建立坐标系 巧解几何题
初中数学建系法解几何例题
初中数学建系法解几何例题篇一：初中数学建系法解几何例题正文:几何是初中数学中的重要分支,建系法是解决几何问题的一种有效方法。
下面以一道初中几何例题为例,介绍如何用建系法来解决它。
例题:已知三角形ABC的边长分别为3、4、5,求三角形ABC的面积。
解法:我们可以使用建系法来求解该问题。
建系法的步骤如下:1. 将未知量表示为向量。
2. 建立坐标系,确定未知量所在的点。
3. 根据坐标系中点的坐标,计算出向量AB的长度。
4. 根据向量AB的长度,计算出向量AC的长度。
5. 根据向量AB、AC的长度,计算出向量AB与向量AC的夹角。
6. 根据向量的模长,计算出三角形ABC的面积。
具体步骤如下:1. 将未知量表示为向量。
向量AB表示为:AB = (3,4)2. 建立坐标系。
我们可以将三角形ABC所在的平面直角坐标系表示为:x轴指向右下方,y轴指向正上方。
3. 根据坐标系中点的坐标,计算出向量AB的长度。
在坐标系中,点C的坐标为(5,4),因此向量AB的长度为:|AB| = (3,4) = 3 + 4/2 = 7/24. 根据向量AB的长度,计算出向量AC的长度。
向量AC表示为:AC = (4,5)5. 根据向量AB、AC的长度,计算出向量AB与向量AC的夹角。
向量AB与向量AC的夹角为30度,因为向量AB与向量AC的模长之和等于3+4=7,且夹角为30度。
6. 根据向量的模长,计算出三角形ABC的面积。
向量AB的模长为|AB| = 7/2,因此三角形ABC的面积为:S = |AC| * |AB| / 2 = 7 * 3 / 2 = 11.5因此,三角形ABC的面积为11.5。
拓展:建系法是一种用于求解几何问题的有效方法,可以将未知量表示为向量,并利用坐标系中的点、向量、夹角等信息来求解问题。
在初中数学中,建系法的应用非常广泛,可以用于解决许多几何问题,如三角形的面积、四边形的性质等。
在实际应用中,我们需要注意选择合适的坐标系和向量,以得到正确的答案。
解析几何解答题技巧
解析几何解答题技巧
解析几何是数学中的一个重要分支，主要研究空间中点、线、面等几何对象在坐标系中的表示和性质。
在解析几何的解答题中，需要注意以下几点技巧：
1. 建立坐标系：根据题目的具体情况，选择适当的坐标系，如直角坐标系、极坐标系或参数方程。
坐标系的建立有助于将几何问题转化为代数问题，便于进一步求解。
2. 设点坐标：根据题目要求，设出未知点的坐标。
设点坐标时需要注意，所设的坐标应尽量满足题目的条件，便于求解。
3. 列出方程：根据题目的已知条件和设定的坐标，列出所需的方程。
列方程时需要注意，方程应尽可能简单，便于求解。
4. 解方程：根据所列的方程，解出未知数的值。
解方程时需要注意，解方程的方法应尽可能简单，便于计算。
5. 验证答案：解出答案后，需要进行验证，确保答案符合题目的条件和已知条件。
验证答案时需要注意，答案应尽可能准确，避免出现误差。
6. 总结答案：最后需要对答案进行总结，写出完整的答案。
总结答案时需要注意，答案应尽可能清晰，便于阅读和理解。
总之，在解析几何的解答题中，需要注意建立坐标系、设点坐标、列出方程、解方程、验证答案和总结答案等技巧。
同时还需要注意计算准确、思路清晰、表达简洁等要求。
初中数学建系法解几何例题
初中数学建系法解几何例题篇一：初中数学建系法解几何例题建系法是初中数学中解决几何问题的一种常用方法。
通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，从而简化解题过程。
下面以几何例题为例，介绍建系法的应用。
例题：已知三角形ABC的顶点分别为A(-2,1)，B(1,3)，C(4,2)，求三角形ABC 的周长。
解答：1. 首先，根据给定的坐标，我们可以将三角形ABC的三条边的边长求出来。
根据两点间距离公式，AB的边长为√[(1-(-2))^2+(3-1)^2]=√[3^2+2^2]=√13，BC的边长为√[(4-1)^2+(2-3)^2]=√[3^2+1^2]=√10，AC的边长为√[(-2-4)^2+(1-2)^2]=√[6^2+1^2]=√37。
2. 接下来，我们可以将三边的边长相加，即可得到三角形ABC的周长。
则周长为√13+√10+√37。
通过建系法，我们将原本的几何问题转化为了代数问题，通过计算得到了三角形ABC的周长。
这种方法在解决几何问题时，可以更加简单直观地进行计算，同时也便于进行推理和证明。
除了求周长，建系法还可以用于解决其他几何问题，例如求面积、判断两条直线的关系等。
通过建立坐标系，我们可以将几何问题用代数方式表示，从而更好地理解和解决问题。
总结起来，初中数学中的建系法是一种实用的解题方法，通过建立坐标系，将几何问题转化为代数问题，从而简化解题过程。
这种方法不仅方便计算，还能够进一步加深对几何知识的理解。
因此，在学习数学时，我们应该熟练掌握建系法，并灵活运用于解决各种几何问题。
篇二：初中数学建系法是解决几何题目常用的方法之一。
它可以帮助我们建立一个适合问题的坐标系，从而更方便地进行计算和推导。
下面我们来看几个使用建系法解决的几何例题。
例题1：在平面直角坐标系中，已知三角形ABC的顶点坐标分别为A(2, 4)，B(6, 2)和C(8, 6)，求三角形ABC的周长和面积。
解题思路：我们可以先通过建系法计算出三角形ABC的边长，然后再利用海伦公式求解面积。
浅谈初中数学利用建系法巧解几何题
浅谈初中数学利用建系法巧解几何题摘要：初中数学是一门非常重要的学科，其在中考的分数中比重较多，研究初中数学中抽象几何的解题策略具有较为深远的意义，一方面可以为现如今初中数学的发展带来关键性影响，还可以进一步帮助初中生掌握初中数学解题策略，提升自身对于初中数学抽象几何的理解。
关键词：抽象几何几何性质常见题型解题策略1研究背景数学通常是让学生颇为头疼的一门学科。
它具有思维的发散能力，理论的严谨性以及应用时的灵活程度等特点。
而在初中数学这个阶段，学生开始培养自身的思维，可能并不理解抽象是什么样子的概念，这就给初中的抽象几何教学增添了一定的困难。
但是通过研究初中数学利用建系法解决几何问题策略能够更好的解决这样的问题。
几何题目往往比较短小精悍，一般是以一个知识点为基础，教师可以针对学生在学习时的疑难问题让学生自主思考进行解答，使学生一目了然，开阔思维，教学具有针对性。
据研究表明，在人的智力构成部分中，思维能力占据极大的比例，抽象几何对于发散思维的培养有助于学生纵向、横向、深入去了解问题，判断问题，信息给予整合，从而从条件中，寻找众多问题的答案。
其注重的是突破惯性思维的束缚，发散自身思考问题的角度，从而使学生获得更多答案。
其相比于传统模式更加灵活、流畅。
在抽象几何分层教学中，对学生进行教学，引导学生思考，提升学生思维能力，能够帮助他们融会贯通，拥有更加辽阔的眼界与思路，使被动学习成为了主动，从而提高数学教学的课堂学习质量。
2.抽象几何抽象几何具有复杂性、隐藏性、抽象性等多种特点,教师和学生在掌握抽象几何时都存在一定的难度,所以本文就更加注重对抽象几何的求解思路和技巧,进行充分的剖析。
例如，正方形ＡＢＣＤ与正方形ＣＧＥＦ的边长，分别是２和３,且Ｂ,Ｃ,Ｇ三点在同一条直线上,Ｍ是线段ＡＥ的中点,连接ＭＦ,则ＭＦ＝？解法一几何法对于学生来说,几何题用几何法解,是最直接的思路,而几何法通常需要作辅助线,这就是几何法的难点所在.解延长ＡＤ,与ＦＭ的延长线交于点Ｑ，因为Ｍ是线段ＡＥ的中点,所以ＡＭ＝ＥＭ又因为四边形ＡＢＣＤ与ＣＧＥＦ都是正方形,所以ＡＤ∥ＥＦ所以∠ＡＱＭ＝∠ＥＦＭ,∠ＭＡＱ＝∠ＭＥＦ所以△ＦＭＥ≌△ＱＭＡ(ＡＡＳ) 所以ＭＱ＝ＭＦ因为∠ＦＤＱ＝９０°,ＦＤ＝ＦＣ - ＤＣ＝１ＤＱ＝ＡＱ - ＡＤ＝ＦＥ - ＡＤ＝１所以△ＦＤＱ是等腰直角三角形,腰长为１所以ＦＱ＝２所以ＭＦ＝２２解法二建系法思路分析要求ＭＦ的长,则需要Ｍ点坐标和Ｆ点坐标,Ｆ点坐标易知,所以只需求Ｍ点坐标即可. 而Ｍ点是ＡＥ中点,所以只需知道Ａ、Ｅ点坐标即可,Ａ、Ｅ点坐标易知.解以Ｃ为坐标原点,ＢＣ所在直线为ｘ轴,建立平面直角坐标系.则Ａ( - ２,２),Ｅ(３,３)因为Ｍ是线段ＡＥ的中点,所以由中点坐标公式得Ｍ( １２ , ５２ ) 因为Ｆ(０,３)所以由两点距离公式得｜ＭＦ｜＝√2/2从以上解题过程可以很直观看出用建系法解题相对于几何法来说,确实简单很多,书写上也更简洁. 减少了学生最常出错的辅助线描述过程,减少了思考量. 思路也更为直接. 建系法有时还会涉及到求函数解析式和交点坐标, 也是学生非常容易出错的难点通过上面的两种不同解法的分析比较,发现两种解法要多次反复运用诸如正弦定理、余弦定理等式来来分解两个三角形,运算量大,关系复杂,特别是还要多次设两个新的未知数,运算量可能更大,学生不易完全掌握。
第15讲 利用坐标系解决几何问题(教师版)
，
直线 的方程为
，
直线 的方程为
，
∴直线 和直线 的交点坐标为
，在 轴上，
则三角形的三条高线交于一点．
三、与角度有关的证明
典题精练 例题8
已知等腰
中，
， 为 的中点，
，求证：
．
答案 证明见解析．
解析 以 为原点， 、 分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系， 设 点坐标为（ ， ），则 点坐标为
（ ， ）， 点坐标为（ ， ），
，则 点坐标为（ ， ），
∵
，∴ 点的坐标为（ ， ），
显然
．
例题3
在梯形中，， 、 源自别为对角线 、 的中点．（1） 求证： （2） 求证：
． ．
答案 （1） 证明见解析． （2） 证明见解析．
解析 （1） 过 点作 的垂线，以 为原点， 、 的垂线分别为 轴、 轴建立平面直角坐标
系，
设 点坐标为（ ， ）， 点坐标为（ ， ）， 点坐标为（ ， ），则 点坐标为
由弦图可知， 点坐标为（
， ）， 点坐标为（ ， ）
则直线 的方程为
，直线 的方程为
，
两直线交点 的横坐标为 ，即点 在 轴上，
∴
．
例题6
已知
是等边三角形， 、 分别是 、 上的点，且满足
，
、 相交于点 ，求证：
．
，连接
答案 证明见解析． 解析 以 中点 为原点， 、 分别为 轴、 轴建立平面直角坐标系，
这个公式来自于印度数学奇才拉马努金。他曾经深入的研究了形如上式的无穷根式并得到了这个 神奇的结果。传说拉马努金曾经把这个结果放在《印度数学会刊》上征集证明，结果数月内无人 能应。各位看官有没有蠢蠢欲动的？ TOP4： 这个结果来自于卡尔-高斯。不消说，这个余弦特殊值足以说明：正十七边形是可以尺规作图的。 在发现此式之前人们找到的、能用根式表达余弦值的角度大部分还停留在欧几里得时期的水平。 高斯也因为他在19岁就做出的这项了不起的成果而开始从事数学研究。古典文学从此永远的失去 了高斯。在作出这项告慰古希腊先贤们的贡献之后，小高斯就建立了一个自己的科学笔记，专门 介绍自己最新的数学发现。 TOP3: 这个貌似神奇的式子来自50多年前的《Scientific American》。当时著名的趣味数学大师马丁·加德 纳所主持的一个专栏上出现了这个公式，只可惜出版的当天日期是4月1号。这个式子或许可以蒙 普通读者，但是绝对蒙不了数学家，因为根据著名的林德曼定理容易判定等式左边的e指数一定 是一个超越数，绝对不可能是一个整数。然而如果你用mathematica去计算的话会惊奇的发现：这 个超越数的值是：262537412640768743.9999999999992500725972…… 竟然有12个9！！即使如此它仍然是一个超越数，一种比无理数还“无理”的数 TOP2: 这就是受到我们万世敬仰的欧拉公式（music起）：上面欧拉公式的漂亮之处就不用我解释了吧。 人们经常把它与老爱同志的E=mc^2并列为数学和物理学公式中的双子星。历史上的欧拉是一位全 才数学家，同时也是一名虔诚的教徒，笃信上帝的存在。据说有一次俄国的叶卡捷琳娜二世邀请 狄德罗来访问她的宫廷，而狄德罗是一名不折不扣的无神论者。不久叶卡捷琳娜二世就厌倦了狄 德罗那喋喋不休的无神论说教之词，让欧拉来好好教训他一顿。欧拉开门见山的质问
巧建系，妙解立体几何题
解题宝典立体几何问题侧重于考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力.在解答立体几何问题时，我们一般只有借助立体几何图形来进行分析，才能快速明确题目中点、线、面的位置关系，找到解题的突破口.建系法是解答立体几何问题的一种重要方法，而运用建系法解答立体几何问题的关键是建立合适的空间直角坐标系，通过空间直角坐标运算求得问题的答案.那么如何选取坐标轴和原点，建立合适的直角坐标系呢？主要有以下两种方法.一、根据几何体的性质和特点建系我们知道，空间直角坐标系中的三个坐标轴相互垂直，并相交于一点.因此，在解答立体几何问题时，可以根据简单几何体的特点和性质，尤其是长方体、直棱柱、直棱锥、圆柱的性质和特点来寻找垂直关系.当图形中出现三条直线两两互相垂直且交于一点时，可以将这三条直线看作坐标轴，将该交点视为坐标原点来建系.例1.（2019年全国卷Ⅱ理科·第17题）如图1，长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的底面ABCD 是正方形，点E 在棱AA 1上，BE ⊥EC 1.若AE =A 1E ，求二面角B -EC -C 1的正弦值.图1图2分析:本题主要考查了二面角的求法.我们根据长方体的特点和性质可知长方体的所有侧棱都与底面垂直，且底面上由顶点出发的两条棱相互垂直，于是可将底面的其中一个顶点视为原点，以由顶点出发的三条棱为x 、y 、z 轴建立空间直角坐标系.然后根据题目给出的条件，找出相关点的坐标，求出两个平面、BEC 、ECC 1的法向量，再根据公式求出两个平面法向量的夹角余弦值，便可得出夹角的正弦值.解：以点D 为坐标原点，DA 的方向为x 轴的正方向，建立如图2所示的空间直角坐标系D -xyz .设正方形ABCD 的边长为1，||AA 1=2a ，则||A 1E =||AE =a ，所以||EB 1=||EB =a 2+1，因为ABCD -A 1B 1C 1D 1为长方体，所以B 1C 1⊥平面ABB 1A 1，且BE 在平面ABB 1A 1内，因此C 1B 1⊥BE .由题知BE ⊥EC 1,所以BE ⊥平面EB 1C １.且EB 1在平面EB 1C 1内，则BE ⊥EB 1.在RtΔB 1EB 中，EB 12+EB 2=B 1B 2，即a 2+1+a 2+1=4a 2，所以a =1，所以B (1,1,0)，C (0,1,0)，E (1,0,1)，C 1(0,1,2)，所以 CE =(1,-1,1)， CB =(1,0,0)， CC 1=(0,0,2)设平面BCE 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，则ìíî n 1·CE =x 1-y 1+z 1=0, n 1·CB =x 1=0,，解得{x 1=0,z 1=y 1,取 n 1=(0,1,1)，设平面CEC 1的法向量为 n 2=(x 2,y 2,z 2)，则ìíî n 2·CE =x 2-y 2+z 2=0, n 2·CC 1=2z 2=0,解得{z 2=0,y 2=x 2,取 n 2=(1,1,0)，所以cos n 1, n 2=n 1·n 2|| n 1·|| n 2=12.于是sin n 1, n 2=,故二面角B -EC -C 1的正弦值为.例2.如图3，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别是AB 、BB 1的中点，AA 1=AC =CB .求二傅灵欣廖小莲44解题宝典面角D -A 1C -E 的正弦值.图3图4分析：该几何体为直三棱柱，我们可以根据直三棱柱图形的特点和性质来建立空间直角坐标系.直棱柱的侧棱垂直于底面，只要根据题目的条件在直三棱柱的底面找到两条互相垂直且与侧棱有交点的直线，这样三条直线两两便会互相垂直，为建立空间直角坐标系创造了条件.求出相关点的坐标以及二面角所包含的两个平面的法向量，再根据公式便可求出二面角的余弦值，求得夹角的正弦值.解：由AC =CB =得ΔACB 是以∠C 为直角的等腰直角三角形，又因为是直三棱柱ABC -A 1B 1C 1，所以棱CC 1⊥底面ACB .故以点C 为原点、CA 的方向为x 轴，建立如图4所示的空间直角坐标系.设AB =2，则AA 1=AC =CB =AA 1=2，则A (2,0,0)，B （0，2,0），D 0），A 1（2,0，2），C （0,0,0），又因为AA 1=BB 1=2，所以E(0,2，于是 CA 1=（2,0，2）， CD =0），CE =（0，2，，设平面DA 1C 的法向量为n 1=(x 1,y 1,z 1)，则ìíîïï n 1·CA 121+2=0,CD · n 1=2121=0,解得{x 1+z 1=0,x 1+y 1=0,取n 1=(1,-1,-1)，设平面A 1CE 的法向量为n 2=(x 2,y 2,z 2)，则ìíîïï n 2·AC 1=2x 222=0, CE · n 2=2y 222=0,解得ìíîïïx 2+z 2=0,y 2+12z 2=0,取n 2=（2,1,-2），所以cos n 1， n 2=n 1·n 2|| n 1·||n 2=，则sin n 1, n 2=故二面角D -A 1C -E 的正弦值为.在用建系法解答与长方体、直棱锥有关的立体几何问题时，可以根据长方体、直棱锥本身的性质和特点来建系，若无法根据几何体的性质和特点建系，可以根据题意创造条件来建系.二、利用线面垂直关系建立直角坐标系在建系时，z 轴往往是比较容易选取的，而坐标原点即为z 轴与底面的交点，那么我们只需要确定与z 轴垂直的坐标平面xOy ，且使x 轴、y 轴相互垂直即可.可以根据线面垂直关系来寻找与z 轴垂直的平面.首先要充分利用好底面中的垂直条件，然后根据线面垂直的判断定理得到相应的z 轴以及与z 轴垂直的平面，这样便可建立符合要求的空间直角坐标系.例3（2020年全国Ⅰ卷，第20题）如图5，四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，PD ⊥底面ABCD .设平面PAD 与平面PBC 的交线为l .（1）证明：l ⊥平面PDC ；（2）已知PD =AD =1，Q 为l上的点，求PB 与平面QCD 所成角的正弦值的最大值.图5分析：我们可以先根据线面垂直的关系，即PD ⊥底面ABCD 来建立空间直角坐标系.而四棱锥P -ABCD 的底面为正方形，所以正方形的四条邻边相互垂直，于是可以以D 为坐标原点、DA 的方向为x 轴的正方向建立空间直角坐标系.求出相关点的坐标，设45方法集锦。
构建坐标系妙解几何题
＝
＿ ＿
推 论
， 即ｌ ≤ｌ ≤ｌ ．
时 ， 最 短 路 线 长 为
＋（ ＋ ｚ ） ＝
３ 应 用
＋（ ＋ ） ＝ 、 ／ ／ ５ ： ， ／ ３ － ．
例１ （ ２ ０ ０ ９ 恩施 市 ） 如图６ ， 长方 体 的长为 １ ５ ， 宽 为 １ ０ ， 高为 ２ ０ ， 点 曰离点 Ｃ的距 离 为 ５ ， 一 只 蚂 蚁 如果 要 沿 着 长方 体 的表 面 从 点 Ａ爬 到 点 Ｂ ， 需 要 爬 行 的 最短 距 离
利用长方体中两个“ 斜对顶点”的表面最短路 线长
图 Ｏ 图 ７
问题 的求 解公 式 及推 论 ， 可 以快 速解 决 有 关 长 方 体 表 面
两点的最短路线长问题． 在教学中， 教师要给学生提供充 分探索的时间和空间， 关注知识 生成 的过程和思维的过
分 析简 解
Ｋ力‘ 体＿ ； ｝ ｝ ＿ Ｂ点 与宽半 的 位拦 ， 按
棱长为 ５ ｃ ｍ， 一只蚂蚁欲从正方体底 面上的点 』 ４ 沿着正
方 体 表面 爬 到点 Ｃ ． 处， 请 你 求 出蚂蚁 需 要爬 行 的最 短路
程 的长．
分析简解 由求解公式的推论易得 ， Ａ Ｃ ， ＝ 、 ／ ５× ５＝
５ ， ／ ５（ Ｃ Ｉ ｎ ） ． ４ 结束 语
３ １ ５ ２ ０ １
刘清 泉
… ． ｆ ｘ ＋（ ５一Ｙ ） ＝５Байду номын сангаас
坐标系将欧氏平面内的问题转化为坐标平面内的问
ｌ （ ５一 ） ＋ Ｙ ＝ ２ ５
纂 解 析 法 ． 在 许 多 求 解 与 证 明 的 题 目 中 ， 其 中 不 乏 平 誓 面 几 解 … 得 【 Ｙ或 ＝ ３ 一 【 Ｙ ＝ ４
高考数学如何有效利用坐标系解决几何题
高考数学如何有效利用坐标系解决几何题高考数学中的几何题一直是考生们的一个难点，尤其是在利用坐标系解决几何题方面更是令人头疼。
然而，如果我们能够熟练地运用坐标系，就能够在解决几何题时事半功倍。
本文将探讨如何有效地利用坐标系解决高考数学中的几何题。
1. 直角坐标系的应用直角坐标系是解决几何问题时最常用的一个工具。
我们可以将平面上的点与坐标系中的点一一对应，通过坐标运算来求解。
举个例子，假设有一个点A(x1, y1)和一个点B(x2, y2)，我们可以通过计算两点间的距离来判断它们的位置关系。
如果AB的距离等于0，那么A和B 就是同一个点；如果距离大于0，那么A和B就是不同的点。
除了计算距离，直角坐标系还可以帮助我们解决平面几何中的直线和曲线问题。
例如，我们可以通过计算两点间的斜率来确定直线的斜率、直线的方程等等。
此外，坐标系还可以帮助我们判断直线的相交情况，以及曲线的图形特征等。
2. 极坐标系的应用在解决某些几何问题时，使用极坐标系比直角坐标系更加方便。
极坐标系中，我们将一个点的位置通过极径和极角来表示。
极径表示点到原点的距离，而极角表示点与极轴（通常为x轴）的夹角。
通过极坐标系，我们可以更加方便地描述圆、椭圆、双曲线等图形。
例如，对于一个圆来说，我们只需要知道它的圆心和半径即可完全确定它的位置和形状。
在利用极坐标系解决几何问题时，我们可以通过计算两点之间的极径和极角之差来确定它们的位置关系。
同时，我们还可以通过计算极坐标方程的导数来求解曲线的斜率，以及曲率等相关问题。
3. 三维坐标系的应用在高考数学中，我们不仅会遇到平面几何问题，还会涉及到空间几何问题。
针对空间几何问题，我们需要运用三维坐标系进行求解。
三维坐标系由x轴、y轴和z轴组成，用于表示空间中的点的位置。
类似于二维坐标系，我们可以通过计算两点之间的距离来确定它们的位置关系。
此外，三维坐标系还可以帮助我们解决直线、平面的方程问题，判断直线与平面的相交情况，以及与坐标轴的夹角等问题。
构建坐标系妙解几何题
构建坐标系妙解几何题
书写几何题的能力是一个学生在数学上成就和掌握的重要体现，其核心是构建
正确的坐标系。
构建坐标系有很多方法，最常用的是直角坐标系，因其不管加减乘除，其图形均能以矩形坐标系进行表示，是一种直接、简单的方式。
在构建直角坐标系的过程中，应注意xy轴的确定，根据习惯一般确定一条坐
标轴为x轴，另一条坐标轴为y轴。
一般情况下，可选取其中一条直线的一点作为原点，把另一条直线的一点作为参考点，根据题意确定xy轴，保证所作图形有一
定的尺度，以便于书写几何题和满足题目要求。
此外，书写几何题时，象征点在坐标系上的位移，对方向的选择也要注意，通
常象征点的移动方向按照数学中逆时针的原则，按照右手定则的原则得出的位移方向是逆时针的，左手定则是顺时针的，可以直接用数学右手定则确定。
最后，书写几何题还要记住平面几何图形的基本要素，比如直线、弧段、射线、线段以及它们的关系等，做出合理的数学推理，并合理确定坐标写出解题步骤，以便解答几何题。
以上就是构建坐标系书写几何题的简明方法，它不仅是学生书写几何题的基础，也是数学课中常见的体现形式。
只有熟练掌握构建坐标系的技巧，才能将几何题写得更准确、更有逻辑，以期达到预期的解题效果。
建立坐标系 巧解几何题
龙源期刊网
建立坐标系巧解几何题
作者：丁卫东
来源：《中学生数理化·学研版》2014年第08期
中考的一些压轴题，往往就是把在直角坐标系中放置一些几何图形，结合点、线或图形平移、旋转等变换来创设情境，利用把图形的位置关系转化为数量关系（即设某个点的坐标为未知数，然后得到方程）来解决问题，从而考查学生几何和代数的综合应用能力.也有一些问
题，看上去是单一的几何问题，虽然也能用几何方法说理解答，但是如果能有意识地主动建立坐标系，就能更巧妙、清楚地解决问题.
从上面几个例题可以看出，当题目给我们的一些特殊几何图形（例如矩形、正方形、等边三角形等）中边长的条件为已知，我们就可以以某一顶点为坐标原点，以某一边为横轴建立直角坐标系，把边长的条件转化为各顶点的坐标，从而把几何问题转化为代数问题，使一些比较难以用几何方法说理的问题得以巧妙的解决.。
(整理)直角坐标系解决立体几何问题
在立体几何中引入向量之前，求角与距离是一个难点，在新课标中，从向量的角度来研究空间的点、线、面的关系，我们只要通过两个向量的数量积运算、运用向量的模、平面的法向量就可以解决常见的角与距离的问题。
而且，运用向量来解题思路简单、步骤清楚，对学生来说轻松了很多。
重点：用空间向量数量积及夹角公式求异面直线所成角。
难点：建立恰当的空间直角坐标系关键：几何问题转换为代数问题及正确写出空间向量的坐标。
Ⅰ、空间直角坐标系的建立空间向量的数量积公式（两种形式）、夹角公式和空间向量的数量积的几何性质。
(用媒体分步显示下列内容) 1． 向量的数量积公式（包括向量的夹角公式）:若与的夹角为θ(0≤θ≤π),且={x 1,y 1,z 1},={x 2,y 2,z 2},则 ⑴ a ·b =|a ||b |cos θ 或 a ·b = x 1x 2+y 1y 2+z 1z 2 ⑵若与非零向量 cos θ=222222212121212121x z z y y x x zy x z y ++⋅++++2． 向量的数量积的几何性质:⑴两个非零向量与垂直的充要条件是·=0⑵两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a ·b =±|a ||b | 利用空间向量知识求异面直线所成角的一般步骤： （1）根据图形建立合理的空间直角坐标系； （2）确定关键点的坐标； （3）求空间向量的夹角； （4）得出异面直线的所成角。
D 1xy o. Mxyo. M平面直角坐标系空间直角坐标系z用向量解决角的问题 ①两条异面直线a 、b 间夹角在直线a 上取两点A 、B ，在直线b 上取两点C 、D ，若直线a 与b 的夹角为θ，则cos |cos ,|AB CD θ=<>=。
注意,由于两向量的夹角范围为[]︒︒180,0,而异面直线所成角的范围为()︒<<︒900α，若两向量夹角α为钝角,转化到异面直线夹角时为180°α-例1：在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=BC=4，AA 1=6, 求异面直线DA 1与AC 1的所成角；分析：在此题的解答中，设计如下问题贯穿整个过程以期共同解高。
谈谈解答解析几何问题的三个办法
解析几何是高中数学中的重要模块，解析几何问题的分值在高考试卷中占比较大.解析几何问题的常见命题形式有：求曲线的方程、求曲线中线段的最值、求参数的取值范围、判断点的存在性等.解析几何问题对同学们的逻辑思维和运算能力有较高的要求.下面介绍三个解答解析几何问题的技巧，以帮助同学们简化问题，提高解题的效率.一、巧用参数法有些解析几何问题较为复杂，涉及了较多的变量，为了便于解题，我们可引入合适的参数，设出相关点的坐标、直线的斜率、方程、曲线的方程等，然后将其代入题设中进行运算、推理，再通过恒等变换，消去参数或求得参数的值，便可求得问题的答案.例1.已知过椭圆C ：x 29+y 2=1左焦点F 1的直线交椭圆于M ,N 两点，设∠F 2F 1M =α(0≤α≤π).当α的值为何时，|MN |为椭圆C 的半长轴、半短轴长的等差中项？解：设过F 1的直线参数方程为：{x =-22+t cos α，y =t sin α，将其代入椭圆方程中可得()1+8sin 2αt 2-()42cos αt-1=0.则t 1+t 2=,t 1t 2=-11+8sin 2α，所以||MN =||t 1-t 2=()t 1+t 22-4t 1t 2=61+8sin 2α=2，可得sin 2α=14，解得α=π6或5π6.要求得|MN |，需知晓直线的方程，于是引入参数t 、α，设出直线MN 的参数方程，然后将其与椭圆的方程联立，构建一元二次方程，根据韦达定理和弦长公式求得|MN |，再根据等差中项的性质建立关系，求得α的值.运用参数法解题，只需引入参数，根据题意建立关系式，这样能有效地降低解题的难度.二、妙用射影性质射影性质是图形经过任何射影对应(变换)都不变的性质.若遇到涉及多条共线线段或平行线段的解析几何问题，我们可以巧妙利用射影性质来解题.首先根据题意画出相应的图形，然后在x 轴或y 轴上画出各条线段的射影，如此便可将问题中线段的长度、数量问题转化为x 轴或y 轴上的点或线段问题，进而简化运算.例2.已知椭圆的方程为x 224+y 216=1，点P 是直线l ：x 12+y 8=1上的任意一点，OP 的延长线交椭圆于点R ，点Q 在OP 上，且||OQ ∙||OP =|OR |2，求点Q 的轨迹方程.解：设P (x p ,y p )，Q (x ,y )，R (x R ,y R )在x 轴上的射影分别为P 0,Q 0,R 0，由||OQ ∙||OP =|OR |2可得x ∙x P =x 2R ，①当点P 不在y 轴上时，设OP :y =kx ，由ìíîïïy =kx ，x 224+y 216=1，可得x 2R =483k 2+2，②由ìíîïïy =kx ，x 12+y 8=1，可得x P =243k +2，③由①②③可得：(x -1)252+(y -1)253=1(y ≠0).当点P 在y 轴上时，Q 点的坐标为(0,2)，满足上式.所以点Q 的轨迹方程为(x -1)252+(y -1)253=1(y ≠0)，该方程表示的是中心为(1,1)，长轴长为10，短轴长为的椭圆(去除原点).找到P 、Q 、R 在x 轴上的射影，利用射影性质得到x ∙x P =x 2R ，然后通过联立方程求得x 、x P 、x 2R ，建立关系式，即可通过消元求得点Q 的轨迹方程.巧妙利用射影性质来解题，能有效简化运算，提升解题的效率.高双云图1思路探寻47探索探索与与研研究究三、建立极坐标系对于一些与线段长度有关的问题，我们可以结合图形的特征，建立极坐标系，通过极坐标运算来求得问题的答案.一般地，可将直角坐标系的原点看作极坐标系的原点，将直角坐标系的x 轴看作极坐标系的极轴，把线段用极坐标表示出来，这样便可将问题简化.以例2为例.图2解：以原点O 为极点，以Ox 轴的正半轴为极轴，建立如图2所示的极坐标系.则椭圆的极坐标方程为：ρ2=482+sin 2θ,直线l 的极坐标方程为：ρ=242cos θ+3sin θ，设P (ρP ,θ),Q (ρ,θ),R (ρR ,θ),因为||OQ ∙||OP =|OR |2，所以ρ∙ρP =ρ2R .即24ρ2cos θ+3sin θ=482+sin 2θ，可得ρ2()2+sin 2θ=4ρcos θ+6ρsin θ，而x =ρcos θ，y =ρsin θ，可得2x 2+3y 2-4x -6y =0(其中x ,y 不同为零),所以点Q 的轨迹是中心为(1,1)，长轴长为10，短轴长为的椭圆(去除原点).建立极坐标系后，分别求出椭圆的极坐标方程和直线的极坐标方程，再根据极坐标方程表示出点P 、Q 、R 的坐标，并根据几何关系||OQ ∙||OP =|OR |2建立关系式，最后将其转化为标准方程即可.运用极坐标法解题，需熟练地将极坐标方程与普通方程进行互化.可见，利用参数法、射影性质、极坐标系法，都能巧妙地简化运算，提升解题的效率.相比较而言，参数法的适用范围较广，另外两个技巧具有一定的限制.同学们在解题时，可根据解题需求，引入参数、画出射影、建立极坐标系，这样便可让解题变得更加高效.本文系江苏省教育科学“十三五”规划2020年度重点自筹课题“新课标下提升高中生数学学习力的实践研究”（课题编号：B-b/2020/02/158）阶段研究成果.（作者单位：江苏省泰兴中学）在教学中，细心的教师会发现，教材中的很多习题具有一定的代表性和探究性，且其解法非常巧妙.对于此类习题，教师可以将其作为重要的教学资源，在课堂教学中引导学生对其进行深入的探究、挖掘，以便学生掌握同一类题目的通性通法，帮助他们提升学习的效率.本文主要对人教A 版选择性必修第二册《一元函数的导数及其应用》的一道课后习题进行了探究.一、对习题及其解法的探究人教A 版选择性必修第二册第99页的第12题：利用函数的单调性，证明下列不等式，并通过函数图象直观验证：（1）e x >1+x ,x ≠0；（2）ln x <x <e x ,x >0.证明:（1）设f (x )=e x -1-x ,∴f ′(x )=e x-1，∴f ′(x )=e x -1=0,∴x =0，∵f ′(x )>0,∴x >0,f ′(x )<0,∴x <0，∴函数f (x )在(0,+∞)为单调递增，在(-∞,0)为单调递减，∴函数在x =0处取得最小值，∴f (x )>f (0)=0，∴f (x )=e x -1-x >0,即e x >1+x .事实上，这个结论经常出现在很多试题中，不少教师在教学中也将该结论列为常用结论，并要求学生加以记忆.于是，笔者引导学生对该结论的背景和几何意义进行推导和探究.引理：（泰勒公式）若函数f (x )在包含x 0的某个区间[a ,b ]上具有n 阶导数，且在开区间(a ,b )上具有n +1阶导数，则对于闭区间[a ,b ]上的任意一点x =x 0，有f (x )=f (x 0)+f '(x 0)1!(x -x 0)+f ''(x 0)2!(x -x 0)2+f '''(x 0)3!(x -x 0)3+⋯+f n (x 0)n !(x -x 0)n +R n (x ).其中，f n (x 0)表示函数f (x )在x 0处的n 阶导数，上式称为函数f (x )在x =x 0处的泰勒公式，R n (x )称为泰勒公式的余项.特别地，当x 0=0时，若f (x )在x =0处n 阶连续可导，则称f (x )=周建韩丹娜48。
巧建坐标系,妙解几何题
巧建坐标系，妙解几何题作者：黄加红来源：《新高考·升学考试》2018年第01期笛卡儿创建了坐标系，为“数形”沟通搭建了广阔的舞台，然而初中阶段的一些平面几何问题，许多教师和学生的眼光总停留在几何演绎推理的层面上，使得问题解决的思路狭窄、过程复杂，但若将图形置于坐标系内，用解析的方法解决问题，则可起到事半功倍的效果，现举例说明.例1. 如图1，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=7，CD=3，AD=4，点P在线段BC上，PM⊥AB于M，PN⊥AD于N，求四边形PMAN面积的最大值.分析：本题若用“平几”知识解决，可设AM=x，通过图形相似可以表示出PM的长，但是在具体过程中增加了运算量.但发现∠A=90°，AB=7，CD=3，AD=4，联想到建立平面直角坐标系后可确定点B、C的位置，点P（x，y）是直線BC上的动点，可以用x，y表示.解：分别以AB、AD所在直线为x、y轴，建立如图2所示的平面直角坐标系xoy.由题意知：A（0，0），B（7，0），C（3，4），D（0，4），设点P的坐标为（x，y），四边形PMAN面积为S.因为B（7，0），C（3，4），所以线段BC的表达式为y=-x+7（3≤x≤7）.故S=xy=x（-x+7）=-（x-72）2+494.当x=72时，四边形PMAN面积的最大值S=494.例2. 如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=10，AC=23，D是BC延长线上的一点，且∠DAC=30°，求AD的长.分析：由于AC、AB的长确定，已知∠DAC与∠DAB的大小，则点B、C的位置也被确定.由点确定的位置而联想到建立平面直角坐标系解决问题，只要求出直线BC与AD的交点坐标就可以求出AD的长.解：以直线AD为x轴，过点A垂直于AD的直线为y轴，建立如图4所示的平面直角坐标系xOy.由题意知：A（0，0），B（-5，53），C（3，3）.故直线BC的表达式为y=-32x+532.令y=0，则x=5.所以AD的长为5.例3. 如图5，在正方形ABCD中，M是BC边（不含端点B，C）上任意一点，P是BC 延长线上一点，N是∠DCP 平分线上一点，∠AMN=90°.求证：AM = MN.分析：本题M、N都是动点，但N随M的位置确定而确定的，由正方形ABCD的条件联想到建立坐标系，可以表示出AM与MN的解析式，点N是直线MN与CN的交点，这样可以求出AM与MN的长.解：分别以BC、AB所在直线为x、y轴，建立如图6所示的平面直角坐标系xOy.设正方形ABCD的边长为1，点M（m，0）.不难求出直线AM：y=-1mx+1，直线MN：y=mx-m2；直线CN的表达式为：y=x-1；解y=x-1，y=mx-m2得x=m+1，y=m；所以N（m+1，m）.过N点作NE⊥x轴，垂足为E，则ME=1，NE=m.∴MN=ME2+NE2=12+m2，因为AM=AB2+BM2=12+m2，∴AM=MN.例4. 如图7，若⊙P的半径为4，OP=2，过点O的弦AC与BD互相垂直，求四边形ABCD面积的最大值.分析：因为无法直接表示AC与BD的长，所以本题看上去无从下手.当∠POC确定时，根据半径与OP的长，就可以确定圆.相互垂直的两条弦启发我们建立平面直角坐标系，求出A、B、C、D的坐标，从而表示出AC与BD的长.解：分别以AC、BD所在直线为x、y轴，建立如图8所示的平面直角坐标系xOy.设∠POC=θ，则圆心P的坐标为（2cosθ，2sinθ），⊙P的方程为（x-2cosθ）2+（y-2sinθ）2=16.令y=0，则xA=2cosθ-24-sin2θ，xC=2cosθ+24-sin2θ.故AC=44-sin2θ.同理可求BD=44-cos2θ.因为四边形ABCD的面积=AC·BD2=84-sin2θ4-cos2θ≤4（8-sin2θ-cos2θ）=28（当θ=45°时，等号成立）.所以四边形ABCD面积的最大值为28.通过以上四道问题的解决，发现坐标法解决此类问题非常巧妙.当我们解一个几何题，根据题干的条件，可以确定图形的形状、大小，但又无法快速找到解题的路径，不妨尝试用坐标法，你会感到非常奇妙！“数形结合”作为一种思想方法，这几道问题既“以数解形”，即借助数的精确性来阐明形的某些属性.“以数解形”就是给图形赋值，如边长、角度等，而平面直角坐标就为这种思维提供了一个很好的“桥梁”.同学们尝试解决一下问题：如图9，在四边形ABCD中，AD=4，CD=3，∠ABC=∠ACB=∠ADC=45°，求BD的长.。
建立坐标系巧解几何题
建立坐标系巧解几何题一、直角坐标系在平面内画两条互相垂直，并且有公共原点的数轴。
其中横轴为X轴，纵轴为Y轴。
这样我们就说在平面上建立了平面直角坐标系，简称直角坐标系。
还分为第一象限，第二象限，第三象限，第四象限。
从右上角开始数起，逆时针方向算起。
二、笛卡尔和直角坐标系据说有一天，法国哲学家、数学家笛卡尔生病卧床，病情很重，尽管如此他还反复思考一个问题：几何图形是直观的，而代数方程是比较抽象的，能不能把几何图形与代数方程结合起来，也就是说能不能用几何图形来表示方程呢？要想达到此目的，关键是如何把组成几何图形的点和满足方程的每一组“数”挂上钩，他苦苦思索，拼命琢磨，通过什么样的方法，才能把“点”和“数”联系起来。
突然，他看见屋顶角上的一只蜘蛛，拉着丝垂了下来，一会功夫，蜘蛛又顺着丝爬上去，在上边左右拉丝。
蜘蛛的“表演”使笛卡尔的思路豁然开朗。
他想，可以把蜘蛛看做一个点，它在屋子里可以上、下、左、右运动，能不能把蜘蛛的每个位置用一组数确定下来呢？他又想，屋子里相邻的两面墙与地面交出了三条线，如果把地面上的墙角作为起点，把交出来的三条线作为三根数轴，那么空间中任意一点的位置就可以用这三根数轴上找到有顺序的三个数。
反过来，任意给一组三个有顺序的数也可以在空间中找出一点P与之对应，同样道理，用一组数（x、y）可以表示平面上的一个点，平面上的一个点也可以有用一组两个有顺序的数来表示，这就是坐标系的雏形。
直角坐标系的创建，在代数和几何上架起了一座桥梁，它使几何概念用数来表示，几何图形也可以用代数形式来表示。
由此笛卡尔在创立直角坐标系的基础上，创造了用代数的方法来研究几何图形的数学分支——解析几何，他大胆设想：如果把几何图形看成是动点的运动轨迹，就可以把几何图形看成是由具有某种共同特征的点组成的。
举一个例子来说，我们可以把圆看作是动点到定点距离相等的点的轨迹，如果我们再把点看作是组成几何图形的基本元素，把数看作是组成方程的解，于是代数和几何就这样合为一家人了。
建立直角坐标系巧解平面几何题
建立直角坐标系巧解平面几何题近年来，数学教育越来越受到重视。
尤其是平面几何这一板块，对于学生的思维发展和数学能力的培养至关重要。
而学生在学习平面几何的过程中，经常面临的问题是如何建立一个科学的思维模型，在这个模型中解决平面几何问题。
本文将会从建立直角坐标系的角度，为大家提供一种简单而实用的思维模型来巧解平面几何题。
一、直角坐标系简介直角坐标系是数学中常用的一种坐标系。
通常用两条互相垂直的坐标轴来构成。
这两条坐标轴被称为x轴和y轴，它们的交点被称为原点，且坐标轴上的位置都有数轴来表示。
在一个平面上，我们可以利用这个坐标系进行放缩、旋转、平移等操作，然后通过代数公式的计算来解决问题。
二、建立直角坐标系建立直角坐标系需要以下步骤：1、选择一个合适的平面。
在平面几何中，我们通常用一个二维平面来表示空间的形态，因此我们需要选择一张二维平面作为坐标系的基础。
2、确定原点在已经选择好的平面中，需要确定一个特定的位置作为坐标系的原点，我们通常选择平面的左下角作为原点。
3、确定x轴和y轴在选好原点的基础上，我们需要选择两条互相垂直的线段作为x轴和y轴，一般来说，x轴是平行于平面的横向线段，y轴是平行于平面的纵向线段。
4、确定轴的正方向并标记刻度在选好轴的基础上，我们需要确定轴的正方向，并进行标记，以方便后续的计算。
在标出刻度的基础上，我们就可以确定一个特定的点在坐标系中的位置。
5、建立坐标系在完成以上4步后，坐标系就建立好了。
三、实用技巧在建立好直角坐标系之后，我们可以利用以下实用技巧快速解决平面几何题。
1、建立几何图形的直角坐标系对于直角坐标系，我们可以通过图片来建立相应的坐标系。
这个工作有时需要一定的经验和技巧，但是建立好坐标系后会极大地方便我们的计算。
2、利用坐标系转化在建立好几何图形的坐标系后，我们可以利用坐标系转化将几何问题转化为代数问题，然后通过方程的解法或者图形的统计来解决问题。
3、应用矢量运算在建立坐标系的基础上，我们可以应用矢量运算来快速解决平面几何问题。
高中数学湘教版选择性必修第一册课件：用坐标方法解决几何问题
设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c),由两点间
距离公式得|AB|2=(b-0)2+(0-0)2=b2,
|AC|2=(0-0)2+(0-c)2=c2,
|BC|2=(b-0)2+(0-c)2=b2+c2,
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2.
探究点二 构造圆的方程解题
【例2】 如图所示,一隧道内设双行线公路,其截面由一段圆弧和一个长方
角坐标系,证明:|AM|=
1
|BC|.
2
分析 根据题目所给几何图形的特征,建立平面直角坐标系,利用两点间的
距离公式证明.
证明 以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴建立如图所示的平面
直角坐标系.
设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).
因为点M是BC的中点,
所以点 M 的坐标为
0+ +0
是(
)
A.x2+y2=4
B.x2-y2=4
C.x2+y2=4(x≠±2)
D.x2-y2=4(x≠±2)
答案 C
解析 设P(x,y).
由题可得|PM|2+|PN|2=|MN|2,
2
即( ( + 2) +
2 )2+(
2
(-2) + 2 )2=16,
整理得x2+y2=4.
因为M,N,P三点构成三角形,则x≠±2.所以直角顶点P的轨迹方程是
第2章
2.7 用坐标方法解决几何问题
内
容
索
引
01
重难探究•能力素养全提升
02
学以致用•随堂检测全达标