苏教版必修2高中数学25解三角形word复习学案

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高中数学苏教版必修5第33课时《解三角形复习》word学案

解三角形学案班级学号姓名学习目标1.掌握正弦定理，余弦定理，并能运用正弦定理，余弦定理解斜三角形；2.解三角形的基本途径：根据所给条件灵活运用正弦定理或余弦定理，然后通过化边为角或化角为边，实施边和角互化.知识梳理1. 正弦定理：2. 余弦定理：变形课前准备1. 在ABC ∆中，若8a =，7b =，30B =︒，则sin A = .2. 在ABC ∆中，若b =c =，120A =︒，则a = .3. 在ABC ∆中，若60A =︒，1b =，ABC S ∆=，则a = .4. 在ABC ∆中，若222b c a +-=，则A = .5. 在ABC ∆中，若cos cos b B a A =，则ABC ∆的形状是 .课堂学习典型例题：例1.（1）已知ABC ∆顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，.若A ∠是钝角，则c 的取值范围 .（2）已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且1AB =，4BC =，则边BC 上的中线AD 的长为 .例2.在三角形ABC 中，已知2222()sin()()sin()a b A B a b A B +-=-+，试判断该三角形的形状.例3. 在ABC ∆中，已知内角A π=3，边BC =.设内角B x =，周长为y . （1）求函数()y f x =的解析式和定义域；（2）求y 的最大值.例4. 如图，D 是直角△ABC 斜边BC 上一点，AB =AD ，记∠CAD =α，∠ABC =β.（1）证明：sin cos 20αβ+=；（2）若AC ，求β.课后复习1. 在ABC ∆中，,75,45,300===C A AB 则=AB _____________. 2.ABC ∆的内角A ∠，B ∠，C ∠的对边分别为a ，b ，c ，若a ，b ，c 成等比数列，且2c a =，则cos B =_____. 3.在ABC ∆中，若2a b c =+，2sin sin sin A B C =，则ABC ∆的形状是三角形. 4.在ABC ∆中，内角A ∠，B ∠，C ∠的对边分别是a ，b ，c ，若22a b bc =+，sin 2sin C B =，则A =________. 5. 在ABC ∆中，已知a ，b ，c 分别为A ∠，B ∠，C ∠所对的边，S 为ABC ∆的面积．若向量222(4,)a b c =+-p ，)S =q ，满足//p q ，则C ∠= . 6.设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且35cos ,cos ,3,513A B b ===则c =______.7.已知ABC ∆得三边长成公比为,则其最大角的余弦值为_________. 8.在ABC ∆中,若2a =,7b c +=,1cos 4B =-,则b =___________. 9. 在ABC ∆中，已知2AC =，3BC =，4cos 5A =-.（1）求sin B 的值；（2）求sin 26B π⎛⎫+⎪⎝⎭的值.10. 在ABC ∆中，1tan 4A =，3tan 5B =.（1）求角C 的大小；（2）若ABC ∆最大边的边长为，求最小边的边长.11. 如图，在四边形ABCD 中，已知13AB =，10AC =，5AD =，CD ==50AB AC ⋅ .（1）求cos BAC ∠的值；（2）求sin CAD ∠的值；（3）求BAD ∆的面积.。

(完整word)高中数学解三角形知识点汇总及典型例题,推荐文档

三角形中的三角变换，除了应用上述公式和上述变换方法外，还要注意三角形自身的特点。

(1 )角的变换；cos(A+B)= —cosC；tan(A+B)= —tanC 因为在△ ABC 中，A+B+C=n，所以sin(A+B)=sinC.A B C AB . Csin ------- cos 一, cos--------- sin 一；2 2 2 2(2)判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化，统一成边的形式或角的形式•6 •求解三角形应用题的一般步骤：(1)分析：分析题意，弄清已知和所求；(2)建模：将实际问题转化为数学问题，写出已知与所求，并画出示意图；(3)求解：正确运用正、余弦定理求解；(4)检验：检验上述所求是否符合实际意义。

二、典例解析题型1 :正、余弦定理例1.( 1)在ABC 中，已知A 32.0°，B 81.8°，a 42.9cm,解三角形；(2)在ABC中，已知a 20cm, b 28 cm, A 40°，解三角形(角度精确到1°，边长精确到1cm)。

解：(1)根据三角形内角和定理，C 180°(A B) 180°(32.0°81.8°) 66.2°；asi nB 42.9si n81.8°根据正弦定理，b °8°.1(cm)；si nA si n32.°asi nC 42.9si n66.2°根据正弦疋理， c ---------- ------------- °74.1(cm).si nA si n32.0bsinA 28sin40°(2)根据正弦疋理，sinB 0.8999.a 2°因为0°v B v 180°，所以B 64°，或B 116°①当B 64°时，C 180°(A B) 180°(40°64°) 76°，②当B 116°时，C 180°(A B) 180°(40°116°) 24°c 型咤 13(cm).，si nA si n4°点评：应用正弦定理时(1)应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形；( 2)对于解三角形中的复杂运算可使用计算器题型2 :三角形面积例 2•在 ABC 中, sin A cosA ——2，AC 2，AB 3，求tan A 的值和 ABC 的面积。

2019-2020年高中数学25解三角形复习学案(无答案)苏教版必修2

2019-2020年高中数学25解三角形复习学案（无答案）苏教版必修2
班级学号姓名
【课前预习】
1. 在中，若，，，则 .
2. 在中，若，，，则 .
3. 在中，若，，，则 .
4. 在中，若，则 .
5. 在中，若，则的形状是 .
6. 0
4,45,ABC a B ∆==中，已知若解此三角形时有且只有一解，则b 的值应满足 .
【典型例题】
例1. （1）已知顶点的直角坐标分别为，，.若是钝角，则的取值范围 . （2）已知的三个内角A、B、C成等差数列，且，，则边上的中线的长为 .
例题2.已知，内角所对的边分别为，且满足下列三个条件：① ② ③
求 (1) 内角和边长的大小；
(2) 的面积．
例题3.（江苏省启东中学xx届高三综合训练（3））在△ABC中,为三个内角为三条边,,且
(I)判断△ABC的形状;
(II)若,求的取值范围.
例4.（江苏省扬州中学xx届高三最后一次模拟考试数学试题）己知在锐角ΔABC中,角所对的边分别为,且
(1)求角大小;
(2)当时,求的取值范围.。

苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件第11章解三角形 11.3 余弦定理、正弦定理的应用

AC= 2 + 2 -2·cos120°=20 7,
所以|F 合|=AC=20 7(N).所以小车能保持静止.
素养培优
函数与方程思想在解三角形应用举例中的应用
【典例】如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种
是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步
标在图中,然后分析可解的三角形及其与待求角的关系,确定解题步骤.
变式训练2
如图所示,从A到B,方位角是50°,距离是470 m;从B到C,方位角是80°,距离
是860 m;从C到D,方位角是150°,距离是640 m,试计算从A到D的方位角和
距离.
解如图,连接 AC,在△ABC 中,∠ABC=50°+(180°-80°)=150°.
得 BC=5 6海里.
10

海里.由正弦定理,得sin45 °= sin60 °,解
重难探究•能力素养全提升
探究点一测量距离问题
【例1】如图 ,一名学生在河岸紧靠岸边笔直行走,开始在A处,经观察,在河
的对岸有一参照物C,与学生前进方向成30°角,学生前进200 m 后到达点B,
测得该参照物与前进方向成75°角.
)?
解如图所示,连接CB.在△ABC中,∠CAB=90°+30°=120°.
由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cos 120°.
又AC=10,AB=20,得
2
2
2
BC =20 +10 -2×20×10×
1
-2
,
所以 BC=10 7 n mile.
由正弦定理,得
sin∠
探究点三余弦定理、正弦定理在力学中的应用

第11章解三角形章末复习提升-2024-2025学年高中数学新教材高一下苏教版必修第二册PP

索引
本节内容结束
MN＝ BM2＋BN2＋2BM·BNcos（β2＋α2）.
索引
要点四利用正、余弦定理判断三角形形状
///////
根据已知条件(通常是含有三角形的边和角的等式或不等式)判断三角形的形状时，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解.
索引
【训练 5】已知向量 a＝(sin x，cos x)，b＝( 3cos x，cos x)，f(x)＝a·b.
(1)求函数 f(x)＝a·b 的最小正周期；
解
f(x)＝
3sin

xcos
x＋cos2x＝
3 2 sin
2x＋21cos
2x＋12＝sin2x＋π6 ＋12，
所以 f(x)的最小正周期 T＝22π＝π.
即sin 2C＝sin 2B，∵B，C均为△ABC内角，
∴2C＝2B或2C＋2B＝180°，
即B＝C或B＋C＝90°，
∴△ABC为等腰三角形或直角三角形.
索引
要点五正、余弦定理与其它知识的综合
///////
对于正、余弦定理的综合问题，首先要熟练使用正、余弦定理，其次要根据条件，合理选用三角函数公式，达到简化问题的目的.利用正、余弦定理解三角形问题时，常与平面向量、三角恒等变换等知识结合给出问题的条件，这些知识的加入，一般只起“点缀”作用.
则v2t2＝400＋900t2－2·20·30t·cos(90°－30°)，故 v2＝900－60t 0＋4t020. ∵0<v≤30， ∴900－60t 0＋4t020≤900，即t22－3t ≤0，解得 t≥23. 又 t＝23时，v＝30，

苏教版必修第二册第11章解三角形章末复习提升课课件2

解三角形的一般方法 (1)已知两角和一边，如已知A，B和c，由A＋B＋C＝π求C，由正弦定理求a，b. (2)已知两边和这两边的夹角，如已知a，b和C，应先用余弦定理求c，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A＋B＋C＝π，求另一角．
(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a，b和A，应先用正弦定理求 B，由A＋B＋C＝π求C，再由正弦定理或余弦定理求c，要注意解可能有多种情况． (4)已知三边a，b，c，可应用余弦定理求A，B，C.
1．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若△ABC 的面积为a2＋b42－c2，
则 C＝( )
A．π2
B．π3
√C．π4
D．π6
解析：根据题意及三角形的面积公式知12ab sin C＝a2＋b42－c2，所以 sin C
＝a2＋2ba2b－c2＝cos C，所以在△ABC 中，C＝π4.
(2)在△ABC 中，由余弦定理及 a＝2，c＝3，B＝π3，
得 b2＝a2＋c2－2accos B＝7，故 b＝ 7.
由 bsin A＝acosB－π6，可得 sin A＝
37.因为
a<c，故
cos
A＝
2 7.
因此 sin 2A＝2sin Acos A＝473，cos 2A＝2cos2A－1＝17，
【解】 (1)在△ABC 中，因为 a＝3，c＝ 2，B＝45°，
由余弦定理 b2＝a2＋c2－2ac cos B，得 b2＝9 ＋2－2×3× 2cos 45°＝5，
所以 b＝ 5.
在△ABC 中，由正弦定理sinb B＝sinc C，
得sin 455°＝sin2C，
所以
sin
C＝

苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件第11章解三角形 11.2 正弦定理

1
S△ABC=
2
aha=
1
bh
b
2
1
chc
2
=
.
2.在△ABC中,若a,b,c所对的角分别是A,B,C,则
1
S△ABC= 2
absin C=
1
acsin
2
B
=
1
bcsin
2
A
.
名师点睛
三角形面积公式的其他形式
abc
(1)S△ABC= ,其中
4R
R 为△ABC 的外接圆半径;
(2)S△ABC=2R2sin Asin Bsin C,其中 R 为△ABC 的外接圆半径;
A.45°
B.60°
C.90°
D.135°
)
答案 AD
解析设△ABC 的外接圆的半径为 R,由正弦定理,得 2×2Rsin Asin C
= 2×2Rsin C,因此 sin
2
A= 2 ,故
A=45°或 135°.
知识点3 三角形的面积公式
1.在△ABC中,若ha,hb,hc分别表示边a,b,c上的高,则
2
120°=3 3.
.
2.在△ABC中,若a=2,b=8,S△ABC=4,则C=
.
答案 30°或150°
解析由
1
S△ABC= absin
2
C,得
1
4= ×2×8sin
2
C,解得 sin
1
C= ,故
2
C=30°或 150°.
3.在△ABC中,已知A=75°,C=45°,b=4,求△ABC的面积.
于是 C=180°-45°-30°=105°.由正弦定理,得

苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件第11章解三角形 11.1 余弦定理 (2)

符号语言
2 = 2 + 2 − 2cos
2 = 2 + 2 − 2cos
知识点2. 余弦定理的变形
cos =
2 + 2 −2
,cos
2
=
2 +2 −2
,cos
2
=
2 +2 − 2
.
2
知识点3. 余弦定理的应用
利用余弦定理,可以解决以下两类解三角形的问题:
【题型一】已知两边一角解三角形
例1（1）（多选题）已知△ 中,内角,,所对的边分别为,,,且 = 30∘ ,
= 1, = 3,则的值可能是()
AD
A.1B. 2C. 3D.2
[解析] 在△ 中, = ∘ , = , = ,由余弦定理得 = + − ,
+ − ⋅ + + = ,则角的大小为()
C
A.60∘ B.90∘ C.120∘ D.150∘
[解析]由 + − + + = ,则 + − = −
所以 =
+ −

∘

=− ,
又∘ < < ,所以 = ∘ .故选C.
则△ 的形状为直角三角形,故选A.
+
+ −

=
+
,整理得

= + ,则
A
①△ 为直角三角形⇔ 2 = 2 + 2 或 2 = 2 + 2 或 2 = 2 + 2 .
②△ 为锐角三角形⇔ 2 + 2 > 2 ，且 2 + 2 > 2 ，且 2 + 2 > 2 .

苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件第11章解三角形章末总结提升

跟踪训练2[2023淮安月考]设的三个内角,,满足,又,则这个三角形的形状是()
B
A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.钝角三角形
[解析]因为的三个内角,而,所以.又,由正弦定理得,由余弦定理得,整理得,即,又,所以是等边三角形.
要点三正弦定理、余弦定理在几何中的应用
1.该类问题以多边形为载体,在已知条件中设计了三角形的一些边角关系,由于正弦定理和余弦定理都是关于三角形的边角关系的等式,通过定理的运用能够实现边角互化,在边角互化时,经常用到三角函数中两角和与差的公式及倍角公式等. 2.解三角形与平面几何的综合问题考查学生数学运算与逻辑推理的数学素养.
【典例1】[2023扬州月考]在①,②,③这三个条件中任选一个,补充在下面的横线上,并加以解答.已知的内角,,所对的边分别是,,,若____.
（1）求角；
解选①,由正弦定理得,,,,即,,,,.选②,,,由正弦定理可得,,,,,,.选③,,由已知结合正弦定理可得,,,,,.
（2）若,求周长的最小值,并求出此时的面积.
[解析],解得,,,则.,由正弦定理得,即,,.,,,,,故是直角三角形.
题后反思利用正弦定理、余弦定理判断三角形形状的方法（1）通过边之间的关系判断形状. （2）通过角之间的关系判断形状. 合理利用正弦定理、余弦定理将已知条件中的边、角互化,把条件统一为边的关系或角的关系.
解 ,即,,解得,当且仅当时取等号,,周长的最小值为6,此时的面积.
题后反思应用正弦定理、余弦定理需注意的三个方面（1）正弦定理和余弦定理揭示了三角形边角之间的关系,解题时要根据题目条件恰当地实现边角的统一. （2）统一为“角”后,要注意正确利用三角恒等变换及诱导公式进行变形；统一为“边”后,要注意正确利用配方、因式分解等代数变换方法进行变形. （3）求值时注意方程思想的运用.

苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件第11章解三角形 11.1 余弦定理

故最大角与最小角之和为 180°-60°=120°.
=
1
,所以
2
θ=60°,
探究点三利用余弦定理判断三角形形状
【例3】在△ABC中,若acos B+acos C=b+c,试判断该三角形的形状.
解由 acos B+acos C=b+c,结合余弦定理得
2 + 2 - 2
2
+
2 + 2 - 2
图③
证法二(解析法)
对于任意一个△ABC,建立平面直角坐标系如图④所示,
则A(bcos∠ACB,bsin∠ACB),B(a,0).
根据两点间的距离公式,有:
c2=|AB|2=(bcos∠ACB-a)2+(bsin∠ACB)2
=a2+b2-2abcos∠ACB,
即c2=a2+b2-2abcos∠ACB,
5.在△ABC中,已知a=2,b=2 2 ,C=15°,解三角形.
解由余弦定理,得 c2=a2+b2-2abcos C=4+8-2×2×2 2×cos 15°=8-4 3,解得
c= 6 − 2.由余弦定理,得 cos
∴A=30°,
∴B=180°-15°-30°=135°.
2 + 2 - 2
c
2 + 2 - 2
2 + 2 - 2
2 + 2 - 2

c2=bc· 2 +ca· 2 +ab· 2 ,整理,得
2 + 2 + 2
=
,
2
2
即 a2+b2=c2,故△ABC 是直角三角形.

苏教版高中同步学案数学必修第二册精品课件第11章解三角形 11.2 正弦定理 (2)

解∵

sin
=

，∴
sin
sin =
sin

=
2
，∴
2
= 45∘ 或 = 135∘ .∵ > ，
∴ > ，∴ = 45∘ .
∴=
75∘ ，
=
sin
sin
=
6⋅sin 75∘
sin 60∘
= 3 + 1.
【题型三】三角形形状判断
例3[2023南通月考]在△ 中，内角，，所对的边分别为，，，已知
可得sin2 − sin2 = sin2 + ，
因为 + + = π，所以 + = π − ，可得sin + = sin ，
可得sin2 − sin2 = sin2 ，
由正弦定理，可得2 − 2 = 2 ，即 2 + 2 = 2 ，
（2）化角为边，走代数变形之路，常用的转化方式有:
sin =

，sin
2
=

，sin
2
=

（为△
2
外接圆的半径）.
跟踪训练3[2023启东月考]在△ 中，若 − cos ⋅ sin = − cos sin ，
则这个三角形是() D
A.底角不等于45∘ 的等腰三角形B.锐角不等于45∘ 的直角三角形
2 − 2 = cos + cos 2 ，试判断△ 的形状，并写出证明过程.
解△ 是直角三角形.证明如下：因为2 − 2 = cos + cos 2 ，
所以由正弦定理，可得sin2 − sin2 = sin cos + sin cos 2 ，

高中数学苏教版必修2课时16复习课word学案1

课时16 复习课（1）【要点提示】1．柱体、锥体、台体的表面积是如何求出来的？它们的体积公式有何联系？2．球的表面积和体积，只和有关？3．简单组合体的表面积和体积怎么求？【基础训练】1、若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为。

2、在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA=a,PB=b,PC=c,则球的体积为。

3、设正三棱锥S-ABC的侧面积是底面积的2倍，正三棱锥的高SO=3，则此三棱锥的全面积为。

4、已知正四棱锥P—ABCD的高为4，侧棱长与底面所成的角为060，则该正四棱锥的侧面积是．5、球面上有三点A，B，C，任意两点之间的球面距离都等于球大圆周长的四分之一，且过这三点的截面圆的面积为 4，则此球的体积为。

【例题讲解】例1、如图1，一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P。

如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图2）。

有下列四个命题：（1）．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半（2）．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P（3）．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P （4）．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满其中真命题的代号是：（写出所有真命题的代号）．图12图例2．在四棱锥P －ABCD 中，∠ABC ＝∠ACD ＝90°，∠BAC ＝∠CAD ＝60°，PA ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，PA ＝2AB ＝2．（Ⅰ）求四棱锥P －ABCD 的体积V ；（Ⅱ）若F 为PC 的中点，求证PC ⊥平面AEF ；（Ⅲ）求证CE ∥平面PAB ．例3．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为1DD 、DB 的中点．（1）求证：EF //平面11ABC D ；（2）求证：1EF B C ⊥；（3）求三棱锥EFC B V -1的体积．P ABCDEFDBFE D 1C 1B 1A A 1【课时作业16】1．如图，在正四面体A －BCD 中，E 、F 、G 分别是三角形ADC 、ABD 、BCD 的中心，则△EFG 在该正四面体各个面上的射影所有可能的序号是 .2．若一个正三棱柱的三视图如下图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为 .3．如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是下图的（要求：把可能的图的序号都．填上）.4．如图，ABCD 是一平面图形的水平放置的斜二测直观图，在直观图中，ABCD 是一直角梯形，//AB CD ，AD CD ⊥，且//BC y 轴。

高级中学高中数学 25解三角形复习学案(无答案)苏教版必修(1)

解三角形复习学案班级学号姓名【课前预习】1. 在ABC ∆中，若8a =，7b =，30B =︒，则sin A = .2. 在ABC ∆中，若b =c =120A =︒，则a = .3. 在ABC ∆中，若60A =︒，1b =，ABC S ∆，则a = .4. 在ABC ∆中，若222b c a +-=，则A = .5. 在ABC ∆中，若cos cos b B a A =，则ABC ∆的形状是 .6. 04,45,ABC a B ∆==中，已知若解此三角形时有且只有一解，则b 的值应满足 .【典型例题】例1. （1）已知ABC ∆顶点的直角坐标分别为(34)A ，，(00)B ，，(0)C c ，.若A ∠是钝角，则c 的取值范围 .（2）已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且1AB =，4BC =，则边BC 上的中线AD 的长为 .例题2.已知ABC ∆，内角,,A B C 所对的边分别为c b a ,,，且满足下列三个条件：①ab c b a +=+222 ②C c sin 143= ③13=+b a求 (1) 内角C 和边长c 的大小；(2) ABC ∆的面积．例题3.（江苏省启东中学2013届高三综合训练（3））在△ABC 中,,,A B C 为三个内角,,a b c为三条边,23ππ<<C ,且.2sin sin 2sin CA C b a b -=- (I)判断△ABC 的形状;(II)若||2BA BC += ,求BA BC ⋅ 的取值范围.例4.（江苏省扬州中学2013届高三最后一次模拟考试数学试题）己知在锐角ΔABC 中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,且222tan .ab C a b c=+- (1)求角C 大小;(2)当1c =时,求22a b +的取值范围.。

高二数学复习教案三角函数式在解三角形中的应用苏教版

高二数学复习教案三角函数式在解三角形中的应用重难点归纳(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形； (2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；(3)能熟练运用三角形基础知识，正、余弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘典型题例示范讲解例1在海岛A 上有一座海拔1千米的山，山顶设有一个观察站P ，上午11时，测得一轮船在岛北30°东，俯角为30°的B 处，到11时10分又测得该船在岛北60°西、俯角为60°的C 处。

(1)求船的航行速度是每小时多少千米； (2)又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的D 处，问此时船距岛A 有多远？命题意图本题主要考查三角形基础知识，以及学生的识图能力和综合运用三角知识解决实际问题的能力知识依托主要利用三角形的三角关系，关键找准方位角，合理利用边角关系错解分析考生对方位角识别不准，计算易出错技巧与方法主要依据三角形中的边角关系并且运用正弦定理来解决问题解 (1)在Rt △P AB 中，∠APB =60° P A =1，∴AB =3 (千米)在Rt △P AC 中，∠APC =30°，∴AC =33(千米) 在△ACB 中，∠CAB =30°+60°=90°)/(30261330330)3()33(2222时千米=÷=+=+=∴AB AC BC(2)∠DAC =90°－60°=30° sin DCA =sin(180°－∠ACB )=sin ACB =101033303==BCABsin CDA =sin(∠ACB －30°)=sin ACB ·cos30°－cos ACB ·sin30°=2010)133()10103(121232-=-⋅- 在△ACD 中，据正弦定理得CDAACDCA AD sin sin =， ∴13392010)133(1010333sin sin +=-⋅=⋅=CDA DCA AC AD 答此时船距岛A 为1339+千米例2已知△ABC 的三内角A 、B 、C 满足A +C =2B ，设x =cos 2CA -，f (x )=cosB (CA cos 1cos 1+) (1)试求函数f (x )的解析式及其定义域； (2)判断其单调性，并加以证明； (3)求这个函数的值域命题意图本题主要考查考生运用三角知识解决综合问题的能力，并且考查考生对基础知识的灵活运用的程度和考生的运算能力知识依托主要依据三角函数的有关公式和性质以及函数的有关性质去解决问题错解分析考生对三角函数中有关公式的灵活运用是难点，并且不易想到运用函数的单调性去求函数的值域问题技巧与方法本题的关键是运用三角函数的有关公式求出f (x )的解析式，公式主要是和差化积和积化和差公式在求定义域时要注意|2CA -|的范围解 (1)∵A +C =2B ，∴B =60°，A +C =120°2coscos1cos cos 22()2cos cos cos()cos()A C A CA C f x A C A C A C +-+=⋅=⋅++-222,143212x xx x ==--+-∵0°≤|2C A -|＜60°，∴x =cos 2C A -∈(21，1]又4x 2－3≠0，∴x ≠23，∴定义域为(21，23)∪(23，1］(2)设x 1＜x 2， ∴f (x 2)－f (x 1)=342342211222---x x x x =)34)(34()34)((222212121--+-x x x x x x ，若x 1，x 2∈(23,21)，则4x 12－3＜0，4x 22－3＜0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0即f (x 2)＜f (x 1)，若x 1，x 2∈(23，1］，则4x 12－3＞0 4x 22－3＞0，4x 1x 2+3＞0，x 1－x 2＜0，∴f (x 2)－f (x 1)＜0即f (x 2)＜f (x 1)，∴f (x )在(21,23)和(23，1]上都是减函数(3)由(2)知，f (x )＜f (21)=－21或f (x )≥f (1)=2故f (x )的值域为(－∞，－21)∪［2，+∞)例3已知△ABC 的三个内角A 、B 、C 满足A +C =2BB C A cos 2cos 1cos 1-=+，求cos 2C A -的值解法一由题设条件知B =60°，A +C =120°设α=2CA -，则A －C =2α，可得A =60°+α，C =60°－α， 1111cos cos cos(60)cos(60)A C αα+=+︒+︒-所以=222cos cos ,133cos sin cos 444ααααα==--依题设条件有,cos 243cos cos 2B-=-αα .2243cos cos ,21cos 2-=-αα∴=B整理得42cos 2α+2cos α－32=0(M )(2cos α－2)(22cos α+3)=0，∵22cos α+3≠0，∴2cos α－2=0 从而得cos2-C A 解法二由题设条件知B =60°，A +C =120°22cos 1cos 1,2260cos 2-=+∴-=︒-CA①，把①式化为cos A +cos C =－22cos A cos C②，利用和差化积及积化和差公式，②式可化为)]cos()[cos(22cos 2cos2C A C A CA C A -++-=-+ ③，将cos 2CA +=cos60°=21，cos(A +C )=－21代入③式得)cos(2222cos C A C A --=- ④将cos(A －C )=2cos 2(2CA -)－1代入 ④42cos 2(2C A -)+2cos 2CA -－32=0，(*)，(2cos3)0,22A C A C---+=22cos 30,2cos 0,22A C A C--+=∴=:cos2A C -=从而得学生巩固练习1 给出四个命题 (1)若sin2A =sin2B ，则△ABC 为等腰三角形；(2)若sin A =cos B ，则△ABC 为直角三角形；(3)若sin 2A +sin 2B +sin 2C ＜2，则△ABC 为钝角三角形；(4)若cos(A －B )cos(B －C )cos(C －A )=1，则△ABC 为正三角形以上正确命题的个数是( )A 1B 2C 3D 4 2 在△ABC 中，已知A 、B 、C 成等差数列，则2tan 2tan 32tan 2tanCA C A ++的值为__________ 3 在△ABC 中，A 为最小角，C 为最大角，已知cos(2A +C )=－34，sin B =54，则cos2(B +C )=__________ 4 已知圆内接四边形ABCD 的边长分别为AB =2，BC =6，CD =DA =4，求四边形ABCD 的面积5 如右图，在半径为R 的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角θ的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r 的平方成反比，即I =k ·2sin rθ，其中 k 是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h ，才能使桌子边缘处最亮？在△ABC 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，27cos 22sin 42=-+A C B (1)求角A 的度数；(2)若a =3，b +c =3，求b 和c 的值7 在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别为a 、b 、c ，且a 、b 、3c 成等比数列，又∠A －∠C =2π，试求∠A 、∠B 、∠C 的值8 在正三角形ABC 的边AB 、AC 上分别取D 、E 两点，使沿线段DE 折叠三角形时，顶点A 正好落在边BC 上，在这种情况下，若要使AD 最小，求AD ∶AB 的值参考答案1 解析其中(3）(4）正确答案 B2 解析 ∵A+B+C =π，A+C=2B ，.32tan 2tan 32tan 2tan )2tan 2tan 1(32tan 2tan ,3)2tan(,32=++-=+=+=+∴CA C A C A C A C A C A 故π答案 33 解析 ∵A 为最小角∴2A +C =A +A +C ＜A+B+C =180°∵cos(2A +C )=－54，∴sin(2A+C 3 ∵C 为最大角，∴B 为锐角，又sin B 54 故cos B 53即sin(A+C )=54，cos(A +C )=53∵cos(B+C )=－cos A =－cos ［(2A+C )－(A+C )］=－2524，∴cos2(B+C )=2cos 2(B+C )－625527答案 6255274 解如图连结BD ，则有四边形ABCD 的面积S =S △ABD +S △CDB =21·AB ·AD sin A +21·BC ·CD ·sin C ∵A+C =180°，∴sin A =sin C 故S =21(AB ·AD +BC ·CD )sin A =21(2×4+6×4)sin A =16sin A 由余弦定理，在△ABD 中，BD 2=AB 2+AD 2－2AB ·AD ·cos A =20－16cos A 在△CDB 中，BD 2=CB 2+CD 2－2CB ·CD ·cos C =52－48cos C ∴20－16cos A =52－48cos C ，∵cos C =－cos A ， ∴64cos A =－32，cos A =－21，又0°＜A ＜180°，∴A =120°故S =16sin120°5 解 R =r cos θ，由此得20,cos 1π<θ<θ=R r ， 22222sin sin cos (sin cos )k I k k r R Rθθθθθ⋅=⋅=⋅=⋅⋅222222322222()2sin (1sin )(1sin )()()3sin ,tan k k I R R k I h R R θθθθθ=⋅⋅--≤⋅≤===由此得等号在此时.1221:23 2:3,3.3)(21221cos 2cos :)2(60,1800,21cos ,01cos 4cos 45cos 4)cos 1(4,271cos 2)]cos(1[2:,180272cos 2sin 4)1(:.6222222222222⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+==+==-+∴=-+∴=-+=︒=∴︒<<︒=∴=+-=-+=+-+-︒=++=-+c b c b bc c b bc c b a bc a c b bc a c b A bca cb A A A A A A A A A C B C B A A C B 或得由代入上式得将由余弦定理得即得及由解7 解由a 、b 、3c 成等比数列，得 b 2=3ac∴sin 2B =3sin C ·sin A =3(－21)［cos(A +C )－cos(A －C )］ ∵B =π－(A+C ) ∴sin 2(A+C )=－23［cos(A+C )－cos 2π］即1－cos 2(A+C )=－23cos(A+C )，解得cos(A+C )=1∵0＜A+C ＜π，∴A+C =32π 又A －C =2π∴A =127π，B =3π，C 12π8 解按题意，设折叠后A 点落在边BC 上改称P 点，显然A 、P 两点关于折线DE 对称，又设∠BAP =θ，∴∠DP A =θ，∠BDP =2θ，再设AB =a ，AD =x ，∴DP =x 在△ABC 中， ∠APB=180°－∠ABP －∠BAP =120°－θ由正弦定理知 APBABBAP BP sin sin =∴BP =)120sin(sin θθ-︒a 在△PBD 中， ︒=-︒︒⋅==60sin 2sin )120sin(sin ,60sin sin ,sin sin θθθθx a x BP BDP BP DBP DP 从而所以,.3)260sin(23)120sin(2sin 60sin sin ++︒=-︒⋅︒⋅=∴θθθθaa x∵0°≤θ≤60°，∴60°≤60°+2θ≤180°， ∴当60°+2θ=90°，即θ=15°时，sin(60°+2θ)=1，此时x 取得最小值)332(323-=+a a ，即AD 最小，∴AD ∶DB =23－3课前后备注。

高中数学复习课一解三角形学案苏教版选修520180607134

复习课(一) 解三角形其中以求边或角的取值范围为主，以解三角形与三角函数的结合为命题热点，试题多以大题的形式出现，难度中等．[考点精要]解三角形的常见类型及方法(1)已知三边：先由余弦定理求出两个角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角．(2)已知两边及其中一边的对角：先用正弦定理求出另一边的对角，再由A ＋B ＋C ＝π，求第三个角，最后利用正弦定理或余弦定理求第三边．(3)已知两边及夹角：先用余弦定理求出第三边，然后再利用正弦定理或余弦定理求另两角．(4)已知两角及一边：先利用内角和求出第三个角，再利用正弦定理求另两边． [典例] 设锐角△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且有a ＝2b sin A . (1)求B 的大小；(2)若a ＝33，c ＝5，求b . [解] (1)由a ＝2b sin A ，根据正弦定理得sin A ＝2sin B sin A ，所以sin B ＝12，由于△ABC 是锐角三角形，所以B ＝π6.(2)根据余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝27＋25－45＝7，所以b ＝7. [类题通法]利用正、余弦定理来研究三角形问题时，一般要综合应用三角形的性质及三角函数关系式，正弦定理可以用来将边的比和对应角正弦值的比互化，而余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系．[题组训练]1．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，则角B 的值为________．解析：∵(a 2＋c 2－b 2)tan B ＝3ac ，∴a 2＋c 2－b 22ac ·tan B ＝32.即cos B ·tan B ＝sin B ＝32. ∵0<B <π，∴角B 的值为π3或2π3.答案：π3或2π32．在△ABC 中，A ＝60°，AC ＝3，BC ＝332，那么AB 的长为________．解析：由正弦定理得AC sin B ＝BCsin A， ∴sin B ＝AC sin ABC＝1，B ＝90°， ∴AB 2＝AC 2－BC 2＝9－274＝94，即AB ＝32.答案：323．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知A ＝π6，a ＝1，b ＝3，则B＝________.解析：由正弦定理知：1sinπ6＝3sin B ，解得sin B ＝32，又0<B <π，b >a ，可得B ＝π3或2π3.答案：π3或2π34．△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c . (1)若a ，b ，c 成等差数列，证明：sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )；(2)若a ，b ，c 成等比数列，求cos B 的最小值．解：(1)证明：∵a ，b ，c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b . 由正弦定理得sin A ＋sin C ＝2sin B . ∵sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )， ∴sin A ＋sin C ＝2sin(A ＋C )． (2)∵a ，b ，c 成等比数列，∴b 2＝ac .由余弦定理得cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac ＝a 2＋c 2－ac 2ac ≥2ac －ac 2ac ＝12，当且仅当a ＝c 时等号成立． ∴cos B 的最小值为12.判断三角形的形状是一种常见的题型，其基本原则是化边为角或化角为边，实现边角的统一，而达到这一目标的工具就是正弦定理和余弦定理，题型多为填空题，难度中等．[考点精要] 三角形中的常用结论(1)A ＋B ＝π－C ，A ＋B 2＝π2－C2.(2)在三角形中大边对大角，反之亦然．(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．[典例] 在△ABC 中，a ，b ，c 分别表示三个内角A ，B ，C 的对边，如果(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，试判断该三角形的形状．[解] ∵(a 2＋b 2)sin(A －B )＝(a 2－b 2)·sin(A ＋B )，∴a 2[sin(A －B )－sin(A ＋B )]＝b 2[－sin(A ＋B )－sin(A －B )]，∴2a 2cos A sin B ＝2b 2sinA cosB .法一：(化边为角)由正弦定理得2sin 2A cos A sinB ＝2sin 2B sin A cos B ，即sin 2A ·sin A sin B ＝sin 2B ·sin A sin B .∵0<A <π，0<B <π，∴sin 2A ＝sin 2B ，∴2A ＝2B 或2A ＝π－2B ，即A ＝B 或A ＋B ＝π2.∴△ABC 是等腰三角形或直角三角形．法二：(化角为边)2a 2cos A sin B ＝2b 2cos B sin A ，由正弦、余弦定理得a 2b ·b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2a ·a 2＋c 2－b 22ac，∴a 2(b 2＋c 2－a 2)＝b 2(a 2＋c 2－b 2)，即(a 2－b 2)(c 2－a 2－b 2)＝0. ∴a ＝b 或c 2＝a 2＋b 2，∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． [类题通法]根据所给条件判断三角形的形状，主要有两条途径： (1)化边为角．(2)化角为边，转化的手段主要有：①通过正弦定理实现边角转化；②通过余弦定理实现边角转化；③通过三角变换找出角之间的关系；④通过对三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性来确定三角形的形状．[题组训练]1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边长分别是a ，b ，c .若c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，则△ABC 的形状为________．解析：∵c －a cos B ＝(2a －b )cos A ，C ＝π－(A ＋B )，∴由正弦定理得sin C －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴sin A cos B ＋cos A sin B －sin A cos B ＝2sin A cos A －sin B cos A ， ∴cos A (sin B －sin A )＝0，∴cos A ＝0或sin B ＝sin A ， ∴A ＝π2或B ＝A 或B ＝π－A (舍去)．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．答案：等腰或直角三角形2．在△ABC 中，已知3b ＝23a sin B ，且A ，B ，C 成等差数列，则△ABC 的形状为________________．解析：∵A ，B ，C 成等差数列，∴A ＋C ＝2B ，即3B ＝π，解得B ＝π3.∵3b ＝23a sin B ，∴根据正弦定理得3sin B ＝23sin A sin B ．∵sin B ≠0，∴3＝23sin A ，即sin A ＝32，即A ＝π3或2π3，当A ＝2π3时，A ＋B ＝π不满足条件．∴A ＝π3，C ＝π3.故A ＝B ＝C ，即△ABC的形状为等边三角形．答案：等边三角形3．已知方程x 2－(b cos A )x ＋a cos B ＝0的两根之积等于两根之和，且a ，b 为△ABC 的两边，A ，B 为两内角，试判定这个三角形的形状．解：设方程的两根为x 1，x 2，由根与系数的关系，得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝b cos A ，x 1x 2＝a cos B .∴b cos A ＝a cos B .由正弦定理得：sin B cos A ＝sin A cos B ， ∴sin A cos B －cos A sin B ＝0， sin(A －B )＝0.∵A ，B 为△ABC 的内角，∴0<A <π，0<B <π，－π<A －B <π. ∴A －B ＝0，即A ＝B .故△ABC 为等腰三角形.正、余弦定理在实际中的应用是高考中的热点，主要考查距离、高度、角度等问题，试题以解答题为主，难度中等．[考点精要]1．仰角与俯角是相对水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的． 2．利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定一点的位置．[典例] 某城市有一块不规则的绿地如图所示，城建部门欲在该地上建造一个底座为三角形的环境标志，小李、小王设计的底座形状分别为△ABC 、△ABD ，经测量AD ＝BD ＝14，BC ＝10，AC ＝16，∠C ＝∠D .(1)求AB 的长度；(2)若建造环境标志的费用与用地面积成正比，不考虑其他因素，小李、小王谁的设计使建造费用最低，请说明理由．[解] (1)在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos C ＝162＋102－2×16×10cos C ，①在△ABD 中，由余弦定理及∠C ＝∠D 整理得AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos D ＝142＋142－2×142×cos C ， ②由①②得：142＋142－2×142cos C ＝162＋102－2×16×10cos C ，解得cos C ＝12.又因为∠C 为三角形的内角，所以C ＝60°，又∠C ＝∠D ，AD ＝BD ，所以△ABD 是等边三角形，故AB ＝14，即AB 的长度为14. (2)小李的设计符合要求，理由如下：S △ABD ＝12AD ·BD sin D ，S △ABC ＝12AC ·BC sin C ，因为AD ·BD >AC ·BC ，sin D ＝sin C ，所以S △ABD >S △ABC ，由已知建造费用与用地面积成正比，故选择△ABC 建造环境标志费用较低，即小李的设计符合要求．[类题通法]利用正余弦定理解决实际应用的四个步骤第一步：分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图．第二步：建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型．第三步：求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解．第四步：检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．[题组训练]1．一艘轮船按照北偏西50°的方向，以15海里每小时的速度航行，一个灯塔原来在轮船的北偏东10°方向上，经过40分钟，轮船与灯塔的距离是5 3 海里，则灯塔和轮船原来的距离为________海里．解析：画出示意图如图．△ABC 中，AB ＝10，BC ＝53，∠BAC ＝60°.由余弦定理BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 60°，得AC 2－10AC ＋25＝0，∴AC ＝5.答案：52.如图，经过村庄A 有两条夹角为60°的公路AB ，AC ，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂P ，分别在两条公路边上建两个仓库M ，N (异于村庄A )，要求PM ＝PN ＝MN ＝2(单位：km)．如何设计，使得工厂产生的噪声对居民的影响最小(即工厂与村庄的距离最远)?解：设∠AMN ＝θ，在△AMN 中，MN sin 60°＝AM－θ.因为MN ＝2，所以AM ＝433sin(120°－θ)．在△APM 中，cos ∠AMP ＝cos(60°＋θ)．AP 2＝AM 2＋MP 2－2AM ·MP ·cos∠AMP＝163sin 2(120°－θ)＋4－2×2×433sin(120°－θ)cos(60°＋θ) ＝163sin 2(θ＋60°)－1633sin(θ＋60°)cos(θ＋60°)＋4 ＝83[1－cos(2θ＋120°)]－833sin(2θ＋120°)＋4 ＝－83[3sin(2θ＋120°)＋cos(2θ＋120°)]＋203＝203－163sin(2θ＋150°)，0°<θ<120°. 当且仅当2θ＋150°＝270°，即θ＝60°时，AP 2取得最大值12，即AP 取得最大值2 3.答：设计∠AMN 为60°时，工厂产生的噪声对居民的影响最小．1．在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 所对的边，若c cos A ＝b ，则△ABC 是________．解析：根据余弦定理，得c ·b 2＋c 2－a 22bc＝b ，即c 2＝a 2＋b 2，故△ABC 一定是直角三角形．答案：直角三角形2．△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若a 2－c 2＝2b ，且sin B ＝6cos A ·sinC ，则b 的值为________．解析：由正弦定理与余弦定理可知，sin B ＝6cos A sin C 可化为b ＝6·b 2＋c 2－a 22bc·c ，化简可得b 2＝3(b 2＋c 2－a 2)，又a 2－c 2＝2b 且b ≠0，得b ＝3.答案：33．在锐角△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若sin A ＝223，a ＝2，S △ABC＝2，则b ＝________.解析：由已知得：cos A ＝13，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×223＝2，∴bc ＝3，又由余弦定理得：a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，即b 2＋c 2－2＝4，∴b 2＋c 2＝6，∴b ＋c ＝23，解得b ＝c ＝ 3.答案： 34．已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为________．解析：由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )·(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12，又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc－4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3.答案： 35．在△ABC 中，B ＝120°，AB ＝2，A 的角平分线AD ＝3，则AC ＝________. 解析：由正弦定理得ABsin ∠ADB ＝AD sin B ，即2sin ∠ADB ＝3sin 120°，解得sin ∠ADB ＝22，∠ADB ＝45°，从而∠BAD ＝15°＝∠DAC ，所以∠C ＝180°－120°－30°＝30°，AC ＝AB ·sin Bsin C＝ 6.答案： 66．在△ABC 中，AB ＝3，BC ＝13，AC ＝4，则△ABC 的面积等于________．解析：由余弦定理，得cos A ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝9＋16－132×3×4＝12，所以sin A ＝32，所以S △ABC ＝12AB ·AC sin A ＝12×3×4×32＝3 3. 答案：3 37．设△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a cos C ＋32c ＝b ，则角A ＝________. 解析：在△ABC 内应用余弦定理得：cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，将其代入a cos C ＋32c ＝b 中可得：a ×a 2＋b 2－c 22ab ＋32c ＝b ，化简整理得：b 2＋c 2－a 2＝3bc ，于是cos A ＝b 2＋c 2－a 22cb＝32，所以A ＝π6. 答案：π68．在△ABC 中，已知2a cos B ＝c ，sin A sin B (2－cos C )＝sin 2C 2＋12，则△ABC 的形状为________．解析：依题意得2sin A cos B ＝sin C ＝sin(A ＋B )，2sin A cos B －sin(A ＋B )＝sin(A －B )＝0，因此B ＝A ，C ＝π－2A ，于是有sin 2A (2＋cos 2A )＝cos 2A ＋12，即sin 2A (3－2sin 2A )＝1－sin 2A ＋12＝3－2sin 2A 2，解得sin 2A ＝12，因此sin A ＝22，又B ＝A 必为锐角，因此B＝A ＝π4，△ABC 是等腰直角三角形．答案：等腰直角三角形9．在直角梯形ABCD 中，AB ∥CD ，∠ABC ＝90°，AB ＝2BC ＝2CD ，则cos ∠DAC ＝________. 解析：由已知条件可得图形，如图所示，设CD ＝a ，在△ACD 中，CD 2＝AD 2＋AC 2－2AD ×AC ×cos∠DAC ，∴a 2＝(2a )2＋(5a )2－2×2a ×5a ×cos∠DAC ， ∴cos ∠DAC ＝31010.答案：3101010．已知△ABC 的面积为32，AC ＝3，∠ABC ＝π3，则△ABC 的周长等于________．解析：由题意可得12AB ·BC ·sin∠ABC ＝32，即12AB ·BC ·32＝32，所以AB ·BC ＝2.再由余弦定理可得3＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos π3＝AB 2＋BC 2－2，所以AB 2＋BC 2＝5，所以(AB＋BC )2＝AB 2＋BC 2＋2AB ·BC ＝5＋4＝9，所以AB ＋BC ＝3，所以△ABC 的周长等于AB ＋BC ＋AC ＝3＋ 3.答案：3＋ 311．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2.(1)求sin 2Asin 2A ＋cos A的值；(2)若B ＝π4，a ＝3，求△ABC 的面积．解：(1)由tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋A ＝2，得tan A ＝13，所以sin 2A sin 2A ＋cos 2A ＝2tan A 2tan A ＋1＝25. (2)由tan A ＝13，A ∈(0，π)，得sin A ＝1010，cos A ＝31010. 由a ＝3，B ＝π4及正弦定理a sin A ＝bsin B ，得b ＝3 5.由sin C ＝sin(A ＋B )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π4，得sin C ＝255.设△ABC 的面积为S ，则S ＝12ab sin C ＝9.12.如图所示，某人在塔的正东C 处沿着南偏西60°的方向前进40 m 到D 处以后，望见塔在东北方向．若沿途测得塔的最大仰角为30°，求塔的高度．解：在△BDC 中，CD ＝40 m ，∠BCD ＝90°－60°＝30°， ∠DBC ＝45°＋90°＝135°.由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BDsin∠BCD ，∴BD ＝CD ·sin∠BCD sin ∠DBC ＝40sin 30°sin 135°＝202(m)．在Rt △ABE 中，tan ∠AEB ＝ABBE，AB 为定值，故要使∠AEB 最大，需要BE 最小．即BE ⊥CD ，这时∠AEB ＝30°.在Rt △BED 中，∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°， ∴BE ＝BD ·sin∠BDE ＝202sin 15°＝10(3－1)(m)．在Rt △ABE 中，AB ＝BE tan ∠AEB ＝10(3－1)·tan 30°＝103(3－3)(m)，即塔的高度为103(3－3)m.13．在△ABC 中，已知AB ＝2，AC ＝3，A ＝60°. (1)求BC 的长； (2)求sin 2C 的值．解：(1)由余弦定理知，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝4＋9－2×2×3×12＝7，所以BC ＝7.(2)由正弦定理知，AB sin C ＝BCsin A，所以sin C ＝AB BC ·sin A ＝2sin 60°7＝217.∵AB <BC ，∴C 为锐角，则cos C ＝1－sin 2C ＝1－37＝277.因此，sin 2C ＝2sin C cos C ＝2×217×277＝437. 14．已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b )，n ＝(sin B ，sin A )，p ＝(b －2，a －2)．(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π3，求△ABC 的面积．解：(1)证明：∵m ∥n ，∴a sin A ＝b sin B ，即a ·a 2R ＝b ·b2R ，其中R 是三角形ABC 外接圆半径，∴a ＝b .∴△ABC 为等腰三角形．(2)由题意可知m ·p ＝0，即a (b －2)＋b (a －2)＝0. ∴a ＋b ＝ab .由余弦定理可知，4＝a 2＋b 2－ab ＝(a ＋b )2－3ab ，即(ab )2－3ab －4＝0.∴ab ＝4(ab ＝－1舍去)，∴S ＝12ab sin C ＝12·4·sin π3＝ 3. 精美句子1、善思则能“从无字句处读书”。

新教材高中数学第11章解三角形余弦定理正弦定理的应用学案含解析苏教版必修第二册

新教材高中数学学案含解析苏教版必修第二册：11.3 余弦定理、正弦定理的应用学习任务核心素养1．能将实际问题转化为解三角形问题．(难点) 2．能够用正、余弦定理求解与距离、高度有关的实际应用问题．(重点)通过利用正、余弦定理求解实际问题中的距离、高度，培养直观想象及数学建模素养．天文观测，航海和地理测量是人类认识自然的重要方面，解三角形的理论在其中发挥了重要作用．许多实际问题都可以转化为求三角形的边或角的问题．那么，如何利用这些关系解决实际问题？知识点测量中的有关角的概念1．仰角和俯角：与视线在同一铅垂面内的水平线和视线的夹角．视线在水平线上方叫仰角，视线在水平线下方时叫俯角．如图(1)．图(1)2．方位角：从指北方向线顺时针转到目标方向线所成的水平角，如图(2)，方向线P A，PB的位角分别为40°，240°．图(2)图(3)3．方向角：指北或指南的方向线与目标方向线所成的小于90°的角，叫方向角，它是方位角的另一种表示形式．如图(3)，方向线OA，OB的方向角分别为北偏东60°，南偏西30°．类型1正、余弦定理在物理学中的应用【例1】如图，墙上有一个三角形灯架OAB，灯所受的重力为10 N，且OA，OB都是细杆，只受沿杆方向的力．试求杆OA，OB所受的力(结果精确到0.1)．[解] 如图，作OE →＝F ，将F 沿A 到O ，O 到B 两个方向进行分解，即作▱OCED ，则OD →＝CE →＝F 1，OC →＝F 2．由题设条件可知，|OE →|＝10，∠OCE ＝50°，∠OEC ＝70°，所以∠COE ＝180°－50°－70°＝60°．在△OCE 中，由正弦定理，得|F |sin 50°＝|F 1|sin 60°， |F |sin 50°＝|F 2|sin 70°，因此，|F 1|＝10sin 60°sin 50°≈11.3 N ，|F 2|＝10sin 70°sin 50°≈12.3 N ．即灯杆OA 所受的力为11.3 N ，灯杆OB 所受的力为12.3 N ．在运用正弦定理、余弦定理解决力的合成与分解问题时，通常涉及平行四边形，根据题意，选择一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出实际问题的解.[跟进训练]1．作用于同一点的三个力F 1，F 2，F 3平衡．已知F 1＝30 N ，F 2＝50 N ，F 1与F 2之间的夹角是60°，求F 3的大小与方向(精确到0.1°)．[解] F 3应和F 1，F 2的合力F 平衡，所以F 3和F 在同一直线上，并且大小相等，方向相反．如图，在△OF 1F 中，由余弦定理，得F ＝302＋502－2×30×50cos 120°＝70(N)，再由正弦定理，得sin ∠F 1OF ＝50sin 120°70＝5314，所以∠F 1OF ≈38.2°，从而∠F 1OF 3≈141.8°．即F 3为70 N ，F 3和F 1间的夹角为141.8°．类型2 正、余弦定理在几何中的应用【例2】如图，在△ABC 中，B ＝π4，AC ＝25，cos C ＝255．(1)求sin ∠BAC 的值；(2)设BC 的中点为D ，求中线AD 的长．[解] (1)因为cos C ＝255，且C 是三角形的内角，所以sin C ＝1－cos 2C ＝1－⎝⎛⎭⎫2552＝55．所以sin ∠BAC ＝sin[π－(B ＋C )]＝sin(B ＋C ) ＝sin B cos C ＋cos B sin C ＝22×255＋22×55＝31010． (2)在△ABC 中，由正弦定理得， BC sin ∠BAC ＝ACsin B，则BC ＝AC sin B ×sin ∠BAC ＝2522×31010＝6，所以CD ＝12BC ＝3．又在△ADC 中，AC ＝25，cos C ＝255，所以由余弦定理得，AD ＝AC 2＋CD 2－2AC ·CD ·cos C ＝20＋9－2×25×3×255＝5．三角形中几何计算问题的解题思路(1)正确挖掘图形中的几何条件，简化运算是解题要点，善于应用正弦定理、余弦定理，只需通过解三角形，一般问题便能很快解决．(2)此类问题突破的关键是仔细观察，发现图形中较隐蔽的几何条件．[跟进训练]2．如图所示，△ACD 是等边三角形，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB ＝90°，BD 交AC 于E ，AB ＝2．(1)求cos ∠CBE 的值； (2)求AE ．[解] (1)因为∠BCD ＝90°＋60°＝150°，CB ＝AC ＝CD ，所以∠CBE ＝15°．所以cos ∠CBE ＝cos(45°－30°)＝6＋24． (2)在△ABE 中，AB ＝2，由已知和(1)知∠ABE ＝∠ABC －∠CBE ＝45°－15°＝30°， ∠AEB ＝∠ACB ＋∠EBC ＝90°＋15°＝105°，由正弦定理，得AE sin 30°＝2sin 105°，∴AE ＝2sin 30°sin 105°＝2×126＋24＝6－2．类型3 正、余弦定理在测量学中的应用测量距离问题【例3】某基地进行实兵对抗演习，红方为了准确分析战场形势，从相距32a (km)的军事基地C 和D 处测得蓝方两支精锐部队分别在A 处和B 处，且∠ADB ＝30°，∠BDC ＝30°，∠DCA ＝60°，∠ACB ＝45°，如图所示，求蓝方这两支精锐部队间的距离．[解] 法一：∠ADC ＝∠ADB ＋∠BDC ＝60°． ∵∠ACD ＝60°， ∴∠DAC ＝60°， ∴AD ＝CD ＝32a (km)．在△BCD 中，∠DBC ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠DBC，得BD ＝CD ·sin ∠BCD sin ∠DBC ＝32a ·6＋2422＝3＋34a (km)．在△ADB 中，由余弦定理得 AB 2＝AD 2＋BD 2－2AD ·BD cos ∠ADB＝34a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋34a 2－2×3＋34a ×32a ×32＝38a 2， ∴AB ＝64a (km)．故蓝方这两支精锐部队间的距离为64a (km)．法二：在△BCD 中，∠CBD ＝180°－30°－105°＝45°，由正弦定理得BC sin 30°＝CD sin 45°，则BC ＝CD sin 30°sin 45°＝64a (km)，在△ACD 中，∠CAD ＝180°－60°－60°＝60°，所以△ACD 为等边三角形．因为∠ADB ＝∠BDC ，所以BD 为AC 的垂直平分线，所以AB ＝BC ＝64a (km)．故蓝方这两支精锐部队间的距离为64a (km)．测量高度问题【例4】济南泉城广场上的泉标是隶书“泉”字，其造型流畅别致，成了济南的标志和象征．小明同学想测量泉标的高度，于是他在广场的A 点测得泉标顶端的仰角为60°，他又沿着泉标底部方向前进15.2 m ，到达B 点，又测得泉标顶端的仰角为80°．你能帮小明同学求出泉标的高度吗？ (精确至1 m)[解] 如图所示，点C ，D 分别为泉标的底部和顶端．依题意，得∠BAD ＝60°，∠CBD ＝80°，AB ＝15.2 m ，则∠ABD ＝100°，故∠ADB ＝180°－(60°＋100°)＝20°．在△ABD 中，根据正弦定理，得BD sin 60°＝ABsin ∠ADB ，∴BD ＝AB sin 60°sin 20°＝15.2sin 60°sin 20°≈38.5 m ．在Rt △BCD 中，CD ＝BD sin 80°≈38.5sin 80°≈38 m ．即泉城广场上泉标的高约为38 m ．1．解决测量高度问题的一般步骤 (1)画图：根据已知条件画出示意图； (2)分析三角形：分析与问题有关的三角形；(3)求解：运用正、余弦定理，有序地解相关的三角形，逐步求解．在解题中，要综合运用立体几何知识与平面几何知识，注意方程思想的运用．2．测量距离问题分为三种类型：两点间不可通又不可视，两点间可视但不可达，两点都不可达．解决此问题的方法是，选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．提醒：解题时要注意题目条件和实际意义中的隐含信息，避免出现增解或漏解．[跟进训练]3．如图所示，A ，B 是水平面上的两个点，相距800 m ，在A 点测得山顶C 的仰角为45°，∠BAD ＝120°，∠ABD ＝45°，其中D 是点C 到水平面的垂足，求山高CD ．[解] 因为CD ⊥平面ABD ，∠CAD ＝45°，所以CD ＝AD ，因此只需在△ABD 中求出AD 即可．在△ABD 中，∠BDA ＝180°－45°－120°＝15°，由正弦定理得AB sin 15°＝AD sin 45°，所以AD ＝AB sin 45°sin 15°＝800×226－24＝800(3＋1)(m)．即山的高度CD 为800(3＋1) m ．4．如图，A ，B 是海面上位于东西方向相距5(3＋3)海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45°，B 点北偏西60°的D 点有一艘轮船发出求救信号，位于B 点南偏西60°且与B 点相距203海里的C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为30海里每小时，该救援船到达D 点至少需要几小时？[解] 由题意知AB ＝5(3＋3)，∠DBA ＝90°－60°＝30°，∠DAB ＝45°，所以∠ADB ＝105°，所以sin 105°＝sin 45°cos 60°＋sin 60°cos 45°＝22×12＋32×22＝2＋64，在△ABD 中，由正弦定理得BD sin ∠DAB ＝ABsin ∠ADB，所以BD ＝AB sin ∠DAB sin ∠ADB ＝5(3＋3)·sin 45°sin 105°＝5(3＋3)×222＋64＝103，又∠DBC ＝180°－60°－60°＝60°，BC ＝203，在△DBC 中，由余弦定理得 CD 2＝BD 2＋BC 2－2×BD ×BC cos 60° ＝300＋1 200－2×103×203×12＝900，所以CD ＝30(海里)，则至少需要的时间t ＝3030＝1(小时)．即该救援船到达D 点至少需要1小时．1．若点A 在点C 的北偏东60°方向上，点B 在点C 的南偏东30°方向上，且AC ＝BC ，则点A在点B的()A．北偏东15°方向上B．北偏西15°方向上C．北偏东10°方向上D．北偏西10°方向上A[由题意，可得几何位置关系如图所示．则∠CBE＝30°，∠ABC＝45°，所以∠ABE＝15°，故点A在点B的北偏东15°方向上．故选A．]2．如图，在限速为90 km/h的公路AB旁有一测速站P，已知点P距测速区起点A的距离为0.08 km，距测速区终点B的距离为0.05 km，且∠APB＝60°，现测得某辆汽车从A点行驶到B点所用的时间为3 s，则此车的速度介于()A．60～70 km/h B．70～80 km/hC．80～90 km/h D．90～100 km/hC[由余弦定理得AB＝0.082＋0.052－2×0.08×0.05×cos 60°＝0.07 km，则此车的速度为0.073×3 600＝7×12＝84 km/h．故选C．]3．身高相同的甲、乙两人在同一地平面上的不同方向观测20 m高的旗杆，甲观测的仰角为50°，乙观测的仰角为40°，用d1，d2分别表示甲、乙两人离旗杆的距离，那么有() A．d1>d2B．d1<d2C．d1>20 m D．d2<20 mB[如图，设旗杆高为h，则d1＝htan 50°，d2＝htan 40°．因为tan 50°>tan 40°，所以d1<d2．又因为h ＝20 m ，tan 45°＝1，所以d 1<20 m ，d 2>20 m ，故选C ．]4．一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h ，则经过 3 h ，该船实际航程为________ km ．6 [v 实＝22＋42－2×4×2×cos 60°＝23(km/h)．所以实际航程为23×3＝6(km)．] 5．某市在“旧城改造”工程中，计划在如图所示的一块三角形空地上种植草皮以美化环境．已知这种草皮价格为a 元/m 2，则购买这种草皮需要________元．150a [∵S △＝12×20×30×sin 150°＝12×20×30×12＝150(m 2)，∴购买这种草皮需要150a 元．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．如图，A ，B 两点在河的对岸，且不可到达，如何测量其两点间的距离？[提示] 在河岸这边选取点C ，D ，测得CD ＝a ，∠ACD ＝α，∠BCD ＝β，∠BDC ＝γ，∠ADC ＝δ，则在△ACD 和△BCD 中应用正弦定理可求AC ，BC 的长，进而在△ACB 中应用余弦定理求AB ．2．如图，如何测量山顶塔AB 的高？(测量者的身高忽略不记)[提示] 测量者在山下先选择一基点P ，测出此时山顶的仰角α，前进a 米后，再测出此时山顶的仰角β，则借助直角三角形的边角关系可求塔顶距地面的高h ，进而利用AB ＝h －H求解．。

新教材苏教版数学必修第二册学案：第11章解三角形章末综合提升Word版含解析

类型1 利用正、余弦定理解三角形解三角形就是已知三角形中的三个独立元素(至少一条边)求出其他元素的过程，解三角形的一般方法如下：(1)已知两角和一边，如已知A ，B 和c ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，由正弦定理求a ，b ．(2)已知两边和这两边的夹角，如已知a ，b 和C ，应先用余弦定理求c ，再应用正弦定理先求较短边所对的角，然后利用A ＋B ＋C ＝π，求另一角．(3)已知两边和其中一边的对角，如已知a ，b 和A ，应先用正弦定理求B ，由A ＋B ＋C ＝π求C ，再由正弦定理或余弦定理求c ，要注意解可能有多种情况．(4)已知三边a ，b ，c ，可应用余弦定理求A ，B ，C ．【例1】在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知b ＋c ＝2a cos B ．(1)证明：A ＝2B ；(2)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．[解] (1)证明：由正弦定理得sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π，所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ，因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B ． (2)由S ＝a 24，得12ab sin C ＝a 24，根据正弦定理及(1)所求A ＝2B ，故有sin B sin C ＝12sin 2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B ，又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B ．当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4．综上，A ＝π2或A ＝π4． [跟进训练]1．在锐角△ABC 中，设角A, B, C 所对的边长分别为a, b, c ，且b sin A ＝32a ． (1)求B 的大小；(2)若AB ＝2，BC ＝32，点D 在边AC 上，________，求BD 的长．请在①AD ＝DC; ②∠DBC ＝∠DBA; ③BD ⊥AC 这三个条件中选择一个，补充在上面的横线上，并完成解答．[解] (1)在△ABC 中，由正弦定理a sin A ＝b sin B ，及b sin A ＝32a 得，sin B sin A ＝32sin A ．因为△ABC 为锐角三角形，所以A ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin A >0．所以sin B ＝32．又因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以B ＝π3．(2)若选①．在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×2×32×cos π3＝134，所以AC ＝132，所以AD ＝DC ＝134．在△ABD 中，由余弦定理，得AB 2＝BD 2＋DA 2－2BD ·DA ·cos ∠ADB ，即4＝BD 2＋1316－132BD cos ∠ADB ，在△BDC 中，由余弦定理，得BC 2＝BD 2＋DC 2－2BD ·DC ·cos ∠CDB ，即94＝BD 2＋1316－132BD cos ∠CDB ．又∠ADB ＋∠CDB ＝π，所以cos ∠ADB ＋cos ∠CDB ＝0．所以4＋94＝2BD 2＋138，所以BD ＝374．若选②．在△ABC 中，S △ABC ＝S △ABD ＋S △CBD ，即12BA ·BC sin π3＝12BA ·BD sin π6＋12BD ·BC sin π6，即12×2×32×32＝12×2×BD ×12＋12×BD ×32×12，解得BD ＝637．若选③．在△ABC 中，由余弦定理，得AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×2×32×cos π3＝134，所以AC ＝132．因为S △ABC ＝12BA ·BC ·sin B ＝334，又S △ABC ＝12BD ·AC ＝134BD ，所以134BD ＝334，解得BD ＝33913．类型2 判断三角形的形状判断三角形的形状，一般有以下两种途径：将已知条件统一化成边的关系，用代数方法求解；将已知条件统一化成角的关系，用三角知识求解．【例2】在△ABC 中，若B ＝60°，2b ＝a ＋c ，试判断△ABC 的形状． [解] 法一：(正弦定理边化角)由正弦定理，得2sin B ＝sin A ＋sin C ． ∵B ＝60°，∴A ＋C ＝120°． ∴2sin 60°＝sin(120°－C )＋sin C ．展开整理得32sin C ＋12cos C ＝1． ∴sin(C ＋30°)＝1． ∵0°<C <120°， ∴C ＋30°＝90°． ∴C ＝60°，则A ＝60°． ∴△ABC 为等边三角形．法二：(余弦定理法)由余弦定理，得 b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ． ∵B ＝60°，b ＝a ＋c 2，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋c 22＝a 2＋c 2－2ac cos 60°，化简得(a －c )2＝0． ∴a ＝c ．又B ＝60°， ∴a ＝b ＝c ．∴△ABC 为等边三角形． [跟进训练] 2．在△ABC 中，若b cos Cc cos B ＝1＋cos 2C1＋cos 2B，试判断△ABC 的形状． [解] 由已知1＋cos 2C 1＋cos 2B ＝2cos 2C 2cos 2B ＝cos 2C cos 2B ＝b cos Cc cos B ，得cos C cos B ＝b c ．法一：(利用正弦定理，将边化角)由正弦定理得bc ＝sin Bsin C，∴cos Ccos B＝sin Bsin C，即sin C cos C＝sin B cos B，即sin 2C＝sin 2B．∵B，C均为△ABC的内角，∴2C＝2B或2C＋2B＝180°．即B＝C或B＋C＝90°．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．法二：(利用余弦定理，将角化边)∵bc＝cos Ccos B，∴由余弦定理得a2＋b2－c22aba2＋c2－b22ac＝bc，即(a2＋b2－c2)c2＝b2(a2＋c2－b2)．∴a2c2－c4＝a2b2－b4，即a2b2－a2c2＋c4－b4＝0．∴a2(b2－c2)＋(c2－b2)(c2＋b2)＝0，即(b2－c2)(a2－b2－c2)＝0．∴b2＝c2或a2－b2－c2＝0，即b＝c或a2＝b2＋c2．∴△ABC为等腰三角形或直角三角形．类型3正、余弦定理的实际应用正弦定理、余弦定理在实际生活中有着非常广泛的应用．常用的有测量距离问题，测量高度问题，测量角度问题等．解决的基本思路是画出正确的示意图，把已知量和未知量标在示意图中(目的是发现已知量与未知量之间的关系)，最后确定用哪个定理转化，用哪个定理求解，并进行作答，解题时还要注意近似计算的要求．【例3】如图所示，某市郊外景区内有一条笔直的公路a经过三个景点A，B，C．景区管委会开发了风景优美的景点D．经测量景点D位于景点A的北偏东30°方向上8 km处，位于景点B的正北方向，还位于景点C的北偏西75°方向上．已知AB＝5 km．(1)景区管委会准备由景点D向景点B修建一条笔直的公路，不考虑其他因素，求出这条公路的长；(2)求景点C与景点D之间的距离．(结果精确到0.1 km)(参考数据：3≈1.73，sin 75°≈0.97，cos 75°≈0.26，tan 75°≈3.73，sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33，sin 38°≈0.62，cos 38°≈0.79，tan 38°≈0.78) [解](1)设BD＝x km，则在△ABD中，由余弦定理得52＝82＋x2－2×8x cos 30°，即x2－83x＋39＝0，解得x＝43±3．因为43＋3>8，应舍去，所以x＝43－3≈3.9，即这条公路的长约为3.9 km．(2)在△ABD中，由正弦定理得ADsin∠ABD＝ABsin∠ADB，所以sin∠ABD＝sin∠CBD＝ADAB·sin∠ADB＝45＝0.8，所以cos∠CBD＝0.6．在△CBD中，sin∠DCB＝sin(∠CBD＋∠BDC)＝sin(∠CBD＋75°)＝0.8×0.26＋0.6×0.97＝0.79，由正弦定理得CD＝sin∠DBC×BDsin∠DCB≈3.9．故景点C与景点D之间的距离约为3.9 km．[跟进训练]3．如图，a是海面上一条南北方向的海防警戒线，在a上点A处有一个水声监测点，另两个监测点B，C分别在A的正东方20 km和54 km处．某时刻，监测点B收到发自静止目标P的一个声波信号，8 s后监测点A,20 s后监测点C相继收到这一信号，在当时气象条件下，声波在水中的传播速度是1.5 km/s．(1)设A到P的距离为x km，用x表示B，C到P的距离，并求x的值；(2)求静止目标P到海防警戒线a的距离(精确到0.01 km)．[解] (1)由题意得P A －PB ＝1.5×8＝12(km)， PC －PB ＝1.5×20＝30(km)． ∴PB ＝x －12，PC ＝18＋x ．在△P AB 中，AB ＝20 km ，cos ∠P AB ＝P A 2＋AB 2－PB 22P A ·AB ＝x 2＋202－(x －12)22x ·20＝3x ＋325x ．同理cos ∠P AC ＝72－x3x ．∵cos ∠P AB ＝cos ∠P AC ， ∴3x ＋325x ＝72－x 3x ，解得x ＝1327．(2)作PD ⊥a 于D ，在Rt △PDA 中，PD ＝P A cos ∠APD ＝P A cos ∠P AB ＝x ·3x ＋325x ＝3×1327＋325≈17.71(km)．所以静止目标P 到海防警戒线a 的距离为17.71 km ．类型4 与三角形有关的综合问题三角形中的问题常与向量、函数、方程及平面几何相结合，通常可以利用正、余弦定理完成证明、求值等问题．(1)解三角形与向量的交汇问题，可以结合向量的平行、垂直、夹角、模等知识转化求解．(2)解三角形与其他知识的交汇问题，可以运用三角形的基础知识、正弦、余弦定理、三角形面积公式与三角恒等变换，通过等价转化或构造方程及函数求解．【例4】在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且a >c ，已知BA →·BC →＝2，cos B ＝13，b ＝3．求：(1)a 和c 的值； (2)cos(B －C )的值．[解] (1)由BA →·BC →＝2得ca cos B ＝2．又cos B ＝13，所以ac ＝6．由余弦定理，得a 2＋c 2＝b 2＋2ac cos B ．又b ＝3，所以a 2＋c 2＝9＋2×6×13＝13．所以⎩⎪⎨⎪⎧ ac ＝6，a 2＋c 2＝13，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，c ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，c ＝2.因为a ＞c ，所以a ＝3，c ＝2． (2)在△ABC 中， sin B ＝1－cos 2B ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝223，由正弦定理，得sin C ＝c b sin B ＝23×223＝429．因为a ＞c ，所以C 为锐角，因此cos C ＝1－sin 2C ＝1－⎝⎛⎭⎪⎫4292＝79．于是cos(B －C )＝cos B cos C ＋sin B sin C ＝13×79＋223×429＝2327． [跟进训练]4．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ．已知m ＝(a ，c －2b )，n ＝(cos C ，cos A )，且m ⊥n ．(1)求角A 的大小；(2)若⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →－13AC →＝2，求△ABC 面积的最大值．[解] (1)由m ⊥n 得a ·cos C ＋(c －2b )·cos A ＝0，则sin A cos C ＋(sin C －2sin B )cos A ＝0，得sin(A ＋C )－2sin B cos A ＝0，即sin B －2sin B cos A ＝0．由于sin B ≠0，得cos A ＝12．又A 为△ABC 的内角，因此A ＝60°．(2)将⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →－13AC →＝2两边平方，得4＝c 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 32－bc3≥2·c ·b 3－bc 3＝bc 3，所以bc ≤12，当且仅当b ＝6，c ＝2时取等号．此时S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ，其最大值为33．1．(2020·新高考全国卷Ⅰ)在①ac ＝3，②c sin A ＝3，③c ＝3b 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求c 的值；若问题中的三角形不存在，说明理由．问题：是否存在△ABC ，它的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ＝3sin B ，C ＝π6，________？[解] 方案一：选条件①．由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32．由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b ．于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ．由①ac ＝3，解得a ＝3，b ＝c ＝1．因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c ＝1．方案二：选条件②．由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32．由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b ．于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ，B ＝C ＝π6，A ＝2π3．由②c sin A ＝3，所以c ＝b ＝23，a ＝6．因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c ＝23．方案三：选条件③．由C ＝π6和余弦定理得a 2＋b 2－c 22ab ＝32．由sin A ＝3sin B 及正弦定理得a ＝3b ．于是3b 2＋b 2－c 223b 2＝32，由此可得b ＝c ．由③c ＝3b ，与b ＝c 矛盾．因此，选条件③时问题中的三角形不存在．2．(2020·江苏高考)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知a ＝3，c ＝2，B ＝45°．(1)求sin C 的值；(2)在边BC 上取一点D ，使得cos ∠ADC ＝－45，求tan ∠DAC 的值． [解] (1)因为a ＝3，c ＝2，B ＝45°．由余弦定理可得： b ＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝9＋2－2×3×2×22＝5，由正弦定理可得c sin C ＝bsin B ，所以sin C ＝c b ·sin 45°＝25×22＝55，所以sin C ＝55． (2)因为cos ∠ADC ＝－45，所以sin ∠ADC ＝1－cos 2∠ADC ＝35，在三角形ADC 中，易知C 为锐角，由(1)可得cos C ＝1－sin 2C ＝255，所以在三角形ADC 中，sin ∠DAC ＝sin(∠ADC ＋∠C )＝sin ∠ADC cos ∠C ＋cos ∠ADC sin ∠C ＝2525，因为∠DAC ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以cos ∠DAC ＝1－sin 2∠DAC ＝11525，所以tan ∠DAC ＝sin ∠DAC cos ∠DAC ＝211．。

新教材苏教版高中数学必修第二册第11章解三角形学案讲义(知识点考点汇总及配套习题)

第11章解三角形11.1余弦定理 .............................................................................................................. - 1 - 11.2正弦定理 .............................................................................................................. - 8 -第1课时正弦定理(1) ......................................................................................... - 8 - 第2课时正弦定理(2) ....................................................................................... - 16 - 11.3余弦定理、正弦定理的应用............................................................................. - 25 -11.1余弦定理学习任务核心素养1．掌握余弦定理及其推论．(重点) 2．掌握正、余弦定理的综合应用．(重点)3．能应用余弦定理判断三角形的形状．(易错点)1．借助余弦定理的推导过程，提升逻辑推理素养．2．通过余弦定理的应用，提升数学运算素养．如图，在△ABC中，若角A，B，C的对边分别为a，b，c，你能用平面向量的知识推导出边a，b，c与角A之间的数量关系吗？知识点1余弦定理三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍．即a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝c2＋a2－2ca cos B，c2＝a2＋b2－2ab cos C．1．根据勾股定理，若△ABC中，C＝90°，则c2＝a2＋b2＝a2＋b2－2ab cos C．①试验证①式对等边三角形还成立吗？你有什么猜想？[提示]当a＝b＝c时，C＝60°，a2＋b2－2ab cos C＝c2＋c2－2c·c cos 60°＝c2，即①式仍成立，据此猜想，对一般△ABC，都有c2＝a2＋b2－2ab cos C．1．在△ABC中，若b＝1，c＝3，A＝π6，则a＝________．1[a＝b2＋c2－2bc cos A＝1．]知识点2余弦定理的变形(1)余弦定理的变形cos A＝b2＋c2－a22bc，cos B＝c2＋a2－b22ca，cos C＝a2＋b2－c22ab．(2)余弦定理与勾股定理的关系在△ABC中，c2＝a2＋b2⇔C为直角；c2>a2＋b2⇔C为钝角；c2<a2＋b2⇔C为锐角．2．勾股定理和余弦定理有何联系与区别？[提示]二者都反映了三角形三边之间的平方关系；其中余弦定理反映了任意三角形中三边平方间的关系，勾股定理反映了直角三角形中三边平方间的关系，是余弦定理的特例．2．在△ABC中，a＝3，b＝7，c＝2，则B＝________．60°[∵cos B＝a2＋c2－b22ac＝9＋4－712＝12，∴B＝60°．]3．在△ABC中，若b2＋c2－a2<0，则△ABC必为________三角形．钝角[∵cos A＝b2＋c2－a22bc<0，∴A∈(90°，180°)．∴△ABC为钝角三角形．]知识点3解三角形(1)一般地，我们把三角形的三个角和三条边叫作三角形的元素．(2)已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫作解三角形．4．在△ABC 中，若a ＝5，c ＝4，cos A ＝916，则b ＝________． 6 [由余弦定理可知 25＝b 2＋16－2×4b cos A ，即b 2－92b －9＝0，解得b ＝6(舍负)．]重点题型类型1 已知两边与一角解三角形【例1】 (1)在△ABC 中，已知b ＝60 cm ，c ＝60 3 cm ，A ＝π6，则a ＝________ cm ；(2)在△ABC 中，若AB ＝5，AC ＝5，且cos C ＝910，则BC ＝________． (1)60 (2)4或5 [(1)由余弦定理得： a ＝602＋(603)2－2×60×603×cos π6＝60(cm)．(2)由余弦定理得：(5)2＝52＋BC 2－2×5×BC ×910，所以BC 2－9BC ＋20＝0，解得BC ＝4或BC ＝5．]1．已知两边和夹角求第三边，直接利用余弦定理计算，已知两边和其中一边所对的角，求第三边，利用余弦定理列方程求解．2．已知三角形的两边及一角解三角形的方法，先利用余弦定理求出第三边，然后利用余弦定理的推论求出其余角．[跟进训练]1．在△ABC 中，a ＝23，c ＝6＋2，B ＝45°，解这个三角形． [解] 根据余弦定理得，b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(23)2＋(6＋2)2－2×23×(6＋2)×cos 45°＝8，∴b ＝22．又∵cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝8＋(6＋2)2－(23)22×22×(6＋2)＝12，∴A ＝60°，C ＝180°－(A ＋B )＝75°．类型2 已知三边解三角形【例2】在△ABC 中，已知a ＝26，b ＝6＋23，c ＝43，求A ，B ，C ． [解] 根据余弦定理，cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(6＋23)2＋(43)2－(26)22×(6＋23)×43＝32．∵A ∈(0，π)， ∴A ＝π6． cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab＝(26)2＋(6＋23)2－(43)22×26×(6＋23)＝22，∵C ∈(0，π)，∴C ＝π4． ∴B ＝π－A －C ＝π－π6－π4＝7π12， ∴A ＝π6，B ＝7π12，C ＝π4．1．已知三边求角的基本思路是：利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角，其思路清晰，结果唯一．2．若已知三角形的三边的关系或比例关系，常根据边的关系直接代入化简或利用比例性质，转化为已知三边求解．[跟进训练]2．已知△ABC 中，a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，求△ABC 中各角的度数． [解] 已知a ∶b ∶c ＝2∶6∶(3＋1)，令a ＝2k ，b ＝6k ，c ＝(3＋1)k (k ＞0)，由余弦定理的推论，得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝(6k )2＋[(3＋1)k ]2－(2k )22×6k ×(3＋1)k ＝22．∵0°<A <180°，∴A ＝45°． cos B ＝a 2＋c 2－b 22ac＝(2k )2＋[(3＋1)k ]2－(6k )22×2k ×(3＋1)k ＝12，∵0°<B <180°，∴B ＝60°．∴C ＝180°－A －B ＝180°－45°－60°＝75°． ∴A ＝45°，B ＝60°，C ＝75°．类型3 余弦定理的综合应用【例3】 (对接教材P 87例5)在△ABC 中，若(a －c cos B )·b ＝(b －c cos A )·a ，判断△ABC 的形状．从余弦定理的变形入手，化角为边，便可以得到a ，b ，c 的关系，进而可判断三角形的形状.[解] ∵(a －c cos B )·b ＝(b －c cos A )·a ， ∴由余弦定理可得：⎝ ⎛⎭⎪⎫a －c ·a 2＋c 2－b 22ac ·b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b －c ·b 2＋c 2－a 22bc ·a ，整理得：(a 2＋b 2－c 2)b 2＝(a 2＋b 2－c 2)a 2，即(a 2－b 2)(a 2＋b 2－c 2)＝0， ∴a 2＋b 2－c 2＝0或a 2＝b 2． ∴a 2＋b 2＝c 2或a ＝b ．故△ABC 为直角三角形或等腰三角形．(变条件)将例题中的条件“(a －c cos B )·b ＝(b －c cos A )·a ”换为“a cos A ＋b cos B ＝c cos C ”，其它条件不变，试判断三角形的形状．[解] 由余弦定理知cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ，cos B ＝c 2＋a 2－b 22ca ，cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ，代入已知条件得a ·b 2＋c 2－a 22bc ＋b ·c 2＋a 2－b 22ca ＋c ·c 2－a 2－b 22ab ＝0，通分得a 2(b 2＋c 2－a 2)＋b 2(a 2＋c 2－b 2)＋c 2(c 2－a 2－b 2)＝0，展开整理得(a 2－b 2)2＝c 4．∴a 2－b 2＝±c 2，即a 2＝b 2＋c 2或b 2＝a 2＋c 2．根据勾股定理知△ABC 是直角三角形．判断三角形的形状应围绕三角形的边角关系进行思考，可用余弦定理将已知条件转化为边边关系，通过因式分解、配方等方式得出边的相应关系，从而判断三角形的形状.[跟进训练]3．在△ABC 中，b ＝c cos A ，则△ABC 一定为( ) A ．等边三角形B ．等腰三角形或直角三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形C [由b ＝c cos A 和余弦定理可知b ＝c ·b 2＋c 2－a 22bc ，即a 2＋b 2＝c 2， ∴△ABC 一定是直角三角形，故选C ．]课堂练习1．在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－bc ，则A ＝( ) A ．π6 B ．π3 C ．2π3 D ．5π6 B [∵a 2＝b 2＋c 2－bc ， ∴b 2＋c 2－a 2＝bc ， ∴2bc cos A ＝bc ， ∴cos A ＝12，又A ∈(0，π)，∴A ＝π3，故选B ．]2．在△ABC 中，若a ＝4，b ＝5，c ＝6，则△ABC 是( ) A ．锐角三角形 B ．钝角三角形 C ．直角三角形 D ．不能确定A [∵a ＝4，b ＝5，c ＝6，∴a 2＋b 2－c 2＝16＋25－36>0，即最大角的余弦cos C >0，故△ABC 为锐角三角形，故选A ．]3．在△ABC 中，a ＝7，b ＝43，c ＝13，则△ABC 的最小角为( ) A ．π3 B ．π6 C ．π4 D ．π12B [由三角形边角关系可知，角C 为△ABC 的最小角，则cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝72＋(43)2－(13)22×7×43＝32，所以C ＝π6，故选B ．]4．在△ABC 中，已知a ＝4，b ＝6，C ＝120°，则边c ＝________．219 [根据余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝16＋36－2×4×6cos 120°＝76，c ＝219．]5．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知B ＝C ，2b ＝3a ，则cos A ＝________．13[由B ＝C ，2b ＝3a ，可得b ＝c ＝32a ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝34a 2＋34a 2－a 22×32a ×32a＝13．]回顾本节知识，自我完成以下问题：1．用余弦定理可以解决哪几种解三角形的题型？ [提示] (1)已知三边解三角形； (2)已知两边及一角解三角形． 2．余弦定理常见的变形有哪些？ [提示] 如(1)a 2＋b 2－c 2＝2ab cos C ；(2)a2＝(b＋c)2－2bc－2bc cos A；(3)cos A＝b2＋c2－a22bc．3．如何利用余弦定理判断三角形的形状？[提示](1)若已知三边a，b，c的长，可以利用限制最大角的方式判断，如若a>b>c，则b2＋c2－a2>0，则△ABC为锐角三角形；b2＋c2－a2＝0，则△ABC为直角三角形；b2＋c2－a2<0，则△ABC为钝角三角形．(2)若已知等量关系，可以借助余弦定理及其变形，化角为边处理．11.2正弦定理第1课时正弦定理(1)学习任务核心素养1．通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明．(难点)2．能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题．(重点)1．通过对正弦定理的推导及应用正弦定理判断三角形的形状，培养逻辑推理的核心素养．2．借助利用正弦定理求解三角形的边长或角的大小的学习，培养数学运算的核心素养．如图，在Rt△ABC中，asin A，bsin B，csin C各自等于什么？对于斜三角形类似关系成立么？知识点1 正弦定理三角形的各边与它所对角的正弦的比相等，即a sin A ＝b sin B ＝csin C ．(1)正弦定理的适用范围是什么？ (2)正弦定理的主要功能是什么？[提示] (1)正弦定理对任意三角形都成立． (2)正弦定理实现了三角形中边角关系的转化．1．在△ABC 中，下列式子与sin Aa 的值相等的是( ) A ．bc B ．sin B sin A C ．sin C c D ．c sin CC [由正弦定理得，a sin A ＝c sin C ，所以sin A a ＝sin Cc ．] 知识点2 应用正弦定理解三角形应用正弦定理可以解两类三角形：(1)已知两角和任一边，求其他两边和一角； (2)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角．2．在△ABC 中，已知A ＝30°，B ＝60°，a ＝10，则b 等于( ) A ．5 2 B ．10 3 C ．1033 D ．56B [由正弦定理得，b ＝a sin Bsin A ＝10×3212＝103．]重点题型类型1 定理证明【例1】在钝角△ABC 中，∠A 为钝角，证明正弦定理．[证明] 如图，过C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，D 是BA 延长线上一点，根据正弦函数的定义知：CDb＝sin∠CAD＝sin(180°－A)＝sin A，CDa＝sin B．∴CD＝b sin A＝a sin B．∴asin A＝bsin B．同理，bsin B＝csin C．故asin A＝bsin B＝csin C．用正弦函数定义沟通边与角内在联系，充分挖掘这些联系可以使理解更深刻，记忆更牢固．[跟进训练]1．(对接教材P95T10)已知△ABC的外接圆O的直径长为2R，试借助△ABC的外接圆推导出正弦定理．[解]如图，连接BO并延长交圆O于点D，连接CD，则∠BCD＝90°，∠BAC＝∠BDC，在Rt△BCD中，BC＝BD·sin∠BDC，所以a＝2R sin A，即asin A＝2R，同理bsin B＝2R，csin C＝2R，所以asin A＝bsin B＝csin C＝2R．类型2用正弦定理解三角形。

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