2013年北京高三(一模)数学(理)分类汇编系列二解析版1集合

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【解析分类汇编系列二北京2013(一模)数学理】7立体几何Word版含答案

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】7立体几何1.（2013届北京朝阳区一模理科）（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为A. 4B.C.D. 8 【答案】D由三视图可知，该几何体的为，其中长方体底面为正方形，正方形的边长为2.其中3,1HD BF ==,将相同的两个几何体放在一起，构成一个高为4的长方体，所以该几何体体积为122482⨯⨯⨯=。

2．（2013届北京大兴区一模理科）已知平面βα,，直线n m ,，下列命题中不．正确的是（）A ．若α⊥m ，β⊥m ，则α∥βB ．若m ∥n ，α⊥m ，则α⊥nC ．若m ∥α，n =βα ，则m ∥nD ．若α⊥m ，β⊂m ，则βα⊥．【答案】CC 中，当m ∥α时，m 只和过m 平面与β的交线平行，所以C 不正确。

3.（2013届北京海淀一模理科）设123,,l l l 为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：①i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是直角三角形； ②i i A l ∃∈(1,2,3)i =，使得123A A A ∆是等边三角形；③三条直线上存在四点(1,2,3,4)i A i =，使得四面体1234A A A A 为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体. 其中，所有正确结论的序号是（）A ．①B ．①②C ．①③D ．②③【答案】B我们不妨先将 A 、B 、C 按如图所示放置．容易看出此时 BC ＜AB=AC ．现在，我们将 A 和 B 往上移，并且总保持 AB=AC （这是可以做到的，只要 A 、B 的速度满足一定关系），而当A 、B 移得很高很高时，不难想象△ABC 将会变得很扁，也就是会变成顶角 A“非常钝”的一个等腰钝角三角形．于是，在移动过程中，总有一刻，使△ABC 成为等边三角形，亦总有另一刻，使△ABC 成为直角三角形（而且还是等腰的）．这样，就得到①和②都是正确的．至于③，如图所示为方便书写，称三条两两垂直的棱所共的顶点为⊤．假设 A 是⊤，那么由 AD ⊥AB ，AD ⊥AC 知 L 3⊥△ABC ，从而△ABC 三边的长就是三条直线的距离 4、5、6，这就与 AB ⊥AC 矛盾．同理可知 D 是⊤时也矛盾；假设 C 是⊤，那么由 BC ⊥CA ，BC ⊥CD 知 BC ⊥△CAD ，而 l 1∥△CAD ，故 BC ⊥l 1，从而 BC 为 l 1与 l 2 的距离，于是 EF ∥BC ，EF=BC ，这样就得到 EF ⊥FG ，矛盾．同理可知 B 是⊤时也矛盾．综上，不存在四点A i （i=1，2，3，4），使得四面体A 1A 2A 3A 4为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体．4．（2013届北京市延庆县一模数学理）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）A ．2B ．22C ．3D ．32【答案】D将该几何体放入边长为2的正方体中，由三视图可知该四面体为11D BD C -,由直观图可知，最大的面为1BDC .在等边三角形1BDC 中，BD =,所以面积212S =⨯=，选D.5．（2013届北京西城区一模理科）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为2的正方形，该正三棱柱的表面积是（）A．6+B．12．12+D．24+【答案】C由三视图可知，正三棱柱的高为2，底面边长为2，所以底面积为21222⨯⨯=，（7题图）侧面积为32212⨯⨯=，所以正三棱柱的表面积是12+，选C.6．（2013届北京西城区一模理科）如图，正方体1111ABCD A B C D -中，P 为底面ABCD 上的动点，1PE A C ⊥于E ，且PA PE =，则点P 的轨迹是（）A ．线段B ．圆弧C ．椭圆的一部分D ．抛物线的一部分【答案】A连接1A P ，由题意知1,A A A P ⊥因为1P E A C⊥，且P A P E=，所以11A AP A EP ∆≅∆,所以11=A A A E ，即E 为定点。

【解析分类汇编系列二：北京2013(一模)数学理】4：平面向量 Word版含答案

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】4平面向量1.（2013届北京朝阳区一模理科）（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+.若//AB OC ，则实数m 的值为A ．3-B ．17-C ．35-D ．35【答案】A(3,1)AB OB OA =-=,因为//AB OC ，所以3(1)20m m +-=，解得3m =-，选A.2．（2013届北京海淀一模理科）若向量,a b 满足||||||1==+=a b a b ，则⋅a b 的值为（）A ．12-B ．12C ．1-D ．1【答案】A由题意知a a b =+ ，即2222a a a b b =+⋅+ ，所以2122b a b ⋅=-=- ，选A.3．（2013届东城区一模理科）已知ABCD 为平行四边形，若向量AB = a ，AC =b ，则向量BC为（）A ．-a bB ．a +bC ．-b aD ．--a b【答案】C因为=BC AC AB - ，所以=BC b a -，选C.4．（2013届东城区一模理科）已知向量OA ，AB ，O 是坐标原点，若AB k OA = ，且AB方向是沿OA 的方向绕着A 点按逆时针方向旋转θ角得到的，则称OA经过一次(,)k θ变换得到AB.现有向量=(1,1)OA 经过一次11(,)k θ变换后得到1AA ，1AA 经过一次22(,)k θ变换后得到12A A ，…，如此下去，21n n A A -- 经过一次(,)n n k θ变换后得到1n n A A -.设1(,)n n A A x y -= ，112n n θ-=，1cos n n k θ=，则y x -等于（）A ．1112sin[2()]211sin1sin sin 22n n --- B ．1112sin[2()]211cos1cos cos 22n n --- C ．1112cos[2()]211sin1sin sin 22n n --- D ．1112cos[2()]211cos1cos cos 22n n --- 【答案】B 根据题意，111111111,2cos cos1k θθ-====，所以一次（θ1，k 1）变换就是将向量逆时针旋转1弧度，再将长度伸长为原来的倍，即由逆时针旋转1弧度而得，且=设向量逆时针旋转1弧度，所得的向量为=（x'，y'）则有•=，所以'cos1sin1'sin1cos1x y =-⎧⎨=+⎩，即向量逆时针旋转1弧度，得到向量=（cos1﹣sin1，sin1+cos1），再将的模长度伸长为原来的倍，得到=（cos1﹣sin1，sin1+cos1）=（1﹣，+1）因此当n=1时，=（x ，y ）=（1﹣，+1），即sin11cos1sin11cos1x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，由此可得y ﹣x=+1﹣（1﹣）=。

2013年北京高考数学理科试卷(带详解)

2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学（理）本试卷共5页，150分.考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上答无效．考试结束后，将本卷和答题卡一并交回．第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题．每小题5分，共40分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项．1.已知集合{1,0,1}A =-，{|11}B x x =-<…，则A B = （）A.{0}B.{1,0}-C.{0,1}D.{1,0,1}-【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两个集合求两者交集. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】{－1,0,1} {x |－1…x ＜1}＝{－1,0}．2.在复平面内，复数2(2i)-对应的点位于（） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【测量目标】复数代数形式的四则运算，复平面.【考查方式】给出复数的代数形式先化简再判断该复数对应的点所在的复平面. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】∵(2－i)2＝3－4i ，∴该复数对应的点位于第四象限，故选D.3.“πϕ=”是“sin(2)y x ϕ=+过坐标原点”的（） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件【测量目标】四种命题及其之间的关系.【考查方式】给出两个命题判断其之间的关系. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】∵φ＝π，∴y ＝sin(2x ＋π)＝－sin 2x ， ∴曲线过坐标原点，故充分性成立；（步骤1）∵y ＝sin(2x ＋φ)过原点，∴sin φ＝0，∴φ＝k π，k ∈Z . （步骤2）故必要性不成立．故选A. 4．执行如图所示的程序框图，输出的S 值为（）第4题图 JC93A.1B.23C.1321D.610987【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】阅读题中所给的循环结构的程序框图，运行并得出所需结果. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】依次执行的循环为S ＝1，i ＝0；23S =，i ＝1；1321S =，i ＝2.故选C. 5.函数()f x 的图象向右平移1个单位长度，所得图象与曲线e x y =关于y 轴对称，则()f x =（）A.1ex + B.1ex - C.1ex -+ D.1ex --【测量目标】指数函数的图象及其性质.【考查方式】给出函数的图像进过平移所得与另一函数图像关于轴对称求原函数的解析式. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】依题意，f (x )向右平移1个单位之后得到的函数应为y ＝e x -，于是f (x )相当于y＝e x-向左平移1个单位的结果，∴f (x )＝1ex --，故选D.6.若双曲线22221x y a b-=则其渐近线方程为（）A.2y x =±B.y =C.12y x =±D.2y x =± 【测量目标】双曲线的简单几何性质.【考查方式】已知双曲线的离心率求解双曲线的渐近线方程. 【难易程度】容易【参考答案】Bc ，∴b .∴渐近线方程为by x a=±=，故选B.7.直线l 过抛物线2:4C x y =的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于（）A.43B.2C.83【测量目标】直线与抛物线的位置关系及抛物线的简单几何性质.【考查方式】已知直线与抛物线的位置关系求解直线与抛物线所围面积. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】由题意可知，l 的方程为y ＝1.如图，B 点坐标为(2,1)，∴所求面积S ＝4－2202d 4x x ⎰＝4－3202|12x ⎛⎫ ⎪⎝⎭＝83，故选C.第7题图 JC1008.设关于,x y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点00(,)P x y ，满足0022x y -=，求得m 的取值范围是（） A.4(,)3-∞ B.1(,)3-∞C.2(,)3-∞-D.5(,)3-∞-【测量目标】判断不等式组表示的平面区域.【考查方式】给出一个不等式组求在其所表示的平面区域内的点所满足的方程的未知参数. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】图中阴影部分表示可行域，要求可行域内包含y ＝12x －1上的点，只需要可行域的边界点(－m ，m )在y ＝12x －1下方，也就是m ＜12-m －1，即23m <-.故选C.第8题图 JC101第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分．9.在极坐标系中，点π(2,)6到直线sin 2ρθ=的距离等于_____．【测量目标】极坐标系，点到直线的距离.【考查方式】直接求极坐标系中的点到直线的距离. 【难易程度】中等【参考答案】1【试题解析】在极坐标系中，点π2,6⎛⎫⎪⎝⎭对应直角坐标系中坐标为1)，直线ρsin θ＝2对应直角坐标系中的方程为y ＝2，所以点到直线的距离为1.10.若等比数列{}n a 满足2420a a +=，3540a a +=，则公比q =__________;前n 项n S =_____．【测量目标】等比数列的性质及其前n 项和.【考查方式】已知等比数列中项之间的关系求解其公比与及其前n 项和. 【难易程度】中等【参考答案】2 12n +－2【试题解析】由题意知352440220a a q a a +===+.由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20，∴a 1＝2.∴S n ＝21212n (-)-＝12n +－2.11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，若3PA =，:9:16PD DB =，则PD =__________，AB =__________.第11题图 JC94【测量目标】切割线定理.【考查方式】给出圆与有关该圆的某些直线，运用切割线定理求解线段的长度. 【难易程度】容易【参考答案】954【试题解析】设PD ＝9k ，则DB ＝16k (k ＞0)．由切割线定理可得，P A 2＝PD PB ，即32＝9k 25k ，可得15k =.∴PD ＝95，PB ＝5. 在Rt △APB 中，AB＝4.12.将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人，每人至少1张，如果分给同一人的2张参观券连号，那么不同的分法种数是__________．【测量目标】排列组合的实际应用.【考查方式】运用排列组合的相关性质求解实际问题. 【难易程度】容易【参考答案】96(种)【试题解析】连号有4种情况，从4人中挑一人得到连号参观券，其余可以全排列，则不同的分法有4×1343C A ＝96(种)．13.向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示，若λμ=+c a b (,)λμ∈R ，则λμ=__________．第13题图 JC95【测量目标】平面向量的数量积的综合应用.【考查方式】已知平面向量之间的关系求解未知量. 【难易程度】容易【参考答案】4【试题解析】可设a ＝－i ＋j ，i ，j 为单位向量且i ⊥j ，则b ＝6i ＋2j ，c ＝－i －3j , （步骤1由c ＝λa ＋μb ＝(6μ－λ)i ＋(λ＋2μ)j ，∴6123,μλλμ-=-⎧⎨+=-⎩，解得21.2λμ=-⎧⎪⎨=-⎪⎩，∴4λμ=.（步骤2） 14.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A BC D -中，E 为BC 的中点，点P 在线段1D E 上，点P 到直线1CC 的距离的最小值为__________.第14题图 JC96【测量目标】立体几何体中点到直线的距离.【考查方式】已知几何体中点与线之间的关系求解点到直线的距离. 【难易程度】中等【试题解析】过E 点作EE 1垂直底面A 1B 1C 1D 1，交B 1C 1于点E 1，连接D 1E 1，过P 点作PH 垂直于底面A 1B 1C 1D 1，交D 1E 1于点H ，P 点到直线CC 1的距离就是C 1H ，故当C 1H 垂直于D 1E 1时，P 点到直线CC 1距离最小，此时，在Rt △D 1C 1E 1中，C 1H ⊥D 1E 1，D 1E 1 C 1H ＝C 1D 1C 1E 1，∴C 1H=第14题图 JC97三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15.（本小题共13分）在ABC △中，3a =，b =2B A ∠=∠．（Ⅰ）求cos A 的值；（Ⅱ）求c 的值．【测量目标】正弦定理，解三角形.【考查方式】已知三角形中的角与边运用正弦定理求解未知的角与边. 【难易程度】容易【试题解析】（Ⅰ）因为a ＝3，b =B ＝2∠A ，所以在△ABC 中，由正弦定理得3sin sin 2A A=.所以2sin cos sin 3A A A =.故cos A ＝3（步骤1）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，cos A ＝3sin A 3=.（步骤2）又因为∠B ＝2∠A ，所以cos B ＝2cos 2A －1＝13.所以sin B 3=.（步骤3）在△ABC 中，sin C ＝sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B .所以c ＝sin sin a CA＝5. （步骤4）16.(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月15日中的某一天到达该市，并停留2天．第16题图 JC113（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；（Ⅱ）设X 是此人停留期间空气质量优良的天数，求X 的分布列与数学期望；（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）【测量目标】离散型随机变量的分布列，期望和方差；用样本数字特征估计总体数字特征. 【考查方式】运用概率的相关知识提取实际问题中的关键要素构成分布列求其数学期望并解答.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设i A 表示事件“此人于3月i 日到达该市”(i ＝1,2，…，13)．根据题意，P (i A )＝113，且i j A A ＝∅(i ≠j )．设B 为事件“此人到达当日空气重度污染”，则B ＝58A A . 所以P (B )＝P (58A A )＝P (5A )＋P (8A )＝213.（步骤1）（Ⅱ）由题意可知，X 的所有可能取值为0,1,2，且P (X ＝1)＝()()()()()3671136711413P A A A A P A P A P A P A =+++= ， P (X ＝2)＝()()()()()121213121213413P A A A A P A P A P A P A =+++=P (X ＝0)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝2)＝513.所以X 的分布列为：2）故X 的期望EX ＝0×513＋1×413＋2×413＝1213.（步骤3）（Ⅲ）从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大．17.（本小题共14分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，11AAC C 是边长为4的正方形．平面ABC ⊥平面11AAC C ，3AB =，5BC =．（Ⅰ）求证：1AA ⊥平面ABC ；（Ⅱ）求二面角111A BC B --的余弦值；（Ⅲ）证明：在线段1BC 上存在点D ，使得1AD A B ⊥，并求1BDBC 的值．第17题图 JC98【测量目标】线面垂直，异面直线所成的角，线线垂直的判断.【考查方式】运用线面垂直的相关判定求解线面垂直与异面直线所成的角. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）因为11AAC C 为正方形，所以1AA AC ⊥. 因为平面ABC ⊥平面11AAC C ，且1AA 垂直于这两个平面的交线AC ，所以1AA ⊥平面ABC . （步骤1）（Ⅱ）由(1)知1AA ⊥AC ，1AA ⊥AB .由题知AB ＝3，BC ＝5，AC ＝4，所以AB ⊥AC . （步骤2）如图，以A 为原点建立空间直角坐标系A －xyz ，则B (0,3,0)，1A (0,0,4)，1B (0,3,4)，1C (4,0,4)．设平面11A BC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则1110,0,A B A C ⎧=⎪⎨=⎪⎩ n n 即340,40.y z x -=⎧⎨=⎩ 令z ＝3，则x ＝0，y ＝4，所以n ＝(0,4,3)．同理可得，平面11B BC 的法向量为m ＝(3,4,0)．（步骤3）所以cos 〈n ，m 〉＝16||||25= n m n m .（步骤4）由题知二面角111A BC B --为锐角，所以二面角111A BCB --的余弦值为1625.（步骤5）第17题（Ⅱ）图 JC99（Ⅲ）设D (x ，y ，z )是直线1BC 上一点，且BD ＝λ1BC ，所以(x ，y －3，z )＝λ (4，－3,4)．解得x ＝4λ，y ＝3－3λ，z ＝4λ.所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)．（步骤6）由AD 1A B ＝0，即9－25λ＝0，解得925λ=. 因为925∈[0,1]，所以在线段1BC 上存在点D ，使得AD ⊥1A B .此时，1925BD BC λ==.（步骤7） 18.（本小题共13分）设l 为曲线ln :xC y x=在点(1,0)处的切线．（Ⅰ）求l 的方程；（Ⅱ）证明：除切点(1,0)之外，曲线C 在直线l 的下方．【测量目标】利用导数求直线方程，导数的几何意义.【考查方式】已知直线是另一曲线在某点处的切线，求解直线方程. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）设()ln x f x x =，则()21ln xf x x -'=.所以()11f '=. 所以l 的方程为y ＝x －1.（步骤1）（Ⅱ）令g (x )＝x －1－f (x )，则除切点之外，曲线C 在直线l 的下方等价于g (x )＞0(∀x ＞0，x ≠1)．（步骤2）g (x )满足g (1)＝0，且()g x '＝1－()f x '＝221ln x x x -+.当0＜x ＜1时，2x －1＜0，ln x ＜0，所以()g x '＜0，故g (x )单调递减；当x ＞1时，2x －1＞0，ln x ＞0，所以()g x '＞0，故g (x )单调递增．所以，g (x )＞g (1)＝0(∀x ＞0，x ≠1)．（步骤3）所以除切点之外，曲线C 在直线l 的下方．（步骤4）19.（本小题共14分）已知A ，B ，C 是椭圆22:14x W y +=上的三个点， O 为坐标原点．（Ⅰ）当点B 是W 的右顶点，且四边形OABC 为菱形时，求此菱形的面积；（Ⅱ）当点B 不是W 的顶点时，判断四边形OABC 是否可能为菱形，并说明理由．【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】已知椭圆的基本量，利用椭圆的简单几何性质判定椭圆内四边形是否存在以及其面积的求解. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）椭圆W ：24x ＋y 2＝1的右顶点B 的坐标为(2,0)．因为四边形OABC 为菱形，所以AC 与OB 相互垂直平分．所以可设A (1，m )，代入椭圆方程得14＋m 2＝1，即m＝±（步骤1）所以菱形OABC 的面积是12OB AC ＝12×2×2m （步骤2）（Ⅱ）假设四边形OABC 为菱形．因为点B 不是W 的顶点，且直线AC 不过原点，所以可设AC 的方程为y ＝kx ＋m (k ≠0，m ≠0)．（步骤3）由2244,x y y kx m⎧+=⎨=+⎩消y 并整理得()2214k x +＋8kmx ＋24m －4＝0. 设()()1122,,,A x y C x y ，则1224214x x km k +=-+，121222214y y x x mk m k++=+=+ . 所以AC 的中点为M 224,1414kmm k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭.（步骤4）因为M 为AC 和OB 的交点，所以直线OB 的斜率为14k-.因为k 14k ⎛⎫- ⎪⎝⎭≠－1，所以AC 与OB 不垂直．所以OABC 不是菱形，与假设矛盾．所以当点B 不是W 的顶点时，四边形OABC 不可能是菱形．（步骤5）20.（本小题共13分）已知{}n a 是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，第n 项之后各项12,,n n a a ++⋅⋅⋅的最小值记为n B ，n n n d A B =-．（Ⅰ）若{}n a 为2,1,4,3,2,1,4,3,⋅⋅⋅，是一个周期为4的数列，（即对任意n *∈N ，4n n a a +=），写出1d ，2d ，3d ，4d 的值；（Ⅱ）设d 是非负整数，证明：n d d =-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅的充分必要条件为{}n a 是公差为d 的等差数列．（Ⅲ）证明：若12a =，1n d =(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，则{}n a 的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．【测量目标】数列的综合运用，数列的性质.【考查方式】给出一个数列，运用其相关性质求解未知数. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）1d ＝2d ＝1，3d ＝4d ＝3.（步骤1）（Ⅱ）(充分性)因为{}n a 是公差为d 的等差数列，且d …0，所以12n a a a ……剟.剟因此1,,n n n n A a B a +==，1n n n d a a +=- ＝－d (n ＝1,2,3，…)．（步骤2） (必要性)因为n d ＝－d …0(n ＝1,2,3，…)，所以n n n n A B d B =+….（步骤3）又因为1,,n n n n a A a B +剠所以1n n a a +….于是1,n n n n A a B a +==，因此1n n n n n a a B A d d +-=-=-=，即{}n a 是公差为d 的等差数列．（步骤4）（Ⅲ）因为112,1a d ==，所以111112,1A a B A d ===-=. 故对任意11,1n n a B =厖.（步骤5）假设{}n a (n …2)中存在大于2的项．设m 为满足m a ＞2的最小正整数，则m …2，并且对任意1…k ＜m ，2k a ….（步骤6）又因为12a =，所以12,m A -=2m m A a =>. 于是m m m B A d =-＞2－1＝1，{}1min ,2m m m B a B -=…. 故111220m m m d A B ---=--=…，与1m d -＝1矛盾．所以对于任意1n …，有2n a …，即非负整数列{}n a 的各项只能为1或2. （步骤7）因为对任意1n …，2n a …＝1a ，所以2n A =.（步骤8）故211n n n B A d =-=-=.因此对于任意正整数n ，存在m 满足m ＞n ，且1m a =，即数列{}n a 有无穷多项为1. （步骤9）。

北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题：概率(含答案)

北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：概率一、选择题1 ．（2013届北京大兴区一模理科）若实数,a b 满足221a b +≤，则关于x 的方程220x x a b -++=有实数根的概率是（）A ．14 B ．34C ．3π24π+ D ．π24π- 2 ．（2013届东城区一模理科）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于12，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于14，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于14且小于12，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为（）A ．316B ．14C ．34D ．1163 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）将正整数1,2,3,4,5,6,7随机分成两组，使得每组至少有一个数，则两组中各数之和相等的概率是（）A ．221B ．463C ．121 D ．2634 ．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学理试题）从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，则恰有一个红球的概率是（）A ．13B ．12C ．23D ．565 ．（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题）设不等式组22,42x y x y -+≥≥-⎧⎪⎨⎪⎩0≤，表示的平面区域为D ．在区域D 内随机取一个点，则此点到直线+2=0y 的距离大于2的概率是（）A ．413B ．513C ．825D ．925二、填空题6 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）已知随机变量X 的分布列如下，则EX 的值等于7 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）已知区域1,{(,)0,}1,y x x y y x ≤+⎧⎪Ω=≥⎨⎪≤⎩，1,{(,)}0,y x M x y y ⎧≤-+⎪=⎨≥⎪⎩，向区域Ω内随机投一点P ，点P 落在区域M 内的概率为 .三、解答题8 ．（2013届北京大兴区一模理科）期末考试结束后，随机抽查了某校高三(1)班5名同学的数学与物理成绩，如下表：（1）分别求这5名同学数学与物理成绩的平均分与方差，并估计该班数学与物理成绩那科更稳定。

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学理试题(北京卷,含答案)

2013北京高考理科数学试题第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题。

每小题5分，共40分。

在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。

1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( )A.{0}B.{－1，0}C.{0，1}D.{－1,0,1}2.在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( )A.第一象限B. 第二象限C.第三象限D. 第四象限3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x ＋φ)过坐标原点的”A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件4.执行如图所示的程序框图，输出的S 值为 A.1 B.23 C.1321D.610987 5.函数f (x )的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y =e x 关于y 轴对称，则f (x )=A.1e x +B. 1e x -C. 1e x -+D. 1e x --6.若双曲线22221x y a b-=3 A.y =±2x B.y =2x C.12y x =± D.22y x =± 7.直线l 过抛物线C :x 2=4y 的焦点且与y 轴垂直，则l 与C 所围成的图形的面积等于 A.43B.2C.83D.1623 8.设关于x ,y 的不等式组210,0,0x y x m y m -+>⎧⎪+<⎨⎪->⎩表示的平面区域内存在点P (x 0，y 0)满足x 0－2y 0=2，求得m的取值范围是A.4,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ B. 1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ C. 2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ D. 5,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6题，每小题5分，共30分.9.在极坐标系中，点(2，6π)到直线ρsin θ=2的距离等于 10.若等比数列{a n }满足a 2＋a 4=20，a 3＋a 5=40，则公比q = ；前n 项和S n = . 11.如图，AB 为圆O 的直径，PA 为圆O 的切线，PB 与圆O 相交于D ，PA=3，916PD DB =，则PD= ，AB= .12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4人，每人至少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那么不同的分法种数是 .13.向量a ，b ，c 在正方形网格中的位置如图所示，若c =λa ＋μb (λ，μ∈R ) ，则λμ=14.如图，在棱长为2的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为BC 的中点，点P 在线段D 1E 上，点P 到直线CC 1的距离的最小值为 .三、解答题共6小题，共80分。

1北京市东城区2013届高考一模数学理试题(WORD解析版) 2

2013年北京市东城区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）（2013•东城区一模）已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，那么集合∁U A为（）A．{3} B．{3，4} C．{1，2} D．{2，3}考点：补集及其运算．专题：计算题．分析：直接利用补集的定义，求出A的补集即可．解答：解：因为全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，那么集合∁U A={3，4}．故选B．点评：本题考查补集的运算，补集的定义，考查基本知识的应用．2．（5分）（2013•东城区一模）已知ABCD为平行四边形，若向量，，则向量为（）A．﹣B．+C．﹣D．﹣﹣考点：平面向量的基本定理及其意义．专题：平面向量及应用．分析：如图所示，利用向量的减法法则即可得出．解答：解：如图所示，由向量的减法法则可得：==．故选C．点评：熟练掌握向量的减法法则是解题的关键．3．（5分）（2013•东城区一模）已知圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，那么该圆圆心到直线（t为参数）的距离为（）A．B．C．D．考点：直线与圆的位置关系．专题：直线与圆．分析：求出圆心和半径，把直线的参数方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离．解答：解：∵圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2=4，故圆心坐标为（1，2），把直线（t为参数）消去参数t，化为直角坐标方程为x﹣y﹣2=0，故圆心到直线的距离为=，故选C．点评：本题主要考查圆的标准方程、把直线的参数方程化为直角坐标方程，以及点到直线的距离公式的应用，属于中档题．4．（5分）（2013•东城区一模）某游戏规则如下：随机地往半径为1的圆内投掷飞标，若飞标到圆心的距离大于，则成绩为及格；若飞标到圆心的距离小于，则成绩为优秀；若飞标到圆心的距离大于且小于，则成绩为良好，那么在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为（）A．B．C．D．考点：几何概型．专题：概率与统计．分析：根据题意，计算可得圆的面积为π，成绩为良好时，点到圆心的距离大于且小于的面积，由几何概型求概率即可．解答：解：圆的面积为π，点到圆心的距离大于且小于的面积为π﹣π=π，由几何概型得在所有投掷到圆内的飞标中得到成绩为良好的概率为P==故选A．点评：本小题主要考查几何概型等基础知识，简单地说，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型．属于中档题．5．（5分）（2013•东城区一模）已知数列{a n}中，a1=2，a n+1﹣2a n=0，b n=log2a n，那么数列{b n}的前10项和等于（）A．130 B．120 C．55 D．50考点：数列递推式；数列的求和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题意可得，可得数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的通项公式即可得到a n，利用对数的运算法则即可得到b n，再利用等差数列的前n项公式即可得出．解答：解：在数列{a n}中，a1=2，a n+1﹣2a n=0，即，∴数列{a n}是以2为首项，2为公比的等比数列，∴=2n．∴=n．∴数列{b n}的前10项和=1+2+…+10==55．故选C．点评：熟练掌握等比数列的定义、等比数列的通项公式、对数的运算法则、等差数列的前n项公式即可得出．6．（5分）（2013•东城区一模）已知F1（﹣c，0），F2（c，0）分别是双曲线C1：（a＞0，b＞0）的两个焦点，双曲线C1和圆C2：x2+y2=c2的一个交点为P，且2∠PF1F2=∠PF2F1，那么双曲线C1的离心率为（）A．B．C．2D．考点：双曲线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：如图所示，利用圆的性质可得，再利用2∠PF1F2=∠PF2F1，得到．利用直角三角形的边角关系即可得到|PF2|=c，．再利用双曲线的定义及离心率的计算公式即可得出．解答：解：如图所示，由题意可得，。

北京市2013届高三数学理试题分类汇编(含9区一模及上学期期末试题)专题：不等式(含答案)

北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：不等式一、选择题1 ．（2013届北京丰台区一模理科）已知变量,x y 满足约束条件1101x y x x y +≤⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2x ye +的最大值是（）A ．3eB ．2eC ．1D ．4e -2 ．（2013届北京丰台区一模理科）已知,a Z ∈关于x 的一元二次不等式260x x a -+≤的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a 的值之和是（）A ．13B ．18C ．21D ．263 ．（2013届北京海滨一模理科）不等式组1,40,0x x y kx y ≥⎧⎪+-≤⎨⎪-≤⎩表示面积为1的直角三角形区域，则k 的值为Ａ.2-B ．1-C ．0D ．14 ．（2013届门头沟区一模理科）定义在 R 上的函数()y f x =是减函数，且函数(2)y f x =+的图象关于点(2,0)-成中心对称，若,s t 满足不等式组()(2)0()0f t f s f t s +-≤⎧⎨-≥⎩，则当23s ≤≤时，2s t +的取值范围是（）A ．[3,4] (B) [3,9] (C) [4,6] D ．[4,9]5 ．（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题）已知2,,z x y x y =+满足2y xx y x m ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，且z 的最大值是最小值的4倍，则m 的值是（）A ．14B ．15C ．16D ．176 ．（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题）设0,0.a b >>若1133a b a b+与的等比中项，则的最小值为（）A ．8B ．4C ．1D ．147 ．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知x ，y 满足不等式组0,0,,2 4.x y x y s y x ≥⎧⎪≥⎪⎨+≤⎪⎪+≤⎩当35s ≤≤时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是（）A ．[6,15]B ．[7,15]C ．[6,8]D ．[7,8]8 ．（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）已知,a b 是正数，且满足224a b <+<．那么22a b+的取值范围是（）A ．416(,)55 B ．4(,16)5C ．(1,16)D ．16(,4)59 ．（北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析））设不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≥-≥-≤+01,0,4x x y y x 表示的平面区域为D .若圆()()22211:r y x C =+++ ()0>r 不经过区域D 上的点,则r 的取值范围是（）A ．[]52,22B ．(]23,22C ．(]52,23D ．()()+∞⋃,5222,0二、填空题10．（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价%p ,第二次提价%q ；方案乙：每次都提价%2p q+，若0p q >>，则提价多的方案是 . 11．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知点(2,)P t 在不等式组40,30x y x y --≤⎧⎨+-≤⎩表示的平面区域内，则点(2,)P t 到直线34100x y ++=距离的最大值为____________．12．（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知0,(,20x x y y xk x y k ≥⎧⎪≤⎨⎪++≤⎩满足为常数）若y x z 3+=的最大值为8，则k=_____13．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题）已知,x y 满足约束条件24,2400x y x y x y +≤⎧⎪+≤⎨⎪≥≥⎩，，则z x y=+的最大值为14．（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题）若10x +>，则11x x ++的最小值为． 15．（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知直线y x b =+与平面区域C:||2,||2x y ≤⎧⎨≤⎩的边界交于A ，B两点，若AB ≥，则b 的取值范围是________.16．（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题）若关于x ，y 的不等式组0, , 10x y x kx y ⎧⎪⎨⎪-+⎩………（k是常数）所表示的平面区域的边界是一个直角三角形，则k = .17．（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题）点(,)P x y 在不等式组 0,3,1x x y y x ≥⎧⎪+≤⎨⎪≥+⎩表示的平面区域内，若点(,)P x y 到直线1y kx =-的最大距离为___.k =18．（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）已知不等式组y x y x x a ≤⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，，表示的平面区域S的面积为4，则=a ；若点S y x P ∈),(，则y x z +=2 的最大值为 .19．（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题）某汽车运输公司，购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析每辆客车运营前n *()n ∈N 年的总利润n S （单位：万元）与n 之间的关系为2(6)11n S n =--+.当每辆客车运营的平均利润最大时， n 的值为 .三、解答题20．（2013届北京市延庆县一模数学理）A 是由定义在]4,2[上且满足如下条件的函数)(x ϕ组成的集合：(1)对任意]2,1[∈x ，都有)2,1()2(∈x ϕ ；(2)存在常数)10(<<L L ，使得对任意的]2,1[,21∈x x ，都有-)2(|1x ϕ|)2(2x ϕ||21x x L -≤.(Ⅰ)设]4,2[,1)(3∈+=x x x ϕ，证明：A x ∈)(ϕ；(Ⅱ)设A x ∈)(ϕ，如果存在)2,1(0∈x ，使得)2(00x x ϕ=，那么这样的0x 是唯一的；(Ⅲ)设A x ∈)(ϕ，任取)2,1(∈n x ，令,,2,1),2(1⋅⋅⋅==+n x x n n ϕ证明:给定正整数k ,对任意的正整数p ,不等式||1||121x x LL x x k k p k --≤--+成立.北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：不等式参考答案一、选择题 1. B 2. C 3. D 4. D 5. A 6. B7. 【答案】D解：，当3s =时，对应的平面区域为阴影部分，由y x z 23+=得322z y x =-+，平移直线由图象可知当直线经过点C 时，直线322z y x =-+的截距最大，此时3,24x y y x +=⎧⎨+=⎩解得12x y =⎧⎨=⎩，即(1,2)C ，代入y x z 23+=得7z =。

2013年高考真题理科数学分类汇编(解析版)1：集合

A．14 B．13 C．12 D．10
【答案】B
【解析】方程有实数解，分析讨论
①当时，很显然为垂直于x轴的直线方程，有解．此时可以取4个值．故有4种有序数对
②当时，需要，即．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．
共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．
A.-2i B.2i C.-4i D.4i
8、（2013年高考（辽宁卷））已知集合
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由集合A，；所以
9、（2013年高考（山东卷））设集合A={0,1,2},则集合B={x-y|x∈A, y∈A }中元素的个数是( )
A. 1 B.3 C. 5 D.9
【答案】C
3、（2013年高考（北京卷））1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1}，则A∩B= ( )
A.{0} B.{－1，0}
C.{0，1} D.{－1,0,1}
【答案】B
【解析】因为集合A的元素为整数，集合B中整数有－1,0，所以选B。
4、（2013年高考（福建卷））满足，且关于x的方程有实数解的有序数对的个数为（）
【命题意图】本题考查集合的运算，属于容易题
【答案解析】C因为(RS)={x|x≤−2}，T={x|−4≤x≤1}，所以(RS)∪T=(−∞，1].
17、（2013年高考（重庆卷））已知全集，集合，，则（）
A、 B、 C、 D、
【答案】：D
1.18、（2013年高考（江苏卷））集合共有▲个子集.
A、A∩B=B、A∪B=RC、B⊆AD、A⊆B
【命题意图】本题主要考查一元二次不等式解法、集合运算及集合间关系，是容易题.

2013北京朝阳高考一模数学理(含解析)

北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试（理工类）2013．4第一部分（选择题共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．（1）i 为虚数单位，复数11i-的虚部是（）． A ．12B ．12-C ．1i 2-D ． 1i 2（2）已知集合{}23M x x =-<<，{}lg(2)0N x x =+≥，则MN =（）．A ． (2,)-+∞B ． (2,3)-C ． (2,1]--D ． [1,3)-（3）已知向量()()3,4,6,3OA OB =-=-，()2,1OC m m =+．若//AB OC ，则实数m 的值为（）． A ．3- B ．17- C ．35- D ．35（4）在极坐标系中，直线1cos 2ρθ=与曲线2cos ρθ=相交于,A B 两点, O 为极点，则AOB ∠的大小为（）．A ．3πB ．2πC ．32πD ．65π（5）在下列命题中，①“2απ=”是“sin 1α=”的充要条件； ②341()2x x+的展开式中的常数项为2；③设随机变量ξ～(0,1)N ,若(1)P p ξ≥=，则1(10)2P p ξ-<<=-．其中所有正确命题的序号是（）． A ．② B ．③ C ．②③ D ．①③（6）某个长方体被一个平面所截，得到的几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为（）．A ． 4B ． 42C ． 62D ． 82222 １１１正视图侧视图俯视图D B CO A （7）抛物线22y px =（p ＞0）的焦点为F ，已知点A ，B 为抛物线上的两个动点，且满足120AFB ∠=︒．过弦AB 的中点M 作抛物线准线的垂线MN ，垂足为N ，则||||MN AB 的最大值为（）． A ． 33 B ． 1 C ． 233D ． 2（8）已知函数*()21,f x x x =+∈N ．若*0,x n ∃∈N ，使000()(1)()63f x f x f x n +++++=成立，则称0(,)x n 为函数()f x 的一个“生成点”．函数()f x 的“生成点”共有（）．A ． 1个B ．2个C ．3个D ．4个第二部分（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在答题卡上．（9）在等比数列{}n a 中，32420a a a -=，则3a = ，{}n b 为等差数列，且33b a =，则数列{}n b 的前5项和等于．（10）在ABC ∆中， a ，b ，c 分别为角A ， B ，C 所对的边．已知角A 为锐角，且3sin b a B =,则tan A = ．（11）执行如图所示的程序框图，输出的结果S= ．（12）如图，圆O 是ABC ∆的外接圆，过点C 作圆O 的切线交BA 的延长线于点D ．若3CD =， 2AB AC ==，则线段AD 的长是；圆O 的半径是．（13）函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足 (2)()f x f x +=．当[0,1]x ∈时，()2f x x =．若在区间[2,3]-上方程2()0ax a f x +-=恰有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是．（14）在平面直角坐标系xOy 中，已知点A 是半圆2240x x y -+=（2≤x ≤4）上的一个动点，点C 在线段OA 的延长线上．当20OA OC ⋅=时，则点C 的纵坐标的取值范围是．开始 i=0 S=0 S=S+2i-1 i ≥6 输出S结束是 i=i+2 否三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．（15）（本小题满分13分）已知函数231()sin sin 222x f x x ωω=-+（0ω>）的最小正周期为π．（Ⅰ）求ω的值及函数()f x 的单调递增区间；（Ⅱ）当[0,]2x π∈时，求函数()f x 的取值范围．（16）（本小题满分13分）盒子中装有四张大小形状均相同的卡片，卡片上分别标有数字1,01-，,2．称“从盒中随机抽取一张，记下卡片上的数字后并放回”为一次试验（设每次试验的结果互不影响）．（Ⅰ）在一次试验中，求卡片上的数字为正数的概率；（Ⅱ）在四次试验中，求至少有两次卡片上的数字都为正数的概率；（Ⅲ）在两次试验中，记卡片上的数字分别为ξη，，试求随机变量=X ξη⋅的分布列与数学期望EX ．PDABCFE（17）（本小题满分14分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAC ⊥平面ABCD ，且PA AC ⊥， 2PA AD ==．四边形ABCD 满足BC AD ，AB AD ⊥，1AB BC ==．点,E F 分别为侧棱,PB PC 上的点，且PE PFPB PCλ==．（Ⅰ）求证：EF 平面PAD ；（Ⅱ）当12λ=时，求异面直线BF 与CD 所成角的余弦值；（Ⅲ）是否存在实数λ，使得平面AFD ⊥平面PCD ？若存在，试求出λ的值；若不存在，请说明理由．（18）（本小题满分13分）已知函数2()(2)ln 22f x x a x a x a =-++++，其中2a ≤．（Ⅰ）求函数()f x 的单调区间；（Ⅱ）若函数()f x 在(]0,2上有且只有一个零点，求实数a 的取值范围．（19）（本小题满分14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C过点3(1,)2,离心率为32，点A为其右顶点．过点(10)B，作直线l与椭圆C相交于,E F两点，直线AE，AF与直线3x=分别交于点M，N．（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）求EM FN⋅的取值范围．（20）（本小题满分13分）设1210(,,,)x x x τ=是数1,2,3,4,5,6,7,8,9,1的任意一个全排列，定义1011()|23|k k k S x x τ+==-∑，其中111x x =．（Ⅰ）若(10,9,8,7,6,5,4,3,2,1)τ=，求()S τ的值；（Ⅱ）求()S τ的最大值；（Ⅲ）求使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数．北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试答案（理工类）2013．4一、选择题：题号（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）答案 ADACCDAB二、填空题：题号（9）（10）（11）（12）（13）（14）答案2，1024201,222(,)53[5,5]-（注：两空的填空，第一空3分，第二空2分）三、解答题：（15）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）31cos 1()sin 222x f x x ωω-=-+ 31sin cos 22x x ωω=+ sin()6x ωπ=+． …………………………………………4分因为()f x 最小正周期为π，所以2ω=． ………………………………6分所以()sin(2)6f x x π=+．由222262k x k ππππ-≤+≤π+，k ∈Z ，得36k x k πππ-≤≤π+．所以函数()f x 的单调递增区间为[,36k k πππ-π+]，k ∈Z ． ………………8分（Ⅱ）因为[0,]2x π∈，所以72[,]666x πππ+∈， …………………………………10分所以1sin(2)126x π-≤+≤． ………………………………………12分所以函数()f x 在[0,]2π上的取值范围是[1,12-]． ……………………………13分（16）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）设事件A ：在一次试验中，卡片上的数字为正数，则 21()42P A ==．答：在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．…………………………3分（Ⅱ）设事件B ：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数．由（Ⅰ）可知在一次试验中，卡片上的数字为正数的概率是12．所以0041344111111()1[()()()]222216P B C C =-⋅+⋅=．答：在四次试验中，至少有两次卡片上的数字都为正数的概率为1116．……………7分（Ⅲ）由题意可知，ξη，的可能取值为1,01-，,2，所以随机变量X 的可能取值为2,101,--，，,24． 21(2)448P X=-==⨯； 21(1)448P X=-==⨯； 77(0)4416P X===⨯； 21(=1)448P X ==⨯； 21(=2)448P X ==⨯； 11(=4)4416P X ==⨯．所以随机变量X 的分布列为X 2- 1- 0 1 2 4P 18 18 716 18 18 116所以1171111()2101881688164E X =-⨯-⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=24．……………………13分（17）（本小题满分14分）证明：（Ⅰ）由已知，PE PFPB PCλ==，所以 EF BC ．因为BC AD ，所以EFAD ．而EF ⊄平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，所以EF平面PAD ． ……………………………………………………4分（Ⅱ）因为平面ABCD ⊥平面PAC ，平面ABCD平面PAC AC =，且PA AC ⊥，所以PA ⊥平面ABCD ．所以PA AB ⊥，PA AD ⊥．又因为AB AD ⊥，所以,,PA AB AD 两两垂直． ……………………………………………………5分如图所示，建立空间直角坐标系，因为1AB BC ==，2PA AD ==，所以()()0,0,01,0,0,A B ,()()()1,1,0,0,2,0,0,0,2C D P ．当12λ=时，F 为PC 中点，所以11(,,1)22F ,所以11(,,1),(1,1,0)22BF CD =-=-．设异面直线BF 与CD 所成的角为θ，所以11|(,,1)(1,1,0)|322cos |cos ,|3111244BF CD θ-⋅-=〈〉==++⨯，所以异面直线BF 与CD 所成角的余弦值为33．…………………………………9分（Ⅲ）设000(,,)F x y z ，则000(,,2),(1,1,2)PF x y z PC =-=-．由已知PF PC λ=，所以000(,,2)(1,1,2)x y z λ-=-，所以000,,22.x y z λλλ=⎧⎪=⎨⎪=-⎩ 所以(,,22)AF λλλ=-．设平面AFD 的一个法向量为1111(,,)x y z =n ，因为()0,2,0AD =,所以110,0.AF AD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即1111(22)0,20.x y z y λλλ++-=⎧⎨=⎩ 令1z λ=，得1(22,0,)λλn =-．设平面PCD 的一个法向量为2222(,,)x y z =n ，因为()()0,2,2,1,1,0PD CD =-=-,所以220,0.PD CD n n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 即2222220,0. y z x y -=⎧⎨-+=⎩ 令21x =，则2(1,1,1)=n ．PDAB CFExyxz x若平面AFD ⊥平面PCD ，则120n n ⋅=，所以(22)0λλ-+=，解得23λ=．所以当23λ=时，平面AFD ⊥平面PCD ．…………………………………………14分（18）（本小题满分1 3分）解：函数定义域为{|0}x x >，且(2)(1)'()2(2)a x a x f x x a x x--=-++=…………2分 ①当0a ≤，即02a≤时，令()0f x '<，得01x <<，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，令()0f x '>，得1x >，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞．②当012a <<，即02a <<时，令()0f x '>，得02ax <<或1x >，函数()f x 的单调递增区间为(0,)2a，(1,)+∞．令()0f x '<，得12a x <<，函数()f x 的单调递减区间为(,1)2a．③当12a=，即2a =时，()0f x '≥恒成立，函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞． …7分（Ⅱ）①当0a ≤时，由（Ⅰ）可知，函数()f x 的单调递减区间为(0,1)，()f x 在(1,2]单调递增．所以()f x 在(0,2]上的最小值为(1)1f a =+，由于22422221121()2(1)10e e e e e e a a f =--+=--+>，要使()f x 在(0,2]上有且只有一个零点，需满足(1)0f =或(1)0,(2)0,f f <⎧⎨<⎩解得1a =-或2ln 2a <-．②当02a <≤时，由（Ⅰ）可知，（ⅰ）当2a =时，函数()f x 在(0,2]上单调递增；且48414(e )20,(2)22ln 20e e f f -=--<=+>，所以()f x 在(]0,2上有且只有一个零点．（ⅱ）当02a <<时，函数()f x 在(,1)2a上单调递减，在(1,2]上单调递增；又因为(1)10f a =+>，所以当(,2]2ax ∈时，总有()0f x >．因为22-e 12a aa +<<+，所以22222222(e)e[e(2)](ln e22)0a a a a aaaaf a a a ++++----=-++++<．所以在区间(0,)2a 内必有零点．又因为()f x 在(0,)2a内单调递增，从而当02a <≤时，()f x 在(]0,2上有且只有一个零点．综上所述，02a <≤或2ln 2a <-或1a =-时，()f x 在(0,2]上有且只有一个零点． …………………………………………………………………………………………13分（19）（本小题满分14分）解：（Ⅰ）设椭圆的方程为()222210x y a b a b+=>>，依题意得22222,3,21314a b c c a a b ⎧=+⎪⎪⎪=⎨⎪⎪+=⎪⎩解得24a =，21b =．所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ………………………………………………4分（Ⅱ）显然点(2,0)A ．（1）当直线l 的斜率不存在时，不妨设点E 在x 轴上方，易得33(1,),(1,)22E F -，33(3,),(3,)22M N -，所以1EM FN ⋅=． …………………………………………6分（2）当直线l 的斜率存在时，由题意可设直线l 的方程为(1)y k x =-，显然0k =时，不符合题意．由22(1),440y k x x y =-⎧⎨+-=⎩得2222(41)8440k x k x k +-+-=．设1122(,),(,)E x y F x y ,则22121222844,4141k k x x x x k k -+==++．直线AE ，AF 的方程分别为：1212(2),(2)22y y y x y x x x =-=---，令3x =，则1212(3,),(3,)22y yM N x x --．所以1111(3)(3,)2y x EM x x -=--，2222(3)(3,)2y x FN x x -=--． ……………………10分所以11221212(3)(3)(3)(3)22y x y x EM FN x x x x --⋅=--+⋅--121212(3)(3)(1)(2)(2)y y x x x x =--+--2121212(1)(1)(3)(3)(1)(2)(2)x x x x k x x --=--+⋅--2121212121212()1[3()9][1]2()4x x x x x x x x k x x x x -++=-++⨯+⋅-++222222222222244814484141(39)(1)4484141244141k k k k k k k k k k k k k --+-++=-⋅+⋅+⋅-++-⋅+++ 22221653()(1)414k k k k+-=⋅++ 22216511164164k k k +==+++． ……………………………………………12分因为20k >，所以21644k +>，所以22165511644k k +<<+，即5(1,)4EM FN ⋅∈．综上所述，EM FN ⋅的取值范围是5[1,)4． ……………………………………14分（20）（本小题满分13分）解：（Ⅰ）1011()|23|7654321012857kk k S xx τ+==-=+++++++++=∑． ……3分（Ⅱ）数10,9,8,7,6,5,4,3,2,1的2倍与3倍分别如下：20,18,16,14,12,10,8,6,4,2, 30,27,24,21,18,15,12,9,6,3其中较大的十个数之和与较小的十个数之和的差为20372131-=，所以()131S τ≤．对于排列0(1,5,6,7,2,8,3,9,4,10)τ=，此时0()131S τ=，所以()S τ的最大值为131． ……………………………………………………………8分（Ⅲ）由于数1,2,3,4所产生的8个数都是较小的数，而数7,8,9,10所产生的8个数都是较大的数，所以使()S τ取最大值的排列中，必须保证数1,2,3,4互不相邻，数7,8,9,10也互不相邻；而数5和6既不能排在7,8,9,10之一的后面，又不能排在1,2,3,4之一的前面．设11x =，并参照下面的符号排列1△○□△○□△○□△○其中2,3,4任意填入3个□中，有6种不同的填法；7,8,9,10任意填入4个圆圈○中，共有24种不同的填法；5填入4个△之一中，有4种不同的填法；6填入4个△中，且当与5在同一个△时，既可以在5之前又可在5之后，共有5种不同的填法，所以当11x =时，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为624452880⨯⨯⨯=，由轮换性知，使()S τ达到最大值的所有排列τ的个数为28800． ……………………………13分北京市朝阳区高三年级第一次综合练习数学学科测试选填解析（理工类）一、选择题 1．【答案】A 【解析】11i 1i 11i 1i (1i)(1i)222++===+--+，故虚部为12．2．【答案】D【解析】lg(2)0211x x x +≥⇒+≥⇒≥-，故{}lg(2)0{|1}N x x x x =+≥⇔≥-．由数轴可知，{|13}M N x x =-≤<，故选D ．3．【答案】A【解析】(3,1)AB OB OA =-=，//AB OC ，3(1)120m m ∴+-⨯=，3m ∴=-．故选择A ．4．【答案】C【解析】将直线转化为直角坐标系中的方程为：12x =；将曲线转化为直角方程为： 2222cos 2cos 2x y x ρθρρθ=⇔=⇔+=，即22(1)1x y -+=；由图形知11'22OC O C =⇒=，在Rt 'ACO ∆中，由1','12O C O A ==可得'3AO C π∠=，即2'3AO B π∠=，故23AOB π∠=，选择C ．5．【答案】C 【解析】①若2απ=，则sin 1α=；若sin 1α=，则,2k k Z απ=+π∈；故“2απ=”是“sin 1α=”的充分不必要条件；②法一：3441241441()()22r r r r r rr x T C C x x---+==，令1240r -=，4r =，代入可得常数项为2；法二：由乘法法则知常数项为1个32x 和3个1x 相乘得到，故由排列组合原理知常数项为31341()22x C x=； ③由正态分布的对称性知，(1)P p ξ≤-=且1(0)2P ξ≤=，则1(10)2P p ξ-<<=-；故选择C ．6．【答案】D【解析】如图，由三视图将几何体还原为1111ABCD A B C D -，并补形为2222ABCD A B C D -；由三视图可知底面ABCD 为边长为2的正方形，13D D =，112A A C C ==，11B B =．那么几何体的体积可以通过111122221211212112()ABCD A B C D ABCD A B C D D B B C C D B B A A V V V V ----=-+计算，故选择D ．7．【答案】A【解析】如图，过,A B 分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为','A B ，由抛物线定义知，','A F A A B F B B ==，由梯形的中位线知11('')()22MN AA BB AF BF =+=+，所以||||2AF BF MN AB AB +=，又由余弦定理222cos 2AF BF ABAFB AF BF+-∠=，知2222()AB AF BF AF BF AF BF AF BF =++=+-， 2223()()()24AF BFAF BF AF BF +≤+-=+，故23()A B A F B F≥+ 代入可知||13||233AF BF MN AB AB +=≤=，故选择A ．8．【答案】B【解析】将()21f x x =+代入000()(1)()63f x f x f x n +++++=整理得， 0(1)[2(1)]63n x n +++=；由*0x N ∈知(1)n +，*02(1)x n N ++∈且02(1)2(1)n x n ≤+<++，故(1)|63n +，那么0132121n x n +=⎧⎨++=⎩或017219n x n +=⎧⎨++=⎩，解得029n x =⎧⎨=⎩或061n x =⎧⎨=⎩，即“生成点”有两个，为(1,6)和(9,2)，故选择B ．二、填空题 9．【答案】2；10【解析】由等比中项可知，232432a a a a ==，则32a =；那么332b a ==，由等差中项性质可知，5123453510S b b b b b b =++++==．10．【答案】24【解析】由正弦定理知，sin 3sin sin B A B =，即1sin 3A =，故2tan 4A =．11．【答案】20【解析】1371120S =-+++=．12．【答案】1；2【解析】由切割线定理知，2()CD AD DB AD AD AB ==+，故1AD =；在CA D ∆中，知30o ACD ∠=，由弦切角定理及同弧所对圆周角等于圆心角一半知60o AOC ∠=，故AOC ∆为等边三角形，所以圆O 的半径为2．13．【答案】22(,)53【解析】由已知知，函数()y f x =周期为2，可画函数图像如图；()2(2)f x ax a a x =+=+有四个不等的实根，等价于()y f x =与(2)y a x =+有四个交点，而(2)y a x =+恒过定点(2,0)-，如图可知，则(2)y a x =+介于1l 与2l 之间，且取不到，那么斜率22(,)53a ∈14．【答案】[,]-55.【解析】解：设直线OA 方程为y kx =，由题可求出k 的取值范围为[,]-11，联立直线与圆的方程得(,)k A k k ++224411，设(,)C x kx ，又OA OC ⋅=20得x =5，故C 点纵坐标为[,]k ∈-555.。

2013年北京高三(一模)数学(理)分类汇编系列二解析版12.程序与框图

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】12程序与框图1.（2013届北京石景山区一模理科）4．执行右面的框图，输出的结果s的值为（）A．-3 B．2 C．12-D．13【答案】A第1次循环，S=﹣3，i=2；第2次循环，S=﹣，i=3；第3次循环，S=，i=4；第4次循环，S=2，i=5；第5次循环，S=﹣3，i=6；…框图的作用是求周期为4的数列，输出S的值，不满足2014≤2013，退出循环，循环次数是2013次，即输出的结果为﹣3，故选A．2．（2013届北京大兴区一模理科）执行如图所示的程序框图．若5n=，则输出s的值是（）A．-21 B．11C．43 D．86【答案】A第一次循环，11(2)1,2s i =+-=-=；第二次循环，21(2)3,3s i =-+-==；第三次循环，33(2)5,4s i =+-=-=；第四次循环，41(2)11,5s i =-+-==，第五次循环，511(2)21,6s i =+-=-=，此时不满足条件，输出21s =-，所以选A.3.（2013届北京丰台区一模理科）执行右边的程序框图，输出k 的值是（）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】A第一次循环，2,03ba a ==，不满足条件，循环，此时22,3k b ==。

第二次循环，22832(),394b a a =⨯==，不满足条件，循环，此时83,9k b ==。

第三次循环，3283(),139ba a =⨯==，满足条件，此时输出3k =。

选A.4．（2013届北京海淀一模理科）某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的x 值为5，则输出的y 值为Ａ.2- B ．1- C ．12 D ．2【答案】C若5x =，则第一次循环，523x =-=，第二次循环，321x =-=，第三次循环121x =-=-，此时满足条件，输出1122y -==，选C.5．（2013届北京西城区一模理科）执行如图所示的程序框图．若输出y =，则输入角=θ（）A ．π6 B ．π6- C ．π3 D ．π3-【答案】D由题意知sin ,4tan ,42y πθθππθθ⎧<⎪⎪=⎨⎪≤≤⎪⎩。

【解析分类汇编系列二：北京2013(一模)数学理】5：数列 Word版含答案

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】5数列1．（2013届北京丰台区一模理科）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，3420a a +=，则31S a （） A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B在等比数列中，由3420a a +=得432a q a =-=，所以331118311(2)S q a q -+===---，选B.2．（2013届北京西城区一模理科）等比数列{}n a 中，10a >，则“13a a <”是“36a a <”的（）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B由13a a <得211a a q <，且30a >，解得21q >，即1q >或1q <-。

3363(1)a a a q -=-，所以当1q >时，3363(1)0a a a q -=-<，得36a a <。

当1q <-时，3363(1)0a a a q -=->，得36a a >。

若36a a <，则2511a q a q <，即31q <，所以1q >，此时2311a a q a =>，所以“13a a <”是“36a a <”的必要而不充分条件，选B.3．（2013届东城区一模理科）已知数列{}n a 中，12a =，120n n a a +-=，2log n n b a =，那么数列{}n b 的前10项和等于（）A ．130B ．120C ．55D ．50【答案】C由120n n a a +-=得12n n a a +=，所以数列{}n a 为公比数列，公比2q =，所以111222n n n n a a q --==⨯=，所以22log log 2n n n b a n ===，为等差数列。

【解析分类汇编系列二：北京2013(一模)数学理】10：排列组合 Word版含答案

【解析分类汇编系列二：北京2013（一模）数学理】10排列组合1.（2013届北京石景山区一模理科）6．在251(2)x x-的二项展开式中，x 的系数为（）A ．-10B ．10C ．-40D ．40【答案】C二项展开式的通项公式为2551031551(2)(2(1)kk k k k k k k T C x C x x---+=-=⋅⋅- 令1031k -=，可得3k =，所以323452(1)40T C x x =⋅⋅-=-，故x 的系数为40-，选C.2．（2013届北京海淀一模理科）一个盒子里有3个分别标有号码为1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（） A ．12种 B ．15种 C ．17种 D ．19种【答案】D若3号球出现一次，有132212C ⨯⨯=。

若3号球出现一2次，有2326C ⨯=。

若3号球出现3次，有331C =。

所以取得小球标号最大值是3的取法有126119++=，选D.3.（2013届北京市延庆县一模数学理）现有12件商品摆放在货架上，摆成上层4件下层8件，现要从下层8件中取2件调整到上层，若其他商品的相对顺序不变，则不同调整方法的种数是（）A ．420B ．560C ．840D ．20160【答案】C从下层8件中取2件有2828C =种方法。

将2件调整到上层，有5630⨯=种，所以不同的调整方法的种数有2830840⨯=种，选C.4．（2013届北京西城区一模理科）从甲、乙等5名志愿者中选出4名，分别从事A ，B ，C ，D 四项不同的工作，每人承担一项．若甲、乙二人均不能从事A 工作，则不同的工作分配方案共有（）A ．60种B ．72种C ．84种D ．96种【答案】B若选甲不选乙，则有133318C A =种。

若选乙不选甲，则有133318C A =种。

若选甲，乙都选，则有21332336C C A =种，所以共有72种，选B.5．（2013届门头沟区一模理科）有4名优秀学生A ． B ． C ．D 全部被保送到甲、乙、丙3所学校，每所学校至少去一名，且A 生不去甲校，则不同的保送方案有（）(A) 24种 (B) 30种 (C) 36种 (D) 48种【答案】A若A 单独去一个学校，则有21232212C C A =种。

2013年高考真题理科数学分类汇编(解析版)1：集合

2013年高考真题理科数学分类汇编（解析版）集合1、（2013年高考（广东卷））设集合{}2|20,M x x x x =+=∈R ,{}2|20,N x x x x =-=∈R ,则M N = ( )A . {}0B ．{}0,2C ．{}2,0-D ．{}2,0,2-【解析】D ；易得{}2,0M =-,{}0,2N =,所以M N = {}2,0,2-,故选D ．2、（2013年高考（湖北卷））已知全集为R ，集合112xA x ⎧⎫⎪⎪⎛⎫=≤⎨⎬ ⎪⎝⎭⎪⎪⎩⎭，{}2|680B x x x =-+≤，则R A C B = （）A.{}|0x x ≤B. {|24x x ≤≤}C. {}|024x x x ≤<>或D.{}|024x x x <≤≥或【答案】C【解析】[)0,A =+∞，[]2,4B =，[)()0,24,R A C B ∴=+∞ 。

故选C【相关知识点】不等式的求解，集合的运算 3、（2013年高考（北京卷））1.已知集合A={－1，0，1}，B={x |－1≤x ＜1}，则A∩B= ( ) A.{0} B.{－1，0} C.{0，1} D.{－1,0,1} 【答案】B【解析】因为集合A 的元素为整数，集合B 中整数有－1,0，所以选B 。

4、（2013年高考（福建卷））满足{},1,0,1,2a b ∈-，且关于x 的方程220ax x b ++=有实数解的有序数对(,)a b 的个数为（）A ．14B ．13C ．12D ．10 【答案】B【解析】方程220ax x b ++=有实数解，分析讨论①当0a =时，很显然为垂直于x 轴的直线方程，有解．此时b 可以取4个值．故有4种有序数对 ②当0a ≠时，需要440ab ∆=-≥，即1ab ≤．显然有3个实数对不满足题意，分别为（1,2），（2,1），（2,2）．(,)a b 共有4*4=16中实数对，故答案应为16-3=13．5、（2013年高考（全国（广西）卷））设集合{}{}{}1,2,3,4,5,|,,,A B M x x a b a A b B ====+∈∈则M 中元素的个数为（A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）66、（2013年高考（安徽卷））已知一元二次不等式()<0f x 的解集为{}1|<-1>2x x x 或，则(10)>0x f 的解集为（A ）{}|<-1>lg2x x x 或（B ）{}|-1<<lg2x x（C ） {}|>-lg2x x （D ）{}|<-lg2x x【答案】D【解析】由题知，一元二次不等式2ln 211-),21(-1,的解集为0)(-<⇒<<>x e x x 即所以选D 。