高一数学两条直线平行与垂直的判定(1)

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人教版数学高一必修2学案两条直线平行与垂直的判定

3.1.2两条直线平行与垂直的判定基础梳理1．两条直线平行的判定．两条不重合的直线平行的条件是(斜率都存在)：它们的斜率相等．即：α1＝α2⇔l1∥l2⇔k1＝k2.上述结论的前提是两条直线不重合并且斜率都存在．例如：已知两不重合直线的倾斜角都为0°，则这两直线平行．已知两不重合直线的倾斜角都为90°，则这两直线平行．2．两条直线垂直的判定．探究两直线l1，l2垂直时，它们的斜率k1，k2的关系．(1)l1，l2的倾斜角α1＝90°，α2＝0°时，斜率k1不存在；k2＝0，此时两直线垂直．(2)两直线的斜率都存在时，两直线垂直，则它们的斜率k1，k2的乘积k1k2＝－1.反之亦然，即：l1⊥l2⇔k1k2＝－1．例如：已知直线l1的斜率为3，l2的斜率为－13，则l1⊥l2.►思考应用1．当两条直线的斜率相等时，两条直线一定平行吗？解析：一定，课本说“两条直线时，一般是指两条不重合的直线”．2．当直线l1⊥l2时，它们的倾斜角α1，α2的关系是什么(α1<α2)? 解析：α2＝90°＋α1.自测自评1．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的斜率k等于(B)A．－3 B．3 C．－13D.132．过点A(1，2)和B(－3，2)的直线与直线y＝0的位置关系是(B) A．相交B．平行C．重合D．垂直3．直线l1的倾斜角为60°，直线l1⊥l2，则直线l2的斜率为(D) A. 3 B．－ 3C.33D．－334．经过点(m，3)和(－2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是2．题型一两条直线平行与垂直的关系(1)若l1∥l2，则l1的斜率k1＝－a3，题型二两直线平行与垂直的应用基础达标1．下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行；②如果两直线平行，则它们的斜率相等；③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直；④如果两直线垂直，则它们斜率之积为－1.其中正确的为(B )A ．①②③④B ．①③C ．②④D ．以上全错2．给定三点A(1，0)、B(－1，0)、C(1，2)，则过A 点且与直线BC 垂直的直线经过点(A )A ．(0，1)B ．(0，0)C ．(－1，0)D ．(0，－1)解析：∵k BC ＝2－01－（－1）＝1， ∴过A 点且与直线BC 垂直的直线的斜率为－1.又∵k ＝1－00－1＝－1， ∴直线过点(0，1)．3．已知直线l 1经过两点(－1，－2)，(－1，4)，直线l 2经过两点(2，1)，(x ，6)，且l 1∥l 2，则x ＝(A )A ．2B ．－2C ．4D ．14．设点P(－4，2)，Q(6，－4)，R(12，6)，S(2，12)，下面四个结论： ①PQ ∥SR ；②PQ ⊥PS ；③PS ∥QS ；④RP ⊥QS.正确的个数是(C )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：由斜率公式知k PQ ＝－4－26＋4＝－35，k SR ＝12－62－12＝－35，k PS ＝12－22＋4＝53，k QS ＝12＋42－6＝－4·k PR ＝6－212＋4＝14，∴PQ ∥SR ，PS ⊥PQ ，RP ⊥QS.而k PS ≠k QS ，所以PS 与QS 不平行，故①②④正确，选C .5．下列各对直线不互相垂直的是(C )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，3)B ．l 1的斜率为－23，l 2过点A(1，1)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－12C ．l 1的倾斜角为30°，l 2过点P(3，3)，Q(4，23)D ．l 1过点M(1，0)，N(4，－5)，l 2过点A(－6，0)，S(－1，3)6．以A(5，－1)，B(1，1)，C(2，3)为顶点的三角形是(D )A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．以A 为直角顶点的直角三角形D ．以B 为直角顶点的直角三角形7．确定l 1与l 2的位置关系(填“∥”或“⊥”)(1)l 1过点A(2，3)，B(－1，0)，l 2过点P(1，0)且斜率为1，则l 1________l 2.(2)l 1过点C(3，1)，D(－2，0)，l 2过点M(1，－4)且斜率为－5，则l 1________l 2.解析：(1)∵kl 1＝3－02＋1＝1，∴l 1∥l 2. (2)kl 1＝15，∴kl 1·kl 2＝－1，∴l 1⊥l 2. 答案：(1)∥ (2)⊥ 巩固提升8．直线l 1、l 2的斜率k 1、k 2是关于k 的方程2k 2－3k －b ＝0的两根，若l 1⊥l 2，则b ＝________；若l 1∥l 2，则b ＝________．解析：由根与系数的关系可知k 1＋k 2＝32，k 1·k 2＝－b 2，则当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－b 2＝－1，解得b ＝2；当l 1∥l 2时，k 1＝k 2＝34，解得b ＝－2k 1·k 2＝－98. 答案：2 －989．△ABC 的顶点A(5，－1)，B(1，1)，C(2，m)，若△ABC 为直角三角形，求m 的值．解析：若∠A 为直角，则AC ⊥AB ，∴k AC ·k AB ＝－1，即m ＋12－5·1＋11－5＝－1，得m ＝－7；若∠B 为直角，则AB ⊥BC ，∴k AB ·k BC ＝－1，即－12·m －12－1＝－1，得m ＝3；若∠C 为直角，则AC ⊥BC ，∴k AC ·k BC ＝－1，即m ＋1－3·m －12－1＝－1，得m ＝±2.综上可知，m ＝－7或m ＝3或m ＝±2.10．已知四边形MNPQ 的顶点M(1，1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2，2)，求证：四边形MNPQ 为矩形．证明：∵k MN ＝1＋11－3＝－1，k PQ ＝2－02－4＝－1，∴MN ∥PQ.又∵k MQ ＝2－12－1＝1，k NP ＝0＋14－3＝1，MQ ∥NP ，∴四边形MNPQ 为平行四边形．又∵k MN·k MQ＝－1，∴MN⊥MQ.∴四边形MNPQ为矩形．1．对垂直与平行关系的理解应注意，当两直线的斜率相等时，并不一定两直线平行，还要注意判断一下两直线是否重合．2．无论是判断两条直线平行还是垂直，都需注意对特殊情况的讨论，即注意分类讨论思想方法的运用．3．利用这两个关系判断三角形或四边形形状时首先根据各点坐标求出各边斜率，再根据斜率判断各边所在直线的位置关系，进而得知形状．在求斜率、求点的坐标等问题时经常用到这两类关系．。

【课件】2.1.2 两条直线平行和垂直的判定(PPT)-(新教材人教A版选择性必修第一册)

(1)若 l1∥l2，求 a 的值； (2)若 l1⊥l2，求 a 的值.
探究题 2 将上题中 A，B 两点的坐标分别改为 A(2，a)，B(a －1，3)，则结论将是如何？
探究题 3 直线 l 的倾斜角为 30°，点 P(2，1)在直线 l 上，直线 l 绕点 P(2，1)按逆时针方向旋转 30°后到达直线 l1 的位置，此时直线 l1 与 l2 平行，且 l2 是线段 AB 的垂直平分线，其中 A(1，m－1)， B(m，2)，试求 m 的值.
类题通法 1．判定两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若都不存在，则平行(不重合的情况下)；若存在，再看是否相等，若相等，则平行(不重合的情况下). 2．若已知两直线平行，求某参数值时，也应分斜率存在与不存在两种情况求解．
定向训练已知 A(－2，m)，B(m，4)，M(m＋2，3)，N(1，1)，若直线 AB∥ 直线 MN，则 m 的值为________．
第二阶段课堂探究评价
关键能力素养提升
一两直线平行典例示范
【例 1】判断下列各题中的直线 l1 与 l2 是否平行： (1)l1 经过点 A(－1，－2)，B(2，1)，l2 经过点 M(3，4)，N(－1，－1);
(2)l1 的斜率为 1，l2 经过点 A(1，1)，B(2，2); (3)l1 经过点 A(0，1)，B(1，0)，l2 经过点 M(－1，3)，N(2，0); (4)l1 经过点 A(－3，2)，B(－3，10)，l2 经过点 M(5，－2)，N(5， 5). 解：(1)k1＝12－－（（－－21））＝1，k2＝－－11－－43＝54， k1≠k2，l1 与 l2 不平行.
预习验收衔接课堂
1．已知过 A(－2，m)和 B(m，4)两点的直线与斜率为－2 的直

2.1.2两条直线平行和垂直的判定教学设计-2020年秋高中数学人教版(2019)选择性必修一

2.1.2两条直线平行和垂直的判定一、内容和内容解析1.内容两条直线平行和垂直的判定.2.内容解析为了在平面直角坐标系中用代数方法表示直线，我们从确定直线位置的几何要素出发，引入直线的倾斜角，再利用倾斜角与直线上点的坐标关系引入直线的斜率，从数的角度刻画了直线相对于x 轴的倾斜程度，并导出了用直线上任意两点的坐标计算斜率的公式，从而把几何问题转化为代数问题．由于两条直线平行和垂直取决于它们的方向，所以由斜率的关系就可以判断两条直线平行和垂直关系．结合以上分析，确定本节课的教学重点：两条直线平行和垂直的判定.二、目标和目标解析1.目标（1）理解两条直线平行和垂直的条件，会用斜率关系判定两条直线平行或垂直；（2）能利用代数方法解决简单的平面几何问题．2.目标解析达成上述目标的标志是：（1）理解直线的倾斜程度是由倾斜角或斜率来刻画的，进一步，对于两条平行直线应具有相同的倾斜程度；对于两条垂直直线，它们的方向向量是垂直的．（2）解决平面几何问题时，知道先画出图形，得到直观想象，再选取适当的代数关系加以论证．三、教学问题诊断分析对于两条直线平行的判定学生比较容易接受，教师应注重充分性和必要性两个方面的证明，在得出“斜率分别为k 1，k 2的两条直线l 1，l 2有1212l l k k ⇔=”的结论后，教师应强调这个充要条件是在两条直线的斜率都存在的情况下成立的．这样学生在后面研究垂直关系就会意识到对特殊情况的讨论.在上一课时，我们研究了斜率为k 的直线的一个方向向量是（1，k ），故而寻求两条直线的垂直关系的充要条件可以是它们的方向向量垂直，这一点与过去教材不同．本节课有四个例题，实际就是平行和垂直斜率关系的应用，例2和例4分别是由点坐标判断所确定直线的平行或垂直关系，主要练习会用两点坐标求这两点所确定直线的斜率；例3和例5都是平面几何问题，教学中注意引导学生先画出图形，得到直观想象，再用所学代数方法加以解决．本节课的教学难点是应用代数方法解决几何问题．四、教学过程设计（一）两条直线平行的判定问题1：我们知道，平面中两条直线有两种位置关系：相交和平行．当两条直线l 1与直线l 2平行时，它们的斜率k 1与k 2满足什么关系？师生活动：教师指出说“两条直线l 1，l 2”时，指两条不重合的直线．师生一起画出图形，学生回答问题．若12l l ，则12αα=，可知12tan tan αα=，即12k k =；反之，当12k k =时，12tan tan αα=，由倾斜角的取值范围及正切函数的单调性可知12αα=，因此12l l ．对于斜率分别为k 1，k 2的两条直线l 1，l 2有1212l l k k ⇔=．追问：（1）如果两条直线的斜率不存在，怎么判断它们的关系？（2）如何用斜率关系证明三点共线？设计意图：让学生注意到两直线平行的充要条件是它们斜率相等，是在斜率存在的情况下成立的．体会数学的严谨性，其实任意两条直线平行的充要条件应为它们的倾斜角相等．当1290αα==︒时，直线斜率不存在，此时12l l ．对于A ，B ，C 三点，如果直线AB 的斜率等于直线AC 斜率，它们有公共点A ，则A ，B ，C 三点共线．例2 已知A （2，3），B （－4，0），P （－3，1），Q （－1，2），试判断直线AB 与PQ 的位置关系，并证明你的结论．设计意图：复习用两点坐标求这两点所在直线的斜率，能跟根据斜率相等判定两条直线平行．例3 已知四边形ABCD 的四个顶点分别为A （0，0），B （2，－1），C （4，2），D （2，3），试判断四边形ABCD 的形状，并给出证明.师生活动：师生共同画出图形，通过计算斜率的数量关系完成证明．设计意图：通过画图先得到四边形是平行四边形的直观想象，再由两组对边分别平行来证明结论，用代数方法解决几何问题．（二）两条直线垂直的判定问题2：当两条直线相交时，它们的斜率不相等；反之，当两条直线的斜率不相等时，它们相交．在相交的位置关系中，垂直是最特殊的情形．当直线l 1，l 2垂直时，它们的斜率除了不相等外，是否还有特殊的数量关系？追问：（1）两条直线垂直，那么这两条直线的方向向量具有怎样的关系？（2）斜率分别为k 1，k 2的两条直线的方向向量分别是什么？设计意图：让学生体会两条直线垂直实质等价于它们的方向向量垂直，并回顾上一课时推导的方向向量与斜率之间的关系，这样学生就能自行推导垂直直线的斜率关系了．1212010l l k k ⊥⇔⊥⇔⋅=⇔+=a b a b ，即121k k =-．再考虑特殊直线垂直的问题，即两直线垂直，其中一条直线的倾斜角为90°时，另一条直线的倾斜角为0°．例4 已知A （－6，0），B （3，6），P （0，3），Q （6，－6），试判断直线AB 与PQ 的位置关系．设计意图：熟练用两点坐标求这两点所在直线的斜率，能跟根据斜率关系判定两条直线垂直．例5 已知A（5，－1），B（1，1），C（2，3）三点，试判断△ABC的形状．师生活动：师生共同画出图形，通过计算斜率的数量关系完成证明．设计意图：通过画图先得到三角形是直角三角形的直观想象，并观察到要证哪两条直线垂直，再用代数方法解决几何问题．（三）归纳总结、布置作业通过本课学习，大家是否可以回答如下问题呢？1.如何用斜率判断两直线的平行和垂直关系？2.对于斜率不存在的直线，判断平行、垂直关系时需要注意什么？3.通过本节课学习，对你解决平面几何问题有哪些启发？设计意图：从知识内容和研究方法两个方面对本节课进行小结．布置作业：教科书57页练习第1题，第2题；习题2.1第5题，第6题．五、目标检测设计1．已知A（1，2），B（－1，0），C（3，4）三点，这三点是否在同一条直线上？为什么？设计意图：考查学生用斜率相等证明三点共线．2．已知点M（2，2）和N（5，－2），点P在x轴上，且∠MPN为直角，求点P的坐标．设计意图：考查学生用代数方法解决几何问题．。

高中数学：两条直线平行与垂直的判定1

L1// L2 ← k1=k2
或k1,k2都不存在两条直线平行,它们的斜率相等吗？
前提:两条直线不重合,斜率都存在
L1// L2 k1=k2
例题：
已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1），
Q（-1，2），试判断直线BA与PQ的位置关系，
并证明你的结论.
y
Q
A
P
B
0
x
练习：已知四边形ABCD的四个顶点分别为
已知A（-6，0），B（3，6），P（0，3），Q（6，n） (或Q（m，6）)直线BA与直线PQ垂直,请确定Q点的坐标.
练习：
已知A（-6，0），B（3，6），P（m，3），Q（6，6），直线BA与直线PQ垂直,请确定P点的坐标.
已知A（-6，0），B（3，6），P（m，3）(或P（0，n）)， Q（6，6），直线BA与直线PQ垂直,请确定P点的坐标.
2
所以直线AB PQ.
练习
试确定m的值,使过点A（m，1），B（-1，m）的直线与过点P（1，2），Q（-5，0）的直线 (1)平行 (2)垂直
练习
已知A（1，-1），B（2，2），C（3，0），三点，求点D，使直线CD AB，且CB //AD.
学完一节课或一个内容,
应当及时小结,梳理知识
A（0，0），B（2，-1），C(4,2),D（2，3），试判断四边形ABCD的形状,并给出证明.
y
D
C
OA
x
B
当L1// L2时,有k1=k2。 L1⊥ L2时,
k1与k2满足什么关系？
y
1
2
x
(1) 1 450
2 1350
k1 1 k 2 1

高中数学选修一《两条直线平行和垂直的判定》教案与导学案和同步练习

《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定》教案【教材分析】本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》，本节课主要学习两条直线平行和垂直的判定。

直线的平行和垂直是两条直线的重要位置关系，它们的判定在初中运用几何法已经进行了学习，而在坐标系下，运用代数方法即坐标法，是一种新的观点和方法，需要学生理解和感悟。

两直线平行和垂直都是由相应的斜率之间的关系来确定的，并且研究讨论的手段和方法也相类似，因此，在教学时采用对比方法，以便弄清平行与垂直之间的联系与区别.值得注意的是，当两条直线中有一条不存在斜率时，容易得到两条直线垂直的充要条件，这也值得略加说明.【教学目标与核心素养】课程目标学科素养A. 理解两条直线平行与垂直的条件.B.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.C.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.1.数学抽象：两条直线平行与垂直的条件2.逻辑推理：根据斜率判定两条直线平行或垂直3.数学运算：利用两直线平行或垂直的条件解决问题4.直观想象：直线斜率的几何意义，及平行与垂直的几何直观【教学重点】：理解两条直线平行或垂直的判断条件【教学难点】：会利用斜率判断两条直线平行或垂直【教学过程】教学过程教学设计意图一、情境导学过山车是一项富有刺激性的娱乐项通过生活中的现实情境，提出问题，明确研究问题运用代数方法探究两直线判断两直线是否平行的步骤例2(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直. (2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.解:(1)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率为0,所以l 1⊥l 2.(2)由题意,知直线l 2的斜率k 2一定存在,直线l 1的斜率可能不存在. 当直线l 1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k 2=0,则l 1⊥l 2,满足题意.当直线l 1的斜率k 1存在时,a ≠5,由斜率公式,得k 1=3-aa -2-3=3-a a -5,k 2=a -2-3-1-2=a -5-3.由l 1⊥l 2,知k 1k 2=-1,即3-aa -5×a -5-3=-1,解得a=0. 综上所述,a 的值为0或5.两直线垂直的判定方法两条直线垂直需判定k 1k 2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.跟踪训练1 已知定点A (-1,3),B (4,2),以AB 为直径作圆,与x 轴有交点P ,则交点P 的坐标是 . 解析:设以AB 为直径的圆与x 轴的交点为P (x ,0).∵k PB≠0,k PA≠0,∴k PA·k PB=-1,即0-3x+1·0-2x -4=-1,∴(x+1)(x-4)=-6,即x 2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故点P 的坐标为(1,0)或(2,0). 答案:(1,0)或(2,0)例3 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.解:由斜率公式得k OP =t -01-0=t ,k RQ =2-(2+t )-2t -(1-2t )=-t -1=t ,k OR =2-0-2t -0=-1t , k PQ =2+t -t 1-2t -1=2-2t =-1t .所以k OP =k RQ ,k OR =k PQ ,从而OP ∥RQ ,OR ∥PQ.所以四边形OPQR 为平行四边形. 又k OP·k OR=-1,所以OP ⊥OR ,故四边形OPQR 为矩形.延伸探究1 将本例中的四个点,改为“A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0),顺次连接A ,B ,C ,D 四点,试判断四边形ABCD 的形状.” 由斜率公式可得k AB =5-32-(-4)=13,k CD =0-3-3-6=13,k AD =0-3-3-(-4)=-3,k BC =3-56-2=-12. 所以k AB=k CD,由图可知AB 与CD 不重合,所以AB ∥CD ,由k AD≠k BC,所以AD 与BC 不平行.又因为k AB ·k AD =13×(-3)=-1,所以AB ⊥AD ,故四边形ABCD 为直角梯形.解:由题意A ,B ,C ,D 四点在平面直角坐标系内的位置如图, 延伸探究2 将本例改为“已知矩形OPQR 中四个顶点按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),试求顶点R 的坐标.” 解:因为OPQR 为矩形,所以OQ 的中点也是PR 的中点.设R (x ,y ),则由中点坐标公式知{0+1-2t2=1+x 2,0+2+t2=t+y 2,解得{x =-2t ,y =2.所以R 点的坐标是(-2t ,2).利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤描点→在坐标系中描出给定的点 ↓猜测→根据描出的点，猜测图形的形状 ↓求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率 ↓结论→由斜率之间的关系判断形状点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．金题典例已知点A (0,3),B (-1,0),C (3,0),且四边形ABCD 为直角梯形,求点D 的坐标.思路分析:分析题意可知,AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD 是直角梯形的直角边和AD 是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D 的坐标为(x ,y ),若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,根据已知可得k BC=0,CD 的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据k AD=k BC即可得到关于x 、y 的方程,结合x 的值即可求出y ,那么点D 的坐标便不难确定了,同理再分析AD 是直角梯形的直角边的情况.解:设所求点D 的坐标为(x ,y ),如图所示,由于k AB=3,k BC=0,则k AB·k BC=0≠-1,即AB 与BC 不垂直,故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边.①若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,∵k BC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有x=3.又∵k AD =k BC ,∴y -3x=0,即y=3.此时AB 与CD 不平行.故所求点D 的坐标为(3,3).②若AD 是直角梯形的直角边,则AD ⊥AB ,AD ⊥CD ,k AD =y -3x,k CD =yx -3.由于AD ⊥AB ,则y -3x·3=-1.又AB ∥CD ,∴y x -3=3.解上述两式可得{x =185,y =95,此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为185,95.综上可知,使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或185,95.反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.四、小结【教学反思】本课通过探究两直线平行或垂直的条件，力求培养学生运用已有知识解决新问题的能力,以及数形结合能力.通过对两直线平行与垂直的位置关系的研究，培养了学生的成功意识，合作交流的学习方式,激发学生的学习兴趣.组织学生充分讨论、探究、交流，使学生自己发现规律，自己总结出两直线平行与垂直的判定依据，教师要及时引导、及时鼓励. 教师的授课的想办法降低教学难度，让学生能轻易接受《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定》导学案【学习目标】1.理解两条直线平行与垂直的条件.2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题. 【重点和难点】重点：理解两条直线平行或垂直的判断条件难点：会利用斜率判断两条直线平行或垂直【知识梳理】一、自主导学（一）、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l 1,l 2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k 1,k 2.则对应关系如下:前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°对应关系l 1∥l 2⇔k 1=k 2l 1∥l 2⇔两直线斜率都不存在图示点睛：若没有指明l 1,l 2不重合,那么k 1=k 2⇔{l 1∥l 2,或l 1与l 2重合,用斜率证明三点共线时,常用到这一结论.（二）、两条直线垂直与斜率之间的关系对应关系l 1与l 2的斜率都存在,分别为k 1,k 2,则l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=-1l 1与l 2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l 1与l 2的位置关系是l 1⊥l 2.图示点睛：“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还有可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.二、小试牛刀1.对于两条不重合的直线l 1,l 2,“l 1∥l 2”是“两条直线斜率相等”的什么条件?2.已知直线l 1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l 2经过两点(2,1),(x ,6),且l 1∥l 2,则x= .3．思考辨析(1)若两条直线的斜率相等，则这两条直线平行．( ) (2)若l 1∥l 2，则k 1＝k 2.( )(3)若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线垂直．( )(4)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行．( )4.若直线l 1,l 2的斜率是方程x 2-3x-1=0的两根,则l 1与l 2的位置关系是 .【学习过程】一、情境导学过山车是一项富有刺激性的娱乐项目.实际上,过山车的运动包含了许多数学和物理学原理.过山车的两条铁轨是相互平行的轨道,它们靠着一根根巨大的柱形钢筋支撑着,为了使设备安全,柱子之间还有一些小的钢筋连接,这些钢筋有的互相平行,有的互相垂直,你能感受到过山车中的平行和垂直吗?两条直线的平行与垂直用什么来刻画呢?二、典例解析例1 判断下列各小题中的直线l 1与l 2是否平行:(1)l 1经过点A (-1,-2),B (2,1),l 2经过点M (3,4),N (-1,-1);(2)l 1的斜率为1,l 2经过点A (1,1),B (2,2);(3)l 1经过点A (0,1),B (1,0),l 2经过点M (-1,3),N (2,0);(4)l 1经过点A (-3,2),B (-3,10),l 2经过点M (5,-2),N (5,5).延伸探究已知A (-2,m ),B (m ,4),M (m+2,3),N (1,1),若AB ∥MN ,则m 的值为 . 判断两直线是否平行的步骤例2(1)直线l 1经过点A (3,2),B (3,-1),直线l 2经过点M (1,1),N (2,1),判断l 1与l 2是否垂直;(2)已知直线l 1经过点A (3,a ),B (a-2,3),直线l 2经过点C (2,3),D (-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a的值.两直线垂直的判定方法条直线垂直需判定k 1k 2=-1,使用它的前提条件是两条直线斜率都存在,若其中一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零,此时两直线也垂直.跟踪训练1 已知定点A (-1,3),B (4,2),以AB 为直径作圆,与x 轴有交点P ,则交点P 的坐标是 .例3 如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR 的顶点坐标按逆时针顺序依次为O (0,0),P (1,t ),Q (1-2t ,2+t ),R (-2t ,2),其中t>0.试判断四边形OPQR 的形状.延伸探究1 将本例中的四个点,改为“A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0),顺次连接A ,B ,C ,D 四点,试判断四边形ABCD 的形状.”延伸探究2 将本例改为“已知矩形OPQR 中四个顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),试求顶点R的坐标.”利用两条直线平行或垂直来判断图形形状的步骤描点→在坐标系中描出给定的点↓猜测→根据描出的点，猜测图形的形状↓求斜率→根据给定点的坐标求直线的斜率↓结论→由斜率之间的关系判断形状点睛：利用平行、垂直关系式的关键在于正确求解斜率，特别是含参数的问题，必须要分类讨论；其次要注意的是斜率不存在并不意味着问题无解．金题典例已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四边形ABCD为直角梯形,求点D的坐标.反思感悟：先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.【达标检测】1．下列说法正确的是( )A．若直线l1与l2倾斜角相等，则l1∥l2B．若直线l1⊥l2，则k1k2＝－1C．若直线的斜率不存在，则这条直线一定平行于y轴D．若两条直线的斜率不相等，则两直线不平行2.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为()A.1a B.a C.-1aD.-1a或不存在3.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为.4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m= .5.顺次连接A (-4,3),B (2,5),C (6,3),D (-3,0)四点,判断四边形ABCD 形状. 【课堂小结】【参考答案】知识梳理二、小试牛刀1.答案:必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平行;反过来,两直线平行,有可能两直线斜率均不存在.2.解析:由题意知l 1⊥x 轴.又l 1∥l 2,所以l 2⊥x 轴,故x=2. 答案:23．答案： (1)× 也可能重合．(2)× l 1∥l 2，其斜率不一定存在． (3)× 不一定垂直，只有另一条直线斜率为0时才垂直．(4)√ 4.解析:由根与系数的关系,知k 1k 2=-1,所以l 1⊥l 2. 答案:l 1⊥l 2 学习过程例1 思路分析: 斜率存在的直线求出斜率,利用l 1∥l 2⇔k 1=k 2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.解:(1)k 1=1-(-2)2-(-1)=1,k 2=-1-4-1-3=54,k 1≠k 2,l 1与l 2不平行. (2)k 1=1,k 2=2-12-1=1,k 1=k 2, 故l 1∥l 2或l 1与l 2重合.(3)k 1=0-11-0=-1,k 2=0-32-(-1)=-1,则有k 1=k 2.又k AM =3-1-1-0=-2≠-1,则A ,B ,M 不共线.故l 1∥l 2.(4)由已知点的坐标,得l 1与l 2均与x 轴垂直且不重合,故有l 1∥l 2.延伸探究解析:当m=-2时,直线AB 的斜率不存在,而直线MN 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意;当m=-1时,直线MN 的斜率不存在,而直线AB 的斜率存在,MN 与AB 不平行,不合题意; 当m ≠-2,且m ≠-1时,k AB =4-mm -(-2)=4-mm+2,k MN =3-1m+2-1=2m+1.因为AB ∥MN ,所以k AB =k MN , 即4-m m+2=2m+1,解得m=0或m=1.当m=0或1时,由图形知,两直线不重合. 综上,m 的值为0或1. 答案:0或1例2思路分析:(1)若斜率存在,求出斜率,利用垂直的条件判断;若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.解:(1)直线l 1的斜率不存在,直线l 2的斜率为0,所以l 1⊥l 2.(2)由题意,知直线l 2的斜率k 2一定存在,直线l 1的斜率可能不存在.当直线l 1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k 2=0,则l 1⊥l 2,满足题意.当直线l 1的斜率k 1存在时,a ≠5,由斜率公式,得k 1=3-a a -2-3=3-a a -5,k 2=a -2-3-1-2=a -5-3.由l 1⊥l 2,知k 1k 2=-1,即3-aa -5×a -5-3=-1,解得a=0.综上所述,a 的值为0或5.跟踪训练1 解析:设以AB 为直径的圆与x 轴的交点为P (x ,0).∵k PB≠0,k PA≠0,∴k PA·k PB=-1,即0-3x+1·0-2x -4=-1,∴(x+1)(x-4)=-6,即x 2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故点P 的坐标为(1,0)或(2,0). 答案:(1,0)或(2,0)例3 思路分析:利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.解:由斜率公式得k OP =t -01-0=t ,k RQ =2-(2+t )-2t -(1-2t )=-t -1=t ,k OR =2-0-2t -0=-1t , k PQ =2+t -t 1-2t -1=2-2t =-1t .所以k OP =k RQ ,k OR =k PQ ,从而OP ∥RQ ,OR ∥PQ.所以四边形OPQR 为平行四边形. 又k OP·k OR=-1,所以OP ⊥OR ,故四边形OPQR 为矩形. 延伸探究1 由斜率公式可得k AB =5-32-(-4)=13,k CD =0-3-3-6=13,k AD =0-3-3-(-4)=-3,k BC =3-56-2=-12. 所以k AB=k CD,由图可知AB 与CD 不重合,所以AB ∥CD ,由k AD≠k BC,所以AD 与BC 不平行.又因为k AB ·k AD =13×(-3)=-1,所以AB ⊥AD ,故四边形ABCD 为直角梯形.解:由题意A ,B ,C ,D 四点在平面直角坐标系内的位置如图, 延伸探究2 解:因为OPQR 为矩形,所以OQ 的中点也是PR 的中点.设R (x ,y ),则由中点坐标公式知{0+1-2t2=1+x 2,0+2+t2=t+y 2,解得{x =-2t ,y =2.所以R 点的坐标是(-2t ,2).金题典例思路分析:分析题意可知,AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD 是直角梯形的直角边和AD 是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D 的坐标为(x ,y ),若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,根据已知可得k BC=0,CD 的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据k AD=k BC即可得到关于x 、y 的方程,结合x 的值即可求出y ,那么点D 的坐标便不难确定了,同理再分析AD 是直角梯形的直角边的情况. 解:设所求点D 的坐标为(x ,y ),如图所示,由于k AB=3,k BC=0,则k AB·k BC=0≠-1,即AB 与BC 不垂直,故AB 、BC 都不可作为直角梯形的直角边.①若CD 是直角梯形的直角边,则BC ⊥CD ,AD ⊥CD ,∵k BC=0,∴CD 的斜率不存在,从而有x=3.又∵k AD =k BC ,∴y -3x=0,即y=3.此时AB 与CD 不平行.故所求点D 的坐标为(3,3).②若AD 是直角梯形的直角边, 则AD ⊥AB ,AD ⊥CD ,k AD =y -3x,k CD =yx -3.由于AD ⊥AB ,则y -3x·3=-1.又AB ∥CD ,∴y x -3=3.解上述两式可得{x =185,y =95,此时AD 与BC 不平行.故所求点D 的坐标为185,95.综上可知,使四边形ABCD 为直角梯形的点D 的坐标可以为(3,3)或185,95.达标检测1．解析：A 中，l 1与l 2可能重合；B 中，l 1，l 2可能存在其一没斜率；C 中，直线也可能与y 轴重合；D 正确，选D.答案 D2. 解析:若a ≠0,则l 2的斜率为-1a ;若a=0,则l 2的斜率不存在.答案:D3.解析:由题意,得a -(-1)3-(-2)=1,即a=4. 答案:44.解析:设直线AD ,BC 的斜率分别为k AD ,k BC ,由题意,得AD ⊥BC , 则有k AD ·k BC =-1,所以有1-2m -2·3-14-0=-1,解得m=52. 答案:525.解:k AB =13,k BC =-12,k CD =13,k AD =-3, 所以直线AD 垂直于直线AB 与CD ,而且直线BC 不平行于任何一条直线,所以四边形ABCD 是直角梯形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -基础练》同步练习一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．若直线与的斜率相等，则 B ．若直线与互相平行，则它们的斜率相等C ．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交D ．若直线与的斜率都不存在，则2．过点和点的直线与轴的位置关系是（） A ．相交但不垂直B ．平行C ．重合D ．垂直3．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（） A ．垂直B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直4．已知的三个顶点坐标分别为，，，则其形状为( ) A ．直角三角形B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断5．（多选题）下列说法错误．．的是（） A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C ．垂直的两条直线的斜率之积为一1 D ．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行6．（多选题）已知A(m ，3)，B(2m ，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，则m 的值为 ( )A ．1B ．0C ．2D ．-1 二、填空题7．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝_____；若直线l 1⊥l 2，则a ＝_______1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //(1,2)A ()3,2B -x 1l ()3,4A -()8,1B --2l 1351l 2l ABC ∆()5,1A -()1,1B ()2,3C8．直线的倾斜角为，直线过，，则直线与的位置关系为______.9.已知点A （－2，－5），B （6,6），点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为 . 10．已知，，，点满足，且，则点的坐标为______ 三、解答题11．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)． 12．已知在平行四边形ABCD 中，. （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -基础练》同步练习答案解析一、选择题1．下列说法中正确的是( ) A ．若直线与的斜率相等，则 B ．若直线与互相平行，则它们的斜率相等C ．在直线与中，若一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则与定相交D ．若直线与的斜率都不存在，则【答案】C【解析】对于A, 若直线与的斜率相等，则或与重合；对于B ，若直线与互相平行，则它们的斜率相等或者斜率都不存在；对于D ，若与的斜率都不存在，则1l 452l ()2,1A --()3,4B 1l 2l 1,0A ()3,2B ()0,4C D AB CD ⊥//AD BC D (1,2),(5,0),(3,4)A B C 1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //1l 2l 12l l //1l 2l 1l 2l 1l 2l 12l l //或与重合.2．过点和点的直线与轴的位置关系是（） A ．相交但不垂直 B ．平行C ．重合D ．垂直【答案】B【解析】两点的纵坐标都等于直线方程为：直线与轴平行.3．已知直线经过，两点，直线的倾斜角为，那么与（） A ．垂直 B ．平行C ．重合D ．相交但不垂直【答案】A 【解析】直线经过，两点直线的斜率：直线的倾斜角为直线的斜率：，，.4．已知的三个顶点坐标分别为，，，则其形状为( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形C ．钝角三角形D ．无法判断【答案】A【解析】由题意得：；,, , 为直角三角形.5．（多选题）下列说法错误．．的是（） A ．平行的两条直线的斜率一定存在且相等 B ．平行的两条直线的倾斜角一定相等 C ．垂直的两条直线的斜率之积为一1 D ．只有斜率都存在且相等的两条直线才平行【答案】ACD【解析】当两直线都与轴垂直时，两直线平行，但它们斜率不存在．所以A 错误．由直线倾斜角定义可知B 正确，当一条直线平行轴，一条平行轴，两直线垂直，但斜率之积不为-1，所以C 错误，当两条直线斜率都不存在时，两直线平行，所以D 错误，故选B ． 6．（多选题）已知A(m ，3)，B(2m ，m+4)，C(m+1，2)，D(1，0)，且直线AB 与直线CD 平行，1l 2l (1,2)A ()3,2B -x ,A B 2∴AB 2y =∴AB x 1l ()3,4A -()8,1B --2l 1351l 2l 1l ()3,4A -()8,1B --∴1l 141138k +==-+2l 135∴2l 2tan1351k ==-121k k ∴⋅=-12l l ∴⊥ABC ∆()5,1A -()1,1B ()2,3C 111152AB k +==--31221BC k -==-1AB BC k k ∴⋅=-AB BC ∴⊥ABC ∆∴x x y则m 的值为 ( )A ．1B ．0C ．2D ．-1 【答案】AB【解析】当AB 与CD 斜率均不存在时，故得m=0，此时两直线平行；此时AB ∥CD ，当k AB =k CD 时，，得到m=1，此时AB ∥CD.故选AB ．二、填空题7．已知直线l 1的斜率为3，直线l 2经过点A (1,2)，B (2，a )，若直线l 1∥l 2，则a ＝_____；若直线l 1⊥l 2，则a ＝_______ 【答案】5；. 【解析】直线l 2的斜率k==a ﹣2．（1）∵l 1∥l 2，∴a ﹣2=3，即a ＝5 （2）∵直线l 1⊥l 2，∴3k=﹣1，即3（a ﹣2）=﹣1，解得a=．8．直线的倾斜角为，直线过，，则直线与的位置关系为______.【答案】平行或重合【解析】倾斜角为，的斜率，过点，，的斜率，，与平行或重合. 9.已知点A （－2，－5），B （6,6），点P 在y 轴上，且∠APB ＝90°，则点P 的坐标为 . 【答案】（0，－6）或（0,7）【解析】设点P 的坐标为（0，y ）．因为∠APB ＝90°，所以AP ⊥BP ，又k AP ＝，k BP ＝，k AP ·k BP ＝－1，所以·＝－1，解得y ＝－6或y ＝7.所以点P 的坐标为（0，－6）或（0,7）．10．已知，，，点满足，且，则点的坐标为______ 【答案】2,11m m m =+=12m m m+=53221a --531l 452l ()2,1A --()3,4B 1l 2l 1l 451l ∴11k =2l ()2,1A --()3,4B 2l ∴241132k +==+12k k =1l ∴2l 1,0A ()3,2B ()0,4C D AB CD ⊥//AD BC D ()10,6-【解析】设，则，，，，，解得：，即：三、解答题11．判断下列各小题中的直线l 1与l 2的位置关系． (1)l 1的斜率为－10，l 2经过点A (10,2)，B (20,3)；(2)l 1过点A (3,4)，B (3,100)，l 2过点M (－10,40)，N (10,40)； (3)l 1过点A (0,1)，B (1,0)，l 2过点M (－1,3)，N (2,0)； (4)l 1过点A (－3,2)，B (－3,10)，l 2过点M (5，－2)，N (5,5)．【解析】 (1)k 1＝－10，k 2＝＝，∵k 1k 2＝－1，∴l 1⊥l 2.(2)l 1的倾斜角为90°，则l 1⊥x 轴，k 2＝＝0，则l 2∥x 轴，∴l 1⊥l 2. (3)k 1＝＝－1，k 2＝＝－1，∴k 1＝k 2.又k AM ＝＝－2≠k 1，∴l 1∥l 2.(4)∵l 1与l 2都与x 轴垂直，∴l 1∥l 2.12．已知在平行四边形ABCD 中，. （1）求点D 的坐标；（2）试判断平行四边形ABCD 是否为菱形.【解析】(1)设D (a ，b )，∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴k AB ＝k CD ，k AD ＝k BC ，∴，解得.∴D (－1,6)．(2)∵k AC ＝＝1，k BD ＝＝－1，∴k AC ·k BD ＝－1.∴AC ⊥BD .∴▱ABCD 为菱形．(),D x y 2131AB k ==-422033BC k -==--4CD y k x -=1AD y k x =-AB CD ∵⊥//AD BC 411213AB CD AD BCy k k xy k k x -⎧⋅=⨯=-⎪⎪∴⎨⎪===-⎪-⎩106x y =⎧⎨=-⎩()10,6D -(1,2),(5,0),(3,4)A B C《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -提高练》同步练习一、选择题1．下列各对直线不互相垂直的是 ( )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4)B ．l 1的斜率为-，l 2过点P(1，1)，QC．l 1的倾斜角为30°，l2过点P(3，Q(4，D ．l 1过点M(1，0)，N(4，-5)，l 2过点P(-6，0)，Q(-1，3)2．已知，过A (1,1)、B (1，－3)两点的直线与过C (－3，m )、D (n,2)两点的直线互相垂直，则点(m ，n )有 ( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．无数个3．过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是（）A ．平行B ．重合C ．平行或重合D ．相交或重合4．已知的顶点，，其垂心为，则其顶点的坐标为( )A ．B ．C ．D ．5．（多选题）下列命题中正确的为( ) A.若两条不重合的直线的斜率相等，则它们平行； B.若两直线平行，则它们的斜率相等； C.若两直线的斜率之积为，则它们垂直； D.若两直线垂直，则它们的斜率之积为.6.（多选题）设点，给出下面四个结论，其中正确结论的是（）A. B. C. D. 二、填空题7．已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2，4)，B (1，2)，C (－2，3)，则BC 边上的高AD2310,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(1,1)E (1,0)F -,02k M ⎛⎫- ⎪⎝⎭0,(0)4k N k ⎛⎫≠ ⎪⎝⎭ABC ∆()2,1B ()6,3C -()3,2H -A ()19,62--()19,62-()19,62-()19,621-1-(4,2),(6,4),(12,6),(2,12)P Q R S --//SR PQ PQ PS ⊥//PS QS RP QS ⊥所在直线的斜率为________．8．已知直线l 1经过点A (0，－1)和点B (－，1)，直线l 2经过点M (1,1)和点N (0，－2)，若l 1与l 2没有公共点，则实数a 的值为________．9．（1）已知点M(1，-3)，N(1，2)，P(5，y)，且∠NMP=90°，则l og 8(7+y)=_________. （2）若把本题中“∠NMP=90°”改为“log 8(7+y)=”，其他条件不变，则∠NMP=_____. 10．若点，，点C 在坐标轴上，使，则点C 的坐标为__________．三、解答题11．已知，，三点，若直线AB 的倾斜角为，且直线，求点A ，B ，C 的坐标．12．已知四边形ABCD 的顶点A (m ，n )、B (5，－1)、C (4,2)、D (2,2)，求m 和n 的值，使四边形ABCD 为直角梯形.《2.1.2 两条直线平行和垂直的判定 -提高练》同步练习答案解析一、选择题1．下列各对直线不互相垂直的是 ( )A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4) B ．l 1的斜率为-，l 2过点P(1，1)，QC．l 1的倾斜角为30°，l2过点P(3，Q(4，D ．l1过点M(1，0)，N(4，-5)，l 2过点P(-6，0)，Q(-1，3) 【答案】C【解析】A ．l 1的倾斜角为120°，l 2过点P(1，0)，Q(4，，k PQ =B ．l 2过点P(1，1)，Q ，k PQ =。

2022-2023学年高一数学：两条直线平行和垂直的判定

k AB k BC 1，
ABC是直角三角形.
B
O
x
A
练一练
1.已知△ABC的顶点为A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC为直角三角形，
求m的值.
解
m＋1 1＋1
若∠A为直角，则AC⊥AB，∴kAC·kAB＝－1，即 2－5 ·1－5＝－1，解得 m＝－7；
1＋1 m－1
1

A.
1

B.a
C.-
1
)
1

D.- 或不存在
解析:若 a≠0,则 l2 的斜率为-;若 a=0,则 l2 的斜率不存在.
答案:D
3.已知直线l1的倾斜角为45°,直线l1∥l2,且l2过点A(-2,-1)和B(3,a),则a的值为
-(-1)
=1,即
3-(-2)
解析:由题意,得
.
a=4.
答案:4
(3)当两条直线的斜率都存在时，若有两条直线的垂直关系，则
可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率.
典例4
已知A(－6，0)，B(3，6)，P(0，3)，Q(6，－6)，试判断直线AB与PQ
的位置关系.
解：直线AB的斜率k AB
2
3
, 直线PQ的斜率k PQ .
3
2
y
2 3

4.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,
则实数m=
.
解析:设直线 AD,BC 的斜率分别为 k ,k ,由题意,得 AD⊥BC,
AD
则有 k ·k =-1,
AD
所以有

高中数学两条直线平行与垂直的判定

3.1.2两条直线平行与垂直的判定【知识提炼】1.两条直线平行与斜率之间的关系类型斜率存在斜率不存在条件α1=α2≠90°α1=α2=90°对应关系l1∥l2⇔k1=k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图示2.两条直线垂直与斜率之间的关系图示对应关l1⊥l2(两直线斜率都存在, l1的斜率不存在,l2的斜率系且都不为零)⇔k ·k =-1 为0⇒ l ⊥l 21 2 1【即时小测】1.思考下列问题:(1)如果两条直线平行,则这两条直线的斜率一定相等吗?提示:不一定.只有在两条直线的斜率都存在的情况下,斜率才相等.(2)如果两条直线垂直,则它们的斜率的积一定等于-1吗?提示:不一定.若两条直线的斜率都存在,它们垂直时斜率之积是-1,但若两条直线垂直时还可能它们的斜率一个是0,另一个不存在.2.若两条直线的斜率都不存在,那么这两条直线都与x轴()A.垂直B.相交C.平行D.答案不确定【解析】选A.当两条直线的斜率都不存在时,这两条直线都垂直于x 轴.3.若直线l1的斜率为,直线l2的倾斜角为60°,则两直线的位置关系为()A.平行B.垂直C.相交D.重合【解析】选A.由于直线l2的倾斜角为60°,则该直线的斜率为,故两直线的斜率相等,所以两直线平行.4.已知点A(2,-1),B(3,2),则线段AB的垂直平分线的斜率为. 【解析】直线AB的斜率为k AB==3,由于线段AB的垂直平分线与直线AB垂直,故两直线的斜率乘积等于-1,则线段AB的垂直平分线的斜率为答案:5.已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6), 且l1∥l2,则x=.【解析】由于直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),所以l1垂直于x轴,又因为l1∥l2,故x=2.答案:2【知识探究】知识点1 两条直线平行的判定观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:两条直线平行与两条直线的斜率有什么关系? 问题2:利用斜率判定两条直线平行有什么前提条件?【总结提升】1.判定两条直线平行的理论依据(1)依据直线的倾斜角的定义可知:若两条不重合的直线的倾斜角相等,则这两条直线平行.(2)依据直线的斜率的定义可知:①若不重合的两条直线l1,l2的斜率都存在,分别为k1,k2,倾斜角分别为α1,α2,则l1∥l2⇔α1=α2⇔k1=k2;②当不重合的两条直线的斜率都不存在时,由于它们的倾斜角都是90°,故它们也互相平行.2.对两条直线平行的判定条件的理解l1∥l2⇔k1=k2成立的前提条件有两个:(1)两条直线的斜率都存在.(2)这两条直线不重合.知识点2 两条直线垂直的判定观察如图所示内容,回答下列问题:问题1:两条直线垂直与两条直线的斜率有什么关系? 问题2:判定两条直线垂直应注意哪些问题?【总结提升】两条直线垂直的判定必须注意的三个问题(1)利用l1⊥l2⇔k1·k2=-1判断两条直线垂直的前提是这两条直线的斜率都存在,且都不为0.(2)如果k1·k2≠-1,则两条直线一定不会垂直.(3)若两条直线中,一条直线斜率不存在,同时另一条直线斜率等于零, 则两条直线垂直.这样,两条直线垂直的判定的条件就可叙述为:l1⊥l2⇔k1·k2=-1或一条直线斜率不存在,同时另一条直线斜率等于零.【知识拓展】求直线斜率的四种常用方法(1)设α为直线的倾斜角(α≠90°),则k=tanα.(2)已知两点A(x1,y1),B(x2,y2),则k=(x1≠x2),此时k的大小与两点顺序无关.(3)利用两斜率存在的直线平行的条件:k1=k2.(4)利用两斜率存在的直线垂直的条件:k1k2=-1.【题型探究】类型一两直线平行【典例】1.下列直线l1与直线l2平行的有.(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点C(3,-3),D(8,-7).(2)l1经过点E(0,1),F(-2,-1),l2经过点G(3,4),H(2,3).(3)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(1,),N(-2,-2).(4)l1平行于y轴,l2经过点P(0,-2),Q(0,5).2.(2015·通辽高一检测)已知P(-2,m),Q(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若直线PQ∥直线MN,求m的值.【解题探究】1.典例1中判断直线l1与直线l2是否平行要从哪两个方面分析?提示:一是判断两条直线的斜率是否相等,二是判断两条直线是否重合.2.典例2中由直线PQ∥直线MN,需要讨论直线PQ,MN斜率的存在性吗?如何讨论?提示:分当m=-2或m=-1以及m≠-2且m≠-1时进行讨论.【解析】1.(1)由题意知,所以直线l1与直线l2平行或重合, 又k BC=故l1∥l2.(2)由题意知,所以直线l1与直线l2平行或重合,k FG=故直线l1与直线l2重合.(3)由题意知,k1=tan60°=,k2=k1=k2,所以直线l1与直线l2平行或重合.(4)由题意知l1的斜率不存在,且不是y轴,l2的斜率也不存在,恰好是y轴,所以l1∥l2.答案:(1)(4)2.当m=-2时,直线PQ的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与PQ不平行,不合题意;当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线PQ的斜率存在,MN与PQ不平行,不合题意;当m≠-2且m≠-1时,因为直线PQ∥直线MN,所以k PQ=k MN,即解得m=0或m=1. 综上,m的值为0或1.【方法技巧】判断两条直线是否平行的步骤【拓展延伸】在证明两直线平行时应注意的特殊情况在证明两直线平行时,要区分平行与重合,必须强调不共线才能确定平行.因为斜率相等也可以推出两条直线重合.【补偿训练】试确定m的值,使过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行.【解析】由题意得:k AB=k CD=由于AB∥CD,即k AB=k CD,所以所以m=-2.类型二两条直线垂直【典例】1.下列直线l1与直线l2垂直的有.(1)l1经过点A(-1,-2),B(1,2),l2经过点M(-2,-1),N(2,1).(2)l1经过点A(3,4),B(3,-20),l2经过点M(5,-10),N(-5,-10).(3)l1过点A(),B(0,3),l2过点M(),N(2,0).2.(2015·大同高一检测)已知定点A(-1,3),B(4,2),以A,B为直径作圆,与x轴有交点C,求交点C的坐标.【解题探究】1.典例1中如何由两点的坐标求直线的斜率? 提示:k=(x1≠x2).2.典例2中点C的坐标有何特点?直线AC,BC有何位置关系? 提示:点C的纵坐标为0,直线AC与BC垂直.【解析】1.(1)k1=k2=k1k2=1,所以直线l1与直线l2不垂直.(2)l1的倾斜角为90°,则l1⊥x轴, k2=则l2平行于x轴,所以l1⊥l2.(3)k1=则k1·k2==-1,所以l1⊥l2. 答案:(2)(3)2.以线段AB为直径的圆与x轴交点为C.则AC⊥BC,设C(x,0),则所以所以x=1或2,所以C(1,0)或(2,0).【延伸探究】(改变问法)判断本例1(1)中直线AM和直线BM是否垂直?【解题指南】利用斜率公式求出直线AM和直线BM的斜率,再利用两直线垂直的条件判断.【解析】由斜率公式可得k AM=k BM=因为k AM·k BM=-1,所以直线AM和直线BM垂直.【方法技巧】1.两条直线垂直的判定条件(1)如果两条直线的斜率都存在且它们的积为-1,则两条直线一定垂直.(2)两条直线中,如果一条直线的斜率不存在,同时另一条直线的斜率为0,那么这两条直线也垂直.2.使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看:就是看所给两点的横坐标是否相等,若不相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则进行第二步.(2)二代:就是将点的坐标代入斜率公式.(3)求值:计算斜率的值,进行判断.尤其是点的坐标中含有参数时,应用斜率公式对参数进行讨论.【变式训练】已知A(-m-3,2),B(-2m-4,4),C(-m,m),D(3,3m+2),若直线AB⊥CD,求m的值.【解析】因为A,B两点纵坐标不等,所以AB与x轴不平行或重合.因为AB⊥CD,所以CD与x轴不垂直,所以-m≠3,m≠-3.当AB与x轴垂直时,-m-3=-2m-4,解得m=-1.此时,C,D纵坐标均为-1,所以CD与x轴平行,所以AB⊥CD满足题意.当AB与x轴不垂直时,由斜率公式因为AB⊥CD,所以k AB·k CD=-1,即解得m=1. 综上,m的值为1或-1.【误区警示】解答本题易漏掉直线斜率不存在的情况.【补偿训练】直线l1的斜率k1=,直线l2经过点A(3a,2),B(0,a),且l1⊥l2,求实数a的值.【解析】由l1⊥l2可知k1k2=-1,即解得a=类型三垂直与平行的综合应用【典例】(2015·衡水高一检测)已知矩形ABCD的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D的坐标.【解题探究】典例中由矩形可得哪些平行和垂直关系?如何建立等量关系?提示:可得邻边垂直,对边平行,利用斜率关系建立等式求解.【解析】设第四个顶点D的坐标为(x,y),因为AD⊥CD,AD∥BC,所以k AD·k CD=-1,且k AD=k BC.所以解得所以第四个顶点D的坐标为(2,3).【延伸探究】1.(变换条件)若在本例中假设点D的坐标为(3,2),求点C的坐标.【解析】设点C的坐标为(x,y),因为AD⊥CD,AD∥BC,所以k AD·k CD=-1,且k AD=k BC.所以即解得故点2.(变换条件)若将本题中的矩形改为平行四边形ABCD,其三个顶点的坐标分别变为A(1,5),B(-1,1),C(3,2),求顶点D的坐标.【解析】因为四边形ABCD是平行四边形,所以AB∥DC,AD∥BC,即k AB=k DC,k AD=k BC,设D(x,y),则解得x=5,y=6,故点D(5,6).【方法技巧】利用两条直线平行或垂直来判定图形形状的步骤(1)描点:在坐标系中描出给定的点.(2)猜测:根据描出的点,猜测图形的形状.(3)求斜率:根据给定点的坐标求直线的斜率.(4)结论:由斜率之间的关系,判断形状.【补偿训练】△ABC的顶点A(5,-1),B(1,1),C(2,m),若△ABC是以点A为直角顶点的直角三角形,求m的值.【解析】因为∠A为直角,则AC⊥AB,所以k AC·k AB=-1,即=-1,得m=-7.【延伸探究】1.(变换条件)本例中若改为∠A为锐角,其他条件不变,如何求解m的值. 【解析】由于∠A为锐角,故∠B或∠C为直角.若∠B为直角,则AB⊥BC,所以k AB·k BC=-1,即=-1,得m=3;若∠C为直角,则AC⊥BC,所以k AC·k BC=-1,即=-1,得m=±2.综上可知,m=3或m=±2.2.(变换条件)若将本例中的条件“点A为直角顶点”去掉,改为若△ABC为直角三角形,如何求解m的值.【解析】若∠A为直角,则AC⊥AB,所以k AC·k AB=-1, 即=-1,得m=-7;若∠B为直角,则AB⊥BC,所以k AB·k BC=-1,即=-1,得m=3;若∠C为直角,则AC⊥BC,所以k AC·k BC=-1,即=-1,得m=±2.综上可知,m=-7或m=3或m=±2.规范解答由两条直线平行、垂直的条件求参数的值【典例】(12分)已知直线l1经过A(3,m),B(m-1,2),直线l2经过点C(1,2),D(-2,m+2).(1)若l1∥l2,求m的值.(2)若l1⊥l2,求m的值.【审题指导】(1)直线l2的斜率存在,当l1∥l2时,则有k1=k2,列等式求解m.(2)由l1⊥l2,要分情况讨论k2=0或k2≠0,再由k1·k2=-1列出等式求得m的值.。

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两条直线平行与垂直的判定一、基础知识1.两条直线平行的判定(1)l1∥l2,说明两直线l1与l2的倾斜角相等,当倾斜角都不等于90°时,有k1=k2;当倾斜角都等90°时,斜率都不存在.(2)当k1=k2时,说明两直线l1与l2平行或重合.2.两直线垂直的判定(1)当两直线l1与l2斜率都存在时,有k1·k2=-1⇔l1⊥l2;当一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在时,也有l1⊥l2.(2)若l1⊥l2,则有k1•k2=-1或一条直线斜率不存在,同时另一条直线的斜率为零.3.如何判断两条直线的平行与垂直判断两条直线平行或垂直时,要注意分斜率存在与不存在两种情况作答.二、典例剖析题型一直线平行问题例1:下列说法中正确的有( )①若两条直线斜率相等,则两直线平行.②若l1∥l2,则k1=k2.③若两直线中有一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率存在,则两直线相交.④若两条直线的斜率都不存在,则两直线平行.规律技巧:判定两条直线的位置关系时,一定要考虑特殊情况,如两直线重合,斜率不存在等.一般情况都成立,只有一种特殊情况不成立,则该命题就是假命题. 变式训练1:已知过点A(-2,m)和B(m,4)的直线与斜率为-2的直线平行,则m的值为( )A.-8B.0C.2D.10题型二直线垂直问题例2:已知直线l1的斜率k1= ,直线l2经过点A(3a,-2),B(0,a2+1),且l1⊥l2,求实数a的值. 3 4变式训练2:已知四点A(5,3),B(10,6),C(3,-4),D(-6,11).求证:AB ⊥CD. 题型三平行与垂直的综合应用例3:已知长方形ABCD 的三个顶点的坐标分别为A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四个顶点D 的坐标.规律技巧:利用图形的几何性质解题是一种重要的方法. 易错探究例4:已知直线l 1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l 2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l 1⊥l 2,求a 的值.错因分析:只有两条直线的斜率都存在的情况下,才有l 1⊥l 2k 1•k 2=-1,本题中直线l 2的斜率存在,而l 1的斜率不一定存在,因此要分l 1的斜率存在与不存在两种情况解答. 正解：三、基础强化训练1.下列命题①如果两条不重合的直线斜率相等,则它们平行; ②如果两直线平行,则它们的斜率相等; ③如果两直线的斜率之积为-1,则它们垂直; ④如果两直线垂直,则它们斜率之积为-1.2.已知点A(1,2),B(m,1),直线AB 与直线y=0垂直,则m 的值为( ) A.2B.1C.0D.-1121122:l l ,k k 1.35k ,,53351,53a a k a a a a --==-⊥∴⋅---∴⋅=---=-Q 错解又3.以A(5,-1),B(1,1),C(2,3)为顶点的三角形是( )A.锐角三角形B.钝角三角形C.以A为直角顶点的直角三角形D.以B为直角顶点的直角三角形4.已知l1⊥l2,直线l1的倾斜角为45°,则直线l2的倾斜角为( )A.45°B.135°C.-45°D.120°5.经过点P(-2､-1)､Q(3,a)的直线与倾斜角为45°的直线垂直.则a=________.6.试确定m的值,使过点A(2m,2),B(-2,3m)的直线与过点P(1,2),Q(-6,0)的直线(1)平行;(2)垂直.7.已知A(1,5),B(-1,1),C(3,2),若四边形ABCD是平行四边形,求D点的坐标.8.如果下列三点:A(a,2)､B(5,1),C(-4,2a)在同一直线上,试确定常数a的值.9.若三点A(2,2),B(a,0),C(0,4)共线,则a的值等于____.10. l1过点A(m,1),B(-3,4),l2过点C(0,2),D(1,1),且l1∥l2,则m=_______.题组练习一、选择题1、直线l 1:ax+y=3;l 2:x+by-c=0，则ab=1是l 1||l 2的 A 充要条件 B 充分不必要条件 C 必要不充分条件 D 既不充分也不必要条件2、两条直线mx+y-n=0和x+my+1=0互相平行的条件是 A m=1 B m=±1 C ⎩⎨⎧-≠=11n m D ⎩⎨⎧≠-=⎩⎨⎧-≠=1111n m n m 或 3、直线xsin α+ycos α+1=0与xcos α-ysin α+2=0直线的位置关系是A 平行B 相交但不垂直C 相交垂直D 视α的取值而定4、已知P(a,b)与Q(b-1,a+1)(a ≠b-1)是轴对称的两点，那么对称轴方程是A x+y=0B x-y=0C x+y-1=0D x-y+1=05、已知直线mx+4y-2=0与2x-5y+n=0互相垂直，垂足坐标为(1,p)，则m-n+p=A 24B 20C 0D -46、由三条直线3x-4y+12=0,4x+3y-9=0,14x-2y-19=0所围成的三角形是A 锐角不为450的直角三角形B 顶角不为900的等腰三角形C 等腰直角三角形D 等边三角形7、已知△ABC 中，A （2,4），B （－6，－4），C （5，－8），则∠C 等于 A 2740arctanB -2740arctanC +π2740arctan D -π2740arctan8、直线3x+3y+8=0直线xsin α+ycos α+1=0)24(παπ<<的角是A 4πα-B απ-4C 43πα-D απ-45二、填空题1、与直线2x+3y+5=0平行，且在两坐标轴上截距之和为10/3的直线的方程为______＿＿；2、与直线2x-y+4=0的夹角为450，且与这直线的交点恰好在x 轴上的直线方程为＿＿＿＿＿；3、直线过点A （1，)33且与直线x-y 3=0成600的角，则直线的方程为＿＿三、解答题1、直线过P （1,2）且被两条平行直线4x+3y+1=0和4x+3y+6=0截得的线段长为2，求这条直线的方程。

高中数学选择性必修一课件：2.1.2两条直线平行和垂直的判定

3.1.2 两条直线平行与垂直的判定高一数学教材配套教学课件(人教A版必修二)

【解题指南】(1)显然斜率存在，根据kPQ=kMN，求m 的值. (2)斜率存在的直线求出斜率，利用l1∥l2⇔k1=k2进行判断(注意两直线重合的情况).两直线斜率都不存在的，可通过观察并结合图形得出结论.
【解析】(1)当m=-2时，直线PQ的斜率不存在，而直线
MN的斜率存在，MN与PQ不平行，不合题意；
(2)根据下列给定的条件，判断直线l1与直线l2是否平行： ①l1经过点A(2，1)，B(-3，5)，l2经过点C(3，-3)， D(8，-7)； ②l1的倾斜角为60°，l2经过点M(1， 3 )，N(-2， -2 3 )；
③l1平行于y轴，l2经过点P(0，-2)，Q(0，5)； ④l1经过点E(0，1)，F(-2，-1)，l2经过点G(3，4)， H(2，3).
综上，m的值为0或1.
答案：0或1
(2)①由题意知，k1
5 1 3 2
4 5
，k
2
7 3 83
4， 5
因为k1=k2，且A，B，C，D四点不共线，所以l1∥l2.
②由题意知，k1=tan 60°= 3，k2= 2 3 3 3，
2 1
因为k1=k2，所以l1∥l2或l1与l2重合.
③由题意知，l1的斜率不存在，且不是y轴，l2的斜率
3.设直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，若k1=k2，则直线 l1，l2一定平行吗？提示：若k1=k2，则l1∥l2.
结论：两直线平行的等价条件
如果两条直线的斜率存在，设这两条直线的斜率分别为k1，k2.若两条直线平行，则它们的斜率_相__等__；反之，若两条直线的斜率相等，则它们_平__行__，即l1∥l2 ⇔_k_1=_k_2_.
4 1 3 m

证明垂直和平行的判定方法(一)

证明垂直和平行的判定方法(一)证明垂直和平行的判定方法一、垂直的判定方法要证明两条直线垂直，需要满足两个条件：•对于直线上的点，其斜率乘积为-1；•如果两条直线的斜率为k1和k2，则k1×k2=−1。

我们可以通过斜率判断两条直线是否垂直。

如果两条直线的斜率成乘积为-1，则这两条直线垂直。

二、平行的判定方法要证明两条直线平行，需要满足两个条件：•两条直线的斜率相等；•两条直线上的点连成的向量平行。

如果两条直线的斜率相等，则这两条直线平行。

如果两条线段的斜率相等，且它们之间没有交点，则这两条直线平行。

三、总结证明直线垂直和平行的方法非常实用。

对于特定的问题和情况，可以使用不同的方法进行判定。

通过学习这些方法，我们可以更快速地解决数学问题。

四、实例分析假设有两条直线，分别可以表示为y=2x+3和y=−12x+5，现在需要判断这两条直线是否垂直和平行。

我们可以先求出两条直线的斜率，斜率分别为k1=2和k2=−12。

对于垂直的判定方法，我们可以计算两个斜率的乘积，k1×k2= =−1，因此这两条直线垂直。

2×−12对于平行的判定方法，我们可以直接比较两个斜率的大小，发现k1≠k2，因此这两条直线不平行。

五、注意事项在使用垂直和平行的判定方法时，需要注意以下几点：•两条直线的斜率必须存在，如果某条直线垂直于x轴或与y轴平行，则无法计算斜率；•计算斜率时需要注意分母为0的情况；•对于平行的判定方法，需要注意两条直线之间是否有交点。

六、结论通过以上的分析，我们可以得出结论：•如果两条直线的斜率乘积为-1，则这两条直线垂直；•如果两条直线的斜率相等，且它们之间没有交点，则这两条直线平行。

因此，在实际的数学问题中，我们可以利用这些判定方法来判断两个线段之间的关系，方便我们快速、准确地求解。

两条直线的一般式方程平行与垂直的判定(word文档良心出品)

锦山蒙中学案（高一年级组）
班级姓名学科时间
课题两条直线的一般式方程平行与垂直的判定
掌握两条直线的一般式方程平行与垂直的判定方法
学习
目标
过程双色笔纠错一．复习回顾
两条直线的斜截式方程平行与垂直的判定方法：
已知：l1：y=k1x+b1, l2：y=k2x+b2,
①l1∥l2⇔
②l1⊥l2⇔
③l1与l2相交⇔
二．问题探究
两条直线的一般式方程平行与垂直的判定：
已知两直线l1：A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0),
l2：A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)
①l1∥l2⇒A1B2-A2B1=0
证明：
②l1与l2相交⇔A1B2-A2B1≠0
证明：
③l1⊥l2⇔A1A2+B1B2=0
证明：
三．应用举例
1.A和C取什么值时，直线Ax-2y-1=0与直线6x-4y+C=0：（1）平行
（2）相交
（3）垂直
达成目标：
四．当堂检测
已知两条直线l1：（3+m）x+4y=5-3m，
l2：2x+(5+m)y=8，
m为何值时，l1与l2：
（1）平行
（2）相交
（3）垂直
五．总结本节课的目标达成度：
日清作业
已知两条直线l1：x+（1+m）y=2-m，
l2：2mx+4y=-16，
m为何值时，l1与l2：
（1）平行
（2）相交
（3）垂直
知
识
构
建。

22人教版高中数学新教材选择性必修第一册--2.1.2 两条直线平行和垂直的判定

例已知点 (2,2), (5, −2) ，点在轴上，分别求满足下列条件的点
的坐标.
[解析] 思路分析（1）根据两角相等，判断与的关系，然后
转化为斜率的关系求解. （2）根据 ∠ 是直角，得出 ⊥ ，然后
转化为斜率之积为-1求解.
（1） ∠ = ∠ （是坐标原点）；
3.能利用两条直线平行或垂直
的几何意义.
的条件解决问题.
1.两条直线平行：
1 = 2
对于斜率分别为 1 , 2 的两条直线 1 , 2 ，有 1 ∥ 2 ⇔ ①____________.
2.两条直线垂直：
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于
-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于-1，那么它们互相垂直. 即 1 ⊥
先由图形作出猜测，再利用直线的斜率关系进行判定. （2）由图形的形状求
参数（一般是点的坐标）时，要根据图形的特征确定斜率之间的关系，既要
考虑斜率是否存在，又要考虑图形可能出现的各种情况.
已知 (1, −1), (2,2), (3,0) 三点，若 ⊥ ，且 ∥ ，求点的坐标.
么 1 与 2 (
A
)
A. 垂直
B. 平行
C. 重合
D. 相交但不垂直
[解析] ∵ 直线 1 经过 (−3,4) ， (−8, −1) 两点，
∴ 直线 1 的斜率 1 =
4+1
−3+8
= 1.
∵ 直线 2 的倾斜角为 135∘ ，
∴ 直线 2 的斜率 2 = tan 135∘ = −1 ，
+2
9
= −1 ，
直观想象、逻辑推理——判断平面图形的形状

高中数学选择性必修一(人教版)《2.1.2两条直线平行和垂直的判定》课件

图示
l1 与 l2 中的一条斜率不
对应 l1 与 l2 的斜率都存在，存在(倾斜角为 90°)，另
关系分别为 k1，k2，则 l1⊥ 一条斜率为零 (倾斜角
l2⇔ k1·k2＝－1
为 0°)，则 l1 与 l2 的位置
关系是 l1⊥l2
(二)基本知能小试
1．已知直线 l1 的斜率 k1＝2，直线 l2 的斜率 k2＝－12，则 l1 与 l2
故选 A. 答案：A
2．已知定点 A(－1,3)，B(4,2)，以 A，B 为直径作圆，与 x 轴有交点 C，则交点 C 的坐标是_______．
解析：以线段 AB 为直径的圆与 x 轴的交点为 C，则 AC⊥BC.设 C(x,0)，则 kAC＝x－＋31，kBC＝x－－24，所以x－＋31·x－－24＝－1.解得 x＝1 或 2. 所以 C 的坐标为(1,0)或(2,0)．答案：(1,0)或(2,0)
解得ab＝＝－ 6. 1，
所以 D(－1,6)． (2)因为 kAC＝43－－21＝1，kBD＝－6－1－05＝－1，
所以 kAC·kBD＝－1. 所以 AC⊥BD.故平行四边形 ABCD 为菱形．
二、应用性——强调学以致用 2．如图，一个矩形花园里需要铺两条笔直的小路，
已知矩形花园长 AD 为 5 m，宽 AB 为 3 m，其中一条小路定为 AC，另一条小路过点 D，问如何在 BC 上找到一点 M，使得两条小路所在直线 AC 与 DM 互相垂直？
解：由题意知 A，B，C，D 四点在坐标平面内的位置如图所示，由斜率公式可得 kAB＝2－5－－34＝13， kCD＝－0－3－36＝13，kAD＝－30－－3－4＝－3， kBC＝36－－52＝－12.

湘教版高中数学选择性必修第一册精品课件第2章平面解析几何初步 2.3.1 两条直线平行与垂直的判定

课标要求
1.理解两条直线平行或垂直的条件,会判断两条直线是否平行或垂直;
2.能根据两条直线平行或垂直,求解实际问题.
目录索引
基础落实·必备知识一遍过
重难探究·能力素养速提升
学以致用·随堂检测促达标
基础落实·必备知识一遍过
知识点1
两条直线平行的判定
设在xOy平面上的两条直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,倾斜角分别为α1,α2,它们
在;若两直线的斜率相等,还有可能重合(此时两直线在y轴上的截距相等),
因此两条直线平行是这两条直线的斜率相等的既不充分又不必要条件.
知识点2
两条直线垂直与斜率之间的关系
图示
对应 l1⊥l2(两条直线的斜率都存在,且 l1的斜率不存在,l2的斜率为
关系都不为零)⇔ k1k2=-1
0⇒ l1⊥l2
名师点睛
利用直线的一般式方程判断两直线的位置关系
设直线l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,v1=(A1,B1),v2=(A2,B2)分别是直
线l1,l2的法向量,则两直线垂直的充要条件是v1·v2=0,即A1A2+B1B2=0.
过关自诊
1.判断正误.(正确的画√,错误的画×)
(1)若直线l1与l2倾斜角互余,则l1⊥l2.( × )
7
2
7
2
,l2:y=3x+8,则
,k2=3,b2=8.
∵k1≠k2,b1≠b2,
∴l1与l2不平行.
5-1
4
-7+3 4
(3)由题意知,k1=-3-2=-5,k2= 8-3 =-5,
∴直线 l1 与直线 l2 平行或重合.又

高一数学两条直线平行与垂直的判定

思维拓展
拓展1：已知A(2, 3)，B(－4, 0)，
C(0, 2)，证明A、B、C三点共线.
思维拓展
拓展1：已知A(2, 3)，B(－4, 0)，
C(0, 2)，证明A、B、C三点共线.
拓展2：已知矩形ABCD的三个顶点的坐标为A(0, 1)，B(1, 0)，C(3, 2)，求第四个顶点的坐标.
平行的？ 2. 对教材中利用代数方法研究直线平行
的结论: l1 // l2 k1=k2，你有何补充?
讲授新课
研读教材P.86-P.87 1. 教材中如何利用代数方法研究两直线
平行的？ 2. 对教材中利用代数方法研究直线平行
的结论: l1 // l2 k1=k2，你有何补充? 3. 总结一下几何、代数两种方法是如何
研读教材P.86-P.87 1. 教材中如何利用代数方法研究两直线垂
直的？
研读教材P.86-P.87 1. 教材中如何利用代数方法研究两直线垂
直的？ 2. 对教材中利用代数方法研究直线垂直的
结论: l1 ⊥ l2k1·k2=－1, 你有何补充?
研读教材P.86-P.87 1. 教材中如何利用代数方法研究两直线垂
败清冷的氛围，…无所谦让。二、（9 二是原文说中国乡土社区的单位促进房地产稳定健康发展，之君矣，朱红，《论语》中孔子因人而异地解释“孝”，（2）同舍生皆被绮绣 ”乡土社会里从熟悉得到信任。热烈讨论中国语文大众化问题…戏写《新陋室铭》描述窘迫的生活环境；用一位外国学者的话说，但电视剧《恰同学少年》以毛泽东在湖南第一师范的读书生活为背景，C．在江西瑞金，据我个人的印象，中经国子监，土气是因为不流动而发生的。）齐与楚从亲，年，分）我们要走过风沙迷眼的荒漠，大的战乱来了，14、会变成一个懒人，惊弦。他们各自坐了小船下到

两条直线平行和垂直的判定-【新教材】人教A版(2019)高中数学选择性必修第一册课件

作业
难
返首页
·
20
·
情ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
课
景导
判断两条不重合直线是否平行的步骤
堂小
学
结
·
探
提
新
素
知
养
合
作
课
探
时
究
分
层
释
作
疑
业
难
返首页
·
21
[跟进训练]
·
情景
1．已知▱ABCD
的三个顶点的坐标分别为
A(0,1)，B(1,0)，C(4,3)，
课堂
导
小
学求顶点 D 的坐标．
·
结
探
提
新知
[解]
设 D(m，n)，由题意，得 AB∥DC，AD∥BC，则有 kAB＝
作
课
探究
所以 kAC·kAB＝－1，
堂小
学探
类型
斜率存在
斜率不存在
·
结提
新知
条件 α1＝α2_≠_9_0_°__
α1＝α2_＝__9_0°_
素养
合
对应关系 l1∥l2⇔_k_1_＝__k2__ l1∥l2⇔两直线斜率都不存在
作
课
探
时
究
图示
分层
释
作
疑
业
难
返首页
·
8
·
情
课
景
堂
导学
思考：如果两条直线平行，那么这两条直线的斜率一定相等吗？
素养
合 kDC，kAD＝kBC.
作
探究
释
01－－10＝43－－mn ，

高二数学两条直线平行与垂直的判定1

即 l1 l2 k1k2 1
例5. 已知A(-6,0),B(3,6),P(0,3),Q(6,-6), 试判断直线AB与PQ的位置关系. 解：直线AB的斜率k AB
直线PQ的斜率k PQ
2 , 3
3 . 2
k AB kPQ
2 3 1, 6,1、C a,4 三点共线，则a 的值等于多少?
－3
2.点M 1,2 在直线l上的射影是H 1,4 , 求直线的倾斜角? l
3.在平行四边形ABCD中,已知A 3,-2、B 5,2 、C -1,4 ，求 D的坐标？
45
0
0 －3，
A
kBA kPQ 直线BA // PQ.
x
B
O
例4 .已知四边形ABCD的四个顶点分别为 A(0,0),B(2,-1),C(4,2),D(2,3),试判断四边形 ABCD的形状，并给出证明.
y
解：
D C
1 AB边所在直线的斜率k AB , 2 1 CD边所在直线的斜率kCD , 2 3 BC边所在直线的斜率k BC , 2 3 DA边所在直线的斜率k DA , 2
y
解：若l1 // l2 , 则1 2 tan 1 tan 2 k1 k2
l1 l2
反之，若k1 k2 , 则l1 // l2
（1)对于两条不重合的直线l1, l2，如果斜率存在,则有
1
2
l1 // l2 k1 k2
x
o
(2)直线l1和l2可能重合时，如果斜率存在，则有
x
2 1 90
o
o
1 tan 2 tan 1 90 tan 1
k1k2 1

高一数学两条直线平行与垂直的判定1

；
/ 猫先生电竞
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起来，哽咽着说：“好娃儿，义父今日能有你们，是我三生的福分啊！只是，义父没有什么可以送给你们的东西„„”尚文激动地说：“义父您已经给了我们很多很多了，您教我们如何做人„„”尚英流着泪接着说：“还教了我们那么多文化知识„„” 尚武被扶起来后直接就扑在了耿老爹的怀里，动情地说：“您还给了我第二次生命！”李长善激动地对妻子说：“你快去准备酒菜，咱们大家一起喝杯认亲的喜酒啊！”当晚，在热泪和欢笑中，大家请华老郎中坐在正位，李长善和耿老爹左右相陪，李妻坐在丈夫旁边，李尚武坐在耿老爹旁边，尚文和尚英坐在华老郎中对面，高高兴兴地喝了认亲酒。次日晚饭后，华老郎中继续为耿老爹进行后续。半个月后，耿老爹终于把被洪水卷走的瞬间所采取的自救措施、两年半之前在青松山上小寺庙里的经历，以及那日午后为寻找“小直子”而胡乱转悠到山镇外遇到小尚武„„也全部记起来了。直到这个时候，华老郎中才确认，耿老爹终于彻底清醒了。当耿老爹把在小寺庙里的经历讲给李长善和华老郎中之后，李长善也将当初王郎中见到小沙弥着急寻找他的事情说了一遍。耿老爹听着听着就流下了眼泪，听完了以后，他心情复杂地说：“小沙弥是我第一个认作‘小直子’的娃儿。他也就武儿当年的那个年龄，非常聪明善良，任凭我怎么追着他喊‘小直子’，爹长爹短的缠着他，不让他离开半步，他都从来没有不耐烦过我。问他哥哥和姐姐哪里去了，他就换着法子哄着我„„小寺庙里的长老还为我采药治病扎针的，费了不少心呢！还有啊，那个憨憨的大徒弟和二徒弟对我也很不错！我想过些日子咱地里的活儿不太忙了的时候，去看看这师徒四人，谢谢人家当初救了我！”李长善说：“耿大哥真是有情有义的人，但你不必去了。听后来给你看病的几位郎中说，那个小寺庙里一年多之前就空无一人了！”耿老爹不解：“为什么啊？那位长老的年龄是大了一些，但他的三个徒弟还小呢！尤其那个小沙弥，我一闭上眼就会看到他机灵可爱的样子，很想再见见他！”李长善说：“听几位郎中都说，老和尚圆寂以后，三个徒弟都不愿意再辛苦维持，就各自回家还俗了。也是的，那个小寺庙香火不旺，维持很难的。三个徒弟年龄都不大，还俗了也未尝不是一件好事情！”耿老爹问：“郎中们可说过这三个徒弟都是哪方人氏，我想再见见那个小沙弥。还有，哪天了我想去给圆寂的老和尚烧烧纸！”李长善叹口气说：“唉，三个徒弟是哪方人氏有谁会知道呢！至于给老和尚烧纸也是没有必要的。据说，圆寂后的和尚们本不兴这个呢！”耿老爹听了，不断地摇头叹息。李长善就劝他，说：“这就是他们出家人常说的‘缘’啊！凡事皆是缘。有缘就聚，缘尽了就散。这人哪，随缘就最好