第五章线性定常系统的设计与综合

Q
1 2
)为能观测。
第五章 线性定常系统的设计与综合
3） 研究综合问题的思路 1 建立可综合的条件： 建立相对于给定的受控系统和给定的期望性能指标，
使相应的控制存在，并实现综合目标所应满足的条件。 2 建立起相应的用以综合控制规律的算法。 利用这些算法，对满足可综合条件的问题，确定出
满足要求的控制规律，即确定出相应的状态反馈和输出 反馈矩阵。
两者比较：状态反馈效果较好；
输出反馈实现较方便。
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2. 从输出到状态矢量导数 x&反馈 从系统输出到状态矢量导数 x&的线性反馈
形式在状态观测器中获得应用。
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第五章 线性定常系统的设计与综合
闭环系统的传递函数阵
WG (s) C(SI A GC)1 B
系统的运动稳定性分析。
李雅普诺夫第一、第二法；李雅普诺夫意义下的 稳定性分析。
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（2）系统综合
1）综合问题 给定系统状态空间描述
x Ax Bu,
x(0) x0
t0
(1)
y Cx
A、B、C均为常阵且给定。
再给出所期望的性能指标：
1）对系统状态运动期望形式所规定的某些特征量。
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二 输出反馈 输出反馈，就是将系统的输出量回馈到系统的 输入端，与参考输入一起，对受控对象进行控 制。在现代控制理论中，带输出反馈结构的控 制系统，根据反馈信号回馈点的位置不同，有 两种基本结构。 一种是反馈信号回馈至输入矩阵B的后端， 或者说，回馈点在状态微分处。图5-2为多输 入多输出系统输出反馈的这种结构型式。另一 种是反馈信号回馈至输入距阵B的前端，或者 说，回馈点在参考信号的入口处。图5-3为多 输入多输出系统输出反馈的这种结构型式。
性能，而现代控制中除了利用输出反馈以外， 主要采用内部状态反馈。采用状态反馈可以
为系统控制提供更多的信息反馈，不但可以实 现闭环系统极点的任意配置，而且还可以实现 系统解耦和形成最优控制规律。
受控系统
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0 ( A, B,C)
x Ax Bv
y
Cx
Dv
线性反馈规律 v u Kx
通过输出反馈构成的闭环系统为(D=0)
x& ( A BHC)x Bv
y
Cx
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闭环传递函数矩阵 WH C(sI A BHC )1 B
或
WH W0 (s)( I HW0 (s))1
状态反馈和输出反馈对比
输出反馈中的HC与状态反馈中的K相当。但由 于m＜n，所以H可供选择的自由度远比K小，因 而输出反馈只能相当于一种部分状态反馈。只有 当C＝I时，HC＝K，才能等同于全状态反馈。 因此，在不增加补偿器的条件下，输出反馈的效 果显然不如状态反馈系统好。但输出反馈在技术 实现上的方便性则是其突出优点。
Xˆ是X的重构状态，阶数小于等于X的阶数。
2、带有补偿器的输出反馈系统
方块图：
u
补偿器 v B x x C
y
Baidu Nhomakorabea
A
闭环系统阶数为受控系统与补偿器阶数之和。 补偿器阶数<受控系统阶数.
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五. 状态反馈的能控性和能观测性
线性定常系统方程为 x Ax Bu
y Cx
引入状态反馈
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二 状态反馈方式的极点配置 １ 定理 用状态反馈任意配置系统闭环极点 的充要条件是系统可控。
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设期望的状态反馈增益矩阵为 K [k1 k2 k3 ] 并使 | sI A BK |和期望的特征多项式相等，可得
从式(5-21)看出，通过选择矩阵G也能改变闭环系 统的特征值，从而影响系统的特性。
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三 对两种反馈形式的讨论 1）两种形式反馈的重要特点是，反馈的引入并不增加新
的状态变量，即闭环系统和开环系统具有相同的阶数。 2）两种反馈闭环系统均能保持反馈引入前的能控性，但
是对于状态能观测性则不然，状态反馈的引入不一定保 持原系统的能观测性，而输出反馈的引入，必能保持原 系统的能观测性。
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5.1 线性定常系统的反馈
与经典控制理论一样，现代控制系统中 仍然主要采用反馈控制结构------在抗干扰性 或鲁棒性能方面，反馈闭环系统的性能都远 优于非反馈或开环系统。
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反馈的两种基本形式 状态反馈 输出反馈
经典控制理论中主要采用输出反馈以改善系统
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四 反馈形式的改进形
带 有 观 测 器 的 状 态 反 馈系 统 带 有 补 偿 器 的 输 出 反 馈系 统
1、带有观测器的状态反馈系统
设法由输出y和控制v把系统的状态x构造出来，以实现状
态反馈。
方块图：
u v
B
x
x
C
y
A
状态观测器 xˆ K
y
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现代控制理论研究的两大课题
控制系统的分析(System Analysis)和综合设计 (System Synthesis)是系统研究的两大课题。 （1）系统分析 在建立数学模型的基础上分析系统的各种性能, 如系统稳定性，能观性，能控性等及其与系统的 结构、参数和外部作用之间的关系。 （2）系统综合 系统综合的任务是设计系统控制器，寻求改善 系统性能的各种控制规律，以保证系统的各项 性能指标要求都得到满足。
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（1） 系统 分析
线性系统的状态空间描述及求解
状态空间的基本概念；动态方程模型的建立；线性 变换；动态方程的标准型,状态转移矩阵及其性质； 状态方程的求解。
线性系统的可控性和可观性。
可控性和可观性的概念；可控性和可观性判据；线 性系统结构分解；离散系统可控性和可观性研究。
（4）以便一个多输入—多输出系统实现“一个输入只控制一个输出”作 为
性能指标，相应的综合问题称为解耦控制问题。
优化型性能指标常取一个相对于状态 x 和控制 u 的二次型积分性能指标，
其形式为：
J (u()) (xT Qx uT Ru)dt 0
R 正定对称常阵;
Q
正定对称或半正定对称
常阵且(
A,
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定理 输出反馈不改变原受控系统的能控性和能 观测性。
证明 因为输出反馈中的HC等效于状态反馈中的K,那么输 出反馈也保持了受控系统的能控件不变。关于能观测性不 变，可由能观测性判别矩阵判别。
C
Vo
CA M
CAn1
C
Voh
C( A BHC) M
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２ 爱克曼公式(Ackermann’s Formula) －－－确定状态反馈增益矩阵K
对任一正整数n，有
K [0 0 0 1][ B AB An1B ]1 ( A)
为用于确定状态反馈增益矩阵K的爱克曼方程。
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第五章 线性定常系统的设计与综合
本章内容
1.状态空间设计法的基本思路、线性反馈控制系 统的基本结构及特性 2. 状态反馈的极点配置和输出反馈的极点配置 3. 系统解耦 4. 状态观测器
观测器基本概念及其意义； 全维状态观测器的设计方法； 降维状态观测器的设计方法。 5. 带状态观测器的状态反馈系统设计方法
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图5-2 多输人-多输出系统输出反馈至状态变量微分处 图5-3 多输人-多输出系统输出反馈至输入处
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值得注意的是，从结构图看，这两种结构之间可通过 等效变换进行相互转换。例如，可将图5-2中的反馈信 号回馈点移到输入矩陈B的前端，如图5-4所示。这样， 图5-3和图5-4具有相同的结构型式。只是，在图5-4中 的反馈矩阵为H／B，而在图5-3中的为H。但是，由于 多输入—多输出系统中，B和H均是矩阵，而二个矩阵 相除(或相乘)不一定有解。因此，图5-2所表示的系统 与图5-4所表示的系统，在实际的工程系统中，不一定 具有等效性。
图5-2
图5-4
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1. 输出反馈至输入处
方块图：
u v
B
x
x
C
y
A
H
通过输出反馈构成的闭环系统为(D≠0)
x Ax B(V Hy) [ A BH (I DH )1C]x [B BH (I DH )1 D]V y (I DH )1Cx (I DH )1 DV
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例:考虑如下线性定常系统
x Ax Bu
0
1
0
0
式中 A 0
0
1 , B 0
1 5 6
1
利用状态反馈控制 u Kx ，希望该系统的闭环
极点为s = -2±j4和s = -10。试确定状态反馈增益矩 阵K。
u V Kx
则有
x (A BK)x BV
y Cx
（6） （7） （8）
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定理 线性定常系统（6）引入状态反馈后，成为系统（8），不 改变系统的能控性。
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极大）值。
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常用非优化型性能指标：
（1）以渐近稳定性为性能指标，相应的综合问题称为镇定问题。 （2）以一组期望的闭环系统极点作为性能指标，相应的综合问题为极点
配置问题。系统运动的形态，即动态性能（如超调量、过渡过程）
主要由极点的位置所决定。
（3）以使系统的输出 y 无静差地跟踪一个外部信号 y0 (t)作为性能指 标，相应的综合问题为跟踪问题。
（3）
其中：k 为 p×n常阵，状态反馈矩阵。
F为 p×q常阵，输出反馈矩阵。
v—参考输入向量。 2） 性能指标的类型
性能指标 非优化型性能指标：是一类不等式型的指标，即只要性能达
到或好于期望指标就算实现了综合目标。
优化型性能指标： 是一类极值型指标，综合的目的是要使
性能指标在所有可能值中取为极小（或
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首先需检验该系统的能控性矩阵。由于能控性
矩阵为：
0 Q [ B AB A2 B ] 0
1
0 1
1
6
6 31
得detQ = -1。因此，rankQ = 3。该系统是状态完 全能控的，可任意配置极点。
期望的特征方程为： sI A s3 14s2 60s 200
通过状态反馈构成闭环系统
x ( A BK)x Bu
y
(C
DK
)x
Du
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一般D=0，可化简为
x ( A BK)x Bu
y
Cx
闭环传递函数矩阵为
Wk (s) C(sI A BK )1 B
状态反馈矩阵K的引入，并不增加系统的维 数，但可通过K的选择自由地改变闭环系统 的特征值，从而使系统获得所要求的性能。
2）对其运动过程所规定的某种期望形式或需取极小（或极大）
值的一个性能函数。
综合：寻找一个控制作用 u ，使得在其作用下，系统运动的行为满足所 给出的期望性能指标。
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一般 u 依赖于系统的实际响应。
形式为： u = - k x + v
状态反馈控制
（2）
u=-Fy+v
输出反馈控制
C
(
A
BHC
)n
1
可以把反馈后的能观矩阵看作经初等变换的结果，而初 等变换不改变矩阵的秩，因此能观测性保持不变。
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5.2 SISO反馈系统的极点配置
一、问题的提出：
1、极点对系统特性的影响 2、极点配置问题：
通过状态反馈矩阵K的选择，使闭环系统(A- BK,B,C) 的极点，即(A-BK)的特征值恰好处于所希望的一组极 点位置上。 3、希望极点选取的原则 1）n维控制系统有n个希望极点； 2）希望极点是物理上可实现的，即为实数或共轭复数对； 3）希望极点的位置的选取，需考虑它们对系统品质的影响， 及与零点分布状况的关系。 4）希望极点的选取还须考虑抗干扰和低灵敏度方面的要求。