数学物理方法chp51傅里叶级变换

满足狄里希利(Dirichlet)条件, 即在区间[-l,l]上
1) 连续或只有有限个第一类间断点；
2)
只有有限个极值点,则级数收敛，
f (x)
(在连续点x)
（简称狄氏条件）
且级数和
1 2
[
f
(x
0)
f
(x
0)](在间断点x)
则函数f(x)可在[-l,l]展为傅里叶级数
f
(x)
a0
(ak
二、留数定理
设函数f(z)在回路l所围区域B上除有限个孤立奇点
b1,b2,…,bn外解析，在闭区间B上除b1,b2,…,bn外连续，
则
l f (z)dz 2i Res f (bj ) j 1
留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围 区域上各奇点（有限远点）的留数之和。
推论：
函数在全平面上所有各奇点（有限远和无限远点）的
(z z0 )m f (z) an (z z0 ) mnan1(z z0 ) mn1 (m、n为非负整数)
若m
n,则 lim [(z zz0
z0 )m
f
(z)]}
0
若m
n,则 lim [(z zz0
z0 )m
f
(z)]}
若m
n,则 lim [(z zz0
z0 )m
f
(z)]}
an
am (非零有限)
则
ak
bk
1
1
k
f
f (x)
(x)
sin
c
k
osk
xdx
xdx 0
4
k
0
(k 1,3,5...) (k 2,4,6..)
f ( x) 4 1 sin(2k 1)x
k1 2k 1
15
二、奇函数和偶函数的傅里叶展开
f (x) a0
(ak
k 1
cos k
l
x bk
sin
k
l
表达式
1 ( x 0)
f (x)
1
(0 x )
将f（x）展为傅立叶级数。
解 函数满足狄氏条件，它在x=kπ（k=0，1，-1，2，-2…)
第一类间断点，级数和 11 0
2
且只有有限个极值点
f(x)
在连续点上级数和等于 f (x)
-π π
x
14
f (x)
x
因为T=2π，所以ω=2π/T=1
（1）
(1) lim zz0
(
z
z0
)
f
(z)
非零的有限值，
则z0为f
(z)的单极点，且Res[
f
( z0
)]
lim
zz0
(z
z0
)
f
(z)
(2)若f (z) P(z)/Q(z),其中P(z)和Q(z)都在z0点解析，
z0是Q( z )的一阶零点。
P(z0 ) 0,从而z0是f (z)的一阶极点，
留数和为零。
m
Resf (bk ) Resf () 0
k=1
1
三、留数的计算方法： 1）级数法 将函数围绕奇点展开为洛朗级数，
f (z) ak (z z0 )k k
从而得到函数f(z)在奇点z0的留数 Resf(z0)=a-1
2
2）单极点留数
即可以用来判断z0是否是单极点，也可 用来求函数在单极点的留数公式
x)
奇奇=偶 奇偶=奇
若f(x)是奇函数，则ak为0，展开式为
f ( x )
kπx bk sin l
k 1
偶偶=偶
bk
2 l
l 0
f ( )sin k
l
d (k 1,2,3 )
叫做傅里叶正弦级数，特点：f(0)=f(l)=0
16
源自文库
若f(x)是偶函数，则bk为0，展开式为
f ( x ) a 0
l
l
l
11
说明
2) 三角函数族是两两正交的
l kx
cos d x 0
l
l
(k 0),
l kx
sin d x 0
l
l
l kx nx
cos cos d x 0 (k n)
l
l
l
l kx nx
sin sin d x 0
l
l
l
(k n),
l kx nx
sin cos d x 0
l
z0为f (z)的m阶极点（对m 1也适用）
4
第五章 傅里叶变换
重点 1、傅立叶（Fourier）级数的展开方法； 2、傅立叶（Fourier）积分与变换；
傅里叶生平
1768年生于法国 1807年提出“任何周 期信号都可用正弦函 数的级数表示” 1822年发表“热的分 析理论”，首次提出 “任何非周期信号都 可用正弦函数的积分 表示”
l l
l
b 1 l f xsin kxdx
k l l
1 l f xsin kx dx
l l
l
(k 1,2,3, )
(k 1,2,3 ). 称为傅里叶系数
13
2、傅立叶展开的意义： 理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示； 应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。
例1 设f（x）函数是周期为2π周期函数，它在（π，π）
t
工程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数的 线性组合来逼近.
8
方波 4个正弦波的逼近
100个正弦波的逼近
数学表示为
n
f (x) Ak sin(kt k ) k 1
n
(ak cos kt bk sin kt) k 1
9
1、 傅里叶级数
若函数f(x)以2l为周期，即f(x+2l)=f(x)， 并在区间[-l,l]上
则 Res [
（2）
f
( z0
)]
P(z0 ) Q(z0 )
3
3）m阶极点的留数
lim [(z
zz0
z0 )m
f
(z)]
am
非零有限值，z0为f
(z)的m阶极点
Res[
f
(z0)]
a1
lim
zz0
1
d (m1)
(m
{ 1)!
dz
(
m1)
[(z
z0 )m
f
(z)]}
假设z0为f(z) 的n阶极点，则
6
§5.1 傅里叶（Fourier）级数
一 .周期函数的傅里叶展开
在工程计算中, 无论是电学、力学、光学, 经常要和随时
间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:
具有性质fT(t+T)=fT(t)的函数称为周期函数。 最常用的一种周期函数是三角函数
fT(t)=Asin(ωt+φ)，其中ω=2π/T
l
l
l
12 dx 2l (k 0)
l
l
s in 2
kxdx l
(k n)
l
l
l cos2 kxdx l (k n)
l
l
12
说明 3) 可以由函数的正交性求出傅立叶级数中的系数；
a 1 l f xdx 0 l l
a 1 l f xcoskxdx
k l l
1 l f xcos kx dx
k 1
cos k
l
x bk
sin
k
l
x)
2 2
T 2l l
10
说明
1) 函数以傅立叶级数展开是在函数空间中以三角函数 为基进行分解
基 矢 量
1, cosx , cos 2x , cos3x , cos kx ,
l
l
l
l
sin x ,sin 2x ,sin 3x , sin kx ,
l