江苏省2019高考数学模拟试题(2)南师大(高考备考宝典)后附详尽答案及解析
江苏省2019年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题(二)答案
江苏省2019年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题（二）数学试题参考答案与评分标准数学Ⅰ部分一、填空题：1．22．343．15004．135．46．1-7．38．9．410．2π311．－212．313．514．[2,3]二、解答题：15.解：(1)由正弦定理，得sin sina Bb A=……………………………２分因为b＝4，sina B=所以sin2A=，……………………………４分又π2A<<，所以π3A=．………………………………６分(2)若b＝4，c＝6，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝16＋36－2×24×12＝28，所以a＝………………………………８分因为D为BC的中点，所以BD＝DC．在ABD∆与ACD∆中，分别由余弦定理，得2222222cos,2cos,AB BD AD BD AD ADBAC CD ADCD AD ADC⎧=+-⋅⋅∠⎪⎨=+-⋅⋅∠⎪⎩即22367cos,167cos,AD ADBAD ADC⎧=+-⋅∠⎪⎨=+-⋅∠⎪⎩………………………………12分又πADB ADC∠+∠=，两式相加得,52=14＋22AD，解得，AD=．………………………………14分16．证明：(1)连结1交1BD于N，则N为1AC中点，又因为点M为1AA的中点，所以//MN AC，……………3分又MN⊂平面1BMD，AC⊄平面1BMD，∴//AC平面1BMD.……………………………7分(2) 四边形11BDD B为矩形，∴1BD BB⊥，又11//BB AA，∴1BD AA⊥底面ABCD是菱形，∴AC BD⊥，………………9分又1AC AA A⋂=，∴BD⊥平面1A AC．………12分MC⊂平面1A AC，∴BD MC⊥，………………14分17．解：⑴当1n=时，21112S a a=+，解得11a=，或1a= MADBA1D1C1B1C(第16题图)N（舍）.……………１分当2n ≥时，21112n n n S a a ---=+，则有2211122()()n n n n n n S S a a a a ----=+-+，即22112()()n n n n n a a a a a --=-+-，2211n n n n a a a a --+=-，………………………………………4分因为0n a >，所以11n n a a --=．所以数列{}n a 是首项为1，公差为1的等差数列，数列{}n a 的通项公式为,*n a n n N =∈．………………………………………7分(2)因为111211111((2)22nn ni i i i i a a i i ii ===+==-++∑∑∑………………………………………9分＝1111(1)2212n n +--++………………………………………12分＝31113()42124n n -+<++．故c 的取值范围为3[,)4+∞．………………………………………14分18．解：(1)12()()sin(ωα)sin(ωβ)f x f x A x A x +=+++＝(cosαcosβ)sin ω(sin αsinβ)cosωA x A x +++，……………2分叠加后强度为A A ⋅1，即1cos(αβ)2-=-，……………………………5分故|αβ|-的最小值2π3．………………………………………7分(2)设我方两个载波为1122()2sin(φ),()2sin(φ)g x x g x x =+=+，则1212()()()2sin 2sin(φ)2sin(φ)g x g x g x x x x ++=++++＝12122[(1cos φcosφ)sin (sin φsin φ)cos ]x x ++++．…………9分因为强度的最小值为零，所以12121cos φcosφ0,sin φsin φ0,++=⎧⎨+=⎩……………………………………12分即2121cosφ1cos φ,sin φsin φ,=--⎧⎨=-⎩，消去2φ得11cosφ2=-,………………………………14分若取12πφ3=，可取24πφ3=(或22πφ3=-等)，则122π4π()2sin(),g ()2sin()33g x x x x =+=+(或22π()2sin()3g x x =-等)．此时1211()()()2[sin (sin cos )(sin cos )]02222g x g x g x x x x x x ++=+-++--=．…………………………16分19．(1)解：设P (x 0,y 0),则2200221x ya b+=，①又OP 的中点在直线AF :1x yc b +=上,所以002x y c b+=，②……………2分②代入①，得22002(2)1,x xa c+-=即2220022430a c x x a c c +⋅-⋅+=．………………………………………4分所以△＝222221612()0a c c a c +-≥，即223a c ≥，故离心率的取值范围为(0，3．………………………………………7分(2)证明：若线段OP 垂直AF ，则直线OP 的方程为cxy b=，…………………………8分与直线AF 的方程1x y c b +=联立,解得两直线交点的坐标(2222,b c bc a a)．因为线段OP 被直线AF 平分，所以P 点坐标为(222222,b c bc a a)，………………11分由点P 在椭圆上，得4224642441b c b c a a b +=，又222b ac =-,设22c t a=，得224[(1)]1t t t -⋅+=．(＊)……………13分令2232()4[(1)]14()1f t t t t t t t =-⋅+-=-+-，则2()4(321)0f t t t '=-+>/，所以()f t 在区间(0,1)上单调递增，因为(0)10,(1)30f f =-<=>,由函数零点存在性定理，知()0f t =在区间(0,1)上有解，即(＊)式方程有解，故存在椭圆Ｃ，使线段OP 被直线AF 垂直平分．…………………………16分20．(1)证明：函数f (x )的定义域为R ，因为f (-x )=cos(-x )+a (-x )2-1=cos x +ax 2-1=f (x ),所以函数f (x )是偶函数.……………………………………3分(2)解：当a =1时，f (x )=cos x +x 2-1，则f ´(x )=-sin x +2x ,令g (x )=f ´(x )=-sin x +2x ,则g ´(x )=-cos x +2>0,所以f ´(x )是增函数，又f ´(0)=0，所以f ´(x )≥0，所以f (x )在[0，π]上是增函数，又函数f (x )是偶函数，故函数f (x )在[-π，π]上的最大值是π2-2，最小值为0.…………………………8分(3)解：f ´(x )=-sin x +2ax ,令g (x )=f ´(x )=-sin x +2ax ,则g ´(x )=-cos x +2a ,①当a ≥12时,g ´(x )=-cos x +2a ≥0,所以f ´(x )是增函数，又f ´(0)=0，所以f ´(x )≥0，所以f (x )在[0，+∞)上是增函数，而f (0)=0，f (x )是偶函数，故f (x )≥0恒成立．………………………………………12分②当a ≤-12,g ´(x )=-cos x +2a ≤0,所以f ´(x )是减函数，又f ´(0)=0，所以f ´(x )≤0，所以f (x )在(0，+∞)上是减函数，而f (0)=0，f (x )是偶函数，所以f (x )<0，与f (x )≥0矛盾，故舍去．………………14分③当-12<a <12时，必存在唯一x 0∈(0，π)，使得g ´(x 0)=0，因为g ´(x )=-cos x +2a 在[0，π]上是增函数，所以当x ∈(0,x 0)时，g ´(x )<0,即f ´(x )在(0,x 0)上是减函数，又f ´(0)=0，所以当x ∈(0,x 0)时f ´(x )≤0，即f (x )在(0，x 0)上是减函数，而f (0)=0，所以当x ∈(0,x 0)时f (x )<0，与f (x )≥0矛盾，故舍去．综上，实数a 的取值范围是[12，+∞)．………………………………………16分数学Ⅱ部分21．【选做题】A ．(选修4—2：矩阵与变换)解:由题意知111111a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦,即11,11,a b +=⎧⎨+=-⎩,解得0,2.a b =⎧⎨=-⎩所以1021M ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，………………………………………5分()()0,2,1,3A C 在变换T 作用下变为()10,2A ，()11,1C ,故△111A B C 的面积为1.………………………………………10分B ．(选修4—4：坐标系与参数方程)解：曲线Ｃ的普通方程为22(2)4x y -+=，直线l 的方程为y x =，………………………………………5分所以直线l 被曲线C 截得的弦长π4cos 4=分C ．(选修4—5：不等式证明选讲)证明：因为0,0,x y x y >>>，所以0x y ->，因为()()()()()221123x y x y x y x y x y -+=-+-+--≥，当且仅当1x y -=时等号成立，………………………………8分所以2212(1)12x y x xy y --+-+≥．…………………………………10分【必做题】22．解:(1)设X 为射手在3次射击中击中目标的次数,则X ～在3次射击中,恰有2次击中目标的概率P (X ＝2)＝C 23＝49.………………………………………5分(2)由题意可知0,1,2,3,6.P (X ＝0)＝127；P (X ＝1)＝123212()339C =；P (X ＝2)＝2×1×23＝427；P (X ＝3)×13＋13×＝827；P (X ＝6)＝827.X 的分布列是X01236P12729427827827…………………………………8分所以X 的数学期望()E X ＝2488861236927272727⨯+⨯+⨯+⨯=．………………10分23．解：设1122(,),(,)A x y B x y (120y y ≠)，因为OA OB ⊥，所以12120x x y y +=，又2211222,2y x y x ==，所以22121204y y y y +=，解得124y y =-．………………………………………2分(1)当12x x =时，直线AB 方程为2x =，AB 与x 轴的交点坐标为(2,0)．当12x x ≠时，直线AB 方程为212112212()222y y y y y x y y --=--，令0y =，得1222y yx =-=，故线段AB 与x 轴的交点坐标(2,0)．………………………………………5分(2)设点A 处的切线方程为11()x―x m y―y =，代入22y x =，得2211220y ―my my ―y +=，由△22114840m ―my y +=＝，得1m y =，所以点A 处的切线方程为11y y x x =+，………………………………………7分同理点B 处的切线方程为22y y x x =+所以两条切线交点P 的横坐标为1221121222x y x y y y x y y -===--，故P 点的轨迹方程为2x =-．………………………………………10分。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷) A卷 数学Ⅱ(附加题)
(这是边文，请据需要手工删加)绝密★启用前A 卷2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)数学Ⅱ(附加题)注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A . 选修4-2：矩阵与变换(本小题满分10分)已知⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤400－3， 求矩阵A －1.B . 选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)已知曲线C 的极坐标方程为ρ2＝123＋sin 2θ，P(x ，y)是曲线C 上的一动点，求x 2＋y 的最小值．C. 选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)已知实数x，y，z满足x2＋9y2＋4z2＋m＝0(m<0)，且x＋y＋z≤21，求m的值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)如图，在三棱柱ABC A 1B 1C 1中，底面是边长为23的正三角形，点A 1在底面ABC 上的射影O 恰是BC 的中点，侧棱AA 1和底面成45°角．(1) 若D 为侧棱A 1A 上一点，当A 1D DA为何值时，BD ⊥AC? (2) 求二面角A 1 AC B 的余弦值的大小．(第22题)23. (本小题满分10分)已知n ∈N *，a n ∈Z ，b n ∈Z ，且(1＋6)n ＝6a n ＋b n .(1) 求a 5＋b 5；(2) 是否存在n ∈N *，使b n ＝42 019？若存在，求出所有n 的值，若不存在，请说明理由．(这是边文，请据需要手工删加)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷) A 卷数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准21. A. 【解答】设A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2003A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤2a 2b 3c 3d ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤400－3，(3分) 故⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝0，c ＝0，d ＝－1，所以A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤200－1， 所以A －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1200－1.(10分) B. 【解答】对于曲线C ，去分母，得3ρ2＋ρ2sin 2θ＝12， 即3x 2＋3y 2＋y 2＝12，化简得x 24＋y 23＝1.(5分) 设x ＝2cosα，y ＝3sinα，则x 2＋y ＝cosα＋3sinα＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6，故x 2＋y 的最小值为－2.(10分) C. 【解答】由柯西不等式知[x 2＋(3y)2＋(2z)2]·⎣⎡⎦⎤12＋⎝⎛⎭⎫132＋⎝⎛⎭⎫122≥⎝⎛⎭⎫x ＋13×3y ＋12×2z 2. 因为x 2＋9y 2＋4z 2＝－m(m<0)，所以－4936m ≥(x ＋y ＋z)2，即－7－m 6≤x ＋y ＋z ≤7－m 6. 因为x ＋y ＋z≤21，所以7－m 6＝21，解得m ＝－324.(10分) 22.(第22题)【解答】以O 点为原点，OC 为x 轴，OA 为y 轴，OA 1为z 轴建立如图所示的空间直角坐标系．由题意知∠A 1AO ＝45°，A 1O ＝3，所以O(0，0，0)，C(3，0，0)，A(0，3，0)，A 1(0，0，3)，B(－3，0，0)．(1) 设AD ＝a ，则D ⎝⎛⎭⎫0，3－22a ，22a ，所以BD →＝⎝⎛⎭⎫3，3－22a ，22a ，AC →＝(3，－3，0)．要使BD ⊥AC ，则需BD →·AC →＝3－3⎝⎛⎭⎫3－22a ＝0，得a ＝22， 而AA 1＝32，所以A 1D ＝2，所以A 1D DA ＝222＝12.(5分) 故当A 1D DA ＝12时，BD ⊥AC. (2) 因为AA 1→＝(0，－3，3)，AC →＝(3，－3，0)，设平面ACA 1的法向量为n 1＝(x ，y ，z)，则⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AC →＝（x ，y ，z ）·（3，－3，0）＝3x －3y ＝0，n 1·AA 1→＝（x ，y ，z ）·（0，－3，3）＝－3y ＋3z ＝0. 令z ＝1，则x ＝3，y ＝1，所以n 1＝(3，1，1)．(7分) 又平面ABC 的一个法向量为n 2＝(0，0，1)，(8分) 所以cos 〈n 1，n 2〉＝3×0＋1×0＋1×112＋12＋（3）2×1＝55. 显然所求二面角的平面角为锐角，故所求二面角的余弦值的大小为55.(10分) 23. 【解答】(1) 当n ＝5时，(1＋6)5＝C 05＋C 156＋C 25(6)2＋…＋C 55(6)5＝[C 05＋C 25(6)2＋C 45(6)4]＋[C 156＋C 35(6)3＋C 55(6)5]＝241＋1016，故a 5＝101，b 5＝241，则a 5＋b 5＝342.(4分)(2) 方法一：(1＋6)n ＝C 0n ＋C 1n 6＋C 2n (6)2＋…＋C n n (6)n .①当n 为奇数时，b n ＝C 0n ＋C 2n (6)2＋C 4n (6)4＋…＋C n －1n (6)n －1， 当n ＝1时，b 1＝1是奇数；当n ≥3时，C 2n (6)2＋C 4n (6)4＋…＋C n －1n (6)n －1是偶数，故b n 为奇数．(8分) ②当n 为偶数时，b n ＝C 0n ＋C 2n (6)2＋C 4n (6)4＋…＋C n n (6)n ，同样可知b n 为奇数．综上可知b n 为奇数，而42 019为偶数，故不存在n ∈N *，使b n ＝42 019.(10分) 方法二：①当n ＝1时，b 1＝1是奇数．(6分)②假设n ＝k 时， (1＋6)k ＝6a k ＋b k ，其中b k 为奇数，则当n ＝k ＋1时， (1＋6)k ＋1＝(1＋6)(1＋6)k ＝(6a k ＋b k )(1＋6)＝6(a k ＋b k )＋6a k＋b k .(8分)所以b k ＋1＝6a k ＋b k ，由题设知b k 为奇数，而6a k 为偶数，故b k ＋1是奇数． 由①②知b n 为奇数，而 42 019为偶数，故不存在n ∈N *，使b n ＝42 019.(10分)。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)数学模拟试卷(二)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则A ∩B ＝________．2. 若复数z 1＝4－3i ，z 2＝1＋i ，则复数(z 1－z 2)i 的模为________．3. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为________．4. 学校从参加安全知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数，成绩≥80分记为优秀)分成6组后，得到部分频率分布直方图(如图)，则分数在[70，80)内的人数为________．5. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，且BE →＝12EC →，DF →＝FC →，则AE →·EF →＝________．6. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积小于8的概率是________．7. 已知函数f (x )＝12x ＋1，则f (log 23)＋f (log 213)＝________．8. 已知锐角θ满足sin(θ2＋π6)＝45，则cos(π6－θ)的值为________.9. 若直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的________条件．10. 已知定义在R上的函数f(x)的周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝x3，且函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，则f(2 019)＝________．11. 设点O，P，Q是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y2＝4x的交点，O为坐标原点，若△OPQ的面积为2，则双曲线的离心率为________．12. 若a≥c>0，且3a－b＋c＝0，则acb的最大值为__________．13. 已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S2≥4，S4≤16，则S9的最大值是________．14. 已知函数f(x)＝x3－3x在区间[a－1，a＋1](a≥0)上的最大值与最小值之差为4，则实数a的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，三角形PCD 所在的平面与等腰梯形ABCD 所在的平面垂直，AB ＝AD ＝12CD ，AB∥CD ，CP ⊥CD ，M 为PD 的中点．求证：(1) AM ∥平面PBC ；(2) 平面BDP ⊥平面PBC .在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A ＝－13，c ＝3，sin A ＝6sin C .(1) 求a 的值；(2) 若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆C 的上顶点A 的直线l ：y＝kx ＋b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P ，Q .(1) 若点P (－3，0)，点Q (－4，－1)，求椭圆C 的方程；(2) 若AP →＝3PQ →，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．某公司一种产品每日的网络销售量y(单位：千件)与销售价格x(单位：元/件)满足关系式y＝mx－2＋4(x－6)2，其中2<x<6，m为常数．已知销售价格为4元/件时，每日可售出产品21千件．(1) 求m的值；(2) 假设网络销售员工的工资、办公等所有开销折合为每件2元(只考虑销售出的件数)，试确定销售价格x的值，使公司每日销售产品所获得的利润最大．(结果保留一位小数)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.(1) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是等比数列；(2) 若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n .已知函数f (x )＝12x 2＋kx ＋1，g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，h (x )＝f (x )＋g ′(x )．(1) 若函数g (x )的图象在原点处的切线l 与函数f (x )的图象相切，求实数k 的值； (2) 若h (x )在[0，2]上单调递减，求实数k 的取值范围；(3) 若对于∀t ∈[0，e －1]，总存在x 1，x 2∈(－1，4)，且x 1≠x 2满足f (x i )＝g (t )(i ＝1，2)，其中e 为自然对数的底数，求实数k 的取值范围．已知[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.模拟试卷(二)1. {x|－1<x ≤0} 解析：由题意可得，A ＝{x|－1<x<1}，B ＝{y ∈R |y ≤0}＝{x |x ≤0}．故A ∩B ＝{x |－1<x ≤0}．2. 5 解析：∵ (z 1－z 2)i ＝(3－4i )i ＝4＋3i ， ∴ |(z 1－z 2)i |＝5.3. 154. 18 解析：分数在[70，80)内的人数为[1－(0.005＋0.010＋0.015×2＋0.025)×10]×60＝18.5. －3 解析：AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，EF →＝EC →＋CF →＝－12AB →＋23AD →，又AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，∴ AE →·EF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AD →⎝⎛⎭⎫－12AB →＋23AD →＝－12AB →2＋12AB →·AD →＋29AD →2＝－12×42＋12×4×3×cos π3＋29×32＝－3.6. 13解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数相乘，共有6个结果，其中乘积小于8的有2个，故所求概率为26＝13.7. 1 解析：∵ f(x)＋f(－x)＝12x ＋1＋12－x ＋1＝1，∴ f(log 23)＋f ⎝⎛⎭⎫log 213＝f(log 23)＋f(－log 23)＝1.8.2425 解析：∵ 0<θ<π2，∴ π6<θ2＋π6<5π12，∴ cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π6＝35，∴ sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2425，∴ cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2425. 9. 充分不必要 解析：l 1⊥l 2 的充要条件是m(m －3)＋1×2＝0，即m ＝1或m ＝2，∴ “m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．10. 1 解析：∵ 函数y ＝f(x ＋2)的图象关于y 轴对称，∴ 函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称．又函数f(x)的周期为4，∴ f(2 019)＝f(3)＝f(1)＝1.11. 5 解析：不妨设P(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则y 20＝4x 0，12x 0(2y 0)＝2，∴ x 0＝1，y 0＝2.又y 0＝b a x 0，∴ b a ＝2，∴ b 2a 2＝4，∴ c 2－a 2a 2＝4，∴ e ＝ 5.12.36解析：∵ 3a －b ＋c ＝0，则b ＝3a ＋c ，设t ＝c a ，则t ∈(0，1]，∴ ac b ＝ac 3a ＋c＝ca 3＋c a ＝t 3＋t 2＝13t＋t .∵ 3t ＋t ≥23，∴ ac b ≤123＝36，∴ ac b 的最大值为36. 13. 81 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵ S 2≥4，S 4≤16，∴ 2a 1＋d ≥4，4a 1＋6d ≤16，即2a 1＋d ≥4且2a 1＋3d ≤8.又S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d)，由线性规划可知，当a 1＝1，d ＝2时，S 9取得最大值81.14. 1或0 解析：f′(x)＝3(x ＋1)(x －1)，令f′(x)＝0，则x ＝－1或x ＝1，则f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．∵ a ≥0，x ∈[a －1，a ＋1]，∴ a －1≥－1，a ＋1≥1.① 当a －1<1即a<2时，f(x)min ＝f(1)＝－2，f(x)max ＝max {f(a －1)，f(a ＋1)}，又f(x)max－f(x)min ＝4，f(x)max ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （a －1）＝2f （a ＋1）≤f （a －1）或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ＋1）＝2，f （a －1）≤f （a ＋1），∴ a 的值为1或0；② 当a －1≥1即a ≥2时，f(x)min ＝f(a －1)，f(x)max ＝f(a ＋1)， ∴ f(a ＋1)－f(a －1)＝4，无解． 综上，a 的值为1或0.15. 证明：(1) 如图，取为PC 中点N ，连结MN ，BN ， ∵ M 为PD 的中点，N 为PC 中点，∴ MN ∥CD ，MN ＝12CD.又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，∴ MN ∥AB ，MN ＝AB ，∴ 四边形ABNM 为平行四边形， ∴ AM ∥BN.又AM ⊄平面PBC ，BN ⊂平面PBC ， ∴ AM ∥平面PBC.(7分)(2) 如图，在等腰中梯形ABCD 中，取CD 中点T ，连结AT ，BT. ∵ AB ＝12CD ，AB ∥CD ，∴ AB ＝DT ，AB ∥DT ，∴ 四边形ABTD 为平行四边形．又AB ＝AD ，∴ 四边形ABTD 为菱形， ∴ AT ⊥BD.同理，四边形ABCT 为菱形，∴ AT ∥BC. ∵ AT ⊥BD ，∴ BC ⊥BD.∵ 平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，CP ⊥CD ，CP ⊂平面PCD ， ∴ CP ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ， ∴ CP ⊥BD.∵ BC ⊥BD ，BC ∩CP ＝C ，∴ BD ⊥平面PBC. 又BD ⊂平面BDP ，∴平面BDP ⊥平面PBC.(14分) 16. 解：(1) 由题知，c ＝3，sin A ＝6sin C.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a ＝csin C ·sin A ＝3 2.(6分)(2) ∵ cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－13，且0<A<π，∴ sin A ＝63. 由于角A 为锐角，得cos A ＝33. 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴ b 2－2b －15＝0， 解得b ＝5或b ＝－3(舍去)， 所以S △ABC ＝12bc sin A ＝522.(14分)17. 解：(1) 由P 在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上得b ＝3， 又点Q 在椭圆C 上，得（－4）2a 2＋（－1）232＝1，解得a 2＝18，∴ 椭圆C 的方程是x 218＋y 29＝1.(6分)(2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋y 2＝b 2，得x ＝0或x P ＝－2kb 1＋k 2；由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝0或x Q ＝－2kba 2a 2k 2＋b2.∵ AP →＝3PQ → ，∴ AP →＝34AQ →，∴ 2kba 2k 2a 2＋b 2·34＝2kb 1＋k 2，即a 2a 2k 2＋b 2·34＝11＋k2，∴ k 2＝3a 2－4b 2a 2＝4e 2－1. ∵ k 2>0，∴ 4e 2>1，即e>12.又0<e<1，∴ 12<e<1，即离心率e 的取值范围是(12，1)．(14分)18. 解：(1) 因为当x ＝4时，y ＝21， 代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m2＋16＝21，解得m ＝10. (6分)(2) 由(1)可知，产品每日的销售量为 y ＝10x －2＋4(x －6)2， 所以每日销售产品所获得的利润为f(x)＝(x －2)·⎣⎡⎦⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x<6)，从而f′(x)＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x<6).令f′(x)＝0，得x ＝103，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x ＝103≈3.3时，函数f(x)取得最大值，故当销售价格约为3.3元/件时，该公司每日销售产品所获得的利润最大．(16分) 19. (1) 证明：设b n ＝a 2n －32，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－32a 2n －32＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－32a 2n －32＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－32a 2n －32＝13a 2n －12a 2n －32＝13，所以数列{a 2n －32}是以a 2－32即－16为首项，以13为公比的等比数列．(6分)(2) 解：由(1)得b n ＝a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ，即a 2n ＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ＋32，由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝－12·⎝⎛⎭⎫13n －1－6n ＋152，所以 a 2n －1＋a 2n ＝－12·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9， 所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n ) ＝－2⎣⎡⎦⎤13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －6(1＋2＋…＋n)＋9n ＝－2·13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－6·n （n ＋1）2＋9n＝⎝⎛⎭⎫13n －1－3n 2＋6n ＝⎝⎛⎭⎫13n －3(n －1)2＋2， 显然当n ∈N *时，{S 2n }单调递减，又当n ＝1时，S 2＝73＞0，当n ＝2时，S 4＝－89＜0，所以当n ≥2时，S 2n ＜0；S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝⎛⎭⎫13n －52－3n 2＋6n ，同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1＞0.综上，满足S n >0的所有正整数n 为1和2.(16分) 20. 解：(1) 函数g(x)的定义域为(－1，＋∞)， g ′(x)＝ln (x ＋1)＋1，则g(0)＝0，g ′(0)＝1，∴ 直线l ：y ＝x.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2＋kx ＋1，y ＝x ，消去y ，得x 2＋2(k －1)x ＋2＝0.∵ l 与函数f(x)的图象相切，∴ Δ＝4(k －1)2－8＝0⇒k ＝1±2.(4分)(2) 由题意知，h(x)＝12x 2＋kx ＋1＋ln (x ＋1)＋1，h ′(x)＝x ＋k ＋1x ＋1.令φ(x)＝x ＋k ＋1x ＋1，∵ φ′(x)＝1－1（x ＋1）2＝x （x ＋2）（x ＋1）2>0对x ∈[0，2]恒成立， ∴ φ(x)＝x ＋k ＋1x ＋1，即h′(x)在[0，2]上为增函数，∴ h ′(x)max ＝h′(2)＝k ＋73.∵ h(x)在[0，2]上单调递减，∴ h ′(x)≤0对x ∈[0，2]恒成立， 即h′(x)max ＝k ＋73≤0，∴ k ≤－73，即k 的取值范围是(－∞，－73]．(8分)(3) 当x ∈[0，e －1]时，g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1>0，∴ g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)在区间[0，e －1]上为增函数， ∴ x ∈[0，e －1]时，0≤g (x )≤e 2. ∵ f (x )＝12x 2＋kx ＋1的对称轴为直线x ＝－k ，∴ 为满足题意，必须－1<－k <4， 此时f (x )min ＝f (－k )＝1－12k 2，f (x )的值恒小于f (－1)和f (4)中最大的一个． ∵ 对于∀t ∈[0，e －1]，总存在x 1，x 2∈(－1，4)， 且x 1≠x 2满足f (x i )＝g (t )(i ＝1，2)， ∴ ⎣⎡⎦⎤0，e 2⊆(f (x )min ，min{f (－1)，f (4)})， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1<－k <4，f （x ）min<0，e2<f （4），e 2<f （－1）⇒⎩⎪⎨⎪⎧－4<k <1，1－12k 2<0，e 2<4k ＋9，e 2<32－k ，∴e 8－94<k <－2， 即k 的取值范围是(e 8－94，－2)．(16分)。
江苏省2019年普通高等学校统一招生考试数学模拟试题(二)
ABP 的面积为
▲．
14．已知函数 f ( x) ex 1 x 2 ( e 为自然对数的底数 )与 g ( x ) x 2 ax a 3 ，若存在 x1, x2 ，
使得 f ( x1 ) g (x2 ) 0 ，且 | x1 x2 |≤ 1 ，则实数 a 的取值范围是
▲．
二、解答题：本大题共 6 小题，共计 90 分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出
1．已知集合 A {1, 2} ， B {1, 3, a} ，且 A B B ，则实数 a 的值是 ▲ ． 2．设复数 z 满足 z+|z| 2 i ( i 为虚数单位 ) ，则 z 的实部为 ▲ ．
3．用分层抽样的方法从某校学生中抽取一个容量为
30 的样本， 其中高一年级抽 12 人，高
三年级抽 8 人，若该校高二年级共有学生 500 人，则该校学生总数为
▲
4．一个口袋中装有大小与形状相同但颜色不同的
3 个球，现随机有放回地摸取
次摸出 1 个球，则 2 次所摸出球的颜色相同的概率是
▲ ．
开始
5．已知双曲线
2
ax
2
y 1 的离心率为
5 ，则实数 a 的值为 ▲
．
6．右图是一个算法流程图，则输出 S 的值是 ▲ ．
S 2, n
． 2 次，每
1
7．若 x, y 满足不等式组
文字说明、证明过程或演算步骤．
15． ( 本小题满分 14 分 )
在锐角 ABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ， b＝ 4， c＝ 6，且 a sin B 2 3 .
(1)求角 A的大小； (2)若 D 为 BC 的中点，求 AD 的长 .
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)数学模拟试卷(二)含答案
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则A ∩B ＝________．2. 若复数z 1＝4－3i ，z 2＝1＋i ，则复数(z 1－z 2)i 的模为________．3. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为________．4. 学校从参加安全知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数，成绩≥80分记为优秀)分成6组后，得到部分频率分布直方图(如图)，则分数在[70，80)内的人数为________．5. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，且BE →＝12EC →，DF →＝FC →，则AE →·EF →＝________．6. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积小于8的概率是________．7. 已知函数f (x )＝12x ＋1，则f (log 23)＋f (log 213)＝________．8. 已知锐角θ满足sin(θ2＋π6)＝45，则cos(π6－θ)的值为________.9. 若直线l1：mx＋y＋1＝0，l2：(m－3)x＋2y－1＝0，则“m＝1”是“l1⊥l2”的________条件．10. 已知定义在R上的函数f(x)的周期为4，当x∈[0，2]时，f(x)＝x3，且函数y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称，则f(2 019)＝________．11. 设点O，P，Q是双曲线C：x2a2－y2b2＝1(a>0，b>0)的渐近线与抛物线y2＝4x的交点，O为坐标原点，若△OPQ的面积为2，则双曲线的离心率为________．12. 若a≥c>0，且3a－b＋c＝0，则acb的最大值为__________．13. 已知S n是等差数列{a n}的前n项和，若S2≥4，S4≤16，则S9的最大值是________．14. 已知函数f(x)＝x3－3x在区间[a－1，a＋1](a≥0)上的最大值与最小值之差为4，则实数a的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，三角形PCD 所在的平面与等腰梯形ABCD 所在的平面垂直，AB ＝AD ＝12CD ，AB∥CD ，CP ⊥CD ，M 为PD 的中点．求证：(1) AM ∥平面PBC ；(2) 平面BDP ⊥平面PBC .在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A ＝－13，c ＝3，sin A ＝6sin C .(1) 求a 的值；(2) 若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积．如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆C 的上顶点A 的直线l ：y＝kx ＋b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P ，Q .(1) 若点P (－3，0)，点Q (－4，－1)，求椭圆C 的方程；(2) 若AP →＝3PQ →，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．某公司一种产品每日的网络销售量y(单位：千件)与销售价格x(单位：元/件)满足关系式y＝mx－2＋4(x－6)2，其中2<x<6，m为常数．已知销售价格为4元/件时，每日可售出产品21千件．(1) 求m的值；(2) 假设网络销售员工的工资、办公等所有开销折合为每件2元(只考虑销售出的件数)，试确定销售价格x的值，使公司每日销售产品所获得的利润最大．(结果保留一位小数)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.(1) 求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是等比数列；(2) 若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n .已知函数f (x )＝12x 2＋kx ＋1，g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，h (x )＝f (x )＋g ′(x )．(1) 若函数g (x )的图象在原点处的切线l 与函数f (x )的图象相切，求实数k 的值； (2) 若h (x )在[0，2]上单调递减，求实数k 的取值范围；(3) 若对于∀t ∈[0，e －1]，总存在x 1，x 2∈(－1，4)，且x 1≠x 2满足f (x i )＝g (t )(i ＝1，2)，其中e 为自然对数的底数，求实数k 的取值范围．已知[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.模拟试卷(二)1. {x|－1<x ≤0} 解析：由题意可得，A ＝{x|－1<x<1}，B ＝{y ∈R |y ≤0}＝{x |x ≤0}．故A ∩B ＝{x |－1<x ≤0}．2. 5 解析：∵ (z 1－z 2)i ＝(3－4i )i ＝4＋3i ， ∴ |(z 1－z 2)i |＝5.3. 154. 18 解析：分数在[70，80)内的人数为[1－(0.005＋0.010＋0.015×2＋0.025)×10]×60＝18.5. －3 解析：AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，EF →＝EC →＋CF →＝－12AB →＋23AD →，又AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，∴ AE →·EF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AD →⎝⎛⎭⎫－12AB →＋23AD →＝－12AB →2＋12AB →·AD →＋29AD →2＝－12×42＋12×4×3×cos π3＋29×32＝－3.6. 13解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数相乘，共有6个结果，其中乘积小于8的有2个，故所求概率为26＝13.7. 1 解析：∵ f(x)＋f(－x)＝12x ＋1＋12－x ＋1＝1，∴ f(log 23)＋f ⎝⎛⎭⎫log 213＝f(log 23)＋f(－log 23)＝1.8.2425 解析：∵ 0<θ<π2，∴ π6<θ2＋π6<5π12，∴ cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π6＝35，∴ sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2425，∴ cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2425. 9. 充分不必要 解析：l 1⊥l 2 的充要条件是m(m －3)＋1×2＝0，即m ＝1或m ＝2，∴ “m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．10. 1 解析：∵ 函数y ＝f(x ＋2)的图象关于y 轴对称，∴ 函数y ＝f(x)的图象关于直线x ＝2对称．又函数f(x)的周期为4，∴ f(2 019)＝f(3)＝f(1)＝1.11. 5 解析：不妨设P(x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则y 20＝4x 0，12x 0(2y 0)＝2，∴ x 0＝1，y 0＝2.又y 0＝b a x 0，∴ b a ＝2，∴ b 2a 2＝4，∴ c 2－a 2a 2＝4，∴ e ＝ 5.12.36解析：∵ 3a －b ＋c ＝0，则b ＝3a ＋c ，设t ＝c a ，则t ∈(0，1]，∴ ac b ＝ac 3a ＋c＝ca 3＋c a ＝t 3＋t 2＝13t＋t .∵ 3t ＋t ≥23，∴ ac b ≤123＝36，∴ ac b 的最大值为36. 13. 81 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵ S 2≥4，S 4≤16，∴ 2a 1＋d ≥4，4a 1＋6d ≤16，即2a 1＋d ≥4且2a 1＋3d ≤8.又S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d)，由线性规划可知，当a 1＝1，d ＝2时，S 9取得最大值81.14. 1或0 解析：f′(x)＝3(x ＋1)(x －1)，令f′(x)＝0，则x ＝－1或x ＝1，则f(x)在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．∵ a ≥0，x ∈[a －1，a ＋1]，∴ a －1≥－1，a ＋1≥1.① 当a －1<1即a<2时，f(x)min ＝f(1)＝－2，f(x)max ＝max {f(a －1)，f(a ＋1)}，又f(x)max－f(x)min ＝4，f(x)max ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （a －1）＝2f （a ＋1）≤f （a －1）或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ＋1）＝2，f （a －1）≤f （a ＋1），∴ a 的值为1或0；② 当a －1≥1即a ≥2时，f(x)min ＝f(a －1)，f(x)max ＝f(a ＋1)， ∴ f(a ＋1)－f(a －1)＝4，无解． 综上，a 的值为1或0.15. 证明：(1) 如图，取为PC 中点N ，连结MN ，BN ， ∵ M 为PD 的中点，N 为PC 中点，∴ MN ∥CD ，MN ＝12CD.又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，∴ MN ∥AB ，MN ＝AB ，∴ 四边形ABNM 为平行四边形， ∴ AM ∥BN.又AM ⊄平面PBC ，BN ⊂平面PBC ， ∴ AM ∥平面PBC.(7分)(2) 如图，在等腰中梯形ABCD 中，取CD 中点T ，连结AT ，BT. ∵ AB ＝12CD ，AB ∥CD ，∴ AB ＝DT ，AB ∥DT ，∴ 四边形ABTD 为平行四边形．又AB ＝AD ，∴ 四边形ABTD 为菱形， ∴ AT ⊥BD.同理，四边形ABCT 为菱形，∴ AT ∥BC. ∵ AT ⊥BD ，∴ BC ⊥BD.∵ 平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，CP ⊥CD ，CP ⊂平面PCD ， ∴ CP ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ， ∴ CP ⊥BD.∵ BC ⊥BD ，BC ∩CP ＝C ，∴ BD ⊥平面PBC. 又BD ⊂平面BDP ，∴平面BDP ⊥平面PBC.(14分) 16. 解：(1) 由题知，c ＝3，sin A ＝6sin C.由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a ＝csin C ·sin A ＝3 2.(6分)(2) ∵ cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－13，且0<A<π，∴ sin A ＝63. 由于角A 为锐角，得cos A ＝33. 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴ b 2－2b －15＝0，解得b ＝5或b ＝－3(舍去)，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝522.(14分) 17. 解：(1) 由P 在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上得b ＝3，又点Q 在椭圆C 上，得（－4）2a 2＋（－1）232＝1， 解得a 2＝18，∴ 椭圆C 的方程是x 218＋y 29＝1.(6分) (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋y 2＝b 2，得x ＝0或x P ＝－2kb 1＋k 2； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝0或x Q ＝－2kba 2a 2k 2＋b 2. ∵ AP →＝3PQ → ，∴ AP →＝34AQ →， ∴ 2kba 2k 2a 2＋b 2·34＝2kb 1＋k 2，即a 2a 2k 2＋b 2·34＝11＋k2，∴ k 2＝3a 2－4b 2a 2＝4e 2－1. ∵ k 2>0，∴ 4e 2>1，即e>12. 又0<e<1，∴ 12<e<1， 即离心率e 的取值范围是(12，1)．(14分) 18. 解：(1) 因为当x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m 2＋16＝21， 解得m ＝10. (6分)(2) 由(1)可知，产品每日的销售量为 y ＝10x －2＋4(x －6)2， 所以每日销售产品所获得的利润为f(x)＝(x －2)·⎣⎡⎦⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x<6)，从而f′(x)＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x<6).令f′(x)＝0，得x ＝103，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x)>0，函数f(x)单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x)<0，函数f(x)单调递减，所以当x ＝103≈3.3时，函数f(x)取得最大值， 故当销售价格约为3.3元/件时，该公司每日销售产品所获得的利润最大．(16分)19. (1) 证明：设b n ＝a 2n －32，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－32a 2n －32＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－32a 2n －32＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－32a 2n －32＝13a 2n －12a 2n －32＝13， 所以数列{a 2n －32}是以a 2－32即－16为首项，以13为公比的等比数列．(6分) (2) 解：由(1)得b n ＝a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ，即a 2n ＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ＋32， 由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝－12·⎝⎛⎭⎫13n －1－6n ＋152， 所以 a 2n －1＋a 2n ＝－12·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9， 所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎡⎦⎤13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －6(1＋2＋…＋n)＋9n ＝－2·13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－6·n （n ＋1）2＋9n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1－3n 2＋6n ＝⎝⎛⎫13n －3(n －1)2＋2， 显然当n ∈N *时，{S 2n }单调递减，又当n ＝1时，S 2＝73＞0，当n ＝2时，S 4＝－89＜0， 所以当n ≥2时，S 2n ＜0；S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝⎛⎭⎫13n －52－3n 2＋6n ， 同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1＞0.综上，满足S n >0的所有正整数n 为1和2.(16分)20. 解：(1) 函数g(x)的定义域为(－1，＋∞)，g ′(x)＝ln (x ＋1)＋1，则g(0)＝0，g ′(0)＝1，∴ 直线l ：y ＝x.联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2＋kx ＋1，y ＝x ，消去y ，得x 2＋2(k －1)x ＋2＝0.∵ l 与函数f(x)的图象相切，∴ Δ＝4(k －1)2－8＝0⇒k ＝1±2.(4分)(2) 由题意知，h(x)＝12x 2＋kx ＋1＋ln (x ＋1)＋1，h ′(x)＝x ＋k ＋1x ＋1. 令φ(x)＝x ＋k ＋1x ＋1， ∵ φ′(x)＝1－1（x ＋1）2＝x （x ＋2）（x ＋1）2>0对x ∈[0，2]恒成立， ∴ φ(x)＝x ＋k ＋1x ＋1，即h′(x)在[0，2]上为增函数， ∴ h ′(x)max ＝h′(2)＝k ＋73. ∵ h(x)在[0，2]上单调递减，∴ h ′(x)≤0对x ∈[0，2]恒成立，即h′(x)max ＝k ＋73≤0，∴ k ≤－73， 即k 的取值范围是(－∞，－73]．(8分) (3) 当x ∈[0，e －1]时，g ′(x )＝ln(x ＋1)＋1>0，∴ g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)在区间[0，e －1]上为增函数，∴ x ∈[0，e －1]时，0≤g (x )≤e 2. ∵ f (x )＝12x 2＋kx ＋1的对称轴为直线x ＝－k ， ∴ 为满足题意，必须－1<－k <4，此时f (x )min ＝f (－k )＝1－12k 2， f (x )的值恒小于f (－1)和f (4)中最大的一个．∵ 对于∀t ∈[0，e －1]，总存在x 1，x 2∈(－1，4)，且x 1≠x 2满足f (x i )＝g (t )(i ＝1，2)，∴ ⎣⎡⎦⎤0，e 2⊆(f (x )min ，min{f (－1)，f (4)})， ∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1<－k <4，f （x ）min<0，e 2<f （4），e 2<f （－1）⇒⎩⎪⎨⎪⎧－4<k <1，1－12k 2<0，e 2<4k ＋9，e 2<32－k ， ∴ e 8－94<k <－2， 即k 的取值范围是(e 8－94，－2)．(16分)。
江苏省2019高考数学模拟试题(2)南师大《数学之友》
2019高考数学模拟试卷（2）2019．5一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡相应的位置上．．．．．．．．．．） 1．若集合A ＝{1，2，3}，B ＝{1，3，4}，则A B ＝ ．2．已知复数z 满足i 12iz=-，则复数z 的共轭复数为 ． 3．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ．4．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30)．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 ．5．如图所示的算法流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为 ．第4题第5题6．等比数列{}n a 中，16320a a +=，3451a a a =，则数列的前6项和为 ． 7．设函数sin()3y x πω=+(x ∈R)，当且仅当12x π=时，y 取得最大值，则正数ω的最小值为 ．8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是抛物线24y x =与双曲线22213x y b-=(b ＞0)的一个交点．若抛物线的焦点为F ，且PF ＝4，则双曲线的离心率为 ．9．四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且AB ＝BC ＝CD ＝1cm ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 cm 2．10．已知函数2()2x f x x +=+，x ∈R ，则2(2)(34)f x x f x -<-的解集是 ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为22420x y x y +-+=．若直线3y x b =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数b 的取值范围是 ． 12．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3BE ，DC ＝λDF ，若AE AF ⋅＝1，则λ的值为 ．13．设函数32()f x x ax bx c =+++的三个零点1x ，2x ，3x 是公差为3的等差数列，则()f x 的极大值为 ．14．已知α，β∈[0，4π]，则sin()2sin()αβαβ-++的最大值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量m ＝(b ，a ﹣2c )，n ＝(cosA ﹣2cosC ，cosB)，且m ⊥n ．（1）求sin Csin A的值； （2）若a ＝2，35m =ABC 的面积S ．16．（本题满分14分）已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AA 1，CC 1的中点，AC ⊥BE ，点F 在线段AB 上，且AB ＝4AF ．（1）求证：BC ⊥C 1D ； （2）若M 为线段BE 上一点，试确定M 在线段BE 上的位置，使得C 1D ∥平面B 1FM ．17．（本题满分14分）为美化城市环境，相关部门需对一圆心角为120°的扇形状中心广场进行改造出新，为保障市民安全，施工队对广场进行围挡施工．如图，围挡分别经过扇形两边延长线上两点P，R及圆周上两点C，D，围成一个四边形OPQR，其中PQ，QR分别与扇形圆弧相切于C，D两点．已知该扇形所在圆的半径OA长30米，∠COD为60°，设∠BOC为θ．（1）求围挡内部四边形OCQD的面积；（2）为减少对市民出行的影响，围挡部分面积要尽可能小，求该围挡内部四边形OPQR 面积的最小值？并写出此时θ的值．18．（本题满分16分）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22221x ya b+=(a＞b＞0)，过右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，且OA⊥OB．（1）当AB与x轴垂直时，求椭圆C的离心率；（2）设AB的斜率为k，试用a，b表示k；（3）求椭圆C的离心率的范围．。
2019年高考数学模拟试题2版带有答案
1 V= (S1+ S1 S2 +S2) h
3
其中 S1、 S2 表示台体的上、下底面积，
V= 4 πR3
3
其中 R 表示球的半径
h 表示棱台的高 .
选择题部分 （共 40 分）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的 .
1.( 原创题 ) 已知集合 P
bn . 3 2n
【命题意图】 本题考查数列的概念及通项公式的求解，前
n 项求和问题，同时考查转化与化归、整体思想
的能力 .
21.( 原创题 ) （本题满分 15 分）已知抛物线高三数C学：试y题2 卷第8 x 的5焦页点，共为 6F页，过 F 作直线 l 与抛物线 C 交于 A, B 两点，分别过 A, B 作抛物线 C 的切线，交 y 轴于 M , N 两点，且两切线相交于点 E .
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18．（本小题满分 14 分）
高三数学答题卷第 1 页，共 4 页
19．（本小题满分 15 分）
D1
A1
A B1
B
C1 D
C
20．（本小题满分 15 分）
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
高三数学答题卷第 2 页，共 4 页
21．（本小题满分 15 分）
22．（本小题满分 15 分）
高三数学答题卷第 3 页，共 4 页
x ym
区域的面积为 1 ，则 m 6
A. 13 6
B. 13 3
C. 3
D. 6
【命题意图】 本题主要考查数形结合的思想，以及综合运用函数思想解题的能力
2019届高考数学(江苏卷)模拟冲刺卷(2)(含附加及详细解答)
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)数 学(满分160分，考试时间120分钟)一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分. 不需写出解答过程，请把答案直接写在指定位置上．1. 设函数f (x )＝lg(1－x 2)，集合A ＝{x |y ＝f (x )}，B ＝{y |y ＝f (x )}，则A ∩B ＝________．2. 若复数z 1＝4－3i ，z 2＝1＋i ，则复数(z 1－z 2)i 的模为________．3. 如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出S 的值为________．4. 学校从参加安全知识竞赛的同学中，选取60名同学将其成绩(百分制，均为整数，成绩≥80分记为优秀)分成6组后，得到部分频率分布直方图(如图)，则分数在[70，80)内的人数为________．5. 如图，在▱ABCD 中，AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，点E ，F 分别在BC ，DC 边上，且BE →＝12EC →，DF →＝FC →，则AE →·EF →＝________．6. 从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数，则所取2个数的乘积小于8的概率是________．7. 已知函数f (x )＝12x ＋1，则f (log 23)＋f (log 213)＝________． 8. 已知锐角θ满足sin(θ2＋π6)＝45，则cos(π6－θ)的值为________. 9. 若直线l 1：mx ＋y ＋1＝0，l 2：(m －3)x ＋2y －1＝0，则“m ＝1”是“l 1⊥l 2”的________条件．10. 已知定义在R 上的函数f (x )的周期为4，当x ∈[0，2]时，f (x )＝x 3，且函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，则f (2 019)＝________．11. 设点O ，P ，Q 是双曲线C ：x 2a 2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的渐近线与抛物线y 2＝4x 的交点，O 为坐标原点，若△OPQ 的面积为2，则双曲线的离心率为________．12. 若a ≥c >0，且3a －b ＋c ＝0，则ac b的最大值为__________． 13. 已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 2≥4，S 4≤16，则S 9的最大值是________．14. 已知函数f (x )＝x 3－3x 在区间[a －1，a ＋1](a ≥0)上的最大值与最小值之差为4，则实数a 的值为________．二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．15. (本小题满分14分)如图，三角形PCD 所在的平面与等腰梯形ABCD 所在的平面垂直，AB ＝AD ＝12CD ，AB ∥CD ，CP ⊥CD ，M 为PD 的中点．求证：（1）AM ∥平面PBC ；（2）平面BDP ⊥平面PBC .16. (本小题满分14分)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，已知cos 2A ＝－13，c ＝3，sin A ＝6sin C . （1）求a 的值；（2） 若角A 为锐角，求b 的值及△ABC 的面积．17. (本小题满分14分)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)，圆O ：x 2＋y 2＝b 2，过椭圆C 的上顶点A 的直线l ：y ＝kx ＋b 分别交圆O 、椭圆C 于不同的两点P ，Q .（1）若点P (－3，0)，点Q (－4，－1)，求椭圆C 的方程；（2）若AP →＝3PQ →，求椭圆C 的离心率e 的取值范围．18. (本小题满分16分)某公司一种产品每日的网络销售量y (单位：千件)与销售价格x (单位：元/件)满足关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，其中2<x <6，m 为常数．已知销售价格为4元/件时，每日可售出产品21千件．（1）求m 的值；（2）假设网络销售员工的工资、办公等所有开销折合为每件2元(只考虑销售出的件数)，试确定销售价格x 的值，使公司每日销售产品所获得的利润最大．(结果保留一位小数)19. (本小题满分16分)已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ，n 为偶数.（1）求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是等比数列； （2）若S n 是数列{a n }的前n 项和，求满足S n >0的所有正整数n .20. (本小题满分16分)已知函数f (x )＝12x 2＋kx ＋1，g (x )＝(x ＋1)ln(x ＋1)，h (x )＝f (x )＋g ′(x )． （1）若函数g (x )的图象在原点处的切线l 与函数f (x )的图象相切，求实数k 的值；（2）若h (x )在[0，2]上单调递减，求实数k 的取值范围；（3）若对于∀t ∈[0，e －1]，总存在x 1，x 2∈(－1，4)，且x 1≠x 2满足f (x i )＝g (t )(i ＝1，2)，其中e 为自然对数的底数，求实数k 的取值范围．已知[ln(x ＋1)]′＝1x ＋1.2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)数学附加分(满分40分，考试时间30分钟)21. 【选做题】 从A ，B ，C 三题中选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．A. (选修42：矩阵与变换)设二阶矩阵A ，B 满足A －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234，(BA )－1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001，求B －1.B. (选修44：坐标系与参数方程)已知直线l 的极坐标方程为ρsin(θ－π3)＝3，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)，设点P 是曲线C 上的任意一点，求P 到直线l 的距离的最大值．C. (选修45：不等式选讲)已知a ≥0，b ≥0，求证：a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4)．【必做题】第22题、第23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. 甲、乙两人投篮命中的概率分别为23与12，各自相互独立．现两人做投篮游戏，共比赛3局，每局每人各投一球．（1）求比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率；（2）设ξ表示比赛结束后甲、乙两人进球数的差的绝对值，求ξ的分布列和数学期望E(ξ)．23. 设集合A，B是非空集合M的两个不同子集，满足：A不是B的子集，且B也不是A的子集．（1）若M＝{a1，a2，a3，a4}，直接写出所有不同的有序集合对(A，B)的个数；（2）若M＝{a1，a2，a3，…，a n}，求所有不同的有序集合对(A，B)的个数．2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)1. {x |－1<x ≤0} 解析：由题意可得，A ＝{x |－1<x <1}，B ＝{y ∈R |y ≤0}＝{x |x ≤0}．故A ∩B ＝{x |－1<x ≤0}．2. 5 解析：∵ (z 1－z 2)i ＝(3－4i )i ＝4＋3i ，∴ |(z 1－z 2)i |＝5.3. 154. 18 解析：分数在[70，80)内的人数为[1－(0.005＋0.010＋0.015×2＋0.025)×10]×60＝18.5. －3 解析：AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋13AD →，EF →＝EC →＋CF →＝－12AB →＋23AD →，又AB ＝4，AD ＝3，∠DAB ＝π3，∴ AE →·EF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋13AD →⎝⎛⎭⎫－12AB →＋23AD →＝－12AB →2＋12AB →·AD →＋29AD →2＝－12×42＋12×4×3×cos π3＋29×32＝－3. 6. 13解析：从1，2，4，8这四个数中一次随机地取2个数相乘，共有6个结果，其中乘积小于8的有2个，故所求概率为26＝13. 7. 1 解析：∵ f (x )＋f (－x )＝12x ＋1＋12－x ＋1＝1，∴ f (log 23)＋f ⎝⎛⎭⎫log 213＝f (log 23)＋f (－log 23)＝1.8. 2425 解析：∵ 0<θ<π2，∴ π6<θ2＋π6<5π12，∴ cos ⎝⎛⎭⎫θ2＋π6＝35，∴ sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2425，∴ cos ⎝⎛⎭⎫π6－θ＝cos ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π3＝2425. 9. 充分不必要 解析：l 1⊥l 2 的充要条件是m (m －3)＋1×2＝0，即m ＝1或m ＝2，∴ “m ＝1”是“l 1⊥l 2”的充分不必要条件．10. 1 解析：∵ 函数y ＝f (x ＋2)的图象关于y 轴对称，∴ 函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝2对称．又函数f (x )的周期为4，∴ f (2 019)＝f (3)＝f (1)＝1.11. 5 解析：不妨设P (x 0，y 0)(x 0>0，y 0>0)，则y 20＝4x 0，12x 0(2y 0)＝2，∴ x 0＝1，y 0＝2.又y 0＝b a x 0，∴ b a ＝2，∴ b 2a 2＝4，∴ c 2－a 2a 2＝4，∴ e ＝ 5. 12. 36 解析：∵ 3a －b ＋c ＝0，则b ＝3a ＋c ，设t ＝c a ，则t ∈(0，1]，∴ ac b ＝ac 3a ＋c ＝ca 3＋c a ＝t 3＋t 2＝13t＋t .∵ 3t ＋t ≥23，∴ ac b ≤123＝36，∴ ac b 的最大值为36. 13. 81 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，∵ S 2≥4，S 4≤16，∴ 2a 1＋d ≥4，4a 1＋6d ≤16，即2a 1＋d ≥4且2a 1＋3d ≤8.又S 9＝9a 1＋9×82d ＝9(a 1＋4d )，由线性规划可知，当a 1＝1，d ＝2时，S 9取得最大值81.14. 1或0 解析：f ′(x )＝3(x ＋1)(x －1)，令f ′(x )＝0，则x ＝－1或x ＝1，则f (x )在(－∞，－1)，(1，＋∞)上单调递增，在(－1，1)上单调递减．∵ a ≥0，x ∈[a －1，a ＋1]，∴ a －1≥－1，a ＋1≥1.① 当a －1<1即a <2时，f (x )min ＝f (1)＝－2，f (x )max ＝max {f (a －1)，f (a ＋1)}，又f (x )max －f (x )min＝4，f (x )max ＝2，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧f （a －1）＝2f （a ＋1）≤f （a －1）或⎩⎪⎨⎪⎧f （a ＋1）＝2，f （a －1）≤f （a ＋1），∴ a 的值为1或0； ② 当a －1≥1即a ≥2时，f (x )min ＝f (a －1)，f (x )max ＝f (a ＋1)，∴ f (a ＋1)－f (a －1)＝4，无解．综上，a 的值为1或0.15. 证明：(1) 如图，取为PC 中点N ，连结MN ，BN ，∵ M 为PD 的中点，N 为PC 中点，∴ MN ∥CD ，MN ＝12CD .又AB ∥CD ，AB ＝12CD ，∴ MN ∥AB ，MN ＝AB ， ∴ 四边形ABNM 为平行四边形，∴ AM ∥BN .又AM ⊄平面PBC ，BN ⊂平面PBC ，∴ AM ∥平面PBC .(7分)(2) 如图，在等腰中梯形ABCD 中，取CD 中点T ，连结AT ，BT .∵ AB ＝12CD ，AB ∥CD ，∴ AB ＝DT ，AB ∥DT ， ∴ 四边形ABTD 为平行四边形．又AB ＝AD ，∴ 四边形ABTD 为菱形，∴ AT ⊥BD .同理，四边形ABCT 为菱形，∴ AT ∥BC .∵ AT ⊥BD ，∴ BC ⊥BD .∵ 平面PCD ⊥平面ABCD ，平面PCD ∩平面ABCD ＝CD ，CP ⊥CD ，CP ⊂平面PCD ， ∴ CP ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，∴ CP ⊥BD .∵ BC ⊥BD ，BC ∩CP ＝C ，∴ BD ⊥平面PBC .又BD ⊂平面BDP ，∴平面BDP ⊥平面PBC .(14分)16. 解：(1) 由题知，c ＝3，sin A ＝6sin C .由正弦定理a sin A ＝c sin C ，得a ＝c sin C·sin A ＝3 2.(6分) (2) ∵ cos 2A ＝1－2sin 2A ＝－13，且0<A <π， ∴ sin A ＝63. 由于角A 为锐角，得cos A ＝33. 由余弦定理，a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，∴ b 2－2b －15＝0，解得b ＝5或b ＝－3(舍去)，所以S △ABC ＝12bc sin A ＝522.(14分) 17. 解：(1) 由P 在圆O ：x 2＋y 2＝b 2上得b ＝3，又点Q 在椭圆C 上，得（－4）2a 2＋（－1）232＝1， 解得a 2＝18，∴ 椭圆C 的方程是x 218＋y 29＝1.(6分) (2) 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2＋y 2＝b 2，得x ＝0或x P ＝－2kb 1＋k 2； 由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋b ，x 2a 2＋y 2b 2＝1，得x ＝0或x Q ＝－2kba 2a 2k 2＋b 2. ∵ AP →＝3PQ → ，∴ AP →＝34AQ →，∴ 2kba 2k 2a 2＋b 2·34＝2kb 1＋k 2，即a 2a 2k 2＋b 2·34＝11＋k 2，∴ k 2＝3a 2－4b 2a 2＝4e 2－1. ∵ k 2>0，∴ 4e 2>1，即e >12. 又0<e <1，∴ 12<e <1， 即离心率e 的取值范围是(12，1)．(14分) 18. 解：(1) 因为当x ＝4时，y ＝21，代入关系式y ＝m x －2＋4(x －6)2，得m 2＋16＝21， 解得m ＝10. (6分)(2) 由(1)可知，产品每日的销售量为y ＝10x －2＋4(x －6)2， 所以每日销售产品所获得的利润为f (x )＝(x －2)·⎣⎡⎦⎤10x －2＋4（x －6）2＝10＋4(x －6)2(x －2)＝4x 3－56x 2＋240x －278(2<x <6)，从而f ′(x )＝12x 2－112x ＋240＝4(3x －10)(x －6)(2<x <6).令f ′(x )＝0，得x ＝103，且在⎝⎛⎭⎫2，103上，f ′(x )>0，函数f (x )单调递增；在⎝⎛⎭⎫103，6上，f ′(x )<0，函数f (x )单调递减，所以当x ＝103≈3.3时，函数f (x )取得最大值， 故当销售价格约为3.3元/件时，该公司每日销售产品所获得的利润最大．(16分)19. (1) 证明：设b n ＝a 2n －32，因为b n ＋1b n ＝a 2n ＋2－32a 2n －32＝13a 2n ＋1＋（2n ＋1）－32a 2n －32＝13（a 2n －6n ）＋（2n ＋1）－32a 2n －32＝13a 2n －12a 2n －32＝13， 所以数列{a 2n －32}是以a 2－32即－16为首项，以13为公比的等比数列．(6分) (2) 解：由(1)得b n ＝a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ，即a 2n ＝－12·⎝⎛⎭⎫13n ＋32， 由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1)，得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝－12·⎝⎛⎭⎫13n －1－6n ＋152， 所以 a 2n －1＋a 2n ＝－12·⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫13n －1＋⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9＝－2·⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9， 所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－2⎣⎡⎦⎤13＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝－2·13⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫13n 1－13－6·n （n ＋1）2＋9n ＝⎝⎛⎭⎫13n －1－3n 2＋6n ＝⎝⎛⎭⎫13n －3(n －1)2＋2， 显然当n ∈N *时，{S 2n }单调递减，又当n ＝1时，S 2＝73＞0，当n ＝2时，S 4＝－89＜0， 所以当n ≥2时，S 2n ＜0；S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·⎝⎛⎭⎫13n －52－3n 2＋6n ， 同理，当且仅当n ＝1时，S 2n －1＞0.综上，满足S n >0的所有正整数n 为1和2.(16分)20. 解：(1) 函数g (x )的定义域为(－1，＋∞)，g ′(x )＝ln (x ＋1)＋1，则g (0)＝0，g ′(0)＝1，∴ 直线l ：y ＝x .联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝12x 2＋kx ＋1，y ＝x ，消去y ，得x 2＋2(k －1)x ＋2＝0. ∵ l 与函数f (x )的图象相切，∴ Δ＝4(k －1)2－8＝0⇒k ＝1±2.(4分)(2) 由题意知，h (x )＝12x 2＋kx ＋1＋ln (x ＋1)＋1，h ′(x )＝x ＋k ＋1x ＋1. 令φ(x )＝x ＋k ＋1x ＋1， ∵ φ′(x )＝1－1（x ＋1）2＝x （x ＋2）（x ＋1）2>0对x ∈[0，2]恒成立， ∴ φ(x )＝x ＋k ＋1x ＋1，即h ′(x )在[0，2]上为增函数， ∴ h ′(x )max ＝h ′(2)＝k ＋73. ∵ h (x )在[0，2]上单调递减，∴ h ′(x )≤0对x ∈[0，2]恒成立，即h ′(x )max ＝k ＋73≤0，∴ k ≤－73， 即k 的取值范围是(－∞，－73]．(8分) (3) 当x ∈[0，e －1]时，g ′(x )＝ln (x ＋1)＋1>0，∴ g (x )＝(x ＋1)ln (x ＋1)在区间[0，e －1]上为增函数，∴ x ∈[0，e －1]时，0≤g (x )≤e 2. ∵ f (x )＝12x 2＋kx ＋1的对称轴为直线x ＝－k ， ∴ 为满足题意，必须－1<－k <4，此时f (x )min ＝f (－k )＝1－12k 2， f (x )的值恒小于f (－1)和f (4)中最大的一个．∵ 对于∀t ∈[0，e －1]，总存在x 1，x 2∈(－1，4)，且x 1≠x 2满足f (x i )＝g (t )(i ＝1，2)，∴ ⎣⎡⎦⎤0，e 2⊆(f (x )min ，min {f (－1)，f (4)})，∴ ⎩⎪⎨⎪⎧－1<－k <4，f （x ）min <0，e 2<f （4），e 2<f （－1）⇒⎩⎪⎨⎪⎧－4<k <1，1－12k 2<0，e 2<4k ＋9，e 2<32－k ， ∴ e 8－94<k <－2， 即k 的取值范围是(e 8－94，－2)．(16分)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏省)模拟试卷(二)21. A . 解：设B －1＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ，因为(BA )－1＝A －1B －1， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1001＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1234⎣⎢⎡⎦⎥⎤a b c d ， 即⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2c ＝1，b ＋2d ＝0，3a ＋4c ＝0，3b ＋4d ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝1，c ＝32，d ＝－12，所以B －1＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤－2 1 32－12.(10分) B. 解：由ρsin ⎝⎛⎭⎫θ－π3＝3， 可得ρ⎝⎛⎭⎫12sin θ－32cos θ＝3， 所以y －3x ＝6，即3x －y ＋6＝0.(4分)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ得x 2＋y 2＝4，圆的半径为r ＝2， 所以圆心到直线l 的距离d ＝62＝3， 所以P 到直线l 的距离的最大值为d ＋r ＝5.(10分)C ．证明：由题得a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)＝a 5(a －b )－(a －b )b 5＝(a －b )(a 5－b 5)＝(a －b )2(a 4＋a 3b ＋a 2b 2＋ab 3＋b 4)．(4分)又a ≥0，b ≥0，∴ a 6＋b 6－ab (a 4＋b 4)≥0，即a 6＋b 6≥ab (a 4＋b 4)．(10分)22. 解：(1) 比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个有以下几种情况：甲进1球，乙进0球；甲进2球，乙进1球；甲进3球，乙进2球．所以比赛结束后甲的进球数比乙的进球数多1个的概率为P ＝C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 33×⎝⎛⎭⎫233×C 23×⎝⎛⎭⎫123＝1136.(3分) (2) ξ的取值为0，1，2，3，则P (ξ＝0)＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫123＝724， P (ξ＝1)＝⎝⎛⎭⎫133×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×C 13×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫232×13×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×C 23×⎝⎛⎭⎫123＝1124，P (ξ＝2)＝⎝⎛⎭⎫133×C 23×⎝⎛⎭⎫123＋C 23×⎝⎛⎭⎫23×13×⎝⎛⎭⎫123＋C 13×23×⎝⎛⎭⎫132×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×C 13×⎝⎛⎭⎫123＝524， P (ξ＝3)＝⎝⎛⎭⎫133×⎝⎛⎭⎫123＋⎝⎛⎭⎫233×⎝⎛⎭⎫123＝124，所以ξ(8分)所以数学期望E(ξ)＝0×724＋1×1124＋2×524＋3×124＝1.(10分) 23. 解：(1) 110(2分)(2) 集合M 有2n 个子集，不同的有序集合对(A ，B)有2n (2n －1)个．当A B ，并设B 中含有k(1≤k ≤n ，k ∈N *)个元素，则满足A B 的有序集合对(A ，B )有错误!C 错误!＝(3n －2n )个．同理，满足B A 的有序集合对(A ，B)有(3n －2n )个．故满足条件的有序集合对(A ，B)的个数为2n (2n －1)－2(3n －2n )＝4n ＋2n －2×3n .(10分)。
2019届江苏省南京师范大学附属中学高三高考模拟考试数学试题Word版含解析
2019届江苏省南京师范大学附属中学高考模拟考试高三数学试题一、填空题1．已知{}{}21,2,3,|9A B x x ==<，则A B ⋂=__________. 【答案】{}1,2【解析】因为{}1,2,3,{|33}A B x x ==-<<，所以{}1,2A B ⋂=，应填答案{}1,2。
2．已知复数()iia z a R +=∈， i 是虚数单位，在复平面上对应的点在第四象限，则实数a 的取值范围是 __________. 【答案】()0+∞， 【解析】因为()1a iz a i i ai i+==-+=-，所以由题意00a a -⇒，应填答案()0,+∞。
3．如图是某算法流程图，则程序运行后输出的结果是__________.【答案】27【解析】试题分析：第一次循环， 1,2s n ==，第二次循环， 6,3s n ==，第三次循环， 27,43s n ==>，结束循环，输出27s =. 【考点】循环结构流程图4．从2,3,4中任取两个数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于1的概率是__________. 【答案】12【解析】所有基本事件为()()()()()()2,3,2,4,3,4,3,2,4,2,4,3共六个，满足题设条件的事件有()()()2,3,2,4,3,4共三个，由古典概型的计算公式所求事件的概率3162P ==，应填答案12。
5．随机抽取年龄在[)[)[]10,20,20,30,......50,60年龄段的市民进行问卷调查，由此得到的样本的频数分布直方图如图所示，采用分层抽样的方法从不小于40岁的人中按年龄阶段随机抽取8人，则[]50,60年龄段应抽取人数为__________.【答案】2【解析】由题设提供的直方图可以看出年龄在[]40,60内的人数为()0.0150.005100.02(n n n +⨯=是样本容量），则0.028400n n =⇒=，故年龄在[]50,60内的人数为0.005100.052n n ⨯==，应填答案2。
2019年江苏省高考数学模拟试卷含答案解析
2019年江苏省高考数学模拟试卷
一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共计70分，请把答案直接填写在答题卡
相应的位置上．
1．已知U=R，集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={x|x2﹣2x＜0}，则A∩（?U B）=．
2．已知复数，则z的共轭复数的模为．
3．分别从集合A={1，2，3，4}和集合B={5，6，7，8}中各取一个数，则这两数之积为偶
数的概率是．
4．运行如图所示的伪代码，其结果为．
5．在平面直角坐标系xOy中，与双曲线有相同渐近线，且一条准线方程为的双曲线的标准方程为．
6．已知存在实数a，使得关于x的不等式恒成立，则a的最大值
为．
7．若函数是偶函数，则实数a的值为．
8．已知正五棱锥底面边长为2，底面正五边形中心到侧面斜高距离为3，斜高长为4，则此正五棱锥体积为．
9．已知函数，则不等式f（x2﹣2x）＜f（3x﹣4）的解集
是．
10．在△ABC中，AB=3，AC=4，N是AB的中点，边AC（含端点）上存在点M，使得BM⊥CN，则cosA的取值范围为．
11．设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数y=a x（a＞0，a≠1）的图象
上存在区域D上的点，则a的取值范围是．
12．已知函数f（x）=x2+2x+alnx在区间（0，1）内无极值点，则a的取值范围是．13．若函数同时满足以下两个条件：
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(答案全解全析)普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学模拟试题(二)
普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）模拟试题（二）
答案全解全析
（旺仔老师 2019 年 4 月编制）
数学 Ⅰ卷
一、填空题：本大题共 14 小题，每小题 5 分，共计 70 分． 1. {－1，0，1} 解析：本题主要考查集合的运算．本题属于容易题． 2. (－∞，－1)∪(2，＋∞) 解析：由 x2－x－2＞0，则 x＞2 或 x<1.本题主要考查对数 式中真数大于 0，以及一元二次不等式的解法．本题属于容易题． sinα π 15 1 15 3. － 解析：由 sinα ＝ ，α ∈ ，π ，得 cosα ＝－ ，则 tanα ＝ ＝－ 15 4 4 2 cosα 15 .本题主要考查同角三角函数关系．本题属于容易题． 15 4. －2 解析：由函数 f(x)在 R 上是奇函数，则 f(0) ＝0，又 x＞0 时，f(x)＝2x－x2， 则 f(3)＝－1， f(－1)＝－f(1)＝－1， 则 f(－1)＋f(0)＋f(3)＝－2.本题主要考查奇函数的性质． 本 题属于容易题． π 5. [－4，0] 解析：由 y＝ 3sinx－cosx－2＝2sin x－ －2，则－4≤y≤0.本题主要考 6 查三角函数的值域，以及和差角公式的逆用．本题属于容易题． 5 6. 解析：由题设流程图的循环体执行如下：第 1 次循环 z＝2，x＝1，y＝2；第 2 3 次循环 z＝3，x＝2，y＝3；第 3 次循环 z＝5，x＝3，y＝5；第 3 次循环后 z＝8，此时输出 5 的结果为 .本题考查流程图的基础知识， 关键把握每一次循环体执行情况． 本题属于容易题． 3 7 2 1 7. 解析：由 sin(α－45°)＝－ ，展开得 sinα －cosα ＝－ ，又 sin2α ＋cos2α ＝ 25 10 5 3 4 7 2 2 1，sinα ＝ ，cosα ＝ ，则 cos2α ＝cos α －sin α ＝ .本题考查了三角函数的和差角公式， 5 5 25 同角三角函数关系，二倍角公式．本题属于容易题． 3 1 1 1 ×1×1×1＝ × 8. 解析： 设 O 到平面 VAB 的距离为 h， 由 VVOAB＝VOVAB 得 × 3 3 2 3 1× 2× 2× 3×h ，则 h＝ 3.本题考查了等积法求点到平面的距离，属于容易题． 3 2 2 1＋ 3 9. 解析：设 AB＝BC＝2，由题意知 2c＝2，2 3－2＝2a，则 c＝1，a＝ 3－1， 2 1＋ 3 则双曲线的离心率为 .本题考查了双曲线的定义及离心率求法．本题属于容易题． 2 10. 8 解析： b3＝a4－a3＝－1－1＝－2， 由 b3－b2＝1， 则 b2＝－3， 而 b2＝a3－a2＝－3， 得 a2＝4.又 b2－b1＝1，则 b1＝－4，而 b1＝a2－a1＝4－a1＝－4，则 a1＝8.本题考查了利用列 举法借助递推公式求数列中的项，属于容易题． a 2 3 11. 0， 解析：设△ABC 中，a＝|β|＝1，A＝60°， |α |＝c， 由正弦定理得 ＝ sinA 3 c asinC 2 3 2 3 ，则 ＝c，即 c＝ sinC.又 0<sinC≤1，即 c 的取值范围为0， ，则 α 的模的 sinC sinA 3 3
2019届江苏省南京师范大学附属中学高三第二次模拟考试数学试题Word版含答案
2019届江苏省南京师范大学附属中学第二次模拟考试高三数学试题一、填空题1．已知集合(21],[12)A B =-=-，，，则A B = ．2．设复数z 满足(34)50i z ++=（i 是虚数单位），则复数z 的模为 ．3．射击运动员打靶，射5发，环数分别为9，10，8，10，8，则该数据的方差为 ．4．如下图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ．5．在平面直角坐标系xOy 中，抛物线22(0)x py p =>上纵坐标为1的一点到焦点的距离为3，则焦点到准线的距离为 ．6．从集合{1,2,3,4,5,6,7,8,9}中任取两个不同的数，则其中一个数恰是另一个数的3倍的概率为 ．7．已知实数,x y 满足1030330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则当2x y -取得最小值时，22x y +的值为 ．8．已知函数()sin ([0,])f x x x π=∈和函数1()tan 3g x x =的图像相交于,,A B C 三点，则ABC ∆的面积为 ．9．在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线:x C y e =上一点，直线:20l x y c ++=经过点P ，且与曲线C 在P 点处的切线垂直，则实数c 的值为 ．10．如下图，在ABC ∆中，1,2,,2AB AC BC AD DC AE EB ====．若12BD AC ⋅=-，则CE AB ⋅= ．11．已知()f x 是定义在区间[1,1]-上的奇函数，当0x <时，()(1)f x x x =-．则关于m 的不等式2(1)(1)0f m f m -+-<的解集为 ．12．在平面直角坐标系xOy 中，设点P 为圆22:(1)4C x y -+=上的任意一点，点(2,3)Q a a -()a R ∈，则线段PQ 长度的最小值为 ．13．公比为(1)q q ≠的等比数列1234,,,a a a a ，若删去其中的某一项后，剩余的三项（不改变原有顺序）成等差数列，则所有满足条件的q 的取值的代数和为 ．14．设常数1k >，函数,01()(1),1x x y f x kf x kx x -≤<==--≥⎪⎩，则()f x 在区间(0,2)上的取值范围为 ．二、解答题15．已知角α的终边上有一点(1,2)p ，（1）求tan()4πα+的值；（2）求5sin(2)6πα+的值． 16．如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，已知平面11AAC C ⊥平面ABCD，且AB BC CA ===1AD CD ==．（1）求证：1BD AA ⊥；（2）若E 为棱BC 的中点，求证：//AE 平面11DCC D ．17．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>的右准线的方程为x =，左、右两个焦点分别为12(F F -．（1）求椭圆E 的方程；（2）过12,F F 两点分别作两条平行直线1FC 和2F B 交椭圆E 于,C B 两点（,C B 均在x 轴上方），且12FC F B +等于椭圆E 的短轴的长，求直线1FC 的方程． 18．如下图扇形AOB 是一个观光区的平面示意图，其中AOB ∠为23π，半径OA 为1km ，为了便于游客观光休闲，拟在观光区内铺设一条从入口A 到出口B 的观光道路，道路由圆弧AC 、线段CD 及线段BD 组成．其中D 在线段OB 上，且//CD AO ，设AOC θ∠=．（1）用θ表示CD 的长度，并写出θ的取值范围；（2）当θ为何值时，观光道路最长？19．已知函数323()(1)31,02f x x a x ax a =+--+>． （1）试讨论()(0)f x x ≥的单调性；（2）证明：对于正数a ，存在正数p ，使得当[0,]x p ∈时，有1()1f x -≤≤；（3）设（1）中的p 的最大值为()g a ，求()g a 得最大值．20．设数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，其前n 项和为n S ，且155364,48a a S S =-=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设有正整数,(51)m l m <<，使得5,5,m l a a a 成等差数列，求,m l 的值；（3）设,,,1k m l N k m *∈<<，对于给定的k ，求三个数5,,l k m a a a 经适当排序后能构成等差数列的充要条件．理科附加21．甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛另一个人当裁判，设每周比赛结束时，负的一方在下一局当裁判，假设每局比赛中甲胜乙的概率为12，甲胜丙，乙胜丙的概率都是23，各局的比赛相互独立，第一局甲当裁判．（1）求第三局甲当裁判的概率；（2）记前四次中乙当裁判的次数为Y ，求Y 的分布列和数学期望．22．已知函数()ln (1)ln(1)f x x x x x =+--，(0,1)x ∈．（1）求()f x 的最小值；（2）若1,,,(0,1)a b c a b c ++=∈．求证：ln ln ln (2)ln 2a a b b c c a ++≥-．2019届江苏省南京师范大学附属中学高三第二次模拟考试数学试题参考答案一、填空题1．(2,2)- 2．1 3．45 4．1011 5． 4 6．112 7．5 89．4ln 2-- 10．43- 11．[0,1) 122- 13．0 14．(2,1]k - 二、解答题15．解：根据题意1tan ,sin 2ααα===， （1）1tan tan 142tan()3141tan tan 142παπαπα+++===--； （2）555sin(2)sin 2cos cos 2sin 666πππααα++2sin cos (αα=21(2cos 1)2α+-112(21)52=+⋅-⋅ =． 16．证明：（1）在四边形ABCD 中，因为,BA BC DA DC ==，所以BD AC ⊥，又平面11AAC C ⊥平面ABCD ，且平面11AAC C 平面ABCD AC =，BD ⊂平面ABCD ，所以BD ⊥平面11AAC C ，又因为1AA ⊂平面11AAC C ，所以1BD AA ⊥．（2）在三角形ABC 中，因为AB AC =，且E 为BC 中点，所以AE BC ⊥，又因为在四边形ABCD 中，AB BC CA ===1DA DC ==，所以60ACB ∠=︒，30ACD ∠=︒，所以DC BC ⊥，所以//AE DC ，因为DC ⊂平面11,DCC D AE ⊄平面11DCC D ，所以//AE 平面11DCC D ．17．解：（1）由题设：2a c c ==，得22229,1a b a c ==-=，故椭圆方程为2219x y +=． （2）连结BO 并延长交椭圆E 于D ，则易证12FOD F OB ∆≅∆， 所以12OF D OF B ∠=∠，因为12180CFO BF O ∠+∠=︒， 所以11180CFO DFO ∠+∠=︒，所以1,,C F D 三点共线． 当CD x ⊥轴时，不合题意．当CD 不与x 轴垂直时，设:(CD y k x =+，代入椭圆方程并化简得2222(19)7290k x x k +++-=，设1122(,),(,)C x y D x y ，则1,2x =，所以22122236(1)()(19)k x x k +-=+． 又2222212122236(1)()()(19)k k y y k x x k +-=-=+，所以2221212()()CD x x y y =-+-=222236(1)4(19)k k +=+，得k =，所以直线1FC 的方程为y x =+．18．解：（1）在COD ∆中，1OC DCO θ=∠，=,2,33CDO COD ππθ∠=∠=-， 由正弦定理知，2sin sin()sin 33CD OD OC ππθθ==-，则2sin()3cos sin 3CD πθθθπ-==， 经过点B 作//BE CD 交弧BC 于E ，则点C 在A E 、之间，所以03πθ<≤．（2）由（1）得OD θ=，弧AC 长为1θ⋅，观光道路长cos 1S θθθ=+++-cos 1θθθθ=++， 求导得1sin S θθ'=-=1)6πθ+，令0,sin()6S πθ'=+=03πθ<≤，所以6πθ=， 当(0,),06S πθ'∈>；当(,),063S ππθ'∈<，所以当6πθ=时，观光道路最长．19．证明：（1）由于2()33(1)3f x x a x a '=+--3(1)()x x a =+-，且0a >，故()f x 在[0,]a 上单调递减，在[,)a +∞上单调递增．（2）因为(0)1,f =3213()122f a a a =--+=21(1)(2)12a a -+-， 当()1f a ≥-时，取p a =．此时，当[0,]x p ∈时，有1()1f x -≤≤成立．当()1f a <-时，由于(0)120,()10f f a +=>+<，故存在(0,)p a ∈使得()10f p +=．此时，当[0,]x p ∈时，有1()1f x -≤≤成立．综上，对于正数a ，存在正数p ，使得当[0,]x p ∈时，有1()1f x -≤≤．（3）由（2）知()f x 在[0,)+∞上的最小值为()f a ．当01a <≤时，()1f a ≥-，则()g a 是方程()1f p =满足p a >的实根，即223(1)60p a p a +--=满足p a >的实根，所以()g a = 又()g a 在(0,1]上单调递增，故max ()(1)g a g ==．当1a >时，()1f a <-，由于9(0)1,(1)(1)112f f a ==--<-， 故[0,][0,1]p ⊂．此时，()1g a ≤．综上所述，()g a20．解：（1）因为数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，所以设数列{}n a 的公比为q ，且0q >．又215364a a a ==，且30a >，所以38a =．又因为5348S S -=，所以2458848a a q q +=+=，解得2q =，所以2n n a =． （2）因为5,5,m l a a a 成等差数列，所以510m l a a a =+，即510222m l ⋅=+．所以，66522m l --=+．故662,2m l --中有且只有一个等于1．因为正整数,m l 满足5m l <<，所以662124m l --⎧=⎪⎨=⎪⎩，得68m l =⎧⎨=⎩． （3）设5,,k m l a a a 经适当排序后能构成等差数列．①若25k m l a a a ⋅=+，则10222k m l ⋅=+，当且仅当1022m k l k --=+，当且仅当11522m k l k ----=+． 因为正整数,,k m l 满足k m l <<，当且仅当110l k m k -->--≥，且11l k --≥，所以11221l k m k ---->≥，122l k --≥．当且仅当112124m k l k ----⎧=⎪⎨=⎪⎩，即13m k l k =+⎧⎨=+⎩． ②若25m k l a a a =+，则22522m k l ⋅=⋅+，所以1225m k l k +---=（*）．因为12,2m k l k +-≥-≥，所以12m k +-与2l k -都为偶数，而5是奇数，所以，等式（*）不成立，从而等式25m k l a a a =+不成立，③若25l k m a a a =+，则同②可知，该等式也不成立．综合①②③，得1,3m k l k =+=+．设1,3m k l k =+=+，则5,,k m l a a a 为135,,k k k a a a ++，即5,2,8k k k a a a ．调整顺序后易知2,5,8k k k a a a 成等差数列．综上所述，5,,k m l a a a 经适当排序后能构成等差数列的充要条件为13m k l k =+⎧⎨=+⎩． 21．解答：（1）第二局中可能乙当裁判，其概率为13，也可能丙当裁判，其概率为23，所以第三局甲当裁判的概率为1121433329⨯+⨯=． 答：第三局甲当裁判的概率为49． （2）Y 的可能取值为0，1，2．()212203239P Y ==⨯⨯=， ()112211()33332P Y ==⨯⨯+⨯21211173232327+⨯+⨯⨯=， ()1211142()3323327P Y ==⨯⨯+⨯=． 所以Y 的分布列为：Y 的数学期望：()0129272727E Y =⨯+⨯+⨯=． 22．解：（1）()ln 1f x x '=+-()ln 11ln 1x x x--=-， 令()10,2f x x '==． 当1(0,)2x ∈时，()0f x '<；当1(,1]2x ∈时，()0f x '>．所以，()min 1()ln 22f x f ==-．（2）由1a b c ++=，(),,0,1a b c ∈，得111b c a a +=--，1b a -，()0,11c a ∈-． 由（1），当(0,1)x ∈，ln (1)ln(1)ln 2x x x x +--≥-， 所以，ln ln ln 21111b b c c a a a a+≥-----， ()1[ln ln 11b b b a a--+-()ln ln 1]ln 2c c c a --≥-， ()ln ln 1b b c c a +≥-()()ln 2ln 1b c a ++-()()()1ln 21ln 1a a a =-+--． （*）因为()0,1a ∈，由（1），()()ln 1ln 1ln 2a a a a +--≥-， 所以，()()1ln 1ln ln 2a a a a --≥--．由（*）（*），()ln ln 1ln 2ln ln 2b b c c a a a +≥---， 所以，()ln ln ln 2ln 2a a b b c c a ++≥-．。
2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷) 数学Ⅱ(附加题)
(绝密★启用前B 卷2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷)数学Ⅱ(附加题)注意事项：1. 附加题供选修物理的考生使用．2. 本试卷共40分，考试时间30分钟．3. 答题前，考生务必将自己的学校、班级、姓名写在密封线内．21. 【选做题】本题包括A 、B 、C 共3小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作答．若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A . 选修4-2：矩阵与变换(本小题满分10分)已知矩阵A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 2－1，若矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11. (1) 求a 的值；(2) 求矩阵A 的另外一个特征值．B . 选修4-4：坐标系与参数方程(本小题满分10分)在极坐标系中，已知曲线C 的极坐标方程为ρ＝2(cosθ＋sinθ)．(1) 将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2) 设M 为曲线C 上任意一点，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎫2，5π4，求MP 的取值范围．C . 选修4-5：不等式选讲(本小题满分10分)设x ＋y ＋z ＝25，若x 2＋ty 2＋z 2的最小值为8，求正数t 的值．【必做题】第22，23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．22. (本小题满分10分)现有两个质地均匀且同样大小的正四面体A，B，正四面体A的4个顶点分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色，正四面体B的4个顶点分别标有数字1，2，3，4.甲连续抛掷正四面体A 3次，若至少出现2次红色顶点朝上，则甲获得一次抽奖机会；乙连续抛掷正四面体B 4次，若至少出现3次偶数顶点朝上，则乙获得一次抽奖机会(甲、乙两人获得抽奖的机会相互独立)．(1) 求甲、乙两人各自能够获得一次抽奖机会的概率；(2) 设X为甲、乙两人获得抽奖机会的总次数，求X的分布列及数学期望．23. (本小题满分10分)在二元函数f(u，v)中，把变量u看成自变量，v看成常数，对u求导记为[f(u，v)]′u，例如，[ln(2u＋3v)]u′＝（2u＋3v）u′2u＋3v＝22u＋3v.已知f(u，v)＝e au＋bv·(cu＋dv)2.(1) 求[f(u，v)]′u；(2) 若a，b，c，d，u，v都是正数，ab<cd，求证：[f（u，v）]′u[f（u，v）]′v<cd.(这是边文，请据需要手工删加)2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏模拟卷) B 卷数学Ⅱ(附加题)参考答案及评分标准21. A . 【解答】(1) 因为矩阵A 属于特征值1的一个特征向量为α＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11， 所以⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a 2－1⎣⎢⎡⎦⎥⎤11＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤11，(3分) 所以1＋a ＝1，所以a ＝0.(5分)(2) 由(1)得A ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤102－1， 令f(λ)＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪λ－10－2λ＋1＝0，(8分) 所以(λ－1)(λ＋1)＝0，所以λ＝1或λ＝－1.所以矩阵A 的另外一个特征值为－1.(10分)B . 【解答】(1) 由ρ＝2(cosθ＋sinθ)，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)，(2分)因为ρcosθ＝x ，ρsinθ＝y ，所以x 2＋y 2＝2x ＋2y ，化成普通方程是(x －1)2＋(y －1)2＝2.(4分)(2) 由(1)得，曲线C 是一个圆，圆心N 的坐标为(1，1)，半径r ＝2，(6分) 点P 的极坐标化为直角坐标为(－1，－1)，(8分)因为PN ＝（1＋1）2＋（1＋1）2＝22，所以MP 的取值范围为[]PN －r ，PN ＋r ，即[]2，32.(10分)C . 【解答】设α＝(x ，ty ，z)，β＝⎝⎛⎭⎫1，1t ，1，由柯西不等式得，x·1＋ty·1t＋z·1≤x 2＋（ty ）2＋z 2·12＋⎝⎛⎭⎫1t 2＋12， 即x ＋y ＋z ≤x 2＋（ty ）2＋z 2·2＋1t， 又x ＋y ＋z ＝25，所以x 2＋（ty ）2＋z 2≥252＋1t ＝22，所以t ＝2.(10分) 22. 【解答】(1) 设“甲获得一次抽奖机会”为事件M ，“乙获得一次抽奖机会”为事件N ，则P(M)＝C 23⎝⎛⎭⎫142×34＋C 33⎝⎛⎭⎫143＝532，(2分) P(N)＝C 34⎝⎛⎭⎫123×12＋C 44⎝⎛⎭⎫124＝516.(4分) (2) X 的所有可能取值为0，1，2. P(X ＝0)＝P(M)·P(N)＝2732×1116＝297512， P(X ＝1)＝P(M)·P(N)＋P(M)·P(N)＝2732×516＋532×1116＝190512， P(X ＝2)＝P(M)·P(N)＝532×516＝25512.(8分) 所以X 的分布列为所以E(X)＝0×297512＋1×190512＋2×25512＝1532.(10分) 23. 【解答】(1) [f(u ，v)]′u ＝ae au ＋bv ·(cu ＋dv)2＋2ce au ＋bv ·(cu ＋dv)＝e au ＋bv (cu ＋dv)[a(cu ＋dv)＋2c]．(3分)(2)同理，[f(u ，v)]′v ＝e au ＋bv (cu ＋dv)·[b(cu ＋dv)＋2d]，(5分)所以[f （u ，v ）]′u [f （u ，v ）]′v ＝e au ＋bv （cu ＋dv ）·[a （cu ＋dv ）＋2c]e au ＋bv （cu ＋dv ）·[b （cu ＋dv ）＋2d]＝a b [b （cu ＋dv ）＋2d]＋⎝⎛⎭⎫2c －2ad b b （cu ＋dv ）＋2d ＝a b ＋2（bc －ad ）b[b （cu ＋dv ）＋2d](*)．(8分) 因为a ，b ，c ，d ，u ，v 都是正数，a b <c d， 所以bc －ad>0，所以(*)<a b ＋2（bc －ad ）2bd ＝c d.(10分)。
2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟数学试题(江苏卷)Word版含解析
2019年全国普通高等学校招生统一考前模拟数学试题（江苏卷）一、填空题1．已知集合{1,2,3,6},{|23},A B x x =-=-<<则=A B ________________.【答案】{}1,2- 【解析】试题分析：{}{}{}1,2,3,6231,2AB x x =--<<=-．故答案应填：{}1,2- ，【考点】集合运算2．复数(12i)(3i),z =+-其中i 为虚数单位，则z 的实部是________________. 【答案】5【解析】试题分析：(12)(3)55z i i i =+-=+．故答案应填：5 【考点】复数概念3．在平面直角坐标系xOy 中，双曲线22173x y -=的焦距是________________.【答案】【解析】试题分析：222227,3,7310,2a b c a b c c ==∴=+=+=∴=，焦距为2c【考点】双曲线性质4．已知一组数据4.7,4.8,5.1,5.4,5.5，则该组数据的方差是________________. 【答案】0.1【解析】试题分析：这组数据的平均数为1(4.7 4.8 5.1 5.4 5.5) 5.15++++=，2222221(4.7 5.1)(4.8 5.1)(5.1 5.1)(5.4 5.1)(5.5 5.1)0.15S ⎡⎤∴=-+-+-+-+-=⎣⎦．故答案应填：0.1， 【考点】方差5．函数的定义域是 . 【答案】[]3,1-【解析】试题分析：要使函数有意义，必须2320x x --≥，即2230x x +-≤，31x ∴-≤≤．故答案应填：[]3,1-，【考点】函数定义域6．如图是一个算法的流程图，则输出的a 的值是 .【答案】9【解析】试题分析：第一次循环：5,7a b ==，第二次循环：9,5a b ==，此时a b >循环结束9a =，故答案应填：9【考点】循环结构流程图7．将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是 . 【答案】5.6【解析】点数小于10的基本事件共有30种，所以所求概率为305.366= 【考点】古典概型概率8．已知{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和.若a 1+a 22=-3，S 5=10，则a 9的值是 . 【答案】20.【解析】由510S =得32a =，因此2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯= 【考点】等差数列性质9．定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x 的图象与y=cosx 的图象的交点个数是 . 【答案】7【解析】由1sin 2cos cos 0sin 2x x x x =⇒==或，因为[0,3]x π∈，所以3551317,,,,,,,2226666x πππππππ=共7个【考点】三角函数图像10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，F 是椭圆22221()x y a b a b+=＞＞0 的右焦点，直线2by = 与椭圆交于B ，C 两点，且90BFC ∠= ,则该椭圆的离心率是 .【解析】由题意得),C(),22b b B，因此22222()0322b c c a e -+=⇒=⇒= 【考点】椭圆离心率11．设f （x ）是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[ −1,1）上，,10,()2,01,5x a x f x x x +-≤<⎧⎪=⎨-≤<⎪⎩其中.a ∈R若59()()22f f -= ，则(5)f a 的值是 . 【答案】25-【解析】51911123()()()()22222255f f f f a a -=-==⇒-+=-⇒=， 因此32(5)(3)(1)(1)155f a f f f ===-=-+=-【考点】分段函数，周期性质12． 已知实数x ，y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则x 2+y 2的取值范围是 .【答案】4[,13]5【解析】由图知原点到直线220x y +-=距离平方为22x y +最小值，为245=，原点到点(2,3)距离平方为22x y +最大值，为13，因此22x y +取值范围为4[,13]5【考点】线性规划13．如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，E ，F 是AD 上的两个三等分点，4BC CA ⋅=，1BF CF ⋅=- ，则BE CE ⋅ 的值是 .【答案】78【解析】因为2222436444AO BC FO BC BA CA --⋅===,22414FO BCBF CF -⋅==-,因此22513,BC 82FO ==，22224167448EO BC FO BC BE CE --⋅===【考点】向量数量积14．在锐角三角形ABC 中，若sinA=2sinBsinC ，则tanAtanBtanC 的最小值是 . 【答案】8.【解析】sin sin(B C)2sin sin tan tan 2tan tan A B C B C B C =+=⇒+=，因此tan tan tan tan tan tan tan 2tan tan tan tan tan 8A B C A B C A B C A B C =++=+≥≥，即最小值为8.【考点】三角恒等变换，切的性质应用二、解答题15．在ABC △中，AC=6，4πcos .54B C ==， （1）求AB 的长； （2）求πcos(6A -)的值. 【答案】（1）（2【解析】试题分析：（1）利用同角三角函数关系求3sin 5B ，= 再利用正弦定理求值，（2）利用诱导公式及两角和与差正余弦公式分别求sin sin()cos()A B C A B C =+==-+=，cos(A )6π-试题解析：解（1）因为4cos ,0,5B B π=<<所以3sin ,5B ==由正弦定理知sin sin AC ABB C=，所以6sin 23sin 5AC C AB B ⋅===（2）在三角形ABC 中A B C π++=，所以().A B C π=-+于是cosA cos(B C)cos()cos cossin sin ,444B B B πππ=-+=-+=-+又43cos ,sin ,55B B ==，故43cos 55A =-+=因为0A π<<，所以sin A因此1cos()cos cossin sin6662A A A πππ-=+==【考点】同角三角函数关系，正余弦定理，两角和与差公式16．如图，在直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ； （2）平面B 1DE ⊥平面A 1C1F. 【答案】（1）详见解析（2）详见解析 【解析】试题分析：（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平几知识，如中位线性质（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质与判定定理试题解析：证明：（1）在直三棱柱111ABC A B C -中，11//AC AC 在三角形ABC 中，因为D,E 分别为AB,BC 的中点. 所以//DE AC ，于是11//DE AC又因为DE ⊄平面1111,AC F AC ⊂平面11AC F 所以直线DE//平面11AC F（2）在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AA ⊥平面A B C 因为11A C ⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C又因为111111*********,,AC A B AA ABB A A B ABB A A B AA A ⊥⊂⊂=，平面平面所以11AC ⊥平面11ABB A因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111A C B D ⊥又因为1111111111111C F,C F,B D A AC A A F A AC A F A ⊥⊂⊂=F ，平面平面所以111C F B D A ⊥平面因为直线11B D B DE ⊂平面，所以1B DE 平面11.A C F ⊥平面【考点】直线与直线、平面与平面位置关系17．现需要设计一个仓库，它由上下两部分组成，上部分的形状是正四棱锥1111P A BC D -，下部分的形状是正四棱柱1111ABCD A BC D -（如图所示），并要求正四棱柱的高1PO 的四倍.（1）若16,PO 2,AB m m ==则仓库的容积是多少？（2）若正四棱柱的侧棱长为6m,则当1PO 为多少时，仓库的容积最大？【答案】（1）312（2）1PO =【解析】试题分析：（1）明确柱与锥体积公式区别，分别代入对应公式求解（2）根据体积关系建立函数解析式，()()32636,063V V V h h h =+=-<<锥柱再利用导数求其最值 试题解析：解：（1）由PO 1=2知OO 1=4PO 1=8.因为A 1B 1=AB=6，所以正四棱锥P-A 1B 1C 1D 1的体积()22311111=6224;33V A B PO m ⋅⋅=⨯⨯=柱 正四棱柱ABCD-A 1B 1C 1D 1的体积()2231=68288.V AB OO m ⋅=⨯=柱所以仓库的容积V=V 锥+V 柱=24+288=312（m 3）. （2）设A 1B 1=a （m ）,PO 1=h （m ），则0<h<6,OO 1=4h.连结O 1B 1. 因为在11RT PO B ∆中，222111OB PO PB +=，所以22362h ⎛⎫+=⎪ ⎪⎝⎭，即()22236.a h =- 于是仓库的容积()()222311326436,06333V V V a h a h a h h h h =+=⋅+⋅==-<<锥柱， 从而()()2226'36326123V h h =-=-.令'0V =，得h =或h =-.当0h <<'0V > ，V 是单调增函数；当6h <<时，'0V <，V 是单调减函数.故h =V 取得极大值，也是最大值.因此，当1PO = 时，仓库的容积最大.【考点】函数的概念、导数的应用、棱柱和棱锥的体积18．如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知以M 为圆心的圆M:221214600x y x y +--+=及其上一点A（2，4）（1）设圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，且圆心N 在直线x=6上，求圆N 的标准方程；（2）设平行于OA 的直线l 与圆M 相交于B 、C 两点，且BC=OA,求直线l 的方程；（3）设点T （t,o ）满足：存在圆M 上的两点P 和Q,使得TA TP TQ +=,求实数t 的取值范围。
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2019高考数学模拟试卷（2）
南师大2019．5
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．不需要写出解答过程，请将答案填写在答题卡．．．相应的位置上．．．．．．
．） 1．若集合A ＝{1，2，3}，B ＝{1，3，4}，则A B ＝ ．
2．已知复数z 满足
i 12i
z
=-，则复数z 的共轭复数为 ． 3．袋子里有两个不同的红球和两个不同的白球，从中任取两个球，则这两个球颜色相同的概率为 ． 4．某高校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5，30]，样本数据分组为[17.5，20)，[20，22.5)，[22.5，25)，[25，27.5)，[27.5，30)．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是 ． 5．如图所示的算法流程图，当输入n 的值为10时，则输出S 的值为 ．
第4题
第5题
6．等比数列{}n a 中，16320a a +=，3451a a a =，则数列的前6项和为 ． 7．设函数sin()3
y x π
ω=+
(x ∈R)，当且仅当12
x π
=
时，y 取得最大值，则正数ω的最小值为 ．
8．在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 是抛物线2
4y x =与双曲线
22
2
13x y b -=(b ＞0)的一个交点．若抛物线的焦点为F ，且PF ＝4，则双曲线的离心率为 ．
9．四面体ABCD 中，AB ⊥平面BCD ，CD ⊥平面ABC ，且AB ＝BC ＝CD ＝1cm ，则四面体ABCD 的外接球的表面积为 cm 2．
10．已知函数2()2
x f x x +=
+，x ∈R ，则2
(2)(34)f x x f x -<-的解集是 ． 11．在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为2
2
420x y x y +-+=．若直线3y x b =+上存在一点P ，使过P 所作的圆的两条切线相互垂直，则实数b 的取值范围是 ．
12．如图，已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝
120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BC ＝3
BE ，DC ＝λDF ，若AE AF ⋅＝1，则λ的值为 ．
13．设函数3
2
()f x x ax bx c =+++的三个零点1x ，
2x ，3x 是公差为3的等差数列，则()f x 的极大值为 ．
14．已知α，β∈[0，
4
π
]，则sin()2sin()αβαβ-++的最大值为 ． 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域．．．．．．．
内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．（本题满分14分）
在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知向量m ＝(b ，a ﹣2c )，n ＝(cosA ﹣2cosC ，cosB)，且m ⊥n ．（1）求
sin C
sin A
的值；（2）若a ＝2，35m =ABC 的面积S ．
16．（本题满分14分）
已知直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AA 1，CC 1的中点，AC ⊥BE ，点F 在线段AB 上，且AB ＝4AF ．
（1）求证：BC ⊥C 1D ；
（2）若M 为线段BE 上一点，试确定M 在线段BE 上的位置，使得C 1D ∥平面
B
1
FM
．
第12题
17．（本题满分14分）
为美化城市环境，相关部门需对一圆心角为120°的扇形状中心广场进行改造出新，为保障市民安全，施工队对广场进行围挡施工．如图，围挡分别经过扇形两边延长线上两点P，R及圆周上两点C，D，围成一个四边形OPQR，其中PQ，QR分别与扇形圆弧相切于C，D两点．已知该扇形所在圆的半径OA长30米，∠COD为60°，设∠BOC为θ．
（1）求围挡内部四边形OCQD的面积；
（2）为减少对市民出行的影响，围挡部分面积要尽可能小，求该围挡内部四边形OPQR面积的最小值？并写出此时θ的值．
18．（本题满分16分）
在平面直角坐标系xOy中，椭圆C：22
22
1
x y
a b
+=(a＞b＞0)，过右焦点F的直线与椭圆交于A，B两点，
且OA⊥OB．
（1）当AB与x轴垂直时，求椭圆C的离心率；
（2）设AB的斜率为k，试用a，b表示k；
（3）求椭圆C的离心率的范围．19．（本题满分16分）
设a∈R，e是自然对数的底数，
1
()ln(0)
f x x x
x
=+>，()(R)
x
g x ae x
=∈．
（1）过点A(0，ln2)作曲线()
y f x
=的切线，求切点的横坐标
x；
（2）若存在
1
x∈(1，+∞)，使得
11
()()
f x
g x＜1成立，求a的取值范围；
（3）设()()
h x g x x a
=--，若()
h x有且仅有一个零点，求a的取值集合．
20．（本题满分16分）
定义：对于数列{}n x，如果存在常数m，使得对任意的正整数n总有1
()()
n n
x m x m
+
--0
<，则称数列{}n x为“m摆动数列”．
（1）设31(N)
n
a n n*
=-∈，判断数列{}n a是否为“m摆动数列”，并说明理由．（2）设1
(1)(21)
n
n
d n
+
=-⋅+，N
n*
∈，且数列{}n d的前n项的和为n S．求证：数列{}n S为“m摆动数列”，并求出常数m的取值范围．
（3）已知“m摆动数列”{}n C满足：1
1
1
n
n
C
C
+
=
+
，
1
1
C=，求出常数m的一个值，并说明理由．
2019高考数学模拟试卷（2）附加题
南师大2019．5
（每题10分，共40分）
21．已知矩阵A ＝1 01 1⎡⎤⎢⎥-⎣⎦，B ＝1 20 3⎡⎤
⎢⎥
⎣⎦
，C ＝AB ． （1）求矩阵C ；
（2）若直线l 1：0x y +=在矩阵C 对应的变换作用下得到另一直线l 2，求l 2的方程．
22．在极坐标系中，已知圆C 经过点P(2，3
π)，圆心C
为直线sin()3π
ρθ-=C
的极坐标方程．
23．某公司的一次招聘中，应聘者都要经过三个独立项目A ，B ，C 的测试，如果通过两个或三个项目的测
试即可被录用．若甲、乙、丙三人通过A ，B ，C 每个项目测试的概率都是
12
． （1）求甲恰好通过两个项目测试的概率；
（2）设甲、乙、丙三人中被录用的人数为X ，求X 的概率分布和数学期望．
24．设N n *
∈且n ≥4，集合M ＝{1，2，3，…，n }的所有3个元素的子集个数为N ，这些子集记为A 1，
A 2，…，A N ．
（1）当n ＝4时，求集合A 1，A 2，…，A N 中所有元素之和S ；
（2）记i m 为A i (i ＝1，2，…，N)中最小元素与最大元素之和，记1
()N
i
i m
f n N
==∑，求()f n 的表达式．。