三角形内角和1

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三角形内角和(1)教学设计

课题：7.5三角形内角和（1）教学设计赣榆县初级中学相小琳教学目标【知识与技能】（1）探究并掌握三角形内角和定理。

（2）了解三角形的分类，直角三角形的分类，直角三角形中两锐角互余。

（3）掌握三角形的外角定理。

【过程与方法】让学生分组探究，然后进行交流，探究三角形内角和定理，并进行应用。

【情感、态度与价值观】通过三角形内角和定理的证明，提高学生的逻辑思维能力，同时培养学生严谨的科学态度。

教学重点难点【重点】三角形内角和的性质。

【难点】推理说明三角形内角和定理。

教学过程（一）创设情景导入新课情景1.还记得小学学过的三角形内角和的关系吗？当时老师是用什么方法告诉大家它的由来的呢？其中有什么数学道理呢？今天我们一起来探讨三角形内角和的由来。

ACB（设计意图：利用学生的最近发展区，唤醒学生的回忆，激发学生的学习热情。

）（二）自主学习，互助探究活动1：小学时用的拼图法，再试一试！学生：动手制作一个三角形验证结论活动2：除去小学时的方法，你还可以想出其他的方法吗？学生：分小组讨论，设想几个可行的方案，整理汇报活动3：验证讨论的方法是否可行方法一：画不同形状的三角形，分别用量角器度量各角的度数并分别求每个三角形的内角和说明：学生想到的可能性很大，验证较容易方法二：撕去三角形的一个角，形成如图所示的图形加以验证说明:此种方法可能有一部分学生想到，教学时要让学生自主探索该方法的可行性，说出可行的理论依据方法三：做辅助线（如图所示）过点A 做BC 的平行线说明：因为学生刚刚接触几何，此种方法学生想到的可能性很小，在教学时若学生没有想到的，教师可以加以引导，给出图示，让学生自主探究是否可以验证学法指导：1、指导学生动手操作2、引导学生感悟3、启发学生们把感悟转化为数学问题（建模）4、帮助学生将说理过程进行规范（设计意图：活动一通过让学生动手做一做，让学生在感性上对结论有一定的认识。

活动二是为了激发学生的思维，让学生明确同一个问题解决的方法可能有许多种，可以试一试，同时也是为了进一步规范学生的说理。

【人教版四年级数学下册】三角形的内角和1

三、知识运用
4、判一判：（下列说法对的打“√”，错的打“×”）
(1)钝角三角形的内角和大于锐角三角形的内角和。（） ×
(2)把一个等腰三角形分成两个完全一样的小三角形，每个三角形的内角和都是90度。 (3)直角三角形的两个锐角和是90度。（） × （ √ ）
(4)任何一个三角形的内角和都是180度。
48°
180°－90°－48°=42° 180° －（48°+90°）=42 ° 90°－48°＝42°
二、基础练习
（4）已知等腰三角形的风筝，
一个底角70°，顶角多少度？
70° 70°
180°－70°－70°=40° 或180°－70°×2=40°
三、综合练习
选一选
（1）一个三角形中，有一个角是65°，另外的两个角可能是（ A、 C ）。 A.95°、20° B.45°、80° C.55°、60°
∠2 =180°－140°－25°
=15° 或∠2 =180 °－（140° +25°） =15 °
三、知识运用
2. 这里有一条红领巾，它的形状是等腰三角形，其中∠1＝110°，请计算出∠2＝（ 35 ）°，∠3＝（ 35 ）°。
3
1
（180－110°）÷2＝35°
三、知识运用
3、填一填
(1)∠1=35° ∠2=63° ∠3=（82° ）这是（锐角）三角形 (2)∠1=50° ∠2=40° ∠3=（90° ）这是（直角）三角形 (3)∠1=20° ∠2=45° ∠3=（）这是（钝角）三角形 115°
2：《同步导学与优化训练》
第33页内容
课堂作业
1、填空
（1）在三角形中∠1=45° ∠2=55° ∠3=（（2）在三角形中∠1=36° ∠2=64° ∠3=（））

三角形的定理

三角形的定理
1. 三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180度。

2. 三角形外角定理：三角形的一个外角等于其不相邻的两个内角的和。

3. 相似三角形定理：如果两个三角形的对应的角相等，那么它们的对应的边的比相等。

4. 直角三角形定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。

5. 等腰三角形定理：等腰三角形的两个底角相等。

6. 等边三角形定理：等边三角形的三条边相等。

7. 正弦定理：在三角形ABC中，a/sinA = b/sinB = c/sinC。

8. 余弦定理：在三角形ABC中，c^2 = a^2 + b^2 - 2abcosC。

这些是三角形的一些常见定理，它们可以帮助我们理解和解决三角形相关的问题。

三角形的内角和(1)

解： ∠A+ ∠B= ∠C+∠D.
A
在△AOB中，
∠A+∠B+∠AOB=180°，即 ∠A+∠B=180°－∠AOB.
B
O
在△COD中，
∠C+∠D+∠COD=180° ，即
C D
∠C+∠D=180°－∠COD. 因为∠AOB与∠COD是对顶角，所以∠AOB= ∠COD，
所以∠A+∠B= ∠C+∠D
A
B
D
Байду номын сангаас
三角形的一边与另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角 .
“外角”是三角形的外角，不是它相邻内角的外角.对三角形的外角,称某个角是某个三角形的外角,而不称三角形某个角的外角.
结论：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
C
看一看
如图,画△ABC的边AB的
延长线,得到∠1.
A B D
(1)度量∠A、∠C和∠CBD的度数. 你有什么发现？ (2) 你能用所学的知识加以说明吗?
180° 因为∠A+∠C+∠CBA=________, 180° ∠CBD+ ∠CBA=_________, = 所以∠A+∠C_____ ∠CBD.
你知道吗？
三角形的外角
C
图中的∠CBD称为△ABC 的一个外角.
方法一:度量法. 方法二:剪拼法.
与
与
你还有其他方法说明‘‘三角形3 个内角的和等于1800”吗?
如图,3根木条相交得∠1、∠2.若a∥b,则 ∠1+∠2= 180° .理由:两直线平行,同旁内角互补 .
A 3 2 2 B 1

三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解

三角形的内角和与外角和关系（基础）知识讲解【学习目标】1．理解三角形内角和定理的证明方法；2．掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3．能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题.【要点梳理】要点一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2.结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：（1）外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据．另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．【典型例题】类型一、三角形的内角和1．证明：三角形的内角和为180°.【答案与解析】解：已知：如图，已知△ABC，求证：∠A+∠B+∠C＝180°.证法1：如图1所示，延长BC 到E ，作CD ∥AB ．∵ AB ∥CD （已作），∴ ∠1=∠A （两直线平行，内错角相等），∠B=∠2（两直线平行，同位角相等）．又∵∠ACB+∠1+∠2=180°（平角定义），∴∠ACB+∠A+∠B=180°（等量代换）．证法2：如图2所示，在BC 边上任取一点D ，作DE ∥AB ，交AC 于E ，DF ∥AC ，交AB 于点F ．∵DF ∥AC （已作），∴∠1=∠C （两直线平行，同位角相等），∠2=∠DEC （两直线平行，内错角相等）．∵DE ∥AB （已作）．∴∠3=∠B ，∠DEC=∠A （两直线平行，同位角相等）．∴∠A=∠2（等量代换）．又∵∠1+∠2+∠3=180°（平角定义），∴∠A+∠B+∠C=180°（等量代换）．证法3：如图3所示，过A 点任作直线1l ，过B 点作2l ∥1l ，过C 点作3l ∥1l ，∵1l ∥3l （已作）．∴∠l=∠2（两直线平行，内错角相等）．同理∠3=∠4．又∵1l ∥2l （已作），∴∠5+∠1+∠6+∠4=180°（两直线平行，同旁内角互补）．∴∠5+∠2+∠6+∠3=180°（等量代换）．又∵∠2+∠3=∠ACB ，∴∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°（等量代换）．【总结升华】三角形内角和定理的证明方法有很多种，无论哪种证明方法，都是应用的平行线的性质.2.在△ABC 中，已知∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，试求∠A ，∠B 和∠C 的度数．【思路点拨】题中给出两个条件：∠A+∠B ＝80°，∠C ＝2∠B ，再根据三角形的内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C ＝180°就可以求出∠A ，∠B 和∠C 的度数．【答案与解析】解：由∠A+∠B ＝80°及∠A+∠B+∠C ＝180°，知∠C ＝100°．又∵ ∠C ＝2∠B ，∴ ∠B ＝50°．∴ ∠A ＝80°-∠B ＝80°-50°＝30°．【总结升华】解答本题的关键是利用隐含条件∠A+∠B+∠C ＝180°．本题可以设∠B ＝x ，则∠A ＝80°-x ，∠C ＝2x 建立方程求解．【高清课堂：与三角形有关的角例1、】举一反三：【变式】已知，如图，在△ABC 中，∠C=∠ABC=2∠A ，BD 是AC 边上的高，求∠DBC 的度数.【答案】解：已知△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A设∠A=x则∠C=∠ABC=2xx+2x+2x=180°解得：x=36°∴∠C=2x=72°在△BDC中， BD是AC边上的高，∴∠BDC=90°∴∠DBC=180°－90°-72°=18°类型二、三角形的外角【高清课堂：与三角形有关的角例2、】3.（1）如图，AB和CD交于点O，求证：∠A＋∠C＝∠B＋∠D ．（2）如图，求证：∠D=∠A＋∠B +∠C．【答案与解析】解：（1）如图，在△AOC中，∠COB是一个外角，由外角的性质可得：∠COB＝∠A＋∠C，同理，在△BOD中，∠COB＝∠B＋∠D，所以∠A＋∠C＝∠B＋∠D．（2）如图，延长线段BD交线段与点E，在△ABE中，∠BEC＝∠A＋∠B ①；在△DCE中，∠BDC＝∠BEC＋∠C ②，将①代入②得，∠BDC＝∠A＋∠B＋∠C，即得证．【总结升华】重要结论：（1）“8”字形图：∠A＋∠C＝∠B＋∠D；（2）“燕尾形图”：∠D=∠A＋∠B +∠C．举一反三：【变式1】如图，AB∥CD，AD和BC相交于点O，∠A＝40°，∠AOB＝75°，则∠C等于（）A、40°B、65°C、75°D、115°【答案】B【变式2】如图，在△ABC中，∠A＝70°，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，则∠BOC的度数为 .【答案】125°类型三、三角形的内角、外角综合4.如图所示，已知DE分别交△ABC的边AB、AC于D、E，交BC的延长线于F，∠B＝67°，∠ACB＝74°，∠AED＝48°，求∠BDF的度数．【思路点拨】要求∠BDF的度数，应从三角形内角和与三角形的外角出发，若将∠BDF看成△BDF的内角，只需求∠F的度数即可．【答案与解析】解：∵∠CEF＝∠AED＝48°，∠BCA＝∠CEF+∠F，∴∠F＝∠BCA-∠CEF＝74°-48°＝26°，∴∠BDF＝180°-∠B-∠F＝180°-67°-26°＝87°．【总结升华】三角形内角和与外角是进行与角有关的计算或证明的重要工具，本题也可将∠BDF看成△ADE的外角来求解．举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC中，P为内角平分线AD、BE、CF的交点，过点P作PG⊥BC 于G，试说明∠BPD与∠CPG的大小关系并说明理由．【答案】解：∠BPD＝∠CPG；理由如下：∵ AD、BE、CF分别是∠BAC、∠ABC、∠ACB的角平分线，∴∠1＝12∠ABC，∠2＝12∠BAC，∠3＝12∠ACB，∴∠1+∠2+∠3＝12(∠ABC+∠BAC+∠ACB)＝90°，又∵∠4＝∠1+∠2，∴∠4+∠3＝90°，又∵ PG⊥BC，∴∠3+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，即∠BPD＝∠CPG．。

三角形内角规律及关系

三角形内角规律及关系如下：
1.三角形内角和为180度，即三角形三个内角大小之和为180
度。

2.在三角形中，有一个角是直角，则该三角形为直角三角形；如
果一个角大于90度，则该三角形为钝角三角形；如果一个三
角形中最大的角小于90度，则该三角形为锐角三角形。

3.三角形内角之间存在以下关系：
•如果一个三角形的两个内角相等，则第三个内角也相等，这个三角形是等边三角形；
•如果一个三角形的两个内角之和等于第三个内角，则这个三角形是直角三角形；
•如果一个三角形的两个内角之差等于第三个内角，则这个三角形是钝角三角形；
•如果一个三角形的两个内角之和等于180度减去第三个内角的度数，则这个三角形是锐角三角形。

北师版小学四年级数学下册《认识三角形和四边形》第3课时探索与发现：三角形的内角和(1)

1、读一读教材例题（教材第24页例题）老师：同学们，你们认同上面的两个三角形的话吗？（请学生发表自己的看法）学生A：一样大学生B：不知道。

学生C：大的三角形的内角和大。

......老师：既然大家的意见的不一样，那我们一起来探讨一下三角形内角和的关系。

1、小组活动：每人准备一个三角形，量一量，填一填老师：从图中可以清晰看到三角形有多少个内角呢？学生：3个。

老师：顾名思义，三角形的内角和代表什么呢？学生：三角形的三个内角的度数之和，即上诉图形中∠1，∠2，∠3度数之和。

小结：三角形的内角指三角形里面的三个角，即三角形每相邻两条边跑的夹角；三角形的内角和指的是这三个内角的度数之和。

（2）实际测量，探索三角形的内角和。

老师：现在我们已经知道什么是三角形的内角了，要想知道三角形的内角和，我们有什么方法呢？学生：用量角器量一量。

老师：不错，我们要想知道一个三角形的内角和，最熟悉的方法就是将三角形的三个内角加起来算一算。

老师：现在就让我们来量一量，算一算，填一填，完成下面这个表格（请学生汇报自己的表格）（PPT展示）2、小组交流发现了什么？老师：同学们，和小组里的其他成员讨论一下自己的表格是否和别人的一样。

同学：一样。

老师：那请同学分享一下自己的发现。

同学A：每个三角形的内角和都是180゜。

同学B：有些不是180゜。

老师：那不是180゜的，是否接近180゜呢？学生：接近。

老师：通过实际测量、计算发现，每个三角形的三个内角和都在180゜左右。

实际上，三角形的内角和就是180゜，只是因为测量有误差，导致计算出的内角和不都是180゜。

3、验证三角形内角和180゜。

验证三角形内角和等于180゜的方法。

方法一：把三角形的三个角撕下来，拼一拼。

老师：从量一量那里我们可以猜测三角形内角和180゜，说起180゜，我们还记得什么角是180゜吗？学生：一个平角是180゜。

老师：是的，要想证明三角形的内角和是否为180゜，我们就得看看三角形的三个内角是否可以拼成一个平角。

7.5三角形的内角和(1)

A 2 B 1 (1) a b A 2 B 1 C (2) a
3
b
操作：把木条a绕点A转动，使它与木条b相交于点C，根据图（2），你能说明“三角形内角和等于1800”吗？
A 2
B 1 3
4 C
解：因为c//b, 所以∠3=∠4 b ∠1+∠2+∠3=180° a 所以∠1+∠2+∠4=180° 即△ABC的三个内角的和等于180°
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。
三角形的外角和等于
。
（2）由三角形3个内角之间的关系得到直角三角形的一个性质：直角三角形的两个锐角互余.
试一试
把△ABC的边AB延长，得到∠CBD，度量∠A、∠C和∠CBD的度数，你能得到什么关系？
C
1
A
B
D
外角
1、三角形的一边与另一边的延长线的夹角，叫做外角。 2、想一想，三角形的外角共有几个？共有六个。注意：每个顶点处有两个外角，它们是对顶角。研究与三角形外角有关的问题时，通常每个顶点处取一个外角.
C
D
112
C B
y
x
65
A
B
A
x
(x-10)
E
2、（1）三角形的三个内角中，最多能有几个直角？最多能有几个钝角？
（2）直角三角形的外角可能是锐角吗？
3、如图，AD是△ABC的角平分线，E是BC延长线上一点，∠EAC=∠B, ∠ADE与∠DAE相等吗？
解：∠ADE与∠DAE相等. 因为 ∠DAE= ∠DAC+ ∠EAC, ∠ADE是△ABD的一个外角, ∠ADE=∠B+ ∠BAD 因为 ∠BAD= ∠DAC, ∠EAC= ∠B, B 所以∠ADE= ∠DAE

三角形内角和(1)

三角形内角和（三个内角的总和）
我有一个钝角，我的三个内角的和比你大。
我个头大，我的三个内角的和才比你大。
量一量
• 每位组员可分别选择一种三角形，准确、真实的量出各内角的度数，并计算出这个三角形的内角和。
• 组长负责做好记录和整理。 • 观察记录表:你们小组发现了什么？
你还有别的办法验证三角形的内角和是否是 180度吗？
拼
1
3 2
3 平角：1800
折一折
1
2
3
折一折
1
1
2
3
折一折
1
2
3
三角尺
30
90+45+45=1800 90+60+30=1800
三角形内角和（三个内角的总和）
我有一个钝角，我的三个内角的和比你大。
我个头大，我的三个内角的和才比你大。
770
770 1800-750-280=770
550
550 1800-350-900=550
1150
1150 1800-450-200=1150

三角形的内角和外角

三角形的内角和外角三角形是几何学中最基本的形状之一，它由三条边组成。

在三角形内部，存在三个内角，而在三角形外部，也存在着三个外角。

本文将深入讨论三角形的内角和外角的性质和关系。

一、三角形内角的性质1. 内角定义：三角形内角是三角形的内部角度，具体可分为三个角度，分别记为∠A、∠B和∠C，对应于三角形的三个顶点A、B和C。

2. 内角和定理：在任意三角形ABC中，三个内角的和等于180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。

3. 内角的大小：根据内角和定理可知，对于普通三角形，其中至少一个内角小于90度，至少一个内角大于90度。

4. 直角三角形内角：直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个内角为90度，另外两个内角之和必然为90度。

5. 三角形内角的分类：根据大小可将三角形的内角分为锐角、直角和钝角。

当三角形中的一个内角为锐角时，其余两个内角分别为钝角；当三角形中的一个内角为直角时，其余两个内角都为锐角；当三角形中的一个内角为钝角时，其余两个内角都为锐角。

二、三角形外角的性质1. 外角定义：三角形外角是指三角形的一个内角的补角，即等于360度减去该内角的度数。

2. 外角和定理：在任意三角形ABC中，三个外角的和等于360度，即∠D + ∠E + ∠F = 360°。

3. 外角与内角的关系：三角形内角与其对应的外角之和为180度，即∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠E = 180°，∠C + ∠F = 180°。

4. 外角的分类：根据大小可将三角形的外角分为锐角和钝角。

当三角形中的一个内角为锐角时，其对应的外角也为锐角；当三角形中的一个内角为钝角时，其对应的外角也为钝角。

三、三角形内角和外角的关系1. 内角和外角的关系：在任意三角形ABC中，三角形内角和其对应的外角之和等于180度，即∠A + ∠D = 180°，∠B + ∠E = 180°，∠C + ∠F = 180°。

2022秋七年级数学上册第一章三角形1.1认识三角形1三角形的内角和课件鲁教版五四制

13 如图①，有一块直角三角尺PMN放置在△ABC上(P点在 △ABC内)，使三角尺PMN的两条直角边PM、PN恰好分别经过点B和点C. (1)若∠A＝52°，求∠1＋∠2的和；
解：因为∠A＝52°，所以∠ABC＋∠ACB＝180°－52°＝128°. 因为∠P＝90°，所以∠PBC＋∠PCB＝90°. 所以∠ABP＋∠ACP＝128°－90°＝38°. 即∠1＋∠2＝38°.
解：猜想：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°. 理由：因为 ∠ A ＋ ∠ B ＋ ∠ AMB ＝ 180° ， ∠ AMB ＋ ∠BMP＝180°，所以∠BMP＝∠A＋∠B. 同理得∠ENM＝∠E＋∠F，∠MPC＝∠C＋∠D. 又因为 ∠ BMP ＋ ∠ ENM ＋ ∠ MPC ＝ (180° － ∠ NMP) ＋ (180°－∠MNP)＋(180°－∠MPN)＝540°－(∠NMP＋ ∠MNP＋∠MPN)＝360°，所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝360°.
8 【中考·长春】如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交 AB 于点 D ，过点 D 作 DE ∥ BC 交 AC 于点 E. 若 ∠ A ＝ 54°，∠B＝48°，则∠CDE的大小为( C ) A．44° B．40° C．39° D．38°
9 如图，请猜想∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度数，并说明你的理由．
解：如图所示．以A，B为顶点，得△ABC，△ADB，△ABE；以A，C为顶点，得△ACD，△ACE；以A，D为顶点，得△ADE；
以B，C为顶点，得△BCE，△BCD；以B，D为顶点，得△BDE；以C，D为顶点，得△CDE；故以其中任意三个点为顶点画三角形，最多可以画10个三角形．

平面几何中的三角形和三角形的内角和定理

平面几何中的三角形和三角形的内角和定理三角形是平面上最简单、最基本的几何图形之一。

它由三条线段所围成，每条线段称为三角形的边，两条相邻的边所夹的角称为三角形的角。

在三角形中，有一些角具有特殊的性质，它们的和也有着特别的规律。

本文将介绍三角形中的三角形内角和定理，帮助读者更好地理解和应用平面几何。

一、三角形的内角和对于任意一个三角形ABC，三个内角的和应该等于180度，即∠A+∠B+∠C=180°。

这个结论可以用多种方法来证明。

方法一：利用三角形的等角定理。

我们先假设三角形ABC中的角A等于90度，则∠B和∠C互为余角，即∠B=90°－∠C。

将等式代入∠A+∠B+∠C=180°中，可以得到∠A+（90°－∠C）+∠C=180°，化简后得到∠A+90°=180°，即∠A=90°。

因此，三角形ABC是一个直角三角形。

方法二：利用平行线与交线的性质。

我们用线段AC作为三角形ABC的一条边，通过点B画一条平行于线段AC的直线DE，使DE与BC相交于点F。

因为AC与DE平行，所以∠A=∠E。

同时，∠EBF和∠CBF都是180度减去∠C，即∠EBF=∠CBF=180°－∠C。

因此，∠E+∠B+∠F=∠A+∠B+∠C=180°，即∠E+∠B+（180°－∠C）=180°，化简后得到∠E=∠C。

所以，∠A+∠B+∠C=∠E+∠B+∠C=180°。

方法三：利用三角形的面积公式。

我们将三角形ABC绕某个顶点旋转，使其底边平移至一条与底边平行的直线上，然后将三角形划分成两个梯形和一个三角形。

根据相似三角形的性质，两个梯形面积之和与三角形面积之比等于梯形的中线之比，即hA：hB=AC：BD。

因为BD=AC，所以hA=hB。

同理，再用梯形的面积公式，可得hA=hB=hC，即三角形ABC的三个高相等。

11.2.1三角形的内角和(1)

∵CE∥BA （辅助线的作法） ∴∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2 (两直线平行，同位角相等) 又∵∠1+∠2+∠ACB=180° (平角的定义) ∴∠A+∠B+∠ACB=180° (等量代换)
。
A
E
×
。 ×2
C
1BBiblioteka D已知：△A B C. 求证：∠A +∠B +∠C =180° 证法3：证明：过A作AE∥BC， ∵ AE∥BC （辅助线的作法） ∴∠B=∠BAE (两直线平行,内错角相等) ∠EAC+∠C=180° (两直线平行,同旁内角互补) 即 ∠EAB+∠BAC+∠C=180° ∴∠B+∠C+∠BAC=180° (等量代换) B C E A
B
C
(两直线平行,内错角相等) ∴ ∠ACB＝∠1﹢∠2 ＝50 °﹢ 40 ° ＝90 ° 北 E
40° 2
例2 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向。从C岛看A、B两岛的视角∠ACB是多少度？
北 D
50°
C
1
B
A 答： ∠ACB是90°
F
练一练：课本：P13练习：第1题
C
A B
D
练一练：课本：P13练习：第2题
解：
∵四边形ABCD关于AC成左右对称， ∴∠BAC=∠DAC， ∵∠BAD=150°， ∴∠BAC=1/2×150°=75°，在△ABC中，∵∠B=40°， ∴∠ACB=180°-40°75°=65°， ∴∠ACD=∠ACB=65° 所以∠C=130度．
练习2
１.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是（）

湘教版数学八年级上册2 第3课时三角形内角和与外角1教案与反思

第3课时三角形内角和与外角满招损，谦受益。

《尚书》原创不容易，【关注】，不迷路！1．理解并掌握三角形的内角和定理；(重点)2．会按角的大小把三角形进行分类，了解直角三角形的有关概念；(难点) 3．理解三角形外角的概念，掌握三角形外角的性质．(重点)一、情境导入请同学们准备一块三角形纸板，把纸板的三个角剪下拼在一起，你有什么发现？二、合作探究探究点一：三角形的内角和定理【类型一】三角形的内角和如图，△ABC中，D在BC的延长线上，过D作DE⊥AB于E，交AC于F.已知∠A＝30°，∠FCD＝80°，求∠D.解析：由三角形内角和定理，可将求∠D转化为求∠CFD，即∠AFE，再在△AEF中求解即可．解：因为DE⊥AB(已知)，所以∠FEA＝90°(垂直定义)．因为在△AEF中，∠FEA＝90°，∠A＝30°(已知)，所以∠AFE＝180°－∠FEA－∠A＝180°－90°－30°＝60°.(三角形内角和等于180°)又因为∠CFD＝∠AFE(对顶角相等)，所以∠CFD＝60°.所以在△CDF中，∠CFD＝60°，∠FCD＝80°(已知)，∠D＝180°－∠CFD－∠FCD＝180°－60°－80°＝40°.方法总结：三角形中求角度，首先要考虑的是三角形内角和．根据三角形内角和定理，已知三角形中任意两个角的度数，可以求出第三个角的度数．【类型二】三角形内角和与平行线结合求角度如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A＝50°，∠B＝70°，求∠EDC，∠BDC的度数．解析：根据三角形内角和求出∠ACB的度数，再由CD是∠ACB的平分线可求出∠BCD的度数，再根据平行线的性质和三角形的内角和定理即可求解．解：因为∠A＝5°，∠B＝70°，所以∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－50°－70°＝60°.因为CD是∠ACB的平分线，所以∠BCD＝12∠ACB＝12×60°＝30°.因为DE∥BC，所以∠EDC＝∠BCD＝30°，在△BDC中，∠BDC＝180°－∠B－∠BCD＝180°－70°－30°＝80°.方法总结：本题考查三角形的内角和定理及角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是利用平行线的性质沟通角与角的关系．【类型三】三角形内角和与角平分线高结合已知：如图，在△ABC中，∠BAC＝80°，AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，∠B＝60°，求∠DAE的度数．解析：首先根据三角形的内角和定理求得∠BAD，再根据和差关系和角平分线的定义求得∠DAE.解：因为AD⊥BC，所以∠BDA＝90°.因为∠B＝60°，所以∠BD＝180°－∠BDA－∠B＝180°－90°－60°＝30°.因为∠BAC＝80°，所以∠DAC＝∠BAC－∠AD＝80°－30°＝50°.因为AE平分∠DAC，所以∠DAE＝12∠DAC＝12×50°＝25°.方法总结：在三角形中，由高这一条件可以得到90°的角，根据三角形的内角和，在得到的直角三角形中，已知一个锐角的度数以求另一个锐角的度数从三角形一个顶点出发的角既有角平分线又有高时，要注意这个顶点处几个角的位置关系和数量关系．探究点二：三角形按角分类具备下列条件的△ABC中，是锐角三角形的是( )A．∠A＋∠B＝∠CB．∠A＝58°，∠B＝60°C．∠A：∠B：∠C＝1：1：2D．∠A－∠B＝90°解析：根据三角形内角和理，∠A＋∠B＋∠C＝180°.选项A中，∠A＋∠B ＝∠C，则∠C＝90°，这个三角形是直角三角形；选项B中，∠A＝58°，∠B ＝60°，则∠C＝62°，这个三角形是锐角三角形；选项C中，∠A：∠B：∠C ＝1：1：2，则∠A＝45°，∠B＝45°，∠C＝90°，这个三角形是等腰直角三角形；选项D中，∠A－∠B＝90°，那么∠A＞90°，这个三角形是钝角三角形．故选B.方法总结：把三角形按角分类，应先求出这个三角形中最大的角，最大的角是什么角，这个三角形相应的就是什么三角形．探究点三：三角形的外角【类型一】三角形的外角、外角性质如图，∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝α，那么∠A 等于( )A．90°－αB．90°－1 2αC．180°－1 2αD．180°－2α解析：α＝180°－(∠DBC＋∠DCB)＝180°－12(∠CBE＋∠BCF)＝180°－12(∠A＋∠ACB＋∠BCF)＝180°－12(180°＋∠A)＝90°－12∠A.则∠A＝180°－2α.故选D.方法总结：注意此题中的结论：∠ABC和∠ACB的外角平分线相交于点D，设∠BDC＝α，那么∠A＝180°－2α.熟记这一结论，便于计算简便．【类型二】三角形内角和与外角性质的应用如图所示，点D是AB上一点，点E是AC上一点，BE、CD相交于点F，∠A＝62°，∠ACD＝35°，∠ABE＝20°，求∠BFC的度数．解析：本题可以利用三角形的外角的性质，也可应用三角形内角和定理求∠BFC的度数．解：方法1：∵∠BDC是△ADC的外角，∴∠BDC＝∠A＋∠ACD＝62°＋35°＝97°.又∵∠BFC是△BDF的外角，∴∠BFC＝∠BDF＋∠DBF＝97°＋20°＝117°.方法2：在△ABC中，∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝180°－62°＝118°.在△BFC中，∠FBC＋∠FCB＝∠ABC＋∠ACB－∠ABE－∠ACD＝118°－20°－35°＝63°∴∠BFC＝180°－(∠FBC＋∠FCB)＝180°－63°＝117°.方法总结：方法1充分利用三角形外角的性质，方法2充分利用了三角形的内角和定理，解这类题目，观察角度不同，会有不同的解题方法．三、板书设计三角形内角和定理→三角形外角的性质↓三角形按角分类在教师的指导下，通过学生的实际操作，发现、归纳、总结三角形的内角和定理．在三角形的内角和定理的基础上，引导学生得出三角形外角的性质．在课堂上，力求体现学生的主体地位，把课堂交给学生，让学生积极参与．【素材积累】海明威和他的“硬汉形象”美国作家海明威是一个极具进取精神的硬汉子。

《三角形的内角和》PPT课件精品

第1课时三角形的内角和
人教版八年级上册
课前准备
任意三角形纸片、剪刀、量角器、直尺
学习目标
重点 1
经历探究活动的过程，多角度探索并证明三角形内角和定理，体会证明的必要性；
【推理能力】
难点 2
获取添加辅助线的思路和方法，能用平行线的性质证明三角形内角和等于180°；
【几何直观、推理能力】
辅助线通常画成虚线.
思路添加平行线（转化法）（辅助线）
利用平行线的性质，转移角
① 依据平角定义，得到180°； ② 两直线平行，同旁内角互补．
知识点二运用三角形内角和定理
将正确答案填到相应的横线上。
① 在△ABC中，∠A＝30°，∠B ＝ 65°，则∠C ＝___8_5_°__ ② 在△ABC中，∠C＝ 42°，∠A ＝ ∠B，则∠B ＝ ___6_9_°__ ③ 在△ABC中，∠A＝∠B ＝∠C，则∠A ＝ ___6_0_°__ ④ 在△ABC中，∠C＝ 36°，∠A：∠B ＝ 1：2，则∠B ＝ ___9_6_°__
隐含条件：三角形三个内角的和等于180°
例1 如图，在△ABC 中， ∠BAC ＝40°, ∠B ＝75°，AD 是 △ABC的角平分线．求∠ADB 的度数．
C
解：由∠BAC ＝ 40°, AD是△ ABC
的角平分线，得
D
∠BAD ＝ 1 ∠BAC ＝ 20°.
2
在△ABD中，
A
B
∠ADB ＝180°－∠B－∠BAD
三角形三个内角的和等于180°.
画图写出
已知：△ABC.
A
已知求证
求证：∠A+∠B+∠C=180°.
证明过程？

11.2.1三角形内角和1

证法2：延长BC到D，过C作CE∥BA， ∴ ∠A=∠1 (两直线平行，内错角相等) ∠B=∠2(两直线平行，同位角相等) ∵∠ACB 、∠1 、∠2组成平角， ∴∠ACB +1+∠2 =180°（平角定义） ∴∠ACB+ ∠A+∠B =180°（等量代换）
A
E
1
2
B
C
D
从上面的两种证明方法中，大家能否找到它们的异同点？它们的思路是否一致呢?
解： ∠CAB= ∠BAD-∠CAD=80°-50°=30° 由AD∥BE，可得 ∠BAD+∠ABE=180° 所以∠ABE=180° -∠BAD=180°-80°=100° ∠ABC=∠ABE-∠EBC=100°-40°=60° 在△ABC中 ∠ACB=180°-∠ABC-∠CAB =180°-60°-30°=90°
三角形的内角和等于180°.
已知：在△ABC中，∠A、∠B、∠C 是它的三个内角. 求证： ∠A+∠B+∠C=180°
A
从刚才拼角操作过程的过程你能想出证明的思路吗?
B
C
证法1：过A作直线EF ，使 EF∥BA. E 2 ∵ EF∥BA ∴∠B=∠2 (两直线平行,内错角相等)
A
1
F
B
C
同理 ∠C=∠1 ∵∠2、∠BAC 、∠1组成平角， ∴∠ 2+∠BAC +∠1 =180° （平角定义） ∴∠B+∠BAC +∠C =180° （等量代换）
A
B
C
Ｄ
3在△ABC中， ∠A :∠B:∠C=2:3:4，则∠A = 80 ° 40 ° ∠ B= 60 ° ∠ C=
4.△ABC中,若∠A＋∠B＝∠C,则△ABC是直角三角形 ________

5.4三角形的内角和(1)

C
直角的对边叫作斜边，
直角边
斜边
Байду номын сангаас
两边相等的三角形叫作等腰三角形，两条直角边相等的直角三角形叫作等腰直角三角形
A
直角边
B
直角三角形的两个锐角互为余角．
如图，以三角形的内角和性质为依据，探究出四边形、五边形、六边形的内角和．
图形名称
四边形五边形六边形
分割成几个独立的三角形
2 3
多边形的内角和
D
义务教育课程标准实验教科书 SHUXUE 七年级下
展辉初中部七年级数学备课组
请同学们用量角器测量图中△ABC的三个内角∠A，∠B，∠C，并分别得出三组数据，分别计算∠A+∠B+∠C的值并推测三角形的内角和应该等于多少. 你能讲出道理吗？ A A A
B
C
B
C
B
C
三角形内角和是180°
我们将∠B沿着直线BC平移,使B点和C点重合,则所以 ∠B 就变成∠1,CE平行AB,因此∠A=∠2(两直线平行内错角相等)
360° 540° 720°
4
1.填空
60° （1）在△ABC中，∠A＝90º ，∠C＝30º ，则∠B__________; 60° （2）在△ABC中，∠A＝60º ，∠B＝∠C，则∠B__________;
（3）在△ABC中，∠A－∠B＝50º ，∠C－∠B＝40º ，则∠B
30° ＝__________;
2.如图，已知Rt△ABC,∠ACB=90º ,CD⊥AB,垂足是D （1）数一数图中有几个直角三角形，并说出它们的直角边和斜边； Rt△ADC 斜边AC 直角边AD和 DC 1 Rt△BDC 斜边BC 直角边CD和 BD Rt△ACB 互余（2）∠1与∠2是_________关系；互余 ∠2与∠B是_________关系相等 ∠A与∠2是_________关系相等 ∠1与∠B是_________关系 A C 2 B

三角形的内角和和外角和关系(学生)

三角形的内角和与外角和关系一、考点、热点回顾：要点一、三角形的内角和1.三角形内角和定理：三角形的内角和为180°．2.结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系．要点二、三角形的外角1．定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角.要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线．（2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角．2．性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．（2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角．要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质．3.三角形的外角和：三角形的外角和等于360°.要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°．二、典型例题+拓展训练：【典型例题】类型一、三角形的内角和1．在△ABC中，若∠A＝12∠B＝13∠C，试判断该三角形的形状．举一反三：【变式1】三角形中至少有一个角不小于________度．【变式2】如图，AC⊥BC,CD⊥AB,图中有对互余的角？有对相等的锐角？2.在△ABC中，∠ABC＝∠C，BD是AC边上的高，∠ABD＝30°，则∠C的度数是多少?类型二、三角形的外角3.如图，在△ABC中，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线，∠B=50º，∠C=70º，求∠DAE ．举一反三：【变式】如图，在△ABC中，AB＞AC，AE⊥BC于E，AD为∠BAC的平分线，则∠DAE与∠C－∠B的数量关系 .4.如图所示，已知CE是△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA延长线于点E.求证：∠BAC >∠B.举一反三：【变式】如图所示，用“<”把∠1、∠2、∠A联系起来________.类型三、三角形的内角外角综合5.如图所示，试求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．举一反三：【变式1】如图所示，五角星ABCDE中，试说明∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.【变式2】一个三角形的外角中，最多有锐角 ( )A．1个 B．2个 C．3个 D．不能确定三、总结：四、课堂练习：一、选择题1. (湖北荆州)如图所示，一根直尺EF压在三角板30°的角∠BAC上，与两边AC，AB交于M，N．那么∠CME+∠BNF是( )A．150° B．180° C．135° D．不能确定2．若一个三角形的三个内角互不相等，则它的最小角必小于( )A．30° B．45° C．60° D．55°3．下列语句中，正确的是( )A．三角形的外角大于任何一个内角B．三角形的外角等于这个三角形的两个内角之和C．三角形的外角中，至少有两个钝角D．三角形的外角中，至少有一个钝角4．如果一个三角形的两个外角之和为270°，那么这个三角形是( )A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法确定5．如图，已知AB∥CD，则( )A．∠1＝∠2+∠3 B．∠1＝2∠2+∠3C．∠1＝2∠2-∠3 D．∠1＝180°-∠2-∠36.(福建漳州)如图所示，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC的纸片，点D、E分别是边AB、AC上，将△ABC沿着DE折叠压平，A与A′重合，若∠A＝70°，则∠1+∠2＝( ) A．140° B．130° C．110° D．70°二、填空题7．在△ABC中，若∠A-2∠B＝70°，2∠C-∠B＝10°，则∠C＝________．8．如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．(1)若∠A＝76°，则∠BOC＝________；(2)若∠BOC＝120°，则∠A＝_______；(3)∠A与∠BOC之间具有的数量关系是_______．9. 已知等腰三角形的一个外角等于100°，则它的底角等于________．10．(河南)将一副直角三角板如图所示放置，使含30°角的三角板的短直角边和含45°角的三角板的一条直角边重合，则∠1的度数为________．11．(湖北鄂州)如图所示，△ABC的外角∠ACD的平分线CP与内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC＝40°，则∠CAP＝_______．12.如图，O是△ABC外一点，OB，OC分别平分△ABC的外角∠CBE，∠BCF.若∠A＝n°，则∠BOC＝（用含n的代数式表示）.三、解答题13.如图，求证：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°.14．如图所示，BE与CD交于A，CF为∠BCD的平分线，EF为∠BED的平分线．(1)试探求：∠F与∠B、∠D之间的关系；(2)若∠B:∠D:∠F＝2:4:x，求x的值．15．如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与外角∠ACE的平分线交于点D．试说明12D A ∠=∠．16．如图所示，在△ABC中，∠1＝∠2，∠C＞∠B，E为AD上一点，且EF⊥BC于F．(1)试探索∠DEF与∠B，∠C的大小关系；(2)如图(2)所示，当点E在AD的延长线上时，其余条件都不变，你在(1)中探索到的结论是否还成立?五、课后作业：一、选择题1．已知在△ABC中有两个角的大小分别为40°和70°，则这个三角形是（）A．直角三角形 B．等边三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形2．若△ABC的∠A＝60°，且∠B:∠C＝2:1，那么∠B的度数为( )A．40° B．80° C．60° D．120°3．(云南昆明)如图所示，在△ABC中，CD是∠ACB的平分线，∠A＝80°，∠ACB＝60°，那么∠BDC＝( )A．80° B．90° C．100° D．110°4．(安徽)如图所示，直线1l ∥2l ，∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为( )A ．50°B ．55°C ．60°D ．65°5．(山东济宁)若一个三角形三个内角度数的比为2:3:4，那么这个三角形是( )A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．等边三角形6．(山东菏泽)一次数学活动课上，小聪将一幅三角板按图中方式叠放．则∠α等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．75°二、填空题7．如图，AD ⊥BC ，垂足是点D ，若∠A ＝32°，∠B ＝40°，则∠C ＝_______，∠BFD ＝_______，∠AEF ＝________．8．在△ABC 中，∠A+∠B ＝∠C ，则∠C ＝_______．9．根据如图所示角的度数，求出其中∠α的度数．10．如图所示，飞机要从A 地飞往B 地，因受大风影响，一开始就偏离航线(AB)38°(即∠A ＝38°)，飞到了C 地．已知∠ABC ＝20°，现在飞机要到达B 地，则飞机需以_______的角飞行(即∠BCD 的度数)．11．如图，有_______个三角形，∠1是________的外角，∠ADB 是________的外角．12.在△ABC中，(1)若∠A:∠B:∠C＝1:2:3，则∠A＝_______，∠B＝_______，∠C＝_______，此三角形为_______三角形；(2)若∠A＝∠B+∠C，则此三角形为________三角形；(3)若∠A大于∠B+∠C，则此三角形为________三角形．三、解答题13．如图，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数．14．已知：如图所示，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．15．已知：如图，D是△ABC的BC边上一点，且∠B＝∠1．求证：∠2＝∠BAC．16．如图是李师傅设计的一块模板，设计要求BA与CD相交成20°角，DA与CB相交成40°角，现测得∠B＝75°，∠C＝85°，∠D＝55°．能否判定模板是否合格，为什么?。