高三数学二轮复习 平面向量线性运算及综合应用问题专题能力提升训练 理

平面向量线性运算及综合应用问题

一、选择题(每小题5分，共25分)

1．已知两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |，则下面结论正确的是

( )．

A ．a ∥b

B ．a ⊥b

C ．|a |＝|b |

D ．a ＋b ＝a －b

2．已知向量a ，b 满足|a |＝|b |＝1，|a －b |＝1，则|a ＋b |＝

( )．

A ．1 B. 2 C. 3 D ．2

3．在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13

CA →＋λCB →

，则λ＝

( )．

A.23

B.13 C ．－13 D ．－23

4．设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若

m ·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C ＝

( )．

A.

π6 B.π3 C.2π3 D.5π6

5．已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为

( )．

A.

π6 B.π3 C.π2 D.2π3

二、填空题(每小题5分，共15分)

6．已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)．若a －2b 与c 共线，则k ＝________. 7．设向量a ，b ，c 满足a ＋b ＋c ＝0，(a －b )⊥c ，a ⊥b ，若|a |＝1，则|a |2

＋|b |2

＋|c |2

的值是________．

8．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝2，点E 为BC 的中点，点F 在边CD 上，若AB →·AF →＝

2，则AE →·BF →

的值是________．

三、解答题(本题共3小题，共35分)

9．(11分)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(－cos x ，cos x )，c ＝(－1，0)．

(1)若x ＝π

6

，求向量a ，c 的夹角；

(2)当x ∈π2，9π

8

时，求函数f (x )＝2a ·b ＋1的最大值．

10．(12分)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(－1,0)．

(1)求向量b ＋c 的长度的最大值；

(2)设α＝π

4

，且a ⊥(b ＋c )，求cos β的值．

11．(12分)已知△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，3sin C cos C －cos 2

C ＝12

，且

c ＝3.

(1)求角C ；

(2)若向量m ＝(1，sin A )与n ＝(2，sin B )共线，求a 、b 的值．

参考答案

1．B [两边平方求解．由|a ＋b |＝|a －b |，两边平方并化简得a ·b ＝0，又a ，b 都是非零向量，所以a ⊥b .]

2．C [如图，∵|a |＝|b |＝|a －b |＝1，

∴△AOB 为正三角形，

∴|a －b |2

＝a 2

＋b 2

－2a ·b ＝2－2a ·b ＝1， ∴a ·b ＝1

2

，

∴|a ＋b |2＝a 2＋b 2

＋2a ·b ＝1＋1＋2×12＝3，

∴|a ＋b |＝ 3.]

3．A [由于AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →

＋

λCB →

，知λ＝23

.]

4．C [依题意得，3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，

3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1， 2sin C ＋π6＝1，sin C ＋π6＝12.又π6＜C ＋π6＜7π

6，

因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π

3

，选C.]

5．B [由(a ＋2b )·(a －b )＝|a |2

＋a ·b －2|b |2

＝－2，得a ·b ＝2，即|a |·|b |cos 〈a ，b 〉＝2，cos 〈a ，b 〉＝12.故〈a ，b 〉＝π

3.]

6．解析 a －2b ＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3)，

又∵a －2b 与c 共线，∴a －2b ∥c ， ∴3×3－3×k ＝0，解得k ＝1. 答案 1

7．解析 由题意：c ＝－(a ＋b )，又因为(a －b )⊥c ，a ⊥b ，

可得⎩⎪⎨

⎪⎧

a －b

a ＋

b ＝0，

a ·

b ＝0

⇒⎩⎪⎨⎪⎧

|a |＝|b |＝1，

a ·

b ＝0

⇒|c |2

＝(－a －b )2

＝2，所以|a |2

＋|b |2

＋|c |2

＝4.

答案 4

8．解析 以A 为坐标原点，AB ，AD 所在的直线分别为x ，y 轴建立直角坐标系，则B (2，0)，

E (2，1)，D (0,2)，C (2，2)．设

F (x,2)(0≤x ≤2)，由AB →·AF →

＝2⇒2x ＝2⇒x ＝

1，所以F (1,2)，AE →·BF →

＝(2，1)·(1－2，2)＝ 2. 答案

2

9．解 (1)当x ＝π

6

时，

cos 〈a ，c 〉＝a ·c |a |·|c |＝－cos x

cos 2x ＋sin 2

x ×－

2

＋0

2

＝－cos x ＝－cos π6＝cos 5π

6

.

因为0≤〈a ，c 〉≤π，所以〈a ，c 〉＝5π

6.

(2)f (x )＝2a ·b ＋1＝2(－cos 2

x ＋sin x cos x )＋1

＝2sin x cos x －(2cos 2

x －1)＝sin 2x －cos 2x ＝2sin2x －π4.

因为x ∈π2，9π8，所以2x －π4∈3π

4，2π，

故sin2x －π4∈－1，22.所以，当2x －π4＝3π

4，

即x ＝π

2

时，[f (x )]max ＝1.

10．解 (1)b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，则

|b ＋c |2

＝(cos β－1)2

＋sin 2

β＝2(1－cos β)． ∵－1≤cos β≤1，∴0≤|b ＋c |2

≤4， 即0≤|b ＋c |≤2.

当cos β＝－1时，有|b ＋c |＝2， 所以向量b ＋c 的长度的最大值为2.

(2)由已知可得b ＋c ＝(cos β－1，sin β)，

a ·(

b ＋

c )＝cos αcos β＋sin αsin β－cos α＝cos(α－β)－cos α.

∵a ⊥(b ＋c )，∴a ·(b ＋c )＝0， 即cos(α－β)＝cos α.

由α＝π4，得cos π4－β＝cos π

4，

即β－π4＝2k π±π

4

(k ∈Z )．