一元二次函数中考试题选编
中考数学专题题库∶一元二次方程的综合题含答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入普通家庭，汽车消费成为新亮点．抽样调查显示，截止2008年底全市汽车拥有量为14.4万辆．已知2006年底全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年底至2008年底我市汽车拥有量的年平均增长率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年底汽车拥有量不超过15.464万辆，据估计从2008年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题分析：（1）主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率）解决问题；（2）参照增长率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，然后根据关键语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增长率为x ，根据题意得：10（1+x ）2=14.4，解得x=﹣2.2（不合题意舍去）x=0.2，答：年平均增长率为20%；（2）设每年新增汽车数量最多不超过y 万辆，根据题意得：2009年底汽车数量为14.4×90%+y ，2010年底汽车数量为（14.4×90%+y ）×90%+y ，∴（14.4×90%+y ）×90%+y≤15.464，∴y≤2．答：每年新增汽车数量最多不超过2万辆．考点：一元二次方程—增长率的问题2．使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数1y x =-，令y=0，可得x=1，我们就说1是函数1y x =-的零点．己知函数222(3)y x mx m =--+(m m 为常数)． （1）当m =0时，求该函数的零点；（2）证明：无论m 取何值，该函数总有两个零点；（3）设函数的两个零点分别为1x 和2x ，且121114x x +=-，此时函数图象与x 轴的交点分 别为A 、B(点A 在点B 左侧)，点M 在直线10y x =-上，当MA+MB 最小时，求直线AM 的函数解析式．【答案】（1）当m =0和（2）见解析,2【解析】 【分析】 （1）根据题中给出的函数的零点的定义，将m=0代入y=x 2-2mx-2（m+3），然后令y=0即可解得函数的零点；（2）令y=0，函数变为一元二次方程，要想证明方程有两个解，只需证明△＞0即可； （3）根据题中条件求出函数解析式进而求得A 、B 两点坐标，个、作点B 关于直线y=x-10的对称点B′，连接AB′，求出点B′的坐标即可求得当MA+MB 最小时，直线AM 的函数解析式【详解】（1）当m =0时，该函数的零点为6和6-．（2）令y=0，得△=∴无论m 取何值，方程总有两个不相等的实数根． 即无论m 取何值，该函数总有两个零点．（3）依题意有， 由解得．∴函数的解析式为． 令y=0，解得∴A()，B(4,0) 作点B 关于直线10y x =-的对称点B’，连结AB’，则AB’与直线10y x =-的交点就是满足条件的M 点．易求得直线10y x =-与x 轴、y 轴的交点分别为C （10,0），D （0,10）．连结CB’，则∠BCD=45°∴BC=CB’=6，∠B’CD=∠BCD=45°∴∠BCB’=90°即B’（106-，）设直线AB’的解析式为y kx b =+，则20{106k b k b -+=+=-，解得112k b =-=-，2即AM的解析式为112y x=--．3．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90°，∠A=45°，BC=，∠F=90°，∠EDF=30°， EF=2．将△DEF 的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向移动．在移动过程中，D、E两点始终在AC边上(移动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD= ；（2）如图2，李晨同学连接FC，编制了如下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD= ；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD= ;④△FCD的面积s的取值范围是 .【答案】（1）2；（2）① 60°；②；③；④.【解析】试题分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可得到AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判定和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，根据勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，根据x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90°，∠A=45°，BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90°，∠EDF=30°，∴∠DEF=60°.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60°."② 如图，过点F作FH⊥AC于点H，∵∠EDF=30°， EF=2，∴DF=. ∴DH=3，FH=.∵FC∥AB，∠A=45°，∴∠FCH="45°." ∴HC=. ∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F 作FH ⊥AC 于点H ，设AD=x ，由②知DH=3，FH=，则HC=.在Rt △CFH 中，根据勾股定理，得. ∵以线段AD 、FC 、BC 的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC 为斜边， ∴，即，解得.④设AD=x ，易知，即. 而， 当时，；当时，. ∴△FCD 的面积s 的取值范围是. 考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判定和性质；3.平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；5.勾股定理；6.由实际问题列函数关系式；7.求函数值.4．某社区决定把一块长50m ，宽30m 的矩形空地建成居民健身广场，设计方案如图，阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小形状都相同的矩形) ，空白区域为活动区，且四周的4个出口宽度相同，当绿化区较长边x 为何值时，活动区的面积达到21344m ?【答案】当13x m 时，活动区的面积达到21344m【解析】【分析】根据“活动区的面积＝矩形空地面积﹣阴影区域面积”列出方程，可解答.【详解】解:设绿化区宽为y ，则由题意得502302x y -=-.即10y x =-列方程: 50304(10)1344x x ⨯--=解得13x =- (舍)，213x =.∴当13x m =时，活动区的面积达到21344m【点睛】本题是一元二次方程的应用题，确定等量关系是关键，本题计算量大，要细心．5．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x -+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
2023中考数学一元二次不等式历年真题及答案
2023中考数学一元二次不等式历年真题及答案（注：以下是根据题目给出的标题进行的格式编写）一、第一部分：历年真题1. 2019年中考数学一元二次不等式真题及答案题目：解不等式$3x^2-2x>1$。
解析：首先将不等式转化为一元二次方程：$3x^2-2x-1>0$。
通过求解该方程的根，将实数轴分成三个区间，并在每个区间取一点进行判定。
确定解的范围为$x<-\frac{1}{3}$或$x>\frac{1}{2}$。
2. 2020年中考数学一元二次不等式真题及答案题目：解不等式$x^2+5x+6<0$。
解析：同样地，我们首先将不等式转化为一元二次方程：$x^2+5x+6=0$。
通过求解该方程的根，我们得到$x_1=-3$和$x_2=-2$。
由此可知不等式的解集为$-3<x<-2$。
3. 2021年中考数学一元二次不等式真题及答案题目：已知$3x^2+4x-5>0$，求解不等式。
解析：将不等式进行因式分解得到$(3x-1)(x+5)>0$。
通过讨论因式大于零的情况，我们可以确定解的范围为$x<-\frac{5}{3}$或$x>\frac{1}{3}$。
二、第二部分：参考答案1. 2019年中考数学一元二次不等式参考答案答案：解集为$x<-\frac{1}{3}$或$x>\frac{1}{2}$。
2. 2020年中考数学一元二次不等式参考答案答案：解集为$-3<x<-2$。
3. 2021年中考数学一元二次不等式参考答案答案：解集为$x<-\frac{5}{3}$或$x>\frac{1}{3}$。
总结：通过以上列举的历年中考数学一元二次不等式题目及答案，我们可以看出解决这类题目的关键在于将不等式转化为一元二次方程，并通过求解方程的根来确定解的范围。
同时，在判定解集时，还需要注意对因式的讨论，以确保结果的准确性。
专题08一元二次方程(4大考点)(原卷版)三年(2022-2024)中考数学真题分类汇编(全国通用)
专题08一元二次方程（4大考点）（原卷版）三年（2022-2024）中考数学真题分类汇编（全国通用）【考点归纳】一、考点01解一元二次方程---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------1二、考点02一元二次方程根的判别式--------------------------------------------------------------------------------------------------------2三、考点03根与系数的关系---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------4四、考点04一元二次方程的实际应用--------------------------------------------------------------------------------------------------------5考点01解一元二次方程一、考点01解一元二次方程1．（2024·贵州·中考真题）一元二次方程220x x -=的解是（）A ．13x =，21x =B ．12x =，20x =C ．13x =，22x =-D ．12x =-，21x =-2．（2024·四川凉山·中考真题）若关于x 的一元二次方程()22240a x x a +++-=的一个根是0x =，则a 的值为（）A ．2B ．2-C ．2或2-D ．123．（2022·青海·中考真题）已知方程230x mx +=+的一个根是1，则m 的值为（）A ．4B ．4-C ．3D ．3-4．（2024·河北·中考真题）淇淇在计算正数a 的平方时，误算成a 与2的积，求得的答案比正确答案小1，则=a （）A ．1B 1C 1D ．115．（2024·内蒙古赤峰·中考真题）等腰三角形的两边长分别是方程210210x x -+=的两个根，则这个三角形的周长为（）A ．17或13B ．13或21C ．17D ．136．（2024·吉林·中考真题）下列方程中，有两个相等实数根的是（）A ．()221x -=-B ．()220x -=C ．()221x -=D ．()222x -=7．（2024·四川南充·中考真题）当25x ≤≤时，一次函数2(1)1y m x m =+++有最大值6，则实数m 的值为（）A ．3-或0B ．0或1C ．5-或3-D ．5-或18．（2024·四川凉山·中考真题）已知2220330y x x y x -=-+-=，，则x 的值为．9．（2023·广东广州·中考真题）解方程：2650x x -+=．10．（2024·青海·中考真题）（1）解一元二次方程：2430x x -+=；（2）若直角三角形的两边长分别是（1）中方程的根，求第三边的长．考点02一元二次方程根的判别式二、考点02一元二次方程根的判别式11．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x 的一元二次方程()22420m x x -++=有两个实数根，则m的取值范围是（）A ．4m ≤B ．4m ≥C ．4m ≥-且2m ≠D ．4m ≤且2m ≠12．（2023·辽宁锦州·中考真题）若关于x 的一元二次方程2230kx x -+=有两个实数根，则k 的取值范围是（）A ．13k <B ．13k ≤C ．13k <且0k ≠D ．13k ≤且0k ≠13．（2023·山东聊城·中考真题）若一元二次方程2210mx x ++=有实数解，则m 的取值范围是（）A ．1m ≥-B ．1m £C ．1m ≥-且0m ≠D ．1m £且0m ≠14．（2022·四川宜宾·中考真题）若关于x 的一元二次方程2210ax x +-=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（）A ．0a ≠B ．1a >-且0a ≠C ．1a ≥-且0a ≠D ．1a >-15．（2024·甘肃兰州·中考真题）关于x 的一元二次方程2960x x c -+=有两个相等的实数根，则c =（）A ．9-B ．4C ．1-D ．116．（2024·四川广安·中考真题）若关于x 的一元二次方程2(1)210m x x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是（）A ．0m <且1m ≠-B ．0m ≥C ．0m ≤且1m ≠-D ．0m <17．（2024·四川泸州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程2210x x k ++-=无实数根，则函数y kx =与函数2y x=的图象交点个数为（）A ．0B ．1C ．2D ．318．（2024·上海·中考真题）以下一元二次方程有两个相等实数根的是（）A ．260x x -=B ．290x -=C ．2660x x -+=D ．2690x x -+=19．（2024·北京·中考真题）若关于x 的一元二次方程240x x c -+=有两个相等的实数根，则实数c 的值为（）A ．16-B ．4-C ．4D ．1620．（2024·吉林长春·中考真题）若抛物线2y x x c =-+（c 是常数）与x 轴没有交点，则c 的取值范围是．21．（2024·河南·中考真题）若关于x 的方程2102x x c -+=有两个相等的实数根，则c 的值为．22．（2024·湖南·中考真题）若关于x 的一元二次方程2420x x k -+=有两个相等的实数根，则k 的值为．23．（2024·山东·中考真题）若关于x 的方程2420x x m -+=有两个相等的实数根，则m 的值为．24．（2019·上海·中考真题）若关于x 的方程20x x k -+=没有实数根，则k 的取值范围是．25．（2024·广东·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x c ++=有两个相等的实数根，则c =．26．（2023·江苏连云港·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x k -+=有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是．27．（2024·四川遂宁·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()2210x m x m -++-=．(1)求证：无论m 取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)如果方程的两个实数根为12,x x ，且2212129x x x x +-=，求m 的值．28．（2024·广东广州·中考真题）关于x 的方程2240x x m -+-=有两个不等的实数根．(1)求m 的取值范围；(2)化简：2113|3|21m m m m m ---÷⋅-+．29．（2023·湖北襄阳·中考真题）关于x 的一元二次方程2230x x k ++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)若方程的两个根为α，β，且23k k αβ=+，求k 的值．30．（2023·湖北·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22210x m x m m -+++=．(1)求证：无论m 取何值时，方程都有两个不相等的实数根；(2)设该方程的两个实数根为a ，b ，若()()2220a b a b ++=，求m 的值．31．（2023·湖北荆州·中考真题）已知关于x 的一元二次方程()22460kx k x k -++-=有两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围；(2)当1k =时，用配方法．．．解方程．32．（2023·四川南充·中考真题）已知关于x 的一元二次方程22(21)30x m x m m ---+=(1)求证：无论m 为何值，方程总有实数根；(2)若1x ，2x 是方程的两个实数根，且212152x x x x +=-，求m 的值．考点03根与系数的关系三、考点03根与系数的关系33．（2022·内蒙古呼和浩特·中考真题）已知1x ，2x 是方程220220x x --=的两个实数根，则代数式321122022-+x x x 的值是（）A ．4045B ．4044C ．2022D ．134．（2024·四川乐山·中考真题）若关于x 的一元二次方程220x x p ++=两根为1x 、2x ，且12113x x +=，则p 的值为（）A ．23-B ．23C ．6-D ．635．（2024·四川成都·中考真题）若m ，n 是一元二次方程2520x x -+=的两个实数根，则()22m n +-的值为．36．（2024·四川泸州·中考真题）已知1x ，2x 是一元二次方程2350x x --=的两个实数根，则()212123x x x x -+的值是．37．（2024·四川内江·中考真题）已知关于x 的一元二次方程210x px -+=（p 为常数）有两个不相等的实数根1x 和2x ．(1)填空：12x x +=________，12x x =________；(2)求1211+x x ，111x x +；(3)已知221221x x p +=+，求p 的值．38．（2024·四川南充·中考真题）已知1x ，2x 是关于x 的方程22210x kx k k -+-+=的两个不相等的实数根．(1)求k 的取值范围．(2)若5k <，且k ，1x ，2x 都是整数，求k 的值．39．（2023·内蒙古通辽·中考真题）阅读材料：材料1：关于x 的一元二次方程()200ax bx c a ++=≠的两个实数根12x x ，和系数a ，b ，c 有如下关系：12b x x a+=-，12cx x a =．材料2：已知一元二次方程210x x --=的两个实数根分别为m ，n ，求22m n mn +的值．解：∵m ，n 是一元二次方程210x x --=的两个实数根，∴1,1m n mn +==-．则()22111m n mn mn m n +=+=-⨯=-．根据上述材料，结合你所学的知识，完成下列问题：(1)应用：一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为12x x ，，则12x x +=___________，12x x =___________；(2)类比：已知一元二次方程22310x x +-=的两个实数根为m ，n ，求22m n +的值；(3)提升：已知实数s ，t 满足2223102310s s t t +-=+-=，且s t ≠，求11s t-的值．考点04一元二次方程的实际应用四、考点04一元二次方程的实际应用40．（2024·云南·中考真题）两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元．设甲种药品成本的年平均下降率为x ，根据题意，下列方程正确的是（）A ．()280160x -=B ．()280160x -=C ．()80160x -=D ．()801260x -=41．（2024·四川内江·中考真题）某市2021年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2023年底森林覆盖率已达到69%．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为x ，则符合题意得方程是（）A ．()0.6410.69x +=B ．()20.6410.69x +=C ．()0.64120.69x +=D ．()20.64120.69x +=42．（2024·四川眉山·中考真题）眉山市东坡区永丰村是“天府粮仓”示范区，该村的“智慧春耕”让生产更高效，提升了水稻亩产量，水稻亩产量从2021年的670千克增长到了2023年的780千克，该村水稻亩产量年平均增长率为x ，则可列方程为（）A ．()67012780x ⨯+=B ．()26701780x ⨯+=C ．()26701780x ⨯+=D ．()6701780x ⨯+=43．（2024·黑龙江牡丹江·中考真题）一种药品原价每盒48元，经过两次降价后每盒27元，两次降价的百分率相同，则每次降价的百分率为（）A ．20%B ．22%C ．25%D ．28%44．（2024·内蒙古通辽·中考真题）如图，小程的爸爸用一段10m 长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5m ）的矩形鸭舍，其面积为215m ，在鸭舍侧面中间位置留一个1m 宽的门（由其它材料制成），则BC 长为（）A ．5m 或6mB ．2.5m 或3mC ．5mD ．3m45．（2023·浙江衢州·中考真题）某人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．设每一轮传染中平均每人传染了x 人，则可得到方程（）A ．()136x x ++=B ．()2136x +=C ．()1136x x x +++=D ．2136x x ++=46．（2023·湖北襄阳·中考真题）我国南宋数学家杨辉在1275年提出的一个问题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．”意思是：长方形的面积是864平方步，宽比长少12步，问宽和长各是几步．设宽为x 步，根据题意列方程正确的是（）A ．22(12)864x x ++=B ．22(12)864x x ++=C ．(12)864x x -=D ．(12)864x x +=47．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）为了改善居民生活环境，云中小区对一块矩形空地进行绿化，这块空地的长比宽多6米，面积为720平方米，设矩形空地的长为x 米，根据题意，所列方程正确的是（）A ．()6720x x -=B ．()6720x x +=C ．()6360x x -=D ．()6360x x +=48．（2023·黑龙江·中考真题）如图，在长为100m ，宽为50m 的矩形空地上修筑四条宽度相等的小路，若余下的部分全部种上花卉，且花圃的面积是23600m ，则小路的宽是（）A ．5mB ．70mC ．5m 或70mD ．10m49．（2022·黑龙江·中考真题）2022年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了45场，共有多少支队伍参加比赛？（）A ．8B ．10C ．7D ．950．（2024·重庆·中考真题）随着经济复苏，某公司近两年的总收入逐年递增．该公司2021年缴税40万元，2023年缴税48.4万元，该公司这两年缴税的年平均增长率是．51．（2023·黑龙江牡丹江·中考真题）张师傅去年开了一家超市，今年2月份开始盈利，3月份盈利5000元，5月份盈利达到7200元，从3月到5月，每月盈利的平均增长率都相同，则每月盈利的平均增长率是．52．（2022·上海·中考真题）某公司5月份的营业额为25万，7月份的营业额为36万，已知6、7月的增长率相同，则增长率为．53．（2022·四川成都·中考真题）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程2640x x -+=的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是．54．（2024·湖北·中考真题）学校要建一个矩形花圃，其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成．已知墙长42m ，篱笆长80m ．设垂直于墙的边AB 长为x 米，平行于墙的边BC 为y 米，围成的矩形面积为2cm S ．(1)求y 与,x s 与x 的关系式．(2)围成的矩形花圃面积能否为2750cm ，若能，求出x 的值．(3)围成的矩形花圃面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x 的值．55．（2024·山东烟台·中考真题）每年5月的第三个星期日为全国助残日，今年的主题是“科技助残，共享美好生活”，康宁公司新研发了一批便携式轮椅计划在该月销售，根据市场调查，每辆轮椅盈利200元时，每天可售出60辆；单价每降低10元，每天可多售出4辆．公司决定在成本不变的情况下降价销售，但每辆轮椅的利润不低于180元，设每辆轮椅降价x 元，每天的销售利润为y 元．(1)求y 与x 的函数关系式；每辆轮椅降价多少元时，每天的销售利润最大？最大利润为多少元？(2)全国助残日当天，公司共获得销售利润12160元，请问这天售出了多少辆轮椅？56．（2023·江苏·中考真题）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园ABCD （如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用18m 的篱笆围成．生态园的面积能否为240m 如果能，请求出AB 的长；如果不能，请说明理由．57．（2023·江苏·中考真题）如图，在打印图片之前，为确定打印区域，需设置纸张大小和页边距（纸张的边线到打印区域的距离），上、下，左、右页边距分别为cm cm cm cm a b c d 、、、．若纸张大小为16cm 10cm ⨯，考虑到整体的美观性，要求各页边距相等并使打印区域的面积占纸张的70%，则需如何设置页边距？58．（2023·湖北黄冈·中考真题）加强劳动教育，落实五育并举．孝礼中学在当地政府的支持下，建成了一处劳动实践基地．2023年计划将其中21000m 的土地全部种植甲乙两种蔬菜．经调查发现：甲种蔬菜种植成本y （单位；元/2m ）与其种植面积x （单位：2m ）的函数关系如图所示，其中200700x ≤≤；乙种蔬菜的种植成本为50元/2m ．(1)当x =___________2m 时，35y =元/2m ；(2)设2023年甲乙两种蔬菜总种植成本为W 元，如何分配两种蔬菜的种植面积，使W 最小？(3)学校计划今后每年在这21000m 土地上，均按（2）中方案种植蔬菜，因技术改进，预计种植成本逐年下降，若甲种蔬菜种植成本平均每年下降10%，乙种蔬菜种植成本平均每年下降%a ，当a 为何值时，2025年的总种植成本为28920元？59．（2022·山东德州·中考真题）如图，某小区矩形绿地的长宽分别为35m ，15m ．现计划对其进行扩充，将绿地的长、宽增加相同的长度后，得到一个新的矩形绿地．(1)若扩充后的矩形绿地面积为2800m，求新的矩形绿地的长与宽；(2)扩充后，实地测量发现新的矩形绿地的长宽之比为5:3．求新的矩形绿地面积．60．（2022·辽宁沈阳·中考真题）如图，用一根长60厘米的铁丝制作一个“日”字型框架ABCD，铁丝恰好全部用完．(1)若所围成矩形框架ABCD的面积为144平方厘米，则AB的长为多少厘米？(2)矩形框架ABCD面积最大值为______平方厘米．。
备战中考数学一元二次方程-经典压轴题附答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣12．发现思考：已知等腰三角形ABC 的两边分别是方程x 2﹣7x+10=0的两个根，求等腰三角形ABC 三条边的长各是多少？下边是涵涵同学的作业，老师说他的做法有错误，请你找出错误之处并说明错误原因．涵涵的作业解：x 2﹣7x+10=0a=1 b=﹣7 c=10∵b 2﹣4ac=9＞0∴2b b 4ac -±-732± ∴x 1=5，x 2=2所以，当腰为5，底为2时，等腰三角形的三条边为5，5，2．当腰为2，底为5时，等腰三角形的三条边为2，2，5．探究应用：请解答以下问题：已知等腰三角形ABC 的两边是关于x 的方程x 2﹣mx+m 2﹣14=0的两个实数根． （1）当m=2时，求△ABC 的周长；（2）当△ABC 为等边三角形时，求m 的值．【答案】错误之处及错误原因见解析；（1）当m=2时，△ABC 的周长为72；（2）当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【解析】【分析】根据三角形三边关系可以得到等腰三角形的三条边不能为2、2、5．（1）先解方程，再确定边，从而求周长；（2）是等边三角形，则两根相等，即△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1，可求得m. 【详解】解：错误之处：当2为腰，5为底时，等腰三角形的三条边为2、2、5． 错误原因：此时不能构成三角形．（1）当m=2时，方程为x 2﹣2x+34=0， ∴x 1=12，x 2=32． 当12为腰时，12+12<32， ∴12、12、32不能构成三角形； 当32为腰时，等腰三角形的三边为32、32、12， 此时周长为32+32+12=72． 答：当m=2时，△ABC 的周长为72． （2）若△ABC 为等边三角形，则方程有两个相等的实数根，∴△=（﹣m ）2﹣4（m 2﹣14）=m 2﹣2m+1=0， ∴m 1=m 2=1．答：当△ABC 为等边三角形时，m 的值为1．【点睛】本题考核知识点：二元一次方程的运用.解题关键点：熟练掌握二元一次方程的解法和等腰三角形性质.3．已知关于x 的一元二次方程()220x m x m -++=（m 为常数）（1）求证：不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）若方程有一个根是2，求m的值及方程的另一个根．【答案】(1)见解析；(2) 即m的值为0，方程的另一个根为0.【解析】【分析】（1）可用根的判别式，计算判别式得到△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4＞0，则方程有两个不相等实数解，于是可判断不论m为何值，方程总有两个不相等的实数根；（2）设方程的另一个根为t，利用根与系数的关系得到2+t=21m+,2t=m,最终解出关于t和m的方程组即可.【详解】(1)证明：△=(m+2)2−4×1⋅m=m2+4，∵无论m为何值时m2≥0，∴m2+4≥4＞0，即△＞0，所以无论m为何值，方程总有两个不相等的实数根.(2)设方程的另一个根为t，()220x m x m-++=根据题意得2+t=21m+,2t=m，解得t=0，所以m=0，即m的值为0，方程的另一个根为0.【点睛】本题考查根的判别式和根于系数关系，对于问题（1）可用根的判别式进行判断，在判断过程中注意对△的分析，在分析时可借助平方的非负性；问题（2）可先设另一个根为t，用根于系数关系列出方程组，在求解.4．已知两条线段长分别是一元二次方程28120x x-+=的两根，（1）解方程求两条线段的长。
中考数学一元二次方程的综合题试题附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程()2204m mx m x -++=.（1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根； （2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）134x +=，2x =. 【解析】 【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404mm m+->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =，2x =. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.2．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32.【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴=41222-=-±⨯∴x 1＝－1＋2，x 2＝－1－2（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0 [(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1＝－14，y 2＝32.3．已知关于x 的一元二次方程x 2－（2k ＋1）x ＋k 2＋2k ＝0有两个实数根x 1，x 2． （1）求实数k 的取值范围；（2）是否存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当k≤14时，原方程有两个实数根(2)不存在实数k ，使得x 1·x 2－x 12－x 22≥0成立 【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程根的判别式列出不等式，解之即可；（2）本题利用韦达定理解决. 试题解析：（1）∆= ()()2221420k k k +-+≥，解得14k ≤（2）由2212120x x x x --≥得 2121230x x x x （）-+≥， 由根与系数的关系可得：2121221,2x x k x x k k +=+=+代入得：22364410k k k k +---≥， 化简得：()210k -≤， 得1k =.由于k 的取值范围为14k ≤， 故不存在k 使2212120x x x x --≥．4．设m 是不小于﹣1的实数，关于x 的方程x 2+2（m ﹣2）x+m 2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x 1、x 2，（1）若x 12+x 22=6，求m 值； （2）令T=121211mx mx x x +--，求T 的取值范围．【答案】（1）2）0＜T≤4且T≠2． 【解析】【分析】由方程方程由两个不相等的实数根求得﹣1≤m＜1，根据根与系数的关系可得x1+x2=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；（1）把x12+x22=6化为（x1+x2）2﹣2x1x2=6，代入解方程求得m的值，根据﹣1≤m＜1对方程的解进行取舍；（2）把T化简为2﹣2m，结合﹣1≤m＜1且m≠0即可求T得取值范围.【详解】∵方程由两个不相等的实数根，所以△=[2（m﹣2）]2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，所以m＜1，又∵m是不小于﹣1的实数，∴﹣1≤m＜1∴x1+x2=﹣2（m﹣2）=4﹣2m，x1•x2=m2﹣3m+3；（1）∵x12+x22=6，∴（x1+x2）2﹣2x1x2=6，即（4﹣2m）2﹣2（m2﹣3m+3）=6整理，得m2﹣5m+2=0解得m=；∵﹣1≤m＜1所以m=．（2）T=+=====2﹣2m．∵﹣1≤m＜1且m≠0所以0＜2﹣2m≤4且m≠0即0＜T≤4且T≠2．【点睛】本题考查了根与系数的关系、根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．5．已知关于x的一元二次方程有两个实数x2+2x+a﹣2=0，有两个实数根x1，x2．（1）求实数a的取值范围；（2）若x12x22+4x1+4x2=1，求a的值．【答案】（1）a≤3；（2）a=﹣1．【解析】试题分析：（1）由根的个数，根据根的判别式可求出a的取值范围；（2）根据一元二次方程根与系数的关系，代换求值即可得到a的值.试题解析：（1）∵方程有两个实数根，∴△≥0，即22﹣4×1×（a﹣2）≥0，解得a≤3；（2）由题意可得x1+x2=﹣2，x1x2=a﹣2，∵x12x22+4x1+4x2=1，∴（a﹣2）2﹣8=1，解得a=5或a=﹣1，∵a≤3，∴a=﹣1．6．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2＝0有实数根．（1）求a的取值范围；（2）当a为符合条件的最大整数，求此时方程的解．【答案】（1）a≤174；（2）x=1或x=2【解析】【分析】（1）由一元二次方程有实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac≥0，建立关于a的不等式，即可求出a的取值范围；（2）根据（1）确定出a的最大整数值，代入原方程后解方程即可得.【详解】（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣3x+a﹣2=0有实数根，∴△≥0，即（﹣3）2﹣4（a﹣2）≥0，解得a≤174；（2）由（1）可知a≤174，∴a的最大整数值为4，此时方程为x2﹣3x+2=0，解得x=1或x=2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式以及解一元二次方程，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．7．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元． 【解析】 【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可 【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ． 40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得()4030y (448)5100.5y--⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5， ∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．8．某产品每件成本为20元，经过市场调研发现，这种产品在未来20天内的日销售量m （单位：件）是关于时间t （单位：天）的一次函数，调研所获的部分数据如下表：这20天中，该产品每天的价格y （单位：元/件）与时间t 的函数关系式为：1254y t =+（t 为整数），根据以上提供的条件解决下列问题：（1）直接写出m 关于t 的函数关系式；（2）这20天中哪一天的日销售利润最大，最大的销售利润是多少？（3）在实际销售的20天中，每销售一件商品就捐赠a 元（4a <）给希望工程，通过销售记录发现，这20天中，每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，求a 的取值范围.【答案】（1）2100m t =-+；（2）在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元；（3）2.54a ≤<. 【解析】 【分析】（1）从表格可看出每天比前一天少销售2件，即可确定一次函数关系式；（2）根据日利润=日销售量×每件利润列出函数解析式，然后根据函数性质求最大值，即可确定答案；（3）根据20天中每天扣除捐赠后的日销售利润，根据函数性质求a 的取值范围 【详解】（1）设该函数的解析式为:m=kx+b 由题意得:98=k b94=3k b+⎧⎨+⎩解得:k=-2,b=100∴m 关于t 的函数关系式为:2100m t =-+. （2）设前20天日销售利润为W 元，由题意可知，()1210025204W t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭21151002t t =-++()2115612.52t =--+ ∵102<，∴当15t =时，612.5W =最大. ∴在第15天时日销售利润最大，最大利润为612.5元.（3）由题意得：()1210025204W t t a ⎛⎫=-++-- ⎪⎝⎭()211525001002t a t a =-+++-，∴对称轴为：152t a =+，∵每天扣除捐赠后的日销利润随时间t 的增大而增大，且120t ≤≤， ∴15220a +≥， ∴ 2.5a ≥， ∴2.54a ≤<.【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握各函数的性质和图象特征，掌握解决最值问题的方法是解答本题的关键.9．今年以来猪肉价格不断走高，引起了民众与区政府的高度关注，当市场猪肉的平均价格每 千克达到一定的单价时，政府将投入储备猪肉以平抑猪肉价格．据统计：从今年年初至 11月 10 日，猪排骨价格不断走高，11 月 10 日比年初价格上涨了 75%．今年 11 月 10 日某市 民于 A 超市购买 5 千克猪排骨花费 350 元． （1）A 超市 11 月排骨的进货价为年初排骨售价的32倍，按 11 月 10 日价格出售，平均一天能销售出 100 千克，超市统计发现：若排骨的售价每千克下降 1 元，其日销售量就增加 20千克，超市为了实现销售排骨每天有 1000 元的利润，为了尽可能让顾客优惠应该将排骨的 售价定位为每千克多少元？（2）11 月 11 日，区政府决定投入储备猪肉并规定排骨在 11 月 10 日售价的基础上下调 a %出售，A 超市按规定价出售一批储备排骨，该超市在非储备排骨的价格不变情况下，该天的两种猪排骨总销量比 11 月 10 日增加了 a %，且储备排骨的销量占总销量的57，两种排骨销售的总金额比 11 月 10 日提高了128a %，求 a 的值． 【答案】（1）售价为每千克65元；（2）a =35. 【解析】 【分析】（1）先根据题意计算出11月10的售价和11月的进货价，设每千克降价x 元，则每千克的利润为10-x 元，日销量为100+20x 千克，根据销量×单利润=总利润列出方程求解，并根据为了尽可能让顾客优惠，对所得的解筛选；（2）根据销售总金额=储备排骨销售单价×储备排骨销售数量+非储备排骨销售单价×非储备排骨销售数量，即可得出关于a 的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：（1）11月10日的售价为350÷5=70元/千克 年初的售价为：350÷5÷175％=40元/千克， 11月的进货价为： 340602元/千克设每千克降价x 元，则每千克的利润为70-60-x=10-x 元，日销量为100+20x 千克 则(10020)(10)1000x x ，解得10x =，25x =因为为了尽可能让顾客优惠，所以降价5元，则售价为每千克65元. （2）根据题意可得52170(1%)100(1%)70100(1%)701001%7728a a a a ⎛⎫-++⨯+=⨯+ ⎪⎝⎭解得135a =,20a =(舍去) 所以a =35. 【点睛】本题考查一元二次方程的应用，（1）中理清销售量随着单价的变化而变化的数量关系是解题关键；（2）中在求解时有些难度，可先设令%a t =，解方程求出t 后再求a 的值.10．如图，在四边形 ABCD 中， AD //BC ， C 90∠=︒ ， BC 16=， DC 12= ，AD 21= ，动点P 从点D 出发，沿线段 DA 的方向以每秒2个单位长的速度运动；动点Q 从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒1个单位长的速度向点 B 运动；点P ，Q 分别从点D ，C 同时出发，当点 P 运动到点 A 时，点Q 随之停止运动，设运动的时间为t 秒）.（1）当 t 2=时，求 BPQ 的面积；（2）若四边形ABQP 为平行四边形，求运动时间 t . （3）当 t 为何值时，以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？ 【答案】（1）S 84=；（2）t 5= ；（3）7t 2=或163. 【解析】 【分析】（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则PM=DC ，当t=2时，算出BQ ，求出面积即可；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =，即212t 16t -=-，解出即可；（3）以 B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，分三种情况，①PQ BQ =，②BP BQ =，③PB PQ =分别求出t 即可. 【详解】解 ：（1）过点P 作PM BC ⊥于M ，则四边形PDCM 为矩形.∴PM DC 12==， ∵QB 16t =-， 当t=2时，则BQ=14， 则1S QB PM 2=⨯=12×14×12=84；（2）当四边形ABQP 是平行四边形时，AP BQ =, 即212t 16t -=-： 解得：t 5=∴当t 5=时，四边形ABQP 是平行四边形.（3）由图可知，CM=PD=2t ，CQ=t ，若以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分为以下三种情况：①若PQ BQ =，在Rt PMQ 中，222PQ 12t =+，由22PQ BQ =得()2221216t t +=- 解得：7t 2=； ②若BP BQ =，在Rt PMB 中，()222PB 16212t =-+，由22PB BQ ?=得()()222 1621216t t -+=- ，即2332t 1440t -+=，此时，()232431447040=--⨯⨯=-<△ , 所以此方程无解，所以BP BQ ≠ ；③若PB PQ =，由22PB PQ ?=得()2222 12162t 12t +=-+ , 得 1163t =，216t =（不合题意，舍去）； 综上所述，当7t 2=或163时，以B 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形. 【点睛】本题是对四边形即可中动点问题的考查，熟练掌握动点中线段的表示、平行四边形和等腰三角形的性质及判断是解决本题的关键，难度适中.。
全国中考数学一元二次方程的综合中考真题汇总及详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．已知关于x 的一元二次方程x 2﹣x+a ﹣1=0．（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x 1，x 2，求a 的取值范围；（3）若方程两个实数根x 1，x 2满足[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，求a 的值．【答案】（1）123,4x x =-=（2）54a ≤（3）-4【解析】分析：（1）根据一元二次方程的解法即可求出答案；（2）根据判别式即可求出a 的范围；（3）根据根与系数的关系即可求出答案．详解：（1）把a =﹣11代入方程，得x 2﹣x ﹣12=0，（x +3）（x ﹣4）=0，x +3=0或x ﹣4=0，∴x 1=﹣3，x 2=4；（2）∵方程有两个实数根12x x ，，∴△≥0，即（﹣1）2﹣4×1×（a ﹣1）≥0，解得54a ≤：； （3）∵12x x ，是方程的两个实数根，222211221122101011x x a x x a x x a x x a -+-=-+-=∴-=--=-，，，．∵[2+x 1（1﹣x 1）][2+x 2（1﹣x 2）]=9，∴221122229x x x x ⎡⎤⎡⎤+-+-=⎣⎦⎣⎦，把22112211x x a x x a -=--=-， 代入，得：[2+a ﹣1][2+a ﹣1]=9，即（1+a ）2=9，解得：a =﹣4，a =2（舍去），所以a 的值为﹣4．点睛：本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用判别式以及根与系数的关系．2．解方程：2332302121x x x x ⎛⎫⎛⎫--= ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭． 【答案】x=15或x=1 【解析】【分析】 设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0, 解这个一元二次方程求y ，再求x ． 【详解】 解：设321x y x =-，则原方程变形为y 2-2y-3=0． 解这个方程，得y 1=-1,y 2=3,∴3121x x =--或3321x x =-． 解得x=15或x=1． 经检验：x=15或x=1都是原方程的解． ∴原方程的解是x=15或x=1． 【点睛】考查了还原法解分式方程，用换元法解一些复杂的分式方程是比较简单的一种方法，根据方程特点设出相应未知数，解方程能够使问题简单化，注意求出方程解后要验根．3．从图象来看，该函数是一个分段函数，当0≤x≤m 时，是正比例函数，当x ＞m 时是一次函数．【小题1】只需把x 代入函数表达式，计算出y 的值，若与表格中的水费相等，则知收取方案．4．有一个人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感．（1）求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？【答案】（1）5；（2）180【解析】【分析】（1）设平均一人传染了x 人，根据有一人患了流感，经过两轮传染后共有36人患了流感，列方程求解即可；（2）根据每轮传染中平均一个人传染的人数和经过两轮传染后的人数，列出算式求解即可．【详解】（1）设每轮传染中平均一个人传染了x 个人，根据题意得：x+1+（x+1）x ＝36，解得：x ＝5或x ＝﹣7（舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染了5个人；（2）根据题意得：5×36＝180（个），答：第三轮将又有180人被传染．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是能根据题意找到等量关系并列方程.5．关于x 的方程()2204k kx k x +++=有两个不相等的实数根．()1求实数k 的取值范围；()2是否存在实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根？若存在，求出k 的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）1k >-且0k ≠；（2）不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【解析】【分析】()1由于方程有两个不相等的实数根，所以它的判别式0>，由此可以得到关于k 的不等式，解不等式即可求出k 的取值范围. ()2首先利用根与系数的关系，求出两根之和与两根之积，再由方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，可以得出关于k 的等式，解出k 值，然后判断k 值是否在()1中的取值范围内.【详解】解：()1依题意得2(2)404k k k =+-⋅>， 1k ∴>-，又0k ≠，k ∴的取值范围是1k >-且0k ≠；()2解：不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，理由是：设方程()2204k kx k x +++=的两根分别为1x ，2x ， 由根与系数的关系有：1212214k x x k x x +⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 又因为方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根，212k k +∴-=， 43k ∴=-， 由()1知，1k >-，且0k ≠，43k ∴=-不符合题意， 因此不存在符合条件的实数k ，使方程的两个实数根之和等于两实数根之积的算术平方根．【点睛】本题重点考查了一元二次方程的根的判别式和根与系数的关系。
初中一元二次函数经典例题
初中一元二次函数经典例题摘要：1.二次函数的基本概念和性质2.一元二次方程的求解方法3.二次函数与一元二次方程的关系4.经典例题解析正文：一、二次函数的基本概念和性质二次函数是初中数学中的重要内容，它是指形如y = ax + bx + c（a、b、c为常数，a ≠ 0）的函数。
二次函数的图象为抛物线，具有以下性质：1.抛物线的顶点坐标为（-b/2a，f（-b/2a）），其中f（x）为二次函数的值。
2.抛物线的对称轴为x = -b/2a。
3.当a > 0时，抛物线开口向上；当a < 0时，抛物线开口向下。
二、一元二次方程的求解方法一元二次方程是指形如ax + bx + c = 0（a、b、c为常数，a ≠ 0）的方程。
求解一元二次方程的一般方法是利用公式法、因式分解法、图像法等。
1.公式法：根据一元二次方程的求根公式，即x = (-b ± √(b - 4ac)) / (2a)，求得方程的根。
2.因式分解法：将一元二次方程化为两个一次方程相乘的形式，如(x + m)(x + n) = 0，然后分别求解得到方程的根。
3.图像法：根据二次函数的图像，观察抛物线与x轴的交点，即为方程的根。
三、二次函数与一元二次方程的关系二次函数与一元二次方程之间有着密切的联系。
一元二次方程的根对应着二次函数图像与x轴的交点，而二次函数的顶点坐标和对称轴则可用于求解一元二次方程的特殊解。
四、经典例题解析1.题目：已知二次函数y = ax + bx + c的图像上存在两个点A（1，0）、B（2，0），求证：abc ≠ 0。
解析：由于A、B两点在二次函数的图像上，代入坐标得到两个方程：a +b +c = 0，4a + 2b + c = 0。
解得a = -c，b = 0。
因此，abc ≠ 0。
2.题目：求方程x - 3x + 2 = 0的根。
解析：将方程化为二次函数的形式，即y = x - 3x + 2。
根据二次函数的性质，可知顶点坐标为（3/2，-1/4），对称轴为x = 3/2。
全国中考真题分类汇编 一元二次方程及其应用
精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！一元二次方程及其应用考点一、 一元二次方程的解法 （10分） 1、直接开平方法利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。
直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。
根据平方根的定义可知，a x +是b 的平方根，当0≥b 时，b a x ±=+，b a x ±-=，当b<0时，方程没有实数根。
2、配方法配方法是一种重要的数学方法，它不仅在解一元二次方程上有所应用，而且在数学的其他领域也有着广泛的应用。
配方法的理论根据是完全平方公式222)(2b a b ab a +=+±，把公式中的a 看做未知数x ，并用x 代替，则有222)(2b x b bx x ±=+±。
3、公式法公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法，它是解一元二次方程的一般方法。
一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的求根公式：)04(2422≥--±-=ac b aac b b x4、因式分解法因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，这种方法简单易行，是解一元二次方程最常用的方法。
考点二、一元二次方程根的判别式 （3分）根的判别式一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 中，ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“∆”来表示，即ac b 42-=∆考点三、一元二次方程根与系数的关系 （3分）如果方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个实数根是21x x ，，那么ab x x -=+21，acx x =21。
也就是说，对于任何一个有实数根的一元二次方程，两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商。
考点四、分式方程 （8分）1、分式方程分母里含有未知数的方程叫做分式方程。
一元二次函数中考试题选编
一元二次函数综合练习题21、二次函数y=ax +bx+c（a^O）的图象如图所示，对称轴是直线x=1 ,则下列四个结论错误.的是A. C . 0 B . 2a b=0 C . b -4ac 0 D . a -b c 02、已知二次函数y = ax2 bx - C的图象如图所示，有以下结论：① a b ^：：0 :②a—b∙c 1 :③abc 0 :④4a -2b c < 0 :⑤c - a 1其中所有正确结论的序号是（）A .①②B.①③④C.①②③⑤ D .①②③④⑤23、二次函数y =ax bx c（a = 0）的图象如图，下列判断错误的是（）2A. a ：：： 0 B . b ：： 0 c. C ：： 0 D . b -4ac ：： 04、二次函数y =ax2 bx C的图象如图所示，则下列关系式中错误的是（）A . a v 0B . c>0C . b2-4ac > 0D . abc > 0 5、某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高丁；：与水平的距离、1 2 5- ：■'■' ■,则该运动员的成绩是（）]匚—•3A. 6mB. 10mC. 8mD. 12m […“”6、抛物线y = ax2+ bx+ C上部分点的横坐标X，纵坐标y的对应值如表所示.给出下列说法：①抛物线与y轴的交点为（0 , 6）;②抛物线的对称轴是在y轴的右侧；③抛物线一定经过点（3 , 0）; ④在对称轴左侧，y随X增大而减小.A. 1个B . 2个 C . 3个D . 4个27、抛物线y = x -2x 3与坐标轴交点为（X—3—2—101y—60466A.二个交点B . 一个交点C .无交点D .三个交点8、二次函数y = x2的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是（）2 2—2 2A . y = X —2B . y = （X —2）C . y= X + 2D . y = （X+ 2）9、若二次函数y = 2x2—2mx+ 2n i—2的图象的顶点在y轴上，则m的值是（）A.0B. ± 1C. ± 2D. ± V 210、二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则关于此二次函数的下列四第2题2b个结论①a<0②a>0③b -4ac>0④：：：0中，正确的结论有（）aA.1个B.2 个C.3 个D.4 个11、抛物线y =aχ2∙ bx ∙ c（a 0）的对称轴是直线x =1 ,且经过点( A. 0 )B. C. 1 D. 212、 已知二次函数y = ax 2+ bx + c （a ≠ 0）的图象如图所示， ②当X =1时，函数有最大值。
一元二次函数中考题选
一元二次函数中考题选1.（9分）(2013南京）已知二次函数2()()y a x m a x m=---（a、m为常数，且a≠0）.（1）求证：不论a与m为何值，该函数的图象与x轴总有两个公共点；（2）设该函数的图象的顶点为C，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点D.①当△ABC的面积等于1时，求a的值；②当△ABC的面积与△ABD的面积相等时，求m的值.2．（本题满分10分）（2013苏州）如图，已知抛物线y＝12x2＋bx＋c（b，c是常数，且c<0）与x轴分别交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴的负半轴交于点C，点A的坐标为(－1，0)．(1)b＝▲，点B的横坐标为▲（上述结果均用含c的代数式表示）；(2)连接BC，过点A作直线AE∥BC，与抛物线y＝12x2＋bx＋c交于点E．点D是x轴上一点，其坐标为(2，0)，当C，D，E三点在同一直线上时，求抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，点P是x轴下方的抛物线上的一动点，连接PB，PC，设所得△PBC 的面积为S．①求S的取值范围；②若△PBC的面积S为整数，则这样的△PBC共有▲个．3．（10分）（2013•徐州）如图，二次函数y=x2+bx﹣的图象与x轴交于点A（﹣3，0）和点B，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接DP，过点P作DP 的垂线与y轴交于点E．（1）请直接写出点D的坐标：；（2）当点P在线段AO（点P不与A、O重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值，求出这个最大值；（3）是否存在这样的点P，使△PED是等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标及此时△PED 与正方形ABCD重叠部分的面积；若不存在，请说明理由．4．（本小题满分14分）（2013南通）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等．经过点C（0，－2）的直线l与 x轴平行，O为坐标原点．（1）求直线AB和这条抛物线的解析式；（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由；（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积．5.（2013淮安）如图，在△ABC中，∠C=900，BC=3，AB=5，点P从点B出发，以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度沿C→A→B的方向运动，到达点B后立即原速返回，若P、Q两点同时运动，相遇后同时停止，设运动时间为t秒。
全国中考数学一元二次方程的综合中考真题汇总附详细答案
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．解方程：（2x+1）2=2x+1．【答案】x=0或x=12-. 【解析】试题分析：根据因式分解法解一元二次方程的解法，直接先移项，再利用ab=0的关系求解方程即可.试题解析：∵（2x+1）2﹣（2x+1）=0，∴（2x+1）（2x+1﹣1）=0，即2x （2x+1）=0，则x=0或2x+1=0，解得：x=0或x=﹣12．2．已知关于x 的二次函数22(21)1y x k x k =--++的图象与x 轴有2个交点.（1）求k 的取值范围；（2）若图象与x 轴交点的横坐标为12,x x ，且它们的倒数之和是32-，求k 的值. 【答案】（1）k ＜-34 ；（2）k=﹣1 【解析】试题分析：（1）根据交点得个数，让y=0判断出两个不相等的实数根，然后根据判别式△= b 2-4ac 的范围可求解出k 的值；（2）利用y=0时的方程，根据一元二次方程的根与系数的关系，可直接列式求解可得到k 的值.试题解析：（1）∵二次函数y=x 2-（2k-1）x+k 2+1的图象与x 轴有两交点，∴当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0有两个不相等的实数根．∴△=b 2-4ac=[-（2k-1）]2-4×1×（k 2+1）＞0．解得k ＜-34； （2）当y=0时，x 2-（2k-1）x+k 2+1=0．则x 1+x 2=2k-1，x 1•x 2=k 2+1，∵=== 32-， 解得：k=-1或k= 13-（舍去），∴k=﹣13．将m 看作已知量，分别写出当0<x<m 和x>m 时，与之间的函数关系式；4．解下列方程：(1)2x 2－4x －1＝0(配方法)；(2)(x ＋1)2＝6x ＋6.【答案】(1)x 1＝1＋2x 2＝1－21＝－1，x 2＝5. 【解析】试题分析：（1）根据配方法解一元二次方程的方法，先移项，再加减一次项系数一半的平方，完成配方，再根据直接开平方法解方程即可；（2）根据因式分解法，先移项，再提公因式即可把方程化为ab=0的形式，然后求解即可. 试题解析：(1)由题可得，x 2－2x ＝12，∴x 2－2x ＋1＝32. ∴(x －1)2＝32.∴x －1＝.∴x 1＝1x 2＝1 (2)由题可得，(x ＋1)2－6(x ＋1)＝0，∴(x ＋1)(x ＋1－6)＝0.∴x ＋1＝0或x ＋1－6＝0.∴x 1＝－1，x 2＝5.5．小王经营的网店专门销售某种品牌的一种保温杯，成本为30元/只，每天销售量y （只）与销售单价x （元）之间的关系式为y ＝﹣10x+700（40≤x≤55），求当销售单价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少元？【答案】当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元【解析】【分析】表示出一件的利润为（x ﹣30）,根据总利润=单件利润乘以销售数量,整理成顶点式即可解题.【详解】设每天获得的利润为w 元，根据题意得：w ＝（x ﹣30）y ＝（x ﹣30）（﹣10x+700）＝﹣10x 2+1000x ﹣21000＝﹣10（x ﹣50）2+4000．∵a ＝﹣10＜0，∴当x ＝50时，w 取最大值，最大值为4000．答：当销售单价为50元时，每天获得的利润最大，利润的最大值为4000元．【点睛】本题考查了一元二次函数的实际应用,中等难度,熟悉函数的性质是解题关键.6．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元．每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．（1）若该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件32.4元，求两次下降的百分率；（2）经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，那么每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？【答案】（1）两次下降的百分率为10%；（2）要使每月销售这种商品的利润达到510元，且更有利于减少库存，则商品应降价2.5元．【解析】【分析】（1）设每次降价的百分率为 x ，（1﹣x ）2 为两次降价后的百分率，40元 降至 32.4元 就是方程的等量条件，列出方程求解即可；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元，由销售问题的数量关系建立方程求出其解即可【详解】解：（1）设每次降价的百分率为 x ．40×（1﹣x ）2＝32.4x ＝10%或 190%（190%不符合题意，舍去）答：该商品连续两次下调相同的百分率后售价降至每件 32.4元，两次下降的百分率为10%；（2）设每天要想获得 510 元的利润，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 y 元， 由题意，得()4030y (448)5100.5y --⨯+= 解得：1y ＝1.5，2y ＝2.5，∵有利于减少库存，∴y ＝2.5．答：要使商场每月销售这种商品的利润达到 510 元，且更有利于减少库存，则每件商品应降价 2.5 元．【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．7．关于x 的一元二次方程ax 2+bx+1=0．（1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况；（2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的a ，b 的值，并求此时方程的根．【答案】（1）方程有两个不相等的实数根；（2）b=-2，a=1时，x 1=x 2=﹣1．【解析】【详解】分析：（1）求出根的判别式24b ac ∆=-，判断其范围，即可判断方程根的情况.（2）方程有两个相等的实数根，则240b ac ∆=-=，写出一组满足条件的a ，b 的值即可.详解：（1）解：由题意：0a ≠．∵()22242440b ac a a a ∆=-=+-=+>， ∴原方程有两个不相等的实数根．（2）答案不唯一，满足240b ac -=（0a ≠）即可，例如：解：令1a =，2b =-，则原方程为2210x x -+=，解得：121x x ==．点睛：考查一元二次方程()200++=≠ax bx c a 根的判别式24b ac ∆=-， 当240b ac ∆=->时，方程有两个不相等的实数根.当240b ac ∆=-=时，方程有两个相等的实数根.当240b ac ∆=-<时，方程没有实数根.8．将进货单价为40元的商品按50元售出，能售出500件，如果该商品涨价1元，其销售量就要减少10件，为了赚取8000元的利润，售价应定为多少元？这时应进货多少件？【答案】要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【解析】【分析】设每件商品涨价x 元，能赚得8000元的利润；销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件；每件的利润为根据为（50+x-40）元，根据总利润=销售量×每个利润，可列方程求解【详解】解：设每件商品涨价x 元，则销售单价为(50)x +元，销售量为(50010)x -件． 根据题意，得(50010)[(50)40]8000x x -+-=．解得110x =，230x =．经检验，110x =，230x =都符合题意．当10x =时，5060x +=，50010400x -=；当30x =时，5080x +=，50010200x -=．所以，要赚取8000元的利润，售价应定为60元或80元．售价定为60元时，应进货400件；售价定为80元时，应进货200件．【点睛】本题考查一元二次方程的应用，关键看到售价和销售量的关系，然后以利润做为等量关系列方程求解9．解方程：x 2－2x ＝2x ＋1.【答案】x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.【解析】试题分析：根据方程，求出系数a 、b 、c ，然后求一元二次方程的根的判别式，最后根据求根公式24b b ac x -±-=求解即可. 试题解析：方程化为x 2－4x －1＝0.∵b 2－4ac ＝(－4)2－4×1×(－1)＝20，∴x ＝420±＝2±5 ， ∴x 1＝2－5 ，x 2＝2＋5.10． ∵1.7×35=59.5，1.7×80=136＜151∴这家酒店四月份用水量不超过m 吨（或水费是按y=1.7x 来计算的），五月份用水量超过m 吨（或水费是按来计算的） 则有151=1.7×80+（80－m ）×即m 2－80m+1500=0解得m 1=30，m 2=50．又∵四月份用水量为35吨，m 1=30＜35，∴m 1=30舍去．∴m=50【解析】。
中考数学一元二次方程专题(附答案)
中考数学一元二次方程专题（附答案）一、单选题（共12题；共24分）1.下列一元二次方程有两个相等实数根的是（）A. x2﹣2x+1=0B. 2x2﹣x+1=0C. 4x2﹣2x﹣3=0D. x2﹣6x=02.方程＝0有两个相等的实数根，且满足＝，则的值是（）A. －2或3B. 3C. －2D. －3或23.若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根，则k的值是（）A. ﹣1B. 0C. 1D. 24.若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是:A. B. C. D.5.下列一元二次方程中，有两个相等实数根的是（）A. x2﹣8=0B. 2x2﹣4x+3=0C. 9x2﹣6x+1=0D. 5x+2=3x26.已知m、n、4分别是等腰三角形（非等边三角形）三边的长，且m、n是关于的一元二次方程的两个根，则k的值等于A. 7B. 7或6C. 6或D. 67.方程（x-1）•（x2+17x-3）=0的三根分别为x1，x2，x3 .则x1x2+x2x3+x1x3 =（）A. 14B. 13C. －14D. －208.一元二次方程x2﹣4x+3=0的两个根分别是⊙O1和⊙O2的半径长，圆心距O1O2=4，则⊙O1和⊙O2的位置关系（）A. 外离B. 外切C. 相交D. 内切9.已知关于的方程有两个实数根，则的取值范围是( )A. B. C. 且 D. 且10.设a、b、c和S分别为三角形的三边长和面积，关于x的方程b2x2+(b2+c2-a2)x+c2=0的判别式为Δ.则Δ与S的大小关系为( ).A. Δ=16S2B. Δ=-16S2C. Δ=16SD. Δ=-16S11.下列方程中，有两个不相等实数根的是（）.A. x2-4x+4=0B. x2+3x-1=0C. x2+x+1=0D. x2-2x+3=012.已知二次函数y=ax2+2ax+3a-2（a是常数，且a≠0）的图象过点M（x1，-1），N（x2，-1），若MN的长不小于2，则a的取值范围是（）A. a≥B. 0<a≤C. - ≤a<0D. a≤-二、填空题（共6题；共12分）13.等腰三角形的腰和底边的长是方程x2-20x+91=0的两个根，则此三角形的周长为________.14.已知x=-1是方程x2+ax+4=0的一个根，则方程的另一个根为________ 。
中考数学一元二次方程(大题培优)附答案解析
一、一元二次方程 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）1．机械加工需用油进行润滑以减小摩擦，某企业加工一台设备润滑用油量为90kg ，用油的重复利用率为60%，按此计算，加工一台设备的实际耗油量为36kg ，为了倡导低碳，减少油耗，该企业的甲、乙两个车间都组织了人员为减少实际油耗量进行攻关． （1）甲车间通过技术革新后，加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，问甲车间技术革新后，加工一台设备的实际油耗量是多少千克？ （2）乙车间通过技术革新后，不仅降低了润滑油用油量，同时也提高了用油的重复利用率，并且发现在技术革新前的基础上，润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，例如润滑用油量为89kg 时，用油的重复利用率为61.6%． ①润滑用油量为80kg ，用油量的重复利用率为多少？②已知乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，问加工一台设备的润滑用油量是多少千克？用油的重复利用率是多少？ 【答案】（1）28（2）①76%②75，84% 【解析】试题分析：（1）直接利用加工一台设备润滑油用油量下降到70kg ，用油的重复利用率仍然为60%，进而得出答案；（2）①利用润滑用油量每减少1kg ，用油的重复利用率将增加1.6%，进而求出答案； ②首先表示出用油的重复利用率，进而利用乙车间技术革新后实际耗油量下降到12kg ，得出等式求出答案．试题解析：（1）根据题意可得：70×（1﹣60%）=28（kg ）； （2）①60%+1.6%（90﹣80）=76%； ②设润滑用油量是x 千克，则 x{1﹣[60%+1.6%（90﹣x ）]}=12， 整理得：x 2﹣65x ﹣750=0， （x ﹣75）（x+10）=0， 解得：x 1=75，x 2=﹣10（舍去）， 60%+1.6%（90﹣x ）=84%，答：设备的润滑用油量是75千克，用油的重复利用率是84%． 考点：一元二次方程的应用2．已知关于x 的一元二次方程()2204mmx m x -++=. （1）当m 取什么值时，方程有两个不相等的实数根；（2）当4m =时，求方程的解.【答案】（1）当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根；（2）1x =，234x =. 【解析】 【分析】（1）方程有两个不相等的实数根，>0∆，代入求m 取值范围即可，注意二次项系数≠0；（2）将4m =代入原方程，求解即可. 【详解】（1）由题意得：24b ac ∆=- =()22404mm m+->，解得1m >-. 因为0m ≠，即当1m >-且0m ≠时，方程有两个不相等的实数根.（2）把4m =带入得24610x x -+=，解得1x =，2x =. 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况以及求解，熟练掌握根的判别式以及一元二次方程求解是加大本题的关键.3．用适当的方法解下列一元二次方程： （1）2x 2＋4x －1＝0；（2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0.【答案】（1）x 1＝－1x 2＝－12）y 1＝－14，y 2＝32.【解析】试题分析：（1）根据方程的特点，利用公式法解一元二次方程即可；（2）根据因式分解法，利用平方差公式因式分解，然后再根据乘积为0的方程的解法求解即可.试题解析：（1）∵a=2，b=4，c=-1 ∴△=b 2-4ac=16+8=24＞0∴x=2b a-±=41222-=-±⨯∴x 1＝－1，x 2＝－1 （2）(y ＋2)2－(3y －1)2＝0 [(y+2)+(3y-1)][ (y+2)-(3y-1)]=0 即4y+1=0或-2y+3=0 解得y 1＝－14，y 2＝32.4．已知关于x 的方程x 2﹣2x +m ﹣2＝0有两个不相等的实数根．(1)求m的取值范围；(2)如果m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．【答案】(1)m＜3；(2)m＝2．【解析】【分析】（1）根据题意得出△＞0，代入求出即可；（2）求出m=1或2，代入后求出方程的解，即可得出答案．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根．∴△＝4﹣4(m﹣2)＞0．∴m＜3；（2）∵m＜3 且 m为正整数，∴m＝1或2．当 m＝1时，原方程为 x2﹣2x﹣1＝0．它的根不是整数，不符合题意，舍去；当 m＝2时，原方程为 x2﹣2x＝0．∴x(x﹣2)＝0．∴x1＝0，x2＝2．符合题意．综上所述，m＝2．【点睛】本题考查了根的判别式和解一元二次方程，能根据题意求出m的值和m的范围是解此题的关键．5．关于x的一元二次方程．（1）.求证：方程总有两个实数根；（2）.若方程的两个实数根都是正整数，求m的最小值．【答案】（1）证明见解析；（2）-1.【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的个数情况与根的判别式关系可以证出方程总有两个实数根.(2)根据题意利用十字相乘法解方程，求得，再根据题意两个根都是正整数，从而可以确定的取值范围，即求出吗的最小值.【详解】(1)证明：依题意，得．，∴．∴方程总有两个实数根．由．可化为：得，∵方程的两个实数根都是正整数，∴．∴．∴的最小值为．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的个数关系和利用十字相乘法解含参数的方程，熟知根的判别式大于零方程有两个不相等的实数根，判别式等于零有两个相等的实数根或只有一个实数根，判别式小于零无根和十字相乘法的法则是解题关键.6．某新建火车站站前广场需要绿化的面积为46000米2，施工队在绿化了22000米2后，将每天的工作量增加为原来的1.5倍，结果提前4天完成了该项绿化工程．（1）该项绿化工程原计划每天完成多少米2？（2）该项绿化工程中有一块长为20米，宽为8米的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，它们的面积之和为56米2，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），问人行通道的宽度是多少米？【答案】(1)2000；(2)2米【解析】【分析】（1）设未知数，根据题目中的的量关系列出方程；（2）可以通过平移，也可以通过面积法，列出方程【详解】解：（1）设该项绿化工程原计划每天完成x米2，根据题意得：4600022000x-﹣46000220001.5x-= 4解得：x=2000，经检验，x=2000是原方程的解;答：该绿化项目原计划每天完成2000平方米；（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，（20﹣3x）（8﹣2x）=56解得：x=2或x=263（不合题意，舍去）．答：人行道的宽为2米．7．某公司今年1月份的生产成本是400万元，由于改进技术，生产成本逐月下降，3月份的生产成本是361万元．假设该公司2、3、4月每个月生产成本的下降率都相同．（1）求每个月生产成本的下降率；（2）请你预测4月份该公司的生产成本．【答案】（1）每个月生产成本的下降率为5%；（2）预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【解析】【分析】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据2月份、3月份的生产成本，即可得出关于x 的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论；（2）由4月份该公司的生产成本=3月份该公司的生产成本×（1﹣下降率），即可得出结论．【详解】（1）设每个月生产成本的下降率为x，根据题意得：400（1﹣x）2=361，解得：x1=0.05=5%，x2=1.95（不合题意，舍去）．答：每个月生产成本的下降率为5%；（2）361×（1﹣5%）=342.95（万元），答：预测4月份该公司的生产成本为342.95万元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）根据数量关系，列式计算．8．阅读下面的材料，回答问题：解方程x4﹣5x2+4＝0，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是：设x2＝y，那么x4＝y2，于是原方程可变为y2﹣5y+4＝0 ①，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2＝1，∴x＝±1；当y＝4时，x2＝4，∴x＝±2；∴原方程有四个根：x1＝1，x2＝﹣1，x3＝2，x4＝﹣2．（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用法达到的目的，体现了数学的转化思想．（2）解方程（x2+x）2﹣4（x2+x）﹣12＝0．【答案】（1）换元，降次；（2）x1=﹣3，x2=2．【解析】【详解】解：（1）在由原方程得到方程①的过程中，利用换元法达到降次的目的，体现了数学的转化思想;（2）设x2+x=y，原方程可化为y2﹣4y﹣12=0，解得y1=6，y2=﹣2．由x2+x=6，得x1=﹣3，x2=2．由x2+x=﹣2，得方程x2+x+2=0，b2﹣4ac=1﹣4×2=﹣7＜0，此时方程无实根．所以原方程的解为x1=﹣3，x2=2．9．关于x的一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0．（1）证明：方程总有两个不相等的实数根；（2）设这个方程的两个实数根为x1，x2，且|x1|=|x2|﹣2，求m的值及方程的根．【答案】（1）证明见解析；（2）x1=﹣，x2=﹣1或【解析】试题分析：（1）根据一元二次方程的判别式△=b2﹣4ac的结果判断即可，当△＞0时，有两个不相等的实数根，当△=0时，有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根；（2）根据一元二次方程根与系数的关系x1+x2=-ba，x1•x2=ca，表示出两根的关系，得到x1，x2异号，然后根据绝对值的性质和两根的关系分类讨论即可求解.试题解析：（1）一元二次方程x2﹣（m﹣3）x﹣m2=0，∵a=1，b=﹣（m﹣3）=3﹣m，c=﹣m2，∴△=b2﹣4ac=（3﹣m）2﹣4×1×（﹣m2）=5m2﹣6m+9=5（m﹣35）2+365，∴△＞0，则方程有两个不相等的实数根；（2）∵x1•x2=ca=﹣m2≤0，x1+x2=m﹣3，∴x1，x2异号，又|x1|=|x2|﹣2，即|x1|﹣|x2|=﹣2，若x1＞0，x2＜0，上式化简得：x1+x2=﹣2，∴m﹣3=﹣2，即m=1，方程化为x2+2x﹣1=0，解得：x1=﹣x2=﹣1，若x1＜0，x2＞0，上式化简得：﹣（x1+x2）=﹣2，∴x1+x2=m﹣3=2，即m=5，方程化为x2﹣2x﹣25=0，解得：x1=1，x210．若两个一次函数的图象与x轴交于同一点，则称这两个函数为一对“x牵手函数”，这个交点为“x牵手点”．（1）一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为；一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，则a＝；（2）已知一对“x牵手函数”：y＝ax+1与y＝bx﹣1，其中a，b为一元二次方程x2﹣kx+k﹣4＝0的两根，求它们的“x牵手点”．【答案】（1）（1，0），a＝﹣2；（2）“x牵手点”为（12-，0）或（12，0）.【解析】【分析】（1）根据x轴上点的坐标特征可求一次函数y=x-1与x轴的交点坐标；把一次函数y=x-1与x轴的交点坐标代入一次函数y=ax+2可求a的值；（2）根据“x牵手函数”的定义得到a+b=0，根据根与系数的关系求得k=0，可得方程x2-4=0，解得x1=2，x2=-2，再分两种情况：①若a=2，b=-2，②若a=-2，b=2，进行讨论可求它们的“x牵手点”．【详解】解：（1）当y＝0时，即x﹣1＝0，所以x＝1，即一次函数y＝x﹣1与x轴的交点坐标为（1，0），由于一次函数y＝ax+2与一次函数y＝x﹣1为一对“x牵手函数”，所以0＝a+2，解得a＝﹣2；（2）∵y＝ax+1与y＝bx﹣1为一对“x牵手函数”∴11a b-=，∴a+b＝0．∵a，b为x2﹣kx+k﹣4＝0的两根∴a+b＝k＝0，∴x2﹣4＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．①若a＝2，b＝﹣2则y＝2x+1与y＝﹣2x﹣1的“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭；②若a＝﹣2，b＝2则y＝﹣2x+1与y＝2x﹣1的“x牵手点”为（12，0 ）∴综上所述，“x牵手点”为1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭或（12，0）【点睛】本题考查了根与系数的关系、一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征的运用．。
一元二次方程应中考题精选(含答案)
一元二次方程中考题精选1、（4-4一元二次方程·2013东营中考）要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排21场比赛，则参赛球队的个数是（ ）A. 5个B. 6个C. 7个D. 8个.C.解析：设参赛球队有x 个，由题意得x(x-1)=21,解得，127,6x x ==-（不合题意舍去），故共有7个参赛球队.2、(2013年广东湛江)由于受H7N9禽流感的影响，今年4月份鸡的价格两次大幅下降，由原来每斤12元，连续两次下降%a 售价下调到每斤是5元，下列所列方程中正确的是（ ）.A ()2121%5a += .B ()2121%5a -=.C ()1212%5a -= .D ()2121%5a +=解析：考查一元二次方程的实际应用，由原来每斤12元，第一次下降%a售价为：()121%a -，再下降%a 售价为：()()121%1%a a --， ()2121%5a ∴+=，∴选B3、(2013年广东省8分、21)雅安地震牵动着全国人民的心，某单位开展了“一方有难，八方支援”赈灾捐款活动.第一天收到捐款10 000元，第三天收到捐款12 100元.（1）如果第二天、第三天收到捐款的增长率相同，求捐款增长率；（2）按照（1）中收到捐款的增长速度，第四天该单位能收到多少捐款？解析：4、（2013•鄂州）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价是30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售量是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）不妨设该种品牌玩具的销售单价为x 元（x ＞40），请你分别用x 的代数式来表示销售量y 件和销售该品牌玩具获得利润w 元，并把结果填写在表格中：销售单价（元） x销售量y （件） 1000﹣10x销售玩具获得利润w（元）﹣10x2+1300x﹣30000（2）在（1）问条件下，若商场获得了10000元销售利润，求该玩具销售单价x应定为多少元．（3）在（1）问条件下，若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元，且商场要完成不少于540件的销售任务，求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少？考点：二次函数的应用；一元二次方程的应用．分析：（1）由销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具得y=600﹣（x﹣40）x=1000﹣x，利润=（1000﹣x）（x﹣30）=﹣10x2+1300x﹣30000；（2）令﹣10x2+1300x﹣30000=10000，求出x的值即可；（3）首先求出x的取值范围，然后把w=﹣10x2+1300x﹣30000转化成y=﹣10（x﹣65）2+12250，结合x的取值范围，求出最大利润．解答：解：（1）销售单价（元）x销售量y（件）1000﹣10x销售玩具获得利润w（元）﹣10x2+1300x﹣30000（2）﹣10x2+1300x﹣30000=10000解之得：x1=50，x2=80答：玩具销售单价为50元或80元时，可获得10000元销售利润，（3）根据题意得解之得：44≤x≤46w=﹣10x2+1300x﹣30000=﹣10（x﹣65）2+12250∵a=﹣10＜0，对称轴x=65∴当44≤x≤46时，y随x增大而增大．∴当x=46时，W最大值=8640（元）答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润为8640元．点评：本题主要考查了二次函数的应用的知识点，解答本题的关键熟练掌握二次函数的性质以及二次函数最大值的求解，此题难度不大．5、（2013泰安）某商店购进600个旅游纪念品，进价为每个6元，第一周以每个10元的价格售出200个，第二周若按每个10元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出50个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品清仓处理，以每个4元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利1250元，问第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？考点：一元二次方程的应用．专题：销售问题．分析：根据纪念品的进价和售价以及销量分别表示出两周的总利润，进而得出等式求出即可．解答：解：由题意得出：200×（10﹣6）+（10﹣x﹣6）（200+50x）+[（4﹣6）（600﹣200﹣（200+50x）]=1250，即800+（4﹣x）（200+50x）﹣2（200﹣50x）=1250，整理得：x2﹣2x+1=0，解得：x1=x2=1，∴10﹣1=9，答：第二周的销售价格为9元．点评：此题主要考查了一元二次方程的应用，根据已知表示出两周的利润是解题关键．6、（2013•衢州）如图所示，在长和宽分别是a 、b 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为x 的正方形．（1）用a ，b ，x 表示纸片剩余部分的面积；（2）当a=6，b=4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求正方形的边长．考点： 一元二次方程的应用．专题： 几何图形问题．分析： （1）边长为x 的正方形面积为x 2，矩形面积减去4个小正方形的面积即可． （2）依据剪去部分的面积等于剩余部分的面积，列方程求出x 的值即可．解答： 解：（1）ab ﹣4x 2；（2分）（2）依题意有：ab ﹣4x 2=4x 2，（4分）将a=6，b=4，代入上式，得x 2=3，（6分）解得x 1=，x 2=﹣（舍去）．（7分） 即正方形的边长为点评： 本题是利用方程解答几何问题，充分体现了方程的应用性．依据等量关系“剪去部分的面积等于剩余部分的面积”，建立方程求解．7、（绵阳市2013年）“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。
中考数学一元二次方程与分式方程专题练习含解析
一元二次方程与分式方程一、选择题1．下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若b2﹣4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④D．只有②③④2．四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，则四边形ABCD是（）A．矩形B．平行四边形C．梯形D．平行四边形或梯形3．正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定二、填空题4．已知方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是．5．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是．6．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为．7．若关于x的方程有增根，则m的值是．8．方程的解是；若关于x的方程﹣1=0无实根，则a的值为．三、解答题9．阅读下列材料：关于x的方程：的解是x1=c，；（即）的解是x1=c；的解是x1=c，；的解是x1=c，；…（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．10．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m≠0）（1）若m=1，求出此时方程的实数根；（2）求证：方程总有实数根；（3）设m＞0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）、若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求函数的解析式，并画出其图象．（画草图即可，不必列表）11．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于．12．如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2；①当2＜t≤4时，试探究S2与之间的函数关系；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的？13．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．（1）求y关于x的表达式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）．请直接写出s关于x的表达式；（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象．14．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z 与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x 之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．15．要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．16．如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N 作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值．（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．一元二次方程与分式方程参考答案与试题解析一、选择题1．下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若b＞a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；③若b=2a+3c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；④若b2﹣4ac＞0，则二次函数y=ax2+bx+c的图象与坐标轴的公共点的个数是2或3．其中正确的是（）A．只有①②③B．只有①③④C．只有①④D．只有②③④【考点】抛物线与x轴的交点．【专题】压轴题．【分析】①②③小题利用移项与变形b2﹣4ac与0的大小关系解决；处理第④小题时不要疏忽二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点情况．【解答】解：①b2﹣4ac=（﹣a﹣c）2﹣4ac=（a﹣c）2≥0，正确；②若b＞a+c，则△的大小无法判断，故不能得出方程有两个不等实根，错误；③b2﹣4ac=4a2+9c2+12ac﹣4ac=4（a+c）2+5c2，因为a≠0，故（a+c）2与c2不会同时为0，所以b2﹣4ac＞0，正确；④二次函数y=ax2+bx+c与y轴必有一个交点，而这个交点有可能跟图象与x轴的交点重合，故正确．故选B．【点评】考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数．2．四边形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，则四边形ABCD是（）A．矩形B．平行四边形C．梯形D．平行四边形或梯形【考点】根的判别式；梯形．【分析】AB、CD长是关于x的方程x2﹣3mx+2m2+m﹣2=0的两个实数根，即判别式△=b2﹣4ac≥0，可得到AB与CD的关系，再判定四边形的形状．【解答】解：∵a=1，b=﹣3m，c=2m2+m﹣2∴△=b2﹣4ac=（﹣3m）2﹣4×1×（2m2+m﹣2）=（m﹣2）2+4＞0∴方程有两个不相等的实数根．∴AB≠CD，∵AB∥CD，∴四边形ABCD是梯形．故选C．【点评】本题利用了一元二次方程的根的判别式与根的关系，梯形的判定求解．3．正比例函数y=（a+1）x的图象经过第二、四象限，若a同时满足方程x2+（1﹣2a）x+a2=0，则此方程的根的情况是（）A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．没有实数根D．不能确定【考点】根的判别式；正比例函数的性质．【分析】正比例函数的图象经过第二、四象限，则（a+1）＜0，求出a的范围，结合一元二次方程的△，来判断根的情况．【解答】解：由题意知，（a+1）＜0，解得a＜﹣1，∴﹣4a＞4．因为方程x2+（1﹣2a）x+a2=0的△=（1﹣2a）2﹣4a2=1﹣4a＞5＞0，所以方程有两个不相等的实数根．故选A．【点评】（1）正比例函数y=kx，当k＜0，图象过二、四象限；k＞0时，图象过一、三象限．（2）一元二次方程的△＞0时，有两个不相等的实数根．（3）本题要会把a＜﹣1转化为1﹣4a＞5．二、填空题4．已知方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是m≠±2．【考点】一元二次方程的定义．【分析】根据一元二次方程成立的条件列出关于m的不等式，求出m的取值范围即可．【解答】解：∵方程（m2﹣4）x2+（2﹣m）x+1=0是关于x的一元二次方程，∴m2﹣4≠0，∴m≠±2．【点评】此题比较简单，考查的是一元二次方程的定义，即只含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程．5．已知关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，则k的取值范围是0≤k≤1且k≠．【考点】根的判别式．【专题】压轴题．【分析】二次方程有实数根即根的判别式△≥0，找出a，b，c的值代入列出k的不等式，求其取值范围．【解答】解：因为关于x的二次方程（1﹣2k）x2﹣2x﹣1=0有实数根，所以△=b2﹣4ac=（﹣2）2﹣4（1﹣2k）×（﹣1）=4﹣4k≥0，解之得，k≤1．又因为k≥0，1﹣2k≠0，即k≠，所以k的取值范围是0≤k≤1且k≠．【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用．切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零和被开方数大于零这两个隐含条件．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．6．菱形ABCD的一条对角线长为6，边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，则菱形ABCD的周长为16．【考点】一元二次方程的应用；三角形三边关系；菱形的性质．【专题】几何图形问题；压轴题．【分析】边AB的长是方程x2﹣7x+12=0的一个根，解方程求得x的值，根据菱形ABCD 的一条对角线长为6，根据三角形的三边关系可得出菱形的边长，即可求得菱形ABCD 的周长．【解答】解：∵解方程x2﹣7x+12=0得：x=3或4∵对角线长为6，3+3=6，不能构成三角形；∴菱形的边长为4．∴菱形ABCD的周长为4×4=16．【点评】由于菱形的对角线和两边组成了一个三角形，根据三角形两边的关系来判断出菱形的边长是多少，然后根据题目中的要求进行解答即可．7．若关于x的方程有增根，则m的值是2．【考点】分式方程的增根．【专题】计算题．【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分母x﹣1=0，得到x=1，然后代入化为整式方程的方程算出未知字母的值．【解答】解：方程两边都乘（x﹣1），得m﹣1﹣x=0，∵方程有增根，∴最简公分母x﹣1=0，即增根是x=1，把x=1代入整式方程，得m=2．故答案为：2．【点评】增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为0确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．8．方程的解是x=0；若关于x的方程﹣1=0无实根，则a的值为±1．【考点】分式方程的解．【专题】计算题．【分析】本题考查解分式方程能力，观察可得方程最简公分母为2（x﹣2），去分母，化为整式方程求解．分式方程﹣1=0无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无解．【解答】解：方程两边同乘2（x﹣2），得2x﹣2=x﹣2，解得x=0．经检验x=0是原方程的根，故方程的解是x=0；（1）x=1为原方程的增根，此时有ax+1﹣（x﹣1）=0，即a+1﹣（1﹣1）=0解得a=﹣1．（2）方程两边都乘（x﹣1），得ax+1﹣（x﹣1）=0，化简得：（a﹣1）x=﹣2．当a=1时，整式方程无解．综上所述，当a=±1时，原方程无解．【点评】将分式方程化为整式方程的关键是确定最简公分母，要根据分式的分母确定最简公分母．分母是多项式能进行分解的要先进行分解，再去确定最简公分母．分式方程无解，既要考虑分式方程有增根的情形，又要考虑整式方程无解的情形．三、解答题9．阅读下列材料：关于x的方程：的解是x1=c，；（即）的解是x1=c；的解是x1=c，；的解是x1=c，；…（1）请观察上述方程与解的特征，比较关于x的方程与它们的关系，猜想它的解是什么？并利用“方程的解”的概念进行验证．（2）由上述的观察、比较、猜想、验证，可以得出结论：如果方程的左边是未知数与其倒数的倍数的和，方程的右边的形式与左边完全相同，只是把其中的未知数换成了某个常数，那么这样的方程可以直接得解，请用这个结论解关于x的方程：．【考点】解分式方程．【专题】阅读型．【分析】此题为阅读分析题，解此题要注意认真审题，找到规律：x+=c+的解为x1=c，x2=，据规律解题即可．【解答】解：（1）猜想的解是x1=c，x2=．验证：当x=c时，方程左边=c+，方程右边=c+，∴方程成立；当x=时，方程左边=+c，方程右边=c+，∴方程成立；∴的解是x1=c，x2=；（2）由得，∴x﹣1=a﹣1，，∴x1=a，x2=．【点评】解此题的关键是理解题意，认真审题，寻找规律：x+=c+的解为x1=c，x2=．10．已知：关于x的一元二次方程mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0（m≠0）（1）若m=1，求出此时方程的实数根；（2）求证：方程总有实数根；（3）设m＞0，方程的两个实数根分别为x1，x2（其中x1＜x2）、若y是关于m的函数，且y=x2﹣2x1，求函数的解析式，并画出其图象．（画草图即可，不必列表）【考点】根与系数的关系；解一元二次方程﹣公式法；解一元二次方程﹣因式分解法；根的判别式；待定系数法求反比例函数解析式．【专题】计算题；证明题．【分析】（1）把m的值，代入方程，解方程即可；（2）运用根的判别式判断，列出判别式的表达式，再变形成为非负数，得出△≥0即可；（3）可根据求根公式求出x1、x2，代入y=x2﹣2x1中，得出关于m的函数关系式，根据m＞0，画出函数图象．【解答】解：（1）若m=1，方程化为x2﹣5x+4=0即（x﹣1）（x﹣4）=0，得x﹣1=0或x﹣4=0，∴x1=1或x2=4；证明：（2）∵mx2﹣（3m+2）x+2m+2=0是关于x的一元二次方程，∴△=[﹣（3m+2）]2﹣4m（2m+2）=m2+4m+4=（m+2）2∵m≠0，∴（m+2）2≥0，即△≥0∴方程有实数根；解：（3）由求根公式，得．∴或x=1∵=2+∵m＞0，∴=2+＞2∵x1＜x2，∴x1=1，∴即为所求．此函数为反比例函数，其图象如图所示：即为所求．此函数为反比例函数，其图象如图所示：【点评】本题重点考查了反比例函数的性质（点评不合题意）及一元二次方程根的判别式和根与系数的关系（此题并没有设计，需要重新检查此题），是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．11．若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于75°或15°．【考点】等腰三角形的性质；三角形内角和定理．【分析】等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成了，因而应分两种情况进行讨论．【解答】解：当高在三角形内部时，由已知可求得三角形的顶角为30°，则底角是75°；当高在三角形外部时，三角形顶角的外角是30°，则底角是15°；所以此三角形的底角等于75°或15°【点评】本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出75°一种情况，把三角形简单的化成锐角三角形．12．如图，直线l的解析式为y=﹣x+4，它与x轴、y轴分别相交于A、B两点，平行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别相交于M、N两点，运动时间为t秒（0＜t≤4）（1）求A、B两点的坐标；（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重合部分的面积为S2；①当2＜t≤4时，试探究S2与之间的函数关系；②在直线m的运动过程中，当t为何值时，S2为△OAB的面积的？【考点】一次函数综合题．【专题】压轴题．【分析】（1）在解析式y=﹣x+4中，分别令y=0，x=0就可以求出与x，y轴的交点坐标；（2）根据MN∥AB，得到△OMB∽△OAB，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出，用OM表示出来；（3）根据t的不同值，所对应的阴影部分的图形形状不同，因而应分2＜t≤4和当0＜t≤2两种个情况进行讨论．【解答】解：（1）当x=0时，y=4；当y=0时，x=4．∴A（4，0），B（0，4）；（2）∵MN∥AB，，∴OM=ON=t，∴S1=OM•ON=t2；（3）①当2＜t≤4时，易知点P在△OAB的外面，则点P的坐标为（t，t）．理由：当t=2时，OM=2，ON=2，OP=MN==2，直角三角形AOB中，设AB边上的高为h，易得AB=4，则×4h=4×4×，解得h=2，故t=2时，点P在l上，2＜t≤4时，点P在△OAB的外面．F点的坐标满足，即F（t，4﹣t），同理E（4﹣t，t），则PF=PE=|t﹣（4﹣t）|=2t﹣4，所以S2=S△MPN﹣S△PEF=S△OMN﹣S△PEF，=t2﹣PE•PF=t2﹣（2t﹣4）（2t﹣4）=﹣t2+8t﹣8；②当0＜t≤2时，S2=t2，t2=，解得t1=﹣＜0，t2=＞2，两个都不合题意，舍去；当2＜t≤4时，S2=﹣t2+8t﹣8=，解得t3=3，t4=，综上得，当t=或t=3时，S2为△OAB的面积的．【点评】本题主要考查了函数图象与坐标轴的交点的求法，以及利用三角形的相似的性质．是一个难度较大的综合题．13．A、B两座城市之间有一条高速公路，甲、乙两辆汽车同时分别从这条路两端的入口处驶入，并始终在高速公路上正常行驶．甲车驶往B城，乙车驶往A城，甲车在行驶过程中速度始终不变．甲车距B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的关系如图．（1）求y关于x的表达式；（2）已知乙车以60千米/时的速度匀速行驶，设行驶过程中，两车相距的路程为s（千米）．请直接写出s关于x的表达式；（3）当乙车按（2）中的状态行驶与甲车相遇后，速度随即改为a（千米/时）并保持匀速行驶，结果比甲车晚40分钟到达终点，求乙车变化后的速度a．在下图中画出乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象．【考点】一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．把图象经过的坐标代入求出k与b 的值．（2）根据路程与速度的关系列出方程可解．（3）如图：当s=0时，x=2，即甲乙两车经过2小时相遇．再由1得出y=﹣90x+300．设y=0时，求出x的值可知乙车到达终点所用的时间．【解答】解：（1）方法一：由图知y是x的一次函数，设y=kx+b．∵图象经过点（0，300），（2，120），∴解得，∴y=﹣90x+300．即y关于x的表达式为y=﹣90x+300．方法二：由图知，当x=0时，y=300；x=2时，y=120．所以，这条高速公路长为300千米．甲车2小时的行程为300﹣120=180（千米）．∴甲车的行驶速度为180÷2=90（千米/时）．∴y关于x的表达式为y=300﹣90x（y=﹣90x+300）．（2）由（1）得：甲车的速度为90千米/时，甲乙相距300千米．∴甲乙相遇用时为：300÷（90+60）=2，当0≤x≤2时，函数解析式为s=﹣150x+300，2＜x≤时，S=150x﹣300＜x≤5时，S=60x；（3）在s=﹣150x+300中．当s=0时，x=2．即甲乙两车经过2小时相遇．因为乙车比甲车晚40分钟到达，40分钟=小时，所以在y=﹣90x+300中，当y=0，x=．所以，相遇后乙车到达终点所用的时间为﹣2=2（小时）．乙车与甲车相遇后的速度a=（300﹣2×60）÷2=90（千米/时）．∴a=90（千米/时）．乙车离开B城高速公路入口处的距离y（千米）与行驶时间x（时）之间的函数图象如图所示．【点评】本题以行程问题为背景，考查由一次函数图象求解析式．分析相遇问题，求相遇时间及速度，依据速度和时间画函数图象，重点考查学生的观察、理解及分析解决问题的能力．14．某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对这种蔬菜的种植实行政府补贴，规定每种植﹣亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元．经调查，种植亩数y（亩）与补贴数额x（元）之间大致满足如图1所示的一次函数关系．随着补贴数额x的不断增大，出口量也不断增加，但每亩蔬菜的收益z（元）会相应降低，且z 与x之间也大致满足如图2所示的一次函数关系．（1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？（2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x 之间的函数关系式；（3）要使全市这种蔬菜的总收益w（元）最大，政府应将每亩补贴数额x定为多少？并求出总收益w的最大值．【考点】二次函数的应用；一次函数的应用．【专题】压轴题．【分析】（1）根据题意可知直接计算这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）；（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，并根据图象上点的坐标利用待定系数法求函数的解析式即可；（3）表示出蔬菜的总收益w（元）与x之间的关系式，w=﹣24x2+21600x+2400000，利用二次函数最值问题求最大值．【解答】解：（1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为3000×800=2400000（元）（2）设种植亩数y和每亩蔬菜的收益z与政府补贴数额x之间的函数关系式分别为：y=kx+800，z=k1x+3000，分别把点（50，1200），（100，2700）代入得，50k+800=1200，100k1+3000=2700，解得：k=8，k1=﹣3，种植亩数与政府补贴的函数关系为：y=8x+800每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为z=﹣3x+3000（x＞0）（3）由题意：w=yz=（8x+800）（﹣3x+3000）=﹣24x2+21600x+2400000=﹣24（x﹣450）2+7260000，∴当x=450，即政府每亩补贴450元时，总收益额最大，为7260000元．【点评】主要考查利用一次函数和二次函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解．利用二次函数的顶点坐标求最值是常用的方法之一．15．（2009•潍坊）要对一块长60米、宽40米的矩形荒地ABCD进行绿化和硬化．（1）设计方案如图①所示，矩形P、Q为两块绿地，其余为硬化路面，P、Q两块绿地周围的硬化路面宽都相等，并使两块绿地面积的和为矩形ABCD面积的，求P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽．（2）某同学有如下设想：设计绿化区域为相外切的两等圆，圆心分别为O1和O2，且O1到AB、BC、AD的距离与O2到CD、BC、AD的距离都相等，其余为硬化地面，如图②所示，这个设想是否成立？若成立，求出圆的半径；若不成立，说明理由．【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；相切两圆的性质．【专题】几何图形问题．【分析】（1）把P、Q合并成矩形得长为（60﹣3×硬化路面的宽），宽为（40﹣2×硬化路面的宽），由等量关系S P+S Q=S矩形ABCD÷4求得并检验．（2）两等量关系2×O1到AD的距离=40；2×圆的半径+2×圆心到边的距离=60，列方程组求出并检验．【解答】解：（1）设P、Q两块绿地周围的硬化路面的宽都为x米，根据题意，得：（60﹣3x）×（40﹣2x）=60×40×，解得，x1=10，x2=30，经检验，x2=30不符合题意，舍去．所以，两块绿地周围的硬化路面宽都为10米．（2）设想成立．设圆的半径为r米，O1到AB的距离为y米，根据题意，得：，解得：y=20，r=10，符合实际．所以，设想成立，则圆的半径是10米．【点评】分析图形特点，根据题意找出等量关系列出方程或方程组，解决问题并检验．16．如图，四边形ABCD为矩形，AB=4，AD=3，动点M、N分别从D、B同时出发，以1个单位/秒的速度运动，点M沿DA向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点N 作NP⊥BC，交AC于点P，连接MP．已知动点运动了x秒．（1）请直接写出PN的长；（用含x的代数式表示）（2）若0秒≤x≤1秒，试求△MPA的面积S与时间x秒的函数关系式，利用函数图象，求S的最大值．（3）若0秒≤x≤3秒，△MPA能否为一个等腰三角形？若能，试求出所有x的对应值；若不能，试说明理由．【考点】二次函数综合题．【专题】压轴题；动点型．【分析】（1）可在直角三角形CPN中，根据CN的长和∠CPN的正切值求出．（2）三角形MPA中，底边AM的长为3﹣x，关键是求出MA边上的高，可延长NP交AD于Q，那么PQ就是三角形AMP的高，可现在直角三角形CNP中求出PN的长，进而根据AB的长，表示出PQ的长，根据三角形的面积公式即可得出S与x的函数关系式．根据函数的性质可得出S的最大值．（3）本题要分三种情况：①MP=PA，那么AQ=BN=AM，可用x分别表示出BN和AM的长，然后根据上述等量关系可求得x的值．②MA=MP，在直角三角形MQP中，MQ=MA﹣BN，PQ=AB﹣PN根据勾股定理即可求出x的值．③MA=PA，不难得出AP=BN，然后用x表示出AM的长，即可求出x的值．【解答】解：（1）；（2）延长NP交AD于点Q，则PQ⊥AD，由（1）得：PN=，则PQ=QN﹣PN=4﹣=x依题意，可得：AM=3﹣x，S=AM•PQ=（3﹣x）•=2x﹣x2=﹣（x﹣）2+∵0≤x≤1即函数图象在对称轴的左侧，函数值S随着x的增大而增大．∴当x=1时，S有最大值，S最大值=（3）△MPA能成为等腰三角形，共有三种情况，以下分类说明：①若PM=PA，∵PQ⊥MA，∴四边形ABNQ是矩形，∴QA=NB=x，∴MQ=QA=x，又∵DM+MQ+QA=AD∴3x=3，即x=1②若MP=MA，则MQ=3﹣2x，PQ=，MP=MA=3﹣x在Rt△PMQ中，由勾股定理得：MP2=MQ2+PQ2∴（3﹣x）2=（3﹣2x）2+（x）2，解得：x=（x=0不合题意，舍去）③若AP=AM，由题意可得：AP=x，AM=3﹣x∴x=3﹣x，解得：x=综上所述，当x=1，或x=，或x=时，△MPA是等腰三角形．【点评】本题是点的运动性问题，考查了图形面积的求法、等腰三角形的判定等知识．（3）题要按等腰三角形腰和底的不同分类讨论．。
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2一、选择题一元二次方程中考考题汇总1. 下列说法中正确命题有（）①一个角的两边分别垂直于另一个角的两边，则这两个角相等②数据 5，2，7，1，2，4 的中位数是 3，众数是 2③等腰梯形既是中心对称图形，又是轴对称图形④Rt△ABC 中，∠C=90°，两直角边 a ，b 分别是方程 x 2－7x ＋7=0 的两个根，则 AB 边上的中线长为1 352A ．0 个B ．1 个C ．2 个D ．3 个2. 关于 x 的方程 ax 2 - (3a + 1)x + 2(a + 1) = 0 有两个不相等的实根 x 、 x ，且有12x 1 - x 1 x 2 + x 2 = 1 - a ，则 a 的值是（） A ．1B ．－1C ．1 或－1D ． 2 3. 一元二次方程 x (x - 2) = 0 根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.只有一个实数根D.没有实数根4.某商品原售价 289 元,经过连续两次降价后售价为 256 元,设平均每次降价的百分率为 x, 则下面所列方程中正确的是( ) A. 289 (1- x )2= 256 B. 256 (1- x )2= 289 C. 289(1-2x)=256D.256(1-2x)=2895.关于 x 的一元二次方程 x 2 + (m - 2)x + m +1 = 0 有两个相等的实数根，则 m 的值是（ ）A ． 0B ． 8C ． 4 ±D ． 0 或86.方程(x +1)(x －2)=x +1 的解是（）（A ）2（B ）3（C ）－1，2 （D ）－1，37. 一元二次方程 x (x - 1) = 0 的解是（）（A ） x = 0 （B ） x = 1（C ） x = 0 或 x = 1（D ） x = 0 或x = -18.若一元二次方程式 ax (x ＋1)＋(x ＋1)(x ＋2) ＋bx (x ＋2)＝2 的两根为 0、2，则 3a ＋4b 之值为何？（） A ．2B ．5C ．7D ． 89. 如图(十三)，将长方形 ABCD 分割成 1 个灰色长方形与 148 个面积相等的小正方形。
中考数学 一元二次方程 综合题含答案
【分析】
（1）作出肯定回答：这艘轮船不改变航向，那么它能进入台风影响区．
（2）首先假设轮船能进入台风影响区，进而利用勾股定理得出等式求出即可．
（3）将轮船刚好进入台风影响区和刚好离开台风影响的两个时间节点相减，即能得出受影响的时间长.
【详解】
解：（1）如图易知AB′=300﹣10t，AC′=400﹣30t，
【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.
【解析】
试题分析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，根据长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.
试题解析：
设裁掉的正方形的边长为xdm，
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，
2．某建材销售公司在2019年第一季度销售 两种品牌的建材共126件， 种品牌的建材售价为每件6000元， 种品牌的建材售价为每件9000元.
（1）若该销售公司在第一季度售完两种建材后总销售额不低于96.6万元，求至多销售 种品牌的建材多少件？
（2）该销售公司决定在2019年第二季度调整价格，将 种品牌的建材在上一个季度的基础上下调 ， 种品牌的建材在上一个季度的基础上上涨 ；同时，与（1）问中最低销售额的销售量相比， 种品牌的建材的销售量增加了 ， 种品牌的建材的销售量减少了 ，结果2019年第二季度的销售额比（1）问中最低销售额增加 ，求 的值.
（2）设人行道的宽度为x米，根据题意得，
（20﹣3x）（8﹣2x）=56
解得：x=2或x= （不合题意，舍去）．
答：人行道的宽为2米．
6．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？
一元二次函数中考试题选编
1、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是A ．0c > B ．20a b += C ．240b ac -> D ．0a b c -+>2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤第2题 第3题 第4题3、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是（ ） A ．0<aB ．0<bC ．0<cD ．042<-ac b4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞05、某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高与水平的距离，则该运动员的成绩是( )A. 6mB. 10mC. 8mD. 12m 6、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示．给出下列说法：①抛物线与y 轴的交点为(0，6)； ②抛物线的对称轴是在y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小．从表中可知，下列说法正确的个数有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个7、抛物线y =322+-x x 与坐标轴交点为 （ ） A ．二个交点 B ．一个交点 C ．无交点 D ．三个交点8、二次函数y ＝x 2的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是（ ） A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝(x －2)2 C ．y ＝x 2＋2 D ．y ＝(x ＋2)29、若二次函数y ＝2x 2－2mx ＋2m 2－2的图象的顶点在y 轴上，则m 的值是（ ） B.±1 C.±2 D.±210、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则关于此二次函数的下列四个结论①a<0②a>0③b 2-4ac>0④0<ab中，正确的结论有（ ） 个 个 个 个11、抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为（ ）x … －3 －2 －1 0 1 …y … －6 04 6 6 … y x O 1 －1 11 1- O x yy –1 33O xP 1 A. 0 B. －1 C. 1 D. 212、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①0<abc②当1x =时，函数有最大值。
一元二次函数中考试题选编(附答案)
一元二次函数中考试题选编(附答案)（ ）A ．有最大值4mB ．有最大值4m -C ．有最小值4mD ．有最小值4m - 抛物线228y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ． 已知抛物线322--=x x y ，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是 ．已知二次函数的图象经过点A （-3,0），B （0,3），C （2, －5），且另与x 轴交于D 点。
（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P （－2,3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAD 的面积；如果不在，试说明理由．已知二次函数c bx x y ++-=2（－1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）。
（1）求此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y已知二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A （（1）求这个二次函数的解析式（2）设该二次函数的对称轴与x 轴交于点C 抛物线y=x ²+4x+3交x 轴于A 、B 两点，交y 抛物线的对称轴交x 轴于点E.（1）求抛物线的对称轴及点A 的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy 中是否存在点P ，与A 、B 、C 三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件，市场调查反映：每涨价1元，每星期少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件，已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？某商店购进一批单价为20元的日用品，如果以单价30元销售，那么半个月内可以售出400件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低10元．你能帮助分析一下，当旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天．如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去．假设放养期内蟹的个体质量基本保持不变，现有一经销商，按市场价收购这种活蟹1000 kg 放养在塘内，此时市场价为每千克30元，据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但是，放养一天需支出各种费用为400元，且平均每天还有10 kg 蟹死去，假定死蟹均于当天全部销售出，售价都是每千克20元．(1)设x 天后每千克活蟹的市场价为p 元，写出p 关于x 的函数关系式；(2)如果放养x 天后将活蟹一次性出售，并记1000 kg 蟹的销售总额为Q 元，写出Q 关于x 的函数关系式．(3)该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润(利润=Q －收购总额)？为了落实国务院副总理李克强同志到恩施考察时的指示精神，最近，州委州政府又出台了一系列“三农”优惠政策，使农民收入大幅度增加．某农户生产经销一种农副产品，已知这种产品的成本价为20元/千克．市场调查发现，该产品每天的销售量ｗ(千克)与销售价ｘ(元/千克)有如下关系：ｗ=－2ｘ＋80．设这种产品每天的销售利润为ｙ(元) ．(1)求ｙ与ｘ之间的函数关系式；(2)当销售价定为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少?(3)如果物价部门规定这种产品的销售价不得高于28元/千克，该农户想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少元?研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为x (吨)时，所需的全部费用y (万元）与x 满足关系式9051012++=x x y ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价，（万元）均与满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）（1）成果表明，在甲地生产并销售吨时，，请你用含的代数式表示甲地当年的年销售额，并求年利润（万元）与之间的函数关系式；（2）成果表明，在乙地生产并销售吨时，（为常数），且在乙地当年的最大年利润为35万元．试确定的值；（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品18吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm ²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm ²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度 最大h某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m ²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值范围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)如果中间有n(n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？x如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式． AC DP Q小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？随着绿城南宁近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？。
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一元二次函数综合练习题1、二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示，对称轴是直线1x =，则下列四个结论错误．．的是A ．0c > B ．20a b += C ．240b ac -> D ．0a b c -+> 2、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论：①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<；⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤第2题 第3题 第题3、二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图，下列判断错误的是（ ） A ．0<a B ．0<b C ．0<c D ．042<-ac b4、二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示，则下列关系式中错误．．的是（ ） A ．a ＜0 B ．c ＞0 C ．ac b 42-＞0 D ．c b a ++＞05、某校运动会上，某运动员掷铅球时，他所掷的铅球的高与水平的距离，则该运动员的成绩是( )A. 6mB. 10mC. 8mD. 12m 6、抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 上部分点的横坐标x ，纵坐标y 的对应值如表所示．给出下列说法：①抛物线与y 轴的交点为(0，6)； ②抛物线的对称轴是在y 轴的右侧；③抛物线一定经过点(3，0)； ④在对称轴左侧，y 随x 增大而减小．从表中可知，下列说法正确的个数有( ) A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个x …－3 －2－1 01…y …－6 0466…x O 1 －1–33 1 7、抛物线y =322+-x x 与坐标轴交点为 （ ） A ．二个交点 B ．一个交点 C ．无交点 D ．三个交点8、二次函数y ＝x 2的图象向下平移2个单位，得到新图象的二次函数表达式是（ ） A ．y ＝x 2－2 B ．y ＝(x －2)2 C ．y ＝x 2＋2 D ．y ＝(x ＋2)29、若二次函数y ＝2x 2－2mx ＋2m 2－2的图象的顶点在y 轴上，则m 的值是（ ） A.0 B.±1 C.±2 D.±210、二次函数y=ax 2+bx+c 的图像如图所示，则关于此二次函数的下列四个结论①a<0②a>0③b 2-4ac>0④0<ab中，正确的结论有（ ）A.1个B.2个C.3个D.4个11、抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为（ ）A. 0B. －1C. 1D. 212、已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c(a ≠0)的图象如图所示，给出以下结论：①0<abc ②当1x =时，函数有最大值。
③当13x x =-=或时，函数y 的值都等于0. ④024<++c b a 其中正确结论的个数是（ ）A.1B.2C.3D.413、关于二次函数y =ax 2+bx+c 的图象有下列命题：①当c=0时，函数的图象经过原点；②当c ＞0时且函数的图象开口向下时，ax 2+bx+c=0必有两个不等实根；③函数图象最高点的纵坐标是ab ac 442-；④当b=0时，函数的图象关于y 轴对称.其中正确的个数是（ ） A.1个 B 、2个 C 、3个 D. 4个14、抛物线y=12x 2向左平移8个单位，再向下平移9个单位后，所得抛物线的表达式是（ ）A. y=12(x+8)2-9 B. y=12(x-8)2+9 C. y=12(x-8)2-9 D. y=12(x+8)2+9 15、下列关于二次函数的说法错误的是（ ）A 抛物线y=-2x 2＋3x ＋1的对称轴是直线x=34； B 点A(3,0)不在抛物线y=x 2 -2x-3的图象上；C 二次函数y=(x ＋2）2－2的顶点坐标是（-2，-2）；D 函数y=2x 2＋4x-3的图象的最低点在（-1，-5）16、二次函数12+-=x y 的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，下列说法错误．．的是（ ） A ．点C 的坐标是（0，1） B ．线段AB 的长为2 C ．△ABC 是等腰直角三角形 D ．当x>0时，y 随x 增大而增大17、如图，点A ，B 的坐标分别为（1, 4）和（4, 4）,抛物线n m x a y +-=2)(的顶点在线段AB 上运动，与x 轴交于C 、D 两点（C 在D 的左侧），点C 的横坐标最小值为3-，则点D 的横坐标最大值为( )A ．－3B ．1C ．5D ．818、已知二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，有以下结论： ①0a b c ++<；②1a b c -+>；③0abc >；④420a b c -+<； ⑤1c a ->其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①②B ． ①③④C ．①②③⑤D ．①②③④⑤11O xyyxODCB (4,4)A (1,4)19、在同一直角坐标系中，函数y mx m =+和函数222y mx x =-++（m 是常数，且0m ≠）的图象可能．．是（ ） 20、若一次函数(1)y m x m =++的图象过第一、三、四象限，则函数2y mx mx =-（ ）A ．有最大值4m B ．有最大值4m -C ．有最小值4m D ．有最小值4m- 21、抛物线228y x x m =++与x 轴只有一个公共点，则m 的值为 ．22、已知抛物线322--=x x y ，若点P （2-，5）与点Q 关于该抛物线的对称轴对称，则点Q 的坐标是 ．23、已知二次函数的图象经过点A （-3,0），B （0,3），C （2, －5），且另与x 轴交于D 点。
（1）试确定此二次函数的解析式；（2）判断点P （－2,3）是否在这个二次函数的图象上？如果在，请求出△PAD 的面积；如果不在，试说明理由．24、已知二次函数c bx x y ++-=2的图象如图所示，它与x 轴的一个交点坐标为（－1，0），与y 轴的交点坐标为（0，3）。
（1）求此二次函数的解析式；（2）根据图象，写出函数值y 为正数时，自变量x 的取值范围。
25、已知二次函数c bx x y ++-=221的图象经过A （2，0）、B （0，－6）两点。
（1）求这个二次函数的解析式O3－1 xy（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连结BA、BC，求△ABC的面积。
26、如图，抛物线cbxxy++-=2与x轴交与A(1,0),B(- 3，0)两点，（1）求该抛物线的解析式；（2）设（1）中的抛物线交y轴与C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由.27、已知二次函数y＝x2＋bx＋c＋1的图象过点P(2，1)．(1)求证：c＝―2b―4；(3)若二次函数的图象与x轴交于点A(x1，0)、B(x2，0)，△ABP的面积是34，求b的值．28、某中学新校舍将于2011年1月1日动工。
在新校舍内将按如图所示设计一个矩形花坛，花坛的长、宽分别为200 m、120 m，花坛中有一横两纵的通道，横、纵通道的宽度分别为3x m、2x m．（1）用代数式表示三条通道的总面积S的12511时，求横、纵通道的宽分别是多少？（2）如果花坛绿化造价为每平方米3元，通道总造价为3168那么横、纵通道的宽分别为多少米时，花坛总造价最低？并求出最低造价．（以下数据可供参考：852 = 7225，862 = 7396，872 = 7569）29、抛物线y=x2+4x+3交x轴于A、B两点，交y轴于点C，抛物线的对称轴交x轴于点E.（1）求抛物线的对称轴及点A的坐标；（2）在平面直角坐标系xoy 中是否存在点P，与A 、B 、C 三点构成一个平行四边形？若存在，请写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由；30、如图，已知二次函数24y axx c =-+的图像经过点A 和点B ．（1）求该二次函数的表达式；（2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标；（3）点P （m ，m ）与点Q 均在该函数图像上（其中m ＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m 的值及点Q 到x 轴的距离．1.（2011?成都）如图，在平面直角坐标系xOy 中，△ABC 的A 、B 两个顶点在x 轴上，顶点C 在y 轴的负半轴上．已知|OA|：|OB|=1：5，|OB|=|OC|，△ABC 的面积S △ABC =15，抛物线y=ax 2+bx+c （a≠0）经过A 、B 、C 三点． （1）求此抛物线的函数表达式；（2）设E 是y 轴右侧抛物线上异于点B 的一个动点，过点E 作x 轴的平行线交抛物线于另一点F ，过点F 作FG 垂直于x 轴于点G ，再过点E 作EH 垂直于x 轴于点H ，得到矩形EFGH ．则在点E 的运动过程中，当矩形EFGH 为正方形时，求出该正方形的边长；（3）在抛物线上是否存在异于B 、C 的点M ，使△MBC 中BC 边上的高为？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．5（眉山）如图．在直角坐标系中，已知点A(0．1．)，B(4-．4)．将点B 绕点A 顺时针方向旋转90°得到点C ，顶点在坐标原点的抛物线经过点B ． (1) 求抛物线的解析式和点C 的坐标；(2) 抛物线上一动点P ．设点P 到x 轴的距离为1d ，点P 到点A 的距离为2d ，试说明211d d =+；(3) 在-(2)的条件下，请探究当点P 位于何处时．△PAC 的周长有最小值，并求出△PAC 的周长的最小值。
7.（雅安）xyO 391 1AB（12分）如图，已知二次函数c x ax y ++=22)0(>a 图像的顶点M 在反比例函数xy 3=上，且与x 轴交于AB 两点。
（1）若二次函数的对称轴为21-=x ，试求c a ,的值；（2）在（1）的条件下求AB 的长；（3）若二次函数的对称轴与x 轴的交点为N ，当NO+MN 取最小值时，试求二次函数的解析式。
宜宾）已知抛物线的顶点是C (0，a ) (a >0，a 为常数)，并经过点(2a ，2a )，点D （0，2a ）为一定点.(1)求含有常数a 的抛物线的解析式；(2)设点P 是抛物线任意一点，过P 作PH ⊥x 轴，垂足是H ，求证：PD = PH ； (3)设过原点O 的直线l 与抛物线在第一象限相交于A 、B 两点，若DA =2DB ，且S △ABD= 42，求a 的值.10.（达州）(10分)如图，已知抛物线与x 轴交于A(1，0)，B （3-，0）两点，与y 轴交于点 C(0，3)，抛物线的顶点为P ，连结AC ． (1)求此抛物线的解析式；(2)在抛物线上找一点D ，使得DC 与AC 垂直，且直线DC 与x 轴交于点Q ，求点D 的坐标；(3)抛物线对称轴上是否存在一点M ，使得S △MAP =2S △ACP ，若存在，求出M 点坐标；若不存在，请说明理由． 14（巴中）DCB AOyx(24．（2011 巴中）(本小题满分l2 分)已知如图所示，在平面直角坐标系中，四边形ABC0 为梯形，BC∥A0，四个顶点坐标分别为A(4，0)，B(1，4)，C(0，4)，O(0，O)。