北师大版高中数学选修2-2课件2016-2017学年课件：2.3计算导数

(2) y' = (2sin x cos x + 2x2 + 1)' 22
= (sinx)' + (2x2 )' + 1' = cosx + 4x
例3 求曲线y=x4+2x+3的斜率为6的切线方程.
分析：函数在某处的导数的几何意义是相应曲 线在该处切线的斜率。由于切线的斜率已知，可以 利用导数求出切点的横坐标。
导数
解： y f (x x) f (x) C C 0
y 0 x
f '(x) C' lim y 0 x 0x
公式一： C' 0C为常数
几何意义：常数函数在任何一点处的切线平 行与 x 轴.
二.求函数f
(x)

x（n n

N
）的导数
3
5
55 x2
小结： 对于简单函数的求导，关键是学会合
理转化关系式，以便可以直接利用公式求解.
对于三角函数中，正弦、余弦两个函数的导 数公式也非常重要：
公式三：(sin x)' cos x 公式四：(cos x)' sin x
三、已知函数u(x),v(x)是可导函数 ，求 [u(x) v(x)]'.
解：设切点为P(x0 , y0 )则 y' = (x4 + 2x + 3)' = 4x3 + 2
y' = x=x0 4x03 + 2 = 6 x0 = 1
y0 = x04 + 2x0 + 3 = 6, 故Ｐ的坐标为（１，６）
故所求的切线方程为 y = 6x
小结
公式一
几个重要的求导公式：

.
解：y f (x x) f (x) (x x)n xn
xn Cn1 xn1x Cn2 xn2 (x)2 ... (x)n xn
Cn1 xn1x Cn2 xn2 (x)2 ... (x)n
y x

Cn1 xn1
C' 0 C为常数
公式二 (xn )' n(x)n1 (n Q)
公式三 (sin x)' cosx
公式四 (cosx)' sin x
公式二的推广：(axn b)' a nxn1 (其中a,b为常数）
函数和（差）的导数等于它们导数的和（差）.
即[u(x) v(x)]' = u'(x) v'(x)
解：令f(x) = u(x) v(x) Δy = f(x + Δx) - f(x) = [u(x + Δx) v(x + Δx)] - [u(x) v(x)]
= [u(x + Δx) - u(x)] [v(x + Δx) - v(x)] 结论：
= Δu(x) Δv(x)
函数和（差）的
Cn2 xnFra Baidu bibliotek2x
...
(x)n1

f
'(x)
y lim
x 0x

Cn1 xn1

nxn1
公式二： (xn )' n(x)n1 (n Q)
公式二的推广： (axn b)' a nxn1 (其中a,b为常数）
例题
例1 求下列函数 的导数.
(1) y = 2x3 + 1 (1)解：y' = 2 3x 3-1 = 6x2
Δy = Δu(x) Δv(x) Δx Δx Δx
故f'(x) = lim( Δy ) = lim( Δu(x) Δv(x) )
x 0 Δx x 0 Δx
Δx
= lim( Δu(x) ) lim( Δv(x) ) = u'(x) v'(x) x 0 Δx x 0 Δx
即：[u(x) v(x)]' = u'(x) v'(x)
导数的等于它们 导数的和（差） （可以推广到求 有限个函数的和 （差）的导数.）
例2 求下列函数的导数
(1)y = x3 + sinx + cosx
(2) y = 2sin x ×cos x + 2x2 + 1 22
解 : (1) y' = (x3 + sinx + cosx)' = (x3 )' + (sinx)' + (cosx)' = 3x2 + cosx - sinx
1 (2) y = x2 (3) y = x (4) y = 5 x3
(2)
解:
y'
=
(
1 x2
)'
=
(x -2
)'
=
-2(x)-2-1
=
-2x -3
=
-
2 x3
(3)解：y' = (
x
)'
=
1
(x 2
)'
=
1
-
(x)
1 2
=
x
2
2x
(4)解：y'
=(
5
x3
)'
3
= (x 5
)'
=
3
-
(x)
2 5
=
课后作业
练习几种常见函数的 求导.