海南省文昌中学高二数学下学期段考(期中)试题理

2015—2016学年度第二学期高二年级数学(理科)段考试题（时间：120分钟，满分：150分） 第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1、已知函数f (x ) = x sin x ，则f (x ) 的导函数是（ ） A ．增函数B ．减函数C ．奇函数D ．偶函数2、用反证法证明“如果a b >> ）A =B =C <D =<3、已知函数2()21f x x =-的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+△x ,1+△y )，则yx∆∆等于( ) A ．4B ．42x +∆C ．4x +∆D ．24()x x ∆+∆4、复数iz -=12，则复数z 的模是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．22 5、曲线2x y =和曲线x y =2围成的图形面积是（ ） A ．31B ．32C ．1D ．34 6、已知()()201f x x xf '=--，则f(2017)的值为（ ） A ．2013×2015 B ．2014×2016C ．2015×2017D ． 2016×20187、函数()21ln 2f x x x =-的图象大致是（ ）8、如果一个棱长为x 正方体的体积在数值上等于V ，表面积在数值上等于S ，且0V S m --≥恒成立，则实数m 的范围是（ ）A ．(－32,－16)B ．[32,16]--C ．(,32]-∞-D ．(,16]-∞-9、在平面几何中有如下结论：正三角形ABC 的内切圆面积为1S ，外接圆面积为2S ，则1214S S =，推广到空间中可以得到类似结论：已知正四面体P ABC -的内切球体积为1V ，外接球体积为2V ，则12V V =（ ）A ．18B ．19C ．164D ．12710、设函数f (x )的导函数为f ′(x )， 对任意x∈R 都有f (x )> f ′(x )成立， 则（ ）A ．3f (ln2)＜2 f (ln3)B ．3 f (ln2)＝2 f (ln3)C ．3 f (ln2)＞2 f (ln3)D ．3 f (ln2)与2 f (ln3) 的大小不确定11、函数2()(0,0)f x ax bx a b =+>>在点(1,(1))f 处的切线的斜率2，则8a bab+ 的最小值是（ ） A ．9B ．10C ．16D ．2512、如图是二次函数f (x ) ＝ x 2－bx ＋a 的部分图象，则函数g (x ) ＝ e x＋ f ′(x )的零点所在的区间是( )A ．（0，1）B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（3，4）第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上) 13、曲线323y x x =-+在点(1,2)处的切线方程为 ． 14、=-⎰dx x x 1)2(__________.15、从{1，2，3，4，5}中随机选取一个数为a ，从{1，2，3}中随机选取一个数为b ，则使得b≠a 的不同取法共有 种．16、已知任何一个三次函数f (x ) ＝ a x 3＋bx 2＋cx ＋d （a ≠0）都有对称中心M （x 0，f (x 0)），记函数f (x )的导函数为f ′(x )，f ′(x )的导函数为f ″(x )，则有f ″(x 0)=0，若函数f (x ) ＝ x 3－3x 2，则f (12016)＋f (22016)＋f (32016)＋…＋f (40312016)＝ .三、解答题(本大题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17、（本小题满分10分）设复数Z ＝(m 2+2m －3)＋(m －1)i ，试求m 取何值时， （1）Z 是实数； （2）Z 是纯虚数；（3）Z 对应的点位于复平面的第一象限．18、（本小题满分12分）已知函数)()(23R a x ax x f ∈+=在34-=x 处取得极值． （1）确定a 的值；（2）若x e x f x g )()(=，求出函数e x f x g )()(=的单调区间．19、（本小题满分12分）在三棱柱111C B A ABC -中，侧面11A ABB 为矩形，2=AB ，221=AA ，D 是1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，且CO ⊥平面11A ABB ． （1）证明：1AB BC ⊥；（2）若OA OC =，求直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值．20、（本小题满分12分）如图，相距14km 的两个居民小区M 和N 位于河岸l （直线）的同侧，M 和N 距离河岸分别为10km 和8km ．现要在河的小区一侧选一地点P ，在P 处建一个生活污水处理站，从P 排直线水管PM ，PN 分别到两个小区和垂直于河岸的水管PQ ，使小区污水经处理后排入河道．设PQ 段长为t km （0<t <8）．（1）求污水处理站P 到两小区的水管的总长最小值（用t 表示）；（2）请确定污水处理站P 的位置，使所排三段水管的总长最小，并求出此时污水处理 站分别到两小区水管的长度．21、（本小题满分12分）已知函数()(),2ln mf x mxg x x x=-=． （1）当1m =时，判断方程()()f x g x =在区间()1,+∞上有无实根； （2）若(]1,x e ∈时，不等式()()2f x g x -<恒成立，求实数m 的取值范围．22、（本小题满分12分）已知函数12()ln .x xe f x e x x-=+ （1）求曲线()y f x =在1x =处的切线方程； （2）证明：()1f x >．l河Q P NM2015—2016学年度第二学期 高二年级数学(理科)段考试题参考答案 第Ⅰ卷 选择题（共60分）一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)第Ⅱ卷 非选择题（共90分）二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分) 13、013=--y x 14 、4π15、12 16、－8062 三、解答题(本大题共6个小题，共70分)17、解：（1）由m-1=0得m=1，即m=1时Z 是实数． ……………………………… 2´（2）由 2102230m m m -≠⎧⎨+-=⎩（）由 ………………………………………………… 4´解得m=-3，即m=-3时Z 是纯虚数． …………………………………… 6´（3）由223010m m m ⎧+->⎨->⎩ ………………………………………… 8´解得m>1，即m>1时Z 对应的点位于复平面的第一象限．………… 10´18、解：（1）x ax x f 23)(2+='， …………………………………………………… 1´因为f （x ）在34-=x 处取得极值，所以0)34(=-'f ， ……………… 2´ 即038316)34(29163=-=-⨯+⨯a a ，得21=a ． …………………… 4´ （2）由（1）得xe x x x g )21()(23+=， ……………………………… 5´故x x x x e x x x e x x x e x x e x x x g )4)(1(21)22521()21()223()(23232++=++=+++='，x x x e x x x e x x x e x )4)(1(21)22521()232++=++=+ ……………………………………7´当0)(>'x g 时，即－4＜x ＜－1，或x >0，g (x )在对应区间为增函数；…………………………………… 9´当0)(<'x g 时，即x ＜－4，或－1＜x ＜0，g (x )在对应区间为减函数．………………………………………11´综上可知g (x )在区间（－4，－1）和),0(+∞上为增函数；在区间)4,(--∞和（－1，0）上为减函数． …………………… 12´ （本题如用列表法解答自行参照给分） 19、解：（1）由题意22tan ==∠AB AD ABD ， …………………… 1´ 22tan 11==∠BB AB B AB ， …………………… 2´ 又2,01π<∠∠<B AB ABD ，∴B AB ABD 1∠=∠，∴2111π=∠+∠=∠+∠BAB ABD BAB B AB ， …………………… 3´∴2π=∠AOB ，∴BD AB ⊥1． …………………… 4´又⊥CO 平面11A ABB ，∴CO AB ⊥1， ……………………5´ ∵BD 与CO 交于点O ，∴⊥1AB 平面CBD ，又BC ⊂平面CBD ，∴BC AB ⊥1． …………………… 6´ （2）如图，分别以OD ，1OB ，OC 所在直线为z y x ,,轴，以O 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，…………7´则)0,332,0(-A ，)0,0,362(-B ， )332,0,0(C ，)0,0,36(D ，)0,332,362(-=AB ，)332,332,0(=，)332,0,36(-=， ……………………9´设平面ABC 的法向量为),,(z y x =，则==00，即 ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+-03323320332362x y y x ， …………………… 10´ 令1=y ，则1-=z ，22=x ，所以)1,1,22(-=n ，…………………… 11´ 设直线CD 与平面ABC 所成角为α，则2102)1,1,22()332,0,36(,cos sin ⋅-⋅-=>=<=n CD α()5155133202236=-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⨯=所以直线CD 与平面ABC 所成角的正弦值为515． ……………… 12´ （本题用传统方法解答参照给分）20、解：（此题解答虽然建系，但不建系求解一样给分）（1）如图，以河岸l 所在直线为x 轴，以过M 垂直于l 的直线为y 轴建立直角坐标系，则可得点(0, 10)M ，由MN=14可以求得点N …………… 2´ 设点(,)P s t ，过P 作平行于x 轴的直线m ， 作N 关于m 的对称点N '，则8)N t '-． ……… 3´ 所以PM PN PM PN MN ''+=+≥ … 4´=8)t =<< … 6´（2）设三段水管总长为L ，则由（1）知L PM PN PQ MN PQ '=+++≥8)t t =+<<，…………… 7´N 'my xOl河QP N M()1L t '= …………………………………………… 8´ 令()1L t '==0， 则有218650t t-+=，∴ t=5 或 t=13（舍） …………………………………… 9´ ∵ 0＜t ＜5时，()L t '＜0, ∵5＜t ＜8 时，()L t '＞0∴ t =5为极小值点，也为最小值点，所以L 的最小值为21，此时对应的5(0, 8)t =∈． …………………… 10´故N '，MN '方程为10y x =，令5y =得x =，即P ．从而10PM =，6PN ==．答：满足题意的P 点距河岸5km ，距小区M到河岸的垂线，此时污水处理站到小区M 和N 的水管长度分别为10km 和6km ． …………………… 12´21、解：（1）1m =时，令()()()12ln h x f x g x x x x=-=--， …………………… 1´ ()()222112'10x h x x xx-=+-=≥． …………………… 3´∴()h x 在()0,+∞上为增函数． …………………… 4´ 又()10h =，所以()()f x g x =在()1,+∞上无实根．…………………… 5´ （2）2ln 2mmx x x--<恒成立， 即()2122ln m x x x x -<+恒成立， …………………… 6´又210x ->，则当(]1,x e ∈时，222ln 1x x xm x +<-恒成立， …………………… 7´令()222ln 1x x xG x x +<-， 只需m 小于()G x 的最小值，()()()222ln ln 2'1x x x G x x-++<-， …… 8´∵1x e <≤，∴ln 0x >． ……………………9´ ∴当(]1,x e ∈时()'0G x <，∴()G x 在(]1,e 上单调递减， ………10´ ∴()G x 在(]1,e 的最小值为()241eG e e =-． ……………………11´ 则m 的取值范围是24,1e e ⎛⎫-∞ ⎪-⎝⎭． …………………… 12´22、（1）解：函数f （x ）的定义域为（0，＋∞）， ………………………………… 1´11'222()ln x x x xe xe ef x e x x x ---=++ ………………………… 3´由题意可得f （1）＝2，f ′（1）＝e ，故曲线()y f x =在1x =处的切线方程为(1)2y e x =-+； ……… 5´（2）证明：由（1）知，f （x ）＝e xln x ＋xe x －12，从而()1f x >等价于2ln xx x xe e ->-． …………………… 7´设函数g （x ）＝x ln x ，则g ′（x ）＝1＋ln x ， …………………… 8´ 所以当x ∈1(0,)e时，g ′（x ）< 0；当x ∈1(,)e+∞时，g ′（x ）> 0.故g （x ）在1(0,)e 上单调递减，在1(,)e+∞上单调递增，从而g （x ）在（0，＋∞）上的最小值为g 1()e ＝－1e．………… 10´设函数h（x）＝x e－x－2e，则h′（x）＝e－x（1－x）．所以当x∈（0，1）时，h′（x）>0；当x∈（1，＋∞）时，h′（x）<0.故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，＋∞）上单调递减，从而h（x）在（0，＋∞）上的最大值为h（1）＝－1e．因为g min（x）＝g1()e＝h（1）＝h max（x），所以当x>0时，g（x）>h（x），即f（x）>1. ……………………12´。