2.4 用因式分解法求解一元二次方程(共14张PPT)
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2.4用因式分解法求解一元二次方程
2.4 用因式分解法求解 一元二次方程
1
正确理解用因式分解法求解一元二次方程的实质.
2
能熟练应用提公因式法、公式法解一元二次方程．
3
了解因式分解法是解一元二次方程时优先选用的.
问题1：用配方法解一元二次方程可分为几个步骤？ 问题2：用公式法解一元二次方程可分为几个步骤？ 问题3：什么叫因式分解，因式分解共有几种方法？ 问题4：你能从AB=0（A、B表示因式）得出什么？
2 2
用因式分解法解下列方程. (1256．
2 2
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
用适当方法解下列方程 （1）x －4x＋3＝0； （2）(2t＋3) ＝3(2t＋3)； （3）x －2x－3＝0．
2 2 2
达标检测 提升自我
A 组： 1．方程(x－16)(x＋8)＝0 的根是 2．方程 t(t＋3)＝28 的解为_______． 3．用适当方法解下列方程： （1）x2＝7x； （2）x2－6x＋9＝0． B 组： 4．解方程(x＋1)2＋4(x＋1)＝－4． 5．请你用三种方法解方程：x(x＋12)＝864． ．
如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？
解 : 设这个数为x 依题意得：x 2 3 x 两边都同时约去x, 得：x 3
题目：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？
如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？ 解：设这个数为x，根 据题意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0 即x(x-3)=0 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 这个数是0或3．
必做题： 习题 2.7 第 1 题（1） （3）第 2 题（2） （4） ． 选做题： 习题 2.7 第 3 题．
谢谢观赏！
1
正确理解用因式分解法求解一元二次方程的实质.
2
能熟练应用提公因式法、公式法解一元二次方程．
3
了解因式分解法是解一元二次方程时优先选用的.
问题1：用配方法解一元二次方程可分为几个步骤？ 问题2：用公式法解一元二次方程可分为几个步骤？ 问题3：什么叫因式分解，因式分解共有几种方法？ 问题4：你能从AB=0（A、B表示因式）得出什么？
2 2
用因式分解法解下列方程. (1256．
2 2
简记歌诀：
右化零
两因式
左分解
各求解
用适当方法解下列方程 （1）x －4x＋3＝0； （2）(2t＋3) ＝3(2t＋3)； （3）x －2x－3＝0．
2 2 2
达标检测 提升自我
A 组： 1．方程(x－16)(x＋8)＝0 的根是 2．方程 t(t＋3)＝28 的解为_______． 3．用适当方法解下列方程： （1）x2＝7x； （2）x2－6x＋9＝0． B 组： 4．解方程(x＋1)2＋4(x＋1)＝－4． 5．请你用三种方法解方程：x(x＋12)＝864． ．
如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？
解 : 设这个数为x 依题意得：x 2 3 x 两边都同时约去x, 得：x 3
题目：一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？
如果能，这个数是几？你是怎样求出来的？ 解：设这个数为x，根 据题意，可列方程 x2=3x ∴ x2-3x=0 即x(x-3)=0 ∴ x1=0, x2=3 ∴ 这个数是0或3．
必做题： 习题 2.7 第 1 题（1） （3）第 2 题（2） （4） ． 选做题： 习题 2.7 第 3 题．
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新北师大版九年级数学上册《用因式分解法求解一元二次方程》优课件(共14张PPT)
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
1．因式分解常用的方法有 提公因式法 、 公式法 ． 2．因式分解法就是把一元二次方程的一边化为__0__，另一边分 解成两个一次因式的 乘积 的形式，让两个一次因式分别等 于__0__，得到的两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，得 到的两个根就是原方程的两个根． 3．解一元二次方程的方法有： 直接开平方法 、 配方法 、
知识点二：根的判别式
6．下列关于x的方程有实数根的是( D )
A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0
7．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b<0
时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的反例是(
)
A
A．b＝－1 B．b＝2
C．b＝－2 D．b＝0
(1)甲同学的解法正确吗？为什么？ (2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的 解法．
解：(1)不正确．因为当x＋5＝0时，甲的解法便无意义，而 当x＋5＝0时，方程两边仍相等
(2)原方程可化为x(x＋5)－3(x＋5)＝0，(x＋5)·(x－3)＝0，∴x1 ＝3，x2＝－5
11．用适当的方法解方程： (1)2(x＋3)2＝8
解：(x＋3)2＝4，∴x＋3＝±2，∴x1＝－1，x2＝－5 (2)x2＋2x－2014＝0
解：(x＋1)2＝2015，∴x＋1＝± 2015，∴x1＝－1＋ 2015， x2＝－1－ 2015
(3)(x＋3)(x－4)＝－12 解：整理得 x2－x＝0，即 x(x－1)＝0，∴x1＝0，x2＝1
请依照上述方法，用因式分解法解下列方程： (1)x2＋8x＋7＝0；
解：∵x2＋(7＋1)x＋7×1＝0，(x＋7)(x＋1)＝0，∴x1＝－1 ，x2＝－7
1．因式分解常用的方法有 提公因式法 、 公式法 ． 2．因式分解法就是把一元二次方程的一边化为__0__，另一边分 解成两个一次因式的 乘积 的形式，让两个一次因式分别等 于__0__，得到的两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，得 到的两个根就是原方程的两个根． 3．解一元二次方程的方法有： 直接开平方法 、 配方法 、
知识点二：根的判别式
6．下列关于x的方程有实数根的是( D )
A．x2＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0
C．x2－x＋1＝0 D．x2－x－1＝0
7．已知命题“关于x的一元二次方程x2＋bx＋1＝0，当b<0
时，必有实数解”，能说说这个命题是假命题的反例是(
)
A
A．b＝－1 B．b＝2
C．b＝－2 D．b＝0
(1)甲同学的解法正确吗？为什么？ (2)对甲同学的解法，你若有不同见解，请你写出对上述方程的 解法．
解：(1)不正确．因为当x＋5＝0时，甲的解法便无意义，而 当x＋5＝0时，方程两边仍相等
(2)原方程可化为x(x＋5)－3(x＋5)＝0，(x＋5)·(x－3)＝0，∴x1 ＝3，x2＝－5
11．用适当的方法解方程： (1)2(x＋3)2＝8
解：(x＋3)2＝4，∴x＋3＝±2，∴x1＝－1，x2＝－5 (2)x2＋2x－2014＝0
解：(x＋1)2＝2015，∴x＋1＝± 2015，∴x1＝－1＋ 2015， x2＝－1－ 2015
(3)(x＋3)(x－4)＝－12 解：整理得 x2－x＝0，即 x(x－1)＝0，∴x1＝0，x2＝1
请依照上述方法，用因式分解法解下列方程： (1)x2＋8x＋7＝0；
解：∵x2＋(7＋1)x＋7×1＝0，(x＋7)(x＋1)＝0，∴x1＝－1 ，x2＝－7
2.4用因式分解法求解一元二次方程
解：[(x+1)+5][(x+1)-5]=0,
∴x+2=0,或 x-2=0.
∴x+6=0,或 x-4=0.
∴x1=-2, x2=2.
∴x1=-6, x2=4.
这种解法是不是解这两个方程的最好方法?
你是否还有其它方法来解? 直接开平方法
强化训练
解下列方程:
(1)(x + 2)(x - 4) = 0; x + 2 = 0 或 x - 4 = 0.
因此 x = 3 9 2
由方程 x 2 = 3 x 两边同时约去 x， 得x = 3． 所以这个数是 3．
∴x1 = 0，x2 = 3． 所以这个数是 0 或 3．
小颖做得对吗?
小明做得对吗?
知识讲解
你能解决这个问题吗？
一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果相等，这 个数是几？你是怎样求出来的？
7 x1 0, x2 2 .
课堂总结
因式分解法的条件是方程左边易于分解,而右边等于零,关键是熟 练掌握因式分解的知识,理论依据是“如果两个因式的积等于零, 那么至少有一个因式等于零”. 因式分解法解一元二次方程的步骤是: (1)令方程的右边为0，左边可因式分解; (2)将方程左边因式分解; (3)根据“至少有一个因式为零”,得到两个一元一次方程; (4)两个一元一次方程的根就是原方程的根. 因式分解的方法突出了转化的思想方法——“降次”,鲜明地显示 了“二次”转化为“一次”的过程.
∴x1 = -2, x2 = 4．
(2)4x(2x + 1)-3(2x - 1)=0.
(2x + 1)(4x - 3)=0.
2x 1 0,或4x 3 0.
1
《分解因式法》一元二次方程PPT课件 (共13张PPT)
例题欣赏
☞
分解因式法
用分解因式法解方程:(1)5x2=4x;
2
(2)x-2=x(x-2).
解 : 1.5 x 4 x 0, 2 .( x 2) x x 2 0, x 21 x 0. x5x 4 0. x 0, 或5x 4 0. x 2 0, 或1 x 0. 4 x1 2; x2 1. x1 0; x2 . 5
想一想 • 一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
解：设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x.
2x2-7x=0,
x(2x-7) =0, ∴x=0,或2x-7=0.
7 x , x2 . 1 0 2 7 答 : 这 个 数 是 0 或 2
驶向胜利 的彼岸
学习是件很愉快的事 • 你能用分解因式法解下列方程吗？
x 0, 或x 3 0.
x1 0, x2 3.
分解因式法
当一元二次方程的一边是0,而另一边易于分 解成两个一次因式的乘积时,我们就可以用分 解因式的方法求解.这种用分解因式解一元二 次方程的方法你为分解因式法. 老师提示: 1.用分解因式法的条件是:方程左边易于分解, 而右边等于零; 2. 关键是熟练掌握因式分解的知识; 3.理论依旧是“如果两个因式的积等于零,那 么至少有一个因式等于零.”
一元二次方程的解法
因式分解法
小测：
解 方 程 : ( 1 ) x 2 x20
2
(2 )2 x 7 x4
2
解 方 程 : ( 1 ) x 2 x20
2
解： ( 1 ) x 2 2 x 2
x ห้องสมุดไป่ตู้2x1 2 1
2.4《用因式分解法求解一元二次方程》北师大版九年级上册教学课件1
想一想 你能用因式分解法解方程 x2–4=0，(x+1)2–25 = 0 吗？
x2–4 = 0 解：原方程可变形为
(x + 2)(x – 2) = 0. x + 2 = 0 或 x –2 = 0. x1 = –2，x2 = 2.
(x+1)2–25 = 0 解：原方程可变形为
(x +1+5)(x+1–5) = 0. (x+6)(x–4) = 0. x+6 = 0 或 x–4 = 0. x1 = –6，x2 = 4.
x(5x – 4) = 0 ，
x = 0 ，或 5x–4 = 0.
x1
=
0，x2
=
4. 5
(2)原方程可变形为 x(x–2) – (x–2) = 0 ， (x–2)(x–1) = 0. x–2 = 0 ，或 x–1= 0. x1 = 2 ，x2 = 1.
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
5x2=4x
移项
5x2–4x=0
提公因式x
x(5x–4)=0
等价于
x=0或5x–4=0
解一元一 次方程
x1=0，x2=
4 5
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
典型例题
例 解下列方程： (1) 5x2 = 4x；
(2) x(x–2)=x–2.
分析：(2)
x(x–2)=x–2
移项
x(x–2)–(x–2)=0
提公因式(x–2)
(x–2)(x–1)=0
等价于
x–1=0或x–2=0
解一元一 次方程
x1=1，x2=2
创设情境 探究新知 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业
解一元二次方程》(因式分解法)ppt课件
x2+x=0 因式分解, 解：因式分解,得: x(x+1)=0 ∴x=0 或 (x+1)=0 则x1=0 ，x2=-1 可以发现， 可以发现，利用因式分解可以很快捷地 解出方程。 解出方程。
梳理
上述解法中，通过因式分解使一元二次 上述解法中， 方程化为两个一次式的乘积等于0的形式， 方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再 使这两个一次式分别等于0 从而实现降次， 使这两个一次式分别等于0，从而实现降次， 求出方程的根，这种解法叫做因式分解法。 因式分解法。 求出方程的根，这种解法叫做因式分解法
− b ± b 2 − 4ac x= 2a
− b − b 2 − 4ac − b + b 2 − 4ac x1 = , x2 = 2a 2a
2、当b2-4ac=0时，一元二次方程 4ac=0时 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根： +bx+c=0(a≠0)有两个相等实数根 有两个相等实数根： b x1 = x 2 = − 2a 3、当b2-4ac<0时，一元二次方程 4ac<0时 ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根： +bx+c=0(a≠0)没有实数根 没有实数根：
一元二次方程的解法有： 一元二次方程的解法有： 1、配方法；(直接开平方法） 配方法； 直接开平方法） 2、公式法； 公式法；
复习回顾
1、当b2-4ac>0时，一元二次方程 4ac>0时 ax2+bx+c=0(a≠0)有两个不等实数根： +bx+c=0(a≠0)有两个不等实数根 有两个不等实数根：
练习
解下列方程： 解下列方程：
(1)(2a (1)(2a－3)2=(a－2)(3a－4) =(a 2)(3a (2)(4x (2)(4x－3)2=(x+3)2 =(x
2.4_用因式分解法求解一元二次方程
x 0或x 3 0.
x1 0, x2 3.
【例题分析】
1. 解下列方程:(1)5x2=4x.(2)x-2=x(x-2).
2 【解析】 1 5x 4x 0,
2 ( x 2) x x 2 0,
x5 x 4 0.
x 0, 或5 x 4 0.
把一个多项式分解成几个整式乘积的形式叫做分解因式。
认真阅读课本46页的内容，思考：
1、小颖、小明、小亮解方程的方法对吗？ 谁的解法不对？错在什么地方？为什么？ 2、什么是分解因式法？它适合什么形式的一 元二次方程？ 同学们自学3分钟
1、小颖、小明、小亮三人中错误的是________ 小明 。错 误的步骤是___________________ 两边同时约去x 。 2、如果a· b=0,那么_____________ a=0或b=0 。 3、当一元二次方程的一边是______ 0 ，而另一边易于 一次因式 的乘积时，可用分解因 分解成两个_____________ 式的方法求解。 4、下列各方程的根分别是多少？ X1=0,x2=2 (1)x(x-2)=0 (2)(y+2)(y-3)=0 X1=-2,x2=3 (3)(3x+2)(2x-1)=0
2 2
2
2ab b (a b) .
2 2
完全平方式
方程的根.
2.一个数平方的2倍等于这个数的7倍,求这个数.
【解析】设这个数为x,根据题意,得 2x2=7x. 2x2-7x=0, x(2x-7) =0, ∴x=0或2x-7=0.
7 x1 0, x2 . 2
1、用分解因式法的条件是： 方程易于分解成两个一次因式的积，而右边等于零 2、理论依据：如果a· b=0,那么a=0或b=0 3、解一元二次方程时，常用的分解因式法 先提公因式法再公式法 4、基本步骤： 右化零，左分解。两因式，各求解
2.4 用因式分解法求解一元二次方程 课件(共16张PPT) 数学北师版九年级上册
B
3.填空：(1)方程(x+2)(x-4)=0的根为： ；(2)方程4x(2x+1)=3(2x+1)的根为： .4. 当x＝ 时，代数式(2x－1)2和x2的值相等．
或1
如果a·b= 0，那么 a=0 或 b=0即“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
适用范围和依据：当一元二次方程为一般形式，方程一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可以用这种方法求解.分解因式法解一元二次方程的根据是：若a·b＝0，则a＝0或b=0
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
例1 解下列方程(1) 5x2 = 4x
解：(1) 原方程可变形为 5x2 - 4x = 0，x(5x - 4) = 0. x = 0，或 5x - 4 = 0.x1 = 0，x2 = .
(2) x(x - 2) = x - 2
解：(2) 原方程可变形为 x(x - 2) - (x - 2) = 0，(x - 2)(x - 1) = 0. x - 2 = 0，或 x - 1 = 0.x1 = 2，x2 = 1.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
5.解下列方程
解:(1)(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0， (x＋1)(x－1－2)＝0， (x＋1)(x－3)＝0， x＋1＝0或x－3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3.
(2)原方程可化为(x＋3)2－(1－2x)2＝0，(x＋3＋1－2x)(x＋3－1＋2x)＝0，即－x＋4＝0或3x＋2＝0， 解得x1＝4，x2＝.
方程 x2 = 3x 两边 同时约去x, 得 x = 3 . 所以这个数是3.
3.填空：(1)方程(x+2)(x-4)=0的根为： ；(2)方程4x(2x+1)=3(2x+1)的根为： .4. 当x＝ 时，代数式(2x－1)2和x2的值相等．
或1
如果a·b= 0，那么 a=0 或 b=0即“如果两个因式的积等于零,那么至少有一个因式等于零.”
适用范围和依据：当一元二次方程为一般形式，方程一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，可以用这种方法求解.分解因式法解一元二次方程的根据是：若a·b＝0，则a＝0或b=0
这种通过因式分解，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来求解的方法叫做因式分解法.
例1 解下列方程(1) 5x2 = 4x
解：(1) 原方程可变形为 5x2 - 4x = 0，x(5x - 4) = 0. x = 0，或 5x - 4 = 0.x1 = 0，x2 = .
(2) x(x - 2) = x - 2
解：(2) 原方程可变形为 x(x - 2) - (x - 2) = 0，(x - 2)(x - 1) = 0. x - 2 = 0，或 x - 1 = 0.x1 = 2，x2 = 1.
同学们再见！
授课老师：
时间：2024年9月15日
5.解下列方程
解:(1)(x＋1)(x－1)－2(x＋1)＝0， (x＋1)(x－1－2)＝0， (x＋1)(x－3)＝0， x＋1＝0或x－3＝0， 解得x1＝－1，x2＝3.
(2)原方程可化为(x＋3)2－(1－2x)2＝0，(x＋3＋1－2x)(x＋3－1＋2x)＝0，即－x＋4＝0或3x＋2＝0， 解得x1＝4，x2＝.
方程 x2 = 3x 两边 同时约去x, 得 x = 3 . 所以这个数是3.
解一元二次方程》(因式分解法)ppt课件
3x 1 5 0
则x1
1 3
5
1
, x2
3
5
梳理
用因式分解法解一元二次方程的步骤： 1、方程右边化为 零 。 2、将方程左边分解成两个一次因式 的乘积 。 3、至少 有一个因式为零，得到两个一元 一次方程。 4、两个一元一次方就程是的原解方程的解。
练习
1.不计算，请你说出下列方程的根.
小结
因式分解法的基本步骤： （1）将方程变形，使方程的右边为零； （2）将方程的左边因式分解； （3）根据若A·B=0，则A=0或B=0，将解一元 二次方程转化为解两个一元一次方程.
小结
一元二次方程的解法：
1、配方法； 2、公式法；
适用任何一元二次方程
3、因式分解法. 适用部分一元二次方程
(1)x(x 2) 0 x1 0, x2 2
(2)( y 2)( y 3) 0 y1 2, y2 3
(3)(3x 2)(2x 1) 0 x1
(4)x2 x x1 0, x2 1
2 3 , x2来自1 22.下面的解法正确吗？如果不正确，错误 在哪？ (1)解方程： ( x 2)(x 1) 3
y2 4y
解：移项，得 y2 4y 0
因式分解，得 y( y 4) 0
y 0 或 y 4 0 则 y1 4, y2 0
例题讲解
解方程：
5x2 2x 1 x2 2x 3
4
4
分析：等号右边不为0，需要先移项整
理。使方程右边为0，再对方程左边因式分
x(x+1)=0
x2+x=0 解：因式分解,得:
x(x+1)=0 ∴x=0 或 (x+1)=0 则x1=0 ，x2=-1 可以发现，利用因式分解可以很快捷地 解出方程。
用因式分解法求解一元二次方程课件(3)
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
(2) (5x + 1)2 = 1； 分析：方程一边以平方情势出现，另一边是常数，可直接用开平方法. 解： 开平方，得
5x + 1 = ±1. 解得，x1= 0，x2 = .
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
(3) x2 - 12x = 4；
分析：二次项的系数为 1，可用配方法来解题较快.
例1 解下列方程
(1) 5x2 = 4x
(2) x(x - 2) = x - 2
解：(1) 原方程可变形为
解：(2) 原方程可变形为
5x2 - 4x = 0，
x(x - 2) - (x - 2) = 0，
x(5x - 4) = 0. 转化思想 (x - 2)(x - 1) = 0.
x = 0，或 5x - 4 = 0. 降次思想 x - 2 = 0，或 x - 1 = 0.
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
(2) ( x - 2 )2 = ( 2x + 3 )2 解：(2) 化简，得
( x - 2 )2 - ( 2x + 3 )2 = 0 ( x - 2 + 2x + 3 )( x - 2 - 2x - 3 ) = 0 ( 3x + 1 )( -x - 5 ) = 0 即 3x + 1 = 0 或 -x - 5 = 0. x1 = ，x2 = -5.
(4) 2x + 6 = ( x + 3 )2 解：(4) 化简，得
2x + 6 - ( x + 3 )2 = 0 2( x + 3 ) - ( x + 3 )2 = 0 ( x + 3 )( 2 - x - 3 ) = 0 ( x + 3 )( -x - 1 ) = 0 即 x + 3 = 0 或 -x - 1 = 0. x1 = -3，x2 = -1.
2.4用因式分解法求解一元二次方程
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用配方法解下列方程：
- （1）：3x2 -4x -1=0（配方法） （2） 2x2 +4x 1=0 （公式法）
请以下同学上黑板解题： 901：刘玫均，熊艳丽 902：张胜业，高航
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（1）因式分解，有哪几种方法？ 1提 2套 3化简
（2）将下列多项式因式分解：
（1）：5x2 =4x 5x2 －4x = 0 x（5x－4）= 0 x= 0 ，或 5x－4=0 x1= 0 , x2 = －45
（2） x（x － 2）=x－2 x (x －2)－ (x－2) =0 (x －2) (x－1) =0 x－2 =0，或x－1 =0
x1= 2 , x2 =1
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定义：当一元二次方程的一边________，而另一边 易于分解成____________时，我们就采用 小亮的解法 来解一元二次方程.这种解一元二次方程的方法称 为因式分解法.
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例题
a2பைடு நூலகம்+2ab+b2 = (a+b)2
a2 - 2ab+b2 = (a-b)2
用因式分解法解下列方程： a2 － b2 = (a+b)(a-b)
① 3x2－4x
② 4x2－9y2
③x2－ 6xy＋9y2
④ 3x(x+2) － 5(x+2)
a2 +2ab+b2 = (a+b)2 a2－2ab+b2 = (a － b)2
a2 － b2 = (a+b)(a-b)
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(教材P46)一个数的平方与这个数的 3倍有可 能相等吗？如果相等，这个数是几？他们做得 对吗？为什么？你是怎么做的？
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用配方法解下列方程：
- （1）：3x2 -4x -1=0（配方法） （2） 2x2 +4x 1=0 （公式法）
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（1）因式分解，有哪几种方法？ 1提 2套 3化简
（2）将下列多项式因式分解：
（1）：5x2 =4x 5x2 －4x = 0 x（5x－4）= 0 x= 0 ，或 5x－4=0 x1= 0 , x2 = －45
（2） x（x － 2）=x－2 x (x －2)－ (x－2) =0 (x －2) (x－1) =0 x－2 =0，或x－1 =0
x1= 2 , x2 =1
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定义：当一元二次方程的一边________，而另一边 易于分解成____________时，我们就采用 小亮的解法 来解一元二次方程.这种解一元二次方程的方法称 为因式分解法.
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a2பைடு நூலகம்+2ab+b2 = (a+b)2
a2 - 2ab+b2 = (a-b)2
用因式分解法解下列方程： a2 － b2 = (a+b)(a-b)
① 3x2－4x
② 4x2－9y2
③x2－ 6xy＋9y2
④ 3x(x+2) － 5(x+2)
a2 +2ab+b2 = (a+b)2 a2－2ab+b2 = (a － b)2
a2 － b2 = (a+b)(a-b)
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(教材P46)一个数的平方与这个数的 3倍有可 能相等吗？如果相等，这个数是几？他们做得 对吗？为什么？你是怎么做的？
2.4 用因式分解法求解一元二次方程
小颖、小明、小亮都设这个数为x，根据题意，可得方程x2=3x.但他们的解法各不相同.
议一议：他们做得对吗？为什么？你是怎么做的？
我们知道ab=0，那么a=0或b=0，类似的解方程(x+1)(x-1)=0时，可 转化为两个一元一次方程x+1=0或x-1=0来解，你能求 (x+3)(x-5)=0的 解吗？
x(x–2) – (x–2) =0，
∴ x=0或5x–4=0，
∴
x1=0，x2 =
4 5
.
∴ (x–2) (x–1)=0， ∴ x–2=0或x–1=0， ∴ x1=2，x2=1.
想一想
你能用因式分解法解方程 x2–4=0 ， (x+1)2 –25=0 吗？
解：(x+2)(x–2) =0， ∴ x+2=0或x–2=0， ∴ x1=-2，x2=2.
第二章 一元二次方程
4. 用因式分解法求解一元二次方程
学习目标
1.理解用因式分解法解方程的依据. 2.会用因式分解法解一些特殊的一元二次方程.（重点） 3.会根据方程的特点选用恰当的方法解一元二次方程.（难点）
情境引入 一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗？如果能，这个数
是几？你是怎样求出来的？
课堂小结
概念 因式分解法 原 理
将方程左边 因式分解， 右边=0.
因式分解的方法有
ma+mb+mc=m(a+b+c); a2 ±2ab+b2=(a ±b)2； a2 -b2=(a +b)(a -b).
如果a ·b=0，那么a=0或b=0.
步骤
简记歌诀： 右化零 左分解 两因式 各求解
作业布置
习题2.7 第1，2题.
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A．x2－2x＋1＝0
C．x2＝7x
B．x2－2x－1＝0
D．x2－4＝0
11．方程(x＋1)(x－2)＝x＋1的解是( D ) A．x＝2 B．x＝3
C．x1＝－1，x2＝2
D．x1＝－1，x2＝3
12．如图是一个正方体的表面展开图，已知正方体相对两个面上的 数相同，则与“ ”相对面上的数为( D ) A．1 B．1 或 2 C．2 D．2 或 3
13．若三角形三边的长均能使代数式(x－6)(x－3)的值为零，则此三 角形的周长是( C ) A．9 或 18 B．12 或 15 C．9 或 15 或 18 D．9 或 12 或 15
二、填空题(每小题4分，共12分) 14．已知关于x的一元二次方程3(x－1)(x－m)＝0的两个根是1
和2，则m的值是________ ． 2
配方法 ，________ 公式法 ，________________ 因式分解法 ________ ．
1．(2分)方程(x－2)(x＋3)＝0的解为( D ) A．x＝2 C．x1＝－2，x2＝3 B．x＝－3 D．x1＝2，x2＝－3
2．(2分)一元二次方程x2＋3x＝0的解是( C ) A．x＝－3 C．x1＝0，x2＝－3 B．x1＝0，x2＝3 D．x＝3
解：小红的解法不正确．正确的解法如下： x(2x－5)＋4(5－2x)＝0，x(2x－5)－4(2x－5)＝0， 5 (x－4)(2x－5)＝0，∴x1＝ ，x2＝4 2
【综合运用】
19．(12分)先阅读下列材料，然后解决后面的问题： 材料：因为二次三项式x2＋(a＋b)x＋ab＝(x＋a)· (x＋b)，所以 方程x2＋(a＋b)x＋ab＝0可以这样解：(x＋a)(x＋b)＝0，x＋a＝0 或x＋b＝0，∴x1＝－a，x2＝－b. 问题： (1)x1＝1，x2＝2 ． (1)(2014· 岳阳)方程x2－3x＋2＝0的根是______________ (2)若多项式x2－5x＋8的值等于2，则x的值为( A ) A．2或3 B．2或－3 C．－2或3 D．－2或－3 (3)已知一元二次方程x2－8x＋15＝0的两个解恰好分别是等腰
15．(2014· 鞍山)对于实数a，b，我们定义一种运算“※”为： 0或4 a※b＝a2－ab，例如1※3＝12－1×3.若x※4＝0，则x＝___a2＋b2＝________ ． 3
三、解答题(共 32 分) 17．(12 分)解方程： (1)(x＋3)2＝2x＋6；
3．(2 分)解方程( 5－1)x2＝(1－ 5)x 的最佳方法应是( C ) A．公式法 C．因式分解法 B．配方法 D．用平方根的意义解
4．(2 分)方程 x(x－2)＋x－2＝0 的解是( D ) A．x＝2 C．x＝－1 B．x1＝－2，x2＝1 D．x1＝2，x2＝－1
5．(2分)若代数式2x2－3x与x2－7x的值相等，则x的值为 ( C ) A．0 B．－4
3 2
(6)x1＝－2，x2＝
4 3
9．(8分)已知一个圆的直径是10 cm，另一个圆的面积比这个圆的 面积少16 π cm2，求另一个圆的半径．
9.解：设另一个圆的半径为x cm， 由题意得：π×52－πx2＝16π， 解得x1＝3，x2＝－3(不合题意，舍去)， 故另一个圆的半径为3 cm.
一、选择题(每小题4分，共16分) 10．下列方程中，不适合用因式分解法解的是( B )
(1)x1＝－1，x2＝－3
(2)4x2＝(x＋3)2；
(2)x1＝－1，x2＝3
(3)(2x＋1)2＋4(2x＋1)＝－4.
3 (3)x1＝x2＝－ 2
18．(8分)小红、小亮两位同学一起解方程x(2x－5)＋4(5－2x)
＝0.小红是这样解的：先将方程变为x(2x－5)－4(2x－5)＝0，
移项得x(2x－5)＝4(2x－5)，方程两边都除以(2x－5)得x＝4.小 亮看后说小红的解法不对，请你判断小红的解法是否正确？若 不正确，请给出正确的解法及答案．
△ABC的底边长和腰长，试求△ABC的周长．
(3)由x2－8x＋15＝0得， (x－3)(x－5)＝0， 解得：x1＝3，x2＝5，
因此△ABC的周长为11或13.
(4)2(x－3)＝3x(x－3)；
1 (1)x1＝0，x2＝ 4
(2)(x＋3)2－25＝0；
2 (4)x1＝3，x2＝ 3
(5)(x＋5)(x－5)＝3；
(2)x1＝－8，x2＝2
(5)x1＝－2 7，x2＝2 7
(3)4x2＋12x＋9＝0；
(6)3x(x＋2)＝4x＋8.
(3)x1＝x2＝－
九年级数学上册（北师版）
第二章 一元二次方程
4．用因式分解法求解一元二次方程
0 1．当一元二次方程的一边为________ ，而另一边易于分解成 乘积 时，我们就可以把一元二次方程转化 两个一次因式的________ 成两个一元一次 ________方程来求解，这种解一元二次方程的方法叫做 因式分解法． 2．一元二次方程的四种基本解法是 直接开平方法 ，
C．0或－4
D．0或4
6．(2分)把方程(3x＋1)2－16＝0化成两个一元一次方程分别 3x＋5＝0 、____________ 3x－3＝0 ． 是____________
3 x1＝ ，x2＝0 5 7．(2分)一元二次方程5x2＝3x的解是__________ ．
8．(18 分)用因式分解法解 下列方程： (1)4x2－x＝0；