2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试4-5 北师大版
2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试4-1 北师大版
2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试4-1 北师大版一、选择题 1．若－π2<α<0，则点Q (cos α，sin α)位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限[答案] D[解析] 由于－π2<α<0，则cos α>0，sin α<0，即该点位于第四象限．2．如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么角θ所在的象限是( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限[答案] B[解析] 因为点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，所以sin θcos θ<0,2cos θ<0，即⎩⎨⎧sin θ>0cos θ<0，θ为第二象限角．3．若角α的终边落在直线y ＝－x 上，则sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α的值等于( )A ．0B ．2C ．－2D ．2tan α[答案] A[解析] ∵角α的终边在直线y ＝－x 上，∴α＝k π＋3π4 (k ∈Z )，∴sin α与cos α符号相反，∴sin α1－sin 2α＋1－cos 2αcos α＝sin α|cos α|＋|sin α|cos α＝0. 4．已知扇形的周长为6cm ，面积是2cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1B ．4C ．1或4D ．2或4[答案] C[解析] 设扇形圆心角为αrad ，半径为r ，弧长为l .则⎩⎨⎧l ＋2r ＝6，12l ·r ＝2，∴⎩⎨⎧r ＝1，l ＝4或⎩⎨⎧r ＝2，l ＝2.∴α＝l r＝4或α＝1.∴选C.5．已知锐角α终边上一点P 的坐标是(2sin2，－2cos2)，则α等于( ) A ．2B ．－2C ．2－π2D.π2－2 [答案] C[解析] 点P 位于第一象限，且tan α＝－cot2＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－π2，∵2－π2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＝2－π2.6．若A 、B 、C 为△ABC 的三个内角，且A <B <C ⎝ ⎛⎭⎪⎫C ≠π2，则下列结论中正确的是( )A ．sin A <sin CB ．cos A <cosC C ．tan A <tan CD ．cot A <cot C[答案] A[解析] 解法1：若C 为锐角，由已知A <B <C 及单调性可排除B 、D ；若C 为钝角，则tan A <tan C 不成立，选A.解法2：由三角形中大边对大角及正弦定理可知：A <C ⇔a <c ⇔sin A <sin C ，选A.7．若cos2θ＋cos θ＝0，则sin2θ＋sin θ的值等于( ) A ．0B ．±3C ．0或 3D ．0或±3[答案] D[解析] 由cos2θ＋cos θ＝0得2cos 2θ－1＋cos θ＝0，所以cos θ＝－1或12.当cos θ＝－1时，有sin θ＝0；当cos θ＝12时，有sin θ＝±32.于是sin2θ＋sin θ＝sin θ(2cos θ＋1)＝0或± 3.8．若1弧度的圆心角所对的弦长等于2，则这圆心角所对的弧长等于( ) A ．sin 12B.π6C.1sin12D ．2sin 12[答案] C[解析] 设圆的半径为r .由题意知r ·sin 12＝1，∴r ＝1sin 12，∴弧长l ＝α·r ＝1sin12.二、填空题9．若α＝k ·180°＋45°，k ∈Z ，则α为第__________象限角． [答案] 一或三[解析] 当k ＝2n 时，α＝n ·360°＋45°， 当k ＝(2n ＋1)时，α＝n ·360°＋225°， ∴α为第一或第三象限角．10．函数y ＝sin x ＋－cos x 的定义域是________． [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2＋2k π，π＋2k π(k ∈Z )[解析] 由题意知⎩⎨⎧sin x ≥0，－cos x ≥0，即⎩⎨⎧sin x ≥0，cos x ≤0，∴x 范围为π2＋2k π≤x ≤π＋2k π(k ∈Z )11．若角α的终边与直线y ＝3x 重合且sin α<0，又P (m ，n )是α终边上一点，且|OP |＝10，则m －n 等于________．[答案] 2[解析] 依题意：⎩⎨⎧n ＝3m ，m 2＋n 2＝10.解得：m ＝1，n ＝3或m ＝－1，n ＝－3，又sin α<0，∴α的终边落在第三象限，∴n <0， ∴m ＝－1，n ＝－3，∴m －n ＝2. 三、解答题12．已知扇形的面积为S ，当扇形的中心角为多少弧度时，扇形的周长最小？并求出此最小值．[解析] 设l 为扇形的弧长，由S ＝12l ·r 得l ＝2Sr ，故扇形的周长C ＝2r ＋2Sr.即2r 2－C ·r ＋2S ＝0.由于r 存在，故方程有解，因此有Δ＝C 2－16S ≥0， 即C ≥4S .∴周长C 的最小值为4S .此时，r ＝C ±Δ2×2＝S ，中心角α＝2Sr 2＝2rad所以当扇形的中心角为2rad 时，扇形的周长最小，最小值为4S .13．已知角α终边经过点P(x，－2)(x≠0)，且cosα＝36x，求sinα＋1tanα的值．[解析] ∵P(x，－2)(x≠0)，∴点P到原点的距离r＝x2＋2.又cosα＝36x，∴cosα＝xx2＋2＝36x.∵x≠0，∴x＝±10，∴r＝2 3.当x＝10时，P点坐标为(10，－2)，由三角函数的定义，有sinα＝－66，1tanα＝－5，∴sinα＋1tanα＝－66－5＝－65＋66；当x＝－10时，同样可求得sinα＋1tanα＝65－66.14．设f(x)＝cos xcos30°－x，求f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)的值．[解析] f(x)＋f(60°－x)＝cos xcos30°－x＋cos60°－xcos x－30°＝cos x＋cos60°－xcos30°－x＝3cos x－30°cos30°－x＝ 3.∴f(1°)＋f(2°)＋…＋f(59°)＝(f(1°)＋f(59°))＋(f(2°)＋f(58°))＋…＋(f(29°)＋f(31°))＋f (30°)＝293＋32＝5932. 15．已知角α的顶点与直角坐标系的原点重合，始边在x 轴的正半轴上，终边经过点P (1，－2)．求cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3的值．[解析] ∵P (1，－2)是角α终边上一点，由此求得r ＝|OP |＝5， ∴sin α＝－255，cos α＝55. ∵sin2α＝2sin αcos α＝－45，cos2α＝cos 2α－sin 2α＝－35.∴cos ⎝⎛⎭⎪⎫2α－π3＝cos2αcos π3＋sin2αsin π3＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35·12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－45·32＝－3＋4310.hE734152 8568 蕨}0u€34429 867D 虽34514 86D2 蛒Y37193 9149 酉39787 9B6B 魫25584 63F0揰28709 7025 瀥。
《红对勾》2021届高三数学第一轮复习北师大版 课时作业4 Word版含解析
课时作业4 函数及其表示一、选择题(每小题5分，共40分)1．(2022·江西理，2)下列函数中，与函数y ＝13x定义域相同的函数为( )A ．y ＝1sin x B ．y ＝ln xx C ．y ＝x e xD ．y ＝sin xx解析：本题考查函数的定义域，由于y ＝13x的定义域为{x |x ≠0}，满足条件的函数只有D ，故选D.答案：D2．(2022·北京海淀)假如f (1x )＝x1－x ，则当x ≠0且x ≠1时，f (x )＝________.( )A.1xB.1x －1C.11－xD.1x －1解析：令1x ＝t ，得x ＝1t . ∴f (t )＝1t1－1t ＝1t －1∴f (x )＝1x －1.答案：B3．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ，x ≤0x 2，x >0，若f (α)＝4，则实数α＝( )A. －4或－2B. －4或2 C ．－2或4D ．－2或2解析：本题主要考查分段函数求函数值等基础学问． 当α≤0时，f (α)＝－α＝4，∴α＝－4； 当α>0时，f (α)＝α2＝4，∴α＝2. 综之：α＝－4或2，选B. 答案：B4．下列对应法则f 为A 上的函数的个数是( ) ①A ＝Z ，B ＝N ＋，f ：x →y ＝x 2 ②A ＝Z ，B ＝Z ，f ：x →y ＝x ③A ＝[－1,1]，B ＝{0}，f ：x →y ＝0 A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：对于①，当0∈A 时，y ＝0∉B ，故①所给的对应法则不是A 到B 的映射，当然它不是A 上的函数关系；对于②，当2∈A 时，y ＝2∉B ，故②所给的对应法则不是A 到B 的映射，当然它不是A 上的函数关系；对于③，对于A 中的任一个数，依据对应法则，在B 中都有唯一元素0和它对应，故③所给的对应法则是A 到B 的映射，这两个数集之间的关系是集合A 上的函数关系．答案：B5．(2022·福建厦门3月模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2，x ∈[－1，2]，x －3，x ∈(2，5]，则方程f (x )。
北师大版高考数学选修4-5同步练习题 第1章 章末复习
章末复习学习目标 1.梳理本章的重要知识要点，构建知识网络.2.进一步强化对平均值不等式的理解和应用，尤其注意等号成立的条件.3.巩固对绝对值不等式的理解和掌握，进一步熟练绝对值不等式的应用.4.熟练掌握不等式的证明方法．1．实数的运算性质与大小顺序的关系：a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＝b ⇔a －b ＝0，a ＜b ⇔a －b ＜0，由此可知要比较两个实数的大小，判断差的符号即可．2．不等式的4个基本性质及5个推论．3．绝对值不等式(1)绝对值不等式的解法解含绝对值的不等式的基本思想是通过去掉绝对值符号，把含绝对值的不等式转化为一元一次不等式或一元二次不等式．去绝对值符号常见的方法有：①根据绝对值的定义；②分区间讨论(零点分段法)；③图像法．(2)绝对值三角不等式①|a|的几何意义表示数轴上的点到原点的距离，|a －b|的几何意义表示数轴上两点间的距离； ②|a ＋b|≤|a|＋|b|(a ，b ∈R ，ab ≥0时等号成立)；③|a －c|≤|a －b|＋|b －c|(a ，b ，c ∈R ，(a －b)(b －c)≥0时等号成立)；④||a|－|b||≤|a ＋b|≤|a|＋|b|(a ，b ∈R ，左边“＝”成立的条件是ab ≤0，右边“＝”成立的条件是ab ≥0)；⑤||a|－|b||≤|a －b|≤|a|＋|b|(a ，b ∈R ，左边“＝”成立的条件是ab ≥0，右边“＝”成立的条件是ab ≤0)．4．平均值不等式(1)定理1：若a ，b ∈R ，则a 2＋b 2≥2ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)．(2)定理2：若a ，b ∈R ＋，则a ＋b 2≥ab(当且仅当a ＝b 时取“＝”)． (3)定理3：若a ，b ，c ∈R ＋，则a 3＋b 3＋c 3≥3abc(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)．(4)定理4：若a ，b ，c ∈R ＋，则a ＋b ＋c 3≥3abc(当且仅当a ＝b ＝c 时取“＝”)． (5)推论：若a 1，a 2，…，a n ∈R ＋，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1a 2…a n .当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时取“＝”．5．不等式的证明方法(1)比较法．(2)分析法．(3)综合法．(4)反证法．(5)几何法．(6)放缩法．类型一 绝对值不等式的解法例1 解下列关于x 的不等式．(1)|x ＋1|＞|x －3|；(2)|x －2|－|2x ＋5|＞2x.解 (1)方法一 |x ＋1|＞|x －3|，两边平方得(x ＋1)2＞(x －3)2，∴8x ＞8，∴x ＞1.∴原不等式的解集为{x|x ＞1}．方法二 分段讨论：当x ≤－1时，有－x －1＞－x ＋3，此时x ∈∅；当－1＜x ≤3时，有x ＋1＞－x ＋3，即x ＞1，∴此时1＜x ≤3；当x ＞3时，有x ＋1＞x －3，∴x ＞3.∴原不等式解集为{x|x ＞1}．(2)分段讨论：①当x ＜－52时， 原不等式变形为2－x ＋2x ＋5＞2x ，解得x ＜7，∴不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－52. ②当－52≤x ≤2时，原不等式变形为2－x －2x －5＞2x ，解得x ＜－35， ∴不等式解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －52≤x ＜－35. ③当x ＞2时，原不等式变形为x －2－2x －5＞2x ，解得x ＜－73，∴原不等式无解． 综上可知，原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＜－35. 反思与感悟 含有两个以上绝对值符号的不等式，可先求出使每个含绝对值符号的代数式等于零的未知数的值，将这些值依次在数轴上标注出来，它们把数轴分成若干个区间，讨论每一个绝对值符号内的代数式在每一个区间的符号，转化为不含绝对值的不等式去解．这种方法通常称为零点分段法．跟踪训练1 已知函数f(x)＝|x －a|，其中a ＞1.(1)当a ＝2时，求不等式f(x)≥4－|x －4|的解集；(2)已知关于x 的不等式|f(2x ＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x ≤2}，求a 的值．解 (1)当a ＝2时，f(x)＋|x －4|＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x ＋6，x ≤2，2，2＜x ＜4，2x －6，x ≥4.当x ≤2时，由f(x)≥4－|x －4|，得－2x ＋6≥4，解得x ≤1；当2＜x ＜4时，f(x)≥4－|x －4|无解；当x ≥4时，由f(x)≥4－|x －4|，得2x －6≥4，解得x ≥5.所以f(x)≥4－|x －4|的解集为{x|x ≤1或x ≥5}．(2)记h(x)＝f(2x ＋a)－2f(x)，则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2a ，x ≤0，4x －2a ，0＜x ＜a ，2a ，x ≥a.由|h(x)|≤2，解得a －12≤x ≤a ＋12. 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x ≤2}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －12＝1，a ＋12＝2，解得a ＝3.类型二 不等式的证明例2 已知a ＞b ＞c ＞d ，求证：1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 证明 ∵a ＞b ＞c ＞d ，∴a －b ＞0，b －c ＞0，c －d ＞0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d (a －d)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a －b ＋1b －c ＋1c －d ·[(a－b)＋(b －c)＋(c －d)] ≥331a －b ·1b －c ·1c －d ·33(a －b )(b －c )(c －d )＝9. ∴1a －b ＋1b －c ＋1c －d ≥9a －d. 反思与感悟 不等式证明的基本方法是比较法，分析法，综合法，在证明时注意对所证不等式恰当分组，选择适当的方法进行证明．跟踪训练2 已知a ，b ，c ∈R ＋，且ab ＋bc ＋ca ＝1，求证：(1)a ＋b ＋c ≥3； (2)a bc ＋b ac ＋c ab ≥3(a ＋b ＋c)． 证明 (1)要证a ＋b ＋c ≥3，由于a ，b ，c ∈R ＋，因此只需证(a ＋b ＋c)2≥3，即证a 2＋b 2＋c 2＋2(ab ＋bc ＋ca)≥3，根据条件，只需证a 2＋b 2＋c 2≥1＝ab ＋bc ＋ca ，由ab ＋bc ＋ca ≤a 2＋b 22＋b 2＋c 22＋c 2＋a 22＝a 2＋b 2＋c 2⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号可知， 原不等式成立． (2)a bc ＋b ac ＋c ab ＝a ＋b ＋c abc ， 在(1)中已证a ＋b ＋c ≥3，∴要证原不等式成立，只需证1abc ≥a ＋b ＋c ， ∵ab ＋bc ＋ca ＝1，即证a bc ＋b ac ＋c ab ≤1＝ab ＋bc ＋ca.∵a ，b ，c ∈R ＋，a bc ＝ab·ac≤ab ＋ac 2， b ac ≤ab ＋bc 2，c ab ≤ac ＋bc 2， ∴a bc ＋b ac ＋c ab ≤ab ＋bc ＋ca(当且仅当a ＝b ＝c ＝33时取等号)成立， ∴原不等式成立．类型三 利用平均值不等式求最值例3 已知x ，y ，z ∈R ＋，x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值为______． 答案 3解析 由x －2y ＋3z ＝0，得y ＝x ＋3z 2， 则y 2xz ＝x 2＋9z 2＋6xz 4xz ≥6xz ＋6xz 4xz＝3， 当且仅当x ＝3z 时取“＝”．反思与感悟 利用基本不等式求最值问题一般有两种类型(1)当和为定值时，积有最大值．(2)当积为定值时，和有最小值，在具体应用基本不等式解题时，一定要注意适用的范围和条件：“一正、二定、三相等”．跟踪训练3 当0＜x ＜π2时，函数f(x)＝1＋cos2x ＋8sin 2x sin2x的最小值为________． 答案 4解析 f(x)＝2cos 2x ＋8sin 2x 2sin xcos x ＝cos x sin x ＋4sin x cos x ， ∵x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴cos x ＞0，sin x ＞0. 故f(x)＝cos x sin x ＋4sin x cos x≥2cos x sin x ·4sin x cos x ＝4，当且仅当tan x ＝12时取“＝”． 类型四 恒成立问题例4 设函数f(x)＝|x ＋1|＋|x －4|－a.(1)当a ＝1时，求函数f(x)的最小值；(2)若f(x)≥4a＋1对任意的实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 (1)当a ＝1时，f(x)＝|x ＋1|＋|x －4|－1≥|x ＋1＋4－x|－1＝4，∴f(x)min ＝4.(2)f(x)≥4a＋1对任意的实数x 恒成立 ⇔|x ＋1|＋|x －4|－1≥a ＋4a对任意的实数x 恒成立 ⇔a ＋4a≤4. 当a ＜0时，上式成立；当a ＞0时，a ＋4a ≥2a·4a ＝4， 当且仅当a ＝4a，即a ＝2时上式取等号， 此时a ＋4a≤4成立． 综上，实数a 的取值范围为(－∞，0)∪{2}．反思与感悟 不等式恒成立问题，通常是分离参数，将其转化为求最大、最小值问题．当然，根据题目特点，还可能用变更主次元、数形结合等方法．跟踪训练4 已知f(x)＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f(x)≤3的解集为{x|－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若|f(x)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2|≤k 恒成立，求k 的取值范围． 解 (1)由|ax ＋1|≤3，得－4≤ax ≤2，∵f(x)≤3的解集为{x|－2≤x ≤1}，∴当a ≤0时，不合题意．又当a ＞0时，－4a ≤x ≤2a， ∴a ＝2.(2)令h(x)＝f(x)－2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＝|2x ＋1|－|2x ＋2|， ∴h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ 1，x ≤－1，－4x －3，－1＜x ＜－12，－1，x ≥－12，∴|h(x)|≤1， ∴k ≥1，即k 的取值范围是[1，＋∞)．1．给出下列四个命题：①若a ＞b ，c ＞1，则algc ＞blgc ；②若a ＞b ，c ＞0，则algc ＞blgc ；③若a ＞b ，则a·2c ＞b·2c；④若a ＜b ＜0，c ＞0，则c a ＞c b. 其中正确命题的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案 C解析 ①正确，c ＞1，lg c ＞0；②不正确，当0＜c ≤1时，lg c ≤0；③正确，2c ＞0；④正确，由a ＜b＜0，得0＞1a ＞1b ，故c a ＞c b. 2．设a ，b 为正实数，以下不等式恒成立的是( ) ①ab ＞2ab a ＋b ；②a ＞|a －b|－b ；③a 2＋b 2＞4ab －3b 2；④ab ＋2ab＞2. A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④ 答案 D解析 ①不恒成立，因为a ＝b 时取“＝”；②恒成立，因为a ，b 均为正数；③不恒成立，当a ＝2，b ＝1时，a 2＋b 2＝5,4ab －3b 2＝5，a 2＋b 2＝4ab －3b 2.④是恒成立的，因为ab ＋2ab≥22＞2. 3．若a ＝lg22，b ＝lg33，c ＝lg55，则( ) A ．a ＜b ＜cB ．c ＜b ＜aC ．c ＜a ＜bD ．b ＜a ＜c 答案 C解析 a ＝3lg 26＝lg 86，b ＝2lg 36＝lg 96， ∵9＞8，∴b ＞a.b ＝lg 33＝lg 3515，c ＝lg 55＝lg 5315， ∵35＞53，∴b ＞c.a ＝lg 2510＝lg 3210，c ＝lg 2510， ∵32＞25，∴a ＞c.∴b ＞a ＞c ，故选C.4．求不等式⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x ＋x 22＜1的解集． 解 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪1＋x ＋x 22＜1⇔－1＜1＋x ＋x 22＜1⇔⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋2x ＋4＞0⇒x ∈R ，x 2＋2x ＜0⇒－2＜x ＜0.∴原不等式的解集为(－2,0)．5．若不等式|x －a|＋|x －2|≥1对任意实数x 恒成立，求实数a 的取值范围．解 设y ＝|x －a|＋|x －2|，则y min ＝|a －2|.因为不等式|x －a|＋|x －2|≥1对任意x ∈R 恒成立．所以|a －2|≥1，解得a ≥3或a ≤1.1．本章的重点是平均值不等式、绝对值不等式和不等式的证明方法．要特别注意含绝对值不等式的解法．2．重点题型有利用不等式的基本性质、平均值不等式、绝对值不等式证明不等式或求函数最值问题；解绝对值不等式．3．重点考查利用不等式的性质、平均值不等式求函数的最值，含参数的绝对值不等式有解、解集是空集或恒成立问题．4．证明不等式的基本方法及一题多证：证明不等式的基本方法主要有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法等．证明不等式时既可探索新的证明方法，培养创新意识，也可一题多证，开阔思路，活跃思维，目的是通过证明不等式发展逻辑思维能力，提高数学素养．一、选择题1．a，b∈R＋，那么下列不等式中不正确的是( )A.ab＋ba≥2 B.b2a＋a2b≥a＋bC.ba2＋ab2≤a＋babD.1a2＋1b2≥2ab答案 C解析A满足基本不等式；B可等价变形为(a－b)2(a＋b)≥0，正确；B选项中不等式的两端同除以ab，不等式方向不变，所以C选项不正确；D选项是A选项中不等式的两端同除以ab得到的，D正确．2．设0<x<1，则a＝2x，b＝x＋1，c＝11－x中最大的是( )A．c B．bC．a D．随x取值不同而不同答案 A解析∵0<x<1，∴b＝x＋1>2x>2x＝a，∵11－x－(x＋1)＝1－(1－x2)1－x＝x21－x>0，∴c>b>a.3．“a＜4”是“对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立”的( )A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．既不充分又不必要条件答案 B解析∵|2x－1|＋|2x＋3|≥|2x－1－(2x＋3)|＝4，∴当a＜4时⇒|2x－1|＋|2x＋3|≥a成立，即充分条件；对任意实数x，|2x－1|＋|2x＋3|≥a⇒a≤4，不能推出a＜4，即必要条件不成立．4．若关于x的不等式|x＋1|≥kx恒成立，则实数k的取值范围是( )A．(－∞，0] B．[－1,0]C．[0,1] D．[0，＋∞)答案 C解析作出y＝|x＋1|与l1：y＝kx的图象如图所示，当k<0时，直线一定经过第二、四象限，从图看出明显不恒成立；当k ＝0时，直线为x 轴，符合题意；当k>0时，要使|x ＋1|≥kx 恒成立，只需k ≤1.综上可知k ∈[0,1]．5．设a ＝(m 2＋1)(n 2＋4)，b ＝(mn ＋2)2，则( )A ．a ＞bB ．a<bC ．a ≤bD ．a ≥b 答案 D解析 ∵a －b ＝(m 2＋1)(n 2＋4)－(mn ＋2)2＝4m 2＋n 2－4mn ＝(2m －n)2≥0，∴a ≥b.6．已知a ，b ，c ，d 为实数，ab ＞0，－c a ＜－d b，则下列不等式中成立的是( ) A ．bc ＜adB ．bc ＞ad C.a c ＞b dD.a c ＜b d答案 B解析 将－c a ＜－d b两边同乘以正数ab ，得－bc ＜－ad ，所以bc ＞ad. 二、填空题7．已知不等式|x ＋2|－|x|≤a 的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________．答案 [－2，＋∞)解析 ∵||x ＋2|－|x||≤|x ＋2－x|＝2，∴2≥|x ＋2|－|x|≥－2，∵不等式|x ＋2|－|x|≤a 的解集不是空集，∴a ≥－2.8．当x ＞1时，x 3与x 2－x ＋1的大小关系是________．答案 x 3＞x 2－x ＋1解析 ∵x 3－(x 2－x ＋1)＝x 3－x 2＋x －1＝x 2(x －1)＋(x －1)＝(x －1)(x 2＋1)，且x ＞1，∴(x －1)(x 2＋1)＞0.∴x 3－(x 2－x ＋1)＞0，即x 3＞x 2－x ＋1.9．定义运算“⊗”：x ⊗y ＝x 2－y 2xy (x ，y ∈R ，xy ≠0)，当x ＞0，y ＞0时，x ⊗y ＋(2y)⊗x 的最小值为________．答案 2解析 因为x ⊗y ＝x 2－y 2xy ，所以(2y)⊗x ＝4y 2－x 22xy. 又x ＞0，y ＞0，故x ⊗y ＋(2y)⊗x ＝x 2－y 2xy ＋4y 2－x 22xy ＝x 2＋2y 22xy ≥22xy 2xy ＝2，当且仅当x ＝2y 时等号成立．10．若f(x)＝2|x ＋1|－|x －1|且f(x)≥22，则x 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞ 解析 ∵f(x)＝2x是增函数，∴f(x)≥22，即|x ＋1|－|x －1|≥32， ①⎩⎪⎨⎪⎧ x ≥1，2≥32，∴x ≥1，②⎩⎪⎨⎪⎧ －1＜x ＜1，2x ≥32，∴34≤x ＜1， ③⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤－1，－2≤32，无解．综上x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞. 11．已知函数f(x)＝|x －a|，若不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，则实数a 的值为________． 答案 2解析 由f(x)≤3，得|x －a|≤3，解得a －3≤x ≤a ＋3.又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|－1≤x ≤5}，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a －3＝－1，a ＋3＝5，解得a ＝2，所以实数a 的值为2.三、解答题12．已知函数f(x)＝1＋x 2，a ≠b ，设a ，b ∈R ，求证：|f(a)－f(b)|<|a －b|.证明 方法一 |f(a)－f(b)|<|a －b|⇔|1＋a 2－1＋b 2|<|a －b|⇔|1＋a 2－1＋b 2|2<|a －b|2⇔2＋a 2＋b 2－2(1＋a 2)(1＋b 2)<a 2－2ab ＋b 2⇔1＋ab<(1＋a 2)(1＋b 2).①当1＋ab ≤0时，①式显然成立．当1＋ab>0时，①⇔(1＋ab)2<[(1＋a 2)(1＋b 2)]2⇔1＋2ab ＋a 2b 2<1＋a 2＋b 2＋a 2b 2⇔2ab<a 2＋b 2，∵a ≠b ，∴2ab<a 2＋b 2成立．∴①式成立．综上知，原不等式成立．方法二 当a ＝－b 时，原不等式显然成立．当a ≠－b 时，∵|1＋a 2－1＋b 2|＝|(1＋a 2)－(1＋b 2)|1＋a 2＋1＋b 2<|a 2－b 2||a|＋|b|≤|a ＋b|·|a－b||a ＋b|＝|a －b|， ∴原不等式成立．13．(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x ＋1|－|x －2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x 2－x ＋m 的解集非空，求m 的取值范围．解 (1)f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －3，x ＜－1，2x －1，－1≤x ≤2，3，x ＞2.当x ＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x ≤2时，由f(x)≥1，得2x －1≥1，解得1≤x ≤2；当x ＞2时，由f(x)≥1，解得x ＞2.所以f(x)≥1的解集为{x|x ≥1}．(2)由f(x)≥x 2－x ＋m ，得m ≤|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ，而|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－⎝⎛⎭⎪⎫|x|－322＋54≤54. 当且仅当x ＝32时，|x ＋1|－|x －2|－x 2＋x ＝54， 故m 的取值范围是⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54. 四、探究与拓展14．设a ，b ，c ，d 均为正数，且a ＋b ＝c ＋d ，证明： (1)若ab ＞cd ，则a ＋b ＞c ＋d ；(2)a ＋b ＞c ＋d 是|a －b|＜|c －d|的充要条件．证明 (1)因为(a ＋b)2＝a ＋b ＋2ab ，(c ＋d)2＝c ＋d ＋2cd ，又a ＋b ＝c ＋d ，ab ＞cd ，所以(a ＋b)2＞(c ＋d)2. 因此a ＋b ＞c ＋ d.(2)①若|a －b|＜|c －d|，则(a －b)2＜(c －d)2,即(a ＋b)2－4ab ＜(c ＋d)2－4cd.因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd.由(1)得a ＋b ＞c ＋ d. ②若a ＋b ＞c ＋d ，则(a ＋b)2＞(c ＋d)2，即a ＋b ＋2ab ＞c ＋d ＋2cd.因为a ＋b ＝c ＋d ，所以ab ＞cd ，于是(a －b)2＝(a ＋b)2－4ab ＜(c ＋d)2－4cd ＝(c －d)2.因此|a －b|＜|c －d|. 综上，a ＋b ＞c ＋d 是|a －b|＜|c －d|的充要条件．15．(2018·全国Ⅰ)已知f(x)＝|x ＋1|－|ax －1|.(1)当a ＝1时，求不等式f(x)＞1的解集；(2)若x ∈(0,1)时不等式f(x)＞x 成立，求a 的取值范围．解 (1)当a ＝1时，f(x)＝|x ＋1|－|x －1|，即f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2，x ≤－1，2x ，－1＜x ＜1，2，x ≥1.故不等式f(x)＞1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ x ＞12. (2)当x ∈(0,1)时，|x ＋1|－|ax －1|＞x 成立等价于当x ∈(0,1)时，|ax －1|＜1成立． 若a ≤0，则当x ∈(0,1)时，|ax －1|≥1；若a ＞0，则|ax －1|＜1的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ 0＜x ＜2a ， 所以2a≥1，故0＜a ≤2. 综上，a 的取值范围为(0,2]．。
《创新设计》2021版高考数学(北师大版理科)一轮复习练习：选修4-5 Word版含答案
(建议用时：50分钟)1.(2021·湖南卷)设a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1a ＋1b .证明： (1)a ＋b ≥2；(2)a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不行能同时成立.证明 由a ＋b ＝1a ＋1b ＝a ＋bab ，a ＞0，b ＞0，得ab ＝1. (1)由基本不等式及ab ＝1，有a ＋b ≥2ab ＝2，即a ＋b ≥2.(2)假设a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2同时成立，则由a 2＋a ＜2及a ＞0得0＜a ＜1；同理，0＜b ＜1，从而ab ＜1，这与ab ＝1冲突.故a 2＋a ＜2与b 2＋b ＜2不行能同时成立. 2.已知函数f (x )＝|x ＋a |＋|x －2|.(1)当a ＝－3时，求不等式f (x )≥3的解集；(2)若f (x )≤|x －4|的解集包含[1，2]，求a 的取值范围.解(1)当a ＝－3时，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋5，x ≤2，1，2<x <3，2x －5，x ≥3.当x ≤2时，由f (x )≥3得－2x ＋5≥3，解得x ≤1； 当2<x <3时，f (x )≥3无解；当x ≥3时，由f (x )≥3得2x －5≥3，解得x ≥4. 所以f (x )≥3的解集为{x |x ≤1，或x ≥4}. (2)f (x )≤|x －4|⇔|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |. 当x ∈[1，2]时，|x －4|－|x －2|≥|x ＋a |⇔ 4－x －(2－x )≥|x ＋a |⇔－2－a ≤x ≤2－a . 由条件得－2－a ≤1且2－a ≥2，即－3≤a ≤0. 故满足条件的a 的取值范围是[－3，0].3.已知a ，b ，c 均为正实数，且互不相等，且abc ＝1，求证：a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c . 证明 法一 ∵a ，b ，c 均为正实数，且互不相等，且abc ＝1，∴a ＋b ＋c ＝1bc ＋1ca ＋1ab ＜1b ＋1c 2＋1c ＋1a 2＋1a ＋1b 2＝1a ＋1b ＋1c .∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b＋1c .法二 ∵1a ＋1b ≥21ab ＝2c ；1b ＋1c ≥21bc ＝2a ；1c ＋1a ≥21ac ＝2b .∴以上三式相加，得1a ＋1b ＋1c ≥ a ＋b ＋c . 又∵a ，b ，c 互不相等，∴1a ＋1b ＋1c ＞a ＋b ＋c . 法三 ∵a ，b ，c 是不等正数，且abc ＝1，∴1a ＋1b ＋1c ＝bc ＋ca ＋ab ＝bc ＋ca 2＋ca ＋ab 2＋ab ＋bc 2＞abc 2＋a 2bc ＋ab 2c ＝a ＋b ＋c .∴a ＋b ＋c ＜1a ＋1b ＋1c .4.已知a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，求证： (1)1a ＋1b ＋1ab ≥8；(2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.证明 (1)∵a ＋b ＝1，a ＞0，b ＞0， ∴1a ＋1b ＋1ab ＝1a ＋1b ＋a ＋b ab ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1b＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b a＋a ＋b b ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫b a ＋a b ＋4≥4 b a ×ab ＋4＝8.∴1a ＋1b ＋1ab ≥8(当且仅当a ＝b ＝12时等号成立). (2)∵⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ＝1a ＋1b ＋1ab ＋1，由(1)知1a ＋1b ＋1ab ≥8.∴⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1a ⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1b ≥9.5.(2021·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝|x ＋1|－2|x －a |，a ＞0. (1)当a ＝1时，求不等式f (x )＞1的解集；(2)若f (x )的图像与x 轴围成的三角形面积大于6，求a 的取值范围. 解 (1)当a ＝1时，f (x )＞1化为|x ＋1|－2|x －1|－1＞0. 当x ≤－1时，不等式化为x －4＞0，无解；当－1＜x ＜1时，不等式化为3x －2＞0，解得23＜x ＜1； 当x ≥1时，不等式化为－x ＋2＞0，解得1≤x ＜2.所以f (x )＞1的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |23＜x ＜2.(2)由题设可得，f (x )＝⎩⎨⎧x －1－2a ，x ＜－1，3x ＋1－2a ，－1≤x ≤a ，－x ＋1＋2a ，x ＞a .所以函数f (x )的图像与x 轴围成的三角形的三个顶点分别为A ⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －13，0，B (2a ＋1，0)，C (a ，a ＋1)，△ABC 的面积为23(a ＋1)2.由题设得23(a ＋1)2＞6， 故a ＞2.所以a 的取值范围为(2，＋∞).6.已知函数f (x )＝m －|x －2|，m ∈R ，且f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]. (1)求m 的值；(2)若a ，b ，c 大于0，且1a ＋12b ＋13c ＝m ，求证：a ＋2b ＋3c ≥9. (1)解 ∵f (x ＋2)＝m －|x |， ∴f (x ＋2)≥0等价于|x |≤m .由|x |≤m 有解，得m ≥0且其解集为{x |－m ≤x ≤m }. 又f (x ＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m ＝1.(2)证明 由(1)知1a ＋12b ＋13c ＝1，且a ，b ，c 大于0， a ＋2b ＋3c ＝(a ＋2b ＋3c )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋12b ＋13c＝3＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2b a ＋a 2b ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c a ＋a 3c ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3c 2b ＋2b 3c≥3＋22ab2ab ＋23c a ·a 3c ＋23c 2b ·2b 3c ＝9.当且仅当a ＝2b ＝3c ＝13时，等号成立.因此a ＋2b ＋3c ≥9. 7.设函数f (x )＝|x －1|＋|x －a |. (1)若a ＝－1，解不等式f (x )≥3； (2)假如∀x ∈R ，f (x )≥2，求a 的取值范围.解(1)当a ＝－1时，f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ，x ＜－1，2，－1≤x ≤1，2x ，x ＞1.作出函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|的图像.由图像可知，不等式f (x )≥3的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≤－32，或x ≥32. (2)若a ＝1，f (x )＝2|x －1|， 不满足题设条件；若a ＜1，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋a ＋1，x ≤a ，1－a ，a ＜x ＜1，2x －（a ＋1），x ≥1，f (x )的最小值为1－a ；若a ＞1，f (x )＝⎩⎨⎧－2x ＋a ＋1，x ≤1，a －1，1＜x ＜a ，2x －（a ＋1），x ≥a ，f (x )的最小值为a －1.∴对于∀x ∈R ，f (x )≥2，∴当a ＜1时，1－a ≥2， ∴a ≤－1，当a ＞1时，a －1≥2，∴a ≥3. ∴a 的取值范围是(－∞，－1]∪[3，＋∞).8.设函数f (x )＝2|x －1|＋x －1，g (x )＝16x 2－8x ＋1.记f (x )≤1的解集为M ，g (x )≤4的解集为N . (1)求M ；(2)当x ∈(M ∩N )时，证明：x 2f (x )＋x [f (x )]2≤14. (1)解 f (x )＝⎩⎨⎧3x －3，x ∈[1，＋∞），1－x ，x ∈（－∞，1）当x ≥1时，由f (x )＝3x －3≤1得x ≤43，故1≤x ≤43； 当x <1时，由f (x )＝1－x ≤1得x ≥0，故0≤x <1.所以f (x )≤1的解集为M ＝{x |0≤x ≤43}.(2)证明 由g (x )＝16x 2－8x ＋1≤4得16⎝ ⎛⎭⎪⎫x －142≤4，解得－14≤x ≤34.因此N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |－14≤x ≤34，故M ∩N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |0≤x ≤34. 当x ∈M ∩N 时，f (x )＝1－x ，于是x 2f (x )＋x ·[f (x )]2＝xf (x )[x ＋f (x )]＝x ·f (x )＝x (1－x )＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122≤14.。
2021版高考数学一轮复习第五章平面向量第2讲平面向量基本定理及坐标表示练习理北师大版
第2讲 平面向量基本定理及坐标表示[基础题组练]1．在平面直角坐标系中，已知向量a ＝(1，2)，a －12b ＝(3，1)，c ＝(x ，3)，若(2a ＋b )∥c ，则x ＝( )A ．－2B ．－4C ．－3D ．－1解析：选D.因为a －12b ＝(3，1)，所以a －(3，1)＝12b ，则b ＝(－4，2)．所以2a ＋b＝(－2，6)．又(2a ＋b )∥c ，所以－6＝6x ，x ＝－1.故选D.2．(2020·安徽合肥第一次质检)设向量a ＝(－3，4)，向量b 与向量a 方向相反，且|b |＝10，则向量b 的坐标为( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－65，85B ．(－6，8) C.⎝ ⎛⎭⎪⎫65，－85D ．(6，－8)解析：选D.因为向量b 与向量a 方向相反，所以可设b ＝λa ＝(－3λ，4λ)，λ<0，则|b |＝9λ2＋16λ2＝25λ2＝5|λ|＝－5λ＝10，所以λ＝－2，所以b ＝(6，－8)．故选D.3．已知向量AC →，AD →和AB →在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC →＝λAB →＋μAD →，则λ＋μ等于( )A ．2B ．－2C ．3D ．－3解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系，则AD →＝(1，0)，AC →＝(2，－2)，AB →＝(1，2)．因为AC →＝λAB →＋μAD →，所以(2，－2)＝λ(1，2)＋μ(1，0)＝(λ＋μ，2λ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2＝λ＋μ，－2＝2λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝3.所以λ＋μ＝2.故选A. 4．已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(m ，3m －4)，b ＝(1，2)，且平面内的任一向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb (λ，μ为实数)，则m 的取值范围是( )A ．(－∞，4)B ．(4，＋∞)C ．(－∞，4)∪(4，＋∞)D ．(－∞，＋∞)解析：选C.平面内的任意向量c 都可以唯一地表示成c ＝λa ＋μb ，由平面向量基本定理可知，向量a ，b 可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a ，b 是不共线向量．又因为a ＝(m ，3m －4)，b ＝(1，2)，则m ×2－(3m －4)×1≠0，即m ≠4，所以m 的取值范围为(－∞，4)∪(4，＋∞)．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知A (1，0)，B (0，1)，C 为坐标平面内第一象限内的点，且∠AOC ＝π4，|OC |＝2，若OC →＝λOA →＋μOB →，则λ＋μ＝( )A ．2 2B ． 2C ．2D ．4 2解析：选A.因为|OC |＝2，∠AOC ＝π4，所以C (2，2)，又因为OC →＝λOA →＋μOB →，所以(2，2)＝λ(1，0)＋μ(0，1)＝(λ，μ)，所以λ＝μ＝2，λ＋μ＝2 2.6．(2020·湖北荆门阶段检测)在△AOB 中，AC →＝15AB →，D 为OB 的中点，若DC →＝λOA →＋μOB →，则λμ的值为________．解析：因为AC →＝15AB →，所以AC →＝15(OB →－OA →)，因为D 为OB 的中点，所以OD →＝12OB →，所以DC →＝DO →＋OC →＝－12OB →＋(OA →＋AC →)＝－12OB →＋OA →＋15(OB →－OA →)＝45OA →－310OB →，所以λ＝45，μ＝－310，则λμ的值为－625.答案：－6257．已知O 为坐标原点，向量OA →＝(1，2)，OB →＝(－2，－1)，若2AP →＝AB →，则|OP →|＝________. 解析：设P 点坐标为(x ，y )，AB →＝OB →－OA →＝(－2，－1)－(1，2)＝(－3，－3)，AP →＝(x－1，y －2)，由2AP →＝AB →得，2(x －1，y －2)＝(－3，－3)，所以⎩⎪⎨⎪⎧2x －2＝－3，2y －4＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－12，y ＝12.故|OP →|＝14＋14＝22. 答案：228．已知A (－3，0)，B (0，3)，O 为坐标原点，C 在第二象限，且∠AOC ＝30°，OC →＝λOA →＋OB →，则实数λ的值为________．解析：由题意知OA →＝(－3，0)，OB →＝(0，3)， 则OC →＝(－3λ，3)，由∠AOC ＝30°知，以x 轴的非负半轴为始边，OC 为终边的一个角为150°，所以tan 150°＝3－3λ， 即－33＝－33λ，所以λ＝1. 答案：19．已知A (－2，4)，B (3，－1)，C (－3，－4)．设AB →＝a ，BC →＝b ，CA →＝c ，且CM →＝3c ，CN →＝－2b .(1)求3a ＋b －3c ；(2)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m ，n ； (3)求M ，N 的坐标及向量MN →的坐标．解：由已知得a ＝(5，－5)，b ＝(－6，－3)，c ＝(1，8)． (1)3a ＋b －3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)因为m b ＋n c ＝(－6m ＋n ，－3m ＋8n )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－6m ＋n ＝5，－3m ＋8n ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝－1，n ＝－1.(3)设O 为坐标原点，因为CM →＝OM →－OC →＝3c ， 所以OM →＝3c ＋OC →＝(3，24)＋(－3，－4)＝(0，20)． 所以M (0，20)．又因为CN →＝ON →－OC →＝－2b ，所以ON →＝－2b ＋OC →＝(12，6)＋(－3，－4)＝(9，2)， 所以N (9，2)．所以MN →＝(9，－18)． 10.如图，AB 是圆O 的直径，C ，D 是圆O 上的点，∠CBA ＝60°，∠ABD ＝45°，CD →＝xOA →＋yBC →，求x ＋y 的值．解：不妨设⊙O 的半径为1，以圆心O 为坐标原点，以OB ，OD 为x ，y 轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，则A (－1，0)，B (1，0)，D (0，1)，C ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.所以CD →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.又CD →＝xOA →＋yBC →， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1＋32＝x (－1，0)＋y ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－32.所以⎩⎪⎨⎪⎧－12＝－x －12y ，1＋32＝－32y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋33，y ＝－3＋233.所以x ＋y ＝3＋33－3＋233＝－33.[综合题组练]1．已知P ＝{}a |a ＝（1，0）＋m （0，1），m ∈R ，Q ＝{b |b ＝(1，1)＋n (－1，1)，n∈R }是两个向量集合，则P ∩Q 等于( )A.{}（1，1） B ．{}（－1，1） C.{}（1，0）D ．{}（0，1）解析：选A.设a ＝(x ，y )，则所以集合P 是直线x ＝1上的点的集合．同理，集合Q 是直线x ＋y ＝2上的点的集合，即P ＝{}（x ，y ）|x ＝1，y ∈R ，Q ＝{}（x ，y ）|x ＋y －2＝0，所以P ∩Q ＝{}（1，1）.故选A.2．(2020·包河区校级月考)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分线段的“中末比”问题：将一线段AB 分为两线段AC ，CB ，合得其中较长的一段AC 是全长与另一段CB 的比例中项，即满足AC AB ＝BC AC ＝5－12，后人把这个数称为黄金分割数，把点C 称为线段AB 的黄金分割点，在△ABC 中，若点P ，Q 为线段BC 的两个黄金分割点，设AP →x 1AB→＋y 1AC →，AQ →＝x 2AB →＋y 2AC →，则x 1x 2＋y 1y 2＝( )A.5＋12B ．2 C. 5D ．5＋1解析：选C.由题意， AP →＝AB →＋BP →＝AB →＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1－5－12BC →＝AB →＋3－52(AC →－AB →) ＝⎝⎛⎭⎪⎫1－3－52AB →＋3－52AC →＝5－12AB →＋3－52AC →，同理，AQ →＝AB →＋BQ →＝AB →＋5－12BC →＝AB →＋5－12(AC →－AB →)＝3－52AB →＋5－12AC →. 所以x 1＝y 2＝5－12，x 2＝y 1＝3－52. 所以x 1x 2＋y 1y 2＝5－13－5＋3－55－1＝ 5.3．(创新型)若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R )，则称(x ，y )为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2，1)下的坐标为(－2，2)，则a 在另一组基底m ＝(－1，1)，n ＝(1，2)下的坐标为________．解析：因为a 在基底p ，q 下的坐标为(－2，2)， 即a ＝－2p ＋2q ＝(2，4)， 令a ＝x m ＋y n ＝(－x ＋y ，x ＋2y )，所以⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋y ＝2，x ＋2y ＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2. 所以a 在基底m ，n 下的坐标为(0，2)． 答案：(0，2)4．已知非零不共线向量OA →，OB →，若2OP →＝xOA →＋yOB →，且PA →＝λAB →(λ∈R )，则点P (x ，y )的轨迹方程是________．解析：由PA →＝λAB →，得OA →－OP →＝λ(OB →－OA →)， 即OP →＝(1＋λ)OA →－λOB →. 又2OP →＝xOA →＋yOB →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2λ，y ＝－2λ，消去λ得x ＋y －2＝0.答案：x ＋y －2＝0 5．(一题多解)如图，在同一个平面内，向量OA →，OB →，OC →的模分别为1，1，2，OA →与OC →的夹角为α，且tan α＝7，OB →与OC →的夹角为45°.若OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R )，求m ＋n 的值．解：法一：以O 为坐标原点，OA 所在直线为x 轴建立平面直角坐标系，则A (1，0)，由tan α＝7，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，设C (x C ，y C )，B (x B ，y B )，则x C ＝|OC →|cos α＝2×152＝15，y C ＝|OC →|sin α＝2×752＝75，即C ⎝⎛⎭⎪⎫15，75.又cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，sin (α＋45°)＝752×12＋152×12＝45，则x B ＝|OB→|cos(α＋45°)＝－35，y B ＝|OB →|sin (α＋45°)＝45，即B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45，由OC →＝m OA →＋n OB →，可得⎩⎪⎨⎪⎧15＝m －35n ，75＝45n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74，所以m ＋n ＝54＋74＝3. 法二：由tan α＝7，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得sin α＝752，cos α＝152，则cos(α＋45°)＝152×12－752×12＝－35，OB →·OC →＝1×2×22＝1，OA →·OC →＝1×2×152＝15，OA →·OB→＝1×1×⎝ ⎛⎭⎪⎫－35＝－35，由OC →＝m OA →＋n OB →，得OC →·OA →＝m OA →2＋n OB →·OA →，即15＝m －35n ①，同理可得OC →·OB →＝m OA →·OB →＋n OB →2，即1＝－35m ＋n ②，联立①②，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝54，n ＝74.所以m＋n ＝54＋74＝3.6.已知△ABC 中，AB ＝2，AC ＝1，∠BAC ＝120°，AD 为角平分线． (1)求AD 的长度；(2)过点D 作直线交AB ，AC 的延长线于不同两点E ，F ，且满足AE →＝xAB →，AF →＝yAC →，求1x＋2y的值，并说明理由．解：(1)根据角平分线定理：DB DC ＝AB AC ＝2，所以BD BC ＝23， 所以AD →＝AB →＋BD →＝AB →＋23BC →＝AB →＋23(AC →－AB →)＝13AB →＋23AC →，所以AD →2＝19AB →2＋49AB →·AC →＋49AC →2＝49－49＋49＝49，所以AD ＝23.(2)因为AE →＝xAB →，AF →＝yAC →，所以AD →＝13AB →＋23AC →＝13x AE →＋23y AF →，因为E ，D ，F 三点共线，所以13x ＋23y ＝1，所以1x ＋2y ＝3.。
2022届高考数学一轮复习 第四章 第一节 平面向量的概念及线性运算课时作业 理(含解析)北师大版
第一节平面向量的概念及线性运算授课提示：对应学生用书第315页[A组基础保分练]1．如图所示，在正六边形ABCDEF中，BA→＋CD→＋EF→＝（）A．0 B．BE→C．AD→D．CF→解析：由题图知BA→＋CD→＋EF→＝BA→＋AF→＋CB→＝CB→＋BF→＝CF→．答案：D2．设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内任意一点，则OA→＋OB→＋OC→＋OD→等于（）A．OM→B．2OM→C．3OM→D．4OM→解析：OA→＋OB→＋OC→＋OD→＝（OA→＋OC→）＋（OB→＋OD→）＝2OM→＋2OM→＝4OM→．答案：D3．（2021·合肥模拟）已知A，B，C三点不共线，且点O满足16OA→－12OB→－3OC→＝0，则（）A．OA→＝12AB→＋3AC→B．OA→＝12AB→－3AC→C．OA→＝－12AB→＋3AC→D．OA→＝－12AB→－3AC→解析：对于A，OA→＝12AB→＋3AC→＝12（OB→－OA→）＋3（OC→－OA→）＝12OB→＋3OC→－15OA→，整理，可得16OA→－12OB→－3OC→＝0，这与题干中条件相符合．答案：A4．已知e1，e2是不共线向量，a＝m e1＋2e2，b＝n e1－e2，且mn≠0．若a∥b，则mn等于（）A ．－12B ．12C ．－2D ．2解析：∵a ∥b ，∴a ＝λb ，即m e 1＋2e 2＝λ（n e 1－e 2），则⎩⎪⎨⎪⎧λn ＝m ，－λ＝2，故m n＝－2．答案：C5．（2021·潍坊模拟）若M 是△ABC 内一点，且满足BA →＋BC →＝4BM →，则△ABM 与△ACM 的面积之比为（ ）A ．12B ．13C ．14D ．2解析：设AC 的中点为D ，则BA →＋BC →＝2BD →，于是2BD →＝4BM →，从而BD →＝2BM →，即M 为BD的中点，于是S △ABM S △ACM ＝S △ABM 2S △AMD ＝BM 2MD ＝12．答案：A6．如图所示，在等边△ABC 中，O 为△ABC 的重心，点D 为BC 边上靠近B 点的四等分点．若OD →＝xAB→＋yAC →，则x ＋y ＝（ ）A ．112 B ．13C ．23 D ．34解析：设点E 为BC 的中点，连接AE （图略），可知O 在AE 上，由OD →＝OE →＋ED →＝13AE →＋14CB →＝16（AB →＋AC →）＋14（AB →－AC →）＝512AB →－112AC →，故x ＝512，y ＝－112，x ＋y ＝13． 答案：B7．如图所示，已知∠B ＝30°，∠AOB ＝90°，点C 在AB 上，OC ⊥AB ．若用OA →和OB →来表示向量OC→，则OC →＝_________．解析：易知OC →＝OA →＋AC →＝OA →＋14AB →＝OA →＋14（OB →－OA →）＝34OA →＋14OB →． 答案：34OA →＋14OB →8．（2021·邯郸模拟）设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝_________．解析：由于λa ＋b 与a ＋2b 平行，所以存在μ∈R ，使得λa ＋b ＝μ（a ＋2b ），即（λ－μ）a ＋（1－2μ）b ＝0，因为向量a ，b 不平行，所以λ－μ＝0，1－2μ＝0，解得λ＝μ＝12．答案：129．经过△OAB 重心G 的直线与OA ，OB 分别交于点P ，Q ，设OP →＝mOA →，OQ →＝nOB →，m ，n ∈R ，求1n ＋1m的值．解析：设OA →＝a ，OB →＝b ，则OG →＝13（a ＋b ）， PQ →＝OQ →－OP→＝n b －m a ， PG →＝OG →－OP →＝13（a ＋b ）－m a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13b ．由P ，G ，Q 共线得，存在实数λ使得PQ →＝λPG →， 即n b －m a ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m a ＋13λb ，则⎩⎪⎨⎪⎧－m ＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫13－m ，n ＝13λ，消去λ，得1n ＋1m＝3．10．在如图所示的方格纸中，向量a ，b ，c 的起点和终点均在格点（小正方形顶点）上．若c 与x a ＋y b （x ，y 为非零实数）共线，求xy的值．解析：设e 1，e 2分别为水平方向（向右）与竖直方向（向上）的单位向量，则向量c ＝e 1－2e 2，a ＝2e 1＋e 2，b ＝－2e 1－2e 2，由c 与x a ＋y b 共线，得c ＝λ（x a ＋y b ），所以e 1－2e 2＝2λ（x －y ）e 1＋λ（x －2y ）e 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2λ（x －y ）＝1，λ（x －2y ）＝－2，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3λ，y ＝52λ，所以x y 的值为65．[B 组 能力提升练]1．对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b ”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若a ＋b ＝0，则a ＝－b ，所以a ∥b ．若a ∥b ，则a ＋b ＝0不一定成立，故前者是后者的充分不必要条件． 答案：A2．（2021·丹东五校协作体联考）P 是△ABC 所在平面上的一点，满足PA →＋PB →＋PC →＝2AB→，若S △ABC ＝6，则△PAB 的面积为（ ）A ．2B ．3C ．4D ．8解析：因为PA →＋PB →＋PC →＝2AB →＝2（PB →－PA →），所以3PA →＝PB →－PC →＝CB →，所以PA →∥CB →，且方向相同．所以S △ABC S △PAB ＝BC AP ＝|CB →||PA →|＝3，所以S △PAB ＝S △ABC3＝2．答案：A3．在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O ，E 是线段OD 的中点，AE 的延长线与CD交于点F ，若AC →＝a ，BD →＝b ，则AF →等于（ ） A ．14a ＋12b B ．23a ＋13bC ．12a ＋14b D ．13a ＋23b解析：如图所示，AF →＝AD →＋DF →，由题意知，AD →＝12a ＋12b ，AB →＝12a －12b ，DE ∶BE ＝1∶3＝DF ∶AB ，所以DF →＝13AB →．所以AF →＝AD →＋DF →＝12a ＋12b ＋13⎝ ⎛⎭⎪⎫12a －12b ＝23a ＋13b ．答案：B4．如图所示，AB 是圆O 的一条直径，C ，D 是半圆弧的两个三等分点，则AB →＝（ ）A ．AC →－AD →B ．2AC →－2AD → C ．AD →－AC → D ．2AD →－2AC →解析：连接CD （图略），因为C ，D 是半圆弧的两个三等分点，所以CD ∥AB ，且AB ＝2CD ，所以AB →＝2CD →＝2（AD →－AC →）＝2AD →－2AC →．答案：D5．在△ABC 中，AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB→，则λ＝_________． 解析：∵A ，D ，B 共线，∴13＋λ＝1，∴λ＝23．答案：236．（2021·包头模拟）如图所示，在△ABC 中，AH ⊥BC 交BC 于点H ，M 为AH 的中点．若AM →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ＝_________．解析：因为AM →＝12（AB →＋BH →）＝12[AB →＋x （AB →－AC →）]＝12[（1＋x ）AB →－xAC →]，又因为AM→＝λAB →＋μAC →，所以1＋x ＝2λ，2μ＝－x ，所以λ＋μ＝12． 答案：127．设e 1，e 2是两个不共线向量，已知AB →＝2e 1－8e 2，CB →＝e 1＋3e 2，CD →＝2e 1－e 2． （1）求证：A ，B ，D 三点共线；（2）若BF →＝3e 1－k e 2，且B ，D ，F 三点共线，求k 的值．解析：（1）证明：由已知得BD →＝CD →－CB→＝（2e 1－e 2）－（e 1＋3e 2）＝e 1－4e 2． 因为AB →＝2e 1－8e 2，所以AB →＝2BD →．又AB →，BD →有公共点B ，所以A ，B ，D 三点共线． （2）由（1）可知BD →＝e 1－4e 2，且BF →＝3e 1－k e 2， 由B ，D ，F 三点共线得BF →＝λBD →， 即3e 1－k e 2＝λe 1－4λe 2， 得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，－k ＝－4λ，解得k ＝12． [C 组 创新应用练]1．（2021·郑州模拟）如图所示，A ，B 分别是射线OM ，ON 上的点，给出下列向量：①OA→＋2OB →；②12OA →＋13OB →；③34OA →＋13OB →；④34OA →＋15OB →；⑤34OA →－15OB →．若这些向量均以O 为起点，则终点落在阴影区域内（包括边界）的有（ ）A ．①②B ．②④C ．①③D ．③⑤解析：在ON 上取点C ，使得OC ＝2OB ，以OA ，OC 为邻边作平行四边形OCDA （图略），则OD →＝OA →＋2OB →，其终点不在阴影区域内，排除A ，C ；取线段OA 上一点E ，使AE ＝14OA ，作EF ∥OB ，交AB 于点F ，则EF ＝14OB ，由于EF ＜13OB ，所以34OA →＋13OB →的终点不在阴影区域内，排除选项D ． 答案：B2．在△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ．若AB ＝4，且AD →＝14AC →＋λAB →（λ∈R ），则AD 的长为_________．解析：因为B ，D ，C 三点共线，所以14＋λ＝1，解得λ＝34，如图所示，过点D 分别作AC ，AB 的平行线交AB ，AC 于点M ，N ，则AN →＝14AC →，AM →＝34AB →，因为△ABC 中，∠A ＝60°，∠A 的平分线交BC 于点D ，所以四边形AMDN 是菱形，因为AB ＝4，所以AN ＝AM ＝3，AD ＝33． 答案：333．如图所示，在正六边形ABCDEF 中，P 是△CDE 内（包括边界）的动点，设AP →＝αAB →＋βAF →（α，β∈R ），则α＋β的取值范围是_________．解析：当P 在△CDE 内时，直线EC 是最近的平行线，过D 点的平行线是最远的，所以α＋β∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤AN AM ，AD AM ＝[3，4]．答案：[3，4]。
2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试4-6 北师大版
2021-2022年高三数学第一轮复习章节测试4-6 北师大版一、选择题1．(xx·全国卷Ⅱ)已知sinα＝23，则cos(π－2α)＝( )A ．－53 B ．－19C.19D.53[答案] B[解析] 本题考查了诱导公式、三角恒等变形及倍半角公式的应用． 由诱导公式得cos(π－2α)＝－cos2α， ∴cos2α＝1－2sin2α＝1－2×49＝19，∴cos(π－2α)＝－19.2．函数f(x)＝sin2x ＋3sinxcosx 在区间[π4，π2]上的最大值是( ) A ．1 B.1＋32C.32 D ．1＋3[答案] C[解析] f(x)＝1－cos2x 2＋32sin2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6＋12，又x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，∴2x －π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，5π6，f(x)max ＝1＋12＝32，故选C.3．已知t an2α＝－22，且满足π4<α<π2，则 2cos2α2－sinα－12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α 的值为( )A. 2B ．－2C ．－3＋2 2D ．3－22[答案] C[解析] 2cos2α2－sinα－12sin π4＋α＝cosα－sinαsinα＋cosα＝1－tanαtanα＋1.又tan2α＝－22＝2tanα1－tan2α∴22tan2α－2tanα－22＝0.解得tanα＝－22或 2. 又π4<α<π2，∴tanα＝ 2. 原式＝1－22＋1＝－3＋2 2.故选C. 4．(xx·新课标理)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则1＋tanα21－tanα2＝( )A ．－12B.12C ．2D ．－2[答案] A[解析] 本题综合考查了同角三角函数的基本公式以及二倍角公式的逆运用． ∵cosα＝－45且α是第三象限的角，∴sinα＝－35，∴1＋tan α21－tan α2＝cosα2＋sin α2cos α2cos α2－sin α2cosα2＝cos α2＋sinα2cos α2－sinα2＝⎝⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α22⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α2⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2＋sin α2＝1＋sinαcos2α2－sin2α2＝1＋sinαcosα＝1－35－45＝－12，故选A.5．已知sinα＝35，且α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，则sin2αcos2α的值为( )A ．－34B ．－32C.34D.32[答案] B[解析] ∵sinα＝35，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，∴cosα＝－45，∴sin2αcos2α＝2sinαcosαcos2α＝2sinαcosα＝2×35－45＝－32.6．函数f(x)＝(3sinx－4cosx)·cosx的最大值为( )A．5 B.9 2C.12D.52[答案] C[解析] f(x)＝(3sinx－4cosx)cosx＝3sinxcosx－4cos2x＝32sin2x－2cos2x－2＝52sin(2x－θ)－2，其中tanθ＝43，所以f(x)的最大值是52－2＝12.故选C.7.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是( ) A．4cos4－2sin4 B．2sin4C．2sin4－4cos4 D．－2sin4[答案] C[解析] 2＋2cos8＋21－sin8＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|，∵π<4<5π4，∴cos4<sin4<0.∴原式＝－2cos4＋2(sin4－cos4)＝2sin4－4cos4.故选C.8．设5π<θ<6π，cos θ2＝a，则sinθ4等于( )A.1＋a2B.1－a2C．－1＋a2D．－1－a2[答案] D[解析] ∵5π<θ<6π，∴5π4<θ4<3π2，∴sinθ4<0，∵a＝cos θ2＝1－2sin2θ4，∴sin θ4＝－1－a2.二、填空题9．设a＝12cos6°－32sin6°，b＝2tan13°1＋tan213°，c＝1－cos50°2，则a、b、c的大小关系为______(由小到大排列)．[答案] a<c<b[解析] a＝sin24°，b＝sin26°，c＝sin25°，∵y＝sinx在(0°，90°)上单增，∴a<c<b.10．已知π2<α<π，化简12－1212－12cos2α＝________.[答案] sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4[解析] 原式＝12－12|sinα| ＝12－12sinα＝sin α2－cosα222＝22⎝⎛⎭⎪⎫sin α2－cos α2＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－π4. 11．若sinα·cosβ＝12，则cosα·sinβ的取值范围是________．[答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12[解析] 解法一：设t ＝cosα·sinβ，又sinα·cosβ＝12，∴sinα·cosβ·sinβ·cosα＝12t ，即sin2α·sin2β＝2t ，|sin2α·sin2β|≤1. ∴2|t|≤1，即－12≤t≤12.∴cosα·sinβ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，12.解法二：由sinα·cosβ＝12知sin2α·cos2β＝14.则cos2α·sin2β＝(1－sin2α)(1－cos2β)＝1－(sin2α＋cos2β)＋sin2αcos2β＝54－(sin2α＋cos2β)≤54－2sin2αcos2β＝14，所以－12≤cosα·sinβ≤12.三、解答题12．已知函数f(x)＝asinx·cosx－3acos2x＋32a＋b.(a>0)(1)x∈R，写出函数的单调递减区间；(2)设x∈[0，π2]，f(x)的最小值是－2，最大值是3，求实数a，b的值．[解析](1)f(x)＝a(sinx·cosx－3cos2x＋32)＋b＝a×(12sin2x－3×1＋cos2x2＋32)＋b＝a·sin(2x－π3)＋b∵a>0，x∈R，∴由2kπ＋π2≤2x－π3≤2kπ＋3π2(k∈Z)得，f(x)的递减区间是[kπ＋512π，kπ＋1112π](k∈Z)(2)∵x∈[0，π2]，∴2x－π3∈[－π3，2π3]∴sin(2x－π3)∈[－32，1]∴函数f(x)的最小值是－32a＋b＝－2最大值a＋b＝3，解得a＝2，b＝3－2.13．在△ABC中，已知a·cos2C2＋c·cos2A2＝32b.(1)求证：a、b、c成等差数列；(2)求角B的范围．[解析] (1)由条件得a·1＋cosC2＋c·1＋cosA2＝32b.∴a＋c＋(acosC＋ccosA)＝3b.∴a＋c＋a·a2＋b2－c22ab＋c·b2＋c2－a22bc＝3b，∴a＋c＝2b，即a、b、c成等差数列．(2)cosB＝a2＋c2－b22ac＝a2＋c2－⎝⎛⎭⎪⎫a＋c222ac＝3a2＋c2－2ac8ac≥3·2ac－2ac8ac＝12.∵B∈(0，π)，∴0<B≤π3 .14．(xx·天津理)已知函数f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1(x∈R)．(1)求函数f(x)的最小正周期及在区间[0，π2]上的最大值和最小值．(2)若f(x0)＝65，x0∈[π4，π2]，求cos2x0的值．[分析] 本题主要考查二倍角的正弦、余弦、两角和的正弦、函数y＝Asin(ωx ＋φ)的性质，同角三角函数的基本关系，两角差的余弦等基础知识，考查基本能力．一般思路先整理、化简f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式．[解析] 由f(x)＝23sinxcosx＋2cos2x－1，得f(x)＝3(2sinxcosx)＋(2cos2x －1) ＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6. 所以函数f(x)的最小正周期为π.因为f(x)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π6上为增函数，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π6，π2上为减函数，又f(0)＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π6＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＝－1，所以函数f(x)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的最大值为2，最小值为－1.(2)由(1)可知f(x0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x0＋π6.又因为f(x0)＝65，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x0＋π6＝35.由x0∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4，π2，得2x0＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤2π3，7π6， 从而cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x0＋π6＝－1－sin2⎝⎛⎭⎪⎫2x0＋π6＝－45.所以cos2x0＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫2x0＋π6－π6 ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x0＋π6cos π6＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x0＋π6sin π6＝3－4310. 15．已知向量a ＝(cosx ＋2sinx ，sinx)，b ＝(cosx －sinx,2cosx)．设函数f(x)＝a·b＋12.(1)求函数f(x)的单调递减区间；(2)若函数y ＝f(x ＋φ)为偶函数，试求符合题意的φ的值．[分析] 写出y ＝f(x)的表达式是解题的关键．对于(1)，结合题意，利用数量积的坐标运算及三角变换公式得到函数y ＝f(x)的表达式，进而求出函数的单调减区间；对于(2)，函数y ＝f(x ＋φ)为偶函数的实质就是求y 轴是函数y ＝f(x ＋φ)的一条对称轴．考虑到y ＝sinx 的对称轴为x ＝kπ＋π2(k ∈Z)，故可利用整体思想来解决．[解析] (1)由已知可得f(x)＝(cosx ＋2sinx)(cosx －sinx)＋2sinxcosx ＋12＝cos2x －sinxcosx ＋2sinxcosx －2sin2x ＋2sinxcosx ＋12＝cos2x ＋3sinxcosx －2sin2x ＋12＝12(1＋cos2x)＋32sin2x ＋(cos2x －1)＋12 ＝32(sin2x ＋cos2x)＝322sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π4.由2kπ＋π2<2x ＋π4<2kπ＋3π2(k ∈Z)得：kπ＋π8<x<kπ＋5π8(k ∈Z)， 所以函数f(x)的单调递减区间为⎝⎛⎭⎪⎫kπ＋π8，kπ＋5π8(k ∈Z)． (2)由(1)知y ＝f(x ＋φ)＝322sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋2φ＋π4.精品文档实用文档 由于y ＝sinx 的对称轴为x ＝kπ＋π2(k ∈Z)， 令2x ＋2φ＋π4＝kπ＋π2(k ∈Z)，得x ＝kπ＋π4－2φ2(k ∈Z)． 因为y ＝f(x ＋φ)为偶函数，所以令x ＝kπ＋π4－2φ2＝0，解得φ＝kπ2＋π8(k ∈Z)．故符合题意的φ＝kπ2＋π8(k ∈Z)． [点评] 注重向量与三角函数的交汇是近几年新课标高考命题的一个特色．熟练掌握数量积的定义及运算法则、三角函数的诱导公式、两角和与差的公式等是解决这类题目的一个前提．复习时要将上述知识融会贯通，有针对性地加强训练．24648 6048 恈127327 6ABF 檿37596 92DC 鋜31068 795C 祜26518 6796 枖26072 65D8 旘<KY24817 60F1 惱-34109 853D 蔽i。
2022高三全国统考数学北师大版(理)一轮复习学案：选修4—5 第1课时 绝对值不等式
选修4—5 不等式选讲必备知识预案自诊知识梳理1.绝对值三角不等式(1)定理1:若a,b 是实数,则|a+b|≤ ,当且仅当 时,等号成立; (2)性质:|a|-|b|≤|a ±b|≤|a|+|b|;(3)定理2:若a,b,c 是实数,则|a-c|≤ ,当且仅当 时,等号成立. 2.绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|<a 与|x|>a(a>0)的解法: ①|x|<a ⇔-a<x<a;②|x|>a ⇔x>a 或x<-a.(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法: ①|ax+b|≤c ⇔ ;②|ax+b|≥c ⇔ .(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法: ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想;③通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程及数形结合的思想. 3.基本不等式定理1:设a,b ∈R ,则a 2+b 2≥ ,当且仅当a=b 时,等号成立. 定理2:若a ,b 为正数,则a+b 2≥√ab ,当且仅当a=b 时,等号成立.定理3:若a ,b ,c 为正数,则a+b+c 3≥√abc 3,当且仅当a=b=c 时,等号成立.定理4:若a 1,a 2,…,a n 为n 个正数,则a 1+a 2+…+a nn≥√a 1a 2…a n n ,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时,等号成立.4.柯西不等式(1)若a ,b ,c ,d 都是实数,则(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd )2,当且仅当ad=bc 时,等号成立.(2)设a 1,a 2,a 3,…,a n ,b 1,b 2,b 3,…,b n 是实数,则(a 12+a 22+…+a n 2)(b 12+b 22+…+b n 2)≥(a 1b 1+a 2b 2+…+a n b n )2,当且仅当b i =0(i=1,2,…,n )或存在一个数k ,使得a i =kb i (i=1,2,…,n )时,等号成立.(3)柯西不等式的向量形式:设α,β是两个向量,则|α||β|≥|α·β|,当且仅当β是零向量或存在实数k ,使α=k β时,等号成立.5.不等式证明的方法证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、放缩法以及利用绝对值三角不等式、柯西不等式法等.考点自诊1.判断下列结论是否正确,正确的画“√”,错误的画“×”. (1)对|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当ab ≤0时,等号成立.( )(2)|a+b|+|a-b|≥|2a|.()(3)|x-a|+|x-b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a,b的距离之和.()(4)用反证法证明命题“a,b,c全为0”时假设为“a,b,c全不为0”.()(5)若m=a+2b,n=a+b2+1,则n≥m.() 2.若|a-c|<|b|,则下列不等式正确的是()A.a<b+cB.a>c-bC.|a|>|b|-|c|D.|a|<|b|+|c|3.若不等式|x+1x|>|a-2|+1对于一切非零实数x均成立,则实数a的取值范围是() A.(2,3) B.(1,2)C.(1,3)D.(1,4)4.设a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb=5,则√m2+n2的最小值为.5.若存在实数x使|x-a|+|x-1|≤3成立,则实数a的取值范围是.第1课时绝对值不等式关键能力学案突破考点绝对值不等式的解法【例1】(2020全国1,理23)已知函数f(x)=|3x+1|-2|x-1|.(1)画出y=f(x)的图像;(2)求不等式f(x)>f(x+1)的解集.解题心得解含有两个以上绝对值符号的不等式的方法解法1:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;解法2:利用“零点分段法”求解,即令各个绝对值式子等于0,求出各自零点,把零点在数轴上从小到大排列,然后按零点分数轴形成的各区间去绝对值,进而将绝对值不等式转化为常规不等式,体现了分类讨论的思想;解法3:通过构造函数,利用函数的图像求解,体现了函数与方程的思想.对点训练1(2019全国2,理23)已知f(x)=|x-a|x+|x-2|(x-a).(1)当a=1时,求不等式f(x)<0的解集;(2)若x∈(-∞,1)时,f(x)<0,求a的取值范围.考点求参数范围(多考向探究)考向1分离参数法求参数范围【例2】(2017全国3,理23)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集;(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.解题心得在不等式有解或成立的情况下,求参数的取值范围,可以采取分离参数,通过求对应函数最值的方法获得.对点训练2已知f(x)=|x+1|,g(x)=2|x|+a,(1)当a=-1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;(2)若存在x0∈R使得f(x0)≥g(x0)成立,求a的取值范围.考向2利用函数最值求参数范围【例3】(2020辽宁大连一中6月模拟,23)已知函数f(x)=x|x-a|,a∈R.(1)当f(1)+f(-1)>1时,求a的取值范围;(2)若a>0,对任意x,y∈(-∞,a],都有不等式f(x)≤y+5+|y-a|恒成立,求a的取值范围.4解题心得1.对于求参数范围问题,可将已知条件进行等价转化,得到含有参数的不等式恒成立,此时通过求函数的最值得到关于参数的不等式,解不等式得参数范围.2.解答此类问题应熟记以下转化:f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a;f(x)<a恒成立⇔f(x)max<a;f(x)>a有解⇔f(x)max>a;f(x)<a有解⇔f(x)min<a;f(x)>a无解⇔f(x)max≤a;f(x)<a无解⇔f(x)min≥a.对点训练3(2020山西太原三模,23)已知函数f(x)=|x+1|+|x-2a|,a∈R.(1)若a=1,解不等式f(x)<4;(2)对任意的实数m,若总存在实数x,使得m2-2m+4=f(x),求实数a的取值范围.考向3恒等转化法求参数范围【例4】(2020全国2,理23)已知函数f(x)=|x-a2|+|x-2a+1|.(1)当a=2时,求不等式f(x)≥4的解集;(2)若f(x)≥4,求a的取值范围.解题心得在不等式成立的前提下求参数范围,通常对不等式进行等价变形,求出不等式的解,然后根据已知条件确定参数范围.对点训练4(2018全国1,理23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|.(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;(2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围.考点求函数或代数式的最值(多考向探究)考向1利用基本不等式求最值【例5】(2020河北石家庄二模,文23)函数f(x)=|2x-1|+|x+2|.(1)求函数f(x)的最小值;(2)若f(x)的最小值为M,a+2b=2M(a>0,b>0),求证:1a+1+12b+1≥47.解题心得在求某一代数式的最值时,根据已知条件利用基本不等式a 2+b 2≥2ab ,a+b 2≥√ab (a ,b 为正数),a+b+c3≥√abc 3(a ,b ,c 为正数)对代数式进行适当的放缩,从而得出其最值.对点训练5(2020河南开封三模)关于x 的不等式|x-2|<m (m ∈N +)的解集为A ,且32∈A ,12∉A. (1)求m 的值;(2)设a ,b ,c 为正实数,且a+b+c=3m ,求√a +√b +√c 的最大值.考向2 利用绝对值三角不等式求最值【例6】已知函数f (x )=2|x+a|+|x -1a |(a ≠0).(1)当a=1时,解不等式f (x )<4;(2)求函数g (x )=f (x )+f (-x )的最小值.解题心得利用绝对值三角不等式求函数或代数式的最值时,往往需要对函数或代数式中的几个绝对值里面的代数式等价变形,使相加或相减后对消变量,得到常数.对点训练6已知函数f (x )=|2x+1|-|x-1|. (1)求f (x )+|x-1|+|2x-3|的最小值;(2)若不等式|m-1|≥f (x )+|x-1|+|2x-3|有解,求实数m 的取值范围.考向3利用放缩法求最值【例7】(2019全国3,理23)设x,y,z∈R,且x+y+z=1.(1)求(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值;(2)若(x-2)2+(y-1)2+(z-a)2≥13成立,证明:a≤-3或a≥-1.解题心得利用放缩法求代数式的最值,一般利用基本不等式,绝对值三角不等式及数学结论进行放缩,在放缩的过程中,结合已知条件消去变量得到常量,从而得到代数式的最值.对点训练7已知实数m,n满足2m-n=3.(1)若|m|+|n+3|≥9,求实数m的取值范围;(2)求|53m-13n|+|13m-23n|的最小值.1.绝对值不等式主要利用“零点分段法”求解,有时也利用函数图像通过观察得出不等式的解集.2.含绝对值不等式的恒成立问题的求解方法(1)分离参数法:运用“f(x)≤a⇔f(x)max≤a,f(x)≥a⇔f(x)min≥a”可解决恒成立中的参数范围问题.(2)数形结合法:在研究不等式f (x )≤g (x )恒成立问题时,若能作出两个函数的图像,通过图像的位置关系可直观解决问题.3.求函数或代数式的最值主要应用基本不等式、绝对值三角不等式以及通过放缩求解.在解决有关绝对值不等式的问题时,充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题.若用零点分段法求解,要掌握分类讨论的标准,做到不重不漏.选修4—5 不等式选讲必备知识·预案自诊知识梳理1.(1)|a|+|b| ab ≥0 (3)|a-b|+|b-c| (a-b )(b-c )≥02.(2)①-c ≤ax+b ≤c ②ax+b ≥c 或ax+b ≤-c3.2ab考点自诊1.(1)√ (2)√ (3)√ (4)× (5)√2.D |a|-|c|≤|a-c|<|b|,即|a|<|b|+|c|,故选D .3.C 因为|x +1|=|x|+|1|≥2,要使对于一切非零实数x ,|x +1|>|a-2|+1恒成立, 则|a-2|+1<2,即1<a<3.4.√5 由柯西不等式可知(a 2+b 2)(m 2+n 2)≥(ma+nb )2,即5(m 2+n 2)≥25,当且仅当an=bm 时,等号成立,所以√m 2+n 2≥√5.5.[-2,4] ∵|x-a|+|x-1|≥|(x-a )-(x-1)|=|a-1|,要使|x-a|+|x-1|≤3有解,可使|a-1|≤3,∴-3≤a-1≤3,∴-2≤a ≤4.第1课时 绝对值不等式 关键能力·学案突破 例1解(1)由题设知f (x )={-x -3,x ≤-13,5x -1,-13<x ≤1,x +3,x >1.y=f (x )的图像如图所示.(2)函数y=f (x )的图像向左平移1个单位长度后得到函数y=f (x+1)的图像.y=f (x )的图像与y=f (x+1)的图像的交点坐标为-76,-116.由图像可知当且仅当x<-76时,y=f (x )的图像在y=f (x+1)的图像上方. 故不等式f (x )>f (x+1)的解集为(-∞,-76). 对点训练1解(1)当a=1时,f (x )=|x-1|x+|x-2|·(x-1).当x<1时,f (x )=-2(x-1)2<0; 当x ≥1时,f (x )≥0.所以,不等式f (x )<0的解集为(-∞,1). (2)因为f (a )=0,所以a ≥1. 当a ≥1,x ∈(-∞,1)时,f (x )=(a-x )x+(2-x )(x-a )=2(a-x )(x-1)<0. 所以,a 的取值范围是[1,+∞). 例2解(1)f (x )={-3,x <-1,2x -1,-1≤x ≤2,3,x >2.当x<-1时,f (x )≥1无解;当-1≤x ≤2时,由f (x )≥1得,2x-1≥1,解得1≤x ≤2; 当x>2时,由f (x )≥1解得x>2. 所以f (x )≥1的解集为{x|x ≥1}.(2)由f (x )≥x 2-x+m 得m ≤|x+1|-|x-2|-x 2+x. 而|x+1|-|x-2|-x 2+x ≤|x|+1+|x|-2-x 2+|x|=-(|x |-32)2+54≤54,且当x=32时,|x+1|-|x-2|-x 2+x=54. 故m 的取值范围为(-∞,54].对点训练2解(1)当a=-1时原不等式可化为|x+1|-2|x|≥-1,设φ(x )=|x+1|-2|x|={x -1,x ≤-1,3x +1,-1<x <0,-x +1,x ≥0,则{x ≤-1,x -1≥-1,或{-1<x <0,3x +1≥-1,或{x ≥0,-x +1≥-1. 即-23≤x ≤2.所以原不等式的解集为-23,2.(2)若存在x 0∈R 使得f (x 0)≥g (x 0)成立,等价于|x+1|≥2|x|+a 有解, 由(1)即φ(x )≥a 有解,即a ≤φ(x )max ,由(1)可知,φ(x )在(-∞,0)单调递增,在[0,+∞)单调递减, 所以φ(x )max =φ(0)=1,所以a ≤1.故a 的取值范围为(-∞,1].例3解(1)f (1)+f (-1)=|1-a|-|1+a|>1,若a ≤-1,则1-a+1+a>1,得2>1,即当a ≤-1时,不等式恒成立;若-1<a<1,则1-a-(1+a )>1,得a<-12,即-1<a<-12; 若a ≥1,则-(1-a )-(1+a )>1,得-2>1,此时不等式无解. 综上所述,a 的取值范围是-∞,-12.(2)由题意知,要使不等式恒成立,只需f (x )max ≤y+54+|y-a|min .当x ∈(-∞,a ]时,f (x )=-x 2+ax ,f (x )max =f a 2=a 24. 因为y+54+|y-a|≥a+54, 所以当y ∈-54,a 时,y+54+|y-a|min =a+54=a+54.于是a 24≤a+54,解得-1≤a ≤5.结合a>0,所以a 的取值范围是(0,5].对点训练3解(1)当a=1时,f (x )<4,即|x+1|+|x-2|<4,化为{x <-1,2x >-3或{-1≤x ≤2,3<4或{x >2,2x -1<4,解得-32<x<-1或-1≤x ≤2或2<x<52,综上,-32<x<52,即不等式f (x )<4的解集为-32,52.(2)根据题意,得m 2-2m+4的取值范围是f (x )值域的子集.m 2-2m+4=(m-1)2+3≥3,又f (x )=|x+1|+|x-2a|≥|2a+1|, 所以f (x )的值域为[|2a+1|,+∞).故|2a+1|≤3,解得-2≤a ≤1,即实数a 的取值范围为[-2,1].例4解(1)当a=2时,f (x )={7-2x ,x ≤3,1,3<x ≤4,2x -7,x >4.因此,不等式f (x )≥4的解集为{x |x ≤32或x ≥112}. (2)因为f (x )=|x-a 2|+|x-2a+1|≥|a 2-2a+1|=(a-1)2,故当(a-1)2≥4,即|a-1|≥2时,f (x )≥4. 所以当a ≥3或a ≤-1时,f (x )≥4.当-1<a<3时,f (a 2)=|a 2-2a+1|=(a-1)2<4. 所以a 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).对点训练4解(1)当a=1时,f (x )=|x+1|-|x-1|,即f (x )={-2,x ≤-1,2x ,-1<x <1,2,x ≥1.故不等式f (x )>1的解集为{x |x >12}.(2)当x ∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当x ∈(0,1)时|ax-1|<1成立. 若a ≤0,则当x ∈(0,1)时|ax-1|≥1;若a>0,|ax-1|<1的解集为0<x<2a ,所以2a ≥1,故0<a ≤2. 综上,a 的取值范围为(0,2]. 例5(1)解f (x )=|2x-1|+|x+2|={-3x -1,x ≤-2,-x +3,-2<x <12,3x +1,x ≥12,当x ≤-2时,f (x )≥5;当-2<x<12时,52<f (x )<5; 当x ≥12时,f (x )≥52. 所以f (x )的最小值为52. (2)证明由(1)知M=52,即a+2b=5.又因为a>0,b>0,所以1a+1+12b+1=17[(a+1)+(2b+1)]1a+1+12b+1=172+2b+1a+1+a+12b+1 ≥172+2√2b+1a+1·a+12b+1 =47,当且仅当a=2b ,即a=52,b=54时,等号成立.所以1a+1+12b+1≥47. 对点训练5解(1)由已知得{|32-2|<m ,|12-2|≥m ,解得12<m ≤32.因为m ∈N *,所以m=1.(2)因为a+b+c=3,所以√a +√b +√c =√1·a +√1·b +√1·c ≤1+a 2+1+b 2+1+c2=3+a+b+c2=3, 当且仅当a=b=c=1时,等号成立.所以√a +√b +√c 的最大值为3.例6解(1)∵a=1,∴原不等式为2|x+1|+|x-1|<4,∴{x <-1,-2x -2-x +1<4,或 {-1≤x ≤1,2x +2-x +1<4,或{x >1,2x +2+x -1<4,∴-53<x<-1或-1≤x<1或∅. ∴原不等式的解集为(-53,1).(2)由题意得g (x )=f (x )+f (-x )=2(|x+a|+|x-a|)+(|x +1a |+|x -1a |)≥2|2a|+2|a |≥4√2.当且仅当2|a|=1|a |,即a=±√22,且-√22≤x ≤√22时,g (x )取最小值4√2. 对点训练6解(1)f (x )+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|-|x-1|+|x-1|+|2x-3|=|2x+1|+|2x-3|≥|2x+1-(2x-3)|=4,当-12≤x ≤32时等号成立,所以f (x )+|x-1|+|2x-3|的最小值为4.(2)不等式|m-1|≥f (x )+|x-1|+|2x-3|有解,∴|m-1|≥[f (x )+|x-1|+|2x-3|]min .∴|m-1|≥4,∴m-1≤-4或m-1≥4,即m ≤-3或m ≥5,∴实数m 的取值范围是(-∞,-3]∪[5,+∞).例7(1)解由于[(x-1)+(y+1)+(z+1)]2=(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2+2[(x-1)(y+1)+(y+1)(z+1)+(z+1)(x-1)]≤3[(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2],故由已知得(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2≥4,当且仅当x=5,y=-1,z=-1时等号成立.所以(x-1)2+(y+1)2+(z+1)2的最小值为43.(2)证明由于[(x-2)+(y-1)+(z-a )]2=(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2+2[(x-2)(y-1)+(y-1)(z-a )+(z-a )(x-2)]≤3[(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2],故由已知得(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2≥(2+a )23,当且仅当x=4-a 3,y=1-a 3,z=2a -23时等号成立. 因此(x-2)2+(y-1)2+(z-a )2的最小值为(2+a )23.由题设知(2+a )23≥13,解得a ≤-3或a ≥-1.对点训练7解因为2m-n=3,所以2m=n+3.(1)|m|+|n+3|=|m|+|2m|=3|m|≥9,所以|m|≥3,所以m ≤-3或m ≥3.故m 的取值范围为(-∞,-3]∪[3,+∞).(2)53m-13n +13m-23n =53m-13(2m-3)+13m-23(2m-3)=|m+1|+|m-2|≥3,当且仅当-1≤m ≤2(或-5≤n ≤1)时等号成立, 所以53m-13n +13m-23n 的最小值是3.。
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2021年高三数学第一轮复习章节测试4-5 北师大版一、选择题1．(xx·新课标文)若cosα＝－45，α是第三象限的角，则sin(α＋π4)＝( ) A ．－7210 B.7210C ．－210 D.210 [答案] A[解析] 本题考查了同角的三角函数关系和两角和的正弦公式，在解题时要注意正确计算各个三角函数的值，题目定位是中档题．由题知，cosα＝－45，α是第三象限的角，所以sinα＝－35，由两角和的正弦公式可得sin(α＋π4)＝sinαcos π4＋cosαsin π4＝(－35)×22＋(－45)×22＝－7210. 2．(xx·济南模拟)sin15°cos75°＋cos15°sin105°等于( )A ．0B.12C.32 D ．1[答案] D[解析] sin15°cos75°＋cos15°sin105°＝sin15°cos75°＋cos15°sin75°＝sin90°.3．已知－π4<α<3π4，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝55，则sinα＝( ) A.1010 B.255 C.55 D.33[答案] A [解析] ∵－π4<α<3π4，∴－π2<π4－α<π2， 又sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝55，∴cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝255，∴sinα＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝1010，故选A.4．已知sinα＝35，α为第二象限角，且tan(α＋β)＝1，则tanβ的值是( )A ．－7B ．7C ．－34 D.34[答案] B[解析] 由sinα＝35，α为第二象限角，得cosα＝－45，则tanα＝－34.∴tanβ＝tan[(α＋β)－α]＝tan α＋β－tanα1＋tan α＋βtanα＝1＋341＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＝7.5．已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝14，则sin2α的值为( )A.3132 B ．－3132C ．－78 D.78[答案] C[解析] 方法1：sin2α＝cos(π2－2α)＝2cos2(α－π4)－1＝－78，故选C.方法2：cos(α－π4)＝22cosα＋22sinα＝14两边平方得 12＋12sin2α＝116，∴sin2α＝－78，故选C.6．已知sinx －siny ＝－23，cosx －cosy ＝23，且x 、y 为锐角，则tan(x －y)的值是() A.2145 B ．－2145C ．±2145 D ．±51428[答案] B[解析] 由已知sinx －siny ＝－23，cosx －cosy ＝23，得⎩⎪⎨⎪⎧ sin2x －2sinxsiny ＋sin2y ＝49cos2x －2cosxcosy ＋cos2y ＝49，相加得cos(x －y)＝59，且x 、y 均为锐角， ∴sin(x －y)＝－2149，∴tan(x －y)＝－2145，故选B. 7．若α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，则cos(α＋β)的值等于( ) A ．－32B ．－12 C.12D.32 [答案] B[解析] ∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α2－β＝－12，α2－β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π4 ∴α2－β＝－π6① ∵cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－β2＝32，α，β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2， ∴α－β2∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4，π2，∴α－β2＝－π6或π6② 由①②有⎩⎪⎨⎪⎧ α＝π3β＝π3或⎩⎪⎨⎪⎧ α＝－π9β＝π9(舍去)， ∴cos(α＋β)＝cos 2π3＝－12. 8．在△ABC 中，tanA ，tanB ，tanC 依次成等差数列，则B 的取值范围是( ) A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π3∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，2π3 B.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，π6∪⎝ ⎛⎦⎥⎤π2，5π6 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π6，π2D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2 [答案] D[解析] 由条件知2tanB ＝tanA ＋tanC(※)显然B 为锐角，若B 为钝角，则tanA>0，tanC>0，tanB<0(※)式不成立．∵tanB ＝－tan(A ＋C)＝－tanA ＋tanC 1－tanA·tanC＝－2tanB 1－tanA·tanC，且tanB≠0， ∴tanAtanC ＝3，∴(2tanB)2＝(tanA ＋tanC)2＝tan2A ＋tan2C ＋2tanAtanC≥4tanAtanC＝12，因此tan2B≥3，∵tanB>0，∴tanB≥3，π3≤B<π2， 即B 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫π3，π2，选D.二、填空题9．(xx·乐山模拟)已知cosα＝17，cos(α＋β)＝－1114，α、β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，则β＝________. [答案] π3[解析] ∵α、β∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴α＋β∈(0，π)， ∴sinα＝437，sin(α＋β)＝5314， ∴cosβ＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cosα＋sin(α＋β)sinα＝12， ∵0<β<π2，∴β＝π3. 10．函数y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π2的最小正周期T ＝______. [答案] π[解析] 解法1：f(x)＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π2 ＝－12⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6－cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6 ＝－12cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋5π6＋34.∴T ＝π. 解法2：y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12sinx ＋32cosx cosx ＝14sin2x ＋34cos2x ＋34＝12sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3＋34，∴T ＝π. 11．若cos(α＋β)＝15，cos(α－β)＝35，则tanα·tanβ＝________. [答案] 12[解析] 由题意知：⎩⎪⎨⎪⎧ cosαcosβ－sinαsinβ＝15，cosαcosβ＋sinαsinβ＝35， ① ②①＋②⇒cosαcosβ＝25，③ ②－①⇒sinαsinβ＝15，④④③得：tanαtanβ＝12. 三、解答题 12．(xx·北京海淀区模拟)已知tanα＝2.求：(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)sin2α＋cos2π－α1＋cos2α的值． [解析] (1)∵tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋tanα1－tanα，且tanα＝2， ∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4＝1＋21－2＝－3. (2)sin2α＋cos2π－α1＋cos2α＝2sinαcosα＋cos2α2cos2α＝2sinα＋cosα2cosα＝tanα＋12＝52. 13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210、255.(1)求tan(α＋β)的值；(2)求α＋2β的值．[解析] 由已知得cosα＝210，cosβ＝255. ∵α、β为锐角，∴sinα＝1－cos2α＝7210， sinβ＝1－cos2β＝55， ∴tanα＝7，tanβ＝12. (1)tan(α＋β)＝tanα＋tanβ1－tanαtanβ＝7＋121－7×12＝－3. (2)∵tan2β＝2tanβ1－tan2β＝2×121－⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝43，∴tan(α＋2β)＝tanα＋tan2β1－tanα·tan2β＝7＋431－7×43＝－1. ∵α、β为锐角，0<α＋2β<3π2，∴α＋2β＝3π4. 14．(文)若sinA ＝55，sinB ＝1010，且A ，B 均为钝角，求A ＋B 的值． [分析] 欲求A ＋B ，先求A ＋B 的一个三角函数值，然后再由A 、B 的范围求得A ＋B 的值． [解析] ∵A 、B 均为钝角且 sinA ＝55，sinB ＝1010， ∴cosA ＝－1－sin2A ＝－25＝－255， cosB ＝－1－sin2B ＝－310＝－31010， ∴cos(A ＋B)＝cosAcosB －sinAsinB ＝－255×⎝ ⎛⎭⎪⎫－31010－55×1010＝22① 又∵π2<A<π，π2<B<π， ∴π<A＋B<2π.由①②知A ＋B ＝7π4. [点评] (1)通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．(理)已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝7 2 10，cos2α－sin2α＝725，求sinα及tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3. [解析] 由题设条件，应用两角差的正弦公式得：7210＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝22(sinα－cosα)， 即sinα－cosα＝75① 由题设得cos2α－sin2α＝(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝－75(cosα＋sinα)， 故cosα＋sinα＝－15②由①式和②式得：sinα＝35，cosα＝－45. ∴tanα＝－34， tan⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tanα＋tan π31－tanαta n π3＝－34＋31＋34×3 ＝43－34＋33＝48－25311. 15．设函数f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3. (1)求ω的值；(2)若函数y ＝g(x)的图像是由y ＝f(x)的图像向右平移π2个单位长度得到的，求y ＝g(x)的单调增区间．[解析] (1)f(x)＝(sinωx＋cosωx)2＋2cos2ωx ＝sin2ωx＋cos2ωx＋2sinωxcosωx＋1＋cos2ωx＝sin2ωx＋cos2ωx＋2＝2sin(2ωx＋π4)＋2， 依题意得2π2ω＝2π3，故ω的值为32. (2)依题意得g(x)＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤3⎝⎛⎭⎪⎫x －π2＋π4＋2 ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫3x －5π4＋2， 由2kπ－π2≤3x－5π4≤2kπ＋π2(k ∈Z)，解得 23kπ＋π4≤x≤23kπ＋7π12(k ∈Z)， 故y ＝g(x)的单调增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤23kπ＋π4，23kπ＋7π12 (k ∈Z)．。