带拖车的轮式移动机器人系统的建模与仿真

系统仿真学报

JOURNAL OF SYSTEM SIMULATION

2000　Vol.12　No.1　P.43-46

带拖车的轮式移动机器人系统的建模与仿真

杨凯　黄亚楼　徐国华

摘　要： 带拖车的轮式移动机器人系统是一种典型的非完整、欠驱动系统。本文建立了带多个拖车的移动机器人系统的运动学模型，对系统的运动特性进行了分析，并在此基础上对系统的运动进行了数值仿真和图形仿真，验证了理论分析的正确性。

关键词： 移动机器人系统; 运动学模型; 龙格-库塔法; 计算机仿真

中图分类号： TP242.3 文献标识码：A

文章编号：1004-731X (2000) 01-0043-4

Modeling and Simulation of Tractor-trailor

Robot Systems' Kinematics

YANG Kai, HUANG Ya-lou

(Department of Computer and System Science, Nankai University, Tianjin　300071）

XU Guo-hua

（Institute of Automation, Chinese Academy of Sciences, Beijing　100080，China) Abstract： A mobile robot with multi-trailers is a typical nonholonomic, underactuated system. This paper establishes a kinematic model for such system. Based on the kinematic model, the motion of the system is analytically studied, and the simulation of the motion for this system is conducted with the means of Runge-Kutta method and computer graphics. It proves that the theoretical analysis is right.

Keywords： mobile robot; underactuated system; Runge-Kutta; computer simulation

1　引言

移动机器人是机器人学中的一个重要分支，本文所讨论的是一种特殊类型的移动机器人系统——带拖车的轮式移动机器人（Tractor-trailer robot），它由一系列相互铰链在一起的多个二轮式刚体小车组成，运行在一个平面上。带拖车的轮式移动机器人系统的一种情形是由一个卡车型的牵引车拖动着一个或多个被动的拖车组成，牵引车可以执行类似于汽车那样的运动：驱动轮向前或向后运动，转向轮向左或向右转向，拖车跟踪牵引车的运动路径。

作为典型的欠驱动、非完整系统，带拖车的移动机器人系统的运动学、规划、控制等方面的研究明显不同于其它机器人系统，由于系统运动规律、控制特性上的理论结果亟待验证，因此，带拖车的移动机器人系统的仿真是极有价值的。

本文针对一般结构形式的带拖车的移动机器人系统建立系统的运动学模型，研究模型的递推形式以解决拖车节数变化带来的模型重构问题，同时就一些问题开展理论分析与仿真验证。

2　系统的运动学模型

2.1　基本假设与变量说明

为了使所建立的数学模型对各种车体链接形式均成立，这里以非标准型带拖车的轮式移动机器人系统为研究对象，所谓非标准型就是相邻两车体的链接点不在前一车体的轮轴上而是在链接轴的某点上（如图1所示），且假设：整个系统是在平面上运动；车轮是无滑动的；车体关于其纵向轴线对称；车轮与地面是点接触，且是纯滚动运动；车体是刚体； 用于车体连接的关节之间是无摩擦

图1　带两节拖车的移动机器人系统

　为了叙述简便起见，将整个系统看成是由N个车体所组成，分别为其建立附体坐标系｛x i，y i｝。｛x i,y i,θi｝（i=1，2，…，N）是每个车体的位形描述，x i和y i是两轮之间的中心点在系统坐标系下的坐标，θi是x i轴与X轴之间的夹角（如图1和2所示）。

图2　第n节车体的位形及参数

　为便于描述，定义如下变量：

. B n，A n分别为第n节车体与第n-1节和第n+1节车体的链接点

. V An ，V Bn分别为A n和B n点的速度

. l n表示B n点到第n节车体轴心的距离

. c n表示A n点到第n节车体轴心的距离

.n表示第n节车体与第（n+1）节车体的夹角

. ωn表示第n节车体的旋转角速度

. v n表示轴心点的线速度

. 驱动轮的初始线速度为u，α为驱动轮运动方向与牵引车纵轴之间的夹角，并规定逆时针为正，顺时针为负。（参见图1和图2）

2.2　方程描述：

由图2可以得到如下关系式［2］：

（1）

由于A n和B n+1 是同一个点，V Bn+1 和V An描述的是同一个点的速度，只是处于不同的坐标系，因此有

（2）

其中，φn=θn-θn+1

比较（1 )(2)两式可推出：

(3)对于v1，ω1可直接得到

(4)

别一方面，在全局坐标系中可求出：

(5)

以上几式即为系统的运动学的递推公式。

图3

3　系统的运动学特性

一般的路径都是一系列直线和圆弧组成的，而直线是圆弧的特例（因为其半径可视为无穷大），下面以圆为例来研究带拖车的移动机器人系统牵引车与拖车之轨迹关系，以及车体参数与运动轨迹的关系。

引理［3］：当牵引车的运动从直线过渡到圆时，拖车的运动也将过渡到圆，两车之间的夹角

指数级收敛到稳定状态值（其中，为相邻两车的夹角）。

依据这一结论，当带拖车的移动机器人的运动从直线到圆转换时，牵引车、拖车的运动最终将形成半径不同的同心圆，每个车体对应的圆的半径的大小与车体参数有关，也与牵引车所跟踪的圆的半径有关，具体关系如下：

定理［3］：如果拖车与牵引车的连接点并非在牵引车轮轴的中心点上，而是处于两个轮轴之间，假设连接点距前面车体轮轴中心为C，距后面车体轮轴中心为L（如图3所示）设前面车体沿着一个半径为r的圆运动时，则后面车体的运动路线将收敛到半径为的圆上。

由定理可以看出：

① 当C > L时，后面车体的运动半径大于前面车体的运动半径，即在做圆运动时，后面车体处于外圆。

② 当C < L且C2≥L2-r2时，后面车体的运动半径将大于前面车体的运动半径，即在做圆运动时，后面车体处于内圆。

③ 当C = L时，后面车体的运动半径等于前面车体的运动半径，即在做圆运动时，后面车体与前面车体的运动轨迹是重合的。

4　运动仿真

仿真的基本任务是：让牵引车按指定的路线运动，来观测牵引车、拖车的运行状态和轨迹，其目的有两方面：验证运动学规划与控制的一些理论结果；对理论结果有一个形象化的直观描述，并对其进行解释。

4.1　仿真研究的基本任务与思路

仿真的思路就是对已建立的运动学方程求解，并利用求解出的结果在计算机上模拟显示系统的运动过程。

由于所建立起来的运动学方程是非线性方程，且是非完整系统，很难用解析方法求出封闭解，而需采用数值计算方法来求解。由于龙格-库塔法［3］精度较高，且计算量相对较少，故采用之。

4.2　仿真结果与分析

为验证系统的运动特性及上述的理论结果，对以Hero-1型移动机器人为牵引车，并带有两个拖车的系统进行仿真。仿真程序的输入参数为各车体之间的距离(l1，c1，l2，c2，l3)以及牵引车的驱动角α和线速度u，并可改变运动路径的参数，由此来观测车体距离对运动轨迹的影响。

仿真过程取车体参数不同，路径参数不同以及不同路径的衔接等情形来观测结果。仿真中，设车体的初始形态为：θ1=θ2=θ3=π/2；

图4，图5，图6描述的是牵引车沿指定的圆运动的情形，从仿真结果可以看出，当牵引车沿指定