30°－x＝ 3.∴f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝(f(1°)＋f(59°))＋(f(2°)＋f(58°))＋…＋(f(29°)＋f(31°))＋f (30°)＝293＋32＝5932. 15．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点P (1，－2)．求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3的值．[解析] ∵P (1，－2)是角α终边上一点，由此求得r ＝|OP |＝5， ∴sin α＝－255，cos α＝55. ∵sin2α＝2sin αcos α＝－45，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝cos2αcos π3＋sin2αsin π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45·32＝－3＋4310.hE734152 8568 蕨}0u€34429 867D 虽34514 86D2 蛒Y37193 9149 酉39787 9B6B 魫25584 63F0揰28709 7025 瀥。

《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版课时作业4 Word版含解析

课时作业4 函数及其表示一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2022·江西理，2)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xx C ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：本题考查函数的定义域，由于y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，满足条件的函数只有D ，故选D.答案：D2．(2022·北京海淀)假如f (1x )＝x1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝________.( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1解析：令1x ＝t ，得x ＝1t . ∴f (t )＝1t1－1t ＝1t －1∴f (x )＝1x －1.答案：B3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α＝( )A. －4或－2B. －4或2 C ．－2或4D ．－2或2解析：本题主要考查分段函数求函数值等基础学问．当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4；当α>0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2. 综之：α＝－4或2，选B. 答案：B4．下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( ) ①A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2 ②A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ③A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0 A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：对于①，当0∈A 时，y ＝0∉B ，故①所给的对应法则不是A 到B 的映射，当然它不是A 上的函数关系；对于②，当2∈A 时，y ＝2∉B ，故②所给的对应法则不是A 到B 的映射，当然它不是A 上的函数关系；对于③，对于A 中的任一个数，依据对应法则，在B 中都有唯一元素0和它对应，故③所给的对应法则是A 到B 的映射，这两个数集之间的关系是集合A 上的函数关系．答案：B5．(2022·福建厦门3月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5]，则方程f (x )。

北师大版高考数学选修4-5同步练习题第1章章末复习

章末复习学习目标 1.梳理本章的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对平均值不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值不等式的应用.4.熟练掌握不等式的证明方法．1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可．2．不等式的4个基本性质及5个推论．3．绝对值不等式(1)绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法有：①根据绝对值的定义；②分区间讨论(零点分段法)；③图像法．(2)绝对值三角不等式①|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a －b|的几何意义表示数轴上两点间的距离； ②|a ＋b|≤|a|＋|b|(a ，b ∈R ，ab ≥0时等号成立)；③|a －c|≤|a －b|＋|b －c|(a ，b ，c ∈R ，(a －b)(b －c)≥0时等号成立)；④||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b|(a ，b ∈R ，左边“＝”成立的条件是ab ≤0，右边“＝”成立的条件是ab ≥0)；⑤||a|－|b||≤|a －b|≤|a|＋|b|(a ，b ∈R ，左边“＝”成立的条件是ab ≥0，右边“＝”成立的条件是ab ≤0)．4．平均值不等式(1)定理1：若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)．(2)定理2：若a ，b ∈R ＋，则a ＋b 2≥ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)． (3)定理3：若a ，b ，c ∈R ＋，则a 3＋b 3＋c 3≥3abc(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(4)定理4：若a ，b ，c ∈R ＋，则a ＋b ＋c 3≥3abc(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)． (5)推论：若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时取“＝”．5．不等式的证明方法(1)比较法．(2)分析法．(3)综合法．(4)反证法．(5)几何法．(6)放缩法．类型一绝对值不等式的解法例1 解下列关于x 的不等式．(1)|x ＋1|＞|x －3|；(2)|x －2|－|2x ＋5|＞2x.解 (1)方法一 |x ＋1|＞|x －3|，两边平方得(x ＋1)2＞(x －3)2，∴8x ＞8，∴x ＞1.∴原不等式的解集为{x|x ＞1}．方法二分段讨论：当x ≤－1时，有－x －1＞－x ＋3，此时x ∈∅；当－1＜x ≤3时，有x ＋1＞－x ＋3，即x ＞1，∴此时1＜x ≤3；当x ＞3时，有x ＋1＞x －3，∴x ＞3.∴原不等式解集为{x|x ＞1}．(2)分段讨论：①当x ＜－52时，原不等式变形为2－x ＋2x ＋5＞2x ，解得x ＜7，∴不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－52. ②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5＞2x ，解得x ＜－35， ∴不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －52≤x ＜－35. ③当x ＞2时，原不等式变形为x －2－2x －5＞2x ，解得x ＜－73，∴原不等式无解．综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－35. 反思与感悟含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．这种方法通常称为零点分段法．跟踪训练1 已知函数f(x)＝|x －a|，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f(x)≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x ≤2}，求a 的值．解 (1)当a ＝2时，f(x)＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f(x)≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f(x)≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f(x)≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5.所以f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x ≤1或x ≥5}．(2)记h(x)＝f(2x ＋a)－2f(x)，则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a.由|h(x)|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，解得a ＝3.类型二不等式的证明例2 已知a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 证明 ∵a ＞b ＞c ＞d ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，c －d ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d ·[(a－b)＋(b －c)＋(c －d)] ≥331a －b ·1b －c ·1c －d ·33(a －b )(b －c )(c －d )＝9. ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 反思与感悟不等式证明的基本方法是比较法，分析法，综合法，在证明时注意对所证不等式恰当分组，选择适当的方法进行证明．跟踪训练2 已知a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋c ab ≥3(a ＋b ＋c)．证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c ∈R ＋，因此只需证(a ＋b ＋c)2≥3，即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca)≥3，根据条件，只需证a 2＋b 2＋c 2≥1＝ab ＋bc ＋ca ，由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号可知，原不等式成立． (2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc ，在(1)中已证a ＋b ＋c ≥3，∴要证原不等式成立，只需证1abc ≥a ＋b ＋c ， ∵ab ＋bc ＋ca ＝1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1＝ab ＋bc ＋ca.∵a ，b ，c ∈R ＋，a bc ＝ab·ac≤ab ＋ac 2， b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤ac ＋bc 2， ∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)成立， ∴原不等式成立．类型三利用平均值不等式求最值例3 已知x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为______．答案 3解析由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2，则y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz＝3，当且仅当x ＝3z 时取“＝”．反思与感悟利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)当和为定值时，积有最大值．(2)当积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．跟踪训练3 当0＜x ＜π2时，函数f(x)＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x的最小值为________．答案 4解析 f(x)＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin xcos x ＝cos x sin x ＋4sin x cos x ， ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＞0，sin x ＞0. 故f(x)＝cos x sin x ＋4sin x cos x≥2cos x sin x ·4sin x cos x ＝4，当且仅当tan x ＝12时取“＝”．类型四恒成立问题例4 设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －4|－a.(1)当a ＝1时，求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)≥4a＋1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f(x)＝|x ＋1|＋|x －4|－1≥|x ＋1＋4－x|－1＝4，∴f(x)min ＝4.(2)f(x)≥4a＋1对任意的实数x 恒成立 ⇔|x ＋1|＋|x －4|－1≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立 ⇔a ＋4a≤4. 当a ＜0时，上式成立；当a ＞0时，a ＋4a ≥2a·4a ＝4，当且仅当a ＝4a，即a ＝2时上式取等号，此时a ＋4a≤4成立．综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{2}．反思与感悟不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题．当然，根据题目特点，还可能用变更主次元、数形结合等方法．跟踪训练4 已知f(x)＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若|f(x)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2|≤k 恒成立，求k 的取值范围．解 (1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2，∵f(x)≤3的解集为{x|－2≤x ≤1}，∴当a ≤0时，不合题意．又当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a， ∴a ＝2.(2)令h(x)＝f(x)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|2x ＋1|－|2x ＋2|， ∴h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1，x ≥－12，∴|h(x)|≤1， ∴k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞)．1．给出下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则algc ＞blgc ；②若a ＞b ，c ＞0，则algc ＞blgc ；③若a ＞b ，则a·2c ＞b·2c；④若a ＜b ＜0，c ＞0，则c a ＞c b. 其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ①正确，c ＞1，lg c ＞0；②不正确，当0＜c ≤1时，lg c ≤0；③正确，2c ＞0；④正确，由a ＜b＜0，得0＞1a ＞1b ，故c a ＞c b. 2．设a ，b 为正实数，以下不等式恒成立的是( ) ①ab ＞2ab a ＋b ；②a ＞|a －b|－b ；③a 2＋b 2＞4ab －3b 2；④ab ＋2ab＞2. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案 D解析 ①不恒成立，因为a ＝b 时取“＝”；②恒成立，因为a ，b 均为正数；③不恒成立，当a ＝2，b ＝1时，a 2＋b 2＝5,4ab －3b 2＝5，a 2＋b 2＝4ab －3b 2.④是恒成立的，因为ab ＋2ab≥22＞2. 3．若a ＝lg22，b ＝lg33，c ＝lg55，则( ) A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 答案 C解析 a ＝3lg 26＝lg 86，b ＝2lg 36＝lg 96， ∵9＞8，∴b ＞a.b ＝lg 33＝lg 3515，c ＝lg 55＝lg 5315， ∵35＞53，∴b ＞c.a ＝lg 2510＝lg 3210，c ＝lg 2510， ∵32＞25，∴a ＞c.∴b ＞a ＞c ，故选C.4．求不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x ＋x 22＜1的解集．解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x ＋x 22＜1⇔－1＜1＋x ＋x 22＜1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋4＞0⇒x ∈R ，x 2＋2x ＜0⇒－2＜x ＜0.∴原不等式的解集为(－2,0)．5．若不等式|x －a|＋|x －2|≥1对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解设y ＝|x －a|＋|x －2|，则y min ＝|a －2|.因为不等式|x －a|＋|x －2|≥1对任意x ∈R 恒成立．所以|a －2|≥1，解得a ≥3或a ≤1.1．本章的重点是平均值不等式、绝对值不等式和不等式的证明方法．要特别注意含绝对值不等式的解法．2．重点题型有利用不等式的基本性质、平均值不等式、绝对值不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式．3．重点考查利用不等式的性质、平均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题．4．证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养．一、选择题1．a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是( )A.ab＋ba≥2 B.b2a＋a2b≥a＋bC.ba2＋ab2≤a＋babD.1a2＋1b2≥2ab答案 C解析A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0，正确；B选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确．2．设0<x<1，则a＝2x，b＝x＋1，c＝11－x中最大的是( )A．c B．bC．a D．随x取值不同而不同答案 A解析∵0<x<1，∴b＝x＋1>2x>2x＝a，∵11－x－(x＋1)＝1－(1－x2)1－x＝x21－x>0，∴c>b>a.3．“a＜4”是“对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件答案 B解析∵|2x－1|＋|2x＋3|≥|2x－1－(2x＋3)|＝4，∴当a＜4时⇒|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立，即充分条件；对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a⇒a≤4，不能推出a＜4，即必要条件不成立．4．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是( )A．(－∞，0] B．[－1,0]C．[0,1] D．[0，＋∞)答案 C解析作出y＝|x＋1|与l1：y＝kx的图象如图所示，当k<0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k ＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k>0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1.综上可知k ∈[0,1]．5．设a ＝(m 2＋1)(n 2＋4)，b ＝(mn ＋2)2，则( )A ．a ＞bB ．a<bC ．a ≤bD ．a ≥b 答案 D解析 ∵a －b ＝(m 2＋1)(n 2＋4)－(mn ＋2)2＝4m 2＋n 2－4mn ＝(2m －n)2≥0，∴a ≥b.6．已知a ，b ，c ，d 为实数，ab ＞0，－c a ＜－d b，则下列不等式中成立的是( ) A ．bc ＜adB ．bc ＞ad C.a c ＞b dD.a c ＜b d答案 B解析将－c a ＜－d b两边同乘以正数ab ，得－bc ＜－ad ，所以bc ＞ad. 二、填空题7．已知不等式|x ＋2|－|x|≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．答案 [－2，＋∞)解析 ∵||x ＋2|－|x||≤|x ＋2－x|＝2，∴2≥|x ＋2|－|x|≥－2，∵不等式|x ＋2|－|x|≤a 的解集不是空集，∴a ≥－2.8．当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1的大小关系是________．答案 x 3＞x 2－x ＋1解析 ∵x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)，且x ＞1，∴(x －1)(x 2＋1)＞0.∴x 3－(x 2－x ＋1)＞0，即x 3＞x 2－x ＋1.9．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y)⊗x 的最小值为________．答案 2解析因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y)⊗x ＝4y 2－x 22xy. 又x ＞0，y ＞0，故x ⊗y ＋(2y)⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy 2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时等号成立．10．若f(x)＝2|x ＋1|－|x －1|且f(x)≥22，则x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析 ∵f(x)＝2x是增函数，∴f(x)≥22，即|x ＋1|－|x －1|≥32， ①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，2≥32，∴x ≥1，②⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜x ＜1，2x ≥32，∴34≤x ＜1， ③⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－2≤32，无解．综上x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 11．已知函数f(x)＝|x －a|，若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，则实数a 的值为________．答案 2解析由f(x)≤3，得|x －a|≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2，所以实数a 的值为2.三、解答题12．已知函数f(x)＝1＋x 2，a ≠b ，设a ，b ∈R ，求证：|f(a)－f(b)|<|a －b|.证明方法一 |f(a)－f(b)|<|a －b|⇔|1＋a 2－1＋b 2|<|a －b|⇔|1＋a 2－1＋b 2|2<|a －b|2⇔2＋a 2＋b 2－2(1＋a 2)(1＋b 2)<a 2－2ab ＋b 2⇔1＋ab<(1＋a 2)(1＋b 2).①当1＋ab ≤0时，①式显然成立．当1＋ab>0时，①⇔(1＋ab)2<[(1＋a 2)(1＋b 2)]2⇔1＋2ab ＋a 2b 2<1＋a 2＋b 2＋a 2b 2⇔2ab<a 2＋b 2，∵a ≠b ，∴2ab<a 2＋b 2成立．∴①式成立．综上知，原不等式成立．方法二当a ＝－b 时，原不等式显然成立．当a ≠－b 时，∵|1＋a 2－1＋b 2|＝|(1＋a 2)－(1＋b 2)|1＋a 2＋1＋b 2<|a 2－b 2||a|＋|b|≤|a ＋b|·|a－b||a ＋b|＝|a －b|， ∴原不等式成立．13．(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f(x)≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f(x)≥1，解得x ＞2.所以f(x)≥1的解集为{x|x ≥1}．(2)由f(x)≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x|－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54，故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 四、探究与拓展14．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b|＜|c －d|的充要条件．证明 (1)因为(a ＋b)2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d)2＝c ＋d ＋2cd ，又a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd ，所以(a ＋b)2＞(c ＋d)2. 因此a ＋b ＞c ＋ d.(2)①若|a －b|＜|c －d|，则(a －b)2＜(c －d)2,即(a ＋b)2－4ab ＜(c ＋d)2－4cd.因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd.由(1)得a ＋b ＞c ＋ d. ②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b)2＞(c ＋d)2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd.因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab ＜(c ＋d)2－4cd ＝(c －d)2.因此|a －b|＜|c －d|. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b|＜|c －d|的充要条件．15．(2018·全国Ⅰ)已知f(x)＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f(x)＞x 成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f(x)＝|x ＋1|－|x －1|，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f(x)＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞12. (2)当x ∈(0,1)时，|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时，|ax －1|＜1成立．若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜2a ，所以2a≥1，故0＜a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．。

《创新设计》2021版高考数学(北师大版理科)一轮复习练习：选修4-5 Word版含答案

(建议用时：50分钟)1.(2021·湖南卷)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明： (1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不行能同时成立.证明由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1. (1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则由a 2＋a ＜2及a ＞0得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1冲突.故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不行能同时成立. 2.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围.解(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1；当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1，或x ≥4}. (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔ 4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围是[－3，0].3.已知a ，b ，c 均为正实数，且互不相等，且abc ＝1，求证：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c . 证明法一 ∵a ，b ，c 均为正实数，且互不相等，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ca ＋1ab ＜1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c .∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b＋1c .法二 ∵1a ＋1b ≥21ab ＝2c ；1b ＋1c ≥21bc ＝2a ；1c ＋1a ≥21ac ＝2b .∴以上三式相加，得1a ＋1b ＋1c ≥ a ＋b ＋c . 又∵a ，b ，c 互不相等，∴1a ＋1b ＋1c ＞a ＋b ＋c . 法三 ∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2＞abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c .4.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.证明 (1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a＋a ＋b b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4 b a ×ab ＋4＝8.∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立). (2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab ＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab ≥8.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.5.(2021·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＞1化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得23＜x ＜1；当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2.所以f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23＜x ＜2.(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x ＜－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x ＞a .所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2＞6，故a ＞2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).6.已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]. (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 大于0，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. (1)解 ∵f (x ＋2)＝m －|x |， ∴f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0且其解集为{x |－m ≤x ≤m }. 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1.(2)证明由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，且a ，b ，c 大于0， a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c≥3＋22ab2ab ＋23c a ·a 3c ＋23c 2b ·2b 3c ＝9.当且仅当a ＝2b ＝3c ＝13时，等号成立.因此a ＋2b ＋3c ≥9. 7.设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3； (2)假如∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围.解(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ＜－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x ＞1.作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图像.由图像可知，不等式f (x )≥3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ≥32. (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|，不满足题设条件；若a ＜1，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a ＜x ＜1，2x －（a ＋1），x ≥1，f (x )的最小值为1－a ；若a ＞1，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1＜x ＜a ，2x －（a ＋1），x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2，∴当a ＜1时，1－a ≥2， ∴a ≤－1，当a ＞1时，a －1≥2，∴a ≥3. ∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞).8.设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N . (1)求M ；(2)当x ∈(M ∩N )时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14. (1)解 f (x )＝⎩⎨⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43；当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43}.(2)证明由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x ≤34. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14.。

2021版高考数学一轮复习第五章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标表示练习理北师大版

第2讲平面向量基本定理及坐标表示[基础题组练]1．在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1，2)，a －12b ＝(3，1)，c ＝(x ，3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D.因为a －12b ＝(3，1)，所以a －(3，1)＝12b ，则b ＝(－4，2)．所以2a ＋b＝(－2，6)．又(2a ＋b )∥c ，所以－6＝6x ，x ＝－1.故选D.2．(2020·安徽合肥第一次质检)设向量a ＝(－3，4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，85B ．(－6，8) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，－85D ．(6，－8)解析：选D.因为向量b 与向量a 方向相反，所以可设b ＝λa ＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b |＝9λ2＋16λ2＝25λ2＝5|λ|＝－5λ＝10，所以λ＝－2，所以b ＝(6，－8)．故选D.3．已知向量AC →，AD →和AB →在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，则AD →＝(1，0)，AC →＝(2，－2)，AB →＝(1，2)．因为AC →＝λAB →＋μAD →，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3.所以λ＋μ＝2.故选A. 4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ，3m －4)，b ＝(1，2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C.平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m ，3m －4)，b ＝(1，2)，则m ×2－(3m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( )A ．2 2B ． 2C ．2D ．4 2解析：选A.因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2020·湖北荆门阶段检测)在△AOB 中，AC →＝15AB →，D 为OB 的中点，若DC →＝λOA →＋μOB →，则λμ的值为________．解析：因为AC →＝15AB →，所以AC →＝15(OB →－OA →)，因为D 为OB 的中点，所以OD →＝12OB →，所以DC →＝DO →＋OC →＝－12OB →＋(OA →＋AC →)＝－12OB →＋OA →＋15(OB →－OA →)＝45OA →－310OB →，所以λ＝45，μ＝－310，则λμ的值为－625.答案：－6257．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(1，2)，OB →＝(－2，－1)，若2AP →＝AB →，则|OP →|＝________. 解析：设P 点坐标为(x ，y )，AB →＝OB →－OA →＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，AP →＝(x－1，y －2)，由2AP →＝AB →得，2(x －1，y －2)＝(－3，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －2＝－3，2y －4＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝12.故|OP →|＝14＋14＝22. 答案：228．已知A (－3，0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．解析：由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)，则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°，所以tan 150°＝3－3λ，即－33＝－33λ，所以λ＝1. 答案：19．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ，所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)．所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)，所以N (9，2)．所以MN →＝(9，－18)． 10.如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD ＝45°，CD →＝xOA →＋yBC →，求x ＋y 的值．解：不妨设⊙O 的半径为1，以圆心O 为坐标原点，以OB ，OD 为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，D (0，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.所以CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.又CD →＝xOA →＋yBC →，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32＝x (－1，0)＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＝－x －12y ，1＋32＝－32y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋33，y ＝－3＋233.所以x ＋y ＝3＋33－3＋233＝－33.[综合题组练]1．已知P ＝{}a |a ＝（1，0）＋m （0，1），m ∈R ，Q ＝{b |b ＝(1，1)＋n (－1，1)，n∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A.{}（1，1） B ．{}（－1，1） C.{}（1，0）D ．{}（0，1）解析：选A.设a ＝(x ，y )，则所以集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理，集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{}（x ，y ）|x ＝1，y ∈R ，Q ＝{}（x ，y ）|x ＋y －2＝0，所以P ∩Q ＝{}（1，1）.故选A.2．(2020·包河区校级月考)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，合得其中较长的一段AC 是全长与另一段CB 的比例中项，即满足AC AB ＝BC AC ＝5－12，后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点，在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，设AP →x 1AB→＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则x 1x 2＋y 1y 2＝( )A.5＋12B ．2 C. 5D ．5＋1解析：选C.由题意， AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5－12BC →＝AB →＋3－52(AC →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－3－52AB →＋3－52AC →＝5－12AB →＋3－52AC →，同理，AQ →＝AB →＋BQ →＝AB →＋5－12BC →＝AB →＋5－12(AC →－AB →)＝3－52AB →＋5－12AC →. 所以x 1＝y 2＝5－12，x 2＝y 1＝3－52. 所以x 1x 2＋y 1y 2＝5－13－5＋3－55－1＝ 5.3．(创新型)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为________．解析：因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)，即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)，令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2)．答案：(0，2)4．已知非零不共线向量OA →，OB →，若2OP →＝xOA →＋yOB →，且PA →＝λAB →(λ∈R )，则点P (x ，y )的轨迹方程是________．解析：由PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)，即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y －2＝0.答案：x ＋y －2＝0 5．(一题多解)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解：法一：以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC →|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC →|sin α＝2×752＝75，即C ⎝⎛⎭⎪⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin (α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB →|sin (α＋45°)＝45，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，由OC →＝m OA →＋n OB →，可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3. 法二：由tan α＝7，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，OB →·OC →＝1×2×22＝1，OA →·OC →＝1×2×152＝15，OA →·OB→＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－35，由OC →＝m OA →＋n OB →，得OC →·OA →＝m OA →2＋n OB →·OA →，即15＝m －35n ①，同理可得OC →·OB →＝m OA →·OB →＋n OB →2，即1＝－35m ＋n ②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74.所以m＋n ＝54＋74＝3.6.已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝120°，AD 为角平分线． (1)求AD 的长度；(2)过点D 作直线交AB ，AC 的延长线于不同两点E ，F ，且满足AE →＝xAB →，AF →＝yAC →，求1x＋2y的值，并说明理由．解：(1)根据角平分线定理：DB DC ＝AB AC ＝2，所以BD BC ＝23，所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，所以AD →2＝19AB →2＋49AB →·AC →＋49AC →2＝49－49＋49＝49，所以AD ＝23.(2)因为AE →＝xAB →，AF →＝yAC →，所以AD →＝13AB →＋23AC →＝13x AE →＋23y AF →，因为E ，D ，F 三点共线，所以13x ＋23y ＝1，所以1x ＋2y ＝3.。

2022届高考数学一轮复习第四章第一节平面向量的概念及线性运算课时作业理(含解析)北师大版

第一节平面向量的概念及线性运算授课提示：对应学生用书第315页[A组基础保分练]1．如图所示，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝（）A．0 B．BE→C．AD→D．CF→解析：由题图知BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝CB→＋BF→＝CF→．答案：D2．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于（）A．OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→解析：OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝（OA→＋OC→）＋（OB→＋OD→）＝2OM→＋2OM→＝4OM→．答案：D3．（2021·合肥模拟）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA→－12OB→－3OC→＝0，则（）A．OA→＝12AB→＋3AC→B．OA→＝12AB→－3AC→C．OA→＝－12AB→＋3AC→D．OA→＝－12AB→－3AC→解析：对于A，OA→＝12AB→＋3AC→＝12（OB→－OA→）＋3（OC→－OA→）＝12OB→＋3OC→－15OA→，整理，可得16OA→－12OB→－3OC→＝0，这与题干中条件相符合．答案：A4．已知e1，e2是不共线向量，a＝m e1＋2e2，b＝n e1－e2，且mn≠0．若a∥b，则mn等于（）A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ（n e 1－e 2），则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，故m n＝－2．答案：C5．（2021·潍坊模拟）若M 是△ABC 内一点，且满足BA →＋BC →＝4BM →，则△ABM 与△ACM 的面积之比为（）A ．12B ．13C ．14D ．2解析：设AC 的中点为D ，则BA →＋BC →＝2BD →，于是2BD →＝4BM →，从而BD →＝2BM →，即M 为BD的中点，于是S △ABM S △ACM ＝S △ABM 2S △AMD ＝BM 2MD ＝12．答案：A6．如图所示，在等边△ABC 中，O 为△ABC 的重心，点D 为BC 边上靠近B 点的四等分点．若OD →＝xAB→＋yAC →，则x ＋y ＝（）A ．112 B ．13C ．23 D ．34解析：设点E 为BC 的中点，连接AE （图略），可知O 在AE 上，由OD →＝OE →＋ED →＝13AE →＋14CB →＝16（AB →＋AC →）＋14（AB →－AC →）＝512AB →－112AC →，故x ＝512，y ＝－112，x ＋y ＝13．答案：B7．如图所示，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C 在AB 上，OC ⊥AB ．若用OA →和OB →来表示向量OC→，则OC →＝_________．解析：易知OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14（OB →－OA →）＝34OA →＋14OB →．答案：34OA →＋14OB →8．（2021·邯郸模拟）设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝_________．解析：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ（a ＋2b ），即（λ－μ）a ＋（1－2μ）b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12．答案：129．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，求1n ＋1m的值．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13（a ＋b ）， PQ →＝OQ →－OP→＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝13（a ＋b ）－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ．由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →，即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3．10．在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上．若c 与x a ＋y b （x ，y 为非零实数）共线，求xy的值．解析：设e 1，e 2分别为水平方向（向右）与竖直方向（向上）的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ（x a ＋y b ），所以e 1－2e 2＝2λ（x －y ）e 1＋λ（x －2y ）e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ（x －y ）＝1，λ（x －2y ）＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，所以x y 的值为65．[B 组能力提升练]1．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b ．若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件．答案：A2．（2021·丹东五校协作体联考）P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA →＋PB →＋PC →＝2AB→，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为（）A ．2B ．3C ．4D ．8解析：因为PA →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2（PB →－PA →），所以3PA →＝PB →－PC →＝CB →，所以PA →∥CB →，且方向相同．所以S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →|＝3，所以S △PAB ＝S △ABC3＝2．答案：A3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于（） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13bC ．12a ＋14b D ．13a ＋23b解析：如图所示，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，AD →＝12a ＋12b ，AB →＝12a －12b ，DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ，所以DF →＝13AB →．所以AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12b ＝23a ＋13b ．答案：B4．如图所示，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB →＝（）A ．AC →－AD →B ．2AC →－2AD → C ．AD →－AC → D ．2AD →－2AC →解析：连接CD （图略），因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以CD ∥AB ，且AB ＝2CD ，所以AB →＝2CD →＝2（AD →－AC →）＝2AD →－2AC →．答案：D5．在△ABC 中，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB→，则λ＝_________．解析：∵A ，D ，B 共线，∴13＋λ＝1，∴λ＝23．答案：236．（2021·包头模拟）如图所示，在△ABC 中，AH ⊥BC 交BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝_________．解析：因为AM →＝12（AB →＋BH →）＝12[AB →＋x （AB →－AC →）]＝12[（1＋x ）AB →－xAC →]，又因为AM→＝λAB →＋μAC →，所以1＋x ＝2λ，2μ＝－x ，所以λ＋μ＝12．答案：127．设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2．（1）求证：A ，B ，D 三点共线；（2）若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解析：（1）证明：由已知得BD →＝CD →－CB→＝（2e 1－e 2）－（e 1＋3e 2）＝e 1－4e 2．因为AB →＝2e 1－8e 2，所以AB →＝2BD →．又AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线．（2）由（1）可知BD →＝e 1－4e 2，且BF →＝3e 1－k e 2，由B ，D ，F 三点共线得BF →＝λBD →，即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12． [C 组创新应用练]1．（2021·郑州模拟）如图所示，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：①OA→＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →－15OB →．若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（）A ．①②B ．②④C ．①③D ．③⑤解析：在ON 上取点C ，使得OC ＝2OB ，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OCDA （图略），则OD →＝OA →＋2OB →，其终点不在阴影区域内，排除A ，C ；取线段OA 上一点E ，使AE ＝14OA ，作EF ∥OB ，交AB 于点F ，则EF ＝14OB ，由于EF ＜13OB ，所以34OA →＋13OB →的终点不在阴影区域内，排除选项D ．答案：B2．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ．若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →（λ∈R ），则AD 的长为_________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图所示，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，因为△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，所以四边形AMDN 是菱形，因为AB ＝4，所以AN ＝AM ＝3，AD ＝33．答案：333．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →（α，β∈R ），则α＋β的取值范围是_________．解析：当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3，4]．答案：[3，4]。

2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试4-6 北师大版

2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试4-6 北师大版一、选择题1．(xx·全国卷Ⅱ)已知sinα＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53 B ．－19C.19D.53[答案] B[解析] 本题考查了诱导公式、三角恒等变形及倍半角公式的应用．由诱导公式得cos(π－2α)＝－cos2α， ∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×49＝19，∴cos(π－2α)＝－19.2．函数f(x)＝sin2x ＋3sinxcosx 在区间[π4，π2]上的最大值是( ) A ．1 B.1＋32C.32 D ．1＋3[答案] C[解析] f(x)＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，f(x)max ＝1＋12＝32，故选C.3．已知t an2α＝－22，且满足π4<α<π2，则 2cos2α2－sinα－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α 的值为( )A. 2B ．－2C ．－3＋2 2D ．3－22[答案] C[解析] 2cos2α2－sinα－12sin π4＋α＝cosα－sinαsinα＋cosα＝1－tanαtanα＋1.又tan2α＝－22＝2tanα1－tan2α∴22tan2α－2tanα－22＝0.解得tanα＝－22或 2. 又π4<α<π2，∴tanα＝ 2. 原式＝1－22＋1＝－3＋2 2.故选C. 4．(xx·新课标理)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12C ．2D ．－2[答案] A[解析] 本题综合考查了同角三角函数的基本公式以及二倍角公式的逆运用． ∵cosα＝－45且α是第三象限的角，∴sinα＝－35，∴1＋tan α21－tan α2＝cosα2＋sin α2cos α2cos α2－sin α2cosα2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＝1＋sinαcos2α2－sin2α2＝1＋sinαcosα＝1－35－45＝－12，故选A.5．已知sinα＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin2αcos2α的值为( )A ．－34B ．－32C.34D.32[答案] B[解析] ∵sinα＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cosα＝－45，∴sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2sinαcosα＝2×35－45＝－32.6．函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值为( )A．5 B.9 2C.12D.52[答案] C[解析] f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝32sin2x－2cos2x－2＝52sin(2x－θ)－2，其中tanθ＝43，所以f(x)的最大值是52－2＝12.故选C.7.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是( ) A．4cos4－2sin4 B．2sin4C．2sin4－4cos4 D．－2sin4[答案] C[解析] 2＋2cos8＋21－sin8＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，∵π<4<5π4，∴cos4<sin4<0.∴原式＝－2cos4＋2(sin4－cos4)＝2sin4－4cos4.故选C.8．设5π<θ<6π，cos θ2＝a，则sinθ4等于( )A.1＋a2B.1－a2C．－1＋a2D．－1－a2[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sinθ4<0，∵a＝cos θ2＝1－2sin2θ4，∴sin θ4＝－1－a2.二、填空题9．设a＝12cos6°－32sin6°，b＝2tan13°1＋tan213°，c＝1－cos50°2，则a、b、c的大小关系为______(由小到大排列)．[答案] a<c<b[解析] a＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°，∵y＝sinx在(0°，90°)上单增，∴a<c<b.10．已知π2<α<π，化简12－1212－12cos2α＝________.[答案] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4[解析] 原式＝12－12|sinα| ＝12－12sinα＝sin α2－cosα222＝22⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4. 11．若sinα·cosβ＝12，则cosα·sinβ的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12[解析] 解法一：设t ＝cosα·sinβ，又sinα·cosβ＝12，∴sinα·cosβ·sinβ·cosα＝12t ，即sin2α·sin2β＝2t ，|sin2α·sin2β|≤1. ∴2|t|≤1，即－12≤t≤12.∴cosα·sinβ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.解法二：由sinα·cosβ＝12知sin2α·cos2β＝14.则cos2α·sin2β＝(1－sin2α)(1－cos2β)＝1－(sin2α＋cos2β)＋sin2αcos2β＝54－(sin2α＋cos2β)≤54－2sin2αcos2β＝14，所以－12≤cosα·sinβ≤12.三、解答题12．已知函数f(x)＝asinx·cosx－3acos2x＋32a＋b.(a>0)(1)x∈R，写出函数的单调递减区间；(2)设x∈[0，π2]，f(x)的最小值是－2，最大值是3，求实数a，b的值．[解析](1)f(x)＝a(sinx·cosx－3cos2x＋32)＋b＝a×(12sin2x－3×1＋cos2x2＋32)＋b＝a·sin(2x－π3)＋b∵a>0，x∈R，∴由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)得，f(x)的递减区间是[kπ＋512π，kπ＋1112π](k∈Z)(2)∵x∈[0，π2]，∴2x－π3∈[－π3，2π3]∴sin(2x－π3)∈[－32，1]∴函数f(x)的最小值是－32a＋b＝－2最大值a＋b＝3，解得a＝2，b＝3－2.13．在△ABC中，已知a·cos2C2＋c·cos2A2＝32b.(1)求证：a、b、c成等差数列；(2)求角B的范围．[解析] (1)由条件得a·1＋cosC2＋c·1＋cosA2＝32b.∴a＋c＋(acosC＋ccosA)＝3b.∴a＋c＋a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc＝3b，∴a＋c＝2b，即a、b、c成等差数列．(2)cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－⎝⎛⎭⎪⎫a＋c222ac＝3a2＋c2－2ac8ac≥3·2ac－2ac8ac＝12.∵B∈(0，π)，∴0<B≤π3 .14．(xx·天津理)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值．(2)若f(x0)＝65，x0∈[π4，π2]，求cos2x0的值．[分析] 本题主要考查二倍角的正弦、余弦、两角和的正弦、函数y＝Asin(ωx ＋φ)的性质，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦等基础知识，考查基本能力．一般思路先整理、化简f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式．[解析] 由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x －1) ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上为减函数，又f(0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x0＋π6.又因为f(x0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x0＋π6＝35.由x0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6，从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x0＋π6＝－1－sin2⎝⎛⎭⎪⎫2x0＋π6＝－45.所以cos2x0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x0＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x0＋π6sin π6＝3－4310. 15．已知向量a ＝(cosx ＋2sinx ，sinx)，b ＝(cosx －sinx,2cosx)．设函数f(x)＝a·b＋12.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数y ＝f(x ＋φ)为偶函数，试求符合题意的φ的值．[分析] 写出y ＝f(x)的表达式是解题的关键．对于(1)，结合题意，利用数量积的坐标运算及三角变换公式得到函数y ＝f(x)的表达式，进而求出函数的单调减区间；对于(2)，函数y ＝f(x ＋φ)为偶函数的实质就是求y 轴是函数y ＝f(x ＋φ)的一条对称轴．考虑到y ＝sinx 的对称轴为x ＝kπ＋π2(k ∈Z)，故可利用整体思想来解决．[解析] (1)由已知可得f(x)＝(cosx ＋2sinx)(cosx －sinx)＋2sinxcosx ＋12＝cos2x －sinxcosx ＋2sinxcosx －2sin2x ＋2sinxcosx ＋12＝cos2x ＋3sinxcosx －2sin2x ＋12＝12(1＋cos2x)＋32sin2x ＋(cos2x －1)＋12 ＝32(sin2x ＋cos2x)＝322sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由2kπ＋π2<2x ＋π4<2kπ＋3π2(k ∈Z)得：kπ＋π8<x<kπ＋5π8(k ∈Z)，所以函数f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π8，kπ＋5π8(k ∈Z)． (2)由(1)知y ＝f(x ＋φ)＝322sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π4.精品文档实用文档由于y ＝sinx 的对称轴为x ＝kπ＋π2(k ∈Z)，令2x ＋2φ＋π4＝kπ＋π2(k ∈Z)，得x ＝kπ＋π4－2φ2(k ∈Z)．因为y ＝f(x ＋φ)为偶函数，所以令x ＝kπ＋π4－2φ2＝0，解得φ＝kπ2＋π8(k ∈Z)．故符合题意的φ＝kπ2＋π8(k ∈Z)． [点评] 注重向量与三角函数的交汇是近几年新课标高考命题的一个特色．熟练掌握数量积的定义及运算法则、三角函数的诱导公式、两角和与差的公式等是解决这类题目的一个前提．复习时要将上述知识融会贯通，有针对性地加强训练．24648 6048 恈127327 6ABF 檿37596 92DC 鋜31068 795C 祜26518 6796 枖26072 65D8 旘<KY24817 60F1 惱-34109 853D 蔽i。

2022高三全国统考数学北师大版(理)一轮复习学案：选修4—5 第1课时绝对值不等式

选修4—5 不等式选讲必备知识预案自诊知识梳理1.绝对值三角不等式(1)定理1:若a,b 是实数,则|a+b|≤ ,当且仅当时,等号成立; (2)性质:|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c 是实数,则|a-c|≤ ,当且仅当时,等号成立. 2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a(a>0)的解法: ①|x|<a ⇔-a<x<a;②|x|>a ⇔x>a 或x<-a.(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: ①|ax+b|≤c ⇔ ;②|ax+b|≥c ⇔ .(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法: ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程及数形结合的思想. 3.基本不等式定理1:设a,b ∈R ,则a 2+b 2≥ ,当且仅当a=b 时,等号成立. 定理2:若a ,b 为正数,则a+b 2≥√ab ,当且仅当a=b 时,等号成立.定理3:若a ,b ,c 为正数,则a+b+c 3≥√abc 3,当且仅当a=b=c 时,等号成立.定理4:若a 1,a 2,…,a n 为n 个正数,则a 1+a 2+…+a nn≥√a 1a 2…a n n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立.4.柯西不等式(1)若a ,b ,c ,d 都是实数,则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd )2,当且仅当ad=bc 时,等号成立.(2)设a 1,a 2,a 3,…,a n ,b 1,b 2,b 3,…,b n 是实数,则(a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)≥(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2,当且仅当b i =0(i=1,2,…,n )或存在一个数k ,使得a i =kb i (i=1,2,…,n )时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量或存在实数k ,使α=k β时,等号成立.5.不等式证明的方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、放缩法以及利用绝对值三角不等式、柯西不等式法等.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)对|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab ≤0时,等号成立.( )(2)|a+b|+|a-b|≥|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.()(4)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”.()(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则n≥m.() 2.若|a-c|<|b|,则下列不等式正确的是()A.a<b+cB.a>c-bC.|a|>|b|-|c|D.|a|<|b|+|c|3.若不等式|x+1x|>|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是() A.(2,3) B.(1,2)C.(1,3)D.(1,4)4.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则√m2+n2的最小值为.5.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是.第1课时绝对值不等式关键能力学案突破考点绝对值不等式的解法【例1】(2020全国1,理23)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.解题心得解含有两个以上绝对值符号的不等式的方法解法1:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;解法2:利用“零点分段法”求解,即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式,体现了分类讨论的思想;解法3:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.对点训练1(2019全国2,理23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.考点求参数范围(多考向探究)考向1分离参数法求参数范围【例2】(2017全国3,理23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解题心得在不等式有解或成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离参数,通过求对应函数最值的方法获得.对点训练2已知f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a,(1)当a=-1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立,求a的取值范围.考向2利用函数最值求参数范围【例3】(2020辽宁大连一中6月模拟,23)已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R.(1)当f(1)+f(-1)>1时,求a的取值范围;(2)若a>0,对任意x,y∈(-∞,a],都有不等式f(x)≤y+5+|y-a|恒成立,求a的取值范围.4解题心得1.对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,得到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最值得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围.2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a;f(x)>a有解⇔f(x)max>a;f(x)<a有解⇔f(x)min<a;f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;f(x)<a无解⇔f(x)min≥a.对点训练3(2020山西太原三模,23)已知函数f(x)=|x+1|+|x-2a|,a∈R.(1)若a=1,解不等式f(x)<4;(2)对任意的实数m,若总存在实数x,使得m2-2m+4=f(x),求实数a的取值范围.考向3恒等转化法求参数范围【例4】(2020全国2,理23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.解题心得在不等式成立的前提下求参数范围,通常对不等式进行等价变形,求出不等式的解,然后根据已知条件确定参数范围.对点训练4(2018全国1,理23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.考点求函数或代数式的最值(多考向探究)考向1利用基本不等式求最值【例5】(2020河北石家庄二模,文23)函数f(x)=|2x-1|+|x+2|.(1)求函数f(x)的最小值;(2)若f(x)的最小值为M,a+2b=2M(a>0,b>0),求证:1a+1+12b+1≥47.解题心得在求某一代数式的最值时,根据已知条件利用基本不等式a 2+b 2≥2ab ,a+b 2≥√ab (a ,b 为正数),a+b+c3≥√abc 3(a ,b ,c 为正数)对代数式进行适当的放缩,从而得出其最值.对点训练5(2020河南开封三模)关于x 的不等式|x-2|<m (m ∈N +)的解集为A ,且32∈A ,12∉A. (1)求m 的值;(2)设a ,b ,c 为正实数,且a+b+c=3m ,求√a +√b +√c 的最大值.考向2 利用绝对值三角不等式求最值【例6】已知函数f (x )=2|x+a|+|x -1a |(a ≠0).(1)当a=1时,解不等式f (x )<4;(2)求函数g (x )=f (x )+f (-x )的最小值.解题心得利用绝对值三角不等式求函数或代数式的最值时,往往需要对函数或代数式中的几个绝对值里面的代数式等价变形,使相加或相减后对消变量,得到常数.对点训练6已知函数f (x )=|2x+1|-|x-1|. (1)求f (x )+|x-1|+|2x-3|的最小值;(2)若不等式|m-1|≥f (x )+|x-1|+|2x-3|有解,求实数m 的取值范围.考向3利用放缩法求最值【例7】(2019全国3,理23)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a≤-3或a≥-1.解题心得利用放缩法求代数式的最值,一般利用基本不等式,绝对值三角不等式及数学结论进行放缩,在放缩的过程中,结合已知条件消去变量得到常量,从而得到代数式的最值.对点训练7已知实数m,n满足2m-n=3.(1)若|m|+|n+3|≥9,求实数m的取值范围;(2)求|53m-13n|+|13m-23n|的最小值.1.绝对值不等式主要利用“零点分段法”求解,有时也利用函数图像通过观察得出不等式的解集.2.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法(1)分离参数法:运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.(2)数形结合法:在研究不等式f (x )≤g (x )恒成立问题时,若能作出两个函数的图像,通过图像的位置关系可直观解决问题.3.求函数或代数式的最值主要应用基本不等式、绝对值三角不等式以及通过放缩求解.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解,要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏.选修4—5 不等式选讲必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)|a|+|b| ab ≥0 (3)|a-b|+|b-c| (a-b )(b-c )≥02.(2)①-c ≤ax+b ≤c ②ax+b ≥c 或ax+b ≤-c3.2ab考点自诊1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.D |a|-|c|≤|a-c|<|b|,即|a|<|b|+|c|,故选D .3.C 因为|x +1|=|x|+|1|≥2,要使对于一切非零实数x ,|x +1|>|a-2|+1恒成立, 则|a-2|+1<2,即1<a<3.4.√5 由柯西不等式可知(a 2+b 2)(m 2+n 2)≥(ma+nb )2,即5(m 2+n 2)≥25,当且仅当an=bm 时,等号成立,所以√m 2+n 2≥√5.5.[-2,4] ∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a )-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a ≤4.第1课时绝对值不等式关键能力·学案突破例1解(1)由题设知f (x )={-x -3,x ≤-13,5x -1,-13<x ≤1,x +3,x >1.y=f (x )的图像如图所示.(2)函数y=f (x )的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=f (x+1)的图像.y=f (x )的图像与y=f (x+1)的图像的交点坐标为-76,-116.由图像可知当且仅当x<-76时,y=f (x )的图像在y=f (x+1)的图像上方. 故不等式f (x )>f (x+1)的解集为(-∞,-76). 对点训练1解(1)当a=1时,f (x )=|x-1|x+|x-2|·(x-1).当x<1时,f (x )=-2(x-1)2<0; 当x ≥1时,f (x )≥0.所以,不等式f (x )<0的解集为(-∞,1). (2)因为f (a )=0,所以a ≥1. 当a ≥1,x ∈(-∞,1)时,f (x )=(a-x )x+(2-x )(x-a )=2(a-x )(x-1)<0. 所以,a 的取值范围是[1,+∞). 例2解(1)f (x )={-3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.当x<-1时,f (x )≥1无解;当-1≤x ≤2时,由f (x )≥1得,2x-1≥1,解得1≤x ≤2; 当x>2时,由f (x )≥1解得x>2. 所以f (x )≥1的解集为{x|x ≥1}.(2)由f (x )≥x 2-x+m 得m ≤|x+1|-|x-2|-x 2+x. 而|x+1|-|x-2|-x 2+x ≤|x|+1+|x|-2-x 2+|x|=-(|x |-32)2+54≤54,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=54. 故m 的取值范围为(-∞,54].对点训练2解(1)当a=-1时原不等式可化为|x+1|-2|x|≥-1,设φ(x )=|x+1|-2|x|={x -1,x ≤-1,3x +1,-1<x <0,-x +1,x ≥0,则{x ≤-1,x -1≥-1,或{-1<x <0,3x +1≥-1,或{x ≥0,-x +1≥-1. 即-23≤x ≤2.所以原不等式的解集为-23,2.(2)若存在x 0∈R 使得f (x 0)≥g (x 0)成立,等价于|x+1|≥2|x|+a 有解, 由(1)即φ(x )≥a 有解,即a ≤φ(x )max ,由(1)可知,φ(x )在(-∞,0)单调递增,在[0,+∞)单调递减, 所以φ(x )max =φ(0)=1,所以a ≤1.故a 的取值范围为(-∞,1].例3解(1)f (1)+f (-1)=|1-a|-|1+a|>1,若a ≤-1,则1-a+1+a>1,得2>1,即当a ≤-1时,不等式恒成立;若-1<a<1,则1-a-(1+a )>1,得a<-12,即-1<a<-12; 若a ≥1,则-(1-a )-(1+a )>1,得-2>1,此时不等式无解. 综上所述,a 的取值范围是-∞,-12.(2)由题意知,要使不等式恒成立,只需f (x )max ≤y+54+|y-a|min .当x ∈(-∞,a ]时,f (x )=-x 2+ax ,f (x )max =f a 2=a 24. 因为y+54+|y-a|≥a+54, 所以当y ∈-54,a 时,y+54+|y-a|min =a+54=a+54.于是a 24≤a+54,解得-1≤a ≤5.结合a>0,所以a 的取值范围是(0,5].对点训练3解(1)当a=1时,f (x )<4,即|x+1|+|x-2|<4,化为{x <-1,2x >-3或{-1≤x ≤2,3<4或{x >2,2x -1<4,解得-32<x<-1或-1≤x ≤2或2<x<52,综上,-32<x<52,即不等式f (x )<4的解集为-32,52.(2)根据题意,得m 2-2m+4的取值范围是f (x )值域的子集.m 2-2m+4=(m-1)2+3≥3,又f (x )=|x+1|+|x-2a|≥|2a+1|, 所以f (x )的值域为[|2a+1|,+∞).故|2a+1|≤3,解得-2≤a ≤1,即实数a 的取值范围为[-2,1].例4解(1)当a=2时,f (x )={7-2x ,x ≤3,1,3<x ≤4,2x -7,x >4.因此,不等式f (x )≥4的解集为{x |x ≤32或x ≥112}. (2)因为f (x )=|x-a 2|+|x-2a+1|≥|a 2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f (x )≥4. 所以当a ≥3或a ≤-1时,f (x )≥4.当-1<a<3时,f (a 2)=|a 2-2a+1|=(a-1)2<4. 所以a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).对点训练4解(1)当a=1时,f (x )=|x+1|-|x-1|,即f (x )={-2,x ≤-1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}.(2)当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<2a ,所以2a ≥1,故0<a ≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2]. 例5(1)解f (x )=|2x-1|+|x+2|={-3x -1,x ≤-2,-x +3,-2<x <12,3x +1,x ≥12,当x ≤-2时,f (x )≥5;当-2<x<12时,52<f (x )<5; 当x ≥12时,f (x )≥52. 所以f (x )的最小值为52. (2)证明由(1)知M=52,即a+2b=5.又因为a>0,b>0,所以1a+1+12b+1=17[(a+1)+(2b+1)]1a+1+12b+1=172+2b+1a+1+a+12b+1 ≥172+2√2b+1a+1·a+12b+1 =47,当且仅当a=2b ,即a=52,b=54时,等号成立.所以1a+1+12b+1≥47. 对点训练5解(1)由已知得{|32-2|<m ,|12-2|≥m ,解得12<m ≤32.因为m ∈N *,所以m=1.(2)因为a+b+c=3,所以√a +√b +√c =√1·a +√1·b +√1·c ≤1+a 2+1+b 2+1+c2=3+a+b+c2=3, 当且仅当a=b=c=1时,等号成立.所以√a +√b +√c 的最大值为3.例6解(1)∵a=1,∴原不等式为2|x+1|+|x-1|<4,∴{x <-1,-2x -2-x +1<4,或 {-1≤x ≤1,2x +2-x +1<4,或{x >1,2x +2+x -1<4,∴-53<x<-1或-1≤x<1或∅. ∴原不等式的解集为(-53,1).(2)由题意得g (x )=f (x )+f (-x )=2(|x+a|+|x-a|)+(|x +1a |+|x -1a |)≥2|2a|+2|a |≥4√2.当且仅当2|a|=1|a |,即a=±√22,且-√22≤x ≤√22时,g (x )取最小值4√2. 对点训练6解(1)f (x )+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|-|x-1|+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1-(2x-3)|=4,当-12≤x ≤32时等号成立,所以f (x )+|x-1|+|2x-3|的最小值为4.(2)不等式|m-1|≥f (x )+|x-1|+|2x-3|有解,∴|m-1|≥[f (x )+|x-1|+|2x-3|]min .∴|m-1|≥4,∴m-1≤-4或m-1≥4,即m ≤-3或m ≥5,∴实数m 的取值范围是(-∞,-3]∪[5,+∞).例7(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥4,当且仅当x=5,y=-1,z=-1时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a )]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a )+(z-a )(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2],故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2≥(2+a )23,当且仅当x=4-a 3,y=1-a 3,z=2a -23时等号成立. 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2的最小值为(2+a )23.由题设知(2+a )23≥13,解得a ≤-3或a ≥-1.对点训练7解因为2m-n=3,所以2m=n+3.(1)|m|+|n+3|=|m|+|2m|=3|m|≥9,所以|m|≥3,所以m ≤-3或m ≥3.故m 的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).(2)53m-13n +13m-23n =53m-13(2m-3)+13m-23(2m-3)=|m+1|+|m-2|≥3,当且仅当-1≤m ≤2(或-5≤n ≤1)时等号成立, 所以53m-13n +13m-23n 的最小值是3.。

2021版高考北师大版文科数学一轮复习单元评估检测(四) (第九章)

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单元评估检测(四)(第九章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.下列结论正确的是( )A.各个面都是三角形的几何体是三棱锥B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫圆锥C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则此棱锥可能是六棱锥D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线【解析】选D.A错误.如图①所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥.B错误.如图②,若△ABC不是直角三角形或是直角三角形,但旋转轴不是直角边所在直线,所得的几何体都不是圆锥.C错误.由几何图形知,若以正六边形为底面,侧棱长必然要大于底面边长.D正确.2.设x,y,z是空间不同的直线或平面,对下列四种情形:①x,y,z均为直线;②x,y是直线,z是平面;③z是直线,x,y是平面;④x,y,z均为平面.其中使“x⊥z且y⊥z⇒x∥y”为真命题的是( )A.③④B.①③C.②③D.①②【解析】选C.由正方体模型可知①④为假命题;由线面垂直的性质定理可知②③为真命题.3.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱BB1的中点,用过点A,E,C1的平面截去该正方体的下半部分,则剩余几何体的主视图是 ( )【解析】选A.正方体ABCD-A1B1C1D1中,过点A,E,C1的平面截去该正方体的下半部分后,剩余部分的直观图如图:则该几何体的主视图为选项A.4.关于空间两条直线a,b和平面α,下列命题正确的是( )A.若a∥b,bα,则a∥αB.若a∥α,bα,则a∥bC.若a∥α,b∥α,则a∥bD.若a⊥α,b⊥α,则a∥b【解析】选D.线面平行的判定定理中的条件要求a⊈α,故A错;对于线面平行,这条直线与面内的直线的位置关系可以平行,也可以异面,故B 错;平行于同一个平面的两条直线的位置关系:平行、相交、异面都有可能,故C错;垂直于同一个平面的两条直线是平行的,故D正确.5.正四面体ABCD四个面的重心分别为E,F,G,H,则四面体EFGH的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是( )A. B. C.D.【解析】选C.如图在正四面体ABCD中,M,N是BC,BD的中点,E,F是AM,AN的三等分点,所以E,F分别是正三角形ABC,ABD的中心,EF=MN=CD,所以四面体EFGH 的表面积与四面体ABCD的表面积的比值是=.6.(2020·人大附中模拟)某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积是( )A. B.C.8D.16【解析】选B.由三视图可得原几何体如图,该三棱锥底面是等腰三角形,底边长为4,底边上的高为4,三棱锥的高为2.所以V P-ABC=××4×4×2=.7.古希腊数学家阿基米德构造了一个“圆柱容器”的几何体:在圆柱容器里放一个球,使该球四周碰壁,且与上,下底面相切,则在该几何体中,圆柱的体积与球的体积之比为 ( )A.B.C.或D.【解析】选D.由已知可知,该几何体的轴截面如图所示,即圆柱的底面半径与球的半径r相等,高等于球的直径2r,所以==.8.已知棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1,球O与该正方体的各个面相切,则平面ACD1截此球所得的截面的面积为( )A. B. C. D.【解析】选D.因为球与各面相切,所以直径为2,且AC,AD1,CD1的中点在所求的切面圆上,所以所求截面为此三点构成的边长为的正三角形的外接圆,设此圆半径为R,由正弦定理知,R=,所以截面的面积S=.9.如图,直三棱柱ABC-A1B1C1的六个顶点都在半径为1的半球面上,AB=AC,侧面BCC1B1是半球底面圆的内接正方形,则侧面ABB1A1的面积为( )A.2B.1C.D.【解析】选C.球心在面BCC1B1的中心O上,BC为△ABC所在截面圆的直径,所以∠BAC=90°,△A1B1C1外心M在B1C1中点上,连接OM,OC1,设正方形BCC1B1的边长为x,在Rt△OMC1中,OM=,MC1=,OC1=R=1,所以2+2=1,即x=(负值舍去),则AB=AC=1,所以=×1=.10.(2020·陕西模拟)《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示,俯视图中间的实线平分矩形的面积,则该“堑堵”的侧面积为 ( )A.2B.4+2C.4+4D.4+6【解析】选C.由三视图可得:该几何体是一个以主视图为底面的三棱柱,底面为等腰直角三角形,如图所示.且底面周长为:2+2×=2+2,故棱柱的侧面积为S=2×(2+2)=4+4.11.如图所示,平面四边形ABCD中,AB=AD=CD=1,BD=,BD⊥CD,将其沿对角线BD折成四面体A′BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面体A′BCD的顶点在同一个球面上,则该球的体积为( )世纪金榜导学号A.πB.3πC.πD.2π【解析】选A.如图所示,取BD的中点E,BC的中点O,连接A′E,EO,A′O,OD.因为平面A′BD⊥平面BCD,A′E⊥BD,平面A′BD∩平面BCD=BD,A′E⫋平面A′BD,所以A′E⊥平面BCD.因为A′B=A′D=CD=1,BD=,所以A′E=,EO=,所以OA′=.在Rt△BCD中,OB=OC=OD=BC=,所以四面体A′BCD的外接球的球心为O,球的半径为,所以V球=π×=π.12.棱长为4的正四面体内切一球,然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球,则这些小球的最大半径为世纪金榜导学号( )A. B. C. D.【解析】选B.由于正四面体的棱长为4,故四个面的面积都是×(4)2=12,又顶点A在底面BCD上的投影为底面的中心G,点G到底面三个顶点的距离都是4,由此知顶点A到底面BCD的距离是=4,此正四面体的体积是×12×4=16,设最初正四面体内切球半径为r,则正四面体的体积为×r×12×4=16r,故有r=,故上半部分的以小球为内切球的三棱锥的高为2,原正四面体的高为4,所以空隙处放入一个小球,设小球的最大半径为a,=,所以a=.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.直观图(如图)中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm,则在原坐标系xOy中四边形为(填图形形状),面积为cm2.【解析】将直观图恢复到平面图形(如图),是OA=2 cm,OC=4 cm的矩形, S四边形OABC=2×4=8(cm2).答案:矩形814.如图,在三棱柱A1B1C1-ABC中,已知D,E,F分别为AB,AC,AA1的中点,设三棱锥A-FED的体积为V1,三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2,则V1∶V2的值为.【解析】设三棱柱的高为h,因为F是AA1的中点,则三棱锥F-ADE的高为,因为D,E分别是AB,AC的中点,所以S△ADE=S△ABC,因为V1=S△ADE·,V2=S△ABC·h,所以==.答案:15.如图1,已知点E,F,G分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,BB1,DD1的中点,点M,N,P,Q分别在线段AG,CF,BE,C1D1上运动,当以M,N,P,Q为顶点的三棱锥Q-PMN的俯视图是如图2所示的正方形时,则点Q到平面PMN的距离为. 世纪金榜导学号【解析】根据俯视图可知,点P,Q,M,N的位置如图所示.易知点Q到平面PMN的距离即为正方体的高a.答案: a16.(2020·咸阳模拟)在《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑(biēnào).已知在鳖臑M-ABC中,MA⊥平面ABC,MA=AB=BC=2,则该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为. 世纪金榜导学号【解析】由题意知,该鳖臑可以补全为如图所示的正方体,且正方体的一条对角线MC为鳖臑的外接球直径,因为MC==2,所以外接球半径为,外接球的表面积为4π×()2=12π.设内切球半径为r,球心为O,鳖臑表面积为S,该鳖臑可以看成由四个分别以鳖臑的四个面为底面,以O为顶点的三棱锥组成,且三棱锥的高为内切球半径,根据体积相等,可列等式×r×S=×MA×S△ABC,因为S=(2×2+2×2+2×2+2×2)=4+4,所以r(4+4)=2××2×2,所以r=-1,所以内切球表面积为4π×(-1)2=12π-8π,所以该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为24π-8π.答案:24π-8π三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)四面体ABCD及其三视图如图所示,平行于棱AD,BC的平面分别交四面体的棱AB,BD,DC,CA于点E,F,G,H.(1)求四面体ABCD的体积.(2)证明:四边形EFGH是矩形.【解析】(1)由该四面体的三视图可知,BD⊥DC,BD⊥AD,AD⊥DC,BD=DC=2,AD=1,所以AD⊥平面BDC,所以四面体ABCD的体积V=××2×2×1=.(2)因为BC∥平面EFGH,平面EFGH∩平面BDC=FG,平面EFGH∩平面ABC=EH,所以BC∥FG,BC∥EH,所以FG∥EH.同理EF∥AD,HG∥AD,所以EF∥HG,所以四边形EFGH是平行四边形.又因为AD⊥平面BDC,所以AD⊥BC,所以EF⊥FG,所以四边形EFGH是矩形.18.(12分)如图,四棱锥P-ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,E为线段AD 的中点,且AE=ED=BC=2,PA=PD=PB=4.PB⊥AC.(1)证明:平面PBE⊥平面PAC.(2)若BC∥AD,求三棱锥P-ACD的体积.【解析】(1)因为PA=PD,E是AD的中点,所以PE⊥AD,又因为平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,所以PE⊥平面ABCD,又AC平面ABCD,所以PE⊥AC,又PB⊥AC,PE∩PB=P,所以AC⊥平面PBE,又AC平面PAC,所以平面PBE⊥平面PAC.(2)由(1)知AC⊥平面PBE,故AC⊥BE,因为BC∥AD,BC=AD=DE,所以四边形BCDE是平行四边形,所以CD=BE,CD∥BE,所以AC⊥CD,因为PA=PD=PB=4,AE=DE=BC=2,所以PE==2,所以BE==2,即CD=2,所以AC==2.所以V P-ACD=S△PE=××2×2×2=4.ACD·19.(12分)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为平行四边形,△PCD 为等边三角形,平面PAC⊥平面PCD,PA⊥CD,CD=2,AD=3,(1)设G,H分别为PB,AC的中点,求证:GH∥平面PAD.(2)求证:PA⊥平面PCD.【解析】(1)连接BD,易知AC∩BD=H,BH=DH,又BG=PG,故GH∥PD,又因为GH⊈平面PAD,PD⫋平面PAD,所以GH∥平面PAD.(2)取棱PC的中点N,连接DN,依题意,得DN⊥PC,又因为平面PAC⊥平面PCD,平面PAC∩平面PCD=PC,所以DN⊥平面PAC,又PA平面PAC,故DN⊥PA,又因为PA⊥CD,CD∩DN=D,所以PA⊥平面PCD.20.(12分)(2020·宝鸡模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,AD∥BC,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2,△PCD是正三角形,PC⊥AC,E是PA的中点.世纪金榜导学号(1)证明:AC⊥PD.(2)求三棱锥P-BDE的体积.【解析】(1)因为AD∥BC,AB⊥AD,所以∠ABC=∠BAD=90°,因为AB=BC=1,所以∠CAD=45°,AC=,由余弦定理得:CD2=AC2+AD2-2AC·AD·cos∠CAD=2,所以AC2+CD2=4=AD2,所以AC⊥CD,因为PC⊥AC,PC∩CD=C,所以AC⊥平面PCD,所以AC⊥PD.(2)连接CE,由(1)得AC⊥平面PCD,CD=,因为E是PA的中点,AD∥BC,所以V P-BDE=V P-CDE=V C-PDE=V C-ADP=V A-CDP=·S△CDP·AC=×CD2·AC=.21.(12分)如图,已知三棱柱ABC-A′B′C′中,平面BCC′B′⊥底面ABC,BB′⊥AC,底面ABC是边长为2的等边三角形,AA′=3,E,F分别在棱AA′,CC′上,且AE=C′F=2. 世纪金榜导学号(1)求证:BB′⊥底面ABC.(2)在棱A′B′上找一点M,使得C′M∥平面BEF,并给出证明.【解析】(1)如图,取BC的中点O,连接AO,因为三角形ABC是等边三角形,所以AO⊥BC.因为平面BCC′B′⊥底面ABC,AO⫋平面ABC,平面BCC′B′∩平面ABC=BC,所以AO⊥平面BCC′B′.又BB′平面BCC′B′,所以AO⊥BB′.又BB′⊥AC,AO∩AC=A,AO平面ABC,AC平面ABC,所以BB′⊥底面ABC.(2)显然点M不是点A′,B′,若棱A′B′上存在一点M,使得C′M∥平面BEF,过点M作MN∥AA′交BE于N,连接FN,MC′,如图.所以MN∥C′F,即C′M和FN共面,又平面MNFC′∩平面BEF=FN,所以C′M∥FN,所以四边形C′MNF为平行四边形,所以MN=2,所以MN是梯形A′B′BE 的中位线,M为A′B′的中点.故当M为A′B′的中点时,C′M∥平面BEF.22.(12分)(2020·东莞模拟)如图,在四边形ABED中,AB∥DE,AB⊥BE,点C在AB上,且AB⊥CD,AC=BC=CD=2,现将△ACD沿CD折起,使点A到达点P的位置,且PE=2. 世纪金榜导学号(1)求证:平面PBC⊥平面DEBC.(2)求三棱锥P-EBC的体积.【解析】(1)因为AB⊥BE,AB⊥CD,所以BE∥CD,因为AC⊥CD,所以PC⊥CD,所以PC⊥BE,又BC⊥BE,PC∩BC=C,所以EB⊥平面PBC,又因为EB平面DEBC,所以平面PBC⊥平面DEBC.(2)方法一:因为AB∥DE,结合CD∥EB得BE=CD=2,由(1)知EB⊥平面PBC,所以EB⊥PB,由PE=2得PB==2, 所以△PBC为等边三角形,所以S△PBC=×22=,所以V P-EBC=V E-PBC=S△PBC·EB=××2=.方法二:因为AB∥DE,结合CD∥EB 得BE=CD=2,由(1)知EB⊥平面PBC,所以EB⊥PB,由PE=2,得PB==2,所以△PBC为等边三角形,取BC的中点O,连接OP,则PO=,因为PO⊥BC,所以PO⊥平面EBCD,所以V P-EBC=S△EBC·PO=××22×=.关闭Word文档返回原板块快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

中考数学一轮复习第四章几何初步第5节直角三角形与勾股定理试题(2021-2022学年)

第五节直角三角形与勾股定理课标呈现指引方向1．了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理:直角三角形的两个锐角互余，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。

2.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题.考点梳理夯实基础１．直角三角形的性质:(1)直角三角形的两个锐角 ;【答案】互余（２)勾股定理:若直角三角形的两条直角边分别为a ，b ，斜边为c ,那么 ;【答案】a ２+b 2=c ２（3)直角三角形斜边上的中线等于 ;【答案】斜边的一半（4）直角三角形中,30°角所对的直角边等于．【答案】斜边的一半2．直角三角形的判定：(１)勾股定理逆定理:如果三角形的三边a ，ｂ,c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形;(2)如果三角形一边上的中线等于这边的 ,那么这个三角形是直角三角形．【答案】一半３．勾股数:可以构成直角三角形三边的一组正整数．常见的勾股数有：（３,4，5)、（5,１２,13）、（７,24,25）、（8,15,1７)…以及（3n ,4n ，5n )、（５n ,1２n ,13n ）、(7ｎ,24ｎ,2５n ）、(８n ,15ｎ,17n ）…（n 为正整数）考点精析专项突破考点一勾股定理和勾股定理的逆定理【例1】(１）（２016临沂)如图，将一矩形纸片AB ＣD 折叠,使两个顶点A ，Ｃ重合,折痕为ＦＧ.若ＡＢ＝4,ＢC ＝8,则△A ＢF 的面积为_____________．【答案】6解题点拨：本题考查矩形的性质，折叠的性质,勾股定理等,根据勾股定理列出方程是解题的关键.①先利用矩形的性质和折叠的性质得出∠Ｂ＝90°,AF =FC ；②然后利用勾股定理列方程求出BF的长;③再用三角形面积公式求出三角形的面积.（2）（2016武汉)如图,在四边形A ＢCD 中,∠ABC ＝９０°，ＡB =3，BC =4，CD ＝１０，DA ＝，则BD 的长为___＿_＿_＿＿__ﻬ【答案】解题点拨：连接AC ,过点D 作ＢC 边上的高，交BC 延长线于点H ．在Rt △AB Ｃ中，A Ｂ＝3，Ｂ55C=4,∴AC=５，又ＣD=10,ＤＡ＝5,可知△ACD为直角三角形,且∠ACD＝９0°，易证△AＢC∽△CHＤ．则CH＝６,DH=8，从而在Rt△BHD中易求BD．考点二性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的运用【例３】如图，在四边形AＢCD中,AD∥ＢC，DE⊥ＢC,垂足为点E．连接AC交DE于点F,点Ｇ为ＡＦ的中点.∠ＡCD=2∠ＡCB.若DG＝3，EC＝１.求DE的长.解题点拨:综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线,解题的关键是证明CD=ＤG＝３．鼹:∵AＤ∥BC，DE⊥BＣ,∴ＤE⊥AD,∠CAD=∠ACＢ∵点Ｇ为AF的中点,∴DG=AG，∴∠GＡD＝∠GDA，∴∠CGD＝２∠CAＤ，∵∠ACＤ＝2∠AＣB，∴∠ACD=∠CＧD，5∴CD＝DG=3，在Ｒt△CＥＤ中，DE＝．考点三性质“直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”的运用【例4】(2016西宁)如图,ＯＰ平分∠AOB,∠AOＰ＝15°,PC∥OA，PD⊥ＯＡ于点Ｄ,PＣ=4，则PD ＝．【答案】2解题点拨：作PE⊥ＯB于E，根据角平分线的性质可得PE＝PD.根据平行线的性质可得∠BCP=∠AO Ｂ=30°,由直角三角形中3０°的角所对的直角边等于斜边的一半,可求得ＰE,即可求得PD．课堂训练当堂检测1.(2016南京)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（）Ａ．3，4,4 B．3，4,５C.3,4,6 D．3，４,７【答案】B2．（20１５滨州)如图,在直角∠O的内部有一滑动杆ＡB,当端点A沿直线AO向下滑动时,端点Ｂ会随之自动地沿直线OＢ向左滑动，如果滑动杆从图中ＡB处滑动到处，那么滑动杆的中点C所经过的路径是（ )A．直线的一部分B.圆的一部分Ｃ.双曲线的一部分Ｄ.抛物线的一部分A Bⅱ第2题【答案】B3.（20１6黄冈）如图,在矩形ABC Ｄ中,点Ｅ，F 分别在边CD ，ＢC 上,且ＤC ＝3ＤＥ=3ａ,将矩形沿直线E Ｆ折叠，使点Ｃ恰好落在AD 边上的点Ｐ处，则ＦP ＝ .【答案】a第3题4.(2０15重庆A )如图1,在△ABC 中,∠A ＣＢ= 90°,∠ＢAC ＝６0°,点E 是∠B ＡＣ角平分线上一点，过点E 作ＡE 的垂线，过点A 作AB 的垂线，两垂线交于点Ｄ,连接DB ,点F 是BD 的中点,ＤＨ⊥ＡC ,垂足为H ,连接EF ,HF ．（1）如图1，若点H 是AC 的中点,AC ,求A Ｂ，BD 的长:(2)如图１,求证:HF ＝EF ;(３）如图２,连接ＣF ,ＣE ，猜想：△CEF 是否是等边三角形？若是,请证明;若不是,请说明理由，图1 图2第4题【答案】ﻬ解：(1)∵在△ＡBC 中,∠A ＣB =90°，∠ＢA Ｃ＝60°,AC ＝，∴AB =．∵ＡD ⊥AB．∴∠ＤAH ＝∵点Ｈ是AＣ的中点,∴A ＨA Ｃ．∴在△A ＤH 中.AD ＝=2.∴在△ADB 中，根据勾股定理,得 BD ＝．（２）如答图1,连接A Ｆ，易证:△ＤAE ≌△A ＤH (AAS )，∴D Ｈ＝AE .∵∠ＦDH ＝∠ＦDA -∠ＨDA ＝∠F ＤＡ-60°＝(9０°－∠F ＢＡ)－6０°＝３０°－∠F ＢＡ，∴∠EA Ｆ=∠ＦＤH .又∵点Ｆ是BD 的中点,即ＡF 是Ｒt △ＡB Ｄ斜边上的中线,∴A Ｆ＝D Ｆ．∴△DHF ≌△AE Ｆ（SAS )．∴HF =EF .(3）△CEF 为等边三角形，证明如下：如答图2，取A Ｂ的中点M ,连接ＣM 、FM ,在R ｔ△ADE 中，AD ＝2AE ,∵FM 是△ABD 的中位线．∴A Ｄ =２FM .∴ＦM ＝AE ．易证△ＡCM 为等边三角形，∴AC ＝CM ，∠ＡC Ｍ=6０°.∵∠C ＡE ＝∠CAB ＝30°,∠CMF =∠AMF -∠ＡMC ＝30°，∴∠CA Ｅ＝∠CMF .∴△A ＣE ≌△ＭC Ｆ(SAS ）.∴CE ＝ CF ,∠ACE ＝∠MC Ｆ．∴∠ECF ＝∠ＥCM ＋∠MCF ＝∠ECM ＋∠ACE ＝６０°．ﻬ∴△ＣE Ｆ为等边三角形．cos ACBAC Ðcos AH CAH Ð12图1 图2第4题答案图中考达标模拟自测 A 组基础训练一、选择题1．(2016连云港）如图1,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形,面积分别为S 1、S 2、S ３；如图２，分别以直角三角形三个顶点为圆心，三边长为半径向外作圆心角相等的扇形,面积分别为S 4、Ｓ5、S 6.其中S 1=16，S 2＝4５，S ５＝11，S ６=１4，则S ３＋S 4= ( )Ａ．8 B ．6４ C .５4 D .48图1 图２第１题【答案】C 2．(2016海南）如图，ＡＤ是△ＡB Ｃ的中线，∠ADC ＝45°,把△AD Ｃ沿着直线AD 对折，点C 落在点Ｅ的位置.如果ＢC =6,那么线段ＢE 的长度为 ( ）ﻬA ．６ B .C．Ｄ第2题【答案】Ｄ3.如图,在△ABC 中,∠ＡCB ＝90°，AC ＝6,BC ＝8,AD 是∠B ＡＣ的平分线，若P ，Ｑ分别是AD 和AC 上的动点，则PC +PQ 的最小值是（）A ．Ｂ．4C ．D ．5第3题【答案】C4．(２０15泰安)如图,矩形A ＢC Ｄ中,Ｅ是AD 的中点，将△ABE 沿直线ＢE 折叠后得到△GB Ｅ.延长BG 交CD 于点F ．若ＡＢ=６，BC ,则ＦD 的长为 ( ）Ａ.2 B .4 C ．B Ｄ．２第4题【答案】Ｂ二、填空题5．（２016随州)如图,在△ＡB Ｃ中,∠ACB =９0°,Ｍ、N 分别是A Ｂ、ＡＣ的中点,延长B Ｃ至点D ,使CD ＝ﻬBD ，连接D Ｍ、DN 、MN ．若AB ＝6,则D Ｎ＝．第5题【答案】３6．(2016温州）七巧板是我们祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”，小明利用七巧板（如图112524513所示）中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形（如图2所示),则该凸六边形的周长是ｃm ．图1 图２第６题【答案】＋16) 7．(201６连云港)如图1,将正方形纸片A ＢCD 对折,使ＡB 与ＣD 重合,折痕为EF ．如图2，展开后再折叠一次，使点Ｃ与点E 重合,折痕为ＧH ，点B 的对应点为点M .E Ｍ交A Ｂ于N ．若ＡD =2．则M Ｎ=图1 图2ﻬ 第7题【答案】三、解答题８．已知,如图，在△ＡBC 中，∠ACB =9０°，点D 为AB 中点,连接CD ．点Ｅ为边A Ｃ上一点，过点E 作ＥF ∥AB ，交CD 于点F ，连接ＥＢ,取EB 的中点G ,连接D Ｇ、ＦG ．．（1）求证:E Ｆ＝CF ；(2）求证:ＦG ⊥DG ．第8题13【答案】证明:(1)∵在R△ACB中，D为AＢ中点∴DA＝DC＝ＤB∴∠Ａ=∠１∵ＥF∥ＡB∴∠2＝∠A∴∠1＝∠2∴ＣF＝EF.(2）延长FG,交AB于点Ｈ∵EＦ∥AB∴∠FEG=∠ＧBH∵G为EＢ中点∴ＥG＝GB又∵∠ＦGE＝∠HGB∴△EFG≌△BHG∴FＧ=GH,EF=HB=CF∴ＤC－ＣF＝DB-HB即ＤF =DH∴DG ⊥ＦG ．第８题答案图９．(2016黄石）在△ABC 中，ＡＢ＝ AC ，∠B ＡＣ＝2∠D ＡE ＝９０°. （１)如图1,若点D 关于直线A Ｅ的对称点为Ｆ，求证:DE ２=BD 2+ＣE 2：(２)如图2,点E 在BC 的延长线上，则等式DE 2=BD 2+C Ｅ2还能成立吗?请说明理由.图1 图2第9题【答案】解：（1)∵点D 关于直线AE 的对称点为Ｆ,∴EF =DE ,ＡF =A Ｄ,∵∠B ＡC ＝90°，∴∠ＢAD =９0°-∠CAD , ∠CAF ＝∠ＤA Ｅ＋∠EA Ｆ－∠CAD =45°＋4５°-∠CAD =90°-∠ＣAD ， ∴∠B ＡD =∠C ＡF ,在△ABD 和△ACF 中，∴△ABD ≌△ACF (ＳAS ),∴CF ＝B Ｄ,∠ＡCF =∠B ，∵△ABC 是等腰直角三角形,∴∠B =∠ＡC Ｂ＝45°, ∴∠ECF ＝∠ＡＣB ＋∠A ＣF ＝４5°＋４５°=9０°，ﻬ在Ｒｔ△ＣＥＦ中，由勾股定理得,EF 2=C Ｆ2 +CE 2，所以,DE ２=BD 2＋ＣE 2;(2) DE 2＝BD 2＋ＣE ２还能成立.AB AC BAD CAF AD AF ì=ïï??íï=ïî理由如下:作点D 关于AE 的对称点F ,连接EF 、CF , 由轴对称的性质得，EF ＝D Ｅ，AF =ＡD ， ∵∠B ＡC =90°, ∴∠BAD ＝90°-∠CAD ，∠ＣAF ＝∠DAE ＋∠EAF －∠CAD ＝45°+4５°－∠CAD =９0°－∠ＣA Ｄ， ∴∠B ＡD =∠CAF ,在△AB Ｄ和△ＡCF 中,∴△ABD ≌△ACF （S ＡS ), ∴C Ｆ=B Ｄ，∠A ＣF =∠B , ∵△ABC 是等腰直角三角形， ∴∠B ＝∠ACB ＝45°，∴∠E ＣF =∠ＡCB +∠ＡCF =４5°＋45°=9０°，在Ｒt △CEF 中,由勾股定理得，EF 2＝ＣF 2+CE 2, 所以,D Ｅ2＝ＢＤ２＋CE ２．第9题答案图B 组提高练习１0.(2016东营)在△ABC 中，AB =10，AC ＝,BC 边上的高AD =6，则另一边B Ｃ等于 ( )Ａ.１０ B .８Ｃ.6或１0 D ．8或１0 【答案】C （提示：在图①中,由勾股定理，得ＢＤ＝8;ＣD ==２;∴BC＝BD ＋ＣD ＝8+2＝１0.在图②中,由勾股定理，得B Ｄ＝=8;CD=2；∴ＢC =BD －CD =8-2＝6．)AB AC BAD CAF AD AF ì=ïï??íï=ïî图① 图②11．(２０16资阳）如图，在等腰直角△ＡBC 中,∠ＡCB ＝9０°，CO ⊥AB 于点O ,点Ｄ、E 分别在边AＣ、ＢC 上,且AD = CE ,连结DE 交ＣＯ于点P ，给出以下结论:①△DO Ｅ是等腰直角三角形：②∠C ＤE ＝∠CO Ｅ;③若A Ｃ＝１,则四边形ＣＥOD的面积为,其中所有正确结论的序号是 .【答案】①②③（提示:①如图,∵∠ACB =90°,AC =BC ，ＣO ⊥AB ,∴A Ｏ=OB ＝ＯC ,∠A =∠Ｂ=∠ACO =∠BCO ＝45°，∴△ADO ≌△CEO ，∴DO = O Ｅ，∠A ＯD ＝∠COE ，∴∠AOC ＝ ∠DOE ＝9０°，∴△DO Ｅ是等腰直角三角形．故①正确.②∵∠ＤC Ｅ+∠D ＯE ＝180°，∴Ｄ、C 、E 、O 四点共圆,∴∠ＣDE ＝∠COE ,故②正确．③∵AC =BC ＝１,∴S △A ＢC =×1×1=,S 四边形D ＣEO =Ｓ△DO Ｃ +S △C ＥO = Ｓ△CDO +Ｓ△AD Ｏ＝S △AOC =Ｓ△ABC ＝,故③正确．)12．△ＡB Ｃ中,∠ＢA Ｃ＝９0°,AB =A Ｃ,点D 为直线BC 上一动点（点Ｄ不与B ，C 重合),以ＡD 为边在AD 右侧作正方形ＡDE Ｆ.连接CF . （1）观察猜想如图1.当点D 在线段BC 上时,1412121214①BＣ与ＣF的位置关系为: .②BC，CD,ＣＦ之间的数量关系为: ;(将结论直接写在横线上)（2）数学思考如图2，当点D在线段ＣB的延长线上时，结论②是否仍然成立?若成立，请给予证明;若不成立，请你写出正确结论再给予证明．（3）拓展延伸如图３，当点D在线段ＢC的延长线上时,延长ＢＡ交ＣＦ于点G，连接GＥ.若已知ＡB＝，ＣＤ=BC，请求出GE的长．图1 图2 图３第1２题【答案】解：（1）垂直，BＣ＝ＣＤ+CF．(２）不成立,BC=ＣＤ-CF．∵正方形ADＥF中,AD=ＡF,∵∠BAC=∠DAF＝9０°,∴∠ＢAD＝∠ＣＡF，∵AD＝ＡF,ＡB=ＡC，∴△DA B≌△ＦＡC，∴∠ABD=∠ACＦ，CF＝BD∴∠ACＦ－∠ＡＣB＝９0°,即CF⊥BD;∵BC=ＣD-BD,∴ＢC＝CD－CF．(３)过Ａ作ＡH⊥BC于H，过E作EM⊥BD于M，EN⊥CＦ于N,∵∠BAC＝90°,AB＝AＣ，∴BＣAB＝４,AＨ＝BC＝2,∴CＤ=BC＝1，CＨ＝ＢC＝2,∴DH＝3．由(2）证得BC⊥CＦ,CＦ＝BD＝5，ﻬ∵四边形AＤEＦ是正方形，∴AD=DE,∠ＡDE=9０°,∵BC⊥CF，EM⊥BD,ＥＮ⊥ＣF,∴四边形CMEＮ是矩形,∴NＥ＝CＭ,EM=CN，∵∠AＨD=∠ADE=∠EＭD=90°，14121412∴∠ＡDH+∠ＥDＭ=∠EDM+∠DＥM=９0°，∴∠ADH＝∠ＤＥM，∴△ＡDH≌△DEM，∴EＭ＝DH=3,DM=AH＝2,∴CN=EＭ=3，ＥN＝CM＝３,∵∠ABＣ= 45°,∴∠BGC＝４5°，∴△BCG是等腰直角三角形,∴CG=BC＝4,∴GN＝1，∴EG．第1２题答案图ﻬ。

2021-2022年高三数学一轮复习阶段检测卷四文

2021年高三数学一轮复习阶段检测卷四文(时间:120分钟总分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.在空间中,已知a,b是直线,α,β是平面,且a⊂α,b⊂β,α∥β,则a,b的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.平行或异面2.设直线m与平面α相交但不垂直,则下列说法正确的是( )A.在平面α内有且只有一条直线与直线m垂直B.过直线m有且只有一个平面与平面α垂直C.与直线m垂直的直线不可能与平面α平行D.与直线m平行的平面不可能与平面α垂直3.在三角形ABC中,AB=3,BC=4,∠ABC=90°,若将△ABC绕直线BC旋转一周,则所形成的几何体的侧面积为( )A.15πB.20πC.30πD.40π4.如图是正方体截去部分后所得的几何体,则该几何体的侧(左)视图是( )5.设a,b是两条互不垂直的异面直线,则下列命题成立的是( )A.存在唯一直线l,使得l⊥a,且l⊥bB.存在唯一直线l,使得l∥a,且l⊥bC.存在唯一平面α,使得a⊂α,且b∥αD.存在唯一平面α,使得a⊂α,且b⊥α6.设m,n是不同的直线,α,β是不同的平面,下列命题中正确的是( )A.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α⊥βB.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α⊥βC.若m∥α,n⊥β,m⊥n,则α∥βD.若m∥α,n⊥β,m∥n,则α∥β7.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某几何体的三视图,则这个几何体的体积为( )A.1B.2C.3D.48.如图,三棱锥V-ABC的底面为正三角形,侧面VAC与底面垂直且VA=VC,已知其正视图的面积为,则其侧视图的面积为( )A. B. C. D.29.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的各个面的面积中,最小的值为( )A.2B.8C.4D.810.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=BC=2,AA1=1,则点A到平面A1BC的距离为( )A. B. C. D.11.一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为( )11题图12题图A. B. C. D.12.在正方体AC1中,E是棱CC1的中点,F是侧面BCC1B1内的动点,且A1F与平面D1AE的垂线垂直,如图所示,下列说法不正确的是( )A.点F的轨迹是一条线段B.A1F与BE是异面直线C.A1F与D1E不可能平行D.三棱锥F-ABC1的体积为定值1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中的横线上)13.一个几何体的三视图如图所示(单位:m),则该几何体的体积为m3.14.如图是一个几何体的正(主)视图和侧(左)视图,其俯视图是面积为8的矩形.则该几何体的表面积是.15.底面是正多边形,顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥.如图,半球内有一内接正四棱锥S-ABCD,该四棱锥的体积为,则该半球的体积为.16.已知α,β是两个不同的平面,AB,CD是两条不同的线段,α∩β=EF,AB⊥α于B,CD⊥α于D,若增加一个条件,就能得出BD⊥EF,现有下列条件:①AC⊥β;②AC与α,β所成的角相等;③AC与CD在β内的射影在同一条直线上,其中符合要求的条件的序号是.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分10分)如图,在三棱锥P-ABC中,E,F分别为AC,BC的中点.(1)求证:EF∥平面PAB;(2)若平面PAC⊥平面ABC,且PA=PC,AB⊥BC,求证:平面PEF⊥平面PBC.18.(本小题满分12分)八面体PABCDEF是由一个正四棱锥P-ABCD和一个直三棱柱ADE-BCF组合而成的,△ADE 是以A为直角顶点的腰长为4的等腰三角形.(1)证明:平面PAD⊥平面ABFE;(2)若四棱锥P-ABCD的体积与三棱锥P-ABF的体积比为3∶2,求四棱锥P-ABCD的高.19.(本小题满分12分)如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC=AA1,AB⊥AC,D为BC的中点,AB1与A1B交于点O.(1)求证:A1C∥平面AB1D;(2)求证:A1B⊥平面AB1C;(3)在线段B1C上是否存在点E,使得BC⊥AE?请说明理由.20.(本小题满分12分)如图所示,在△ABC中,AC=1,AB=3,∠ACB=,且△ABC所在平面与矩形BCDE所在平面相互垂直,CD=2,P为线段AB的中点.(1)求证:AD∥平面PCE;(2)求三棱锥A-PCE的体积.21.(本小题满分12分)如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面AA1C1C⊥侧面ABB1A1,AC=AA1=AB,∠AA1C1=60°,AB⊥AA1,H为CC1的中点,D为BB1的中点.(1)求证:A1D⊥平面AB1H;(2)若AB=,求三棱柱ABC-A1B1C1的体积.22.(本小题满分12分)如图所示,AD,DC,DE两两垂直,BC∥AD,AD=DC=DE=2,BC=1,G,H分别是BE,CE的中点.(1)判断CE与平面AGHD是否垂直,若垂直,请给予证明;若不垂直,请说明理由;(2)求多面体ABG-DCH的体积.阶段检测四立体几何一、选择题1.D 由于a⊂α,b⊂β,α∥β,所以a,b平行或异面.2.B 可以通过观察正方体ABCD-A1B1C1D1进行判断,取BC1为直线m,平面ABCD为平面α,由AB,CD均与m垂直知,A 错;由D1C1与m垂直且与平面α平行知,C错;由平面ADD1A1与m平行且与平面α垂直知,D错.故选B.3.A 依题意,所得几何体的侧面积等于π×3×5=15π.4.C 侧(左)视图是从几何体的左侧向右边看,故选C.5.C a,b是两条互不垂直的异面直线,把它放入正方体中如图,由图可知A不正确;由l∥a,且l⊥b,可得a⊥b,与题设矛盾,故B不正确;由a⊂α,且b⊥α,可得a⊥b,与题设矛盾,故D不正确,故选C.6.B B选项中,由条件n⊥β,m∥n,推出m⊥β,又m∥α,易知α⊥β,故B正确.7.D 易知该几何体是一四棱锥P-ABCD,底面为直角梯形,BC=2AD=4,PB⊥底面ABCD,PB=AB=2,则这个几何体的体积V=××(2+4)×2×2=4.8.B 设△ABC的边长为2a,三棱锥V-ABC的高为h,由题意知,×2a·h=ah=则其侧视图的面积为×a·h=×=.9.B 构造棱长为4的正方体,由三视图可知,该几何体为如图所示的三棱锥P-ABC,其中点P,B分别为相应棱的中点.S△PAB=S△PBC=××4=4,S△ABC=×4×4=8,S△PAC=·AC·=×4×=8.因为8>4>8,所以该几何体的各个面的面积中,最小的值为8,故选B.10.B 设点A到平面A1BC的距离为h,因为=,所以·h·=·AA1·S△ABC,又=××2=2,AA1=1,S△ABC=×22=,所以h=.11.A 依题意,该几何体是一个组合体,左侧是半个圆锥(其底面半径是1、高是),右侧是一个四棱锥(其底面是边长为2的正方形、高是),因此这个几何体的体积为×+×22×=,选A.12.C 由题知A1F∥平面D1AE,分别取B1C1,BB1的中点H,G,连接HG,A1H,A1G,BC1,可得HG∥BC1∥AD1,A1G∥D1E,则易知平面A1HG∥平面AD1E,故点F的轨迹为线段HG,A正确;A1F与BE是异面直线,故B正确;当F是BB1的中点时,A1F与D1E 平行,故C不正确;∵HG∥平面ABC1,∴F点到平面ABC1的距离不变,故三棱锥F-ABC1的体积为定值,故D正确.二、填空题13.答案π解析由三视图知该几何体由两个相同的圆锥和一个圆柱组成.其中,圆锥的底面半径和圆柱的底面半径均为1 m,圆锥的高均为1 m,圆柱的高为2 m.因此该几何体的体积为V=2×π×12×1+π×12×2=π m3.14.答案20+8解析这个空间几何体是一个平放的三棱柱,由其俯视图是面积为8的矩形,可得三棱柱的高为4.故其表面积为×2×2×2+2×4×2+4×2=20+8.15.答案解析连接AC,BD,设交点为O,球的半径为r,连接SO,由题意可知SO=AO=OC=OD=OB=r,则AB=r,四棱锥的体积为(r)2×r=,解得r=,故半球的体积为r3=.16.答案①③解析∵AB⊥α于B,CD⊥α于D,∴AB∥CD,∴A,B,C,D四点共面,若AC⊥β,又EF⊂β,∴AC⊥EF,又∵AB⊥α,EF⊂α,∴AB⊥EF,∵AB∩AC=A,∴EF⊥平面ABCD,又∵BD⊂平面ABCD,∴BD⊥EF,故①符合要求;由①可知,若BD⊥EF成立,则有EF⊥平面ABCD,则有EF⊥AC成立,而由AC与α,β所成角相等是无法得到EF⊥AC的,故②不符合要求;由AC与CD在β内的射影在同一条直线上可知EF⊥平面ABCD,由①可知③符合要求.三、解答题17.证明(1)在△ABC中,∵E,F分别为AC,BC的中点,∴EF∥AB.又EF⊄平面PAB,AB⊂平面PAB,∴EF∥平面PAB.(2)在△PAC中,∵PA=PC,E为AC的中点,∴PE⊥AC.∵平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,∴PE⊥平面ABC.∴PE⊥BC.∵EF∥AB,AB⊥BC,∴EF⊥BC,又EF∩PE=E,∴BC⊥平面PEF,∴平面PEF⊥平面PBC.18.解析(1)证明:直三棱柱ADE-BCF中,AB⊥平面ADE, ∴AB⊥AD,又AD⊥AE,AB∩AE=A,∴AD⊥平面ABFE,又AD⊂平面PAD,∴平面PAD⊥平面ABFE.(2)设四棱锥P-ABCD的高为h,由题意知P到平面ABF的距离d=2,∴V P-ABF=S△ABF d=××2=,而V P-ABCD=S四边形ABCD h=×(4×4)×h=h,∵=,∴=,解得h=.∴四棱锥P-ABCD的高为.19.解析(1)证明:连接OD.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,因为AB=AA1,所以四边形AA1B1B为正方形,所以O为A1B的中点.又因为D为BC的中点,所以OD为△A1BC的中位线,所以OD∥A1C.又因为A1C⊄平面AB1D,OD⊂平面AB1D,所以A1C∥平面AB1D.(2)证明:在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,AC⊥AA1,AA1∩AB=A,所以AC⊥平面AA1B1B,所以AC⊥A1B.在正方形AA1B1B中,A1B⊥AB1,又AC∩AB1=A,所以A1B⊥平面AB1C.(3)在线段B1C上存在点E,使得BC⊥AE.理由如下:取B1C的中点E,连接DE,AE,则DE∥BB1,所以DE⊥BC.因为AB=AC,D为BC的中点,所以AD⊥BC.因为AD∩DE=D,所以BC⊥平面ADE,所以BC⊥AE.20.解析(1)证明:连接BD,交CE于点Q,连接PQ.因为四边形BCDE为矩形,所以Q为BD的中点.在△ABD中,Q为BD的中点,P为AB的中点,所以AD∥PQ,又PQ⊂平面PCE,AD⊄平面PCE,所以AD∥平面PCE.(2)因为△ABC所在平面与矩形BCDE所在平面相互垂直,平面ABC∩平面BCDE=CB,又BE⊥CB,所以BE⊥平面ABC. 在Rt△ABC中,CB===2,故S△ABC=·AC·CB=×1×2=.因为P为AB的中点,所以S△ACP=S△ABC=.故三棱锥A-PCE的体积为V三棱锥A-PCE=V三棱锥E-APC=S△APC·BE=××2=.21.解析(1)证明:连接AC1,则易知△ACC1为正三角形,∵H为CC1的中点,∴AH⊥CC1,从而AH⊥AA1,又平面AA1C1C⊥平面ABB1A1,平面AA1C1C∩平面ABB1A1=AA1,AH⊂平面AA1C1C,∴AH⊥平面ABB1A1,又A1D⊂平面ABB1A1,∴AH⊥A1D.①设AB=a,∵AC=AA1=AB,∴AC=AA1=2a,DB1=a,==,又∠DB1A1=∠B1A1A=90°,∴△A1DB1∽△AB1A1,∴∠B1AA1=∠B1A1D,又∠B1A1D+∠AA1D=90°,∴∠B1AA1+∠AA1D=90°,∴A1D⊥AB1,②由①②及AB1∩AH=A,可得A1D⊥平面AB1H.(2)取AA1的中点M,连接C1M,则C1M∥AH,∴C1M⊥平面ABB1A1, ∴=·C1M=××=,∴三棱柱ABC-A1B1C1的体积为3=.22.解析(1)CE与平面AGHD垂直.理由如下:∵AD,DC,DE两两垂直,CD∩DE=D,∴AD⊥平面DCE,∵BC∥AD,∴BC⊥平面CDE,而CE⊂平面CDE,∴BC⊥CE.∵G,H分别是BE,CE的中点,∴GH∥BC,从而CE⊥GH.∵CD⊥DE,CD=DE,H是CE的中点,∴CE⊥DH.又DH∩GH=H,∴CE⊥平面AGHD.(2)∵AD,DC,DE两两垂直,AD∩CD=D,∴ED⊥平面ABCD,∴V E-ABCD=S四边形ABCD·DE=××2=2.∵BC∥AD,GH∥BC,∴GH∥AD.又GH=BC=,DH=HE=CE=,且CE⊥平面AGHD,∴V E-AGHD=S四边形AGHD·HE=××=,∴多面体ABG-DCH的体积V=V E-ABCD-V E-AGHD=2-=.。

2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试2-4 北师大版

2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试2-4 北师大版一、选择题1．函数y ＝(cosx －a)2＋1，当cosx ＝a 时有最小值，当cosx ＝－1时有最大值，则a 的取值范围是( )A ．[－1,0]B ．[－1,1]C ．(－∞，0]D ．[0,1] [答案] D[解析] ∵函数y ＝(cosx －a)2＋1，当cosx ＝a 时有最小值，∴－1≤a≤1，∵当cosx ＝－1时有最大值，∴a≥0，∴0≤a≤1.2．(xx·长沙调研)已知函数f(x)＝2ax2－ax ＋1(a<0)，若x1<x2，x1＋x2＝0，则f(x1)与f(x2)的大小关系是( )A ．f(x1)＝f(x2)B ．f(x1)>f(x2)C ．f(x1)<f(x2)D ．与a 的值有关[答案] C[解析] 根据函数的图像开口向下，对称轴为x ＝14，又依题意得x1<0，x2>0，且x1与x2关于y 轴对称，则x1到x ＝14的距离大于x2到x ＝14的距离，即14－x1>x2－14，故f(x1)<f(x2)，选C.3．(xx·安徽理)设abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c 的图像可能是( )[答案] D[解析] 若a<0，则只能是A 或B 选项，A 中－b 2a<0，∴b<0，从而c>0，与A 图不符；B 中－b 2a>0，∴b>0，∴c<0，与B 图不符．若a>0，则抛物线开口向上，只能是C 或D 选项，当b>0时，有c>0与C 、D 图不符，当b<0时，有c<0，此时－b 2a>0，f(0)＝c<0，故选D. 4．若函数y ＝x2－3x －4的定义域为[0，m]，值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－254，－4，则m 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤32，3 C ．[0,3]D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫32，3 [答案] B [解析] f(x)＝x2－3x －4＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－254， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－254，又f(0)＝－4. 由题意结合函数的图像可得⎩⎪⎨⎪⎧ 32≤mm －32≤32－0解得32≤m≤3. 5．已知f(x)＝x2＋x ＋c ，若f(0)>0，f(p)<0，则( )A ．f(p ＋1)>0B ．f(p ＋1)<0C ．f(p ＋1)＝0D ．f(p ＋1)的符号不确定[答案] A[解析] 二次函数的对称轴为x ＝－12由f(0)>0，知f(－1)>0.又f(p)<0，则必有－1<p<0，∴p ＋1>0，∴f(p ＋1)>0.6．已知函数f(x)＝－x2＋4x ＋a ，x ∈[0,1]，若f(x)有最小值－2，则f(x)的最大值为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2[答案] C[解析] f(x)＝－(x －2)2＋4＋a.由x ∈[0,1]可知当x ＝0时，f(x)取得最小值－2，即a ＝－2，所以f(x)＝－(x －2)2＋2，当x ＝1时，f(x)取得最大值1.7．(北师大天津附中模拟)已知函数f(x)满足f(x ＋4)＝f(x)，又f(3＋x)＝f(3－x)，当1≤x≤5时，f(x)＝x2－bx ＋2，若m ＝f(ln 53)，n ＝f(ln8)，p ＝f(b 3)，则m 、n 、p 的大小关系是( )A ．n<p<mB ．n<m<pC ．p<m<nD ．p<n<m[答案] A[解析] ∵f(3＋x)＝f(3－x)，∴f(1)＝f(5)．∴1－b ＋2＝25－5b ＋2.∴4b ＝24，b ＝6.∵0<ln 53<1，∴4<4＋ln 53<5. ∴f(ln 53)＝f(4＋ln 53)．f(b 3)＝f(63)＝f(2)． 2＝lne2<ln8<lne3<3，∴f(ln8)<f(b 3)<f(ln 53)，即n<p<m. 8．(浙江杭州学军中学模拟)二次函数f(x)＝ax2＋bx ＋c ，a 为正整数，c≥1，a ＋b ＋c≥1，方程ax2＋bx ＋c ＝0有两个小于1的不等正根，则a 的最小值为( )A ．2B ．3C ．4D ．5[答案] D[解析] 由题意得f(0)＝c≥1，f(1)＝a ＋b ＋c≥1，当a 越大时，y ＝f(x)的开口越小，当a 越小时，y ＝f(x)的开口越大，而y ＝f(x)的开口最大时，y ＝f(x)过(0,1)，(1,1)，则c ＝1，a ＋b ＋c ＝1，a ＋b ＝0，a ＝－b ，此时－b 2a ＝12，另外还要满足b2－4ac>0，a(a －4)>0，a>4，则a 的最小值为5，故选D.二、填空题9．若函数y ＝x2＋(a ＋2)x ＋3，x ∈[a ，b]的图像关于直线x ＝1对称，则b ＝________.[答案] 6[解析] 二次函数y ＝x2＋(a ＋2)x ＋3的图像关于直线x ＝1对称，说明二次函数的对称轴为1，即－a ＋22＝1，所以a ＝－4.而f(x)是定义在[a ，b]上的，即a ，b 关于x ＝1也是对称的，所以a ＋b 2＝1，∴b ＝6. 10．(xx·广东深圳一模)已知定义在区间[0,3]上的函数f(x)＝kx2－2kx 的最大值为3，那么实数k 的取值集合为________．[答案] {1，－3}[解析] ∵f(x)＝kx2－2kx ＝k(x －1)2－k(1)当k>0时，二次函数开口向上，当x ＝3时，f(x)有最大值，f(3)＝k·32－2k×3＝3k ＝3⇒k ＝1；(2)当k<0时，二次函数开口向下，当x ＝1时，f(x)有最大值，f(1)＝k －2k ＝－k ＝3⇒k ＝－3.故k 的取值集合为{1，－3}．11．(湖北黄冈中学模拟)若二次函数f(x)的导函数f ′(x)＝2x ＋2m ，且f(0)＝m2－m ，则f(x)＝__________；若x ∈[－2,0]，存在f(x)≤0，则m 的取值范围是________．[答案] f(x)＝x2＋2mx ＋m2－m [0,4][解析] 设f(x)＝x2＋2mx ＋b.由f(0)＝m2－m 求出b ，∴f(x)＝x2＋2mx ＋m2－m.先求出[－2,0]内f(x)>0恒成立，m ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)，∴m ∈[0,4]．三、解答题12．已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，试确定此二次函数． [分析] 由题目条件知二次函数过(2，－1)，(－1，－1)两点，且知其最大值，所以可应用一般式、顶点式或两根式解题．[解析] 方法1：利用二次函数一般式．设f(x)＝ax2＋bx ＋c(a≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－4，b ＝4，c ＝7，∴所求二次函数为y ＝－4x2＋4x ＋7.方法2：利用二次函数的顶点式．设f(x)＝a(x －m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴抛物线对称轴为x ＝2＋－12＝12，∴m ＝12. 又根据题意函数有最大值y ＝8，∴y ＝f(x)＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8. ∵f(2)＝－1，∴a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－122＋8＝－1，解得a ＝－4. ∴f(x)＝－4⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋8＝－4x2＋4x ＋7. 方法3：利用二次函数的两根式．由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x －2)(x ＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax －2a －1.又函数有最大值ymax ＝8，即4a －2a －1－a24a ＝8，解得a ＝－4或a ＝0(舍去)．∴所求函数解析式为f(x)＝－4x2＋4x －7.13．已知函数f(x)＝－x2＋2ax ＋1－a 在0≤x≤1时有最大值2，求a 的值．[分析] 作出函数图像，因对称轴x ＝a 位置不定，故分类讨论对称轴位置以确定f(x)在[0,1]上的单调情况．[解析] 当对称轴x ＝a<0时，如图1所示．当x ＝0时，y 有最大值，ymax ＝f(0)＝1－a.∴1－a ＝2，即a ＝－1，且满足a<0，∴a ＝－1.图1 图2当0≤a≤1时，如图2所示．即当x ＝a 时，y 有最大值，ymax ＝f(a)＝－a2＋2a2＋1－a ＝a2－a ＋1.∴a2－a ＋1＝2，解得a ＝1±52. ∵0≤a≤1，∴a ＝1±52舍去．当a>1，如图3所示．图3由图可知，当x ＝1时y 有最大值，ymax ＝f(1)＝2a －a ＝2，∴a ＝2，且满足a>1，∴a ＝2.综上可知，a 的值为－1或2.14．(创新题)已知二次函数f(x)的二次项系数为a ，且不等式f(x)>－2x 的解集为(1,3)．(1)若方程f(x)＋6a ＝0有两个相等的根，求f(x)的解析式； (2)若f(x)的最大值为正数，求实数a 的取值范围．[解析] (1)∵f(x)＋2x>0的解集为(1,3)，∴f(x)＋2x ＝a(x －1)(x －3)，且a<0，即f(x)＝a(x －1)(x －3)－2x ＝ax2－(2＋4a)x ＋3a.①由f(x)＋6a ＝0，得ax2－(2＋4a)＋9a ＝0.②∵方程②有两个相等的根，∴Δ＝[－(2＋4a)]2－4a·9a＝0，即5a2－4a －1＝0，解得a ＝1或a ＝－15. 由于a<0，故舍去a ＝1，将a ＝－15代入①，得f(x)＝－15x2－65x －35. (2)f(x)＝ax2－2(1＋2a)x ＋3a＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋2a a 2－a2＋4a ＋1a . 由a<0，可得f(x)的最大值为－a2＋4a ＋1a>0，由⎩⎪⎨⎪⎧ －a2＋4a ＋1a >0，a<0，解得a<－2－3或－2＋3<a<0.故当f(x)的最大值为正数时，实数a 的取值范围是(－∞，－2－3)∪(－2＋3，0)．15．设f(x)＝3ax2＋2bx ＋c ，若a ＋b ＋c ＝0，f(0)>0，f(1)>0，求证：(1)a>0且－2<b a<－1； (2)方程f(x)＝0在(0,1)内有两个实根．[证明] (1)因为f(0)>0，f(1)>0，所以c>0,3a ＋2b ＋c>0.由条件a ＋b ＋c ＝0，消去b ，得a>c>0；由条件a ＋b ＋c ＝0，消去c ，得a ＋b<0,2a ＋b>0.故－2<b a<－1. (2)抛物线f(x)＝3ax2＋2bx ＋c 的顶点坐标为(－b 3a ，3ac －b23a )，在－2<b a <－1的两边乘以－13，得13<－b 3a <23. 又因为f(0)>0，f(1)>0，而f(－b 3a )＝－a2＋c2－ac 3a <0，所以方程f(x)＝0在区间(0，－b 3a )与(－b 3a，1)内分别有一实根．故方程f(x)＝0在(0,1)内有两个实根．31888 7C90 粐35013 88C5 装21341 535D 卝y7G20086 4E76 乶i29378 72C2 狂JTC20448 4FE0 俠37861 93E5 鏥t。

2022届高考数学一轮复习第十一章选修4_5不等式选讲课时作业理含解析北师大版20210630218

选修4-5 不等式选讲授课提示：对应学生用书第400页[A 组基础保分练]f （x ）＝|x －3|－|x ＋2|.（1）求函数f （x ）的值域；（2）若存在x ∈[－2，1]，使f （x ）≥x 2＋a 成立，求a 的取值X 围.解析：（1）依题意可得f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－5，x ≥3，－2x ＋1，－2<x <3，5，x ≤－2.当－2<x <3时，－5<－2x ＋1<5，所以f （x ）的值域为[－5，5].（2）因为－2≤x ≤1，所以f （x ）≥x 2＋a 可化为－2x ＋1≥x 2＋a ，得存在x ∈[－2，1]，使得a ≤－x 2－2x ＋1成立.令g （x ）＝－x 2－2x ＋1＝－（x ＋1）2＋2，则当x ∈[－2，1]时，g （x ）max ＝2，所以a 的取值X 围为（－∞，2].f （x ）＝|2x ＋3|＋|x －1|.（1）解不等式f （x ）>4；（2）若存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f （x ）成立，某某数a 的取值X 围. 解析：（1）由已知，得f （x ）＝⎩⎨⎧－3x －2，x <－32，x ＋4，－32≤x ≤1，3x ＋2，x >1，所以f （x ）>4⇔⎩⎪⎨⎪⎧x ＜－32，－3x －2>4或⎩⎪⎨⎪⎧－32≤x ≤1，x ＋4>4或⎩⎪⎨⎪⎧x >1，3x ＋2>4⇔x ＜－2或0<x ≤1或x >1. 综上，不等式f （x ）>4的解集为（－∞，－2）∪（0，＋∞）.（2）若存在x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1使不等式a ＋1>f （x ）成立⇔a ＋1>f （x ）min ，由（1）得，x ∈⎣⎡⎦⎤－32，1时，f （x ）＝x ＋4，f （x ）min ＝52，所以a ＋1>52，所以a >32，所以实数a 的取值X 围为⎝⎛⎭⎫32，＋∞.[B 组能力提升练]1.（2021·某某模拟）已知关于x 的不等式|2x |＋|2x －1|≤m 有解.（1）某某数m 的取值X 围；（2）已知a >0，b >0，a ＋b ＝m ，证明：a 2a ＋2b ＋b 22a ＋b ≥13. 解析：（1）|2x |＋|2x －1|≥|2x －（2x －1）|＝1，当且仅当2x （2x －1）≤0，即0≤x ≤12时取等号，故m ≥1.所以实数m 的取值X 围为[1，＋∞）.（2）证明：由题知a ＋b ≥1，又⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2a ＋2b ＋b 22a ＋b （a ＋2b ＋2a ＋b ）≥（a ＋b ）2，所以a 2a ＋2b ＋b 22a ＋b ≥13（a ＋b ）≥13. 2.（2021·皖南八校第二次联考）已知函数f （x ）＝|x －2|＋|2x ＋4|.（1）解不等式f （x ）≥－3x ＋4；（2）若函数f （x ）的最小值为a ，且m ＋n ＝a （m >0，n >0），求1m ＋1n的最小值. 解析：（1）f （x ）＝|x －2|＋|2x ＋4|＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－2，x ＋6，－2≤x ≤2，3x ＋2，x >2.当x <－2时，－3x －2≥－3x ＋4，无解；当－2≤x ≤2时，由x ＋6≥－3x ＋4，得x ≥－12，可得－12≤x ≤2；当x >2时，由3x ＋2≥－3x ＋4，得x ≥13，可得x >2. ∴不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x ≥－12. （2）根据函数f （x ）＝⎩⎪⎨⎪⎧－3x －2，x <－2，x ＋6，－2≤x ≤2，3x ＋2，x >2，可知当x ＝－2时，函数f （x ）取得最小值f （－2）＝4，则a ＝4.∴m ＋n ＝4，m >0，n >0.∴1m ＋1n ＝14（m ＋n ）⎝⎛⎭⎫1m ＋1n ＝14⎝⎛⎭⎫1＋1＋n m ＋m n ≥14（2＋2）＝1. 当且仅当n m ＝m n，即m ＝n ＝2时取“＝”. ∴1m ＋1n的最小值为1.。

2021-2022高二数学北师大版选修4-5单元测评：第一章几个重要的不等式 Word版含解析

第一章测评(时间:90分钟满分:100分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.下列结论中,错用基本不等式作依据的是( ) A.a ,b 均为负数,则2ab +b2a ≥2 B.2√2≥2C.sin x+4sinx ≥4 D.a ∈R +,(3-a )(1-3a )≤0解析:在选项C 中,sin x+4sinx ≥4的等号取得的条件是sin x=4sinx ,即sin x=±2,这明显错误. 答案:C2.若直线ax+2by-2=0(a>0,b>0)始终平分圆x 2+y 2-4x-2y-8=0的周长,则1a +2b 的最小值为( ) A.1 B.3+2√2 C.5D.4√2解析:已知圆的圆心坐标为(2,1),则有2a+2b-2=0,即a+b=1,∴1a +2b =a+b a+2(a+b )b=3+(b a +2ab )≥3+2√2,当且仅当b=√2a>0时等号成立. 答案:B3.设m>n ,n ∈N +,a=(lg x )m +(lg x )-m ,b=(lg x )n +(lg x )-n ,x>1,则a 与b 的大小关系为( ) A.a ≥bB.a ≤bC.与x 值有关,大小不确定D.以上都不正确解析:a-b=(lg x )m+(lg x )-m-(lg x )n-(lg x )-n=((lg x )m -(lg x )n )-(1(lgx )n -1(lgx )m ) =((lg x )m -(lg x )n )-(lgx )m -(lgx )n(lgx )m (lgx )n =((lg x )m -(lg x )n )(1-1(lgx )m (lgx )n )=((lg x )m -(lg x )n )(1-1(lgx )m+n).∵x>1,∴lg x>0.当0<lg x<1时,a>b ; 当lg x=1时,a=b ; 当lg x>1时,a>b.∴a ≥b. 答案:A4.使不等式√3+√8>1+√a 成立的正整数a 的最大值为( ) A.10B.11C.12D.13解析:用分析法可证a=12时不等式成立,a=13时不等式不成立. 答案:C5.若a<b<0,则下列结论中正确的是( ) A.不等式1a >1b 和1|a |>1|b |均不能成立 B.不等式1a -b >1a 和1|a |>1|b |均不能成立C.不等式1a -b >1a 和(a +1b )2>(b +1a )2均不能成立 D.不等式1|a |>1|b |和(a +1a)2>(b +1b)2均不能成立解析:∵a<b<0,∴1a >1b ,|a|>|b|>0,∴1|a |<1|b |. 又1a -b −1a =ba (a -b )<0, ∴1a -b <1a . 答案:B6.不等式|2x-log 2x|<|2x|+|log 2x|的解集为( ) A.1<x<2 B.0<x<1 C.x>1D.x>2解析:由题意,知2x 与log 2x 同号,故只有2x>0,且log 2x>0.∴x>1. 答案:C。

2021版高考数学一轮复习单元评估检测一第一二章文含解析北师大版

高考数学一轮复习：单元评估检测(一)(第一、二章)(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合A={x|x<2或x>4},B=,则A∩B=( )A.B.C.{x|4<x≤6}D.∅【解析】选A.A∩B={x|x<2或x>4}∩=.2.已知f(x)=x2,g(x)=2x,h(x)=log2x,当x∈(4,+∞)时,对三个函数的增长速度进行比较,下列选项中正确的是( )A.f(x)>g(x)>h(x)B.g(x)>f(x)>h(x)C.g(x)>h(x)>f(x)D.f(x)>h(x)>g(x)【解析】选B.由图像(画图略)知,当x∈(4,+∞)时,增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x).3.(2020·太原模拟)“m=2”是“函数y=|cos mx|(m∈R)的最小正周期为”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【解析】选A.因为当函数y=|cos mx|(m∈R)的最小正周期为时,m=±2,所以“m=2”是“函数y=|cos mx|(m∈R)的最小正周期为”的充分不必要条件.4.(2020·北京模拟)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,1)上单调递减的是( )A.y=B.y=x2C.y=-cos xD.y=-ln|x|【解析】选D.y=是奇函数且在区间(0,1)上单调递减;y=x2是偶函数且在区间(0,1)上单调递增;y=-cos x是偶函数且在区间(0,1)上单调递增;y=-ln|x|是偶函数且在区间(0,1)上单调递减;综上选D.5.(2020·大庆模拟)函数f(x)=的图像大致是()【解析】选C.因为x∈R,且f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数,故排除B项;又因为x>1时,f(x)>0;x→+∞时,f(x)→0,所以排除A,D项.6.(2020·蚌埠模拟)若方程ln x+x-4=0在区间(a,b)(a,b∈Z,且b-a=1)上有一根,则a的值为( )A.1B.2C.3D.4【解析】选B.方程ln x+x-4=0的根为函数f(x)=ln x+x-4的零点.f(x)的定义域为(0,+∞),f(x)在定义域上单调递增.因为f(2)=ln 2-2<0,f(3)=ln 3-1>0,所以f(x)在区间(2,3)有一个零点,则方程ln x+x-4=0在区间(2,3)有一根,所以a=2,b=3.7.(2020·武汉模拟)已知定义在R上的函数f(x)=2|x-m|-1(m为实数)为偶函数,记a=f(log0.53),b=f(log25),c=f(2+m),则a,b,c的大小关系为( )A.a<b<cB.a<c<bC.c<a<bD.c<b<a【解析】选B.因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),所以2|-x-m|-1=2|x-m|-1,所以|-x-m|=|x-m|,(-x-m)2=(x-m)2,所以mx=0,所以m=0,所以f(x)=2|x|-1,所以f(x)在[0,+∞)上单调递增,并且a=f(|log0.53|)=f(log23),b=f(log25),c=f(2);因为0<log23<2<log25,所以a<c<b.8.设某公司原有员工100人从事产品A的生产,平均每人每年创造产值t万元(t为正常数).公司决定从原有员工中分流x(0<x<100,x∈N*)人去进行新开发的产品B的生产.分流后,继续从事产品A生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A 的年产值不减少,则最多能分流的人数是 ( )A.15B.16C.17D.18【解析】选B.由题意,分流前每年创造的产值为100t(万元),分流x人后,每年创造的产值为(100-x)(1+1.2x%)t,则解得0<x≤.因为x∈N*,所以x的最大值为16.9.设a=,b=,c=,则a,b,c的大小关系是( )A.a>b>cB.c>a>bC.a<b<cD.b>c>a【解析】选C.因为函数y=在R上是减函数,又>,所以<,即a<b.又因为函数y=在(0,+∞)上是增函数,且>,所以>,即c>b.所以a<b<c. 10.(2020·南昌模拟)已知函数y=f(x)是定义在(-∞,-2)∪(2,+∞)上的奇函数,当x>2时,f(x)=log2(x-2),则f(x-1)<0的解集是( )A.(-∞,-2)∪(3,4)B.(-∞,-3)∪(2,3)C.(3,4)D.(-∞,-2)【解析】选A.画出函数图像如图所示,由图可知,x-1<-3或2<x-1<3,解得x∈(-∞,-2)∪(3,4).11.已知函数f(x)=,若函数f(x)存在零点,则实数a的取值范围是世纪金榜导学号( )A.(-∞,0)B.(-∞,1)C.(1,+∞)D.(0,+∞)【解析】选D.函数f(x)=,函数的图像如图:函数f(x)存在零点,则实数a的取值范围是(0,+∞).12.已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x-4)=-f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则( )世纪金榜导学号A.f(-25)<f(11)<f(80)B.f(80)<f(11)<f(-25)C.f(11)<f(80)<f(-25)D.f(-25)<f(80)<f(11)【解析】选D.因为f(x)满足f(x-4)=-f(x),所以f(x-8)=f(x),所以函数f(x)是以8为周期的周期函数,则f(-25)=f(-1),f(80)=f(0),f(11)=f(3).由f(x)是定义在R上的奇函数,且满足f(x-4)=-f(x),得f(11)=f(3)=-f(-1)=f(1).因为f(x)在区间[0,2]上是增函数,f(x)在R上是奇函数,所以f(x)在区间[-2,2]上是增函数,所以f(-1)<f(0)<f(1),即f(-25)<f(80)<f(11).二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.命题“∀x∈R,x2-2x>0”的否定是.【解析】依据题意,先改变量词,然后否定结论,可得命题的否定是∃x∈R,x2-2x≤0.答案:∃x∈R,x2-2x≤014.(2019·咸阳模拟)已知log a<1,那么a的取值范围是.【解析】因为log a<1=log a a,故当0<a<1时,y=log a x为减函数,0<a<;当a>1时,y=log a x为增函数,a>,所以a>1.综上所述,a的取值范围是∪(1,+∞).答案:∪(1,+∞)15.(2019·抚州模拟)已知函数f(x)=ln(3-x),则不等式f(lg x)>0的解集为.世纪金榜导学号【解析】因为f(x)=ln(3-x),则解得0≤x<3,所以定义域为[0,3),因为f(x)=ln(3-x)>0等价于解得0<x<2,因为f(lg x)>0,所以解得1<x<100,所以解集为(1,100).答案:(1,100)16.(2020·重庆模拟)已知函数f(x)=,函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,且满足:x1<x2<x3<x4,则-的取值范围是.世纪金榜导学号【解析】函数f(x)=的图像如图所示,函数F(x)=f(x)-b有四个不同的零点x1,x2,x3,x4,且满足:x1<x2<x3<x4,转化为f(x)=b有4个不同的交点,由图像,结合已知条件得x1+x2=-4,x3x4=1,0<b≤1,解不等式0<-log3x≤1得:≤x3<1,-=-×(x1+x2)=+2,令t=,则≤t<1,令g(t)=2t+,则g(t)在上单调递减,在上是增函数.g=2,g=,g(1)=3,所以g≤g(t)≤g,即2≤2t+≤.答案:三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A={x|3≤3x≤27},B={x|log2x>1}.(1)求(R B)∪A.(2)已知集合C={x|1<x<a},若C⊆A,求实数a的取值范围.【解析】A={x|3≤3x≤27}={x|1≤x≤3},B={x|log2x>1}={x|x>2},(1)R B={x|x≤2},所以(R B)∪A={x|x≤2}∪{x|1≤x≤3}={x|x≤3}.(2)当C=∅时,a≤1,满足C⊆A;当C≠∅时,由题意得,所以1<a≤3,综上可知a的取值范围是a≤3.18.(12分)已知函数f(x)=(1)在图中给定的直角坐标系内画出f(x)的图像.(2)写出f(x)的单调递增区间.【解析】(1)画图如图所示.(2)f(x)的单调递增区间是[-1,0)和(2,4].19.(12分)已知函数f(x)=b·a x(其中a,b为常数,a>0,a≠1)的图像过点A,B.(1)求f(x).(2)若不等式+-m≥0在x∈[1,+∞)时恒成立,求m的取值范围.【解析】(1)由已知得解得所以f(x)=×.(2)+-m=2x+3x-m≥0,所以m≤2x+3x,因为y=2x+3x在[1,+∞)上为增函数,所以y的最小值为5,所以m≤5.20.(12分)某群体的人均通勤时间,是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示:当S中x%(0<x<100)的成员自驾时,自驾群体的人均通勤时间为f(x)=(单位:分钟),而公交群体的人均通勤时间不受x影响,恒为40分钟,试根据上述分析结果回答下列问题:(1)当x在什么范围内时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间?(2)求该地上班族S的人均通勤时间g(x)的表达式;讨论g(x)的单调性,并说明其实际意义.世纪金榜导学号【解析】(1)由题意知,当30<x<100时,f(x)=2x+-90>40,即x2-65x+900>0,解得x<20或x>45,所以x∈(45,100)时,公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间.(2)当0<x≤30时,g(x)=30·x%+40(1-x%)=40-;当30<x<100时,g(x)=·x%+40(1-x%)=-x+58;所以g(x)=当0<x<32.5时,g(x)单调递减;当32.5<x<100时,g(x)单调递增;说明该地上班族S中有小于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递减的;有大于32.5%的人自驾时,人均通勤时间是递增的;当自驾人数为32.5%时,人均通勤时间最少.【变式备选】如图,GH是一条东西方向的公路,现准备在点B的正北方向的点A处建一仓库,设AB=y千米,并在公路旁边建造边长为x千米的正方形无顶中转站CDEF(其中边EF在公路GH上).若从点A向公路和中转站分别修两条道路AB,AC,已知AB=AC+1,且∠ABC=60°.(1)求y关于x的函数解析式.(2)如果中转站四周围墙的造价为10万元/千米,道路的造价为30万元/千米,问x取何值时,修建中转站和道路的总造价M最低?【解析】(1)由题意,BC=2x千米,又AB=y千米,AC=(y-1)千米,在△ABC中,由余弦定理得,(y-1)2=y2+4x2-2y·2x·cos 60°,所以y=.由2x+y-1>y得x>. 因为y>0且x>,所以x>1.所以y=(x>1).(2)M=30(2y-1)+40x=-30+40x,其中x>1,设t=x-1,则t>0,所以M=-30+40(t+1)=160t++250≥2+250=490,当且仅当t=时等号成立,此时x=.所以当x=时修建中转站和道路的总造价M最低.21.(12分)已知a∈R,函数f(x)=log2. 世纪金榜导学号(1)当a=5时,解不等式f(x)>0.(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a的取值范围.(3)设a>0,若对任意t∈,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.【解析】(1)由log2>0,得+5>1,解得x∈∪(0,+∞).(2)由原方程可得+a=(a-4)x+2a-5,即(a-4)x2+(a-5)x-1=0.①当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.②当a=3时,x1=x2=-1,经检验,满足题意.③当a≠3且a≠4时,x1=,x2=-1,x1≠x2.若x1是原方程的解,则+a>0,即a>2;若x2是原方程的解,则+a>0,即a>1.由题意知x1,x2只有一个为方程的解,所以或于是满足题意的a∈(1,2].综上,a的取值范围为(1,2]∪{3,4}.(3)易知f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1).f(t)-f(t+1)=log2-log2≤1,即at2+(a+1)t-1≥0对任意t∈恒成立.因为a>0,所以函数y=at2+(a+1)t-1在区间上单调递增,当t=时,y有最小值a-.由a-≥0,得a≥.故a的取值范围为.22.(12分)已知函数f(x)对任意实数x,y恒有f(x+y)=f(x)+f(y),当x>0时,f(x)<0,且f(1)=-2. 世纪金榜导学号(1)判断f(x)的奇偶性.(2)求f(x)在区间[-3,3]上的最大值.(3)解关于x的不等式f(ax2)-2f(x)<f(ax)+4.【解析】(1)取x=y=0,则f(0+0)=2f(0),即f(0)=0.取y=-x,则f(x-x)=f(x)+f(-x),即f(-x)=-f(x)对任意x∈R恒成立,故函数f(x)为奇函数.(2)任取x1,x2∈(-∞,+∞),且x1<x2,则x2-x1>0.所以f(x2)+f(-x1)=f(x2-x1)<0,所以f(x2)<-f(-x1).又f(x)为奇函数,所以f(x1)>f(x2).所以f(x)在(-∞,+∞)内是减函数.所以对任意x∈[-3,3],恒有f(x)≤f(-3).因为f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=3f(1)=-2×3=-6,所以f(-3)=-f(3)=6,所以f(x)在[-3,3]上的最大值为6.(3)因为f(x)为奇函数,所以整理原不等式得f(ax2)+2f(-x)<f(ax)+f(-2).所以f(ax2-2x)<f(ax-2).因为f(x)在(-∞,+∞)内是减函数,所以ax2-2x>ax-2,即(ax-2)(x-1)>0.所以当a=0时,x∈{x|x<1};当a=2时,x∈{x|x≠1,且x∈R};当a<0时,<x<1;当0<a<2时,x<1或x>;当a>2时,x<或x>1.综上所述,当a=0时,原不等式的解集为{x|x<1};当a=2时,原不等式的解集为{x|x≠1,且x∈R};当a<0时,原不等式的解集为;当0<a<2时,原不等式的解集为; 当a>2时,原不等式的解集为.。

2022届北师大版高三数学一轮复习练习：第四章三角函数、解三角形第2讲 Word版含解析

基础巩固题组 (建议用时：30分钟) 一、选择题1.(2021·长沙模拟)已知α是第四象限角，sin α＝－1213，则tan α＝( ) A.－513B.513C.－125D.125解析由于α是第四象限角，sin α＝－1213，所以cos α＝1－sin 2α＝513，故tan α＝sin αcos α＝－125.答案 C2.已知tan α＝12，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，则sin α＝( )A.－55 B.55 C.255D.－255解析 ∵tan α＝12＞0，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，∴sin α＜0，∴sin 2α＝sin 2αsin 2α＋cos 2α＝tan 2αtan 2α＋1＝1414＋1＝15，∴sin α＝－55. 答案 A3.1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝( ) A.sin 2－cos 2 B.sin 2＋cos 2 C.±(sin 2－cos 2) D.cos 2－sin 2解析1－2sin （π＋2）cos （π－2）＝1－2sin 2cos 2＝（sin 2－cos 2）2＝|sin 2－cos 2|＝sin 2－cos 2.答案 A4.(2021·甘肃省质检)向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝( )A.－13B.13C.－23D.－223解析 ∵a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，tan α，b ＝(cos α，1)，且a ∥b ，∴13×1－tan αcos α＝0，∴sin α＝13， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝－sin α＝－13.答案 A5.(2021·芜湖二测)cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝( )A.13 B.223 C.－13D.－223解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＋θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π12－θ＝13.答案 A6.(2021·孝感模拟)已知tan α＝3，则1＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α的值是( )A.12B.2C.－12D.－2解析原式＝sin 2α＋cos 2α＋2sin αcos αsin 2α－cos 2α＝（sin α＋cos α）2（sin α＋cos α）（sin α－cos α）＝sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1tan α－1＝3＋13－1＝2.答案 B7.已知sin α＝55，则sin 4α－cos 4α的值为( ) A.－15B.－35C.15D.35解析 sin 4α－cos 4α＝sin 2α－cos 2α＝2sin 2α－1＝－35. 答案 B8.(2021·西安模拟)已知函数f (x )＝a sin(πx ＋α)＋b cos(πx ＋β)，且f (4)＝3，则 f (2 017)的值为( ) A.－1B.1C.3D.－3解析 ∵f (4)＝a sin(4π＋α)＋b cos(4π＋β) ＝a sin α＋b cos β＝3，∴f (2 017)＝a sin(2 017π＋α)＋b cos(2 017π＋β) ＝a sin(π＋α)＋b cos(π＋β) ＝－a sin α－b cos β ＝－3. 答案 D 二、填空题9.(2022·四川卷)sin 750°＝________. 解析 sin 750°＝sin(720°＋30°)＝sin 30°＝12. 答案 1210.已知α为钝角，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝34，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝________.解析由于α为钝角，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－74，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝－74. 答案－7411.化简：sin 2（α＋π）·cos （π＋α）·cos （－α－2π）tan （π＋α）·sin 3⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α·sin （－α－2π）＝________.解析原式＝sin 2α·（－cos α）·cos αtan α·cos 3α·（－sin α）＝sin 2αcos 2αsin 2αcos 2α＝1. 答案 112.(2022·全国Ⅰ卷)已知θ是第四象限角，且sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝35，则tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝________.解析由题意，得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝45，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝34.∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4－π2＝－1tan ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝－43. 答案－43 力量提升题组 (建议用时：15分钟)13.已知sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，|θ|<π2，则θ等于( ) A.－π6 B.－π3 C.π6D.π3解析 ∵sin(π＋θ)＝－3cos(2π－θ)，∴－sin θ＝－3cos θ， ∴tan θ＝3，∵|θ|＜π2，∴θ＝π3. 答案 D14.若sin θ，cos θ是方程4x 2＋2mx ＋m ＝0的两根，则m 的值为( ) A.1＋ 5 B.1－ 5 C.1± 5D.－1－ 5解析由题意知sin θ＋cos θ＝－m 2，sin θ·cos θ＝m4.又()sin θ＋cos θ2＝1＋2sin θcos θ，∴m 24＝1＋m2，解得m ＝1±5. 又Δ＝4m 2－16m ≥0， ∴m ≤0或m ≥4，∴m ＝1－ 5. 答案 B15.sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝________.解析 sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 290°＝sin 21°＋sin 22°＋…＋sin 244°＋sin 245°＋cos 244°＋cos 243°＋…＋cos 21°＋sin 290°＝(sin 21°＋cos 21°)＋(sin 22°＋cos 22°)＋…＋(sin 244°＋cos 244°)＋sin 245°＋sin 290°＝44＋12＋1＝912. 答案 91216.已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝________.解析 ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝－a .sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6－θ＝a ， ∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π6＋θ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3－θ＝0.答案 0。

高三数学第一轮复习章节测试5-4 北师大版

第5章第4节一、选择题1．已知△ABC 中，|AB →|＝|AC →|，则一定有( )A.AB →⊥AC →B.AB →＝AC →C ．(AB →＋AC →)⊥(AB →－AC →)D.AB →＋AC →＝AB →－AC →[答案] C[解析] ∵|AB →|＝|AC →|∴(AB →＋AC →)(AB →－AC →)＝|AB →|2－|AC →|2＝0，∴(AB →＋AC →)⊥(AB →－AC →)．2．已知两个力F1，F2的夹角为90°，它们的合力大小为10N ，合力与F1的夹角为60°，那么F1的大小为( )A ．53NB ．5NC ．10ND ．52N[答案] B[解析] 如图所示，由向量加法的平行四边形法则知F 合＝F1＋F2，四边形OABC 是矩形，∵∠AOB ＝60°，∴|F1|＝|F 合|cos60°＝10×12＝5(N)． 3．(08·山东)已知a 、b 、c 为△ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边，向量m＝(3，－1)，n ＝(cosA ，sinA)．若m ⊥n ，且acosB ＋bcosA ＝csinC ，则角A 、B 的大小分别为( )A.π6，π3B.2π3，π6C.π3，π6D.π3，π3[答案] C[解析] 解法1：∵m ⊥n ，∴3cosA －sinA ＝0，∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＝0，又∵0<A<π，∴A ＋π6＝π2，∴A ＝π3. 在△ABC 中，由正弦定理得sinAcosB ＋cosBsinA ＝sin2C ，∴sin(A ＋B)＝sin2C ，又sin(A ＋B)＝sinC≠0，∴sinC ＝1，∴C ＝π2，故B ＝π6. 解法2：接解法1中，A ＝π3，在△ABC 中，由余弦定理得 a·a2＋c2－b22ac ＋b·b2＋c2－a22bc＝csinC ， ∴2c22c ＝c ＝csinC ，∴sinC ＝1，∴C ＝π2，故B ＝π6. 4．已知点B(2，0)，点O 为坐标原点且点A 在圆(x －2)2＋(y －2)2＝1上，则OA →与OB →夹角θ的最大值与最小值分别是( )A.π4，0 B.5π12，π4 C.5π12，π12D.π2，5π12[答案] C[解析] 如图，当直线OA 与圆C 相切时，OA →与OB →夹角最小或最大；由于C(2，2)∴∠BOC ＝π4又由于|OC|＝2，r ＝1.∴∠AOC ＝π6；因此OA →与OB →夹角的最大、小值分别为5π12，π12，故选C. 5．(2010·辽宁理)平面上O 、A 、B 三点不共线，设OA →＝a ，OB →＝b ，则△OAB 的面积等于( )A.|a|2|b|2－B.|a|2|b|2＋C.12|a|2|b|2－ D.12|a|2|b|2＋[答案] C[解析] 如图，由三角形面积公式知S ＝12|a||b|sin ∠AOB ，而cos ∠AOB ＝a·b |a||b|∴S ＝12|a||b|1－⎝ ⎛⎭⎪⎫a·b |a||b|2 ＝12|a|2|b|2－，故选C.6．一质点受到平面上的三个力F1，F2，F3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F1，F2成60°角，且F1，F2的大小分别为2和4，则F3的大小为( )A ．6B ．2C ．2 5D ．27[答案] D[解析] 考查平面向量的运算法则、概念．由条件知，F1＋F2＋F3＝0，∴F3＝－(F1＋F2)，∵F1·F2＝|F1|·|F2|·cos〈F1，F2〉＝2×4×cos60°＝4，∴|F3|2＝|F1|2＋|F2|2＋2F1·F2＝22＋42＋2×4＝28，∴|F3|＝27.7．已知直线l ：mx ＋2y ＋6＝0，向量(1－m,1)与l 平行，则实数m 的值为( )A ．－1B ．1C ．2D ．－1或2 [答案] D[解析] k1＝－m 2，向量(1－m,1)所在直线的斜率k ＝11－m ，由题意得－m 2＝11－m. 解得m ＝2或－1.8．(2010·全国卷Ⅰ)已知圆O 的半径为1，PA 、PB 为该圆的两条切线，A 、B 为两切点，那么PA →·PB →的最小值为( )A ．－4＋ 2B ．－3＋ 2C ．－4＋2 2D ．－3＋2 2[答案] D[解析] 如图所示：设PA ＝PB ＝x(x>0)，∠APO ＝α，则∠APB ＝2α，PO ＝1＋x2，sin α＝11＋x2， PA →·PB →＝|PA →|·|PB →|cos2α＝x2(1－2sin2α)＝－x2＋1＝x4－x2x2＋1，令PA →·PB →＝y ，则y ＝x4－x2x2＋1，即x4－(1＋y)x2－y ＝0，由x2是实数，所以Δ＝[－(1＋y)]2－4×1×(－y)≥0，y2＋6y ＋1≥0，解得y≤－3－22或y≥－3＋2 2.故(PA →·PB →)min ＝－3＋22，此时x ＝2－1.二、填空题9．设F1，F2为双曲线x24－y2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上，且PF1→·PF2→＝0，则|PF1→|·|PF2→|的值等于________．[答案] 2[解析] |PF1→|·|PF2→|＝12[|PF1→|2＋|PF2→|2－(|PF1|－|PF2|)2] ＝12[|F1F2|2－(|PF1|－|PF2|)2] ＝12[(2c)2－(2a)2]＝2b2＝2. 10．(2009·天津理)在四边形ABCD 中，AB →＝DC →＝(1,1)，1|B A →|B A →＋1|B C →|B C →＝3|B D →|B D →，则四边形ABCD 的面积为________．[答案] 3[解析] 本小题考查向量加法的几何意义，数量积的应用．由A B →＝D C →＝(1,1)知四边形ABCD 为平行四边形，|AB |→＝|DC |→＝2，又1|B A →|B A →＋1|B C →|B C →＝3|B D →|·B D →. ∴∠ABD ＝∠CBD ，即四边形ABCD 为菱形，设∠ABD ＝∠CBD ＝α，∵1|B A →|·B A →2＋1|B C →|·B A →·B C →＝3|B D →|·B A →·B D →， ∴cos2α＋1＝3cos α.∴cos α＝32，∴α＝30°. ∴S ▱ABCD ＝|A B →|·|B C →|sin60°＝2sin60°＝ 3.11．设两个向量a ＝(λ＋2，λ2－cos2α)和b ＝m ，m 2＋sin α，其中λ、m 、α为实数．若a ＝2b ，则λm的取值范围是__________． [答案] [－6,1][解析] ∵2b ＝(2m ，m ＋2sin α)，∴λ＋2＝2m ，λ2－cos2α＝m ＋2sin α，∴(2m －2)2－m ＝cos2α＋2sin α，即4m2－9m ＋4＝1－sin2α＋2sin α，又∵－2≤1－sin2α＋2sin α≤2，∴－2≤4m2－9m ＋4≤2，解得14≤m≤2，∴12≤1m≤4，又∵λ＝2m －2，∴λm ＝2－2m， ∵－6≤2－2m ≤1，∴－6≤λm≤1. 三、解答题12．已知a ，b 是非零向量，若a ＋3b 与7a －5b 垂直，a －4b 与7a －2b 垂直．试求a 与b 的夹角．[分析] 要求a ，b 的夹角θ，就需要利用公式a·b＝|a||b|cos θ，因此我们利用题设中的垂直条件，用|a|，|b|等来表示a·b，这样就可以将它代入公式，即可求出θ的值．[解析] 解法一：由条件知 ⎩⎪⎨⎪⎧ ＋－＝0－－＝0所以⎩⎪⎨⎪⎧ 7a2＋16a·b－15b2＝0 ①7a2－30a·b＋8b2＝0 ②由①－②得46a·b－23b2＝0，所以b2＝2a·b.将它代入②得a2＝2a·b.所以由b2＝2a ·b 可知|b|2＝2|a||b|cos θ，所以cos θ＝12，所以θ＝60°. 即所求的向量a 与b 的夹角为60°.解法二：由条件知：⎩⎪⎨⎪⎧ ＋－＝0－－＝0∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a2＋16a·b－15b2＝0 ①7a2－30a·b＋8b2＝0 ②①×15＋②×8得|a|＝|b|，由①得7|a|2＋16|a||b|cos θ－15|b|2＝0，∴7＋16cos θ－15＝0，∴cos θ＝12. ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°.即向量a 与b 的夹角为60°.[点评] 向量的数量积满足交换律a·b＝b·a，但不满足a·b＝|a||b|，这与平时的数量乘积运算不同，同时要注意如果a·b＝b·c，但不能得出a ＝c.13．已知向量OA →＝(3,4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m))．(1)若点A ，B ，C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件；(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值．[解析] (1)OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－(3＋m))．若点A ，B ，C 能构成三角形，则这三点不共线，∵AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m)，故知3(1－m)≠2－m.∴实数m≠12时，满足条件． (2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，∴3(2－m)＋(1－m)＝0，解得m ＝74. 14．求证：若平面四边形两组对边的平方和相等，则它的两条对角线互相垂直．[解析] 如图，四边形ABCD 中，已知AB2＋CD2＝AD2＋CB2，求证：AC ⊥BD.证明：∵AB2＋CD2＝AD2＋CB2，∴AB →2＋CD →2＝AD →2＋CB →2.∴AB →2－AD →2＝CB →2－CD →2.∴(AB →＋AD →)(AB →－AD →)＝(CB →＋CD →)(CB →－CD →)．∴(AB →＋AD →)·DB →＝(CB →＋CD →)·DB →.∴(AB →＋AD →－CB →－CD →)·DB →＝0.∴(AB →＋BC →＋AD →＋DC →)·DB →＝0.∴2AC →·DB →＝0.∴AC →⊥DB →.∴AC ⊥DB.15．△ABC 是等腰直角三角形，∠B ＝90°，D 是BC 边的中点，BE ⊥AD ，垂足为E ，延长BE 交AC 于F ，连接DF ，求证：∠ADB ＝∠FDC.[证明] 如图，以B 为原点，BC 所在直线为x 轴建立直角坐标系，设A(0,2)，C(2,0)，则D(1,0)，AC →＝(2，－2)设AF →＝λAC →，则BF →＝BA →＋AF →＝(0,2)＋(2λ，－2λ)＝(2λ，2－2λ)，又DA →＝(－1,2)由题设BF →⊥DA →，∴BF →·DA →＝0，∴－2λ＋2(2－2λ)＝0，∴λ＝23.∴BF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫43，23，∴DF →＝BF →－BD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13，23，又DC →＝(1,0)，∴cos ∠ADB ＝DA →·DB →|DA →|·|DB →|＝55，cos ∠FDC ＝DF →·DC →|DF →|·|DC →|＝55，又∠ADB 、∠FDC ∈(0，π)，∴∠ADB ＝∠FDC.。

《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版素能提升训练 4-5 Word版含解析

忽视三角函数中的隐含条件致误[典例] (2022·临沂模拟)若α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，则tan(α－β)＝________.[审题视角] 由于α、β是锐角，所以－π2<α－β<π2，但还应留意sin α－sin β＝－12<0，∴sin α<sin β，α<β.从而－π2<α－β<0，故由cos(α－β)的值只能得到sin(α－β)<0的值，本题若直接由α，β∈(0，π2)，得α－β∈(－π2，π2)，则放宽了角的范围，会导致毁灭两个结果的错误．[解析] ∵sin α－sin β＝－12，cos α－cos β＝12，两式平方相加得：2－2cos αcos β－2sin αsin β＝12，即2－2cos(α－β)＝12，∴cos(α－β)＝34.∵α、β是锐角，且sin α－sin β＝－12<0，∴0<α<β<π2.∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1－cos 2(α－β)＝－74.∴tan(α－β)＝sin (α－β)cos (α－β)＝－73.[答案] －73三角函数值符号的确定，是解决三角求值、化简、证明的关键，同学解题中简洁忽视对条件的深刻挖掘，直接依据已知，“宽松”条件确定符号，扩大角的范围致误，俗话说：“明枪易躲，暗箭难防”，我们在解题时确定要认真分析、当心论证．1．(2011·广东，16)已知函数f (x )＝2sin(13x －π6)，x ∈R . (1)求f (5π4)的值；(2)设α，β∈[0，π2]，f (3α＋π2)＝1013，f (3β＋2π)＝65，求cos(α＋β)的值．解：(1)由题设知：f (5π4)＝2sin(5π12－π6)＝2sin π4＝ 2. (2)由题设知：1013＝f (3α＋π2)＝2sin α，65＝f (3β＋2π) ＝2sin(β＋π2)＝2cos β，即sin α＝513，cos β＝35，又α，β∈[0，π2]， ∴cos α＝1213，sin β＝45，∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝1213×35－45×513＝1665.。