正余弦定理应用举例二

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正、余弦定理的应用举例

正、余弦定理的应用举例2.2.2正、余弦定理的应用举例（2）知识梳理2.解斜三角形的应用问题，通常需根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出所要求的量，从而得到实际问题的解，其中建立数学模型的方法是我们的归宿，用数学手段来解决实际问题，是学习数学的根本目的。

3.解题应根据已知合理选择正余弦定理，要求算法简洁、算式工整、计算准确。

典例剖析题型一正、余弦定理在几何中的应用例1如图所示，已知半圆的直径AB＝2，点C在AB的延长线上，BC＝1，点P为半圆上的一个动点，以DC为边作等边△PCD，且点D与圆心O分别在PC的两侧，求四边形OPDC面积的最大值解：设∠POB＝θ，四边形面积为ｙ，则在△POC中，由余弦定理得：PC2＝OP2＋OC2－2OP•OCcosθ＝5－∴ｙ＝Ｓ△OPC＋Ｓ△PCD＝＋(5－4cosθ)＝2sin(θ－)＋∴当θ－＝即θ＝时，ｙmax＝2＋评述：本题中余弦定理为表示△PCD的面积，从而为表示四边形OPDC面积提供了可能，可见正、余弦定理不仅是解三角形的依据，一般地也是分析几何量之间关系的重要公式，要认识到这两个定理的重要性另外，在求三角函数最值时，涉及到两角和正弦公式sin（α＋β）＝sinαcosβ＋cosαsinβ的构造及逆用，应予以重视题型二正、余弦定理在函数中的应用例2如图，有两条相交成角的直线、，交点是，甲、乙分别在、上，起初甲离点千米，乙离点千米，后来两人同时用每小时千米的速度，甲沿方向，乙沿方向步行，（1）起初，两人的距离是多少？（2）用包含的式子表示小时后两人的距离；（3）什么时候两人的距离最短？解：（1）设甲、乙两人起初的位置是、，则，∴起初，两人的距离是．（2）设甲、乙两人小时后的位置分别是，则，，当时，；当时，，所以，．（3），∴当时，即在第分钟末，最短。

答：在第分钟末，两人的距离最短。

评析：（2）中，分0t和t>两种情况进行讨论，但对两种情形的结果进行比较后发现，目标函数有统一的表达式，从而（3）中求最值是对这个统一的表达式进行运算的。

数学-余弦定理正弦定理应用举例

余弦定理、正弦定理应用举例高中数学定理1.会用正弦定理、余弦定理解决生产实践中有关距离、高度、角度的测量问题.2.培养提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力．导语　在实践中，我们经常会遇到测量距离、高度、角度等实际问题，解决这类问题，通常需要借助经纬仪以及卷尺等测量角和距离的工具进行测量．具体测量时，我们常常遇到“不能到达”的困难，这就需要设计恰当的测量方案．一、距离问题例1　如图，为测量河对岸A ，B 两点间的距离，沿河岸选取相距40 m 的C ，D 两点，测得∠ACB ＝60°，∠BCD ＝45°，∠ADB ＝60°，∠ADC ＝30°，求A ，B 两点的距离．解　在△BCD 中，∠BDC ＝60°＋30°＝90°，∠BCD ＝45°，∴∠CBD ＝90°－45°＝∠BCD ，∴BD ＝CD ＝40，BC ＝＝40.BD 2＋CD 22在△ACD 中，∠ADC ＝30°，∠ACD ＝60°＋45°＝105°，∴∠CAD ＝180°－(30°＋105°)＝45°.由正弦定理，得AC ＝＝20.CD sin 30°sin 45°2在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ×BC ×cos ∠BCA＝(20)2＋(40)2－2×20×40cos 60°＝2 400，2222∴AB ＝20，6故A ，B 两点之间的距离为20 m.6反思感悟　求两个不可到达的点之间的距离问题，一般是把问题转化为求三角形的边长问题，基本方法是(1)认真理解题意，正确作出图形，根据条件和图形特点寻找可解的三角形．(2)把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边和角，利用正、余弦定理求解．跟踪训练1　(1)A ，B 两地之间隔着一个山岗，如图，现选择另一点C ，测得CA ＝7 km ，CB ＝5 km ，C ＝60°，则A ，B 两点之间的距离为 km.答案　39解析　由余弦定理，得AB 2＝CA 2＋CB 2－2CA ·CB ·cos C＝72＋52－2×7×5×12＝39.∴AB ＝.39(2)如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A ，B ，望对岸的标记物C ，测得∠CAB ＝30°，∠CBA ＝75°，AB ＝120 m ，则河的宽度是 m.答案　60解析　tan 30°＝，tan 75°＝，CD AD CDDB 又AD ＋DB ＝120，∴AD ·tan 30°＝(120－AD )·tan 75°，∴AD ＝60，故CD ＝60.即河的宽度是60 m.3二、高度问题例2　如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是( )A ．10 mB ．10 m 2C ．10 mD ．10 m36答案　D 解析　在△BCD 中，CD ＝10 m ，∠BDC ＝45°，∠BCD ＝15°＋90°＝105°，∠DBC ＝30°，由正弦定理，得＝，BCsin ∠BDC CD sin ∠DBC 故BC ＝＝10(m)．10sin 45°sin 30°2在Rt △ABC 中，tan 60°＝，ABBC 故AB ＝BC ×tan 60°＝10(m)．6反思感悟　测量高度问题的解题策略(1)“空间”向“平面”的转化：测量高度问题往往是空间中的问题，因此先要选好所求线段所在的平面，将空间问题转化为平面问题．(2)“解直角三角形”与“解非直角三角形”结合，全面分析所有三角形，仔细规划解题思路．跟踪训练2　珠穆朗玛峰是印度洋板块和欧亚板块碰撞挤压形成的．这种挤压一直在进行，珠穆朗玛峰的高度也一直在变化．由于地势险峻，气候恶劣，通常采用人工攀登的方式为珠峰“量身高”．攀登者们肩负高精度测量仪器，采用了分段测量的方法，从山脚开始，直到到达山顶，再把所有的高度差累加，就会得到珠峰的高度.2020年5月，中国珠峰高程测量登山队8名队员开始新一轮的珠峰测量工作．在测量过程中，已知竖立在B 点处的测量觇标高10米，攀登者们在A 处测得到觇标底点B 和顶点C 的仰角分别为70°，80°，则A ，B 的高度差约为(sin 70°≈0.94)( )A ．10米B ．9.72米C ．9.40米D ．8.62米答案　C 解析　根据题意画出如图的模型，则CB ＝10，∠OAB ＝70°，∠OAC ＝80°，所以∠CAB ＝10°，∠ACB ＝10°，所以AB ＝10，所以在Rt △AOB 中，BO ＝10sin 70°≈9.4(米)．三、角度问题例3　甲船在A 点发现乙船在北偏东60°的B 处，乙船以每小时a 海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时a 海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？3解　如图所示．设经过t 小时两船在C点相遇，则在△ABC 中，BC ＝at (海里)，AC ＝at (海里)，3B ＝180°－60°＝120°，由＝，得BC sin ∠CAB ACsin B sin ∠CAB ＝＝＝＝，BC sin BAC at ×sin 120°3at 32312∵0°<∠CAB <60°，∴∠CAB ＝30°，∴∠DAC ＝60°－30°＝30°，∴甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．反思感悟　测量角度问题的基本思路测量角度问题的关键是在弄清题意的基础上，画出表示实际问题的图形，并在图形中标出有关的角和距离，再用正弦定理或余弦定理解三角形，最后将解得的结果转化为实际问题的解．跟踪训练3　地图测绘人员在点A 测得某一目标参照物P 在他的北偏东30°的方向，且距离为40 m ，之后该测绘人员沿正北方向行走了40 m ，到达点B .试确定此时目标参照物P 在3他北偏东的度数以及他与目标参照物P 的距离．解　如图，在△PAB 中，∠PAB ＝30°，PA ＝40(m)，AB ＝40(m)．3由余弦定理，得PB ＝AB 2＋PA 2－2·AB ·PA ·cos ∠PAB＝＝40(m)．402＋(403)2－2×40×403×cos 30°因为AB ＝40 m ，所以AB ＝PB ，所以∠APB ＝∠PAB ＝30°，所以∠PBA ＝120°.因此测绘人员到达点B 时，目标参照物P 在他的北偏东60°方向上，且目标参照物P 与他的距离为40 m.1．知识清单：不可到达的距离、高度、角度等实际问题的测量方案．2．方法归纳：数形结合．3．常见误区：方位角是易错点．1．若点A 在点C 的北偏东30°方向上，点B 在点C 的南偏东60°方向上，且AC ＝BC ，则点A 在点B 的( )A ．北偏东15°方向上B ．北偏西15°方向上C ．北偏东10°方向上D ．北偏西10°方向上答案　B解析　如图所示，∠ACB ＝90°.又因为AC ＝BC ，所以∠CBA ＝45°.因为β＝30°，所以α＝90°－45°－30°＝15°.所以点A 在点B 的北偏西15°方向上．2.如图所示，设A ，B 两点在河的两岸，一测量者与A 在河的同侧，在所在的河岸边先确定一点C ，测出A ，C 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，可以计算出A ，B 两点的距离为( )A ．50 mB ．50 m 23C ．25 mD. m22522答案　A 解析　∠ABC ＝180°－45°－105°＝30°，在△ABC 中，由＝，AB sin 45°50sin 30°得AB ＝100×＝50(m)．2223.如图，要测出山上一座天文台BC 的高，从山腰A 处测得AC ＝60 m ，天文台最高处B 的仰角为45°，天文台底部C 的仰角为15°，则天文台BC 的高为( )A ．20 mB ．30 m 22C ．20 mD ．30 m33答案　B 解析　由题图，可得B ＝45°，∠BAC ＝30°，故BC ＝＝＝30(m)．AC ·sin ∠BACsin B 60sin 30°sin 45°24.如图所示，在坡度一定的山坡A 处测得山顶上一建筑物CD 的顶端C 对于山坡的斜度为15°，向山顶前进100 m 到达B 处，又测得C 对于山坡的斜度为45°，若CD ＝50 m ，山坡对于地平面的坡度为θ，则cos θ等于( )A. B. C.－1 D.－1322232答案　C解析　在△ABC 中，由正弦定理，得＝，ABsin 30°AC sin 135°∴AC ＝100(m)．2在△ADC 中，＝，AC sin (θ＋90°)CD sin 15°∴cos θ＝sin(θ＋90°)＝＝－1.AC ·sin 15°CD 3课时对点练1．已知海上A ，B 两个小岛相距10海里，C 岛临近陆地，若从A 岛望C 岛和B 岛成60°的视角，从B 岛望C 岛和A 岛成75°的视角，则B 岛与C 岛之间的距离是( )A ．10 海里B.海里31063C ．5 海里D ．5 海里26答案　D解析　如图所示，C ＝180°－60°－75°＝45°，AB ＝10(海里)．由正弦定理，得＝，10sin 45°BC sin 60°所以BC ＝5(海里)．62．(多选)某人向正东方向走了x km 后向右转了150°，然后沿新方向走了3 km ，结果离出发点恰好 km ，则x 的值为( )3A. B ．2 C ．2 D ．333答案　AB解析　如图所示，在△ABC 中，AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝，∠ABC ＝30°，3由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos ∠ABC .即()2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°.3∴x 2－3x ＋6＝0.3解得x ＝2或x ＝.333．一艘船向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向上，另一灯塔在船的南偏西75°方向上，则这艘船的速度是( )A ．5 海里/时B ．5海里/时2C ．10 海里/时D ．10海里/时2答案　D解析　如图，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10(海里)，在Rt △ABC 中，由正弦定理，可得AB ＝5(海里)，所以这艘船的速度是10海里/时．故选D.4．从高出海平面h 米的小岛上看正东方向有一只船俯角为30°，看正南方向有一只船俯角为45°，则此时两船间的距离为( )A ．2h 米 B.h 米 C.h 米 D ．2h 米232答案　A解析　如图所示，BC ＝h ，AC ＝h ，3∴AB ＝＝2h .3h 2＋h 2即此时两船间的距离为2h 米．5．如图所示，为测量一建筑物的高度，在地面上选取A ，B 两点，从A ，B 两点测得建筑物顶端的仰角分别为30°，45°，且A ，B 两点间的距离为60 m ，则该建筑物的高度为( )A ．(30＋30)mB ．(30＋15)m 33C ．(15＋30)mD ．(15＋15)m33答案　A 解析　在△PAB 中，∠PAB ＝30°，∠APB ＝15°，AB ＝60 m ，sin 15°＝sin(45°－30°)＝sin45°cos 30°－cos 45°sin 30°＝，由正弦定理，得PB ＝＝30(＋)m ，所以6－24AB sin 30°sin 15°62建筑物的高度为PB sin 45°＝30(＋)×＝(30＋30)m.622236．甲骑电动车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是 ( )A ．6 kmB ．3 kmC ．3 kmD ．3 km32答案　C解析　由题意知，AB ＝24×＝6(km)，∠BAS ＝30°，∠ASB ＝75°－30°＝45°.14由正弦定理，得BS ＝＝＝3(km)．AB sin ∠BAS sin ∠ASB 6sin 30°sin 45°27.一角槽的横断面如图所示，四边形ABED 是矩形，已知∠DAC ＝50°，∠CBE ＝70°，AC ＝90，BC ＝150，则DE ＝ .答案　210解析　由题意知∠ACB ＝120°，在△ACB 中，由余弦定理，得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos ∠ACB ＝902＋1502－2×90×150×＝44 100.(－12)∴AB ＝210，DE ＝210.8．一艘船以每小时15 km 的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东60°方向上，行驶4 h 后，船到达C 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向上，这时船与灯塔间的距离为 km.答案　302解析　如图所示，在△ABC 中，∠BAC ＝30°，∠ACB ＝105°，则∠ABC ＝45°，AC ＝60(km)，根据正弦定理，得BC ＝＝＝30(km)．AC sin ∠BAC sin ∠ABC 60sin 30°sin 45°29.如图，渔船甲位于岛屿A 的南偏西60°方向的B 处，且与岛屿A 相距6 n mile ，渔船乙以5 n mile/h 的速度从岛屿A 出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B 处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2 h 追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α.解　(1)依题意，知∠BAC ＝120°，AB ＝6，AC ＝5×2＝10.在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ×AC ×cos ∠BAC ＝62＋102－2×6×10×cos 120°＝196，解得BC ＝14，v 甲＝＝7，BC 2所以渔船甲的速度为7 n mile/h.(2)在△ABC 中，AB ＝6，∠BAC ＝120°，BC ＝14，∠BCA ＝α.由正弦定理，得＝，AB sin αBC sin 120°即sin α＝＝＝.AB sin 120°BC 6×3214331410.如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径：一种是从A 沿直线步行到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C .山路AC 长为1 260 m ，经测量，cos A ＝，cos C ＝，求索道AB 的长．121335解　在△ABC 中，因为cos A ＝，cos C ＝，121335所以sin A ＝，sin C ＝.51345从而sin B ＝sin[π－(A ＋C )]＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝×＋×＝.513351213456365由＝，AB sin C ACsin B 得AB ＝·sin C ＝×＝1 040(m)．AC sin B 1 260636545所以索道AB 的长为1 040 m.11.(多选)如图所示，为了测量某湖泊两侧A ，B 间的距离，李宁同学首先选定了与A ，B 不共线的一点C ，然后给出了三种测量方案(△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别记为a ，b ，c )，则一定能确定A ，B 间距离的所有方案为( )A ．测量A ，B ，bB ．测量a ，b ，C C ．测量A ，B ，aD ．测量A ，B ，C答案　ABC 解析　对于A ，利用内角和定理先求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理＝解出c ；b sin B csin C 对于B ，直接利用余弦定理c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C 即可解出c ；对于C ，先利用内角和定理求出C ＝π－A －B ，再利用正弦定理＝解出c ；对于D ，不知道长度，显然不能求asin A c sin C c .12.如图所示，D ，C ，B 在地平面同一直线上，DC ＝10 m ，从D ，C 两地测得A 点的仰角分别为30°和45°，则A 点离地面的高AB 等于( )A ．10 mB ．5 m 3C ．5(－1) mD ．5(＋1) m 33答案　D解析　方法一　设AB ＝x ，则BC ＝x .∴BD ＝10＋x .∴tan ∠ADB ＝＝＝.ABDB x 10＋x 33解得x ＝5(＋1)(m)．3∴A 点离地面的高AB 等于5(＋1) m.3方法二　∵∠ACB ＝45°，∠ADC ＝30°，∴∠CAD ＝45°－30°＝15°.由正弦定理，得AC ＝·sin ∠ADCCDsin ∠CAD ＝·sin 30°＝5(＋)(m)．10sin 15°62∴AB ＝AC sin 45°＝5(＋1)(m)．3即A 点离地面的高AB 等于5(＋1)(m)．313.如图，两座相距60 m 的建筑物AB ，CD 的高度分别为20 m ，50 m ，BD 为水平面，则从建筑物AB 的顶端A 看建筑物CD 的张角为( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°答案　B解析　依题意，可得AD ＝20，AC ＝30，105又CD ＝50，所以在△ACD 中，由余弦定理，得cos ∠CAD ＝AC 2＋AD 2－CD 22AC ·AD ＝＝＝，(305)2＋(2010)2－5022×305×2010 6 0006 000222又0°<∠CAD <180°，所以∠CAD ＝45°，所以从顶端A 看建筑物CD 的张角为45°.14．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( )A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m答案　A解析　如图，设水柱的高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠BAC ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝ h ，根据余弦定理得，(h )2＝h 2＋1002－2×h ×100×cos 60°，33即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，解得h ＝50或h ＝－100(舍去)，故水柱的高度是50 m.15．在某次地震时，震中A (产生震动的中心位置)的南面有三座东西方向的城市B ，C ，D .已知B ，C 两市相距20 km ，C ，D 两市相距34 km ，C 市在B ，D 两市之间，如图所示，某时刻C 市感到地表震动，8 s 后B 市感到地表震动，20 s 后D 市感到地表震动，已知震波在地表传播的速度为每秒1.5km ，则震中A 到B ，C ，D 三市的距离分别为．答案 km ， km ， km132********解析　由题意得，在△ABC 中，AB －AC ＝1.5×8＝12(km)．在△ACD 中，AD －AC ＝1.5×20＝30(km)．设AC ＝x (km)，则AB ＝(12＋x )(km)，AD ＝(30＋x )(km)．在△ABC 中，cos ∠ACB ＝x 2＋400－(12＋x )22×20×x＝＝，256－24x40x 32－3x 5x 在△ACD 中，cos ∠ACD ＝x 2＋1 156－(30＋x )268x ＝＝.256－60x68x 64－15x 17x ∵B ，C ，D 在一条直线上，∴＝－，64－15x17x 32－3x 5x 即＝，64－15x 173x －325解得x ＝.即AC ＝(km)．487487∴AB ＝(km)，AD ＝(km)．1327258716.如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 3处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以10 海里/时的速度追截走私3船，此时走私船正以10海里/时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．解　设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝10t ，BD ＝10t ，3在△ABC 中，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos ∠BAC＝(－1)2＋22－2(－1)·2·cos 120°＝6.33∴BC ＝.又∵＝，6BC sin ∠BAC ACsin ∠ABC ∴sin ∠ABC ＝＝＝，AC ·sin ∠BAC BC 2·sin 120°622又0°<∠ABC <60°，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得＝，BDsin ∠BCD CD sin ∠CBD ∴sin ∠BCD ＝＝＝.BD ·sin ∠CBDCD 10t ·sin 120°103t 12又∵0°<∠BCD <60°，∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠CDB ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝.6∴t ＝(小时)≈15(分钟)．610∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．。

正弦定理余弦定理应用举例

正弦定理、余弦定理应用举例一、距离问题1.xkm 后，他向右转150，然后朝新方向走3km ，结果他离出发点某人向正东方向走恰好3km ，那么x 的值为【】A.3B.23C.23或3D.32.如图，为了测量某障碍物两侧A、 B 间的距离，给定下列四组数据，测量时应当用数据【】A., a, bB.,， aC.a,b，D.,， b两座灯塔A 与B与海洋观察站C的距离都等于 a km ，灯塔A在观察站C的北偏东3.20 ，灯塔B在观察站C的南偏东 40，则灯塔 A 与灯塔 B 的距离为【】A. a kmB.3a kmC. 2a kmD. 2a km4.海上有 A、B 两个小岛相距10海里，从A 岛望 C岛和 B岛成60的视角，从B岛望 C 岛和 A岛成75的视角，则B、 C 的距离是 __________________5.一船向正北航行，看见正西方向有相距10 海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西 60的方向上，另一灯塔在船的南偏西75 方向上，则这艘船的速度是每小时___________________6.如右图所示，设 A 、B 两点在河的两岸，一测量者在 A 所在的河岸边选定一点 C ，测出 AC 的距离为 50m ,ACB45 , CAB105后，就可以计算 A 、 B 两点间的距离为 ___________7.一船以 24 km / h的速度向正北方向航行，在点 A 处望见灯塔 S 在船的北偏东30 方向上，15min后到点B处望见灯塔在船的北偏东65 方向上，则船在点B时与灯塔S的距离是__________km.(精确到 0.1km ）18.如图，我炮兵阵地位于地面 A 处，两观察所分别位于地面点 C 和 D 处，已知 CD=6000m.ACD 45，ADC75，B 处时测得BCD 30 , BDC 15目标出现于地面求炮兵阵地到目标的距离。

（结果保留根号）A45600075C D3015B2二、高度问题1.在一幢 20m 高的楼顶测得对面一塔吊的仰角为60 ，塔基的俯角为45 ，那么这座塔吊的高是【】3 )m B. 20(13) m C.10( 6 2 )m D. 20(6 2 )mA.20(132.在地面上点 D 处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端 A 与底部 B 的仰角分别为60 和 30 ，已知建筑物底部高出地面 D 点 20m，则建筑物高度为【】A.20mB.30mC. 40mD.60m3.如图所示，在山根 A 处测得山顶 B 的仰角CAB 45 ,沿倾斜角为 30 的山坡向山顶走1000 米到达 S 点又测得山顶仰角DSB 75 ,则山高BC为【】A.500 2mB. 200mC.1000 2mD. 1000m4.从某电视塔的正东方向的 A 处，测得塔顶仰角为60 ；从电视塔的西偏南30 的B处，测得塔顶仰角为45 ,A、B两点间的距离是35m，则此电视塔的高度是【】4900 m D.35mA. 5 21mB.10mC.135.j 江岸边有一炮台高30m，江中有两条船，由炮台顶部测得俯角分别为45 ， 30 ，而且两条船与炮台底部连线成30 角，则两船相距【】A.10 3mB.100 3mC. 203mD.30m6.一船以每小时15km 的速度向东航行，船在 A 处看到一个灯塔M 在北偏东60方向，行驶4h 后，船到达 B 处，看到这个灯塔在北偏东15 方向，这时船与灯塔的距离为_____km37.甲、乙两楼相距20 米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60 ，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30 ，则甲、乙两楼的高分别是______________8.地平面上一旗杆设定为OP,为测得它的高度h，在地平线上取一基线AB， AB=200m ，在 A 处测得 P 点的仰角为OAP 30 ,在B处测得P点的仰角OBP 45 ，又测得AOB 60 ,求旗杆的高度h4。

正、余弦定理的应用举例

新疆源头学子小屋特级教师王新敞
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新知讲解
三、实际应用问题中的基本概念和术语
• 仰角和俯角是与目标视线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，其中目标视线在水平线上方时叫仰角；目标视线在水平线下方时叫俯角。 • 方位角：一般指北方向线顺时针转到目标方向线的水平角。
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二、余弦定理及其变形：
a 2 b 2 c 2 2bc cos A
创设情境
解决实际测量问题的过程一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解。
问题探究
在点A所在河岸边选定一点C， 1.如图，设A、B两点在河的两岸，测若测出A、C的距离是55m，量者在点A的同侧，如何求出A、B两点 ∠BAC=51°，∠ACB=75°, 的距离？求AB的长．
正余弦定理
的应用
知识回顾
一、正弦定理及其变形：
A
b c a C
a b c 2R sin A sin B sin C
a b c sin A ,sin B ,sin C 2R 2R 2R
B
a 2R sin A, b 2R sin B, c 2R sin C
( 其中 R是 ABC 外接圆的半径）
D
A
问题探究: 5、我舰在敌岛A南偏西 50 相距12 海里的B处，发现敌舰正由
岛北偏西 10 的方向以10海里的速度航行。问我舰需以多

正余弦定理在生活中的运用

正余弦定理在生活中的运用正余弦定理在实际生活中的应用有：航海、地理、物理、建筑工程。

1、航海在航海中，正余弦定理被广泛用于计算方向角。

当航行在广阔的海域或天空时，确定目标的方向是至关重要的。

通过观测两个已知位置相对于自身的角度，利用正弦或余弦定理，航行者可以精确地计算出到达目标的航向角，确保安全、准确地到达目的地。

2、地理在地理中，正余弦定理被用于计算地球上两点之间的精确距离。

由于地球是一个球体，因此需要使用球面三角学来进行计算。

通过观测两个已知位置相对于第三个位置的角度，利用正弦定理或余弦定理，测量人员可以精确地计算出两点之间的实际距离，为地图绘制、导航等提供准确的数据支持。

3、物理在物理学中，正弦定理和余弦定理被广泛应用于波动和振动的研究。

例如，在声学和光学中，这些定理被用来描述波的传播和干涉现象。

通过测量波的振幅、频率和传播方向，可以使用正弦定理或余弦定理来计算波在不同介质中的传播速度、波长和相位差。

4、建筑工程在建筑工程中，正弦定理和余弦定理可用于解决与角度和距离相关的问题。

例如，在设计桥梁、隧道或高楼大厦时，工程师需要计算各种角度和距离以确保结构的稳定性和安全性。

通过使用正弦定理或余弦定理，工程师可以确定结构物的高度、长度、宽度和角度等参数。

正余弦定理介绍和区别一、正余弦定理介绍1、正弦定理在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比值相等。

即，a/sinA=b/sinB=c/sinC，其中a、b、c为三角形的三边，A、B、C为三角形的三个内角。

2、余弦定理在任意三角形中，一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与其夹角的余弦的积的两倍。

即，c²=a²+b²-2abcosC，其中a、b、c为三角形的三边，C为夹角。

正弦定理余弦定理应用举例

。三角形的面积公式
1 1 SABC 1 absinC bcsin A 2 2 2 acsin B
正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用 :
(1)测量距离. (2)测量高度. (3)测量角度.
实际应用问题中有关的名称、术语 1.仰角、俯角、视角。
（1）当视线在水平线上方时，视线与水平线所成角叫仰角。（2）当视线在水平线下方时，视线与水平线所成角叫俯角。（3）由一点出发的两条视线所夹的角叫视角。（一般这两条视线过被观察物的两端点）视线仰角俯角视线水平线
【变式练习3】如图，甲船以每小时30 2海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的北偏西105方向的B1处，此时两船相距20海里．当甲船航行20分钟到达A2处时，乙船航行到甲船的北偏西120方向的B2 处，此时两船相距10 2海里．问乙船每小时航行多少海里？
答：A,B两点间的距离为 20 6米.
练习2.一货轮在海上由西向东航行，在A处望见灯塔C在货轮的东北方向，半小时后在B处望见灯塔C在货轮的北偏东30°方向．若货轮的速度为30 n mile/h，当货轮航行到D处望见灯塔C在货轮的西北方向时，求A，D两处的距离．
[解] 如图8所示，在△ABC中，∠A＝45° ，∠ABC＝ 90° ＋30° ＝120° ，∴∠ACB＝180° －45° －120° ＝15° ，AB＝ 30×0.5＝15(n AB ， sin∠ACB AB· sin∠ABC 15×sin120° 3 2＋ 6 ∴AC＝＝ ×15(n sin15° ＝ 2 sin∠ACB mile)．在△ACD中，∵∠A＝∠D＝45° ， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴AD＝ 2AC＝15(3＋ 3)(n mile)． ∴A，D两处的距离是15(3＋ 3) n mile. mile)．由正弦定理，得 AC sin∠ABC ＝

正余弦定理的应用

1正余弦定理的边角互换功能对于正、余弦定理，同学们已经开始熟悉，在解三角形的问题中常会用到它其实，在涉及到三角形的其他问题中，也常会用到它们两个定理的特殊功能是边角互换，即利用它们可以把边的关系转化为角的关系，也可以把角的关系转化为边的关系，从而使许多问题得以解决例1已知a 、b 为△ABC 的边，A 、B 分别是a 、b 的对角，且32sin sin =B A ，求B B A +的值解：∵23sin sin ,sin sin ,sin sin ==∴=B A b a B A B b A a 又(这是角的关系)， ∴23=b a (这是边的关系)于是，由合比定理得.25223=+=+b b a 例2已知△ABC 中，三边a 、b 、c 所对的角分别是A 、B 、C ，且a 、b 、c 成等差数列求证：sin A ＋sin C ＝2sin B证明：∵a 、b 、c 成等差数列，∴a ＋c ＝2b (这是边的关系)① 又BA b a C cB b A a sin sin ,sin sin sin =∴==② BC b c sin sin =③ 将②、③代入①，得b B C b B A b 2sin sin sin sin =+整理得sin A ＋sin C ＝2sin B (这是角的关系) 2正、余弦定理的巧用某些三角习题的化简和求解，若能巧用正、余弦定理，则可避免许多繁杂的运算，从而使问题较轻松地获得解决，现举例说明如下：例3求sin 220°＋cos 280°＋3sin20°cos80°的值解：原式＝sin 220°＋sin 210°－2sin20°sin10°cos150°∵20°＋10°＋150°＝180°，∴20°、10°、150°可看作一个三角形的三个内角设这三个内角所对的边依次是a 、b 、c ，由余弦定理得：a 2＋b 2－2ab cos150°＝c 2（※）而由正弦定理知：a ＝2Ｒsin20°，b ＝2Ｒsin10°，c ＝2Ｒsin150°，代入(※)式得： sin 220°＋sin 210°－2sin20°sin10°cos150°＝sin 2150°＝41 ∴原式＝41 例4在△ABC 中，三边长为连续的自然数，且最大角是最小角的2倍，求此三角形的三边长(αααcos sin 22sin =) 分析：由于题设条件中给出了三角形的两角之间的关系，故需利用正弦定理建立边角关系其中αααcos sin 22sin =利用正弦二倍角展开后出现了cos α，可继续利用余弦定理建立关于边长的方程，从而达到求边长的目的解：设三角形的三边长分别为ｘ，ｘ＋1，ｘ＋2，其中ｘ∈Ｎ*，又设最小角为α，则ααααcos sin 222sin 2sin ⋅+=+=x x x ,xx 22cos +=∴α① 又由余弦定理可得ｘ2＝（ｘ＋1）2＋（ｘ＋2）2－2（ｘ＋1）（ｘ＋2）cos α将①代入②整理得：ｘ2－3ｘ－4＝0解之得ｘ1＝4，ｘ2＝－1(舍)所以此三角形三边长为4，5，6评述：此题所求为边长，故需利用正、余弦定理向边转化，从而建立关于边长的方程例5已知三角形的一个角为60°，面积为103c ｍ2，周长为20c ｍ，求此三角形的各边长分析：此题所给的题设条件除一个角外，面积、周长都不是构成三角形的基本元素，但是都与三角形的边长有关系，故可以设出边长，利用所给条件建立方程，这样由于边长为三个未知数，所以需寻求三个方程，其一可利用余弦定理由三边表示已知60°角的余弦，其二可用面积公式Ｓ△ABC ＝21ab sin C 表示面积，其三是周长条件应用解：设三角形的三边长分别为a 、b 、c ，B ＝60°，则依题意得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=++=︒⋅-+=︒2031060sin 21260cos 222c b a ac ac b c a ⎪⎩⎪⎨⎧=-+==++∴4020222ac ac c a b c b a由①式得：b 2＝［20－（a ＋c ）］2＝400＋a 2＋c 2＋2ac －40（a ＋c ） ④将②代入④得400＋3ac －40（a ＋c ）＝0再将③代入得a ＋c ＝13由⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==⎩⎨⎧==+588540132211c a c a ac c a 或解得 ∴b 1＝7，b 2＝7 所以，此三角形三边长分别为5c ｍ，7c ｍ，8c ｍ评述： (1)在方程建立的过程中，应注意由余弦定理可以建立方程，也要注意含有正弦形式的面积公式的应用(2)由条件得到的是一个三元二次方程组，要注意要求学生体会其求解的方法和思路，以提高自己的解方程及运算能力六、讲解范例：例1在任一△ABC 中求证：0)sin (sin )sin (sin )sin (sin =-+-+-B A c A C b C B a证：左边=)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2)sin (sin sin 2B A C R A C B R C B A R -+-+-=]sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin sin [sin 2B C A C A B C B C A B A R -+-+-=0=右边① ② ③例2 在△ABC 中，已知3=a ，2=b ，B=45︒ 求A 、C 及c 解一：由正弦定理得：23245sin 3sin sin === b B a A ∵B=45︒<90︒ 即b <a ∴A=60︒或120︒当A=60︒时C=75︒ 22645sin 75sin 2sin sin +===B C b c 当A=120︒时C=15︒ 22645sin 15sin 2sin sin -=== B C b c 解二：设c =x 由余弦定理 B ac c a b cos 2222-+= 将已知条件代入，整理：0162=+-x x 解之：226±=x 当226+=c 时 2)13(231226223)226(22cos 22221=++=+⋅⋅-++=-+=bc a c b A 从而A=60︒ ，C=75︒ 当226-=c 时同理可求得：A=120︒ ，C=15︒ 例3 在△ABC 中，BC=a , AC=b , a, b 是方程02322=+-x x 的两个根，且2cos(A+B)=1求（1）角C 的度数（2）AB 的长度（3）△ABC 的面积解：（1）cosC=cos[π-(A+B)]=-cos(A+B)=-21 ∴C=120︒ （2）由题设：⎩⎨⎧=-=+232b a b a ∴AB 2=AC 2+BC 2-2AC •BC •osC 120cos 222ab b a -+= ab b a ++=22102)32()(22=-=-+=ab b a 即AB=10（3）S △ABC =2323221120sin 21sin 21=⋅⋅== ab C ab 例4 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD, AD=10, AB=14, ∠BDA=60︒, ∠BCD=135︒ 求BC 的长解：在△ABD 中，设BD=x则BDA AD BD AD BD BA ∠⋅⋅-+=cos 2222即 60cos 1021014222⋅⋅-+=x x整理得：096102=--x x解之：161=x 62-=x （舍去）由余弦定理：BCD BD CDB BC ∠=∠sin sin ∴2830sin 135sin 16=⋅= BC 例5 △ABC 中，若已知三边为连续正整数，最大角为钝角，1︒求最大角 ;2︒求以此最大角为内角，夹此角两边之和为4的平行四边形的最大面积解：1︒设三边1,,1+==-=k c k b k a *∈N k 且1>k∵C 为钝角 ∴0)1(242cos 222<--=-+=k k ac c b a C 解得41<<k ∵*∈N k ∴2=k 或3 但2=k 时不能构成三角形应舍去当3=k 时 109,41cos ,4,3,2=-====C C c b a2︒设夹C 角的两边为y x , 4=+y x S )4(415415)4(sin 2x x x x C xy +-⋅=⋅-== 当2=x 时S 最大=15 例6 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，D 为B C 中点，且AD ＝4，求B C 边长分析：此题所给题设条件只有边长，应考虑在假设BC 为ｘ后，建立关于ｘ的方程而正弦定理涉及到两个角，故不可用此时应注意余弦定理在建立方程时所发挥的作用因为D 为BC 中点，所以BD 、DC 可表示为2x ，然用利用互补角的余弦互为相反数这一性质建立方程解：设BC 边为ｘ，则由D 为BC 中点，可得BD ＝DC ＝2x ，在△ADB 中，cos ADB ＝,2425)2(42222222x x BD AD AB BD AD ⨯⨯-+=⋅⋅-+ 在△ADC 中，cos ADC ＝.2423)2(42222222x x DC AD AC DC AD ⨯⨯-+=⋅⋅-+ 又∠ADB ＋∠ADC ＝180°∴cos ADB ＝cos （180°－∠ADC ）＝－cos ADC ∴2423)2(42425)2(4222222x x x x ⨯⨯-+-=⨯⨯-+ 解得，ｘ＝2 , 所以，BC 边长为2评述：此题要启发学生注意余弦定理建立方程的功能，体会互补角的余弦值互为相反数这一性质的应用，并注意总结这一性质的适用题型另外，对于本节的例2，也可考虑上述性质的应用来求解sin A ，思路如下：由三角形内角平分线性质可得35==DC BD AC AB ，设BD ＝5ｋ，DC ＝3ｋ，则由互补角∠ADC 、∠ADB 的余弦值互为相反数建立方程，求出BC 后，再结合余弦定理求出cos A ，再由同角平方关系求出sin A、。

正余弦定理和应用举例

第六节正余弦定理和应用举例1、正弦定理：R Cc B A 2sin sin sin ===.（其中R 为ABC ∆外接圆的半径） 2sin ,2sin ,2sin ;a R A b R B c R C ⇔===sin ,sin ,sin ;222a b c A B C R R R⇔=== ::sin :sin :sin .a b c A B C ⇔=用途：⑴已知三角形两角和任一边，求其它元素；⑵已知三角形两边和其中一边的对角，求其它元素。

2、余弦定理： 2222222222cos ,2cos ,2cos .a b c bc A b a c ac B c a b ab C ⎧=+-⎪=+-⎨⎪=+-⎩222222222cos ,2cos ,2cos .2b c a A bc a c b B ac a b c C ab ⎧+-=⎪⎪+-⎪=⎨⎪⎪+-=⎪⎩ 用途：⑴已知三角形两边及其夹角，求其它元素；⑵已知三角形三边，求其它元素。

做题中两个定理经常结合使用.3、三角形面积公式：B ac A bcC ab S ABC sin 21sin 2sin 2===∆ 4、三角形内角和定理：()C C A B ππ+=⇔=-+222C A B π+⇔=-222()C A B π⇔=-+. 5、一个常用结论：sin sin ;b A B A B ⇔>⇔>若sin 2sin 2,.2A B A B A B π==+=则或特别注意，在三角函数中，sin sin A B A B >⇔>不成立。

1、已知锐角ABC ∆的面积为,3,4,33==CA BC 则.______=∠C2、已知ABC ∆，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c, ,60,3,20===B b a则.__________=∠A3、已知ABC ∆，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c, ,1,3,3===∠b a A π则.______=c 4、在锐角ABC ∆中，角A,B,C 的对边分别是a,b,c, ,sin 4A b a =则.______cos =B5、已知ABC ∆的三个内角A 、B 、C 成等差数列，且AB=1，BC=4，则边BC 上的中线AD 的长为_________.1、如图，在ABC ∆中，已知,45o =∠B D 是BC 边上的一点，AD=10，AC=14，DC=6,求AB 的长.2、在ABC ∆中，内角A,B,C 的对边分别是a,b,c.若,sin 32sin ,322B C bc b a ==-则A=_________.3、在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角A,B,C 的对边，且).sin 2(sin )2(sin 2c b c B c b A a +++= （1）求A 的大小；（2）若,1sin sin =+C B 试判断ABC ∆的形状.1、设ABC ∆的内角A,B,C 的对边分别是a,b,c,且.24333222bc a c b =-+（1）求A sin 的值；（2）求A C B A 2cos 1)4sin()4sin(2-+++ππ的值.2、在ABC ∆中，.sin sin sin sin 2)sin(sin sin B A C A B A B A +-=+- B（1）求角B ；（2）若,53sin =A 求C cos 的值.3、在ABC ∆中，,tan tan 22A b B a =则角A 与角B 的关系是（）B A A =. 90.=+B A B B AC =.或 90=+B A B AD =.且 90=+B A 4、在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角A,B,C 的对边，若bc a c b 3222=-+且,3a b =则ABC ∆不可能是（）A.等腰三角形B.钝角三角形C.直角三角形D.锐角三角形5、在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角A,B,C 的对边，且,22cos 2cc b A +=则ABC ∆一定是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.无法确定6、在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角A,B,C 的对边，如果c b a ,,成等差数列，,30 =∠B ABC ∆的面积为,23则b=_________. 7、在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角A,B,C 的对边，且满足：.cos cos cos 2C b B c B a +=（1）求角B;（2）若,32,5==∆ABC S b 求c a +的值.8、在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角A,B,C 的对边，.3,54cos ,3===b A B π （1）求C sin 的值；（2）求ABC ∆的面积.9、已知锐角ABC ∆的三个内角分别为A ，B ，C ，向量),sin 22,sin (cos A A A p -+=向量),sin 1,sin (cos A A A q +-=且.q p ⊥（1）求角A ；（2）设,sin sin sin ,3222C B A AC =+=求ABC ∆的面积.10、在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角A,B,C 的对边，设S 为ABC ∆的面积，满足).(43222c b a S -+=（1）求角C 的大小；（2）求B A sin sin +的最大值.11、在平面直角坐标系xoy 中，点)cos ,21(2θP 在角α的终边上，点)1,(si 2-θn Q 在角β的终边上，且.21-=⋅OQ OP（1）求θ2cos 的值；（2）求)sin(βα+的值.。

1.2 正弦、余弦定理的应用举例

面直角坐标系，求的点B的坐标为（40,40），点 C
的坐标为（30,20），从而求得直线BC的方程
为2x-y-40=0，再判断圆心E到直线BC的距离为
3 5
d=
<7。所以该船若不改变航行方向，会进入
警戒水域。方法2：利用解三角形的方法求出点E
到直线BC的距离，再进行判断。
求A点离地面的高度AB。
)
2：在一座20m高的观测台顶测得对面一水塔塔顶的仰角为 6 0 ，塔底的俯角为 4 5 ，求水塔的
0 0
高度。
三：测量角度
在一个特定时段内，以点E为中心的7海里以内海域被设为警戒水域。点E正北55海里处有一个雷达观测站A，某时刻测得一艘以每小时1 5 5 海里匀速直线行驶的船只位于点A北偏东 4 5 且与点A相
0
距 40 2 海里的位置B，经过40分钟又测得该船已
行驶到点A北偏东 45 0 (0 0 90 0 ) 且与点A
相距 1 0 1ห้องสมุดไป่ตู้3 的位置C。
（1）求 sin 的值；
（2）若该船不改变航行方向继续行驶，判断它是
否会进入警戒水域，并说明理由。
方法1：以点A位圆心，东西方向作为x轴，建立平
1.2 正弦、余弦定理的应用举例
一：测量两点间的距离（可分为三类）
1：测量的两点都是可到达；
2：测量的两点只有一点可到达；
3：测量的两点都不可到达。思考：如何利用经纬仪及钢卷尺解决这三类问题？请写出每一类问题的解决方法及步骤。
二：测量高度
1：如图，B、C、D三点在地面同一直线上，DC=a
从C、D两点测得A点的仰角分别为 , (

正、余弦定理应用举例

地面上一点A的俯角 54 40，
在塔底C处测得A处的俯角 50 1 .
已知铁塔BC部分的高为27.3m，求出山高CD（精确到 1m).
例5.如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶, 到A处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北 15 的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在西偏北 25 的方向上,仰角为 8 ,求此山的高度CD.(精确到1m)
S ABC
1 1 6 2 2 sin 45 3 1 ac sin B 2 2

巩固训练
1.ABC中，a 4，b 2 5，c 2 3，则S ABC
2.ABC中，c 3，a b 9，C 45，则S ABC
3.ABC的三内角A、B、C所对边的长分别为a、b、c，
有关三角形的计算问题 1 1 1 S ab sin C ac sin B bc sin C 2 2 2
例7. ABC中，c 2，A 30 ，B 45，求ABC的面积. 解析：
a c sin A sin C
2
A
6 2
B
C
c sin A 2 sin 30 a sin C sin 105
2. 我舰在敌岛 A 南偏西 50°相距 12 海里的 B 处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小 C 时追上敌舰？
解：如图，在△ABC中由余弦定理得：
10
BC 2 AC 2 AB 2 2 AB AC cos BAC 1 20 12 2 12 20 ( ) 2 784
应用三、测量角度
例6.如图, 一艘海轮从A出发, 沿北偏东750的方向航行67.5nmile后到达海岛B, 然后从B出发, 沿北偏东320的方向航行54.0nmile后到达海岛C.如果下次航行直接从A出发到达C , 此船应该沿怎样的方向航行, 需要航行多少距离(角度精确到0.10 , 距离精确到0.01nmile ).

正余弦定理典型例题

正余弦定理典型例题一、正弦定理典型例题1. 例题1：已知两角和一边，求其他边和角题目：在△ ABC中，已知A = 30^∘，B = 45^∘，a = 2，求b，c和C。

解析：根据三角形内角和C=180^∘-A B，所以C = 180^∘-30^∘-45^∘=105^∘。

由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，已知a = 2，A = 30^∘，B = 45^∘，则b=(asin B)/(sin A)。

因为sin A=sin30^∘=(1)/(2)，sin B=sin45^∘=(√(2))/(2)，所以b=(2×frac{√(2))/(2)}{(1)/(2)} = 2√(2)。

再根据正弦定理(a)/(sin A)=(c)/(sin C)，sin C=sin105^∘=sin(60^∘+45^∘)=sin60^∘cos45^∘+cos60^∘sin45^∘=(√(3))/(2)×(√(2))/(2)+(1)/(2)×(√(2))/(2)=(√(6)+√(2)) /(4)。

所以c=(asin C)/(sin A)=(2×frac{√(6)+√(2))/(4)}{(1)/(2)}=√(6)+√(2)。

2. 例题2：已知两边和其中一边的对角，求其他边和角（可能有两解）题目：在△ ABC中，a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘，求B，C，c。

解析：由正弦定理(a)/(sin A)=(b)/(sin B)，可得sin B=(bsin A)/(a)。

把a = 2√(3)，b = 6，A = 30^∘代入，sinB=frac{6×sin30^∘}{2√(3)}=(6×frac{1)/(2)}{2√(3)}=(√(3))/(2)。

因为b > a，A = 30^∘，所以B = 60^∘或B = 120^∘。

当B = 60^∘时，C=180^∘-A B=180^∘-30^∘-60^∘=90^∘，再由(a)/(sinA)=(c)/(sin C)，c=(asin C)/(sin A)=frac{2√(3)×sin90^∘}{sin30^∘} = 4√(3)。

正弦定理和余弦定理应用举例 Microsoft Word 文档

1、一艘轮船按照北偏西30度,的方向以每小时45海里的速度航行,一个灯塔M原来在轮船的北偏东10度的方向,经过20分钟后,灯塔在轮船的北偏东70度方向上,求灯塔和轮船原来的距离.现在这样可以用余弦定理了cos60°=(AB^2+BC^2-AC^2）/2AB*BCBC=2a，AC=15，这样肯定能用含有a的式子表示AB然后在左边那个三角形里就能根据勾股定理求出a。

但是我这种算法特别不好算，你再等等，我想一想还有什么办法。

【同步教育信息】一. 本周教学内容：1. 正弦定理和余弦定理应用举例2. 解三角形全章总结教学目的：1. 能够正确运用正弦定理、余弦定理等知识、方法解决一些与测量以及几何计算有关的实际问题。

2. 通过对全章知识的总结提高，帮助学生系统深入地掌握本章知识及典型问题的解决方法。

二. 重点、难点：重点：解斜三角形问题的实际应用；全章知识点的总结归纳。

难点：如何在理解题意的基础上将实际问题数学化。

知识分析：一. 正弦定理和余弦定理应用举例 1. 解三角形应用题的基本思路（1）建模思想解三角形应用问题时，通常都要根据题意，从实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后通过解这些三角形，得出三角形的边角的大小，从而得出实际问题的解。

这种数学建模思想，从实际问题出发，经过抽象概括，把它转化为具体问题中的数学模型，然后通过推理演算，得出数学模型的解，再还原成实际问题的解，用流程图可表示为：（2）解三角形应用题的基本思路：−−−→−−−−→−−−−→画图解三角形检验、结论实际问题数学问题（解三角形）数学问题的解实际问题的解2. 解三角形应用题常见的几种情况：（1）实际问题经抽象概括，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解。

（2）实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个（或两个以上）三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求出其他三角形中的解，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程，解方程得出所要求的解。

正弦定理和余弦定理应用举例

如方位角45°，是指北偏东45°，即东北方向. 3.坡角坡面与水平面的夹角(如图所示).
4.坡比坡面的铅直高度与水平宽度之比，即i ＝＝tanα (i为坡比，α为坡角).
1.从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α、
β的关系为
()
A.α＞β
B.α＝β
C.α＋β＝90°
D.α＋β＝180BC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－ 2AB·ACcos120°，即49＝25＋AC2＋5AC，解之得AC＝3. ∴S△ABC＝ AB·ACsinA＝ ×5×3× ＝答案：
5.在200 m高的山顶上，测得山下一塔的塔顶与塔底的俯
角分别是30°、60°，则塔高为
1.一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯
塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一
灯塔在船的南偏西60°，另一灯塔在船的南偏西75°，则这
只船的速度是每小时
()
A.5海里
B.5 海里
C.10海里
D.10 海里
解析：如图，依题意有 ∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD＝CA＝10，在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是＝10(海里/小时).
并向北偏东30°方向，以10海里每小时速度逃窜，“马鞍山”舰最快速度为10 海里/小时，请你设计一套“马鞍山”舰追击海盗船只的方案，使“马鞍山”舰能最快截获海盗船，包括：①“马鞍山”舰航行的速度及方向；② 追上海盗船所用时间.
解：如图，设“马鞍山”舰以 10 海里/小时速度追击，t 小时后在D处截获海盗船. 则CD＝10 t海里，BD＝10 t海里，在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcosA ＝( －1)＋22－2( －1)·2·cos120°＝6， ∴BC＝海里.

高一数学 6.4.3余弦定理、正弦定理应用举例

下面让我们一起探讨解决不可到达的距离的测量问题。
问题引入
设A、B两点在河的两岸（B点不可到达），怎样测量两点之间的距离？
常用测量工具
卷尺
经纬仪
经纬仪测量水平角和竖直角的仪器。
B
75o
C
51o 55m
A
例1.设A、B两点在河的两岸，要测量两点之间的距离。测量者在A所在的河岸边选定一点C，测出A、C间的距离是55m，∠BAC＝51o， ∠ACB＝75o，求A、B两点间的
cos B c 2 a 2 b2 ， 2ca
cos C a 2 b2 c 2 。 2ab
探究新知
在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事，我们仰望星空，明月高悬，不禁会问，遥不可及的月亮离地球究竟有多远呢？
早在1671年，两个法国天文学家就测出了地球与月球之间的距离大约为385400km。他们是怎样测出两者之间距离的呢？
∠ADB，
AB

CD sin sin
sin
注意：在实际操作时，使C,D,B三点共线不是一件容易的
事情。你有什么解决方法？
C
A B
D
测量角度问题
例4：位于某海域A处的甲船获悉,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船的南偏西30◦，且与甲船相距7 海里C处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度(精确到1◦)？需航行的距离是多少海里（精确到1海里）？
求出BC的长；
（4）在△ABC中,由余弦定理 AB2 CA2 CB2 2CAgCB cos C 求得AB的长。
A
δ
γ

正余弦定理应用举例2

2.我舰在敌岛A南偏西50°相距12海里的B处，发现敌舰正由岛沿北偏西10°的方向以10海里/小时的速度航行．问我舰需以多大速度、沿什么方向航行才能用2小时追上敌舰？ C 解：如图，在△ABC中由余弦定理得：
BC 2 AC 2 AB 2 2 AB AC cos BAC 1 202 122 2 12 20 ( ) 2 784
2 则（21x） 102 (9 x) 2 2 10 9 x cos1200
21 x
A
即36x 2 9 x 10 0 2 5 解得 x1 , x2 (舍去 ) 3 12 AB 21x 14, BC 9 x 6
再由余弦定理可得
AB2 AC 2 BC 2 142 102 6 2 cosBAC 2 AB AC 2 14 10 0.9286 450 21.780 66.780 BAC 21.780 2 0 答：舰艇应以 66.78 的方位角方向航行，靠近渔船需要小时。 3
∴CD=BD－BC
≈177.4－27.3 ≈ 150(m). 答：山的高度约为150米.
例3 . 一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A 处时测得公路北侧远处一山顶D在西偏北15°的方向上，行驶5km后到达B处，测得此山顶在西偏北25°的方向上，仰角8°，求此山的高度CD. (精确到1m). 分析：要测出高CD, 只要测出高所在的直角三角形的另一条直角边或斜边的长。根据已知条件，可以计算出BC的长。解：在⊿ABC中，∠A=15°, ∠C=25°－15°=10°.
BC 28
10 A
50 40
∴我舰的追击速度为14n mile/h
B