高二新课程数学《2.1.1合情推理》导学案(新人教A版)选修2-2
2020年人教版A版数学选修2-2全册完整讲义学案(教师用书)
第一章导数及其应用
§1.1变化率与导数
§1.1.1变化率问题
§1.1.2导数的概念
§1.1.3导数的几何意义
§1.2导数的计算
§1.2.1几个常用函数的导数
§1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) §1.2.2基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二) §1.3导数在研究函数中的应用
§1.3.1函数的单调性与导数
§1.3.2函数的极值与导数
§1.3.3函数的最大(小)值与导数
§1.4生活中的优化问题举例
§1.5定积分的概念
§1.5.1曲边梯形的面积
§1.5.2汽车行驶的路程
§1.5.3定积分的概念
§1.6微积分基本定理
§1.7定积分的简单应用
§1.7.1定积分在几何中的应用
§1.7.2定积分在物理中的应用
章末整合提升
章末达标测试
第二章推理与证明
§2.1合情推理与演绎推理
§2.1.1合情推理
§2.1.2演绎推理
§2.2直接证明与间接证明
§2.2.1综合法和分析法
§2.2.2反证法
§2.3数学归纳法
章末整合提升
章末达标测试
第三章数系的扩充与复数的引入
§3.1数系的扩充和复数的概念
§3.1.1数系的扩充和复数的概念
§3.1.2复数的几何意义
§3.2复数代数形式的四则运算
§3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义§3.2.2复数代数形式的乘除运算
章末整合提升
章末达标测试
模块综合检测
§1.1 变化率与导数
§1.1.1 变化率问题 §1.1.2 导数的概念
[课标要求]
1．通过实例分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景．(难点) 2．会求函数在某一点附近的平均变化率．(重点)
人教a版数学【选修2-2】2.1.1《类比推理》ppt课件
5．等差数列{an}中，an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类 比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，q>1，写出b5，b7 ，b4，b8的一个不等关系________． [答案] b4＋b8>b5＋b7 [解析] 将乘积与和对应，再注意下标的对应，有b4＋b8>b5 ＋b7.
重点：类比推理． 难点：类比推理的特点及应用．
类比推理 思维导航 在学习数列一章时，我们由等差数列{an}具有性质：“已知n 、m∈N*，若n＋m＝2p，则an＋am＝2ap”，作出猜想：“ 对于等比数列{an}，若n、m∈N*，n＋m＝2p，则am·an＝a” ，这种猜想方法是否具有一般性？这样猜想出的结论是否一 定是正确的？它在数学发现中具有什么作用？
成才之路 · 数学
人教A版 · 选修2-2
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
第二章
推理与证明
第二章 2.1 合情推理与演绎推理
第2课时 类比推理
1
自主预习学案
2
典例探究学案
3
巩固提高学案
4
备 选 练 习
自主预习学案
理解类比推理概念，能利用类比推理的方法进行简单的推理 ，体会并认识合情推理在数学发现中的作用．
[答案] C
[解析] A中，3与0两个数的性质不同，故类比中把3换成0 ，其结论不成立；B中，乘法满足对加法的分配律，但乘法 不满足对乘法的分配律；C是正确的；D中，令n＝2显然不成 立．
2020-2021学年高二数学人教A版选修2-2学案：2.1.1 合情推理 Word版含解析
2．1.1合情推理
[目标] 1.结合实例，能说出合情推理的含义.2.能利用归纳和类比进行简单的推理.3.体会并认识合情推理在数学发现中的作用．[重点] 合情推理及归纳推理的定义．
[难点] 归纳推理的基本方法．
知识点一归纳推理
[填一填]
1．归纳推理的含义
由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理(简称归纳)．
2．归纳推理的特征
归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．
[答一答]
1．为什么归纳推理所得的结论不一定正确？什么情况下得出的结论一定正确？
提示：在归纳推理中，由于前提一般是部分的，因此根据同一个前提不同的人可能得出不同的结论，即结论不唯一．这就说明归纳推理所得的结论不一定正确．
在归纳过程中，穷尽了全部归纳对象，如果归纳的前提是真的，那么归纳所得的结论也一定是真的．这种归纳推理是一种必然性的推
理，可以用来作为严格证明的工具．
知识点二类比推理
[填一填]
1．类比推理的含义
由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理(简称类比)．2．类比推理的特征
类比推理是由特殊到特殊的推理．
[答一答]
2．类比推理适合在什么情况下使用？它得出的结论一定正确吗？
提示：当给出的是两类不同的对象，且它们具有一些类似的特征时，可以使用类比推理．它得出的结论也是猜测性的，不一定正确．3．数学中常见的类比有哪些？
提示：数学中常见的类比：直线与平面、平面与空间、方程与不等式、一元与多元、等差数列与等比数列等．
高中数学选修2-2第《类比推理》说课稿
高中数学选修2-2第
《类比推理》说课稿work Information Technology Company.2020YEAR
人教A版高中数学选修2-2第《类比推理》说课稿
一、【教材分析】
类比推理是人教A版普通高中课程标准实验教科书选修2-2第2章第一小节的内容，是合情推理的一个重要内容。对整个高中阶段类比推理思维形式进行高度概括与总结，也将这种培养学生思维能力的方法从幕后走向台前，起到点睛作用。让学生认识到数学既是演绎的科学又是归纳类比的科学，数学是结论的体系，其结论的发现过程也是数学，从而形成对数学较为完整的认识，为进一步向高等数学学习作准备。
二、【学情分析】
类比推理被安排在高二下学期，这个阶段的学生思维趋于成熟，能进行抽象的逻辑思维分析。在知识方面：已经学习过高中阶段大部分的知识板块，具备一定的知识储备；在能力方面：初高中已将类比推理渗透到教材的很多章节，学生已经在自觉不自觉的应用着。所以教师在教学中应注意从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，唤起学生的经验，找到知识的生长点。
三、【教学目标】
（一）知识与技能：
1．通过对已学知识的回顾认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去；
2．通过具体实例中类比推理的过程，初步了解为何可以进行类比以及如何进行类比。
（二）过程与方法：
本节课主要是利用以前学习过的知识，认识一种思维方法—类比推理，在整个过程中，学生已经具备独立研究的知识和能力，采用以学生活动为
主，自主探究，合作交流，教师适当启发总结的教学方法，让学生积极参与到教学活动中来，形成积极思考大胆探索的学习氛围
新课标人教B版选修2-2第二章第1节《合情推理》合情推理说课稿
《合情推理》说课稿
一、教材分析
（1）课题内容
课题内容是《合情推理》，出自普通高中新课程标准实验教科书人教B版高
中数学选修2-2，2.1.1.
（2）地位和作用
本节课是《推理与证明》的起始内容。《推理与证明》是数学的一种基本思维过程，也是人们在学习和生活中经常使用的一种思维方式。贯穿于高中数学的整个知识体系，同时也对后续知识的学习起到引领作用。合情推理有助于发现新的规律和事实，是重要的数学思想方法之一。
（3）重点，难点
重点：了解归纳推理的含义，作用，掌握归纳推理的步骤，体会归纳推理的思想。
难点：归纳推理步骤中的如何发现几个事实的共性，如何由个别事实总结，归纳出一般的命题。
二、学情分析
（1）在进行本节课的教学时，学生已经有大量的运用归纳推理生活实例和数学实例，这些内容是学生理解归纳推理的重要基础，因此教学时应充分注意这一教学条件，引导学生多进行归纳与概括。
（2）数学史上有一些著名的猜想是运用归纳推理的典范，教学这一内容时应充分利用这一条件，不仅可让学生体会归纳推理的过程，感受归纳推理能猜测和发现一些新结论，探索和提供解决一些问题的思路和方向的作用，还可利用著名猜想让学生体会数学的人文价值，激发学生学习数学的兴趣和探索真理的欲望。
三、教学目标
（1）知识与技能：了解推理、合情推理、归纳推理的含义，作用，掌握归纳推理的一般步骤，能够利用归纳进行一些简单的推理.
（2）过程与方法：在欣赏哥德巴赫猜想的过程中，学习如何利用归纳推理去发现新事物，获得新结论，从而让学生对归纳推理有一个理性的认识，不仅停留在概念层次，更是一个数学过程.
【优课】人教版高中数学选修2-2课件：2.1.1合情推理-类比推理(共21张PPT)
利用圆的性质类比得出求的性质
圆的概念和性质
球的概念和性质
圆的周长 S = 2πR
球的表面积 S = 4πR2
圆的面积 S =πR2
球的体积 V = 4πR3
3
圆心与弦(非直径)中点的连线垂 球心与不过球心的截面(圆面)的
直于弦
圆点的连线垂直于截面
例2.类比实数加法的运算性质，给出乘法的 类似性质
类比角度 实数的加法
实数的乘法
运算结果 若a, b R,则a b R 若a, b R,则ab R
abba
运算律
(a b) c a (b c)
ab ba (ab)c a(bc)
逆运算
加法的逆运算是减法， 使得方程a x 0有 唯一解x a
n＝3时， a＝3 7
前1个圆环从2到3. 前2个圆环从1到2;
第3个圆环从1到3;
前2个圆环从2到3.
2
1
3
练习1：试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：
猜想不等式的性质：
(1) a=ba+c=b+c; (1) a＞ba+c＞b+c;
(2) a=b ac=bc;
(2) a＞b ac＞bc;
高中人教A版选修《数学2-2》
人教a版数学【选修2-2】备选练习：2.1.1 合情推理(含答案)
选修2-2第二章 2.1 2.1.1第1课时1．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排列下去，那么第36颗珠子的颜色是()
A．白色B．黑色
C．白色的可能性大D．黑色的可能性大
[答案] A
[解析]由图知，这串珠子的排列规律是：每5个一组(前3个是白色珠子，后2个是黑色珠子)呈周期性排列，而36＝5×7＋1，即第36颗珠子正好是第8组中的第1颗珠子，其颜色与第一颗珠子的颜色相同，故它的颜色一定是白色．
2．四个小动物换座位，开始是鼠、猴、兔、猫分别坐1、2、3、4号位子上(如图)，第一次前后排动物互换座位，第二次左右列动物互换座位，…，这样交替进行下去，那么第2011次互换座位后，小兔的座位对应的是()
A．编号1 B．编号2
C．编号3 D．编号4
[答案] D
[解析]归纳得，四个小动物在换座过程中，每换座四次与原来的一样，即以4为周期，因此在2011次换座后，四个小动物的位置应该和第三次换座后的位置一样，即小兔的座位对应的编号为4，故选D.
3．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{a n}，则下列结论正确的是()
①a5＝15；
②数列{a n}是一个等差数列；
③数列{a n}是一个等比数列；
④数列{a n}的递推关系是a n＝a n－1＋n(n∈N*)．
A．①②④B．①③④
C．①②D．①④
[答案] D
[解析] 由于a 1＝1，a 2＝3，a 3＝6，a 4＝10，所以有a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，a 4－a 3＝4.因此必有a 5－a 4＝5，即a 5＝15，故①正确．同时④正确，而{a n }显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D.
11-12学年高中数学 2.1.1.1 归纳推理同步练习 新人教A版选修2-2
归纳推理
一、选择题
1．关于归纳推理，下列说法正确的是( ) A ．归纳推理是一般到一般的推理 B ．归纳推理是一般到个别的推理 C ．归纳推理的结论一定是正确的 D ．归纳推理的结论是或然性的 [答案] D
[解析] 归纳推理是由特殊到一般的推理，其结论的正确性不一定．故应选D. 2．下列推理是归纳推理的是( )
A ．A ，
B 为定点，动点P 满足|PA |＋|PB |＝2a >|AB |，得P 的轨迹为椭圆 B ．由a 1＝1，a n ＝3n －1，求出S 1，S 2，S 3，猜想出数列的前n 项和S n 的表达式
C ．由圆x 2
＋y 2
＝r 2
的面积πr 2
，猜出椭圆x 2a 2＋y 2
b
2＝1的面积S ＝πab
D ．科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇 [答案] B
[解析] 由归纳推理的定义知B 是归纳推理，故应选B. 3．数列{a n }：2,5,11,20，x,47，…中的x 等于( ) A ．28 B ．32 C ．33 D ．27 [答案] B
[解析] 因为5－2＝3×1,11－5＝6＝3×2,20－11＝9＝3×3，猜测x －20＝3×4,47－x ＝3×5，推知x ＝32.故应选B.
4．在数列{a n }中，a 1＝0，a n ＋1＝2a n ＋2，则猜想a n 是( ) A ．2n －2
－12 B ．2n －2
C ．2n －1
＋1 D ．2
n ＋1
－4
[答案] B
[解析] ∵a 1＝0＝21
－2， ∴a 2＝2a 1＋2＝2＝22－2，
a 3＝2a 2＋2＝4＋2＝6＝23－2，
高中数学人教A版选修2-2第二章2.1.1.2《类比推理》教案
"福建省长乐第一中学2014高中数学第二章《2.1.1.2类比推理》教
案新人教A版选修2-2 "
●教学目标：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问
题的发现中去。
●教学重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理。
●教学难点：用类比进行推理，做出猜想。
●教具准备：与教材内容相关的资料。
●教学设想：类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠。
●教学过程：
学生探究过程：
从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.
他的思路是这样的：
茅草是齿形的；
茅草能割破手.
我需要一种能割断木头的工具；
它也可以是齿形的.
这个推理过程是归纳推理吗？
A对象具有属性a、b、c、d；
B对象具有属性a、b、c；
所以，B对象具有属性d。
为了提高类比推理结论的可靠性，逻辑学提出了一些要求:应当尽可能多地列举出对象间相似属性和选择较为本质的属性进行类比。
数学活动
我们再看几个类似的推理实例。
例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质。
等式的性质：猜想不等式的性质：
(1) a=b⇒a+c=b+c; (1) a＞b⇒a+c＞b+c;
(2) a=b⇒ ac=bc; (2) a＞b⇒ ac＞bc;
(3) a=b⇒a2=b2;等等。(3) a＞b⇒a2＞b2;等等。
问：这样猜想出的结论是否一定正确？
例2、试根据等差数列的性质猜想等比数列的性质。
等差数列等比数列
高中数学 2.1《合情推理与演绎推理》课件(1) 新人教A版选修2-2
思考5：上述推理都是类比推理，一般地， 思考5 上述推理都是类比推理，一般地， 类比推理的定义是什么？ 类比推理的定义是什么？ 由两类对象具有某些类似特征和其中一 两类对象具有某些类似特征和 类对象的某些已知特征，推出另一类对 类对象的某些已知特征，推出另一类对 象也具有这些特征的推理 的推理. 象也具有这些特征的推理.
探究（ ）：类比推理 探究（二）：类比推理 思考1 思考1：据说我国古代工匠鲁班从带齿的 草叶和蝗虫的齿牙受到启发，发明了锯； 草叶和蝗虫的齿牙受到启发，发明了锯； 人们仿照鸟类的外形和它们在空中的飞 行原理，发明了飞机； 行原理，发明了飞机；仿照鱼类的外形 和它们在水中的沉浮原理， 和它们在水中的沉浮原理，发明了潜水 等等. 艇；等等.这种在发明创造活动中运用的 方法，称为类比推理 类比推理. 方法，称为类比推理.你还能列举出这样 的实例吗？ 的实例吗？
第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理 2.1 合情推理与演绎推理
一、学习目标： 学习目标： 1、了解合情推理的定义，能利用归纳和类比等进行简单的推理； 、了解合情推理的定义，能利用归纳和类比等进行简单的推理； 2、了解合情推理在数学发现中的作用 、
问题提出： 问题提出： 1.推理是人们思维活动的过程， 1.推理是人们思维活动的过程，在日 推理是人们思维活动的过程 常活动和科学研究中， 常活动和科学研究中，我们必须要通过 推理来思考问题. 推理来思考问题. 2.推理是根据一个或几个已知的判断 2.推理是根据一个或几个已知的判断 来确定一个新的判断的思维过程，在一 来确定一个新的判断的思维过程， 定的条件和背景下，我们常通过推理提 定的条件和背景下， 出问题，发现结论，引出性质. 出问题，发现结论，引出性质.
【全程复习方略】2014-2015学年高中数学 2.1.1 合情推理课件 新人教A版选修2-2
【即时练】 1.(2014·太原高二检测)用火柴棒摆“金鱼”,如图所示:
按照上面的规律,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为( A.6n-2 B.8n-2 C.6n+2 D.8n+2
)
2.根据归纳推理,数列 括号中应该填 .
2, 5,2 2,(), 14, 17, „,
【解析】1.选C.由图形的变化规律可以看出,后一个图形比 前一个图形多6根火柴棒,第一个图形为8根, 可以写成a1=8=6+2.又a2=14=6×2+2,a3=20=6×3+2,„,所以 可以猜测,第n个“金鱼”图需要火柴棒的根数为6n+2. 2.因为2=3×1-1,5=3×2-1,8=3×3-1,14=3×5-1,17= 3×6-1,„,由此归纳an=3n-1,故a4=3×4-1=11,所以应填 11. 答案: 11
1 =-2-Sn-1(n≥2). Sn 2 当n=1时,S1=a1=- ; 3 当n=2时, 1 =-2-a1=- 4 ， 3 S2 3 所以S2=- ; 4 Sn Sn
所以
当n=3时, 1 2 S2 5 ,
S3 4 所以S3= 4 ; 5 当n=4时, 1 =-2-S3= 6 , 5 S4 所以S4= 5 . 6 n 1 由此猜想Sn= . n2
实践检验,因此,归纳推理不能作为数学证明的工具.
金版学案 数学·选修2-2(人教A版)课件：第二章2.1-2.1.1合情推理
2．1 合情推理与演绎推理 2．1.1 合情推理
[学习目标] 1.了解合情推理的含义，能利用归纳和 类比等进行简单的推理(重点、难点)． 2.了解合情推理 在数学发现中的作用(重点).
1．归纳推理和类比推理
推理类型
定义
特征
归纳推理
由某类事物的部分对象具有 归纳推理是
某些特征，推出该类事物的全 由部分到整
3V S1＋S2＋S3＋S4.
答案：C
类型 4 类比推理的应用(误区警示) [典例 4] 如图所示，在△ABC 中，射影定理可表示 为 a＝b·cos C＋c·cos B，其中 a，b，c 分别为角 A，B， C 的对边，类比上述定理，写出对空间四面体性质的猜想．
易错提示：三角形的内角类比到空间中可以是线面 角，也可以是面面角，三角形的边类比到空间中是四面体 的棱还是面，具有不确定性，这些可能是导致出错的原因．
V
2V
A.S1＋S2＋S3＋S4 B.S1＋S2＋S3＋S4
Байду номын сангаас3V
4V
C.S1＋S2＋S3＋S4 D.S1＋S2＋S3＋S4
解析：设四面体的内切球的球心为 O，则球心 O 到 四个面的距离都是 R，所以四面体的体积等于以 O 为顶 点，分别以四个面为底面的 4 个三棱锥体积的和．则四面 体的体积为 V 四面体 A-BCD＝13(S1＋S2＋S3＋S4)R，所以 R＝
人教a版数学【选修2-2】2.1.1《合情推理》ppt课件
牛刀小试 1．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为( A．3 B．－3 C．6 D．－6 [答案] A
Hale Waihona Puke Baidu
)
[解析] a3＝a2－a1＝6－3＝3， a4＝a3－a2＝3－6＝－3， a5＝a4－a3＝－3－3＝－6， a6＝a5－a4＝－6－(－3)＝－3， a7＝a6－a5＝－3－(－6)＝3， a8＝a7－a6＝6. 归纳猜想该数列为周期数列，且周期为6，所以a33＝a6×5＋3 ＝a3＝3，故应选A.
4．如图是由一些小正方体摞成的．第(1)堆有1个，第(2)堆 有4个，第(3)堆有10个…，则第n堆有________个小正方体．
[答案]
1 6n(n＋1)(n＋2)
[解析] 第一堆有 1 个；第二堆有 1＋(1＋2)＝4 个；第三 堆有 1＋(1＋2)＋(1＋2＋3)＝10 个；……；第 n 堆有 1＋(1＋2) 1 ＋(1＋2＋3)＋……＋(1＋2＋…＋n)＝6n(n＋1)(n＋2)个．
－1
) B．nn D．(2n)2
[答案] B
1 4 x x 4 [解析] 由 x＋x ≥2，x＋x2＝2＋2＋x2≥3， b x x x b 可推广 x＋x3＝3＋3＋3＋x3≥4，知 b＝33， a x x x a 所以对于结论 x＋xn＝n＋n＋…＋n＋xn≥n＋1 知 a＝nn， 故 应选 B.
人教a版数学高二选修2-2习题_第二章_推理与证明_2.1.1合情推理 有答案
人教a 版数学高二选修2-2习题_第二章_推理与证明_2.1.1合情推理
有答案
2.1 合情推理与演绎推理
2.1.1 合情推理
A 级 基础巩固
一、选择题
1．数列2，5，11，20，x ，47，…中的x 的值为( ) A ．27 B ．28 C ．32 D ．33
解析：观察知，5－2＝3，11－5＝6，20－11＝9， 所以x －20＝12，得x ＝32. 答案：C
2．用火柴棒摆 “金鱼”，如图所示：
按照上面的规律，第n 个“金鱼”图需要火柴的根数为( ) A ．6n －2 B ．8n －2 C ．6n ＋2 D ．8n ＋2
解析：从①②③可以看出，从图②开始每个图中的火柴棒都比前一个图中的火柴棒多6根，故火柴棒数成等差数列，第一个图中火柴棒为8根，故可归纳出第n 个“金鱼”图需火柴棒的根数为6n ＋2.故选C.
答案：C
3．设n 是自然数，则1
8(n 2－1)的值( )
A ．一定是零
B ．不一定是偶数
C ．一定是偶数
D ．是整数但不一定是偶数
解析：当n 为偶数时，18(n 2－1)＝0为偶数；当n 为奇数时(n ＝2k ＋1，k ∈N)，1
8(n 2
－1)＝18(4k 2
＋4k )·2＝k (k ＋1)为偶数．所以18
(n 2－1)的值一定为偶数．
答案：C
4．在平面直角坐标系内，方程x a ＋y
b
＝1表示在x 轴，y 轴上的截距分别为a 和b 的
直线，拓展到空间，在x 轴，y 轴，z 轴上的截距分别为a ，b ，c (abc ≠0)的平面方程为( )
A.x a ＋y b ＋z
c
＝1 B.x ab ＋y bc ＋z
2019-2020数学人教A版选修2-2课件：2.1.1合情推理
1．已知x＞0，由不等式x＋
1 x
≥2，x2＋
2 x
≥3，x3＋
3 x
≥4，…可推广为( )
A．xn＋nx≥n
B．xn＋nx≥n＋1
C．xn＋n＋x 1≥n＋1
D．xn＋n＋x 1≥n
【答案】B
2．下列平面图形中，与空间中的平行六面体作为类比对
象较为合适的是( )
A．三角形
B．梯形
C．平行四边形
（2）∵f(x)＝1－x x，∴f1(x)＝1－x x.又∵fn(x)＝fn－1(fn－1(x))，∴f2(x)
x
x
＝
f1(f1(x))
＝
1－x 1－1－x x
＝
x 1－2x
，
f3(x)
＝
f2(f2(x))
＝
1－2x 1－2×1－x2x
＝
x
x 1－4x
，
f4(x)
＝
f3(f3(x))
＝
1－4x 1－4×1－x4x
_____________________________________________. 【答案】夹在两平行平面间的平行线段相等
归纳推理在数列中的应用
【例1】 根据下列条件，写出数列中的前4项，并归纳猜 想它的通项公式．
(1)a1＝3，an＋1＝2an＋1； (2)a1＝a，an＋1＝2－1 an； (3)对一切的n∈N*，an>0且2 Sn＝an＋1.
最新人教版高中数学选修2-2第二章《合情推理与演绎推理》示范教案1
第二章推理与证明
本章概览
教材分析
本章的内容属于数学思维方法的范畴，把过去渗透在具体数学内容中的思维方法，以集中的、显性的形式呈现出来，使学生更加明确这些方法，并能在今后的学习中有意识地使用它们，以此培养学生言之有理、论证有据的习惯．本章将结合生活实例和学生已学过的数学实例，介绍两种基本的推理——合情推理与演绎推理；两类证明方法——直接证明和间接证明；学习数学归纳法的基本原理和步骤．
课标要求
(1)合情推理与演绎推理
①了解合情推理的含义，能利用归纳和类比进行推理，体会合情推理在数学中的应用；
②了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理；
③了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异．
(2)直接证明与间接证明
①了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程与特点；
②了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程与特点．
(3)了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单命题．
教学建议
1．教学中应尽量从学生已学过的数学实例和生活中的实例出发，从中挖掘、提炼出合情推理与演绎推理的含义和推理方法，帮助学生了解合情推理与演绎推理的含义，为学生示范如何规范地应用这两种推理解决问题．
2．通过实例引导学生分析综合法、分析法和反证法的思考过程与特点，并归纳出操作流程框图，使他们在以后的学习生活中，能自觉地有意识地运用这些方法进行数学证明，养成言之有理、论证有据的好习惯．
3．数学归纳法是一种特殊的直接证明的方法，第一部分主要内容是借助具体实例归纳出数学归纳法的基本原理、步骤；第二部分的重点是用数学归纳法证明一些简单的命题，通过对数学命题的证明巩固对数学归纳法原理的认识．
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§2.1.1 合情推理（1）
学习目标
1. 结合已学过的数学实例，了解归纳推理的含义；
2. 能利用归纳进行简单的推理，体会并认识归纳推理在数学发现中的作用.
~ P30，找出疑惑之处）
28
在日常生活中我们常常遇到这样的现象：
（1）看到天空乌云密布，燕子低飞，蚂蚁搬家，推断天要下雨；
（2）八月十五云遮月，来年正月十五雪打灯.
以上例子可以得出推理是
的思维过程.
二、新课导学
学习探究
探究任务：归纳推理
问题1:哥德巴赫猜想：观察6=3+3, 8=5+3, 10=5+5, 12=5+7, 12=7+7, 16=13+3, 18=11+7, 20=13+7, ……, 50=13+37, ……, 100=3+97，猜想：
.
问题2：由铜、铁、铝、金等金属能导电，归纳出
.
新知：归纳推理就是由某些事物的,推出该类事物的
的推理，或者由
的推理.简言之，归纳推理是由
的推理.
典型例题
例1 观察下列等式：1+3=4=，
1+3+5=9=，
1+3+5+7=16=，
1+3+5+7+9=25=，
……
你能猜想到一个怎样的结论？
变式：观察下列等式：1=1
1+8=9，
1+8+27=36，
1+8+27+64=100，
……
你能猜想到一个怎样的结论？
例2已知数列的第一项，且，试归纳出这个数列的通项公式. 变式：在数列{}中，（），试猜想这个数列的通项公式.
动手试试
练1. 应用归纳推理猜测的结果.
练2. 在数列{}中，，（）,试猜想这个数列的通项公式.
三、总结提升
学习小结
1．归纳推理的定义.
2. 归纳推理的一般步骤：①通过观察个别情况发现某些相同的性质；②从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题（猜想）.
知识拓展
1.费马猜想：法国业余数学家之王—费马（1601-1665）在1640年通过对，，，，的观察，发现其结果都是素数，提出猜想：对所有的自然数，任何形如的数都是素数. 后来瑞士数学家欧拉发现不是素数，推翻费马猜想.
2.四色猜想：1852年，毕业于英国伦敦大学的弗南西斯.格思里来到一家科研单位搞地图着色工作时，发现了一种有趣的现象：“每幅地图都可以用四种颜色着色，使得有共同边界的国家着上不同的颜色.”，四色猜想成了世界数学界关注的问题.1976年，美国数学家阿佩尔与哈肯在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用1200个小时，作了100亿逻辑判断，完成证明.
学习评价
当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.下列关于归纳推理的说法错误的是（）.
A.归纳推理是由一般到一般的一种推理过程
B.归纳推理是一种由特殊到一般的推理过程
C.归纳推理得出的结论具有或然性，不一定正确
D.归纳推理具有由具体到抽象的认识功能
2.若，下列说法中正确的是（）.
A.可以为偶数
B.一定为奇数
C.一定为质数
D.必为合数
3.已知，猜想的表达式为（）.
A. B.
C. D.
4.，经计算得猜测当时，有__________________________.
5.从中得出的一般性结论是_____________ .
课后作业
1. 对于任意正整数n，猜想与的大小关系.
2. 已知数列{}的前n项和，，满足，计算并猜想的表达式.
§2.1.1 合情推理（2）
学习目标
1. 结合已学过的数学实例，了解类比推理的含义;
2. 能利用类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用.
1.已知，考察下列式子：；；
. 我们可以归纳出，对也成立的类似不等式为.
2. 猜想数列的通项公式是.
二、新课导学
学习探究
鲁班由带齿的草发明锯；人类仿照鱼类外形及沉浮原理发明潜水艇；地球上有生命，火星与地球有许多相似点，如都是绕太阳运行、绕轴自转的行星，有大气层，也有季节变更，温度也适合生物生存，科学家猜测：火星上有生命存在. 以上都是类比思维，即类比推理. 新知：类比推理就是由两类对象具有
和其中，推出另一类对象也具有这些特征的推理. 简言之，类比推理是由到
的推理.
典型例题
例1 类比实数的加法和乘法，列出它们相似的运算性质.
例2 类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想.
新知：和都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行，然后提出的推理，我们把它们统称为合情推理.一般说合情推理所获得的结论，仅仅是一种猜想，未必可靠.
动手试试
练1. 如图，若射线OM，ON上分别存在点与点，则三角形面积之比.若不在同一平面内的射线OP，OQ上分别存在点，点和点，则类似的结论是什么？
练2. 在中，不等式成立；在四边形ABCD中，不等式成立；在五边形ABCDE中，不等式成立.猜想，在n边形中，有怎样的不等式成立？
三、总结提升
学习小结
1．类比推理是由特殊到特殊的推理.
2. 类比推理的一般步骤：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质得出一个命题（猜想）.
3. 合情推理仅是“合乎情理”的推理，它得到的结论不一定真，但合情推理常常帮我们猜测和发现新的规律，为我们提供证明的思路和方法.
知识拓展
试一试下列题目：
1. 南京∶江苏
A.石家庄∶河北
B.渤海∶中国
C.泰州∶江苏
D.秦岭∶淮河
2. 成功∶失败
A.勤奋∶成功
B.懒惰∶失败
C.艰苦∶简陋
D.简单∶复杂
3.面条∶食物
A.苹果∶水果
B.手指∶身体
C.菜肴∶萝卜
D.食品∶巧克力
学习评价
当堂检测（时量：5分钟满分：10分）计分：
1.下列说法中正确的是（）.
A.合情推理是正确的推理
B.合情推理就是归纳推理
C.归纳推理是从一般到特殊的推理
D.类比推理是从特殊到特殊的推理
2. 下面使用类比推理正确的是（）.
A.“若,则”类推出“若,则”
B.“若”类推出
“”
C.“若” 类推出“ （c≠0）”
D.“” 类推出“
3. 设，
，n∈N，则（）.
A. B.－
C. D.－
4.一同学在电脑中打出如下若干个圆
若将此若干个圆按此规律继续下去，得到一系列的圆，那么在前2006个圆中有个黑圆.
5.在数列1，1，2，3，5，8，13，x，34，55……中的x的值是.
课后作业
1.在等差数列中，若，则有
成立，类比上述性质，在等比数列中，若，则存在怎样的等式？
2. 在各项为正的数列中，数列的前n项和满足（1）求；（2）由（1）猜想数列的通项公式；（3）求