高中数学 第2章 第8课时 空间中直线与直线之间的位置关系课件 新人教A版必修2
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对于⑤，当 a，b 与 c 都成 90°角时，同②，a 与 b 可能平行、相 交、异面，故⑤不正确．
答案：①
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点评：空间两条直线位置关系的判定方法 (1)判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条 直线平行也可以用公理 4 判断． (2)判定两条直线是异面直线的方法． ①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内． ②排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)．
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变式探究 1 如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的 棱柱)ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB1，BC1 的中点，则以下结 论中不成立的是________．
①EF 与 BB1 垂直；②EF 与 BD 垂直；③EF 与 CD 异面；④EF 与 A1C1 异面．
解析：连接 A1B，∵E、F 分别是 AB1，BC1 的中点，∴EF 是△A1BC1 的中位线，∴EF∥A1C1，故①②③正确．④错．
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【练习 2】 (1)直线 a，b，c，d 满足 a∥b，b∥c，c∥d，则 a 与 d 的位置关系是________．
(2)若 AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论： ①∠BAC＝∠B′A′C′； ②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°； ③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°. 一定成立的是________．
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【练习 3】 AD1 所成角为(
A．30° C．60°
如图正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，异面直线 A1B 与
) B．45° D．90°
解析：连接 BC1、A1C1，∵BC1∥AD1，∴异面直线 A1B 与 AD1 所
成的角即为直线 A1B 与 BC1 所成的角．
在△A1BC1 中，A1B＝BC1＝A1C1，
∴∠A1BC1＝60°.故异面直线 A1B 与 AD1 所成角为 60°.
答案：C
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2 新视点·名师博客 1.正确理解异面直线的定义
异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．注意异面直线定 义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理 解为：在空间中找不到一平面，使其同时经过 a、b 两条直线．例如， 如图所示的长方体中，棱 AB 和 B1C1 所在的直线既不平行又不相交， 找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线．
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目标导航 1．会判断空间两直线的位置关系．(重点) 2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．(重点、难点) 3．能用公理 4 和等角定理解决一些简单的相关问题．(重点)
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1 新知识·预习探究 知识点一空间两条直线的位置关系
1.异面直线 (1)定义：不同在 任何一个平面内 (2)异面直线的画法
则 a 与 c 异面． 若 AD 所在直线为 c，则 a 与 c 相交， 若 BB1 所在直线为 c，则 a∥c，故②不正确．
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对于③，若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 可能平行、异面、 相交，故③不正确．
对于④，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 可能平行、相交、异面，故④不 正确．
解析：(1)∵a∥b，b∥c，c∥d，∴由公理 4 可知 a∥d. (2)∵AB∥A′B′，AC∥A′C′， ∴∠ACB＝∠A′C′B′ 或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°. 答案：(1)平行 (2)③
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知识点三 异面直线所成的角 异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 a′ ∥a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． (2)异面直线所成的角 θ 的取值范围：0°<θ≤90°. (3)当 θ＝90°时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b.
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2．判断两条直线是异面直线的方法及画法
(1)定义法(直观判断法)：由定义判断两直线不可能在同一个平面 内．或者用下面的结论；过平面外一点与平面内一点的直线，和平面 内不经过该点的直线是异面直线．用符合语言表示为：B∉α，A∈α， a⊂α，A∉a，则 a 与直线 AB 为异面直线．如图．
(2)排除法：排除两直线共面(平行或相交)，则两直线是异面直线．
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(3)画法：为表示异面直线 a、b 不共面的特点，作图时，通常用 一个或两个平面衬托，如图．
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3 新课堂·互动探究 考点一 空间两条直线位置关系的判定 例 1 a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出的几种说法： ①若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ②若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c； ③若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交； ④若 a⊂平面 α，b⊂平面 β，则 a，b 一定是异面直线； ⑤若 a，b 与 c 成等角，则 a∥b. 其中正确的是________．(只填序号)
解析：与棱 AA1 异面的棱有 DC、BC、D1C1、B1C1. 答案：DC、BC、D1C1、B1C1
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知识点二 平行公理与等角定理 1.平行公理(公理 4) (1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 ，这一性 质叫做空间 平行线的传递性．
(2)符号表述： ab∥∥bc⇒ a∥c. 2．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行 ，那么这两个角 相等或互补．
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分析：题目条件中给出了直线 a，b，c 所满足的位置关系，要判 断直线 a 与 b 或 a 与 c 的位置关系，解答本题可应用平面几何知识， 异面直线的定义或公理 4 等．
解析：对于①，由平行公理知①正确．对于②，如图在长方体 ABCD －A1B1C1D1 中，令 AB 所在直线为 b，AA1 所在直线为 a，若 BC 所在 直线为 c，
的两条直线．
①
②
③
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2．空间两条直线的位置关系
位置关系
特点
相交 同一平面内，有且只有 一个 公共点
平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内 ，没有公共点
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【练习 1】 如图所示，已知长方体 ABCD－A1B1C1D1，则与棱 AA1 所在的直线异面的棱有________．
答案：①
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点评：空间两条直线位置关系的判定方法 (1)判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条 直线平行也可以用公理 4 判断． (2)判定两条直线是异面直线的方法． ①定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内． ②排除法(反证法)：排除两直线共面(平行或相交)．
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变式探究 1 如图，在正四棱柱(侧面为矩形，底面为正方形的 棱柱)ABCD－A1B1C1D1 中，E，F 分别是 AB1，BC1 的中点，则以下结 论中不成立的是________．
①EF 与 BB1 垂直；②EF 与 BD 垂直；③EF 与 CD 异面；④EF 与 A1C1 异面．
解析：连接 A1B，∵E、F 分别是 AB1，BC1 的中点，∴EF 是△A1BC1 的中位线，∴EF∥A1C1，故①②③正确．④错．
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【练习 2】 (1)直线 a，b，c，d 满足 a∥b，b∥c，c∥d，则 a 与 d 的位置关系是________．
(2)若 AB∥A′B′，AC∥A′C′，则下列结论： ①∠BAC＝∠B′A′C′； ②∠ABC＋∠A′B′C′＝180°； ③∠ACB＝∠A′C′B′或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°. 一定成立的是________．
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【练习 3】 AD1 所成角为(
A．30° C．60°
如图正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，异面直线 A1B 与
) B．45° D．90°
解析：连接 BC1、A1C1，∵BC1∥AD1，∴异面直线 A1B 与 AD1 所
成的角即为直线 A1B 与 BC1 所成的角．
在△A1BC1 中，A1B＝BC1＝A1C1，
∴∠A1BC1＝60°.故异面直线 A1B 与 AD1 所成角为 60°.
答案：C
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2 新视点·名师博客 1.正确理解异面直线的定义
异面直线是不同在任何一个平面内的两条直线．注意异面直线定 义中“任何”两字，它指空间中的所有平面，因此异面直线也可以理 解为：在空间中找不到一平面，使其同时经过 a、b 两条直线．例如， 如图所示的长方体中，棱 AB 和 B1C1 所在的直线既不平行又不相交， 找不到一个平面同时经过这两条棱所在的直线．
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目标导航 1．会判断空间两直线的位置关系．(重点) 2．理解两异面直线的定义，会求两异面直线所成的角．(重点、难点) 3．能用公理 4 和等角定理解决一些简单的相关问题．(重点)
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1 新知识·预习探究 知识点一空间两条直线的位置关系
1.异面直线 (1)定义：不同在 任何一个平面内 (2)异面直线的画法
则 a 与 c 异面． 若 AD 所在直线为 c，则 a 与 c 相交， 若 BB1 所在直线为 c，则 a∥c，故②不正确．
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对于③，若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 可能平行、异面、 相交，故③不正确．
对于④，a⊂α，b⊂β，则 a 与 b 可能平行、相交、异面，故④不 正确．
解析：(1)∵a∥b，b∥c，c∥d，∴由公理 4 可知 a∥d. (2)∵AB∥A′B′，AC∥A′C′， ∴∠ACB＝∠A′C′B′ 或∠ACB＋∠A′C′B′＝180°. 答案：(1)平行 (2)③
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知识点三 异面直线所成的角 异面直线所成的角 (1)定义：已知两条异面直线 a，b，经过空间任一点 O 作直线 a′ ∥a，b′∥b，我们把 a′与 b′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角)． (2)异面直线所成的角 θ 的取值范围：0°<θ≤90°. (3)当 θ＝90°时，a 与 b 互相垂直，记作 a⊥b.
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2．判断两条直线是异面直线的方法及画法
(1)定义法(直观判断法)：由定义判断两直线不可能在同一个平面 内．或者用下面的结论；过平面外一点与平面内一点的直线，和平面 内不经过该点的直线是异面直线．用符合语言表示为：B∉α，A∈α， a⊂α，A∉a，则 a 与直线 AB 为异面直线．如图．
(2)排除法：排除两直线共面(平行或相交)，则两直线是异面直线．
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(3)画法：为表示异面直线 a、b 不共面的特点，作图时，通常用 一个或两个平面衬托，如图．
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3 新课堂·互动探究 考点一 空间两条直线位置关系的判定 例 1 a，b，c 是空间中的三条直线，下面给出的几种说法： ①若 a∥b，b∥c，则 a∥c； ②若 a⊥b，b⊥c，则 a∥c； ③若 a 与 b 相交，b 与 c 相交，则 a 与 c 相交； ④若 a⊂平面 α，b⊂平面 β，则 a，b 一定是异面直线； ⑤若 a，b 与 c 成等角，则 a∥b. 其中正确的是________．(只填序号)
解析：与棱 AA1 异面的棱有 DC、BC、D1C1、B1C1. 答案：DC、BC、D1C1、B1C1
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知识点二 平行公理与等角定理 1.平行公理(公理 4) (1)文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相 平行 ，这一性 质叫做空间 平行线的传递性．
(2)符号表述： ab∥∥bc⇒ a∥c. 2．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应 平行 ，那么这两个角 相等或互补．
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分析：题目条件中给出了直线 a，b，c 所满足的位置关系，要判 断直线 a 与 b 或 a 与 c 的位置关系，解答本题可应用平面几何知识， 异面直线的定义或公理 4 等．
解析：对于①，由平行公理知①正确．对于②，如图在长方体 ABCD －A1B1C1D1 中，令 AB 所在直线为 b，AA1 所在直线为 a，若 BC 所在 直线为 c，
的两条直线．
①
②
③
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2．空间两条直线的位置关系
位置关系
特点
相交 同一平面内，有且只有 一个 公共点
平行 同一平面内，没有公共点 异面直线 不同在任何一个平面内 ，没有公共点
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【练习 1】 如图所示，已知长方体 ABCD－A1B1C1D1，则与棱 AA1 所在的直线异面的棱有________．