初等数学研究复习题

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初等数学研究试题答案

习题一

1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？( P9——P10) 答：设数系A扩展后得到新数系为B,则数系扩展原则为：

( 1) A B

(2)A的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B中被重新定义。而且对于A的元素来说，重新定义的运算和关系与A中原来的意义完全一致。

(3)在A中不是总能实施的某种运算，在B中总能施行。

( 4)在同构的意义下， B 应当是 A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A唯一确定。

数系扩展的方式有两种：

( 1)添加元素法。

( 2)构造法。

2、对自然数证明乘法单调性：设a,b,c N ,则

( 1 )若a b,则ac bc;

( 2

)

若a b,则ac bc; ( 3

)

若a b,则ac bc；

证明：

(

设命题

能

成立的所有C组成集合M

Qa b,a a 1,b b 1, ( P13规定) a1 b 1

1 M

假设c M ,即ac bc

Q ac a( c 1) ac a,bc b(c 1) bc b

又 Q ac bc, a b ac a bc b ac bc c M .

由归纳公理知， M N, 所以命题对任意自然数成立。

(2)若a b,则有b a k,k N. (P17定义 9) 由(1)有 bc (a k)c

3、对自然数证明乘法消去律：设a,b,c N,则

（1）若 ac be,则a b; （2）若 ac be,则 a b;

（3）若 ac be,贝U a bb

证明（ 1）（用反证法）

假设a b,则有a b 或a b. 若a b,有ac bc 和ac be 矛盾。若a b,有ac be,也和ac be 矛盾。

初等数学研究(代数部分)期末复习题

初等数学研究（代数部分）期末复习题

习题1.求适合{}1,2{1,2,3,4,5}A ⊆⊆的一切集合A ，以及他们基数的和。

解：:{1,2}{1,2,3}{1,2,4}{1,2,5}{1,2,3,4}{1,2,3,5}{1,2,4,5}{1,2,3,4,5}A 它们的基数和为：2333444528+++++++=。

习题2.用自然数序数理论证明：（1）347+=，（2）3412⋅=

证：（1）

3433(33)(32)((32))((31))(((31)))(((4)))((5))(6)7

''''''

+=+=+=+=+''''''''''''=+=+====

（2）313⋅=

又3231313336'⋅=⋅=⋅+=+= 3332323639'⋅=⋅=⋅+=+=

34333339312'∴⋅=⋅=⋅+=+=

习题3.对任何自然数a ，证明：（1）2a a a ⋅=+，（2）2()a a a a ⋅=++

证：有定3中的（1），1a a ⋅=，由（2），211a a a a a a

'⋅=⋅=⋅+=+；

同理，322()a a a a a a a '⋅=⋅=⋅+=++。

证毕习题4.设,m n N ∈，求证：（1）()m n m n ''''+=+ （2）()m n m n m ''⋅=⋅+ （3）()m n m m n n '''''⋅=+⋅+ 证：（1）

m n n m ''+=+（交换律）

∴()()m n n m n m ''''''+=+=+（性质（2））

又n m m n ''''+=+（交换律）

初等代数复习题及答案

初等代数研究复习题及答案

数科院包晓文（不对的地方欢迎指正）

一、填空题

1. 康托的基数理论给出的自然数加法的定义是:

设A 、B 都是有限集，b B a A ==,，且=⋂B A φ,则称B A ⋂的基数为a 加上b 的和，记作b a +.这里a 叫做被加数，b 叫做加数，求和的运算叫做加法.

2. 皮亚诺给出的自然数的公理化定义是:

集合N 的元素叫做自然数，如果N 的元素间有一个基本关系“后继”，（用""+来表示），并满足下列公理： I.

N ∈1；

II. 对任何N a ∈，有唯一的N a ∈+； III. 对任何N a ∈，+a 不是1

IV. 对任何N b a ∈,,若+a 与+b 相同，则a 等于b （记作b a =）； V. （归纳公理）若N M ⊆，且 o 1 M ∈1

02 对任意M a ∈,有M a ∈+,则N M =

3. 自然数的最小数原理的内容是（N 任意一个非空子集中必有最小数.）.

4. 第二数学归纳法的内容是: 设()n P 是关于自然数n 的命题，若

o 1（奠基）()n P 在1=n 时成立；

02（归纳）在()n P （k n ≤≤1，k 是任意自然数）成立的假定

下，可以推出()1+k P 成立，则()n P 对一切自然数n 成立. 5.

777的末两位数字是（ 07 ）．

6.分母不大于7的正既约真分数的个数是（ 17 ）.

7. 分数

2925可以化为( 十进无限 )循环小数，其循环节

的长度为（ 3 ）．

8. 若(,)1,a b =则(,)ab a b +=（ 1 ）．

初等数学研究试题答案

习题一

1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？( P9——P10) 答：设数系A扩展后得到新数系为B,则数系扩展原则为：

( 1) A B

(2)A的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B中被重新定义。而且对于A的元素来说，重新定义的运算和关系与A中原来的意义完全一致。

(3)在A中不是总能实施的某种运算，在B中总能施行。

( 4)在同构的意义下， B 应当是 A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A唯一确定。

数系扩展的方式有两种：

( 1)添加元素法。

( 2)构造法。

2、对自然数证明乘法单调性：设a,b,c N ,则

( 1 )若a b,则ac bc;

( 2

)

若a b,则ac bc; ( 3

)

若a b,则ac bc；

证明：

(

设命题

能

成立的所有C组成集合M

Qa b,a a 1,b b 1, ( P13规定) a1 b 1

1 M

假设c M ,即ac bc

Q ac a( c 1) ac a,bc b(c 1) bc b

又 Q ac bc, a b ac a bc b ac bc c M .

由归纳公理知， M N, 所以命题对任意自然数成立。

(2)若a b,则有b a k,k N. (P17定义 9) 由(1)有 bc (a k)c

3、对自然数证明乘法消去律：设a,b,c N,则

（1）若 ac be,则a b; （2）若 ac be,则 a b;

（3）若 ac be,贝U a bb

证明（ 1）（用反证法）

假设a b,则有a b 或a b. 若a b,有ac bc 和ac be 矛盾。若a b,有ac be,也和ac be 矛盾。

初等数学研究期末复习题：选择题与填空题1

初等数学研究期末复习题：选择题与填空题

一．选择题

1．如图，有一块矩形纸片ABCD ，AB =8，AD =6．将纸片折叠，使得AD 边落在AB 边上，折痕为AE ，再将△AED 沿DE 向右翻折，AE 与BC 的交点为F ，则△CEF 的面积为( )．

A C

B D

A ．2

B ．4

C ． 6

D ． 8

2．若M =223894613x xy y x y -+-++(x ，y 是实数)，则M 的值一定是( )．

A ．正数

B ．负数

C ．零

D ．整数

3．已知点I 是锐角三角形ABC 的内心，A 1，B 1，C 1分别是点I 关于边BC ，CA ，AB 的对称点．若点B 在△A 1B 1C 1的外接圆上，则∠ABC 等于( )．

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．90°

4．设A =22211148()34441004

⨯++⋅⋅⋅+---，则与A 最接近的正整数是( )． A ．18 B ．20 C ．24 D ．25

5．设a 、b 是正整数，且满足于5659a b ≤+≤，0.90.91a b

<<，则22b a -等于( )． A ．171 B ．177 C ．180 D ．182

的结果是( )．

A ．无理数

B ．真分数

C ．奇数

D ．偶数

7．设4r ≥，1

1a r r =-+

，b =

c =，则下列各式一定成立

的是( )．

A ．a b c >>

B ．b c a >>

C ．c a b >>

D ．c b a >>

8．若x 1，x 2，x 3，x 4，x 5为互不相等的正奇数，满足(2005－x 1)(2005－x 2)(2005－x 3)(2005－

(完整版)初等数学研究复习汇总

第一章

1、自然数集是有序集

2、自然数集具有阿基米德性质即：如果a,b∈N，则存在n∈N，使na>b

3、自然数集具有离散型即：在任意两个相邻的自然数a和a’之间不存在自然数b，

使a

4、最小数原理

３、整数集的性质

①整数集构成一个交换环②整数集是有序集③整数集具有离散型④整数集是可列集

1、有理数集是一个数域

2、有理数集是一个有序域

3、有理数集Q+具有阿基米德性质

4、有理数集具有稠密型

5、有理数集是一个可列集

①实数集是一个有序域②实数集R+具有阿基米德性质③实数集具有连续性

④实数集是不可数集

1、复数集是一个数域

2、复数域不是有序域

3、在复数域内，开方运算总可实施。任何非零复数有且只有n个不相等的n次方根。第二章

值

例：求00080cos 40cos 20cos ⋅⋅8

120sin 8160sin 20sin 880cos 80sin 220sin 480cos 40cos 40sin 220sin 280cos 40cos 20cos 20sin 2000000

0000

0000=

===⋅⋅⋅=解：原式N

N a

N c N b N b N a ac b c b a log log log log log log :1,,2=--=求证，

的正数，且是不等于例：设原式右边原式左边所以，得证明：由==-⋅-⋅=--=-=-+==a N c N

b N

c N a N a

N b N c N c N

b N b N a N b

c N a N b N c N

a N

b N a

c b log log )log (log log )log (log log log 1log 1log 1log 1log log log log log log log 2213cot cot cot 3tan tan tan =-+-θθθθθθ例：求证的值

初等几何研究复习题

习题1.设梯形两底之和等于一腰，则此腰两邻角的平分线必通过另一腰的中点。已知：如图，梯形ABCD 中，AD ∥BC,AB=AD+BC,E 是DC 中点

求证：∠DAB 与∠ABC 的平分线必经过E 点。证明（同一法）：

设∠DAB 与∠ABC 的角平分线交于E ′点，只需证E ′点与E 点重合。 ∵AD ∥BC

∴∠DAB+∠ABC=180° ∵∠1=∠2, ∠3=∠4, ∴∠2+∠3=90° ∴∠A E ′B=90°

作Rt △ABE ′的斜边AB 上的中线 FE ′，则 FE ′=2

1AB=AF=BF

∴∠2=∠A E ′F, ∠3=∠B E ′F ∴∠1=∠2=∠A E ′F , ∴E ′F ∥AD ∥BC

连结EF,则EF 为梯形 ABCD 的中位线, E F ∥AD ∥BC ∴E ′F 与EF 共线

∵FE ′=2

1AB=2

1(AD+BC), FE =2

1(AD+BC)

∴E ′F = E F

∴E ′与E 重合，证毕.

习题2.A 是等腰三角形ABC 的顶点，将其腰AB 延长至D ，使BD=AB 。知CD=10厘米，求AB 边上中线的长。

解：过B 作BF ∥AC 交CD 于F ，则BF 是△DAC 的中位线。 ∴BF 2

1AC

∴∠FBC=∠ACB

又∠ACB=∠ABC ，AB=AC ∴∠FBC=∠ABC ，BF=2

1AB=BE

1∴△EBC ≌△FBC （SAS ） ∴CE=CF=21

CD=2

1×10=5cm

即△ABC 中边上的中线CE 的长为5厘米。

习题3.证明：等腰三角形底边延长线上任一点到两腰距离之差为常量。

初等数论总复习题及知识点总结

初等数论学习总结

本课程只介绍初等数论的的基本内容。由于初等数论的基本知识和技巧与中学数学有着密切的关系，因此初等数论对于中学的数学教师和数学系(特别是师范院校)的本科生来说，是一门有着重要意义的课程，在可能情况下学习数论的一些基础内容是有益的．一方面通过这些内容可加深对数的性质的了解，更深入地理解某些他邻近学科，另一方面，也许更重要的是可以加强他们的数学训练，这些训练在很多方面都是有益的．正因为如此，许多高等院校，特别是高等师范院校，都开设了数论课程。

最后，给大家提一点数论的学习方法，即一定不能忽略习题的作用，通过做习题来理解数论的方法和技巧，华罗庚教授曾经说过如果学习数论时只注意到它的内容而忽略习题的作用，则相当于只身来到宝库而空手返回而异。

数论有丰富的知识和悠久的历史，作为数论的学习者，应该懂得一点数论的常识，为此在辅导材料的最后给大家介绍数论中著名的“哥德巴赫猜想”和费马大定理的阅读材料。

初等数论自学安排

第一章：整数的可除性（6学时）自学18学时

整除的定义、带余数除法最大公因数和辗转相除法整除的进一步性质和最小公倍数素数、算术基本定理

[x]和{x}的性质及其在数论中的应用

习题要求3p ：2，3 ； 8p ：4 ；12p ：1；17p ：1，2，5；20p ：1。

第二章：不定方程（4学时）自学12学时

二元一次不定方程c by ax =+

多元一次不定方程c x a x a x a n n =++ 2211 勾股数费尔马大定理。

习题要求29p ：1，2，4；31p ：2，3。

初等数学研究期末复习：解答题doc

初等数学研究期末复习题：解答题

代数部分

1．已知函数f (n )的定义域和值域都是N ，且(1)f (2)=2；(2)对m 、n ∈N ，有f (mn )=f (m )f (n )；(3)m >n ⇒f (m ) >f (n )．求证：对任意n ∈N ，有f (n )= n ．

2．用跳跃归纳法证明：任一正方形可剖分成个数多于5个的正方形．

3．对任意自然数n ，设sin

cos

ρθθ

=+，若1

sin cos ρθθ

=+是有理数，试证n ρ是

有理数．

4．证明：当n >2时，n 与n !之间至少存在一个质数．

5．设a 、b ∈Z ，证明：在a ，b ，a +b ，a －b 中必有一个是3的倍数．

6．已知,

k n N

∈，n a 表示1

++⋅⋅⋅+的个位数字，求证：12

0.n a a a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅

是有理数．

7．证明：实数集是不可数集． 8．设α是无理数，求证：3

(1)

+与3

(1)

-不能同为有理数．

9．设(1)

n N n ∈

>，求证：1

s in 2

n n k k n

π--==∏

．

10．已知cos cos cos sin sin sin 0

βγαβγ++=++=，求证：

co s 2co s 2co s 2sin 2sin 2sin 20

αβγαβγ++=++=．

11．圆内接六边形ABCDEF 的三条边AB ，CD ，EF ，都等于该圆的半径，求证：另三边BC ，DE ，F A 的中点P ，Q ，R 构成一个正三角形．

．设

1z i +

≤，求z

和arg z 的最大值与最小值．

初等数学研究第一章到第十三章全部答案

习题一

1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10）答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为：

（1）B A ⊂

（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。

（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。

（4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。

数系扩展的方式有两种：

（1）添加元素法。

（2）构造法。

2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则

（1）,;a b ac bc ==若则

（2）,;a b ac bc <<若则

（3）,a b ac bc >>若则；

证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。

a b,a a 1,

b b 1,P13(1),(1)a 11

1,a ac a c ac a bc b c bc b b M

c M c bc

==⋅=⋅=+=+=+=+''∴⋅=⋅∴∈∈= （规定）

假设即

ac ,ac a c .

bc a b

a bc

c bc M ==∴+=+∴=''∴∈' 又由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。

（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有（P17定义9）

由（1）有()bc a k c =+

a c kc =+

ac bc ∴< （P17.定义9）

或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ ()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=

(完整版)初等数学研究(补充版)

初等数学研究

1.（P383例4）在△ABC 中,∠C=90°，∠A=30°，在△ABC 的外侧分别以AB 、AC 为一边作正△ABE,正△ACD,如图,连接DE 交AB 于F.求证：EF=FD 。证明：作EH ⊥AB 交AB 于H 点。 ∵∠CAD=60°，∠BAC=30° ∴∠EHF=∠DAF=90° 设BC=a ，则AC=EH=3a

又∵∠EFH=∠DFA （对顶角） ∴△EFH ≌△DFA （AAS) ∴EF=FD

2.(P395例6)已知设H 是△ABC 的垂心，O 是外心。OD ⊥BC 于D 。如图,求证：AH=2OD 。证明:取AB 、H 的中点M 、N ，连接OM ，MN,DN

则MN ∥AH ∥OD ND ∥CH ∥OM ∴四边形MNDO 是平行四边形。

∴OD=MN=1

即AH=2OD 3。（P423例21)在△ABC 的三边AB 、BC 、和CA 上分别取点M 、K 和L ，使MK ∥AC ，ML ∥BC;设BL 、MK 交于P ，AK 、ML 交于Q 。如图，求证：PQ ∥AB 。

证明:∵ML ∥BC MK ∥AC ∴KP BP PM

= BM KQ MA

= BP BM PL MA

∴

KP BP BM KQ

PM PL MA QA

===

因此PQ ∥AM 即PQ ∥AB

4。(P430例26）设A 、B 为平面上的二定点，C 为平面位于直线AB 同侧的一动点,各以AC 、AB 为边，在△ABC 之外作正方形CADI 、CBEJ,如图。

求证：无论C 点取在直线AB 同侧的任何位置，DE 的中点M 的位置不变。证明:自D 、E 、C 和M 分别作AB 的垂线，设其垂足依次

《初等数学研究》试题

题目一：计算题

1. 请计算：7 × 9 = ______

2. 请计算：48 ÷ 6 = ______

3. 请计算：25 - 17 = ______

4. 请计算：3 × 4 + 2 = ______

5. 请计算：10 ÷ (5 - 3) = ______

题目二：填空题

1. 一个正方形的一条边长为5厘米，计算它的周长和面积分别为______厘米和______平方厘米。

2. 两个角相加等于180度，如果一个角为70度，那另一个角度数为______度。

3. 20 ÷ 4 × 3 = ______

4. 一个矩形的长为7厘米，宽为4厘米，计算它的周长和面积分别为______厘米和______平方

厘米。

5. 若一个数字逆序排列得到新的数字，例如：321的逆序排列为123，如果一个三位数的逆序

排列是它的2倍，求这个三位数。

题目三：选择题

1. 用1只兔子和1只鸽子构成一个集合，它们的总腿数是：

A. 2腿

B. 4腿

C. 6腿

D. 8腿

2. 表示“六乘以一个正整数”的算式是：

A. 6 + d

B. d - 6

C. 6 ×d

D. 6 ÷d

3. 一个立方体有六个面，正方形有四个边，三角形有______个边。

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

4. 一个正方形和一个长方形的周长相等，它们的边长比应满足的关系是：

A. 边长相等

B. 边长小于

C. 边长大于

D. 无法确定

5. 下列哪个数字是素数？

A. 10

B. 15

C. 23

D. 30

题目四：解答题

1. 小明有一个圆形的蛋糕，周长为36厘米。请问它的直径是多少厘米？

(完整)初等代数研究试题

第【1】页共【6】页

注意事项：

● 适用学生：11级统招学生

● 考试方式：开卷笔试

● 考核时间：100分钟

● 总分：100分

一、选择题（总分10分，每题2分）

１．若,012=++x x 则=+17171

x x ( )

A.1

B. -1

C. 2

D.-2 ２．若215+=x ，则=++531

x x x （）

A. 215+

B. 21

- C. 21

5-- D. 21

5+-

３．若518,9log 18==b

a ．则=45log 36（） A.a b

a -+2 B. a

b a ++2 C. a b a --2 D. a b

a +-2 ４．若0cos 2cos sin sin 6,222=-+<≤ααααππ

x ，则 =+αα2cos 2sin （

）

A.137-

B.1312

- C.135 D.13

５．函数x x y -+=1的值域为（）

A.[]2,1-

B. []2,1

C. ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡-22,1 D. ⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡22,

第【2】页共【6】页

二、填空题（总分20分，每空2分）

1. 数系的扩展方式有和两种方式.

2．如果()1,=b a ，则d by ax =+一定有；若()11,y x 是

d by ax =+的特解，则d by ax =+的通解公式是．

3．方程()0=+k y f 各根分别比方程()0=x f 的各根．

4．y x +的互为有理化的因式为．

5．把方程0104234=--++x x x x 的各个根变号，得到的方程为．

6．若，则必存在整数y x ,，使d by ax =+．

初等数学研究试题答案

习题一

1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10）答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为：

（1）B A ⊂

（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。

（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。

（4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。

数系扩展的方式有两种：

（1）添加元素法。

（2）构造法。

2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则

（1）,;a b ac bc ==若则

（2）,;a b ac bc <<若则

（3）,a b ac bc >>若则；

证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。

a b,a a 1,

b b 1,P13(1),(1)a 11

1,a ac a c ac a bc b c bc b b M

c M c bc

==⋅=⋅=+=+=+=+''∴⋅=⋅∴∈∈=Q Q （规定）

假设即

ac ,ac a c .

bc a b

a bc

c bc M ==∴+=+∴=''∴∈'Q 又由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。

（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有（P17定义9）

由（1）有()bc a k c =+

a c kc =+

ac bc ∴< （P17.定义9）

或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ ()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=

初等数学研究答案

习题一

1、数系扩展的原则是什么？有哪两种扩展方式？（P9——P10）答：设数系A 扩展后得到新数系为B ，则数系扩展原则为：

（1）B A ⊂

（2）A 的元素间所定义的一些运算或几本性质，在B 中被重新定义。而且对于A 的元素来说，重新定义的运算和关系与A 中原来的意义完全一致。

（3）在A 中不是总能实施的某种运算，在B 中总能施行。

（4）在同构的意义下，B 应当是A 的满足上述三原则的最小扩展，而且有A 唯一确定。

数系扩展的方式有两种：

（1）添加元素法。

（2）构造法。

2、对自然数证明乘法单调性：设,,,a b c N ∈则

（1）,;a b ac bc ==若则

（2）,;a b ac bc <<若则

（3）,a b ac bc >>若则；

证明：（1）设命题能成立的所有C 组成集合M 。

a b,a a 1,

b b 1,P13(1),(1)a 11

1,a ac a c ac a bc b c bc b b M

c M c bc

==⋅=⋅=+=+=+=+''∴⋅=⋅∴∈∈= （规定）

假设即

ac ,ac a c .

bc a b

a bc

c bc M ==∴+=+∴=''∴∈'又由归纳公理知，,N M =所以命题对任意自然数成立。

（2）,,.a b b a k k N <=+∈若则有（P17定义9）

由（1）有()bc a k c =+

a c kc =+

ac bc ∴< （P17.定义9）

或：,,.a b b a k k N <=+∈若则有 bc ()a k c ac kc =+=+ ()ac ac kc a k c bc ∴<+=+=