20121108_考研高数冲刺班笔记-张宇
考研高数精品笔记
(二)性质：1.∫aaf (x )dx =02.∫ba f (x )dx =‒∫ab f (x )dx 3.∫ba kf (x )dx =k ∫ba f (x )dx4.∫ba [f 1(x )±f 2(x )]=∫ba f 1(x )dx ±∫ba f 2(x )dx 5.∫ba f (x )dx =∫ca f (x )dx +∫bc f (x )dx6.若f(x)≥0，x [a,b]，则∈∫ba f (x )dx ≥07.若f(x)≥g(x) ，x [a,b]，则∈∫ba f (x )dx ≥∫ba g (x )dx8.m ≤f(x)≤M ，x [a,b]，则m(b-a)≤≤M(b-a)∈ ∫ba f (x )dx (三)基本定理1.积分中值定理：f(x)在[a,b]连续，则在[a,b]中存在一点，使得ξ∫ba f (x )dx =f (ξ)(b ‒a)常把f(称为积分平均值。
ξ) 2.变限积分：函数变上限φ(x )=∫xa f (t )dt φ'(x)=f(x)变下限φ(x )=∫b x f (t )dtφ'(x)=‒f(x)φ(x )=∫u(x)af (t )dtφ'(x)=f[u (x )]∙u'(x)φ(x )=∫bv(x)f (t )dt φ'(x)=‒f[v (x )]∙v'(x)φ(x )=∫u(x)v (x)f (t )dt φ'(x)=f [u (x )]∙u '(x )‒f[v (x )]∙v'(x )3.牛顿-莱布尼茨公式:F’(x)=f(x)则∫ba f (x )dx =F (x )|ba =F (b )‒F(a)第3节反常积分（广义积分）定积分：（1）有限区间。
（2）区间内有界。
(一)无穷区间上的广义积分，若极限存在，称广义积分是收敛的。
若极限不∫+∞a f (x )dx =lim b→+∞∫ba f (x )dx存在，称广义积分是发散的。
3、张宇考研数学概率论与数理统计讲义强化班(无水印文字版)-41页
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
【注】
犉（狓）＝△ 犘｛犡 ≤狓｝＝ 犘｛－ ∞ ≤ 犡 ≤狓｝
狓
∫ ＝ 犳（狋）ｄ狋（连） －∞
４犡～犉（狓）＜狆犳犻（狓→）分→布概律率密度
＝ ∑狆犻．（离） 狓犻≤狓
烄① 单调不减；
（１）犉（狓）是某个狓 的分布函数 烅②犉（－ ∞）＝０，犉（＋ ∞）＝１；
③
烆犘（犃１犃２犃３）＝ 犘（犃１）犘（犃２）犘（犃３）．④
【注】若只满足 ①②③，称犃１，犃２，犃３ 两两独立．
【例】［取自《张宇概率论与数理统计９讲》Ｐ２３，例１．３３］
将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：犃１ ＝ ｛掷第一次出现正面｝，犃２ ＝ ｛掷第二次出
现正面｝，犃３ ＝ ｛正反面各出现一次｝，犃４ ＝ ｛正面出现两次｝，则事件（ ）．
【例２】［取自《张宇考研数学闭关修炼一百题·习题分册》Ｐ４２，８１］ 要验收一批乐器，共１００件，从中随机地取３件来测试（设３件乐器的测试是相互独立 的），如果３件中任意一件经测试被认为音色不纯，这批乐器就被拒绝接收．设一件音色不 纯的乐器经测试被查出的概率为０．９５，而 一 件 音 色 纯 的 乐 器 经 测 试 被 误 认 为 不 纯 的 概 率 为０．０１．如 果 已 知 这１００件 乐 器 中 有４件 是 音 色 不 纯 的 ，问 这 批 乐 器 被 接 收 的 概 率 是 多少？ 【分析】
④（犡，犢）的犉（狓，狔），犳（狓，狔）； ⑤犣 ＝犵（犡，犢）的犉犣（狕），犳犣（狕）；
⑥犘｛（犡，犢）∈犇｝＝ 犳（狓，狔）ｄσ． 犇
（３）求数字特征． （４）狀→ ∞ 时的若干重要概率规律． （５）估计与评价．
—１—
张宇考研数学概率论与数理统计强化讲义
张宇高数讲义
(
x)
=
⎧⎪ x 2 ⎨
cos
1 x2
,
⎪⎩0,
x≠0。 x=0
则在 (−∞, + ∞) 内下列正确的是：
( A) f ( x)不连续且不可微，F ( x)可微，且为f ( x)的原函数 ( B) f ( x)不连续，不存在原函数 ，因而F ( x)不是f ( x)的原函数 (C ) f ( x)和 F ( x)均为可微函数，且 F ( x)为f ( x)的一个原函数 ( D) f ( x)连续，且F′( x) = f ( x)
故
原式
=
lim
x→0
tan
x− x3
sin
x
=
lim
x→0
tan x
x
⋅
1
−
cos x2
x
=
1
.
2
【例
5】求
⎡
lim
x→∞
⎢⎣
x
−
x2
ln⎜⎛1 ⎝
+
1 x
⎟⎠⎞⎥⎦⎤
解
令
x
=
1 t
解：可以验证 x = 0 为 f ( x) 的第二类间断点，因为：
lim
x→0
f
(x)
=
0+
lim
x→0
2 x
sin
1 x2
，故
x
=
0
为
f
( x) 的第二类振荡间断点，可能存在原函数。
又：
F′(0)
=
lim
x2
cos
1 x2
−0
=
0,
故F ( x)可微。即：
x→0 x − 0
张宇高数笔记
张宇高数笔记(总13页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第一章节 极限与连续数列收敛（有极限），则：①任何子列都收敛，反之就不是收敛数列。
②它的极限存在且唯一。
③它是有界的。
（收敛一定有界，但有界不一定收敛，可能振荡） ④它有保号性。
数列极限存在的解题手段： ①夹逼法。
②定积分定义法。
③对于给定递推式的数列求极限：（1）用单调有界证明极限存在，然后让等式两边极限相等解出A 。
（2）先斩后奏解出A ，然后用压缩映象原理列出|x x −x |<k |x x −1−x |，其中0<k <1④对于未给出递推式的数列求极限：根据题设条件得出x x +1和x x 的递推关系，然后用③的方法。
⑤充分运用题目中给出的函数关系式：（1）x x +1=x (x x )，x (ξ)=x ；则x x +1−x x =x (x x )−x (x x −1)，|x x +1−x |=|x (x x )−x (x )|（2）任何|x ′(x )|≤k 的函数，都可由拉氏定理得|x (x 1)−x (x 2)|≤x |x 1−x 2|（3）若知x (x )的单调性，可把x x +1和x x 的大小判断转化为对x (x x +1)和x (x x )的判断。
（4）若给出x x +1=x (x x )，x ′(x )和x 0的初值，则用拉氏定理:|x x +1−x 0|=|x (x x )−x (x 0)|=|x′(x )(x x −x 0)|≤A |(x x −x 0)|压缩映象⑥对于累加型数列x x =∑x (x ,x )x x =1求极限，常用无穷项相加放缩的方式夹逼出来。
函数极限存在（设为A ），则：①左右极限都为A 。
（证明题证极限存在的思路） ②唯一性、有界性、保号性。
③∀ε>0,∃δ>0,当0<|x −x 0|<δ时，有|f (x )−A |<ε此定义在广义上，ε可以为任何形式，但必须满足“可以任意小”。
张宇数学基础班笔记
张宇数学基础班笔记一、 三种层次层次一：感知——形式上 层次二：再现——本质上注1：2013年人数众多、题目特别难注2：洛必达法则在两种情况下要慎用：（狠下功夫） （1） f(x)/g(x)时，f 、g 为抽象函数 （2） f(x)/g(x)时，f 、g 含参数（半抽象）注3：洛必达法则的证明及其使用前提、拉格朗日中值定理的证明之类的题要注意注4：有限个无穷小的和是无穷小；有限个无穷小的积是无穷小。
无限个无穷小的 和不一定是无穷小；无限个无穷小的积也不一定是无穷小。
（到此为止）层次三：融通——解题能力（听课听得懂、看书看得懂，都不算解题能力，应该是在无任何提示的情况下独立做对题目）1. 泰勒公式：碰上此类难背的工具——具体学、不抽象学、不单纯背书。
用泰勒公式解决A+/-B 型函数的极限计算——泰勒公式是等价替换的精确化；等价替换是近似代换，泰勒公式是精确代换。
——泰勒公式：事不过三，只记两项。
SinX=X-1/6（(X)的三次方）o(X 的m 次方)——代表任何一个X 的m 次方的高阶无穷小arcsinX-arctanX=1/2(X3)sinX-tanX=-1/2(X3) 注意：lim （A+B ）=limA+limB ——后验逻辑（极限计算：能不能拆？拆了再说。
）注意：通法——目标：干掉f （x ）去掉抽象函数，分母相同时直接（2）式－（1）式 练习：SinX+X~2X二、三、 真题——好又多（1987-2001-2012：一、二、三、四）四、大纲——不能拘泥大纲五、特点（高数）1．注意：答题纸跟草稿纸非常像，一定小心。
不要塞进草稿纸2．高等数学难度加大，远远高于线代、概率。
重点在高数。
3．重心前移：在二重积分及其以前。
4．数学二的真题最有价值——最好的习题：数学二、四。
5．必备资料：（1）教材：高等数学：同济大学第六版（2）辅导书：（很好）概率：陈希孺院士、高数18讲（3）真题：2013考研数学历年真题分析与演练第二讲高等数学考试内容分析1.关于函数：(1)复合——分段函数的复合(2)（必考）考察函数的微分或者积分形式下的四个性质：奇偶性、单调性、周期性、有界性。
张宇高数30讲笔记
张宇高数30讲笔记
张宇高数30讲是一套备受学生欢迎的高等数学教学视频，这里我将为你提供一些关于张宇高数30讲的笔记。
1. 张宇高数30讲的内容涵盖了高等数学的基础知识和重要概念，包括函数、极限、导数、微分、积分等。
这些知识是高等数学学习的基础，对于理解和掌握高等数学的其他分支如微积分、线性代数等都非常重要。
2. 在函数部分，张宇讲解了函数的定义、性质、图像和常见函数的特点。
他通过举例和图示的方式生动地解释了函数的概念，帮助学生建立起对函数的直观理解。
3. 极限是高等数学中的重要概念，张宇在讲解极限时注重深入浅出，通过一些典型的极限例题，帮助学生理解极限的概念和计算方法。
4. 在导数和微分部分，张宇详细介绍了导数的定义和性质，以及一些常见函数的导数计算方法。
他还讲解了微分的概念和应用，如泰勒展开等。
5. 积分是高等数学中的另一个重要概念，张宇在讲解积分时着
重讲解了定积分和不定积分的概念、性质和计算方法。
他通过一些
实例和练习题，帮助学生掌握积分的基本技巧。
6. 在整个教学过程中，张宇注重培养学生的解题思维和方法，
他强调理论与实践的结合，通过一些典型例题和考点分析，帮助学
生掌握解题的技巧和方法。
7. 张宇高数30讲的教学风格幽默风趣，讲解深入浅出，容易
理解。
他善于用生动的语言和具体的例子解释抽象的数学概念，帮
助学生建立起对数学的兴趣和信心。
总结起来，张宇高数30讲是一套内容丰富、讲解详细、教学风
格幽默的高等数学教学视频。
通过学习这套视频，学生可以全面掌
握高等数学的基础知识和解题技巧，为后续的学习打下坚实的基础。
考研数学冲刺高数知识点梳理
考研数学冲刺高数知识点梳理第一章函数、极限与连续1、函数的有界性2、极限的定义(数列、函数)3、极限的性质(有界性、保号性)4、极限的计算(重点)(四则运算、等价无穷小替换、洛必达法则、泰勒公式、重要极限、单侧极限、夹逼定理及定积分定义、单调有界必有极限定理)5、函数的连续性6、间断点的类型7、渐近线的计算第二章导数与微分1、导数与微分的定义(函数可导性、用定义求导数)2、导数的计算(“三个法则一个表”：四则运算、复合函数、反函数，基本初等函数导数表;“三种类型”：幂指型、隐函数、参数方程;高阶导数)3、导数的应用(切线与法线、单调性(重点)与极值点、利用单调性证明函数不等式、凹凸性与拐点、方程的根与函数的零点、曲率(数一、二))第三章中值定理1、闭区间上连续函数的性质(最值定理、介值定理、零点存在定理)2、三大微分中值定理(重点)(罗尔、拉格朗日、柯西)3、积分中值定理4、泰勒中值定理5、费马引理第四章一元函数积分学1、原函数与不定积分的定义2、不定积分的计算(变量代换、分部积分)3、定积分的定义(几何意义、微元法思想(数一、二))4、定积分性质(奇偶函数与周期函数的积分性质、比较定理)5、定积分的计算6、定积分的应用(几何应用：面积、体积、曲线弧长和旋转面的面积(数一、二)，物理应用：变力做功、形心质心、液体静压力)7、变限积分(求导)8、广义积分(收敛性的判断、计算)第五章空间解析几何(数一)1、向量的运算(加减、数乘、数量积、向量积)2、直线与平面的方程及其关系3、各种曲面方程(旋转曲面、柱面、投影曲面、二次曲面)的求法第六章多元函数微分学1、二重极限和二元函数连续、偏导数、可微及全微分的定义2、二元函数偏导数存在、可微、偏导函数连续之间的关系3、多元函数偏导数的计算(重点)4、方向导数与梯度5、多元函数的极值(无条件极值和条件极值)6、空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线第七章多元函数积分学(除二重积分外，数一)1、二重积分的计算(对称性(奇偶、轮换)、极坐标、积分次序的选择)2、三重积分的计算(“先一后二”、“先二后一”、球坐标)3、第一、二类曲线积分、第一、二类曲面积分的计算及对称性(主要关注不带方向的积分)4、格林公式(重点)(直接用(不满足条件时的处理：“补线”、“挖洞”)，积分与路径无关，二元函数的全微分)5、高斯公式(重点)(不满足条件时的处理(类似格林公式))6、斯托克斯公式(要求低;何时用：计算第二类曲线积分，曲线不易参数化，常表示为两曲面的交线)7、场论初步(散度、旋度)第八章微分方程1、各类微分方程(可分离变量方程、齐次方程、一阶线性微分方程、伯努利方程(数一、二)、全微分方程(数一)、可降阶的高阶微分方程(数一、二)、高阶线性微分方程、欧拉方程(数一)、差分方程(数三))的求解2、线性微分方程解的性质(叠加原理、解的结构)3、应用(由几何及物理背景列方程)第九章级数(数一、数三)1、收敛级数的性质(必要条件、线性运算、“加括号”、“有限项”)2、正项级数的判别法(比较、比值、根值，p级数与推广的p级数)3、交错级数的莱布尼兹判别法4、绝对收敛与条件收敛5、幂级数的收敛半径与收敛域6、幂级数的求和与展开7、傅里叶级数(函数展开成傅里叶级数，狄利克雷定理)小提示：目前本科生就业市场竞争激烈，就业主体是研究生，在如今考研竞争日渐激烈的情况下，我们想要不在考研大军中变成分母，我们需要：早开始+好计划+正确的复习思路+好的辅导班（如果经济条件允许的情况下）。
2012海天考研张宇强化班高等数学下(18讲的部分)
2012年张宇考研数学高等数学（下）强化班内部讲义先修课程（高等数学复习导学班）视频地址：新浪微博——宇哥考研：/zhangyumaths 【本讲义参考文献】《考研数学高等数学18讲》，张宇 编著. 中国书籍出版社 《考研数学题源探析经典1000题》，张宇 编著. 北京理工大学出版社第9讲 多元函数微分学从本讲开始进入多元函数的体系，本讲内容是考研绝对的重点，一般会在每年的考试中出至少一个小题（4分）和一个大题（10分左右），有时结合其他知识出综合题.本讲我们只讲多元函数微分学的公共考点，有三个，分别为：1）五个基本概念；2）多元函数微分法；3）多元函数的极值与最值问题。
第一节 多元微分学的五个基本概念1、极限存在性定义 设二元函数f (x , y )定义在区域D 上,点P 0(x 0, y 0)在D 内或者在D 的边界上，如果存在常数A , 对于任给的正数ε，总存在正数δ, 只要点(,)P x y D ∈满足00<PP δ=<，恒有| f (x ,y )−A |<ε 成立, 则称A 为函数f (x , y )当(x , y )→(x 0, y 0)时的极限, 记为0lim (,)x x y y f x y A →→=.这极限也称为二重极限.这里有两点说明.第一，二元函数的极限怎么计算？在考研中这个要求不高.举个例子.【例1】设222222,0(,)0 0xy x y x y f x y x y ⎧+≠00lim (,)x y ⎪+=⎨⎪+=⎩，求f x y →→．【解】因为220|(,)|0xyf x y x y ≤+，由夹逼准则，． 0lim (,)0x y f x y →→=第二，所谓二元函数的极限（二重极限）存在，是指以任何方式趋于时，相应的极限值都为同一个常数),(y x P ),(00y x P A （你是否还记得，在一元函数的极限计算中我们就反复强调：“极限若存在，必唯一”）．故，如果以不同方式趋于时，函数趋于不同的值，则可以判定该函数在点的极限值不存在．在考研中这个要求也不高.再举个例子. ),(y x P ),(00y x P ),0y (0x 【例2】设22),(y x xyy x f +=，试证极限不存在． ),(lim 0y x f y x →→【证】这个证明过程比较经典,请记住.当沿着直线),(y x P kx y =趋于点时，有)0,0(=+→=→2200lim y x xy kx y x 2222201lim k kx k x kx x +=+→，结果随的变化而变化，故二重极限不存在． k )y x ,(lim 00y x f →→2. 连续性如果000lim (,)(,)x x y y f x y f x y →→=，则称f (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.注意，验证二元函数f (x , y )在某一点(x 0, y 0)是否连续是考研的重点，但是如果不连续，对于多元函数是不讨论间断点的分类的.3. 偏导数存在性（重要！重要！）定义 设函数z = f (x , y )在点(x 0, y 0)的某邻域内有定义, 若极限xy x f y x x f x Δ−Δ+→Δ),(),(lim00000存在, 则称此极限为函数z = f (x , y )在点(x 0, y 0)处对x 的偏导数, 记作00y y x x x z==∂∂, 00y y x x x f ==∂∂, 00x x x y y z ==′, 或00(,)x f x y ′. 于是，00000000000(,)(,)(,)(,'(,)limlim x x x x 0)f x x y f x y f x y f x y f x y x x Δ→→+Δ−−==Δ−x 00000000000(,)(,)(,)(,)'(,)limlim y y y y f x y y f x y f x y f x y f x y y y Δ→→+Δ−−==Δ−y 高阶偏导数 如果函数z =f (x , y )在区域D 内的偏导数(,)x f x y ′、(,)y f x y ′仍具有偏导数, 则它们的偏导数称为函数z =f (x , y )的二阶偏导数. 按照对变量求导次序的不同有如下四个二阶偏导数：22((,)xx z zf x y x x x ∂∂∂′′==∂∂∂, 2((,xy z z )f x y y x x y ∂∂∂′′==∂∂∂∂, 2()(,)yx z z f x y x y y x ∂∂∂′′==∂∂∂∂, 22()(,)yyz zf x y y y y∂∂∂′′==∂∂∂. 其中(,)xyf x y ′′、(,)yx f x y ′′称为二阶混合偏导数.同样可得三阶、四阶、以及n 阶偏导数. 二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.4. 可微定义 如果函数z = f (x , y )在点(x , y )的全增量Δz = f (x +Δx , y +Δy )−f (x , y ) 可表示为() (z A x B y o ρρΔ=Δ+Δ+=,其中A 、B 不依赖于Δx 、Δy 而仅与x 、y 有关, 则称函数z =f (x , y )在点(x , y )可微, 而称A Δx +B Δy 为函数z =f (x , y )在点(x , y )的全微分, 记作dz , 即dz =A Δx +B Δy .在第三讲中，我们已经详细阐述了一元函数可微的深刻涵义，二元函数的可微概念也是如此（请注意对比，加深理解）.（1）写出全增量；000(,)(,z f x x y y f x y =++− 0)（2）写出线性增量A x B y + ，其中0000'(,),'(,)x y A f x y B f x y ==； （3）作极限limx y Δ→Δ→若该极限等于0，则(,)z f x y =在00(,)x y 点可微，否则，就不可微.用形式简单的“线性增量A x B y + ”去代替形式复杂的“全增量z ”，且其误差“()z A x B y −+ ”是o，这就是说，用简单的代替了复杂的，且产生的误差可以忽略不计，这就是可微的真正涵义。
2013张宇考研数学辅导讲义(理工类)第一章习题详解
& & 0 # 3! 0 # " & 极限存在 ! '当"(%)时! " " '
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且原式极限不为( ! ' 0! 7 % & 0# " & ( .
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张宇高等数学手写高清笔记
目录第一讲极限一极限定义 (3)二极限性质 (4)三函数极限基本计算 (8)四综合计算 (11)五数列极限计算 (14)六函数连续与间断 (16)第二讲一元函数微积分一概念 (17)1. 导数 (18)2. 微分 (20)3. 不定积分 (21)4. 定积分 (23)5. 变限积分 (28)6. 反常积分 (29)二计算 (29)1. 求导 (29)2. 求积 (33)三应用 (40)1. 微分应用 (40)2. 积分应用 (43)四逻辑推理 (43)1. 中值定理 (49)2. 等式证明 (50)3. 不等式证明 (51)第三讲多元函数的微分学（公共部分）一概念 (51)1. 极限的存在性 (51)2. 极限的连续性 (52)3. 偏导数的存在性 (52)4. 可微性 (53)5. 偏导数的连续性 (54)二计算 (54)三应用 (56)第四讲二重积分（公共部分）一概念与性质 (59)二计算 (60)1. 基础题 (60)2. 技术题 (61)三综合计算 (62)第五讲微分方程一概念及其应用 (63)二一阶方程的求解 (64)三高阶方程的求解 (66)第六讲无穷级数一数项级数的判敛 (67)二幂级数求收敛域 (69)三展开与求和 (69)四傅里叶级数 (71)第七讲多元函数微分学一基础知识 (73)二应用 (75)第八讲多元函数积分学一三重积分 (76)二第一型曲线、曲面积分 (78)1. 一线 (78)2. 一面 (79)三第二型曲线、曲面积分 (80)1. 二线 (81)2. 二面 (83)。
考研数学张宇强化36讲
编写风格独特：本书的编写风格简洁明了，语言通俗易懂，让考生能够轻松理解和掌握数学知识。 同时，书中的插图和表格也使得内容更加生动形象，便于考生记忆和理解。
《考研数学张宇强化36讲》是一本非常优秀的考研数学辅导书籍。通过阅读 这本书，我不仅掌握了数学知识，还提高了自己的数学思维能力和解题能力。我 相信这本书对其他考生也一定会有很大的帮助和启示作用。
目录分析
《考研数学张宇强化36讲》是考研数学领域的重要参考书籍，其深入浅出的 讲解方式，深受广大考研学生的喜爱。以下是对这本书目录的详细分析。
全书共分为六大部分，分别是：极限与连续、微分中值定理与导数应用、积 分与微分、多元函数微分与积分、常微分方程和线性代数初步。这六大部分基本 涵盖了考研数学的主要知识点，按照难度的递增进行排列，符合学生的学习习惯。
每一部分又细分成六个模块，共三十六个讲。例如在积分与微分部分，包括 了原函数与不定积分、定积分及其性质、多重积分、微分方程初步、无穷级数和 特殊函数这六个模块。每个模块都以一个具体的例子或者问题为起点，引导学生 思考并掌握相关的数学理论和应用。
阅读感受
《考研数学张宇强化36讲》是一本备受推崇的考研数学辅导书籍，被广大考 生视为必备的数学复习资料之一。通过阅读这本书，我感受到了张宇老师的深厚 教学经验和扎实的数学知识。
这本书的内容非常丰富，涵盖了考研数学所涉及的所有知识点。每个知识点 都讲解得非常详细，而且每个章节都由浅入深地分为三个层次，让读者能够逐步 深入地理解和掌握数学知识。书中还提供了大量的例题和练习题，这些题目质量 很高，能够帮助读者巩固所学知识。
考研高数知识点总结
考研高数知识点总结高等数学是研究数与其变化规律的一门基础课程，是理工科学生学习的重要课程之一。
在考研数学中，高等数学是必考科目之一，占有较大比重。
下面就考研高等数学知识点进行总结，希望对考生们有所帮助。
一、函数与极限1. 基本概念：函数、反函数、复合函数、有界函数、周期函数等。
2. 极限的定义：数列极限的定义、函数极限的定义等。
3. 极限的性质：极限的唯一性、有界性、局部有界原理等。
4. 极限运算法则：加减乘除、复合函数的极限等相关运算法则。
5. 无穷大与无穷小：无穷大和无穷小的概念、性质及相关推论。
二、导数与微分1. 导数的定义：函数在某一点的导数、导数的几何意义、物理意义等。
2. 基本导数公式：多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等基本函数的导数。
3. 高阶导数：二阶导数、高阶导数及其相关概念。
4. 微分中值定理：拉格朗日中值定理、柯西中值定理等。
5. 隐函数与参数方程的导数：隐函数的导数、参数方程的导数等相关内容。
三、微分中的应用1. 函数的极值与最值：函数的极值点的判定、极值、最值等相关概念。
2. 函数的单调性与凹凸性：函数的单调区间、凹凸区间等相关概念。
3. 泰勒公式与泰勒展开：泰勒公式的表达形式、泰勒展开的求解方法及应用。
4. 微分的应用：函数的近似计算、误差估计、最优化问题等。
四、不定积分1. 不定积分的概念：定义、性质及运算法则。
2. 基本不定积分公式：多项式函数、三角函数、指数函数、对数函数等基本函数的不定积分公式。
3. 换元积分法：第一类换元法、第二类换元法及其应用。
4. 分部积分法：分部积分法的原理、应用条件及相关例题。
5. 有理函数积分法：有理函数积分的基本思路及方法。
五、定积分及其应用1. 定积分的定义：定积分的严格定义及其几何意义。
2. 定积分的性质：定积分的线性性、定积分的区间可加性等性质。
3. 定积分的基本定理：牛顿-莱布尼茨公式及其几何意义。
4. 定积分的应用：面积、定积分表示的物理量、定积分的几何应用等。
考研数学高数重要知识点总结
考研数学高数重要知识点总结职高一数学知识点总结篇一一、求导数的方法（1）基本求导公式（2）导数的四则运算（3）复合函数的导数设在点x处可导，y=在点处可导，则复合函数在点x处可导，且即二、关于极限1、数列的极限：粗略地说，就是当数列的项n无限增大时，数列的项无限趋向于A，这就是数列极限的描述性定义。
记作：=A。
如：2、函数的极限：当自变量x无限趋近于常数时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当x趋近于时，函数的极限是，记作三、导数的概念1、在处的导数。
2、在的导数。
3、函数在点处的导数的几何意义：函数在点处的导数是曲线在处的切线的斜率，即k=，相应的切线方程是注：函数的导函数在时的函数值，就是在处的导数。
例、若=2，则=（）A—1B—2C1D四、导数的综合运用（一）曲线的切线函数y=f（x）在点处的导数，就是曲线y=（x）在点处的切线的斜率。
由此，可以利用导数求曲线的切线方程。
具体求法分两步：（1）求出函数y=f（x）在点处的导数，即曲线y=f（x）在点处的切线的斜率k=（2）在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为x。
职高一数学知识点总结篇二一、集合有关概念1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。
2、集合的中元素的三个特性：1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性。
3、集合的表示：(1){？}如{我校的篮球队员}，{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}(2)。
用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员}，B={1,2,3,4,5}4．集合的表示方法：列举法与描述法。
常用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作：N正整数集N*或N+整数集Z有理数集Q实数集R5、关于“属于”的概念集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A记作a∈A，相反，a不属于集合A记作a?A列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。
张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲
阅读感受
《张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲》是一本备受推崇的数学考研辅 导书籍，它的作者张宇教授以其独特的授课风格和深入浅出的讲解方式赢得了广 大考生的信赖和喜爱。这本书是张宇教授根据多年的教学经验与研究成果精心编 写的，对于备考研究生数学考试的学生来说，它无疑是一本极为宝贵的参考书籍。
在内容方面，《张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲》包含了概率论与 数理统计两个部分，每个部分都包含了基础概念、解题方法、经典例题以及练习 题等多个方面的内容。作者通过生动的语言和详细的解释，使得复杂的概念和解 题方法变得易于理解。书中还提供了大量的例题和练习题，这些题目既有针对性 又有代表性，可以帮助学生在实践中加深对概念和解题方法的理解和应用。
张宇考研数学概率论与数理统计强 化9讲
读书笔记
01 思维导图
03 精彩摘录 05 目录分析
目录
02 内容摘要 04 阅读感受 06 作者简介
思维导图
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张宇
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内容摘要
《张宇考研数学概率论与数理统计强化9讲》是一本专门针对考研数学中概率论与数理统计部分 的辅导书籍，由著名考研数学辅导专家张宇老师编写。本书以强化和提高概率论与数理统计部分 的知识水平为目标，通过9个主题的讲解，帮助学生更好地理解和掌握这一部分的知识点。
本书的内容分为两个部分，分别是概率论和数理统计。
在概率论部分，作者首先对随机事件和概率的概念进行了详细的解释，然后深入讲解了离散型随 机变量和连续型随机变量的概念及其分布，以及大数定律和中心极限定理等重要的概率论原理。 这些知识点都是概率论的基础，对于理解和掌握概率论的知识点至关重要。
2012考研数学重点和难点归纳辅导笔记
数学重点、难点归纳辅导第一部分第一章集合和映射§1.集合§2.映射和函数本章教学要求：理解集合的概念和映射的概念，掌握实数集合的表示法，函数的表示法和函数的一些基本性质。
第二章数列极限§1.实数系的连续性§2.数列极限§3.无穷大量§4.收敛准则本章教学要求：掌握数列极限的概念和定义，掌握并会使用数列的收敛准则，理解实数系具有连续性的分析意义，并掌握实数系的一系列基本定理。
第三章函数极限和连续函数§1.函数极限§2.连续函数§3.无穷小量和无穷大量的阶§4.闭区间上的连续函数本章教学要求：掌握函数极限的概念，函数极限和数列极限的关系，无穷小量和无穷大量阶的估计，闭区间上连续函数的基本性质。
第四章微分§1.微分和导数§2.导数的意义和性质§3.导数四则运算和反函数求导法则§4.复合函数求导法则及其使用§5.高阶导数和高阶微分本章教学要求：理解微分，导数，高阶微分和高阶导数的概念，性质及相互关系，熟练掌握求导和求微分的方法。
第五章微分中值定理及其使用§1.微分中值定理§2.L＇Hospital法则§3.插值多项式和Taylor公式§4.函数的Taylor公式及其使用§5.使用举例§6.函数方程的近似求解本章教学要求：掌握微分中值定理和函数的Taylor公式，并使用于函数性质的研究，熟练运用L＇Hospital法则计算极限，熟练使用微分于求解函数的极值问题和函数作图问题。
第六章不定积分§1.不定积分的概念和运算法则§2.换元积分法和分部积分法§3.有理函数的不定积分及其使用本章教学要求：掌握不定积分的概念和运算法则，熟练使用换元法和分部积分法求解不定积分，掌握求有理函数和部分无理函数不定积分的方法。
21、考研数学-高等数学冲刺讲义-84页 文字版
鹤壁淇滨高中2017-2018学年下学期高二年级第二次月考英语试题时间：100分钟总分：150分第二部分阅读理解(共两节,满分40分)第一节(共15小题;每小题2分,满分30分)阅读下列短文,从每题所给的四个选项(A、B、C和D)中,选出最佳选项。
AAn eight-year-old child heard her parents talking about her little brother. All she knew was that he was very sick and they had no money. Only a very expensive operation could save him now and there was no one to lend them the money.When she heard her daddy say to her tearful mother, “Only a miracle (奇迹) can save him now.” the little girl went to her bedroom and pulled her money from its hiding place and counted it carefully.She hurried to a drugstore with the money in her hand.“And what do you want?” asked the salesman. “It’s for my little brother.”The girl answered. “He’s really sick and I want to buy a miracle.”“Pardon?”said the salesman.“My brother Andrew has something bad growing inside his head and my daddy says only a miracle can save him. So how much does a miracle cost?” “We don’t s ell a miracle here, child. I’m sorry.” the salesman said with a smile.“Listen, if it isn’t enough, I can try and get some more. Just tell me how m uch it costs.”A well-dressed man heard this and asked, “What kind of miracle do es your brother need?”“I don’t know,” she answered with her eyes full of tears. “He’s really sick and mum says he needs an operation. But my daddy can’t pay for it, so I have brought all my money.”“How much do you have?’’ asked the man. “$1.11, but I can try and get some more.” she answered.“Well, what luck,” smiled the man, “$1.11, the price of a miracle for your little brother.” He took up the girl’s hand and said, “Take me to where you live.I want to see your brother and meet your parents. L et’s s ee if I have the kind of miracle you nee d.”That well-dressed man was Dr. Carlton Armstrong, a famous doctor. The operation was successful and it wasn’t long before Andrew was home again.How much did the miracle cost?21. What was the trouble in the little girl’s family?A. Her brother was seriously ill.B. They had no money.C. Nothing could save her brother.D. Both A and B.22. In the eyes of the little girl, a miracle might be ______.A. something interesting.B. something beautiful.C. some wonderful medicine.D. some good food.23. What made the miracle happen?A. The girl’s love for her brother.B. The medicin e from the drugstore.C. The girl’s money.D. Nobody can tell.24. From the passage we can infer (推断) that ______.A. the doctor didn’t ask for any pay.B. a miracle is sure to happen if you keep on.C. the little girl is lovely but not so clever.D. Andrew was in fact not so sick as they had thought.BA few days ago, I ran into a stranger as he passed by. I said sorry to him. And we were very polite. Then we went on our way after saying goodbye.Later in the kitchen at home, as I cooked our meal, my daughter Betty walked up to me. When I turned around, I nearly knocked her down. “Get out of the way!”I shouted angrily. She ran away, crying.That night, when I lay in bed, my husband said to me. “You were so rude to Betty. Go and look around on the kitchen floor, and you’ll find some flowers there. Betty brought those for you. She picked them herself pink, yellow, and your favourite blue.” When I heard this, I thought deeply. “While meeting with a stranger, I was calm and polite, but with my daughter, I was not patient.” I felt sad and tears began to fall.I quietly went to Betty’s bed, “Wake up, my dear!” I said, “Are these the flowers you picked for me?”she smiled. “I found them by the tree. I knew you liked them, especially the blue. ” I said, “I am so sorry that I treated you that way today.”And she whispered(悄声说)，“Mommy, that’s okay. I still love you anyway.”I kissed her and said, “I love you too and I do love the flowers.”That day Betty gave me a lesson on how to get along with each other in the family.I spend much time on work and didn’t realize how important family life was. I decided to do better in the future.25. What did the writer do when she ran into a man?A. She got mad at him.B. She didn’t say sorry to him.C. She said sorry to him politely.D. She left without saying anything.26. How did the writer deal with it when she nearly knocked down her daughter?A. She held her temper.B. She talked to her quietly.C. She shouted at her angrily.D. She said nothing to her.27. Why did the writer feel sorry for what she had done?A. Her husband didn’t love her.B. Her daughter bought her some flowers.C. She used to be friendly to others.D. She spent less time on her family life.28. According to the passage, which do you think is the best title?A. How to get along with a stranger.B. I love my daughter.C. Daughter gave me a good lesson.D. How to be a polite person.CDear Mom and dad，Camp is great! I have met a lot of new friends. Jim is from California, Eric is from Iowa, and Tony is from Missouri. We have a great time together, swimming, boating, hiking, and playing tricks on other campers! Every night, we go to another tent secretly and try to scare other campers by making scary noises. It's so funny to see them run out screaming! Now, don't worry, Mom. I'm not going to get cough like I did last year.One thing that is different from last year is how many bugs (昆虫) there are!I have at least 100 mosquito bites and about 25 ant bites. Every time I go outside, horseflies chase me, too! Other than all these bugs, I'm having the best time!Love，Tyler Dear Tyler，Are you sure you are okay? All of those bugs sound awful! Have you used all of the “ItchBeGone” cream I got you? How about the “Ants'k Awful” lotions (护肤液) for the ant bites? You and your aunt Ethel have always seemed to attract those nasty fire ants.Now Tyler, I am very happy that you have met some new friends and that you are having fun together. However, you MUST stop trying to scare other campers. Remember, honey, some campers may be scared easily. I want you to apologise for any anxiety you may have caused them and start being the nice, polite boy that I know you are. Do you hear me, Tyler? Please be careful. I want you to come here safely.Love，Mom 29．Why did Tyler write the letter to his parents?A．To describe his interesting camp experiences.B．To express his regret about scaring others.C．To ask his parents for advice about camping.D．To tell his parents about his sufferings at camp.30．The underlined word “chase” in the first letter probably means “________”．A．fly away B．get rid of C．put up with D．run after31．Tyler's mother advises him to ________.A．buy more lotion for the bites B．return with a few friendsC．avoid scaring other campers D．turn to the police when in troubleDFar from the land of Antarctica, a huge shelf of ice meets the ocean. At the underside of the shelf there lives a small fish, the Antarctic cod.For forty years scientists have been curious about that fish. How does it live where most fish would freeze to death? It must have some secret. The Antarctic is not a comfortable place to work and research has been slow. Now it seems we have an answer.Research was begun by cutting holes in the ice and catching the fish. Scientists studied the fish's blood and measured its freezing point.The fish were taken from seawater that had a temperature of －1.88℃ and many tiny pieces of ice floating in it. The blood of the fish did not begin to freeze until its temperature was lowered to －2.05℃. That small difference is enough for the fish to live at the freezing temperature of the icesalt mixture.The scientists' next research job was clear: Find out what in the fish's blood kept it from freezing. Their search led to some really strange things made up of a protein (蛋白质) never before seen in the blood of a fish. When it was removed, the blood froze at seawater temperature. When it was put back, the blood again had its antifreeze quality and a lowered freezing point.Study showed that it is an unusual kind of protein. It has many small sugar molecules (分子) held in special positions within each big protein molecule. Because of its sugar content, it is called a glycoprotein. So it has come to be called the antifreeze fish glycoprotein or AFGP.32．What is the text mainly about?A．The terrible conditions in the Antarctic. B．A special fish living in freezing waters.C．The ice shelf around Antarctica. D．Protection of the Antarctic cod. 33．Why can the Antarctic cod live at the freezing temperature?A．The seawater has a temperature of －1.88℃.B．It loves to live in the icesalt mixture.C．A special protein keeps it from freezing.D．Its blood has a temperature lower than －2.05℃.34．What does the underli ned word “it” in Paragraph 5 refer to?A．A type of icesalt mixture. B．A newly found protein.C．Fish blood. D．Sugar molecule.35．What does “glyco” in the underlined word “glycoprotein” in the last paragraph mean?A．sugar B．ice C．blood D．molecule第二节七选五 (共5小题;每小题2分,满分10分)根据短文内容,从短文后的选项中选出能填入空白处的最佳选项。
张宇高数讲义
ex lim e x→+∞ x
− e−x + e−x
=
lim
x→+∞
ex ex
+ −
e−x e−x
= lim e x e x→+∞ x
− e−x + e−x
，
◇2011 张宇考研数学内部讲义◇
◇张宇 编讲◇
洛必达法则失效，处理的方法是恒等变形——分子分母同乘 e−x ，得到
lim e x e x→+∞ x
F+ ( x) =
lim
x→0+
⎛ ⎜⎝
sin
x
+
π 4
x−
4 3
⎞ ⎟⎠
−
⎛ ⎜⎝
1 3
x3
x
+x−
4⎞ 3 ⎟⎠ 不存在，即不可导 ⇒
F′(x) ≠
f
(x)
请注意，我们还有更好的方法解决这个问题吗？
【例
2】
f
(
x
)
=
⎧⎪2 ⎨
x
cos
1 x2
+ 2 sin x
1 x2
,
x≠0 ,
⎪⎩0,
x=0
F
x2
+
1,
⎨
⎪⎩cos x +
π 4
,
x≤0 ,
x>0
F ( x) = x f (t ) dt ，则： −1
( A) F ( x)为f ( x)的一个原函数 (C ) F ( x)在(-∞，+∞)上不连续
( B) F ( x)在(-∞，+∞)上可微，但不是f ( x)的原函数 ( D) F ( x)在(-∞，+∞)上连续，但不是f ( x)的原函数
张宇老师带你学高数上册导学 全
存在准则 两个重要极限（注意
两个重要极 极限成立的条件，熟 限 悉等价表达式）
掌握（两个重要极限 要会证明）【重点
】，“柯西极限存在 准则”考研不要求.
例1-4 4
利用函数极限求数列
极限
无穷小阶的概念（同
例1-5，例1
阶无穷小、等价无穷 小、高阶无穷小、低 §1.7无穷 阶无穷小、k阶无穷
掌握【重点】
掌握 掌握【重点】 掌握【重点】
§ 4.4 有 理 有理函数积分法，可 函数积分 化为有理函数的积分
§ 4.5 积 分 考研不作要求
表的使用
会求
总习题四
总结归纳本章的基本 概念、基本定理、基 本公式、基本方法
必做例题 精做练习
P192习4-1: 例1-3，5- 1(1),2(5)(8)(
15 13)(17)(19)( 21) (25),5,7
掌握
掌握 掌握 掌握
必做例题 精做练习 ——
例1-5 例6-10 例11-13
P286习6-2: 1(1)(4),2(1), 4,5(1),7,9,1 1,12,15(1)(3 ) ,16,19,21,22 (数二，数 三不用 做),28(数 二，数三不 用做)
例1-5
P293习6-3: 5,11（数三 全不用做）
方程
不要求）
例1-2
P314习7-3: 1(1)(5),2(2)
一阶线性微分方程的形式和解 掌握（熟记公式）
法 §7.4一阶
线性微分方
程
伯努利方程的形式和解法（记
1(5)(10)(12) 例1-10
(15)(16),2,3,
4
§3.3泰勒 泰勒中值定理 公式 麦克劳林展开式