(完整word版)苏教版八年级数学下册分式测试题
数学八年级下册数学期末试卷易错题(Word版含答案)
数学八年级下册数学期末试卷易错题(Word 版含答案) 一、选择题1.若分式12x x -+有意义,则实数x 的取值范围是( ) A .1x ≤且2x ≠-B .1x >且2x ≠-C .1x >D .1≥x 2.若ABC 的三边a 、b 、c 满足条件222()()0a b a b c -⋅+-=,则ABC 为( )A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰三角形或直角三角形D .等腰直角三角形 3.如图,在△ABC 中,D ,E 分别是AB ,BC 的中点,点F 在DE 延长线上,添加一个条件使四边形ADFC 为平行四边形,则这个条件是( )A .∠B =∠F B .∠B =∠BCFC .AC =CFD .AD =CF 4.为了丰富校园文化,学校艺术节举行初中生书法大赛,设置了10个获奖名额.结果共有21名选手进入决赛,且决赛得分均不相同.若知道某位选手的决赛得分,要判断它是否获奖,只需知道学生决赛得分的( )A .平均数B .中位数C .众数D .方差5.如图,在平面直角坐标系中有一矩形OABC .O 为坐标原点,()10,0A 、()0,4C ,D 为OA 的中点,P 为BC 边上一点,若POD 为等腰三角形,则所有满足条件的点P 有几个( )A .1个B .2个C .3个D .4个6.如图,在三角形纸片ABC 中,∠A =60°,∠B =70°,将纸片的一角折叠,使点C 落在△ABC 外,若∠2=18°,则∠1的度数为( )A .50°B .118°C .100°D .90°7.如图,O 是矩形ABCD 的对角线AC 的中点,M 是AD 的中点,若AB =5,AD =12,则四边形ABOM 的周长为( )A.18 B.20 C.21 D.248.如图①,在矩形ABCD中,AB< AD,对角线AC、BD相交于点O,动点P从点A出发,沿A→B→C→D向点D运动.设点P的运动路程为x,ΔAOP的面积为y,y与x的函数关系图象如图②所示,则下列结论错误的是()A.四边形ABCD的面积为12 B.AD边的长为4C.当x=2.5时,△AOP是等边三角形D.ΔAOP的面积为3时,x的值为3或10二、填空题9.若2336=-+-+,则xy的平方根为________.y x x10.已知菱形ABCD的对角线AC,BD的长分别为6和8,则该菱形面积是_______.b=,则c=__________.11.直角三角形的三边长分别为a、b、c,若3a=,412.如图,在矩形ABCD中,点E在AD上,且EC平分BED∠,若1AB=,∠=︒,则DE的长为__________.EBC4513.已知一次函数y=kx﹣b,当自变量x的取值范围是1≤x≤3时,对应的因变量y的取值范围是5≤y≤10,那么k﹣b的值为_______.14.如图中,四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,若使四边形ABCD为菱形,则需添加的条件是______.(只需添加一个条件即可)15.如图,在平面直角坐标系中,直线y =﹣x +2与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,点P 是线段AB 的三等分点(AP >BP ),点C 是x 轴上的一个动点,连接BC ,以BC 为直角边,点B 为直角顶点作等腰直角△BCD ,连接DP .则DP 长度的最小值是___.16.如图,正方形ABCD 和正方形EFCG 的边长分别为3和1,点F 、G 分别在边,BC CD 上,P 为AE 的中点,连接PG ,则PG 的长为 _________ .三、解答题17.(123317(2)21148--- (2)1(615)3252 (3148312242 (4205112(31)(31)35+ 18.由于大风,山坡上的一颗甲树从A 点处被拦腰折断,其顶点恰好落在一棵树乙的底部C 处,如图所示,已知AB =4米,BC =13米,两棵树的水平距离是12米,求甲树原来的高度.19.如图,每个小正方形的边长都是1.A、B、C、D均在网格的格点上.(1)求边BC、BD的长度.(2)∠BCD是直角吗?请证明你的判断.(3)找到格点E,画出四边形ABED,使其面积与四边形ABCD面积相等(一个即可,且E与C不重合).20.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,点M为AD的中点,过点M作//MN BD交CD延长线于点N.(1)求证:四边形MNDO是平行四边形;(2)请直接写出当四边形ABCD的边AB与BD满足什么关系时,四边形MNDO分别是菱形、矩形、正方形.21.先阅读下列材料,再解决问题:阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数,它们能通过完全平方公式及二次根式的性22232232121(2)212(12)+=+⨯⨯++⨯⨯+|12|=12解决问题:①146514235+=+⨯⨯_________________=________________=_________________②根据上述思路,试将下列各式化简:28103-3 12 +22.黄埔区某游泳馆推出以下两种收费方式.方式一:顾客不购买会员卡,每次游泳付费40元.方式二:顾客先购买会员卡,每张会员卡800元,仅限本人一年内使用,凭卡游泳,每次游泳再付费20元.设你在一年内来此游泳馆游泳的次数为x次,选择方式一的总费用为y1(元),选择方式二的总费用为y 2(元).(1)请分别写出y 1,y 2与x 之间的函数表达式;(2)如果你在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次,为省钱,你选择哪种方式? 23.如图,在▱ABCD 中,连接BD ,AB BD ⊥,且AB BD =,E 为线段BC 上一点,连接AE 交BD 于F .(1)如图1,若22AB =,BE =1,求AE 的长度;(2)如图2,过D 作DH ⊥AE 于H ,过H 作HG ⊥AD 交AD 于G ,交BD 于M ,过M 作MN ∥AD 交AE 于N ,连接BN ,证明:2NH BN =;(3)如图3,点E 在线段BC 上运动时,过D 作DH ⊥AE 于H ,延长DH 至Q ,使得12QH AH =,M 为AD 的中点,连接QM ,若42AD =,当QM 取最大值时,请直接写出△ADH 的面积.24.如图,在平面直角坐标系xOy 中,直线y =﹣2x +6交x 轴于点A ,交轴于点B ,过点B 的直线交x 轴负半轴于点C ,且AB =BC .(1)求点C 的坐标及直线BC 的函数表达式;(2)点D (a ,2)在直线AB 上,点E 为y 轴上一动点,连接DE .①若∠BDE =45°,求BDE 的面积;②在点E 的运动过程中,以DE 为边作正方形DEGF ,当点F 落在直线BC 上时,求满足条件的点E 的坐标.25.如图,已知平面直角坐标系中,1,0A 、()0,2C ,现将线段CA 绕A 点顺时针旋转90︒得到点B ,连接AB .(1)求出直线BC 的解析式;(2)若动点M 从点C 出发,沿线段CB 10,过M 作//MN AB 交y 轴于N ,连接AN .设运动时间为t 分钟,当四边形ABMN 为平行四边形时,求t 的值.(3)P 为直线BC 上一点,在坐标平面内是否存在一点Q ,使得以O 、B 、P 、Q 为顶点的四边形为菱形,若存在,求出此时Q 的坐标;若不存在,请说明理由.【参考答案】一、选择题1.D解析:D【分析】根据分式有意义,分母不为0,二次根式的被开方数是非负数列式解答即可.【详解】解:由题意得,10x -≥,且20x +≠,∴实数x 的取值范围是1≥x ,故选:D .【点睛】本题考查的是分式有意义和二次根式有意义的条件,掌握分式有意义,分母不为0,二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.2.C解析:C【详解】解析:∵222()()0a b a b c -+-=,∴a b =或222+=a b c .当只有a b =成立时,是等腰三角形.当只有222+=a b c 成立时,是直角三角形.当a b =,222+=a b c 同时成立时,是等腰直角三角形.答案:C题型解法:此类题型首先根据题意化简式子,找出隐含条件,然后根据三边的关系判断三角形的形状.当三角形的三边满足勾股定理时,即可判断为直角三角形.3.B解析:B【解析】【分析】根据已知条件可以得到//AC DE ,对选项判断即可求出解.【详解】解:∵D ,E 分别是AB ,BC 的中点∴//AC DE ,12DE AC A :根据∠B =∠F 得不出四边形ADFC 为平行四边形,选项不符合题意;B :∠B =∠BCF ,∴CF//AD ,∴四边形ADFC 为平行四边形,选项符合题意; C :根据AC =CF 得不出四边形ADFC 为平行四边形,选项不符合题意;D :根据AD =CF 得不出四边形ADFC 为平行四边形,选项不符合题意;故答案为B .【点睛】此题考查了中位线的性质以及平行四边形的判定,熟练掌握有关性质即判定方法是解题的关键.4.B解析:B【解析】【分析】由于书法大赛设置了10个获奖名额,共有21名选手进入决赛,根据中位数的意义分析即可.【详解】解:将21名选手进入决赛不同的分数按从小到大排序后,中位数及中位数之后的共有11个数,故只要知道自己的分数和中位数就可以知道是否获奖了,故选B .【点睛】本题主要考查中位数,以及相关平均数、众数、方差的意义,熟练掌握相关知识是解题的关键.5.D解析:D【分析】由矩形的性质得出∠OCB =90°,OC =4,BC =OA =10,求出OD =AD =5,分情况讨论:①当PO =PD 时;②当OP =OD 时;③当DP =DO 时;根据线段垂直平分线的性质或勾股定理即可求出点P 的坐标.【详解】解:∵四边形OABC 是矩形,∴∠OCB =90°,OC =4,BC =OA =10,∵D 为OA 的中点,∴OD =AD =5,①当PO =PD 时,点P 在OD 得垂直平分线上,∴点P的坐标为:(2.5,4);②当OP=OD时,如图1所示:则OP=OD=5,2253PC=-∴点P的坐标为:(3,4);③当DP=DO时,作PE⊥OA于E,则∠PED=90°,22DE=-=;543分两种情况:当E在D的左侧时,如图2所示:OE=5-3=2,∴点P的坐标为:(2,4);当E在D的右侧时,如图3所示:OE=5+3=8,∴点P的坐标为:(8,4);综上所述:点P的坐标为:(2.5,4),或(3,4),或(2,4),或(8,4);故选:D【点睛】本题考查了矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定、勾股定理;本题有一定难度,需要进行分类讨论才能得出结果.6.B解析:B【解析】【分析】在△ABC中利用三角形内角和定理可求出∠C的度数,由折叠的性质,可知:∠CDE=∠C′DE,∠CED=∠C′ED,结合∠2的度数可求出∠CED的度数,在△CDE中利用三角形内角和定理可求出∠CDE 的度数,再由∠1=180°﹣∠CDE ﹣∠C ′DE 即可求出结论.【详解】解:在△ABC 中,∠A =60°,∠B =70°,∴∠C =180°﹣∠A ﹣∠B =50°.由折叠,可知:∠CDE =∠C′DE ,∠CED =∠C′ED ,∴∠CED =18022︒+∠=99°, ∴∠CDE =180°﹣∠CED ﹣∠C =31°,∴∠1=180°﹣∠CDE ﹣∠C′DE =180°﹣2∠CDE =118°.故选:B .【点睛】本题考查了三角形内角和定理以及折叠的性质,利用三角形内角和定理及折叠的性质求出∠CDE 的度数是解题的关键.7.B解析:B【解析】【分析】根据中位线的性质求得OM ,再根据直角三角形的性质求得OB ,即可求解.【详解】解:在矩形ABCD 中,5AB CD ==,90ABC ∠=︒由勾股定理得13AC∵O 是AC 的中点,M 是AD 的中点∴OM 为ACD △的中位线,162AM AD ==,11322BO AC == ∴1522OM CD == 四边形ABOM 的周长为135562022AB BO OM AM =+++=+++= 故选B【点睛】 此题考查矩形的性质,勾股定理,中位线的性质以及直角三角形的性质,熟练掌握相关基本性质是解题的关键.8.C解析:C【分析】过点P 作PE ⊥AC 于点E ,根据ΔAOP 的边OA 是一个定值,OA 边上的高PE 最大时是点P 分别与点B 和点D 重合,因此根据这个规律可以对各个选项作出判断.【详解】A 、过点P 作PE ⊥AC 于点E ,当点P 在AB 和BC 边上运动时,PE 逐渐增大,到点B 时最大,然后又逐渐减小,到点C时为0,而y=12OA PE中,OA为定值,所以y是先增大后减小,在B点时面积最大,在C点时面积最小;观察图②知,当点P与点B重合时,ΔAOP 的的面积为3,此时矩形的面积为:4×3=12,故选项A正确;B、观察图②知,当运动路程为7时,y的值为0,此时点P与点C重合,所以有AB+BC=7,又AB∙BC=12,解得:AB=3,BC=4,或AB=4,BC=3,但AB<BC,所以AB=3,BC=4,根据四边形ABCD为矩形,所以AD=4,故选项B正确;C、当x=2.5时,即x<3,点P在边AB上由勾股定理,矩形的对角线为5,则OA=2.5,所以OA=AP,△AOP是等腰三角形,但△ABC是三边分别为3,4,5的直角三角形,故∠BAC不可能为60°,从而△AOP不是等边三角形,故选项C错误;D、当点P在AB和BC边上运动时,点P与点B重合时最大面积为3,此时x的值为3;当点P在边CD和DA上运动时,PE逐渐增大,到点D时最大,然后又逐渐减小,到点A时为0,而y=12OA PE也是先增大再减小,在D点时面积最大,在A点时面积最小;所以当点P与点D重合时,最大面积为3,此时点P运动的路程为AB+BC+CD=10,即x=10,所以当x=3或10时,ΔAOP的面积为3,故选项D正确.故选:C.【点睛】本题是动点问题的函数图象,考查了函数的图象、图形的面积、矩形的性质、解方程等知识,关键是确定点P到AC的距离的变化规律,从而可确定y的变化规律,同时善于从函数图象中抓住有用的信息,获得问题的突破口.二、填空题9.2【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件求出x,进而求出y,根据平方根的概念解答即可.【详解】3x 有意义,则x-3≥0,同理,3-x≥0,解得,x=3,则y=6,∴xy=18,∵18的平方根是∴xy的平方根为故答案为:【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件,掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键.10.24【解析】【详解】解:根据菱形的面积等于菱形两条对角线乘积的一半可得菱形面积为16824 2⨯⨯=故答案为:24.115【解析】【分析】根据斜边分类讨论,然后利用勾股定理分别求出c的值即可.【详解】解:①若b是斜边长根据勾股定理可得:c==②若c是斜边长根据勾股定理可得:5c综上所述:c=55【点睛】此题考查的是勾股定理,掌握用勾股定理解直角三角形和分类讨论的数学思想是解决此题的关键.12.D1【分析】由矩形的性质和角平分线的定义得出∠DEC=∠ECB=∠BEC,推出BE=BC,求得AE=AB=1,然后依据勾股定理可求得BC的长;【详解】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DEC=∠BCE,∵EC平分∠DEB,∴∠DEC=∠BEC,∴∠BEC=∠ECB,∴BE=BC,∵四边形ABCD是矩形,=∴∠A=90°,AD BC∵∠ABE=45°,∴∠ABE=∠AEB=45°,∴AB=AE=1,由勾股定理得:BE==,∴BC=AD=BE,∴=-,1DE AD AE1.【点睛】本题考查了矩形的性质,等腰三角形的性质与判定,勾股定理的应用;熟练掌握矩形的性质,证出BE=BC是解题的关键.13.5或10【分析】本题分情况讨论①k>0时,x=1时对应y=5;②k>0时,x=1时对应y=10.【详解】解:①k>0时,由题意得:x=1时,y=5,∴k-b=5;②k<0时,由题意得:x=1时,y=10,∴k-b=10;综上,k-b的值为5或10.故答案为:5或10.【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式,注意本题需分两种情况,不要漏解.14.A解析:OA OC=【分析】根据菱形的判定即可得出答案.【详解】=,∵四边形ABCD是对角线互相垂直的四边形,且OB=OD,OA OC∴四边形ABCD是菱形,=.故答案为:OA OC【点睛】本题主要考查菱形的判定,掌握菱形的判定方法是解题的关键.15.【分析】过点B作BM⊥轴于点B,使BM=OB,利用SAS证得△BOC△BMD,再证明M、D、A三点共线,推出四边形AMBO是正方形,当且仅当PD⊥AM时,线段DP的长度取得最小值,利用勾股定理即解析:43【分析】过点B 作BM ⊥y 轴于点B ,使BM =OB ,利用SAS 证得△BOC ≅△BMD ,再证明M 、D 、A 三点共线,推出四边形AMBO 是正方形,当且仅当PD ⊥AM 时,线段DP 的长度取得最小值,利用勾股定理即可求解.【详解】解:过点B 作BM ⊥y 轴于点B ,使BM =OB ,连接DM ,AD ,∵直线y =﹣x +2与x 轴交于点A ,与y 轴交于点B ,∴令0y =,则2x =;令0x =,则2y =;∴点A 的坐标为(2,0),点B 的坐标为(0,2),∴OA =OB =BM =2,∵BM ⊥y 轴,∴∠OBM =90°,∴点M 的坐标为(2,2),∵△BCD 是等腰直角三角形,∴BC =BD ,∠CBD =90°,∴∠CBD =∠OBM =90°,∴∠CBD -∠OBD =∠OBM -∠OBD ,∴∠CBO =∠DBM ,在△BOC 和△BMD ,BC BD CBO DBM OB MB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△BOC ≅△BMD (SAS ),∴∠BOC =∠BMD =90°,∴BM ⊥DM ,∴DM ∥OB ,∵M 、D 、A 三点的横坐标相同,都为2,∴M 、D 、A 三点共线,∴四边形AMBO 是正方形,∴∠BAM=45°,∵AB=2222OB OA+=,点P是线段AB的三等分点(AP>BP),∴AP=23AB=423,当且当PD⊥AM时,线段DP的长度取得最小值,此时,△PAD为等腰直角三角形,∴PD=22AP=43,∴线段DP长度最小值为43,故答案为:43.【点睛】本题考查了一次函数的的图象与坐标轴的交点问题,正方形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,全等三角形的判定和性质等知识点,证得四边形AMBO是正方形,以及当PD⊥AM时,线段DP的长度取得最小值是解题的关键.16..【详解】试题分析:连接AC,根据正方形的性质可得A、E、C三点共线,连接FG交AC 于点M,因正方形和正方形的边长分别为3和1,根据勾股定理可求得EC=FG=,AC=3,即可得AE=2,因为的中解析:.【详解】试题分析:连接AC,根据正方形的性质可得A、E、C三点共线,连接FG交AC于点M,因正方形和正方形的边长分别为3和1,根据勾股定理可求得EC=FG=,AC=3,即可得AE=2,因为的中点,可得PE=AP=,再由正方形的性质可得GM=EM= ,FG垂直于AC,在Rt△PGM中,PM= ,由勾股定理即可求得PG=.三、解答题17.(1)1;(2);(3);(4).【分析】(1)直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简,再利用有理数的加减运算法则计算得出答案;(2)直接利用二次根式的乘法运算法则以及结合绝对值的性质解析:(1)1;(2)2-;(3)44)3.【分析】(1)直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简,再利用有理数的加减运算法则计算得出答案;(2)直接利用二次根式的乘法运算法则以及结合绝对值的性质化简,先算乘法,再化简二次根式,去绝对值,最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案;(3)直接利用二次根式的乘除运算法则化简,先算乘除,再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案;(4)直接利用二次根式的乘法运算法则化简,先算乘除,再利用有理数的加减运算法则计算得出答案.【详解】解:(13=-21231=--+2122=1;(2)2=62=2=2-;(3==4=4(41)1205112313=÷+-⨯+- 21231=+-+-3=.【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算以及实数运算,正确化简二次根式是解题关键. 18.19米【分析】如图所示,过点C 作CD ⊥AB 交AB 延长线于D ,则根据题意可以得到CD=12米,根据勾股定理即可求出BD 的长,再利用勾股定理求出AC 的长即可得到AC+AB 的长.【详解】解:如图所解析:19米【分析】如图所示,过点C 作CD ⊥AB 交AB 延长线于D ,则根据题意可以得到CD =12米,根据勾股定理即可求出BD 的长,再利用勾股定理求出AC 的长即可得到AC +AB 的长.【详解】解:如图所示,过点C 作CD ⊥AB 交AB 延长线于D由题意得:CD =12,AB =4米,BC =13米在Rt △BCD 中222213125BD BC CD =-=-=米∴9AD AB BD =+=米在Rt △ACD 中222212915AC CD AD =+=+=米∴19AC AB +=米∴甲树原来的高度是19米.【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用,解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理.19.(1),;(2)不是直角,证明见解析;(3)见解析【解析】【分析】(1)利用勾股定理求解即可.(2)利用勾股定理的逆定理判断即可.(3)利用等高模型解决问题即可.【详解】解:(1)BC解析:(1)29,42;(2)不是直角,证明见解析;(3)见解析【解析】【分析】(1)利用勾股定理求解即可.(2)利用勾股定理的逆定理判断即可.(3)利用等高模型解决问题即可.【详解】解:(1)BC=2225+=29,BD=2244+=42.(2)结论:不是直角.理由:∵CD=5,BC=29,BD=42,∴BC2+CD2≠BD2,∴∠BCD≠90°.(3)如图,四边形ABED即为所求.【点睛】本题考查作图-应用与设计作图,勾股定理,勾股定理的逆定理,四边形的面积等知识,解题的关键是掌握勾股定理以及勾股定理的逆定理解决问题,属于中考常考题型.20.(1)见解析;(2)时,四边形MNDO是菱形;当时,四边形MNDO是矩形;当且时,四边形MNDO是正方形【分析】(1)利用平行四边形的性质及三角形中位线的性质,可得,再加已知条件,利用平行四边形解析:(1)见解析;(2)AB BD=时,四边形MNDO是菱形;当AB BD⊥时,四边形MNDO是矩形;当AB BD=且AB BD⊥时,四边形MNDO是正方形【分析】(1)利用平行四边形的性质及三角形中位线的性质,可得//OM CD,再加已知条件//MN BD,利用平行四边形的判定定理(有两组对边分别平行的四边形是平行四边形)即可证明;(2)①根据(1)中平行四边形的性质及三角形中位线的性质可得:12OM AB=,12MN BD =,当AB BD =时,OM MN =,利用菱形的判定定理(有一组邻边相等的平行四边形是菱形);②根据(1)中平行四边形的性质可得://OM AB ,//MN BD ,当AB BD ⊥时,OM MN ⊥,根据矩形的判定定理(有一个角是直角的平行四边形是矩形)即可证明; ③根据(1)中平行四边形的性质及三角形中位线的性质可得::12OM AB =,12MN BD =,且//OM AB ,//MN BD ,当AB BD =且AB BD ⊥时,OM MN =且OM MN ⊥,根据正方形的判定定理(一组邻边相等、有一个角是直角的平行四边形是正方形)即可证明.【详解】解:(1)证明:∵ABCD 对角线AC 、BD 交于点O ,∴OA OC =,又∵M 为AD 中点,∴//OM CD ,又∵//MN BD ,∴四边形MNDO 是平行四边形;(2)①当AB BD =时,四边形MNDO 是菱形,证明:根据(1)可得,四边形MNDO 是平行四边形,且12OM AB =,12MN BD =, 又∵AB BD =,∴OM MN =,∴四边形MNDO 是菱形;②当AB BD ⊥时,四边形MNDO 是矩形,证明:根据(1)可得,四边形MNDO 是平行四边形,且//OM AB ,//MN BD , 又∵AB BD ⊥,∴OM MN ⊥,∴四边形MNDO 是矩形;③当AB BD =且AB BD ⊥时,四边形MNDO 是正方形,证明:根据(1)可得,四边形MNDO 是平行四边形及三角形中位线的性质可得:12OM AB =,12MN BD =,且//OM AB ,//MN BD , 又∵AB BD =且AB BD ⊥,∴OM MN =且OM MN ⊥,∴四边形MNDO 是正方形.【点睛】题目主要考查平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定定理,熟练运用特殊四边形的判定定理是解题关键.21.①,,3+;②(1)5-;(2) .【解析】【分析】①模仿阅读材料的方法将原式变形,计算即可得到结果;②仿照以上方法将各式化简即可.【详解】①===3+,故答案为,,3+;②(1)解析:3+②(1)5(2) 12 【解析】【分析】①模仿阅读材料的方法将原式变形,计算即可得到结果;②仿照以上方法将各式化简即可.【详解】3+3=5=12+=12. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,熟练掌握运算法则是解本题的关键.22.(1)y1=40x ,y2=20x+800;(2)在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次,为省钱,应选择方式二【分析】(1)根据题意可以写出y1,y2与x 之间的函数表达式;(2)将x=15代入(解析:(1)y 1=40x ,y 2=20x +800;(2)在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次,为省钱,应选择方式二【分析】(1)根据题意可以写出y 1,y 2与x 之间的函数表达式;(2)将x =15代入(1)中函数关系式,求出相应的函数值,然后比较大小即可解答本题.【详解】解:(1)当游泳次数为x 时,方式一费用为:y 1=40x ,方式二的费用为:y 2=20x +800;(2)若一年内来此游泳馆游泳的次数为60次,方式一的费用为:y 1=40×60=2400(元),方式二的费用为:y 2=20×60+800=2000(元),∵2400>2000,∴在一年内来此游泳馆游泳的次数超过60次,为省钱,应选择方式二.【点睛】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,求出y 1,y 2与x 之间的函数表达式,利用一次函数的性质解答.23.(1)见解析;(2)见解析;(3).【分析】(1)分别过点作,垂足分别为,勾股定理解即可;(2)连接,过点作于点,设,经过角度的变换得出,再证明,得出,,结合已知条件,继而证,得出,,进而得到解析:(1)见解析;(2)见解析;(3 【分析】(1)分别过点,B E 作,BS AD ER AD ⊥⊥,垂足分别为,S R ,勾股定理解Rt ARE △即可; (2)连接BH ,过点N 作NT AD ⊥于点T ,设BAN α∠=,经过角度的变换得出BAN HDB ∠=∠,再证明ATN △≌HGD △,得出,AN HD =,结合已知条件,继而证BAN ≌BDH △,得出ABN DBH ∠=∠,NB HB =,进而得到NBH △是等腰直角三角形,从而得证;(3)分别作,AD AQ 的中垂线,交于点O ,根据作图,先判断MQ 最大的时候的位置, 进而由12QH AH =,42AD =,构造直角三角形,勾股定理求得,AH HD ,从而求得△ADH 的面积 .【详解】(1)如图,分别过点,B E 作,BS AD ER AD ⊥⊥,垂足分别为,S RAB BD ⊥,AB BD =,22AB =ABD ∴是等腰直角三角形,ASB △是等腰直角三角形224AD AB BD ∴=+=∴122AS SD AD ===,2BS AS == 四边形ABCD 是平行四边形//AD BC ∴,BS AD ER AD ⊥⊥,1BE =∴四边形SBER 是矩形∴SR BE =1=,2RE SB ==3AR AS SR ∴=+=在Rt ARE △中22223213AE AR RE =+=+=(2)连接BH ,过点N 作NT AD ⊥于点T ,设BAN α∠=BAD 是等腰直角三角形45BAD BDA∴∠=∠=︒45 HAD BAD BANα∴∠=∠-∠=︒-DH AE⊥,9045ADH HADα∴∠=︒-∠=︒+4545HDB ADH ADBαα∴∠=∠-∠=︒+-︒= BAN HDB∴∠=∠NT AD⊥9090(45)45 ANT HADαα∴∠=︒-∠=︒-︒-=︒+,90ATN∠=︒ANT ADH HDG∴∠=∠=∠HG AD⊥90HGD∴∠=︒ATN HGD∴∠=∠又45BDA∠=︒9045DMG MDG∴∠=︒-∠=︒GD GM∴=//MN AD,HG AD⊥,NT AD⊥∴四边形TNMG是矩形GM TN∴=TN GD∴=在ATN△和HGD△中ANT HDGTN GDATN HGD∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴ATN△≌HGD△(ASA)AN HD∴=在BAN和BDH△中AB BDBAN HDBAN HD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴BAN≌BDH△(SAS)ABN DBH∴∠=∠,NB HB=ABN NBD DBH NBD∠+∠=∠+∠即ABD NBH∠=∠AB BD⊥90ABD∴∠=︒90NBH∴∠=︒NBH∴△是等腰直角三角形∴NH=即NH=(3)分别作,AD AQ 的中垂线,交于点O ,由题意,当点E 在线段BC 上运动时,AQD ∠不变,AD 的长度不变,则,,A D Q 三点共圆,则点Q 在以O 为圆心OQ 为半径的圆上运动,DH AE ⊥,12QH AH =tan 2AH AQD QH∴∠== 在OMQ 中MQ MO OQ ≤+∴当,,M O Q 三点共线时,MQ 取得最大值,此时情形如图:,AB BD BM AD =⊥∴AM MD =,,M O Q 三点共线,∴点Q 在AB 的垂直平分线上QA QD ∴=DH AE ⊥,tan 2AH AQDQH∠== 设QH x =,则AH 2x =AQ ∴=QD =DH x ∴=-AD =222AH DH AD ∴+=即222(2))x x +-= 得:2x =△ADH 的面积12AH DH =⋅12)2x x =⨯⋅-21)x =1)=∴当QM 取最大值时,△ADH 【点睛】本题考查了平行四边形的性质,矩形的性质与判定,等腰三角形的性质,垂直平分线的性质,圆的性质,勾股定理,三角形三边关系,三角形全等的证明与性质,动点问题等,本题是一道综合性比较强的题,熟练平面几何的性质定理是解题的关键.24.(1)C(-3,0),y =2x+6;(2)①;②(0,7)或(0,-1)【解析】【分析】(1)利用等腰三角形的三线合一的性质求出点C 的坐标,再利用待定系数法求解即可. (2)①如图,取点Q(-解析:(1)C (-3,0),y =2x +6;(2)①103;②(0,7)或(0,-1) 【解析】【分析】(1)利用等腰三角形的三线合一的性质求出点C 的坐标,再利用待定系数法求解即可. (2)①如图,取点Q (-1,3),连接BQ ,DQ ,DQ 交AB 于E .证明△QDB 是等腰直角三角形,求出直线QD 的解析式即可解决问题.②分两种情形:点F 落在直线BC 上,点F′落在直线BC 上,分别求解即可.【详解】解:(1)∵直线y =﹣2x +6交x 轴于点A ,交轴于点B ,∴A (3,0),B (0,6),∴OA =3,OB =6,∵A B =BC ,OB ⊥AC ,∴OC =OA =3,∴C (-3,0),设直线BC 的解析式为y =kx +b ,则有630b k b =⎧⎨-+=⎩, 解得26k b =⎧⎨=⎩, ∴直线BC 的解析式为y =2x +6.(2)①如图,取点Q (-1,3),连接BQ ,DQ ,DQ 交AB 于E .∵D (a ,2)在直线y =﹣2x +6上,∴2=﹣2a+6,∴a =2,∴D (2,2),∵B (0,6), ∴221310QB +221310QD +,222425BD +=∴BD 2=QB 2+QD 2,QB =QD ,∴∠BQD =90°,∠BDQ =45°,∵直线DQ 的解析式为1833y x =-+, ∴E (0,83), ∴OE =83,BE =6﹣83=103, ∴110102233BDE S =⨯⨯=. ②如图,过点D 作DM ⊥OA 于M ,DN ⊥OB 于N .∵四边形DEGF是正方形,∴∠EDF=90°,ED=DF,∵∠EDF=∠MDN=90°,∴∠EDN=∠DFM,∵DE=DF,DN=DM,∴△DNE≌△DMF(SAS),∴∠DNE=∠DMF=90°,EN=FM,∴点F在x轴上,∴当点F与C重合时,FM=NE=5,此时E(0,7),同法可证,点F′在直线y=4上运动,当点F′落在BC上时,E(0,﹣1),综上所述,满足条件的点E的坐标为(0,7)或(0,﹣1).【点睛】本题属于一次函数综合题,考查了一次函数的性质,等腰三角形的性质,正方形的性质,全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形解决问题,属于压轴题.25.(1);(2)t=s时,四边形ABMN是平行四边形;(3)存在,点Q坐标为:或或或.【分析】(1)如图1中,作BH⊥x轴于H.证明△COA≌△AHB(AAS),可得BH=OA=1,AH=OC=2解析:(1)123y x=-+;(2)t=23s时,四边形ABMN是平行四边形;(3)存在,点Q坐标为:618,55⎛⎫⎪⎝⎭或(3,1)-或(3,1)-或155,88⎛⎫-⎪⎝⎭.【分析】(1)如图1中,作BH⊥x轴于H.证明△COA≌△AHB(AAS),可得BH=OA=1,AH=OC=2,求出点B坐标,再利用待定系数法即可解决问题.(2)利用平行四边形的性质求出点N的坐标,再求出AN,BM,CM即可解决问题.(3)如图3中,当OB为菱形的边时,可得菱形OBQP,菱形OBP1Q1.菱形OBP3Q3,当OB为菱形的对角线时,可得菱形OP2BQ2,点Q2在线段OB的垂直平分线上,分别求解即可解决问题.【详解】(1)如图1中,作BH ⊥x 轴于H .∵A (1,0)、C (0,2),∴OA=1,OC=2,∵∠COA=∠CAB=∠AHB=90°,∴∠ACO+∠OAC=90°,∠CAO+∠BAH=90°,∴∠ACO=∠BAH ,∵AC=AB ,∴△COA ≌△AHB (AAS ),∴BH=OA=1,AH=OC=2,∴OH=3,∴B (3,1),设直线BC 的解析式为y=kx+b ,则有231b k b =⎧⎨+=⎩, 解得:132k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, ∴123y x =-+; (2)如图2中,∵四边形ABMN 是平行四边形,∴AN ∥BM ,∴直线AN 的解析式为:1133y x =-+, ∴10,3N ⎛⎫ ⎪⎝⎭,∴103BM AN ==, ∵B (3,1),C (0,2),∴BC=10,∴2103CM BC BM =-=, ∴21021033t =÷=, ∴t=23s 时,四边形ABMN 是平行四边形; (3)如图3中,如图3中,当OB 为菱形的边时,可得菱形OBQP ,菱形OBP 1Q 1.菱形OBP 3Q 3, 连接OQ 交BC 于E ,∵OE ⊥BC ,∴直线OE 的解析式为y=3x ,由3123y x y x =⎧⎪⎨=-+⎪⎩,解得:3595x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴E (35,95), ∵OE=OQ ,∴Q (65,185), ∵OQ 1∥BC ,∴直线OQ 1的解析式为y=-13x , ∵OQ 110,设Q 1(m ,-1m 3), ∴m 2+19m 2=10, ∴m=±3,可得Q1(3,-1),Q3(-3,1),当OB为菱形的对角线时,可得菱形OP2BQ2,点Q2在线段OB的垂直平分线上,易知线段OB的垂直平分线的解析式为y=-3x+5,由3513y xy x=-+⎧⎪⎨=-⎪⎩,解得:15858xy⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩,∴Q2(158,58-).综上所述,满足条件的点Q坐标为:618,55⎛⎫⎪⎝⎭或(3,1)-或(3,1)-或155,88⎛⎫-⎪⎝⎭.【点睛】本题属于一次函数综合题,考查了平行四边形的判定和性质,菱形的判定和性质,一次函数的性质等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.。
(word完整版)八年级数学下册分式方程应用题专题训练(答案)
1.(2018•哈尔滨模拟)某市对一段全长2000米的道路进行改造,为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响,实际施工时,若每天修路比原来计划提高效率25%,就可以提前5天完成修路任务.(1)求修这段路计划用多少天?(2)有甲、乙两个工程队参与修路施工,其中甲队每天可修路120米,乙队每天可修路80米,若每天只安排一个工程队施工,在保证至少提前5天完成修路任务的前提下,甲工程队至少要修路多少天?【解答】解:(1)设原计划每天修x米,由题意得﹣=5解得x=80,经检验x=80是原方程的解,则=25天,答:修这段路计划用20天。
(2)设甲工程队至少要修路a天,则乙工程队要修路20﹣a天,根据题意得120a+80(20﹣a)≥2000,解得a≥10,所以a最小等于10.答:甲工程队至少要修路10天.2.(2018•南岗区一模)某商店用640元钱购进水果销售,过了一段时间,又用1600元钱购进这种水果,所购数量是第一次购进数量的2倍,但每千克水果的价格比第一次购进的贵了2元.(1)该商店第一次购进水果多少千克?(2)假设该商店两次购进的水果按相同的标价销售,最后剩下的50千克水果按标价的六折优惠销售.若两次购进水果全部售完,利润不低于400元,则每千克水果的标价至少是多少元?注:每千克水果的销售利润等于每千克水果的销售价格与每千克水果的购进价格的差,两批水果全部售完的利润等于两次购进水果的销售利润之和.【解答】解:(1)设该商店第一次购进水果x千克,根据题意得:﹣=2,解得:x=80,经检验,x=80是原方程的解,答:该商店第一次购进水果80千克.(2)设每千克水果的标价是y元,则(80+160﹣50)y+50×60%y﹣640﹣1600≥400,解得:y≥12,答:每千克水果的标价至少是12元.3.(2018•雨城区校级模拟)为了迎接“五•一”小长假的购物高峰.某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋.其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表:运动鞋价格甲乙进价(元/双)m m﹣20售价(元/双)240160已知:用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同.(1)求m的值;(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润(利润=售价﹣进价)不少于21700元,且不超过22300元,问该专卖店有几种进货方案?该专卖店要获得最大利润应如何进货?【解答】解:(1)依题意得,=,整理得,3000(m﹣20)=2400m,解得:m=100,经检验,m=100是原分式方程的解,所以,m=100;(2)设购进甲种运动鞋x双,则乙种运动鞋(200﹣x)双,根据题意得,不等式组的解集是95≤x≤105,∵x是正整数,105﹣95+1=11,∴共有11种方案.设总利润为W,则W=(240﹣100)x+80(200﹣x)=60x+16000(95≤x≤105),所以,当x=105时,W有最大值,即此时应购进甲种运动鞋105双,购进乙种运动鞋95双.4.(2018•松北区一模)某学校九年级举行乒乓球比赛,准备发放一些奖品进行奖励,奖品设为一等奖和二等奖.已知购买一个一等奖奖品比购买一个二等奖奖品多用20元.若用400元购买一等奖奖品的个数是用160元购买二等奖奖品个数的一半.(1)求购买一个一等奖奖品和一个二等奖奖品各需多少元?(2)经商谈,商店决定给予该学校购买一个一等奖奖品即赠送一个二等奖奖品的优惠,如果该学校需要二等奖奖品的个数是一等奖奖品个数的2倍还多8个,且该学校购买两个奖项奖品的总费用不超过670元,那么该学校最多可购买多少个一等奖奖品?【解答】解:(1)设购买一个二等奖奖品需x元,则购买一个一等奖奖品需(x+20)元,根据题意得:=•,解得:x=5,经检验,x=5是原分式方程的解,∴x+20=25.答:购买一个二等奖奖品需5元,购买一个一等奖奖品需25元.(2)设该学校可购买a个一等奖奖品,则可购买(2a+8)个二等奖奖品,根据题意得:15a+5(2a+8﹣a)≤670,解得:a≤21.答:该学校最多可购买21个一等奖奖品.5.(2018•黄岛区一模)学校计划选购甲、乙两种图书作为校园图书节的奖品,已知甲种图书的单价是乙种图书单价的1.5倍,用600元单独购买甲种图书比单独购买乙种图书要少10本.(1)甲、乙两种图书的单价分别为多少元?(2)若学校计划购买这两种图书共40本,要使购买的甲种图书数量不少于乙种图书的数量的一半,如何购买使得所需费用最少?最少费用是多少?【解答】解:(1)设乙种图书的单价为x元/本,则甲种图书的单价为1.5x元/本,根据题意得:﹣=10,解得:x=20,经检验,x=20是原方程的根,且符合题意,∴1.5x=30.答:甲种图书的单价为30x元/本,乙种图书的单价为20元/本.(2)设购买甲种图书m本,则购买乙种图书(40﹣m)本,根据题意得:m≥(40﹣m),解得:m≥,∵m为整数,∴m≥14.设购书费用为y元,则y=30m+20(40﹣m)=10m+800,∵10>0,∴y随m的增大而增大,∴当m=14时,y取最小值,最小值=10×14+800=940.答:购买14本甲种图书、26本乙种图书费用最少,最少费用为940元.6.(2018•道外区一模)某工厂签了1200件商品订单,要求不超过15天完成.现有甲、乙两个车间来完成加工任务.已知甲车间的加工能力是乙车间加工能力的1.5倍,并且加工240件需要的时间甲车间比乙车间少用2天.(1)求甲、乙每个车间的加工能力每天各是多少件?(2)甲、乙两个车间共同生产了若干天后,甲车间接到新任务,留下乙车间单独完成剩余工作,求甲、乙两车间至少合作多少天,才能保证完成任务.【解答】解:(1)设乙车间的加工能力每天是x件,则甲车间的加工能力每天是1.5x 件.根据题意得:﹣=2,解得:x=40.经检验x=40是方程的解,则1.5x=60.答:甲、乙每个车间的加工能力每天分别是60件和40件;(2)设甲、乙两车间合作m天,才能保证完成任务.根据题意得:m+[1200﹣(40+60)m]÷40≤15,解得m≥10.答:甲、乙两车间至少合作10天,才能保证完成任务.7.(2018•东莞市校级一模)人民商场准备购进甲、乙两种牛奶进行销售,若甲种牛奶的进价比乙种牛奶的进价每件少5元,其用90元购进甲种牛奶的数量与用100元购进乙种牛奶的数量相同.(1)求甲种牛奶、乙种牛奶的进价分别是多少元?(2)若该商场购进甲种牛奶的数量是乙种牛奶的3倍少5件,该商场甲种牛奶的销售价格为49元,乙种牛奶的销售价格为每件55元,则购进的甲、乙两种牛奶全部售出后,可使销售的总利润(利润=售价﹣进价)等于371元,请通过计算求出该商场购进甲、乙两种牛奶各自多少件?【解答】解:(1)设乙种牛奶的进价为x元/件,则甲种牛奶的进价为(x﹣5)元/件,根据题意得:=,解得:x=50,经检验,x=50是原分式方程的解,且符合实际意义,∴x﹣5=45.答:乙种牛奶的进价是50元/件,甲种牛奶的进价是45元/件.(2)设购进乙种牛奶y件,则购进甲种牛奶(3y﹣5)件,根据题意得:(49﹣45)(3y﹣5)+(55﹣50)y=371,解得:y=23,∴3y﹣5=64.答:该商场购进甲种牛奶64件,乙种牛奶23件.8.(2018•阿城区模拟)某文具店用1050元购进第一批某种钢笔,很快卖完,又用1440元购进第二批该种钢笔,但第二批每支钢笔的进价是第一批进价的1.2倍,数量比第一批多了10支.(1)求第一批每支钢笔的进价是多少元?(2)第二批钢笔按24元/支的价格销售,销售一定数量后,根据市场情况,商店决定对剩余的钢笔全按8折一次性打折销售,但要求第二批钢笔的利润率不低于20%,问至少销售多少支后开始打折?【解答】解:(1)设第一批每只文具盒的进价是x元,根据题意得:﹣=10,解得:x=15,经检验,x=15是方程的解,答:第一批文具盒的进价是15元/只;(2)设销售y只后开始打折,根据题意得:(24﹣15×1.2)y+(﹣y)(24×80%﹣15×1.2)≥1440×20%,解得:y≥40.答:至少销售40只后开始打折.9.(2018•铁西区模拟)A,B两地间仅有一长为180千米的平直公路,若甲,乙两车分别从A,B两地同时出发匀速前往B,A两地,乙车速度是甲车速度的倍,乙车比甲车早到45分钟.(1)求甲车速度;(2)乙车到达A地停留半小时后以来A地时的速度匀速返回B地,甲车到达B地后立即提速匀速返回A地,若乙车返回到B地时甲车距A地不多于30千米,求甲车至少提速多少千米/时?【解答】解:(1)设甲车速度为x千米/时,则乙车的速度是x千米/时,依题意得:=+,解得:x=60.经检验:x=60是原方程的解.答:设甲车速度为60千米/时;(2)设甲车提速y千米/时,依题意得:180﹣(×2+)(60+y)≤30,解得:y≥15.所以甲车至少提速15千米/时.10.(2018•长春模拟)甲乙两地相距72千米,李磊骑自行车往返两地一共用了7小时,已知他去时的平均速度比返回时的平均速度快,求李磊去时的平均速度是多少?小芸同学解法如下:解:设李磊去时的平均速度是x千米/时,则返回时的平均速度是(1﹣)x千米/时,由题意得:+=7,…你认为小芸同学的解法正确吗?若正确,请写出该方程所依据的等量关系,并完成剩下的步骤;若不正确,请说明原因,并完整地求解问题.【解答】解:小芸同学的解法不正确.理由为:“去时的平均速度比返回时的平均速度快”并不等于“返回时的平均速度比去时的平均速度慢”.正确的解法是:设返回时的平均速度为x千米/时,则去时的平均速度为(1+)x 千米/时,根据题意得:+=7,解得:x=18,经检验,x=18是原分式方程的解,∴(1+)x=(1+)×18=24.答:李磊去时的平均速度是24千米/时.11.(2017秋•福州期末)在“双十二”期间,A,B两个超市开展促销活动,活动方式如下:A超市:购物金额打9折后,若超过2000元再优惠300元;B超市:购物金额打8折.某学校计划购买某品牌的篮球做奖品,该品牌的篮球在A,B两个超市的标价相同,根据商场的活动方式:(Ⅰ)若一次性付款4200元购买这种篮球,则在B商场购买的数量比在A商场购买的数量多5个,请求出这种篮球的标价;(Ⅱ)学校计划购买100个篮球,请你设计一个购买方案,使所需的费用最少.(直接写出方案)【解答】解:(Ⅰ)设这种篮球的标价为x元.由题意:﹣=5,解得:x=50,经检验:x=50是原方程的解.答:这种篮球的标价为50元.(Ⅱ)购买购买100个篮球,所需的最少费用为3850元.方案:在A超市分两次购买,每次45个,费用共为3450元,在B超市购买10个,费用400元,两超市购买100个篮球,所需的最少费用为3850元.12.(2017秋•青山区期末)张明和李强两名运动爱好者周末相约到东湖绿道进行跑步锻炼.(1)周日早上6点,张明和李强同时从家出发,分别骑自行车和步行到离家距离分别为4.5千米和1.2千米的绿道落雁岛入口汇合,结果同时到达,且张明每分钟比李强每分钟多行220米,求张明和李强的速度分别是多少米/分?(2)两人到达绿道后约定先跑6千米再休息,李强的跑步速度是张明跑步速度的m倍,两人在同起点,同时出发,结果李强先到目的地n分钟.①当m=12,n=5时,求李强跑了多少分钟?②张明的跑步速度为米/分(直接用含m,n的式子表示).【解答】解:(1)设李强的速度为x米/分,则张明的速度为(x+220)米/分,根据题意得:=,解得:x=80,经检验,x=80是原方程的根,且符合题意,∴x+220=300.答:李强的速度为80米/分,张明的速度为300米/分.(2)①∵m=12,n=5,∴5÷(12﹣1)=(分钟).故李强跑了分钟;②李强跑了的时间:分钟,张明跑了的时间:+n=分钟,张明的跑步速度为:6000÷=米/分.故答案为:.13.(2017秋•汶上县期末)元旦晚会上,王老师要为她的学生及班级的六位科任老师送上贺年卡,网上购买贺年卡的优惠条件是:购买50或50张以上享受团购价.王老师发现:零售价与团购价的比是5:4,王老师计算了一下,按计划购买贺年卡只能享受零售价,如果比原计划多购买6张贺年卡就能享受团购价,这样她正好花了100元,而且比原计划还节约10元钱;(1)贺年卡的零售价是多少?(2)班里有多少学生?【解答】解:(1)设零售价为5x元,团购价为4x元,则解得,,经检验:x=是原分式方程的解,5x=2.5答:零售价为2.5元;(2)学生数为=38(人)答:王老师的班级里有38名学生.。
八年级数学下册期末试卷(Word版含解析)
八年级数学下册期末试卷(Word 版含解析) 一、选择题 1.二次根式2x -中x 的值不能是( )A .0B .1C .2D .32.下列条件:①222b c a =-;②C A B ∠=∠-∠;③111::::345a b c =;④::3:4:5A B C ∠∠∠=,能判定ABC 是直角三角形的有( )A .4个B .3个C .2个D .1个3.四边形的三个相邻内角的度数依次如下,那么其中是平行四边形的为( ) A .88︒,108︒,88︒ B .108︒,108︒,82︒ C .88︒,92︒,92︒D .108︒,72︒,108︒ 4.某单位招聘项目经理,考核项目为个人形象、专业知识、策划能力,三个项目权重之比为2:3:5,某应聘者三个项目的得分依次为80,90,80,则他最终得分为( ) A .79 B .83 C .85 D .875.如图,菱形ABCD 的边长为2,60BAD ∠=︒,点P 是边AD 的中点,点Q 是对角线AC 上一动点,则DPQ 周长的最小值是( )A .13+B .33+C .23+D .36.如图,将□ABCD 沿对角线AC 折叠,使点B 落在'B 处,若1240︒∠=∠=,则B =( )A .60︒B .100︒C .110︒D .120︒7.如图,已知AOBC 的顶点O (0,0),点B 在x 轴正半轴上,按以下步骤作图: ①以点O 为圆心,适当长度为半径作弧,分别交边OA ,OB 于点D ,E ;②分别以点D ,E 为圆心,大于12DE 的长为半径作弧,两弧在∠AOB 内交于点F ;③作射线OF ,交边AC 于点G .若G 的坐标为(2,4),则点A 的坐标是( )A .(﹣3,4)B .(﹣2,4)C .(225,4)-D .(54,4)- 8.如图,在平面直角坐标系中,OABC 的顶点A 在x 轴上,定点B 的坐标为(8,4),若直线经过点D (2,0),且将平行四边形OABC 分割成面积相等的两部分,则直线DE 的表达式是( )A .y=x-2B .y=2x-4C .y=x-1D .y=3x-6二、填空题9.若225b a a =-+--,则a b -=_______________________.10.菱形两条对角线长分别为2、6,则这个菱形的面积为_________.11.在Rt ABC ∆中,90C ∠=︒,30A ∠=︒,2AC =,斜边AB 的长为__________. 12.如图,在矩形ABCD 中,AD =10,AB =6,点E 为BC 上的点,ED 平分∠AEC ,则EC =___.13.已知一次函数y =kx ﹣b ,当自变量x 的取值范围是1≤x ≤3时,对应的因变量y 的取值范围是5≤y ≤10,那么k ﹣b 的值为_______.14.如图, 在矩形ABCD 中, 对角线AC , BD 交于点O , 已知∠AOD=120°, AB=1,则BC 的长为______15.如图1,在平面直角坐标系中,将平行四边形ABCD 放置在第一象限,且AB //x轴.直线y =﹣x 从原点出发沿x 轴正方向平移,在平移过程中直线被平行四边形截得的线段长度l 与直线在x 轴上平移的距离m 的函数图象如图2,那么AB 的长为___.16.如图所示,将矩形ABCD 沿直线AE 折叠(点E 在边CD 上),折叠后顶点D 恰好落在边BC 上的点F 处,若AD =5,AB =4,则EC 的长是_____.三、解答题17.(1)23317(2)21148--+--- (2)1(6215)36252-⨯-+- (3)148312242÷-⨯+ (4)205112(31)(31)35+-⨯++- 18.位于沈阳周边的红河峡谷漂流项目深受欢迎,在景区游船放置区,工作人员把偏离的游船从点A 拉回点B 的位置(如图).在离水面高度为8m 的岸上点C ,工作人员用绳子拉船移动,开始时绳子AC 的长为17m ,工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子,经过10秒后游船移动到点D 的位置,问此时游船移动的距离AD 的长是多少?19.如图,在4×4的正方形网格中,每个小格的顶点叫做格点,以格点为顶点分别按下列要求画三角形或四边形.(绘图要求:①所绘图形不得超出正方形网格;②必须用直尺和中性笔绘图,确保所绘图形的顶点必须在格点上)(1)在图①中,画一个直角三角形,使它的三边长都是有理数;(2)在图②中,画一个直角三角形,使它的一边长是有理数,另外两边长是无理数; (3)在图③中,画一个直角三角形,使它的三边长都是无理数;(4)在图④中,画一个正方形,使它的面积为10.20.如图,ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与AD 、BC 分别交于E 、F ,垂足为点O .(1)求证:四边形AFCE 是菱形.(2)若2AE ED =,6AC =,4EF =,则ABCD 的面积为 . 21.先阅读下列材料,再解决问题: 阅读材料:数学上有一种根号内又带根号的数,它们能通过完全平方公式及二次根式的性质化去一层根号.例如:22232232121(2)212(12)+=+⨯⨯=++⨯⨯=+=|1+2|=1+2解决问题:①模仿上例的过程填空:146514235+=+⨯⨯=_________________=________________=_________________②根据上述思路,试将下列各式化简:(1)28103-; (2)312+. 22.某市为了倡导居民节约用水,生活用自来水按阶梯式水价计费.如图是居民每户每月的水(自来水)费y (元)与所用的水(自来水)量x (吨)之间的函数图象.根据下面图象提供的信息,解答下列问题:(1)当1730x ≤≤时,求y 与x 之间的函数关系式;(2)已知某户居民上月水费为91元,求这户居民上月的用水量;(3)当一户居民在某月用水为15吨时,求这户居民这个月的水费.23.如图1,四边形ACBD 中,AC =AD ,BC =BD .我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”,如图2,在“筝形”ACBD 中,对角线AB =CD ,过点B 作BE ⊥AC 于E 点,F 为线段BE 上一点,连接FA 、FD ,FA =FB .(1)求证:△ABF ≌△CDA ;(2)如图3,FA 、FD 分别交CD 、AB 于点M 、N ,若AM =MF ,求证:BN =CM +MN .24.定义:对于平面直角坐标系xOy中的点P(a,b)和直线y=ax+b,我们称点P((a,b)是直线y=ax+b的关联点,直线y=ax+b是点P(a,b)的关联直线.特别地,当a=0时,直线y=b(b为常数)的关联点为P(0,b).如图,已知点A(-2,-2),B(4,-2),C(1,4).(1)点A的关联直线的解析式为______;直线AB的关联点的坐标为______;(2)设直线AC的关联点为点D,直线BC的关联点为点E,点P在y轴上,且S△DEP=2,求点P的坐标.(3)点M(m,n)是折线段AC→CB(包含端点A,B)上的一个动点.直线l是点M的关联直线,当直线l与△ABC恰有两个公共点时,直接写出m的取值范围.25.如图①,已知正方形ABCD的边长为3,点Q是AD边上的一个动点,点A关于直线BQ的对称点是点P,连接QP、DP、CP、BP,设AQ=x.(1)BP+DP的最小值是_______,此时x的值是_______;(2)如图②,若QP的延长线交CD边于点M,并且∠CPD=90°.①求证:点M是CD的中点;②求x的值.(3)若点Q是射线AD上的一个动点,请直接写出当△CDP为等腰三角形时x的值.【参考答案】一、选择题1.D解析:D【分析】根据二次根式有意义的条件即可得出答案.【详解】 2x -∴20x -≥,解得:2x ≤,故选项中符合条件的x 的值有0,12,, ∴x 不能为3,故选:D .【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件,熟知根号下为非负数是解本题的关键.2.C解析:C【分析】根据三角形的内角和定理以及勾股定理的逆定理即可得到结论.【详解】解:①222b c a =-即222+=a b c ,△ABC 是直角三角形,故①符合题意;②∵∠A +∠B +∠C =180°,∠C =∠A −∠B ,∴∠A +∠B +∠A −∠B =180°,即∠A =90°,∴△ABC 是直角三角形,故②符合题意;③∵111::::345a b c =, 设a =3k ,b =4k ,c =5k , 则222543k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭, ∴△ABC 不是直角三角形,故③不合题意;④∵::3:4:5A B C ∠∠∠=,∴∠C =5345++×180°=75°,故不是直角三角形;故④不合题意. 综上,符合题意的有①②,共2个,故选:C .【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定方法.①如果三角形中有一个角是直角,那么这个三角形是直角三角形;②如果一个三角形的三边a ,b ,c 满足a 2+b 2=c 2,那么这个三角形是直角三角形.3.D解析:D【解析】【分析】两组对角分别相等的四边形是平行四边形,根据所给的三个角的度数可以求出第四个角,然后根据平行四边形的判定方法验证即可.【详解】A 、第四个角是76°,有一组对角不相等,不是平行四边形;B 、第四个角是72°,两组对角都不相等,不是平行四边形;C 、第四个角是88°,而C 中相等的两个角不是对角,不是平行四边形;D 、第四个角是72°,满足两组对角分别相等,因而是平行四边形.故选:D .【点睛】本题主要考查平行四边形的判定:两组对角分别相等的四边形是平行四边形.注意角的对应的位置关系,并不是有两组角相等的四边形就是平行四边形.4.B解析:B【解析】【分析】根据加权平均数的定义列式计算即可.【详解】 解:他最终得分为802903805235⨯+⨯+⨯++=83(分). 故选:B .【点睛】本题主要考查加权平均数,解题的关键是掌握加权平均数的定义. 5.A解析:A【分析】连接BQ ,BD ,当P ,Q ,B 在同一直线上时,DQ +PQ 的最小值等于线段BP 的长,依据勾股定理求得BP的长,即可得出DQ+PQ的最小值,进而得出△DPQ周长的最小值.【详解】解:如图所示,连接BQ,BD,∵点Q是菱形对角线AC上一动点,∴BQ=DQ,∴DQ+PQ=BQ+PQ,当P,Q,B在同一直线上时,BQ+PQ的最小值等于线段BP的长,∵四边形ABCD是菱形,∠BAD=60°,∴△BAD是等边三角形,又∵P是AD的中点,∴BP⊥AD,AP=DP=1,∴Rt△ABP中,∠ABP=30°,∴AP=1AB=1,2∴BP22413--AB AP∴DQ+PQ3又∵DP=1,∴△DPQ3+1,故选:A.【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及最短路线问题,凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,结合轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点.6.D解析:D【解析】【分析】由平行线的性质可得∠DAC=∠B'AB=40°,由折叠的性质可得∠BAC=∠B'AC=20°,由三角形内角和定理即可求解.【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,∴∠1=∠B'AB=40°,同理,∠2=∠DAC=40°,∵将□ABCD沿对角线AC折叠,∴∠BAC =∠B 'AC =20°,∴∠B =180°﹣∠2﹣∠BAC =120°,故选:D .【点睛】本题考查了翻折变换的性质、平行四边形的性质以及三角形内角和定理;熟练掌握折叠的性质是解题的关键.7.A解析:A【解析】【分析】首先证明AO AG =,设AO AG x ==,则2AT x =-,在Rt AOT △中,2224(2)x x =+-,求出x ,可得结论.【详解】解:如图,设AC 交y 轴于T .(2,4)G ,2TG ∴=.4OT =,四边形AOBC 是平行四边形,//AC OB ∴,AGO GOB ∴∠=∠,AOG GOB ∠=∠,AOG AGO ∴∠=∠,AO AG ∴=,设AO AG x ==,则2AT x =-,在Rt AOT △中,2224(2)x x =+-,5x ∴=,523AT ∴=-=,(3,4)A ∴-,故选:A .【点睛】本题考查作图-基本作图,平行四边形的性质,等腰三角形的判定和性质,勾股定理等知识,解题的关键是证明AO AG =,学会利用参数解决问题.8.A解析:A【分析】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分,先求出平行四边形对称中心的坐标,再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可.【详解】解:∵点B 的坐标为(8,4),∴平行四边形的对称中心坐标为(4,2),设直线DE 的函数解析式为y=kx+b ,则4220k b k b +=⎧⎨+=⎩, 解得12k b =⎧⎨=-⎩, ∴直线DE 的解析式为y=x-2.故选:A .【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式,平行四边形的性质,熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键.二、填空题9.7【解析】【分析】先由二次根式有意义可得20,20a a -≥⎧⎨-≥⎩从而依次求解,a b 的值,可得答案. 【详解】解: 5b =20,20a a -≥⎧∴⎨-≥⎩解得:2,a =5,b ∴=-()257.a b ∴-=--=故答案为:7.【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件,一元一次不等式组的解法,掌握二次根式有意义的条件是解题的关键.10【解析】【分析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求出其面积即可.【详解】解:∵一个菱形的两条对角线长分别为2和6, ∴这个菱形的面积12632=⨯⨯=, 故答案为:3.【点睛】本题考查的是菱形的面积计算,熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解题的关键. 11.B解析:433【解析】【分析】由90C ∠=︒,30A ∠=︒得到2,AB BC = 利用勾股定理可得答案.【详解】解:设BC ,x =90C ∠=︒,30A ∠=︒, 2,AB x ∴=2AC =,222(2)2,x x ∴=+122323,33x x ∴==-(舍去), 42 3.3AB x ∴==4 3.3【点睛】 本题考查的是含30角的直角三角形的性质与勾股定理的应用,掌握相关知识点是解题的关键.12.A解析:2【分析】根据平行线的性质以及角平分线的定义证明∠ADE=∠AED,根据等角对等边,即可求得AE 的长,在直角△ABE中,利用勾股定理求得BE的长,进而得出EC.【详解】解:∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC,∴∠DEC=∠ADE,又∵∠DEC=∠AED,∴∠ADE=∠AED,∴AE=AD=10,在直角△ABE中,BE8=.∴EC=BC-BE=10-8=2,故答案为:2.【点睛】本题考查了矩形的性质,勾股定理,等腰三角形的判定,解决本题的关键是灵活运用矩形的性质,等腰三角形的判定和勾股定理.13.5或10【分析】本题分情况讨论①k>0时,x=1时对应y=5;②k>0时,x=1时对应y=10.【详解】解:①k>0时,由题意得:x=1时,y=5,∴k-b=5;②k<0时,由题意得:x=1时,y=10,∴k-b=10;综上,k-b的值为5或10.故答案为:5或10.【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式,注意本题需分两种情况,不要漏解.14.A【分析】根据矩形的性质可得∠ACB的度数,从而利用勾股定理可求出BC的长度.【详解】解:由题意得:∠ACB=30°,∠ABC=90°,在Rt△ABC中,AC=2AB=2,由勾股定理得,【点睛】本题考查了矩形的性质,比较简单,解答本题的关键是求出∠ACB的度数.15.4【分析】由图1,当直线在DE 的左下方时,由图2可得AE 长度;由图1,当直线在DE 和BF 之间时,长度不变,由图2可得EB 的长度,从而AB=AE+EB ,即求得AB .【详解】如图1,当直线在DE解析:4【分析】由图1,当直线在DE 的左下方时,由图2可得AE 长度;由图1,当直线在DE 和BF 之间时,长度不变,由图2可得EB 的长度,从而AB =AE +EB ,即求得AB .【详解】如图1,当直线在DE 的左下方时,由图2得:AE =7-4=3;由图1,当直线在DE 和BF 之间时,由图2可得:EB=8-7=1,所以AB =AE +EB =3+1=4.故答案为:4.【点睛】本题考查一次函数的图象与图形的平移,平行四边形的性质,关键是明确题意,读懂函数图象,利用数形结合的思想.16.5【分析】由折叠可得,.再由矩形性质结合勾股定理即可求出BF 的长,从而求出CF 的长.设,则,在中,利用勾股定理列出关于x 的等式,解出x 即可.【详解】解:由折叠可知,,∵四边形ABCD 是矩形解析:5【分析】由折叠可得5AD AF ==,DE EF =.再由矩形性质结合勾股定理即可求出BF 的长,从而求出CF 的长.设EC x =,则4DE EF x ==-,在Rt CEF 中,利用勾股定理列出关于x 的等式,解出x 即可.【详解】解:由折叠可知5AD AF ==,DE EF =,∵四边形ABCD 是矩形,∴在Rt ABF 中,3BF ==,∴532CF BC BF =-=-=.设EC x =,则4DE EF x ==-,∴在Rt CEF 中,222+=CF CE EF ,即2222(4)x x +=-,解得: 1.5x =.故EC 的长为1.5.故答案为1.5.【点睛】本题考查折叠的性质,矩形的性质和勾股定理.利用数形结合的思想是解答本题的关键.三、解答题17.(1)1;(2);(3);(4).【分析】(1)直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简,再利用有理数的加减运算法则计算得出答案;(2)直接利用二次根式的乘法运算法则以及结合绝对值的性质解析:(1)1;(2)2-;(3)44)3.【分析】(1)直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简,再利用有理数的加减运算法则计算得出答案;(2)直接利用二次根式的乘法运算法则以及结合绝对值的性质化简,先算乘法,再化简二次根式,去绝对值,最后利用二次根式的加减运算法则计算得出答案;(3)直接利用二次根式的乘除运算法则化简,先算乘除,再利用二次根式的加减运算法则计算得出答案;(4)直接利用二次根式的乘法运算法则化简,先算乘除,再利用有理数的加减运算法则计算得出答案.【详解】解:(13212=- 312122=--+ =1;(2)2=62=2=2-;(3==4=4(41)=-13121231=+-+-=.3【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算以及实数运算,正确化简二次根式是解题关键.18.游船移动的距离AD的长是9米【分析】根据条件先计算经过10秒拉回绳子的长,然后计算出绳子CD的长,在中,在中,,即可求出最终结果.【详解】解:工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子,经过10秒解析:游船移动的距离AD的长是9米【分析】根据条件先计算经过10秒拉回绳子的长,然后计算出绳子CD的长,在Rt BCD中BD Rt ABC中,AB=【详解】解:工作人员以0.7米/秒的速度拉绳子,∴经过10秒拉回绳子100.7=7⨯米,开始时绳子AC的长为17m,∴拉了10秒后,绳子CD的长为17-7=10米,∴在Rt BCD中,6BD===米,在Rt ABC中,222217815AB AC BC =-=-=米, ∴AD =15-6=9米,答:游船移动的距离AD 的长是9米.【点睛】本题主要考查勾股定理的运用,属于综合题,难度一般,熟练掌握勾股定理解三角形是解决本题的关键.19.(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析;(4)见解析;【解析】【分析】根据勾股定理即可得.【详解】解:(1)如图①所示,三边分别为:3,4,5;(2)如图②所示,三边分别为:,,2或解析:(1)见解析;(2)见解析;(3)见解析;(4)见解析;【解析】【分析】根据勾股定理即可得.【详解】解:(1)如图①所示,三边分别为:3,4,5;(2)如图②所示,三边分别为:2,2,2或22,22,4 ;(3如图③所示,三边分别为:5,5,10或2,22,10或10,10,25;(4)如图④所示,正方形的边长为:10,则面积:(10)2=10.【点睛】本题考查了勾股定理,解题的关键是掌握勾股定理.20.(1)见解析;(2)18【分析】(1)由四边形ABCD 是平行四边形易证△AOE ≌△COF ,从而可得OE=OF ,所以四边形AFCE 是平行四边形,又EF ⊥AC ,根据菱形的判定定理即可得证; (2)由解析:(1)见解析;(2)18【分析】(1)由四边形ABCD 是平行四边形易证△AOE ≌△COF ,从而可得OE =OF ,所以四边形AFCE 是平行四边形,又EF ⊥AC ,根据菱形的判定定理即可得证;(2)由(1)可求三角形ACE 的面积,又2AE ED =,从而可得三角形CED 的面积,则ABCD 的面积即可求解.【详解】(1)∵四边形ABCD 是平行四边形,∴AE //FC .∴∠EAO =∠FCO ,∠AEO =∠CFO .∵EF 平分AC ,∴OA =OC .∴△AOE ≌△COF .∴OE =OF .∴四边形AFCE 是平行四边形.又∵EF ⊥AC ,∴四边形AFCE 是菱形(对角线互相垂直的平行四边形是菱形).(2)∵四边形AFCE 是菱形,6AC =,4EF =,∴三角形ACE 的面积为16262⨯⨯=, ∵2AE ED =,∴三角形CED 的面积等于三角形ACE 的面积的一半,即三角形CED 的面积为1632⨯=, ∴三角形ACD 的面积为639+=,∴ABCD 的面积等于三角形ACD 的面积的2倍,即ABCD 的面积为1892=⨯. 故答案为:18.【点睛】本题考查了菱形的判定及平行四边形面积的求法,解题的关键是熟练掌握菱形的判定定理.21.①,,3+;②(1)5-;(2) .【解析】【分析】①模仿阅读材料的方法将原式变形,计算即可得到结果;②仿照以上方法将各式化简即可.【详解】①===3+,故答案为,,3+;②(1)解析:3+②(1)5(2) 12 【解析】【分析】 ①模仿阅读材料的方法将原式变形,计算即可得到结果;②仿照以上方法将各式化简即可.【详解】3+3=5=12+=12. 【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简,熟练掌握运算法则是解本题的关键.22.(1);(2)25吨;(3)45元【分析】(1)利用待定系数法求解函数关系式的方法即可;(2)将y=91代入(1)中解析式中求得x 值即可;(3)将x=17代入(1)中解析式中求得y 值,再求得解析:(1)534y x =-;(2)25吨;(3)45元【分析】(1)利用待定系数法求解函数关系式的方法即可;(2)将y =91代入(1)中解析式中求得x 值即可;(3)将x =17代入(1)中解析式中求得y 值,再求得当017x ≤<时,y 与x 之间的函数关系式,将x =15代入求解y 值即可.【详解】解:(1)设y 与x 之间的函数关系式为:y kx b =+,由题意得:116306620k b k b=+⎧⎨=+⎩,∴534k b =⎧⎨=-⎩, ∴y 与x 之间的函数关系式为:534y x =-.(2)∵91元66>元,∴由91534x =-得:25x =. 答:这户居民上月用水量25吨.(3)当17x =吨时,5173451y =⨯-=元,∴当017x ≤<时,y 与x 之间的函数关系式为:3y x =,当15x =时,45y =元,答:这户居民这个月的水费45元.【点睛】本题考查一次函数的应用,理解题意,能从函数图象中获取有效信息,会利用待定系数法求解函数关系式是解答的关键.23.(1)证明见解析;(2)证明见解析【分析】(1)根据已知条件可得△ABC ≌△ABD ,再根据∠AOC+∠AOD=180°,进而可证得AB ⊥CD ,进而得到∠ACO=∠ABE ,进而证得△ABF ≌△CD解析:(1)证明见解析;(2)证明见解析【分析】(1)根据已知条件可得△ABC ≌△ABD ,再根据∠AOC+∠AOD=180°,进而可证得AB ⊥CD ,进而得到∠ACO=∠ABE ,进而证得△ABF ≌△CDA ;(2)取AB 中点H ,根据已知条件可知MO 为△AFH 的中位线,进而可证得△AFH ≌△DAO ,进一步得到△AFD 为等腰直角三角形,然后过点F 作FI ⊥AF 交AB 于点I ,取CD 上点G 使MG=MN ,连接AG ,先证△AFI ≌△DAM ,而后△FMN ≌△FIN ,得到∠FIN =∠FMN ,进而可证△AMG ≌△FMN ,得到∠AGM=∠FNM ,进而证得△ACG ≌△FBN ,得到BN=CG ,再根据CG=CM+MG ,得到BN=CM+MG ,又MG=MN ,继而得到BN=CM+MN .【详解】证明:(1)∵AC=AD ,BC=BD ,AB=AB ,∴△ABC≌△ABD,∴∠CAO=∠DAO,又∵∠ACO=∠ADO,∴∠AOC=∠AOD,又∵∠AOC+∠AOD=180°,∴∠AOC=∠AOD=90°,∴AB⊥CD,在Rt△AOC中,∠ACO+∠CAO=90°,在Rt△AEB中,∠ABE+∠CAO=90°,∴∠ACO=∠ABE,又∵AC=AD,FA=FB,∴∠ACO=∠ADO=∠ABF=∠FAB,∵,∴△ABF≌△CDA;(2)如图,取AB中点H,∵△ABF是等腰三角形,∴FH⊥AB,∵AM=MF且MO⊥AB,∴MO为△AFH的中位线,∴AO=OH=,又∵AH===DO,由△ABF≌△CDA,可知:AF=BF=AC=AD,∴△AFH≌△DAO,∴∠AFH=∠DAO,∵∠FAH+∠AFH=90°,∴∠FAH+∠DAO=90°,∴∠FAD=90°,∴△AFD为等腰直角三角形,过点F作FI⊥AF交AB于点I,取CD上点G使MG=MN,连接AG,由△AFH≌△DAO可得∠FAI=∠ADM,又∵AD=AF,∴△AFI≌△DAM,∴FI=AM,又∵AM=MF,∴FI=MF,由FI⊥AF可知∠AFI=90°,∠AFN=45°,∴∠NFI=∠AFI-∠AFN=90°-45°=45°,∴∠MFN=∠NFI,又∵FI=FM,∴△FMN≌△FIN,∴∠FIN =∠FMN,又∵∠AMD=∠FIA,∴∠AMD=∠FMN,又∵AM=FM,MG=MN,∴△AMG≌△FMN,∴∠AGM=∠FNM,又∵∠FNM=∠FNB,∴∠AGM=∠FNB,又∵∠ACG=∠FBN,AC=FB,∴△ACG≌△FBN,∴BN=CG,又∵CG=CM++MG,∴BN=CM+MG,又∵MG=MN,∴BN=CM+MN.【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、中位线等知识,解题的关键是综合运用相关知识解题.24.(1)y=-2x-2,(0,-2);(2)P(0,5)或P(0,3);(3)-2≤m<,或2<m≤4【解析】【分析】(1)利用待定系数法求得直线AB的解析式,根据关联点和关联直线的定义可得结论解析:(1)y=-2x-2,(0,-2);(2)P (0,5)或P (0,3);(3)-2≤m <23,或2<m≤4【解析】【分析】 (1)利用待定系数法求得直线AB 的解析式,根据关联点和关联直线的定义可得结论; (2)先根据关联点求D 和E 的坐标,根据面积和列式可得P 的坐标;(3)点M 分别在线段AC→CB 上讨论,根据直线l 与△ABC 恰有两个公共点时,可得m 的取值范围.【详解】解:(1)设直线AB 的解析式为:y=kx+b ,把点A (-2,-2),B (4,-2)代入得:2242k b k b -+=-⎧⎨+=-⎩, 解得:02k b =⎧⎨=-⎩, ∴直线AB 的解析式为:y=-2,∴点A 的关联直线的解析式为y=-2x-2;直线AB 的关联点的坐标为:(0,-2);故答案为:y=-2x-2,(0,-2);(2)∵点A (-2,-2),B (4,-2),C (1,4).∴直线AC 的解析式为y=2x+2,直线BC 的解析式为y=-2x+6,∴D (2,2),E (-2,6).∴直线DE 的解析式为y=-x+4,∴直线DE 与y 轴交于点F (0,4),如图1,设点P (0,y ),∵S △DEP =2,∴S △DEP =S △EFP +S △DFP=142y ⨯-×|-2|+1422y ⨯-⨯=2,解得:y=5或y=3,∴P(0,5)或P(0,3).(3)①当M在线段AC上时,如图3,∵AC:y=2x+2,∴设M(m,2m+2)(-2≤m≤1),则关联直线l:y=mx+2m+2,把C(1,4)代入y=mx+2m+2得:m+2m+2=4,m=23,∴-2≤m<23;②当M在线段BC上时,如图3,∵BC:y=-2x+6,∴设M(m,-2m+6)(1≤m≤4),则关联直线l:y=mx-2m+6,把A(-2,-2)代入y=mx-2m+6得:-2m-2m+6=-2,m=2,∴2<m≤4;综合上述,-2≤m<23或2<m≤4.【点睛】本题是一次函数的综合题,也是有关关联点和关联直线的新定义问题,考查了一次函数图象上点的坐标特征、理解新定义、利用待定系数法求一次函数的解析式,本题中理解关联点和关联直线的定义,正确进行分类讨论是解题的关键.25.(1);;(2)①见详解;②x=1;(3)△CDP为等腰三角形时x的值为:或或.【分析】(1)BP+DP为点B到D两段折线的和.由两点间线段最短可知,连接DB,若P点落在BD上,此时和最短,且为解析:(1)32;323-;(2)①见详解;②x=1;(3)△CDP为等腰三角形时x的值为:633-或3或633+.【分析】(1)BP+DP为点B到D两段折线的和.由两点间线段最短可知,连接DB,若P点落在BD 上,此时和最短,且为32.考虑动点运动,这种情形是存在的,由AQ=x,则QD=3-x,PQ=x.又PDQ=45°,所以QD=2PQ,即3-x=2x.求解可得答案;(2)由已知条件对称分析,AB=BP=BC,则∠BCP=∠BPC,由∠BPM=∠BCM=90°,可得∠MPC=∠MCP.那么若有MP=MD,则结论可证.再分析新条件∠CPD=90°,易得①结论.②求x的值,通常都是考虑勾股定理,选择直角三角形QDM,发现QM,DM,QD都可用x来表示,进而易得方程,求解即可.(3)若△CDP为等腰三角形,则边CD比为改等腰三角形的一腰或者底边.又P点为A点关于QB的对称点,则AB=PB,以点B为圆心,以AB的长为半径画弧,则P点只能在弧AB上.若CD为腰,以点C为圆心,以CD的长为半径画弧,两弧交点即为使得△CDP为等腰三角形(CD为腰)的P点.若CD为底边,则作CD的垂直平分线,其与弧AC的交点即为使得△CDP为等腰三角形(CD为底)的P点.则如图所示共有三个P点,那么也共有3个Q点.作辅助线,利用直角三角形性质求之即可.【详解】解:(1)连接DB,若P点落在BD上,此时BP+DP最短,如图:由题意,∵正方形ABCD的边长为3,∴223332BD+=∴BP +DP 的最小值是32; 由折叠的性质,PQ AQ x ==,则3QD x =-,∵∠PDQ=45°,∠QPD=90°,∴△QPD 是等腰直角三角形,∴22QD QP x ==,∴32x x -=,解得:323x =-;故答案为:32;323-;(2)如图所示:①证明:在正方形ABCD 中,有AB=BC ,∠A=∠BCD=90°.∵P 点为A 点关于BQ 的对称点,∴AB=PB ,∠A=∠QPB=90°,∴PB=BC ,∠BPM=∠BCM , ∴∠BPC=∠BCP ,∴∠MPC=∠MPB-∠CPB=∠MCB-∠PCB=∠MCP ,∴MP=MC .在Rt △PDC 中,∵∠PDM=90°-∠PCM ,∠DPM=90°-∠MPC ,∴∠PDM=∠DPM ,∴MP=MD ,∴CM=MP=MD ,即M 为CD 的中点.②解:∵AQ=x ,AD=3,∴QD=3-x ,PQ=x ,CD=3.在Rt △DPC 中,∵M 为CD 的中点,∴DM=QM=CM=32, ∴QM=PQ+PM=x+32,∴(x+32)2=(3−x)2+(32)2,解得:x=1.(3)如图,以点B为圆心,以AB的长为半径画弧,以点C为圆心,以CD的长为半径画弧,两弧分别交于P1,P3.此时△CDP1,△CDP3都为以CD为腰的等腰三角形.作CD的垂直平分线交弧AC于点P2,此时△CDP2以CD为底的等腰三角形.;①讨论P1,如图作辅助线,连接BP1、CP1,作QP1⊥BP1交AD于Q,过点P1,作EF⊥AD 于E,交BC于F.∵△BCP1为等边三角形,正方形ABCD边长为3,∴P1F33P1E=333在四边形ABP1Q中,∵∠ABP1=30°,∴∠AQP1=150°,∴△QEP1为含30°的直角三角形,∴31=9332.∵AE=3,2∴x=AQ=AE-QE=39(33)633--=-.22②讨论P2,如图作辅助线,连接BP2,AP2,过点P2作QG⊥BP2,交AD于Q,连接BQ,过点P2作EF⊥CD于E,交AB于F.∵EF垂直平分CD,∴EF垂直平分AB,∴AP2=BP2.∵AB=BP2,∴△ABP2为等边三角形.在四边形ABP2Q中,∵∠BAD=∠BP2Q=90°,∠ABP2=60°,∴∠AQG=120°∴∠EP2G=∠DQG=180°-120°=60°,∴P2E=333∴EG=933,2∴DG=DE+GE=39+=,3333322∴QD=33∴3③对P3,如图作辅助线,连接BP1,CP1,BP3,CP3,过点P3作BP3⊥QP3,交AD的延长线于Q,连接BQ,过点P1,作EF⊥AD于E,此时P3在EF上,不妨记P3与F重合.∵△BCP1为等边三角形,△BCP3为等边三角形,BC=3,∴P1P3=33P1E=333∴EF=333+在四边形ABP3Q中∵∠ABF=∠ABC+∠CBP3=150°,∴∠EQF=30°,∴39332.∵AE=32,∴x=AQ=AE+QE=32+9333362=.综合上述,△CDP为等腰三角形时x的值为:633-3633+.【点睛】本题第一问非常基础,难度较低.第二问因为动点的原因,思路不易找到,这里就需要做题时充分分析已知条件,尤其是新给出的条件.其中求边长是勾股定理的重要应用,是很重要的考点.第三问是一个难度非常高的题目,可以利用尺规作图的思想将满足要求的点P找全.另外求解各个Q点也是考察三角函数及勾股定理的综合应用,有着极高的难度.。
八年级下册数学期末试卷综合测试(Word版含答案)(1)
八年级下册数学期末试卷综合测试(Word 版含答案)(1)一、选择题1.如果二次根式2x -有意义,那么x 的取值范围是( )A .2x >B .2x ≥C .2x ≠D .2x ≤ 2.若ABC 的三边a 、b 、c 满足条件222()()0a b a b c -⋅+-=,则ABC 为( ) A .等腰三角形B .直角三角形C .等腰三角形或直角三角形D .等腰直角三角形3.下列能判定一个四边形是平行四边形的是( )A .对角线相等,且一组对角相等的四边形是平行四边形B .一对邻角的和为180°的四边形是平行四边形C .两条对角线相互垂直的四边形是平行四边形D .一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4.小君周一至周五的支出分别是(单位:元):7,10,14,7,12则这组数据的平均数是( )A .7B .10C .11D .11.55.如图,在正方形ABCD 和正方形CEFG 中,点D 在CG 上,BC =1,CE =3,H 是AF 的中点,那么CH 的长是( )A .25B .5C .35D .2 6.如图,将△ABC 沿DE 、HG 、EF 翻折,三个顶点均落在点O 处.若∠1=129°,则∠2的度数为( )A .49°B .50°C .51°D .52°7.如图,已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠,使点C 落在C '处,BC '交AD 于E ,AD =8,AB =4,则DE 的长为( )A.3 B.4 C.5 D.68.如图所示的图象(折线ABCDE)描述了一辆汽车在某一直线上的行驶过程中,汽车离出发地的距离s(千米)与行驶时间t(时)之间的函数关系,根据图中提供的信息,给出下列说法:①汽车共行驶了140千米;②汽车在行驶途中停留了1小时;③汽车在整个行驶过程中的平均速度为30千米/时;④汽车出发后6小时至9小时之间行驶的速度在逐渐减小.其中正确的说法共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个二、填空题9.使式子32xx-+有意义的x的取值范围是______.10.已知菱形的两条对角线长分别为4cm和6cm,则这个菱形的面积为______cm2.11.如图,已知一根长8m的竹竿在离地3m处断裂,竹竿顶部抵着地面,此时,顶部距底部有____m.12.如图,在平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,且OA=OD,∠OAD=55°,则∠OAB的度数为_______.13.饮料每箱24瓶,售价48元,买饮料的总价y (元)与所买瓶数x 之间的函数________.14.如图,在△ABC 中,AD ,CD 分别平分∠BAC 和∠ACB ,AE ∥CD ,CE ∥AD .若从三个条件:①AB=AC ;②AB=BC ;③AC=BC 中,选择一个作为已知条件,则能使四边形ADCE 为菱形的是__(填序号).15.如图,已知点A ,B ,C ,D 的坐标分别为()2,2-,()2,1-,()3,1,()3,2.线段AD 、AB 、BC 组成的图形为图形G ,点P 沿D A B C →→→移动,设点P 移动的距离为S ,直线l :y x b =-+过点P ,且在点P 移动过程中,直线l 随P 运动而运动,当l 过点C 时,S 的值为__________;若直线l 与图形G 有一个交点,直接写出b 的取值范围是__________.16.如图,矩形ABCD 中,6,8AB BC ==,点E 是BC 边上一点,连接AE ,把ABE △沿AE 折叠,使点B 落在点F 处,当CEF △为直角三角形时,CF 的长为________.三、解答题17.计算:(1)2+818(212273-2324 18.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题:“今有池方一丈,葭生其中央,出水一尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深几何?”(注:丈、尺是长度单位,1丈=10尺,1尺=13米),这段话翻译城现代汉语,即为:如图,有一个水池,水面是一个边长为一丈的正方形,在水池正中央有一根芦苇,它高出水面1尺,如果把这根芦苇拉向水池一边的中点,它的顶端恰好到达池边的水面,则水池里水的深度是多少米?请你用所学知识解答这个问题.19.图1、图2是两张形状和大小完全相同的方格纸,方格纸中每个小正方形的边长均为1,线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上.(1)在图1中画出一个以AB为一边正方形ABCD,使点C、D在小正方形的顶点上;(2)在图2中画出一个以AB为一边,面积为6的□ABEF,使点E、F均在小正方形的顶点上,并直接写出□ABEF周长.20.如图,已知点E是ABCD中BC边的中点,连接AE并延长交DC的延长线于点F,连接AC,BF,AF BC=.(1)求证:四边形ABFC为矩形;(2)若AFD∆是等边三角形,且边长为6,求四边形ABFC的面积.21.阅读理解题:定义:如果一个数的平方等于﹣1,记为i2=﹣1,这个数i叫做虚数单位,把形如a+bi (a,b为实数)的数叫做复数,其中a叫这个复数的实部,b叫做这个复数的虚部,它的加、减、乘、除运算与代数式的运算类似.例如:计算:(2﹣i)+(5+3i)=(2+5)+(﹣1+3)i=7+2i;(1+i)×(2﹣i)=1×2﹣i+2×i﹣i2=2+(﹣1+2)i+1=3+i;根据以上信息,完成下列问题:(1)填空:i3=,i4=,i+i2+i3+…+i2021=;(2)计算:(1+i)×(3﹣4i)﹣(﹣2+3i)(﹣2﹣3i);(3)已知a+bi=2543i-(a,b为实数),求2222(24)x a x b++-+的最小值.22.互联网时代,一部手机就可搞定午餐是新零售时代的重要表现形式,打包是最早出现的外卖形式,虽然古老,却延续至今,随着电话、手机、网络的普及,外卖行业得到迅速的发展.某知名外卖平台招聘外卖骑手,并提供了如下两种日工资方案:方案一:每日底薪50元,每完成一单外卖业务再提成3元;方案二:每日底薪80元,外卖业务的前30单没有提成,超过30单的部分,每完成一单提成5元.设骑手每日完成的外卖业务量为x单(x为正整数),方案一、方案二中骑手的日工资分别为y1、y2(单位:元).(1)分别写出y1、y2关于x的函数关系式;(2)若小强是该外卖平台的一名骑手,从日工资收入的角度考虑,他应该选择哪种日工资方案?并说明理由.23.如图,在平面直角坐标系中,已知▱OABC的顶点A(10,0)、C(2,4),点D是OA 的中点,点P在BC上由点B向点C运动.(1)求点B的坐标;(2)若点P运动速度为每秒2个单位长度,点P运动的时间为t秒,当四边形PCDA是平行四边形时,求t的值;(3)当△ODP是等腰三角形时,直接写出点P的坐标.24.如图,在平面直角坐标系中,直线AB交x轴于点A(﹣2,0), 交y轴于点B(0,4),直线y=kx+b经过点B且交x轴正半轴于点C,已知△ABC面积为10.(1)点C的坐标是(,),直线BC的表达式是;(2)如图1,点E为线段AB中点,点D为y轴上一动点,以DE为直角边作等腰直角三角形△EDF,且DE=DF,当点F落在直线BC上时,求点D的坐标;(3)如图2,若G为线段BC上一点,且满足S△ABG=S△ABO,点M为直线AG上一动点,在x轴上是否存在点N,使以点B,C,M,N为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点N的坐标;若不存在,说明理由;25.综合与实践:如图1,在正方形ABCD中,连接对角线AC,点O是AC的中点,点E 是线段OA上任意一点(不与点A,O重合),连接DE,BE.过点E作EF DE⊥交直线BC于点F.(1)试猜想线段DE与EF的数量关系,并说明理由;CE CD CF之间的数量关系,并说明理由;(2)试猜想线段,,(3)如图2,当E在线段CO上时(不与点C,O重合),EF交BC延长线于点F,保持CE CD CF之间的数量关系.其余条件不变,直接写出线段,,【参考答案】一、选择题1.B解析:B【分析】x-≥,据此解题.x-202【详解】x-≥,x-202∴≥,x2故选:B.本题考查二次根式有意义的条件,是基础考点,掌握相关知识是解题关键.2.C解析:C【详解】解析:∵222()()0a b a b c -+-=,∴a b =或222+=a b c .当只有a b =成立时,是等腰三角形.当只有222+=a b c 成立时,是直角三角形.当a b =,222+=a b c 同时成立时,是等腰直角三角形.答案:C题型解法:此类题型首先根据题意化简式子,找出隐含条件,然后根据三边的关系判断三角形的形状.当三角形的三边满足勾股定理时,即可判断为直角三角形.3.D解析:D【解析】【分析】分别利用平行四边形的判定方法结合梯形的判定方法分析得出答案.【详解】解:A 、对角线相等,且一组对角相等的四边形无法确定是平行四边形,故此选项不合题意;B 、一对邻角的和为180°的四边形是平行四边形,错误,有可能是梯形,故此选项不合题意;C 、两条对角线相互垂直的四边形无法确定是平行四边形,故此选项不合题意;D 、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,正确,符合题意.故选D .【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定,解题的关键在于能够熟练掌握平行四边形的判定条件. 4.B解析:B【解析】【分析】用这组数据的和除以数据的个数就可计算出这组数据的平均数,据此解答即可.【详解】解:(7+10+14+7+12)÷5=50÷5=10(元),故选:B .【点睛】此题主要考查的是平均数的含义及其计算方法,关键是要熟练掌握平均数的计算方法. 5.B【分析】连接AC 、CF ,如图,根据正方形的性质得∠ACD =45°,∠FCG =45°,AC =2,CF =32,则∠ACF =90°,再利用勾股定理计算出AF =25,然后根据直角三角形斜边上的中线求CH 的长.【详解】连接AC 、CF ,如图,∵四边形ABCD 和四边形CEFG 都是正方形,∴∠ACD =45°,FCG =45°,AC =2BC =2,CF =2CE =32,∴∠ACF =45°+45°=90°,在Rt △ACF 中,AF =()()22232=25+,∵H 是AF 的中点,∴CH =12AF =5 .故选B .【点睛】本题考查了正方形的性质:正方形的四条边都相等,四个角都是直角;正方形的两条对角线相等,互相垂直平分,并且每条对角线平分一组对角;正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质.两条对角线将正方形分成四个全等的等腰直角三角形.也考查了直角三角形斜边上的中线性质及勾股定理.6.C解析:C【解析】【分析】根据翻折的性质可知,∠DOE =∠A ,∠HOG =∠B ,∠EOF =∠C ,又∠A +∠B +∠C =180°,可知∠1+∠2=180°,又∠1=129°,继而即可求出答案.【详解】解:根据翻折的性质可知,∠DOE =∠A ,∠HOG =∠B ,∠EOF =∠C ,又∵∠A +∠B +∠C =180°,∴∠DOE +∠HOG +∠EOF =180°,∴∠1+∠2=180°,又∵∠1=129°,∴∠2=51°.故选:C .【点睛】本题考查翻折变换的知识,解答此题的关键是三角形折叠以后的图形和原图形全等,对应的角相等,同时注意三角形内角和定理的灵活运用.7.C解析:C【解析】【分析】根据折叠前后角相等可知△ABE ≌△C'ED ,利用勾股定理可求出.【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD ,∠C =∠A =90°由折叠的性质可得:C'D =CD =AB ;∠C'=∠C =∠A在△ABE 与△C'ED 中'''C D AB C ED AEB C A =⎧⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△C'ED (AAS )∴DE=BE设DE =BE =x ,则AE =8-x ,AB =4,在直角三角形ABE 中,()22816x x =-+ 解得x =5故选C .【点睛】本题考查勾股定理在折叠问题中的应用,找到合适的直角三角形构建等量关系是本题关键.8.A解析:A【分析】根据函数图像上的特殊点以及函数图像自身的实际意义进行判断即可.【详解】解:由图象可知,汽车走到距离出发点140千米的地方后又返回出发点,所以汽车共行驶了280千米,①错;从3时开始到4时结束,时间在增多,而路程没有变化,说明此时在停留,停留了4-3=1小时,②对;汽车用9小时走了280千米,平均速度为:280÷9≠30米/时,③错.汽车自出发后6小时至9小时,图象是直线形式,说明是在匀速前进,④错. 故答案为A.【点睛】本题考查由函数图象的实际意义,理解函数图像所反映的运动过程是解答本题的关键.二、填空题9.3x ≤且2x ≠-【解析】【分析】根据分式的分母不能为0、二次根式的被开方数大于或等于0列出式子求解即可得.【详解】由题意得:2030x x +≠⎧⎨-≥⎩, 解得3x ≤且2x ≠-,故答案为:3x ≤且2x ≠-.【点睛】本题考查了分式和二次根式有意义的条件,熟练掌握分式和二次根式的定义是解题关键. 10.12【解析】【分析】根据菱形的面积计算公式计算即可;【详解】解:由已知得,菱形的面积等于两对角线乘积的一半即:4×6÷2=12cm 2.故答案为:12.【点睛】本题主要考查了菱形的面积计算,准确计算是解题的关键.11.A解析:4【解析】【详解】解:解如图所示:在Rt ∆ABC 中,BC=3,AC=5,由勾股定理可得:AB 2+BC 2=AC 2设旗杆顶部距离底部AB=x 米,则有32+x 2=52,解得x=4故答案为:4.【点睛】本题考查勾股定理.12.A解析:35°【分析】根据矩形的判定得到四边形ABCD是矩形,由矩形的性质求出∠DAB,代入∠OAB=∠DAB ﹣∠OAD求出即可.【详解】解:∵四边形ABCD是平行四边形,∴OA=OC,OB=OD,∵OA=OD,∴AC=BD,∴四边形ABCD是矩形,∴∠DAB=90°,∵∠OAD=55°,∴∠OAB=∠DAB﹣∠OAD=35°,故答案为:35°.【点睛】本题考查了矩形的判定和性质,能根据矩形的性质求出∠DAB的度数是解此题的关键.13.y=2x.【详解】试题解析:每瓶的售价是4824=2(元/瓶),则买的总价y(元)与所买瓶数x之间的函数关系式是:y=2x.考点:根据实际问题列一次函数关系式.14.A解析:②【解析】【分析】根据②作条件,先证明四边形ADCE是平行四边形,再利用邻边相等,得到四边形ADCE 是菱形.【详解】解:当BA=BC时,四边形ADCE是菱形.理由:∵AE∥CD,CE∥AD,∴四边形ADCE是平行四边形,∵BA=BC,∴∠BAC=∠BCA,∵AD,CD分别平分∠BAC和∠ACB,∴∠DAC=∠DCA,∴DA=DC,∴四边形ADCE是菱形.【点睛】本题考查的知识点是菱形的证明,解题关键是熟记菱形的性质.15.1或11 或【分析】l 过点C 、点P 的位置有两种情况:①点P 位于点E 时,S=1;②点P 位于点C 时,S=11;求出l 过临界点D 、E 、B 即求出直线与图形有一个交点时b 的取值范围.【详解解析:1或11 45b <≤或1b =-【分析】l 过点C 、点P 的位置有两种情况:①点P 位于点E 时,S =1;②点P 位于点C 时,S =11;求出l 过临界点D 、E 、B 即求出直线l 与图形G 有一个交点时b 的取值范围.【详解】解:∵点A 、B 、C 、D 的坐标分别为(-2,2),(-2,1),(3,1),(3,2) ∴AD =BC =5,AB =1当直线l 过点C (3,1)时,1=-3+b ,即b =4∴直线的解析式为y =-x +4.∴42y x y =-+⎧⎨=⎩,解得22x y =⎧⎨=⎩,即直线1与AD 的交点E 为(2,2) ∴DE =1.∴如图:当l 过点C 时,点P 位于点E 或点C①当l 过点C 时,点P 位于点E 时,S =DE =1;②当l 过点C 时,点P 位于点C 时,S =AD +AB +BC =5+1+5=11..∴当1过点C 时,S 的值为1或11;当直线l 过点D 时,b =5;当直线1过点C 时,b =4;当直线1过点B 时,将B (-2,1)代入y =-x +b 得1=2+b ,即b =-1∴当45b <≤或1b =-时,直线l 与图形G 有一个交点.故填1或11,45b <≤或1b =-.【点睛】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征,根据题意求出临界值成为解答本题的关键.16.4或【分析】当为直角三角形时,有两种情况:①当点F 落在矩形内部时,如答图1所示.连接,先利用勾股定理计算出,根据折叠的性质得,而当为直角三角形时,只能得到,所以点A 、F 、C 共线,即沿折叠,使点解析:4或【分析】当CEF △为直角三角形时,有两种情况:①当点F 落在矩形内部时,如答图1所示.连接AC ,先利用勾股定理计算出10AC =,根据折叠的性质得90AFE B ∠=∠=︒,而当CEF △为直角三角形时,只能得到90EFC ∠=︒,所以点A 、F 、C 共线,即B 沿AE 折叠,使点B 落在对角线AC 上的点F 处,则,6EB EF AB AF ===,可计算出CF ;②当点F 落在AD 边上时,如答图2所示.此时ABEF 为正方形,根据勾股定理计算出CF .【详解】解:当CEF △为直角三角形时,有两种情况:①当点F 落在矩形内部时,如答图1所示.连接AC ,在Rt ABC 中,6,8AB BC ==,∴10AC =,∵B 沿AE 折叠,使点B 落在点F 处,∴90AFE B ∠=∠=︒,当CEF △为直角三角形时,只能得到90EFC ∠=︒,∴点A 、F 、C 共线,即B 沿AE 折叠,使点B 落在对角线AC 上的点F 处,∴,6EB EF AB AF ===,∴1064CF =-=;②当点F 落在AD 边上时,如答图2所示.此时ABEF 为正方形,∴6,862BE AB CE ===-=,∴CF =综上所述,CF 的长为4或故答案为:4或【点睛】本题考查折叠问题:折叠前后两图形全等,即对应线段相等;对应角相等.也考查了矩形的性质以及勾股定理.解题的关键是要注意本题有两种情况,需要分类讨论,避免漏解.三、解答题17.(1)4-;(2)3.【分析】(1)根据二次根式的混合运算法则先算乘法,然后合并同类二次根式求解即可;(2)根据二次根式的混合运算法则先算乘法,然后合并同类二次根式求解即可.【详解】(1)解析:(1)422)3.【分析】(1)根据二次根式的混合运算法则先算乘法,然后合并同类二次根式求解即可; (2)根据二次根式的混合运算法则先算乘法,然后合并同类二次根式求解即可.【详解】(1)2+81828818162232=42232=42==+(212273-23241227224333=2-3+4=3=⨯【点睛】此题考查了二次根式的加减乘法运算,解题的关键是熟练掌握二次根式的加减乘法运算法则.18.4米【分析】根据勾股定理列出方程,解方程即可.【详解】解:设水池里水的深度是x尺,由题意得,x2+52=(x+1)2,解得:x=12,米答:水池里水的深度是4米.【点睛】本题考查解析:4米【分析】根据勾股定理列出方程,解方程即可.【详解】解:设水池里水的深度是x尺,由题意得,x2+52=(x+1)2,解得:x=12,1∴⨯=米1243答:水池里水的深度是4米.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用,掌握勾股定理、根据勾股定理正确列出方程是解题的关键.19.(1)见解析;(2)见解析;周长为4+2.【解析】【分析】(1)直接利用网格结合正方形的性质得出符合题意的答案;(2)直接利用网格结合平行四边形的性质以及勾股定理得出答案.【详解】(1)解析:(1)见解析;(2)见解析;周长为.【解析】【分析】(1)直接利用网格结合正方形的性质得出符合题意的答案;(2)直接利用网格结合平行四边形的性质以及勾股定理得出答案.【详解】(1)如图1,将AB 绕点A 逆时针旋转90︒得AD ,将AB 绕点B 顺时针旋转90︒得BC ,连接DC ,正方形ABCD 即为所求.(2)如图2所示,2AF BE ==∴S ▱ABEF 236=⨯= 由题意可知:221310AB =+=平行四边形ABEF 即为所求.周长为2()2(210)410AB BE +=⨯=+【点睛】本题考查作图、勾股定理、正方形的性质等知识,解题的关键是理解题意,学会利用数形结合的思想思考问题.20.(1)见解析;(2)四边形的面积.【分析】(1)利用平行四边形的性质先证明,可得再证明四边形是平行四边形,从而可得结论;(2)先求解,,再利用勾股定理求解,从而可得答案.【详解】(1)证明解析:(1)见解析;(2)四边形ABFC 的面积93=【分析】(1)利用平行四边形的性质先证明ABE FCE ∆≅∆,可得,AB FC =再证明四边形ABFC 是平行四边形,从而可得结论;(2)先求解6AF DF ==,132CF DF ==,再利用勾股定理求解2233AC AF CF -=而可得答案.【详解】(1)证明:四边形ABCD 是平行四边形, AB CD ∴=,//AB CD ,BAE CFE ∴∠=∠,点E 是ABCD 中BC 边的中点,BE CE ∴=,AEB FEC ∠=∠,()ABE FCE AAS ∴∆≅∆,,AB FC ∴=//AB FC ,∴四边形ABFC 是平行四边形,又AF BC =,∴平行四边形ABFC 为矩形;(2)解:由(1)得:四边形ABFC 为矩形,90ACF ∴∠=︒, AFD 是等边三角形,6AF DF ∴==,132CF DF ==,AC ∴∴四边形ABFC 的面积3AC CF =⨯==.【点睛】本题考查的是等边三角形的性质,勾股定理的应用,平行四边形的性质与判定,矩形的判定,熟练的使用矩形的判定定理是解题的关键.21.(1)﹣i ,1,;(2)﹣i ﹣6;(3)的最小值为25.【解析】【分析】(1)根据题目所给条件可得i3=i2•i ,i4=i2•i2计算即可得出答案;(2)根据多项式乘法法则进行计算,及题目所解析:(1)﹣i ,1,20221i i i--;(2)﹣i ﹣6;(325.【解析】【分析】(1)根据题目所给条件可得i 3=i 2•i ,i 4=i 2•i 2计算即可得出答案;(2)根据多项式乘法法则进行计算,及题目所给已知条件即可得出答案;(3)根据题目已知条件,a +bi =4+3i ,求出a 、b ,即可得出答案.【详解】(1)i 3=i 2•i =﹣1×i =﹣i ,i 4=i 2•i 2=﹣1×(﹣1)=1,设S =i +i 2+i 3+…+i 2021,iS =i 2+i 3+…+i 2021+i 2022,∴(1﹣i )S =i ﹣i 2022,∴S =20221i i i--,故答案为﹣i,1,20221i ii--;(2)(1+i)×(3﹣4i)﹣(﹣2+3i)(﹣2﹣3i)=3﹣4i+3i﹣4i2﹣(4﹣9i2)=3﹣i+4﹣4﹣9=﹣i﹣6;(3)a+bi=2543i-=25(43)(43)(43)ii i+-+=10075169i++=4+3i,∴a=4,b=3,x,0)到点A(0,4),B(24,3)的最小距离,∵点A(0,4)关于x轴对称的点为A'(0,﹣4),连接A'B即为最短距离,∴A'B25,25.【点睛】此题考查了实数的运算,以及规律型:数字的变化类,弄清题中的新定义是解本题的关键.22.(1)y1=50+3x;当0<x<30且n为整数时,y2=80;当x≥30时且n为整数时,y2=5x-70;(2)见解析【分析】(1)根据题意,可以写出y1,y2关于x的函数解析式;(2)在0解析:(1)y1=50+3x;当0<x<30且n为整数时,y2=80;当x≥30时且n为整数时,y2=5x-70;(2)见解析【分析】(1)根据题意,可以写出y1,y2关于x的函数解析式;(2)在0<x<30范围内,令y1=y2,求x的值,可得y1>y2时x的取值范围,在x≥30时,令y1=y2可得x的值,即可得y1>y2时可得x的取值范围.【详解】解:(1)由题意得:y1=50+3x,当0<x<30且x为整数时,y2=80,当x≥30时且x为整数时,y2=80+5(x-30)=5x-70;(2)当0<x<30且x为整数时,当50+3x=80时,解得x=10,即10<x<30时,y1>y2,0<x<10时,y1<y2,当x≥30且x为整数时,50+3x=5x-70时,解得x=60,即x>60时,y2>y1,30≤x<60时,y2<y1,∴从日工资收入的角度考虑,①当0<x<10或x>60时,y2>y1,他应该选择方案二;②当10<x<60时,y1>y2,他应该选择方案一;③当x=10或x=60时,y1=y2,他选择两个方案均可.【点睛】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质解答.23.(1)B(12,4);(2);(3)【分析】(1)由四边形是平行四边形,得到,,于是得到,,可求出点的坐标;(2)根据四边形是平行四边形,得到,即,解方程即可得到结论;(3)如图2,可分三解析:(1)B(12,4);(2);(3)【分析】(1)由四边形是平行四边形,得到,,于是得到,,可求出点B的坐标;(2)根据四边形是平行四边形,得到,即,解方程即可得到结论;(3)如图2,可分三种情况:①当时,②当时,③当时分别讨论计算即可.【详解】解:如图1,过C作于E,过B作于F,四边形是平行四边形,,,,C的坐标分别为,,,,,;(2)设点P运动秒时,四边形是平行四边形,由题意得:,点D是的中点,,四边形是平行四边形,,即,,当秒时,四边形是平行四边形;(3)如图2,①当时,过作于E,则,,,又,C的坐标分别为,,∴,即有,当点P与点C重合时,,;②当时,过作于G,则,,;③当时,过作于F,则,,,;综上所述:当是等腰三角形时,点P的坐标为,,,,.【点睛】本题是四边形综合题,考查了平行四边形的性质,等腰三角形的性质,勾股定理,熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键.24.(1),;(2)或;(3)存在,或或【解析】【分析】(1)由△ABC 面积为10,可得AC =5,即可求C 点坐标,再将点B 与C 代入y =kx+b ,解二元一次方程组可求y =﹣x+4;(2)当D 点在E解析:(1)(3,0)C ,443y x =-+;(2)23(0,)7或(0,1)-;(3)存在,19(,0)3或31(,0)3-或1(,0)3- 【解析】【分析】(1)由△ABC 面积为10,可得AC =5,即可求C 点坐标,再将点B 与C 代入y =kx +b ,解二元一次方程组可求y =﹣43x +4; (2)当D 点在E 上方时,过点D 作MN ⊥y 轴,过E 、F 分别作ME 、FN 垂直与x 轴,与MN 交于点M 、N ,由△EDF 是等腰直角三角形,可证得△MED ≌△NDF (AAS ),设D(0,y ),F (m ,﹣43m +4),E (﹣1,2),由ME =y ﹣2,MD =1,DN =y ﹣2,NF =1,得到m =y ﹣2,y =1+(﹣43m +4)=5﹣43m ,求出D (0,237);当点D 在点E 下方时,过点D 作PQ ⊥y 轴,过P 、Q 分别作PE 、FQ 垂直与x 轴,与PQ 交于点P 、Q ,同理可证△PED ≌△QDF (AAS ),设D (0,y ),F (m ,﹣43m +4),得到PE =2﹣y ,PD =1,DQ =2﹣y ,QF =1,所以m =2﹣y ,1=﹣43m +4﹣y ,求得D (0,﹣1); (3)连接OG ,由S △ABG =S △ABO ,可得OG ∥AB ,求出AB 的解析式为y =2x +4,所以OG 的解析式为y =2x ,可求出G (65 ,125),进而能求出AG 的解析式为y =34x +32,设M (t ,34t +32),N (n ,0),①当BC 、MN 分别为对角线时,BC 的中点为(32,2),MN 的中点为(2t n +,38t +34),求得N (﹣13,0);②当BM 、CN 分别为对角线时,BM 的中点为(2t ,38t +114),CN 的中点为(32n +,0),求得N (﹣313,0);③当BN 、CM 分别为对角线时,BN 的中点为(2n ,2),CM 的中点为(32t +,38t +34),求得N (193,0). 【详解】解:(1)∵△ABC 面积为10, ∴12×AC ×OB =12×AC ×4=10,∴AC =5,∵A (﹣2,0),∴C(3,0),将点B与C代入y=kx+b,可得4 30bk b=⎧⎨+=⎩,∴434kb⎧=-⎪⎨⎪=⎩,∴y=﹣43x+4,故答案为(3,0),y=﹣43x+4;(2)当D点在E上方时,过点D作MN⊥y轴,过E、F分别作ME、FN垂直与x轴,与MN交于点M、N,∵△EDF是等腰直角三角形,∴∠EDF=90°,ED=DF,∵∠MDE+∠NDF=∠MDE+∠MED=90°,∴∠NDF=∠MED,∴△MED≌△NDF(AAS),∴ME=DN,MD=FN,设D(0,y),F(m,﹣43m+4),∵E是AB的中点,∴E(﹣1,2),∴ME=y﹣2,MD=1,∴DN=y﹣2,NF=1,∴m=y﹣2,y=1+(﹣43m+4)=5﹣43m,∴m=97,∴D(0,237);当点D在点E下方时,过点D作PQ⊥y轴,过P、Q分别作PE、FQ垂直与x轴,与PQ 交于点P、Q,∵△EDF是等腰直角三角形,∴∠EDF=90°,ED=DF,∵∠PDE+∠QDF=∠PDE+∠PED=90°,∴∠QDF=∠PED,∴△PED≌△QDF(AAS),∴PE=DQ,PD=FQ,设D(0,y),F(m,﹣43m+4)∵E是AB的中点,∴E(﹣1,2),∴PE=2﹣y,PD=1,∴DQ=2﹣y,QF=1,∴m=2﹣y,1=﹣43m+4﹣y,∴m=3,∴D(0,﹣1);综上所述:D点坐标为(0,﹣1)或(0,237);(3)连接OG,∵S△ABG=S△ABO,∴OG∥AB,设AB的解析式为y=kx+b,将点A(﹣2,0),B(0,4)代入,得420bk b=⎧⎨-+=⎩,解得24k b =⎧⎨=⎩, ∴y =2x +4,∴OG 的解析式为y =2x ,∴2x =﹣43x +4, ∴x =65, ∴G (65 ,125), 设AG 的解析式为y =k 1x +b 1,将点A 、G 代入可得11112061255k b k b -+=⎧⎪⎨+=⎪⎩, 解得113422k b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴y =34x +32, ∵点M 为直线AG 上动点,点N 在x 轴上,则可设M (t ,34t +32),N (n ,0), 当BC 、MN 分别为对角线时,BC 的中点为(32,2),MN 的中点为(2t n +,38t +34), ∴322t n +=,38t +34=2, ∴t =103,n =﹣13, ∴N (﹣13,0); 当BM 、CN 分别为对角线时,BM 的中点为(2t ,38t +114),CN 的中点为(32n +,0), ∴322n t +=,38t +114=0, ∴t =﹣223,n =﹣313, ∴N (﹣313,0); ③当BN 、CM 分别为对角线时,BN 的中点为(2n ,2),CM 的中点为(32t +,38t +34), ∴322t n +=,38t +34=2, ∴t =103,n =193, ∴N (193,0); 综上所述:以点B ,C ,M ,N 为顶点的四边形为平行四边形时,N 点坐标为19(,0)3或31(,0)3-或1(,0)3-. 【点睛】本题考查一次函数的综合应用,(2)中注意D 点的位置有两种情况,避免丢解,同时解题时要构造K 字型全等,将D 点、F 点坐标联系起来,(3)中利用平行四边形对角线互相平分的性质,借助中点坐标公式解题,能简便运算,快速求解.25.(1),理由见解析;(2),理由见解析;(3),理由见解析【分析】(1)先根据正方形的性质可证得,由此可得,,再根据同角的补角相等证得,等量代换可得,由此可得,再等量代换即可得证;(2)过点E解析:(1)DE EF =,理由见解析;(2CD CF =+,理由见解析;(3)CD CF =-,理由见解析【分析】(1)先根据正方形的性质可证得BCE DCE ≌,由此可得CBE CDE ∠=∠,BE DE =,再根据同角的补角相等证得CDE EFB ∠=∠,等量代换可得CBE EFB ∠=∠,由此可得BE EF =,再等量代换即可得证;(2)过点E 作EG EC ⊥交CB 的延长线于点G ,先证明EG EC =,利用勾股定理可得CG ,再证明EGF ECB △≌△,由此可得GF CB CD ==,最后再等量代换即可得证;(3)仿照(1)和(2CD CF =-.【详解】解:(1)DE EF =,理由如下:∵四边形ABCD 是正方形,∴BC CD AD ==,90BCD ADC ∠=∠=︒, ∴180452ADC DAC DCA ︒-∠∠=∠==︒, ∴45BCE BCD DCA ∠=∠-∠=︒,∴BCE DCE ∠=∠,在BCE 与DCE 中,BC DC BCE DCE CE CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()BCE DCE SAS ≌,∴CBE CDE ∠=∠,BE DE =,∵EF DE ⊥,∴90FED ∠=︒,∵360EFC BCD CDE FED ∠+∠+∠+∠=︒,∴180CDE EFC ∠+∠=︒,∵180EFC EFB ∠+∠=︒,∴CDE EFB ∠=∠,∴CBE EFB ∠=∠,∴BE EF =,∴DE EF =;(2)2CE CD CF =+,理由如下:如图,过点E 作EG EC ⊥交CB 的延长线于点G ,∴90CEG ∠=︒,由(1)知:45BCE ∠=︒,∴45EGC BCE ∠=∠=︒, ∴EG EC =,∴在Rt GEC △中,222CG CE EG CE +,在EGF △与ECB 中,EGF ECB EFG EBC EF EB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EGF ECB AAS △≌△,∴GF CB CD ==,又∵CG GF CF CD CF =+=+, ∴2CE CD CF =+;(32CE CD CF =-,理由如下:如图,过点E 作EG EC ⊥交BC 于点G ,设CD 与EF 的交点为点P ,∴90CEG ∠=︒,由(1)可知:45BCE ∠=︒,∴45EGC BCE ∠=∠=︒,∴EG EC =,∴在Rt GEC △中,222CG CE EG CE +,∵EF DE ⊥,∴90FED ∠=︒,∴90CDE EPD ∠+∠=︒,∵18090DCF BCD ∠=︒-∠=︒,∴90CFE CPF ∠+∠=︒,又∵EPD CPF ∠=∠,∴CDE CFE ∠=∠,由(1)可知:CBE CDE ∠=∠,∴CBE CFE ∠=∠,在EGF △与ECB 中,EGF ECB EFG EBC EG EC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()EGF ECB AAS △≌△,∴GF CB CD ==,又∵CG GF CF CD CF =-=-, ∴2CE CD CF =-.【点睛】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用,作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键.。
八年级下册数学期末试卷达标检测卷(Word版含解析)
八年级下册数学期末试卷达标检测卷(Word 版含解析)一、选择题1.下列二次根式有意义的范围为x ≥﹣4的是( )A .4x -B .14x -C .14x +D .4x + 2.下列给出的四组数中,能构成直角三角形三边的一组是( )A .3,4,5B .5,12,14C .6,8,9D .8,13,153.下列命题:①一组对边平行,另一组对边相等的四边形是平行四边形;②对角线相等的四边形是矩形;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形;④对角线互相垂直的矩形是正方形.其中真命题的个数是( )A .1B .2C .3D .44.某校有17名同学报名参加信息学竞赛,测试成绩各不相同,学校取前8名参加决赛,小童已经知道了自己的成绩,他想知道自己能否参加决赛,还需要知道这17名同学测试成绩的( )A .中位数B .平均数C .众数D .方差 5.ABC ∆的周长为60,三条边之比为13:12:5,则这个三角形的面积为( )A .30B .90C .60D .120 6.在菱形ABCD 中,80ABC ∠=︒,BA BE =,则DAE =∠( )A .20︒B .30C .40︒D .50︒7.如图,已知矩形ABCD 沿着直线BD 折叠,使点C 落在C '处,BC '交AD 于E ,AD =8,AB =4,则DE 的长为( )A .3B .4C .5D .68.如图,在平面直角坐标系中,已知A (5,0)点P 为线段OA 上任意一点.在直线y =34x 上取点E ,使PO =PE ,延长PE 到点F ,使PA =PF ,分别取OE 、AF 中点M 、N ,连结MN ,则MN 的最小值是( )A .2.5B .2.4C .2.8D .3二、填空题9.函数01(1)2y x x =+-+中x 的取值范围是______. 10.已知菱形的两条对角线长分别为1和4,则菱形的面积为______.11.如图,每个小正方形的边长都为1,则ABC ∆的三边长a ,b ,c 的大小关系是________(用“>”连接).12.如图,点P 是矩形ABCD 的对角线AC 上一点,过点P 作EF ∥BC ,分别交AB ,CD 于点E 、F ,连接PB 、PD ,若AE =2,PF =9,则图中阴影面积为______;13.某一次函数的图象经过点(2,-3),且函数y 随x 的增大而增大,请你写出一个符合条件的函数解析式_____________________.14.在矩形ABCD 中,3AB =,ABC ∠的平分线BE 交AD 所在的直线于点E ,若2DE =,则AD 的长为__________.15.如图,在平面直角坐标系中,点A ,A 1,A 2,…在x 轴上,点P ,P 1,P 2,…在直线l :y=kx +34(k >0)上,∠OPA =90°,点P (1,1),A (2,0),且AP 1,A 1P 2,…均与OP 平行,A 1P 1,A 2P 2,…均与AP 平行,则有下列结论:①直线AP 1的函数解析式为y =x ﹣2;②点P 2的纵坐标是259;③点P 2021的纵坐标为(53)2021.其中正确的是_____(填序号).16.如图,在平面直角坐标系xOy 中,一次函数24y x =-的图象经过正方形OABC 的顶点A 和C ,则正方形OABC 的面积为____.三、解答题17.计算: ①33118(3)2⨯+-; ②2(32)24-+.18.笔直的河流一侧有一旅游地C ,河边有两个漂流点A ,B .其中AB =AC ,由于某种原因,由C 到A 的路现在已经不通,为方便游客决定在河边新建一个漂流点H (A ,H ,B 在同一直线上),并新修一条路CH ,测得BC =5千米,CH =4千米,BH =3千米. (1)判断△BCH 的形状,并说明理由;(2)求原路线AC 的长.19.阅读理解:我们给出如下定义:若一个四边形中存在一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,则称这个四边形为勾股四边形,这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边.(1)写出你所学过的特殊四边形中是勾股四边形的两种图形的名称:__________,__________.(2)如图,已知格点(小正方形的顶点)()0,0O ,()3,0A ,()0,4B ,请你画出以格点为顶点,OA ,OB 为勾股边且对角线相等的两个勾股四边形OAMB .20.如图,矩形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点,作CF ∥BD ,DF ∥AC .求证:四边形DECF 为菱形.21.阅读材料:规定初中考试不能使用计算器后,小明是这样解决问题的:已知a 23+,求2281a a -+的值.他是这样分析与解的:∵a 23+2323(23)(23)-=+-, ∴23a -= ∴2(2)3,a -= 2443a a -+=∴241a a -=-, ∴2281a a -+=2(24)1a a -+=2(1)11⨯-+=-.请你根据小明的分析过程,解决如下问题:(1)若a 21-,直接写出2481a a -+的值是 . (21315375121119+++++ 22.某商场要印制商品宣传材料,甲印刷厂的收费标准是:每份材料收1元印制费,另收1500元制版费;乙印刷厂的收费标准是:每份材料收2.5元印制费,不收制版费. (1)分别写出两厂的收费y (元)与印制数量x (份)之间的关系式;(2)印制800份宣传材料时,选择哪一家印刷厂比较合算?商场计划花费3000元用于印刷上述宣传材料,选择哪一家印刷厂能多印制一些宣传材料?23.在正方形ABCD 中,点E 是CD 边上任意一点,连接过点B 作于F ,交AD 于.如图1,过点D 作于G .求证:;如图2,点E 为CD 的中点,连接DF ,试判断存在什么数量关系并说明理由;如图3,,连接,点为的中点,在点E 从点D 运动到点C 的过程中,点随之运动,请直接写出点运动的路径长.24.如图,已知点()4,0A 、()0,2B ,线段OA OC =且点C 在y 轴负半轴上,连接AC .(1)如图1,求直线AB 的解析式;(2)如图1,点P 是直线CA 上一点,若3ABC ABP SS =,求满足条件的点P 坐标; (3)如图2,点M 为直线5:2l x =上一点,将点M 水平向右平移6个单位至点N ,连接BM 、MN 、NC ,求BM MN NC ++的最小值及此时点N 的坐标.25.(解决问题)如图1,在ABC ∆中,10AB AC ==,CG AB ⊥于点G .点P 是BC 边上任意一点,过点P 作PE AB ⊥,PF AC ⊥,垂足分别为点E ,点F .(1)若3PE =,5PF =,则ABP ∆的面积是______,CG =______.(2)猜想线段PE ,PF ,CG 的数量关系,并说明理由.(3)(变式探究)如图2,在ABC ∆中,若10AB AC BC ===,点P 是ABC ∆内任意一点,且PE BC ⊥,PF AC ⊥,PG AB ⊥,垂足分别为点E ,点F ,点G ,求PE PF PG ++的值.(4)(拓展延伸)如图3,将长方形ABCD 沿EF 折叠,使点D 落在点B 上,点C 落在点C '处,点P 为折痕EF 上的任意一点,过点P 作PG BE ⊥,PH BC ⊥,垂足分别为点G ,点H .若8AD =,3CF =,直接写出PG PH +的值.【参考答案】一、选择题1.D解析:D【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数,分式的分母不为0列出不等式,分别计算即可.【详解】解:A 、x ﹣4≥0,解得x ≥4,故此选项不符合题意;B 、x ﹣4>0,解得x >4,故此选项不符合题意;C 、x +4>0,解得x >﹣4,故此选项不符合题意;D 、x +4≥0,解得x ≥﹣4,故此选项符合题意.故选:D .【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件和分式有意义的条件,解题关键是熟记二次根式和分式有意义的条件,列出不等式求解.2.A解析:A【分析】分别把选项中的三边平方后,根据勾股定理逆定理即可判断能否构成直角三角形.【详解】解:A.∵32+42=52,∴能构成直角三角形三边;B.∵52+122≠142,∴不能构成直角三角形三边;C.∵62+82≠92,∴不能构成直角三角形三边;D.∵82+132≠152,∴不能构成直角三角形三边.故选A.【点睛】本题考查了利用勾股定理逆定理判定直角三角形的方法.在应用勾股定理的逆定理时,应先认真分析所给边的大小关系,确定最大边后,再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系,进而作出判断.3.B解析:B【解析】【分析】根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的判定直接进行判断即可.【详解】解:①一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,原命题是假命题;②对角线相等的平行四边形是矩形,原命题是假命题;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形,是真命题;④对角线互相垂直的矩形是正方形,是真命题;故选:B.【点睛】本题主要考查命题的真假判断,正确的命题叫真命题,错误的命题叫做假命题.判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理.4.A解析:A【解析】【分析】由于比赛取前8名参加决赛,共有17名选手参加,根据中位数的意义分析即可.【详解】解:由于总共有17个人,且他们的分数互不相同,第9名的成绩是中位数,要判断是否进入前8名,故应知道自己的成绩和中位数.故选:A.【点睛】本题考查了统计量的选择,以及中位数意义,解题的关键是正确的求出这组数据的中位数.5.D解析:D根据已知条件可求得三边的长,再判断这个三角形是直角三角形,即可求得面积.【详解】∵三条边之比为13:12:5,∴122+52=132,∴△ABC 是直角三角形,∵△ABC 的周长为60,∴三边长分别是:26,24,10,∴这个三角形的面积是:24×10÷2=120,故选D .【点睛】本题考查勾股定理的逆定理的应用.判断三角形是否为直角三角形,已知三角形三边的长,只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可.6.B解析:B【解析】【分析】利用菱形的性质和等腰三角形的性质即可求解.【详解】解:在菱形ABCD 中,80ABC ∠=︒,∴18080100BAD ∠=︒-︒=︒,40ABE ∠=︒,∵BA BE =, ∴18040702BAE BEA ︒-︒∠=∠==︒, ∴1007030DAE BAD BAE ∠=∠-∠=︒-︒=︒,故选:B .【点睛】本题考查了菱形的性质和等腰三角形的性质,运用知识准确计算是解题的关键. 7.C解析:C【解析】【分析】根据折叠前后角相等可知△ABE ≌△C'ED ,利用勾股定理可求出.【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形,∴AB=CD ,∠C =∠A =90°由折叠的性质可得:C'D =CD =AB ;∠C'=∠C =∠A在△ABE 与△C'ED 中''C ED AEB C A ⎪∠=∠⎨⎪∠=∠⎩∴△ABE ≌△C'ED (AAS )∴DE=BE设DE =BE =x ,则AE =8-x ,AB =4,在直角三角形ABE 中,()22816x x =-+ 解得x =5故选C .【点睛】本题考查勾股定理在折叠问题中的应用,找到合适的直角三角形构建等量关系是本题关键.8.B解析:B【分析】如图,连接PM ,PN ,设AF 交EM 于J ,连接PJ .证明四边形PMJN 是矩形,推出MN=PJ ,求出PJ 的最小值即可解决问题.【详解】解:如图,连接PM ,PN ,设AF 交EM 于J ,连接PJ .∵PO=PE ,OM=ME ,∴PM ⊥OE ,∠OPM=∠EPM ,∵PF=PA ,NF=NA ,∴PN ⊥AF ,∠APN=∠FPN ,∴∠MPN=∠EPM+∠FPN=12(∠OPF+∠FPA )=90°,∠PMJ=∠PNJ=90°,∴四边形PMJN 是矩形,∴MN=PJ ,∴当JP ⊥OA 时,PJ 的值最小此时MN 的值最小, ∵AF ⊥OM ,A (5,0),直线OM 的解析式为y=34x ∴设直线AF 的解析式为y=4-3x+b ∵直线AF 过A (5,0), ∴4-5+b 3⨯=0,∴b=203, ∴y=420-x+33, 由3442033y x y x ⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩,解得165125x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴16(,)5125J ∴PJ 的最小值为125=2.4 即MN 的最小值为2.4故选:B .【点睛】本题考查一次函数的应用,矩形的判定和性质,垂线段最短等知识,解题的关键是学会用转化的思想思考问题,属于中考选择题中的压轴题.二、填空题9.x >﹣2且x ≠1.【解析】【分析】从二次根式,分式,零指数幂三个角度去思考求解即可.【详解】由题意得,x +2>0,且x ﹣1≠0,解得x >﹣2且x ≠1,所以x 的取值范围是x >﹣2且x ≠1.故答案为:x >﹣2且x ≠1.【点睛】本题考查了分式有意义的条件,二次根式有意义的条件,零指数幂有意义的条件,熟练上述基本条件是解题的关键.10.2【解析】【分析】利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解.【详解】解:菱形的面积=12×1×4=2. 故答案为2.【点睛】本题考查了菱形的性质:熟练掌握菱形的性质(菱形具有平行四边形的一切性质; 菱形的四条边都相等; 菱形的两条对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角). 记住菱形面积=12ab (a 、b 是两条对角线的长度). 11.c a b >>;【解析】【分析】观察图形根据勾股定理分别计算出a 、b 、c ,根据二次根式的性质即可比较a 、b 、c 的大小.【详解】解:在图中,每个小正方形的边长都为1,由勾股定理可得:22242025=+==a ,22331832=+==b ,221526=+=c ,∵262018>>,即262532>>,∴c a b >>,故答案为:c a b >>.【点睛】本题考查了勾股定理和比较二次根式的大小,本题中正确求出a 、b 、c 的值是解题的关键.12.A解析:18【分析】作PM ⊥AD 于M ,交BC 于N ,根据矩形的性质可得S △PEB =S △PFD 即可求解.【详解】解:作PM ⊥AD 于M ,交BC 于N .则有四边形AEPM ,四边形DFPM ,四边形CFPN ,四边形BEPN 都是矩形,,,,,ADC ABC AMP AEP PBE PBN PFD PDM PFC PCN S S S S S S S S S S ∴=====,∴DFPM BEPN S S 矩矩=,12442DFP PBE S S ∴==⨯⨯=, ∴S 阴=9+9=18,故答案为:18.【点睛】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识,解题的关键是证明DFP PBE S S =.13.5y x =-(答案不唯一)【分析】根据题意,写出一个0k >且经过(2,3)-的解析式即可【详解】函数y 随x 的增大而增大0k ∴>图象经过点(2,-3)例如:5y x =-(答案不唯一)【点睛】本题考查了一次函数的性质,一次函数的定义,理解一次函数的性质是解题的关键. 14.5或1【分析】当点E 在AD 上时,根据平行线的性质和角平分线的定义可得3AE AB ==,可得AD 的长;当点E 在AD 的延长线上时,同理可求出AD 的长.【详解】解:如图1,当点E 在AD 上时,四边形ABCD 是矩形,90A ∴∠=︒,//AD BC ,AEB CBE ∴∠=∠, BE 平分ABC ∠,ABE CBE ∴∠=∠,ABE AEB ∴∠=∠,3AE AB ∴==,2DE =,325AD AE DE ∴=+=+=;如图2,当点E 在AD 的延长线上时,同理3AE =,321AD AE DE ∴=-=-=.故答案为:5或1.【点睛】本题主要考查了矩形的性质,等腰直角三角形的性质等知识,解题的关键是正确画出两种图形.15.①②③【分析】由已知易求得直线的解析式为:,直线为:,进而根据待定系数法可求得 的解析式为:即可判断①;解析式联立构成方程组可求得 的坐标,同理求得 的坐标,即可判断②;由、的坐标得出规律即可得解析:①②③【分析】由已知易求得直线OP 的解析式为:y x =,直线l 为:1344y x =+,进而根据待定系数法可求得 1AP 的解析式为:2y x =-即可判断①;解析式联立构成方程组可求得 1P 的坐标,同理求得 2P 的坐标,即可判断②;由1P 、2P 的坐标得出规律即可得出点 2021P 的纵坐标为202153⎛⎫ ⎪⎝⎭,即可判断③.【详解】解:设1AP 的解析式为y kx b =+,∵P (1,1),∴直线OP 为y x =,∵AP 1∥OP ,∴k =1,即y x b =+,∵A (2,0),∴2+b =0,解得b =﹣2,∴AP 1的解析式为2y x =-,故①正确;∵点P ,P 1,P 2,…在直线l :34y kx =+(k >0)上, ∴1=k +34,解得k =14,∴直线l 为:1344y x =+, 解21344y x y x =-⎧⎪⎨=+⎪⎩得11353x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴115133P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,, 设11A P 的解析式为y x b =-+, 代入111533P ⎛⎫ ⎪⎝⎭,可得,11A P 的解析式为:163y x =-+, ∴A 1的坐标为(163,0), 同理求得A 1P 2的解析式为:163y x =-, 解1631344y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩得739259x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩, ∴P 2纵坐标为259,故②正确; ∵P 1纵坐标为53,P 2纵坐标为259=(53)2, 以此类推,点P 2021的纵坐标为(53)2021.故③正确. 故答案为:①②③.【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式,一次函数图象上点的坐标特征,总结出点的纵坐标的规律是解题的关键.16.【分析】过点作轴于点,过点作轴于点,由正方形的性质就可以得出,就可以得出,,由一次函数的图象经过正方形的顶点和,设点,就可以得出代入解析式就可以求出的值,由正方形的面积等于就可以求出结论.【详 解析:325【分析】过点C 作CD x ⊥轴于点D ,过点A 作AE y ⊥轴于点E ,由正方形的性质就可以得出CDO AEO ∆≅∆,就可以得出CD AE =,OD OE =,由一次函数24y x =-的图象经过正方形OABC 的顶点A 和C ,设点(,24)C a a -,就可以得出(24,)A a a --代入解析式就可以求出a 的值,由正方形的面积等于2OC 就可以求出结论.【详解】解:过点C 作CD x ⊥轴于点D ,过点A 作AE y ⊥轴于点E ,90CDO AEO ∴∠=∠=︒.四边形OABC 是正方形,90AOC ∴∠=︒,OC OA =.90DOE ∠=︒,AOC DOE ∴∠=∠,AOC AOD DOE AOD ∴∠-∠=∠-∠,COD AOE ∴∠=∠.在CDO ∆和AEO ∆中,CDO AEO COD AOE OC OA ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ()CDO AEO AAS ∴∆≅∆CD AE ∴=,OD OE =.一次函数24y x =-的图象经过正方形OABC 的顶点A 和C ,设点(,24)C a a -, OD a ∴=,24CD a =-,OE a ∴=,24AE a =-,(24,)A a a ∴--,2(24)4a a ∴-=--,125a ∴=. 125OD ∴=,45CD =, 在Rt CDO ∆中,由勾股定理,得2222212432555OC OD CD ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭. 2OABC S CO =正方形,325OABC S ∴=正方形. 故答案为:325. 【点睛】 本题考查了正方形的性质及面积公式的运用,垂直的性质的运用,勾股定理的运用,全等三角形的判定及性质的运用,一次函数图象上点的坐标的特征的运用,构造K 字形全等,得出AC 两点坐标关系是解题的关键.三、解答题17.①0;②5【分析】(1)先运用二次根式或立方根的性质化简各个根式,再计算即可;(2)先运用完全平方公式计算,再合并同类二次根式计算即可.【详解】解:①原式=0;②原式=5.【解析:①0;②5【分析】(1)先运用二次根式或立方根的性质化简各个根式,再计算即可;(2)先运用完全平方公式计算,再合并同类二次根式计算即可.【详解】解:原式3=-=-33=0;②2原式32=+-=5.【点睛】本题考查了二次根式的混合运算,熟练掌握二次根式的运算法则和运算顺序是解题的关键.18.(1)直角三角形,理由见解析;(2)原来的路线AC的长为千米.【分析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可;(2)根据勾股定理解答即可.【详解】解:(1)△HBC是直角三角形,理由是:在△解析:(1)直角三角形,理由见解析;(2)原来的路线AC的长为256千米.【分析】(1)根据勾股定理的逆定理解答即可;(2)根据勾股定理解答即可.【详解】解:(1)△HBC是直角三角形,理由是:在△CHB中,∵CH2+BH2=42+32=25,BC2=25,∴CH2+BH2=BC2,∴△HBC是直角三角形且∠CHB=90°;(2)设AC=AB=x千米,则AH=AB-BH=(x-3)千米,在Rt△ACH中,由已知得AC=x,AH=x-3,CH=4,由勾股定理得:AC2=AH2+CH2,∴x2=(x-3)2+42,解这个方程,得x=256,答:原来的路线AC的长为256千米.【点睛】本题考查勾股定理的应用,解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理.19.(1)矩形,正方形;(2)见解析【解析】【分析】(1)根据勾股四边形的定义即可求解;(2)由勾股定理可知可知四边形对角线为5,据此即可作图.【详解】解:(1)由勾股四边形的定义矩形、正方解析:(1)矩形,正方形;(2)见解析【解析】【分析】(1)根据勾股四边形的定义即可求解;(2)由勾股定理可知可知四边形OAMB对角线为5,据此即可作图.【详解】解:(1)由勾股四边形的定义矩形、正方形都满足一组相邻两边的平方和等于一条对角线的平方,故答案为:矩形,正方形;(2)如图,证明:∵∠AOB=90°,∴222OA OB AB+=,∴四边形OAMB为勾股四边形,由勾股定理得,22345OM+∴AB=OM,∴四边形OAMB都是勾股四边形,符合题意.【点睛】本题为新定义问题,考查了勾股定理等知识,矩形、正方形的性质,熟知勾股定理,理解勾股四边形的定义是解题关键.20.见解析【分析】根据DF∥AC,CF∥BD,即可证出四边形EDFC是平行四边形,又知四边形ABCD是矩形,故可得ED=BD=AC=EC,即可证出四边形EDFC是菱形.【详解】证明:∵DF∥AC解析:见解析【分析】根据DF∥AC,CF∥BD,即可证出四边形EDFC是平行四边形,又知四边形ABCD是矩形,故可得ED=12BD=12AC=EC,即可证出四边形EDFC是菱形.【详解】证明:∵DF∥AC,CF∥BD∴四边形EDFC是平行四边形,∵四边形ABCD是矩形,∴ED=12BD=12AC=EC,∴四边形EDFC是菱形.【点睛】本题主要考查矩形性质和菱形的判定的知识点,解答本题的关键是熟练掌握菱形的判定定理,此题比较简单.21.(1)5;(2)5.【解析】【详解】试题分析: 根据平方差公式,可分母有理化,根据整体代入,可得答案.试题解析:(1)∵a=,∴4a2-8a+1=4×()2-8×()+1=5;(2)解析:(1)5;(2)5.【解析】【详解】试题分析: 根据平方差公式,可分母有理化,根据整体代入,可得答案.,试题解析:(1)∵∴4a2-8a+1)2-8×)+1=5;×(2)原式=12×)=12×10=12=5.点睛:本题主要考查了分母有理化,利用分母有理化化简是解答此题的关键.22.(1)y甲=x+1500,y乙=2.5x;(2)印制800份宣传材料时,选择乙厂比较合算;商场计划花费3000元用于印刷上述宣传材料,选择甲厂能多印制一些宣传材料【分析】(1)根据“甲印刷厂的收解析:(1)y甲=x+1500,y乙=2.5x;(2)印制800份宣传材料时,选择乙厂比较合算;商场计划花费3000元用于印刷上述宣传材料,选择甲厂能多印制一些宣传材料【分析】(1)根据“甲印刷厂的收费标准是:每份材料收1元印制费,另收1500元制版费”可得甲厂关系式,根据“乙印刷厂的收费标准是:每份材料收2.5元印制费,不收制版费”可得乙厂关系式;(2)把x=800代入两厂关系式进行计算即可得哪厂比较合算;把y=3000代入两厂关系式进行计算可得哪厂能多印制一些宣传材料.【详解】解:(1)根据题意得:y甲=x+1500,y乙=2.5x;(2)当x=800时,y甲=800+1500=2300,y乙=2.5×800=2000,∵2300>2000,∴印制800份宣传材料时,选择乙厂比较合算;当y=3000时,甲厂:3000=x+1500,解得x=1500,乙厂:3000=2.5x,解得x=1200,∵1500>1200,∴商场计划花费3000元用于印刷上述宣传材料,选择甲厂能多印制一些宣传材料.【点睛】本题考查了一次函数的应用,理解题意是解题的关键.23.(1)见解析;(2)FH+FE=DF,理由见解析;(3)【分析】(1)如图1中,证明△AFB≌△DGA(AAS)可得结论.(2)结论:FH+FE=DF.如图2中,过点D作DK⊥AE于K,DJ⊥解析:(1)见解析;(2),理由见解析;(3)【分析】(1)如图1中,证明△AFB≌△DGA(AAS)可得结论.(2)结论:.如图2中,过点D作DK⊥AE于K,DJ⊥BF交BF的延长线于J,证明四边形DKFJ是正方形,可得结论.(3)如图3中,取AD的中点J,连接PJ,延长JP交CD于R,过点P作PT⊥CD于T,PK⊥AD于K.设PT=b.证明△KPJ是等腰直角三角形,推出点P在线段JR上运动,求出JR即可解决问题.【详解】解:(1)如图1中,∵四边形ABCD是正方形,∴AB=AD,∠BAD=90°,∵DG⊥AE,AE⊥BH,∴∠AFB=∠DGH=90°,∴∠FAB+∠DAG=90°,∠DAG+∠ADG=90°,∴∠BAF=∠ADG,∴△AFB≌△DGA(AAS),∴AF=DG,BF=AG,∴BF-DG=AG-AF=FG.(2)结论:FH+FE=2DF.理由:如图2中,过点D作DK⊥AE于K,DJ⊥BF交BF的延长线于J,∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAD=∠ADE=90°,AB=AD,∵AE⊥BH,∴∠AFB=90°,∴∠DAE+∠EAB=90°,∠EAB+∠ABH=90°,∴∠DAE=∠ABH,∴△ABH≌△DAE(ASA),∴AH=AE,∵DE=EC=1CD,CD=AD,2∴AH=DH,∴DE=DH,∵DJ⊥BJ,DK⊥AE,∴∠J=∠DKE=∠KFJ=90°,∴四边形DKFJ是矩形,∴∠JDK=∠ADC=90°,∴∠JDH=∠KDE,∵∠J=∠DKE=90°,∴△DJH≌△DKE(AAS),∴DJ=DK,JH=EK,∴四边形DKFJ是正方形,∴FK=FJ=DK=DJ,∴DF=2FJ,∴FH+FE=FJ-HJ+FK+KE=2FJ=2DF;(3)如图3中,取AD的中点J,连接PJ,延长JP交CD于R,过点P作PT⊥CD于T,PK⊥AD于K.设PT=b.∵△ABH≌△DAE,∴AH=DE,∵∠EDH=90°,HP=PE,∴PD=PH=PE,∵PK⊥DH,PT⊥DE,∴∠PKD=∠KDT=∠PTD=90°,∴四边形PTDK是矩形,∴PT=DK=b,PK=DT,∵PH=PD=PE,PK⊥DH,PT⊥DE,∴DH=2DK=2b,DE=2DT,∴AH=DE=1-2b,∴PK=12DE=12-b,JK=DJ-DK=12-b,∴PK=KJ,∵∠PKJ=90°,∴∠KJP=45°,∴点P在线段JR上运动,∵2DJ=,∴点P 的运动轨迹的长为.【点睛】 本题属于四边形综合题,考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,轨迹等知识,解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题. 24.(1);(2)点P 的坐标为(,)或(,);(3)的最小值为;点N 的坐标为(,).【解析】【分析】(1)直接利用待定系数法,即可求出直线的解析式;(2)根据题意,先求出点C 的坐标,然后求出直线解析:(1)122y x =-+;(2)点P 的坐标为(163,43)或(83,43-);(3)BM MN NC ++的最小值为6N 的坐标为(172,711). 【解析】【分析】(1)直接利用待定系数法,即可求出直线的解析式;(2)根据题意,先求出点C 的坐标,然后求出直线AC 的解析式,由3ABC ABP S S =,得到3AC AP =,再分别求出AC 和AP 的长度,即可求出点P 的坐标;(3)根据题意,6MN =为定值,在图中找出一点B ',使得B N BM '=,即点B '、N 、C 三点共线时,使得BM MN NC ++有最小值,此时求出B C B N NC BM NC ''=+=+,即可得到答案.【详解】解:(1)设直线AB 为y kx b =+,把点()4,0A 、()0,2B ,代入,则402k b b +=⎧⎨=⎩,解得:122k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, ∴122y x =-+; (2)∵线段4OA OC ==,且点C 在y 轴负半轴上,∴点C 的坐标为(0,-4),∵点A 为(4,0),∴直线AC 的解析式为:4y x =-;∵点B 到直线AC 的距离就是△ABC 和△ABP 的高,∴△ABC 和△ABP 的高相同,∵3ABC ABP SS =, ∴11322AC h AP h ••=⨯••,∴3AC AP =, ∵224442AC =+=, ∴1424233AP =⨯=, ∵点P 在直线AC 上,则设点P 为(x ,x -4),∴2242(4)(4)243AP x x x =-+-=•-=, ∴443x -=, ∴163x =或83x =, ∴点P 的坐标为(163,43)或(83,43-); (3)根据题意,∵点B 与点M 的水平距离为52, ∴在点N 的右边水平距离为52处作直线11x =,如图:令点B '为(11,2),此时有B N BM '=,∵6MN =,∴66BM MN NC BM NC B N NC '++=++=++,∴当点B '、N 、C 三点共线时,使得BM MN NC ++有最小值,最小值为:66BM MN NC B N NC B C ''++=++=+;∵点B '(11,2),点C 为(0,-4),∴直线B C '的解析式为:6411y x =-,B C '∴BM MN NC ++有最小值为:66B C '+=+∵点N 的横坐标为:517622+=, ∴点N 的纵坐标为:6177411211y =⨯-=, ∴点N 的坐标为:(172,711). 【点睛】 本题考查了一次函数的性质,利用勾股定理求两点之间的距离,最短路径问题,坐标与图形,解题的关键是熟练掌握一次函数的图形和性质,正确找出使得线段之和最小时的临界点,注意运用数形结合的思想进行解题.25.(1)15,8;(2),见解析;(3);(4)4【分析】解决问题(1)只需运用面积法:,即可解决问题;(2)解法同(1);(3)连接、、,作于,由等边三角形的性质得出,由勾股定理得出,得出的解析:(1)15,8;(2)PE PF CG +=,见解析;(3)4)4【分析】解决问题(1)只需运用面积法:ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+,即可解决问题;(2)解法同(1);(3)连接PA 、PB 、PC ,作AM BC ⊥于M ,由等边三角形的性质得出152BM BC ==,由勾股定理得出AM =ABC ∆的面积12BC AM =⨯=ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积1111()2222BC PE AC PF AB PG AB PE PF PG =⨯+⨯+⨯=++= (4)过点E 作EQ BC ⊥,垂足为Q ,易证BE BF =,过点E 作EQ BF ⊥,垂足为Q ,由解决问题(1)可得PG PH EQ +=,易证EQ DC =,BF DF =,只需求出BF 即可.【详解】解:(1)∵PE AB ⊥,10AB =,3PE =,∴ABP ∆的面积111031522AB PE =⨯=⨯⨯=, ∵PE AB ⊥,PF AC ⊥,CG AB ⊥,且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+,∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅,∵AB AC =,∴358CG PE PF =+=+=.故答案为:15,8.(2)∵PE AB ⊥,PF AC ⊥,CG AB ⊥,且ABC ABP ACP S S S ∆∆∆=+,∴AB CG AB PE AC PF ⋅=⋅+⋅,∵AB AC =,∴CG PE PF =+.(3)连接PA 、PB 、PC ,作AM BC ⊥于M ,如图2所示:∵10AB AC BC ===,∴ABC ∆是等边三角形,∵AM BC ⊥, ∴152BM BC ==, ∴222210553AM AB BM =-=-=,∴ABC ∆的面积11105325322BC AM =⨯=⨯⨯=, ∵PE BC ⊥,PF AC ⊥,PG AB ⊥,∴ABC ∆的面积BCP =∆的面积ACP +∆的面积APB +∆的面积111222BC PE AC PF AB PG =⨯+⨯+⨯1()2AB PE PF PG =++ 253=,∴22535310PE PF PG ⨯++==. (4)过点E 作EQ BC ⊥,垂足为Q ,如图3所示:∵四边形ABCD 是矩形,∴AD BC =,90C ADC ∠=∠=︒,∵8AD =,3CF =,∴5BF BC CF AD CF =-=-=,由折叠可得:5DF BF ==,BEF DEF ∠=∠,∵90C ∠=︒, ∴4DC =,∵EQ BC ⊥,90C ADC ∠=∠=︒,∴90EQC C ADC ∠=︒=∠=∠,∴四边形EQCD 是矩形,∴4EQ DC ==,∵//AD BC ,∴DEF EFB ∠=∠,∵BEF DEF ∠=∠,∴BEF EFB ∠=∠,∴BE BF =,由解决问题(1)可得:PG PH EQ +=,∴4PG PH +=,即PG PH +的值为4.【点睛】本题是四边形综合题目,考查了矩形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、平行线的性质与判定、等边三角形的性质、勾股定理等知识,考查了用面积法证明几何问题,考查了运用已有的经验解决问题的能力,体现了自主探究与合作交流的新理念,是充分体现新课程理念难得的好题.。
贵阳数学分式解答题单元测试卷 (word版,含解析)
一、八年级数学分式解答题压轴题(难)1.已知下面一列等式:111122⨯=-;11112323⨯=-;11113434⨯=-;11114545⨯=-;… (1)请你按这些等式左边的结构特征写出它的一般性等式:(2)验证一下你写出的等式是否成立;(3)利用等式计算:11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++. 【答案】(1)一般性等式为111=(+11n n n n -+);(2)原式成立;详见解析;(3)244x x+. 【解析】【分析】(1)先要根据已知条件找出规律;(2)根据规律进行逆向运算;(3)根据前两部结论进行计算.【详解】解:(1)由111122⨯=-;11112323⨯=-;11113434⨯=-;11114545⨯=-;…, 知它的一般性等式为111=(+11n n n n -+); (2)1111(1)(1)n n n n n n n n +-=-+++111(1)1n n n n ==⋅++, ∴原式成立; (3)11(1)(1)(2)x x x x ++++11(2)(3)(3)(4)x x x x ++++++ 1111112x x x x =-+-+++11112334x x x x +-+-++++ 114x x =-+ 244x x=+. 【点睛】 解答此题关键是找出规律,再根据规律进行逆向运算.2.阅读下面内容:我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》,聪明的你可以发现:当0a >,0b >时,∵20a b =-≥,∴a b +≥a b =时取等号.请利用上述结论解决以下问题: (1)当0x >时,1x x +的最小值为_______;当0x <时,1x x+的最大值为__________. (2)当0x >时,求2316x x y x++=的最小值. (3)如图,四边形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,△AOB 、△COD 的面积分别为4和9,求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】(1)2,-2;(2)11;(3)25【解析】【分析】(1)当x >0时,按照公式ab a=b 时取等号)来计算即可;x <0时,由于-x >0,-1x>0,则也可以按照公式ab a=b 时取等号)来计算; (2)将2316x x y x++=的分子分别除以分母,展开,将含x 的项用题中所给公式求得最小值,再加上常数即可;(3)设S △BOC =x ,已知S △AOB =4,S △COD =9,则由等高三角形可知:S △BOC :S △COD =S △AOB :S △AOD ,用含x 的式子表示出S △AOD ,四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来,再按照题中所给公式求得最小值,加上常数即可.【详解】解:(1)当x >0时,112x x x x +≥⋅= 当x <0时,11x x x x ⎛⎫+=--- ⎪⎝⎭ ∵()1122x x x x ⎛⎫--≥-⋅-= ⎪⎝⎭∴12x x ⎛⎫---≤- ⎪⎝⎭∴当0x >时,1x x +的最小值为2;当0x <时,1x x+的最大值为-2; (2)由2316163x x y x x x++==++ ∵x >0,∴163311y x x =++≥= 当16x x= 时,最小值为11; (3)设S △BOC =x ,已知S △AOB =4,S △COD =9则由等高三角形可知:S △BOC :S △COD =S △AOB :S △AOD∴x :9=4:S △AOD∴:S △AOD =36x∴四边形ABCD 面积=4+9+x+361325x ≥+= 当且仅当x=6时取等号,即四边形ABCD 面积的最小值为25.【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用,同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质,本题难度中等略大.3.某小麦改良品种后平均每公顷增加产量a 吨,原来产m 吨小麦的一块土地,现在小麦的总产量增加了20吨.(1)当a =0.8,m =100时,原来和现在小麦的平均每公顷产量各是多少?(2)请直接接写出原来小麦的平均每公顷产量是 吨,现在小麦的平均每公顷产量是 吨;(用含a 、m 的式于表示)(3)在这块土地上,小麦的改良品种成熟后,甲组收割完需n 小时,乙组比甲组少用0.5小时就能收割完,求两组一起收割完这块麦田需要多少小时?【答案】(1)原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨,4.8吨;(2)20ma ,+2020ma a ;(3)两组一起收割完这块麦田需要2241n n n --小时. 【解析】【分析】(1)设原来小麦平均每公顷产量是x 吨,根据题意列出分式方程求解并验根即可;(2)设原来小麦平均每公顷产量是y 吨,根据题意列出分式方程求解并验根即可;(3)由题意得知,工作总量为m+20,甲的工作效率为:20m n +,乙的工作效率为:200.5m n +-,再由工作总量除以甲乙的工作效率和即可得出工作时间.【详解】 解:(1)设原来平均每公顷产量是x 吨,则现在平均每公顷产量是(x +0.8)吨, 根据题意可得:100100200.8x x +=+ 解得:x =4,检验:当x =4时,x (x +0.8)≠0, ∴原分式方程的解为x =4,∴现在平均每公顷产量是4.8吨,答:原来和现在小麦的平均每公顷产量各是4吨,4.8吨.(2)设原来小麦平均每公顷产量是y 吨,则现在玉米平均每公顷产量是(y +a )吨, 根据题意得:20m m y y a +=+ 解得;y =20ma , 经检验:y =20ma 是原方程的解, 则现在小麦的平均每公顷产量是:202020ma ma a a ++= 故答案为:20ma ,2020ma a +; (3)根据题意得:()20.5202202020.5410.5n n m n n m m n n n n -+-==++--+- 答:两组一起收割完这块麦田需要2241n n n --小时. 【点睛】本题考查的知识点主要是根据题意列分式方程并求解,找出题目中的等量关系式是解题的关键.4.阅读理解: 把一个分式写成两个分式的和叫做把这个分式表示成部分分式.如何将2131x x --表示成部分分式?设分式2131x x --=11m n x x +-+,将等式的右边通分得:(1)(1)(1)(1)m x n x x x ++-+-=()(1)(1)m n x m n x x ++-+-,由2131x x --= ()(1)(1)m n x m n x x ++-+-得:31m n m n +=-⎧⎨-=⎩,解得:12m n =-⎧⎨=-⎩,所以2131x x --=1211x x --+-+. (1)把分式1(2)(5)x x --表示成部分分式,即1(2)(5)x x --=25m n x x +--,则m = ,n = ; (2)请用上述方法将分式43(21)(2)x x x -+-表示成部分分式.【答案】(1)13-,13;(2)21212x x ++-. 【解析】【分析】 仿照例子通分合并后,根据分子的对应项的系数相等,列二元一次方程组求解.【详解】解:(1)∵()()()522525m n x m n m n x x x x +--+=----, ∴0521m n m n +=⎧⎨--=⎩, 解得:1313m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩. (2)设分式()()43212x x x -+-=212m n x x ++-将等式的右边通分得:()()()()221212m x n x x x -+++-=()()()22212m n x m n x x +-++-, 由()()43212x x x -+-=()()()22212m n x m n x x +-++-, 得2423m n m n +=⎧⎨-+=-⎩, 解得21m n =⎧⎨=⎩. 所以()()43212x x x -+-=21212x x ++-.5.小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司,合做需6周完成,需工钱5.2万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周才能完成,需工钱4.8万元,若只选一个公司单独完成,从节约开支角度考虑,小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由.【答案】从节约开支角度考虑,应选乙公司单独完成【解析】试题分析:需先算出甲乙两公司独做完成的周数.等量关系为:甲6周的工作量+乙6周的工作量=1;甲4周的工作量+乙9周的工作量=1;还需算出甲乙两公司独做需付的费用.等量关系为:甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2;甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8.试题解析:解:设甲公司单独完成需x 周,需要工钱a 万元,乙公司单独完成需y 周,需要工钱b 万元.依题意得:661491x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得:1015x y =⎧⎨=⎩. 经检验:1015x y =⎧⎨=⎩是方程组的根,且符合题意. 又6() 5.2101549 4.81015a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯=⎪⎩,解得:64a b =⎧⎨=⎩. 即甲公司单独完成需工钱6万元,乙公司单独完成需工钱4万元.答:从节约开支角度考虑,应选乙公司单独完成.点睛:本题主要考查分式的方程的应用,根据题干所给的等量关系求出两公司单独完成所需时间和工钱,然后比较应选择哪个公司.6.阅读下面的解题过程: 已知2112x x =+,求241x x +的值。
人教版八年级上册数学第十五章《分式》单元测试卷(Word版,含答案)
人教版八年级上册数学第十五章《分式》单元测试卷(60分钟 100分)一、选择题(每小题3分,共30分)1.(南充中考)若1x =-4,则x 的值是( )A .4B .14C .-14D .-42.在第127届“广交会”上,有近26 000家厂家进行“云端销售”.其中数据26 000用科学记数法表示为( )A .26×103B .2.6×103C .2.6×104D .0.26×1053.下列式子:-5x ,1a +b,12 a 2-12 b 2,310m ,2π ,其中分式有( ) A .1个 B .2个 C .3个 D .4个4.计算1m +2 -14-m 2 ÷1m -2的结果为( ) A .0 B .1m +2 C .2m +2 D .m +2m -25.下列等式是四位同学解方程x x -1 -1=2x 1-x过程中去分母的一步,其中正确的是( )A .x -1=2xB .x -1=-2C .x -x -1=-2xD .x -x +1=-2x 6.若a =-0.32,b =-3-2,c =⎝⎛⎭⎪⎫-13 -2 ,d =⎝ ⎛⎭⎪⎫-13 0,则大小关系正确的是( ) A .a <b <c <d B .b <a <d <c C .a <d <c <d D .c <a <d <b7.若a =1,则a 2a +3 -9a +3的值为( ) A .2 B .-2 C .12 D .-128.(呼伦贝尔中考)甲、乙两人做某种机械零件,已知甲做240个零件与乙做280个零件所用的时间相等,两人每天共做130个零件.设甲每天做x 个零件,下列方程正确的是( )A .240x =280130-xB .240130-x=280x C .240x +280x =130 D .240x -130=280x9.对于两个不相等的实数a ,b ,我们规定符号Min{a ,b }表示a ,b 中的较小的值,如Min{2,4}=2,按照这个规定,方程Min ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫1x -2,3x -2 =x -1x -2 -2的解为( )A .0B .0或2C .无解D .不确定10.关于x 的分式方程2x +a x +1=1的解为负数,则a 的取值范围是( ) A .a >1 B .a <1C .a <1且a ≠-2D .a >1且a ≠2二、填空题(每小题3分,共24分)11.(北京中考)若代数式1x -7有意义,则实数x 的取值范围是__ __. 12.(广州中考)方程x x +1 =32x +2的解是 . 13.(呼和浩特中考)分式2x x -2 与8x 2-2x 的最简公分母是__ __,方程2x x -2 -8x 2-2x=1的解是__ __. 14.有一个分式,三位同学分别说出了它的一个特点,甲:分式的值不可能为0;乙:分式有意义时x 的取值范围是x ≠±1;丙:当x =-2时,分式的值为1.请你写出满足上述全部特点的一个分式: .15.(嘉兴中考)数学家斐波那契编写的《算经》中有如下问题:一组人平分10元钱,每人分得若干;若再加上6人,平分40元钱,则第二次每人所得与第一次相同,求第一次分钱的人数.设第一次分钱的人数为x 人,则可列方程 .16.已知3x -4(x -1)(x -2) =A x -1 +B x -2,则实数A =__ __. 17.若(x -y -2)2+|xy +3|=0,则⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫3x x -y -2x x -y ÷1y 的值是 . 18.数学家们在研究15,12,10这三个数的倒数时发现112 -115 =110 -112 .因此就将具有这样性质的三个数称为调和数,如6,3,2也是一组调和数.现有一组调和数x ,5,3(x >5),则x =__ __.三、解答题(共46分)19.(6分)计算或化简:(1)(-1)2 022-|-7|+9 ×(5 -π)0+⎝ ⎛⎭⎪⎫15 -1 . (2)(徐州中考)⎝ ⎛⎭⎪⎫1-1a ÷a 2-2a +12a -2. 20.(6分)解方程:(1)(遵义中考)1x -2 =32x -3. (2)(大庆中考)2x x -1 -1=4x -1. 21.(8分)(鄂州中考)先化简x 2-4x +4x 2-1 ÷x 2-2x x +1 +1x -1,再从-2,-1,0,1,2中选一个合适的数作为x 的值代入求值.22.(8分)某茶店用4 000元购进了A 种茶叶若干盒,用8 400元购进了B 种茶叶若干盒,所购B 种茶叶比A 种茶叶多10盒,且B 种茶叶每盒进价是A 种茶叶每盒进价的1.4倍.(1)A ,B 两种茶叶每盒进价分别为多少元?(2)若第一次所购茶叶全部售完后,第二次购进A ,B 两种茶叶共100盒(进价不变),A 种茶叶的售价是每盒300元,B 种茶叶的售价是每盒400元,两种茶叶各售出一半后,为庆祝元旦,两种茶叶均打七折销售,全部售出后,第二次所购茶叶的利润为5 800元(不考虑其他因素),求本次购进A ,B 两种茶叶各多少盒?。
【苏教版】数学八年级下学期《期中考试题》及答案解析
苏教版八年级下学期数学期中测试卷一、选择题: 本大题共10小题,每小题2分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B 铅笔涂在答题卡相对应的位置上............ 1. 下列图案中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是( ) A. B. C.D. 2. 下列特征中,平行四边形不一定具有的是( )A. 邻角互补B. 对角互补C. 对角相等D. 内角和为360° 3. 将分式2m mn -中的m 、n 都扩大为原来的3倍,则分式的值( ) A. 不变 B. 扩大3倍 C. 扩大6倍D. 扩大9倍 4. 矩形两条对角线的夹角为60°,一条较短边长为5cm ,则其对角线的长为( )cm .A. 5B. 10C. 15D. 7.55. 平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,给下条件不能判定它为菱形的是( )A. AB =ADB. AC ⊥BDC. ∠A =∠DD. CA 平分∠BCD6. 对于反比例函数y =﹣2x,下列说法不正确的是( ) A. 图象分布在第二、四象限B. y 随x 的增大而增大C. 图象经过点(1,﹣2)D. 若x >1,则﹣2<y <0 7. 如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上,A 、D 两点分别在反比例函数k y x =(k <0,x <0)与1y x =(x >0)的图像上,若平行四边形ABCD 的面积为4,则k 的值为( ) A. -1 B. -2 C. -3D. -5 8. 如图,将△ABC 绕点A 逆时针旋转一定角度,得到△ADE ,此时点C 恰好在线段DE 上,若∠B=40°,∠CAE=60°,则∠DAC 度数为( )A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°9. 如图,已知正方形ABCD边长为1,连接AC、BD,CE平分∠ACD交BD于点E,则DE长为()A. 22-2B. 3-1C. 2-1D. 2-210. 如图,正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上,反个比例函数y= kx(k≠0)在第一象限的图象经过点A(m,2)和CD边上的点E(n,23),过点E作直线l∥BD交y轴于点F,则点F的坐标是( )A. (0,- 73) B. (0,-83)C. (0,-3)D. (0,- 103)二、填空题: 本大题共8小题,每小题2分,共16分,把答案直接填在答题卡相对应的位置.........上...11. 若分式x3x2+-有意义,则x≠___.12. 菱形两邻角的度数之比为1:3,边长为52__________.13. 已知点(-1,y1)、(2,y2)、(5y3)在反比例函数21kyx+=-的图像上,则y1、y2、y3的大小关系是__________ (用”>“连接)14. 一个平行四边形的一条边长为3,两条对角线的长分别为4和25,则它的面积为______. 15. 设函数3y x =-与2y x =+的图像的交点为(m ,n ),则11m n-的值为________. 16. 已知关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为负数,则k 的取值范围是_______. 17. 如图,在△ABC 中,点D 在BC 上,BD =AB ,BM ⊥AD 于点M ,N 是AC 的中点,连接MN .若AB =5,BC =8,则MN =_______.18. 如图,在Rt ABC ∆中, 90,3,4BAC AB AC ∠=︒==,点P 为BC 上任意一点,连接PA ,以,PA PC 为邻边作平行四边形PAQC ,连接PQ ,则PQ 的最小值为__________.三、解答题: 本大题共8大题,共64分,把解答过程写在答题卡相对应的位置上,解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔. 19. 计算:(1)22555x x x+-- (2)22242369x x x x x x --÷+++ (3)211x x x --- 20. 先化简222(1)24p p p p -+÷--, 再求值.(其中 p 是满足-3<p <3 的整数). 21. 解分式方程: 214111x x x ++=--. 22. 某商场进货员预测某商品能畅销市场,就用8万元购进该商品,上市后果然供不应求.商场又用17.6万购进了第二批这种商品,所购数量是第一批购进量的2倍,但进货的单价贵了4元,商场销售该商品时每件定价都是58元,最后剩下150件按八折销售,很快售完.在这两笔生意中,商场共盈利多少元? 23. 如图,一次函数4y x =+的图像与反比例函数k y x=(k 为常数,且0k ≠)的图像交于 (1,),(,1)A a B b -两点.(1)求反比例函数的表达式;(2)在x 轴上找一点P ,使PA PB+的值最小,求满足条件的点P 的坐标; (3)在(2)的条件下求PAB ∆的面积.24. 如图,已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,延长AB 至点E ,使BE =AB ,连接CE .(1)求证: 四边形BECD 是平行四边形;(2)若∠E =60°,AC =43,求菱形ABCD 的面积.25. 我市某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度y (℃)随时间x (小时)变化的函数图象,其中BC 段是双曲线y=k x的一部分.请根据图中信息解答下列问题: (1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时?(2)求k 的值;(3)当棚内温度不低于16℃时,该蔬菜能够快速生长,请问这天该蔬菜能够快速生长多长时间?26. 如图1,正方形ABCD顶点A、B在函数y =kx(k﹥0)的图像上,点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上,当k的值改变时,正方形ABCD的大小也随之改变.(1)若点A的横坐标为5,求点D的纵坐标;(2)如图2,当k=8时,分别求出正方形A'B'C'D'的顶点A'、B'两点的坐标;(3)当变化的正方形ABCD与(2)中的正方形A'B'C'D'有重叠部分时,求k的取值范围.答案与解析一、选择题: 本大题共10小题,每小题2分,共20分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.请将选择题的答案用2B铅笔涂在答题卡相对应的位置上............1. 下列图案中既是中心对称图形,又是轴对称图形的是()A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断.【详解】A、是轴对称图形,不是中心对称图形;B、是轴对称图形,不是中心对称图形;C、是轴对称图形,也是中心对称图形;D、是轴对称图形,不是中心对称图形.故选: C.【点睛】本题主要考查中心对称图形与轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,图形两部分折叠后可重合,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转180度后两部分重合.2. 下列特征中,平行四边形不一定具有的是()A. 邻角互补B. 对角互补C. 对角相等D. 内角和为360°【答案】B【解析】【分析】根据平行四边形的性质得到,平行四边形邻角互补,对角相等,内角和360°,而对角却不一定互补.【详解】解: 根据平行四边形性质可知: A、C、D均是平行四边形的性质,只有B不是.故选B.【点睛】本题考查平行四边形的性质: ①平行四边形两组对边分别平行;②平行四边形的两组对边分别相等;③平行四边形的两组对角分别相等;④平行四边形的对角线互相平分.3. 将分式2mm n中的m、n都扩大为原来的3倍,则分式的值( )A. 不变B. 扩大3倍C. 扩大6倍D. 扩大9倍【答案】A【解析】m 、n 都扩大为原来的3倍得到()662333m m m m n m n m n==--- ,∴分式的值不变. 故选A.4. 矩形两条对角线的夹角为60°,一条较短边长为5cm ,则其对角线的长为( )cm .A. 5B. 10C. 15D. 7.5 【答案】B【解析】【分析】由夹角60°可得△AOB 为等边三角形,进而可得对角线的长.【详解】如图,矩形两条对角线的夹角为60°,可得△AOB 为等边三角形,又AB=5,所以OA=OB=5,所以对角线AC=BD=10故选: B .【点睛】本题考查了等边三角形的判定及性质、矩形的性质,熟练掌握矩形两条对角线相等的性质及等边三角形的性质.5. 平行四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,给下条件不能判定它为菱形的是( )A. AB =ADB. AC ⊥BDC. ∠A =∠DD. CA 平分∠BCD 【答案】C【解析】【分析】根据: ①定义: 一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.进行判断即可.【详解】A 、为一组邻边相等平行四边形是菱形,不符合题意;B 、为对角线互相垂直平分的平行四边形是菱形,不符合题意;C 、可判定为矩形,不能判定为菱形,符合题意;D 、为一条对角线平分一角,可得出一组邻边相等,也能判定为菱形,不符合题意;故选C .【点睛】本题考查菱形的判定方法有三种: ①定义: 一组邻边相等的平行四边形是菱形;②四边相等;③对角线互相垂直平分的四边形是菱形.6. 对于反比例函数y =﹣2x ,下列说法不正确的是( ) A. 图象分布在第二、四象限 B. y 随x 的增大而增大C. 图象经过点(1,﹣2)D. 若x >1,则﹣2<y <0 【答案】B【解析】【分析】根据反比例函数图象的性质对各选项分析判断后利用排除法求解.【详解】解: A .k =﹣2<0,∴它的图象在第二、四象限,故本选项正确;B .k =﹣2<0,函数图象在二、四象限,且在每个象限内y 随x 的增大而增大,故本选项错误;C .∵﹣21=﹣2,∴点(1,﹣2)在它的图象上,故本选项正确; D .若x >1,则﹣2<y <0,故本选项正确.故选: B .【点睛】本题考查反比例函数的性质,对于反比例函数y=k x(k≠0),当k >0时,反比例函数图象在一、三象限,在每一个象限内,y 随x 的增大而减小;当k <0时,反比例函数图象在第二、四象限内,在每一个象限内,y 随x 的增大而增大.7. 如图,在平面直角坐标系中,平行四边形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴上,A 、D 两点分别在反比例函数k y x=(k <0,x <0)与1y x =(x >0)的图像上,若平行四边形ABCD 的面积为4,则k 的值为( )A. -1B. -2C. -3D. -5【答案】C【解析】连接OA、OD,如图,∵四边形ABCD为平行四边形,∴AD垂直y轴,∴122OAEkS k=⨯=,11122ODES=⨯=,∴122OADkS=+,∵▱ABCD的面积=2OADS=4.∴|k|+1=4,解得k=−3或3,∵k<0.∴k=−3故C.8. 如图,将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度,得到△ADE,此时点C恰好在线段DE上,若∠B=40°,∠CAE=60°,则∠DAC的度数为()A. 15°B. 20°C. 25°D. 30°【答案】B【解析】【分析】由旋转的性质得出△ADE≌△ABC,得出∠D=∠B=40°,AE=AC,证出△ACE是等边三角形,得出∠ACE=∠E=60°,由三角形内角和定理求出∠DAE的度数,即可得出结果.【详解】由旋转的性质得: △ADE≌△ABC,∴∠D =∠B =40°,AE =AC ,∵∠CAE =60°,∴△ACE 是等边三角形,∴∠ACE =∠E =60°,∴∠DAE =180°−∠E −∠D =80°∴806020DAC DAE CAE ∠=∠-∠=-=;故选B.【点睛】考查旋转的性质,等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,熟练掌握旋转的性质是解题的关键. 9. 如图,已知正方形ABCD 边长为1,连接AC 、BD ,CE 平分∠ACD 交BD 于点E ,则DE 长为( )2-2 B. 3 1 C. 2-1 D. 22【答案】C【解析】【分析】 【详解】解: ∵正方形ABCD 边长为1,2AC BD ∴==22OC OD ∴==.设DE x =. 作EF CD ⊥ 于点F∵CE 平分∠ACD ,22EF OE x ∴==-,22CF OC ==,212DF =- ∵DF 2+EF 2=DE 2, 22222122x x ⎛⎛⎫∴-+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解之得21x =故选C10. 如图,正方形ABCD的顶点B、C在x轴的正半轴上,反个比例函数y= kx(k≠0)在第一象限的图象经过点A(m,2)和CD边上的点E(n,23),过点E作直线l∥BD交y轴于点F,则点F的坐标是( )A. (0,- 73) B. (0,-83)C. (0,-3)D. (0,- 103)【答案】A 【解析】【分析】由A(m,2)得到正方形的边长为2,则BC=2,所以n=2+m,根据反比例函数图象上点的坐标特征得到k=2•m=2 3(2+m),解得m=1,则A(1,2),B(1,0),D(3,2),E(3,),然后利用待定系数法确定直线BD的解析式,再根据平行线的性质和E的坐标求得直线l的解析式,求x=0时对应函数的值,从而得到点F的坐标.【详解】∵正方形的顶点A(m,2),∴正方形的边长为2,∴BC=2,而点E(n,23 ),∴n=2+m,即E点坐标为(2+m,23 ),∴k=2⋅m=23(2+m),解得m=1,∴A(1,2),E(3,23 ),∴B(1,0),D(3,2),设直线BD的解析式为y=ax+b,把B(1,0),D(3,2)代入得32 a ba b+=⎧⎨+=⎩,解得11 ab=⎧⎨=-⎩,∵过点E作直线l∥BD交y轴于点F,∴设直线l的解析式为y=x+q,把E(3,23)代入得3+q=23,解得q=−73,∴直线l的解析式为y=x−7 3当x=0时,y=−73,∴点F的坐标为(0,−73 ),故选A.【点睛】本题考查反比例函数.求出b的值是解题关键.二、填空题: 本大题共8小题,每小题2分,共16分,把答案直接填在答题卡相对应的位置.........上...11. 若分式x3x2+-有意义,则x≠___.【答案】2 【解析】试题分析: 根据分式分母不为0的条件,要使x3x2+-在实数范围内有意义,必须x20x2-≠⇒≠.12. 菱形的两邻角的度数之比为1:3,边长为__________.【答案】5【解析】试题分析: 如图,菱形ABCD 的边长52,BC =CE 为高,:1:3,B A ∠∠=//,+180,AD BC A B ∴∠∠= 45.B ∴∠=BCE ∴为等腰直角三角形,2,BC CE =2252 5.CE BC ∴==⨯=考点: 1、菱形的性质;2、等腰直角三角形的性质.13. 已知点(-1,y 1)、(2,y 2)、(5y 3)在反比例函数21k y x+=-的图像上,则y 1、y 2、y 3的大小关系是__________ (用”>“连接)【答案】y 1>y 3>y 2【解析】【分析】【详解】20k ≥ 211k ∴+≥2110k ∴--≤-<∴反比例函数21k y x+=-的图像在二,四象限,在每一象限内y 随x 的增大而增大 点()11,y -在第二象限10y ∴>()()232,,5,y y 都在第四象限,且25<230y y ∴<<132y y y ∴>>14. 一个平行四边形的一条边长为3,两条对角线的长分别为4和25______.【答案】5【解析】【分析】【详解】如图所示: 3,4,25,AB AC BD ===∵四边形ABCD 是平行四边形112,5,22OA AC OB BD ∴==== ∵22225)3+=,90.AOB ∴∠= 即两条对角线互相垂直,∴这个四边形是菱形, ∴14254 5.2S =⨯⨯= 故答案为4 5.15. 设函数3y x =-与2y x =+的图像的交点为(m ,n ),则11m n -的值为________. 【答案】−23 【解析】【分析】由两函数的交点坐标为(m ,n ),将x=m ,y=n 代入反比例解析式,求出mn 的值,代入一次函数解析式,得出n-m 的值,将所求式子通分并利用同分母分式的加法法则计算后,把mn 及n-m 的值代入即可求出值.【详解】∵函数3y x=-与y=x+2的图象的交点坐标是(m,n), ∴将x=m ,y=n 代入反比例解析式得: mn=−3, 代入一次函数解析式得: n=m+2,即n−m=2,则1122=33n m m n mn --==--. 故答案为−23 . 【点睛】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题,解题关键在于求出求出mn 的值.16. 已知关于x 的分式方程111x k k x x +-=+-的解为负数,则k 的取值范围是_______.【答案】12k >且1k ≠. 【解析】 试题分析: 分式方程去分母得: ()()()()211121211x k x k x x x k k +--+=-⇒=-+-+≠±. ∵分式方程解为负数,∴12102k k-+⇒. 由211k -+≠±得0k ≠和1k ≠∴k 的取值范围是12k >且1k ≠. 考点: 1.分式方程的解;2.分式有意义的条件;3.解不等式;4.分类思想的应用.17. 如图,在△ABC 中,点D 在BC 上,BD =AB ,BM ⊥AD 于点M ,N 是AC 的中点,连接MN .若AB =5,BC =8,则MN =_______.【答案】1.5【解析】【分析】根据题目的已知条件易求DC 的长为3,易证MN 是三角形ADC 的中位线,由三角形中位线定理即可求出MN 的长.【详解】∵BD=AB ,BM ⊥AD 于点M ,∴AM=DM ,∵N 是AC 的中点,∴AN=CN ,∴MN 是三角形ADC 的中位线,∴MN=12DC , ∵AB=5,BC=8,∴DC=3,∴MN=1.5,故答案是: 1.5.【点睛】此题考查的是三角形中位线的性质,即三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半. 18. 如图,在Rt ABC ∆中, 90,3,4BAC AB AC ∠=︒==,点P 为BC 上任意一点,连接PA ,以,PA PC 为邻边作平行四边形PAQC ,连接PQ ,则PQ 的最小值为__________.【答案】125【解析】【分析】【详解】解: 90,3,4,BAC AB AC ︒∠===225BC AC AB ∴=+=四边形APCQ 是平行四边形,,PO QO CO AO ∴==.∵PQ 最短也就是PO 最短,过O 作BC 的垂线OP′.,'90'ACB P CO CP O CAB ︒∠=∠∠=∠=,~',CAB CP O ∴',CO OP BC AB∴= 2',53OP ∴=65OP '∴=. 则PQ 的最小值为122'5OP =. 故答案为: 125. 三、解答题: 本大题共8大题,共64分,把解答过程写在答题卡相对应的位置上,解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明.作图时用2B 铅笔或黑色墨水签字笔. 19. 计算:(1)22555x x x +-- (2)22242369x x x x x x --÷+++ (3)211x x x --- 【答案】(1)x+5;(2)26x x+;(3)11x - 【解析】【分析】(1)原式变形后,利用同分母分式的减法法则计算,约分即可得到结果;(2)原式利用除法法则变形,约分即可得到结果;(3)原式通分并利用同分母分式的减法法则计算,即可得到结果. 【详解】(1)22555x x x+-- =22555x x x --- =2255x x -- =(5)(5)5x x x +-- =5x +(2)22242369x x x x x x --÷+++ =22(2)(3)(3)2x x x x x -++-=2(3)x x+; (3)211x x x --- =2(1)(1)11x x x x x -+--- =2(1)(1)1x x x x --+- =11x -. 【点睛】此题主要考查了分式的加、减、乘、除运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.20. 先化简222(1)24p p p p -+÷--, 再求值.(其中 p 是满足-3<p <3 的整数). 【答案】21p p +-,-12. 【解析】【分析】本题的关键是正确进行分式的通分、约分,并准确代值计算.在-3<p<3中的整数p 是-2,-1,0,1,2;为满足原式有意义,只能取-1. 【详解】222(1)24p p p p -+÷--=()()()22221=221p p p p p p p p +--⨯-++-- . 在−3<p<3中的整数p 是−2,−1,0,1,2;根据题意,这里p 仅能取−1,此时原式=-12. 故答案为-12. 【点睛】此题考查分式的化简求值,解题关键在于掌握运算法则进行化简.21. 解分式方程:214111x x x ++=--. 【答案】3x =-【解析】【分析】首先方程两边乘以最简公分母,把分式方程化成整式方程,求出整式方程的解,再代入最简公分母检验即可.【详解】解: 方程两边乘以(1)(1)x x +-得: 2(1)4(1)(1)x x x ++=+-,解这个方程得: 3x =-,检验: 当3x =-时,(1)(1)0x x +-≠,3x =-是原方程的解;∴原方程的解是: 3x =-.【点睛】本题考查了分式方程的解法、一元一次方程方程的解法;熟练掌握分式方程的解法,方程两边乘以最简公分母,把分式方程化成整式方程是解决问题的关键.22. 某商场进货员预测某商品能畅销市场,就用8万元购进该商品,上市后果然供不应求.商场又用17.6万购进了第二批这种商品,所购数量是第一批购进量的2倍,但进货的单价贵了4元,商场销售该商品时每件定价都是58元,最后剩下150件按八折销售,很快售完.在这两笔生意中,商场共盈利多少元?【答案】90260【解析】【分析】盈利=总售价-总进价,应求出衬衫的数量.总价明显,一定是根据单价来列等量关系.本题的关键描述语是: “单价贵了4元”;等量关系为: 第一次的单价=第二次的单价-4.【详解】设商场第一次购进x 件衬衫,则第二次购进2x 件,根据题意得: 8000017600042x x-=. 160000=176000-8x解这个方程得: x=2000.经检验: x=2000是原方程的根.∴2x=4000商场利润: (2000+4000-150)×58+58×0.8×150-80000-176000=90260(元).答: 在这两笔生意中,商场共盈利90260元.【点睛】应用题中一般有三个量,求一个量,明显的有一个量,一定是根据另一量来列等量关系的.本题考查分式方程的应用,分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键.23. 如图,一次函数4y x =+的图像与反比例函数k y x=(k 为常数,且0k ≠)的图像交于 (1,),(,1)A a B b -两点.(1)求反比例函数的表达式;(2)在x 轴上找一点P ,使PA PB +的值最小,求满足条件的点P 的坐标;(3)在(2)的条件下求PAB ∆的面积.【答案】(1)反比例函数的表达式: 3y x =-; (2) 5(,0)2-; (3) PAB ∆的面积为32. 【解析】【试题分析】 (1)根据()()1,,,1A a B b -两点在一次函数4y x =+的图像上,求出A 、B 两点坐标即可;代入反比例函数求出答案;(2)根据”小马饮水”的思路解决即可,关键是先画出图形,再解答;(3)用割补法求三角形的面积.【试题解析】(1)根据()()1,,,1A a B b -两点在一次函数4y x =+的图像上,得A(-1,3)和B(-3,1),因为点A(-1,3)在k y x =,则31(3)3,k y x=⨯-=-=-即 ; (2)如图,作点B 关于x 轴的对称点D(-3,-1),连接DA ,则直线DA 的解析式为25y x =+ ,当y=0时,x=5-2 ,故点P (5,02-); (3)用割补法求三角形的面积,PAB ∆的面积为提醒ABGH 的面积减去三角形BGH 的面积减去三角形APH 的面积,即(13)21131313222222+⨯-⨯⨯-⨯⨯= .24. 如图,已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ,延长AB 至点E ,使BE =AB ,连接CE .(1)求证: 四边形BECD 是平行四边形;(2)若∠E=60°,AC=43,求菱形ABCD的面积.【答案】(1)证明见解析;(2)菱形ABCD的面积为83【解析】试题分析: (1)根据菱形的对边平行且相等可得AB=AD,AB∥CD,然后证明得到BE=CD,BE∥CD,从而证明四边形BECD是平行四边形;(2)根据(1)的结论,以及菱形的性质可求出两对角线,然后根据菱形的面积=对角线之积的一半可求解. 试题解析: (1)∵四边形ABCD是菱形,∴AB=CD,AB∥CD.;又∵BE=AB,∴BE=CD.∵BE∥CD,∴四边形BECD是平行四边形.(2)∵四边形BECD是平行四边形,∴BD∥CE.∴∠ABO=∠E=60°.又∵四边形ABCD是菱形,∴AC丄BD,OA=OC.∴∠BOA=90°,∴∠BAO=30°.∵AC=43∴OA=OC=3∴OB=OD=2.∴BD=4.∴菱形ABCD的面积=1143483 22AC BD⨯⨯=⨯=25. 我市某蔬菜生产基地在气温较低时,用装有恒温系统的大棚栽培一种在自然光照且温度为18℃的条件下生长最快的新品种.如图是某天恒温系统从开启到关闭及关闭后,大棚内温度y(℃)随时间x(小时)变化的函数图象,其中BC段是双曲线y=kx的一部分.请根据图中信息解答下列问题:(1)恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有多少小时?(2)求k的值;(3)当棚内温度不低于16℃时,该蔬菜能够快速生长,请问这天该蔬菜能够快速生长多长时间?【答案】(1)10 ;(2)216;(3)12.5【解析】【分析】【详解】(1)12-2=10(小时)故恒温系统在这天保持大棚内温度18℃的时间有10个小时.(2)把()12,18B代入y=k x得k=12×18=216. (3)设开始部分的函数解析式为y kx b=+,则有21814k b b+=⎧⎨=⎩解得214k b=⎧⎨=⎩214y x∴=+当16y=时,1x=对于216,16y y x==时,13.5x=13.5112.5-=答: 这天该蔬菜能够快速生长12.5h.26. 如图1,正方形ABCD顶点A、B在函数y=k x(k﹥0)的图像上,点C、D分别在x轴、y轴的正半轴上,当k的值改变时,正方形ABCD的大小也随之改变.(1)若点A的横坐标为5,求点D的纵坐标;(2)如图2,当k=8时,分别求出正方形A'B'C'D'的顶点A'、B'两点的坐标;(3)当变化的正方形ABCD与(2)中的正方形A'B'C'D'有重叠部分时,求k的取值范围.【答案】(1)5;(2)A'(2,4),B'(4,2);(3)872 9k≤≤【解析】【分析】(1)过点A作AE⊥y轴于点E,如图1,则∠AED=90°.利用正方形的性质得AD=DC,∠ADC=90°,再根据等角的余角相等得到∠EDA=∠OCD,则利用”AAS”可判断△AED≌△DOC,从而得到OD=EA=5,于是确定点D的纵坐标为5;(2)作A′M⊥y轴于M,B′N⊥x轴于点N,如图2,设OD′=a,OC′=b,同理可得△B′C′N≌△C′D′O≌△A′D′E,利用全等的性质得C′N=OD′=A′M=a,B′N=C′O=D′M=b,则A′(a,a+b),B′(a+b,b),再根据反比例函数图象上点的坐标特征得到a(a+b)=8,b(a+b)=8,解方程组求出a、b,从而得到A′、B′两点的坐标;(3)先利用待定系数法求出直线A′B′解析式为y=-x+6,直线C′D′解析式为y=-x+2,设点A的坐标为(m,2m),则点D坐标为(0,m),若当A点在直线C′D′上时,则2m=-m+2,解得m=23,可确定此时点A的坐标,从而得到此时k的值;当点D在直线A′B′上时,则m=6,同样可确定此时点A的坐标和k的值,所以可确定当变化的正方形ABCD与(2)中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时k的取值范围.【详解】(1)过点A作AE⊥y轴于点E,如图1,则∠AED=90°.∵四边形ABCD为正方形,∴AD=DC ,∠ADC=90°,∴∠ODC+∠EDA=90°.∵∠ODC+∠OCD=90°,∴∠EDA=∠OCD ,在△AED 和△DOC 中AED DOC EDA OCD AD DC ∠∠⎧⎪∠∠⎨⎪⎩===,∴△AED ≌△DOC (AAS ),∴OD=EA=5,∴点D 的纵坐标为5;(2)作A′M ⊥y 轴于M ,B′N ⊥x 轴于点N ,如图2,设OD′=a ,OC′=b ,同理可得△B′C′N ≌△C′D′O ≌△A′D′E ,∴C′N=OD′=A′M=a ,B′N=C′O=D′M=b ,∴A′(a ,a+b ),B′(a+b ,b ),∵点A′、B′在反比例函数y=8x 的图象上,∴a (a+b )=8,b (a+b )=8,解得a=b=2或a=b=-2(舍去).∴A′、B′两点的坐标分别为(2,4),(4,2);(3)设直线A′B′的解析式为y=mx+n ,把A′(2,4),B′(4,2)代入得2442m n m n +⎧⎨+⎩==,解得16m n -⎧⎨⎩==, ∴直线A′B′解析式为y=-x+6, 同样可求得直线C′D′解析式为y=-x+2,由(2)可知△OCD 是等腰直角三角形,设点A 坐标为(m ,2m ),点D 坐标为(0,m ).当A 点在直线C′D′上时,则2m=-m+2,解得m=23, 此时点A 的坐标为(23,43),k=23×43=89; 当点D 在直线A′B′上时,有m=6,此时点A 的坐标为(6,12),k=6×12=72; 综上可知: 当变化的正方形ABCD 与(2)中的正方形A′B′C′D′有重叠部分时,k 的取值范围为89≤x≤72. 【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质: 熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征和正方形的性质;灵活运用全等三角形的性质解决线段相等的问题;会运用待定系数法求一次函数解析式;理解坐标与图形性质.。
凤山中学八年级下数学期末复习测试题1(分式基础测试题)
八年级数学期末复习测试题1(分式基础测试题)姓名: 学号: 评分:一、精心选一选(本题共10题,每题3分,共30分)1、在x 1、21、212+x 、πxy 3、yx +3、m a 1+中分式的个数有( ) A 、2个 B 、3个 C 、4个 D 、5个2、下列约分正确的是( )A 、326x x x =; B 、0=++y x y x ; C 、x xy x y x 12=++; D 、214222=y x xy 3、如果把分式y x xy+中的x 和y 都扩大2倍,即分式的值( )A 、扩大4倍;B 、扩大2倍;C 、不变;D 缩小2倍4、对分式2yx ,23xy ,14xy 通分时, 最简公分母是( )A .24x 2y 2B .12x2y2 C.24x y2 D.12x y25.下列各等式成立的是( )A .11--=b a b aB .ab b a b 2= C .()0,≠=a ma na m n D .a m an m n ++=6.下列算式结果是-3的是( )A.1)3(-- B.|3|-- C.)3(-- D.0)3(-7.化简2293m m m --的结果是( ) A.3+m m B.3+-m m C.3-m m D.m m-38.计算⎪⎪⎭⎫⎝⎛-÷⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅24382342y x y x y x 的结果是( ) A.x 3- B.x 3 C.x 12- D.x129.若分式方程424-+=-x ax x无解,则a 的值为( ) A.4 B.2 C.1 D.010 把分式方程12121=----x xx ,的两边同时乘以x-2,约去分母,得( )A 1-(1-x)=1B 1+(1-x)=1 c 1-(1-x)=x-2 D 1+(1-x)=x-2二、细心填一填(本题共8题,每题4分,共32分)1.当x 时,分式51-x 有意义; 2、当x 时,分式11x 2+-x 的值为零。
(完整word版)八年级下数学好题难题集锦含答案
八年级下册数学好题难题精选分式:一:如果abc=1,求证11++a ab +11++b bc +11++c ac =1解:原式=11++a ab +a ab abc a +++ababc bc a ab ++2=11++a ab +a ab a ++1+ab a ab++1=11++++a ab a ab=1二:已知a 1+b1=)(29b a +,则a b +b a 等于多少?解:a 1+b 1=)(29b a + abb a +=)(29b a + 2(b a +)2=9ab 22a +4ab +22b =9ab 2(22b a +)=5abab b a 22+=25 a b +b a =25 三:一个圆柱形容器的容积为V 立方米,开始用一根小水管向容器内注水,水面高度达到容器高度一半后,改用一根口径为小水管2倍的大水管注水。
向容器中注满水的全过程共用时间t 分。
求两根水管各自注水的速度。
解:设小水管进水速度为x ,则大水管进水速度为4x 。
由题意得:t x v x v =+82 解之得:t vx 85=经检验得:tvx 85=是原方程解。
∴小口径水管速度为t v 85,大口径水管速度为tv25。
四:联系实际编拟一道关于分式方程2288+=xx 的应用题。
要求表述完整,条件充分并写出解答过程。
解略五:已知M =222y x xy -、N =2222y x y x -+,用“+”或“-”连结M 、N,有三种不同的形式,M+N 、M-N 、N-M ,请你任取其中一种进行计算,并简求值,其中x :y=5:2。
解:选择一:22222222()()()xy x y x y x yM N x y x y x y x y x y++++=+==--+--, 当x ∶y =5∶2时,52x y =,原式=572532y yy y +=-.选择二:22222222()()()xy x y x y y xM N x y x y x y x y x y+----=-==--+-+, 当x ∶y =5∶2时,52x y =,原式=532572y yy y -=-+.选择三:22222222()()()x y xy x y x yN M x y x y x y x y x y+---=-==--+-+, 当x ∶y =5∶2时,52x y =,原式=532572y yy y -=+.反比例函数:一:一张边长为16cm 正方形的纸片,剪去两个面积一定且一样的小矩形得到一个“E ”图案如图1所示.小矩形的长x (cm )与宽y (cm )之间的函数关系如图2所示:(1)求y 与x 之间的函数关系式; (2)“E ”图案的面积是多少?(3)如果小矩形的长是6≤x ≤12cm ,求小矩形宽的范围.解:(1)设函数关系式为xky =∵函数图象经过(10,2) ∴102k = ∴k =20, ∴xy 20= (2)∵xy 20=∴xy =20, ∴2162022162=⨯-=-=xy S S E 正 (3)当x =6时,310620==y当x =12时,351220==y∴小矩形的长是6≤x ≤12cm ,小矩形宽的范围为cm y 31035≤≤二:是一个反比例函数图象的一部分,点(110)A ,,(101)B ,是它的两个端点. (1)求此函数的解析式,并写出自变量x 的取值范围; (2)请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例. 解:(1)设k y x =,(110)A ,在图象上,101k∴=,即11010k =⨯=, 10y x∴=,其中110x ≤≤;(2)答案不唯一.例如:小明家离学校10km ,每天以km/h v的速1 11010AB O xy度去上学,那么小明从家去学校所需的时间10t v=. 三:如图,⊙A 和⊙B 都与x 轴和y 轴相切,圆心A 和圆心B 都在反比例函数1y x=的图象上,则图中阴影部分的面积等于 .答案:r=1S=πr ²=π四:如图11,已知正比例函数和反比例函数的图像都经过点M (-2,1-),且P (1-,-2)为双曲线上的一点,Q 为坐标平面上一动点,PA 垂直于x 轴,QB 垂直于y 轴,垂足分别是A 、B . (1)写出正比例函数和反比例函数的关系式;(2)当点Q 在直线MO 上运动时,直线MO 上是否存在这样的点Q ,使得△OBQ 与△OAP 面积相等?如果存在,请求出点的坐标,如果不存在,请说明理由;(3)如图12,当点Q 在第一象限中的双曲线上运动时,作以OP 、OQ 为邻边的平行四边形OPCQ ,求平行四边形OPCQ 周长的最小值.A BO y图xyBA OMQP图xyBCA OMPQ解:(1)设正比例函数解析式为y kx =,将点M (2-,1-)坐标代入得12k =,所以正比例函数解析式为12y x =同样可得,反比例函数解析式为2y x= (2)当点Q 在直线DO 上运动时,设点Q 的坐标为1()2Q m m ,,于是211112224OBQ S OB BQ m m m △=?创=,而1(1)(2)12OAP S △=-?=,所以有,2114m =,解得2m =±所以点Q 的坐标为1(21)Q ,和2(21)Q ,-- (3)因为四边形OPCQ 是平行四边形,所以OP =CQ ,OQ =PC , 而点P (1-,2-)是定点,所以OP 的长也是定长,所以要求平行四边形OPCQ 周长的最小值就只需求OQ 的最小值.因为点Q 在第一象限中双曲线上,所以可设点Q 的坐标为2()Q n n,,由勾股定理可得222242()4OQ n n n n=+=-+,所以当22()0n n -=即20n n -=时,2OQ 有最小值4,又因为OQ 为正值,所以OQ 与2OQ 同时取得最小值, 所以OQ 有最小值2.由勾股定理得OP =5,所以平行四边形OPCQ 周长的最小值是2()2(52)254OP OQ +=+=+.五:如图,在平面直角坐标系中,直线AB 与Y 轴和X 轴分别交于点A 、点8,与反比例函数y 一罟在第一象限的图象交于点c(1,6)、点D(3,x).过点C 作CE 上y 轴于E ,过点D 作DF 上X 轴于F .(1)求m ,n 的值;(2)求直线AB 的函数解析式;勾股定理:一:清朝康熙皇帝是我国历史上对数学很有兴趣的帝王.近日,•西安发现了他的数学专著,其中有一文《积求勾股法》,它对“三边长为3、4、5的整数倍的直角三角形,已知面积求边长”这一问题提出了解法:“若所设者为积数(面积),以积率六除之,平方开之得数,再以勾股弦各率乘之,即得勾股弦之数”.用现在的数学语言表述是:“若直角三角形的三边长分别为3、4、5的整数倍,•设其面积为S ,则第一步:6S=m ;第二步:m =k ;第三步:分别用3、4、5乘以k ,得三边长”.(1)当面积S 等于150时,请用康熙的“积求勾股法”求出这个直角三角形的三边长;(2)你能证明“积求勾股法”的正确性吗?请写出证明过程. 解:(1)当S=150时,k=m =1502566S ===5, 所以三边长分别为:3×5=15,4×5=20,5×5=25; (2)证明:三边为3、4、5的整数倍, 设为k 倍,则三边为3k ,4k ,5k ,•而三角形为直角三角形且3k 、4k 为直角边.其面积S=12(3k )·(4k )=6k 2, 所以k 2=6S ,k=6S (取正值), 即将面积除以6,然后开方,即可得到倍数.二:一张等腰三角形纸片,底边长l5cm ,底边上的高长22.5cm .现沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm 的矩形纸条,如图所示.已知剪得的纸条中有一张是正方形,则这张正方形纸条是( )A .第4张B .第5张C .第6张D .第7张 答案:C三:如图,甲、乙两楼相距20米,甲楼高20米,小明站在距甲楼10米的A 处目测得点A 与甲、乙楼顶B C 、刚好在同一直线上,且A 与B 相距350米,若小明的身高忽略不计,则乙楼的高度是 米.答案:40米四:恩施州自然风光无限,特别是以“雄、奇、秀、幽、险”著称于世.著名的恩施大峡谷()A 和世界级自然保护区星斗山()B 位于笔直的沪渝高速公路X 同侧,50km AB A ,、B 到直线X 的距离分别为10km 和40km ,要在沪渝高速公路旁修建一服务区P ,向A 、B 两景区运送游客.小民设计了两种方案,图(1)是方案一的示意图(AP 与直线X 垂直,垂足为P ),P 到A 、B 的距离之和20乙C B A甲10?201S PA PB =+,图(2)是方案二的示意图(点A 关于直线X 的对称点是A ',连接BA '交直线X 于点P ),P 到A 、B 的距离之和2S PA PB =+. (1)求1S 、2S ,并比较它们的大小; (2)请你说明2S PA PB =+的值为最小;(3)拟建的恩施到张家界高速公路Y 与沪渝高速公路垂直,建立如图(3)所示的直角坐标系,B 到直线Y 的距离为30km ,请你在X 旁和Y 旁各修建一服务区P 、Q ,使P 、A 、B 、Q 组成的四边形的周长最小.并求出这个最小值.解:⑴图10(1)中过B 作BC ⊥AP ,垂足为C,则PC =40,又AP =10,∴AC =30在Rt △ABC 中,AB =50 AC =30 ∴BC =40 ∴ BP =24022=+BC CP S 1=10240+⑵图10(2)中,过B 作BC ⊥AA ′垂足为C ,则A ′C =50, 又BC =40∴BA'=4110504022=+ 由轴对称知:PA =PA' ∴S 2=BA'=4110 ∴1S ﹥2S(2)如 图10(2),在公路上任找一点M,连接MA,MB,MA',由轴对称知MA =MA'BA PX图(1)YXBAQP O图(3)BAP X A '图(2)∴MB+MA =MB+MA'﹥A'B ∴S 2=BA'为最小(3)过A 作关于X 轴的对称点A', 过B 作关于Y 轴的对称点B', 连接A'B',交X 轴于点P , 交Y 轴于点Q,则P ,Q 即为所求 过A'、 B'分别作X 轴、Y 轴的平行线交于点G, A'B'=5505010022=+∴所求四边形的周长为55050+五:已知:如图,在直角梯形ABCD 中,AD ∥BC ,∠ABC =90°,DE ⊥AC 于点F ,交BC 于点G ,交AB 的延长线于点E ,且AE AC =. (1)求证:BG FG =;(2)若2AD DC ==,求AB 的长.解:(1)证明:90ABC DE AC ∠=°,⊥于点F ,ABC AFE ∴∠=∠.AC AE EAF CAB =∠=∠,, ABC AFE ∴△≌△AB AF ∴=. 连接AG , AG =AG,AB =AF ,Rt Rt ABG AFG ∴△≌△. BG FG ∴=.(2)解:∵AD =DC,DF ⊥AC ,1122AF AC AE ∴==. 30E ∴∠=°.PBAQYB'A'DC EB GAF DCEBGAF30FAD E ∴∠=∠=°,3AF ∴=. 3AB AF ∴==.四边形:一:如图,△ACD 、△ABE 、△BCF 均为直线BC 同侧的等边三角形. (1) 当AB ≠AC 时,证明四边形ADFE 为平行四边形;(2) 当AB = AC 时,顺次连结A 、D 、F 、E 四点所构成的图形有哪几类?直接写出构成图形的类型和相应的条件.解:(1) ∵△ABE 、△BCF 为等边三角形,∴AB = BE = AE ,BC = CF = FB ,∠ABE = ∠CBF = 60°. ∴∠FBE = ∠CBA . ∴△FBE ≌△CBA . ∴EF = AC .又∵△ADC 为等边三角形, ∴CD = AD = AC . ∴EF = AD. 同理可得AE = DF . ∴四边形AEFD 是平行四边形.(2) 构成的图形有两类,一类是菱形,一类是线段.当图形为菱形时,∠ BAC ≠60°(或A 与F 不重合、△ABC 不为正三角形) 当图形为线段时,∠BAC = 60°(或A 与F 重合、△ABC 为正三角形).EFDABC二:如图,已知△ABC 是等边三角形,D 、E 分别在边BC 、AC 上,且CD=CE ,连结DE 并延长至点F ,使EF=AE ,连结AF 、BE 和CF 。
八年级数学分式填空选择易错题(Word版 含答案)
(1)甲、乙二人从A地到达B地的平均速度分别为 ;则 ___________, ____________
(2)通过计算说明甲、乙谁先到达B地?为什么?
【答案】(1) ;(2)乙先到达B地.
【解析】
【分析】
八年级数学分式填空选择易错题(Word版 含答案)
一、八年级数学分式填空题(难)
1.如果 ,则 __________.
【答案】
【解析】
【分析】
由 得a+b=ab,然后再对 变形,最后代入,即可完成解答.
【详解】
解:由 得a+b=ab,
= = = .
【点睛】
本题考查了分式的化简求值,解答的关键在于分式的灵活变形.
【详解】
解:(1)由 ; ; ; ;…,
知它的一般性等式为 ;
(2) ,
原式成立;
(3)
.
【点睛】
解答此题关键是找出规律,再根据规律进行逆向运算.
12.一件工程,甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的 ;若由甲队先做20天,剩下的工程再由甲、乙两队合作60天完成.
(1)求甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天?
【答案】0.
【解析】
方程两边都乘以最简公分母(x-2),把分式方程化为整式方程,再根据分式方程的增根就是使
最简公分母等于0的未知数的值求出x的值,然后代入进行计算即可求出m的值:
方程两边都乘以(x-2)得,2-x-m=2(x-2).
∵分式方程有增根,∴x-2=0,解得x=2.
∴2-2-m=2(2-2),解得m=0.
【解析】
苏教版八年级下册数学。期中测试卷
苏教版八年级下册数学。
期中测试卷苏教版八年级下册数学期中测试卷一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分。
)1.若分式有意义,则x的取值范围是(D)x>2或x<-2,因为分母不能为0,所以x不能等于2或-2.2.若把分式中的x和y都扩大2倍,那么分式的值不变(B),因为分子和分母同时乘以2,相当于分子分母同时扩大了2倍。
3.若有m人a天可完成某项工程,且每个人的工作效率是相同的,则这样的(m+n)人完成这项工程所需的天数为am÷(m+n)(C),因为工作的总量不变,人数增加了,所需的天数就会减少。
4.下列关于x的方程中,是分式方程的是3x/(x+2)=1(A),因为方程中含有分式。
5.下列图形中,不属于中心对称图形的是(C)。
6.以下调查,不适合用普查的是了解一批灯泡的使用寿命(D),因为这是一项具体的调查,不适合用普查的方式进行。
7.天气预报说明天下雨的概率是70%,这表示明天下雨的可能性较大(D),但并不一定会下雨。
8.已知□ABCD中,∠A+∠C=120°,则∠B的度数是60°(D),因为四边形内角和为360°,∠A+∠B+∠C+∠D=360°,且∠A+∠C=120°,所以∠B+∠D=240°,又因为□ABCD是平行四边形,所以∠B=180°-∠D,代入上式得到∠D=120°,因此∠B=60°。
9.用两张等边三角形纸片拼成的四边形是菱形(B),因为等边三角形的三个角都是60°,所以四个角的度数都是60°,是菱形的特征。
10.如图,矩形ABCD中,AB=8,BC=3,顶点A、B分别在y轴和x轴上,当点A在y轴上移动时,点B也随之在x 轴上移动,在移动过程中,OD的最大值为9(D)。
二、填空题(本大题共8小题,每小题2分,共16分。
)11.约分:210ab/4ab=105/2(C)。
八年级下册数学期末试卷综合测试卷(word含答案)(1)
八年级下册数学期末试卷综合测试卷(word含答案)(1) 一、选择题1.函数y=35xx--的自变量x的取值范围是()A.x≠5B.x>3且x≠5C.x≥3D.x≥3且x≠5 2.由下列线段组成的三角形不是直角三角形的是()A.7,24,25 B.4,5,41C.3,5,4 D.4,5,6 3.下列关于平行四边形的命题中,错误的是()A.两组对角分别相等的四边形是平行四边形B.一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形C.一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形D.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形4.下表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差:甲乙丙丁平均数()cm183183183183方差 5.7 3.5 6.78.6要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛,应该选择()A.甲B.乙C.丙D.丁5.如图,已知矩形ABCD的对角线AC的长为10cm,连结矩形各边中点E、F、G、H得四边形EFGH,则四边形EFGH的周长为()cm.A.20 B.202C.203D.256.如图,已知E为邻边相等的平行四边形ABCD的边BC上一点,且∠DAE=∠B=80º,那么∠CDE的度数为()A.20º B.25º C.30º D.35º7.如图,在△ABC中,BC=2∠C=45°,若D是AC的三等分点(AD>CD),且AB =BD ,则AB 的长为( )A .2B .5C .3D .528.一条公路旁依次有A 、B 、C 三个村庄,甲、乙两人骑自行车分别从A 村、B 村同时出发前往C 村,甲、乙之间的距离()km s 与骑行时间()t h 之间的函数关系如图所示,下列结论:①A 、B 两村相距8km ;②甲出发2h 后到达C 村;③甲每小时比乙我骑行8km ;④相遇后,乙又骑行了15min 或45min 时两人相距2km .其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .4二、填空题9.若13x x --在实数范围内有意义,则x 的取值范围是____________. 10.如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,已知4OA =,菱形ABCD 的面积为24,则BD 的长为______.11.如图,两个较大正方形的面积分别为225、289,则字母A 所代表的正方形的边长为_____12.如图,在矩形ABCD 中,点E 在AD 上,且EC 平分BED ∠,若1AB =,45EBC ∠=︒,则DE 的长为__________.13.已知一次函数y x b =-+的图象过点()8,2,那么此一次函数的解析式为__________. 14.若顺次连接四边形ABCD 四边中点所得的四边形是菱形,则原四边形的对角线AC 、BD 所满足的条件是________.15.在平面直角坐标系中,矩形OABC 的顶点O 为坐标原点,顶点A ,C 分别在x 轴和y 轴上,OA =4,OC =3,D 为AB 边的中点,E 是OA 边上的一个动点,当△CDE 的周长最小时,则点E 的坐标为_____.16.如图,∠ABD =∠BDC =90°,AB =12,BC =8,CD =10A 与点D 重合,折痕为HG ,则线段BH 的长为___.三、解答题17.计算:(1)218×12﹣24;(2)48÷3﹣12×12+24. 18.如图,在甲村到乙村的公路一旁有一块山地正在开发.现A 处需要爆破,已知点A 与公路上的停靠站B ,C 的距离分别为400 m 和300 m ,且AC ⊥AB .为了安全起见,如果爆破点A 周围半径260 m 的区域内不能有车辆和行人,问在进行爆破时,公路BC 段是否需要暂时封闭?为什么?19.如图,4×10长方形网格中,每个小正方形的顶点称为格点,每个小正方形的边长均为1,点A ,B ,E ,F 都在格点上,按下列要求作图,使得所画图形的顶点均在格点上. (1)在图中画出以AB 为边的正方形ABCD ;(2)在图中画出以EF 为边的等腰三角形EFG ,且△EFG 的周长为1010+; (3)在(1)(2)的条件下,连接CG ,则线段CG 的长为 .20.如图,在ABCD 中,两条对角线AC 和BD 相交于点O ,并且6BD =,8AC =,5BC =.(1)AC 与BD 有什么位置关系?为什么?(2)四边形ABCD 是菱形吗?为什么?21.阅读材料:规定初中考试不能使用计算器后,小明是这样解决问题的:已知a 23+,求2281a a -+的值.他是这样分析与解的:∵a 23+2323(23)(23)-=+-, ∴23a -= ∴2(2)3,a -= 2443a a -+=∴241a a -=-, ∴2281a a -+=2(24)1a a -+=2(1)11⨯-+=-.请你根据小明的分析过程,解决如下问题:(1)若a 21-,直接写出2481a a -+的值是 . (21315375121119+++++ 22.为丰富同学们的课余活动,某校成立了篮球课外兴趣小组,计划购买一批篮球,需购买A 、B 两种不同型号的篮球共300个.已知购买3个A 型篮球和2个B 型篮球共需340元,购买2个A 型篮球和1个B 型篮球共需要210元.(1)求购买一个A 型篮球、一个B 型篮球各需多少元?(2)若该校计划投入资金W 元用于购买这两种篮球,设购进的A 型篮球为t 个,求W 关于t 的函数关系式;(3)学校在体育用品专卖店购买A 、B 两种型号篮球共300个,经协商,专卖店给出如下优惠:A 种球每个降价8元,B 种球打9折,计算下来,学校共付费16740元,学校购买A 、B 两种篮球各多少个?23.如图,矩形ABCD 中,AB=4,AD=3,∠A 的角平分线交边CD 于点E .点P 从点A 出发沿射线AE 以每秒2个单位长度的速度运动,Q 为AP 的中点,过点Q 作QH ⊥AB 于点H ,在射线AE 的下方作平行四边形PQHM (点M 在点H 的右侧),设P 点运动时间为秒.(1)直接写出的面积(用含的代数式表示).(2)当点M 落在BC 边上时,求的值.(3)在运动过程中,整个图形中形成的三角形是否存在全等三角形?若存在,请写出所有全等三角形,并求出对应的的值;若不存在请说明理由(不能添加辅助线). 24.如图,在平面直角坐标系中,直线28y x =+与x 轴交于点A,与y 轴交于点B,过点B 的直线x 轴于点C ,且AB=BC .(1)求直线BC 的表达式(2)点P 为线段AB 上一点,点Q 为线段BC 延长线上一点,且AP=CQ,PQ 交x 轴于点P ,设点Q 的横坐标为m ,求PBQ ∆的面积(用含m 的代数式表示)(3)在(2)的条件下,点M 在y 轴的负半轴上,且MP=MQ ,若45BQM ︒∠=求点P 的坐标.25.如图,Rt △CEF 中,∠C =90°,∠CEF ,∠CFE 外角平分线交于点A ,过点A 分别作直线CE ,CF 的垂线,B ,D 为垂足.(1)∠EAF = °(直接写出结果不写解答过程);(2)①求证:四边形ABCD 是正方形.②若BE =EC =3,求DF 的长.(3)如图(2),在△PQR 中,∠QPR =45°,高PH =5,QH =2,则HR 的长度是 (直接写出结果不写解答过程).【参考答案】一、选择题1.D解析:D【分析】根据二次根式和分式有意义的条件列出不等式,求解不等式即可.【详解】根据题意得:x﹣3≥0且x﹣5≠0,解得x≥3且x≠5.∴自变量x的取值范围是x≥3且x≠5.故选:D.【点睛】本题考查了二次根式和分式由意义的条件,理解二次根式和分式由意义的条件是解题的关键.2.D解析:D【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可.【详解】解:A、∵72+242=625=252,∴能够成直角三角形,故本选项不符合题意;B、∵42+52412,∴能够成直角三角形,故本选项不符合题意;C、∵32+42=52,∴能够成直角三角形,故本选项不符合题意;D、∵42+52≠62,∴不能够成直角三角形,故本选项符合题意.故选:D.【点睛】本题考查的是勾股定理的逆定理,即如果三角形的三边长a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形就是直角三角形.3.B解析:B【解析】【分析】根据平行四边形的判定方法,一一判断即可.【详解】解:A. 两组对角分别相等的四边形是平行四边形,正确;根据平行四边形的判定方法,可得结论;B. 一组对边相等,另一组对边平行的四边形是平行四边形,错误;如:等腰梯形;C. 一组对边平行,一组对角相等的四边形是平行四边形正确,由题意可以证明两组对边分别平行,四边形是平行四边形;D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,正确,根据平行四边形的判定方法,可得结论.故选:B【点睛】本题考查平行四边形的判定,解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定方法,属于中考基础题.4.B解析:B【解析】【分析】首先比较出甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的方差的大小关系,然后根据方差越大,波动性越大,判断出应该选择谁参加比赛即可.【详解】解:因为3.5<5.7<6.7<8.6,所以乙最近几次选拔赛成绩的方差最小,所以要从中选择一名发挥稳定的运动员去参加比赛,应该选择乙.故选:B.【点睛】此题主要考查了方差的含义和应用,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:方差反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立.5.A解析:A【分析】连接BD,根据三角形中位线定理易得四边形EFGH的各边长等于矩形对角线的一半,而矩形对角线相等,从而算出周长即可.【详解】连接BD,∵H、G是AD与CD的中点,∴HG是△ACD的中位线,∴HG=1AC=5cm,同理EF=5cm,2∵四边形ABCD是矩形,∴根据矩形的对角线相等,即BD=AC=10cm,∵H、E是AD与AB的中点,∴EH是△ABD的中位线,∴EH=1BD=5cm,同理FG=5cm,2∴四边形EFGH的周长为20cm.故选A.【点睛】熟练掌握矩形对角线相等和三角形中位线等于第三边的一半的性质是解决本题的关键. 6.C解析:C【解析】【分析】依题意得出AE=AB=AD,∠ADE=50°,又因为∠B=80°故可推出∠ADC=80°,∠CDE=∠ADC-∠ADE,从而求解.【详解】∵AD∥BC,∴∠AEB=∠DAE=∠B=80°,∴AE=AB=AD,在三角形AED中,AE=AD,∠DAE=80°,∴∠ADE=50°,又∵∠B=80°,∴∠ADC=80°,∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=30°.故选:C.【点睛】考查菱形的边的性质,同时综合利用三角形的内角和及等腰三角形的性质,解题关键是利用等腰三角形的性质求得∠ADE的度数.7.B解析:B【解析】【分析】作BE ⊥AC 于E ,根据等腰三角形三线合一性质可得AE =DE ,根据∠C =45°,得出∠EBC =180°-∠C -∠BEC =180°-45°-90°=45°,可得BE =CE ,利用勾股定理求出CE =BE =2,根据D 是AC 的三等分点得出AE =DE =121233AC AC ⨯==CD ,求出CD =1,利用勾股定理2222215AB BE AE =+=+=即可.【详解】解:作BE ⊥AC 于E ,∵AB =BD ,∴AE =DE ,∵∠C =45°,∴∠EBC =180°-∠C -∠BEC =180°-45°-90°=45°,∴BE =CE ,在Rt △BEC 中,∴()22222+222BE CE CE BC ===,∴CE =BE =2,∵D 是AC 的三等分点, ∴CD =13AC ,AD =AC -CD =1233AC AC AC -=, ∴AE =DE =121233AC AC ⨯==CD , ∴CE =CD +DE =2CD =2,∴CD =1,∴AE =1,在Rt △ABE 中,根据勾股定理2222215AB BE AE =+=+=.故选B .【点睛】本题考查等腰三角形的性质,等腰直角三角形判定与性质,勾股定理,三等分线段,掌握等腰三角形的性质,等腰直角三角形判定与性质,勾股定理,三等分线段是解题关键. 8.C解析:C【分析】由图像与纵轴的交点可得出A 、B 两地的距离;当s=0时,即为甲、乙相遇的时候,同理根据图像的拐点判断其他即可.【详解】解:由图像可知A 村、B 村相离8km ,故①正确;甲出发2h 后到达C 村,故②正确;当0≤t≤1时,易得一次函数的解析式为s=-8t+8,故甲的速度比乙的速度快8km/h ,故③正确;当1≤t≤1.5时,函数图象经过点(1,0)(1.5,4)设一次函数的解析式为s=kt+b则有:104 1.5k b k b =+⎧⎨=+⎩解得21k b =⎧⎨=⎩ ∴s=2t+1当s=2时,得2=2t+1,解得t=0.5<1,不符合题意,④错误.故答案为C.【点睛】本题考查了一次函数的应用和函数与方程的思想,解题的关键在于读懂图象,根据图像的信息进行解答.二、填空题9.1≥x 且3x ≠【解析】【分析】根据分母不等于0,且被开方数是非负数列式求解即可.【详解】由题意得10x -≥且30x -≠解得1≥x 且3x ≠故答案为:1≥x 且3x ≠【点睛】本题考查了代数式有意义时字母的取值范围,代数式有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑:①当代数式是整式时,字母可取全体实数;②当代数式是分式时,考虑分式的分母不能为0;③当代数式是二次根式时,被开方数为非负数.10.A解析:6【解析】【分析】根据菱形的性质得到AC =8,根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半,即可求解.【详解】解:∵四边形ABCD 为菱形;∴AC =2OA =8,12ABCD S AC BD =⋅菱形, ∴12482BD =⨯⨯, ∴BD =6,故答案为:6【点睛】本题考查了菱形的性质,解题的关键是熟记菱形面积的两种表示法:(1)底乘高,(2)对角线乘积的一半,本题运用的是第二种.11.E解析:8【解析】【分析】根据正方形的面积等于边长的平方,由正方形PQED 的面积和正方形PRQF 的面积分别表示出PR 的平方及PQ 的平方,又三角形PQR 为直角三角形,根据勾股定理求出QR 的平方,即可求小正方形的边长.【详解】如图,∵正方形PQED 的面积等于225,∴即PQ 2=225,∵正方形PRGF 的面积为289,∴PR 2=289,又△PQR 为直角三角形,根据勾股定理得:PR 2=PQ 2+QR 2,∴QR 2=PR 2−PQ 2=289−225=64,∴QR=8,即字母A 所代表的正方形的边长为8.【点睛】本题考查勾股定理,根据勾股定理求出小正方形的面积是关键.12.D21【分析】由矩形的性质和角平分线的定义得出∠DEC =∠ECB =∠BEC ,推出BE =BC ,求得 AE =AB =1,然后依据勾股定理可求得BC 的长;【详解】解:∵四边形ABCD 是矩形,∴AD ∥BC ,∴∠DEC =∠BCE ,∵EC 平分∠DEB ,∴∠DEC =∠BEC ,∴∠BEC =∠ECB ,∴BE =BC ,∵四边形ABCD 是矩形,∴∠A =90°,AD BC =∵∠ABE =45°,∴∠ABE =∠AEB =45°,∴AB =AE =1,由勾股定理得:BE ==,∴BC =AD =BE, ∴1DE AD AE =-,1.【点睛】本题考查了矩形的性质,等腰三角形的性质与判定,勾股定理的应用;熟练掌握矩形的性质,证出BE =BC 是解题的关键.13.10y x =-+【分析】用待定系数法即可得到答案.【详解】解:把()8,2代入y x b =-+得82b -+=,解得10b =,所以一次函数解析式为10y x =-+.故答案为10y x =-+【点睛】本题考查求一次函数解析式,解题的关键是熟练掌握待定系数法.14.A解析:AC BD =【分析】如下图,根据三角形中位线的定理,可得AG=EF=12AC ,GF=AE=12BD ,再根据菱形四条边相等的性质,可得出AC 与BD 的关系.【详解】如下图,点E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点∵点E、F是AB、BC的中点∴EF=12AC同理可得:AG=EF=12AC,GF=AE=12BD∵要使得四边形HEFG是菱形,则HE=EF=FG=GH ∴只需AC=BD即可故答案为:AC=BD【点睛】本题考查菱形的性质和三角形中位线的性质,解题关键是得出AG=EF=12 AC,GF=AE=12 BD.15.(,0)【分析】作点D关于x轴对称点F,根据题意求出D点的坐标,从而得到F点的坐标,同时连接CF,则CF与x轴的交点即为所求E点,此时满足△CDE的周长最小,利用CF的解析式求解即可.【详解】解析:(83,0)【分析】作点D关于x轴对称点F,根据题意求出D点的坐标,从而得到F点的坐标,同时连接CF,则CF与x轴的交点即为所求E点,此时满足△CDE的周长最小,利用CF的解析式求解即可.【详解】解:作点D关于x轴对称点F,如图,∵四边形OABC 是矩形,∴OC =BD =3,点C 的坐标为()0,3,∵D 为AB 边的中点,∴AD =32, ∵OA =4,∴D 点的坐标为34,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,则F 点的坐标为34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭, 根据轴对称的性质可得:EF =ED ,∴C △CDE =CD +CE +DE =CD +CE +EF ,其中CD 为定值,当CE +EF 值最小时,△CDE 周长最小,此时点C ,E ,F 三点共线,设直线CF 的解析式为:()0y kx b k =+≠,将()0,3和34,2⎛⎫- ⎪⎝⎭代入解析式得: 3342b k b =⎧⎪⎨+=-⎪⎩,解得:983k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩, ∴直线CF 的解析式为:938y x =-+, 令0y =,得:9308x -+=, 解得:83x =, ∴点E 坐标(83,0), 故答案为:803⎛⎫ ⎪⎝⎭,. 【点睛】本题考查一次函数与轴对称的综合运用,理解最短路径的求解方法,熟悉待定系数法求一次函数解析式是解题关键.16.5【分析】在Rt△BDC中由勾股定理可求出BD,根据翻折变换可得AH=HD,在Rt△BDH 中由勾股定理可得答案.【详解】解:在Rt△BDC中,∵BC=8,CD=2,∴BD=,由题意,得解析:5【分析】在Rt△BDC中由勾股定理可求出BD,根据翻折变换可得AH=HD,在Rt△BDH中由勾股定理可得答案.【详解】解:在Rt△BDC中,∵BC=8,CD=∴BD=由题意,得AH=HD,设BH=x,则AH=12﹣x=HD,在Rt△BDH中,由勾股定理得,HB2+BD2=HD2,即x2)2=(12﹣x)2,解得x=5,即HB=5,故答案为:5.【点睛】本题考查了翻折变换,勾股定理.掌握翻折变换的性质及勾股定理是解题的关键.三、解答题17.(1);(2)【分析】(1)先利用二次根式的性质化简,然后根据二次根式的混合计算法则求解即可;(2)先利用二次根式的性质化简,然后根据二次根式的混合计算法则求解即可.【详解】解:(1)解析:(1)2)4【分析】(1)先利用二次根式的性质化简,然后根据二次根式的混合计算法则求解即可;(2)先利用二次根式的性质化简,然后根据二次根式的混合计算法则求解即可.【详解】解:(1)===(22=4=4=【点睛】本题主要考查了利用二次根式的化简和二次根式的混合运算,熟练掌握相关计算法则是解题的关键.18.需要封闭,理由见解析【分析】过作于 先求解 再利用等面积法求解 再与260比较,可得答案.【详解】解:过作于所以进行爆破时,公路BC 段需要暂时封闭.【点睛】解析:需要封闭,理由见解析【分析】过A 作AK BC ⊥于,K 先求解,BC 再利用等面积法求解,AK 再与260比较,可得答案.【详解】解:过A 作AK BC ⊥于,K,400,300,AB AC AB AC22500,BC AB AC11,AB AC BC AK22AK300400500,240,AK240260,所以进行爆破时,公路BC段需要暂时封闭.【点睛】本题考查的是勾股定理的应用,利用等面积法求解直角三角形斜边上的高,掌握“等面积法求解直角三角形斜边上的高”是解题的关键.19.(1)见解析;(2)见解析;(3)【解析】【分析】(1)根据正方形的判定画出以AB为边的正方形ABCD即可;(2)画出以EF为边的等腰三角形EFG,且△EFG的周长为等腰三角形即可;(3)解析:(1)见解析;(2)见解析;(35【解析】【分析】(1)根据正方形的判定画出以AB为边的正方形ABCD即可;(2)画出以EF为边的等腰三角形EFG,且△EFG的周长为1010(3)由勾股定理求出CG即可.【详解】解:(1)如图,所作正方形ABCD即为以AB为边的正方形ABCD;(2)如图,所作△EFG即为以EF为边的等腰三角形EFG,且△EFG的周长为1010+(3)如图,CG22+512【点睛】本题考查作图-应用与设计,勾股定理,解题的关键是理解题意,根据GE=GF=5画出等腰三角形.20.(1)AC⊥BD,证明见解析;(2)四边形ABCD是菱形,见解析【分析】(1)首先根据平行四边形的性质得出OC, OB的长,再利用勾股定理逆定理求出∠BOC=90,可得AC与BD的位置关系;(解析:(1)AC⊥BD,证明见解析;(2)四边形ABCD是菱形,见解析【分析】(1)首先根据平行四边形的性质得出OC,OB的长,再利用勾股定理逆定理求出∠BOC=90︒,可得AC与BD的位置关系;(2)菱形的判定方法:对角线互相垂直平分的四边形是菱形,可得答案.【详解】解:(1)AC⊥BD;理由如下:在ABCD中,132==OB BD,142OC AC==∵22291625+=+==OB OC BC∴∠BOC=90︒∴AC⊥BD.(2)四边形ABCD是菱形∵四边形ABCD是平行四边形(已知),AC⊥BD(已证)∴四边形ABCD是菱形.【点睛】此题主要考查了菱形的判定,平行四边形的性质,以及勾股定理的逆定理的运用,解题的关键是根据条件证出BO2+CO2=CB2.21.(1)5;(2)5.【解析】【详解】试题分析: 根据平方差公式,可分母有理化,根据整体代入,可得答案.试题解析:(1)∵a=,∴4a2-8a+1=4×()2-8×()+1=5;(2)解析:(1)5;(2)5.【解析】【详解】试题分析: 根据平方差公式,可分母有理化,根据整体代入,可得答案.试题解析:(1)∵, ∴4a 2-8a+1)2-8×)+1=5;(2)原式=12×=12×) =12×10=5.点睛:本题主要考查了分母有理化,利用分母有理化化简是解答此题的关键. 22.(1)一个A 型篮球为80元,一个B 型篮球为50元;(2)函数解析式为:;(3)A 型篮球120个,则B 型篮球为180个.【分析】(1)设一个A 型篮球为x 元,一个B 型篮球为y 元,根据题意列出方程组求 解析:(1)一个A 型篮球为80元,一个B 型篮球为50元;(2)函数解析式为:()30150000300W t t =+≤≤;(3)A 型篮球120个,则B 型篮球为180个.【分析】(1)设一个A 型篮球为x 元,一个B 型篮球为y 元,根据题意列出方程组求解即可得; (2)A 型篮球t 个,则B 型篮球为()300t -个,根据单价、数量、总价的关系即可得; (3)根据A 型篮球与B 型篮球的优惠政策求出单价,然后代入(2)解析式中求解即可得.【详解】解:(1)设一个A 型篮球为x 元,一个B 型篮球为y 元,根据题意可得:323402210x y x y +=⎧⎨+=⎩, 解得:8050x y =⎧⎨=⎩,∴一个A 型篮球为80元,一个B 型篮球为50元;(2)A 型篮球t 个,则B 型篮球为()300t -个,根据题意可得:()()805030030150000300W t t t t =+-=+≤≤,∴函数解析式为:()30150000300W t t =+≤≤;(3)根据题意可得:A 型篮球单价为()808-元,B 型篮球单价为500.9⨯元,则()()16740808500.9300t t =-+⨯⨯-,解得:120t =,300180t -=,∴A 型篮球120个,则B 型篮球为180个. 【点睛】题目主要考查二元一次方程组及一次函数的应用,理解题意,列出相应方程是解题关键.23.(1);(2);(3)存在,如图2(见解析),当时,;如图3(见解析),当时,;如图4(见解析),当时,. 【分析】(1)先根据线段中点的定义可得,再根据矩形的性质、角平分线的定义可得,从而可得是解析:(1);(2);(3)存在,如图2(见解析),当时,;如图3(见解析),当时,;如图4(见解析),当时,.【分析】(1)先根据线段中点的定义可得,再根据矩形的性质、角平分线的定义可得,从而可得是等腰直角三角形,然后根据等腰直角三角形的性质可得AH 的长,最后根据等腰直角三角形的面积公式即可得; (2)先根据平行四边形的性质可得,从而可得,再根据三角形中位线定理可得是的中位线,从而可得,然后与(1)所求的建立等式求解即可得;(3)分①当点H 是AB 的中点时,;②当点Q 与点E 重合时,;③当时,三种情况,分别求解即可得.【详解】 (1)由题意得:,点Q 为AP 的中点,,四边形ABCD 是矩形,,是BAD的角平分线,,,是等腰直角三角形,,则的面积为;(2)如图1,四边形PQHM是平行四边形,,点M在BC边上,,点Q为AP的中点,是的中位线,,由(1)知,,则,解得;(3)由题意,有以下三种情况:①如图2,当点H是AB的中点时,则,四边形PQHM是平行四边形,,,在和中,,由(2)可知,此时;②如图3,当点Q与点E重合时,在和中,,,,则,解得;③如图4,当时,四边形ABCD是矩形,四边形PQHM是平行四边形,,,在和中,,,,在中,,是等腰直角三角形,,,在中,,是等腰直角三角形,,则由得:,解得;综上,如图2,当时,;如图3,当时,;如图4,当时,.【点睛】本题考查了矩形的性质、三角形中位线定理、三角形全等的判定定理与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点,较难的是题(3),依据题意,正确分三种情况讨论并画出图形是解题关键.24.(1)y=-2x+8;(2)S=16m-2m2;(3)(-2,4)【解析】【分析】(1)先求出点A,点B坐标,由等腰三角形的性质可求点C坐标,由待定系数法可求BC 的解析式;(2)过点P作PG解析:(1)y=-2x+8;(2)S=16m-2m2;(3)(-2,4)【解析】【分析】(1)先求出点A,点B坐标,由等腰三角形的性质可求点C坐标,由待定系数法可求BC 的解析式;(2)过点P作PG⊥AC,PE∥BC交AC于E,过点Q作HQ⊥AC,由“AAS”可证△AGP≌△CHQ,可得AG=HC=m-4,PG=HQ=2m-8,由“AAS”可证△PEF≌△QCF,可得S△PEF=S△QCF,即可求解;(3)如图2,连接AM,CM,过点P作PE⊥AC,由“SSS”可证△APM≌△CQM,△ABM≌△CBM,可得∠PAM=∠MCQ,∠BQM=∠APM=45°,∠BAM=∠BCM,由“AAS”可证△APE≌△MAO,可得AE=OM,PE=AO=4,可求m的值,可得点P的坐标.【详解】解:(1)∵直线y=2x+8与x轴交于点A,与y轴交于点B,∴点B(0,8),点A(-4,0)∴AO=4,BO=8,∵AB=BC,BO⊥AC,∴AO=CO=4,∴点C(4,0),设直线BC解析式为:y=kx+b,由题意可得:804bk b=⎧⎨=+⎩,解得:28kb=-⎧⎨=⎩,∴直线BC解析式为:y=-2x+8;(2)如图1,过点P作PG⊥AC,PE∥BC交AC于E,过点Q作HQ⊥AC,设△PBQ的面积为S,∵AB=CB,∴∠BAC=∠BCA,∵点Q横坐标为m,∴点Q(m,-2m+8)∴HQ=2m-8,CH=m-4,∵AP=CQ,∠BAC=∠BCA=∠QCH,∠AGP=∠QHC=90°,∴△AGP≌△CHQ(AAS),∴AG=HC=m-4,PG=HQ=2m-8,∵PE∥BC,∴∠PEA=∠ACB,∠EPF=∠CQF,∴∠PEA=∠PAE,∴AP=PE,且AP=CQ,∴PE=CQ,且∠EPF=∠CQF,∠PFE=∠CFQ,∴△PEF≌△QCF(AAS)∴S△PEF=S△QCF,∴△PBQ的面积=四边形BCFP的面积+△CFQ的面积=四边形BCFP的面积+△PEF的面积=四边形PECB的面积,∴S=S△ABC-S△PAE=12×8×8-12×(2m-8)×(2m-8)=16m-2m2;(3)如图2,连接AM,CM,过点P作PE⊥AC,∵AB=BC,BO⊥AC,∴BO是AC的垂直平分线,∴AM=CM,且AP=CQ,PM=MQ,∴△APM≌△CQM(SSS)∴∠PAM=∠MCQ,∠BQM=∠APM=45°,∵AM=CM,AB=BC,BM=BM,∴△ABM≌△CBM(SSS)∴∠BAM=∠BCM,∴∠BCM=∠MCQ,且∠BCM+∠MCQ=180°,∴∠BCM=∠MCQ=∠PAM=90°,且∠APM=45°,∴∠APM=∠AMP=45°,∴AP=AM,∵∠PAO+∠MAO=90°,∠MAO+∠AMO=90°,∴∠PAO=∠AMO,且∠PEA=∠AOM=90°,AM=AP,∴△APE≌△MAO(AAS)∴AE=OM,PE=AO=4,∴2m-8=4,∴m=6,∴P(-2,4).【点睛】本题是一次函数综合题,考查了待定系数法求解析式,全等三角形的判定和性质,等腰三角形的性质,添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键.25.(1)45;(2)①见解析;②DF的长为2;(3)【分析】(1)根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF=360°﹣90°=270°,根据角平分线的定义得到∠AFE=DFE,∠AEF=BEF,求得∠解析:(1)45;(2)①见解析;②DF的长为2;(3)15 7【分析】(1)根据平角的定义得到∠DFE+∠BEF=360°﹣90°=270°,根据角平分线的定义得到∠AFE=12∠DFE,∠AEF=12∠BEF,求得∠AEF+∠AFE=12(∠DFE+∠BEF),根据三角形的内角和定理即可得到结论;(2)①作AG⊥EF于G,如图1所示:则∠AGE=∠AGF=90°,先证明四边形ABCD是矩形,再由角平分线的性质得出AB=AD,即可得出四边形ABCD是正方形;②设DF=x,根据已知条件得到BC=6,由①得四边形ABCD是正方形,求得BC=CD=6,根据全等三角形的性质得到BE=EG=3,同理,GF=DF=x,根据勾股定理列方程即可得到结论;(3)把△PQH沿PQ翻折得△PQD,把△PRH沿PR翻折得△PRM,延长DQ、MR交于点G,由(1)(2)得:四边形PMGD是正方形,MR+DQ=QR,MR=HR,DQ=HQ=2,得出MG=DG=MP=PH=6,GQ=4,设MR=HR=a,则GR=6﹣a,QR=a+2,在Rt△GQR 中,由勾股定理得出方程,解方程即可.【详解】解:(1)∵∠C=90°,∴∠CFE+∠CEF=90°,∴∠DFE+∠BEF=360°﹣90°=270°,∵AF平分∠DFE,AE平分∠BEF,∴∠AFE=12∠DFE,∠AEF=12∠BEF,∴∠AEF +∠AFE =12(∠DFE +∠BEF )=12⨯270°=135°,∴∠EAF =180°﹣∠AEF ﹣∠AFE =45°, 故答案为:45;(2)①作AG ⊥EF 于G ,如图1所示:则∠AGE =∠AGF =90°, ∵AB ⊥CE ,AD ⊥CF , ∴∠B =∠D =90°=∠C , ∴四边形ABCD 是矩形,∵∠CEF ,∠CFE 外角平分线交于点A , ∴AB =AG ,AD =AG , ∴AB =AD ,∴四边形ABCD 是正方形; ②设DF =x , ∵BE =EC =3, ∴BC =6,由①得四边形ABCD 是正方形, ∴BC =CD =6,在Rt △ABE 与Rt △AGE 中,AB AGAE AE=⎧⎨=⎩ , ∴Rt △ABE ≌Rt △AGE (HL ), ∴BE =EG =3, 同理,GF =DF =x ,在Rt △CEF 中,EC 2+FC 2=EF 2, 即32+(6﹣x )2=(x +3)2, 解得:x =2, ∴DF 的长为2; (3)解:如图2所示:把△PQH沿PQ翻折得△PQD,把△PRH沿PR翻折得△PRM,延长DQ、MR交于点G,由(1)(2)得:四边形PMGD是正方形,MR+DQ=QR,MR=HR,DQ=HQ=2,∴MG=DG=MP=PH=5,∴GQ=3,设MR=HR=a,则GR=5﹣a,QR=a+2,在Rt△GQR中,由勾股定理得:(5﹣a)2+32=(2+a)2,解得:a=157,即HR=157;故答案为:157.【点睛】本题考查了正方形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理、矩形的判定、翻折变换的性质等知识;本题综合性强,有一定难度.。
合肥市实验学校数学分式解答题单元测试题(Word版 含解析)
方案一:前 米的道路由甲工程队改造,后 米的道路由乙工程队改造;
方案二:完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造,后一半时间由乙工程队改造.
根据上述描述,请你判断哪种改造方案所用时间少?并说明理由.
【答案】(1)甲工程队每天道路的长度为180米,乙工程队每天道路的长度为150米;(2)方案二所用的时间少
【解析】
【分析】
(1)设乙工程队每天道路的长度为 米,根据“甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同”,列出分式方程,即可求解;
(2)根据题意,分别表示出两种方案所用的时间,再作差比较大小,即可得到结论.
∴ ,即: ,
∴方案二所用的时间少.
【点睛】
本题主要考查分式方程的实际应用以及分式的减法法则,找出等量关系,列分式方程,掌握分式的通分,是解题的关键.
2.阅读下面内容:我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》,聪明的你可以发现:当 , 时,∵ ,∴ ,当且仅当 时取等号.请利用上述结论解决以下问题:
一、八年级数学分式解答题压轴题(难)
1.某市为了做好“全国文明城市”验收工作,计划对市区 米长的道路进行改造,现安排甲、乙两个工程队进行施工.
(1)已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同.若甲工程队每天比乙工程队多改造30米,求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米.
【详解】
解:(1) =
=
=3+ ;
(2)由分母为 ,
可设 ,
则
.
∵对于任意的x,上述等式均成立,
∴
解得
初二八年级数学下册:分式测试题25
八年级数学第十六章《分式》单元卷班级 姓名 座号 总分 一、选择题(本大题10个小题,每小题3分,共30分)1、代数式的家中来了几位客人:x2、5y x + 、a -21 、1-πx、21x x +,其中属于分式家族成员的有.............................................( ) A 、1个 B 、 2个 C 、 3个 D 、4个2、分式13x -有意义,则x 的取值范围是...........................( )A 、X>3B 、X<3C 、X ≠3D 、X ≠-3 3、下列各式中,无论x 取何值,分式都有意义的是..................( )A .121x +B .21x x +C .231x x+ D .2221x x +4、若把分式xx y+中的x 和y 都扩大3倍,则分式的值.................( ) A 、扩大3倍; B 、不变; C 、缩小3倍; D 、缩小6倍 5、下列各式中,可能取值为零的是...............................( )A .2211m m +-B .211m m -+C .211m m +- D .211m m ++6、计算1x +12x +13x 等于.........................................( )A .12xB .32xC .116xD .56x7、(-3a b)÷6ab 的结果是.......................................( )A .-8a 2B .-2a bC .-218a bD .-212b 8、下列等式:①()a b c --=-a b c -;②x y x -+-=x y x -;③a b c -+=-a bc+;④m n m --=-m n m-中,成立的是................................( )A .①②B .③④C .①③D .②④ 9、计算(1)(2)(1)(2)a a a a -+++·5(a+1)2的结果是..........................( )A .5a 2-1B .5a 2-5C .5a 2+10a+5D .a 2+2a+110、下列分式的变形中,正确的是.................................( )A .11a x ab x b ++=++B .22x x y y = C .(0)n na a m ma =≠ D .n n a m m a-=-二、填空题(本大题5个小题,每小题4分,共20分)11、-3-2= ;12、1纳米=0.000000001米,则7.5纳米用科学记数法表示为13、计算222a aba b+-=_________.14、计算:(xy-x 2)·xyx y-=________. 15、已知a+b=3,ab=1,则a b +ba的值等于________. 三、解答题(共50分)解答时请写出必要的演算过程或推理步骤。
苏教版八年级数学下册期末考前必做题(解答题)
八年级数学下期末考前必做题(解答题)1.解分式方程:=.2.解分式方程:﹣1=.3.化简:(﹣4)÷.4.先化简,再从﹣1、2、3、4中选一个合适的数作为x的值代入求值.(﹣)÷5.先化简(1+)÷,再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值.6.为了提高学生的阅读能力,我市某校开展了“读好书,助成长”的活动,并计划购置一批图书,购书前,对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查,并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图,如图所示,请根据统计图回答下列问题:(1)本次调查共抽取了名学生,两幅统计图中的m=,n=.(2)已知该校共有3600名学生,请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人?(3)学校将举办读书知识竞赛,九年级1班要在本班3名优胜者(2男1女)中随机选送2人参赛,请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率.7.某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数(含驾驶员)进行了随机调查,根据每车乘坐人数分为5类,每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为A、B、C、D、E,由调查所得数据绘制了如图所示的不完整的统计图表.类别频率A mB0.35C0.20D nE0.05(1)求本次调查的小型汽车数量及m,n的值;(2)补全频数分布直方图;(3)若某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆,请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量.8.为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围,推进平安校园建设,甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生,分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发,前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动.已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍,甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地,分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.9.甲、乙两人加工同一种零件,甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍,两人各加工600个这种零件,甲比乙少用5天.(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件?(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元,现有3000个这种零件的加工任务,甲单独加工一段时间后另有安排,剩余任务由乙单独完成.如果总加工费不超过7800元,那么甲至少加工了多少天?10.端午节是我国的传统节日,人们素有吃粽子的习俗.某商场在端午节来临之际用3000元购进A、B两种粽子1100个,购买A种粽子与购买B种粽子的费用相同.已知A种粽子的单价是B种粽子单价的1.2倍.(1)求A、B两种粽子的单价各是多少?(2)若计划用不超过7000元的资金再次购进A、B两种粽子共2600个,已知A、B两种粽子的进价不变.求A种粽子最多能购进多少个?11.如图,已知反比例函数y=(k≠0)的图象与一次函数y=﹣x+b的图象在第一象限交于A(1,3),B(3,1)两点(1)求反比例函数和一次函数的表达式;(2)已知点P(a,0)(a>0),过点P作平行于y轴的直线,在第一象限内交一次函数y=﹣x+b的图象于点M,交反比例函数y=上的图象于点N.若PM>PN,结合函数图象直接写出a的取值范围.12.如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点,且与x轴交于点C,与y轴交于点D,A点的横坐标与B点的纵坐标都是3.(1)求一次函数的表达式;(2)求△AOB的面积;(3)写出不等式kx+b>﹣的解集.13.汛期到来,山洪暴发.下表记录了某水库20h内水位的变化情况,其中x表示时间(单位:h),y表示水位高度(单位:m),当x=8(h)时,达到警戒水位,开始开闸放水.x/h02468101214161820 y/m141516171814.41210.3987.2(1)在给出的平面直角坐标系中,根据表格中的数据描出相应的点.(2)请分别求出开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式.(3)据估计,开闸放水后,水位的这种变化规律还会持续一段时间,预测何时水位达到6m.14.如图,已知平行四边形ABCD中,AB=5,BC=3,AC=2.(1)求平行四边形ABCD的面积;(2)求证:BD⊥BC.15.如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE=CF,过点E作EG∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF.求证:(1)AE⊥BF;(2)四边形BEGF是平行四边形.16.如图,矩形ABCD中,AB=8,AD=6,点O是对角线BD的中点,过点O的直线分别交AB、CD边于点E、F.(1)求证:四边形DEBF是平行四边形;(2)当DE=DF时,求EF的长.17.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点,连接ED,EF.(1)求证:四边形DEFC是矩形;(2)请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线(保留作图痕迹,不写作法).18.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD边上的点,且AE=CF.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形吗?请说明理由.19.如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,点E,F分别为OB,OD的中点,延长AE至G,使EG=AE,连接CG.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)当AB与AC满足什么数量关系时,四边形EGCF是矩形?请说明理由.20.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OB.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若AD=4,∠AOD=60°,求AB的长.21.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.22.如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF =90°,FG⊥AD,垂足为点G.(1)试判断AG与FG是否相等?并给出证明;(2)若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.23.如图,在正方形ABCD中,E是DC边上一点,(与D、C不重合),连接AE,将△ADE 沿AE所在的直线折叠得到△AFE,延长EF交BC于G,连接AG,作GH⊥AG,与AE 的延长线交于点H,连接CH.显然AE是∠DAF的平分线,EA是∠DEF的平分线.仔细观察,请逐一找出图中其他的角平分线(仅限于小于180°的角平分线),并说明理由.24.如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A、D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.25.如图1,在正方形ABCD中,点E是CD上一点(不与C,D两点重合),连接BE,过点C作CH⊥BE于点F,交对角线BD于点G,交AD边于点H,连接GE,(1)求证:△DHC≌△CEB;(2)如图2,若点E是CD的中点,当BE=8时,求线段GH的长;(3)设正方形ABCD的面积为S1,四边形DEGH的面积为S2,当的值为时,的值为.26.已知:如图,在菱形ABCD中,AC=2,∠B=60°.点E为边BC上的一个动点(与点B、C不重合),∠EAF=60°,AF与边CD相交于点F,联结EF交对角线AC于点G.设CE=x,EG=y.(1)求证:△AEF是等边三角形;(2)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;(3)点O是线段AC的中点,联结EO,当EG=EO时,求x的值.27.已知△ABC为等边三角形.点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD 为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF.(1)如图1,当点D在线投BC上时,求证:AC=CF+CD;(2)如图2,当点D在线投BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由,28.综合与实践:折纸中的数学问题情境:在矩形ABCD中,AD=12,点M、N分别是AD、BC的中点,点E、F分别在AB、CD 上,且AE=CF,将△AEM沿EM折叠,点A的对应点为点P,将△NCF沿NF折叠,点C的对应点为点Q,且点P、Q均落在矩形ABCD的内部.数学思考:(1)判断PM与NQ是否平行,并说明理由;(2)当AB长度是多少时,存在点E,使四边形PNQM是有一个内角为60°的菱形?直接写出AB的长度及菱形PNQM的面积.29.如图,已知,点E在正方形ABCD的BC边上(不与点B,C重合),AC是对角线,延长BC到点F,使CF=BE,过点E作AC的垂线,垂足为G,连接BG,DF.(1)根据题意补全图形,并证明GC=GE;(2)①用等式表示线段BG与DF的数量关系,并证明;②用等式表示线段AG,BG,CG之间的数量关系,并证明.30.旋转是图形变化的方法之一,借助旋转知识可以解决线段长、角的大小、取值范围、判断三角形形状等问题,在实际生活中也有十分重要的地位和作用.问题背景:一块等边三角形建筑材料内一点到三角形三个顶点的距离满足一定条件时,我们可以用所学的知识帮助工人师傅在没有刻度尺的情况下求出等边三角形的边长.数学建模如图1,等边三角形ABC内有一点P,已知P A=2,PB=4,PC=2.问题解决(1)如图2,将△ABP绕点B顺时针旋转60°得到△CBP',连接PP',易证∠BP'P =°,△为等边三角形,∠=90°,∠BP A=°:(2)点H为直线BP'上的一个动点,则CH的最小值为;(3)求AB长;拓展延伸已知:点P在正方形ABCD内,点Q在平面,BP=BQ=1,BP⊥BQ.(4)在图3中,连接P A、PC、PQ、QC,AP=,若点A、P、Q在一条直线上,则cos∠PCQ=;(5)若AB=2,连接DP,则≤DP<;连接PQ,当D、P、Q三点同一条直线上时,△BDQ的面积为.31.如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=90°,AD=24cm,AB=8cm,BC=26cm,动点P从A开始沿AD边向D以1cm/s的速度运动;Q从点C开始沿CB边向B以3cm/s 的速度运动.P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另外一点也随之停止运动.(1)当运动时间为t秒时,用含t的代数式表示以下线段的长:AP=BQ=;(2)当运动时间为多少秒时,四边形PQCD为平行四边形?(3)当运动时间为多少秒时,四边形ABQP为矩形?32.如图,在平行四边形ABCD中,点E为AC上一点,点E,点F关于CD对称.(1)若ED∥CF,①求证:四边形ECFD是菱形.②若点E为AC的中点,求证:AD=EF.(2)连结BD,BE,BF,若四边形ABCD是正方形,△BDF是直角三角形,求的值.33.在▱ABCD中,∠ADC的平分线交AB于点F,交CB的延长线于点E.(1)如图1,若AD=2,BE=1,则CD=(直接写出结果).(2)如图2,若∠ADC=90°,G为EF的中点,连接CA,CG,求的值.(3)如图3,若∠ADC=60°,EH∥AB,EH=EB,连接CH,求的值.5.先化简(1+)÷,再从不等式组的整数解中选一个合适的x的值代入求值.【分析】首先进行分式的加减运算,进而利用分式的混合运算法则进而化简,再解不等式组,得出x的值,把已知数据代入即可.【解答】解:原式=×=,解不等式组得﹣2<x<4,∴其整数解为﹣1,0,1,2,3,∵要使原分式有意义,∴x可取0,2.∴当x=0 时,原式=﹣3,(或当x=2 时,原式=﹣).6.为了提高学生的阅读能力,我市某校开展了“读好书,助成长”的活动,并计划购置一批图书,购书前,对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查,并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图,如图所示,请根据统计图回答下列问题:(1)本次调查共抽取了200名学生,两幅统计图中的m=84,n=15.(2)已知该校共有3600名学生,请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有多少人?(3)学校将举办读书知识竞赛,九年级1班要在本班3名优胜者(2男1女)中随机选送2人参赛,请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率.【分析】(1)用喜欢阅读“A”类图书的学生数除以它所占的百分比得到调查的总人数;用喜欢阅读“B”类图书的学生数所占的百分比乘以调查的总人数得到m的值,然后用30除以调查的总人数可以得到n的值;(2)用3600乘以样本中喜欢阅读“A”类图书的学生数所占的百分比即可;(3)画树状图展示所有6种等可能的结果数,找出被选送的两名参赛者为一男一女的结果数,然后根据概率公式求解.【解答】解:(1)68÷34%=200,所以本次调查共抽取了200名学生,m=200×42%=84,n%=×100%=15%,即n=15;(2)3600×34%=1224,所以估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生约有1224人;(3)画树状图为:共有6种等可能的结果数,其中被选送的两名参赛者为一男一女的结果数为4,所以被选送的两名参赛者为一男一女的概率==.7.某校数学活动小组对经过某路段的小型汽车每车乘坐人数(含驾驶员)进行了随机调查,根据每车乘坐人数分为5类,每车乘坐1人、2人、3人、4人、5人分别记为A、B、C、D、E,由调查所得数据绘制了如图所示的不完整的统计图表.类别频率A mB0.35C0.20D nE0.05(1)求本次调查的小型汽车数量及m,n的值;(2)补全频数分布直方图;(3)若某时段通过该路段的小型汽车数量为5000辆,请你估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量.【分析】(1)由C类别数量及其对应的频率可得总数量,再由频率=频数÷总数量可得m、n的值;(2)用总数量乘以B、D对应的频率求得其人数,从而补全图形;(3)利用样本估计总体思想求解可得.【解答】解:(1)本次调查的小型汽车数量为32÷0.2=160(辆),m=48÷160=0.3,n=1﹣(0.3+0.35+0.20+0.05)=0.1;(2)B类小汽车的数量为160×0.35=56,D类小汽车的数量为0.1×160=16,补全图形如下:(3)估计其中每车只乘坐1人的小型汽车数量为5000×0.3=1500(辆).8.为进一步营造扫黑除恶专项斗争的浓厚宣传氛围,推进平安校园建设,甲、乙两所学校各租用一辆大巴车组织部分师生,分别从距目的地240千米和270千米的两地同时出发,前往“研学教育”基地开展扫黑除恶教育活动.已知乙校师生所乘大巴车的平均速度是甲校师生所乘大巴车的平均速度的1.5倍,甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地,分别求甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度.【分析】设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为x千米/小时,则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x千米/小时,由时间关系“甲校师生比乙校师生晚1小时到达目的地”列出方程,解方程即可.【解答】解:设甲学校师生所乘大巴车的平均速度为x千米/小时,则乙学校师生所乘大巴车的平均速度为1.5x千米/小时,由题意得:,解得:x=60,经检验,x=60是所列方程的解,则1.5x=90,答:甲、乙两所学校师生所乘大巴车的平均速度分别为60千米/小时、90千米/小时.9.甲、乙两人加工同一种零件,甲每天加工的数量是乙每天加工数量的1.5倍,两人各加工600个这种零件,甲比乙少用5天.(1)求甲、乙两人每天各加工多少个这种零件?(2)已知甲、乙两人加工这种零件每天的加工费分别是150元和120元,现有3000个这种零件的加工任务,甲单独加工一段时间后另有安排,剩余任务由乙单独完成.如果总加工费不超过7800元,那么甲至少加工了多少天?【分析】(1)设乙每天加工x个零件,则甲每天加工1.5x个零件,根据甲比乙少用5天,列分式方程求解;(2)设甲加工了x天,乙加工了y天,根据3000个零件,列方程;根据总加工费不超过7800元,列不等式,方程和不等式综合考虑求解即可.【解答】解:(1)设乙每天加工x个零件,则甲每天加工1.5x个零件,由题意得:=+5化简得600×1.5=600+5×1.5x解得x=40∴1.5x=60经检验,x=40是分式方程的解且符合实际意义.【分析】(1)利用待定系数法即可求得;(2)根据图象可解.【解答】解:(1)∵反比例函数y=(k≠0)的图象与一次函数y=﹣x+b的图象在第一象限交于A(1,3),B(3,1)两点,∴3=,3=﹣1+b,∴k=3,b=4,∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=,y=﹣x+4;(2)由图象可得:当1<a<3时,PM>PN.12.如图,一次函数y=kx+b(k,b为常数,k≠0)的图象与反比例函数y=﹣的图象交于A、B两点,且与x轴交于点C,与y轴交于点D,A点的横坐标与B点的纵坐标都是3.(1)求一次函数的表达式;(2)求△AOB的面积;(3)写出不等式kx+b>﹣的解集.【分析】根据描点的趋势,猜测函数类型,发现当0<x<8时,y与x可能是一次函数关系:当x>8时,y与x就不是一次函数关系:通过观察数据发现y与x的关系最符合反比例函数.【解答】解:(1)在平面直角坐标系中,根据表格中的数据描出相应的点,如图所示.(2)观察图象当0<x<8时,y与x可能是一次函数关系:设y=kx+b,把(0,14),(8,18)代入得解得:k=,b=14,y与x的关系式为:y=x+14,经验证(2,15),(4,16),(6,17)都满足y=x+14因此放水前y与x的关系式为:y=x+14 (0<x<8)观察图象当x>8时,y与x就不是一次函数关系:通过观察数据发现:8×18=10×14.4=12×12=16×9=18×8=144.因此放水后y与x的关系最符合反比例函数,关系式为:.(x>8)所以开闸放水前和放水后最符合表中数据的函数解析式为:y=x+14 (0<x<8)和.(x>8)(3)当y=6时,6=,解得:x=24,因此预计24h水位达到6m.14.如图,已知平行四边形ABCD中,AB=5,BC=3,AC=2.(1)求平行四边形ABCD的面积;(2)求证:BD⊥BC.【分析】(1)作CE⊥AB交AB的延长线于点E,设BE=x,由勾股定理列出关于x的方程,解方程求出平行四边形的高,进而即可求出其面积;(2)利用全等三角形的判定与性质得出AF=BE=,BF=5﹣=,DF=CE=,从而求出BD的长,在△BCD中利用勾股定理的逆定理即可证明两直线垂直.【解答】解:(1)作CE⊥AB交AB的延长线于点E,如图:设BE=x,CE=h在Rt△CEB中:x2+h2=9①在Rt△CEA中:(5+x)2+h2=52②联立①②解得:x=,h=∴平行四边形ABCD的面积=AB•h=12;(2)作DF⊥AB,垂足为F∴∠DF A=∠CEB=90°∵平行四边形ABCD∴AD=BC,AD∥BC∴∠DAF=∠CBE又∵∠DF A=∠CEB=90°,AD=BC∴△ADF≌△BCE(AAS)∴AF=BE=,BF=5﹣=,DF=CE=在Rt△DFB中:BD2=DF2+BF2=()2+()2=16∴BD=4∵BC=3,DC=5∴CD2=DB2+BC2∴BD⊥BC.15.如图,E,F分别是正方形ABCD的边CB,DC延长线上的点,且BE=CF,过点E作EG∥BF,交正方形外角的平分线CG于点G,连接GF.求证:(1)AE⊥BF;(2)四边形BEGF是平行四边形.【分析】(1)由SAS证明△ABE≌△BCF得出AE=BF,∠BAE=∠CBF,由平行线的性质得出∠CBF=∠CEG,证出AE⊥EG,即可得出结论;(2)延长AB至点P,使BP=BE,连接EP,则AP=CE,∠EBP=90°,证明△APE ≌△ECG得出AE=EG,证出EG=BF,即可得出结论.【解答】证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°,∴∠ABE=∠BCF=90°,在△ABE和△BCF中,,∴△ABE≌△BCF(SAS),∴AE=BF,∠BAE=∠CBF,∵EG∥BF,∴∠CBF=∠CEG,∵∠BAE+∠BEA=90°,∴∠CEG+∠BEA=90°,∴AE⊥EG,∴AE⊥BF;(2)延长AB至点P,使BP=BE,连接EP,如图所示:则AP=CE,∠EBP=90°,∴∠P=45°,∵CG为正方形ABCD外角的平分线,∴∠ECG=45°,∴∠P=∠ECG,由(1)得∠BAE=∠CEG,在△APE和△ECG中,,∴△APE≌△ECG(ASA),∴AE=EG,∵AE=BF,∴EG=BF,∵EG∥BF,∴四边形BEGF是平行四边形.∴OD=BD=5,在Rt△DOE中,根据勾股定理,有DE2 ﹣OD2=OE2,∴OE=,∴EF=2OE=.17.在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,D,E,F分别是AC,AB,BC的中点,连接ED,EF.(1)求证:四边形DEFC是矩形;(2)请用无刻度的直尺在图中作出∠ABC的平分线(保留作图痕迹,不写作法).【分析】(1)首先证明四边形DEFC是平行四边形,再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断.(2)连接EC,DF交于点O,作射线BO即可.【解答】(1)证明:∵D,E,F分别是AC,AB,BC的中点,∴DE∥FC,EF∥CD,∴四边形DEFC是平行四边形,∵∠DCF=90°,∴四边形DEFC是矩形.(2)连接EC,DF交于点O,作射线BO,射线BO即为所求.18.如图,在矩形ABCD中,E,F分别是BC,AD边上的点,且AE=CF.(1)求证:△ABE≌△CDF;(2)当AC⊥EF时,四边形AECF是菱形吗?请说明理由.(2)解:当AC=2AB时,四边形EGCF是矩形;理由如下:∵AC=2OA,AC=2AB,∴AB=OA,∵E是OB的中点,∴AG⊥OB,∴∠OEG=90°,同理:CF⊥OD,∴AG∥CF,∴EG∥CF,由(1)得:△ABE≌△CDF,∴AE=CF,∵EG=AE,∴EG=CF,∴四边形EGCF是平行四边形,∵∠OEG=90°,∴四边形EGCF是矩形.20.如图,在▱ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,且OA=OB.(1)求证:四边形ABCD是矩形;(2)若AD=4,∠AOD=60°,求AB的长.【分析】(1)由▱ABCD得到OA=OC,OB=OD,由OA=OB,得到;OA=OB=OC=OD,对角线平分且相等的四边形是矩形,即可推出结论;(2)根据矩形的性质借用勾股定理即可求得AB的长度.【解答】(1)证明:在□ABCD中,OA=OC=AC,OB=OD=BD,又∵OA=OB,∴AC=BD,∴平行四边形ABCD是矩形.(2)∵四边形ABCD是矩形,∴∠BAD=90°,OA=OD.又∵∠AOD=60°,∴△AOD是等边三角形,∴OD=AD=4,∴BD=2OD=8,在Rt△ABD中,AB=.21.如图,正方形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,E是OC上一点,连接EB.过点A作AM⊥BE,垂足为M,AM与BD相交于点F.求证:OE=OF.【分析】根据正方形的性质对角线垂直且平分,得到OB=OA,根据AM⊥BE,即可得出∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,从而证出Rt△BOE≌Rt△AOF,得到OE=OF.【解答】证明:∵四边形ABCD是正方形.∴∠BOE=∠AOF=90°,OB=OA.又∵AM⊥BE,∴∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE,∴∠MEA=∠AFO.∴△BOE≌△AOF(AAS).∴OE=OF.22.如图,四边形ABCD是正方形,△EFC是等腰直角三角形,点E在AB上,且∠CEF =90°,FG⊥AD,垂足为点G.(1)试判断AG与FG是否相等?并给出证明;(2)若点H为CF的中点,GH与DH垂直吗?若垂直,给出证明;若不垂直,说明理由.【分析】(1)过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M,可证四边形AGFM是矩形,可得AG=MF,AM=FG,由“AAS”可证△EFM≌△CEB,可得BE=MF,ME=BC=AB,可得BE=MA=MF=AG=FG;(2)延长GH交CD于点N,由平行线分线段成比例可得,且CH=FH,可得GH=HN,NC=FG,即可求DG=DN,由等腰三角形的性质可得DH⊥HG.【解答】解:(1)AG=FG,理由如下:如图,过点F作FM⊥AB交BA的延长线于点M∵四边形ABCD是正方形∴AB=BC,∠B=90°=∠BAD∵FM⊥AB,∠MAD=90°,FG⊥AD∴四边形AGFM是矩形∴AG=MF,AM=FG,∵∠CEF=90°,∴∠FEM+∠BEC=90°,∠BEC+∠BCE=90°∴∠FEM=∠BCE,且∠M=∠B=90°,EF=EC ∴△EFM≌△CEB(AAS)∴BE=MF,ME=BC∴ME=AB=BC∴BE=MA=MF∴AG=FG,(2)DH⊥HG理由如下:如图,延长GH交CD于点N,∵FG⊥AD,CD⊥AD∴FG∥CD∴,且CH=FH,∴GH=HN,NC=FG∴AG=FG=NC又∵AD=CD,∴GD=DN,且GH=HN∴DH⊥GH∵BC﹣CG=GN﹣CG,∴BG=CN,∴CN=HN,∵∠DCM=90°,∴∠NCH=∠NHC=×90°=45°,∴∠DCH=∠DCM﹣∠NCH=45°,∴∠DCH=∠NCH,∴CH是∠DCN的平分线;③∵∠AGB+∠HGN=90°,∠AGF+∠EGH=90°,由①知,∠AGB=∠AGF,∴∠HGN=∠EGH,∴GH是∠EGM的平分线;综上所述,AG是∠BAF的平分线,GA是∠BGF的平分线,CH是∠DCN的平分线,GH 是∠EGM的平分线.24.如图,在边长为1的正方形ABCD中,E是边CD的中点,点P是边AD上一点(与点A、D不重合),射线PE与BC的延长线交于点Q.(1)求证:△PDE≌△QCE;(2)过点E作EF∥BC交PB于点F,连结AF,当PB=PQ时,①求证:四边形AFEP是平行四边形;②请判断四边形AFEP是否为菱形,并说明理由.【分析】(1)由四边形ABCD是正方形知∠D=∠ECQ=90°,由E是CD的中点知DE =CE,结合∠DEP=∠CEQ即可得证;(2)①由PB=PQ知∠PBQ=∠Q,结合AD∥BC得∠APB=∠PBQ=∠Q=∠EPD,由△PDE≌△QCE知PE=QE,再由EF∥BQ知PF=BF,根据Rt△P AB中AF=PF=BF 知∠APF=∠P AF,从而得∠P AF=∠EPD,据此即可证得PE∥AF,从而得证;②设PD=x,则AP=1﹣x,由(1)知△PDE≌△QCE,据此得CQ=PD=x,BQ=BC+CQ∴AP≠PE,∴四边形AFEP不是菱形.25.如图1,在正方形ABCD中,点E是CD上一点(不与C,D两点重合),连接BE,过点C作CH⊥BE于点F,交对角线BD于点G,交AD边于点H,连接GE,(1)求证:△DHC≌△CEB;(2)如图2,若点E是CD的中点,当BE=8时,求线段GH的长;(3)设正方形ABCD的面积为S1,四边形DEGH的面积为S2,当的值为时,的值为.【分析】(1)可得∠CHD=∠BEC,根据AAS可证明△DHC≌△CEB.(2)可得.则GC=2GH,可求出GH的长;(3)设S△DGH=9a,则S△BCG=49a,S△DCG=21a,求出S1和S2即可得出答案.【解答】证明(1)∵四边形ABCD是正方形,∴CD=BC,∠HDC=∠BCE=90°,∴∠DHC+∠DCH=90°,∵CH⊥BE,∴∠EFC=90°,∴∠ECF+∠BEC=90°,∴∠CHD=∠BEC,∴△DHC≌△CEB(AAS).(2)解:∵△DHC≌△CEB,∴CH=BE,DH=CE,∵CE=DE=CD,CD=CB,∴DH=BC,∵DH∥BC,∴.∴GC=2GH,设GH=x,则,则CG=2x,∴3x=8,∴x=.即GH=.(3)解:∵,∴,∵DH=CE,DC=BC,∴,∵DH∥BC,∴,∴,,设S△DGH=9a,则S△BCG=49a,S△DCG=21a,∴S△BCD=49a+21a=70a,∴S1=2S△BCD=140a,∵S△DEG:S△CEG=4:3,∴S△DEG=12a,∴S2=12a+9a=21a.∴.故答案为:.26.已知:如图,在菱形ABCD中,AC=2,∠B=60°.点E为边BC上的一个动点(与点B、C不重合),∠EAF=60°,AF与边CD相交于点F,联结EF交对角线AC于点G.设CE=x,EG=y.(1)求证:△AEF是等边三角形;(2)求y关于x的函数解析式,并写出x的取值范围;(3)点O是线段AC的中点,联结EO,当EG=EO时,求x的值.【分析】(1)根据菱形的性质得AB=BC,而∠B=60°,则可判定△ABC为等边三角形,得到∠BAC=60°,AC=AB,易得∠ACF=60°,∠BAE=∠CAF,然后利用“ASA”可证明△AEB≌△AFC,得出AE=AF,则结论可得出;(2)过点A作AH⊥BC于点H,求出AE,证明△BAE∽△CEG,得出,则可得出答案;(3)证明△COE∽△CEA,由比例线段可得出答案.【解答】(1)证明:∵四边形ABCD为菱形,∴AB=BC,∵∠B=60°,∴△ABC为等边三角形,∴∠BAC=60°,AC=AB,∴∠BAE+∠EAC=60°,∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACF=60°,∵∠EAF=60°,即∠EAC+∠CAF=60°,∴∠BAE=∠CAF,在△AEB和△AFC中,,∴△AEB≌△AFC(ASA),∴AE=AF,∴△AEF为等边三角形;(2)解:过点A作AH⊥BC于点H,∵△AEF为等边三角形,∴AE=EF=,∠AEF=60°,∵∠ABH=60°,∴,BH=HC=1,∴EH=|x﹣HC|=|x﹣1|,∴EF==,∵∠AEF=∠B=60°,∴∠CEG+∠AEB=∠AEB+∠BAE=120°,∴∠CEG=∠BAE,∵∠B=∠ACE=60°,∴△BAE∽△CEG,∴,∴,∴y=EG=(0<x<2),(3)解:∵AB=2,△ABC是等边三角形,∴AC=2,∴OA=OC=1,∵EG=EO,∴∠EOG=∠EGO,∵∠EGO=∠ECG+∠CEG=60°+∠CEG,∠CEA=∠CEG+∠AEF=60°+∠CEG,∴∠EGO=∠CEA,∴∠EOG=∠CEA,∵∠ECA=∠OCE,∴△COE∽△CEA,∴,∴CE2=CO•CA,∴x2=1×2,∴x=(x=﹣舍去),即x=.27.已知△ABC为等边三角形.点D为直线BC上的一动点(点D不与B、C重合),以AD 为边作菱形ADEF(A、D、E、F按逆时针排列),使∠DAF=60°,连接CF.(1)如图1,当点D在线投BC上时,求证:AC=CF+CD;(2)如图2,当点D在线投BC的延长线上且其他条件不变时,结论AC=CF+CD是否成立?若不成立,请写出AC、CF、CD之间存在的数量关系,并说明理由,【分析】(1)根据已知得出AF=AD,AB=BC=AC,∠BAC=∠DAF=60°,得出∠BAD =CAF,证明△BAD≌△CAF(SAS),推出CF=BD即可得出结论;(2)求出∠BAD=∠CAF,根据SAS证△BAD≌△CAF,推出BD=CF即可得出AC=CF﹣CD.【解答】(1)证明:∵菱形AFED,∴AF=AD,∵△ABC是等边三角形,∴AB=AC=BC,∠BAC=60°=∠DAF,∴∠BAC﹣∠DAC=∠DAF﹣∠DAC,即∠BAD=∠CAF,∵在△BAD和△CAF中,,∴△BAD≌△CAF(SAS),∴CF=BD,∴CF+CD=BD+CD=BC=AC,即AC=CF+CD.(2)解:AC=CF+CD不成立,AC、CF、CD之间存在的数量关系是AC=CF﹣CD,理由是:由(1)知:AB=AC=BC,AD=AF,∠BAC=∠DAF=60°,∴∠BAC+∠DAC=∠DAF+∠DAC,即∠BAD=∠CAF,∵在△BAD和△CAF中,,∴△BAD≌△CAF(SAS),∴BD=CF,∴CF﹣CD=BD﹣CD=BC=AC,即AC=CF﹣CD.28.综合与实践:折纸中的数学问题情境:在矩形ABCD中,AD=12,点M、N分别是AD、BC的中点,点E、F分别在AB、CD 上,且AE=CF,将△AEM沿EM折叠,点A的对应点为点P,将△NCF沿NF折叠,点C的对应点为点Q,且点P、Q均落在矩形ABCD的内部.数学思考:(1)判断PM与NQ是否平行,并说明理由;(2)当AB长度是多少时,存在点E,使四边形PNQM是有一个内角为60°的菱形?直接写出AB的长度及菱形PNQM的面积.【分析】(1)分图①、图②两种情况,证明△EAM≌△FCN,根据全等三角形的性质得到∠AME=∠CNF,根据平行线的性质得到∠AQN=∠CNQ,根据平行线的判定定理证明;(2)根据菱形的性质、等边三角形的性质分别求出菱形的对角线,得到AB的长,根据菱形的面积公式求出菱形PNQM的面积.【解答】解:(1)PM∥NQ,理由如下:如图①,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,∠A=∠C=90°,∵点M,N分别是AD,BC的中点,∴AM=NC,∵AE=CF,∴△EAM≌△FCN(SAS),∴∠AME=∠CNF,∵∠AME=∠EMP,∠CNF=∠FNQ,∴∠AMP=∠QNC,∵AD∥BC,∴∠AQN=∠CNQ,∴∠AMP=∠AQN,∴PM∥QN;如图②,延长NQ交AD的延长线于H,∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,AD∥BC,∠A=∠C=90°,∵点M,N分别是AD,BC的中点,∴AM=NC,∴PM=NQ,∵AE=CF,∴△EAM≌△FCN(SAS),∴∠AME=∠CNF,∵∠AME=∠EMP,∠CNF=∠FNQ,∴∠AMP=∠QNC,∵AD∥BC,∴∠AHN=∠CNH,∴∠AMP=∠AHN,∴PM∥QN;(2)如图③,连接MN、PQ,∵四边形PNQM是有一个内角为60°的菱形,∴MN⊥PQ,△PMN为等边三角形,∴MN=MP=AM=6,∴PQ=6,∴菱形PNQM的面积=×6×6=18,∴当AB=6或6时,四边形PNQM是有一个内角为60°的菱形,菱形PNQM的面积为18.29.如图,已知,点E在正方形ABCD的BC边上(不与点B,C重合),AC是对角线,延长BC到点F,使CF=BE,过点E作AC的垂线,垂足为G,连接BG,DF.(1)根据题意补全图形,并证明GC=GE;(2)①用等式表示线段BG与DF的数量关系,并证明;②用等式表示线段AG,BG,CG之间的数量关系,并证明.【分析】(1)证明△EGC是等腰直角三角形即可得出结论;(2)①连接DG、FG,先证明△BEG≌△FCG(SAS),得出BG=GF,得出EF=BC=DC,证明△GEF≌△GCD(SAS),得出∠EGC=∠DGF=90°,FG=GD,则△DGF 是等腰直角三角形,从而得出DF=GF=BG;②连接AE,证四边形AEFD是平行四边形,得出AE=DF,由DF=BG,则AE=BG,结合CG=EG,∠AGE=90°得出AG2+EG2=AE2,从而得出答案.【解答】解:(1)补全图形如图1所示,∵四边形ABCD是正方形,AC是对角线,∴∠ACB=45°,∵EG⊥AC,∴△EGC是等腰直角三角形,。
初二八年级数学下册:分式测试题24
遵义市天义学校八年级数学单元水平测试第十六章 分 式(完成时间45分钟,满分100分)八年级( )班 姓名: 评分:一、 填空题:(每小题5分,共30分)1、当x 时,分式2134x x +-无意义. 2、甲种水果每千克价格a 元,乙种水果每千克价格b 元,取甲种水果m 千克,乙种水果n 千克,混合后,平均每千克价格是 .3、当x 时,分式2212x x x -+-的值为零. 4、当x 时,分式435x x +-的值为1; 5、计算222a ab a b+-= . 6、已知a+b =3,ab =1,则a b +b a的值等于 .二、 选择题:(每小题5分,共30分)7、下列各式中,无论x 取何值,分式都有意义的是( )A .121x +B .21x x +C .231x x+ D .2221x x + 8、(-3a b)÷6ab 的结果是( ) A .-8a 2 B .-2a b C .-218a b D .-212b9、下列公式中是最简分式的是( )A .21227b a B .22()a b b a -- C .22x y x y ++ D .22x y x y --10、不改变分式2323523x xx x-+-+-的值,使分子、分母最高次项的系数为正数,正确的是(•)A.2332523x xx x+++-B.2332523x xx x-++-C.2332523x xx x+--+D.2332523x xx x---+11、根据分式的基本性质,分式aa b--可变形为()A.aa b--B.aa b+C.-aa b-D.aa b+12、化简1x+12x+13x等于()A.12xB.32xC.116xD.56x三、解答题:(每小题5分,共20分)13、已知y=123xx--,x取什么值时:(1)y的值是正数;(2)y的值是零;14、计算:22696x x x x -+--÷229310x x x ---·3210x x +-.15、已知x+1x=3,求2421x x x ++的值.16、先化简,再求值:232282x x x x x +-++÷(2x x -·41x x ++).其中x =-45.四、应用题:(每小题10分,共20分)17、冯明英到桂头集市买了5千克香蕉,用了9元钱,又买了3千克鲜橙,•也用了9元钱。
八年级数学全册全套试卷测试题(Word版 含解析)
八年级数学全册全套试卷测试题(Word 版 含解析)一、八年级数学全等三角形解答题压轴题(难)1.取一副三角板按图()1拼接,固定三角板60,()30ADC D ACD ∠=∠=,将三角板45()ABC BAC BCA ∠=∠=绕点A 依顺时针方向旋转一个大小为a 的角00)45(a ≤≤得到ABM ,图()2所示.试问:()1当a 为多少时,能使得图()2中//AB CD ?说出理由,()2连接BD ,假设AM 与CD 交于,E BM 与CD 交于F ,当00)45(a ≤≤时,探索DBM CAM BDC ∠+∠+∠值的大小变化情况,并给出你的证明.【答案】(1)15°;(2)DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变,是105,证明见解析.【解析】【分析】(1)由//AB CD 得到30BAC C ∠=∠=,即可求出a ;(2)DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变,是105︒,由FEM CAM C ∠=∠+∠,30C ∠=︒, EFM BDC DBM ∠=∠+∠, 45M ∠=︒,即可利用三角形内角和求出答案.【详解】()1当a 为15时,//AB CD ,理由:由图()2,若//AB CD ,则30BAC C ∠=∠=,453015a CAM BAM BAC ∴=∠=∠-∠=-︒=︒,所以,当a 为15时,//AB CD .注意:学生可能会出现两种解法:第一种:把//AB CD 当做条件求出a 为15,第二种:把a 为15当做条件证出//AB CD ,这两种解法都是正确的.()2DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变,是105︒证明: ,30FEM CAM C C ∠=∠+∠∠=︒,30FEM CAM ∴∠=∠+︒,EFM BDC DBM ∠=∠+∠,DBM CAM BDC EFM CAM ∴∠+∠+∠=∠+∠,180,45EFM FEM M M ∠+∠+∠=∠=︒,3045180BDC DBM CAM ∴∠+∠+∠+︒+︒=︒,1803045105DBM CAM BDC ∴∠+∠+∠=︒--=︒,所以,DBM CAM BDC ∠+∠+∠的大小不变,是105.【点睛】此题考查旋转的性质,平行线的性质,三角形的外角定理,三角形的内角和,(2)中将角度和表示为三角形的外角是解题的关键.2.如图1,在平面直角坐标系中,点D (m ,m +8)在第二象限,点B (0,n )在y 轴正半轴上,作DA ⊥x 轴,垂足为A ,已知OA 比OB 的值大2,四边形AOBD 的面积为12.(1)求m 和n 的值.(2)如图2,C 为AO 的中点,DC 与AB 相交于点E ,AF ⊥BD ,垂足为F ,求证:AF =DE .(3)如图3,点G 在射线AD 上,且GA =GB ,H 为GB 延长线上一点,作∠HAN 交y 轴于点N ,且∠HAN =∠HBO ,求NB ﹣HB 的值.【答案】(1)42m n =-⎧⎨=⎩(2)详见解析;(3)NB ﹣FB =4(是定值),即当点H 在GB 的延长线上运动时,NB ﹣HB 的值不会发生变化.【解析】【分析】(1)由点D ,点B 的坐标和四边形AOBD 的面积为12,可列方程组,解方程组即可; (2)由(1)可知,AD =OA =4,OB =2,并可求出AB =BD =25,利用SAS 可证△DAC ≌△AOB ,并可得∠AEC =90°,利用三角形面积公式即可求证;(3)取OC =OB ,连接AC ,根据对称性可得∠ABC =∠ACB ,AB =AC ,证明△ABH ≌△CAN ,即可得到结论.【详解】解:(1)由题意()()218122m n n m m --=⎧⎪⎨++-=⎪⎩ 解得42m n =-⎧⎨=⎩; (2)如图2中,由(1)可知,A (﹣4,0),B (0,2),D (﹣4,4),∴AD =OA =4,OB =2,∴由勾股定理可得:AB =BD =5∵AC =OC =2,∴AC =OB ,∵∠DAC =∠AOB =90°,AD =OA ,∴△DAC ≌△AOB (SAS ),∴∠ADC =∠BAO ,∵∠ADC +∠ACD =90°,∴∠EAC +∠ACE =90°,∴∠AEC =90°,∵AF ⊥BD ,DE ⊥AB ,∴S △ADB =12•AB •AE =12•BD •AF , ∵AB =BD ,∴DE =AF .(3)解:如图,取OC =OB ,连接AC ,根据对称性可得∠ABC =∠ACB ,AB =AC ,∵AG =BG ,∴∠GAB =∠GBA ,∵G 为射线AD 上的一点,∴AG ∥y 轴,∴∠GAB =∠ABC ,∴∠ACB =∠EBA ,∴180°﹣∠GBA =180°﹣∠ACB ,即∠ABG =∠ACN ,∵∠GAN =∠GBO ,∴∠AGB =∠ANC ,在△ABG 与△ACN 中,ABH ACN AHB ANC AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩, ∴△ABH ≌△ACN (AAS ),∴BF =CN ,∴NB ﹣HB =NB ﹣CN =BC =2OB ,∵OB =2∴NB ﹣FB =2×2=4(是定值),即当点H 在GB 的延长线上运动时,NB ﹣HB 的值不会发生变化.【点睛】本题属于三角形综合题,全等三角形的判定和性质,解题的关键是相结合添加常用辅助线,构造图形解决问题,学会利用参数构建方程解决问题.3.已知OP 平分∠AOB ,∠DCE 的顶点C 在射线OP 上,射线CD 交射线OA 于点F ,射线CE 交射线OB 于点G .(1)如图1,若CD ⊥OA ,CE ⊥OB ,请直接写出线段CF 与CG 的数量关系;(2)如图2,若∠AOB=120º,∠DCE=∠AOC ,试判断线段CF 与CG 的数量关系,并说明理由.【答案】(1)CF=CG;(2)CF=CG,见解析【解析】【分析】(1)结论CF=CG,由角平分线性质定理即可判断.(2)结论:CF=CG,作CM⊥OA于M,CN⊥OB于N,证明△CMF≌△CNG,利用全等三角形的性质即可解决问题.【详解】解:(1)结论:CF=CG;证明:∵OP平分∠AOB,CF⊥OA,CG⊥OB,∴CF=CG(角平分线上的点到角两边的距离相等);(2)CF=CG.理由如下:如图,过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,∵OP平分∠AOB,CM⊥OA,CN⊥OB,∠AOB=120º,∴CM=CN(角平分线上的点到角两边的距离相等),∴∠AOC=∠BOC=60º(角平分线的性质),∵∠DCE=∠AOC,∴∠AOC=∠BOC=∠DCE=60º,∴∠MCO=90º-60º =30º,∠NCO=90º-60º =30º,∴∠MCN=30º+30º=60º,∴∠MCN=∠DCE,∵∠MCF=∠MCN-∠DCN,∠NCG=∠DCE-∠DCN,∴∠MCF=∠NCG,在△MCF和△NCG中,CMF CNGCM CNMCF NCG∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩∴△MCF≌△NCG(ASA),∴CF=CG(全等三角形对应边相等);【点睛】本题考查三角形综合题、角平分线的性质、全等三角形的判定和性质,解题的关键是掌握角平分线的性质的应用,熟练证明三角形全等.4.在ABC∆中,90,BAC AB AC∠=︒=,点D为直线BC上一动点(点D不与点,B C 重合),以AD为腰作等腰直角DAF∆,使90DAF∠=︒,连接CF.(1)观察猜想如图1,当点D在线段BC上时,①BC与CF的位置关系为__________;②CF DC BC、、之间的数量关系为___________(提示:可证DAB FAC∆≅∆)(2)数学思考如图2,当点D在线段CB的延长线上时,(1)中的①、②结论是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明;(3)拓展延伸如图3,当点D在线段BC的延长线时,将DAF∆沿线段DF翻折,使点A与点E重合,连接CE CF、,若4,22CD BC AC==CE的长.(提示:做AH BC⊥于H,做EM BD⊥于M)【答案】(1)①BC⊥CF;②BC=CF+DC;(2)C⊥CF成立;BC=CF+DC不成立,正确结论:DC=CF+BC,证明详见解析;(3)32【解析】【分析】(1)①根据正方形的性质得,∠BAC=∠DAF=90°,推出△DAB≌△FAC(SAS);②由正方形ADEF的性质可推出△DAB≌△FAC,根据全等三角形的性质可得到=CF BD,ACF ABD∠=∠,根据余角的性质即可得到结论;(2)根据正方形的性质得到∠BAC =∠DAF =90°,推出△DAB ≌△FAC ,根据全等三角形的性质以及等腰三角形的角的性质可得到结论;(3)过A 作AH BC ⊥ 于H ,过E 作EM BD ⊥ 于M ,证明ADH DEM △≌△ ,推出3EM DH == ,2DM AH == ,推出3CM EM == ,即可解决问题.【详解】(1)①正方形ADEF 中,AD AF =∵90BAC DAF ==︒∠∠∴BAD CAF ∠=∠在△DAB 与△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴()DAB FAC SAS △≌△∴B ACF ∠=∠∴90ACB ACF +=︒∠∠ ,即BC CF ⊥ ;②∵DAB FAC △≌△∴=CF BD∵BC BD CD =+∴BC CF CD =+(2)BC ⊥CF 成立;BC =CF +DC 不成立,正确结论:DC =CF +BC证明:∵△ABC 和△ADF 都是等腰直角三角形∴AB =AC ,AD =AF ,∠BAC =∠DAF =90°,∴∠BAD =∠CAF在△DAB 和△FAC 中AD AF BAD CAF AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△DAB ≌△FAC (SAS )∴∠ABD =∠ACF ,DB =CF∵∠BAC =90°,AB =AC ,∴∠ACB =∠ABC =45°∴∠ABD =180°-45°=135°∴∠ACF =∠ABD =135°∴∠BCF =∠ACF -∠ACB =135°-45°=90°,∴CF ⊥BC∵CD =DB +BC ,DB =CF∴DC =CF +BC(3)过A 作AH BC ⊥ 于H ,过E 作EM BD ⊥ 于M ,∵90BAC ∠=︒ ,22AB AV == ∴12422BC AB AH BH CH BC ======, ∴114CD BC == ∴3DH CH CD =+=∵四边形ADEF 是正方形∴90AD DE ADE ==︒,∠∵BC CF EM BD EN CF ⊥⊥⊥,,∴四边形CMEN 是矩形∴NE CM EM CN ==,∵90AHD ADC EMD ===︒∠∠∠∴90ADH EDM EDM DEM +=+=︒∠∠∠∠∴ADH DEM =∠∠在△ADH 和△DEM 中ADH DEM AHD DME AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴ADH DEM △≌△∴32EM DH DM AH ====,∴3CM EM ==∴2232CE EM CM =-=【点睛】本题考查了三角形的综合问题,掌握正方形的性质、全等三角形的性质以及判定、余角的性质、等腰三角形的角的性质是解题的关键.5.如图1,在ABC ∆中,90ACB ∠=,AC BC =,直线MN 经过点C ,且AD MN ⊥于点D ,BE MN ⊥于点E .易得DE AD BE =+(不需要证明).(1)当直线MN 绕点C 旋转到图2的位置时,其余条件不变,你认为上述结论是否成立?若成立,写出证明过程;若不成立,请写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系,并说明理由;(2)当直线MN 绕点C 旋转到图3的位置时,其余条件不变,请直接写出此时DE AD BE 、、之间的数量关系(不需要证明).【答案】(1) 不成立,DE=AD-BE ,理由见解析;(2) DE=BE-AD【解析】【分析】(1)DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE .由垂直的性质可得到∠CAD=∠BCE ,证得△ACD ≌△CBE ,得到AD=CE ,CD=BE ,即有DE=AD-BE ;(2)DE 、AD 、BE 之间的关系是DE=BE-AD .证明的方法与(1)一样.【详解】(1)不成立.DE 、AD 、BE 之间的数量关系是DE=AD-BE ,理由如下:如图,∵∠ACB=90°,BE ⊥CE ,AD ⊥CE ,AC CB =,∴∠ACD+∠CAD=90°,又∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE ,在△ACD 和△CBE 中,90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ACD ≌△CBE(AAS),∴AD=CE ,CD=BE ,∴DE=CE-CD=AD-BE ;(2)结论:DE=BE-AD .∵∠ACB=90°,BE ⊥CE ,AD ⊥CE ,AC CB =,∴∠ACD+∠CAD=90°,又∠ACD+∠BCE=90°,∴∠CAD=∠BCE ,在△ACD 和△CBE 中,90ADC CEB CAD BCE AC CB ∠=∠=︒⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴△ADC ≌△CEB(AAS),∴AD=CE ,DC=BE ,∴DE=CD-CE=BE-AD .【点睛】本题考查了旋转的性质、直角三角形全等的判定与性质,旋转前后两图形全等,对应点到旋转中心的距离相等,对应点与旋转中心的连线段所夹的角等于旋转角.二、八年级数学 轴对称解答题压轴题(难)6.如图,在ABC △中,已知AD 是BC 边上的中线,E 是AD 上一点,且BE AC =,延长BE 交AC 于点F ,求证:AF EF=.【答案】证明见解析【解析】【分析】延长AD 到点G ,使得AD DG =,连接BG ,结合D 是BC 的中点,易证△ADC 和△GDB 全等,利用全等三角形性质以及等量代换,得到△AEF 中的两个角相等,再根据等角对等边证得AE=EF.【详解】如图,延长AD到点G,延长AD到点G,使得AD DG=,连接BG .∵AD是BC边上的中线,∴DC DB=.在ADC和GDB△中,AD DGADC GDBDC DB=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩(对顶角相等),∴ADC≌GDB△(SAS).∴CAD G∠=∠,BG AC=.又BE AC=,∴BE BG=.∴BED G∠=∠.∵BED AEF∠=∠∴AEF CAD∠=∠,即AEF FAE∠=∠∴AF EF=.【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质,根据题意构造全等三角形是解答本题的关键.7.已知:三角形ABC中,∠A=90°,AB=AC,D为BC的中点.(1)如图,E、F分别是AB、AC上的点,且BE=AF,求证:△DEF为等腰直角三角形.(2)若E、F分别为AB,CA延长线上的点,仍有BE=AF,其他条件不变,那么,△DEF是否仍为等腰直角三角形?画出图形,写出结论不证明.【答案】(1)见解析;(2)见解析【解析】【分析】(1)先连接AD,构造全等三角形:△BED和△AFD.AD是等腰直角三角形ABC底边上的中线,所以有∠CAD=∠BAD=45°,AD=BD=CD,而∠B=∠C=45°,所以∠B=∠DAF,再加上BE=AF,AD=BD,可证出:△BED≌△AFD,从而得出DE=DF,∠BDE=∠ADF,从而得出∠EDF=90°,即△DEF是等腰直角三角形;(2)根据题意画出图形,连接AD,构造△DAF≌△DBE.得出FD=ED ,∠FDA=∠EDB,再算出∠EDF=90°,即可得出△DEF是等腰直角三角形.【详解】解:(1)连结AD ,∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD⊥BC ,BD=AD ,∴∠B=∠BAD=∠DAC=45°,又∵BE=AF ,∴△BDE≌△ADF(SAS),∴ED=FD ,∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDA+∠ADF=∠EDA+∠BDE=∠BDA=90°,∴△DEF为等腰直角三角形.(2)连结AD∵AB=AC ,∠BAC=90° ,D为BC中点 ,∴AD=BD ,AD⊥BC ,∴∠DAC=∠ABD=45° ,∴∠DAF=∠DBE=135°,又∵AF=BE ,∴△DAF≌△DBE(SAS),∴FD=ED ,∠FDA=∠EDB,∴∠EDF=∠EDB+∠FDB=∠FDA+∠FDB=∠ADB=90°.∴△DEF 为等腰直角三角形.【点睛】本题利用了等腰直角三角形底边上的中线平分顶角,并且等于底边的一半,还利用了全等三角形的判定和性质,及等腰直角三角形的判定.8.已知:AD 是ABC ∆的高,且BD CD =.(1)如图1,求证:BAD CAD ∠=∠;(2)如图2,点E 在AD 上,连接BE ,将ABE ∆沿BE 折叠得到'A BE ∆,'A B 与AC 相交于点F ,若BE=BC ,求BFC ∠的大小;(3)如图3,在(2)的条件下,连接EF ,过点C 作CG EF ⊥,交EF 的延长线于点G ,若10BF =,6EG =,求线段CF 的长.图1. 图2. 图3.【答案】(1)见解析,(2)BFC ∠=60(3)8=CF .【解析】【分析】(1)根据等腰三角形三线合一,易得AB=AC ,BAD CAD ∠=∠;(2)在图2中,连接CE ,可证得BCE ∆是等边三角形,60BEC ∠= ,30BED ∠=且由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠,可得BFC FAB ABF ∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 260BED =∠=;(3)连接CE ,过点E 分别作EH AB ⊥于点H ,EM BF ⊥于点M ,EN AC ⊥于点N ,可证得Rt BEM Rt CEN ∆≅∆,BM CN =,BF FM CF CN -=+,可得线段CF 的长.【详解】解:(1)证明:如图1,AD BC ⊥,BD CD =AB AC ∴=BAD CAD ∴∠=∠;图1(2)解:在图2中,连接CEED BC ⊥,BD CD = BE CE ∴= 又BE BC = BE CE BC ∴== BCE ∴∆是等边三角形60BEC ∴∠= 30BED ∴∠=由折叠性质可知1'2ABE A BE ABF ∠=∠=∠ 2ABF ABE ∴∠=∠ 由(1)可知2FAB BAE ∠=∠BFC FAB ABF ∴∠=∠+∠ ()2BAD ABE =∠+∠ 223060BED =∠=⨯=图2(3)解:连接CE ,过点E 分别作EH AB ⊥于点H ,EM BF ⊥于点M ,EN AC ⊥于点N'ABE A BE ∠=∠,BAD CAD ∠=∠ EM EH EN ∴==AFE BFE ∴∠=∠ 又60BFC ∠= 60AFE BFE ∴∠=∠=在Rt EFM ∆中,906030FEM ∠=-= 2EF FM ∴=令FM m =,则2EF m = 62FG EG EF m ∴=-=-同理12FN EF m ==,2124CF FG m ==- 在Rt BEM ∆和Rt CEN ∆中,EM EN =,BE CE = Rt BEM Rt CEN ∴∆≅∆ BM CN ∴=BF FM CF FN ∴-=+ 10124m m m ∴-=-+解得1m = 8CF ∴=图3故答案为(1)见解析,(2)BFC ∠= 60(3)8CF =.【点睛】本题考查翻折的性质,涉及角平分线的性质、等腰三角形的性质和判定、等边三角形的判定和性质、含30度角的直角三角形、全等三角形的判定和性质等知识点,属于较难的题型.9.如图,ABC 中,A ABC CB =∠∠,点D 在BC 所在的直线上,点E 在射线AC 上,且AD AE =,连接DE .(1)如图①,若35B C ∠=∠=︒,80BAD ∠=︒,求CDE ∠的度数;(2)如图②,若75ABC ACB ∠=∠=︒,18CDE ∠=︒,求BAD ∠的度数;(3)当点D 在直线BC 上(不与点B 、C 重合)运动时,试探究BAD ∠与CDE ∠的数量关系,并说明理由.【答案】(1)40°;(2)36°;(3)∠BAD与∠CDE的数量关系是2∠CDE=∠BAD.【解析】【分析】(1)根据等腰三角形的性质得到∠BAC=110°,根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论;(2)根据三角形的外角的性质得到∠E=75°-18°=57°,根据等腰三角形的性质和三角形的外角的性质即可得到结论;(3)设∠ABC=∠ACB=y°,∠ADE=∠AED=x°,∠CDE=α,∠BAD=β,分3种情况:①如图1,当点D在点B的左侧时,∠ADC=x°-α,②如图2,当点D在线段BC上时,∠ADC=y°+α,③如图3,当点D在点C右侧时,∠ADC=y°-α,根据这3种情况分别列方程组即,解方程组即可得到结论.【详解】(1)∵∠B=∠C=35°,∴∠BAC=110°,∵∠BAD=80°,∴∠DAE=30°,∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED=75°,∴∠CDE=∠AED-∠C=75°−35°=40°;(2)∵∠ACB=75°,∠CDE=18°,∴∠E=75°−18°=57°,∴∠ADE=∠AED=57°,∴∠ADC=39°,∵∠ABC=∠ADB+∠DAB=75°,∴∠BAD=36°.(3)设∠ABC=∠ACB=y°,∠ADE=∠AED=x°,∠CDE=α,∠BAD=β①如图1,当点D在点B的左侧时,∠ADC=x°﹣α∴y x ay x aβ⎧=+⎨=-+⎩①②,①-②得,2α﹣β=0,∴2α=β;②如图2,当点D在线段BC上时,∠ADC=y°+α∴y x ay a xβ⎧=+⎨+=+⎩①②,②-①得,α=β﹣α,∴2α=β;③如图3,当点D在点C右侧时,∠ADC=y°﹣α∴180180y a xx y aβ︒︒⎧-++=⎨++=⎩①②,②-①得,2α﹣β=0,∴2α=β.综上所述,∠BAD 与∠CDE 的数量关系是2∠CDE=∠BAD .【点睛】考核知识点:等腰三角形性质综合运用.熟练运用等腰三角形性质和三角形外角性质,分类讨论分析问题是关键.10.如图,在等边ABC ∆中,点D ,E 分别是AC ,AB 上的动点,且AE CD =,BD 交CE 于点P .(1)如图1,求证120BPC ︒∠=;(2)点M 是边BC 的中点,连接PA ,PM .①如图2,若点A ,P ,M 三点共线,则AP 与PM 的数量关系是 ; ②若点A ,P ,M 三点不共线,如图3,问①中的结论还成立吗?若成立,请给出证明,若不成立,请说明理由.【答案】(1)证明过程见详解;(2)①2AP PM =;②结论成立,证明见详解【解析】【分析】(1)先证明()AEC CDB SAS ≌,得出对应角相等,然后利用四边形的内角和和对顶角相等即可得出结论;(2)①2AP PM =;由等边三角形的性质和已知条件得出AM ⊥BC ,∠CAP =30°,可得PB =PC ,由∠BPC =120°和等腰三角形的性质可得∠PCB =30°,进而可得AP =PC ,由30°角的直角三角形的性质可得PC =2PM ,于是可得结论;②延长BP 至D ,使PD =PC ,连接AD 、CD ,根据SAS 可证△ACD ≌△BCP ,得出AD =BP ,∠ADC =∠BPC =120°,然后延长PM 至N ,使MN =MP ,连接CN ,易证△CMN ≌△BMP(SAS),可得CN=BP=AD,∠NCM=∠PBM,最后再根据SAS证明△ADP≌△NCP,即可证得结论.【详解】(1)证明:因为△ABC为等边三角形,所以60A ACB∠=∠=︒∵AC BCA ACBAE CD=⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩,∴()AEC CDB SAS≌,∴AEC CDB∠=∠,在四边形AEPD中,∵360AEC EPD PDA A∠+∠+∠+∠=︒,∴18060360AEC EPD CDB∠+∠+︒-∠+︒=︒,∴120EPD∠=︒,∴120BPC∠=︒;(2)①如图2,∵△ABC是等边三角形,点M是边BC的中点,∴∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°,AM⊥BC,∠CAP=12∠BAC=30°,∴PB=PC,∵∠BPC=120°,∴∠PBC=∠PCB=30°,∴PC=2PM,∠ACP=60°﹣30°=30°=∠CAP,∴AP=PC,∴AP=2PM;故答案为:2AP PM=;②AP=2PM成立,理由如下:延长BP至D,使PD=PC,连接AD、CD,如图4所示:则∠CPD=180°﹣∠BPC=60°,∴△PCD是等边三角形,∴CD=PD=PC,∠PDC=∠PCD=60°,∵△ABC是等边三角形,∴BC=AC,∠ACB=60°=∠PCD,∴∠BCP=∠ACD,∴△ACD≌△BCP(SAS),∴AD=BP,∠ADC=∠BPC=120°,∴∠ADP=120°﹣60°=60°,延长PM至N,使MN=MP,连接CN,∵点M是边BC的中点,∴CM=BM,∴△CMN≌△BMP(SAS),∴CN=BP=AD,∠NCM=∠PBM,∴CN∥BP,∴∠NCP+∠BPC=180°,∴∠NCP=60°=∠ADP,在△ADP和△NCP中,∵AD=NC,∠ADP=∠NCP,PD=PC,∴△ADP≌△NCP(SAS),∴AP=PN=2CM;【点睛】本题是三角形的综合题,主要考查了等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、含30°角的直角三角形的性质等知识;熟练掌握等边三角形的判定与性质,证明三角形全等是解题的关键.三、八年级数学整式的乘法与因式分解解答题压轴题(难)11.把几个图形拼成一个新的图形,再通过两种不同的方法计算同一个图形的面积,可以得到一个等式,也可以求出一些不规则图形的面积.例如,由图1,可得等式:(a+2b)(a+b)=a2+3ab+2b2(1)如图2,将几个面积不等的小正方形与小长方形拼成一个边长为a+b+c的正方形,试用不同的形式表示这个大正方形的面积,你能发现什么结论?请用等式表示出来.(2)利用(1)中所得到的结论,解决下面的问题:已知a+b+c=11,ab+bc+ac=38,求a2+b2+c2的值.(3)如图3,将两个边长分别为a和b的正方形拼在一起,B,C,G三点在同一直线上,连接BD和BF.若这两个正方形的边长满足a+b=10,ab=20,请求出阴影部分的面积.【答案】(1)(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;(2)45;(3)20.【解析】【分析】(1)此题根据面积的不同求解方法,可得到不同的表示方法.一种可以是3个正方形的面积和6个矩形的面积,种是大正方形的面积,可得等式(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac ;(2)利用(1)中的等式直接代入求得答案即可;(3)利用S 阴影=正方形ABCD 的面积+正方形ECGF 的面积-三角形BGF 的面积-三角形ABD 的面积求解.【详解】(1)(a+b+c )2=a 2+b 2+c 2+2ab+2bc+2ac ;(2)∵a+b+c=11,ab+bc+ac=38,∴a 2+b 2+c 2 =(a+b+c )2﹣2(ab+ac+bc )=121﹣76=45;(3)∵a+b=10,ab=20,∴S 阴影=a 2+b 2﹣12(a+b )•b ﹣12a 2 =12a 2+12b 2﹣12ab =12(a+b )2﹣32ab =12×102﹣32×20 =50﹣30=20.【点睛】本题考查了完全平方公式几何意义,解题的关键是注意图形的分割与拼合,会用不同的方法表示同一图形的面积.12.观察下列等式:22()()a b a b a b -=-+3322()()a b a b a ab b -=-++443223()()a b a b a a b ab b -=-+++55432234()()a b a b a a b a b ab b -=-++++完成下列问题:(1)n n a b -=___________(2)636261322222221+++⋯⋯++++= (结果用幂表示).(3)已知4,1a b ab -==,求33a b -.【答案】(1)(a-b )(a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1);(2)264-1;(3)76.【解析】【分析】(1)根据规律可得结果(a-b )(a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1);(2)利用(1)得出的规律先计算(2-1)63626132(2222221+++⋯⋯++++)即可得出结果;(3)利用(1)得出的规律变形,再用完全平方公式进行变形,变成只含a-b 及ab 的形式,整体代入计算即可得到结果.【详解】解:(1)()()22a b a b a b -=-+,()()3322a b a b a ab b -=-++,()()443223a b a b a a b ab b -=-+++, ()()55432234a b a b a a b a b ab b -=-++++, 由此规律可得:a n -b n =(a-b )(a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1),故答案是:(a-b )(a n-1+a n-2b+…+ab n-2+b n-1);(2)由(1)的规律可得(2-1)()636261322222221+++⋯⋯++++=264-1, ∴636261322222221+++⋯⋯++++=264-1.故答案是:264-1.(3)已知4,1a b ab -==,求33a b -.()()3322a b a b a ab b -=-++=()() [a b a b --2+3 a b ]∴33a b -=24431⨯+⨯()=76. 故答案是:76.【点睛】此题考查了多项式乘以多项式,弄清题中的规律是解本题的关键.13.阅读下列因式分解的过程,再回答所提出的问题:1+x +x (x +1)+x (x +1)2=(1+x )[1+x +x (x +1)]=(1+x )2(1+x )=(1+x )3(1)上述分解因式的方法是 ,共应用了 次.(2)若分解1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)2004,则需应用上述方法 次,结果是 .(3)分解因式:1+x +x (x +1)+x (x +1)2+…+ x (x +1)n (n 为正整数).【答案】(1)提公因式,两次;(2)2004次,(x +1)2005;(3) (x +1)1n +【解析】【分析】(1)根据已知材料直接回答即可;(2)利用已知材料进而提取公因式(1+x ),进而得出答案;(3)利用已知材料提取公因式进而得出答案.【详解】(1)上述分解因式的方法是:提公因式法,共应用了2次.故答案为提公因式法,2次;(2)1+x+x (x+1)+x (x+1)2+…+ x (x +1)2004,=(1+x )[1+x+x (1+x )+…+ x (x +1)2003]⋯=22003(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x +++++个=(1+x )2005,故分解1+x+x (x+1)+x (x+1)2+…+ x (x +1)2004,,则需应用上述方法2004次,结果是:(x+1)2005.(3)分解因式:1+x+x (x+1)+x (x+1)2…+x (x+1)n (n 为正整数)的结果是:(x+1)n+1.故答案为(x+1)n+1.【点睛】此题主要考查了提取公因式法分解因式,正确提取公因式是解题关键.14.任何一个正整数n 都可以进行这样的分解:n =p ×q (p 、q 是正整数,且p ≤q ).如果p ×q 在n 的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称p ×q 是n 的最佳分解,并且规定F (n )=p q .例如18=1×18=2×9=3×6,这时就有F (18)=3162=.请解答下列问题:(1)计算:F (24);(2)当n 为正整数时,求证:F (n 3+2n 2+n )=1n . 【答案】(1)23;(2) 1n . 【解析】分析:(1)根据最佳分解的意义,把24分解成两数的积,找出差的绝对值最小的两数,求比值即可;(2)根据(1)的求法,确定差的绝对值最小的两数的特点,然后根据要求变形即可. 详解:(1)∵24=1×24=2×12=3×8=4×6,其中4与6的差的绝对值最小,∴F(24)=46=23. (2)∵n 3+2n 2+n =n(n +1)2,其中n(n +1)与(n +1)的差的绝对值最小,且(n +1)≤n(n +1),∴F(n 3+2n 2+n)=()n 1n n 1++=1n .点睛: 本题主要考查实数的运算,理解最佳分解的定义,并将其转化为实数的运算是解题的关键. 15.由多项式的乘法:(x +a)(x +b)=x 2+(a +b)x +ab ,将该式从右到左使用,即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式:x 2+(a +b)x +ab =(x +a)(x +b).实例 分解因式:x 2+5x +6=x 2+(2+3)x +2×3=(x +2)(x +3).(1)尝试 分解因式:x 2+6x +8;(2)应用 请用上述方法解方程:x 2-3x -4=0.【答案】(1) (x+2)(x +4);(2) x =4或x =-1.【解析】【分析】(1)类比题干因式分解方法求解可得;(2)利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得.【详解】(1)原式=(x+2)(x +4);(2)x 2-3x -4=(x -4)(x +1)=0,所以x -4=0或x +1=0,即x =4或x =-1.【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力,熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法:直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法,结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键.四、八年级数学分式解答题压轴题(难)16.阅读下面内容:我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》,聪明的你可以发现:当0a >,0b >时,∵2()20a b a ab b -=-+≥,∴2a b ab +≥,当且仅当a b =时取等号.请利用上述结论解决以下问题:(1)当0x >时,1x x +的最小值为_______;当0x <时,1x x+的最大值为__________. (2)当0x >时,求2316x x y x++=的最小值. (3)如图,四边形ABCD 的对角线AC ,BD 相交于点O ,△AOB 、△COD 的面积分别为4和9,求四边形ABCD 面积的最小值.【答案】(1)2,-2;(2)11;(3)25【解析】【分析】(1)当x >0时,按照公式a=b 时取等号)来计算即可;x <0时,由于-x >0,-1x>0,则也可以按照公式a=b 时取等号)来计算; (2)将2316x x y x++=的分子分别除以分母,展开,将含x 的项用题中所给公式求得最小值,再加上常数即可;(3)设S △BOC =x ,已知S △AOB =4,S △COD =9,则由等高三角形可知:S △BOC :S △COD =S △AOB :S △AOD ,用含x 的式子表示出S △AOD ,四边形ABCD 的面积用含x 的代数式表示出来,再按照题中所给公式求得最小值,加上常数即可.【详解】解:(1)当x >0时,12x x +≥= 当x <0时,11x x x x ⎛⎫+=--- ⎪⎝⎭∵12x x --≥= ∴12x x ⎛⎫---≤- ⎪⎝⎭∴当0x >时,1x x +的最小值为2;当0x <时,1x x+的最大值为-2; (2)由2316163x x y x x x++==++ ∵x >0,∴163311y x x =++≥= 当16x x= 时,最小值为11; (3)设S △BOC =x ,已知S △AOB =4,S △COD =9则由等高三角形可知:S △BOC :S △COD =S △AOB :S △AOD∴x :9=4:S △AOD∴:S △AOD =36x∴四边形ABCD 面积=4+9+x+361325x ≥+= 当且仅当x=6时取等号,即四边形ABCD 面积的最小值为25.【点睛】本题考查了配方法在最值问题中的应用,同时本题还考查了分式化简和等高三角形的性质,本题难度中等略大.17.阅读下面材料并解答问题 材料:将分式322231x x x x --++-+拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式. 解:由分母为21x -+,可设()322231()x x x x x a b --++=-+++,则323223x x x x ax x a b --++=--+++∵对任意x 上述等式均成立,∴2a =且3a b +=,∴2a =,1b = ∴()2322221(2)12312111x x x x x x x x x -+++--++==++-+-+-+ 这样,分式322231x x x x --++-+被拆分成了一个整式2x +与一个分式211x -+的和 解答:(1)将分式371x x +-拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式 (2)求出422681x x x --+-+的最小值. 【答案】(1)3+101x -;(2)8 【解析】【分析】(1)直接把分子变形为3(x-1)+10解答即可;(2)由分母为-x 2+1,可设-x 4-6x 2+8=(-x 2+1)(x 2+a)+b ,按照题意,求出a 和b 的值,即可把分式422681x x x --+-+拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和的形式. 【详解】解:(1)371x x +-=33101x x -+- =()31101x x -+- =3+101x -; (2)由分母为21x -+,可设4268x x --+()()221x x a b =-+++,则4268x x --+ ()()221x x a b =-+++422x ax x a b =--+++42(1)()x a x a b =---++.∵对于任意的x ,上述等式均成立,∴168a a b -=⎧⎨+=⎩解得71a b =⎧⎨=⎩ ∴422681x x x --+-+ ()()2221711x x x -+++=-+ ()()222217111x x x x -++=+-+-+ 22171x x =++-+. ∴当x=0时,22171x x ++-+取得最小值8,即 422681x x x --+-+的最小值是8. 【点睛】 本题主要考查分式的混合运算,解答本题的关键是理解阅读材料中的方法,并能加以正确应用.18.小明和小强两名运动爱好者周末相约到滨江大道进行跑步锻炼.(1)周六早上6点,小明和小强同时从家出发,分别骑自行车和步行到离家距离分别为4500米和1200米的滨江大道入口汇合,结果同时到达.若小明每分钟比小强多行220米,求小明和小强的速度分别是多少米/分?(2)两人到达滨江大道后约定先跑1000米再休息.小强的跑步速度是小明跑步速度的m 倍,两人在同起点,同时出发,结果小强先到目的地n 分钟.①当3m =,6n =时,求小强跑了多少分钟?②小明的跑步速度为_______米/分(直接用含m n ,的式子表示).【答案】(1)小强的速度为80米/分,小明的速度为300米/分;(2)①小强跑的时间为3分;②1000(1)m mn-. 【解析】【分析】 (1)设小强的速度为x 米/分,则小明的速度为(x+220)米/分,根据路程除以速度等于时间得到方程,解方程即可得到答案;(2)①设小明的速度为y 米/分,由m =3,n =6,根据小明的时间-小强的时间=6列方程解答;②根据路程一定,时间与速度成反比,可求小强的时间进而求出小明的时间,再根据速度=路程除以时间得到答案.【详解】(1)设小强的速度为x 米/分,则小明的速度为(x+220)米/分, 根据题意得:1200x =4500220x +. 解得:x =80. 经检验,x =80是原方程的根,且符合题意.∴x+220=300.答:小强的速度为80米/分,小明的速度为300米/分.(2)①设小明的速度为y 米/分,∵m =3,n =6, ∴1000100063y y -=,解之得10009y =. 经检验,10009y =是原方程的解,且符合题意, ∴小强跑的时间为:10001000(3)39÷⨯=(分) ②小强跑的时间:1n m -分钟,小明跑的时间:11n mn n m m +=--分钟, 小明的跑步速度为: 1000(1)10001mn m m mn -÷=-分. 故答案为:1000(1)m mn-. 【点睛】 此题考查分式方程的应用,正确理解题意根据路程、时间、速度三者的关系列方程解答是解题的关键.19.阅读下面的材料,并解答后面的问题 材料:将分式23411x x x +-+拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式. 解:由分母为1x +,可设2341(1)(3)x x x x a b +-=+++.因为223(1)(3)333(3)x x a b x ax x a b x a x a b +++=++++=++++,所以223413(3)x x x a x a b +-=++++.所以341a a b +=⎧⎨+=-⎩,解之,得12a b =⎧⎨=-⎩. 所以2341(1)(31)211x x x x x x +-++-=++ (1)(31)2231111x x x x x x ++=-=+-+++ 这样,分式23411x x x +-+就被拆分成了一个整式31x +与一个分式21x +的差的形式. 问题:(1)请将分式22361x x x ++-拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式;(2)请将分式4225932x x x +-+拆分成一个整式与一个分式(分子为整数)的和(差)的形式.【答案】(1)2236112511x x x x x ++=++--;(2)4222259315122x x x x x +-=--++. 【解析】【分析】(1)仿照例题将2236x x ++分解为(1)(2)x x a b -++,求出a 、b 的值即可得到答案;(2)将42593x x +-分解为22(2)(5)x x m n +++,得到10923m m n +=⎧⎨+=-⎩,求出m 、n ,整理后即可得到答案.【详解】(1)由分母为x-1,可设2236x x ++=(1)(2)x x a b -++,∵(1)(2)x x a b -++=22222(2)()x ax x a b x a x b a +--+=+-+-,∴2236x x ++22(2)()x a x b a =+-+- ∴236a b a -=⎧⎨-=⎩,得511a b =⎧⎨=⎩, ∴22361x x x ++-=(1)(25)111x x x -++-=(1)(25)1111x x x x -++--=11251x x ++-; (2)由分母为22x +,可设42593x x +-=22(2)(5)x x m n +++,∵22(2)(5)x x m n +++=4224251025(10)(2)m x mx x m x m n n x +++++=+++ ∴42593x x +-=42(10)(2)5x m n x m ++++, ∴10923m m n +=⎧⎨+=-⎩,得11m n =-⎧⎨=-⎩,∴4225932x x x +-+=222(2)(51)12x x x +--+=221512x x --+. 【点睛】此题是仿照例题解题的形式解题,正确理解题意,明确例题中的计算的方法是解题的关键.20.小明家准备装修一套新住房,若甲、乙两个装饰公司,合做需6周完成,需工钱5.2万元;若甲公司单独做4周后,剩下的由乙公司来做,还需9周才能完成,需工钱4.8万元,若只选一个公司单独完成,从节约开支角度考虑,小明家是选甲公司、还是乙公司请你说明理由.【答案】从节约开支角度考虑,应选乙公司单独完成【解析】试题分析:需先算出甲乙两公司独做完成的周数.等量关系为:甲6周的工作量+乙6周的工作量=1;甲4周的工作量+乙9周的工作量=1;还需算出甲乙两公司独做需付的费用.等量关系为:甲做6周所需钱数+乙做6周所需钱数=5.2;甲做4周所需钱数+乙做9周所需钱数=4.8.试题解析:解:设甲公司单独完成需x 周,需要工钱a 万元,乙公司单独完成需y 周,需要工钱b 万元.依题意得:661491x y x y⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,解得:1015x y =⎧⎨=⎩. 经检验:1015x y =⎧⎨=⎩是方程组的根,且符合题意. 又6() 5.2101549 4.81015a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪⨯+⨯=⎪⎩,解得:64a b =⎧⎨=⎩. 即甲公司单独完成需工钱6万元,乙公司单独完成需工钱4万元.答:从节约开支角度考虑,应选乙公司单独完成.点睛:本题主要考查分式的方程的应用,根据题干所给的等量关系求出两公司单独完成所需时间和工钱,然后比较应选择哪个公司.五、八年级数学三角形解答题压轴题(难)21.(1)如图1.在△ABC 中,∠B =60°,∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ,则∠O = °,(2)如图2,若∠B =α,其他条件与(1)相同,请用含α的代数式表示∠O 的大小; (3)如图3,若∠B =α,11,PAC DAC PCA E n nAC ∠=∠∠=∠,则∠P = (用含α的代数式表示).【答案】(1)∠O =60°;(2)90°-12α;(3)11(1)180P n nα∠=-⨯-【解析】【分析】 (1)由题意利用角平分线的性质和三角形内角和为180°进行分析求解;(2)根据题意设∠BAC=β,∠ACB=γ,则α+β+γ=180°,利用角平分线性质和外角定义找等量关系,用含α的代数式表示∠O 的大小;(3)利用(2)的条件可知n=2时,∠P=111-18022α︒⨯-(),再将2替换成n 即可分析求解.【详解】解:(1)因为∠DAC 和∠ACE 的角平分线交于点O ,且∠B=60°,所以18060120OAC OCA οοο∠+∠=-=,有∠O=180120οο-=60°.(2)设∠BAC=β,∠ACB=γ,则α+β+γ=180°∵∠ACE 是△ABC 的外角,∴∠ACE=∠B+∠BAC=α+β∵CO 平分∠ACE 11()22ACO ACE αβ∴∠=∠=+ 同理可得:1()2CAO αγ∠=+ ∵∠O+∠ACO+∠CAO=180°, ∴11180180()()22O ACO CAO αβαγ︒︒∠=-∠-∠=-+-+ 1180()2αβαγ︒=-+++111180()1809090222αβααα︒︒︒︒=-++=--=-; (3)∵∠B=α,11,PAC DAC PCA E n nAC ∠=∠∠=∠, 由(2)可知n=2时,有∠P=1180902α︒︒--=111-18022α︒⨯-(),将2替换成n 即可, ∴11(1)180P n nα∠=-⨯-.【点睛】本题考查用代数式表示角,熟练掌握并综合利用角平分线定义和三角形内角和为180°以及等量替换技巧与数形结合思维分析是解题的关键.22.如图,在△ABC 中,记∠A=x 度,回答下列问题:(1)图中共有三角形个.(2)若 BD,CE 为△ABC 的角平分线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式表示),并证明你的结论.(3)若 BD,CE 为△ABC 的高线,则∠BHC= 度(结果用含 x 的代数式表示),并证明你的结论.【答案】(1)图中共有三角形 8 个;(2)(90+12x ) ;(3)(180-x).【解析】【分析】本题考查的是三角形内角和定理,分析题意观察图形,根据三角形内角和为180°可知∠ABC=180-2x,根据角平分线的性质可以求出∠BHC,根据高线的性质可知∠CDB=∠BEC=90º,再次利用三角形内角和定理可以求答案【详解】解:(1)图中共有三角形 8 个;(2)∠BHC=(90+ 12x )度.∵BD,CE 分别是∠ABC,∠ACB 的平分线,∴∠BHC=180º-∠HBC-∠HCB=180º-12(∠ABC+∠ACB)= (90+12x )度.(3)∠BHC=(180-x)度,∵BD,CE 为△ABC 的高线,∴BD⊥AC,CE⊥AB,∴∠CDB=∠BEC=90º,∵∠BEC+∠ABC+∠BCH=180°∠CDB+∠ACB+∠CBH=180°∴∠BEC+∠ABC+∠BCH+∠CDB+∠ACB+∠CBH=360°∠ABC+∠BCH+∠ACB+∠CBH=180°。
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八年级数学下册《分式》综合讲解 姓名: 班级: 学校:
一、选择题:(每小题2分,共20分)
1.下列各式:
2b a -,x x 3+,πy +5,()1432+x ,b a b a -+,)(1y x m -中,是分式的共有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
2.下列判断中,正确的是( )
A .分式的分子中一定含有字母
B .当B =0时,分式
B
A 无意义 C .当A =0时,分式
B A 的值为0(A 、B 为整式) D .分数一定是分式
3.下列各式正确的是( )
A .11++=++b a x b x a
B .22x y x y =
C .()0,≠=a ma na m n
D .a
m a n m n --= 4.下列各分式中,最简分式是( )
A .()()y x y x +-8534
B .y x x y +-22
C .222
2xy y x y x ++ D .()
222y x y x +- 5.化简2
293m m m --的结果是( ) A.3+m m B.3+-m m C.3-m m D.m
m -3 6.若把分式
xy y x 2+中的x 和y 都扩大3倍,那么分式的值( )
A .扩大3倍
B .不变
C .缩小3倍
D .缩小6倍
7.A 、B 两地相距48千米,一艘轮船从A 地顺流航行至B 地,又立即从B 地逆
流返回A 地,共用去9小时,已知水流速度为4千米/时,若设该轮船在静水
中的速度为x 千米/时,则可列方程( )
A .9448448=-++x x
B .9448448=-++x
x C .9448=+x D .94
96496=-++x x 8.已知230.5
x
y z ==,则32x y z x y z +--+的值是( ) A .17 B.7 C.1 D.13
9.一轮船从A 地到B 地需7天,而从B 地到A 地只需5天,则一竹排从B 地漂到A 地需
要的天数是( )
A .12 B.35 C.24 D.47
10.已知226a b ab +=,且0a b >>,则a b a b
+-的值为( ) A .2 B .2± C .2 D .2±
二、填空题:(每小题3分,共24分)
11.分式392--x x 当x _________时分式的值为零,当x ________时,分式x
x 2121-+有意义.
12.利用分式的基本性质填空:
(1)())0(,10 53≠=a axy xy a (2)()
1422=-+a a 13.分式方程1
111112-=+--x x x 去分母时,两边都乘以 .
14.要使2
415--x x 与的值相等,则x =__________. 15.计算:=+-+3
932a a a __________. 16. 若关于x 的分式方程3
232
-=--x m x x 无解,则m 的值为__________. 17.若分式2
31-+x x 的值为负数,则x 的取值范围是__________. 18. 已知2242141
x y y x y y +-=-+-,则的24y y x ++值为______. 三、解答题:(共56分)
19.计算:
(1)11123x x x
++ (2)3xy 2÷x y 26 20. 计算: ()332
2232n m n m --⋅ 21. 计算
(1)168422+--x x x x (2)m
n n n m m m n n m -+-+--2 22. 先化简,后求值:
222222()()12a a a a a b a ab b a b a b -÷-+--++-,其中2,33
a b ==- 23. 解下列分式方程.
(1)x
x 3121=- (2)1412112-=-++x x x 24. 计算:
(1)1111-÷⎪⎭⎫ ⎝⎛
--x x x (2)4
214121111x x x x ++++++-
25.已知x 为整数,且9
18232322-++-++x x x x 为整数,求所有符合条件的x 的值. 26.先阅读下面一段文字,然后解答问题:
一个批发兼零售的文具店规定:凡一次购买铅笔301支以上(包括301支)可以
按批发价付款;购买300支以下(包括300支)只能按零售价付款.现有学生小
王购买铅笔,如果给初三年级学生每人买1支,则只能按零售价付款,需用()
12-m 元,(m 为正整数,且12-m >100)如果多买60支,则可按批发价付款,同样需
用()12-m 元.设初三年级共有x 名学生,则①x 的取值范围是 ;
②铅笔的零售价每支应为 元;③批发价每支应为 元.(用含x 、m 的代数式表示).
27.某工人原计划在规定时间内恰好加工1500个零件,改进了工具和操作方法
后,工作效率提高为原来的2倍,因此加工1500个零件时,比原计划提前了
5小时,问原计划每小时加工多少个零件?
28. A 、B 两地相距20 km ,甲骑车自A 地出发向B 地方向行进30分钟后,乙骑
车自B 地出发,以每小时比甲快2倍的速度向A 地驶去,两车在距B 地12 km 的
C 地相遇,求甲、乙两人的车速.
答案
一、选择题
1.C 2.B 3.C 4.C 5.B 6.C 7.B 8.A 9.B 10.A
二、填空题(每小题3分,共24分)
11.=-3、≠1
2
12.26a 、2a - 13.(1)(1)x x +- 14.6 15.3a -
16
. 17.-1<x <23
18.2(提示:设24y y m +=,原方程变形为211
x m x m -=--,方程两边同时乘以(1)(1)x m --,得(1)(1)(2)x m x m -=--,化简得m x +=2,即24y y m ++=2.
三、解答题(共56分)
19.(1)原式=632666x x x ++=116x
(2)原式=2236x xy y =212x 20.原式=243343m n m n -=1712m n -
21.(1)原式=
2(4)(4)x x x --=4x x - (2)原式=2m n m n m n m n m n -++----=2m n m n m n -++--=m m n -- 22.原式=22
222
()()[]1()()()a a a a b a a b a b a b a b a b --÷-+--+-- =2222()[]1()()()a ab a a a b a a b a b a b ----÷+-+-=2()()1()ab a b a b a b ab
-+-÷+-- =a b a b a b a b +-+--=2a a b
- 当2,33a b ==-时,原式=2232(3)3⨯
--=4
3113=411 23.(1)方程两边同时乘以3(2)x x -,得32x x =-,解得x =-1,把x =-1代入3(2)x x -,3(2)x x -≠0,∴原方程的解,∴原方程的解是x =-1.
(2)方程两边同乘以最简公分母(1)(1)x x +-,得4)1(2)1(=++-x x ,解这个整式方程得,1=x ,检验:把1=x 代入最简公分母(1)(1)x x +-,(1)(1)x x +-=0,∴1=x 不是原方程的解,应舍去,∴原方程无解.
24.(1)原式=1111x x x -⎛⎫+
⎪-⎝⎭=1111x x x x -+--=11x x x x --=1 (2)原式=241124(1)(1)(1)(1)11x x x x x x x x +-+++-+-+++ =224224111x x x
++-++=22222242(1)2(1)4(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x +-++-++-+ =2222422224(1)(1)1x x x x x ++-+-++=444411x x
+-+=4444444(1)4(1)(1)(1)(1)(1)x x x x x x +-+-++- =4484(1)4(1)1x x x ++--=881x
- 25.原式=222218339x x x x +-++--=22(3)2(3)(218)9
x x x x --+++- 2269x x +-=2(3)(3)(3)x x x ++-=23x -,∵918232322-++-++x x x x 是整数,∴23
x -是整数, ∴3x -的值可能是±1或±2,分别解得x =4,x =2,x =5,x =1,符合条件的x 可以是1、2、4、5.
26.①241≤x ≤300;②x m 12-,60
12+-x m 27.设原计划每小时加工x 个零件,根据题意得:1500150052x x -=,解得x =150,经检验,x =150是原方程的根,答:设原计划每小时加工150个零件.
28.设甲速为xkm/h ,乙速为3xkm/h ,则有
x x x 31260301220=--,解之得8=x ,经检验,x =8是原方程的根,答:甲速为8km/h ,乙速为24km/h.。