广西桂林市高三数学10月月考试题理(扫描版)
广西南宁市第二中学2025届高三上学期10月月考数学试题(含答案)
广西南宁市第二中学2025届高三上学期10月月考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数z=1+ii，其中i为虚数单位，则|z|=A. 12B. 22C. 2D. 22.已知向量a=(1,3)，b=(t,1)，若(a−b)//b，则实数t的值为( )A. 13B. 3C. −1D. −1或23.体育老师记录了班上10名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是( )A. 98B. 99C. 99.5D. 1004.已知圆柱和圆锥的高相等，底面半径均为2，若圆柱的侧面积是圆锥的侧面积的2倍，则圆柱的表面积为( )A. 8πB. 12πC. 16πD. 24π5.设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S10−S3=35，a3+a10=7，则{a n}的公差为( )A. 1B. 2C. 3D. 46.若函数f(x)=x3+e x−ax在区间[0,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是( )A. [0,1)B. (0,1]C. [1,+∞)D. (−∞,1]7.已知f(x)=sin(x+π2)，g(x)=cos(x−π2)，则下列结论中不正确的是( )A. 函数y=f(x)g(x)的最小正周期为πB. 函数y=f(x)g(x)的最大值为12C. 函数y=f(x)g(x)的图象关于点(π4,0)成中心对称D. 将函数f(x)的图象向右平移π2个单位后得到函数g(x)的图象8.已知函数f(x)的定义域为R，f(x)−1为奇函数，f(x+2)为偶函数，则f(1)+f(2)+⋯+ f(16)=( )A. 0B. 16C. 22D. 32二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对于直线l:(m−2)x+y−2m+1=0与圆C:x2+y2−6x−4y+4=0，下列说法正确的是( )A. l 过定点(2,3)B. C 的半径为9C. l 与C 可能相切D. l 被C 截得的弦长最小值为2710.已知0<β<α<π4，且sin (α−β)=13，tan α=5tan β，则( )A. sin αcos β=56 B. sin βcos α=112C. sin 2αsin 2β=536D. α+β=π611.已知f(x)=2x 3−3x 2+(1−a)x +b ，则下列结论正确的是( )A. 当a =1时，若f(x)有三个零点，则b 的取值范围是(0,1)B. 当a =1且x ∈(0,π)时，f(sin x)<f(sin 2x)C. 若f(x)满足f(1−x)=2−f(x)，则a−2b =2D. 若f(x)存在极值点x 0，且f(x 0)=f(x 1)，其中x 0≠x 1，则2x 0+x 1=32三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
2023—2024学年广西壮族自治区高二上学期新高考10月月考测试数学试题(含答案)
2023-2024学年广西壮族自治区高二上册新高考10月月考测试数学试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合{}24A x x =≤<，集合{}2320B x x x =-+<，则A B ⋃=（）A.∅B.{}12x x << C.{}24x x ≤< D.{}14x x <<【正确答案】D【分析】将集合A 、B 化简，再根据并集的运算求解即可.【详解】∵集合{}24A x x =≤<，集合{}{}232012B x x x x x =-+<=<<，∴{}14A B x x ⋃=<<．故选：D.2.已知复数3i1iz +=+，则z =（）A.B.C.3D.5【正确答案】B【分析】按照复数的除法运算求出复数z 的代数形式，再根据复数的模长公式求解即可.【详解】()()()()23i 1i 3i 33i i i 42i2i 1i 1i 1i 22z +-+-+--=====-++-.z ∴.故选：B.3.已知1253a -⎛⎫= ⎪⎝⎭，2log 5b =，3log 7c =，则a ，b ，c 的大小顺序是（）A.a b c >> B.c a b>> C.c b a>> D.b c a>>【正确答案】D【分析】由11225335-⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 4>，333log 3log 7log 9<<判断.【详解】因为112253135a -⎛⎫⎛⎫==< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22log 5log 42b =>=，3331log 3log 7log 92c =<=<=，所以b c a >>故选：D4.已知直线1l ：()220a x ay -++=，2l ：()20x a y a +-+=，则“12l l ⊥”是“1a =-”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【正确答案】B【分析】当1a =-时，根据斜率的乘积等于1-可得12l l ⊥；当12l l ⊥时，根据()()2120-⨯+-=a a a 求出a ，再根据必要不充分条件的概念可得答案.【详解】当1a =-时，1:32l y x =-+，211:33l y x =-，121313k k ⋅=-⨯=-，所以12l l ⊥；当12l l ⊥时，可得()()()()212210a a a a a -⨯+-=-+=，解得1a =-或2a =，所以“12l l ⊥”是“1a =-”的必要不充分条件．故选：B ．5.已知4a = ，3b = ，6a b ⋅=-，则向量b 在a 方向上的投影向量为（）A.38a- B.38b- C.38a D.38b 【正确答案】A【分析】利用平面向量数量积的几何意义进行求解.【详解】因为4a = ，3b = ，6a b ⋅=-，所以向量b 在a方向上的投影向量为63448a b a a a aa ⋅-⋅=⋅=-⨯.故选：A.6.已知点()2, 2,,3()1A B -，若直线10kx y --=与线段AB 有交点，则实数k 的取值范围是A.3(,4),2⎛⎫-∞-+∞⎪⎝⎭B.34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭C.3(,4],2⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭D.34,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦【正确答案】C【分析】根据题意知A 、B 两点在直线的异侧或在直线上，得出不等式（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，求出解集即可．【详解】根据题意，若直线l ：kx ﹣y ﹣1＝0与线段AB 相交，则A 、B 在直线的异侧或在直线上，则有（2k ﹣2﹣1）×（﹣k ﹣3﹣1）≤0，即（2k ﹣3）（k +4）≥0，解得k ≤﹣4或k ≥32，即k 的取值范围是（﹣∞，﹣4]∪[32，+∞）．故选C ．本题考查直线与线段AB 相交的应用问题，考查了转化思想，是基础题．7.已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos(2)3πα-=（）A.79-B.79 C.29-D.29【正确答案】A【分析】根据余弦的二倍角公式，结合诱导公式进行求解即可.【详解】因为1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以由11sin cos 26363πππαα⎛⎫⎛⎫+-=⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，217cos(2)2cos ()1213699ππαα-=--=⨯-=-，故选：A8.已知三棱锥-P ABC 的顶点都在球O 的球面上，,AB AC BC PB ⊥=⊥平面ABC ，若球O 的体积为36π，则该三棱锥的体积的最大值是（）A.3B.5C.3D.83【正确答案】A【分析】将三棱锥-P ABC 放入长方体内，得到PC 为球直径，由基本不等式求出4AB AC ⨯≤，从而求出三棱锥的体积的最大值.【详解】因为,AB AC BC ⊥=ABC 为等腰直角三角形，又PB ⊥平面ABC ，所以PB 为三棱锥-P ABC 的高，则可将三棱锥-P ABC 放入长方体内，如图，长方体的体对角线即为外接球直径，即PC 为球直径，34π36π32PC V ⎛⎫∴== ⎪⎝⎭，解得6PC =，又6PC ===，解得PB =2222BC AB AC AB AC =+≥⨯，所以4AB AC ⨯≤所以三棱锥的体积11323V AB AC =⨯⨯⨯⨯≤，故选：A解决与球有关的内切或外接的问题时，解题的关键是确定球心的位置．对于外切的问题要注意球心到各个面的距离相等且都为球半径；对于球的内接几何体的问题，注意球心到各个顶点的距离相等，解题时要构造出由球心到截面圆的垂线段、小圆的半径和球半径组成的直角三角形，利用勾股定理求得球的半径二、多选题：共4小题，每小题5分，共20分，每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错得0分．9.下列说法正确的是（）A.用简单随机抽样的方法从含有50个个体的总体中抽取一个容量为5的样本，则个体m 被抽到的概率是0.1B.已知一组数据1，2，m ，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据27，12，14，30，15，17，19，23的第70百分位数是23D.若样本数据1x ，2x ，…，10x 的标准差为8，则数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为32【正确答案】AC【分析】分别利用古典概型的计算公式，方差和标准差的计算公式及其百分位数的定义求解即可.【详解】对于选项A ,个体m 被抽到的概率为50.150=，故该选项正确；对于选项B ，126745m ++++=，解得4m =，则方差为()()()()()2222221=1424446474 5.25S ⎡⎤-+-+-+-+-=⎣⎦，故该选项错误；对于选项C ,数据27，12，14，30，14，17，19，23从小到大排列为，12，14，14，17，19，23，27，30，由于870⨯% 5.6=，其中第6个数为23，故该选项正确；对于选项D ,设数据1x ，2x ，…，10x 的均值为x ，则数据121x -，221x -，…，1021x -的均值为21x -，因为数据1x ，2x ，…，10x8=，所以数据121x -，221x -，…，1021x -的标准差为16==，故该选项错误；故选：AC.10.在ABC 中，角,,A B C 所对的边为,,a b c ，有如下判断，其中正确的判断是（）A.若sin 2sin 2A B =，则ABC 为直角三角形B.若sin cos a b C c B =+，则π4C ∠=C.若12,10,60a b B ===︒，则符合条件的ABC 有两个D.在锐角三角形ABC 中，不等式2220b c a +->恒成立【正确答案】BD【分析】根据正弦定理和余弦定理，逐个判断即可.【详解】对于A ：sin 2sin 2A B =，所以22A B =或者22πA B +=，即A B =或π2A B +=，所以ABC 为等腰三角形或者直角三角形，A 错误；对于B ：sin cos sin sin sin sin cos a b C c B A B C C B =+⇒=+，又()sin sin sin cos sin cos A B C B C C B =+=+，代入可得sin sin sin cos B C B C =，所以sin cos C C =，所以π4C =，B 正确；对于C ：由正弦定理可得sinsin a bA B=，代入可得12sin 1sin A A =⇒=，所以符合条件的三角形没有，C 错误；对于D ：ABC 是锐角三角形，所以222222cos 002b c a A b c a bc+-=>⇒+->，D 正确，故选：BD11.已知函数()()sin f x A x =+ωϕ（0A >，0ω>，π2ϕ<）的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）A.函数()f x 的最小正周期为πB.函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称C.函数()f x 图象向右平移π6个单位可得函数2sin y x =的图象D.若方程()()R f x m m =∈在ππ,63⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上有两个不等实数根1x ，2x ，则()121cos 2x x +=．【正确答案】AB【分析】根据图象确定函数的解析式，然后由正弦函数性质判断各选项．【详解】由图可知2A =，πππ43124T =-=，所以2ππT ω==，于是A 正确，所以2ω=，则()()2sin 2f x x ϕ=+，将点π,212⎛⎫⎪⎝⎭代入得：π2sin 26ϕ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以ππ2π62k ϕ+=+，Z k ∈，又2πϕ<，所以π3ϕ=，所以()π2sin 23f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，对于B ，因为5π5ππ2sin 21263f ⎛⎫⎛⎫-=-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，为最小值，所以函数()f x 的图象关于直线5π12x =-对称，故B 正确；对于C ，将函数()f x 图象向右平移π6个单位，可得函数ππ2sin 22sin 263y x x ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，故C 错误；对于D ，由条件结合图象可知12π212x x +=，于是12π6x x +=，所以()12π3cos cos 62x x +==，故D 错误．故选：AB ．12.已知222,0()1ln ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩，若存在123x x x <<，使得()()()123f x f x f x m ===，则下列结论错误的有（）A.实数m 的取值范围为[]1,2B.31e x <≤C.122x x +=-D.12x x 的最大值为1【正确答案】AD【分析】根据分段函数解析式画出函数图象，再利用方程的根的个数即为函数图象的交点个数，即可求得实数m 的取值范围，再利用图象判断出根的分布情况即可做出判断.【详解】由函数222,0()1ln ,0x x x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩可知其图象如下图所示，又因为存在123x x x <<，使得()()()123f x f x f x m ===，所以函数()f x 与y m =有三个不同的交点，根据图象可知(]1,2m ∈，故A 错误；根据函数图像可知30x >，所以(]31ln 1,2x m +=∈得30ln 1x ≤<，即31e x <≤，故B 正确；显然120x x <<，且关于=1x -对称，所以122x x +=-，故C 正确；因为120x x <<，且122x x +=-，所以12()2x x -+-=，2121212()()()12x x x x x x -+-⎛⎫=--≤= ⎪⎝⎭，当且仅当121x x ==-时，等号成立；又因为12x x <，所以121x x <，故D 错误；故选：AD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知点()1,1P 在直线410(0)ax by ab +-=>上，则11a b+的最小值为______．【正确答案】9【分析】先由题意得41a b +=，再利用基本不等式“1”的妙用即可得解.【详解】根据点在线上，得到410a b +-=，则41a b +=，又0ab >，故11114()(4)5549.b a a b a b a b a b+=++=++≥+=当且仅当4b a a b =，即123a b ==时，等号成立，故11a b+的最小值为9．故9.14.已知偶函数()f x 在区间[)0,∞+单调递增，则满足()()211f x f -<的x 的取值范围是__________.【正确答案】(0,1)【分析】因为21x -不一定也在单调递增区间[0,)+∞内,所以不能利用函数单调性解函数不等式,所以要用偶函数的性质将(21)f x -变成(|21|)f x -,然后再用函数在[0,)+∞上的单调性解函数不等式.【详解】因为函数()f x 为偶函数,所以(21)(|21|)f x f x -=-,所以不等式()()211f x f -<等价于(|21|)(1)f x f -<,又因为函数()f x 在区间[)0,∞+单调递增,所以|2|11x -<,解得01x <<,所以x 的取值范围是(0,1).故答案为(0,1).本题考查了函数的奇偶性,单调性以及抽象函数不等式的解法,抽象函数不等式的解法,都是用函数的单调性来解,利用函数的单调性时,一定要保证自变量在同一个单调区间内,不满足这一点的,往往利用偶函数的性质变形后,再用函数的单调性解不等式.本题属于中档题.15.在ABC 中，60,2,BAC AB BC ∠=︒==，BAC ∠的角平分线交BC 于D ，则AD =_________．【正确答案】2【分析】方法一：利用余弦定理求出AC ，再根据等面积法求出AD ；方法二：利用余弦定理求出AC ，再根据正弦定理求出,B C ，即可根据三角形的特征求出．【详解】如图所示：记,,AB c AC b BC a ===，方法一：由余弦定理可得，22222cos606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b =由ABC ABD ACD S S S =+ 可得，1112sin 602sin 30sin 30222b AD AD b ⨯⨯⨯=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯ ，解得：1212AD b +===+．故答案为：2．方法二：由余弦定理可得，22222cos606b b +-⨯⨯⨯= ，因为0b >，解得：1b=由正弦定理可得，2sin 60sin sin b B C == ，解得：62sin 4B +=，2sin 2C=，因为1>>45C = ，180604575B =--= ，又30BAD ∠=o ，所以75ADB ∠= ，即2AD AB ==．故2．本题压轴相对比较简单，既可以利用三角形的面积公式解决角平分线问题，也可以用角平分定义结合正弦定理、余弦定理求解，知识技能考查常规．16.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，M 是棱1AA 的中点，点P 在侧面11ABB A 内，若1D P CM⊥，则PBC △的面积的最小值是________．【正确答案】510【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量、三角形的面积公式、二次函数进行求解.【详解】如图，以点D 为空间直角坐标系的原点，分别以DA ，DC ，1DD 所在直线为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，则点()1,,,[01]P y z y z ∈、，，()10,0,1D 所以()11,,1D P y z =- ，因为()10,1,0,1,0,2C M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以11,1,2CM =-⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，因为1D P CM ⊥ ，所以()11102y z -+-=，所以21z y =-，因为()1,1,0B ，所以()0,1,21BP y y =-- ，所以()()222121562BP y y y y =-+-=-+，因为01y ≤≤，所以当35y =时，min 55BP =，因为正方体中，BC ⊥平面11,ABB A BP ⊂平面11ABB A ，故BC BP ⊥，所以()min 155=1=2510PBC S ⨯⨯ .故答案为.510四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.已知直线l 过点()2,1P .（1）若直线l 与3240x y -+=垂直，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【正确答案】（1）2370x y +-=；（2）20x y -=或30x y +-=.【分析】（1）根据互相垂直直线的斜率关系，结合直线点斜式方程进行求解即可；（2）根据直线的截距是否为零分类讨论求解即可.【小问1详解】直线3240x y -+=的斜率为32，与直线3240x y -+=垂直的直线的斜率为23-，过点P 且与直线3240x y -+=垂直的直线的方程为()2123y x -=--，即2370x y +-=.【小问2详解】分两种情况讨论：①当直线在两坐标轴上的截距均为零时，设所求直线的方程为y kx =，将点P 的坐标代入该直线方程得21k =，解得12k =，此时，所求直线的方程为20x y -=；②当直线在两坐标轴上的截距均不为零时，设所求直线的方程为1x y a a +=，即x y a +=，将点P 的坐标代入该直线方程得213a =+=，此时，所求直线的方程为30x y +-=综上所述，所求直线的方程为20x y -=或30x y +-=.18.如图，空间四边形OABC 的各边及对角线长为2，E 是AB 的中点，F 在OC 上，且2OF FC = ，设OA a = ，OB b = ，OC c = ，（1）用a ，b ，c 表示EF；（2）求向量OA 与向量EF 所成角的余弦值.【正确答案】（1）112223a b c --+ （2）51938-【分析】（1）利用空间向量的线性运算即可求解；（2）计算22112223EF a b c ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭ 的值即可得EF ，再计算OA EF ⋅ 的值，由空间向量夹角公式即可求解.【小问1详解】因为OA a = ，OB b = ，OC c =，所以()2111232223EF OF OE OC OA OB a b c =-=-+=--+ .【小问2详解】因为空间四边形OABC 的各边及对角线长为2，所以四面体OABC 是正四面体，2a b c === ，且a ，b ，c 间的夹角为π3，所以22cos602a b a c b c ⋅=⋅=⋅=⨯⨯= ，2112112223223EF a b c a b OA a a c a ⎛⎫=--+=-⋅⋅⋅⋅-+ ⎪⎝⎭ 211252222233=-⨯-⨯+⨯=-，22222112114122223449233EF a b c a b c a b a c b c ⎛⎫=--+=+++⋅-⋅-⋅ ⎪⎝⎭ 222114122192222224492339=⨯+⨯+⨯+⨯-⨯-⨯=，所以193EF =，所以5,3cos 38193OA EF OA EF OA EF -===-⋅⨯ ，所以向量OA 与向量EF 所成角的余弦值为51938-.19.在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且满足()(sin sin )()sin a b A B a c C +-=-.（1）求角B 的大小；（2）若c =，求a 的取值范围.【正确答案】（1）3π（2）【分析】（1）先利用正弦定理把已知式子统一成边的关系，再利用余弦定理可求出角B 的大小，（2）由（1）可得23A CB π+=π-=，由正弦定理可得312cos sin 2233sin sin sin sin tan C C C c a A C C C Cπ⎫⎛⎫+⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅===+，然后由ABC 为锐角三角形求出角C 的范围，再利用正切函数的性质可求得结果【小问1详解】因为()(sin sin )()sin a b A B a c C +-=-，所以由正弦定理可得()()()a b a b a c c +-=-，化简得222a c b ac +-=，所以由余弦定理得2221cos 222a cb ac B ac ac +-===，因为(0,)B π∈，所以3B π=【小问2详解】因为3B π=，所以23A C B π+=π-=,由正弦定理得，sin sin a c A C =，所以12cos sin 2233sin sin sin sin tan C C C c a A C C C Cπ⎫⎛⎫+⎪- ⎪⎝⎭⎝⎭=⋅===，因为ABC 为锐角三角形，所以022032C C πππ⎧<<⎪⎪⎨⎪<-<⎪⎩，得62C ππ<<，所以3tan 3C >，所以30tan C <<3tan C<+<，a <<，即a 的取值范围为20.某省将实行“312++”高考模式，为让学生适应新高考的赋分模式，某校在一次校考中使用赋分制给高三年级学生的生物成绩进行赋分，具体赋分方案如下：先按照考生原始分从高到低按比例划定A 、B 、C 、D 、E 共五个等级，然后在相应赋分区间内利用转换公式进行赋分，A 等级排名占比15%，赋分分数区间是86～100；B 等级排名占比35%，赋分分数区间是71～85；C 等级排名占比35%，赋分分数区间是56～70；D 等级排名占比13%，赋分分数区间是41～55；E 等级排名占比2%，赋分分数区间是30～40；现从全年级的生物成绩中随机取100学生的原始成绩（未赋分）进行分析，其频率分布直方图如图所示：（1）求图中a 的值，并求抽取的这100名学生的原始成绩的平均数；（2）用样本估计总体的方法，估计该校本次生物成绩原始分不少于多少分才能达到赋分后的B 等级及以上（含B 等级）？（结果保留整数）（3）若采用分层抽样的方法，从原始成绩在[)40,50和[)50,60内的学生中共抽取5人，查看他们的答题情况来分析知识点上的缺漏，再从中选取2人进行调查分析，求这2人中恰有一人原始成绩在[)40,50内的概率．【正确答案】（1）0.03a =，平均数为71.（2）74（3）35【分析】（1）由频率分布直方图中所有小长方形的面积和为1，可求出a ，进而可求出平均数.（2）由频率分布直方图结合B 等级及以上排名占比列方程即可得解．（3）列出所有基本事件及满足要求的基本事件，由古典概型概率公式即可得解.【小问1详解】()10.010.01520.0250.00510100.03a ⎡⎤=-+⨯++⨯÷=⎣⎦；平均数450.1550.15650.15750.3850.25950.0571x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；【小问2详解】由已知等级达到B 及以上所占排名等级占比为15%35%50%+=，假设原始分不少于x 分可以达到赋分后的B 等级及以上，由频率分布直方图知[)40,70占比()0.010.0152100.4+⨯⨯=，[]80,100占比()0.0050.025100.3+⨯=，所以7080x <<，且(0.0050.025)10(80)0.030.50x ⨯-=⨯++，解得73.3x ≈（分），所以原始分不少于74分才能达到赋分后的B 等级及以上．【小问3详解】由题知得分在[)40,50和[)50,60内的频率分别为0.1和0.15，由0.120.153=知抽取的5人中，得分在[)40,50内的有2人，记为AB ,得分在[)50,60的有3人，记为cde ，则从5人中抽取两人的基本事件为：()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A c A d A e B c B d B e c d c e d e 共10种，这2人中恰有一人原始成绩在[)40,50内的基本事件有：()()()()()(),,,,,,,,,,,A c A d A e B c B d B e ，共6种，故所求概率63105P ==.21.每年的3月14日为国际数学日，为庆祝该节日，某中学举办了数学文化节，其中一项活动是“数学知识竞赛”，竞赛共分为两轮，每位参赛学生均须参加两轮比赛，若其在两轮竞赛中均胜出，则视为优秀，已知在第一轮竞赛中，学生甲、乙胜出的概率分别为45，35；在第二轮竞赛中，甲、乙胜出的概率分别为p ，q .甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响.（1）若58p =，求甲恰好胜出一轮的概率；（2）若甲、乙各胜出一轮的概率为950，甲、乙都获得优秀的概率为625.（i ）求p ，q ，的值；（ii ）求甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率.【正确答案】（1）1740（2）（i ）23p =，34q =；（ii ）223300【分析】（1）利用互斥事件和独立事件的概率公式求解即可.（2）（i ）利用对立事件和独立事件的概率公式表示出()P D 和()P E ，即可求解；（ii ）利用对立事件和独立事件的概率公式即可求解.【小问1详解】设“甲在第一轮竞赛中胜出”为事件1A ，“甲在第二轮竞赛中胜出”为事件2A ，“乙在第一轮竞赛中胜出”为事件1B ，“乙在第二轮竞赛中胜出”为事件2B ，则1A ，2A ，1B ，2B 相互独立，且()145P A =，()2P A p =，()135P B =，()2P B q =.设“甲恰好胜出一轮”为事件C ，则1212C A A A A =+，12A A ，12A A 互斥.当58p =时，()()()()12121212P A A A A P P C A A P A A +=+=()()()()1212P A P A P A P A =+431517585840=⨯+⨯=.所以当58p =，甲恰好胜出一轮的概率为1740.【小问2详解】由（1）知，（i ）记事件D 为“甲、乙各胜出一轮”，事件E 为“甲、乙都获得优秀”，所以()()12121212D A A A A B B B B =++，1122E A B A B =.因为甲、乙两人在每轮竞赛中是否胜出互不影响，所以()()()12121212P P A A A A P B B B D B ⋅=++()()()()12121212A A A A B P P P B B P B ⎡⎤⎡⎤=++⎣⎦⎣⎦()()()()()()()()12121212P A P A P A P A P B P B P B P B ⎡⎤=++⎣⎦⎡⎤⎣⎦()()4132911555550p p q q ⎡⎤⎡⎤=-+-+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()()()()()112211224365525P E P A B A B P A P B P A P B p q ===⨯=，则2481869012q p pq pq --+-=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得2334p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或1332p q ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（舍去）.综上，23p =，34q =.（ii ）设事件G 为“甲获得优秀”，事件H 为“乙获得优秀”，于是G H ⋃=“两人中至少有一人获得优秀”，且()()12815P G P A A ==，()()12920P H P B B ==，所以()()87111515P G P G =-=-=，()()911112020P H P H =-=-=，所以()()()()7112231111520300P G H P GH P G P H ⋃=-=-=-⨯=.故甲、乙两人中至少有一人获得优秀的概率为223300.22.已知四棱锥E —ABCD 中，四边形ABCD 为等腰梯形，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝2，AB ＝4，△ADE 为等边三角形，且平面ADE ⊥平面ABCD．（1）求证：AE ⊥BD ；（2）是否存在一点F ，满足EF EB λ= (0＜λ≤1)，且使平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为13．若存在，求出λ的值，否则请说明理由．【正确答案】（1）证明见解析；（2）存在12λ=使得平面ADF 与平面BCE 所成的锐二面角的余弦值为13.【分析】（1）取AB 的中点G ，连接DG ，证明ABD △是直角三角形，得AD BD ⊥，从而由面面垂直的性质定理得线面垂直，则可得证线线垂直；（2）取AD 的中点H ,连接EH ，证明EH ⊥平面ABCD ，以,DA DB 为,x y 轴，过D 平行于EH 的直线为z 轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，由空间向量法求二面角的余弦值，由已知求得λ，说明存在．【详解】（1）取AB 的中点G ，连接DG ,1,//2BG AB CD BG CD == ,∴四边形BCDG 是平行四边形，2DG BC AG AD ====,ADG ∴ 为等边三角形，1,2DG AB ABD =∴△是直角三角形，AD BD ∴⊥， 平面ADE ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ，AD =平面ADE 平面ABCD ,BD ∴⊥平面ADE ,AE ⊂平面ADE ,AE BD∴⊥（2）F 为EB 中点即可满足条件.取AD 的中点H ,连接EH ，则EH AD ⊥，取AD 的中点H ,连接EH ,平面ADE ⊥平面ABCD ，EH ⊂平面EAD ，所以EH ⊥平面ABCD ，EH BD ==如图建立空间直角坐标系D xyz -,则()()()()(0,0,0,2,0,0,0,,,1,0D A B C E -,则()()(()2,0,0,,1,,,,,CB EB EF E D B A λλ===-==-()1,,DF λ=- 设平面ADF 的法向量为111(,,)m x y z = ，平面BCE 的法向量为222(,,)n x y z = ．由00DF m DA m ⎧⋅=⎨⋅=⎩ ，得())11111020x y z x λ⎧-++=⎪⎨=⎪⎩，取()0,12m λλ=- ，；由00CB n EB n ⎧⋅=⎨⋅=⎩，得2222200x x ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩，取()n = ．于是，|65|cos ,|13m n m n m n ⋅〈〉==⋅ ．解得1=2λ或1=-3λ（舍去）方法点睛：本题考查证明线面平行，由二面角求参数．求二面角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出二面角的平面角并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出二面角两个面的法向量，由两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．所以存在12λ=使得平面ADF 与平面BCE所成的锐二面角的余弦值为13.。
广西桂林市高二数学10月月考试题理(扫描版)(2021学年)
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桂林中学高三10月月考数学试题(理科)
桂林中学高三10月月考数学试题（理科）本套试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分．考试时间：120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知全集U=R ，集合)(},021|{},1|{N M C x x x N x x M U 则≥-+=≥= （ ） A ．{x |x <2}B ．{x |x ≤2}C ．{x |－1<x ≤2}D ．{x |－1≤x <2} 2．若复数i 2ia +的实部与虚部相等，则实数a = （ ） （A ）1- （B ）1 （C ）2- （D ）23．函数()f x =（ ）A ．(][),21,-∞-+∞B ．[)(,2)1,-∞-+∞C ．(,2)(1,)-∞-+∞D ．(],2(1,)-∞-+∞4.已知01a <<，log log aa x =1log 52a y =，log log a a z = 则（ ）A ．x y z >>B ．z y x >>C ．y x z >>D ．z x y >> 5.设曲线11x y x +=-在点(32)，处的切线与直线10ax y ++=垂直，则a =（ ） A ．2 B ．12 C ．12- D ．2- 6．已知平面向量(1,2),(2,)a b m ==- ，且//a b ，则m 的值为 ( )A ．1B ．-1C ．4D ．-47．过点（5，0）的椭圆22221(0)x y a b a b +=>>与双曲线2213x y -=有共同的焦点， 则该椭圆的短轴长为（ ）A B ． C D ．8、设p ∶22,x x q --＜0∶12x x +-＜0，则p 是q 的 （ ） （A ）充分不必要条件（B ）必要不充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件9、定义在R 上的函数)(x f 既是偶函数又是周期函数，若)(x f 的最小正周期是π，且当]2,0[π∈x 时，x x f sin )(=，则)35(πf 的值为（ ） A. 21- B. 21 C. 23- D. 23 10．已知⎩⎨⎧>+-≤=0,1)1(0,cos )(x x f x x x f π，则)34()34(-+f f 的值为（ ） A ．2- B ．1- C ．1 D ．211．已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ ）A ．()0()0f x g x ''>>，B ．()0()0f x g x ''><，C ．()0()0f x g x ''<>，D ．()0()0f x g x ''<<，12．函数)(x f y =的图象是圆心在原点的单位圆的两段弧（如图），则不等式x x f x f 2)()(+-<的解集为（ ） A ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<<<-122022|x x x 或 B ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤<-<≤-122221|x x x 或 C ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<-<≤-220221|x x x 或 D ．⎭⎬⎫⎩⎨⎧≠<<-02222|x x x 且第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13、lim ∞→n =---+++12)12(312n n n _________. 14．若0a >，2349a =，则a 32log ． 15．设)6(log )(3+=x x f 的反函数为)(1x f-，若[][]276)(6)(11=+⋅+--n f m f ，则=+)(n m f ____ 16．若函数()f x =22(1)()x x ax b -++的图像关于直线2x =-对称,则()f x 的最大值是______.三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本题10分）函数)(x f y =在（-1，1）上是减函数，且为奇函数，满足0)2()1(2>-+--a f a a f ，试a 求的范围．18. （本小题满分12分） 已知函数()cos cos(),2f x x x x R π=++∈ （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 的单调增区间； （Ⅲ）若3()4f α=，求sin 2α的值.19．（本小题满分12分）已知等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项的和为n S ，且3S ，9S ，6S 成等差数列．（1）求3q 的值；（2）求证：2a ，8a ，5a 成等差数列．20. （本小题满分12分） 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆 / 小时）21.（本小题满分12分）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-->>的两个焦点为12:(2,0),:(2,0),F F P -点 在曲线C 上.（Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF的面积为求直线l 的方程22. （本小题满分12分）已知函数)(x f =1ln +-kx x .（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）证明：4)1(1ln 43ln 32ln -<++++n n n n （1,>∈*n N n ）桂林中学高三10月月考数学试题（理科）答案一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分．．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上．13、 1214． 3 15． 2 16． 16 三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本题10分）函数)(x f y =在（-1，1）上是减函数，且为奇函数，满足0)2()1(2>-+--a f a a f ，试a 求的范围．解： 由题意，0)2()1(2>-+--a f a a f ，即)2()1(2-->--a f a a f ，… 2分而又函数)(x f y =为奇函数，所以)2()1(2a f a a f ->--． …4分又函数)(x f y =在（-1，1）上是减函数，有 ⎪⎩⎪⎨⎧-<--<-<-<--<-a a a a a a 2112111122⎪⎩⎪⎨⎧<<-<<<<<<-⇒33312101a a a a 或31<<⇒a ． …8分 所以，a 的取值范围是)31(，．…10分18. （本小题满分12分） 已知函数()cos cos(),2f x x x x R π=++∈（Ⅰ）求()f x 的最小正周期； （Ⅱ）求()f x 的单调增区间；（Ⅲ）若3()4f α=，求sin 2α的值. 解： 解：x x x x x f sin cos )2cos(cos )(-=++=π1分 )sin 22cos 22(2x x -= 2分 )4cos(2π+=x ―――3分（Ⅰ）)(x f 的最小正周期为ππ212==T ； ―――4分 （Ⅱ）由2224k x k πππππ+≤+≤+ ， Z k ∈ 6分 得372244k x k ππππ+≤≤+， Z k ∈ 7分 )(x f 的单调增区间为37[2,2],44k k k Z ππππ++∈ ―――8分 （Ⅲ）因为43)(=αf ，即3cos sin 4αα-= 9分 169cos sin 21=-αα 11分 7sin 216α∴= ―――12分 19．（本小题满分12分）已知等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项的和为n S ，且3S ，9S ，6S 成等差数列．（1）求3q 的值； （2）求证：2a ，8a ，5a 成等差数列．解：（1）由3S ，9S ，6S 成等差数列，得9632S S S =+， 1分若q ＝1，则1639a S S =+，19182a S =， 3分由1a ≠0 得 9632S S S ≠+，与题意不符，所以q ≠1． 4分由9632S S S =+，得qq a q q a q q a --=--+--1)1(21)1(1)1(916131． 5分 整理，得9632q q q =+，由q ≠0，1，得213-=q ． 8分 （2）由（1）知：262841a q a a =⨯=，232521a q a a -=⨯= 10分 8528a a a a -=-，所以2a ，8a ，5a 成等差数列． 12分20. （本小题满分12分）提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流速度v （单位：千米/小时）是车流密度x （单位：辆/千米）的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时．研究表明：当20020≤≤x 时，车流速度v 是车流密度x 的一次函数．（Ⅰ）当2000≤≤x 时，求函数()x v 的表达式；（Ⅱ）当车流密度x 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）()()x v x x f ⋅=可以达到最大，并求出最大值．（精确到1辆/小时）解：（Ⅰ）由题意：当200≤≤x 时，()60=x v ；―――1分当20020≤≤x 时，设()b ax x v +=，显然()b ax x v +=在[]200,20是减函数，―――2分由已知得⎩⎨⎧=+=+60200200b a b a ，解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=320031b a ―――4分故函数()x v 的表达式为()x v =()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x ―――6分（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得()=x f ()⎪⎩⎪⎨⎧≤≤-<≤.20020,20031,200,60x x x x x ―――8分 当200≤≤x 时，()x f 为增函数，故当20=x 时，其最大值为12002060=⨯；―――9分当20020≤≤x 时，()()()310000220031200312=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+≤-=x x x x x f ，―――10分 当且仅当x x -=200，即100=x 时，等号成立．所以，当100=x 时，()x f 在区间[]200,20上取得最大值310000．―――11分 综上，当100=x 时，()x f 在区间[]200,0上取得最大值3333310000≈， 即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/小时．12分21、已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-->>的两个焦点为12:(2,0),:(2,0),F F P -点 在曲线C 上. （Ⅰ）求双曲线C 的方程；（Ⅱ）记O 为坐标原点，过点Q (0,2)的直线l 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F ，若△OEF的面积为 求直线l 的方程(Ⅰ)解法1：依题意，由a 2+b 2=4，得双曲线方程为142222=--a y a x （0＜a 2＜4＝， 将点（3，7）代入上式，得147922=--aa .解得a 2=18（舍去）或a 2＝2， 故所求双曲线方程为.12222=-y x ―――4分 解法2：依题意得，双曲线的半焦距c =2.2a =|PF 1|－|PF 2|=,22)7()23()7()23(2222=+--++ ∴a 2=2，b 2=c 2－a 2=2. ∴双曲线C 的方程为.12222=-y x ―――4分(Ⅱ)解法1：依题意，可设直线l 的方程为y =kx +2，代入双曲线C 的方程并整理，得(1－k 2)x 2－4kx －6=0.∵直线I 与双曲线C 相交于不同的两点E 、F , ∴⎩⎨⎧-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠-,33,10)1(64)4(,01222＜＜，＞k k k k k ∴k ∈(－1,3-)∪(1,3). ―――6分设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，则由①式得x 1+x 2=,16,142212k x x k k -=-于是 |EF |=2212221221))(1()()(x x k y y x x -+=-+- =|1|32214)(1222212212k k k x x x x k --+=-++∙∙―――8分 而原点O 到直线l 的距离d ＝212k +,―――9分∴S ΔOEF =.|1|322|1|32211221||21222222k k k k k k EF d --=--++=∙∙∙∙―――10分 若S ΔOEF ＝22，即,0222|1|3222422=--⇔=--k k k k 解得k =±2, 满足②.故满足条件的直线l 有两条，其方程分别为y =22+x 和.22+-=x y ―――12分解法2：依题意，可设直线l 的方程为y =kx +2,代入双曲线C 的方程并整理，得(1－k 2)x 2－4kx －6＝0. ①∵直线l 与比曲线C 相交于不同的两点E 、F ， ∴⎩⎨⎧-±≠⇔⎪⎩⎪⎨⎧-⨯+-=∆≠-.33,10)1(64)4(,01222＜＜，＞k k k k k ∴k ∈(－1,3-)∪(1,3). ②设E (x 1,y 1),F (x 2,y 2)，则由①式得|x 1－x 2|＝|1|322|1|4)(22221221k k k x x x x --=-∆=-+. ③当E 、F 在同一支上时（如图1所示），S ΔOEF ＝|S ΔOQF －S ΔOQE |=||||21||||||||212121x x OQ x x OQ -=-∙∙； 当E 、F 在不同支上时（如图2所示），S ΔOEF ＝S ΔOQF ＋S ΔOQE ＝.||||21|)||(|||212121x x OQ x x OQ -=+∙∙ 综上得S ΔOEF ＝||||2121x x OQ -∙，于是 由|OQ |＝2及③式，得S ΔOEF ＝|1|32222k k --. 若S ΔOEF ＝22，即0222|1|3222422=--⇔=--k k k k ,解得k =±2,满足②. 故满足条件的直线l 有两条，基方程分别为y =22+x 和y =.22+-22. （本小题满分12分）已知函数)(x f =1ln +-kx x .（Ⅰ）求函数)(x f 的单调区间；（Ⅱ）若0)(≤x f 恒成立，试确定实数k 的取值范围； （Ⅲ）证明：4)1(1ln 43ln 32ln -<++++n n n n （1,>∈*n N n ） （Ⅰ）解：函数)(x f 的定义域为),0(+∞， k xx f -='1)(. 当0≤k 时，01)(>-='k xx f ，则)(x f 在),0(+∞上是增函数； 当0>k 时，若)1,0(k x ∈，则01)(>-='k x x f ；若),1(+∞∈k x ，则01)(<-='k xx f . 所以)(x f 在)1,0(k 上是增函数，在),1(+∞k 上是减函数. …………4分 （Ⅱ）解：由（Ⅰ）知0≤k 时，则)(x f 在),0(+∞上是增函数，而01)1(>-=k f ，0)(≤x f 不成立， 故0>k .当0>k 时，由（Ⅰ）知)(x f 的最大值为)1(k f ，要使0)(≤x f 恒成立， 则需)1(kf =0ln ≤-k ，解得1≥k . …………………8分（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）知，当1=k 时有0)(≤x f 在),0(+∞恒成立，且)(x f 在),1(+∞上是减函数，0)1(=f ，所以1ln -<x x 在[)+∞,2上恒成立. 令2n x =，则1ln 22-<n n ，即)1)(1(ln 2+-<n n n ，从而211ln -<+n n n . 所以1ln 43ln 32ln ++++n n 21232221-++++<n =4)1(-n n …………12分。
广西全州县高级中学高三数学10月月考试题 理
全州高中2017届高三10月月考试题一、选择题（每小题5分，共60分。
） 1． i 是虚数单位，复数1i z =-，则22z z+=（ ） A ．1i -- B ．1i -+ C ．1i + D ．1i - 2．知全集U=R ，集合}{|1A x y x==-，集合{|0B x =＜x ＜2}，则()U C A B ⋃=（ ）A ．[1,)+∞B ．()1+∞，C ．[0)∞，+D ．()0∞，+ 3．“a=-1”是“直线2a x y 60-+=与直线4x (a 3)y 90--+=互相垂直”的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 C.既不充分也不必要条件 4．已知命题：01,:2≥++∈∀ax axR x p ，若p ⌝是真命题，则实数a 的取值范围是（ ）A ．]4,0( B ．[]4,0 C. ),4[]0,(+∞-∞Y D. ),4()0,(+∞-∞Y 5．在直角坐标平面内，已知函数()log (2)3(0a f x x a =++>且1)a ≠的图像恒过定点P ，若角θ的终边过点P ，则2cos sin 2θθ+的值等于（ ）A ．12-B ．12 C. 710 D ． 710- 6．已知点M ，N 是曲线x y πsin =与曲线x y πcos =的两个不同的交点，则|MN|的最小值为（ ） A ． 1B ．2C ．3 D. 07．设向量a 、b 满足:1=a ,2=b ,()0⋅-=a a b ,则a 与b 的夹角是（ ）A ．30︒B ．60︒C ．90︒D ．120︒8．如图所示为函数()()2sin f x x ωϕ=+(0,0ωϕπ>≤≤) 的部分图像,其中,A B 两点之间的距离为5, 那么()1f -=（ ）A ．2 B. 1 C ．-1 D ．2-9．如图，D 、E 、F 分别是ABC ∆的边AB 、BC 、CA 的中点，则AF DB -=u u u r u u u r（ ）A ．FD u u u rB ．FC C ．FED ．BE10．设函数21()8(0)()3(0)1x x f x x x x -<=≥⎧⎪⎨⎪+-⎩，若f （a ）＞1，则实数a 的取值范围是（ ）A.(2,1)-B.(,2)-∞-∪(1,)+∞C.（1，+∞）D.(,1)-∞-∪（0，+∞）11．曲线xy 2=与直线1-=x y 及4=x 所围成的封闭图形的面积是（ ）A. 2ln 2 B ．2ln 2- C ．2ln 4- D ．2ln 24-12．定义在R 上的函数(1)y f x =-的图像关于(1,0)对称，且当(),0x ∈-∞时，()()0f x xf x '+<（其中()f x '是()f x 的导函数），若()()()()0.30.333,log 3log 3,a f b f ππ=⋅=⋅3311log log 99c f ⎛⎫⎛⎫=⋅⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系是（ ）A. a b c >>B. c b a >>C. c a b >>D. a c b >>二、填空题（每小题5分，共20分）xy O122-AB13．曲线2x y e x =+在点（0，1）处的切线方程为 。
广西桂林中学高三数学10月月考试题 理 旧人教版【会员独享】
1 / 4桂林中学届高三第一次月考数学理科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
第Ⅰ卷（60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的。
1.已知集合M= {|ln(1)}x y x =-，集合(){,|,}(x N x y y e x R e ==∈为自然对数的底数），则N M = （ ）A ．}1|{<x xB ．}1|{>x xC ．}10|{<<x xD ．∅2．若()log ()f x x 121=2+1，则()f x 的定义域为 （ ）A. (,)1-02B. (,]1-02C. (,)1-+∞2D.(,)0+∞3.已知函数22log (2)()24(22a xx f x x x x x +≥⎧⎪==⎨-<⎪-⎩在点处）连续，则常数a 的值是（ ）Ａ.２ Ｂ.３ Ｃ.４ Ｄ.５4．设复数z 的共轭复数为z ，若1z i =-（i 为虚数单位）则2zz z+的值为 （ ） A ． i - B ．i C ． 1 D ．1-5．已知平面α，β，若直线α⊥l ，则βα//是β⊥l 的 （ ）A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件6. 在62()2x x-的二项展开式中，2x 的系数为 （ ） A ．154-B ．154C ．38-D ．387.在各项均为实数的等比数列{}n a 中，1414,2a a ==，则lim n n S →∞= （ ）A. 2B. 8C. 16D. 328．若()f x 是R 上的奇函数，且当0x >时，1()()12xf x =+，则()f x 的反函数的图象大致是 （ ）9.设函数)32sin()(π+=x x f ,则下列结论正确的是 （ ）A. ()f x 的图像关于直线3π=x 对称B. ()f x 的图像关于点)0,4(π对称C.把()f x 的图像向左平移12π个单位,得到一个偶函数的图像 D. ()f x 的最小正周期为π,且在]6,0[π上为增函数10．用5，6，7，8，9组成没有重复数字的五位数，其中有且仅有一个偶数夹在两个奇数之间的五位数的个数为 （ ）A ．36B ．48C ．72D ．12011．()f x 是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足()()0xf x f x '-<，对任意正数a ，b ，若a <b ，则必有 ( )A ．)()(a bf b af <B .)()(b af a bf < C.)()(b bf a af < D ．)()(a af b bf <12．已知定义在R 上的奇函数()f x 满足)()4(x f x f -=-，且在区间[0,2]上是增函数，则 ( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)第Ⅱ卷（非选择题共90分）二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡上）。
广西壮族自治区桂林市等3地2023-2024学年高三上学期10月月考数学试题(含答案)
普通高中2024届高三年级跨市联合适应性训练检测卷数学2023.10注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}1,3,7A =-，{}4,7B =，{}26C x x =-≤≤，则()A B C = （）A.{}1,3- B.{}1,3,4- C.{}3,4,7 D.{}26x x -≤≤2.若复数5i43iz =-，则z =（）A.34i 55+ B.34i 55-+ C.34i 55-- D.34i 55-3.抛物线24y x =-的焦点到点()3,2A -的距离为（）A .B.C. D.4.2020年11月1日零时广西14个地区人口的男、女性别比如下表所示：地区南宁市柳州市桂林市梧州市玉林市防城港市钦州市男、女性别比/%106.71107.74103.33106.77107.81119.01110.66地区贵港市北海市百色市贺州市河池市来宾市崇左市男、女性别比/%108.29108.48104.69105.66104.18107.52108.90根据表中数据可知，这14个数据的第60百分位数对应的地区是（）A.柳州市B.南宁市C.北海市D.玉林市5.将曲线sin2y x =向左平移12π个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到曲线()y f x =，则下列结论错误的是（）A.曲线()y f x =关于直线6x π=轴对称B.函数()f x 的最小值为2-C.曲线()y f x =关于点5,112π⎛⎫- ⎪⎝⎭中心对称D.函数()f x 在0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增6.已知正四棱锥P ABCD -的每个顶点都在表面积为36π的球O 的球面上，4AB =，则PD =（）A. B. C.2或4D.47.设0.29a =，0.33b =，ln1.33c =，则（）A.c b a<< B.b c a<< C.a c b<< D.a b c<<8.103321331xxx⎛⎫-+- ⎪⎝⎭的展开式中，31x的系数为（）A.60- B.60C.120- D.120二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.如图，在矩形ABCD 中，3AD AB =，3AD AE = ，2C D C F =，则（）A.4233BE BF BC BA+=+ B.0EB BF ⋅<C.4332BE BF BC AB+=- D.BE 在CB上的投影向量为13CB- 10.若函数()f x 的定义域与值域相同，则()f x 的解析式可能为（）A.()ln 2xf x = B.())2log 1f x =C.()21f x x =D.()717x f x x +=-11.山东东阿盛产阿胶，阿胶与人参、鹿茸并称“中药三宝”．阿胶的主要原料是驴皮，配以冰糖、绍酒、豆油等十几种辅料，用东阿特有的含多种矿物质的井水、采取传统的制作工艺熬制而成．已知每盒某阿胶产品的质量M （单位：g ）服从正态分布()2250,N σ，且()2510.75P M <=，()2492530.7P M <<=．（A.若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量大于249g 的概率为0.75B.若从该阿胶产品中随机选取1盒，则这盒阿胶产品的质量在251g 253g ~内的概率为0.15C.若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量大于253g 的盒数的方差为47.5D.若从该阿胶产品中随机选取1000盒，则质量在251g 253g ~内的盒数的数学期望为20）12.已知曲线C：y =()30A -,，()3,0B ，P 为C 上异于A ，B 的一点，直线AP 与直线5x =交于点M ，直线BP 与直线6x =交于点N ，则（）A.存在两个定点，使得P 到这两个定点的距离之和为定值B.直线AP 与直线BP 的斜率之差的最小值为13C.MN的最小值为3D.当直线AP 的斜率大于13时，MN大于3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.若某等差数列的第2项为2，第5项为7，则该等差数列的公差为______．14.已知tan 2α=，tan 3β=，则()()tan tan βαβα+=-______.15.已知某地居民中青少年、中年人、老年人暑期去广西桂林旅游的概率分别为0.1，0.2，0.15，且该地居民青少年、中年人、老年人的人数比例为4:3:3，若从该地居民（仅指青少年、中年人、老年人）中任选一人，则此人暑期去桂林旅游的概率为______．16.在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1内，放入一个以AC 1为铀线的圆柱，且圆柱的底面所在平面截正方体所得的截面为三角形，则该圆柱体积的最大值为______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.a ，b ，c 分别为ABC 的内角,,A B C 的对边．已知()3tan cos cos b B a C c A π=--．（1）求tan B ；（2）若b =，c =，A C >；求ABC 的面积．18.某工厂的工人生产内径为28.50mm 的一种零件，为了了解零件的生产质量，在某次抽检中，从该厂的1000个零件中抽出60个，测得其内径尺寸（单位：mm ）如下：28.5113⨯28.526⨯28.504⨯28.4811⨯28.49p⨯28.541⨯28.537⨯28.47q⨯这里用x n ⨯表示有n 个尺寸为mm x 的零件，p ，q 均为正整数.若从这60个零件中随机抽取1个，则这个零件的内径尺寸小干28.49mm 的概率为415.（1）求p ，q 的值.（2）已知这60个零件内径尺寸的平均数为mm x ，标准差为mm s ，且0.02s =，在某次抽检中，若抽取的零件中至少有80%的零件内径尺寸在,x s x s ⎡⎤-+⎣⎦内，则称本次抽检的零件合格.试问这次抽检的零件是否合格？说明你的理由.19.如图，在底面为菱形的四棱锥P ABCD -中，120BAD ∠=︒，2AB PA PB ===，PD =（1）证明：平面PAB ⊥平面ABCD ．（2）求二面角B PA D --的余弦值．20.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11n n a S +=+，数列{}n S 的前n 项和为n T ，且11T =．（1）求{}n a 的通项公式与n T ；（2）设数列n n T a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n R ，证明：48n R n >-．21.已知双曲线22221x y a b-=过点53,2⎛⎫ ⎪⎝⎭和点(．（1）求双曲线的离心率；（2）过()0,1M 的直线与双曲线交于P ，Q 两点，过双曲线的右焦点F 且与PQ 平行的直线交双曲线于A ，B 两点，试问MP MQ AB⋅是否为定值？若是定值，求该定值；若不是定值，请说明理由．（2）证明：存在m ，使得函数()()22.已知函数f (x )=8ex +m-(4m 2+4m +9)(x -m )．（1）当m =0时，求曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程；f x g x x=在()0,∞+上单调递增；（3）若()0f x ≥，求m 的取值范围．普通高中2024届高三年级跨市联合适应性训练检测卷数学2023.10注意事项：1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上．2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．4．本试卷主要考试内容：高考全部内容．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】C【4题答案】【答案】D【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】A【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】D二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．【9题答案】【答案】BCD【10题答案】【答案】ABD【11题答案】【答案】ACD【12题答案】【答案】AC三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．【13题答案】【答案】5 3【14题答案】【答案】7-【15题答案】【答案】0.145##29 200【16题答案】【答案】9四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．【17题答案】【答案】（1）1 tan3 B=（2）2【18题答案】【答案】（1）135 pq=⎧⎨=⎩（2）不合格，理由见解析【19题答案】【答案】（1）证明见解析（2）5-．【20题答案】【答案】（1）12n n a -=，122n n T n +--=．（2）证明见解析【21题答案】【答案】（1）32（2）是，定值为65．【22题答案】【答案】（1）8y x =-+（2）证明见解析（3）1,2⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭。
广西壮族自治区桂林市白石中学高三数学理月考试题含解析
广西壮族自治区桂林市白石中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若集合A＝{x||x|>1，x∈R}，B＝{y|y＝2x2，x∈R}，，则(?R A)∩B＝()A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．?参考答案：C略2. 已知是定义在上的奇函数,当时, ,若,则实数的取值范围是( )A. B. C. D.参考答案：B3. “”是“直线与直线互相平行”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件参考答案：B略4. 在下列区间中，函数-的零点所在的区间为（）A．（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）参考答案：B略5. 如图，从双曲线的左焦点F引圆的切线，切点为T，延长FT交双曲线右支于P点，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则的大小关系为（）A．B．C．D．大小关系不确定参考答案：答案:B6. 已知函数在处取得极值，若，则的最小值为（）A. －4B. －2C. 0D. 2参考答案：A【分析】令导函数当时为，列出方程求出值，利用导数求出的极值，判断极小值且为最小值．【详解】解：，函数在处取得极值，，解得，，∴当时，，，令得（舍去），由于递减，递增．所以时，取极小值，也为最小值，且为?4．故答案为：?4．故选：A.【点睛】本题考查了利用导数求单调区间和极值，以及求闭区间上函数的最值，求函数在闭区间上的最大值与最小值是通过比较函数在内所有极值与端点函数比较而得到的，是中档题．7. 已知||=1，||=2，=﹣，且⊥，则的夹角为( )A．30°B．60°C．120°D．150°参考答案：B【考点】数量积表示两个向量的夹角．【专题】计算题．【分析】根据两个向量垂直写出两个向量的数量积为0，整理出要的结果是两个向量的数量积是1，这两个向量的夹角的余弦就可以通过用两个向量的数量积除以两个向量的模长的积表示．根据角的范围得到结果．【解答】解：∵=﹣，且⊥，∴（﹣）?=0，∴∴=1，∴cosθ==，∵θ∈∴θ=60°故选B．【点评】本题考查两个向量的数量积来表示两个向量的夹角，解决本题要注意的是求出两个向量的夹角的余弦值以后，注意写出夹角的范围，从而得到结果．8. 已知，不等式在上恒成立，则实数的取值范围是(A) (B) (C) (D)参考答案：A9. 函数f(x)的定义域为R，f(-1)=2,对任意，,则的解集为( )A.(-1，1)B.(-1，+∞)C.(-∞，-l)D.(-∞,+∞)参考答案：B设, 则，，对任意，有，即函数在R上单调递增，则的解集为，即的解集为，选B.10. 命题“函数是偶函数”的否定是A. B. ，C.，D.参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 数列{a n}的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若，则位于第10行的第8列的项等于，在图中位于．（填第几行的第几列）参考答案： 第行的第列略12. 已知函数若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是 ▲ .参考答案：13. 正方体的棱长为，是它的内切球的一条弦（我们把球面上任意两点之间的线段称为球的弦），为正方体表面上的动点，当弦的长度最大时，的取值范围是 ． 参考答案：14. 我校在科艺节时进行高一数学竞赛，将考生的成绩分成90分以下、90～120分、120～150分三种情况进行统计，发现三个成绩段的人数之比依次5∶3∶1，现用分层抽样的方法抽出一个容量为m 的样本，其中分数在90～120分的人数是45，则此样本的容量m ＝________参考答案：135略15. =__________ 参考答案：略16. 下列命题： ①若函数为奇函数，则=1;②函数的周期③方程有且只有三个实数根；④对于函数，若，则.以上命题为真命题的是．（写出所有真命题的序号）参考答案：①②③由函数为奇函数知即.故①正确，易知②也正确，由图象可知③正确，④错误.17. 工人在安装一个正六边形零件时，需要固定如图所示的六个位置的螺丝，第一阶段，首先随意拧一个螺丝，接着拧它对角线上（距离它最远的，下同）螺丝，再随意拧第三个螺丝，第四个也拧它对角线上螺丝，第五个和第六个以此类推，但每个螺丝都不要拧死;第二阶段，将每个螺丝拧死，但不能连续拧相邻的2个螺丝。
2023-2024学年广西桂林市高一上学期10月月考质量检测数学试题(含解析)
2023-2024学年广西桂林市高一上册10月月考数学试题一、单选题1．下列关系中，正确的是（）A ．-2∈N +B ．32∈Z C ．π∉Q D ．5∉N【正确答案】C【分析】根据自然数集、正整数集、整数集以及有理数集的含义判断数与集合关系.【详解】对于A ，-2是负整数，则-2∉N +，A 错误；对于B ，32是分数，则32∉Z ，B 错误；对于C ，π是无理数，则π∉Q ，C 正确；对于D ，5是正整数，则5∈N ，D 错误；故选：C2．已知{}31,,2a a ∈-，则实数a 的值为（）A ．3B ．5C ．3或5D ．无解【正确答案】B【分析】根据元素与集合关系分类讨论，并验证集合的互异性，即可求解.【详解】因为{}31,,2a a ∈-，当3a =时，21a -=，不符合集合的互异性，故3a =舍去；当23a -=时，5a =，集合为{}1,3,5，符合集合互异性，故5a =.故选：B3．集合{}|12A x x =-<<，{}|01B x x =<<，，则（）A ．B A ∈B ．A B ⊆C ．B A ⊆D ．A B=【正确答案】C由集合间的包含关系即可判断.【详解】解：{}|12A x x =-<< ，{}|01B x x =<<，B A ∴⊆.故选：C.4．设集合{}{}2,3,5,1,2,4,6A B ==，则韦恩图中阴影部分表示的集合的真子集个数是（）A ．4B ．3C ．2D ．1【正确答案】B 【分析】根据图形求出集合中的元素，再根据真子集个数公式21n -求解即可.【详解】由图可知，韦恩图中阴影部分表示的集合中的元素属于集合A ，但不属于B ，因为{}{}2,3,5,1,2,4,6A B ==，所以阴影部分表示的集合为{}3,5，所以其真子集个数为2213-=.故选：B.5．命题“R x ∃∈，2220x x -+”的否定是（）A ．R x ∃∈，2220x x -+B ．R x ∃∈，2220x x -+>C ．R x ∀∈，2220x x -+>D ．R x ∀∈，2220x x -+【正确答案】C【分析】根据存在量词命题的否定为全称量词命题判断即可；【详解】解：命题“R x ∃∈，2220x x -+”为存在量词命题，其否定为：R x ∀∈，2220x x -+>；故选：C6．已知全集R U =，集合{(1)(2)0}M x x x =-+≥∣，{13}N x x =-≤≤∣，则()U M N ⋂=ð（）A ．[1,1)-B ．[1,2]-C ．[2,1]--D ．[1,2]【正确答案】A 【分析】先由一元二次不等式的解法求得集合M ，再由集合的补集、交集运算求得答案.【详解】解：由题意可得：由(1)(2)0x x -+≥得1x ≥或2x ≤-，所以(][)21M =-∞-+∞ ，，，则：()C 2,1U M =-，又{13}N x x =-≤≤∣，所以()U M N ⋂=ð[)1,1-.故选：A ．7．“2x >”是“24x >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A 解不等式24x >后，根据集合的包含关系可得解.【详解】因为24x >等价于2x >或<2x -，所以“2x >”是“24x >”的充分不必要条件.故选：A结论点睛：本题考查充分不必要条件的判断，一般可根据如下规则判断：（1）若p 是q 的必要不充分条件，则q 对应集合是p 对应集合的真子集；（2）p 是q 的充分不必要条件，则p 对应集合是q 对应集合的真子集；（3）p 是q 的充分必要条件，则p 对应集合与q 对应集合相等；（4）p 是q 的既不充分又不必要条件，q 对的集合与p 对应集合互不包含．8．若,,R a b c ∈且a b >，则下列不等式成立的是（）A ．22a b >B ．11a b <C ．a c b c>D ．2211a b c c >++【正确答案】D【分析】对于ABC ，举反例排除即可；对于D ，利用不等式的性质即可判断.【详解】对于A ，令2,3a b ==-，则a b >，但22a b <，故A 错误；对于B ，令2,3a b ==-，则a b >，但11a b>，故B 错误；对于C ，令0c =，则a c b c =，故C 错误；对于D ，因为2c ≥0，则210c +>，即2101c >+，又a b >，所以2211a b c c >++，故D 正确.故选：D.9．已知不等式210ax bx --≥的解集是11,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则不等式20x bx a --<的解集是A ．()2,3B ．11,32⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．11,,32⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()3,2--【正确答案】D【详解】∵不等式ax2﹣bx ﹣1≥0的解集是1132⎡⎤⎢⎥⎣⎦，，∴a ＜0，∴方程ax2﹣bx ﹣1=0的两个根为12，13，﹣b a -=12+13，1a -=16，∴a=﹣6，b=﹣5，∴x2﹣bx ﹣a ＜0，∴x2+5x+6＜0，∴（x+2）（x+3）＜0，∴不等式的解集为：()3,2--．故选D点睛：（1）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．（2）解含参数的一元二次不等式，要把握好分类讨论的层次，一般按下面次序进行讨论：首先根据二次项系数的符号进行分类，其次根据根是否存在，即判别式的符号进行分类，最后当根存在时，再根据根的大小进行分类．10．当x R ∈时，不等式210kx kx -+>恒成立，则k 的取值范围是A ．(0,)+∞B ．[)0,∞+C ．[)0,4D ．（0，4）【正确答案】C【详解】当0k =时，不等式210kx kx -+>可化为10>，显然恒成立；当0k ≠时，若不等式210kx kx -+>恒成立，则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点，则20 40k k k >⎧⎨=-<⎩ 解得：04k <<，综上k 的取值范围是[)0,4，故选C.11．已知集合{|135}A x a x a =+≤≤-，{|322}B x x =<<，且A B A = ，则实数a 的取值范围是（）A ．(,9]-∞B ．(,9)-∞C ．[2,9]D ．(2,9)【正确答案】B 由A B A = 得到A B ⊆，建立不等式，即可求出a 的取值范围．【详解】解： {|135}A x a x a =+≤≤-，{|322}B x x =<<，且A B A= 所以A B ⊆，当A =∅时，135a a +>-解得3a <；当A ≠∅时，∴352213513a a a a -<⎧⎪+≤-⎨⎪+>⎩解得39a ≤<9a ∴<故选：B本题考查集合的包含关系，考查解不等式，属于基础题．12．已知0,0,31x y x y >>+=，若23124m m x y +>++恒成立，则实数m 的取值范围是（）A ．{}24m m -<<B ．{}42m m -<<C ．{4m m <-或}2m >D ．{2m m <-或}4m >【正确答案】B 【分析】利用基本不等式可得3112x y +≥，由条件可知22412m m ++<即求.【详解】∵0,0,31x y x y >>+=，∴31319()(3)6612yxx y x y x y x y +=++=++≥+=，当且仅当9yxx y =即3x y =取等号，由23124m m x y +>++恒成立，∴22412m m ++<，∴42m -<<.故选：B.二、多选题13．若集合{}{}1,2,3,41,2,3,5A B =-=，，则（）A ．{}2,3AB ⋂=B ．{}1,1,2,3,4,5A B =- C ．A B ⊆D ．A B A B= 【正确答案】AB【分析】利用集合的交并运算与子集的概念，对选项逐一分析即可.【详解】对于AB ，因为{}{}1,2,3,41,2,3,5A B =-=，，所以{}2,3A B ⋂=，{}1,1,2,3,4,5A B =- ，故AB 正确；对于C ，因为1A -∈，但1B -∉，所以A B ⊆不成立，故C 错误；对于D ，由选项AB 易知A B A B ⋂≠⋃，故D 错误.故选：AB.14．已知,a b ∈R ，则下列叙述中正确的是（）A ．若a b >，则11a b<B ．函数y ＝x ＋2m x -(x >2)的最小值为6，则正数m 的值为4C ．“1a >”是“2a a >”的充分不必要条件D ．命题“1a ∀≥，210a -≥”的否定是“1∃<a ，210a -<”【正确答案】BC【分析】利用赋值法可判断选项A ，利用基本不等式可以判断选项B ，根据充分条件和必要条件的可判断选项C ，根据全称命题的否定可判断选项D.【详解】当1a =，1b =-时，满足a b >，而11a b<不成立，选项A 错误.由2x >，0m >，由基本不等式，2222m y x x =-++≥++-，当2x =+时取等号，又函数(2)2m y x x x =+>-的最小值为6.26+=，则正数m 的值为4，选项B 正确.当1a >时，2(1)0a a a a -=->，即2a a >，故充分性成立当2a a >时，有a<0或1a >，故1a >不一定成立，故必要性不成立，“1a >”是“2a a >”的充分不必要条件，选项C 正确.命题“1a ∀≥，210a -≥”的否定是“1a ∃≥，210a -<”，故选项D 错误.故选：BC15．已知不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则下列结论正确的是（）A ．0a >B ．0b >C ．0c >D ．0a b c ++>【正确答案】BCD 【分析】对A ，根据一元二次方程与一元二次函数的关系即可判断；对B ，C ，利用韦达定理即可判断；对D ，根据韦达定理以及0b >，即可求解.【详解】解：对A ， 不等式20ax bx c ++>的解集为1|22x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，故相应的二次函数2y ax bx c =++的图象开口向下，即a<0，故A 错误；对B ，C ，由题意知：2和12-是关于x 的方程20ax bx c ++=的两个根，则有12()102c a =⨯-=-<，132()022b a -=+-=>，又0a < ，故0,0bc >>，故B ，C 正确；对D ，1c a=- ，0a c ∴+=，又0b > ，0a b c ∴++>，故D 正确.故选：BCD.三、填空题16．设2251,41M a a N a a =-+=+-，则M 与N 的大小关系为：M ______N （用“<”、“=”、“>”填写）.【正确答案】>【分析】利用作差法与配方法即可得解.【详解】因为2251,41M a a N a a =-+=+-，所以()()222251410N a a M a a a a a -++=--=--+-+>=，所以M N >.故答案为.>17．不等式2680x x -+->的解集为_____．【正确答案】()2,4（或写成{|24}x x <<）【分析】根据一元二次不等式的解法解不等式即可．【详解】原不等式等价于：2680x x -+<即()()240x x --<，可得{|24}x x <<．故答案为()2,4（或写成{|24}x x <<）解一元二次不等式时，当二次项系数为负时要先化为正，再根据判别式符号判断对应方程根的情况，然后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集．18．若()1,x ∈+∞，则131y x x =+-的最小值是_____．【正确答案】3+【分析】由已知可知()11y 3x 3x 13x 1x 1=+=-++--，然后利用基本不等式即可求解．【详解】解：x 1> ，()11y 3x 3x 13x 1x 1∴=+=-++--33≥+=+，（当且仅当13x =+取等号）故答案为3+．本题主要考查了利用基本不等式求最值，解题的关键是配凑积为定值，属于基础试题．19．已知2,:20p x a q x x ≥-->:，若p 是q 的充分不必要条件，则a 的取值范围是______.【正确答案】()2,+∞【分析】先化简条件q ，再充分不必要条件的性质得到集合间的关系，从而利用数轴法即可得解.【详解】由220x x -->，得1x <-或2x >，所以2:20q x x -->等价于1x <-或2x >，因为p 是q 的充分不必要条件，所以{}x x a ≥是{1x x <-或}2x >的真子集，所以2a >，即()2,a ∈+∞.故()2,+∞20．若关于x 的不等式2420x x a --->在区间[]1,4内有解，则a 的取值范围是_________.【正确答案】(),2-∞-【分析】将问题转化为242a x x <--在区间[]1,4内有解，从而求得()242f x x x =--的最大值即可得解.【详解】因为2420x x a --->在区间[]1,4内有解，所以242a x x <--在区间[]1,4内有解，令()242f x x x =--，则()f x 开口向上，对称轴为2x =，所以()f x 在[)1,2上单调递减，在(]2,4上单调递增，又()2114125f =-⨯-=-，()2444422f =-⨯-=-，故()max 2f x =-，所以2a <-，即(),2a ∈-∞-.故答案为.(),2-∞-四、解答题21．已知集合{}260A x x x =--≤，{}04,|B x x R =<<为实数集.（1）求A B ⋃；（2）求()R A B ð.【正确答案】（1）{}24x x -≤<；（2）{}20x x -≤≤.【分析】先求解一元二次不等式得集合A ，（1）根据并集定义求解即可；（2）先求B R ð，再求()R A B ð即可.【详解】()1由26230()()x x x x +--=-≤，得23x -≤≤，则{|23}A x x =-≤≤.因为{}04,|B x x =<≤所以{}24A B x x ⋃=-≤<.()2由题意可得{0R B x x =≤ð或4}x ≥，则(){}20R A B x x ⋂=-≤≤ð.22．若不等式2520ax x +->的解集是122x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭，（1）求a 的值；（2）求不等式22510ax x a -+->的解集.【正确答案】（1）2-；（2）1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭.【分析】（1）根据不等式的解集可得对应的一元二次方程的两根，由韦达定理可解得结果；（2）代入a 的值，解一元二次不等式可得结果.【详解】（1）依题意可得：252ax x +-=0的两个实数根为12和2，由韦达定理得：1522a+=-，解得：2a =-；.（2）则不等式22510ax x a -+->，可化为22530x x --+>.所以22530x x +-<，所以(21)(3)0x x -+<，所以132x -<<，故不等式22510ax x a -+->的解集1|32x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭..本题考查了一元二次不等式的解法，属于基础题.23．（1）已知x >0，求函数y ＝254++x x x的最小值；（2）已知0<x <12，求y ＝12x (1－2x )的最大值.【正确答案】（1）9（2）116（1）将y ＝254++x x x，变形为y ＝x ＋4x ＋5，再利用基本不等式求解.注意等号成立的条件.（2）根据0<x <12，则1－2x >0，将y ＝12x (1－2x )，变形为y ＝14×2x (1－2x )，再利用基本不等式求解.注意等号成立的条件.【详解】（1）∵y ＝254++x x x＝x ＋4x ＋＋5＝9，当且仅当x ＝4x即x ＝2时等号成立.故y ＝254++x x x(x >0)的最小值为9.（2）∵0<x <12，∴1－2x >0，∴y ＝14×2x (1－2x )≤14×22122+-⎛⎫ ⎪⎝⎭x x ＝14×14＝116.∴当且仅当2x ＝1－2x 102⎛⎫<< ⎪⎝⎭x ，即x ＝14时，ymax ＝116.本题主要考查基本不等式求最值，还考查了变形转化的能力，属于中档题.24．已知集合{}2340A x x x =--<，{}()224500B x x mx m m =+-<>(1)若集合{}51B x x =-<<，求此时实数m 的值；(2)已知命题:p x A ∈，命题:q x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围.【正确答案】(1)1(2)[)4,+∞【分析】(1){|51}B x x =-<<，得方程22450x mx m +-=的两根为5-，1，可解出1m =.(2)由p 是q 的充分条件，知A B ⊆，利用集合的包含关系求实数m 的取值范围.【详解】（1）22{|450}{|51}B x x mx m x x =+-<=-<<，∴方程22450x mx m +-=的两根为5-，1，知514m -+=-，解得1m =，当1m =时，不等式22450x mx m +-<为2450x x -<+，即()()510x x +-<，解得51x -<<此时满足{|51}B x x =-<<，故实数m 的值为1；（2）由p 是q 的充分条件，知A B ⊆，又2{|340}{|14}A x x x x x =--<=-<<，()(){|50}B x x m x m =-+<，因为0m >，所以5m m -<，则{|5}B x m x m =-<<，由A B ⊆，则有514m m -≤-⎧⎨≥⎩，解得154m m ⎧≥⎪⎨⎪≥⎩，即4m ≥，所以m 的范围是[)4,+∞.25．如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm ，宽为ym．(1)若菜园面积为72m 2，则x ，y 为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m ，求12x y+的最小值．【正确答案】(1)菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小(2)310．【分析】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．利用基本不等式x +2y（2）由已知得x +2y ＝30，利用基本不等式（12x y +）•（x +2y ）＝522y x x y ++≥得出．【详解】（1）由已知可得xy ＝72，而篱笆总长为x +2y ．又∵x +2y =24，当且仅当x ＝2y ，即x ＝12，y ＝6时等号成立．∴菜园的长x 为12m ，宽y 为6m 时，可使所用篱笆总长最小．（2）由已知得x +2y ＝30，又∵（12x y +）•（x +2y ）＝522y x x y ++≥9，∴12310x y +≥，当且仅当x ＝y ，即x ＝10，y ＝10时等号成立．∴12x y +的最小值是310．26．己知命题[]20001,1,0p x x x m ∃∈---≥:是假命题.(1)求实数m 的取值集合B ；(2)设不等式()()320x a x a ---<的解集为A ，若x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，求实数a 的取值范围.【正确答案】(1)()2,B =+∞(2)2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【分析】（1）由题意得到p ⌝是真命题，从而将问题转化为二次函数在区间内恒成立问题，由此得解；（2）先由必要不充分条件的性质得到集合A 是集合B 的真子集，再分类讨论得到解集A ，从而列不等式求得a 的取值范围.【详解】（1）因为命题[]20001,1,0p x x x m ∃∈---≥:是假命题，所以命题[]2:1,1,0p x x x m ⌝∀∈---<是真命题，所以2m x x >-在[]1,1x ∈-上恒成立，令()()211f x x x x =--≤≤，则()f x 开口向上，对称轴为12x =，所以()f x 在11,2⎡⎫-⎪⎢⎣⎭上单调递减，在1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，又()()()21112f -=---=，()21110f =-=，所以()()max 12f x f =-=，所以m>2，即()2,m ∈+∞，故()2,B =+∞.（2）因为x B ∈是x A ∈的必要不充分条件，所以集合A 是集合B 的真子集，又()2,B =+∞，因为()()320x a x a ---<对应的方程()()320x a x a ---=的根为3x a =或2x a =+，当32a a >+，即1a >时，由()()320x a x a ---<得23a x a +<<，则()2,3A a a =+，所以22a +≥，则0a ≥，故1a >；当32a a =+，即1a =时，由()()320x a x a ---<得()230x -<，显然x ∈∅，即A =∅，满足题意；当32a a <+，即1a <时，由()()320x a x a ---<得32a x a <<+，则()3,2A a a =+，所以32a ≥，则23a ≥，故213a ≤<；综上：23a ≥，即2,3a ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭.。
2023-2024学年广西桂林市高二上册10月月考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年广西桂林市高二上册10月月考数学模拟试题一、单选题1．直线23y x =-+的倾斜角为（）A ．30︒B ．60︒C ．120︒D ．150︒【正确答案】D【分析】根据斜率求得倾斜角.【详解】直线23y x =-+的斜率为3k =-，设直线的倾斜角为tan 3αα=-，，又0180α︒≤<︒，即150α=︒，故选：D2．以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程是（）A ．222x y +=B ．224x y +=C ．()()22228x y -+-=D ．22x y +=【正确答案】B【分析】根据题意直接写出圆的标准方程即可.【详解】以原点为圆心，2为半径的圆的标准方程为224x y +=.故选：B3．已知直线()1:2l y a x b -=-与直线2:1l y kx =+垂直，则k =（）A ．2B ．12C ．2-D ．12-【正确答案】D【分析】根据直线垂直斜率之积为1-求解即可.【详解】直线()1:2l y a x b -=-斜率为2，直线2:1l y kx =+斜率为k ，又两直线垂直，故21k =-，12k =-.故选：D4．椭圆()221026x y k k k+=>的离心率为（）ABCD ．12【正确答案】A【分析】由题可知a b c 、、的值，由离心率ce a=求出结果．【详解】由题意知椭圆中，a =b =c ==故离心率c e a ==故选：A ．5．已知直线20l x y -+=:与圆22:220C x y y m +--=相离，则实数m 的取值范围是（）A ．(),0∞-B ．1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭D ．11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭【正确答案】D【分析】由圆心到直线的距离大于半径即可求解.【详解】由22220x y y m +--=，得()22121x y m +-=+，∵直线20l x y -+=:与圆22:220C x y y m +--=相离，∴210,m +>⎧>1124m -<<-．∴实数m 的取值范围是11,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭，故选:D ．6．已知圆2260x y x +-=，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（）A ．1B ．2C ．3D ．4【正确答案】B【分析】当直线和圆心与点(1,2)的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆2260x y x +-=化为22(3)9x y -+=，所以圆心C 坐标为(3,0)C ，半径为3，设(1,2)P ，当过点P 的直线和直线CP 垂直时，圆心到过点P 的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时||CP ==根据弦长公式得最小值为2==.故选：B.本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.7．若圆()222:C x y a r +-=（r 为圆C 的半径）关于直线:10l x y -+=对称，则=a （）A ．1B ．1-C ．rD ．r-【正确答案】A【分析】由题意可知直线l 过圆心C ，由此可求得实数a 的值.【详解】由题意可知直线l 过圆心()0,C a ，所以，010a -+=，解得1a =.故选：A.8．直线kx －y ＋2－k ＝0与圆x 2＋y 2－2x －8＝0的位置关系为（）A ．相交、相切或相离B ．相交或相切C ．相交D ．相切【正确答案】C【分析】方法一：求出直线过的定点，确定定点在圆内部，确定直线与圆相交；方法二：求出圆的圆心和半径，从而利用点到直线距离公式确定圆心到直线距离，与半径比较得到直线与圆相交.【详解】方法一:直线kx －y ＋2－k ＝0的方程可化为k (x －1)－(y －2)＝0，该直线恒过定点(1，2).因为2212280+--<，所以点(1，2)在圆x 2＋y 2－2x －8＝0的内部，所以直线kx －y ＋2－k ＝0与圆x 2＋y 2－2x －8＝0相交.方法二:圆的方程可化为(x －1)2＋y 2＝32，所以圆的圆心为(1，0)，半径为3.圆心到直线kx －y ＋2－k ＝023≤<，所以直线与圆相交.故选：C二、多选题9．已知椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，则这个椭圆的标准方程可以为（）A ．22110084x y +=B ．221259x y +=C ．22110084y x +=D ．221259y x +=【正确答案】BD【分析】由题意得到210,4a c ==，再根据222b a c =-,求出2b ，分焦点在x 轴和y 轴上写出标准方程即可【详解】解：因为椭圆的长轴长为10，其焦点到中心的距离为4，所以2104a c =⎧⎨=⎩，解得54a c =⎧⎨=⎩，又225169b =-=，所以当椭圆的焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程为221259x y +=；当椭圆的焦㤐在y 轴上时，椭圆的标准方程为221259y x +=，故选：BD10．垂直于直线10x y -+=，且与圆224x y +=相切的直线的方程是（）A ．0x y ++=B ．20x y +-=C ．0x y +-D ．20x y ++=【正确答案】AC【分析】根据垂直关系设出方程，利用直线与圆相切求出方程.【详解】由224x y +=得其圆心为（0，0），半径2r =，由题意可设所求直线方程为0x y C ++=，则圆心到直线0x y C ++=的距离2d ==，解得C =±，所以所求直线方程为0x y ++=或0x y +-=．故选：AC ．11．点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【正确答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则需1290F BF ∠≥︒，2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤，则222a b ≥，所以选项AC 满足.故选：AC.12．椭圆22:143x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点P 在椭圆C 上，若方程340mx y m ++-=所表示的直线恒过定点M ，点Q 在以点M 为圆心，C 的长轴长为直径的圆上，则下列说法正确的是（）A ．椭圆C 的离心率为12B ．12PF PF ⋅的最大值为4C ．12PF F △的面积可能为2D ．2PQ PF -的最小值为6【正确答案】ABD【分析】A ：根据椭圆方程可直接求得2a =，b =，1c =，和离心率ce a=；B ：由椭圆的定义可得124PF PF +=，结合不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭代入运算；C ：点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大，计算判断；D ：利用椭圆定义和圆的性质转化处理．【详解】对于选项A ，由椭圆C 的方程知2a =，b =1c =，所以离心率12c e a ==，故选项A 正确；对于选项B ，由椭圆的定义可得124PF PF +=，所以2121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭，即12PF PF ⋅的最大值为4，故选项B 正确；对于选项C ，当点P 位于椭圆的上、下顶点时，12PF F △的面积取得最大值1222⨯=<，故选项C 错误；对于选项D ，易知()3,4M -，则圆()()22:344M x y ++-=，所以()211144246PQ PF PQ PF QF MF -=--≥-≥--=-，故选项D 正确，故选：ABD ．三、填空题13．若椭圆221254x y +=上一点P 到焦点1F 的距离为3，则点P 到另一焦点2F 的距离为______．【正确答案】7【分析】根据椭圆的方程算出椭圆的长轴210a =，再由点P 到椭圆一个焦点的距离为3，利用椭圆的定义即可算出点P 到另一焦点的距离.【详解】椭圆方程为：221254x y +=∴椭圆的焦点在x 轴上，∴225a =且24b =可得5a =，2b =即210a =又13PF =由椭圆的定义：122PF PF a+=∴2310PF +=解得：27PF =∴点P 到另一个焦点2F 的距离为7故答案为.714．已知圆2221:2450C x y mx y m +-++-=与圆2222:2230C x y x my m ++-+-=，若圆1C 与圆2C 相外切，则实数m =________.【正确答案】2或－5【分析】由两圆外切知连心线的长为两圆的半径之和，利用两点间距离公式即可求得【详解】圆221:()(2)9C x m y -++=，圆222:(1)()4C x y m ++-=，则1(,2)C m -，13r =，2(1,)C m -，22r =.当圆1C 与圆2C 相外切时，显然有1212C C r r =+235+=，整理得23100m m +-=，解得5m =-或2m =.故2或－515．直线()1y ax a =-∈R 与焦点在x 轴上的椭圆2215x y m+=总有公共点，则实数m 的取值范围是______．【正确答案】[)1,5【分析】由直线的性质可知过点(0,1)-，只需使点(0,1)-在椭圆内部或椭圆上，可得m 范围，又由椭圆的焦点在x 轴上，所以有5>m ，综合可得答案.【详解】根据题意,可得1y ax =-过点(0,1)-，要使直线1y ax =-与椭圆2215x y m+=总有公共点，只需使点(0,1)-在椭圆内部或椭圆上,则有1m ，又由椭圆2215x y m+=的焦点在x 轴上，则有5m >；综合可得15m <，故答案为.[)1,516．设P 是椭圆C ：2221(6x y a a +=上任意一点，F 为C 的右焦点，PF ，则椭圆C 的离心率为_________．【正确答案】12##0.5【分析】利用已知条件推出a ，然后求解椭圆的离心率即可．【详解】解：P 是椭圆222:1(6x y C a a +=>上任意一点，F 为C 的右焦点，||PF 的最小值为可得a c -=所以a =即a所以(226a a =-，解得a =所以12c e a ==．故12．四、解答题17．已知椭圆以原点为中心，长轴长是短轴长的2倍，且过点()2,4--，求此椭圆的标准方程．【正确答案】2216817x y +=或221328y x +=【分析】分焦点在x 轴上和焦点在y 轴上设出椭圆方程，利用长轴长是短轴长的2倍以及过点()2,4--建立方程组，求出参数即可.【详解】当焦点在x 轴上时，设椭圆方程()222210x ya b a b +=>>，则222224161a b a b =⨯⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得226817a b ⎧=⎨=⎩，故椭圆方程为2216817x y +=；当焦点在y 轴上时，设椭圆方程()222210y xm n m n +=>>，则222221641m nm n =⨯⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得22328m n ⎧=⎨=⎩，故椭圆方程为221328y x +=；综上，椭圆方程为2216817x y +=或221328y x +=.18．已知两条直线123453258l m x y m l x m y ++++(）＝﹣，:：（）＝．设m 为实数，分别根据下列条件求m 的值．(1)1l ∥2l ；(2)直线2l 在x 轴、y 轴上截距之和等于6．【正确答案】(1)7m ＝-(2)1m ＝-【分析】（1）根据已知条件，结合两直线平行的公式，即可求解．（2）根据已知条件，分别令直线2l 中的00x y ＝，＝，结合直线2l 在x 轴、y 轴上截距之和等于6，即可求解【详解】（1）1l ∥2l 又213)4532(58()l m x y m l x m y ++++：＝﹣，：＝，3)(5)4271m m m m ∴+⨯+⨯∴(＝＝-，＝-当7m ＝-时，122213040l x y l x y +：-＝，：--＝，此时1l ∥2l ;当1m ＝-时，1224024l x y l x y ++：-＝，：-＝0，此时12l l ，重合，7m ∴＝-．（2）2258l x m y ++：（）＝令0y ＝，则4x ＝；令0x ＝，则85y m=+，直线1l 在x 轴、y 轴上截距之和等于6，8465m∴+=+，解得1m ＝-．19．已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l ：34110x y +-=与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长AB 的值．【正确答案】(1)()2224x y -+=(2)【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.【详解】（1）由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为()2224x y -+=；（2）由（1）可知：圆C 半径为2r =，设圆心（2，0）到l 的距离为d ，则61115d -==，由垂径定理得：AB ==．20．已知圆M 的圆心为()(),00a a ≤，它过点()0,2P -，且与直线0x y ++=相切．(1)求圆M 的标准方程;(2)若过点()0,1Q 且斜率为k 的直线l 交圆M 于A ，B 两点，若弦AB求直线l 的方程.【正确答案】(1)224x y +=(2)1y x =±+【分析】（1）先设出圆M 的标准方程，再根据过点()0,2P -及圆M与直线0x y ++=相切建立方程组求解即可；（2）由点到直线的距离公式及垂径定理可求解.【详解】（1）设圆M 的标准方程为：()222()0-+=≤x a y r a 则圆心M到直线0x y ++=由题意得224a r r ⎧+==，解得0a =或a =舍去).所以24r =，所以圆M 的方程为224x y +=．（2）设直线l 的方程为1y kx =+则圆心M 到直线lAB ∴=AB =21k =，1k ∴=±则直线的方程为1y x =±+．21．已知椭圆()222210x y G a b a b +=>>：右焦点为()，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A B 、两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()32P -，.(1)求椭圆G 的方程；(2)求直线AB 的方程.【正确答案】(1)221124x y +=；(2)20x y -+=.【分析】（1）根据椭圆离心率公式，结合焦点坐标公式进行求解即可；（2）根据一元二次方程根与系数关系，结合中点坐标公式、直线斜率公式、等腰三角形的性质进行求解即可.【详解】（1）椭圆()222210x y G a b a b +=>>：的离心率为3，所以ca =()，所以2c a b =⇒====，所以椭圆标准方程为：221124x y +=；（2）设直线l 的方程为y x m =+，与椭圆方程联立，得22221463120124x y x mx m y x m ⎧+=⎪⇒++-=⎨⎪=+⎩，设1122(,)(,)A x y B x y ，设AB 的中点为()00,D x y ，因为以AB 为底边作等腰三角形，顶点为()32P -，，所以AB PD ⊥，121212006234,224224m x x y y x x m m m x y -++++===-===，2412334PD m k m m -==-⇒=-+，所以直线AB 的方程为220y x x y =+⇒-+=.关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系进行求解即可.22．已知椭圆C ：22221x y a b +=（0a b >>）的离心率为2．圆O （O 为坐标原点）在椭圆C．P ，Q 分别为椭圆C 和圆O 上的动点，且P ，Q 两点的最小距离为1(1)求椭圆C 的方程；(2)A ，B 是椭圆C 上不同的两点，且直线AB 与以OA 为直径的圆的一个交点在圆O 上．求证：以AB 为直径的圆过定点．【正确答案】(1)2212x y +=(2)见解析【分析】（1）设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，根据离心率为2和1--b（2）因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上，所以直线AB与圆O相切.（i）当直线AB垂直于x轴时，由0OA OB⋅=判断；（ii）当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB 的方程为y kx m=+，由AB与圆O相切，得到m，k的关系，与椭圆方程联立，计算0OA OB⋅=即可【详解】（1）设椭圆的长半轴为a，短半轴为b，半焦距为c，由圆的性质，6||||3PQ PO≥-当点P在椭圆上运动时，当P处于上下顶点时||PO最小，故||||PQ PO b≥≥1--b依题意得22221caba b c⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎪⎩解得11abc⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以C的方程为2212x y+=.（2）因为直线AB与以OA为直径的圆的一个交点在圆O上，所以直线AB与圆O相切.（i）当直线AB垂直于x轴时，不妨设33A⎛⎝⎭，,33B⎛-⎝⎭，此时0OA OB⋅=，所以OA OB⊥，故以AB为直径的圆过点O.（ii）当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的方程为y kx m=+，()11,A x y，()22,B x y.因为AB与圆O相切，所以O到直线AB3=，即223220m k --=.由22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()222214220k x kmx m +++-=，所以2121222422,2121km m x x x x k k --+==++，()()()()221212*********OA OB x x y y x x kx m kx m k x x km x x m ⋅=+=+++=++++ ，()2222222412121m km k km m k k ⎛⎫--⎛⎫=+++ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，()()()22222122(4)2121k m km km m k k +-+-++=+，222322021m k k --==+，所以OA OB ⊥，故以AB 为直径的圆过点O .综上，以AB 为直径的圆过点O .。
2021年广西壮族自治区桂林市新星高级中学高三数学理月考试题含解析
2021年广西壮族自治区桂林市新星高级中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设是函数的导函数，将和的图象画在同一个直角坐标系中，不可能正确的是（）参考答案：答案：D解析：检验易知A、B、C均适合，D中不管哪个为均不成立。
2. 已知命题p：在△ABC中，若AB＜BC，则sinC＜sinA；命题q：已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的必要不充分条件．在命题p∧q，p∨q，（￢p）∨q，（￢p）∧q中，真命题个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4参考答案：A【考点】复合命题的真假．【专题】综合题；转化思想；综合法；简易逻辑．【分析】首先分别分析两个命题的真假，然后根据复合命题真假的判断选择．【解答】解：命题p：在△ABC中，若AB＜BC，则sinC＜sinA；根据正弦定理得到命题p 是真命题；命题q：已知a∈R，则“a＞1”是“＜1”的必要不充分条件；由a＞1?；推不出a＞1，因为a可能小于0；故命题q是假命题；所以命题p∧q是假命题，p∨q是真命题，（￢p）∨q是假命题，（￢p）∧q是假命题，故在命题p∧q，p∨q，（￢p）∨q，（￢p）∧q中，真命题个数为1个；故选：A．【点评】本题考查了复合命题真假的判断；首先要正确判断两个命题的真假；然后根据复合命题真假的判定方法解答．3. 设是两个不同的平面,是两条不同的直线,, 记为直线与平面所成的角,, 若对任意,存在,恒有,则（）A． B．与不垂直 C． D．参考答案：D试题分析：由题设中定义的新概念可知:,即平面,而平面,故,应选D.考点：空间直线与平面的位置关系的判定及运用.4. 在等差数列中，，其前n项和为的值等于A. B. C. D.参考答案：C5. 设函数f（x）=sin（ωx+?）（ω＞0），则f（x）的奇偶性（）A．与ω有关，且与?有关B．与ω有关，但与?无关C．与ω无关，且与?无关D．与ω无关，但与?有关参考答案：D根据正弦型函数的图象与性质，知f（x）的奇偶性与φ有关，与ω无关．解：函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0），则f（x）的奇偶性与φ有关，与ω无关；∵φ=kπ，k∈Z时，f（x）为奇函数；φ=kπ+，k∈Z时，f（x）为偶函数；否则，f（x）为非奇非偶的函数．故选：D．6. α为实数，则“α=2kπ+（k∈Z）”是“tanα=1”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件参考答案：A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】由tanα=1，解得α=（k∈Z），即可得出．【解答】解：由tanα=1，解得α=（k∈Z），∴“α=2kπ+（k∈Z）”是“tanα=1”的充分不必要条件．故选：A．7. 已知函数f（x）=丨x﹣2丨+1，g（x）=kx．若方程f（x）=g（x）有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是( )A．（0，）B．（，1）C．（1，2）D．（2，+∞）参考答案：B【考点】函数的零点．【专题】函数的性质及应用．【分析】画出函数f（x）、g（x）的图象，由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，数形结合求得k的范围．【解答】解：由题意可得函数f（x）的图象（蓝线）和函数g（x）的图象（红线）有两个交点，如图所示：K OA=，数形结合可得＜k＜1，故选：B．【点评】本题主要考查函数的零点与方程的根的关系，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题．8. 已知平面向量，且，则的最小值为（）A．1 B．C． D．3参考答案：9. 设（i是虚数单位），则=（）A．1+i B．-1+i C．1-i D．-1-i 参考答案：C略10. 已知，且，则使得取得最小值的分别是（）A．2，2 B． C． D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 如图，在边长为（为自然对数的底数）的正方形中，阴影部分的面积为．参考答案：e2－2正方形的面积为；A（1，e），B（0,1）所以曲边形ACB的面积为因为与互为反函数，图像关于对称所以曲边形DEF的面积等于曲边形ACB的面积，都为1。
2023-2024学年广西桂林市高一上学期10月月考数学模拟试题(含解析)
2023-2024学年广西桂林市高一上册10月月考数学模拟试题一、单选题1．已知集合{}123A x x =-<-<，{}20B x x =-<，则A B = （）A ．{}12x x <<B ．{}12x x -<<C ．{}1x x >-D ．{}2x x <【正确答案】B【分析】解不等式求得集合A ，由此求得A B ⋂.【详解】因为{}{}12313A x x x x =-<-<=-<<，{}2B x x =<，所以{}12A B x x ⋂=-<<.故选：B2．命题“x ∃∈R ，2330x x -+<”的否定是（）A ．x ∀∈R ，2330x x -+>B ．x ∀∈R ，2330x x -+≥C ．x ∃∈R ，2330x x -+>D ．x ∃∈R ，2330x x -+≥【正确答案】B【分析】利用特称命题的否定的概念即可求解,改量词，否结论.【详解】由特称命题的否定的概念知，“x ∃∈R ，2330x x -+<”的否定为：x ∀∈R ，2330x x -+≥．故选：B ．3．如图，全集U =N ，集合{}012345{3}A B x x ==∈>N ，，，，，，∣，则阴影部分表示的集合为（）A ．{}012，，B ．{}045，，C ．{}123，，D ．{}0123，，，【正确答案】D【分析】根据韦恩图，得到阴影部分的集合表示，根据集合之间的运算，可得答案.【详解】根据韦恩图，可得阴影部分所表示的是U C B A ，由{}0,1,2,3U C B =，则{}0,1,2,3U C B A = ，故选：D.4．已知不等式20x x a -+<的解集为{}23x x -<<，则=a （）A ．6-B ．16-C ．6D ．16【正确答案】A【分析】根据一元二次不等式的解集和一元二次方程根的关系直接求解即可.【详解】由不等式的解集知：2-和3是方程20x x a -+=的两根，236a ∴=-⨯=-.故选：A.5．已知{1,2,3,4,5,6,7}U =，{1,3,5,7}A =，则U A ð的非空子集的个数为（）.A ．6B ．7C ．8D ．9【正确答案】B【分析】先求出补集，再根据元素个数求子集数.【详解】根据题意可得{2,4,6}U A =ð，则非空子集有3217-=个．故选：B ．6．下列四组函数中，表示同一个函数的一组是（）A ．,y x u =B ．2y s ==C ．21,11x y m n x -==+-D ．y y ==【正确答案】A【分析】函数的三要素：定义域，对应法则和值域；函数的三要素相同，则为同一个函数，判断函数的三要素即可求解.【详解】对于A ，y x =和u =R ，对应关系也相同，是同一个函数，故选项A 正确；对于B ，函数y =R ，函数2s =的定义域为[0,)+∞，定义域不同，不是同一个函数，故选项B 错误；对于C ，函数211x y x -=-的定义域为{|1}x x ≠，函数1m n =+的定义域为R ，定义域不同，不是同一个函数，故选项C 错误；对于D ，函数y =的定义域为{|1}x x ≥，函数y =(,1][1,)∞∞--⋃+，定义域不同，不是同一个函数，故选项D 错误，故选.A7．设函数()3,10((4)),10x x f x f f x x -≥⎧=⎨+<⎩，则()9f =（）A ．10B ．9C ．7D ．6【正确答案】C 【分析】依据分段函数()f x 的解析式，将9代入计算函数值.【详解】()()()()()()99413101037f f f f f f =+===-=．故选：C.8．已知2211:p a b <，:0q a b >>，则p 是q 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】B 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义判断作答.【详解】当0a b >>时，220a b >>，则2211a b <，即q p ⇒，取2,1a b =-=，满足2211a b <，而有a b <，即有p ¿q ，所以p 是q 的必要不充分条件.故选：B9．下列命题为真命题的是（）A ．若,a b c d >>，则a c b d +>+B ．若,a b c d >>则ac bd >C ．若a b >，则22ac bc >D ．若00a b c <<<，，则c c a b>【正确答案】A【分析】A 选项，利用不等式的基本性质进行求解；BC 选项，可举出反例；D 选项，利用作差法比较出大小.【详解】A 选项，由不等式的性质可知同向不等式相加，不等式方向不变，A 正确；B 选项，当1a =-，2b =-，2c =，1d =时，ac bd =，故B 错误；C 选项，当0c =时，22ac bc =，故C 错误；D 选项，()c b a c c a b ab--=，因为0b a ->，0c <，0ab >，所以0c c a b -<，c c a b <，故D 错误.故选：A ．二、多选题10．以下满足{0,2,4}{0,1,2,3,4}⊆A Ü的集合A 有（）A ．{0,2,4}B ．{0,1,3,4}C ．{0,1,2,4}D ．{0,1,2,3,4}【正确答案】AC【分析】直接写出符合题意要求的所有集合A ，再去选项中选正确答案.【详解】由题意可知，集合A 包含集合{0,2,4}，同时又是集合{0,1,2,3,4}的真子集，则所有符合条件的集合A 为{0,2,4},{0,1,2,4},{0,2,3,4}.选项BD 均不符合要求，排除.故选：AC11．若函数2()2()f x x ax a =-+∈Z 在区间[0,1]上单调递增，在区间[3,4]上单调递减，则a 的取值为（）A ．4B ．3C ．2D ．1【正确答案】BCD根据对称轴和区间的关系可得13a a ≤⎧⎨≤⎩，结合条件可得解.【详解】由2()2()f x x ax a =-+∈Z 知对称轴为x a =，函数()f x 在区间[0,1]上单调递增，在区间[3,4]上单调递减，所以13a a ≤⎧⎨≤⎩，即13a ≤≤，又a ∈Z ，所以1,2,3a =.12．下列各图中，可能是函数图象的是（）A ．B ．C ．D ．【正确答案】ACD【分析】利用函数的概念选出正确答案.【详解】B 选项，0x >时每一个x 的值都有两个y 值与之对应，不是函数图象，B 错误，其他选项均满足函数的概念，是函数的图象．故选：ACD ．三、填空题13．若()f x =()3f -=_________.【正确答案】32-##-1.5【分析】根据所给解析式，代入数据，即可得答案.【详解】由题意得()323f -=-.故32-14．不等式2(2)4x ->的解集是____________【正确答案】{}|40x x x ><或【分析】二次不等式直接打开取两边即可。