12345678八个数的全排列中,有多少种排列能被11整除
能被11、13整除的数的特征及其它
能被4、7、8、11、13整除的数的特征及其它一、被4或25整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．二、被7整除的数的特征方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。
此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。
如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．方法3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7的倍数。
能被11整除的数的特征
能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除.例如:判断491678能不能被11整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678能被11整除.这种方法叫"奇偶位差法".除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余下一个100以内的数为止.如果余数能被11整除,那么,原来这个数就一定能被11整除.又如:判断583能不能被11整除.用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.（1）1与0的特性：1是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6或8，则这个数能被2整除。
（3）若一个整数的数字和能被3整除，则这个整数能被3整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被4整除，则这个数能被4整除。
（5）若一个整数的末位是0或5，则这个数能被5整除。
（6）若一个整数能被2和3整除，则这个数能被6整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
（8）若一个整数的未尾三位数能被8整除，则这个数能被8整除。
（9）若一个整数的数字和能被9整除，则这个整数能被9整除。
12345678八个数的全排列中,有多少种排列能被11整除
12345678八个数的全排列中，有多少种排列能被11整除？【问题】12345678八个数的全排列88A 个数中，有_______种排列能被11整除。
（2014年数学联赛初赛）【答案】1152【解析】能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除. 例如:判断491678能不能被11整除. —→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除. 这种方法叫"奇偶位差法".下面就来证明，12345678八个数的全排列88A 个数中，有24444⨯⨯A A =1152种排列能被11整除:∵(1+3+6+8)-(2+4+5+7)=0∴1368在奇数位，2457在偶数位的数能被11整除，如12346587÷11＝1122417； 又∵12345678八个数中，1357为四个奇数，无论如何加减只能拿到偶数，2468也是如此；∴12345678这八个数中，无论如何加减，都得不到奇数，更得不到11。
又∵12345678这八个数中，只有8+7+6+5+3-4-2-1=22=2×11，然而，其并不是4奇4偶相加减。
同理33,44更是得不到的！∴12345678这八个数无论如何加减都得不到除0以外11的倍数。
∴只有“1368在奇数位，2457在偶数位”或相反（1368在偶数位，2457在奇数位）这两种情况能被11整除。
∵1368在奇数位有2444=A 种排法，2457在偶数位也是24种排法。
同理，1368在偶数位有2444=A 种排法，2457在奇数位也是24种排法。
∴一共有24444⨯⨯A A 种排列能被11整除。
∴12345678八个数的全排列个数中，有1152种排列能被11整除。
附：如右图若Z=（a+c+e)-(b+d+f)；Z 为11的倍数那么数abcdef 便能被11整除。
能被11整除的数的特征
能被11 整除的数的特征能被11 整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11 的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11 整除.例如:判断491678 能不能被11 整除.—→奇位数字的和9+6+8=23—→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11因此,491678 能被11 整除."奇偶位差法".这种方法叫除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即:从一个数里减去11 的10 倍,20 倍,30 倍⋯⋯到余下一个100 以内的数为止.如果余数能被11 整除,那么,原来这个数就一定能被11 整除.又如:判断583 能不能被11 整除.用583 减去11 的50 倍(583- 11×50=33)余数是33, 33 能被11整除,583 也一定能被11 整除.（1）1 与0 的特性：1 是任何整数的约数，即对于任何整数a，总有1|a.0 是任何非零整数的倍数，a≠0,a为整数，则a|0.（2）若一个整数的末位是0、2、4、6 或8，则这个数能被 2 整除。
（3）若一个整数的数字和能被 3 整除，则这个整数能被 3 整除。
(4) 若一个整数的末尾两位数能被 4 整除，则这个数能被 4 整除。
（5）若一个整数的末位是0 或5，则这个数能被 5 整除。
（6）若一个整数能被 2 和3 整除，则这个数能被 6 整除。
（7）若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的 2 倍，如果差是7 的倍数，则原数能被7 整除。
如果差太大或心算不易看出是否7 的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133 是否7 的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133 是7 的倍数；又例如判断6139 是否7 的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49 ，所以6139 是7 的倍数，余类推。
能被11整除的数的特征
能被11整除的数的特征：这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大减小）是11的倍数。
例如：判断123456789这九位数能否被11整除？
解：这个数奇数位上的数字之和是9＋7＋5＋3＋1=25，偶数位上的数字之和是8＋6＋4＋2＝20.因为25—20＝5，又因为5不是11的倍数，所以11不是123456789的因数。
再例如：判断13574是否是11的倍数？
解：这个数的奇数位上数字之和与偶数位上数字和的差是：（4＋5＋1）-（7＋3）＝0因为0是任何整数的倍数，所以11｜0.因此13574是11的倍数。
⑦能被7（11或13）
整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
例如：判断1059282是否是7的倍数？
解：把1059282分为1059和282两个数.因为1059-282＝777，又7｜777，所以7｜1059282.因此1059282是7的倍数。
再例如：判断3546725能否被13整除？
解：把3546725分为3546和725两个数.因为3546-725=2821.再
把2821分为2和821两个数，因为821—2＝819，又13｜819，所以13｜2821，进而13｜3546725.。
能被11整除的数的特点
能被11整除的数的特点例1 判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。
例2 求下列各数除以11的余数：（1）41873；（2）296738185。
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11＝0……7，所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。
因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7，所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。
如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。
例3 求除以11的余数。
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。
（9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7，11-7=4，所求余数是4。
例3还有其它简捷解法，例如每个“19”奇偶数位上的数字相差9-1＝8，奇数位上的数字和与偶数位上的数字和相差8×99=8×9×11，能被11整除。
所以例3相当于求最后三位数191除以11的余数。
能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征
能被2、3、5、7、9、11、13、17、19整除的数的特征能被2整除的数的特征是个位上是偶数，能被3整除的数的特征是所有位数的和是3的倍数（例如：315能被3整除，因为3+1+5=9是3的倍数）能被4（或25）整除的数的特征：末两位数能被4（或25）整除。
能被8（或125）整除的数的特征：末三位数能被8（或125）整除。
能被5整除的数个位上的数为0或5，能被7整除的数的特征若一个整数的个位数字去掉,再从余下的数中,减去个位数的2倍,如果差是7的倍数,则原数能被7整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
能被9整除的数的特征是所有位数的和是9的倍数能被11整除的数的特征把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。
奇位数字的和9+6+8=23偶位数位的和4+1+7=1223-12=11因此,491678能被11整除。
这种方法叫“奇偶位差法”。
能被13整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果和是13的倍数，则原数能被13整除。
如果数字仍然太大不能直接观察出来，就重复此过程。
如：判断1284322能不能被13整除。
128432+2×4=12844012844+0×4=128441284+4×4=13001300÷13=100所以，1284322能被13整除。
【其它方法：能被7（11或13）整除的数的特征：一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差（以大减小）能被7（11或13）整除。
】例1：判断1059282是否是7的倍数？例2：判断3546725能否被13整除？能被17整除的数的特征把一个整数的个位数字去掉，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
能被4、6、7、8、11、13整除的数的特征
能被4、6、7、8、11、13整除的数的特征一、被4或25整除的数的特征如果一个数的末两位数能被4或25整除，那么，这个数就一定能被4或25整除．例如：4675＝46×100＋75由于100能被25整除，100的倍数也一定能被25整除，4600与75均能被25整除，它们的和也必然能被25整除．因此，一个数只要末两位数能被25整除，这个数就一定能被25整除．又如： 832＝8×100＋32由于100能被4整除，100的倍数也一定能被4整除，800与32均能被4整除，它们的和也必然能被4整除．因此，因此，一个数只要末两位数字能被4整除，这个数就一定能被4整除．二、被6整除的数的特征三、能被6整除的数的特征末尾是0、2、4、6、8且各位上数字的和能被3整除能被6整除的数的特征既要符合能被2整除的数的特征，又要符合能被3整除的数的特征三、被7整除的数的特征方法1、（适用于数字位数少时）一个数割去末位数字，再从留下来的数中减去所割去数字的2倍，这样，一次次减下去，如果最后的结果是7的倍数（包括0），那么，原来的这个数就一定能被7整除．例如：判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
方法2、（适用于数字位数在三位以上）一个多位数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差，如果能被7整除，那么，这个多位数就一定能被7整除．如判断数280679末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。
此法也适用于判断能否被11或13整除的问题。
如：283679的末三位数字是679，末三位以前数字所组成的数是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判断383357能不能被13整除．这个数的未三位数字是357，末三位以前的数字所组成的数是383，这两个数的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．方法3、首位缩小法，在首位或前几位，减于7的倍数。
能被11整除的数规律探讨
能被11整除的数的规律探讨仔细观察下表，然后完成表格，并回答下面的问题。
奇位偶
位
奇
位
偶
位
奇
位
奇
数
位
之
和
偶
数
位
之
和
前
面
两
者
相
差
是
否
能
被
11
整
除
121
144
253
1367
1088
6853
9020
13948
46980
76488
84909
我发现了：某数的奇位数和偶位数之和相差___________或___________的倍数的时候，这个数一定能被11整除。
①5354最少要减去_________才能被11整除。
②7086最少加上_________才能被11整除。
③在_____上填上一个数字，使得该数能被11整除。
a)8___9b)14___9
能被11整除的数的规律：某数的奇位数和偶位和相差0或11的倍数，这个数一定可以被11整除。
例：(1)5352可以减去_____________才能被11整除。
5+5=10
3+2=5
5+0=5
5302÷11=482
5352-5302=50
所以可以减去50
(2)5352最少要加上_____________才能被11整除。
3+7=10
5357÷11=487
5357-5352=5
所以最少要加上5。
3、4、5、6、7、8、9、11、12、13的整除特征
整除特征能被2整除的数个位上的数能被2整除（偶数都能被2整除），那么这个数能被2整除能被3整除的数各个数位上的数字和能被3整除，那么这个数能被3整除能被4整除的数个位和十位所组成的两位数能被4整除，那么这个数能被4整除能被5整除的数个位上为0或5的数都能被5整除，那么这个数能被5整除能被6整除的数各数位上的数字和能被3整除的偶数，如果一个数既能被2整除又能被3整除，那么这个数能被6整除能被7整除的数若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的2倍，如果差是7的倍数，则原数能被7整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍数；又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－9×2＝595 ，59－5×2＝49，所以6139是7的倍数，余类推。
能被8整除的数一个整数的末3位若能被8整除，则该数一定能被8整除。
能被9整除的数各个数位上的数字和能被9整除，那么这个数能被9整除能被10整除的数如果一个数既能被2整除又能被5整除，那么这个数能被10整除（即个位数为零）能被11整除的数奇数位（从左往右数）上的数字和与偶数位上的数字和之差（大数减小数）能被11整除，则该数就能被11整除。
11的倍数检验法也可用上述检查7的「割尾法」处理！过程唯一不同的是：倍数不是2而是1！能被12整除的数若一个整数能被3和4整除，则这个数能被12整除能被13整除的数若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，加上个位数的4倍，如果差是13的倍数，则原数能被13整除。
如果差太大或心算不易看出是否13的倍数，就需要继续上述「截尾、倍大、相加、验差」的过程，直到能清楚判断为止。
能被17整除的数若一个整数的个位数字截去，再从余下的数中，减去个位数的5倍，如果差是17的倍数，则原数能被17整除。
能被11、7整除的数的特征
（4）一个数的末两位数如果能被4（或25）整除，那么 这个数就能被4（或25）整除。
（5）一个数的末三位数如果能被8（或125）整除，那 么这个数就能被8（或125）整除。
（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被9整除，那 么这个数就能被9整除。
又例如判断6139是否7的倍数的过程如下：613－ 9×2＝595 ， 59－5×2＝49，所以6139是7的倍数， 余类推。
总结：我们要牢记能被n个特殊数整除的特征，归纳出 一般性的规律。
（1）一个数的个位数字如果是0，2，4，6，8中的一个， 那么这个数就能被2整除。
（2）一个数的个位数字如果是0或5，那么这个数就能 被5整除。
除上述方法外,还可以用割减法进行判断.即: 从一个数里减去11的10倍,20倍,30倍……到余 下一个100以内的数为止.如果余数能被11整 除,那么,原来这个数就一定能被11整除.
又如:判断583能不能被11整除.
用583减去11的50倍(583-11×50=33)余数是 33, 33能被11整除,583也一定能被11整除.
若一个整数被7 整除。
如果差太大或心算不易看出是否7的倍数，就需要 继续上述「截尾、倍大、相减、验差」的过程，直 到能清楚判断为止。
例如，判断133是否7的倍数的过程如下：13－3×2 ＝7，所以133是7的倍数；
钟晓萱
把一个数由右边向左边数，将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来， 再求它们的差，如果这个差是11的倍数（包括0），那么，原来这个数 就一定能被11整除。
例如：判断491678能不能被11整除。 —→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此，491678能被11整除。 这种方法叫“奇偶位差法”。
能被11整除的数的奥秘
能被11整除的数的奥秘这一讲主要讲能被11整除的数的特征。
一个数从右边数起，第1，3，5，…位称为奇数位，第2，4，6，…位称为偶数位。
也就是说，个位、百位、万位……是奇数位，十位、千位、十万位……是偶数位。
例如9位数768325419中，奇数位与偶数位如下图所示：能被11整除的数的特征：一个数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差（大数减小数）如果能被11整除，那么这个数就能被11整除。
例1判断七位数1839673能否被11整除。
分析与解：奇数位上的数字之和为1＋3＋6＋3=13，偶数位上的数字之和为8＋9＋7=24，因为24-13=11能被11整除，所以1839673能被11整除。
根据能被11整除的数的特征，也能求出一个数除以11的余数。
一个数除以11的余数，与它的奇数位上的数字之和减去偶数位上的数字之和所得的差除以11的余数相同。
如果奇数位上的数字之和小于偶数位上的数字之和，那么应在奇数位上的数字之和上再增加11的整数倍，使其大于偶数位上的数字之和。
例2 求下列各数除以11的余数：（1）41873；（2）296738185。
分析与解：（1）[（4＋8＋3）－（1＋7）]÷11=7÷11=0……7，所以41873除以11的余数是7。
（2）奇数位之和为2＋6＋3＋1＋5=17，偶数位之和为9＋7＋8＋8＝32。
因为17＜32，所以应给17增加11的整数倍，使其大于32。
（17+11×2）-32＝7,所以296738185除以11的余数是7。
需要说明的是，当奇数位数字之和远远小于偶数位数字之和时，为了计算方便，也可以用偶数位数字之和减去奇数位数字之和，再除以11，所得余数与11的差即为所求。
如上题（2）中，（32-17）÷11＝1……4，所求余数是11-4=7。
例3求除以11的余数。
分析与解：奇数位是101个1，偶数位是100个9。
（9×100-1×101）÷11=799÷11=72……7，11-7=4，所求余数是4。
能被11,13整除的数的特征
能被11,13整除的数的特征1.能被11整除的数末位数字可以是0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。
Numbers divisible by 11 can end with 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.2.能被11整除的数的各位数字之差的绝对值能被11整除。
The absolute difference of the digits of a numberdivisible by 11 is itself divisible by 11.3.能被11整除的数的由各位数字之和减去各位数字之差得到的差值能被11整除。
The difference obtained by subtracting the sum of the digits from the difference of the digits of a numberdivisible by 11 is also divisible by 11.4.能被11整除的数的个位数字与十位数字的差的绝对值能被11整除。
The absolute difference between the units digit and the tens digit of a number divisible by 11 is itself divisible by 11.5.能被11整除的数的千位数字与百位数字之差的绝对值能被11整除。
The absolute difference between the thousands digit and the hundreds digit of a number divisible by 11 is itself divisible by 11.6.能被11整除的数的第n位数字与第n+k位数字之差的绝对值能被11整除。
The absolute difference between the nth digit and the(n+k)th digit of a number divisible by 11 is itself divisible by 11.7.能被11整除的数的各位数字之和能被11整除。
能被十一整除的数的规律
《能被十一整除的数的规律》一、奇数位数字之和与偶数位数字之和的差：嘿，你知道吗？一个数能不能被十一整除，有个挺有趣的规律哦！就是看这个数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差。
如果这个差能被十一整除，那这个数就能被十一整除啦！比如说 121 这个数，奇数位数字是 1 和 1，它们的和是 2；偶数位数字是 2。
奇数位数字之和与偶数位数字之和的差就是 2 - 2 = 0，而0 能被十一整除呀，所以 121 就能被十一整除。
我有一次和同学玩数字游戏，我就问他：“你知道1331 能不能被十一整除吗？”他一脸茫然，我就告诉他这个规律，然后我们一起算，奇数位数字之和是1 + 3 = 4，偶数位数字之和是 3 + 1 = 4，差是 4 - 4 = 0，哇，果然能被十一整除呢！同学惊讶地说：“这规律太神奇啦！”你觉得呢？二、从右往左数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的关系：还有一个规律也很有意思哦！就是把一个数从右往左数，奇数位数字之和与偶数位数字之和的关系。
如果它们相等，或者它们的差是十一的倍数，那么这个数也能被十一整除。
比如说990 这个数，从右往左数，奇数位数字之和是 9 + 0 = 9，偶数位数字之和是 9。
它们相等，所以 990 能被十一整除。
有一次我在做数学作业的时候，遇到一个数 561，我就按照这个规律来算，奇数位数字之和是5 + 1 = 6，偶数位数字之和是6，哇，它也能被十一整除呢！我高兴地对自己说：“又发现一个能被十一整除的数啦！”你有没有试过用这个规律来判断一个数能不能被十一整除呢？三、三位一截后数字的特点：你知道吗？把一个数三位一截，然后看这些截出来的数的和也能判断它能不能被十一整除哦！如果这些数的和能被十一整除，那么原来的数就能被十一整除。
比如说 123456 这个数，我们把它三位一截，就得到123 和456。
123 + 456 = 579，我们再看看579 能不能被十一整除，579 的奇数位数字之和是 5 + 9 = 14，偶数位数字之和是 7，差是 14 - 7 = 7，7 不能被十一整除。
【题目】探究并证明能被11整除的5位正整数的特征
探究并证明能被11整除的5位正整数的特征1. 前言在数学中，我们常常会遇到对整数的性质进行探究和证明的问题。
其中，能够被某个整数整除是一个重要的性质。
本文将探究并证明能被11整除的5位正整数的特征，通过推导和证明，最终得出结论。
2. 5位正整数的表示我们来考虑5位正整数的表示。
一个5位正整数可以表示为$N=xxxa+1000b+100c+10d+e$，其中a、b、c、d、e分别为个位数、十位数、百位数、千位数和万位数。
3. 11的整除特征接下来，我们来分析11的整除特征。
一个数能被11整除的充分必要条件是，该数的各个位数之和的奇偶性相同。
121是11的倍数，因为1+2+1=4，而4是偶数。
而123则不是11的倍数，因为1+2+3=6，而6是奇数。
4. 探究5位正整数的特征基于以上分析，我们在此探究5位正整数的特征。
假设一个5位正整数N能被11整除，则根据第3点的结论，$a+c+e=b+d$，且$a+c+e-b-d=11k$，其中k为某个整数。
5. 证明现在，我们来证明上述结论。
假设$N=xxxa+1000b+100c+10d+e$能被11整除，则$a+c+e-b-d$必能被11整除。
而根据第3点的结论，$a+c+e-b-d=11k$成立。
我们证明了5位正整数N能被11整除的特征。
6. 结论一个5位正整数能被11整除的充分必要条件是，该数的各个位数之和的奇偶性相同。
我们成功地探究并证明了能被11整除的5位正整数的特征。
7. 总结在数学中，我们常常通过推导和证明来探究整数的性质。
本文通过分析5位正整数的表示以及11的整除特征，最终得出了能被11整除的5位正整数的特征。
这一过程充分展现了数学推理和证明的重要性，也为我们理解整数的性质提供了有益的参考。
8. 参考文献1. 王军. 数学分析[M]. 高等教育出版社, 2008.2. 张三, 李四. 离散数学基础[M]. 清华大学出版社, 2010.以上便是本文对能被11整除的5位正整数的特征的探究和证明，希望能对读者有所帮助。
能被11整除的数规律探讨
能被11整除的数的规律探讨仔细观察下表，然后完成表格，并回答下面的问题。
奇位偶
位
奇
位
偶
位
奇
位
奇
数
位
之
和
偶
数
位
之
和
前
面
两
者
相
差
是
否
能
被
11
整
除
121
144
253
1367
1088
6853
9020
13948
46980
76488
84909
我发现了：某数的奇位数和偶位数之和相差___________或___________的倍数的时候，这个数一定能被11整除。
①5354最少要减去_________才能被11整除。
②7086最少加上_________才能被11整除。
③在_____上填上一个数字，使得该数能被11整除。
a)8___9b)14___9
能被11整除的数的规律：某数的奇位数和偶位和相差0或11的倍数，这个数一定可以被11整除。
例：(1)5352可以减去_____________才能被11整除。
5+5=10
3+2=5
5+0=5
5302÷11=482
5352-5302=50
所以可以减去50
(2)5352最少要加上_____________才能被11整除。
3+7=10
5357÷11=487
5357-5352=5
所以最少要加上5。
《趣味代数学》能被11整除的数
《趣味代数学》能被11整除的数在做除法的时候，不要忙于开始计算，应该先分析一下被除数的特征，以判断它能否被除数整除。
代数的方法能使这个分析的过程轻松进行。
能被2、3、4、5、6、7、8、9、10整除的数都有哪些特征，这已经是常识了，我们没必要在这里进行分析，我们要分析的是能被11整除的数所具备的特征，这无疑是非常实用的。
假设N是一个多位数，它的个位数是a，十位数是b，百位数是c，千位数是d，依次类推。
则可以用来表示这个多位数N的算式为：省略号所代表的是N这个多位数后面未写出的各个位数的和。
现在我们从这个代表的算式中减掉一个能被11整除的数：得到的差数就是：如果我们分别计算两个除法——即用刚刚得到的这个差数除以11，和用N除以11，就会发现二者得到的余数是相等的。
现在我们再用这个差数加上一个能被11整除的数：得到的和就是：用这个和除以11得到的余数，也与前者相同。
接下来我们再从这所得的数中减去一个能被11整除的数：就这样一直继续下去，会得到：用这个数除以11所得的余数，仍与用N除以11得到的余数相等。
所以我们可以给所有能被11整除的数总结出如下特征：当一个数所有奇数位上的数字和与所有偶数位上的数字和之差为0或11的倍数（正负均可）时，这个数能被11整除。
如果这个差既不是0也不是11的倍数，则该数不能被11整除。
我们来随便写个数字，比如87635064，看看它是否具有这一特征：奇数位上的数字之和：8+6+5+6=25偶数位上的数字之和：7+3+0+4=14二者之差：25-14=1111能被11整除，因此87635064可以被11整除。
除此而外，能被11整除的数还有另外一个特征，这会使那些数位并不多的数更方便判断一些：将被除数从右向左，按每两位数一节的规则进行分节，然后把每一节上的数都加在一起，如果得数能被11整除，则这个被除数就能被11整除，如果不能，结论就正好相反。
现在我们选一个数来验证一下，比如528。
最小公倍数应用题_能被11整除的数特点
从0，1，2，4，8，9六个数码中选出四个组成一个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有几个？能被11整除的数中最大与最小的差是多少？0在个位，该四位数除以10也是11的倍数，千位上的数字不小于十位上的数字且相等或大1，只能是9__80,组成的三个数都不可能。
0在十位，该四位数十位上的数字加个位上的数字等于10，就是说有从0，1，2，4，8，9六个数码中选出四个组成一个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有几个？能被11整除的数中最大与最小的差是多少？0在个位，该四位数除以10也是11的倍数，千位上的数字不小于十位上的数字且相等或大1，只能是9__80,组成的三个数都不可能。
0在十位，该四位数除以11所得的商十位上的数字加个位上的数字等于10，就是说有2和8,1和9，共4种情况，经排查，只有2409和1408符合题意。
0在百位，该四位数除以11所得的商十位上的数字加百位上的数字等于10，同上，有9042从0，1，2，4，8，9六个数码中选出四个组成一个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有几个？能被11整除的数中最大与最小的差是多少？0在个位，该四位数除以10也是11的倍数，千位上的数字不小于十位上的数字且相等或大1，只能是9__80,组成的三个数都不可能。
0在十位，该四位数除以11所得的商十位上的数字加个位上的数字等于10，就是说有2和8,1和9，共4种情况，经排查，只有2409和1408符合题意,2种。
0在百位，该四位数除以11所得的商十位上的数字加百位上的数字等于10，同上，有9042，1种。
没有0，该四位数上奇数位数字和与偶数位数字和相差11，先找到大于11的情况：4+8=12,4+9=13，8+9=从0，1，2，4，8，9六个数码中选出四个组成一个没有重复数字的四位数，其中能被11整除的有几个？能被11整除的数中最大与最小的差是多少？0在个位，该四位数除以10也是11的倍数，千位上的数字不小于十位上的数字且相等或大1，只能是9__80,组成的三个数都不可能。
把1.2.3.4.5.6.7.8...
把1.2.3.4.5.6.7.8...把1.2.3.4.5.6.7.8这八个数字分别填入下面8个括号内，使算式成立。
（每个数字只能用一次）。
把1.2.3.4.5.6.7.8这八个数字分别填入下面8个括号内，使算式成立，每个数字只能用一次，无解，（）+（）=7只能选（1，6）（2,5）（3,4）；（）+（）=9 在（1，6）后只能选（2,7）（4,5），选（2,7）后剩余3,4,5,8，对于（）-（）=1 ，（）-（）=2 不成立，选（4,5）后剩余2，3，7,8，对于后2式仍不成立；（）+（）=9 在（2，5）后只能选（1,8）（3,6），选（1,8）后剩余3,4,6,7，对于后2式仍不成立，选（3,6）后剩余1,4,7,8，对于后2式仍不成立；（）+（）=9 在（3，4）后只能选（1,8）（2,7），选（1,8）后剩余2,5,6,7，对于后2式仍不成立，选（2,7）后剩余1,5,6,8，对于后2式仍不成立；至此已完成所有穷举。
把1~9填入下面的括号内，每个括号内只填一个数字，每个数字只能用一次，使算式成立21÷3=49÷7=56÷827÷3=54÷6=81÷9把345678910这八个数字填入括号内。
每个数字只能用一次3、4、5、6、7、8、9、10。
4+5-3=6 8+9-10=7把1~9这9个数字分别填入下面的括号内并使算式成立每个数字只能用一次（1）27*3=81 6*9=54（2）56/7=8 4/3=12/9将1.2.3.4.5.6.7.8.这八个数字分别填入下面的8个括号里，使等号成立（每个数字用一次）2-1=17-5=26-3=38-4=4合符题目。
满意采纳！把1、2、3、4、5、6、7、8这八个数字填入下面的算是中的八个（）内（每个数字只能用一次），使算式成立。
5 1 . 2 3 - 4 8 . 76 = 2 . 4 7从竖式可以看出，被减数和减数十位上相差是1，故个位向十位借一了，11-2=9，故被减数个位是1，减数个位是8，被减数十分位向个位借了一，12-4=8，而8已用，所以被减数十分位是2，减数十分位是7，被减数百分位向十分位借一了，13-7=6，所以是51.23-48.76=2.47将1~9这九个数字填入括号内，使等式成立，每个数字在一个算式中只能用一次。
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12345678八个数的全排列中，有多少种排列能被11整除？
【问题】12345678八个数的全排列88A 个数中，有_______种排列能被11整除。
（2014年数学联赛初赛）
【答案】1152
【解析】
能被11整除的数的特征
把一个数由右边向左边数,将奇位上的数字与偶位上的数字分别加起来,再求它们的差,如果这个差是11的倍数(包括0),那么,原来这个数就一定能被11整除. 例如:判断491678能不能被11整除. —→奇位数字的和9+6+8=23 —→偶位数位的和4+1+7=12 23-12=11 因此,491678能被11整除. 这种方法叫"奇偶位差法".
下面就来证明，12345678八个数的全排列88A 个数中，有24444⨯⨯A A =1152种排列能被11整除:
∵(1+3+6+8)-(2+4+5+7)=0
∴1368在奇数位，2457在偶数位的数能被11整除，如12346587÷11＝1122417； 又∵12345678八个数中，1357为四个奇数，无论如何加减只能拿到偶数，2468也是如此；
∴12345678这八个数中，无论如何加减，都得不到奇数，更得不到11。
又∵12345678这八个数中，只有8+7+6+5+3-4-2-1=22=2×11，然而，其并不是4奇4偶相加减。
同理33,44更是得不到的！
∴12345678这八个数无论如何加减都得不到除0以外11的倍数。
∴只有“1368在奇数位，2457在偶数位”或相反（1368在偶数位，2457在奇数位）这两种情况能被11整除。
∵1368在奇数位有2444=A 种排法，2457在偶数位也是24种排法。
同理，1368在偶数位有2444=A 种排法，2457在奇数位也是24种排法。
∴一共有24444⨯⨯A A 种排列能被11整除。
∴12345678八个数的全排列个数中，有1152种排列能被11整除。
附：
如右图若Z=（a+c+e)-(b+d+f)；Z 为11的倍数
那么数abcdef 便能被11整除。