两个变量的线性相关分析
第二章两变量线性回归分析
经济变量关系中的随机性（二）
影响经济变量严格函数关系因素的存在，使得我们 所研究的两变量线性关系，实际上都是有一定随机 性的随机函数关系，应该表示为Y=α+βX+ε 两个变量的随机线性函数由两部分组成 一部分由严格的线性函数E（Y）= α+βX构成，我们 称之为两变量关系的趋势部分，也称为总体回归直 线，是两变量关系的主要方面，也是我们研究的主 要目标和对象 另一部分是随机误差项ε，代表了影响Y的各种较小 因素的综合影响，是两变量关系中的次要方面
9
26页图2-4
10
无自相关
无自相关假设的意义是对应不同观测值的误差项之间没有相 关性。如果这一点不成立，则意味着调养项的取值变化存在 某种规律性，这与模型认为误差项只是没有规律的微小随机 因素的综合影响的思想不符 当误差项之间存在相关性时，会对线性回归分析的效果产生 不利的影响 同时满足零均值、同方差、无自相关三条假设的随机误差项， 有时也称为“球形扰动项
参数估计的基本思路（二）
由于我们无法知道参数的真实值，因此我们的目标定在找出 它的某种近似值或估计值，并且希望估计值与真实值之间的 近似程度能够比较高；更进一步的问题是，既然参数的真实 值无法知道，那么我们找到一个估计值后，如何认定它是真 实值的较好近似，或在两个估计值中，如何判断哪个更好？ 解决这些问题的基本思路是，利用样本数据反映出来的趋势 性设法确定参数估计值，以与样本趋势的拟合程度作为选择 回归直线、判断参数估计好坏的标准 用拟合样本趋势的回归直线，或者称“样本回归直线”，近 似模型的总体回归直线，从而得到模型参数的估计值，这利 方法是线性回归分析的基本方法
对任意的i ≠ j都成立 解释变量X是确定性变量，而非随机变量 误差项 i 服从正态分布
判断两个变量之间是否存在相关关系的方法
判断两个变量之间是否存在相关关系的方法为了判断两个变量之间是否存在相关关系，我们需要使用相关分析方法。
在实践中，我们通常使用皮尔逊相关系数来评估两个变量之间的线性相关性。
接下来将从以下几个方面讨论如何进行相关分析：1. 相关分析的基础2. 皮尔逊相关系数3. 相关系数的解释相关分析是一种经验性方法，用于评估两个变量之间的关系。
如果两个变量之间存在相关关系，我们可以使用一个变量来预测另一个变量的值。
相关关系可以是正相关（两个变量变化方向相同），也可以是负相关（两个变量变化方向相反）。
相关分析可以通过如下两种方式进行：1. 可以通过绘制散点图来判断两个变量之间是否存在相关关系。
如果图中的点沿着一条线分布，那么两个变量之间就存在线性相关关系。
2. 通过计算皮尔逊相关系数来评估两个变量之间的相关性。
r = (nΣxy - ΣxΣy) /sqrt([nΣx^2 –(Σx)^2][nΣy^2 –(Σy)^2])其中，x和y分别是两个变量的值，n是样本大小。
r的值介于-1和+1之间。
当r为正值时，两个变量之间存在正相关关系；当r为负值时，两个变量之间存在负相关关系。
当r=0时，两个变量之间不存在任何相关关系。
皮尔逊相关系数的计算方法基于统计理论，假设数据是正态分布的。
因此在实践中，我们应该先检查数据的分布情况，以确定是否可以使用该方法进行相关分析。
当我们计算出皮尔逊相关系数后，需要对该系数进行解释。
通常，我们根据相关系数的绝对值大小来评估两个变量之间的相关性：- r=±1：完全的线性相关- r=±0.8：非常强的线性相关- r=±0.6：强的线性相关- r=±0.4：中等的线性相关- r=±0.2：弱的线性相关- r=0：不存在线性相关关系需要注意的是，在解释相关系数时，我们通常只关注其数值大小，而不是其正负号。
例如，r=0.9和r=-0.9都表示存在非常强的线性相关关系。
相关分析方法
相关分析方法在进行相关分析时，我们需要选择合适的方法来进行研究，以便得出准确的结论。
下面将介绍几种常用的相关分析方法。
首先，相关系数分析是一种常用的相关分析方法。
相关系数分析可以用来衡量两个变量之间的线性关系强度。
常见的相关系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于连续变量，而斯皮尔曼相关系数适用于等级变量或者偏序变量。
通过计算相关系数，我们可以了解两个变量之间的相关程度，从而判断它们之间是否存在显著的关系。
其次，回归分析也是一种常用的相关分析方法。
回归分析可以用来探究自变量和因变量之间的关系。
通过建立回归模型，我们可以预测因变量的数值，并且了解自变量对因变量的影响程度。
回归分析可以分为简单线性回归和多元线性回归，具体选择哪种回归模型取决于研究的实际情况。
此外，方差分析也是一种重要的相关分析方法。
方差分析适用于比较两个或多个组之间的均值差异。
通过方差分析，我们可以判断不同组之间的均值是否存在显著差异，从而了解它们之间的相关性。
方差分析可以分为单因素方差分析和多因素方差分析，具体选择哪种方差分析方法需要根据研究的实际情况来确定。
最后，卡方检验也是一种常用的相关分析方法。
卡方检验适用于分析两个或多个分类变量之间的关联性。
通过卡方检验，我们可以判断两个或多个分类变量之间是否存在相关性，从而了解它们之间的关系。
卡方检验可以帮助我们理清变量之间的关联关系，为进一步分析提供依据。
综上所述，相关系数分析、回归分析、方差分析和卡方检验是常用的相关分析方法。
在实际研究中，我们可以根据研究的具体目的和数据类型选择合适的相关分析方法，以便得出准确的结论。
希望本文介绍的相关分析方法能够对您的研究工作有所帮助。
线性相关是什么意思
线性相关是什么意思线性相关是指两个变量的线性关系。
它指的是两个变量之间的变化是根据它们之间的线性关系而产生的。
这可以看作一个图表，其中X轴和Y轴分别代表变量A和变量B。
如果两个变量之间存在线性关系，也就是说如果变量A发生变化，那么变量B也会发生相应的改变，从而反映他们之间的线性关系。
线性相关的实际应用是总体分析和统计分析的基础和需要，可以帮助我们探索两个变量之间的相互作用。
它有助于我们从更深层次来理解总体的运作机制。
此外，线性间接解释了变量之间的因果关系，有助于我们更有效地解释复杂的数据，并预测将来的变化。
线性相关通常是基于统计学分析，利用数学工具，例如线性回归分析和最小二乘法，来确定这种变量之间的线性关系。
经过统计学分析，可以计算出系数，系数的值可以反映变量之间的线性关系的强弱。
线性相关常被用于回归分析，以确定某个变量的变化速度，并用来预测另一个变量将来的变化情况。
例如，两个变量A和B可能表示销售额和价格。
利用线性回归模型，可以计算出当价格升高一个单位时，销售额会相应上升多少，进而使用该数字进行预测，即在未来某一价格水平下的预期销售额。
另一方面，相关性也可能提供有关变量之间的因果关系的信息。
可以用来证明变量X的变化是否是变量Y的原因。
比如，当A和B之间存在负线性关系时，表明A的变化可能会导致B的变化，这可以帮助研究者推断出变量A的变化可能是导致变量B的原因。
线性相关的概念和应用可以广泛应用于商业，科学，教育和各种学科。
例如，在商业分析中，可以使用它来确定价格，消费者偏好习惯和消费者行为之间的线性关系，以决定某项商品或服务在市场上的价值。
在科学研究中，可以使用它来测量温度，压力和其他重要参数之间的线性关系，以获得更多的实验数据支持。
在教育中，线性相关也可以帮助教育者更全面地了解学生的成长，例如研究学生的学习时间和学习成绩之间的相互关系，可以帮助更好地指导教育实践。
总之，线性相关是一个重要的统计概念，它可以帮助我们从一个更宏观的视角来理解总体问题，并有助于解释和预测变量之间的线性关系。
线性相关分析
二、秩相关（等级相关）
秩相关的适用条件及基本概念 秩相关系数 秩相关系数的显著性检验 进行秩相关分析的注意事项
1、秩相关的适用条件及基本概念
适用条件: 资料不服从双变量正态分布 总体分布型未知，一端或两端是不确定数值
秩相关是分析X与Y两变量等级间是否相关的
（如＜10岁，≥65岁）的资料； 原始数据用等级表示的资料
样误差的问题，故要推断总体中两变量间有 无线性相关关系，须做假设检验
数，k为有相同秩次的组数
TX = ∑ ( t i3 − t i ) / 12 ，ti 为第 i 组相同秩次的个
常用的方法有两种： 1.n≤50,直接查附表14，得到P值 2.
n>50用假设检验法，计算检验统计量，公 式为
1.将X、Y分别从小到大编秩，若观察值相
同，则取平均秩次。 2.差数d 3.算d2 4.带入公式计算
rs = 1 − n( n − 1)
2
6∑ d 2
= 1−
6 × 12.5 = 0.85 8(82 − 1)
秩相关系数为负，说明两变量间有负相关关系， 同样由样本算得的秩相关系数是否有统计学意 义，也应做检验
本章内容：
相关分析
南方医科大学生物统计学系
线性相关 秩相关
一、线性相关
线性相关的基本概念 线性相关系数 相关系数的显著性检验 进行线性相关分析的注意事项
1、线性相关的基本概念
线性相关(linear
correlation)又称简单相关 (simple correlation)，用于双变量正态分布 (bivariate normal distribution)资料。
6∑ d 2
相关分析方法
相关分析方法在进行相关分析时，我们需要选择合适的方法来进行数据的处理和分析。
相关分析方法主要包括相关系数分析、回归分析和因子分析等。
下面将对这些方法进行详细介绍。
首先，相关系数分析是一种用来衡量两个变量之间相关程度的方法。
在相关系数分析中，我们通常会使用皮尔逊相关系数来衡量两个变量之间的线性相关程度。
相关系数的取值范围在-1到1之间，当相关系数接近1时，表示两个变量之间存在较强的正相关关系；当相关系数接近-1时，表示两个变量之间存在较强的负相关关系；当相关系数接近0时，表示两个变量之间不存在线性相关关系。
相关系数分析可以帮助我们了解变量之间的关联程度，从而为后续的分析提供参考。
其次，回归分析是一种用来研究自变量和因变量之间关系的方法。
在回归分析中，我们通常会使用最小二乘法来拟合回归方程，从而得到自变量和因变量之间的函数关系。
通过回归分析，我们可以得到自变量对因变量的影响程度，进而进行预测和控制。
最后，因子分析是一种用来识别变量之间共同因素的方法。
在因子分析中，我们通过对变量进行降维，找出变量之间的共同因素，从而简化数据分析的复杂度。
因子分析可以帮助我们理解变量之间的内在结构，发现隐藏的规律和特征。
综上所述，相关分析方法包括相关系数分析、回归分析和因子分析等。
这些方法可以帮助我们理解变量之间的关系，发现变量之间的规律和特征，从而为数据分析和决策提供支持。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的需求选择合适的分析方法，从而更好地理解数据，做出准确的分析和预测。
相关系数分析
相关系数分析相关系数分析是一种常用的统计方法，用于评估两个变量之间的相关性强弱。
通过相关系数可以了解两个变量之间的线性关系，从而揭示变量之间的相互影响。
本文将详细介绍相关系数分析的原理、应用和注意事项。
相关系数是用来度量两个变量之间的线性关系强度的指标。
相关系数的取值范围为-1到1，绝对值越接近1，表示两个变量之间的线性关系越强；绝对值越接近0，表示两个变量之间的线性关系越弱。
当相关系数为正数时，表示两个变量正相关；当相关系数为负数时，表示两个变量负相关。
在实际应用中，相关系数分析可以用于研究各种现象之间的关系。
例如，我们可以利用相关系数分析来研究身高与体重之间的相关性，或者收入与教育水平之间的相关性。
通过相关系数分析，我们可以得出结论，例如身高与体重之间存在较强的正相关关系，或者收入与教育水平之间存在较弱的负相关关系。
在进行相关系数分析时，需要注意以下几点。
首先，相关系数只能用来描述线性关系，对于非线性关系无法准确评估。
如果变量之间存在非线性关系，需要采用其他方法进行分析。
其次，相关系数只能衡量两个变量之间的关系，无法说明因果关系。
因此，在解读相关系数时，需要注意相关系数只是一种统计关系，不代表因果关系。
在进行相关系数分析时，还需要注意样本的选取和数据的质量。
样本的选取应该具有代表性，并且样本的数量足够大，以提高结果的可靠性。
同时，数据的质量也十分重要，需要确保数据的准确性和完整性，避免数据的误差对结果产生影响。
除了计算相关系数外，还可以通过绘制散点图来观察变量之间的关系。
散点图可以直观地展示变量之间的关系，并且可以通过观察散点图上的点的分布来检验相关系数的可靠性。
总结来说，相关系数分析是一种常用的统计方法，用于评估两个变量之间的相关性强弱。
通过相关系数可以了解两个变量之间的线性关系，并且可以用于研究各种现象之间的关系。
在进行相关系数分析时，需要注意样本的选取和数据的质量，并且需要注意相关系数只能描述线性关系，无法说明因果关系。
双变量问题处理技巧
双变量问题处理技巧双变量问题处理技巧双变量问题是指涉及两个变量之间的关系或相互影响的问题。
在许多领域中，如统计学、经济学和社会科学等，研究人员经常遇到需要处理双变量问题的情况。
下面将介绍一些处理双变量问题的技巧。
1. 散点图分析：散点图是一种常用的数据可视化方法，可以用来展示两个变量之间的关系。
通过绘制散点图，可以观察到变量之间的相关性，包括线性关系、非线性关系或者无关系。
根据散点图的形状和趋势，可以判断变量之间的关系类型，并进一步分析相关性的强度。
2. 相关性分析：相关性分析用于度量两个变量之间的相关性程度。
常用的相关性系数包括皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
皮尔逊相关系数适用于线性关系的变量，而斯皮尔曼相关系数适用于非线性关系的变量。
相关性分析可以帮助我们了解两个变量之间的关系强度和方向。
3. 线性回归分析：线性回归分析是一种用于建立两个变量之间线性关系的模型。
通过拟合数据点到一条直线或曲线上，可以建立一个数学模型来预测或解释一个变量对另一个变量的影响。
线性回归分析可以帮助我们确定两个变量之间的因果关系，并进行预测和解释。
4. 多元回归分析：多元回归分析是一种用于处理多个自变量和一个因变量之间关系的方法。
当我们需要控制其他变量的影响，以及确定多个自变量对因变量的独立贡献时，可以使用多元回归分析。
通过多元回归分析，我们可以建立一个多变量的模型，更全面地理解变量之间的关系。
5. 因果推断：在处理双变量问题时，我们常常需要确定两个变量之间的因果关系。
因果推断是一种从相关性到因果关系的推断方法，可以帮助我们确定一个变量对另一个变量的影响。
在进行因果推断时，需要注意排除混淆变量的干扰，并使用实验证据或因果分析方法来支持因果关系的存在。
总之，处理双变量问题需要运用适当的技巧和方法来分析和解释两个变量之间的关系。
通过散点图分析、相关性分析、线性回归分析、多元回归分析和因果推断等方法，我们可以更好地理解和解释双变量问题，并得出有意义的结论。
相关性分析
相关性分析是指对两个或多个具备相关性的变量元素进行分析，从而衡量两个变量因素的相关密切程度。
相关分析是研究现象之间是否存在某种依存关系，并对具体有依存关系的现象探讨其相关方向以及相关程度，是研究随机变量之间的相关关系的一种统计方法相关性的元素之间需要存在一定的联系或者概率才可以进行相关性分析。
相关性不等于因果性，也不是简单的个性化，相关性所涵盖的范围和领域几乎覆盖了我们所见到的方方面面，相关性在不同的学科里面的定义也有很大的差异。
分类：1、线性相关分析：研究两个变量间线性关系的程度。
用相关系数r来描述（1）正相关：如果x,y变化的方向一致，如身高与体重的关系，r>0；一般地，·|r|>0.95 存在显著性相关；·|r|≥0.8 高度相关；·0.5≤|r|<0.8 中度相关；·0.3≤|r|<0.5 低度相关；·|r|<0.3 关系极弱，认为不相关（2）负相关：如果x,y变化的方向相反，如吸烟与肺功能的关系，r<0；（3）无线性相关：r=0。
如果变量Y与X间是函数关系，则r=1或r=-1；如果变量Y与X间是统计关系，则-1<r<1。
（4）r的计算有三种：①Pearson相关系数：对定距连续变量的数据进行计算。
②Spearman和Kendall相关系数：对分类变量的数据或变量值的分布明显非正态或分布不明时，计算时先对离散数据进行排序或对定距变量值排（求）秩2、偏相关分析：研究两个变量之间的线性相关关系时，控制可能对其产生影响的变量。
如控制年龄和工作经验的影响，估计工资收入与受教育水平之间的相关关系3、距离分析：是对观测量之间或变量之间相似或不相似程度的一种测度，是一种广义的距离。
分为观测量之间距离分析和变量之间距离分析（1）不相似性测度：·a、对等间隔(定距)数据的不相似性（距离）测度可以使用的统计量有Euclid欧氏距离、欧氏距离平方等。
两个变量之间的线性关系
其中，xi和yi分别是两个变量 的观测值，x̄和ȳ分别是它们
的均值。
相关系数的解释
01
02
03
相关系数的绝对值大小 表示两个变量之间的线 性关系的强度，绝对值 越接近1表示关系越强。
相关系数的正负号表示 线性关系的方向，正号 表示正相关，负号表示
负相关。
相关系数只衡量线性关 系，对于非线性关系无
法准确描述。
两个变量之间的线性 关系
目录
• 线性关系的定义 • 线性回归分析 • 线性相关系数 • 线性预测与决策 • 案例分析
01
线性关系的定义
什么是线性关系
线性关系是指两个变量之间存在一种 关系，其中一个变量（自变量）的变 化会导致另一个变量（因变量）按照 一定的比例变化。
在线性关系中，自变量和因变量之间 的关系可以用一条直线来描述，因此 称为线性关系。
案例二：气温与空调销量的线性关系
总结词：负相关
详细描述：气温与空调销量之间存在负相关关系。当气温升高时，人们对空调的需求增加，空调销量随之上升。反之，当气 温降低时，空调销量则会下降。这种关系可以用一条直线表示，斜率为负，表示两个变量呈负相关。
案例三：GDP与人口数量的线性关系
总结词
不完全正相关
03
预测值与实际值之间的差距最小化。
线性回归模型的建立
01
线性回归模型的建立需要收集两个变量之间的观测数据，并确定因变 量和自变量之间的关系。
02
在建立模型之前，需要对数据进行探索性分析和预处理，包括缺失值 处理、异常值处理、数据转换等。
03
线性回归模型的一般形式为：Y = β0 + β1X + ε，其中Y是因变量， X是自变量，β0和β1是回归系数，ε是误差项。
第八章SPSS的相关分析和线性相关分析
第八章SPSS的相关分析和线性相关分析在统计学中，相关分析是用来研究两个或多个变量之间关系的一种方法。
SPSS（Statistical Package for the Social Sciences）是一款常用的统计软件，可用于进行相关分析和线性相关分析。
本章将介绍如何使用SPSS进行相关分析和线性相关分析，以及如何解释分析结果。
一、相关分析相关分析是一种用于研究变量之间关系的统计方法。
通过相关分析可以确定两个或多个变量之间的关联程度，以及这种关联程度的方向（正相关或负相关）。
在SPSS中进行相关分析的步骤如下：1.打开SPSS软件，选择“文件”>“打开”>“数据”，选择要进行分析的数据文件，点击“打开”。
2.在菜单栏中选择“分析”>“相关”>“双变量”或“多变量”。
3. 在弹出的对话框中，将变量移动到“变量”框中。
可以选择自定义相关性系数的类型，如Pearson相关系数、Spearman相关系数等。
4.点击“OK”进行相关分析。
5.SPSS将生成一个相关矩阵和一个相关系数表格，展示了变量之间的关联程度。
在进行相关分析时，需要注意以下几点：1.相关系数的取值范围为-1到1，-1表示完全负相关，1表示完全正相关，0表示没有相关性。
2.根据相关系数的取值大小可以判断变量之间的关联程度，一般认为相关系数大于0.7为强相关，0.3到0.7为中等相关，小于0.3为弱相关。
3.相关分析只能判断变量之间是否存在关系，不能确定因果关系。
线性相关分析是一种用于研究两个变量之间线性关系的统计方法。
通过线性相关分析可以确定两个连续变量之间的关联程度，以及这种关联程度的方向（正相关或负相关）。
在SPSS中进行线性相关分析的步骤如下：1.打开SPSS软件，选择“文件”>“打开”>“数据”，选择要进行分析的数据文件，点击“打开”。
2.在菜单栏中选择“分析”>“相关”>“双变量”。
相关性分析方法有哪些
相关性分析方法有哪些相关性分析是指在数据分析中，用来衡量两个变量之间关系的一种方法。
在实际应用中，相关性分析可以帮助我们了解变量之间的关联程度，从而为决策提供依据。
下面将介绍一些常见的相关性分析方法。
首先，最常见的相关性分析方法之一是皮尔逊相关系数。
皮尔逊相关系数是用来衡量两个连续变量之间线性关系的强度和方向的统计量。
它的取值范围在-1到1之间，当相关系数为1时，表示两个变量呈完全正相关；当相关系数为-1时，表示两个变量呈完全负相关；当相关系数为0时，表示两个变量之间没有线性关系。
皮尔逊相关系数可以帮助我们了解两个变量之间的线性关系程度，但是需要注意的是，它只能衡量线性关系，无法反映非线性关系。
其次，另一种常见的相关性分析方法是斯皮尔曼相关系数。
斯皮尔曼相关系数是一种非参数统计量，用来衡量两个变量之间的单调关系。
与皮尔逊相关系数不同的是，斯皮尔曼相关系数不要求变量呈线性关系，而是通过对变量的秩次进行计算来得到相关系数。
因此，斯皮尔曼相关系数适用于非线性关系的情况，对异常值的影响也相对较小。
此外，还有一种常见的相关性分析方法是判定系数。
判定系数是用来衡量自变量对因变量变化的解释程度的统计量，通常用R方来表示。
R方的取值范围在0到1之间，表示自变量对因变量变化的解释程度。
当R方接近1时，表示自变量对因变量的变化有很好的解释；当R方接近0时，表示自变量对因变量的变化解释程度较低。
最后，还有一种相关性分析方法是卡方检验。
卡方检验主要用于分析两个分类变量之间的相关性。
它通过比较观察频数和期望频数之间的差异来判断两个分类变量之间是否存在相关性。
卡方检验可以帮助我们了解两个分类变量之间的关联程度，从而进行适当的决策。
综上所述，相关性分析方法有很多种，选择适合实际情况的方法进行分析是十分重要的。
在实际应用中，我们可以根据变量类型、数据特点和研究目的来选择合适的相关性分析方法，从而更好地理解变量之间的关系，为决策提供科学依据。
相关性分析方法
相关性分析方法
在进行相关性分析时，可以尝试以下方法：
1. 相关系数：可以计算出两个变量之间的相关程度。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数和肯德尔相关系数。
2. 散点图：可以通过绘制两个变量的散点图来观察它们之间的关系。
如果数据点呈现线性分布，说明两个变量存在较强的相关性。
3. 回归分析：可以使用线性回归模型或其他回归模型来建立两个变量之间的数学关系。
通过分析回归模型的拟合优度和系数的显著性，可以确定变量之间的相关性。
4. 协方差矩阵：可以计算出多个变量之间的协方差，从而判断它们之间的相关性。
协方差矩阵可以帮助发现多个变量之间的线性或非线性关系。
5. 组间比较：将数据按照不同的特征进行分组，然后比较不同组之间的均值或其他统计指标。
如果不同组之间的统计指标差异显著，说明这些特征与分组变量之间存在相关性。
除了以上方法，还可以借助机器学习算法进行相关性分析，如决策树、随机森林、支持向量机等。
这些算法可以自动选择最相关的特征或预测变量，从而帮助发现变量之间的相关性。
两变量相关性分析
第十章 两变量关联性分析一、线性相关描述• 问题：两变量间是否存在相关或关联？n身高与体重n尿铅排出量与血铅含量n凝血时间与凝血酶浓度n血压与年龄第一节线性相关例101 在某地一项膳食调查中，随机抽取了14名40~60岁的 健康妇女，测得每人的基础代谢（kJ /d）与体重（kg）数 据，见表101。
据此数据如何判断这两变量间有无关联？表101 14例中年健康妇女的基础代谢与体重测量值编号 基础代谢（kJ /d）体重（kg）编号基础代谢（kJ /d）体重（kg）1 4175.6 50.7 8 3970.6 48.62 4435.0 53.7 9 3983.2 44.63 3460.2 37.1 10 5050.1 58.64 4020.8 51.7 11 5355.5 71.05 3987.4 47.8 12 4560.6 59.76 4970.6 62.8 13 4874.4 62.17 5359.7 67.3 14 5029.2 61.5n 散点图 (scatter plot)28003300 3800 4300 4800 5300 5800 303540455055 60 65 70 75体重 (kg)基础代谢 (K J /d a y )图101 14例中年健康妇女基础代谢与体重的散点图n 线性相关(linear correlation)n两变量关联类型正相关(positive correlation) 负相关(negative correlation) 线性无关n 线性相关系数 (linear correlation coefficient ，Pearson product moment coefficient)))( ( 的方差 的方差 的协方差 和 相关系数 Y X Y X =()121- - =å = n xx n i i的样本方差 X ( )121- - =å = n y y ni i的样本方差 Y ( )( )11- - - =å = n y y x xni i i的样本协方差 和Y X( )( )11- - - =å = n y y x xn i i i的样本协方差 和Y X( )( )( ) ( )å å å = = = - - - - ==n i ni iiini iyy xxxy y y x x y y x x l l l r 11221样本相关系数的定义n r 是表示两个随机变量之间线性相关强度和方向的统计量，它没有单位 n 1＜r ＜1n r 的正负值表示两变量之间线性相关的方向n r 的绝对值大小则表示两变量之间线性相关的密切程度例102 计算例101中基础代谢Y 与体重X 之间的样本相关系数。
简述使用线性相关分析的注意事项
简述使用线性相关分析的注意事项
1、在线性相关分析中，有一个重要的条件，即两个变量之间的相关系数必须大于1.
2、当两个变量之间不存在显著或稳定的相关关系时，可以用t检验。
但如果存在显著相关，则需要进行多项式回归分析。
3、为了简化数据分析，对相关系数计算的结果也应进行相应改变。
5、数据处理方法选择也很重要：如果是两点间的直线关系则用多元线性回归分析；如果是两点间的指数关系则可以用简单相关（线性和幂）回归分析；如果没有条件满足的话，则就需要采用逐步回归法进行建模，并对模型中存在的错误进行检测或修正。
6、如果没有变量选择（値）时：要用一元或多元线性回归来分析；否则就只能根据变量间是否有交互作用或其他联系来判断相关程度。
7、多项式回归分析比多元回归要好；而且可以从数据中找到规律，从而发现问题。
8、由于线性相关性与其他相关系数不能互相替代，因此在做线性相关性分析时还需要考虑线性和非线性因素的影响等等；同时使用多项式回归时还要注意是否存在固定效应。
9、使用多项式方差分析和t检验时要注意：多项式方差分析和t检验只能进行一次且不能同时进行；而运用二项式方差分析时要先对变量进。
对两变量x和y作线性相关分析要求的条件是
对两变量x和y作线性相关分析要求的条件是对两变量 x 和 y 作线性相关分析要求的条件是，在作分析时至少有一次关于 x、 y 值有无穷多种可能。
由此不难看出：如果实际工作中存在大量的不相关点，那么两变量 X 和 Y 是否能够线性相关将会成为影响结论正确与否的主要因素。
例如，一项建筑设计报告应该考虑在地形高低起伏较大的情况下人员安全及生活舒适程度等，而且还需要进行经济比较；另外，还必须根据气候特征选择合适的材料或者构造措施……上述诸多问题都涉及到两变量 X 和 Y 是否具备线性相关的前提条件。
但是，当某些变量（如人数）随着其他变量（如环境温度）发生显著改变时，即使两变量 X 和 Y 满足线性相关的假定也未必能得出正确的结论。
可以从两个方面来理解这句话的含义：一是线性相关分析本身就只是求出了两变量之间的线性关系，并没有给出任何明确的结论；二是虽然通过线性相关分析可以找出一组变量之间的线性关系，但却很难判断它们之间的相互依赖关系。
因此，在实践中，仅凭借线性相关分析往往很难获取准确的信息。
同样道理，单纯利用线性相关分析去预测一个事物的发展趋势也常常会遇到困难。
因为，尽管我们已知两变量之间存在线性关系，但是，我们仍旧无法精确地推算出两变量各自的发展轨迹。
二是我们所研究的问题要达到完全相关的目的，则意味着每一个观察值都必须落入两个变量共同决定的区域内才能被认为是真正的相关。
换言之，若想保证线性相关分析的结论是正确的，则要求两变量的所有观察值均处于同一个区域内。
反之，如果某些观察值超越了这个区域范围，则说明它们之间的相关性质并非严格意义上的相关。
例如，如果把一群人放置在空调房里，那么，室内的平均温度肯定会降低，但是，并不代表所有的人都感觉到冷。
再举一个简单的例子，一块冰融化后体积增加了10%，但是，这并不意味着所有的水滴都增加了10%。
类似的现象在日常生活中俯拾皆是。
因此，线性相关分析的局限性远远超乎我们的想像。
研究两者关系的方法
研究两者关系的方法引言:研究两者关系是科学研究中常见的任务，不论是社会科学还是自然科学，都需要通过方法来探究两个变量之间的关联。
本文将介绍几种常用的方法，以帮助研究者进行有效的分析和研究。
一、相关性分析法相关性分析法是研究两个变量关联程度的一种常用方法。
通过计算两个变量之间的相关系数，可以判断它们之间的线性关系强弱。
常用的相关系数有皮尔逊相关系数、斯皮尔曼相关系数和判定系数等。
相关性分析法可以帮助研究者了解两个变量之间的关联程度，从而推断它们之间的因果关系或者预测未来的变化趋势。
二、回归分析法回归分析法是研究两个或多个变量之间关系的一种常用方法。
回归分析可以帮助研究者建立一个数学模型，通过该模型来预测一个或多个自变量对因变量的影响。
在回归分析中，可以选择线性回归、多项式回归、逻辑回归等不同的方法来建立模型。
回归分析法可以帮助研究者了解两个变量之间的函数关系，并进行预测和解释。
三、实验设计法实验设计法是研究两个变量关系的一种常用方法。
通过精心设计实验，控制和观察自变量对因变量的影响，可以帮助研究者确定两个变量之间的因果关系。
在实验设计中，需要明确自变量和因变量的定义、选择适当的实验组和对照组、随机分配实验对象等。
实验设计法可以帮助研究者准确地评估两个变量之间的关系，并排除其他干扰因素的影响。
四、案例研究法案例研究法是研究两个变量关系的一种常用方法。
通过深入研究一个或多个个案，可以帮助研究者了解两个变量之间的具体关系和机制。
在案例研究中，可以通过观察、访谈、调查等方法收集数据，并对数据进行分析和解释。
案例研究法可以帮助研究者深入理解两个变量之间的关系，并从中提取出普遍性的结论。
五、综合分析法综合分析法是研究两个变量关系的一种常用方法。
通过综合利用多种方法和多种数据源，可以全面地了解两个变量之间的关系。
在综合分析中，可以通过文献综述、案例对比、模型比较等方法来综合分析数据。
综合分析法可以帮助研究者从不同的角度和层面理解两个变量之间的关系，并得出更加准确和全面的结论。
经济统计学中的相关性分析
经济统计学中的相关性分析导语：经济统计学是研究经济现象和经济活动的科学，而相关性分析是经济统计学中常用的一种统计方法。
相关性分析可以帮助我们了解经济变量之间的关系，为经济决策提供依据。
本文将探讨经济统计学中的相关性分析，包括相关系数的计算方法、相关性的解释以及相关性分析的局限性。
一、相关系数的计算方法相关系数是衡量两个变量之间关系强度的指标，常用的相关系数有皮尔逊相关系数和斯皮尔曼相关系数。
1. 皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient）是最常用的相关系数，它衡量的是两个变量之间的线性关系。
计算公式为：r = cov(X,Y) / (σX * σY)其中，cov(X,Y)表示X和Y的协方差，σX和σY分别表示X和Y的标准差。
皮尔逊相关系数的取值范围为-1到1，当r为正值时表示正相关，为负值时表示负相关，为0时表示无关。
2. 斯皮尔曼相关系数（Spearman correlation coefficient）是一种非参数统计方法，它衡量的是两个变量之间的单调关系，不要求变量之间的关系是线性的。
计算公式为：ρ = 1 - (6 * Σd^2) / (n * (n^2 - 1))其中，d表示两个变量的秩次差，n表示样本量。
斯皮尔曼相关系数的取值范围为-1到1，与皮尔逊相关系数类似。
二、相关性的解释相关性分析可以帮助我们了解经济变量之间的关系，从而提供决策依据。
1. 正相关：当两个变量呈现正相关关系时，意味着它们的变化趋势是一致的。
例如，收入与消费之间的正相关关系意味着收入增加时，消费也会增加。
2. 负相关：当两个变量呈现负相关关系时，意味着它们的变化趋势是相反的。
例如，失业率与经济增长之间的负相关关系意味着失业率上升时，经济增长可能下降。
3. 无关：当两个变量之间的相关系数接近于0时，可以认为它们是无关的。
但需要注意的是，相关系数接近于0并不意味着两个变量之间不存在任何关系，可能存在非线性关系或其他复杂的关系。
可供进行变量间相似性分析的方法有
可供进行变量间相似性分析的方法有
变量间相似性分析是统计学中常用的一种分析方法，用于比较两个或多个变量之间的相似性。
常用的变量间相似性分析方法有：
（1）相关分析法：相关分析是一种统计分析方法，用于检验两个变量之间的线性关系，其中最常用的是皮尔逊相关系数，其公式为：r=∑(x-x)(y-y)/√[∑(x-x)2∑(y-y)2]，其中x和y分别表示两个变量，x和y分别表示两个变量的均值。
（2）卡方检验：卡方检验是一种统计检验方法，用于检验两个变量之间的相关性，其公式为：χ2=∑[(O-E)2/E]，其中O表示实际观测值，E表示期望值。
（3）多元线性回归分析：多元线性回归分析是一种统计分析方法，用于检验多个变量之间的线性关系，其公式为：
Y=β0+β1X1+β2X2+…+βnXn，其中Y表示因变量，X1、
X2、…、Xn表示自变量，β0、β1、β2、…、βn表示系数。
（4）因子分析：因子分析是一种统计分析方法，用于检验多个变量之间的相关性，其公式为：Y=λ1X1+λ2X2+…+λnXn，其中Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，λ1、
λ2、…、λn表示系数。
（5）主成分分析：主成分分析是一种统计分析方法，用于检
验多个变量之间的相关性，其公式为：
Y=α1X1+α2X2+…+αnXn，其中Y表示因变量，X1、X2、…、Xn表示自变量，α1、α2、…、αn表示系数。
以上就是可供进行变量间相似性分析的常用方法，它们可以帮助我们更好地了解变量之间的关系，从而更好地分析数据。
皮尔逊相关性分析
皮尔逊相关性分析皮尔逊相关性分析（Pearson correlation analysis）是一种常用的统计方法，用于评估两个变量之间的线性相关性。
它基于皮尔逊相关系数（Pearson correlation coefficient），该系数的取值介于-1到1之间，可以衡量变量间的线性关系强度和方向。
一、皮尔逊相关系数定义皮尔逊相关系数（r）是用来度量两个变量之间线性关系强度的统计指标。
它通过计算两个变量之间的协方差与各自标准差的乘积之比来得出。
公式如下：r = cov(X,Y) / (σX * σY)其中，cov(X,Y)表示变量X和Y的协方差，σX和σY分别表示X和Y的标准差。
皮尔逊相关系数的取值范围是-1到1，当r为正值时表示正相关，即两个变量呈线性正向关系；当r为负值时表示负相关，即两个变量呈线性负向关系；当r为0时表示无相关，即两个变量之间没有线性关系。
二、使用皮尔逊相关性分析的步骤1. 收集数据：收集需要分析的两个变量的数据，并确保数据的准确性和完整性。
2. 计算协方差：根据收集的数据，计算变量X和Y的协方差，使用以下公式：cov(X,Y) = Σ((Xi - X)(Yi - Ȳ)) / (n-1)其中，Xi和Yi表示第i个样本的值，X和Ȳ分别表示变量X和Y 的均值，n表示样本数。
3. 计算标准差：根据收集的数据，计算变量X和Y的标准差，使用以下公式：σX = √(Σ(Xi - X)² / (n-1))σY = √(Σ(Yi - Ȳ)² / (n-1))4. 计算皮尔逊相关系数：将协方差和标准差代入皮尔逊相关系数公式，计算出相关系数r的值。
5. 解释结果：根据计算得到的相关系数r的取值范围，判断变量X 和Y之间的线性关系强度和方向。
如果r接近1或-1，则两个变量呈强相关性；如果r接近0，则两个变量之间呈弱相关性或无相关性。
6. 进一步分析：除了计算相关系数r外，还可以进行假设检验、置信区间估计和相关性显著性检验等统计分析，以更好地理解变量之间的关系。
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2.3.2 两个变量的线性相关一、教学目标重点: 了解最小二乘法和回归分析的思想，根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程．难点：如何通过数学方法刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”，并在此过程中了解最小二乘法思想．知识点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程.能力点：探究体会数形结合的方法及最小二乘法的数学思想.教育点：学生通过合作学习、自主学习和探究式学习的方式完成一个完整的数学学习过程.自主探究点：自学例2.考试点：根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程.易错易混点：如何化简复杂的代数表达式，学生缺乏处理的经验，在计算能力的要求上也较高.拓展点：事件、样本数据、回归直线方程三者关系．二、复习引入【设计意图】为本节课学生能够更好的建构新的知识做好充分的准备，对旧的知识进行简要的提问复习，为能够顺利的完成本节课的内容提供必要的基础．【设计说明】学生动手操作得出散点图回答．【设计意图】通过讨论比较，调动学生的学习积极性和兴趣，活跃课堂气氛．【设计说明】设计该问题，引导学生自己发现问题，鼓励学生大胆表达自己的看法，充分暴露思维过程．发现：图1很乱，两个变量没有相关关系；图2呈上升趋势，图中点的分布呈条状，所有点都落在某一直线的附近，这样由图2自然地引出线性相关、回归直线的概念，同时引入课题．引入：为此我们引入今天的课题-回归直线及其方程．【设计意图】循序渐进，符合学生的认知规律．三、探究新知(一)探索回归直线的概念1.回归直线的定义：如果散点图中的点的分布，从整体上看大致在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．【设计意图】培养自学能力和数学阅读能力．【设计说明】让学生阅读教材，通过阅读教材学习线性相关，回归直线，回归方程的概念，并分析概念中应注意的问题．注意：概念的前提是点的分布在一条直线附近．(二)探索回归直线的找法结合引例—年龄与体内脂肪含量相关性的散点图观察，思考以下问题．问题1.对一组具有线性相关关系的样本数据，你认为其回归直线是一条还是几条？【设计意图】让学生通过观察、分析，自己发现回归直线的条数只有一条，从而培养学生观察、分析问题的能力．问题2.回归直线与散点图中各点的位置应具有怎样的关系？【设计意图】让学生分析两者的关系，教师引导学生发现两者整体上最接近，以进一步培养学生观察、分析问题的能力．问题3.那么在样本数据的散点图中，能否用直尺准确画出回归直线？【设计意图】让学生动手操作画回归直线，建立回归思想，以分解难点、突破难点，培养学生的动手操作能力．问题4.如果能够求出回归方程，那么我们就可以比较清楚的了解年龄与体内脂肪含量的相关性．那么我们应当如何具体求出这个回归方程呢？对于求回归直线方程，你有哪些想法？【设计意图】充分暴露学生的思维过程, 通过讨论比较，调动学生的学习积极性和兴趣，活跃课堂气氛,培养学生动脑思考问题的能力．【设计说明】结合教材，学生会出现以下方案．方案一：采用测量的方法，先画出一条直线，测量出各点与它的距离，然后移动直线，到达一个使距离的和最小的位置，测出此时的斜率和截距，就是回归方程了．如图方案二：在图中选两点作直线，使直线两侧的点的个数基本相同． 如图脂肪含量脂肪含量脂肪含量方案三：如果多取几对点，确定多条直线，再求出这些直线的斜率和截距的平均值作为回归直线的斜率和截距，得回归方程．如图问题5.以上这些方法是不是真的可行？为什么？【设计意图】结合以上三个方案让学生画图，然后教师引导学生讨论、交流方案的可行性，体会回归直线的特征．【设计说明】教师先展示学生画图情况，学生说明理由；然后教师总结回归直线的特征：整体上看散点图中的点到此直线的距离最小．问题6.如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点到此直线的距离小”？【设计意图】这样设疑符合学生的认知规律，增强了学生的求知欲．【设计说明】教师引导学生进行下面的分析：引导学生以等效性和简化计算为目标，将点到直线的距离转化为自变量x 取值一定时，纵坐标的偏差．这样自然引出下面求回归方程的方法． 问题7.结合以上分析，我们认为以“偏差”最小的直线作为回归直线比较恰当，那你能用代数式来刻画“从整体上看，各点与此直线的偏差最小”吗？【设计意图】几何问题代数化，为下一步探究作好准备，经历“几何直观”转化为“代数表达”过程，为引出“最小二乘法”作准备．【设计说明】假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：11(,)x y ，22(,)x y ，，(,)n n x y ．当自变量x 取i x ),,2,1(n i =时，可以得到ˆi y bx a =+),,2,1(n i =，它与实际收集到的i y 之间的偏差（如图）是ˆ()i i i i y yy bx a -=-+),,2,1(n i =．问题8.教师启发学生比较下列三个模型，哪个模型比较可行？ 模型一：1ˆ()nii i yy=-∑最小 模型二：1ˆ||nii i yy =-∑最小 模型三：21ˆ()nii i yy=-∑最小【设计意图】先向学生说明1ni =∑的意义，体会如何选取恰当的计算方法建立回归方程的过程，提高学生分析问题的能力；培养学生的动手操作能力．【设计说明】教师指出：模型一中ˆ()i i y y-可能有正有负，互相抵消怎么办？学生一般会想到加绝对值． 模型二中ˆ||i i y y -去绝对值非常困难（可以提问，让学生思考），是否有其它的方法，同时可以类比方差的处理方法，引导学生思考．师生一起分析后，得出用模型三来制定标准评价一条直线是否为“最好”的直线较为方便． (三) 利用最小二乘法推导回归系数公式问题9.通过对上述问题的分析，我们知道可以用Q =2211ˆ()()nnii i i i i yyy bx a ==-=--∑∑最小来表示偏差最小，那么在这个式子中，当样本点的坐标(,)i i x y 确定时，a ，b 等于多少，Q 能取到最小值呢？【设计意图】体会最小二乘法思想，不经历公式化简无法真正理解其意义，而直接从n 个点的公式化简，教学要求、教学时间、学生能力都没达到这个高度．因而由具体到抽象，由特殊到一般，将是学生顺利完成这一认知过程的一般性原则．通过这个问题，让学生了解这个式子的结构，为后续的学习打下基础，同时渗透最小值的思想．n 个点与相应直线在整体上的接近程度：记Q =21()nii i ybx a =--∑．通过化简，得到的其实是关于a 、b 的二元二次函数求最值的问题，一定存在这样的a 、b ，使Q 取到最小值． 教师指出：(1)在此基础上，视Q 为b 的二次函数时，根据有关数学原理分析，可求出使Q 为最小值时的b 的值的线性回归方程系数公式：1122211()(),().nnii i ii i nniii i xx y y x ynx y b xx xnxa y bx ====⎛--- ==-- =-⎝∑∑∑∑这样，回归方程的斜率为b ，截距为a ，即回归方程为y bx a =+．(2)),(y x 称为样本点的中心，可以证明回归直线一定过样本点的中心，所以可得a y bx =-．最小二乘法：这种通过上式的最小值而得到回归直线的方法，即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．四、理解新知例1.进一步探究引例—年龄与体内脂肪含量【设计意图】公式形式化程度高、表达复杂，通过分解计算，可加深对公式结构的理解．同时，通过例题，反映数据处理的繁杂性，体现计算器处理的优越性．【设计说明】可让学生观察公式，充分讨论，通过计算：i i x y 、n 、x 、y 、1ni ii x y=∑、21nii x=∑六个数据带入回归方程公式得到线性回归方程，体会求线性回归方程的原理与方法．而后教师可偕同学生，对计算器操作方式提供示范，师生共同完成，得出回归直线方程为：0.6541 4.5659y x =-．(2)利用计算器，根据表二，请同学们独立解决求出表中两变量的回归方程．【设计意图】让学生独立体验运用计算器求回归直线方程，在重复求解回归直线的过程中，使学生掌握利用计算器求回归直线的操作方法．得出回归直线方程为：0.57650.4478y x =-．【设计说明】学生独立运用计算器求回归直线方程，对于不会操作的学生，教师给予必要的指导．继续思考下列问题：问题1.请同学们从表格中选取年龄x 的一个值代入上述回归直线的方程，看看得出的数据与真实数值之间的关系．如：x =50时，得出估计值为28.3772，而实际值为28.2，有偏差为什么？【设计意图】使学生理解线性回归方程的真正意义与作用，明确y 只是y 的一个估计值，将x 值带入后肯定有误差．问题2.试预测某人37岁时，他体内的脂肪含量，并说明结果的含义． 【设计意图】进一步理解线性回归方程的真正意义与作用．20.883%？学生思考回答：不能，只能说他体内的脂肪含量在20.90%附近的可能性比较大．问题3.同样问题背景，为什么回归直线不止一条？回归方程求出后，变量间的相关关系是否就转变成确定关系？【设计意图】明确样本的选择影响回归直线方程，体现统计的随机思想．同时，明确其揭示的是相关关系而非函数的确定关系，而且最小二乘法只是某一标准下的一种数据处理方法，使学生更全面的理解回归直线这一核心概念．【设计说明】教师说明回归直线方程由数据唯一决定，提供的数据不同，回归直线方程当然不同，同时回归直线方程又能反映数据的本质． 理解回归系数公式思考1.线性回归方程y bx a =+为何不记为y bx a =+？你能说明对于确定的x ，根据y bx a =+计算出的y 的意义吗？【设计意图】使学生理解线性回归方程的真正意义与作用，明确y 只是y 的一个估计值． 【设计说明】学生思考，教师帮助学生理解线性回归方程的意义与作用．思考2.这个公式不要求记忆，但要会运用这个公式进行运算，那么，要求,b a 的值，你会按怎样的顺序求呢？【设计意图】公式不要求推导，又不要求记忆，学生对这个公式缺少感性的认识，通过这个问题，使学生从感性的层次上对公式有所了解．【设计说明】由于这个公式比较复杂，因此在运用这个公式求,b a 时，必须要有条理，先求什么，再求什么．比如，我们可以按照i i x y 、n 、x 、y 、1ni ii x y=∑、21nii x=∑顺序来求，再代入公式．五、运用新知例2.有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表： 1、画出散点图；2、从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；3、求回归方程；4、如果某天的气温是2摄氏度，预测这天卖出的热饮杯数。