活用等底等高等积1

合集下载

等积转换法

等积转换法【知识与方法】在平面几何图形中，我们往往可以根据同底等高、等底同高、等底等高等等发现面积相等的图形，这些图形有的形状相同，有的形状不同，但既然面积与面积之间具有相等关系，我们就可以相应地进行一些转化，从而使问题解决起来更加简便。

【例题精讲】例1：如图，ABCD 是边长为4分米的正方形，长方形DEFG 的长是5分米，求长方形DEFG 的宽。

F AEDC B G思维点拨：连接AG ，三角形ADG 的面积等于长方形面积的一半，同时也等于正方形面积的一半。

模仿练习如图，ABCD 是正方形，EDGF 是长方形，CD=6厘米，DG=8厘米，求宽ED=?F AB GCD E86例2：如图，梯形上底AB 长是18厘米，三角形ABD 的面积是198平方厘米，三角形COD 的面积比三角形AOB 的面积多66平方厘米，求梯形ABCD 的面积。

AD CBO思维点拨：因为三角形ABD 和三角形ABC 同底等高，所以三角形ABD 的面积等于三角形ABC 相等。

模仿练习如图，在四边形ABCD 中，DCFG 为正方形，ABED 为梯形，DE=12厘米，DG=8厘米，AB=24厘米，求梯形ABED 的面积是多少？例3：已知大正方形的边长是5厘米，小正方形的边长是4厘米，求阴影部分的面积。

A B思维点拨：连接AC ，三角形GEA 和三角形GEC 同底等高。

模仿练习如图，ABCD 、CEFG 都是正方形，AB=8厘米，CE=6厘米，求图中阴影部分的面积。

A B例4：长方形ADEF 的面积是16平方厘米，三角形ADB 的面积是3平方厘米，三角形ACF 的面积是4平方厘米，求三角形ABC 的面积。

A DB E CF思维点拨：连接AE ，求出三角形BCE 的面积是非常关键的一步。

模仿练习如图,在三角形ABC 中，BD=2DC ，AE=BE ，已知三角形ABC 的面积是18平方厘米，求四边形ACDE 的面积。

（提示：连接AC ）AB D EC例5：如图，已知四边形ABCD 被它的两条对角线分成四个三角形，其中甲的面积是1，乙的面积是2，丙的面积是3，求丁的面积。

巧用等底等高等积解题

【析与解】分
［般解法］一
我们知道，只要划出线来就好分割了。那么如何划线呢？分
析后可知，Ａ点出发的两条线段只有与ＢＣ从Ｃ、Ｄ相交，才有可能将长方形分割成面积相等的３块。图２假设画出的两条线如，
段分别与ＢＣ相交于Ｅ、Ｃ、ＤＦ点。由长方形ＡＣＤ的面积为Ｂ
２４×１８＝４２（方厘米）可知分割成的三角形ＡＥ、四边形３平Ｂ
ＡＣ、角形ＡＥＦ三ＤＦ的面积均应为４２÷３＝１４平方厘米）由３４（。
面积的三分之一。从而可得三角形ＡＥ的面积等于四边形Ｂ
ＡＣＥＦ的面积，等于三角形Ａ也ＤＦ的面积。运用三角形等底等高等积这一特点，即使不知道原长方形
的长和宽是多少厘米，们也可以分割。我
。李红军邹树立
【目】题
有一块长方形铁皮，为２长４厘米，为１米，图１宽８厘如。现在要从Ａ点出发，两条线段，长方形铁皮分割成３块面积作将相等的小铁皮。应如何＝２Ｃ时，三角形ＡＥ的面积等于三角形ＥＢ
ＡＣ面积的２倍，即三角形ＡＣ的面积等于三角形ＡＣ面积ＥＥＢ
的三分之一。同理，ＤＦ＝２Ｃ时，角形Ａ取Ｆ三ＤＦ的面积等于三角形ＡＣ面积的２倍，即三角形ＡＣ的面积等于三角形ＡＦＦＤＣ

活用“等底等高等面积”,破解中考压轴题

（，）交轴于点Ａ３０，Ｙ轴于点Ｄ．探究在抛１４，（，）交试
物外的点，
①若点在直线ＡＤ的上方（图１如一③ ）则Ｐ，Ｆ
＝３一ｍ．
・
．．
＝一１，４２ｍ－１＂２－１４３
举例说明，灵活运用“ 等底等高等积” 这一结论，破解与
ＳＡ，Ｓ￣ＡＮ．￣ＭＢ
面积有关的中考压轴题，供读者参考．
一
②相等．理由如下：如图１一② ，分别过点Ｄ。Ｅ作ＤＩＢ，Ｋ上Ａ垂足分别为日，．ＨｊＥＡＢ，则Ｄ，Ｈｌ＝，
ＥＢ＝９￣Ｋ０．
・
、
利用“ 同底等高——等面积” 破解
例ｔ（ｏｏ・海）ａｌ年威
‘ ．
（）究新知：１探 ①如图１一① ，已知Ａ／ＢＡＤ／Ｃ，Ｄ＝Ｂ点，Ｃ， Ⅳ 是直线ＣＤ上任意两点．求证：Ｂ与△ 删ｖＡＡＭ的面积相等．
’
一
ｌＡ０Ｆ｜＼、
ｃ上轴，Ｇ垂足为，Ａ交Ｄ于点日．日点的纵坐标则
为一１＝２＋３．
、
・
．．
ｃ日：ＣＧ—ＨＧ＝４—２＝２设点Ｅ的横坐标．
，
０ＧＦ
为ｍ，点Ｅ的纵坐标为一ｍ＋ｍ＋３则２．
图１一② （）论应用．２结
②若层点在直线ＡＤ的下方（如图１一④ ，一⑤ ）１，
贝Ｅ＝（一ｒ）一ｍ＋２＋３＝ｍ～３ＵＰ３ｔ一（Ｚｍ）ｍ．

活用“等底等高等面积”,破解中考压轴题

如图１，－抛物线Ｙ＝Ｏ＋＋ｃ３，Ｘ的顶点为Ｃ１（，
达式为Ｙ＝一＋３过ｃ点作Ｃ轴，足为Ｇ交．Ｇ上垂，
５
ＡＤ于点Ｈ则日点的纵坐标为一１＋３＝２所以Ｃ＝．Ｈ
右边两种情形，破解此题的关键在于分情况画出相应
（）：２答存在．因为抛物线的顶点坐标是Ｃ１４，（，）
所以，设抛物线的表达式为Ｙ＝０一１＋４又因可（）．
为抛物线经过点Ａ３０，其坐标代入上式，０＝（，）将得
ｎ３—１＋，（）４解得ｏ＝一１所以该抛物线的表达式为．
＝Ｂ所以四边形ＡＣＣ，ＢＤ为平行四边形．
１
１利用“ 同底等高一等面积 ”破解
例１（００年威海）２１（）探究新知：１
既以Ａ／Ｃ．Ｂ／Ｄ既以ＭＥ＝Ｎ．Ｆ因为Ｓ知Ａ／ＢＡ＝Ｂ，．，Ｄ／Ｃ，ＤＣ点，直 Ⅳ是线ＣＤ上任意两点．求证：Ｂ与ＡＡＮ的面积相ＡＡＭＢ
．
数学的魅力在于追求简易，不是过于追求难度而
但本人无力洞悉其中的奥妙，待哪位同仁能指点期
迷津！
和技巧，尤其是中考数学的试题．略抒陋见，与同权
仁商榷．
作者简介姜晓刚，，９ｏ年６月出生，云港市新男１７连海实验中学任教，中学数学高级教师，主持省教科院和省教

小学数学几何五大模型教师版

几何五大模型一、五大模型简介（1）等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等；2、两个三角形高相等，面积之比等于底之比，如图①所示，S1：S2=a:b；3、两个三角形底相等，面积在之比等于高之比，如图②所示，S1：S2=a:b；4、在一组平行线之间的等积变形，如图③所示，S△ACD=S△BCD；反之，如果S△ACD=S△BCD，则可知直线AB平行于CD。

例、如图，三角形ABC的面积是24，D、E、F分别是BC、AC、AD的中点，求三角形DEF的面积。

（2）鸟头（共角）定理模型1、两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫共角三角形；2、共角三角形的面积之比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比。

如图下图三角形ABC中，D、E分别是AB、AC上或AB、AC延长线上的点则有：S△ABC：S△ADE=（AB×AC）：（AD×AE）我们现在以互补为例来简单证明一下共角定理！如图连接BE，根据等积变化模型知，S△ADE：S△ABE=AD：AB、S△ABE：S△CBE=AE：CE，所以S△ABE：S△ABC=S△ABE：（S△ABE+S△CBE）=AE：AC，因此S△ADE：S△ABC=（S△ADE：S△ABE）×（S△ABE：S△ABC）=（AD：AB）×（AE：AC）。

例、如图在ΔABC中，D在BA的延长线上，E在AC上，且AB：AD=5:2，AE：EC=3:2，△ADE的面积为12平方厘米，求ΔABC的面积。

（3）蝴蝶模型1、梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)例、如图，梯形ABCD，AB与CD平行，对角线AC、BD交于点O，已知△AOB、△BOC 的面积分别为25平方厘米、35平方厘米，求梯形ABCD的面积。

2、任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：例、如图，四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，如果三角形ABD的面积等于三角形BCD面积的1/3，且AO=2、DO=3，求CO的长度是DO长度的几倍。

小学奥数几何面积(1)等底等高模型知识点+例题+练习 (分类全面)

教学过程课堂精讲一、知识梳理1、三角形的面积=底边长高÷2;所以，两个面积相等的三角形，当底边相等时，高也相等；反之亦然。

2、当两个三角形高相等时，面积之比等于底边长之比。

3、当两个三角形的底边长相等时，面积之比等于高之比。

4、在等底等高的情况下，三角形面积是平行四边形面积的一半；5、底边之和等于平行四边形的一边，且高相等的所有三角形，面积之和是平行四边形面积的一半；例1、如图，直角三角形ABC中AB=2,BC=2，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE的面积是多少？拓展、如图，三角形ABC 的面积为1，其中AE=3AB,BD=2BC,三角形BDE 的面积是多少？例2、如下图，AD DB =，AE EF FC ==，已知阴影部分面积为6平方厘米，ABC ∆的面积是多少平方厘米？FE DCBA拓展、如图，三角形ABC 中，AB 是AD 的5倍，AC 是AE 的3倍，三角形ADE 面积为3，三角形BDE 、三角形ABC 面积分别是多少？拓展、如下图，长方形AFEB 和长方形FDCE 拼成了长方形ABCD ，长方形ABCD 的长是20，宽是12，则它内部阴影部分的面积是．F E DCBA拓展、如图,一个长方形被分成4个不同颜色的三角形,红色三角形的面积是9平方厘米,黄色三角形的面积是21平方厘米,绿色三角形的面积是10平方厘米,那么蓝色三角形的面积是多少平方厘米?例5、图中的E 、F 、G 分别是正方形ABCD 三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？E D GCFBA拓展、正图长方形ABCD 的面积是32平方厘米，E 、F 都是所在边的中点，三角形AEF 的面积是多少？例6、已知正方形ABCD的边长是10厘米，正方形EFGH的面积是多少？拓展、已知大正方形的边长是12厘米，中间最小正方形的面积是多少？拓展、如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？例7、图中两个正方形的边长分别是6厘米和4厘米，则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘米．拓展、右图是由大、小两个正方形组成的，大正方形的边长是6厘米，小正方形的边长是4厘米，求三角形ABC 的面积．G4AB CDEF例8、四边形ABCD 和四边形DEFG 都是正方形，已知三角形AFH 的面积是7平方厘米。

专题08 等积变换法(解析版)中考二轮专题复习之数学思想和方法以及常见题型满分练(全国通用)

专题08 等积变换法【规律总结】在平面几何图形中，我们往往可以根据同底等高、等底同高、等底等高等等发现面积相等的图形，这些图形有的形状相同，有的形状不同，但既然面积与面积之间具有相等关系，我们就可以相应地进行一些转化，从而使问题解决起来更加简便。

【典例分析】例1、如图，在△ABC中，E是BC上的一点，EC=2BE，点D是AC的中点，设△ABC，△ADF，△BEF的面积分别为S△ABC，S△ADF，S△BEF，且S△ABC=12，则S△ADF−S△BEF=()A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】B【解析】【分析】本题考查三角形的面积，关键知道当高相等时，面积等于底边的比，根据此可求出三角形的面积，然后求出差．S △ADF−S △BEF=S △ABD−S △ABE，所以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积即可，因为EC=2BE，点D是AC的中点，且S△ABC=12，就可以求出三角形ABD的面积和三角形ABE的面积．【解答】解：∵点D是AC的中点，∴AD=12AC，∵S△ABC=12，∴S△ABD=12S△ABC=12×12=6．∵EC=2BE，S△ABC=12，∴S△ABE=13S△ABC=13×12=4，∵S△ABD−S△ABE=(S△ADF+S△ABF)−(S△ABF+S△BEF)=S△ADF−S△BEF，即S△ADF−S△BEF=S△ABD−S△ABE=6−4=2．故选B．例2、阅读理解基本性质：三角形中线等分三角形的面积．如图，AD是△ABC边BC上的中线，则S△ABD= S△ACD=12S△ABC理由：∵AD是△ABC边BC上的中线∴BD=CD又∵S△ABD=12BD×AH；S△ACD=12CD×AH∴S△ABD=S△ACD=12S△ABC∴三角形中线等分三角形的面积基本应用：(1)如图1，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，连接DA.则S△ACD与S△ABC的数量关系为：______；(2)如图2，延长△ABC的边BC到点D，使CD=BC，延长△ABC的边CA到点E，使AE=AC，连接DE.则S△ECD与S△ABC的数量关系为：______ ；(写出你的理由)；(3)在图2的基础上延长AB到点F，使FB=AB，连接FD，FE，得到△DEF(如图3).则S△EFD与S△ABC的数量关系为：______；(4)拓展应用：如图4，点D是△ABC的边BC上任意一点，点E，F分别是线段AD，CE的中点，且△ABC的面积为18cm2，则△BEF的面积为______cm2．【答案】(1)S△ABC=S△ACD；(2)S△CDE=2S△ABC；(3)S△EFD=7S△ABC；(4)4.5．【解析】【分析】本题是考查了三角形的面积及等积变换，本题有一定难度，关键是需要通过作辅助线，运用三角形中线等分三角形的面积才能得出结果．(1)由△ABC与△ACD中BC=CD，由三角形中线等分三角形的面积即可结果;(2)连接AD，由CD=BC，由三角形中线等分三角形的面积，同理可得△AED与△ADC面积相等，而△CDE面积等于两三角形面积之和，即可得出结果;(3)连接AD，EB，FC，根据第二问的思路，同理可得阴影部分的面积等于6倍的△ABC面积，即可得出结果;(4)拓展应用：点E是线段AD的中点，由三角形中线等分三角形的面积，求得S△BCE=1S△ABC，由点F是线段CE的中点，根据三角形中线等分三角形的面积，求得S△BEF=S△BCF= 21S△BCE，即可求出△BEF的面积．2【解答】解：(1)∵BC=CD，三角形中线等分三角形的面积，∴S△ABC=S△ACD；故答案为S△ABC=S△ACD；(2)连接AD，如图1所示：∵BC=CD，三角形中线等分三角形的面积，∴S△ABC=S△ADC，同理S△ADE=S△ADC，∴S△CDE=2S△ABC；故答案为S△CDE=2S△ABC；(3)连接AD，EB，FC，如图2所示：由(2)得：S△CDE=2S△ABC，同理可得：S△AEF=2S△ABC，S△BFD=2S△ABC，∴S△EFD=S△CDE+S△AEF+S△BFD+S△ABC=2S△ABC+2S△ABC+2S△ABC+S△ABC=7S△ABC；故答案为S△EFD=7S△ABC；(4)拓展应用：∵点E是线段AD的中点，由三角形中线等分三角形的面积，∴S△ABE=S△BDE，S△ACE=S△CDE，∴S△BCE=12S△ABC，∵点F分别是线段CE的中点，由三角形中线等分三角形的面积，∴S△BEF=S△BCF=12S△BCE，∴S△BEF=14S△ABC=14×18=4.5(cm2)；故答案为4.5．例3、如图，每个小正方形的边长为1个单位．(1)描出可利用的一个格点，仅用直尺画出△ABC的AB边上的高CD；(2)计算△ABC的面积为______________；(3)画出△ABC向右平移4个单位后得到的△A1B1C1；(4)图中AC与A1C1的关系是：______________；(5)在AC的右侧找出图中能使S△ABC=S△ABQ的所有格点Q．(分别用Q1、Q2、……分别表示)【答案】解：(1)高线CD如图所示；(2)8；(3)如图，△A1B1C1为所作；(4)平行且相等；(5)如图所示：【解析】【分析】本题考查了作图−平移变换，高线的作法，网格中三角形的面积计算方法，涉及了割补法计算面积，属于中档题．(1)根据作高线的方法，作出高即可；(2)根据割补法，算出△ABC的面积即可；(3)根据图形平移的性质，画出△A1B1C1即可；(4)根据平移的性质，可得出AC与A1C1的关系；(5)首先根据△ABC的面积，根据同底等高进而得出Q点的个数．【解答】解：(1)见答案；(2)△ABC的面积=5×7−12×2×6−12×1×3−12×5×7−2×1=35−6−1.5−17.5−2=35−27=8；故答案为8；(3)见答案；(4)由平移的性质可得，AC与A1C1的关系为平行且相等，故答案为：平行且相等；(5)见答案．【好题演练】一、选择题1.如图所示，在△ABC中，点D是BC上的一点，已知AC=CD=5，AD=6，BD=52，则△ABC的面积是()A. 18B. 36C. 72D. 125【答案】A【解析】【分析】本题考查的是勾股定理，三角形的面积，面积法有关知识，先作辅助线，AE⊥CD于点E，CF⊥AD于点F，然后根据勾股定理，可以得到CF的长，再根据等积法可以得到AE的长，然后即可计算出△ABC的面积．【解答】解：作AE⊥CD于点E，作CF⊥AD于点F，∵AC=CD=5，AD=6，CF⊥AD，∴AF=3，∠AFC=90°，∴CF=√AC2−AF2=4，∵CD·AE2=AD·CF2，∴5AE2=6×42，解得．AE=245，∵BD=52，CD=5，∴BC=152，∴△ABC的面积是：BC·AE2=152×2452=18．故选A．2.如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB，BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是()A. 4.8B. 5C. 6D. 7.2【答案】A【解析】略3.如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，PO交⊙O于点E，过点B作弦，若PA=2PE=4，则BC的长为()A. 125B. 185C. 245D. 4【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了切线的性质，垂径定理，勾股定理等知识点.根据切线的性质和勾股定理先求得圆的半径，再利用面积相等和平行线的性质求得OD的长，最后利用勾股定理和垂径定理即可得到答案【解答】解：如图，连接OB，过点B作BF⊥PO交PO于F，过点O作OD⊥BC交BC于点D，∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，PA=2PE=4，∴PB=PA=4，OB⊥PB，PE=2，设圆的半径为r，则(2+r)2=42+r2，解得，r=3，∵S△POB=12PO·BF=12PB·OB∴12×(2+3)×BF=12×4×3，解得，BF=125，∵BC//PO，BF⊥PO，OD⊥BC，∴OD=BF=125，∴BD=√OB2−OD2=√32−(125)2=95，∴BC=2BD=2×95=185．故选B．4.如图，在▵ABC中，已知D、E、F分别是BC、AD、CE的中点，且S▵ABC=4cm2，则图中▵BEF的面积是()A. 2cm2B. 1cm2cm2C. 12cm2D. 14【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了三角形面积的等积变换：若两个三角形的高(或底)相等，其中一个三角形的底(或高)是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形直观解答．如图，因为点F是CE的中点，所以△BEF的底是△BEC的底的一半，△BEF高等于△BEC的高；同理，D、E、分别是BC、AD的中点，△EBC与△ABC同底，△EBC的高是△ABC高的一半；利用三角形的等积变换可解答．【解答】解：如图，点F是CE的中点，EC，高相等；∴△BEF的底是EF，△BEC的底是EC，即EF=12S△BEC，∴S△BEF=12D、E分别是BC、AD的中点，同理得，S△ABC，S△EBC=12∴S△BEF=1S△ABC，且S△ABC=4cm2，4∴S△BEF=1cm2，即阴影部分的面积为1cm2．故选：B．5.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，点C在y轴正半轴上，且OC=AB.将线段AB平移至线段CD，A点的对应点为C点，B点的对应点为D点，连接AC，BD.当点P在x轴上时，若△PCD与△ACP的面积相等，则点P的坐标为()．A. (2,0)或(−6,0)B. (2,0)C. (−6,0)D. (−2,0)或(−6,0)【答案】A【解析】【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，三角形的面积，熟记平移变化只改变图形的位置不改变图形的形状是解题的关键．由三角形的面积得出CD•OC=AP•OC.即可得AP=CD=4，则可得出答案．【解答】解：(1)∵点A，B的坐标分别为(−2,0)，(2,0)，∴OA=2，OB=2，∴AB=4，∵OC=AB，∴OC=4，∵将线段AB平移至线段CD，∴CD=4，∴D(4,4).由平移性质可知：CD=AB=4，∵S△PCD=12CD⋅OC，S△ACP = 12AP⋅OC，且S△PCD=S△ACP ，∴CD⋅OC= AP⋅OC．即AP=CD=4，∴点P的坐标为(2,0)或(−6,0)．故选A．6.如图，四边形ABGH、四边形BCFG、四边形CDEF都是正方形，过点B作BM⊥HC于点M，过点C作CN⊥HD于点N，则CNBM=()A. 12B. √22C. √53D. √2【答案】B【解析】【分析】本题主要考查的是勾股定理及三角形的面积，设AB=a，求出AC、HD的长，再求出△HBC 和△HCD的面积，再求出CN：BM的值即可．【解答】解：设AB=a，则HC=√a2+(2a)2=√5a，HD==√a2+(3a)2=√10a，又∵S△HBC=12BC·AH=12a2，S△HCD=12CD·AH=12a2，∴S△HBC=S△HCD，∴BM⋅HC=CN⋅HD⋅∴CNBM =HCHD=√5a√10a=√22．故选B．二、填空题7.如图，E、F是平行四边形ABCD的边AB、CD上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q.若S△APD=15cm2，S△BQC=25cm2，则阴影部分的面积为_________cm2．【答案】40【解析】【分析】本题综合性较强，主要考查了平行四边形的性质，解答此题关键是作出辅助线，找出同底高的三角形．连接E、F两点，由三角形的面积公式我们可推出S△ADF=S△DEF，所以S△APD=S△EPF= 15cm2S△BQC=S△EFQ=25cm2，所以阴影部分的面积就是S△APD+S△BQC．【解答】解：如图，连接EF∵△ADF与△DEF同底等高，∴S△ADF=S△DEF即S△ADF−S△DPF=S△DEF−S△DPF，即S△APD=S△EPF=15cm2，，∴阴影部分的面积为S△EPF+S△EFQ=15+25=40(cm2)．故答案为40．8.如图，点E、F是平行四边形ABCD的边AB、DC上的点，AF与DE相交于点P，BF与CE相交于点Q，若S△APD=14cm2，S△BCQ=16cm2，则四边形PEQF的面积为．【答案】30cm2【解析】如图，连结EF．∵△ADF与△DEF同底等高，∴S△ADF=S△DEF，即S△ADF−S△DPF=S△DEF−S△DPF，即S△APD=S△EPF=14cm2，同理可得S△BQC=S△EFQ=16cm2，∴四边形PEQF的面积为S△EPF+S△EFQ=14+16=30cm2．9.如图，圆心角为90°的扇形CAB内，以BC为直径作半圆，连接AB.若阴影部分的面积为5π−5，则AC=_____．【答案】2√5【解析】解：将原图区域划分为四部分，阴影部分分别为S1，S2；两块空白分别为S3，S4，连接DC，如下图所示：由已知得：三角形ABC为等腰直角三角形，S1+S2=5π−5，∵BC为直径，∴∠CDB=90°，即CD⊥AB，故CD=DB=DA，∴D点为BC⏜中点，由对称性可知CD⏜与弦CD围成的面积与S3相等．设AC=BC=x，则S扇ACB−S3−S4=S1+S2，其中S扇ACB =90⋅π⋅x2360=πx24，S4=S△ACB−S△BCD−S3=12⋅x2−12⋅x⋅x2−S3=x24−S3，故：πx24−S3−(x24−S3)=5π−5，求解得：x1=2√5，x2=−2√5(舍去)故答案：2√5．本题可利用扇形面积公式以及三角形面积公式，用大扇形面积减去空白部分面积求得阴影部分面积，继而根据已知列方程求解．本题考查几何图形面积的求法，常用割补法配合扇形面积公式以及三角形面积公式求解．10.如图所示，AE⊥AB，且AE=AB，BC⊥CD，且BC=CD，按照图中所标注的数据，实线所围成的图形的面积是_________．【答案】50【解析】【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，面积及等积变换的知识，解答本题的关键是根据三角形全等求出AF、AG、GC、CH的长，本题比较简单，但是计算时要细心．根据AE⊥AB，BC⊥CD且AB=AE，BC=CD等条件可以证明△AEF≌△BAG，△BCG≌△CDH，即可求出AF、AG、GC、CH的长，然后根据梯形的面积公式和三角形的面积公式即可求出图中实线所围成的图形面积．【解答】解：∵EF⊥FG，BG⊥AC，∴∠EFA=∠AGB=90°，∴∠AEF+∠EAF=90°，∠BAG+∠ABG=90°，∵AE⊥AB，∴∠EAB=90°，∠EAF+∠BAG=90°，∴∠EAF=∠ABG，又AE=AB，∴△AEF≌△BAG(AAS)，∴AF=BG=3，AG=EF=6，同理可证△BCG≌△CDH，∴GC=DH=4，CH=BG=3，∴FH=FA+AG+GC+CH=16，∴图中实线所围成的图形面积=S直角梯形EFHD−S△EFA−S△ABC−S△CDH=12(6+4)×16−12×3×6−12×3×10−12×3×4=80−9−15−6=50，故答案为50．11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E，若AB=3，BC=4，则AOAE的值为________．【答案】724【解析】【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；在利用三角形相似的性质时主要利用相似比计算线段的长．也考查了矩形的性质．作BH⊥OA于H，利用矩形的性质得OA=OC=OB，∠ABC=90°，则根据勾股定理可计算出AC =5，AO =OB =52，接着利用面积法计算出BH =125，于是利用勾股定理可计算出OH =710，然后证明△OBH∽△OEA ，最后利用相似比可求出OA AE 的值．【解答】解：作BH ⊥OA 于H ，如图，∵四边形ABCD 为矩形，∴OA =OC =OB ，∠ABC =90°，在Rt △ABC 中，AC =√32+42=5，∴AO =OB =52， ∵12BH ⋅AC =12AB ⋅BC ，∴BH =3×45=125，在Rt △OBH 中，OH =√OB 2−BH 2=√(52)2−(125)2=710，∵EA ⊥CA ，∴BH//AE ，∴△OBH∽△OEA ，∴BHAE=OH OA ， ∴OA AE =OH BH =710125=724．故答案为724．12.如图，在三角形ABC中，AB⊥AC于点A，AB=6，AC=8，BC=10，点P是线段BC上的一点，则线段AP的最小值为____________．【答案】245【解析】【分析】此题考查了垂线的概念与性质，掌握好等积变换法是解题的关键．根据等积变换法得出AP的距离．【解答】解：∵点A到BC的最小值是自A点向BC作垂线，又∵AB⊥AC，AB=6，AC=8，BC=10，∴S三角形ABC =12AB×AC=12AP×BC，6×8=10AP，即AP=245．故答案为245．三、解答题13.如图，所有小正方形的边长都为1，A,B,C三点都在格点上．(1)过点B画直线AC的垂线，垂足为G;(2)比较BC与BG的大小：BC_______BG(填“>”“<”或“=”)，理由是_________;(3)线段BG的长度是点B到直线________的距离(4)三角形ABC的面积=________，已知AC=5，求BG的长=_______．【答案】解：(1)如图所示，BG即为所求；(2)>；垂线段最短；(3)AC；(4)6.5，2.6．【解析】【分析】本题主要考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握垂线段的定义和性质及割补法求三角形的面积等知识点．(1)根据垂线的定义，结合网格特点作图即可得；(2)根据垂线段的性质求解可得；(3)根据点到直线的定义即可解答；(4)先利用割补法求△ABC得面积，再利用12×AC×BG=S△ABC求解可得．【解答】解：(1)见答案；(2)BC>BG，理由是点到直线的所有线段中，垂线段最短，故答案为>、垂线段最短；(3)线段BG的长度是点B到直线AC的距离，故答案为AC；(4)S△ABC=4×4−12×1×4−12×1×3−12×4×3=6.5，∵AC=5，∴12×AC×BG=6.5，即12×5×BG=6.5，解得BG=2.6，故答案为6.5、2.6．14.如图，在正方形ABCD中，∠EAF=45∘，AQ⊥EF于点Q，求证：AQ=AD．【答案】证明：延长CD到P，使DP=BE.连接AP．∵四边形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠B=∠ADC=90°，在△ABE和△ADP中，{AB=AD,∠B=∠ADP=90°BE=DP△ABE≌△ADP(SAS)∴AE=A，∠BAE=∠DAP∵∠EAF=45°∴∠PAF=∠DAF+∠DAP=∠DAF+∠BAE=90°−∠EAF=45°，在△AFE和△AFP中，∵{AE=AP∠EAF=∠PAF AF=AF∴△AFE≌△AFP(SAS)，∴EF=FP，S△AFE=S△AFP∴12EF×AQ=12FP×AD∴AQ=AD．【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质、正方形的性质的知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是关键．利用辅助线及正方形的性质可证明△ABE≌△ADP(SAS)得到：AE=AP，∠BAE=∠DAP，又∠EAF=45°，则∠PAF=∠DAF+∠DAP=∠DAF+∠BAE=90°−∠EAF=45°，从而证得△AFE≌△AFP(SAS)，由面积相等可得结论．15.如图，AB是⊙O的直径，C是BD⏜的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．(1)求证：CF=BF;(2)若CD=6，AC=8，求⊙O的半径及CE的长．【答案】(1)证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∴∠A=90∘−∠ABC．∵CE⊥AB，∴∠CEB=90∘，∴∠ECB=90∘−∠ABC，∴∠ECB=∠A.又∵C是BD⏜的中点，∴CD⏜=CB⏜，∴∠CDB=∠CBD，又∵∠CDB=∠A，∴∠DBC=∠A，∴∠ECB=∠DBC，∴CF=BF．(2)解：∵BC⏜=CD⏜，∴BC=CD=6，∵∠ACB=90∘，∴AB=√BC2+AC2=√36+64=10，∴⊙O的半径为5，∵S△ABC=12AB⋅CE=12BC⋅AC，∴CE =BC⋅AC AB =6×810=245．【解析】【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及角平分线的性质等知识．此题综合性很强，难度适中，注意数形结合思想与方程思想的应用，注意辅助线的作法．(1)要证明CF =BF ，可以证明∠1=∠2；AB 是⊙O 的直径，则∠ACB =90°，又知CE ⊥AB ，则∠CEB =90°，则∠2=90°−∠ACE =∠A ，∠1=∠A ，则∠1=∠2；(2)在直角三角形ACB 中，AB 2=AC 2+BC 2，又知，BC =CD ，所以可以求得AB 的长，即可求得圆的半径；再根据三角形相似可以求得CE 的长．16. (1)如图①，AD 是△ABC 的中线．△ABD 与△ACD 的面积有怎样的数量关系？为什么？(2)若三角形的面积记为S ，例如：△ABC 的面积记为S △ABC .如图②，已知S △ABC =1.△ABC 的中线AD 、CE 相交于点O ，求四边形BDOE 的面积．小华同学利用(1)的结论，解决了上述问题，解法如下：连接BO ，设S △BEO =x ，S △BDO =y ，由(1)结论可得：S △BCE =S △BAD =12S △ABC =12，S △BCO =2S △BDO =2y ，S △BAO =2S △BEO =2x ．则有{S △BEO +S △BCO =S △BCE S △BAO +S △BDO =S △BAD 即{x +2y =122x +y =12所以x +y =13.即四边形BDOE 面积为13．请仿照上面的方法，解决下列问题：①如图③，已知S△ABC=1.D、E是BC边上的三等分点，F、G是AB边上的三等分点，AD、CF交于点O，求四边形BDOF的面积．②如图④，已知S△ABC=1.D、E、F是BC边上的四等分点，G、H、I是AB边上的四等分点，AD、CG交于点O，求四边形BDOG的面积．【答案】解：(1)S△ABD=S△ACD．∵AD是△ABC的中线，∴BD=CD，又∵△ABD与△ACD高相等，∴S△ABD=S△ACD．(2)①如图3，连接BO，设S△BFO=x，S△BDO=y，S△BCF=S△ABD=13S△ABC=13，S△BCO=3S△BDO=3y，S△BAO=3S△BFO=3x．则有：{S △BFO +S △BCO =S △BCF S △BDO +S △BAO =S △ABD ，即{x +3y =13y +3x =13 所以x +y =16，即四边形BDOF 的面积为16；②如图，连接BO ，设S △BDO =x ，S △BGO =y ，S △BCG =S △ABD =14S △ABC =14， S △BCO =4S △BDO =4x ，S △BAO =4S △BGO =4y ．则有：{S △BDO +S △AOB =S △ABD S △BGO +S △BCO =S △BCG ，即{x +4y =14y +4x =14 所以x +y =110 ，即四边形BDOG 的面积为110．【解析】本题主要考查了面积与等积变换，等底等高的三角形的面积相等等知识，解题的关键是正确分析三角形各部分之间的关系．(1)利用等底等高的三角形面积相等求解即可；(2)①连接BO ，设S △BFO =x ，S △BDO =y ，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可；②连接BO ，设S △BDO =x ，S △BGO =y ，根据三角形间的面积关系列出方程组求解即可．17. 如图，矩形ABCD 中，AD =3，AB =4，点P 是对角线AC 上一动点(不与A ，C 重合)，连接BP ，作PE ⊥PB ，交射线DC 于点E ，以线段PE ，PB 为邻边作矩形BPEF.过点P 作GH ⊥CD ，分别交AB 、CD 于点G 、H ．(1)求证：△PGB∽△EHP；(2)求PEPB的值；(3)求矩形BPEF的面积的最小值．【答案】(1)证明：∵∠PGB=∠EHP=∠BPE=90°，∴∠PBG+∠GPB=∠GPB+∠EPH=90°，∴∠PBG=∠EPH(同角的余角相等)，∴△PGB∽△EHP；解：(2)连接BE，∵PE⊥PB，∴∠BPE=90°，∵∠BCE=90°，∴∠BCE+∠BPE=180°，∴P，B，E，C四点共圆，∴∠PBE=∠PCE，在Rt△BPE与Rt△CDA中，∠BPE=∠D=90°，∠PBE=∠ACD，∴Rt△BPE∽Rt△CDA，∴PEAD =PBDC，即PEPB =ADDC=34；(3)方法一：设AP的长为x．∵BC=AD=3，AB=4，∴Rt△ABC中，由勾股定理可得：AC=√AB2+BC2=√32+42=5，∵cos∠GAP=AGAP =ABAC=45，∴AG =45AP =45x. 同理，sin∠GAP =GP AP =BC AC =35，则GP =35x.在Rt △PBG 中，PB 2=BG 2+PG 2=(4−45x)2+(35x)2=x 2−325x +16，∵PE PB =AD DC =34．∴PE =34PB ， ∴S 矩形BPEF =PB ⋅PE =34PB 2 =34(x 2−325x +16)=34(x −165)2+10825，∵0<x <5，∴x =165时，S 有最小值10825．方法二：设BP =x ，x >0，由(2)得PE =34PB =34x ，∴矩形BPEF 的面积为S =34x 2，由二次函数性质可知x >0时，S 随着x 的增大而增大，∴，当x ，即BP 取最小值时，矩形BPEF 的面积S 取得最小值，由题可知P 在对角线AC 上移动，(不与A 、C 重合)，∴当BP ⊥AC 时，BP 最短，(垂线段最短)，此时Rt △ABC 中，AB =4，BC =3，∴AC =5，∴S △ABC =12AB ·BC =12AC ·BP ，BP =AB·BC AC =3×45=125，∴矩形BPEF 的面积S 的最小值为34×(125)2=10825．【解析】本题考查了相似综合题，需要掌握矩形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、锐角三角函数以及二次函数等知识；熟练掌握矩形的性质和勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．(1)由∠PGB =∠EHP =∠BPE =90°，利用同角的余角相等证得∠PBG =∠EPH ，即可证得结论；(2)证得P、B、E、C四点共圆，即可得∠PBE=∠PCE，即可证得△BPE∽△CDA，通过相似三角形相似比即可得解；(3)方法一：设AP=x，利用锐角三角函数定义表示出AG、GP、GB，进而利用勾股定理用x表示出PB2，根据矩形面积公式得出二次函数，再利用二次函数的性质求最值，即可解决问题．方法二：设PB=x，则矩形BPEF的面积为S=34x2，可知当BP⊥AC时PB取得最小值，则S取得最小值，利用等面积法求出此时的PB长，即可得解．18.如图，▵▵ABCD在平面直角坐标系中，AD=6，A(0,4)，B(−3,0)，点D在第一象限内．(1)若E为x轴上的点，且SΔAOE=163，求经过D、E两点的直线的解析式；(2)若F为y轴上的点，求△FDC的周长的最小值；(3)若点M在平面直角坐标系内，则在直线AB上是否存在点F，使以A、C、F、M为顶点的四边形为菱形?若存在，请直接写出F点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：(1)∵A(4,0)，∴OA=4设E(x,0)，则S△AOE=12×OA×x=12×4x=163，解得x=83，∴E(83,0)或(−83,0)，∵四边形ABCD是平行四边形，且AD=6，∴点D的坐标是(6,4)，设经过D、E两点的直线的解析式为y=kx+b，当E(83,0)时，则{83k +b =0 6k +b =4, 解得：{k =65b =−165, ∴直线DE 的解析式为y =65x −165；当E(−83,0)时，则{−83k +b =06k +b =4,解得：{k =613b =1613, ∴直线DE 的解析式为：y =613x +1613，(2)∵四边形ABCD 是平行四边形，且AD =6，∴BC =6，∵B(−3,0)，∴点C 的坐标是(3,0)，∴B 、C 关于y 轴对称，连接BD 交y 轴于F ，连接CF ，此时△FDC 的周长最小，∴△FDC 周长的最小值=FC +FD +CD =BF +FD +CD =BD +CD ，∵A(0,4)，C(3,0)，B(−3,0)，∴BD =√92+42=√97，CD =√33+42=5，∴△FDC 周长的最小值为5+√97；(3)依题意得，OB =OC =3，直线AB 的解析式为y =43x +4①∴AO 平分∠BAC ，①AC 、AF 是邻边，点F 在射线AB 上时，AF =AC =5，所以点F 与B 重合，即F(−3,0)，②AC 、AF 是邻边，点F 在射线BA 上时，由①得：AO平分∠BAC，∴∠OAC=∠OAB，∵∠OAB=∠GAF，∴∠OAC=∠GAF，∵∠OAD=∠GAD，∴∠CAD=∠FAD，∴M在射线AD上，且FC垂直平分AM，∴FC=2OA=8，∴F(3,8)；③AC是对角线时，做AC垂直平分线L，∵AC解析式为y=−43x+4，∴直线L过(32,2)，且k值为34，∴L解析式为y=34x+78②，联立①②得，∴F(−7514,−227)，④AF是对角线时，过C做AB垂线，垂足为N，根据等积法得，CN=245，根据勾股定理得，AN=75，做A关于N的对称点即为F，AF=145，过F做y轴垂线，垂足为G，FG=145×35=4225，∴F(−4225,44 25).综上所述，满足条件的点有四个：F1(−3,0)；F2(3,8)；F3(−7514,−227)；F4(−4225,4425).【解析】此题主要考查了平行四边形的性质，菱形的性质，待定系数法求函数解析式，勾股定理以及三角形的面积等知识，综合性较强，利用等积法和分类讨论的思想解决问题是解决本题的关键．(1)先根据三角形的面积求出点E的坐标，并根据平行四边形的对边相等的性质求出点D的坐标，然后利用待定系数法求解直线的解析式；(2)先利用平行四边形的性质可得C点的坐标，从而可得B、C关于y轴对称，连接BD交y 轴于F，此时△FDC的周长最小，再利用平行四边形的性质以及勾股定理即可得出结论；(3)根据菱形的性质，分AC与AF是邻边并且点F在射线AB上与射线BA上两种情况，以及AC与AF分别是对角线的情况分别进行求解计算．。

几何变换由三角形的面积公式易得等底等高的三角形面积相等

四、几何变换由三角形的面积公式易得：等底等高的三角形面积相等。

现对其常用的特殊情形及推广谈谈它们的应用，供大家参考。

1、同底等高型这种情形往往有平行线，通过平行线确定等高。

如下图 AD ∥BC ，则有S △ABC= S △DBC 。

2、等底同高型这种情形往往有线段中点，由中点确定等底。

如下图 D 是BC 的中点，则有S △ABD= S △ADC 。

下面的直角三角形ABC ，D 是BC 边的中点，显而易见，S △ABD= S △ADC 。

如果我们把左图变成右图： D 是BC 边的中点，同理可以得到： 1、S △ABC= 2 S△ADC ；2、△ABC 的高是△ADC 的高的两倍。

下面学习：1、利用等底等高的方法求面积AB D CB DC A BDC A例1如图，三角形ABC中，如果BD＝DE＝EF＝FC，BG＝GH＝HA，三角形DEG的面积是2平方厘米，求三角形ABC的面积. 。

解法一：连结GF、GC。

由△GBD与△GDE、△GEF与△GFC分别都是等底同高的三角形知，S△GBC=4S△GDE=4×2=8平方厘米。

BG＝GH＝HA，即G是AB的三分之一点，同理可得，S△ABC=3 S△GBC=3×8=24平方厘米。

解法二：由于BD＝DE＝EF＝FC，即DE=BC，BG＝GH＝HA，可得，△GDE的高是△ABC 的高的。

所以S△GDE = ×S△ABC，解得，S△ABC=24平方厘米。

小结：看到谁是谁的几分之几或是几倍（中点、三分之一点），有时是谁等于谁，立刻要判断两者是否属于同一条线上？是，就要通过添加辅助线构造△，利用等底等高的方法求解。

2、用等积转换的方法求面积左右要利用等积转换的方法求面积，常常会用到上面学的S△ABC=S△DBC,大家都减掉相同的S△BOC，剩下的S△AOB= S△DOC。

对角线与两腰围成部分面积相等，通常讲的左=右。

例2 如图，正方形ABCD的边长是8厘米，正方形GCEF的边长是6厘米，求图中阴影部分的面积。

小学奥数平面几何五种面积模型(等积-鸟头-蝶形-相似-共边)

小学奥数平面几何五种模型（等积,鸟头,蝶形,相似,共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积,鸟头,蝶形,相似（含金字塔模型和沙漏模型）,共边（含燕尾模型和风筝模型）, 掌握五大面积模型地各种变形知识点拨一，等积模型①等底等高地两个三角形面积相等。

②两个三角形高相等,面积比等于它们地底之比。

两个三角形底相等,面积比等于它们地高之比。

如右图12::S S a b=③夹在一组平行线之间地等积变形,如右图A C D B C D S S =△△。

反之,假如ACD BCD S S =△△,则可知直线AB 平行于CD ．④等底等高地两个平行四边形面积相等(长方形和正方形可以看作特殊地平行四边形)。

⑤三角形面积等于与它等底等高地平行四边形面积地一半。

⑥两个平行四边形高相等,面积比等于它们地底之比。

两个平行四边形底相等,面积比等于它们地高之比．二，鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补,这两个三角形叫做共角三角形．共角三角形地面积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边地乘积之比．如图在ABC △中,,D E 分别是,AB AC 上地点如图 ⑴(或D 在BA 地延长线上,E 在AC 上),则:():()ABC ADE S S AB AC AD AE =⨯⨯△△ 图⑴ 图⑵三，蝶形定理任意四边形中地比例关系(“蝶形定理”)：①1243::S S S S =或者1324S S S S ⨯=⨯②()()1243::AO OC S S S S =++蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形地面积问题地一个途径．通过构造模型,一方面可以使不规则四边形地面积关系与四边形内地三角形相联系。

EDCBAEDCB Ab a S 2S 1D C BA S 4S 3S 2S 1O DCBA另一方面,也可以得到与面积对应地对角线地比例关系．梯形中比例关系(“梯形蝶形定理”)：①2213::S S a b =②221324::::::S S S S a b ab ab =。

五年级奥数五个几何模型

直线形面积计算的五个模型知识点精讲一、等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比；（或者两个三角形的高相等，面积比等于他们底的比）AB 为公共边，所以 21::ABC ABD s s h h ∆∆=1h 为公共的高，所以 12::BD DC s s =（3）两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。

底和高均不同，所以()21::)(ABD CDE BD DC h s s h ∆∆=⨯⨯比如：两个三角形的底的比是5:3，与各自底对应的高的比是7:6，那么他们的面积的比是（5×7）：（3×6）二、鸟头模型（共角模型）两个三角形中有一个角相等或者互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两条夹边的乘积之比。

BAC DAC ∠∠和互补，::DAC BAC DA AC BA AC s s ∆∆=⨯⨯所以E :E:DA BAC DA A BA AC s s ∆∆∠=⨯⨯A 为公共角，所以推理过程：连接BE ，运用等积变换模型证明。

三、蝴蝶定理模型1．任意四边形中的比例关系（蝴蝶定理）1243::s s s s =或者1342s s s s ⨯=⨯14231243+AO:OC s s s s s s s s ===：：（）：（+）蝴蝶定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途径。

通过构造模型，一方面可以是不规则四边形的面积关系与四边形内三角形相联系；另一方面也可以得到与面积对应的对角线被分割的两段之间的比例关系。

2．梯形中比例关系（梯形蝴蝶定理）2213:a b s s =：221324::a b s s s s=：：：ab ：ab整个梯形对应的面积份数为： 2(a+b)四、相似模型相似三角形性质：（金字塔模型）（沙漏模型）下面的比例关系适用如上两种模型：1、AD AE DE AF AB AC BC AG ===2、 22::ADE ABC s s AF AG ∆∆=所谓的相似三角形，就是形状相同，大小不同的三角形（只要其形状不改变，不论大小怎样改变，他们都是相似的），与相似三角形相关的常用的性质以及定理如下：（1）相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于他们的相似比；（2）相似三角形的面积比等于他们的相似比的平方。

多边形面积-五年级奥数11

五年级奥数多边形的面积1、和差法：分割、合并、倍数比2、运动法：3、等积变换法：等底、等高则等积；等积、等高则等底；等积、等底则等高。

例1、求阴影部分的面积。

例2、大、小两个正方形的边长分别是8厘米和6厘米，求阴影部分的面积。

例3、两个相同的直角三角形如图重叠在一起，求阴影部分的面积。

例4、求阴影部分面积。

例5、图中长方形ABCD 中AB=5厘米，BC=8厘米。

三角形DEF （甲）的面积比三角形ABF （乙）的面积大8平方厘米。

求DE 的长。

练习:1、在三角形ABC 中，DC=2BD ，CE=3AE ，三角形ADE 的面积是 8平方厘米。

求三角形ABC 的面积。

3cm4cm6cm5cm2cm12cm甲ABCDEF乙 AD B C 10cm 10cm24cm45° EABCDE5cm2、四边形ABCD 中，AC 和BD 互相垂直，AC=20厘米，BD=15厘米。

求四边形的面积。

3、在四边形ABCD 中，∠C=45°，∠B=90°，∠D=90°， AD=4cm ，BC=12cm 。

求四边形ABCD 的面积。

4、AF=2cm,AB=4cm,CD=5cm,DE=8cm,∠B=∠E=90°。

求四边形ACDF 的面积。

5、已知大正方形比小正方形边长多2厘米，大正方形比小正方形的面积大10平方厘米。

求大、小正方形的面积各数多少平方厘米。

6、图中两个正方形的边长是10厘米和7厘米，求阴影部分的面积（如图）7.如左下图所示，平行四边形ABCD 的周长是75厘米，以BC 为底的高是14厘米，以CD 为底的高是16厘米。

求平行四边形ABCD 的面积。

ACBD 45°AB CDAB CDEF 4cm8cm2cm8.如右上图所示，在一个正方形水池的周围，环绕着一条宽2米的小路，小路的面积是80米2，正方形水池的面积是多少平方米？9.如右图所示，一个长方形被一线段分成三角形和梯形两部分，它们的面积差是28厘米2，梯形的上底长是多少厘米？10.如下图，在三角形ABC中，BD=DF=FC，BE=EA。

等积变换模型--五大模型

等积变换模型—五大模型一、等积模型简介。

1. 等底等高的两个三角形面积相等；2. 两个三角形高相等，面积之比等于底之比；如图1所示，CD :BD :△△=ACD ABD S S ;3. 两个三角形底相等，面积之比等于高之比；如图2所示，BF :AE :△△=BCD ACD S S4. 在一组平行线之间的等积变形，如图3所示，BCD ACD S S △△=；反之，如果BCD ACD S S △△=，则直线AB//CD 。

二、将三角形分割为四个面积相等的小三角形，可以怎么分？练习：1.画一画：用三种不同方法，把下面相同的三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为2:1:1。

2.画一画：用三种不同的方法将下面相同的三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为4:3:1。

3.如图，在梯形ABCD中，共有8个三角形，其中面积相等的三角形共有哪几对？三、三角形中的等积变换。

例1：在如图三角形ABC中BD:DC=2:3，AE=EB，甲乙两个图形的面积比是多少？例2：如图所示，三角形ABC 被分成四个小三角形，其中三个三角形的面积分别为8平方厘米、6平方厘米、12平方厘米，求阴影部分的面积。

例3：如图，在三角形ABC 中，D 是BC 的中点，E 、F 是AC 的三等分点。

已知三角形的面积是108平方厘米，求三角形CDE 的面积。

例4：如图，三角形ABC 的面积为1，AE=ED ，BD=32BC ，求阴影部分的面积。

练习：1. 如图所示，在三角形ABC 中，CE=ED=DB ，AF=FB ，三角形ABC 的面积是24平方分米，那么，三角形FDE 的面积是多少平方分米？2. 已知一个大三角形被分成四个小三角形，其中有三个三角形的面积分别是3，4，6，求阴影部分的面积？3. 已知图中△ABC 的每边长都是96cm ，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形，则线段CE 和CF 的长度之和是多少厘米？4. 如图，已知三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE=ED ，BD=32BC ，求阴影部分的面积。

小升初平面几何常考五大模型

一、等积变换模型1、等底等高的两个三角形面积相等。

2、两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比。

3、两个三角形底相等，面积比等于它的的高之比。

二、共角定理模型两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形。

共角三角形的面积比等到于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比。

三、蝴蝶定理模型（说明：任意四边形与四边形、长方形、梯形，连接对角线所成四部的比例关系是一样的。

）四、相似三角形模型相似三角形：是形状相同，但大小不同的三角形叫相似三角形。

相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比。

相似三角形的面积比等于它们相似比的平方。

五、燕尾定理模型正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为由题知DC/GP=GC/PK，即DC/(DC-4)=(4+PK)/PK，令DC=a，PK=c，则a=4+c，则S△DEK=a^2+16+c*(4-c)/2+c^2-ac-a(4+a)/2=a^2/2+c^2/2-ac-2a+2c+16=(c+4)^2/2+c^2/2 -c(c+4)-2(c+4)+2c+16=16。

1、图17是一个正方形地板砖示意图，在大正方形ABCD中AA1=AA2=BB1=BB2=CC1=CC2=DD1=D D2，中间小正方形 EFGH的面积是16平方厘米，四块蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，那么大正方形ABCD的面积是多少平方厘米？分析与解连AC和BD两条大正方形的对角线，它们相交于O，然后将三角形AOB放在D PC处（如图18和图19）。

已知小正方形EFGH的面积是16平方厘米，所以小正方形EFGH的边长是4厘米。

又知道四个蓝色的三角形的面积总和是72平方厘米，所以两个蓝色三角形的面积是72÷2=36平方厘米，即图19的正方形OCPD中的小正方形的面积是36平方厘米，那么这个正方形的边长就是6厘米。

同底等高三角形面积相同定理

同底等高三角形面积相同定理三角形是我们日常生活中常见的图形，比如一片饼干切成三角形，或者你看到的房屋屋顶，它们都是三角形。

今天我们要聊聊一个有趣的定理，那就是同底等高三角形面积相同定理。

别看它名字复杂，其实很简单。

下面就让我们细细道来，领会其中的奥妙吧！1. 什么是同底等高三角形1.1 底边和高的概念首先，我们得知道什么是底边和高。

想象一下一个三角形，就像你在纸上画的那个一样。

底边就是你随便选的那一条边，高就是从这条底边到对面的顶点的垂直距离。

这个距离叫做“高”。

就像在教室里挂画一样，我们总是希望画挂得正，这个“正”就是高。

1.2 同底等高的三角形现在，咱们聊聊什么叫“同底等高”。

简单说就是，两个三角形如果它们的底边长度相同，而且它们的高也相同，那这两个三角形就是“同底等高”的。

举个例子，如果你有两片相同大小的三明治，它们的底边一样长，而且都切得那么高，那么这两片三明治就是“同底等高”的。

2. 为什么同底等高的三角形面积相同2.1 面积的计算方法了解了底边和高，接下来就是面积的计算了。

三角形的面积可以用一个简单的公式来计算：面积= 1/2 × 底边× 高。

这就像你做一道数学题，代入底边和高的值，计算出面积就行了。

2.2 为什么面积一样那么，为什么同底等高的三角形面积总是一样的呢？其实很简单，因为面积的公式里，我们用的是底边和高的乘积。

不管底边的长度是多少，只要底边和高都一样，计算出的面积自然也就一样了。

这就像你在厨房里做饭，只要材料量相同，做出来的菜自然口味一致一样。

3. 生活中的应用3.1 建筑设计这种定理在建筑设计中非常有用。

比如你设计一个屋顶，想要确保左右两边的三角形部分面积相同，那么只要确保它们的底边和高度一致就好了。

这种知识让设计师们能够轻松地保证设计的对称性和稳定性。

3.2 实际问题的解决还有一些实际问题，比如拼图游戏中，如果要拼出一个形状，只要保证各个部分的底边和高一致，那么这些三角形的面积自然也会一样。

小学五年级逻辑思维学习—等积变换、切割、平移、旋转

小学五年级逻辑思维学习—等积变换、切割、平移、旋转知识定位本讲是几何知识体系中的一个基石同时也是一个升华，等积变换试平面几何的基础，解决三角形问题几乎无处不在，切割、平移、旋转是解决个性问题的个性思想，在几何中举足轻重，能使复杂的问题巧妙化解。

所以本讲是非常重要的一讲，也是竞赛常考的知识板块。

重点难点：1. 等积变换中等地等高三角形的寻找。

2．化未知图形为已知图形。

3. 合理做辅助线4. 平移、旋转、切割等知识的适用范围主要考点：1. 面积和边的比例关系2. 利用平移、旋转解复杂问题知识梳理常见图形面积的解题方法我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积=底×高÷2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积．如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）；如果三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）；这说明当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化．但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化．比如当高变为原来的3倍，底变为原来的1/3，则三角形面积与原来的一样。

这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化．同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状．在实际问题的研究中，我们还会常常用到以下结论：1、等底等高的两个三角形面积相等．2、若两个三角形的高相等，其中一个三角形的底是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．若两个三角形的底相等，其中一个三角形的高是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．3、夹在一组平行线之间的等积变形，如下图，和夹在一组平行线之间，且有公共底边那么；反之，如果，则可知直线平行于。

4、把未知图形转化为三角形、长方形、正方形来求解。

例题精讲【试题来源】【题目】三个正方形ABCD ，BEFG ，HKPF 如图所示放置在一起，图中正方形BEFG 的周长等于14厘米。

第十六讲等积变换模型直线形计算一

直线形计算一等积变换模型（1）等底等高的两个三角形面积相等；（2）两个三角形的底相等，面积比等于他们高的比; 们底的比）S i ：S 2 二BD ：DC（3）两个三角形面积的比等于这两个三角形底与各自对应高的乘积的比。

底和高均不同，所以SM ：SMDE=（BDxh 2）：（DC5i）比如：两个三角形的底的比是 5:3, 那么他们的面积的比是（与各自底对应的高的比是 7:6,5X 7）: （ 3 X 6）1.如下图，四边形 ABCD 是直角梯形。

其中角形ADE 四边形DEBF 三角形CDF 的面积相等，请问阴影三角形2 .一块长方形的土地被分割成 4个小长方形，其中三块的面积如下图所示（单位：平方米）剩下一块的面积应该是多少平方米？3C1540AB 为公共边，所以S 出BC ：S 螂D = h 2：h i（或者两个三角形的高相等，面积比等于他h i 为公共的高，所以AD=12（厘米），AB=8（厘米），BC=15（厘米），并且三 DEF 的面积是多少？，请问:3 .如下图，在三角形 ABC 中，BC 是DC 的3倍，AC 是EC 的3倍.三角形DEC 的面积是3平方厘米.请问：三角形 ABC 的面积是多少平方厘米？4 .如下图，E 是BC 上靠近C 的三等分点，且 ED 是AD 的2倍.三角形 ABC 的面积是36平方厘米三角形BDE的面积是多少平方厘米？5 .如下图所示，已知三角形 BEC 的面积等于20平方厘米，E 是AB 边上靠近B 点的四等分点.角形AED 的面积是多少平方厘米？6.如下图所示，已知平行四边形 ABCD 的面积为36,三角形AOD 的面积为8.三角形积为多少？7.如下图所示，长方形ABCD 的面积是96平方厘米，E 是AD 边上靠近D 点的三等分点, 边上靠近C 点的四等分点•阴影部分的面积是多少平方厘米？&如下图，将一个长为 18的长方形，分成一个三角形和一个梯形，而且梯形的面积是三角形面积的5倍。

图形问题的题型及解法(二)

图形问题的题型及解法（二）3、转化法解图形（三）——活用等底等高规律作转化1(1) 如图28，梯形ABCD的面积为20，E点在BC上，三角形ADE的面积是三角形ABE面积的2倍，BE的长为2，EC的长为5，那么三角形DEC的面积为。

(2) 如图29，在梯形ABCD中，对角线BD、AC相交于O，三角形AOD的面积是6，三角形AOB的面积是4，那么梯形ABCD的面积是多少？(3) 如图30，正方形ABCD边的中点，AE与BD相交于F点，三角形DEF的面积是4，那么正方形ABCD的面积是多少？(4) 如图31，把大三角形分成甲、乙两部分，甲与乙的面积比是。

(5) 如图32所示，长方形草地ABCD被分成面积相等的甲、乙、丙、丁四份，其中图形甲的长和宽的比是3:7a，则图形乙的长和宽的比是。

b:(6) 如图33，梯形ABCD 的面积为30，点E 在BC 上，ABE ADE S S ∆∆=2，3=BE ，5=EC ，=∆DEC S 。

(7) 如图34，△ABC 的每边长都48cm ，用折线把这个三角形分割成面积相等的四个三角形，求线段CE 与CF 的长度之和。

4、转化法解图形（四）——活用等底等高规律作转化2(1) 如图35，正方形ABCD 的边长为10厘米，EC=2BE ，求阴影部分的面积。

(2) 如图36，等边三角形的每条边都是100厘米，用折线把这个等边三角形分割成面积相等的6个三角形，那么图中CD+CG= 。

(3) 如图37所示的长方形中，求阴影部分的面积。

（单位：厘米）(4) 如图38所示的△ABC 被DE 分成两部分，AB BE 31=，BC BD 41=，那么△BDE 面积占△ABC 面积的)()( 。

(5) 如图39，BC BE 21=，CF CA 31=，△ABC 的面积是10cm 2，△ECF 的面积是。

(6) 如图40，梯形ABCD 中，3:2:=BC AD ，6=∆AOB S ，梯形ABCD的面积是。

等积变形定理及其应用Microsoft_Word_文档

等积变形定理及其应用对平面图形的面积，直观上要承认如下的两条性质： 1. 两个图形完全重合，则这两个图形的面积相等。

2. 把一个图形分成有限个小部分，则整个图形的面积等于所有这些小部分面积之和。

这两条性质，是面积割补的理论基础。

定理1.等底等高的两个三角形的面积相等。

推论1.三角形的一条中线平分这个三角形的面积.推论2.梯形中，以腰为一边，第三个顶点为梯形对角线交点的两个三角形面积相等。

反之，共底的两个三角形的面积相等.若第三个顶点落在底边的同侧，则连接第三顶点的直线与底边所在的直线平行.例1. 凸四边形ABCD 的两组对边中点连线EF , GH 相交于O . 求证: 1.2AEOG CFOH ABCD S S S +=证明: 连接OD , OA ，OB ，OC .则 ()12AEOG AOE AOG AOD AOB S S S S S ∆∆∆∆=+=+ ()12CFOH COF COH BOC COD S S S S S ∆∆∆∆=+=+ 所以 AEOG CFOH S S + ()11.22AOD AOB BOC COD ABCD S S S S S ∆∆∆∆=+++= 例2.如图，四边形ABCD 中，E 和F 分别为对角线BD 和AC 的中点. 过E 、F 的直线交AB 和CD 分别于M 和N .已知△ABN 的面积为25平方厘米，求△CDM 的面积. 答：25.解：因为E 是BD 的中点，则BMN DMN S S ∆∆=；因为F 是AC 的中点，则AMN CMN S S ∆∆=. 相加即得25.ABN CDM S S ∆∆== 例3. 右图中ABCD 是个直角梯形（90DAB ABC ∠=∠=）. 以AD 为一边向外作长方形ADEF ，其面积为6.36平方厘米. 连结BE 交AD 于 P ，连结PC . 求图中阴影部分的面积是多少平方厘米？解：连接AE ，BD . 因为AD//BC ，则PDC PDB S S ∆∆=，又AB//ED ，则EAD EBD S S ∆∆=.所以EPD PDC EPD PDB S S S S S ∆∆∆∆=+=+阴影EBD EAD S S ∆∆==116.36 3.1822ADEF S ==⨯=（平方厘米）. 例4.过梯形ABCD 的顶点A 作平行于腰 DC 的直线交下底BC 于E 点，交BD 于点 F . 已知三角形ABE 的面积等于15，求三角形BCF 的面积. 答：15.解：因为F 为梯形ABED 对角线 AE 、BD 的交点，所以三角形ABF 的面积=三角形DEF 的面积. 连接DE . 三角形DEF 的面积=三角形CEF 的面积所以，三角形CBF 的面积=三角形ABE 的面积=15.例5. 在平行四边形ABCD 的边AB 和AD 上分别取点E 和F ，使得线段EF 平行于对角线BD.求证：三角形BCE 与三角形CDF 等积. 证明：△BCE 的面积=△BDE 的面积 =△BDF 的面积=△C DF 的面积例6. 四边形ABCD 中，M 是AD 的中点， N 是BC 的中点.已知.ABNM DCNM S S = 求证：AD//BC .证明：连接AN ，DN .由于MN 为△AND 的一条中线，所以,AMN DMN S S ∆∆=又已知,ABNM DCNM S S = 所以 .ABN DCN S S ∆∆=（等量减等量其差相等）由于△ABN 与△DCN 的底边在一条直线BC 上，且BN=CN ，点A ，D 在BC 同侧，由定理2可得，AD//BC .例7．P 为五边形ABCDE 内一点，,3AB BP AB ⊥=厘米,4BP =厘米.又AE //,BP PD //BE ，ED //BC . 联结.CE 求三角形CDE 的面积.解：由,3,4,AB BP AB BP ⊥==得 ABP ∆面积为6.联结,PE BD ，则 ,ABP EBP EBD CDE S S S S ∆∆∆∆===所以1134 6.22CDE ABP S S AB BP ∆∆==⋅⋅=⨯⨯=答: 6平方厘米.例8. P 为三角形ABC 内一点,过P 作12//A B AB ,1212//,//.B C BC C A AC求证: 三角形111A B C 与三角形222A B C 的面积相等.（考虑3种不同的证法）提示: 连接A 1C 2, C 1B 2, B 1A 2.22PA B ∆面积=21PA B ∆面积=11PA B ∆面积同理可得22PA C ∆面积=12PA C ∆面积=11PA C ∆面积； 22PB C ∆面积=21PB C ∆面积=11PB C ∆面积；相加得三角形111A B C 与三角形222A B C 的面积相等.例9.如图，四边形ABCD 中,对角线,AC BD 相交于E .,.AF CE BG DE ==如果四边形ABCD 的面积等于2009平方厘米，求EFG ∆的面积.提示：连接AG ，利用等积变形定理得EFG ∆的面积为2009平方厘米. 例10.在五边形12345A A A A A 中, 如果 135424153521//,//,//,A A A A A A A A A A A A4132//,A A A A 求证:5243//.A A A A分析：要证5243//.A A A A只需234A A A ∆面积=534A A A ∆面积. 但4132//A A A A ，有234A A A ∆面积=231A A A ∆面积但3521//,A A A A 有231A A A ∆面积=251A A A ∆面积，又 2415//,A A A A 有251A A A ∆面积=451A A A ∆面积；注意到1354//,A A A A 所以451A A A ∆面积=534A A A ∆面积. 因此，234A A A ∆面积=534A A A ∆面积，所以5243//.A A A A例11. 已知ABCDEFG 是凸七边形. 证明: 如果//,//,//,AC EF BD FG CE GA//,//DF AB EG BC 和//FA CD ,那么//.GB DE分析:要证//.GB DE 只需证BDG ∆面积=BEG ∆的面积.因为//,BD FG 有BDG ∆面积=FDB ∆的面积; 由//,DF AB 有FDB ∆的面积=ADF ∆的面积; 由//FA CD ,有ADF ∆的面积=ACF ∆的面积; 由//,AC EF 有ACF ∆的面积=ACE ∆的面积; 由//,CE GA ,有ACE ∆的面积=GCE ∆的面积由//EG BC ,有GCE ∆的面积=GBE ∆的面积,因此，BDG ∆面积=GBE ∆的面积.故得证//.GB DE例12. 如图所示，正方形ABCD 的面积为36 cm 2，正方形EFGH 的面积为256 cm 2，三角形ACG 的面积为27 cm 2，则四边形CDHG 的面积为 cm 2.（第17届华杯赛初赛网络版试题）答：77解：由条件知，正方形ABCD 的边长为6cm. 正方形EFGH 的边长为16 cm. 连接EG ，则45,ACE CEG ∠==∠所以AC//EG . 因此ACGE 是梯形，所以27==∆∆ACG ACE S S .即27=EC ⨯⨯621，所以EC = 9，因此CH =916-=7，因为四边形CDHG 是个梯形，所以四边形CDHG 的面积 =7727)166(=⨯+（cm 2）. 定理2. 凸四边形ABCD 的对角线AC , BD 相交于O . 则.ABD CBD S AOS CO∆∆=EFAD E F证明: 由共边定理,得AOD AOBCOD COBS S AO k S CO S ∆∆∆∆===, 所以,AOD COD AOB COB S kS S kS ∆∆∆∆== 相加得 ()AOD AOB COD COB S S k S S ∆∆∆∆+=+ 所以.AOD AOB COD COB S S k S S ∆∆∆∆+=+ 即.ABD CBD S AOk S CO∆∆==特别地, 由ABD CBD S S ∆∆=可以得出结论AO=CO .为用面积方法证明线段相等提供了新思路.例13. 右图中, 正方形ABCD 的面积为840平方厘米，AE =EB ，BF =2FC ，DF 与EC 相交于G . 则四边形AEGD 的面积为平方厘米.（第17届华杯赛决赛小高网络版试题6）答: 510解. 连结DE , EF , 则△DEC 的面积=420. △EBC 的面积=210 .△EFC 的面积=13⨯△EBC 的面积13=⨯210=70.所以4206701DEC EFC S FG GD S ∆===，所以6.7DG FD = △DGC 的面积=66140120.77DFC S ∆⨯=⨯=所以四边形AEGD 的面积=四边形AECD 的面积-△DGC 的面积630120510.=-= 例14如图所示，直角三角形ACB 的两条直角边 AC 和BC 的长分别为14 cm 和28 cm ，CA 和 CB 分别绕点A 和B 点旋转 90至DA 和EB . 若DB 和AE 相交于点P ，求三角形P AB 的ABC DEP面积.（第17届华杯赛决赛初一网络版试题12）答：56.解：易知，45,DCA BCE ∠=∠=90,ACB ∠=所以，DCE 是一条直线.延长DA ，EB 相交于H . 则.DH EH ⊥12828421144232ABE ADEAH BES PB DP S AD EH ∆∆⨯⨯====⨯⨯，因此 44.437PB PB DB DP PB ===++而141498.2ADB ADC S S ∆∆⨯=== 所以449856.77PAB DAB S S ∆∆=⨯=⨯=例15．在△ABC 的边AB ，BC 和CA 上分别取点R ，P ，Q ，使得线段AP ，BQ 和CR 相交于一点M .证明：如果,,AMQ AMR BMR BMP CMP CMQ S S S S S S ∆∆∆∆∆∆===和那么M 是△ABC 三条中线的交点.证明：已知条件中给出的面积，我们通过右图中所示的S 1，S 2和S 3来表示. 因为△ARM 和△BRM 高相同，所以12.S ARS RB = 类似可得13232,2S S AR S S RB +=+ 也就是12S AR S RB ==132322S S S S ++，由此推出 ()()12321322,S S S S S S +=+ ()3120,S S S ⇒-=因为30,S > 所以S 1=S 2，即AR=RB ，也就是CR 是△ABC 的一条中线.同理类似可证AP 和BQ 也是△ABC 的中线.因此M 是△ABC 三条中线的交点.例16. 如图，梯形ABCD 中，过对角线的交点O 引梯形两底的平行线分别交腰AD 、BC 于点M 和N . 求证：OM=ON.解：如图，连接MB ，有NBD BOC AOD BMD S S S S ∆∆∆∆=== 在四边形MDNB 中，因为NBD BMD S S ∆∆=，所以ON = OM .（思考：进一步可证2.ADN CBO S S ∆∆=）例17.在凸四边形ABCD 中，延长边AB 到1B ，使1BB AB =；延长BC 到1C ，使1CC BC =；延长CD 到1D ，使1DD CD =；延长DA 到1A ，使.1AA DA =请你证明：四边形1111D C B A 的面积是四边形ABCD 面积的5倍.证明：由下左图，连接11,,,CA CB AD设12,.ABCACDS s Ss ==则1112,BB C Ss =1122,A DD Ss =所以11BB C S +11122()2A DD ABCD Ss s S =+=……①同理由上右图，连接11,,,C D BA BD 设34,.ABDBCDSs Ss ==则1132,A AB Ss =1142,C CD Ss =所以 11A AB S+11342()2C CD ABCD Ss s S =+=……②① + ②得 11BB C S+11A DD S+11A AB S +114C CD ABCD SS =所以 1111A B C D S =11(BB C S +11A DD S+11A AB S+11)5.C CD ABCD ABCD SS S +=例18．如图，在直角ABC ∆的两直角边AC 、BC 上分别作正方形ACDE 和 CBFG . 连结AF 、BE 分别交 BC 、AC 于Q ，P . 求证：CP = CQ . 证明：注意AG = AC + CG = D C + CB = BD因为ABC BCE BPD ∆=∆=∆ ABC ACF AQG ∆=∆=∆所以AQG BPD ∆=∆ 即21BD ×CP =21AG ×CQ . 由于AG = BD ，所以CP = CQ.例19. 如右图所示, 四边形ABCD 的面积为6, 点M , N , P , Q 分别为各边的中点. 点O 为ABCD 内的一点. 连接OM 并延长至E 点, 使得2OM ME =, 同样的方式可得点F , G , H . 则四边形EFGH 的面积为 . 答: 27.解. 连接,,,MN NP PQ QM , 因为点,,,M N P Q 分别为四边形ABCD 各边的中点, 所以四边形MNPQ 的面积为四边形ABCD 面积的一半, 即四边形MNPQ 的面积为 3.因为2ME OM =且2NF ON =, 容易得到三角形OEF 的面积是三角OMN 的面积的9倍.同理可得三角形OFG 的面积是三角形ONP 的面积的9倍；三角形OGH 的面积是三角形OPQ 的面积的9倍；三角形OHE 的面积是三角形OQM 的面积的9倍.所以四边形EFGH 的面积是四边形MNPQ 的面积9倍, 即四边形EFGH 的面积为27.例20．如图, 在五边形ABCDE 中, M ，N 分别是AB ，AE 的中点. 四边形AMPN ，△CPM ， △ CPD ，△DPN 的面积分别是9，6，9，6. 求五边形ABCDE 的面积.解：易知30.AMCDN S =连接MN ，设,MNP S x ∆=则:66:9x =推得 4.x =所以94 5.AMN S ∆=-=连接AC ，AD ，分别交MN 于F ，G . 由15//MCD NCD S S MN ∆∆==⇒CD . 在四边形AMCN 中， 51,462AMN CMN S AF FC S ∆∆===+ 同理可证1.2AG DG = 连接DF ，则6915.FCD MCD S S ∆∆==+=由于1,7.52AFD AF S FC ∆=⇒=，22.5.ACD S ∆= 因此3022.57.5.AMC AND AMCDN ACD S S S S ∆∆∆+=-=-= 由于M ，N 分别是AB ，AE 的中点，,,BMC AMC DNE AND S S S S ∆∆∆∆== 7.5.BMC DNE AMC AND S S S S ∆∆∆∆+=+=所以 ABCDE AMCDN BMC DNE S S S S ∆∆=++=30 +7.5 = 37.5. 例21. 平行四边形ABCD 的边AD 上任取一点N ，过N 作平行于对角线AC 、 BD 的直线分别交边AB 、CD 于点M 和K.证明：三角形NMB 与NKC 等积.11。

小学奥数——三角形的等积变形(附答案)word版本

小学奥数三角形的等积变形我们已经掌握了三角形面积的计算公式：三角形面积=底乂高十2这个公式告诉我们：三角形面积的大小，取决于三角形底和高的乘积•如果三角形的底不变，高越大（小），三角形面积也就越大（小）.同样若三角形的高不变，底越大（小），三角形面积也就越大（小）•这说明；当三角形的面积变化时，它的底和高之中至少有一个要发生变化•但是，当三角形的底和高同时发生变化时，三角形的面积不一定变化•比如当高变为原来的3倍，底变为原来的土则三角形面积与原来的一样.这就是说’ 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积，而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变的情况下，可以有无数多个不同的形状•本讲即研究面积相同的三角形的各种形状以及它们之间的关系.为便于实际问题的研究，我们还会常常用到以下结论：①等底等高的两个三角形面积相等.②底在同一条直线上并且相等，该底所对的角的顶点是同一个点或在与底平行的直线上，这两个三角形面积相等.③若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一个三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍.例如在右圈中，若A ABD与/XAEC的底边相等（KD=DE=EC=|BC）3，它们所对的顶点同为A点，（也就是它们的高相等）那么这两个三角形的面积相等.同时也可以知道厶ABC的面积是厶ABD或△ AEC面积的3倍.例如在右图中，△ ABC与△ DBC的底相同（它们的底都是BC，它所对的两个顶点A D在与底BC平行的直线上，（也就是它们的高相等），那么这两个三角形的面积相等.例如右图中，△ ABC与△ DBO的底相同（它们的底都是BC , △ ABC的高是△ DBC高的2倍（D是AB中点，AB=2BD有AH=2DE，则△ ABC的面积是厶DBC W积的2倍.上述结论，是我们研究三角形等积变形的重要依据.例1用三种不同的方法，把任意一个三角形分成四个面积相等的三角形.方法X 如右图，将EC 边四尊分（BD 二DE 二EF 二FC 二!BC ）,连结 4AD. AE, AF.则△AED 、“ADE 、Z\AEF. △AFCS?积.方法乳如右图，先将BC 四等分，即ED 二土EU 连结AD,再将AD 三1等分、即AL = EF-JD -jAT,连结CE 、CF,从而得到四个等积的三角形 ,即厶ABD . A CDF , A CER △為CE 等积.例2用三种不同的方法将任意一个三角形分成三个小三角形，使它们的面积比为及 1 : 3: 4.方法1 :如下左图，将 BC 边八等分，取1 : 3 : 4的分点D E ,连结AD AE,从而得到厶ABD△ ADE △ AEC 的面积比为 1 : 3 : 4.方法厶如上右图，先取RC 中点D 再取AB 的+分点氏连结AIXDE 从而得到三个三角形：△ ADE △ BDE △ ACD 其面积比为 1 : 3 : 4.方法2:如右图，先将 BC 二等分，分点 D 、连结AD,得到两个等积三角形，即△ ABD M^ ADC 等积.然后取 AC AB 中点E 、F ,并连结DE DF.以而得到四个等积三角形，即△ ADF △ BDF △ DCE △ ADE 等积.方法玉如右图，先取AB中点D,连结CD,再取B上扌分点E,连^ AE,从而得到三个三角形［△AGE. △ABE、△BCD耳面积比为1 ： 3：4 +当然本题还有许多种其他分法，同学们可以自己寻找解决.例3如右图，在梯形ABCD中，AC与BD是对角线，其交点0,求证：△COD面积相等.证明：•••△DBC等底等高，••• S A ABC=S\ DBC又••• S △AOB=S\ ABC-S A BOCS △DOC=^ DBC- S A BOC• S A AOB=S\ COD例4如右图，把四边形ABCD改成一个等积的三角形.分析本题有两点要求，一是把四边形改成一个三角形，二是改成的三角形与原四边形面积相等•我们可以利用三角形等积变形的方法，如右图，把顶点A移到CB的延长线上的A'处，△ A' BD与△ ABD面积相等，从而△ A DC面积与原四边形ABCD 面积也相等•这样就把四边形ABCD等积地改成了三角形△ A' DC问题是A'位置的选择是依据三角形等积变形原则•过A作一条和DB平行的直线与CB的延长线交于A'点.解：①连结BD②过A作BD的平行线，与CB的延长线交于A'.③连结A'。

小学五年级等积变形

第五讲等积变形答案方法与技巧:（1）等底等高的两个三角形面积相等。

（2）两个三角形如果有相等的底（或高），且其中一个三角形的高（或底）是另一个三角形高（或底）的若干倍，那么，这个三角形的面积是另一个三角形面积的若干倍。

【例1】如下图所示，四边形ABCD是直角梯形，两条对角线把梯形分为4个三角形，已知其中两个三角形的面积为4平方厘米和8平方厘米，求直角梯形ABCD的面积。

（18）【练习1】如图所示，三角形ABO的面积为9平方厘米，线段BO的长度是OD的3倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？（48）【例2】如图所示，把三角形ABC的一条边AB延长1倍至1」D点，把它的另一条边AC延长2倍到点E，得到一个较大的三角形ADE，三角形ADE面积是三角形ABC面积的多少倍？（6）【练习2】如图所示，AE=3AB, BD=2BC,4DEC的面积是^ABC面积的倍。

（4）D【例3】已知三角形ABC面积为56平方厘米，是平行四边形DEFC的2倍，则阴影部分的面积是多少平方厘米？（14）【例4】如图所示，矩形ABCD的面积为24平方厘米，三角形ADM与三角形BCN的面积和为7.8平方厘米，则四边形PMON的面积是多少平方厘米？（1.8）【例5】如图所示，点M、N、P、Q分别在平行四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上，且PE//GM//CB，HN//QF//AB。

若平行四边形ABCD的面积为600平方厘米、阴影部分的面积为80平方厘米。

请问四边形MNPQ的面积为多少平方厘米？（340）【例6】如图所示，在正方形ABCD的BC边上取一动点E，以DE为边作矩形DEFG，且FG边通过点A。

在点E从点B移动到点C过程中，矩形DEFG的面积（）（E）（A）一直变大。

（B）一直变小。

（C）先变小后变大。

（D）先变大后变小。

（E）保持不变。

【练习1】如左下图，4ABC中，D、E分别为边BC、AB的中点。

若图中阴影部分面积为1,则4ABC的面积为多少？（4）【练习2】如右上图所示，图中阴影部分的面积为多少平方厘米？（24）【练习3】如图，六角形的6个顶点恰好是一个正六边形的6个顶点。

活用等底等高等积1

等积转换法

巧用等底等高等积解题

活用“等底等高等面积”,破解中考压轴题

活用“等底等高等面积”,破解中考压轴题

小学数学几何五大模型教师版

小学奥数 几何面积(1)等底等高模型 知识点+例题+练习 (分类全面)

专题08 等积变换法(解析版)中考二轮专题复习之数学思想和方法以及常见题型满分练(全国通用)

几何变换由三角形的面积公式易得等底等高的三角形面积相等

小学奥数平面几何五种面积模型(等积-鸟头-蝶形-相似-共边)

五年级奥数 五个几何模型

多边形面积-五年级奥数11

等积变换模型--五大模型

小升初平面几何常考五大模型

同底等高三角形面积相同定理

小学五年级逻辑思维学习—等积变换、切割、平移、旋转

第十六讲等积变换模型直线形计算一

图形问题的题型及解法(二)

等积变形定理及其应用Microsoft_Word_文档

小学奥数——三角形的等积变形(附答案)word版本

小学五年级等积变形

小学奥数几何面积(1)等底等高模型知识点+例题+练习 (分类全面)

五年级奥数五个几何模型