人教A版高中数学选修1-2 2.2.1 综合法和分析法 名师公开课市级获奖课件(39张)
人教A版选修1-2 2.2.1 综合法和分析法教案
2.2.1 综合法和分析法（一）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法. 教学过程：一、复习准备：1. 已知 “若12,a a R +∈，且121a a +=，则12114a a +≥”，试请此结论推广猜想. （答案：若12,.......n a a a R +∈，且12....1n a a a +++=，则12111....n a a a +++≥ 2n ） 2. 已知,,a b c R +∈，1a b c ++=，求证：1119a b c++≥. 先完成证明 → 讨论：证明过程有什么特点？二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：已知a , b , c 是不全相等的正数，求证：a (b 2 + c 2) + b (c 2 + a 2) + c (a 2 + b 2) > 6abc . 分析：运用什么知识来解决？（基本不等式） → 板演证明过程（注意等号的处理） → 讨论：证明形式的特点② 提出综合法：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立.框图表示： 要点：顺推证法；由因导果. ③ 练习：已知a ，b ，c 是全不相等的正实数，求证3b c a a c b a b c a b c+-+-+-++>. ④ 出示例2：在△ABC 中，三个内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，且A 、B 、C 成等差数列，a 、b 、c 成等比数列. 求证：为△ABC 等边三角形.分析：从哪些已知，可以得到什么结论？ 如何转化三角形中边角关系？ → 板演证明过程 → 讨论：证明过程的特点.→ 小结：文字语言转化为符号语言；边角关系的转化；挖掘题中的隐含条件（内角和）2. 练习：① ,A B 为锐角，且tan tan 3tan 3A B A B ++=，求证：60A B +=o . （提示：算tan()A B +）② 已知,a b c >> 求证：114.a b b c a c+≥--- 3. 小结：综合法是从已知的P 出发，得到一系列的结论12,,Q Q ⋅⋅⋅，直到最后的结论是Q . 运用综合法可以解决不等式、数列、三角、几何、数论等相关证明问题.三、巩固练习：1. 求证：对于任意角θ，44cos sin cos2θθθ-=. （教材P 52 练习 1题） （两人板演 → 订正 → 小结：运用三角公式进行三角变换、思维过程）2. ABC ∆的三个内角,,A B C 成等差数列，求证：113a b b c a b c+=++++. 3. 作业：教材P 54 A 组 1题.2.2.1 综合法和分析法（二）教学要求：结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.教学重点：会用分析法证明问题；了解分析法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、复习准备：1. 提问：基本不等式的形式？2. 讨论：如何证明基本不等式(0,0)2a b ab a b +≥>>. （讨论 → 板演 → 分析思维特点：从结论出发，一步步探求结论成立的充分条件）二、讲授新课：1. 教学例题：① 出示例1：求证3526+>+.讨论：能用综合法证明吗？ → 如何从结论出发，寻找结论成立的充分条件？ → 板演证明过程 （注意格式）→ 再讨论：能用综合法证明吗？ → 比较：两种证法② 提出分析法：从要证明的结论出发，逐步寻找使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止. 框图表示：要点：逆推证法；执果索因. ③ 练习：设x > 0，y > 0，证明不等式：11223332()()x y x y +>+.先讨论方法 → 分别运用分析法、综合法证明.④ 出示例4：见教材P 48. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论出发，逐步反推） ⑤ 出示例5：见教材P 49. 讨论：如何寻找证明思路？（从结论与已知出发，逐步探求）2. 练习：证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（指横截面）的周长相等，那么截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大.提示：设截面周长为l ，则周长为l 的圆的半径为2l π，截面积为2()2l ππ，周长为l 的正方形边长为4l ，截面积为2()4l ，问题只需证：2()2l ππ> 2()4l . 3. 小结：分析法由要证明的结论Q 思考，一步步探求得到Q 所需要的已知12,,P P ⋅⋅⋅，直到所有的已知P 都成立；比较好的证法是：用分析法去思考，寻找证题途径，用综合法进行书写；或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“需知”(分析)，从“已知”推“可知”（综合），双管齐下，两面夹击，逐步缩小条件与结论之间的距离，找到沟通已知条件和结论的途径. （框图示意）三、巩固练习：1. 设a , b , c 是的△ABC 三边，S 是三角形的面积，求证：222443c a b ab S --+≥. 略证：正弦、余弦定理代入得：2cos 423sin ab C ab ab C -+≥，即证：2cos 23sin C C -≥3sin cos 2C C +≤，即证：sin()16C π+≤（成立）. 2. 作业：教材P 52 练习 2、3题.。
高中数学人教A版选修(1-2) 2.2 教学设计 《综合法和分析法》(人教A版)
《综合法和分析法》◆教材分析证明对高中生来说并不陌生，在上一节学习的合情推理中，所得的结论的正确就是要证明的，并且在之前的数学学习中，积累了相对较多的证明数学问题的经验，但这些经验是零散的、不系统的，这一节通过熟悉的数学实例，对证明数学问题的方法形成完整的认识。
◆教学目标【知识与能力目标】1.了解直接证明的了两种基本方法：综合法和分析法；2.了解综合法和分析法的思想过程和特点。
【过程与方法目标】1.通过对实例的分析、归纳和总结，增强学生的理性思维能力；2.通过实际演戏，使学生体会证明的必要性，并增强他们的分析问题、解决问题的能力。
【情感与态度目标】通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力。
【教学重点】 综合法和分析法的思维过程及特点。
【教学难点】综合法和分析法的应用。
多媒体课件。
复习导入回顾基本不等式：a+b2≥√ab （a ＞0，b ＞0）的证明过程：法一：因为（√a −√b)2≥0所以a+b-2√ab ≥0所以a+b ≥2√ab所以：a+b2≥√ab法二：验证a+b2≥√ab只需证：a+b ≥2√ab只需证：a+b-2√ab ≥0只需证：（√a −√b)2≥0因为：（√a −√b)2≥0成立所以a+b2≥√ab 成立新课讲授1.综合法：（1）定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法。
综合法又叫因果导发或顺推证法。
特点：“执因索果”（2）特点：◆教学重难点◆ ◆课前准备◆◆教学过程从“已知”看“可知”，逐步推向“未知”，其逐步推理，是由因导果，实际上是寻找“已知”的必要条件。
用综合法证明数学问题，证明步骤严谨，逐层递进，步步为营，条理清晰，形式简洁，宜于表达推理的思维轨迹，并且综合法的推理过程属于演绎推理，它的每一步推理得出的结论都是正确的，不同于合情推理．使用综合法证明问题，有时从条件可得出几个结论，哪个结论才可作为下一步的条件是分析的要点，所以如何找到“切入点”和有效的推理途径是有效利用综合法证明数学问题的关键。
金版学案高中数学选修1-2人教A版2.2.1同步辅导与检测课件.ppt
当 ab＜0 时，有 3 b＞3 a，即 b＞a. 所以选 D. 答案：D
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5．直线l，m与平面α，β，γ满足β∩γ＝l，l∥α，m⊂α和
m⊥γ，那么必定有( )
A
A．α⊥γ且l⊥m
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1．结合已经学习过的数学实例，了解直接证明的两种最 根本的方法：综合法和分析法．
2．了解用综合法和分析法解决问题的思考特点和过程， 会用综合法和分析法证明具体的问题．通过实例充分认识这 两种证明方法的特点，认识证明的重要性．
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(2)用Q表示要证明的结论，那么分析法可用框图表示为：
Q⇐P1 → P1⇐P2 → P2⇐P3 →…→
得到一个明显成立的 条件
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3．分析综合法．
(1)定义：根据条件的结构特点去转化结论，得到 _中__间__结__论_Q；根据结论的结构特点去转化条件，得到 _中__间__结__论_P．假设由P可以推出Q成立，就可以证明结论成 立．这种证明方法称为分析综合法．
3．综合法和分析法是直接证明中最根本的两种证明方法， 也是解决数学问题时常用的思维方式．如果从解题的切入点 的角度细分，直接证明方法可具体分为：比较法、代换法、 放缩法、判别式法、构造函数法等．这些方法是综合法和分 析法的延续与补充．
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高中数学新课标人教A版选修1-2《2.2.1综合法和分析法》课件2
课前探究学习
课堂讲练互第动十七页，编辑于活星期页一规：点范十训三分练。
【题后反思】 综合法推理清晰，易于书写，分析法从结论入手，易 于寻找解题思路，在实际证明命题时，常把分析法与综合法结合起 来使用，称为分析综合法，其结构特点是：根据条件的结构特点去 转化结论，得到中间结论Q；根据结论的结构特点去转化条件，得 到中间结论P；若由P可推出Q，即可得证．
入，可得 4sin2α－2sin2β＝1
③
另一方面，要证11－ ＋ttaann22αα＝211－＋ttaann22ββ，
课前探究学习
课堂讲练互第动十九页，编辑于活星期页一规：点范十训三分练。
即证11－＋ccssooiinnss2222αααα＝211－＋cscsoioinsns222β2βββ， 即证 cos2α－sin2α＝12(cos2β－sin2β)， 即证 1－2sin2α＝12(1－2sin2β)， 即证 4sin2α－2sin2β＝1. 由于上式与③相同，于是问题得证．
课前探究学习
课堂讲练互第动十二页，编辑于活星期页一规：点范十训三分练。
规律方法 分析法的思路与综合法正好相反，它是从要求证的结论 出发，倒着分析，由未知想需知，由需知逐渐地靠近已知．即：已 知条件、已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等等．
课前探究学习
课堂讲练互第动十三页，编辑于活星期页一规：点范十训三分练。
即证 a＋b－ ab≥ ab，
也就是要证 a＋b≥2 ab， 即( a－ b)2≥0.
该式显然成立，所以 a ＋ b ≥ ba
a＋
b.
课前探究学习
课堂讲练互第动十页，编辑于星活期一页：规点 十范三训分。练
题型二 分析法的应用 【例 2】 求证：以过抛物线 y2＝2px(p＞0)焦点的弦为直径的圆必
最新人教版高中数学选修1 2《综合法和分析法》示范教案1
最新人教版高中数学选修1 2《综合法和分析法》示范教案1最新人教版高中数学选修1-2《综合法和分析法》示范教案12.2.1综合法和分析法教材分析《直接证明与间接证明》是在学习了推理方法的基础上学习的，研究的是如何正确利用演绎推理来证明问题．本节课是《直接证明与间接证明》的第一节，主要介绍了两种证明方法的定义和逻辑特点，并引导学生比较两种证明方法的优点，进而灵活选择证明方法，规范证明步骤．本节课的学习需要学生具有一定的认知基础，应尽量选择学生熟悉的例子．教学目标1。
知识和技能目标(1)了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法．(2)了解分析法和综合法的思维过程和特点．2．过程与方法目标（1）通过对实例的分析、归纳和总结，可以提高学生的理性思维能力(2)通过实际演练，使学生体会证明的必要性，并增强他们分析问题、解决问题的能力．3．情感、态度及价值观通过本节课的学习，了解直接证明的两种基本方法，感受逻辑证明在数学及日常生活中的作用，养成言之有理、论之有据的好习惯，提高学生的思维能力．重点和难点重点：分析法和综合法的思维过程及特点．难点：分析法和综合法的应用．教学过程创设情境、引入新课问题1：我们学习了两种重要的推理方法。
请回忆一下我们学习的推理方法，它们各自的特点和功能是什么？活动设计：学生思考并举手回答，教师提问．活动成果：前面已经学习了合情推理和演绎推理．合理推理是提出新问题、获取新知识的主要推理方式，其特点是结论不可靠；演绎推理是证明结论的主要推理方式，其特点是只要大前提正确，推理形式正确，结论就必须正确提出问题2：使用演绎推理证明，怎样才能保证推理形式正确？活动设计：设问引出将要学习的内容是证明方法．问题3：让我们先看看我们已经证明的两个问题，并试图找出证明过程中的差异。
1.在立方体ABCD-A'B'C'd中，验证：A'C⊥ BD.证明：连接AC∵abcd―a′b′c′d′是正方体，∴aa′⊥平面abcd.又∵bd?平面abcd，∴aa′⊥bd.∵ 自动控制⊥ BD，AA′∩ AC=a，∩ 屋宇署⊥ 飞机a′AC。
数学人教A版选修1-2优化课件：第二章 2.2 2.2.1 综合法和分析法
a2＋a12＋4≥a2＋a12＋2 2a＋1a＋4，
只需证 2
a2＋a12≥ 2a＋1a.
只需证 4a2＋a12≥2a2＋2＋a12，
也就是证明 a2＋a12≥2.
上述不等式显然成立，故原不等式成立．
探究三 综合法与分析法的综合应用 [例 3] △ABC 的三个内角 A，B，C 成等差数列，a，b，c 分别是 A，B，C 所对的 边，求证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1. [证明] 要证(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1， 即证a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 只需证a＋a＋b＋b c＋a＋b＋b＋c c＝3， 化简，得a＋c b＋b＋a c＝1，
[证明] (1)由(3－m)Sn＋2man＝m＋3，得(3－m)Sn＋1＋2man＋1＝m＋3. 两式相减，得(3＋m)an＋1＝2man(m≠－3)，
∴an＋ an
1＝m2＋m3.
又 m 为常数，且 m≠－3，
∴{an}是等比数列． (2)∵(3－m)Sn＋2man＝m＋3， ∴(3－m)a1＋2ma1＝m＋3. 又 m≠－3，则 a1＝1.
∴b1＝a1＝1. 由(1)，可得 q＝f(m)＝m2＋m3(m≠－3)． ∴n∈N*且 n≥2 时，bn＝23f(bn－1)＝32·b2n－b1n＋－13. ∴bnbn－1＋3bn＝3bn－1. ∴b1n－bn1－1＝31. ∴数列{b1n}是首项为 1，公差为13的等差数列．
综合法证明数学问题的步骤 (1)分析条件，选择方向：确定已知条件和结论间的联系，合理选择相关定义、定 理等； (2)转化条件，组织过程：将条件合理转化，书写出严密的证明过程． 特别地，根据题目特点选取合适的证法可以简化解题过程． (3)适当调整，回顾反思，回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，对语言进行适 当的修饰，反思总结．
推荐-高中数学人教A版选修1-2课件2.2.1 综合法和分析法
探究一
探究二
首页
探究三
思维辨析 当堂检测
课前预习 案
课堂探究案
分析法的应用
【例2】已知函数f(x)=x2-2x+2,若m>n>1,求证:f(m)+f(n)>2f
������+������
2.
分析:已知条件较少,且很难和欲证不等式直接联系起来,故可考
由已知 x=-2���2���+������������应与 x=-2������������关于 y 轴对称,
所以-2������������-1=-2-������������, 即 a=-b 成立,
故f
������
+
1 2
为偶函数.
探究一
探究二
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探究三
思维辨析 当堂检测
课前预习 案
课堂探究案
=
1 12sin2������
=
sin22������”,采用了
()
A.间接证明的方法 B.综合法 C.分析法 D.综合法与分析法结合的方法 解析:该证明过程采用了综合法的证明方法. 答案:B
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课前预习 案
课堂探究案
2.分析法 (1)分析法的定义:一般地,从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立 的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立 的条件(已知条件、定理、定义、公理等).这种证明的方法叫做分 析法. (2)分析法的推理过程: Q⇐P1→P1⇐P2→P2⇐P3→…→得到一个明显 成立的条件 (3)分析法证明的特点: ①分析法的特点是从“未知”看“需知”,逐步靠拢“已知”,其逐步推理 实际上是寻找使结论成立的充分条件. ②分析法从命题的结论入手,寻求结论成立的条件,直至归结为已 知条件、定义、公理、定理等.
人教(A版)高中数学选修1-2教学设计：2. 2 .1 综合法和分析法(1)--综合法
（1）通过综合法的学习，体会数学思维的严密性、抽象性、科学性.
（2）通过综合法的学习，养成审核思维的习惯.
教学重点
了解综合法的思考过程、特点
教学难点
对综合法的思考过程、特点的概括
课型
新课
主要教学方法
自主学习、思考、交流、讨论、讲解
教学模式
合作探究，归纳总结
教学手段与教具
几何画板、智慧黑板．
证明：采用差值比较法：
=
= =
=
∴ 成立
∴
例5．设函数 对任意 ，都有 ，且 时， ．
（1）证明 为奇函数；
（2）证明 在 上为减函数．
证明：（1） ， ，
令 ， ，
，令 ，代入 ，得 ，
而 ， ，
是奇函数；
（2）任取 ，且 ，
则 ，
．
又 ，
为奇函数，
，
，即 ，
在 上是减函数．
三、课堂小结，巩固反思：
分析：将A , B , C成等差数列，转化为符号语言就是2B =A + C; A , B , C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，明确表示出来是A + B + C =；a , b，c成等比数列，转化为符号语言就是 ．此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求．于是，可以用余弦定理为工具进行证明．
证明：由A, B, C成等差数列，有2B=A + C．①
因为A,B,C为△ABC的内角，所以A + B + C=．②
由①②，得B= ．③
由a, b，c成等比数列，有 ．④
由余弦定理及③，可得
新人教A版高中数学教材目录(必修+选修)
必修1第一章集合与函数概念1．1 集合1．2 函数及其表示1．3 函数的基本性质实习作业小结复习参考题第二章基本初等函数（Ⅰ）2．1 指数函数2．2 对数函数2．3 幂函数小结复习参考题第三章函数的应用3．1 函数与方程3．2 函数模型及其应用实习作业小结复习参考题必修2第一章空间几何体1．1 空间几何体的结构1．2 空间几何体的三视图和直观图1．3 空间几何体的表面积与体积实习作业小结复习参考题第二章点、直线、平面之间的位置关系2．1 空间点、直线、平面之间的位置关系2．2 直线、平面平行的判定及其性质2．3 直线、平面垂直的判定及其性质小结复习参考题第三章直线与方程3．1 直线的倾斜角与斜率3．2 直线的方程3．3 直线的交点坐标与距离公式小结复习参考题第四章圆与方程4．1 圆的方程4．2 直线、圆的位置关系4．3 空间直角坐标系小结复习参考题必修3第一章算法初步1．1 算法与程序框图1．2 基本算法语句1．3 算法案例阅读与思考割圆术小结复习参考题第二章统计2．1 随机抽样阅读与思考一个著名的案例阅读与思考广告中数据的可靠性阅读与思考如何得到敏感性问题的诚实反应2．2 用样本估计总体阅读与思考生产过程中的质量控制图2．3 变量间的相关关系阅读与思考相关关系的强与弱实习作业小结复习参考题第三章概率3．1 随机事件的概率阅读与思考天气变化的认识过程3．2 古典概型3．3 几何概型阅读与思考概率与密码小结复习参考题必修4第一章三角函数1．1 任意角和弧度制1．2 任意角的三角函数1．3 三角函数的诱导公式1．4 三角函数的图象与性质1．5 函数y=Asin（ωx+ψ）1．6 三角函数模型的简单应用小结复习参考题第二章平面向量2．1 平面向量的实际背景及基本概念2．2 平面向量的线性运算2．3 平面向量的基本定理及坐标表示2．4 平面向量的数量积2．5 平面向量应用举例小结复习参考题第三章三角恒等变换3．1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式3．2 简单的三角恒等变换小结复习参考题必修5第一章解三角形1．1 正弦定理和余弦定理探究与发现解三角形的进一步讨论1．2 应用举例阅读与思考海伦和秦九韶1．3 实习作业小结复习参考题第二章数列2．1 数列的概念与简单表示法阅读与思考斐波那契数列阅读与思考估计根号下2的值2．2 等差数列2．3 等差数列的前n项和2．4 等比数列2．5 等比数列前n项和阅读与思考九连环探究与发现购房中的数学小结复习参考题第三章不等式3．1 不等关系与不等式3．2 一元二次不等式及其解法3．3 二元一次不等式（组）与简单的线性规划问题阅读与思考错在哪儿信息技术应用用Excel解线性规划问题举例3．4 基本不等式小结复习参考题选修1－1第一章常用逻辑用语1．1 命题及其关系1．2 充分条件与必要条件1．3 简单的逻辑联结词1．4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2．1 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2．2 双曲线2．3 抛物线阅读与思考圆锥曲线的光学性质及其应用小结复习参考题第三章导数及其应用3．1 变化率与导数3．2 导数的计算探究与发现牛顿法──用导数方法求方程的近似解3．3 导数在研究函数中的应用信息技术应用图形技术与函数性质3．4 生活中的优化问题举例实习作业走进微积分小结复习参考题选修1－2第一章统计案例1．1 回归分析的基本思想及其初步应用1．2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题第二章推理与证明2．1 合情推理与演绎证明阅读与思考科学发现中的推理2．2 直接证明与间接证明小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3．1 数系的扩充和复数的概念3．2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题第四章框图4．1 流程图4．2 结构图信息技术应用用Word2002绘制流程图小结复习参考题选修2-1第一章常用逻辑用语1.1 命题及其关系1.2 充分条件与必要条件1.3 简单的逻辑联结词1.4 全称量词与存在量词小结复习参考题第二章圆锥曲线与方程2.1 曲线与方程2.2 椭圆探究与发现为什么截口曲线是椭圆信息技术应用用《几何画板》探究点的轨迹：椭圆2.3 双曲线探究与发现2.4 抛物线探究与发现阅读与思考小结复习参考题选修 2-2第一章导数及其应用1.1 变化率与导数1.2 导数的计算1.3 导数在研究函数中的应用1.4 生活中的优化问题举例1.5 定积分的概念1.6 微积分基本定理1.7 定积分的简单应用小结复习参考题第二章推理与证明2.1 合情推理与演绎推理2.2 直接证明与间接证明2.3 数学归纳法小结复习参考题第三章数系的扩充与复数的引入3.1 数系的扩充和复数的概念3.2 复数代数形式的四则运算小结复习参考题选修2-3第一章计数原理1.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理探究与发现子集的个数有多少1.2 排列与组合探究与发现组合数的两个性质1.3 二项式定理探究与发现“杨辉三角”中的一些秘密小结复习参考题第二章随机变量及其分布2.1 离散型随机变量及其分布列2.2 二项分布及其应用探究与发现服从二项分布的随机变量取何值时概率最大2.3 离散型随机变量的均值与方差2.4 正态分布信息技术应用μ，σ对正态分布的影响小结复习参考题第三章统计案例3.1 回归分析的基本思想及其初步应用3.2 独立性检验的基本思想及其初步应用实习作业小结复习参考题选修3-1数学史选讲第一讲早期的算术与几何一古埃及的数学二两河流域的数学三丰富多彩的记数制度第二讲古希腊数学一希腊数学的先行者二毕达哥拉斯学派三欧几里得与《原本》四数学之神──阿基米德第三讲中国古代数学瑰宝一《周髀算经》与赵爽弦图二《九章算术》三大衍求一术四中国古代数学家第四讲平面解析几何的产生一坐标思想的早期萌芽二笛卡儿坐标系三费马的解析几何思想四解析几何的进一步发展第五讲微积分的诞生一微积分产生的历史背景二科学巨人牛顿的工作三莱布尼茨的“微积分”第六讲近代数学两巨星一分析的化身──欧拉二数学王子──高斯第七讲千古谜题一三次、四次方程求根公式的发现二高次方程可解性问题的解决三伽罗瓦与群论四古希腊三大几何问题的解决第八讲对无穷的深入思考一古代的无穷观念二无穷集合论的创立三集合论的进一步发展与完善第九讲中国现代数学的开拓与发展一中国现代数学发展概观二人民的数学家──华罗庚三当代几何大师──陈省身学习总结报告选修3-3球面上的几何第一讲从欧氏几何看球面一平面与球面的位置关系二直线与球面的位置关系和球幂定理三球面的对称性思考题第二讲球面上的距离和角一球面上的距离二球面上的角思考题第三讲球面上的基本图形一极与赤道二球面二角形三球面三角形1．球面三角形2．三面角3．对顶三角形4．球极三角形思考题第四讲球面三角形一球面三角形三边之间的关系二、球面“等腰”三角形三球面三角形的周长四球面三角形的内角和思考题第五讲球面三角形的全等1．“边边边”(s.s.s)判定定理2．“边角边”(s.a.s.)判定定理3．“角边角”(a.s.a.)判定定理4．“角角角”(a.a.a.)判定定理思考题第六讲球面多边形与欧拉公式一球面多边形及其内角和公式二简单多面体的欧拉公式三用球面多边形的内角和公式证明欧拉公式思考题第七讲球面三角形的边角关系一球面上的正弦定理和余弦定理二用向量方法证明球面上的余弦定理1．向量的向量积2．球面上余弦定理的向量证明三从球面上的正弦定理看球面与平面四球面上余弦定理的应用──求地球上两城市间的距离思考题第八讲欧氏几何与非欧几何一平面几何与球面几何的比较二欧氏平行公理与非欧几何模型──庞加莱模型三欧氏几何与非欧几何的意义阅读与思考非欧几何简史学习总结报告选修3-4对称与群第一讲平面图形的对称群一平面刚体运动1．平面刚体运动的定义2．平面刚体运动的性质思考题二对称变换1．对称变换的定义2．正多边形的对称变换3．对称变换的合成4．对称变换的性质5．对称变换的逆变换思考题三平面图形的对称群思考题第二讲代数学中的对称与抽象群的概念一n元对称群Sn思考题二多项式的对称变换思考题三抽象群的概念1．群的一般概念2．直积思考题第三讲对称与群的故事一带饰和面饰思考题二化学分子的对称群三晶体的分类四伽罗瓦理论学习总结报告选修4-1几何证明选讲第一讲相似三角形的判定及有关性质一平行线等分线段定理二平行线分线段成比例定理三相似三角形的判定及性质1．相似三角形的判定2．相似三角形的性质四直角三角形的射影定理第二讲直线与圆的位置关系一圆周角定理二圆内接四边形的性质与判定定理三圆的切线的性质及判定定理四弦切角的性质五与圆有关的比例线段第三讲圆锥曲线性质的探讨一平行射影二平面与圆柱面的截线三平面与圆锥面的截线学习总结报告选修 4-2第一讲线性变换与二阶矩阵一线性变换与二阶矩阵（一）几类特殊线性变换及其二阶矩阵1.旋转变换2.反射变换3.伸缩变换4.投影变换5.切变变换（二）变换、矩阵的相等二二阶矩阵与平面向量的乘法（二）一些重要线性变换对单位正方形区域的作用第二讲变换的复合与二阶矩阵的乘法一复合变换与二阶矩阵的乘法二矩阵乘法的性质第三讲逆变换与逆矩阵一逆变换与逆矩阵1.逆变换与逆矩阵2.逆矩阵的性质二二阶行列式与逆矩阵三逆矩阵与二元一次方程组1.二元一次方程组的矩阵形式2.逆矩阵与二元一次方程组第四讲变换的不变量与矩阵的特征向量一变换的不变量——矩阵的特征向量1.特征值与特征向量2.特征值与特征向量的计算二特征向量的应用1.Ａa的简单表示2.特征向量在实际问题中的应用学习总结报告选修4-5不等式选讲第一讲不等式和绝对值不等式一不等式1.不等式的基本性质2.基本不等式3.三个正数的算术-几何平均不等式二绝对值不等式1.绝对值三角不等式2.绝对值不等式的解法第二讲讲明不等式的基本方法一比较法二综合法与分析法三反证法与放缩法第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式柯西不等式二一般形式的柯西不等式三排序不等式第四讲数学归纳法证明不等式一数学归纳法二用数学归纳法证明不等式学习总结报告选修4-6初等数论初步第一讲整数的整除一整除1.整除的概念和性质2.带余除法3.素数及其判别法二最大公因数与最小公倍数1.最大公因数2.最小公倍数三算术基本定理第二讲同余与同余方程一同余1.同余的概念2.同余的性质二剩余类及其运算三费马小定理和欧拉定理四一次同余方程五拉格朗日插值法和孙子定理六弃九验算法第三讲一次不定方程一二元一次不定方程二二元一次不定方程的特解三多元一次不定方程第四讲数伦在密码中的应用一信息的加密与去密二大数分解和公开密钥学习总结报告附录一剩余系和欧拉函数附录二多项式的整除性选修4-7优选法与试验设计初步第一讲优选法一什么叫优选法二单峰函数三黄金分割法——0.618法1.黄金分割常数2.黄金分割法——0.618法阅读与思考黄金分割研究简史四分数法1.分数法阅读与思考斐波那契数列和黄金分割2.分数法的最优性五其他几种常用的优越法1.对分法2.盲人爬山法3.分批试验法4.多峰的情形六多因素方法1.纵横对折法和从好点出发法2.平行线法3.双因素盲人爬山法第二讲试验设计初步一正交试验设计法1.正交表2.正交试验设计3.试验结果的分析4.正交表的特性二正交试验的应用学习总结报告选修4-9风险与决策第一讲风险与决策的基本概念一风险与决策的关系二风险与决策的基本概念1.风险（平均损失）2.平均收益3.损益矩阵4.风险型决策探究与发现风险相差不大时该如何决策第二讲决策树方法第三讲风险型决策的敏感性分析第四讲马尔可夫型决策简介一马尔可夫链简介1.马尔可夫性与马尔可夫链2.转移概率与转移概率矩阵二马尔可夫型决策简介三长期准则下的马尔可夫型决策理论1.马尔可夫链的平稳分布2.平稳分布与马尔可夫型决策的长期准则3.平稳准则的应用案例学习总结报告。
(教师用书)高中数学 2.2.1 第2课时 综合法和分析法课件 新人教A版选修1-2
π 已知 α， β≠kπ＋ (k∈Z)， 且 sin θ＋cos θ＝2sin α， sin θ· cos 2 θ＝sin2β， 1－tan2α 1－tan2β 求证： ＝ . 1＋tan2α 21＋tan2β
sin2α sin2β 1－ 2 1－tan2α 1－tan2β 1－cos2α cos β 【证明】 2 ＝ 2 ＝ 2 ⇐ sin α sin2β 1＋tan α 21＋tan β 1＋ 2 21＋ 2 cos α cos β
1．本题证明从哪里开始？ 【提示】 从结论开始． 2．证题思路是什么？ 【提示】 寻求每一步成立的充分条件．
1．分析法的定义 从 要证明的结论 出发， 逐步寻求使它成立的充分条件 ， 直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件
定理、 定义 、 公理 等)， ( 已知条件、 这种证明方法叫做分析法．
●教学流程
演示结束
1.了解分析法证明数学问题的格式、 步骤．(重点) 课标 2.理解分析法的思考过程、特点，会 解读 用分析法证明较复杂的数学问题．( 难点)
分析法
【问题导思】 证明不等式： 3＋2 2<2＋ 7 成立，可用下面的方法进 行． 证明：要证明 3＋2 2<2＋ 7， 由于 3＋2 2>0,2＋ 7>0， 只需证明( 3＋2 2)2<(2＋ 7)2. 展开得 11＋4 6<11＋4 7，只需证明 6<7， 显然 6<7 成立． ∴ 3＋2 2<2＋ 7成立．
＋
即证 2
n ＋1
1 1 (2an＋ n＋1)－2nan 为常数， 2
而 2nan＋1－2nan＝1 为常数成立． ∴{bn}是等差数列．
1 ． 利用分析法证明时，在叙述过程中 “ 要证 ”“ 只需 证”“即要证”这些词语必不可少，否则会出现错误． 2．逆向思考是用分析法证题的主题思想，通过反推，逐 步寻找使结论成立的充分条件，正确把握转化方向，使问题 顺利获解．
人教A版高中数学选修1-2课件2.2.1综合法和分析法
二、用分析法证明问题
活动与探究
如何理解分析法? 答:(1)分析法的基本思路 分析法的基本思路是“执果索因”,由求证走向已知,即从待证结论 或需求问题出发,一步一步地探索下去,最后到达一个明显成立的条件. (2)分析法的特点 ①分析法是综合法的逆过程,即从“未知”看“需知”,执果索因,逐步 靠拢“已知”,其逐步推理,实际上是要寻找它的充分条件. ②由于分析法是逆推证明,故在利用分析法证明时应注意逻辑性 与规范性,即分析法有独特的表述.
课堂合作探索
KETANGHEZUOTANSUO
2.综合法和分析法的定义、框图特点
综合法
分析法
一般地,利用已知条件和某些数学 定义、定理、公理等,经过一系列 的推理论证,最后推导出所要证明 的结论成立,这种证明方法叫做综 合法
一般地,从要证明的结论出发,逐步寻 求使它成立的充分条件,直至最后,把 要证明的结论归结为判定一个明显 成立的条件(已知条件、定理、定义、 公理等),这种证明方法叫做分析法
≥4.又 a+b=1,∴1������ + 1������≥4.
当且仅当 a=b 时,取“=”号.
方法三:1������
+
1 ������
=
������+������ ������
+
������+������ ������=1+������������
+
������������+1≥2+2
������ ������
2.2.1 综合法和分析法
问题导学 当堂检测
一二三
课前预习导学 课堂合作探索
KEQIANYUXIDAOXUE
KETANGHEZUOTANSUO
高中数学人教A版选修1-2课件：2.2.1.1 综合法
∵a+b+c=1,∴( ������ + ������ + ������ )2≤3.
∴ ������ + ������ + ������ ≤ 3.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
【变式训练 2】 (1)已知 a,b,c 是不全相等的正数, 求证:a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc; (2)已知 a>0,b>0,且 a+b=1,求证: + ≥9.
【做一做2】 命题“函数f(x)=x-xln x在区间(0,1)内是增函数”的证 明过程“对函数f(x)=x-xln x求导,得f'(x)=-ln x,当x∈(0,1)时,f'(x)=-ln x>0,故函数f(x)在区间(0,1)内是增函数”应用了 的证明 方法. 解析:本命题的证明利用题设条件和导数与函数单调性的关系, 经推理论证得到了结论,所以应用的是综合法的证明方法. 答案:综合法
������
= .
1 3
1 3
∴数列
1 ������������
是首项为1,公差为 的等差数列.
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
题型一
题型二
题型三
题型四
利用综合法证明不等式
【例 2】 已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1. 求证:(1)a2+b2+c2≥ ;
高中数学人教A版选修1-2第二章 2.2 2.2.1 综合法和分析法课件
顺推证
经过一系列的 推理论证， → Q2⇒Q3 →…→ Qn⇒Q 法或由
最后推导出所要证明的结 (P 表示已知条件 ，已有的 因导果
论成立，这种证明方法叫 定___义__、公理 、 定理等， 法
做综合法
Q 表示 所要证明的结论 ).
2.分析法 定义
框图表示
特点
从要证明的 结论出发 ，逐
步寻求使它成立的 充分条
[活学活用]
已知 a，b，c 都为正实数，求证：
证明：要证
a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c，
a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c.
只需证a2＋b32＋c2≥a＋3b＋c2， 只需证 3(a2＋b2＋c2)≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac，
只需证 2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，
逆推
件__，直至最后，把要证明的 Q⇐P1 → P1⇐P2
证法
结论归结为判定一个明显
→ P2⇐P3 →…→ 成立的条件(已知条
或执
件、定理、 定义、公理等) 得到一个明显 成立的条件 果索
因法
为止．这种证明方法叫做分
析法
3．综合法、分析法的区别
[点睛] 一般来说，分析法解题方向明确，利于寻求解 题思路；而综合法解题条理清晰，宜于表述．因此在解决问 题时，通常以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理 地表述解题过程．
语语文文：：初初一一新新生生使使用用的的是是教教育育部部编编写写的的教教材材，，也也称称““部部编编””教教材材。。““部部编编本本””是是指指由由教教育育部部直直接接组组织织编编写写的的教教材材。。““部部编编本本””除除了了语语文文，，还还有有德德育育和和历历史史。。现现有有的的语语文文教教材材，，小小学学有有1122种种版版本本，，初初中中有有88种种版版本本。。这这些些版版本本现现在在也也都都做做了了修修订订，，和和““部部编编本本””一一同同投投入入使使用用。。““部部编编本本””取取代代原原来来人人教教版版，，覆覆盖盖面面比比较较广广，，小小学学约约占占5500%%，，初初中中约约占占6600%%。。今今秋秋，，小小学学一一年年级级新新生生使使用用的的是是语语文文出出版版社社的的修修订订版版教教材材，，还还是是先先学学拼拼音音，，后后学学识识字字。。政政治治：：小小学学一一年年级级学学生生使使用用的的教教材材有有两两个个版版本本，，小小学学一一年年级级和和初初一一的的政政治治教教材材不不再再叫叫《《思思想想品品德德》》，，改改名名为为《《道道德德与与法法治治》》。。历历史史：：初初一一新新生生使使用用华华师师大大版版教教材材。。历历史史教教材材最最大大的的变变化化是是不不再再按按科科技技、、思思想想、、文文化化等等专专题题进进行行内内容容设设置置，，而而是是以以时时间间为为主主线线，，按按照照历历史史发发展展的的时时间间顺顺序序进进行行设设置置。。关关于于部部编编版版，，你你知知道道多多少少？？为为什什么么要要改改版版？？跟跟小小编编一一起起来来了了解解下下吧吧！！一一新新教教材材的的五五个个变变化化一一、、入入学学以以后后先先学学一一部部分分常常用用字字，，再再开开始始学学拼拼音音。。汉汉字字是是生生活活中中经经常常碰碰到到的的，，但但拼拼音音作作为为一一个个符符号号，，在在孩孩子子们们的的生生活活中中接接触触、、使使用用都都很很少少，，教教学学顺顺序序换换一一换换，，其其实实是是更更关关注注孩孩子子们们的的需需求求了了。。先先学学一一部部分分常常用用常常见见字字，，就就是是把把孩孩子子的的生生活活、、经经历历融融入入到到学学习习中中。。二二、、第第一一册册识识字字量量减减少少，，由由440000字字减减少少到到330000字字。。第第一一单单元元先先学学4400个个常常用用字字，，比比如如““地地””字字，，对对孩孩子子来来说说并并不不陌陌生生，，在在童童话话书书、、绘绘本本里里可可以以看看到到，，电电视视新新闻闻里里也也有有。。而而在在以以前前，，课课文文选选用用的的一一些些结结构构简简单单的的独独体体字字，，比比如如““叉叉””字字，，结结构构比比较较简简单单，，但但日日常常生生活活中中用用得得不不算算多多。。新新教教材材中中，，增增大大了了常常用用常常见见字字的的比比重重，，减减少少了了一一些些和和孩孩子子生生活活联联系系不不太太紧紧密密的的汉汉字字。。三三、、新新增增““快快乐乐阅阅读读吧吧””栏栏目目，，引引导导学学生生开开展展课课外外阅阅读读。。教教材材第第一一单单元元的的入入学学教教育育中中，，有有一一幅幅图图是是孩孩子子们们一一起起讨讨论论《《西西游游记记》》等等故故事事，，看看得得出出来来，，语语文文学学习习越越来来越越重重视视孩孩子子的的阅阅读读表表达达，，通通过过读读 故故事事、、演演故故事事、、看看故故事事等等，，提提升升阅阅读读能能力力。。入入学学教教育育中中第第一一次次提提出出阅阅读读教教育育，，把把阅阅读读习习惯惯提提升升到到和和识识字字、、写写字字同同等等重重要要的的地地位位。。四四、、新新增增““和和大大人人一一起起读读””栏栏目目，，激激发发学学生生的的阅阅读读兴兴趣趣，，拓拓展展课课外外阅阅读读。。有有家家长长担担心心会会不不会会增增加加家家长长负负担担，，其其实实这这个个““大大人人””包包含含很很多多意意思思，，可可以以是是老老师师、、爸爸妈妈、、爷爷爷爷、、奶奶奶奶、、外外公公、、外外婆婆等等，，也也可可以以是是邻邻居居家家的的小小姐姐姐姐等等。。每每个个人人讲讲述述一一个个故故事事，，表表达达是是不不一一样样的的，，有有人人比比较较精精炼炼，，有有人人比比较较口口语语化化，，儿儿童童听听到到的的故故事事不不同同，，就就会会形形成成不不同同的的语语文文素素养养。。五五、、语语文文园园地地里里，，新新增增一一个个““书书写写提提示示””的的栏栏目目。。写写字字是是有有规规律律的的，，一一部部分分字字有有自自己己的的写写法法，，笔笔顺顺都都有有自自己己的的规规则则，，新新教教材材要要求求写写字字的的时时候候，，就就要要了了解解一一些些字字的的写写法法。。现现在在信信息息技技术术发发展展很很快快，，孩孩子子并并不不是是只只会会打打字字就就可可以以，，写写字字也也不不能能弱弱化化。。二二为为什什么么要要先先识识字字后后学学拼拼音音？？一一位位语语文文教教研研员员说说，，孩孩子子学学语语文文是是母母语语教教育育，，他他们们在在生生活活中中已已经经认认了了很很多多字字了了，，一一年年级级的的识识字字课课可可以以和和他他们们之之前前的的生生活活有有机机结结合合起起来来。。原原先先先先拼拼音音后后识识字字，，很很多多孩孩子子觉觉得得枯枯燥燥，，学学的的时时候候感感受受不不到到拼拼音音的的用用处处。。如如果果先先接接触触汉汉字字，，小小朋朋友友在在学学拼拼音音的的过过程程中中会会觉觉得得拼拼音音是是有有用用的的，，学学好好拼拼音音是是为为了了认认识识更更多多的的汉汉字字。。还还有有一一位位小小学学语语文文老老师师说说：：““我我刚刚刚刚教教完完一一年年级级语语文文，，先先学学拼拼音音再再识识字字，，刚刚进进校校门门的的孩孩子子上上来来就就学学，，压压力力会会比比较较大大，，很很多多孩孩子子有有挫挫败败感感，，家家长长甚甚至至很很焦焦急急。。现现在在让让一一年年级级的的孩孩子子们们先先认认简简单单的的字字，，可可以以让让刚刚入入学学的的孩孩子子们们感感受受到到学学习习的的快快乐乐，，消消除除他他们们害害怕怕甚甚至至恐恐惧惧心心理理。。我我看看了了一一下下网网上上的的新新教教材材，，字字都都比比较较简简单单，，很很多多小小朋朋友友都都认认识识。。””
人教新课标A版高二数学《选修1-2》2.2.1综合法与分析法(一)---综合法
【解析】
•将A，B，C成等差数列，转化为符号语言就是 2B=A+C； •A，B，C为△ABC的内角，这是一个隐含条件，即 A+B+C=180°；
此时，如果能把角和边统一起来，那么就可以进一步寻找角和边之间 的关系，进而判断三角形的形状，余弦定理正好满足要求.于是，可以用余 弦定理进行证明.
证明： 由A，B，C成等差数列，有
P Q1
Q1 Q 2
Q2 Q3
…
Qn Q
同学们，综合法我们只需懂理解具体例子，这些归纳出来的综合法一般理论是 数学家干干的，我们只需理解就行.
但综合法是万事开头难，虽然万事开头难，但有时候进展更难。会需要高超的 技巧，深刻的解题指导思想.
三、例题讲解
A
B C P α Q R
三、例题讲解
?????bc成等比数列转化为符号语言就是就是????????????????三例题讲解此时如果能把角和边统一起来那么就可以进一步寻找角和边之间的关系进而判断三角形的形状余弦定理正好满足要求
2.2.1 综合法和分析法
引入
我们知道事物分成正面和方面.证明题目的方法很多，不管有多少，从正 面看从大宏观与大高度看只分成两类.
万事开头难怎办？ 请听下节课分解
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谢谢大家！
2.2.1综合法和分析法（一）——综合法一、新课入【解析】证明:
二、讲授新课——综合法(顺推证法或由因导果法)
利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后 推导出所要证明的结论成立,这种证明方法叫做综合法。其特点是:“由因导果” 用P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q表示所要证明的结论. 则综合法用框图表示为:
2B=A+C.
人教版高中数学选修1-2(A版)课件：第二章 2.2.1分析法 (共86张PPT)
时间只是过客，自己才是主人，人生的路无需苛求，只要你迈步，路就在你的脚下延伸，只要你扬帆，便会有八面来风，启程了，人的生命 才真正开始。 行动不一定带来快乐，而无行动则决无快乐。 如果你看到面前的阴影，别怕，那是因为你的背后有阳光。 生活就像海洋，只有意志将强的人才能到达彼岸。 当一个人真正觉悟的一刻，他放弃追寻外在世界的财富，而开始追寻他内心世界的真正财富。 觉得自己做得到和做不到，只在一念之间。
人教A版数学选修1-2全册课件第二章 2.2.1 综合法和分析法精选ppt课件
法二：(综合法) 因为△ABC 的三内角 A，B，C 成等差数列， 所以 B＝60°. 由余弦定理，有 b2＝c2＋a2－2accos 60°. 所以 c2＋a2＝ac＋b2， 两边加 ab＋bc，得
c(b＋c)＋a(a＋b)＝(a＋b)(b＋c)， 两边同时除以(a＋b)(b＋c)， 得a＋c b＋b＋a c＝1， 所以a＋c b＋1＋b＋a c＋1＝3， 即a＋1 b＋b＋1 c＝a＋3b＋c， 所以(a＋b)－1＋(b＋c)－1＝3(a＋b＋c)－1.
证明：∵a＞0，b＞0，a＋b＝1， ∴4a＋1b＝4aa＋b＋a＋b b＝4＋4ab＋ab＋1＝5＋4ab＋ab≥5＋2 4ab×ab＝5＋4＝9.当且仅当4ab＝ab，即 a＝2b 时“＝”成立.
分析法的应用
[例 2] 设 a＞b＞0，求证： a2－b2＋ ab－b2＞ a( a－ b)． [证明] 因为 a＞b＞0，所以 a2＞ab＞b2， 所以 ab－b2＞0. 要证 a2－b2＋ ab－b2＞ a( a－ b)， 只需证 a2－ab22－ －abab－b2＞ aa22－ ＋abab， 只需证 a2－b2－ ab－b2＜ a2＋ ab. 而 a2－b2＜ a2＋ ab＋ ab－b2显然成立． 所以 a2－b2＋ ab－b2＞ a( a－ b)成立．
[证明] ∵a，b，c 是正数，∴b2＋c2≥2bc， ∴a(b2＋c2)≥2abc.① 同理，b(c2＋a2)≥2abc，② c(a2＋b2)≥2abc.③ ∵a，b，c 不全相等，
∴b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，a2＋b2≥2ab 三式中不能同时 取到“＝”．
∴①②③式相加得 a(b2＋c2)＋b(c2＋a2)＋c(a2＋b2)＞6abc.
[类题通法] 综合法与分析法的适用范围
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1 1 又 a＋b＝1，所以a＋b≥4.
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1 1 a＋b a＋b b a 法三：a＋b＝ a ＋ b ＝1＋a＋b＋1≥2＋2 时，取“＝”号． (2)①由 2asin A＝(2b－c)sin 得 2a2＝(2b－c)b＋(2c－b)c， 即 bc＝b2＋c2－a2， b2＋c2－a2 1 π 所以 cos A＝ 2bc ＝2，所以 A＝3.
法一：因为 a，b 是正数且 a＋b＝1，
1 1 1 a＋b 1 所以 a＋b≥2 ab，所以 ab≤2，所以a＋b＝ ab ＝ab≥4. 法二：因为 a，b 是正数，所以 a＋b≥2 ab>0， 1 1 a＋b≥2
1 1 1 ＋ ab>0，所以(a＋b)a b≥4.
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思考 2: 综合法与分析法有什么区别？
[提示]综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果； 分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因．
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[基础自测] 1．思考辨析 (1)综合法是执果索因的逆推证法． (2)分析法就是从结论推向已知． (3)所有证明的题目均可使用分析法证明． ( ( ( ) ) )
a2＋b2－2ab≥0 步骤为： a2＋b2 要证 2 ≥ab 成立，只需证 a2＋b2≥2ab， 也就是证 a2＋b2－2ab≥0， 即证(a－b) ≥0.由于(a－b) ≥0 显然成立，所以原不等式成立．]
2 2
(a－b)2≥0
(a－b)2≥0
a2＋b2 [用分析法证明 2 ≥ab 的
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2.分析法 定义 一般地，从要证明的___________ 结论出发 ，逐步寻
充分条件 ，直至最后，把要 求使它成立的_________
框图表示
特点
逆推证法 或执果索 因法.
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证明的结论归结为判定一个明显成立的条
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[自 主 预 习· 探 新 知]
1．综合法 定义 利用 _________ 已知条件 和某些数
定义 、 _____ 定理 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → Q2⇒Q3 公理 、 _____ 学 _____
推证过程
特点
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第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明 2.2.1 综合法和分析法
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学习目标：1.理解综合法、分析法的意义，掌握综合法、分析法的思维 特点．(重点、易混点)2.会用综合法、分析法解决问题．(重点、难点)
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公理 等) 定义 、______ 件(已知条件、______ 定理 、______
为止．这种证明方法叫做分析法.
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思考 1：综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？
[提示]综合法与分析法的推理过程是演绎推理，因为综合法与分析法的 每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同 于合情推理中的“猜想”．
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[答案] (1)× (2)× (3)×
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2．命题“对于任意角 θ，cos θ－sin θ＝cos 2θ”的证明：“cos θ－sin θ ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos 2θ”，其过程应用了( )
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[合 作 探 究· 攻 重 难]
综合法的应用
1 1 (1)已知 a，b 是正数，且 a＋b＝1，证明：a＋b≥4. (2)在△ABC 中，a，b，c 分别为内角 A，B，C 的对边，且 2asin A＝(2b
ba a· b＝4.当且仅当 a＝b
B＋(2c－b)sin C，
3．要证明 A>B，若用作差比较法，只要证明________．
A－B>0 [要证 A>B，只要证 A－B>0.]
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a2＋b2 a2＋b2 4．将下面用分析法证明 2 ≥ab 的步骤补充完整：要证 2 ≥ab， 只需证 a2＋b2≥2ab，也就是证________，即证________，由于________显然 成立，因此原不等式成立．
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【导学号：48662070】 A．分析法 B．综合法 D．间接证法
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C．综合法、分析法综合使用
B
[从证明过程来看，是从已知条件入手，经过推导得出结论，符合综
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合法的证明思路．]
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－c)sinB＋(2c－b)sin C. π ①求证：A 的大小为3；②若 sinB＋sin C＝ 3，证明△ABC 为等边三角 形. 【导学号：48662071】
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[证明] (1)
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等 ， 经 过 一 系 列 的 →…→
Qn⇒Q
(P
表
示 顺推证法或由
推理论证 ， __________ 最后推导出 __________ 定义 、 已知条件 、 已有的_____ ____ 公理、因导果法
所要证明的结论成立， 这 _____ 定理 等， 所要证明的结论 Q 表示______________) 种证明方法叫做综合法