第十届陈省身杯试题

第一天
1.已知在等腰△ABC中,AB=AC.三角形ABC的内切圆为⊙I,三角形BIC的外接圆为⊙O.D为⊙O上优弧BC上任意一点,E为线段DI上一点.证明:若过点E作DB的平行线与⊙I相切,则过点E作DC的平行线也与⊙I相切
.
2.设n>1是一个给定正整数,a1,a2,...,a n是n个两两互异的正整数.记M= {(a i,a j),[a i,a j]|1 i<j n}.求M所含不同元素个数的最小值.
3.甲、乙两人由甲开始用红、蓝铅笔轮流对1∼2019这2019个正整数二染色.要求相邻正整数不能异色.若所有数均染成同一种颜色,则乙胜;若还有数没有染色但轮到的人无法对任意一个没染色的数染色,则此人输.问,谁有必胜策略?
4.计算:
log2(
2018
∏
a=0
2018
∏
b=0
(
1+e2πab i
2019
))
其中,i为虚数单位.
第二天
5.已知锐角△ABC满足BC>CA>AB,△ABC的内切圆⊙I与边BC,CA,AB切于点A0,B0,C0,△ABC的垂心为H,HA,HB,HC的中点分别为A1,B1,C1这三点分别关于直线B0C0,C0A0,A0B0的对称点为A2,B2,C2证明:
（1）A2,B2,C2三点共线；
（2）A2B2
B2C2=tan∠BAC2−tan∠ABC2 tan∠ABC
2
−tan∠ACB
2
6.设k>1是给定的整数.是否存在无穷多个满足下面条件的整数x:x可表示成两个正整数的k次幂之差但不能表示成两个k次幂之和？
7.设A,B,C,D为平面上两辆不同的四个点,且其中任意三点不共线.证明:若线段AB,BC,CD,DA,AC,BD长度的平方均为有理数,则S△ABC
S△ABD
为有理数.
8.已知整数n 2,实数a满足0<a<n+1
n−1
,复数z满足z n+1−az n+az−1=0证明:|z|=1.。