不等式第10课时
高中数学第二章数列第10课时等差数列前n项和的性质与应用课件新人教B版
【例3】
已知数列{an}的前n项和Sn＝－
3 2
n2＋
205 2
n，求数
列{|an|}的前n项和Tn.
思维启迪：由Sn＝－
3 2
n2＋
205 2
n，知Sn是n的缺常数项的二
次式，所以数列{an}为等差数列，可求出通项an，然后再判断
哪些项为正，哪些项为负，最后求出Tn.
解析：a1＝S1＝101，
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝
变式训练3 在等差数列中，a10＝23，a25＝－22. (1)该数列第几项开始为负； (2)求数列{|an|}的前n项和．
解析：设等差数列{an}中，首项为a1，公差为d，由题意得 a25－a10＝15d＝－45， 23＝a1＋10－1×d，
＝
90a1＋2 a110，
又S100－S10＝10－100＝－90，
∴a1＋a110＝－2.
∴S110＝110a12＋a110＝－110.
[类题通法] (1)利用已知求出a1，d，然后再求所求，是基本解法，有时 运算量大些． (2)我们也可以利用等差数列前n项和的性质，或利用等差 数列通项公式的性质，这两种解法可简化运算，为最优解法． (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法．
.
∴当n＝13时，Sn有最大值，最大值为S13＝13×25＋
13×12 2
高中数学 第二章 一元二次函数方程和不等式 课件 新人教A版必修第一册
③a2＋b2≥ab.其中恒成立的个数是( D )
A．0
B．1
C．2
D．3
解析：对①，a2－2a＋2＝(a－1)2＋1>0；对②，a2＋b2－2a
＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0；对③，a2＋b2－ab＝
a－b2
2＋
3 4
b2≥0.
6．完成一项装修工程，请木工需付工资每人400元，请瓦工 需付工资每人500元，现有工人工资预算不超过20 000元．设木工 x人，瓦工y人，则工人满足的关系式是( A )
A．M>N
B．M<N
C．M≤N
D．M≥N
解析：M－N＝(3x2－x＋1)－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0.
4．已知三个不等式：①ab>0，②
c a
>
d b
，③bc>ad.则下列结论
错误的是( D )
A．①③⇒② B．①②⇒③
C．②③⇒① D．B选项错误
5．给出下列不等式：①a2＋2>2a；②a2＋b2≥2(a－b－1)；
A．4x＋5y≤200 B．4x＋5y<200 C．5x＋4y≤200 D．5x＋4y<200
解Байду номын сангаас：由题意，可得400x＋500y≤20 5y≤200，故选A.
000，化简得4x＋
高三数学一轮复习第10课时对数函数学案
高三数学一轮复习 第10课时 对数函数学案
【学习目标】
1．理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数．
2．理解对数函数的概念；理解对数函数的单调性． 【课本导读】
1．对数
(1)对数的定义 ． (2)对数恒等式
①N
a a log ＝ (a >0且a ≠1，N >0)．②log a a b
＝ (a >0，且a ≠1，b ∈R )． (3)对数运算法则(a >0且a ≠1，M >0，N >0)
①log a (M ·N )＝ ；②log a M N
＝ ；③log a M n
＝ ． (4)换底公式
log b N ＝log a N
log a b
(a >0且a ≠1，b >0且b ≠1，N >0)．
推论：
①log a b ·log b a ＝ ； ②log a b ·log b c ＝ ；③n a b n log ＝ ； ④n
a b m log ＝ ．
2．对数函数
(1)对数函数的概念
函数y ＝log a x (a >0且a ≠1)叫做对数函数． (2)对数函数的图
像
(3)对数函数的性质
①定义域为 ，值域为 ．②恒过定点(1,0)． ③a >1时，y ＝log a x 在(0，＋∞)上为 ；01，x >1时，log a x 0；当a >1,01时，log a x 0． 【教材回归】
1．(课本习题改编)写出下列各式的值：
(1)log 26－log 23＝____；(2)lg5＋lg20＝_____；(3)log 53＋log 51
3
＝____；(4)log 35－log 315
第10课 不等式(组)的应用
设 AB＝AC＝x(cm)，则 BC＝(20－2x) cm.由
【答案】
B
x＋1<3x－3， 3．(2013· 杭州)当 x 满足条件1 时， 1 （ x－ 4） < （ x－ 4） 3 2
则方程 x2－2x－4＝0 的根是
．
【答案】
x＝1＋ 5
2x－2>0， 4．(2013· 上海一模)不等式组 的解为 2 － x >0
【解析】
设他要答对 x 道题，则 10x－5(20－x)＞90，
2 解得 x＞12 . 3 ∵x 取整数，∴x 最小为 13. 答：他至少要答对 13 道题．
【类题演练 1】
(2013·台州)某校班际篮球联赛中， 每场比
赛都要分出胜负， 每队胜 1 场得 3 分， 负 1 场得 1 分． 如 果某班要在第一轮的 28 场比赛中至少得 43 分，那么这 个班至少要胜多少场？
【解析】 设这个班要胜 x 场，则负(28－x)场．由题意，得 3x＋28－x≥43，解得 x≥7.5. ∵场次 x 为正整数，∴x 最小为 8. 答：这个班至少要胜 8 场．
题型二
一元一次不等式组的应用
抓住表示不等关系的语句，列出不等式组，问题的答 案要根据解和题意两方面来确定 (隐含条件，实际问题取 整数)，要使实际问题有意义．
(2014· 丽水)为了保护环境，某开发区综合治
第10课时 数列的通项与求和
当题目出现an+1 与an 的递推式，但数列{an}又 不是等差或等比数列时，常将递推公式变形，然 后结合待定系数法进行适当的构造，得出一个新 数列是等差数列或等比数列，把问题转化为等差 数列或等比数列去解决．
【变式训练】已知数列{an }的前n项和S n 和通项an 之间满 3 足关系S n (an 1)． 2 1 求数列{an }的通项公式； 2 设f ( x) log 3 x，bn f (a1 ) f (a2 ) f (an )， 1 1 1 Tn .求T2009 . b1 b2 bn
【例3】(2010 安徽卷) C1，C2， ， Cn， 是坐标平面上的一列圆， 它们的圆心都在x轴的正半轴 3 上，且都与直线y x相切， 3 对每一个正整数n，圆Cn都与圆Cn 1相互外切，以rn 表 示Cn的半径，已知{rn }为递增数列． 1 证明：rn 为等比数列； n 2 设r1 1，求数列{ }的前n项和． rn
3 4 4 5 n
n 1
(n 1) ，①
n n 1
Tn 2 3 (n 2) (n 1) ，② 当 1时，①式减去②式， (n 1) 得Tn 2 (1 ) 1
2 n 1 n 1
(n 1)
n2
n (1 ) 2
n 1
凤凰新学案 高中数学 苏教版 必修第一册 练习本第1章
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第１课时 集合的概念与表示（１） ／１２３第２课时 集合的概念与表示（２） ／１２３第３课时 子集、全集、补集 ／１２３第４课时 交集、并集 ／１２３章末复习 考点聚焦＆素养提升 ／１２３" #!&'()'*第１课时 命题、定理、定义 ／１２３第２课时 充分条件、必要条件、充要条件（１） ／１２３第３课时 充分条件、必要条件、充要条件（２） ／１２３第４课时 全称量词命题与存在量词命题 ／１２３第５课时 全称量词命题与存在量词命题的否定 ／１２３章末复习 考点聚焦＆素养提升 ／１２３综合测试 第１，２章集合与常用逻辑用语（见测试卷）" #!+,-第１课时 不等式的基本性质 ／１２３第２课时 基本不等式的证明（１） ／１２３第３课时 基本不等式的证明（２） ／１２３第４课时 基本不等式的应用（１） ／１２３第５课时 基本不等式的应用（２） ／１
２３第６课时 基本不等式的应用（３） ／１２３第７课时 从函数观点看一元二次方程 ／１２３第８课时 从函数观点看一元二次不等式（１） ／１
２３第９课时 从函数观点看一元二次不等式（２） ／１２３第１０课时 从函数观点看一元二次不等式（３）
／１２３章末复习 考点聚焦＆素养提升（１） ／１２３章末复习 考点聚焦＆素养提升（２） ／
１２３综合测试 第３章不等式（见测试卷）" #!./01/第１课时 指数（１） ／１２３第２课时 指数（２） ／１２３第３课时 对数（１） ／１２３第４课时 对数（２） ／１２３第５课时 对数（３） ／１２３章末复习 考点聚焦＆素养提升（１） ／１２３章末复习 考点聚焦＆素养提升（２） ／１２３综合测试 第４章指数与对数（见测试卷）" #!2/34056第１课时 函数的概念和图象（１） ／１２３第２课时 函数的概念和图象（２） ／１２３第３课时 函数的概念和图象（３） ／１２３第４课时 函数的表示方法（１） ／１２３第５课时 函数的表示方法（２） ／１２３综合小练 函数的概念、图象及表示方法 ／１２３第６课时 函数的单调性（１） ／１２３第７课时 函数的单调性（２） ／１２３第８课时 函数的奇偶性（１） ／１２３第９课时 函数的奇偶性（２） ／１２３综合小练 函数的单调性、奇偶性 ／１２３章末复习 考点聚焦＆素养提升（１） ／１２３
2023新插图版人教二年级数学下册-第10课时 用估算的策略解决问题【教案】
◎教学笔记第10课时用估算的策略解决问题
▶教学内容
教科书P96例13，完成教科书P98~99第6~8题。
▶教学目标
1.使学生能够结合具体情境，初步学会用加、减法的估算策略解决问题。
2.培养学生的数感及估算意识，体会算法的多样化。
3.感受数学知识与日常生活的联系，初步感受估算的价值。
▶教学重点
学会用加、减法估算解决问题，体会算法多样化。
▶教学难点
根据实际需要选择估算方法。
▶教学准备
课件。
▶教学过程
一、复习导入
1.口算下面各题。
300＋800＝700＋900＝1200－700＝1300－500＝
3000－800＝500－200＝900－700＝500－300＝
2.填空。
（1）妈妈买一台电脑花了4995元，约是（）元。
（2）望江小学有608人，约是（）人。
（3）果园里有1298棵果树，约是（）棵。
师：看来大家对整百、整千数的加减法掌握得很好。在生活中我们经常会遇到用加减法的计算
来解决问题。今天我们又会遇到什么新的问题呢？（板书课题：用估算的策略解决问题）
【设计意图】回顾求近似数的方法，巩固整千、整百数的加减法的口算，为学习估算做准备。
二、探究新知，体会估算优点
课件出示教科书P96例13。
1.审题，思考一般思路。
师：从图中你都知道了哪些信息？
要求学生有条理、完整地叙述。
师：要解决“买这两件商品，500元够吗？”这个问题，你想怎样解答？先独立思考，想一想，写
一写。
【学情预设】要把两件商品的总价格与500元作比较后才知道够不够。
师：怎样求两件商品的总价格呢？
学生列式。给学生思考的时间。
◎教学笔记
第10次课大数定律及中心极限定理
P{| X − µ |≥ ε} ≤ σ / ε
2
2
P{| X − µ |< ε} ≥1−σ / ε
2
2
对未知分布X 对未知分布X，取
ε = 3σ, 2σ ,
2 2
9 2 3 2 P{| X − µ |< 2σ } ≥ 1 −σ / ( 2σ ) = = 0.75 4
P{| X − µ |< 3σ } ≥ 1 −σ / ( 3σ ) = 8 = 0.89
由辛钦大数定理即得
nA lim P{| − p |< ε } n→∞ n 1 = lim P{| ( X1 + X2 + L+ Xn ) − p |< ε } = 1 n→∞ n
或
nA lim P{| − p |≥ ε } = 0 n→∞ n
证毕
定理的理解: 定理的理解
当重复试验次数n充分大时，事件“频率 当重复试验次数 充分大时，事件“频率nA/n与概 充分大时 与概 的偏差小于ε”概率趋于 率p的偏差小于 概率趋于 。由实际推断原理， 的偏差小于 概率趋于1。由实际推断原理， 实际上这个事件几乎是必定要发生的。 实际上这个事件几乎是必定要发生的。这就是所 谓的“频率稳定性” 谓的“频率稳定性”。 在实际应用中，当试验次数很大时， 在实际应用中，当试验次数很大时，就可以用事 件的频率来代替事件的概率。 件的频率来代替事件的概率。
最新中考数学精品课件第10讲方程(组)与不等式(组)的实际应用(77张)
600 4 800 600 9.
x
2x
去分母，得1 200+4 200=18x(或18x=5 400).
解得x=300.
检验：当x=300时，2x≠0(或分母不等于0)
∴x=300是原方程的解.
答：该地驻军原来每天加固300米.
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8.(.·青海中考)某施工队挖掘一条长90米的隧道，开工后每
60
60
答：提速后的火车速度约为352 km/h.
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7.(.·威海中考)为了参加.年威海国际铁人三项(游泳，自行 车，长跑)系列赛业余组的比赛，李明针对自行车和长跑项目 进行专项训练.某次训练中，李明骑自行车的平均速度为每分 钟600米，跑步的平均速度为每分钟200米，自行车路段和长 跑路段共5千米，用时15分钟.求自行车路段和长跑路段的长 度.
(A)至少20户
(B)至多20户
(C)至少21户
(D)至多21户
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【解析】选C.设这个小区的住户为x户,由题意得 1 000x＞10 000+500x,解得x＞20， 因为x为整数，所以这个小区的住户至少为21户.
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2.(.·潼南中考)某地居民生活用电基本价格为0.50元/度.规 定每月基本用电量为a度，超过部分电量的每度电价比基本用 电量的每度电价增加20%收费，某用户在5月份用电100度，共 交电费56元，则a=_____度. 【解析】由题意得0.5a+(100-a)×0.5×(1+20%)=56,解得 a=40. 答案：40
中考数学复习 第二章方程与不等式 第10课 不等式的应用课件
A．x≥ 1 2
B. x≤ 1 2
C．x≥－ 1 2
D．x≤－ 1 2
解析：二次根式有意义，1＋2x≥0, 2x≥－1，x≥－
.
1 2
2．(2011·黄石)双曲线y＝ 2k－1 的图象经过第二、四象限， x
则k的取值范围是( B )
A．k> 1 2
B. k< 1 2
C．k＝1 2
D．不存在
解析：双曲线的图象经过第二、四象限，可知2k－1<0，
(3)由题意得：94%x＋99%(2000－x)≥2000×96%， 解得：x≤1200， 设购买这批小鸡苗总费用为y元， 根据题意得：y＝2x＋3(2000－x)＝－x＋6000， 因为购买这批小鸡苗的总费用y随x增大而减小， 所以当x＝1200时，总费用y最小，y＝－1200＋6000＝4800(元)， 乙种小鸡苗为：2000－1200＝800(只)， 即：购买甲种小鸡苗为1200只，乙种小鸡苗为800只时，总费用y 最小，最小为4800元．
解：(1)y＝4＋(x－2)×1.5＝1.5x＋1.
(2)
11..55xx＋＋11<≥87.5.5，，解之，得4
1 3
≤x<5.
答：小红这次乘车路程x的范围是4 1 ≤x<5.
3
【例 3】 (2011·茂名)某养鸡场计划购买甲、乙两种小鸡苗共2000只进 行饲养，已知甲种小鸡苗每只2元，乙种小鸡苗每只3元． (1)若购买这批小鸡苗共用了4 500元，求甲、乙两种小鸡苗各购买 了多少只？ (2)若购买这批小鸡苗的钱不超过4 700元，问应选购甲种小鸡苗至 少多少只？ (3)相关资料表明：甲、乙两种小鸡苗的成活率分别为94%和99%， 若要使这批小鸡苗的成活率不低于96%且买小鸡的总费用最小，问 应选购甲、乙两种小鸡苗各多少只？总费用最小是多少元？
第10课时 正比例函数与一次函数
3)，且与y轴的交点在xC轴上方，则k的取值范围是( )
A. k>3 C. k2<3
B3. k> 3D2. k<
2
2
11. (2017陕西副题7题3分)设一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经
过点(1，－3)，且y的值随x的值增大而增大B，则该一次函数的 图象一定不经过( )
A．第一象限
B．第二象限 C．第三象限
4)，则a的值为( )
A. －1
B. 0
C. 1
D. 2
2. (2019陕西副题4题3分)AD′是点A(1 , 2)关于x轴的对称点．若
一个正12 比例函数的图象经过点A′，则该函数的表达式为(
)
A. y＝ 1 x
B. y＝2x
2
C. y＝ x
D. y＝－2x
3. (2016陕西5题3分)设点A(a，b)是正比3例函数y＝－ x图
返回思维导 图
考 2 正比例函数与一次函数的图象与性质返回思 图维导
点一次函数
y＝kx＋b(k、b为常数，k≠0)
k决定图象的 k>0⇒图象从左往右呈 k<0⇒图象从左往右呈
倾斜方向和 上升趋势，即“/”，y增随x 下降趋势，即“\”，y减随x
增减性
的增大而____ 大
的增大而____ 小
b决定图象与 b>0⇔交点在正半轴上；b<0⇔交点在负半轴上；
第十课时 解不等式
不等式专题
1、不等式的基本性质
（1）（对称性）
（2）（传递性）
（3）（加法单调性）
（4）（同向不等式相加） （5）（异向不等式相减） （6）
（7）（乘法单调性）
（8）（同向不等式相乘）
（异向不等式相除） （倒数关系） （11）（平方法则） （12）（开方法则）
2、几个重要不等式 （1）
（2）（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b
（当仅当a=b 时取等号）
极值定理：若则： ○
1如果P 是定值,
那么当x=y 时，S 的值最小； ○
2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
a=b=c 时取等号） （当仅当a=b 时取等号）
（7） 3、几个著名不等式
（1）平均不等式： 如果a ,b 都是正数，那么（当仅当
a=b 时
取等号）即：平方平均≥算术平均≥几何平均≥调和平均（a 、b 为正数）：特别地，
（当a = b 时，）
a b b a <⇔>c a c b b a >⇒>>,c b c a b a +>+⇒>d b c a d c b a +>+⇒>>,d b c a d c
b a ->-⇒<>
,bc ac c b a >⇒>>0,.bc ac c b a <⇒<>0,bd ac d c b a >⇒>>>>0,0(9)0,0a b a b c d c d
>><<⇒
《第10课时一元二次方程的根与系数的关系优秀获奖教案
按照新课程标准要求，学科核心素养作为现代教育体系的核心理论，提高学生的兴趣、学习的主动性，是当前教育教学研究所注重的重要环节之一。2021年4月，教育部发布文件，对教育机构改革进行了深入和细致的解读。从中我们不难看出，作为一线教师，教育教学手段和理论知识水平是下一步需要进一步提高的重要能力。本课作为课本中比较重要的一环，对核心素养进行了贯彻，将课堂环节设计进行了细致剖析，力求达到学生乐学，教师乐教的理想状态。
第10课时一元二次方程的根与系数的关系
预设目标1、熟练掌握一元二次方程根与系数的关系；
2、灵活运用一元二次方程根与系数关系解决实际问题．
3、提高学生综合运用基础知识分析解决较复杂问题的能力．
教学重难点重点：一元二次方程根与系数关系的应用．难点：某些代数式的变形．
教法
学法
合作，探究，讨论
教学过程一、自主学习感受新知
【问题1】若一元二次方程x2+10x+16=0的两根是x1、x2，则x1 + x2 =____；x1• x2 =_______.
【问题2】关于x的方程10
4
22=
-
+kx
x的一个根是－2，则方程的另一根是；k＝。
【问题3】甲乙同时解方程2x+px+q=0，甲抄错了一次项系
数，得两根为2﹑7，乙抄错了常数项，得两根为3﹑-10。则
p= ，q= 。
【问题4】以-3和5为根的一元二次方程是。
二、自主交流探究新知
【例1】
1
x、
2
x是方程0
5
3
22=
-
-x
x的两个根，不解方程，求下列代数式的值：
（1）2
2
2
1
x
x+（2）
2
1
x
x-（3）
2
2
2
2
1
3
3x
x
x-
+
【例2】若一元二次方程2x+ax+2=0的两根满足：
七年级数学上册第5课时
第10课时 一元一次不等式（组）
一、知识导航图
一元一次不等式(组)的应用
一元一次不等式(组)的解法一元一次不等式(组)解集的含义一元一次不等式(组)的概念
不等式的性质
一元一次不等式和一元一次不等式组
1.判断不等式是否成立
判断不等式是否成立,关键是分析判定不等号的变化,变化的依据是不等式的性质,特别注意的是,不等式两边都乘以(或除以)同一个负数时,要改变不等号方向;反之,若不等式的不等号方向发生改变,则说明不等式两边同乘以(或除以)了一个负数.因此,在判断不等式成立与否或由不等式变形求某些字母的范围时, 要认真观察不等式的形式与不等号方向. 2.解一元一次不等式(组)
解一元一次不等式的步骤与解一元一次方程的步骤大致相同,应注意的是,不等式两边所乘以(或除以)的数的正负,并根据不同情况灵活运用其性质,不等式组解集的确定方法:若a
(1)00a b <⎧⎨<⎩
的解集是x
(2)00a b >⎧⎨>⎩ 的解集是x>b,即“大大取大”.
(3) 00a b >⎧⎨<⎩的解集是a
(4)00
a b <⎧⎨>⎩ 的解集是空集,即“大大小小取不了”.
一元一次不等式(组)常与分式、根式、一元二次方程、函数等知识相联系，解决综合性问题。 3.求不等式(组)的特殊解
不等式(组)的解往往是有无数多个,但其特殊解在某些范围内是有限的,如整数解、非负整数解,要求这些特殊解,首先是确定不等式(组)的解集, 然后再找到相应的答案.注意应用数形结合思想. 4.列不等式(组)解应用题
注意分析题目中的不等量关系,考查的热点是与实际生活密切相联的不等式(组)应用题.
2011中考数学专题：例+练——第10课时_综合型问题(含答案)
第10课时综合型问题
综合型试题是将所学的知识在一定的背景下进行优化组合，找到解决问题的方案，在解决问题的时候所用到的知识不再是单一的知识点，而是相关的知识，可能同时用到方程、函数，也有可能是三角形与多边形，也有可能是相关学科的知识，这类题目对学生综合能力的要求较高，同时这类题目有相对新颖的背静环境，数学综合题是初中数学中覆盖面最广、综合性最强的题型．
解数学综合题必须要有科学的分析问题的方法，要善于总结解数学综合题中所隐含的重要的转化思想、数形结合思想、分类讨论的思想、方程的思想等，要结合实际问题加以领会与掌握，这是学习解综合题的关键．
类型之一代数类型的综合题
代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题．主要包括方程、函数、不等式等内容，用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以及代人法、待定系数法等．解代数综合题要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用，要抓住题意，化整为零，层层深人，各个击破．
1.(·安徽省)刚回营地的两个抢险分队又接到救灾命令：一分队立即出发往30千米的A镇；二分队因疲劳可在营地休息a（0≤a≤3）小时再往A镇参加救灾。一分队出发后得知，唯一通往A镇的道路在离营地10千米处发生塌方，塌方地形复杂，必须由一分队用1小时打通道路，已知一分队的行进速度为5千米/时，二分队的行进速度为（4+a）千米/时。
⑴若二分队在营地不休息，问二分队几小时能赶到A镇？
⑵若二分队和一分队同时赶到A镇，二分队应在营地休息几小
时？
⑶下列图象中，①②分别描述一分队和二分队离A镇的距离y(千
初高中数学衔接教材系列：第10课时解不等式组教案
第10课时 解不等式组
一、不等式组解法：
一（二）元一次不等式组解法：先对每个不等式求出解集，再求这些解集的交集。
求交集方法：1.画数轴法；
2.口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找.
二、例题讲解：
例1.解下列一元一次不等式组：
（1）5312x -≤+<-；
（2）6426x -<--≤;
（3）22321x x x -<<+.
}{53123121
21
21.
x x x x x x x -≤+≥-⎧⎧⇒⎨⎨+<-<-⎩⎩⇒-≤<-∴-≤<-解：(1)由题意得
原不等式的解集为 }{(2)64214262
21
21.
x x x x x x x -<--<⎧⎧⇒⎨⎨--≤≥-⎩⎩⇒-≤<∴-≤<由题意得
原不等式的解集为 }{(3)22323211
21
21.
x x x x x x x x x -<>-⎧⎧⇒⎨⎨<+<⎩⎩⇒-<<∴-<<由题意得
原不等式的解集为 例2. 解下列不等式组：
（1）247
60x x x -≤≤⎧⎨-->⎩；
（2）22412010
x x x x ⎧+->⎪⎨-+≤⎪⎩； （3）2620(2)(2)1
x x x x ⎧--+<⎨-+>⎩ ．
473204732
4237x x x+x x x x x -≤≤⎧⎨->⎩-≤≤⎧⇒⎨><-⎩⇒-≤<-<≤∴⋃解：(1)原不等式可化为
（）（）
或或原不等式的解集为[-4,-2)(3,7].
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3.4基本不等式的证明(1)
学习要求
1.理解算术平均数与几何平均数的定义及它们的关系.
2.探究并了解基本不等式的证明过程, 会用多种方法证明基本不等式.
3.理解基本不等式的意义, 并掌握基本不
等式中取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等. 【课堂互动】
自学评价
１．算术平均数：
２．几何平均数
３．设a ≥0,b ≥0则2
a b
+与为
４．基本不等式的证明方法： 【精典范例】
例1．.设a 、b 为正数, 求证明：
2
a b
+³
点评：
１．不等式证明的方法：(1)作差比较法(2)分析法(3)综合法
２．本题对a ≥0,b ≥０时仍成立，且题中
a=b 时成立．
３．把不等式
2a b +³ (a ≥0,b ≥0) 4.由本题可知，两正数的算术平均数不当两数相等时两者相5.基本不等式的几何解释：半径不小于半弦．
例2. 利用基本不等式证明下列不等式： (1) 已知a>0,求证 a+
1
2a
³ (2).已知a, b, c ∈R , 求证: a 2+b 2+c 2≥ab+bc+ac .
(3).已知x , y , z 是互不相等的正数, 且x+y+z=1 , 求证: (111
1)(1)(1)8x y z
--->
点评：1..基本不等式的变形公式： (1) 2
2
2(,)a b ab a b
R +澄
(2) 22
(,)2
a b ab a b R +Ｎ
(3) ,)a b a b R ++澄
(4) 2
(
)(,)2
a b ab a b R ++Ｎ
2.学会多次运用和创造条件运用基本不等式证题，尤其是不等式两边均为三项，可将
学习札记
一边变成六项，分成三组．对每一组用基本不等式．
３．注意严格不等式的证明方法．
思维点拔：
1.上面两例在于：(1)揭示基本不等式的内容与证法．(2)举例说明利用基本不等式证题的方法技巧，以让学生初步领会不等式证明的基本方法．
２．基本不等式的推广：n 个(n>1)非负数的几何平均数不大于它们的算术平均数．即若a i ≥0(i=1,2,…,n),
则
12n
a a a n
++鬃?(n>1,n ÎN)
追踪训练
１．设Ｐ为正数，求下列各组数的算术平均数与几何平均数． （１）２与８ （２）３与１２ （３）Ｐ与９Ｐ （４）２与２2
p ２．已知a>1求证a+1
1
a -≥3
３．已知a+b+c=1,求证a 2+b 2+c 2≥
13
４．已知a , b , c 不全相等的三个正数, 且abc=1 , 求证: c b a c
b a ++>++1
11．
学习札记