1.1.1集合的含义和概念

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1.1.1 集合的含义与表示

（一）集合的有关概念

2．集合理论创始人康托尔称集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个总体。

3．一般地，研究对象统称为元素（element），一些元素组成的总体叫集合（set），也简称集。

4．思考1：课本P3的思考题，并再列举一些集合例子和不能构成集合的例子，对学生的例子予以讨论、点评，进而讲解下面的问题。

5．关于集合的元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A 的元素，或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）集合相等：构成两个集合的元素完全一样

6．元素与集合的关系；

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于（belong to）A，记作a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于（not belong to）A，记作a∉A（或a A）（举例）

7．常用数集及其记法

非负整数集（或自然数集），记作N 正整数集，记作N*或N+；

整数集，记作Z 有理数集，记作Q 实数集，记作R

（二）集合的表示方法

我们可以用自然语言来描述一个集合，但这将给我们带来很多不便，除此之外还常用列举法和描述法来表示集合。

(1)列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

(2)描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。

1.1.1 集合的含义与表示

⑴１到20以内的所有质数; ⑵我国从1991到2003年的13年内所发射的所有人造卫星; ⑶金星汽车厂2003年生产的所有汽车; ⑷2004年1月1日之前与我国建立外交关系的所有国家; ⑸所有的正方形;
⑹到直线的l 距离等于定长d 所有的点;
⑺方程 x2 3x 2 0 的所有实数根;
⑻新华中学2004年9月入学的高一学生全体.
特征表示集合的方法称为描述法。具体方
法：A={x C |x的共同特征}（A表示这个集
合，x表示集合中元素，C表示x的取值范围）
例如：不等式x-7<3的集合可以表示为
A={x R|x<10} ;
所有奇数的集合可以表示为
A={x Z|x=2k+1}
练习：用描述法表示下列集合： (1)不等式x－3＞2的解集； (2)抛物线y=x2上的点集； (3)方程x2+x +1=0的解集合.
先解释集合的含义：小初中接触过一些数学对象，有时我们研究的是一类数学对象的总体，我们用集合这个概念来描述。
分析：
例（1）中，把1到20的每一个素数作为元素，这些元素的全体就是一个集合;例（2）中，把我国从1991到2003年的13年内所发射的每一颗人造卫星作为元素，这些元素的全体是一个集合。
如果a是集合Ａ中的元素，就说a属于集合Ａ，记作a A；
如果a不是集合Ａ中的元素，就说a不属于集合Ａ，记作 a A ；

【数学】1.1.1集合的含义与表示

【分析】
2
2
【解】
x＝1 ∴ y＝3
(1)∵x＋y＝4，x∈N ，y∈N ，
x＝2 或 y＝2 x ＝3 或 y ＝1
*
*
.
∴A＝{(1,3)，(2,2)，(3,1)}． 6 (2)∵ ∈Z，且 x∈N，∴1＋x＝1,2,3,6. 1 ＋x 6 ∴x＝0,1,2,5，即＝6,3,2,1. 1 ＋x ∴B＝{6,3,2,1}．
例4
用适当的方法表示下列集合．
* *
(1)A＝{(x，y)|x＋y＝4，x∈N ，y∈N }；
6 ； ∈ Z| x ∈ N (2)B＝ 1＋x
(3)方程 x ＋y －4x＋6y＋13＝0 的解集； (4)平面直角坐标系中所有第二象限的点．
先明确集合中元素的特点，再选择适当的方法来表示．
要点二集合中元素的特征一个元素是否是该集合的元素是非常明确的，不存在模棱两可的元素；只要将一批元素写入某个集合，就意味着它们互不相同，这是解决含参数集合求值问题的重要依据．例2 已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．
【分析】由元素与集合的关系知， x∈A 的含义就是说元素 x 是集合 A 的元素．根据集合中元素的性质知，若x1∈A，x2∈A，则x1≠x2. 本题的解题思路就是从这两方面入手．
例如，图1-1表示任意一个集合A；

1.1.1集合的含义与表示

例5.说出下列集合的元素： ①小于12的质数构成的集合; ②能被 3整除的自然数组成的集合; | a | | b | | ab | ③由y + + (a , b R)所确定的实数的集合; a b ab ④抛物线y x 2 2x 1上的点组成的集合.
练习1.设集合A {( x, y ) | x y 6, x N *, y N *}, 试用列举法表示集合A.
二、集合与元素的表示方法
1.集合 : A, B, C , D..., 元素 : a , b, c, d ....,
2.如果a是集合A的元素，就说a属于集合A, 记作a A； 3.如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A, 记作a A；
数学中一些常用的数集及其记法：
自然数集（非负整数集）正整数集整数集有理数集
1.确定性形容词不能作为构成集合的基本条件 2.互异性在一个集合中任何两个元素都是不同的
对象,相同的元素只能算这个集合的一个元素
3.无序性用“列举法”表示集合时,不考虑元素的书
写顺序.
集合相等构成两个集合的元素是一样的
思考:判断以下元素的全体是否组成集合, 并说明理由 :
⑴大于3小于11的偶数; ⑵漂亮的衣服; ⑶全世界的高中生; ⑷ 2， 2， 4; ⑸小于2006的数; ⑹动物园里的小动物.
6 例6.已知集合M { x N | Z }, 求集合M . 1 x 6 变式1.已知集合N { Z | x N }, 求集合N . 1 x

1.1.1集合的含义与表示

整数集
有理数集
实数集
记号
N
N*或 N+ Z
QR
集合的三要素
1.确定性：给定的集合，他的元素必须是确定的，也就是说给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了.
2.互异性：一个给定的集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素不能相同.
3.无序性：集合中的元素是无先后顺序的，即集合里的任何两个元素可以交换位置.
(7)2 3____Q;(8)2 3____R.
【例3】 x ∊ R，则{3，x，x ²- 2x}中的元素应满足什么条件？
【例4 】集合A={1,3,5}与集合B={3,1,5}是同一集合吗？
【例5】若{1,2}={a－2,2h}，则求 a, h？
1.地球上的七大洲这一集合可以表示成什么呢？ 2. 12的所有约数可以表示成什么呢？ 3.方程x－1=0的解的集合可以表示成什么呢？
所有的集合都可以用列表法来表示吗？比如：不等式2x-8<0的解集能用列举法吗？为什么?那么怎样来表示这个集合呢？
这个集合中的元素是列举不完的，可以用集合所含元素的共同特征表示集合．
集合的表示方法——描述法描述法：用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法.
具体方法：
在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值范围，在画一条竖线，在竖线后写出这个集合中的元素所具有的共同特．

1.1.1集合的含义与表示

有限集与无限集
1、有限集：含有有限个元素的集合。 2、无限集：含有无限个元素的集合。
元素与集合的关系：
从属（个体与整体）
符号表示：a∈A（a属于集合A）
a A （a不属于集合A）
二、集合的表示方法
常用的数集及其记法
记作 N 1）全体非负整数组成的集合称为非负整数集（自然数集）记作 N* 或 N+ 所有正整数组成的集合称为正整数集，记作 Z 2）全体整数组成的集合称为整数集，记作 Q 3）全体有理数组成的集合称为有理数集，记作 R 4）全体实数组成的集合称为实数集，
练习、用符号“ ∈ ”或“ 填空
源自文库
”
1) 3.14 ___ 2） ___ Q ∈ Q
3) 0 ___ N 4） 0 ___ N ∈
*
5) (2) ∈ __ N
0
*
7) 2 3 ___Q
6) 8)
2 3___Z
∈R 2 3___
1、列举法
例1：用列举法表示下列集合
（7）方程的 x 2 3x 2 0所有实根；（8）知新中学2016年入学的所有高一学生。
一、集合的概念
一般地，我们把研究对象统称为元素, 把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)。
集合中元素的特性：
确定性元素必须是确定的.一个元素要么在这个集合里，要么不在，不能模棱两可。

1.1.1 集合的含义与表示

1.1.1 集合的含义和表示

一、基础知识

（一）集合的概念

1、集合：

把一些对象放在一起考虑时，就说这些食物组成了一个集合，给这些对象的总的名称，就是这个集合的名字。

集合通常用大写的拉丁字母表示，如A、B、C、……

元素通常用小写的拉丁字母表示，如a、b、c、……

2、集合中元素的特征

（1）确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素

或者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立。

（2）互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体，因此，

同一集合中不应重复出现同一元素。

（3）无序性：集合与其中元素的排列次序无关。

3、两个集合相等：构成两个集合的元素是一样的。

4、元素与集合的关系

（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作a∈A

（2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A，记作a A。

5、集合的分类：根据集合所含元素个数不同，可把集合分为如下几类。

（1）元素个数有限的集合叫做有限集（或有穷集）；

（2）元素个数无限的集合叫做无限集（或无穷集）；

（3）没有元素的集合叫做空集，记作Ф。

（二）、集合的表示：{ … }

1. 常用数集及其记法

全体整数的集合叫做整数集，记作Z；

全体有理数组成的集合叫做有理数集，记作Q；

全体实数组成的集合叫做实数集，记作R；

全体自然数组成的集合叫做自然数集，记作N。约定0是自然数，即0∈N。

2．集合的表示方法：

（1）列举法：把集合中的元素一个一个的写出来，写在大括号内。

如：{1，2，3，4，5}，{x2，3x+2，5y3-x，x2+y2}，…；

1.1.1集合的含义与表示

§1.1.1集合的含义及其表示

[知识要点]

1．集合和元素

(1)如果a 是集合A 的元素,就说a 属于集合A,记作a A ∈; (2)如果a 不是集合A 的元素,就说a 不属于集合A,记作a A ∉.

2.集合中元素的特性:确定性;无序性;互异性.

3.集合的表示方法:列举法;描述法;Venn 图.

4.集合的分类:有限集;无限集;空集.

5.常用数集及其记法:自然数集：N ,正整数集：*N 或N +,整数集：Z ,有理数集：Q ,实数集：R . 考点一集合的基本概念

例1.下列的研究对象能否构成一个集合?如果能,采用适当的方式表示它.

（1）小于5的自然数; （2）某班所有高个子的同学;

（3）不等式217x +>的整数解; （4）所有大于0的负数;

（5）平面直角坐标系内,第一、三象限的平分线上的所有点.

考点二元素与集合

例2. 设()()(){}

22,,2,,5,a N b N a b A x y x a y a b ∈∈+==-+-=若()3,2A ∈,求,a b 的值. 例3. 已知{}2,,M a b =,{}

22,2,N a b =,且M N =,求实数,a b 的值. [课内练习]

1．下列说法正确的是（）

（A ）所有著名的作家可以形成一个集合（B ）0与 {}0的意义相同

（C ）集合⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

∈==+N n n x x A ,1 是有限集（D ）方程0122=++x x 的解集只有一个元素 2．下列四个集合中，是空集的是

（） A ．}33|{=+x x

B ．},,|),{(22R y x x y y x ∈-=

1.1.1集合的含义

1.集合的含义. 2.集合中元素的特性：确定性，互异性，无序性. 3.元素与集合间的关系. 4.数集及其符号表示.
6 4
,
1 2
,
12这些数组成的集合有五个元素;
（3）由a,b,c组成的集合与b,a,c组成的集合是
同一个集合;
（4）接近于1的数的全体.
四、集合和元素的关系
集合：大写字母A，B，C…表示元素：小写字母a，b，c…表示
如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a A 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集
变式：已知集合A是由 a 2,0, a2 3a 3三
个元素组成，若1 A，求实数a。
拓展提升
已知集合S满足:若
a
S
,则
1 1
a a
S
(a
1)
若 1 S，求集合中的其他元素
3
例3、设集合A是方程x2 ax （a -1） 0的实数根的集合，那么它的元素有几个，分别是什么？
回顾本节课
合A，记作a A
五、常见数集的表示方法
数集的扩充过程
N* 或 N
N
正整数集
自然数集
Z
整数集
实数集
R
有理
数集 Q
口答
π ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 32 R
7
32 N 2 Q
9 Z ( 5)2

1.1.1集合的含义与表示

5
4.常用的数集:
N：自然数集(含0)
N+或N*：正整数集(不含0)
Z：整数集
Q：有理数集
R：实数集
6
5.集合元素的性质: ⑴确定性: 集合中的元素必须是确定的. 如: x∈A与xA必居其一. ⑵互异性: 集合的元素必须是互异不相同的. 如:方程 x2－x＋＝0的解集为{1} 而非{1，1}. ⑶无序性: 集合中的元素是无先后顺序的. 如:{1，2}，{2，1}为同一集合.
3
2.集合: 集合常用大写字母表示，元素常用小写字母表示.
一般用大括号”{ }”表示集合,也常用大写的拉丁字母A、B、C…表示集合. 用小写的拉丁字母a,b,c…表示元素
4
3.集合与元素的关系: 如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A. 如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作aA. 例如：A表示方程x2＝1的解. 2A，1∈A.
那么{(1，2)}，{(2，1)}是否为同一集合?
7
判断下列例子能否构成集合中国的直辖市
√
× ×
身材较高的人
著名的数学家
高一(3)班眼睛很近视的同学
×
注:像”很”,”非常”,”比较”这些不确定的词都不能构成集合
8
5.集合的表示方法 1、列举法：无序互异
将集合中的元素一一列举出来，并用花括号{ }括起来的方法叫做列举法

1.1.1 集合的含义与表示

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若3∈{m－1,3m，m2－1}，[解析]
则m＝________
由m－1＝3，得m＝4，此时3m
＝12，m2－1＝15，故m＝4满
足集合中元素的互异性；
由3m＝3，得m＝1，此时m－1 ＝m2－1＝0，故舍去；
由m2－1＝3，得m＝±2，经检验m＝±2满足集合中元素的互异性．
故填4或±2.
本部分内容讲解结束
(2)不正确，Z表示整数集，应写成Z＝{整数}．集合符号“{ }”已包含“所有”的意思，因而大括号内的文字描述不应再用“全体”、“所有”、“全部” 或“集”等词语．
(3)正确，根据集合中元素的无序性，可知集合{1,2}与 {2,1}相等． (4)不正确，集合{(1,2)}的元素是直角坐标平面上的一个点(1,2)，而{1,2}的元素是1,2，它们是不可能相等的．
(3)集合相等：只要构成两个集合的__元__素__是一样的，我们就称这两个集合是相等的．
(4)元素的特性：确定性、无序性、互异性．
确定性：指的是作为一个集合中的元素，必须是确定的，即一个集合一旦确定，某一个元素属于或不属于这个集合是确定的，要么是该集合中的元素，要么不是，二者必居其一．互异性：集合中的元素必须是互异的，就是说，对于一个给定的集合，它的任何两个元素都是不同的．无序性：集合中的元素是没有顺序的，比如集合{1,2,3}与{2,3,1}表示同一集合．

1.1.1集合的含义与表示

例题
例1若x∈R，则数集{1，x，x2}中
元素x应满足什么条件.
例题
例1若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x
应满足什么条件.
解：∵x≠1且x2≠1且x2≠x，
例题
例1若x∈R，则数集{1，x，x2}中元素x
应满足什么条件.
解：∵x≠1且x2≠1且x2≠x，
∴ x≠1且x≠－1且x≠0.
例3已知集合 A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
例3已知集合
A＝{x|ax2＋4x＋4＝0，x∈R，a∈R} 只有一个元素，求a的值与这个元素.
解：当a＝0时，x＝－1.
当a≠0时，＝16－4×4a＝0. a＝1. 此时x＝－2. ∴a＝1时这个元素为－2. ∴a＝0时这个元素为－1.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．等腰三角形
4、含有16，x2两个元素的集合，求x的取值范围_____。
6.集合的表示方法:
1.列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法。 2.描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法。 3.Venn图法：在平面内用封闭曲线的内部代表集合的方法。
2、下列各组对象可以组成集合的是( )
A．数学必修1课本中所有的难题

1.1.1集合的含义与表示

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要点突破
典例精析
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8．已知集合 S 中三个元素 a，b，c 是△ABC 的三边长，那么△ABC 一定不是( (A)锐角三角形 (B)直角三角形 (C)钝角三角形 (D)等腰三角形
解析：∵集合中元素满足互异性， ∴a，b，c 各不相同． ∴△ABC 一定不是等腰三角形．故选 D.
答案：(1)∈ ∉
(2)∉
(3)∉
∈
分析集合首先要分析元素的属性，特别是描述法中先看代表元素，再看隔开号后面的描述条件，最后分析元素是否符合这个描述条件．
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1．下列各组对象不能构成集合的是( (A)大于 6 的所有整数 (B)高中数学的所有难题 (C)被 3 除余 2 的所有整数 1 (D)函数 y＝图象上所有的点 x
要点突破
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变式训练 11：下列给出的对象中，能构成集合的是________． ①很大的数；②我国的著名旅游景点；③漂亮的花儿； ④不等式 2x－3＞0 的解集．
解析：①②③中的对象不确定，无法找到一个评判的标准，不能构成集合；④中的对象明确，故可以构成集合，所以答案为④.

1.1.1集合的含义与表示

三、集合的表示方法 1.自然语言法请用列举法表示 x-1>3的解集课本P3 常用的数集 2.列举法 “中国的直辖市”组成的集合：{北京，上海，天津，重庆} “方程 ( x 1)( x 2) 0 的所有实数根”组成的集合：{1，-2}. 3.描述法用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法，具体方法是：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征.
1.1.1 集合的含义与表示
授课教师：谷元芳
一、集合定义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合（简称集）.
例1. 中国的直辖市有北京、上海、天津、重庆，这里“中国的直辖市”构成一个集合，北京在集合里，它是集合里的元素，因此就说北京属于集合，而杭州不在集合里，它不是集合里的元素，于是就说杭州不属于集合。
例2. 满足不等式 x 7 3 的集合：A x R | x 10 满足大于10小于20的整数 x 的集合：B x Z | 10 x 20 .
做课本P5 练习2
集合中元素的特性： (1)确定性：集合中的元素必须是确定的.一个元素要么属于这一集合，要么不属于这一集合，绝不是含糊不清的. (2)互异性：集合中的元素一定是互不相同的. (3)无序性：任意改变几何中元素的顺序，它们仍表示同一个集合.

1.1.1集合的含义与表示

1、A {x | x 2 3}, B { y | y 2 3} 2、A （ { 1,2） }, B {1, 2}
（5）北京所有的麦当劳餐厅；
（6）方程x-1=0的解; （7）不等式2x-3>0的所有解; （8）函数y=x+1图像上的所有点; （9）线段AB的垂直平分线上的所有点.
一、集合的定义
一般地，我们把研究对象统称为元素（element）; 把一些元素组成的总体叫做集合（set）（简称为集）.
集合概念：指定的某些对象的全体
3≠x 3≠x² - 2x x≠x² - 2x
解得x ≠ -1， x ≠ 0，且x ≠ 3
例4 集合A={1,3,5}与集合B={3,1,5}是同一集合吗？解：根据集合的三要素，可以知道两个集合是同一集合．例5 若{1,2}={a－2,2h}，则求 a, h？解：由集合的三要素知道， 1=2h 1=a－2 或 2=2h 2=a－2 所以得到a=3或4，h=1或0.5．
例1 下面各组对象能否构成集合？并说明理由．
（1）所有的好人；（2）小于2003的数；（3）和2003非常接近的数；（4）参加数学比赛的年龄较小的同学；（5）亚洲所有的国家；（6）立方根等于自身的数；
（7）西湖里的漂亮的鱼；
（8）较大的数．
二、集合与元素的表示
集合的表示方法：

1.1.1集合的含义与表示

9/5/2017
4、常用的数集及其记法我们通常用大写拉丁字母Ａ，Ｂ，Ｃ，…表示集合，用小写拉丁字母a，b，c，…表示集合中的元素．自然数集，记为Ｎ正整数集，记为N*或N+；整数集，记为Ｚ有理数集，记为Ｑ实数集，记为Ｒ
9/5/2017

5、元素与集合的关系
（1）如果a是集合A的元素，就说a属于A，记作：a∈A （2）如果a不是集合A的元素，就说a不属于A， a A 记作：
9/5/2017
练习
1、A={1,3},问3，5哪个是A的元素？ 2、B={素质好的人}能否表示成为集合？
3、C={2，2，4}表示是否正确？ 4、D={太平洋，大西洋},E={大西洋，太平洋},集合 D ,E是不是表示相同的集合？
9/5/2017
思考1
判断以下元素的全体是否组成集合，并说明理由： (1)大于3小于11的偶数； (是) (2)我国的小河流； (否) (3)血压很高的人； (否) (4)著名的数学家。 (否)
9/5/2017
例2．试分别用列举法和描述法表示下列集合：（1）方程x2-2=0的所有实数根组成的集合； A x R x 2 0 描述法 A 2, 2 列举法（2）由大于10小于20的所有整数组成的集合； B x Z 10 x 20 描述法 B 11,12,13,14,15,16,17,18,19 列举法 x y 3; （3）方程组的解。 x y 1. x y 3; C ( x , y ) 描述法 x y 1. 列举法 C (1,2)