华师大版-数学-九年级上册-23.2.2 一元二次方程的解法(2)课后作业练习
华师大版-数学-九年级上册- 整理推荐 23.2一元二次方程的解法 练习
23.2一元二次方程的解法 练习(时间45分钟,满分100分)一、填空题(每小题3分,共24分)--1.下列方程:①2302x x --=;②2322t t -=-;③111x x =--;④(3x —1)(x+1)= 3x(x —2);⑤,21x x -=;⑥y(2y 一1)=0;2x 一3xy+22y =0;⑧(2a +1) 2x 一3x+1=0(a 为实数常数)中.整式方程有__________,一元二次方程有_________(只填序号).2.将方程(4x+1)(2x —1)= 2x +3化为一般形式是_________________________.3.方程x(x 一2) =0的根为_________________.4.方程2x 一kx+1=0的一根为2一3,则k=___________,另一根为____________.5.关于x 的一元二次方程a 2x 一2x+3=0有两个实数根,则a 的取值范围是___________.6.已知直角三角形三边长为连续整数,则它的三边长分别是______________.7.用“”定义新运算:对于任意实数a ,b ,都有a b=a 和a b=b .例如:3 2=3,32=2,则(20062005) (20042003)=_________________.8.设a ,b 是一个直角三角形两条直角边的长,且(2a +2b )(2a +2b +1)= 12,则这个直角三角形的斜边长为_______________.二、选择题(每小题3分,共24分)9.方程(x+1)(x 一3) =5的解是 ( )A .1x =—1,2x =一3B .1x =—4,2x =一2C .1x =一1,2x =3D .1x =一4,2x =210.关于x 的方程a x (x 一b)一(b 一x) =0的解为 ( )A .1a ,bB .a ,bC .1a-,b D .a ,一b 11.方程:①22x 一13x=1 ②22x 一5xy+2y =0③72x +1=0④22y =0中一元二次方程是 ( )A .①和②B .②和③C .③和④D .①和③12.如果(m+3) 2x 一mx+1=0是一元二次方程,则 ( )A .m ≠一3B .m ≠3C .m ≠0D .m ≠一3且m ≠013.已知0和一1都是某个方程的解,此方程是 ( )A .2x 一l=0B .x(x+1) =0C .2x 一x=0D .x=x+114.等腰三角形的两边的长是方程2x一20x+91=0的两个根,则此三角形的周长为( ) A.27 B.33 C.27和33 D.以上都不对15.关于x的方程(23m+1) 2x+2mx一1=0的一个根是1,则m的值是 ( )A.0 B.23- C.23D.0或23-16.已知2x—5xy+6 2y=0,则y:x 等于 ( )A.16或1 B.6或l C.13或12D.2或3三、解答题(共52分)17.(12分)按指定的方法解方程(1)(x+2)2一25 =0(直接开平方法) (2) 2x+4x一5=0(配方法) (3)(x+2)2—10(x+2)+25=0(因式分解法) (4)2 2x一7x+3 = 0(公式法)18.(12分)选用合适的方法解下列方程:(1)(x+4)2 =5(x+4) (2)(x+1)2 =4x(3)(x+1)(x一5) =2x (4)3 2x+5(2x+1)=0 19.(4分)已知y =2 2x一a x —2a,且当x =l时,y =0,求a的值.-20.(8分)用配方法求:(1)22x—7x +2的最小值 (2) —32x+5x+1的最大值21.(6分)若关于x的代数式2x+2mx+4m一4是一个完全平方式,求实数m的值22.(5分);请你用所学知识说明:对于关于x的方程(2a--8a+20) 2x+2a x+5=0,无论a取什么值,该方程都是关于x的一元二次方程.23.(5分)请你说明:无论x 取什么值,多项式22x 一42x 一1的值总大于多项式2x 一22x 一4的值.参考答案一、填空题1.①②④⑥⑦⑧ ①②⑧ 2.72x —2x 一4=0 3.1x =0,2x =2 4.K=4.a ≤13且a ≠0 6.3,4,5 7.2005 8二、选择题9.B 10.A 11.C 12.A 13.B 14.C 15.D 16.C三、解答题17.(1) 1x =一7,2x =3 (2) 1x =一5,2x =1(3) 1x =2x =3 (4) 1x =3,2x =12 18.(1)1x =—4 2x =1 (2)1x =2x =1(3)x=3.a =1或—2 20.(1)338- (2)371221. m 2= 22.()222820816444a a a a a -+=-++=≥-+>023.24x —42x —1—(4x —22x —4)=4x -22x +3=(2x —1)2+2>0。
华师大版-数学-九年级上册- 一元二次方程的解法 练习题
一元二次方程根的解法练习题一)填空1.方程x2+2x-1+m=0有两个相等实数根,则m=____2..若关于x的一元二次方程mx2+3x-4=0有实数根,则m的值为____.3.方程4mx2-mx+1=0有两个相等的实数根,则m为___.4..若关于x的二次方程kx2+1=x-x2有实数根,则k的取值范围是____.5.若m是非负整数且一元二次方程(1-m2)x2+2(1-m)x-1=0有两个实数根,则m 的值为____.6.二次方程(k2-1)x2-6(3k-1)x+72=0有两个实数根,则k为___.7.若一元二次方程(1-3k)x2+4x-2=0有实数根,则k的取值范围是____.(二)8.当m>4时,关于x的方程(m-5)x2-2(m+2)x+m=0的实数根的个数为.A.2个;B.1个;C.0个;D.不确定.9.若一元二次方程(1-2k)x2+8x=6没有实数根,那么k的最小整数值是.A.2;B.0;C.1;D.3.10.若一元二次方程(1-2k)x2+12x-10=0有实数根,那么k的最大整数值是.A.1;B.2;C.-1;D.0.11.方程2x(kx-5)-3x2+9=0有实数根,k的最大整数值是.A.-1;B.0;C.1;D.2(三)综合练习12.如果a,b,c是三角形的三条边,求证:关于x的方程a2x2+(a2+b2-c2)x+b2=0无解.13.当a,b为何值时,方程x2+2(1+a)x+(3a2+4ab+4b2+2)=0有实数根.14.一元二次方程(m-1)x2+2mx+m+3=0有两个不相等的实数根,求m的最大整数值.15.k为何值时,方程x2+2(k-1)x+ k2+2k-4=0:(1)有两个相等的实数根;(2)没有实数根;(3)有两个不相等的实数根.16.若方程(k+2)x2+4x-2=0有实数根,求k的最小整数值.。
华师大版-数学-九年级上册- 整理推荐 23.2一元二次方程的解法(二)
23.2一元二次方程的解法(二)1.(1)方程(2-x)(x+1)=0的根是;(2)方程(4x-1)(x+3)=0的根是.2.(1)方程3x(x+3)=2(x+3)的根是;(2)方程(2x-1)2=3x(2x-1)的根是.3.(1)方程x2-x-12=0的根是;(2)方程(x+1)(x-2)=4的根是.4.方程(3x+4)2+4(3x+4)+3=0的根是.5.方程(x-3)2=x-3的根是 ( ) A.x=3 B.x1=3,x2=4 C.x=-3 D.x1=0,x2=16.方程x2-) x=0的根是 ( )A.x1=1,x2 B.x1,x2C.x1x2.x1,x2=17.已知多项式m2-4m-11的值为10,则m的值为 ( )A.3或7 B.-3或7 C.3或-7 D.-3或-78.要使分式2544x xx-+-的值为0,则x的值是 ( )A.4或1 B.4 C.1 D.-4或-19.用因式分解法解下列方程:(1)3(x-5)2=2(5-x); (2)(2x-1)(x+1)=(3x+1)(x+1);(3)(x-2)(x-5)=70; (4)(2x+1)2+3(2x+1)+2=0.10.已知三角形两边的长分别为1和2,第三边的数值是方程2x2-5x+3=0的根,求这个三角形的周长.11.解关于x的方程abx2-(a2+b2)x+ab=0 (ab≠0).王强同学采用了如下步骤:原方程变形为abx2-a2x-b2x+ab=0(abx2-a2x)-(b2x一ab)=0,ax(bx-a)一b(bx一a)=0,做到这儿,王强帮妈妈干活去了,请你完成下面的求解步骤,求得原方程的解.12.在高尔夫球比赛中,运动员打出的球在空中飞行高度h(m)与打出后飞行时间t(s)之间的关系为h=-t(t-7).(1)经过多少秒后,球的飞行高度为l0米?(2)经过多少秒后,球回到地面?13.阅读下面例题:解方程x2-︱x︱-2=0.解:(1)当x≥0时,原方程化为x2-x-2=0,解得x1=2,x2=-l(不合题意舍去);(2)当x<0时,原方程化为x2+x-2=0,解得x1=l(不合题意舍去),x2=-2.∴原方程的根是x1=2,x2=-2.请参照例题解方程:x2-︱x-1︱-1=0.参考答案1.(1) x1=2,x2=-l (2) x1=14,x2=-32.(1) x1=23,x2=-3 (2) x1=12,x2=-13.(1) x1=4,x2=-3 (2) x1=3,x2=-2 4.x1=-73,x2=-535.B 6.C 7.B 8.C 9.(1) x1=5,x2=133(2) x1=-1,x2=-2(3) x1=12,x2=-5 (4) x1=-32,x2=-1 10.周长为9211.(1) x1=ba,x2=ab12.(1)2秒或5秒 (2)7秒13.点拨:(1)当x≥1时,原方程化为x2-x+1-1=0,∴x1=0(舍去),x2=1.(2)当x<l时,原方程化为x2+x-1-1=0,∴x1=-2,x2=1(舍去).∴原方程的根是x1=1,x2=-2.。
2021华东师大版九年级 数学上册23章23.2一元二次方程的解法同步练习题及答案 (2)
华九23.2一元二次方程的解法同步练习第1题. 解一元二次方程2120x x --=,结果正确的是( )A.1243x x =-=,B.1243x x ==-, C.1243x x =-=-,D.1243x x ==,答案:B第2题. 若方程20x m -=有整数根,则m 的值可以是 (只填一个).答案:如0149m =,,,,第3题. 方程220x x -=的解是 .答案:1220x x ==,;第4题. 方程22x x =的解是1x = 、2x = .答案:1202x x ==,;第5题. 解方程:(1)2250x -=;(2)2(3)2x +=.答案:(1)1255x x ==-,;(2)1233x x =-=-.第6题. 已知222(1)4x y ++=,求22x y +.答案:221x y +=.第7题. 用配方法解方程:(1)22740x x --=;(2)23230x x +-=.答案:(1)14x =,212x =-;(2)1x =2x =第8题. 用配方法求代数式257x x -+的最小值.答案:22535724x x x ⎛⎫-+=-+ ⎪⎝⎭ ∴最小值为34.第9题. 用公式法解下列方程(1)230x -+=;(2)21x x +=.答案:(1)12x x ==(2)1x =;2x =.第10题. 用公式法解关于x 的方程22(32)0x m x m n n --+-=.答案:12x m n =+,2x m n =-.第11题. 已知关于x 的方程2(21)0mx m x m -++=有两个实数根,则m 的取值范围是________答案:14m -≥且0m ≠第12题. 方程22(4)60x kx x --+=没有实数根,则k 的取值范围是_______. 答案:116k >且12k ≠第13题. 当m 为何值时,22(2)220x m x m -++-=有两个相等实数根,并求此时方程的解.答案:224(2)8(22)0b ac m m -=+--=,12m ∴=,210m =.当12m =时,方程解为121x x ==;当210m =时,方程根为123x x ==.第14题. 23tan 0x α-+=有两个相等的实数根,则锐角α=________.答案:45第15题. 一张正方形硬纸片,其边长为60cm ,要在它的四个面上各截取一个小正方形后(截取的小正方形边长相等)折成一个底面积为21600cm 的无盖的长方体盒子,求截取的小正方形的边长.答案:解:设边长为cm x ,依题意有2(602)1600x -=解之得110x =,250x =(舍去)答:截取的小正方形边长为10cm .第16题. 一矩形铁片,长是宽的2倍,四角各截去一个相等的小正方形,做成高是5cm ,容积为3300cm 的无盖的长方体盒子,求铁皮的长和宽.答案:解:设宽为cm x ,则长为2cm x .依题意得5(210)(10)300x x --=.第17题. 要做一个容积为3750cm ,高为6cm ,底面长比宽多5cm 的无盖长方体盒子,应选用多大尺寸的长方形铁片?答案:解:设长为cm x ,则宽为()5cm x -,依题意得6(12)(125)750x x ---=.第18题. 竖直上抛物体的高度h 和时间t 符合关系式2012h V t gt =-,其中重力加速度g 以10米/秒2计算.爆竹点燃后以初速度020V =米/秒上升.问经过多长时间爆竹离地15米?答案:解:设x 秒.211520102x x =-⨯第19题. 某物体在做匀速运动时,路程S 与时间t 存在着下列关系式:215S t t =+,试问:当t =_____时,该物体运动了250个单位长度.答案:10第20题. 运动员掷标枪时,为使标枪掷出距离最远,应使标枪与水平线成45角向斜上方抛出,抛出的距离S 与标枪出手速度V 之间满足2210V S =+,若王成掷出了48米的好成绩,请求标枪出手时的速度.答案:解:248210V =+,解之得1V =2V =-(舍去)第21题. 两个数的差等于5,积等于50,则这两个数是______.答案:105--,或510,.第22题. 用一根长44cm 的铁丝,折成一个面积为285cm 的矩形,求此矩形的长和宽?答案:长为17cm ,宽为5cm .第23题. 某工厂制造一种产品,原来每件的成本价是500元,销售价是625元,经市场预测,现在该产品销售价第一个月将降低20%,第二个月比第一个月提高6%,为使两个月后的原销售利润不变,该产品的成本价平均每月应降低百分之几?答案:10%第24题. 某进货单价为40元的商品按50元出售时,能卖500个,若该商品每涨价1元,其销售量减少10个,为了赚8000元利润,售价应定为多少元?答案:60元或80元.第25题. 有一个两位数,它的十位数字与个位数字之和是8,如果把十位数字与个位数字调换后,所得的两位数乘以原来的两位数就得1855,求原来的两位数.答案:35或53.第26题. 某商场今年一月份销售额60万元,二月份由于种种原因,经营不善,销售额下降10%,以后改进了管理,激发了员工积极性,月销售额大幅上升,到四月份销售额反猛增到96万元,求三、四月份平均每月增长率?答案:33.3%第27题. 某经济开发区今年一月份工业产值达50亿元,第一季度总产值达175亿元,问二、三月份平均每月的增长率是多少?设平均每月增长的百分率为x ,根据题意得方程为_________.答案:25050(1)50(1)175x x ++++=第28题. 某服装原价为200元,连续两次涨价%a ,售价为242元,则a 的值为________. A.5 B.10 C.15 D.20答案:B第29题. 某种产品,原来每件的成本是100元,由于连续两次降低成本,现在的成本是81元,则平均每次降价成本( )A.8.5% B.9% C.9.5% D.10%答案:D第30题. 用适当的方法解方程:(1)29(2)16x +=;(2)2(3)6x x +=;(3)21)0x x +=.答案:(1)123x =-,2103x =-;(2)11x =,29x =;(3)1x =21x =-.第31题. 已知12m -=,试解关于x 的方程(1)3(2)(2)mx x x x -+=+-.答案:当3m =时,解为11x =,214x =-;当1m =-时,解为1x =.第32题. 已知方程2()4()()0a x b x c x ----=,求证:(1)此方程必有实数根;(2)若a b c ,,为ABC △的三边,方程有两个相等的实数根,则ABC △为等边三角形.答案:证明:(1)222248()()()0b ac a b b c a c ⎡⎤-=-+-+-⎣⎦≥.∴必有实数根.(2)方程有两个相等的实数根,240b ac ∴-=.a b c ∴==,ABC ∴△为等边三角形.(8715)第33题. 已知22560x xy y --=(0x ≠),求y x 的值.答案:1-或56第34题. 已知三角形两边长分别为3和8,第三边的数值是一元二次方程217660x x -+=的根,求此三角形的周长.答案:17第35题. 下列方程中,没有实数根的是( ) A.112x x-= B.212y y +=C.260x x --=220+=答案:D第36题. 已知方程2720ax x +-=的一根是2-,那么a 的值是_______,方程的另一根为__________.答案:144,第37题. 长方形的长比宽多2cm ,面积为248cm ,则它的周长是______.答案:28cm第38题. 当x =______答案:5-第39题. 若2326x x -+的值为8,则代数式2312x x -+的值是_______.答案:2第40题. 代数式2(21)2(1)4m x m x -+++是完全平方式,则m =_______.答案:1或5。
23.2.2_一元二次方程的解法(二)因式分解法解
23.2.2一元二次方程的解法(二)教学目标1、会用直接开平方法解形如b-2)a=((a≠0,a b≥0)的方程;xk2、灵活应用因式分解法解一元二次方程。
3、使学生了解转化的思想在解方程中的应用,渗透换远方法。
研讨过程一、复习练习:1、什么是直接开平方法?请举例说明。
2、你能解以下方程吗?(1)8-x2= —1 (2)3y2—18=0(3) x(x-1)+4x=0 (4)—3x2—27=0二、例题讲解与练习你是怎样解方程()21256x+=的?解:1、直接开平方,得x+1=所以原方程的解是x1=,x2=2、原方程可变形为()212560x+-=方程左边分解因式,得(x+1+16) =0即可(x+17) =0所以x+17=0, =0原方程的蟹 x1=,x2=练习:解下列方程(1)(x+1)2-4=0;(2)12(2-x)2-9=0. (3)(x+2)2-16=0;(4)(x-1)2-18=0;(5)(1-3x)2=1;(6)(2x+3)2-25=0.三、读一读小张和小林一起解方程 x (3x +2)-6(3x +2)=0. 小张将方程左边分解因式,得(3x +2)(x -6)=0,所以 3x +2=0,或x -6=0.方程的两个解为 x 1=32-, x 2=6.小林的解法是这样的:移项,得 x(3x +2)=6(3x +2),方程两边都除以(3x+2),得 x =6.小林说:“我的方法多简便!”可另一个解x 1=32-哪里去了? 小林的解法对吗?你能解开这个谜吗?四、讨论、探索:解下列方程(1)(x+2)2=3(x+2) (2)2y(y-3)=9-3y (3)( x-2)2 -x+2 =0(4)(2x+1)2=(x-1)2 (5)49122=+-x x 。
练习:解下列方程1) 2 (x+3)2=6(x+3) 2) (2x+3)2=(4-2x)2 3) x(3x+1)=9x+3本课小结这节课你学到了什么?你认为应该注意哪些?布置作业:习题1(5、6)习题2(1、2)课后反思:23.2.2一元二次方程的解法(因式分解法) ◆随堂检测1. 一元二次方程230x x +=的解是_____.A. 3x =-B. 120,3x x ==C. 120,3x x ==-D. 3x =2. 方程2(3)5(3)x x x -=-的根是_____. A.52x =B. 3x =C. 125,32x x ==D. 52x =- 3. 当a =______时,22410x x a ++-=是关于x 的完全平方式.4. 下列方程中,不适合用因式分解法的是_____.A.2210x x -+=B. 2210x x --=C.2430x x -+=D. 240x -= ◆典例分析用因式分解法解方程:222()8()120x x x x ---+=解:22(6)(2)0x x x x ----=, (3)(2)(2)(1)0x x x x -+-+=,则30202010x x x x -=+=-=+=或或或,所以12343,2,2,1x x x x ==-==-。
华师大版-数学-九年级上册-23.2 一元二次方程的解法 课下作业 第2课时
《九年级上第23章第2节一元二次方程的解法》课下作业第2课时1.用配方法解一元二次方程,二次项系数( )变为1,常数项( )移到方程的右侧,然后左右两边同时加上( ),再利用( )法求解方程。
A .必须,可以,一次项系数一半的平方,因式分解法 B .必须,必须,一次项系数一半的平方,直接开平方法 C .必须,必须,一次项系数的平方,因式分解法 D .可以,必须,一次项系数的平方,直接开平方法2.用配方法解方程x 2 – 4x + 1= 0时,方程变形正确的是( )A .(x + 2)2 = 3B .(x + 2)2 = 5C .(x – 2)2 = 3D .(x – 2)2 = 53.用配方法解关于x 的方程x 2+mx +n =0,此方程可变形为( )A .44)2(22m n m x -=+B .44)2(22nm m x -=+C . 24)2(22nm m x -=+D .24)2(22m n m x -=+4.x 2-7x+________是一个完全平方式,则____________内应填( ). A.49B.492 C. 494D.4985.x 2+(2m-1)x+12是一个完全平方式,则m=( ). A.3,4 B,3,-4C.1m =2m =D. 1m =2m =6.把方程4x 2-6x+13=0变为2()x m n +=的形式,正确的是( )A.23()12x -=-B.23()12x -= C.2343()416x -=D.2343()416x -=-7.用配方法解方程21202x x +-=时,配方后方程右边的数是( ). A.316 B.316-C.516D.516-8. 用配方法解方程: 2x 2 – 5x + 2 = 0.结果是x 1=( ),x 2=( ).A.1,22B.1,22-C.1,22- D.1,22--9. x 2+4x+ =(x+ )2.10. x 2-3x+ =(x - )2;11. x 2+mx+ =(x+ )212.y 2+ y+254=(y - )213.如果二次三项式16)122++-x m x (是一个完全平方式,那么m 的值是_______________14.用配方法证明:代数式-3x2-x+1的值不大于1312。
华师大版-数学-九年级上册-23.2 一元二次方程的解法 课堂作业 第2课时
《九年级上第23章第2节一元二次方程的解法》课堂作业第2课时1.把方程x 2+3=4x 配方,得( )A .(x-2)2=7B .(x+2)2=1C .(x-2)2=1D .(x+2)2=2答案:C解析:x 2+3=4x 则x 2-4x =-3 x 2-4x+4=-3+4 (x-2)2=1用配方法解一元二次方程的一般步骤:①化二次项系数为1;②移项,使方程左边为二次项和一次项,右边为常数项;③方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方;④把原方程变为(x+m)2=n 的形式;⑤如果右边是非负数,就可直接用开平方法求出方程的解.2.把方程x 2-6x+5=0化成(x+m )2=n 的形式,则m 、n 分别是( )A .3,4B .-3,4C .3,-4D .-3,-4答案:B 。
解析:x 2-6x+5=0 x 2-6x =-5 x 2-6x+9=-5+9 (x-3)2=4,所以m =-3,n =4.3.用配方法解方程:x 2+8x+7=0,答案:将原方程变形为x 2+8x+7=0,移项,得x+8x =-7,配方,得x+8x+4=-7+4,即(x+4)=9,两边开平方,得x+4=±3.因此,原方程的解是x 1=-7,x 2=-1.解析:把方程化成左边为二次项和一次项,右边为常数项的形式,再在方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方,然后把原方程变为(x+m)2=n 的形式,最后用直接开平方法求解。
4. 已知关于x 的二次三项式4x 2-(k+2)x+9是—个完全平方式,求k 的值.答案:方法一:根据完全平方式的特点,原二次三项式可写成(2x )2-(k+2)x+32,所以中间一项-(k+2)x =2×2x ×3,解之得:k 为10或-14.方法二:利用配方法,把原二次三项式提公因式4,变为229444k x x +⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦,4是2的平方,则使二次三项式22944k x x +-+为一个代数式的平方即可,则29248k +⎛⎫= ⎪⎝⎭,解之得k 为10或-14. 解析:把第一项和第三项化成平方形式,找出第一项和第三项的底数后,明确中间一项的绝对值等于这两个底数乘积的2倍,要注意完全平方式中间一项的符号有两种情况。
华师大版数学九年级上册22.2一元二次方程的解法(公式法) 练习2
华师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法〔公式法〕练习题一、选择题1.用公式法解方程x 2-3x=1,得到〔 〕.A .x=32±B .x=32±C .x=32-± D .2、方程x 2+x=1的一个根是〔〕A、1 C、1- 3.方程 x 2+4 x -6 =0的根是〔 〕.A、2- B、2-± C、2± D、2±4.〔m 2-n 2〕〔m 2-n 2-2〕-8=0,那么m 2-n 2的值是〔 〕.A .4B .-2C .4或-2D .-4或25、如果一元二次方程20,(0)ax bx c a ++=≠能用公式法求解,那么必须满足的条件是〔 〕 A、240b ac -≥ B 、240b ac -≤ C 、240b ac -> D 、240b ac -<二、填空题1、用求根公式解方程x 2+8x+15=0,得24b ac -= ,x = ,所以x 1= ,x 2= ,2.当x=______时,代数式x 2-8x+12的值是-4.3.假设关于x 的一元二次方程〔m-1〕x 2+x+m 2+2m-3=0有一根为0,那么m 的值是_____. 4、当x=______时,代数式5x 2-7x+1和x 2-9x+15的值相等。
5、方程x 2-3x +2=0,当x>0时,原方程化为 ,解之得x = ;当x<0时,原方程化为 ,解之得x = ;三、解答题1、用公式法解以下方程.〔1〕2x 2-x-1=0 〔2〕x 2+1.5=-3x (3) x 2- x-4 =0 〔4〕4x 2-3x+2=02、某数学兴趣小组对关于x 的方程〔m+1〕22m x ++〔m-2〕x-1=0提出了以下问题.〔1〕假设使方程为一元二次方程,m 是否存在?假设存在,求出m 并解此方程.〔2〕假设使方程为一元一次方程m 是否存在?假设存在,请求出.你能解决这个问题吗?3、某电厂规定:该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时,•那么这户居民这个月只交10元电费,如果超过A 千瓦时,那么这个月除了交10•元用电费外超过局部还要按每千瓦时100A 元收费.〔1〕假设某户2月份用电90千瓦时,超过规定A 千瓦时,那么超过局部电费为多少元?〔用A 表示〕〔2〕下表是这户居民3月、4月的用电情况和交费情况4、为丰富居民业余生活,某居民区组建筹委会,该筹委会发动居民自愿集资建立一个书刊阅览室。
华师大版-数学-九年级上册-23.2.2 一元二次方程的解法(2)课堂练习评测
23.2.2 一元二次方程的解法(2)课堂练习评测(检验学习效果的时候到了,快试试身手吧) 知识点1:用配方法解一元二次方程1、把方程2830x x -+=化成()2x m n +=的形式,则m 、n 的值是( )A 、4,13B 、-4,19C 、-4,13D 、4,19答案:C2、下面是甲、乙、丙三位同学用配方法解一元二次方程的配方过程:甲:2220x x +-= 解:222120x x ++-=,()212x +=乙:24650x x -+=解:222463350x x -+-+=,()2234x -= 丙:24650x x -+=解:235024x x -+=,222333502224x x ⎛⎫⎛⎫-+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 2312x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭ 其中正确的是( )A 甲B 乙C 丙D 都不正确答案:D知识点2:一元二次方程的求根公式3、关于x 的一元二次方程02=+k x 有实数根,则( )A 、k <0B 、k >0C 、k ≥0D 、k ≤0答案:D4、若一元二次方程02622=+---m x m m x 有两个相等的实数根,则m = . 答案:-2;知识点3:用公式法解一元二次方程5、选择适当方法解下列方程:⑴().6132=+x ⑵()().863-=++x x ⑶0142=+-x x⑷01432=--x x ⑸()()()()5211313+-=+-x x x x知识点4:判断一元二次方程根的情况6、已知关于x 的方程012)62(822=-+-+-m x m m x 的两根互为相反数,则m= .答案:-27、a 、b 、c 分别是三角形的三边,则方程()022=++++b a cx x b a 的根的情况是( ) A .没有实数根 B .可能有且只有一个实数根C .有两个相等的实数根D .有两个不相等的实数根 答案:A8、不解方程,判别下列方程的根的情况:(1)04x 3x 22=-+; (2)y 249y 162=+; (3)0x 7)1x (52=-+. 解:(1)∵a =2,b =3,c =-4,∴041)4(243ac 4b 22>=-⨯⨯-=-.∴方程有两个不相等的实数根.(2)∵a =16,b =-24,c =9,∴09164)24(ac 4b 22=⨯⨯--=-.∴方程有两个相等的实数解.(3)将方程化为一般形式0x 75x 52=-+,05x 7x 52=+-.∵a =4,b =-7,c =5,∴554)7(ac 4b 22⨯⨯--=-=49-100=-51<0.∴方程无实数解.。
华师大版-数学-九年级上册-23.2 一元二次方程的解法(2)(配方法B) .
华师大版 九年级(上) 《 第二十三章·一元二次方程 》 第二节 23.2一元二次方程的解法-2(配方法B ) 作业一、积累·整合1.一元二次方程2210x x -+=的根为 。
2.关于x 的代数式x 2+(m+2)x+(4m-7)中,当m=_______时,代数式为完全平方式.3.已知a 2+3a=7,b 2+3b=7,且a≠b,则a+b=_______.4.方程2x 2-3x+1=0经变形为(x+a)2=b,正确的是( ) A. 23162x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; B.2312416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; C. 231416x ⎛⎫-= ⎪⎝⎭; D.以上都不对5.把方程2890x x ++=配方后得 ( )A .2(4)7x +=B .2(4)25x +=C .2(4)9x +=-D .2(8)7x +=6.一元二次方程x 2-2x -m =0,用配方法解该方程,配方后的方程为()A.(x -1)2=m 2+1B.(x -1)2=m -1C.(x -1)2=1-mD.(x -1)2=m+1二、拓展·应用7.已知xy =9,x -y =-3,则x 2+3xy +y 2的值为( )A.27B.9C.54D.188.如果24410x x -+=,那么4x 等于 ( )A.-2B.2C.4D.-2或49.解下列方程8y 2-2=4y (配方法)10.你能找到适当的x 的值使得多项式A =4x 2+2x -1与B =3x 2-2相等吗?三、探索·创新11.27.用配方法说明不论m 为何值m 2-8m+20的值都大于零。
【答案与解析】1.1x =±2.4或83.-34. C5.A6.D7. C8. B9. 解:原方程没有实数解10.解:若A=13,即4x2+2x-1=3x2-2整理,得x2+2x+1=0∴(x+1)2=0,∴x1=x2=-1∴当x=-1时,A=13.11.由于m2-8m+20=(m-4)2+4>0,故不论m为何值m2-8m+20的值都大于零。
华师大版-数学-九年级上册-23.2 一元二次方程的解法(2)(配方法A)
华师大版 九年级(上) 《 第二十三章·一元二次方程 》 第二节 23.2一元二次方程的解法-2(配方法A ) 作业一、积累·整合1.配方法解一元二次方程的基本思路是:(1)先将方程配方(2)如果方程左右两边均为非负数则两边同时开平方,化为两个__________(3)再解这两个__________2.用配方法解方程x 2+2x -1=0时①移项得__________________②配方得__________________即(x +__________)2=__________③x +__________=__________或x +__________=__________④x 1=__________,x 2=__________3.用配方法解方程2x 2-4x -1=0①方程两边同时除以2得__________②移项得__________________③配方得__________________④方程两边开方得__________________⑤x 1=__________,x 2=__________4.填写适当的数使下式成立.①x 2+6x +______=(x +3)2②x 2-______x +1=(x -1)2③x 2+4x +______=(x +______)2 5.若x 2=225,则x 1=________,x 2=______.6.若9x 2-25=0,则x 1=________,x 2=_______.7.下列方程中不含一次项的是( )A.3x 2-8=4xB.1+7x =49x 2C.x (x -1)=0D.(x +3)(x -3)=0二、拓展·应用8.方程2x 2-3=0的一次项系数是( )A.-3B.2C.0D.39.方程3x 2-1=0的解是( )A.x =±31B.x =±3C.x =±33D.x =±310.方程27252 x =0的解是( ) A.x =57 B.x =±57 C.x =±535 D.x =±57 三、探索·创新11.x 2+5x -1=012.41x 2-6x +3=0 【答案与解析】 1.一元一次方程 一元一次方程2.x 2+2x =1 x 2+2x +1=1+1 1 1 1 0 -23.x 2-2x -21=0 x 2-2x =21 x 2-2x +1=23 (x -1)2=23 26+1 -26+1 4.①9 ②2 ③45.15 ; -156.35; 357. D8. C9. C10.C11.解:x 2+5x=1x 2+5x+429425= (x+25)2=429∴x+25=±229∴x 1=2529,2529--=-x 12.解:x 2-24x+12=0x 2-24x=-12x 2-24x+144=132(x -12)2=132x -12=±233∴x 1=233+12,x 2=-233+12。
华师大版-数学-九年级上册---23.2一元二次方程的解法
23.2一元二次方程的解法一、选择题 1.(2010江苏苏州)下列四个说法中,正确的是( )A .一元二次方程2452x x ++=有实数根;B .一元二次方程245x x ++=C .一元二次方程2453x x ++=有实数根; D .一元二次方程x 2+4x+5=a(a ≥1)有实数根. 【答案】D2.(2010安徽芜湖)关于x 的方程(a -5)x 2-4x -1=0有实数根,则a 满足() A .a ≥1 B .a >1且a ≠5 C .a ≥1且a ≠5 D .a ≠5 【答案】A3.(10湖南益阳)一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 有两个不相等...的实数根,则ac b 42-满足的条件是A.ac b 42-=0 B.ac b 42->0C.ac b 42-<0 D.ac b 42-≥0 【答案】B4.(2010山东日照)如果关于x 的一元二次方程x 2+px +q =0的两根分别为x 1=2,x 2=1,那么p ,q 的值分别是(A )-3,2 (B )3,-2 (C )2,-3 (D )2,3 【答案】A5.(2010四川眉山)已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ,则1212x x x x +-⋅的值为A .7-B .3-C .7D .3【答案】D6.(2010台湾) 若a 为方程式(x -17)2=100的一根,b 为方程式(y -4)2=17的一根, 且a 、b 都是正数,则a -b 之值为何?(A) 5 (B) 6 (C) 83 (D) 10-17 。
【答案】B7.(2010浙江杭州)方程 x 2+ x – 1 = 0的一个根是 A. 1 –5 B. 251- C. –1+5 D. 251+-【答案】D8.(2010 嵊州市)已知n m ,是方程0122=--x x 的两根,且8)763)(147(22=--+-n n a m m ,则a 的值等于 ( )A .-5 B.5 C.-9 D.9 【答案】C9.(2010年上海)已知一元二次方程 x 2+ x ─ 1 = 0,下列判断正确的是( ) A.该方程有两个相等的实数根 B.该方程有两个不相等的实数根 C.该方程无实数根 D.该方程根的情况不确定 【答案】B10.(2010年贵州毕节)已知方程20x bx a ++=有一个根是(0)a a -≠,则下列代数式的值恒为常数的是( ) A .ab B .abC .a b +D .a b - 【答案】D.11.(2010湖北武汉)若12,x x 是方程2x =4的两根,则12x x +的值是( ) A.8 B.4 C.2 D.0 【答案】D12.(2010 山东滨州) 一元二次方程x 2+kx-3=0的一个根是x=1,则另一个根是( )A.3B.-1C.-3D.-2 【答案】C 13.(2010山东潍坊)关于x 的一元二次方程x2-6x +2k =0有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是( ).A .k ≤92B .k <92C .k ≥92D .k >92【答案】B14.(2010湖南常德)方程2560x x --=的两根为( )A . 6和-1B .-6和1C .-2和-3D .2和3 【答案】A15.(2010云南昆明)一元二次方程220x x +-=的两根之积是( )A .-1B .-2C .1D .2 【答案】B16.(2010四川内江)方程x (x -1)=2的解是A .x =-1B .x =-2C .x 1=1,x 2=-2D .x 1=-1,x 2=2【答案】D17.(2010 湖北孝感)方程112,022x x x x 下面对的一较小根为=--的估计正确的是 ( ) A .121-<<-x B .011<<-xC .101<<xD .211<<x【答案】B18.(2010 内蒙古包头)关于x 的一元二次方程2210x mx m -+-=的两个实数根分别是12x x 、,且22127x x +=,则212()x x -的值是( ) A .1B .12C .13D .25【答案】C19.(2010广西桂林)一元二次方程2340x x +-=的解是 ( ).A .11x =,24x =-B .11x =-,24x =C .11x =-,24x =-D .11x =,24x =【答案】A20.(2010贵州铜仁)已知x =0是方程x 2+2x +a =0的一个根,则方程的另一个根为( ) A .-1 B .1 C .-2 D .2 【答案】C 21.(2010黑龙江绥化)方程(x-5)(x-6)=x-5的解是( )A.x=5B.x=5或x=6C.x=7D.x=5或x=7 【答案】D 二、填空题1.(2010甘肃兰州) 已知关于x 的一元二次方程01)12=++-x x m (有实数根,则m 的取值范围是 . 【答案】514m m ≤≠且 2.(2010江苏苏州)若一元二次方程x 2-(a+2)x+2a=0的两个实数根分别是3、b ,则a+b= . 【答案】53.(2010江苏南通)设x 1、x 2 是一元二次方程x 2+4x -3=0的两个根,2x 1(x 22+5x 2-3)+a =2,则a = .【答案】84.(2010山东烟台)方程x 2-2x-1=0的两个实数根分别为x 1,x 2,则(x 1-1)(x 1-1)=_________。
数学九年级上华东师大版23.2一元二次方程的解法同步练习
23.2 一元二次方程的解法同步练习【知能点分类训练】知能点1 配完全平方式1.完全平方式是_______项式,其中有______是完全平方项,________•项是这两个数〔式〕乘积的2倍.2.x 2+mx+9是完全平方式,那么m=_______.3.4x 2+12x+a 是完全平方式,那么a=________.4.把方程x 2-8x -84=0化成〔x+m 〕2=n 的形式为〔 〕.A .〔x -4〕2=100B .〔x -16〕2=100C .〔x -4〕2=84D .〔x -16〕2=84知能点2 用配方法解方程5.方程3x 2+2x -6=0的左边配成一个完全平方式后,所得的方程是〔 〕. 2222237237.().()61861823521.().()6618618A x B x C x D x +=-+=+=+= 6.如果二次三项次x 2-16x+m 2是一个完全平方式,那么m 的值是〔 〕.A .±8B .4C .-22D .±227.用配方法解方程:〔1〕2x 2-x=0; 〔2〕x 2+3x -2=0.8.判断题.〔1〕x 2+23x -19=〔x+23〕2+59 〔 〕 〔2〕x 2-4x=〔x -2〕2+4 〔 〕〔3〕12y 2+y+12=〔y+1〕2 〔 〕 〔4〕mx 2-x+1n =m 〔x 2-21114)()24n m x m x m n m mn -+=-- 〔 〕 9.一长方形的面积是8,周长是12,求这个长方形的长与宽.【综合应用提高】10.〔x 2+y 2〕〔x 2+y 2+2〕-8=0,那么x 2+y 2的值是〔 〕.A .-4B .2C .-1或4D .2或-411.用配方法解方程.〔1〕3x2-2x-4=0;〔2〕〔3x-2〕2-2〔3x-2〕=15.12.用配方法说明-3x2+12x-16的值恒小于0.13.阅读题.解方程x2-4│x│-12=0.解:〔1〕当x≥0时,原方程为x2-4x-12=0,配方得〔x-2〕2=16,两边平方得x-2=±4,∴x1=6,x2=-2〔不符合题意,舍去〕.〔2〕当x<0时,原方程为x2+4x-12=0,配方得〔x+2〕2=16,两边开平方得x+2=±4,∴x1=-6,x2=2〔不符合题意,舍去〕,∴原方程的解为x1=6,x2=-6.参照上述例题解方程x2-2│x-1│-4=0.14.用配方法解关于x的方程x2+mx+n=0.【开放探索创新】15.设代数式2x2+4x-3=M,用配方法说明:无论x取何值时,M总不小于一定值,并求出该定值.【中考真题实战】16.〔江西〕完成以下配方过程:x 2+2px+1=[x 2+2px+〔 〕]+〔 〕=[x+〔 〕] 2+〔 〕.17.〔嘉峪关〕用换元法解方程〔1x x +〕2-51x x ++4=0时,假设设1x x +=y ,那么原方程可化为___________________.18.〔河北〕假设将二次函数y=x 2-2x+3配方为y=〔x -y 〕2+k 的形式,那么y=________.19.〔四川〕解方程x 2+3x=10.20.〔大连〕方程11x -=1的解是k ,求关于x 的方程x 2+kx=0的解.答案:1.一般为三 两项 一2.±6 点拨:m=±2×1×3=±6.3.94.A 点拨:所配上的项是一次项系数一半的平方.5.B6.A 点拨:二次三项式是完全平方式,那么常数项是一次项系数一半的平方.7.〔1〕2x 2-x=0,x 2-12x=0,x 2-12x+116=+116, 〔x -14〕2=116, x -14=±14,x=14±14, ∴x 1=12,x 2=0. 〔2〕x 2+3x -2=0,x 2+3x=2. x 2+3x+〔32〕2=2+〔32〕2, 〔x+32〕2=174, ∴x+32=±172,x=-32±172. ∴x 1=2317317,22x -+--=. 8.〔1〕× 〔2〕× 〔3〕× 〔4〕∨9.设长方形的长为x ,那么宽为〔6-x 〕.根据题意得x 〔6-x 〕=8.解得x 1=2,x 2=4,那么6-x=4或2.故长方形的长为4,宽为2.10.B 点拨:可把x 2+y 2看做一个整体,设为M ,那么方程变为M 〔M+2〕-8=0,那么M 2+2M -8=0,∴M=2或M=-4,∵M=x 2+y 2>0,∴M ≠-4.11.〔1〕3x 2-2x=4,x 2-23x=43, x 2-23x+〔26〕2=43+〔26〕2, 〔x -13〕2=139, ∴x -13=±133, x=13±133, ∴x 1=2113113,33x +-=. 〔2〕设3x -2=y ,那么原方程可化为y 2-2y=15,y 2-2y+12=15+12,〔y -1〕2=16,y -1=±4,∴y=1±4,即y 1=5,y 2=-3,∴3x -2=5或3x -2=-3,∴x 1=73,x 2=-13. 12.-3x 2+12x -16=-3〔x 2-4x 〕-16,=-3〔x 2-4x+4-4〕-16,=-3〔x -2〕2+12-16,=-3〔x -2〕2-4,∵〔x -2〕2≥0,∴-3〔x -2〕2-4<0,∴-3x 2+12x -16的值恒小于0.13.当x -1≥0时,即x ≥1时,原方程可化为x 2-2〔x -1〕-4=0,x 2-2x -2=0,x 2-2x+1=+2+1,∴x 2-2x+1=3,〔x -1〕2=3,∵x -1=±3,∴x 1=1+3,x 2=1-3.∵x 2=1-3<0〔不符合题意,舍去〕,∴x=1+3.当x -1<0时,原方程可化为x 2-2〔1-x 〕-4=0,x 2-2+2x -4=0,x 2+2x=+6,x 2+2x+1=6+1,〔x+1〕2=7,∴x+1=±7,∴x 1=-1+7,x 2=-1-7.∵x=-1+7>1〔不符合题意,舍去〕,∴x=-1-7.∴原方程的解为x 1=1+3,x 2=-1-7.14.x 2+mx+n=0,x 2+mx=-n ,x 2+mx+〔2m 〕2=-n+〔2m 〕2, 〔x+2m 〕2=-n+24m , 〔x+2m 〕2=244m n , 当m 2-4n ≥0时,x+2m =±242m n -, ∴x 1=22244,22m m n m m n x -+----=. 当m 2-4n<0时,原方程无解.15.M=2x 2+4x -3=2〔x 2+2x 〕-3=2〔x 2+2x+1-1〕-3=2〔x+1〕2-5∵〔x+1〕2≥0,∴2〔x+1〕2-5≥-5,即M ≥-5,∴无论x 取何值时,M ≥-5,该定值为-5.16.p 2 1-p 2 p 1-p 217.y 2-5y+4=018.〔x -1〕2+2 19.x 2+3x+〔32〕2=10+94, 〔x+32〕2=494, x+32=±72, x=-32±72, ∴x 1=2,x 2=-5,20.11x -=1, 方程两边同时乘以〔x -1〕,得1=x -1,解得x=2.经检验x=2是原方程的解,所以原方程的解为x=2,即k=2,把k=2代入x 2+kx=0,得x 2+2x=0,解得x 1=0,x 2=-2.。
华师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法(因式分解法)练习题(有答案)
华师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法(因式分解法)练习题一、选择题1、方程(3)(1)3x x x -+=-的解是( )A .0x =B .3x =C .3x =或1x =-D .3x =或0x = 2、方程29180x x -+=的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个三角形的周长为( )A .12B .12或15C .15D .不能确定3、下面一元二次方程解法中,正确的是( ).A .(x-3)(x-5)=10×2,∴x-3=10,x-5=2,∴x 1=13,x 2=7B .(2-5x )+(5x-2)2=0,∴(5x-2)(5x-3)=0,∴x 1=25 ,x 2=35C .(x+2)2+4x=0,∴x 1=2,x 2=-2D .x 2=x 两边同除以x ,得x=14、下列命题①方程kx 2-x-2=0是一元二次方程;②x=1与方程x 2=1是同解方程;③方程x 2=x 与方程x=1是同解方程;④由(x+1)(x-1)=3可得x+1=3或x-1=3,其中正确的命题有( ).A .0个B .1个C .2个D .3个5、一元二次方程2520x x -=的解是( )A .x 1 = 0 ,x 2 =25 B . x 1 = 0 ,x 2 =52- C .x 1 = 0 ,x 2 =52 D . x 1= 0 ,x 2 =25- 6、三角形两边的长是3和4,第三边的长是方程212350x x -+=的根,则该三角形的周长为( )A .14B .12C .12或14D .以上都不对 7、方程062=-+x x 的解为( )A.2321=-=,xx B.2321-==,x x C.3321-==,x x D.2221-==,x x 二、填空题1、方程)52(3)52(2+=+x x 的解是 ;2、方程025102=+-x x 的解是 ;3、方程()012000199819992=-⨯-x x 的较大根为r ,方程01200820072=+-x x 的较小根为s ,则s-r 的值为 。
九年级数学上册 22.2《一元二次方程的解法》同步练习2 (新版)华东师大版
一元二次方程的解法(2)双基演练1.分解因式:(1)x2-4x=_________;(2)x-2-x(x-2)=________(3)m2-9=________;(4)(x+1)2-16=________2.方程(2x+1)(x-5)=0的解是_________3.方程2x(x-2)=3(x-2)的解是___________4.方程(x-1)(x-2)=0的两根为x1·x2,且x1>x2,则x1-2x2的值等于_______ 5.已知y=x2+x-6,当x=________时,y的值为0;当x=________时,y的值等于24.6.方程x2+2ax-b2+a2=0的解为__________.7.若(2x+3y)2+3(2x+3y)-4=0,则2x+3y的值为_________.8.方程x(x+1)(x-2)=0的根是()A.-1,2 B.1,-2 C.0,-1,2 D.0,1,29.若关于x的一元二次方程的根分别为-5,7,则该方程可以为()A.(x+5)(x-7)=0 B.(x-5)(x+7)=0C.(x+5)(x+7)=0 D.(x-5)(x-7)=010.已知方程4x2-3x=0,下列说法正确的是()A.只有一个根x=34B.只有一个根x=0C.有两个根x1=0,x2=34D.有两个根x1=0,x2=-3411.解方程2(5x-1)2=3(5x-1)的最适当的方法是()A.直接开平方法 B.配方法 C.公式法 D.分解因式法12.方程(x+4)(x-5)=1的根为()A.x=-4 B.x=5 C.x1=-4,x2=5 D.以上结论都不对13.用适当的方法解下列方程.(1)x2-2x-2=0 (2)(y-5)(y+7)=0(3)x(2x-3)=(3x+2)(2x-3)(4)(x-1)2-2(x2-1)=0(5)2x 2x (6)2(t -1)2+t=1● 能力提升14.(x 2+y 2-1)2=4,则x 2+y 2=_______.15.方程x 2=│x│的根是__________.16.方程2x (x -3)=7(3-x )的根是( )A .x=3B .x=72C .x 1=3,x 2=72D .x 1=3,x 2=-7217.实数a 、b 满足(a+b )2+a+b -2=0,则(a+b )2的值为( )A .4B .1C .-2或1D .4或118.阅读下题的解答过程,请判断是否有错,若有错误请你在其右边写出正确的解答. 已知:m 是关于x 的方程mx -2x+m=0的一个根,求m 的值.解:把x=m 代入原方程,•化简得m 3=m ,两边同除以m ,得m 2=1,∴m=1,把m=1代入原方程检验可知:m=1符合题意.•答:m 的值是1.19.若规定两数a 、b 通过“※”运算,得到4ab ,即a ※b=4ab ,例如2※6=4 ×2 ×6=48(1)求3※5的值;(2)求x ※x+2※x -2※4=0中x 的值;(3)若无论x 是什么数,总有a ※x=x ,求a 的值.作用.● 聚焦中考20.(南宁)方程20x x -=的解为 . 21.(内江)方程x (x+1)=3(x+1)的解的情况是( )A .x=-1 B.x=3 C.3,121=-=x x D.以上答案都不对22.(兰州)在实数范围内定义一种运算“*”,其规则为22b a b a -=*,根据这个规则,方程05)2(=+*x 的解为 。
华师大版数学九年级上册22.2一元二次方程的解法(直接开平方法) 练习2
华师大版九年级上册一元二次方程的解法〔直接开平方法〕练习题一、选择题1、方程240x -=的根是〔 〕A .2x =B .2x =-C .1222x x ==-,D .4x = 2、方程有一个根是,那么以下代数式的值恒为常数的是〔 〕 A . B . C . D .3、某公司一月份营业额为1万元,第一季度总营业额为3.31万元,求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少?设二、三月份营业额平均增长率是x ,列方程为〔 〕A 、31.3)1(2=+xB 、31.3)1()1(2=+++x xC 、31.3)1()1(12=++++x xD 、31.3)1(2=+x4、为了改善居民住房条件,我市方案用未来两年的时间,将城镇居民的住房面积由现在的人均约为210m 提高到212.1m ,假设每年的年增长率一样,那么年增长率为〔 〕A .9%B .10%C .11%D .12%5、某种衬衣的价格经过连续两次降价后,由每件150元降至96元,平均每次降价的百分率是:A. 20%B. 27%C. 28%D. 32%二、填空题1、如果242=x ,那么=x ;如果100812=x ,那么=x ; 如果2112=x ,那么=x ;2、关于x 的方程03)2(22=+--m x m 是一元二次方程,那么m= ;3、x = 1是一元二次方程02=++n mx x 的一个根,那么 222n mn m ++的值为 .4、为应对金融危机,拉动内需,湖南省人民政府定今年为“湖南旅游年〞. 青年旅行社3月底组织赴凤凰古城、张家界风景区旅游的价格为每人1000元,为了吸引更多的人赴凤凰、张家界旅游,在4月底、5月底进展了两次降价,两次降价后的价格为每人810元,那么这两次降价的平均降低率为 .5、某旅游景点三月份共接待游客25万人次,五月份共接待游客64万人次,每月的平均增长率为 ;三、解答题1、解以下方程〔1〕0832=-x 〔3〕049)3(252=--x〔3〕06)2(212=++-x2、在实数范围内定义运算“⊕〞,其法那么为:22a b a b ⊕=-,求方程〔4⊕3〕⊕24x =的解.3、某企业2006年盈利1500万元,2021年克制全球金融危机的不利影响,仍实现盈利2160万元.从2006年到2021年,如果该企业每年盈利的年增长率一样,求:〔1〕该企业2007年盈利多少万元?〔2〕假设该企业盈利的年增长率继续保持不变,预计2021年盈利多少万元?华师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法〔直接开平方法〕练习题答案一、选择题CACBA二、填空题1、± 2、±0.9 3、±4、10% 5、60% 三、解答题〔1〕± 〔2〕225,85〔3〕2-±2、5±3、〔1〕1800,〔2〕2592。
华师大版数学九年级上册22.2一元二次方程的解法(配方法) 练习2
华师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法〔配方法〕练习题一、选择题1.将二次三项式x 2-4x+2配方后得〔 〕.A .〔x-2〕2+2B .〔x-2〕2-2C .〔x+2〕2+2D .〔x+2〕2-22.x 2-8x+15=0,左边化成含有x 的完全平方形式,其中正确的选项是〔 〕.A .x 2-8x+〔-4〕2=31B .x 2-8x+〔-4〕2=1C .x 2+8x+42=1D .x 2-4x+4=-113.如果mx 2+2〔3-2m 〕x+3m-2=0〔m ≠0〕的左边是一个关于x 的完全平方式,那么m 等于〔 〕.A .1B .-1C .1或9D .-1或94、如果二次三项式226x x m -+是一个完全平方式,那么m 的值是〔〕A、9 B、3 C、—3 D、±35、以下配方中,错误的选项是〔〕A、22990x x --=化为2(1)100x -=;B 、22740x x --=化为2781()416x -=; C 、2890x x ++=化为2(4)25x +=;D 、23420x x --=化为2210()39x -=; 6、x 2+y 2+z 2-2x+4y-6z+14=0,那么x+y+z 的值是〔 〕.A .1B .2C .-1D .-2二、填空题1.方程x 2+4x-5=0的解是________.2.代数式x 2+10x+9 的值为0,那么x 的值为________.3.〔x+y 〕〔x+y+2〕-8=0,求x+y 的值,假设设x+y=z ,那么原方程可变为_______,所以求出z 的值即为x+y 的值,所以x+y 的值为______.4、28x x ++ =(x + 〕25、2246130x x y y -+++=,且点P 〔x ,y 〕在函数k y x=的图象上,那么K的值为 ; 6、无论x 、y 取任何实数,多项式x 2+y 2-2x-4y+16的值总是_______数.三、解答题1.解以下方程〔1〕249960x x --= 〔2〕22730x x ++= 〔3〕22103x x +-= 〔4〕2152036x x --= 2、三角形两边长分别为2和4,第三边是方程x 2-4x+3=0的解,求这个三角形的周长. 3.如果x 2-4x+y 2+6y+ +13=0,求〔xy 〕z 的值.4.求证:无论y 取何值时,代数式-3 y 2+8y-6恒小于05、百货商店服装柜在销售中发现:某品牌童装平均每天可售出20件,每件盈利40元.为了迎接“六一〞国际儿童节,商场决定采取适当的降价措施,扩大销售量,增加盈利,减少库存.经市场调查发现:如果每件童装降价1元,那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元,那么每件童装应降价多少元?华师大版九年级上册22.2一元二次方程的解法〔配方法〕练习题答案一、选择题BCADC B二、填空题1、—5,1 2、—1,—9 3、—4,2 4、16,4 5、—6 6、正数三、解答题1、〔1〕2± 〔2〕—3,12- 〔3〕13- 〔4〕4,32-2、93、365、10或20;。
华师大版-数学-九年级上册-23.1 一元二次方程同步作业
华师大版 九年级(上) 《 第二十三章·一元二次方程 》 第一节23.1一元二次方程 作业一、积累·整合1.一元二次方程的一般形式是__________.2.将方程-5x 2+1=6x 化为一般形式为__________.3.将方程(x +1)2=2x 化成一般形式为__________.4.方程2x 2=-8化成一般形式后,一次项系数为__________,常数项为__________. 5.方程2233x x +=的二次项是 ,一次项是 ,常数项是 。
6.已知两个数之和为6,乘积等于5,若设其中一个数为x ,可得方程为_____________. 7.下列方程中,不是一元二次方程的是( )A.2x 2+7=0B.2x 2+23x +1=0C.5x 2+x1+4=0 D.3x 2+(1+x ) 2+1=0 二、拓展·应用8.关于x 的方程(m -4)x 2+(m +4)x +2m +3=0,当m __________时,是一元二次方程,当m __________时,是一元一次方程.9.若关于x 的方程(ax +b )(d -cx )=m (ac ≠0)的二次项系数是ac ,则常数项为( )A.mB.-bdC.bd -mD.-(bd -m )10.若关于x 的方程a (x -1)2=2x 2-2是一元二次方程,则a 的值是( )A.2B.-2C.0D.不等于2 11.若x =1是方程ax 2+bx +c =0的解,则( ) A.a +b +c =1B.a -b +c =0C.a +b +c =0D.a -b -c =0 12.关于x 2=-2的说法,正确的是( ) A.由于x 2≥0,故x 2不可能等于-2,因此这不是一个方程B.x 2=-2是一个方程,但它没有一次项,因此不是一元二次方程C.x 2=-2是一个一元二次方程D.x 2=-2是一个一元二次方程,但不能解三、探索·创新13.已知关于x 的和方程5)3(1=-+-x m mx m 是一元二次方程,求m 的值【答案与解析】1.ax 2+bx +c =0(a ≠0)2.5x 2+6x -1=03.x 2+1=04.0 ; 85.22x ;3x ;-3;6.x2-6x+5=0 7.C8.≠4 =4 9. D10.A11.C12.C13.m=3或-1。
华师大版-数学 九年级上册 练习-22.2 一元二次方程的解法
22.2 一元二次方程的解法22.2.1 直接开平方法和因式分解法第1课时 用直接开平方法和因式分解法解较简单的一元二次方程1.利用__平方根__的定义直接开平方求一元二次方程的解叫做直接开平方法. 2.解一元二次方程,实质上是把一个一元二次方程“__降次__”,转化为两个__一元一次__方程.3.当p ≥0时,x 2=p 的解为__x =±p __.4.当把一元二次方程的一边化为0,而另一边易分解成两个一次因式的乘积时,可令每个因式分别等于0,得到两个__一元一次方程__,从而实现降次求解的目的,这种解法叫做因式分解法.知识点1:用直接开平方法解方程的条件 1.一元二次方程x 2=c 有解的条件是( D ) A .c >0 B .c <0 C .c ≤0 D .c ≥02.若方程x 2=a 的解是有理数,则实数a 不能取下列四个数中的( D ) A .1 B .4 C.14 D.123.已知一元二次方程mx 2+n =0(n ≠0),若方程有解,则必须( D ) A .n =0 B .m ,n 同号C .n 是m 的整数倍D .m ,n 异号知识点2:用直接开平方法解形如x 2=p (p ≥0)的一元二次方程 4.方程x 2=9的解是( A ) A .x =±3 B .x =3 C .x =-3 D .x =95.方程x 2-2=0的根是__x 1=2,x 2=-2__.6.直角三角形的两边x ,y 满足|x 2-16|+25-y 2=0,则第三边的长为. 7.用直接开平方法解下列方程: (1)x 2-49=0; 解:x 1=7,x 2=-7(2)4x 2=1; 解:x 1=12,x 2=-12(3)3x 2-36=0;解:x 1=23,x 2=-23(4)6x 2-3=1. 解:x 1=63,x 2=-63知识点3:用因式分解法解简单的一元二次方程 8.一元二次方程x 2=4x 的根是( C ) A .x =4 B .x =0 C .x 1=0,x 2=4 D .x 1=0,x 2=-49.(2014·舟山)方程x 2-3x =0的根为__x 1=0,x 2=3__.10.一元二次方程x (x -6)=0的两个实数根中,较大的根是__x =6__.11.用因式分解法解方程: (1)x 2+7x =0; 解:x 1=0,x 2=-7(2)4x 2-2x =0; 解:x 1=0,x 2=12(3)15x 2=3x . 解:x 1=0,x 2=1512.下列关于x 的方程中,一定有实数解的是( B ) A .x 2+1=0 B .(2x -1)2=0 C .(2x +1)2+3=0 D .(12x -a )2=a13.一元二次方程9x 2-2x =0的解是( A ) A .x 1=0,x 2=29 B .x 1=0,x 2=-29C .x 1=0,x 2=92D .x 1=0,x 2=-9214.下列说法错误的是( A )A .关于x 的方程x 2=k 必有两个互为相反数的实数根B .关于x 的方程(x +k )2=0必有两个相等的实数根C .关于x 的方程(x -m )2=k 2必有两个实数根D .关于x 的方程x 2=1-m 2可能没有实数根15.若x 2+3与x 2-4互为相反数,则x 的值为__±22__.16.已知x =1是关于x 的方程(1-k )x 2+k 2x -1=0的根,则常数k 的值为__0或1__. 17.在实数范围内定义运算“☆”,其规则为:a ☆b =a 2-b 2,则方程(4☆3)☆x =13的解为x =__±6__.18.用直接开平方法解方程: (1)2x 2-9=0;解:x 1=322,x 2=-322(2)25-8y 2=0;解:y 1=542,y 2=-542(3)(t -7)(t +2)=0; 解:t 1=7,t 2=-2(4)x(x-3)+8x=0.解:x1=0,x2=-519.已知方程(x-1)2=k2+2的一个根是x=3,求k的值和另一个根.解:将x=3代入原方程得k的值为±2,再把k=±2代入方程得另一个根为x=-120.关于x的一元二次方程(2m-4)x2+3mx+m2-4=0有一根为0,求m的值.解:将x=0代入原方程,得m2-4=0,解得m=±2,∵2m-4≠0,m≠2,∴m=-221.如图,在长和宽分别是m,n的矩形纸片和四个角上都剪去一个边长为x的正方形.(1)用m,n,x表示纸片剩余部分的面积;解:mn-4x2(2)当m=12,n=4,且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时,求正方形的边长.解:依题意有:mn-4x2=4x2,将m=12,n=4代入上式,得x2=6,解得x1=6,x2=-6(舍去).即正方形的边长为6第2课时 用直接开平方法和因式分解法解较复杂的一元二次方程1.当p ≥0时,(mx +n )2=p的解为__x =-n±pm__(m ≠0).2.用因式分解法解一元二次方程的一般步骤:①通过移项让方程的右边为__0__;②将方程的左边因式分解,写成含有一次式的两个因式的__积__的形式;③让两个因式分别为0,通过解得到的一元一次方程即可求出一元二次方程的解.知识点1:用直接开平方法解形如(mx +n )2=p (p ≥0)的一元二次方程 1.对形如(x +m )2=n 的方程,下列说法正确的是( C ) A .用直接开平方得x =-m ±n B .用直接开平方得x =-n ±mC .当n ≥0时,直接开平方得x =-m ±nD .当n ≥0时,直接开平方得x =-n ±m 2.方程(x -2)2=4的解是__x 1=4,x 2=0__. 3.若(x 2+y 2-1)2=4,则x 2+y 2=__3__. 4.解方程: (1)(x -1)2-925=0;解:x 1=85,x 2=25(2)3(x +1)2=13;解:x 1=-23,x 2=-43(3)4(2x -1)2=9. 解:x 1=54,x 2=-14知识点2:用因式分解法解较复杂的一元二次方程 5.方程x (x -12)=3(x -12)可化为的一元二次方程是( D )A .x -12=0 B .x =3C .x -12=0或x +3=0D .x -12=0或x -3=06.方程x (x -2)+x -2=0的解是( D ) A .2 B .-2,1 C .-1 D .2,-17.下面一元二次方程的解法中,正确的是( B )A .(x -3)(x -5)=10×2,∴x -3=10,x -5=2,∴x 1=13,x 2=7B .(2-5x )+(5x -2)2=0,∴(5x -2)(5x -3)=0,∴x 1=25,x 2=35C .(x +2)2-4=0,∴x 1=2,x 2=-2D .x 2=x ,两边同时除以x ,得x =1 8.方程(x +1)2=x +1的正确解法是( B ) A .化为x +1=1B .化为(x +1)(x +1-1)=0C .化为x 2+3x +2=0D .化为x +1=0 9.解方程: (1)5(x -1)2=1-x ; 解:x 1=1,x 2=45(2)2(x -3)=3x (x -3); 解:x 1=3,x 2=23(3)(x -8)2+2x (x -8)=0. 解:x 1=8,x 2=8310.方程(1-x )2=5的根是( C ) A .-1,6 B .1,-6 C .1-5,1+ 5 D.5-1,5+111.下列方程中,不能用直接开平方法的是( C ) A .x 2-3=0 B .(x -1)2-4=0 C .x 2+2x =0 D .(x -1)2=(2x +1)212.下列方程不适合用因式分解法求解的是( C ) A .3x 2=5x B .2x (3-x )=x -3 C .x (x -2)=-2 D .y 2-(2y +1)2=013.已知(x +y )2-2x -2y =0,则x +y 的值为( A ) A .2或0 B .-2或0 C .2或-2 D .-2或114.经计算整式x +1与x -4的积为x 2-3x -4,则一元二次方程x 2-3x -4=0的解是( D )A .x 1=-1,x 2=-4B .x 1=1,x 2=-4C .x 1=1,x 2=4D .x 1=-1,x 2=415.方程(5x -2)(x -7)=9(x -7)的解是__x 1=115,x 2=7__.16.定义新运算“⊕”如下:当a ≥b 时,a ⊕b =ab +b ,当a <b 时,a ⊕b =ab -a ;若(2x -1)⊕(x +2)=0,则x =__-1或12__.17.用因式分解法解下列方程: (1)3(x -2)2-24=0; 解:x 1=2+22,x 2=2-22(2)9(1-3x )2=1; 解:x 1=49,x 2=29(3)6x (x +1)=6x +6; 解:x 1=1,x 2=-1(4)2x 2-3x =2x -3; 解:x 1=32,x 2=1(5)3(x -5)2=25-x 2. 解:x 1=5,x 2=5218.观察下面方程的解法. 例:解方程x 2-3x -4=0.分析:∵常数项-4=-4×1,一次项系数-3=-4+1,∴x 2-3x -4=x 2+(-4+1)x +(-4)×1=(x -4)(x +1).解:原方程可化为(x -4)(x +1)=0, ∴x -4=0或x +1=0. ∴x 1=4,x 2=-1.请用上面的方法解答下列各题.(1)一元二次方程x 2+7x +12=0的根是__x 1=-3,x 2=-4__; (2)解方程:x 2-2x -8=0; 解:x 1=4,x 2=-2(3)如图,已知△ABC 中,AB =AC =a ,BC =8,且a 是方程x 2-9x +20=0的根,求△ABC 的面积.(提示:过点A 作AD ⊥BC 于点D )解:方程x 2-9x +20=0的两根为x 1=4,x 2=5.过点A 作AD ⊥BC 于点D ,当a =4时,由于4+4=8,此时△ABC 不能构成,此情况舍去.当a =5时,即AB =AC =5,则有BD =12BC =4,AD =AB 2-BD 2=52-42=3,所以S △ABC =12·BC·AD =12×8×3=1222.2.2 配方法1.通过方程的简单变形,将左边配成一个含有未知数的__完全平方式__,若右边是一个__非负__常数,则可以运用__直接开平方__求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法.2.用配方法解方程的一般步骤:(1)将常数项移至方程的__右边__;(2)把二次项系数化为1;(3)将方程左边配成一个含有未知数的__完全平方式__;(4)运用__直接开平方__求解.知识点1:配方1.已知x 2+16x +k 是完全平方式,则常数k =__64__;若x 2-2kx +9是完全平方式,则k =__±3__.2.用适当的数填空:(1)x 2-4x +__4__=(x -__2__)2; (2)m 2+__7__m +494=(m +__72__)2;(3)x 2-12x +__116__=(x -__14__)2.3.将代数式x 2+8x +7化成(x +p )2+q 的形式为( C ) A .(x -4)2+26 B .(x -4)2-26 C .(x +4)2-9 D .(x +4)2+9知识点2:用配方法解二次项系数是1的一元二次方程 4.用配方法解方程x 2+x =2,应把方程的两边同时( A ) A .加14 B .加12 C .减14 D .减125.已知x 2-8x +15=0,左边化成含有x 的完全平方形式,其中正确的是( B ) A .x 2-8x +42=31 B .x 2-8x +42=1 C .x 2+8x +42=1 D .x 2-4x +4=-116.用配方法解一元二次方程x 2-6x =7时,此方程可变形为( D ) A .(x +3)2=-2 B .(x -3)2=-2 C .(x +3)2=16 D .(x -3)2=167.若一元二次方程x 2-6x -5=0化成(x +a )2=b 的形式,则b 等于( D ) A .-4 B .4 C .-14 D .148.用配方法解下列方程: (1)x 2+4x =0; 解:x 1=0,x 2=-4(2)x 2-10x -11=0. 解:x 1=11,x 2=-1知识点3:用配方法解二次项系数不是1的一元二次方程9.把方程2x 2-4x -1=0化为(x +m )2=n 的形式,则m ,n 的值是( B ) A .m =2,n =32 B .m =-1,n =32C .m =1,n =4D .m =n =210.用配方法解方程3x 2-6x +1=0,则方程可变形为( D ) A .(x -3)2=13 B .3(x -1)2=13C .(3x -1)2=1D .(x -1)2=2311.用配方法解方程: (1)2x 2-3x -6=0;解:x 1=3+574,x 2=3-574(2)23x 2+13x -2=0. 解:x 1=32,x 2=-212.用配方法解方程x 2+6x =10的根为( B ) A .3±19 B .-3±19 C .-3+10 D .-3-1013.用配方法解下列方程时,配方有错误的是( B ) A .x 2-2x -99=0化为(x -1)2=100 B .x 2+8x +9=0化为(x +4)2=25 C .2t 2-7t -4=0化为(t -74)2=8116D .3x 2-4x -2=0化为(x -23)2=10914.方程x 2-6x +q =0可配方成(x -p )2=7的形式,则x 2-6x +q =2可以配方成下列的( B )A .(x -p )2=5B .(x -p )2=9C .(x -p +2)2=9D .(x -p +2)2=515.若三角形两边的长分别为3和4,第三边的长是方程x 2-12x +35=0的根,则该三角形的周长为( B )A .14B .12C .12或14D .以上都不对16.若a 的值使得x 2+4x +a =(x +2)2-1成立,则a 的值为__3__.17.已知点P (x ,y )满足x 2-4x +y 2+6y +13=0,且点P 在函数y =kx 的图象上,则k 的值为__-6__.18.用配方法解下列方程: (1)2x 2+7x -4=0; 解:x 1=12,x 2=-4(2)x 2-2x -6=x -11; 解:原方程无实数根(3)x (x +4)=6x +12; 解:x 1=1+13,x 2=1-13(4)3(x -1)(x +2)=x -7. 解:原方程无实数根19.已知二次根式x 2+3x 与x +15既是最简二次根式,又可以合并,求x 的值. 解:解方程x 2+3x =x +15,得x 1=-5,x 2=3,但x =3时,18不是最简二次根式,∴x =-520.小明同学解方程6x 2-x -1=0的简要步骤如下: 解:6x 2-x -1=0――→两边同时除以6第一步x 2-16x -16=0――→移项第二步x 2-16x =16――→配方第三步(x -13)2=16+19――→两边开平方第四步x -13=±518――→移项第五步x 1=13+106,x 2=13-106. (1)上述步骤,发生第一次错误是在( B ) A .第二步 B .第三步 C .第四步 D .第一步(2)写出上述步骤中发生第一次错误的原因,并重新写出解方程6x 2-x -1=0的步骤. 解:原方程配方得:(x -112)2=25144,∴x 1=12,x 2=-1321.用配方法把代数式3x -2x 2-2化为a (x +m )2+n 的形式,并说明不论x 取何值时,这个代数式的值总是负数.并求出当x 取何值时,这个代数式的值最大.解:3x -2x 2-2=-2(x -34)2-78,∵-2(x -34)2≤0,∴-2(x -34)2-78<0.当x =34时,代数式最大值为-7822.2.3 公式法1.一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的求根公式是__x =-b±b 2-4ac2a __,用公式法解一元二次方程必须满足的条件是__b 2-4ac ≥0__.2.用公式法解一元二次方程的一般步骤: (1)把一元二次方程化为__一般形式__; (2)确定__a ,b ,c __的值; (3)计算__b 2-4ac __的值;(4)当b 2-4ac __≥__0时,把a ,b ,c 的值代入求根公式,求得方程的两个实数根;当b 2-4ac __<__0时,方程无实数根.3.(1)在确定a ,b ,c 的值时,一定要注意__符号__;(2)当一元二次方程有两个相等的实数根时,方程的解应写成x 1=x 2=__-b2a __,而不能写成x =__-b2a__.知识点1:一元二次方程的求根公式1.将方程5x =2x 2-3化成一般形式是__2x 2-5x -3=0__,其中a =__2__,b =__-5__,c =__-3__,b 2-4ac =__49__.2.如果一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)能用公式法求解,那么必须满足的条件是( A ) A .b 2-4ac ≥0 B .b 2-4ac ≤0 C .b 2-4ac >0 D .b 2-4ac <03.用公式法解方程3x 2+4=12x ,下列代入公式正确的是( D ) A .x =12±122-3×42B .x =-12±122-3×42C .x =-12±-(-12)2-4×3×42×3D .x =-(-12)±(-12)2-4×3×42×3知识点2:用公式法解一元二次方程4.方程x 2+x -1=0的一个根是( D ) A .1- 5 B.1-52C .-1+ 5 D.-1+525.一元二次方程2a 2-4a -5=0的解为__a 1=2,a 2=2.6.用公式法解方程: (1)x 2-3x +1=0;解:x 1=3+52,x 2=3-52(2)1-x =3x 2.解:x 1=-1-136,x 2=-1+136知识点3:用适当的方法解一元二次方程 7.在下列各题的空格中填写适当的解法. (1)解方程3x 2-4x -2=0,用__公式__法较适宜; (2)解方程(5x -3)2=7,用__开平方__法较适宜; (3)解方程x 2+2x =1,用__配方__法较适宜;(4)解方程3(4x -1)2=7(1-4x ),用__因式分解__法较适宜. 8.用适当的方法解一元二次方程: (1)(x -5)(x +7)=1;解:x 1=-1+37,x 2=-1-37(2)x 2-4x +3=0; 解:x 1=1,x 2=3(3)2x 2-3x -1=0;解:x 1=3+174,x 2=3-174(4)4x 2-4x -1=0.解:x 1=1+22,x 2=1-229.以x =b ±b 2+4c2为根的一元二次方程可能是( D )A .x 2+bx +c =0B .x 2+bx -c =0C .x 2-bx +c =0D .x 2-bx -c =010.若关于x 的一元二次方程(m -1)x 2+5x +m 2-3m +2=0的常数项为0,则m 的值等于( B )A .1B .2C .1或2D .011.用求根公式法解得某方程ax 2+bx +c =0的两根互为相反数,则( A ) A .b =0 B .c =0C .b 2-4ac =0D .b +c =012.一元二次方程x 2-23x +3=0,b 2-4ac =(-23)2-4×1×3=__0__,所以x 1、2=-(-23)±02=__3__,即x 1=__3__,x 2=__3__.13.已知三角形两边长是方程x 2-23+1=0的两根,则三角形的第三边c 的取值范围是__22<c<23__.14.已知一个三角形的两边长为6和8,第三边长是方程x 2-16x +60=0的一个根,则这个三角形的面积为__24或85__.15.用公式法解一元二次方程: (1)-12x 2-3x +6=0;解:x 1=-3+21,x 2=-3-21(2)2x 2-1=3x ; 解:x 1=3+114,x 2=3-114(3)x (x -5)=6-7x .解:x 1=-1+7,x 2=-1-716.用适当的方法解方程: (1)x 2-2x =99; 解:x 1=11,x 2=-9(2)x 2+5x +2=0;解:x 1=-5+172,x 2=-5-172(3)x 2+3=3(x +1). 解:x 1=0,x 2=317.在解方程x 2+4x =2时,小明的解答过程如下: 解:a =1,b =4,c =2,b 2-4ac =42-4×1×2=8,所以x =-b ±b 2-4ac 2a =-4±82×1=-2±2.即:x 1=-2+2,x 2=-2- 2.请你分析以上解答有无错误,如有错误,请指出错误的地方,并写出正确的解题过程. 解:有错误,c =-2而不是c =2.正确的解题过程是:∵a =1,b =4,c =-2,b 2-4ac =16-4×1×(-2)=24>0,所以x =-b±b 2-4ac 2a =-4±242×1=-2±6,解得x 1=-2+6,x 2=-2-618.如图,在Rt △ABC 中,∠B =90°,AB =6 cm ,BC =3 cm ,点P 从点A 开始沿AB 边向点B 以1 cm/s 的速度移动,点Q 从点B 开始沿BC 边向C 以2 cm/s 的速度移动.如果P ,Q 分别从A ,B 同时出发,几秒钟后P ,Q 两点的距离等于4 2 cm?解:设x 秒后,P ,Q 两点的距离等于4 2 cm ,则由题意,得AP =x ,PB =6-x ,BQ =2x ,在Rt △PBQ 中,PQ 2=PB 2+BQ 2,所以(42)2=(6-x )2+(2x )2,所以5x 2-12x +4=0,解得x 1=25,x 2=2,因为当x =2时,BQ =2×2=4>3,所以x =2不符合题意,应舍去,所以经过25秒钟后P ,Q 两点的距离等于4 2 cm综合练习 一元二次方程的解法1.利用求根公式求方程3x 2+12=7x 的根时,a ,b ,c 的值分别是( C )A .3,12,7B .3,7,12C .3,-7,12D .3,-7,-122.用配方法解方程x 2-2x -5=0时,原方程应变形为( C ) A .(x +1)2=6 B .(x +2)2=9 C .(x -1)2=6 D .(x -2)2=93.一元二次方程x (x -2)=2-x 的根是( D )A .-1B .2C .1和2D .-1和24.若x =-2是关于x 的一元二次方程x 2-52ax +a 2=0的一个根,则a 的值为( B )A .1或4B .-1或-4C .-1或4D .1或-45.要使分式x 2-5x -6x +1的值等于零的x 是( A )A .6B .-1或6C .-1D .-66.若x 2+20与3x 2-20x +5互为相反数,则x 的值是( D ) A .3 B .2C .2.5,-2.5D .2.57.若方程x 2-x =0的两个根为x 1,x 2(x 1<x 2),则x 2-x 1=__1__.8.若正数a 是一元二次方程x 2-5x +m =0的一个根,-a 是一元二次方程x 2+5x -m =0的一个根,则a 的值是__5__.9.直角三角形的两条边长恰好是方程x 2-7x +12=0的两根,则斜边长为__5或4__. 10.将4个数a ,b ,c ,d 排成2行,2列,两边各加一条竖直线记成⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d ,定义⎪⎪⎪⎪⎪⎪a b c d=ad -bc ,上述记号就叫做2阶行列式.若⎪⎪⎪⎪⎪⎪x +1 x -11-x x +1=6,则x =.11.用适当的方法解方程: (1)2(x +1)2=4.5;解:x 1=0.5,x 2=-2.5(2)4x 2+3x -2=0;解:x 1=-3+418,x 2=-3-418(3)x 2+2x -288=0; 解:x 1=16,x 2=-18(4)x 2-1=3x +3. 解:x 1=-1,x 2=412.把方程x 2-3x +p =0配方,得到(x +m )2=12.(1)求常数m 与p 的值; (2)求出此方程的解.解:(1)(x -32)2=94-p ,∴m =-32,p =74(2)x 1=3+22,x 2=3-2213.对于二次三项式x 2-10x +36,小聪同学作出如下结论:无论x 取什么实数,它的值都不可能等于11.你是否同意他的说法?说明你的理由.解:不同意.∵当x 2-10x +36=11时,化简得:x 2-10x +25=0,即(x -5)2=0,解得:x 1=x 2=5,即当x =5时,x 2-10x +36=52-50+36=1114.设a ,b ,c 都是实数,且满足(2-a )2+a 2+b +c +|c +8|=0,求方程ax 2+bx +c =0的解.解:由题意,得a =2,b =4,c =-8.∴方程为2x 2+4x -8=0,解得x 1=-1+5,x 2=-1-515.一元二次方程x 2-2x -54=0的某个根,也是一元二次方程x 2-(k +2)x +94=0的根,求k 的值.解:把x 2-2x -54=0配方,得(x -1)2=94,x -1=±32,∴x 1=52,x 2=-12.把x 1=52代入x 2-(k +2)x +94=0,解得k =75;把x 2=-12代入x 2-(k +2)x +94=0,解得k =-7.∴k =75或k =-716.已知A =2x 2-4x -1,B =x 2-2x -4,试比较A 与B 的大小. 解:作差比较:A -B =(x -1)2+2>0,∴A>B17.阅读下面的例题:解方程x2-|x|-2=0.解析:(1)当x≥0时,原方程化为x2-x-2=0.解得x1=2,x2=-1(不合题意,舍去).(2)当x<0时,原方程化为x2+x-2=0.解得x1=1(不合题意,舍去),x2=-2.∴原方程的根是x1=2,x2=-2.请参照例题解方程x2-|x-1|-1=0.解:当x-1≥0,即x≥1时,原方程化为x2-x=0,解得x1=0(不合题意,舍去),x2=1.当x-1<0,即x<1时,原方程化为x2+x-2=0,解得x1=1(不合题意,舍去),x2=-2.∴原方程的解为x1=1,x2=-218.为解方程(x2-1)2-3(x2-1)+2=0,我们可以将x2-1视为一个整体,然后设x2-1=y,则(x2-1)2=y2,原方程化为y2-3y+2=0①,解得y1=1,y2=2.当y=1时,x2-1=1,∴x2=2,∴x=±2;当y=2时,x2-1=2,∴x2=3,∴x=±3.∴原方程的解为x1=-2,x2=2,x3=-3,x4= 3.回答下列问题:(1)在由原方程得到方程①的过程中,利用__换元__法达到降次的目的,体现了__转化__的数学思想;(2)解方程:(x2-4)2-5(x2-4)+4=0.解:设x2-4=y,则y2-5y+4=0,∴y1=1,y2=4,得x=±5或x=±2222.2.4 一元二次方程根的判别式1.__b2-4ac__叫做一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式,常用符号“Δ”来表示.2.用“Δ”可以直接判断一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的实数根的情况:(1)当Δ>0时,方程有__两个不相等的__实数根;(2)当Δ=0时,方程有__两个相等的__实数根;(3)当Δ<0时,方程__没有__实数根.上述结论反过来也成立.3.计算判别式并用判别式判断方程根的情况时,方程必须先化为一元二次方程的__一般形式__.知识点1:一元二次方程的判别式1.若有方程x(x+10)=-25,则b2-4ac=__0__.2.若方程x2-4x+m=0的根的判别式的值为4,则m=__3__,方程的根为__x1=1,x2=3__.知识点2:一元二次方程根的情况3.(2014·自贡)一元二次方程x2-4x+5=0的根的情况是( D )A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.下列一元二次方程中,有两个相等的实数根的是( B )A.x2+6=0B.4x2-4x+1=0C.x2-x+2=0 D.x2-2x-3=05.一元二次方程x2-3x-5=0的根的情况为__有两个不相等的实数根__.6.不解方程,判定下列一元二次方程根的情况.(1)9x2+6x+1=0;解:∵a =9,b =6,c =1,∴Δ=b 2-4ac =36-36=0.∴此方程有两个相等的实数根(2)16x 2+8x =-3;解:化为一般形式为:16x 2+8x +3=0.∵a =16,b =8,c =3,∴Δ=b 2-4ac =64-4×16×3=-128<0.∴此方程没有实数根(3)3(x 2-1)-5x =0.解:化为一般形式为:3x 2-5x -3=0.∵a =3,b =-5,c =-3,∴Δ=(-5)2-4×3×(-3)=25+36=61>0.∴此方程有两个不相等的实数根知识点3:由一元二次方程根的情况确定方程中字母系数的取值7.关于x 的一元二次方程x 2-3x +m =0有两个不相等的实数根,则实数m 的取值范围为( B )A .m >94B .m <94C .m =94D .m <-948.已知关于x 的一元二次方程x 2+2x -a =0有两个相等的实数根,则a 的值是( D ) A .4 B .-4 C .1 D .-19.一元二次方程x 2-2x +m =0总有实数根,则m 应满足的条件是( D ) A .m >1 B .m =1 C .m <1 D .m ≤110.对于方程x 2+5x +m =0,其判别式Δ=__25-4m __,当m __<254__时,方程有两个不相等的实数根;当m __=254__时,方程有两个相等的实数根;当m __>254__时,方程没有实数根.11.如果关于x 的方程x 2-x +k =0(k 为常数)有两个实数根,那么k 的取值范围是__k ≤14__.12.(2014·宁波)已知命题“关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0,当b<0时必有实数解”,能说明这个命题是假命题的一个反例可以是( A )A .b =-1B .b =2C .b =-2D .b =013.若关于x 的一元二次方程kx 2-2x -1=0有两个不相等的实数根,则实数k 的取值范围是( D )A .k >-1B .k <1且k ≠0C .k ≥-1且k ≠0D .k >-1且k ≠014.关于x 的一元二次方程x 2-mx +(m -2)=0的根的情况是( A ) A .有两个不相等的实数根 B .有两个相等的实数根 C .没有实数根 D .无法确定15.若关于x 的一元二次方程nx 2-2x -1=0无实数根,则一次函数y =(n +1)x -n 的图象不经过( C )A .第一象限B .第二象限C .第三象限D .第四象限 16.(2014·贺州)已知关于x 的方程x 2+(1-m)x +m 24=0有两个不相等的实数根,则m 的最大整数值是__0__.17.关于x 的方程(a -5)x 2-4x -1=0有实数根,则a 满足的条件是__a ≥1__. 18.已知a ,b ,c 为三角形的三边长,且关于x 的一元二次方程(b -c )x 2+2(a -b )x +b -a =0有两个相等的实数根,那么这个三角形一定是__等腰__三角形.19.(2014·扬州)已知关于x 的方程(k -1)x 2-(k -1)x +14=0有两个相等的实数根,求k的值.解:∵关于x 的方程(k -1)x 2-(k -1)x +14=0有两个相等的实数根,∴Δ=0,∴2-4(k-1)×14=0,整理得k 2-3k +2=0,即(k -1)(k -2)=0,解得k =1(不符合一元二次方程定义,舍去)或k =2,∴k =220.已知关于x 的一元二次方程ax 2+bx +1=0(a ≠0)有两个相等的实数根,求ab 2(a -2)2+b 2-4的值.解:∵ax 2+bx +1=0(a ≠0)有两个相等的实数根,∴b 2-4a =0,b 2=4a ,∴原式=b 2a=421.已知关于x 的一元二次方程x 2+2x +2k -4=0有两个不相等的实数根. (1)求k 的取值范围;(2)若k 为正整数,且该方程的根都是整数,求k 的值.解:(1)Δ=4-4(2k -4)=20-8k.∵方程有两个不相等的实数根,∴Δ>0.即20-8k>0,∴k<52 (2)∵k 为正整数,∴0<k<52即k =1或2,x 1、2=-1±5-2k.∵方程的根为整数,∴5-2k 为完全平方数.当k =1时,5-2k =3;当k =2时,5-2k =1.∴k =222.已知一元二次方程x 2-(2k +1)x +k 2+k =0. (1)求证:方程有两个不相等的实数根;(2)若△ABC 的两边AB ,AC 的长是这个方程的两个实数根,第三边BC 的长为5.当△ABC 是等腰三角形时,求k 的值.解:(1)∵Δ=b 2-4ac =(2k +1)2-4(k 2+k )=1>0,∴方程有两个不相等的实数根 (2)∵方程有两个不相等的实数根,∴AB =AC 不成立.∴要使△ABC 是等腰三角形,则AB 与AC 其中一条边与BC 相等,即方程必有一根为5,∴52-5(2k +1)+k 2+k =0,解得k =4或k =5.经检验k =4或k =5均符合题意.即k 的值为4或522.2.5 一元二次方程的根与系数的关系1.若一元二次方程x 2+px +q =0的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=__-p __,x 1x 2=__q __. 2.一元二次方程在应用根与系数的关系时应注意两个条件:(1)方程必须是__一般__形式;(2)Δ__≥__0.3.若一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0)的两根为x 1,x 2,则x 1+x 2=__-ba __,x 1x 2=__ca__.知识点1:一元二次方程根与系数的关系1.已知x 1,x 2是一元二次方程x 2-4x +1=0的两个根,则x 1·x 2等于( C ) A .-4 B .-1 C .1 D .4 2.下列一元二次方程两实数根的和为-4的是( D ) A .x 2+2x -4=0 B .x 2-4x +4=0 C .x 2+4x +10=0 D .x 2+4x -5=03.已知方程x 2-5x +2=0的两个解分别为x 1,x 2,则x 1+x 2-x 1·x 2的值为( D ) A .-7 B .-3 C .7 D .34.方程x 2=1-2x 的两根的和等于__-2__. 5.不解方程,求下列各方程的两根之和与两根之积: (1)x 2+3x +12=0;解:x 1+x 2=-3,x 1·x 2=12(2)3x 2-2x -1=0; 解:x 1+x 2=23,x 1·x 2=-13(3)2x 2+3=7x 2+x ;解:x 1+x 2=-15,x 1·x 2=-35(4)5x -5=6x 2-4. 解:x 1+x 2=56,x 1·x 2=16知识点2:一元二次方程根与系数的运用6.已知一元二次方程x 2-3x -1=0的两个根分别是x 1,x 2,则x 12x 2+x 1x 22的值为( A ) A .-3 B .3 C .-6 D .67.若关于x 的一元二次方程x 2-4(m +1)x +4m -1=0两根互为相反数,则m 的值是( D ) A .m =-14 B .m >14C .m >-14且m ≠0 D .m =-18.已知关于x 的方程x 2+mx -6=0的一个根为2,则这个方程的另一个根是__-3__. 9.已知关于x 的方程x 2-mx +n =0的两个实根是0和-3,则m =__-3__,n =__0__. 10.(2014·莱芜)若关于x 的方程x 2+(k -2)x +k 2=0的两根互为倒数,则k =__-1__. 11.若一元二次方程x 2-(a +2)x +2a =0的两个实数根分别是3,b ,则a +b =__5__. 12.已知x 1,x 2是方程x 2-3x -2=0的两个实根,不解方程,求下列代数式的值; 解:由根与系数的关系得x 1+x 2=3,x 1x 2=-2. (1)1x 1+1x 2; 解:原式=x 2+x 1x 1x 2=-32(2)x 12+x 22;解:原式=(x 1+x 2)2-2x 1x 2=9+4=13(3)x 2x 1+x 1x 2; 解:原式=x 22+x 12x 1x 2=-132(4)x12-3x1x2+x22;解:原式=(x12+x22)-3x1x2=13-3×(-2)=19(5)(x1-2)(x2-2).解:原式=x1x2-2(x1+x2)+4=-2-6+4=-413.若方程x 2+x -1=0的两实根为α,β,那么下列说法不正确的是( D ) A .α+β=-1 B .αβ=-1 C .α2+β2=3 D.1α+1β=-114.已知一元二次方程的两根分别是2和-3,则这个一元二次方程是( D ) A .x 2-6x +8=0 B .x 2+2x -3=0 C .x 2-x -6=0 D .x 2+x -6=015.如果关于x 的一元二次方程x 2+4x +a =0的两个不相等实数根x 1,x 2满足x 1x 2-2x 1-2x 2-5=0,那么a 的值为( B )A .3B .-3C .13D .-1316.已知m ,n 是方程x 2+2x -5=0的两个实数根,则m 2-mn +3m +n =__8__. 点拨:∵m ,n 是方程的两个实数根,∴mn =-5,m +n =-2,∵m 2+2m -5=0,∴m 2=5-2m ,原式=(5-2m )-mn +3m +n =10+m +n =10-2=817.在解某个二次项系数为1的方程时,甲看错了一次项系数,得出的两个根为-9,-1;乙看错了常数项,得出的两根为8,2.则这个方程为__x 2-10x +9=0__.18.若关于x 的一元二次方程x 2-4x +k -3=0的两个实数根为x 1,x 2,且满足x 1=3x 2,试求出方程的两个实数根及k 的值.解:由根与系数的关系,得⎩⎨⎧x 1+x 2=4 ①,x 1x 2=k -3 ②.又∵x 1=3x 2③,联立①、③,解方程组,得⎩⎨⎧x 1=3,x 2=1.∴k =x 1x 2+3=3×1+3=6.答:方程两根为x 1=3,x 2=1,k =619.关于x 的一元二次方程x 2+2x +k +1=0的实数根是x 1和x 2. (1)求k 的取值范围;(2)如果x 1+x 2-x 1x 2<-1,且k 为整数,求k 的值. 解:(1)∵b 2-4ac =4-4(k +1)≥0,∴k ≤0(2)∵x 1+x 2=-2,x 1x 2=k +1,由已知得-2-(k +1)<-1,解得k>-2,又k ≤0,且k 为整数,∴k =-1或020.已知关于x 的一元二次方程x 2+(2m -1)x +m 2=0有两个实数根x 1和x 2. (1)求实数m 的取值范围; (2)当x 12-x 22=0时,求m 的值.解:(1)由题意有Δ=(2m -1)2-4m 2≥0,解得m ≤14.即实数m 的取值范围是m ≤14 (2)由x 12-x 22=0得(x 1+x 2)(x 1-x 2)=0.若x 1+x 2=0,即-(2m -1)=0,解得m =12.∵12>14,∴m =12不合题意,舍去,若x 1-x 2=0,即x 1=x 2,∴Δ=0,由(1)知m =14.故当x 12-x 22=0时,m =1421.已知关于x 的一元二次方程x 2-(2k +1)x +k 2+2k =0有两个实数根x 1,x 2. (1)求实数k 的取值范围;(2)是否存在实数k 使得x 1·x 2-x 12-x 22≥0成立?若存在,请求出k 的值;若不存在,请说明理由.解:(1)∵原方程有两个实数根,∴2-4(k 2+2k )≥0,∴4k 2+4k +1-4k 2-8k ≥0,∴1-4k ≥0,∴k ≤14,∴当k ≤14时,原方程有两个实数根 (2)假设存在实数k 使得x 1·x 2-x 12-x 22≥0成立,∵x 1,x 2是原方程的两根,∴x 1+x 2=2k +1,x 1·x 2=k 2+2k.由x 1·x 2-x 12-x 22≥0,得3x 1·x 2-(x 1+x 2)2≥0.∴3(k 2+2k )-(2k +1)2≥0,整理得:-(k -1)2≥0,∴只有当k =1时,上式才能成立,又∵由(1)知k ≤14,∴不存在实数k 使得x 1·x 2-x 12-x 22≥0成立。
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23.2.2 一元二次方程的解法(2)课后作业练习
一、选择题:
1、解一元二次方程0122=--x x ,结果正确的是( )
A 、3,421=-=x x
B 、3,421-==x x
C 、3,421-=-=x x
D 、3,421==x x
答案:B
2、若实数x 、y 满足()()023=++-+y x y x ,则x+y 的值为( )
A 、-1或-2
B 、-1或2
C 、1或-2
D 、1或2
答案:D
3、以71+与71-为根的一元二次方程是( )
A .0622=--x x
B .0622=+-x x
C .0622=-+y y
D .0622=++y y
答案:A
4、方程()()5253-=-x x x 的根是( )
A 、32=x
B 、5=x
C 、5,3
221==x x D 、5,221==x x
答案:C
5、方程06232
=-+x x 的左边配成一个完全平方式后,所得的方程是( ) A 、1817622-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x B 、1837622=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+x C 、1835622=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛+x D 、637622
=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛
+x 答案:B
6、下列方程中,解法正确的是( )
A 、2542=x ,则4
5,54±
=±=x x B 、0342=++x x ,可化为()722=+x C 、045632=--x x ,可化为()1612
=-x D 、04722=--t t ,可化
为1681272=⎪⎭
⎫ ⎝⎛-t 答案:C
二、填空题:
7、若关于x 的一元二次方程0432=-+x mx 有实数根,则m .
8、方程02=+-n mx x 中,m 、n 均为有理数,且方程有一个根是32+
,则m
= ,n = . 9、已知方程03)36(2
2=-+-+k x k x 的两根的平均数为0,则k 的值为 ,这个方程的根为 .
10、方程012=++kx x 与022=--x x 有一个根相同,则k = .
三、解答题:
11、(1)04732=--m m (配方法) (2) 0223)12(22=-+-+x x
12、阅读下面材料,再解方程: 解方程022=--x x
解:(1)当x ≥0时,原方程化为x 2
- x -2=0,解得:x 1=2,x 2=- 1(不合题意,舍去)
(2)当x <0时,原方程化为x 2 + x -2=0,解得:x 1=1,(不合题意,舍去)x 2= -2∴原方程的根是x 1=2, x 2= -2
(3)请参照例题解方程0112=---x x .
13、试证明关于x 的方程012)208(22=+++-ax x a a 无论a 取何值,该方程都是一元二次方程.
14、已知关于x 的方程()0214122=⎪⎭
⎫ ⎝⎛
-++-k x k x ,若等腰三角形ABC 的一边长a=4,另一边长b 、c 恰好是这个方程的两个实数根,求ΔABC 的周长.
答案:
二、填空题:
7、m ≥169
-
且m ≠0; 8、m =4,n =1; 9、k =-6,根为±3; 10、
k =2或25-; 三、解答题:
11、(1)6
9767±=m (2)2121-==x x 12、当x ≥1时,x 2-x+1-1=0,得x 1=1,x 2=0(不合题意,舍去);当x <1时,x 2+x-1-1=0,
得x 1=-2,x 2=1(不合题意,舍去);∴原方程的根为x 1=1,x 2=-2.
13、 ∵a 2-8a+20=(a-4)2+4>0 ,∴无论a 取何值,方程012)208(2
2=+++-ax x a a 都是一元二次方程;
14、解:分两种情况:
(1)若a 是三角形的底边,则b=c 是三角形的腰,即方程有两个相等的实根,所以Δ=()[]()03221441222=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⨯-+-k k k 所以2
3=k ,代入原方程得221==x x ,但与三角形中两腰之和大于第三边矛盾,舍去.
(2)若a 是三角形的腰,则4是原方程的根。
带入得2
5=
k ,则原方程的解为21=x ,42=x ,所以ΔABC 的周长为4+4+2=10.。